Периметр и апофема правильной пирамиды
Зная периметр основания правильной пирамиды, можно легко вычислить сторону основания, разделив периметр на удвоенное количество сторон многоугольника. Площадь основания в свою очередь будет рассчитываться по стандартной формуле площади правильного многоугольника, в которую необходимо будет подставить выражение, соответствующее стороне основания через периметр. a=P/n S=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )=P^2/(4n tan〖(180°)/n〗 )
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник в основании пирамиды, как и радиус окружности, описанной вокруг основания, необходимо знать сторону основания, поэтому здесь также пригодится полученное через периметр выражение. (рис.34.1,34.2) r=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )=P/(2n tan〖(180°)/n〗 ) R=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )=P/(2n sin〖(180°)/n〗 )
Величина внутреннего угла многоугольника в основании зависит только от количества сторон многоугольника и рассчитывается по следующей формуле. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n
Зная апофему и сторону основания правильной пирамиды, вычисленной через периметр, можно рассчитать боковое ребро и высоту пирамиды по теореме Пифагора в прямоугольных треугольниках. (рис. 34.4, 35.1) h=√(l^2-r^2 )=√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ) b=√(l^2+P^2/(4n^2 ))
Чтобы найти угол между основанием и апофемой, а также между основанием и боковым ребром, нужно сначала рассчитать косинусы этих углов в прямоугольных треугольниках, образованных высотой и соответствующим отрезком, которые через основание будут соединяться радиусы вписанной и описанной окружностей. (рис.34.4, 34.5) cosα=R/b=P/(2n sin〖(180°)/n〗 √(l^2+P^2/(4n^2 ))) cosβ=r/l=P/(2nl tan〖(180°)/n〗 )
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания равна произведению периметра на половину апофемы. Площадь полной поверхности вычисляется как сумма полученного значения и площади основания. S_(б.п.)=lP/2 S_(п.п.)=P(l/2+P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))
Чтобы найти объем пирамиды, необходимо знать не только периметр основания для расчета его площади, но и высоту пирамиды, которая равна квадратному корню из разности квадратов апофемы и радиуса вписанной в основание окружности. V=1/3 S_(осн.) h=(P^2 √(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12n tan〖(180°)/n〗 )
Сфера, которую можно вписать в пирамиду, должна иметь радиус, равный отношению трех объемов к площади полной поверхности, которые можно вычислить через периметр и апофему пирамиды. Радиус сферы, которую можно описать вокруг пирамиды, должен быть равен квадрату боковой стороны, деленному на удвоенную высоту. (рис.34.6, 34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =(P√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(2n tan〖(180°)/n〗 (l/2+P/(2n tan〖(180°)/n〗 )) ) R_1=b^2/2h=(2l^2+P^2/n^2 )/(2√(l^2-(P/(2n tan〖(180°)/n〗 ))^2 ))
geleot.ru
Площадь поверхности пирамиды | Мозган калькулятор онлайн
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь поверхности пирамиды онлайн. Для расчета задайте площадь основания и апофему.
Пирамида – многогранник, основание которого – многоугольник, а остальные грани – треугольники, имеющие общую вершину. Пирамида является частным случаем конуса. Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.
Апофема – опущенный перпендикуляр из вершины на ребро основания.
Боковая поверхность через периметр и апофему
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через периметр и апофему:
Боковая поверхность через высоту и сторону основания
Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:
a — сторона основания; h — высота пирамиды; n — число сторон в основании.Полная поверхность через высоту и сторону основания
Формула площади полной поверхности правильной пирамиды через высоту и сторону основания:
a — сторона основания; h — высота пирамиды; n — число сторон в основании.Полная площадь тетраэдра
Формула полной площадь тетраэдра:
a — сторона основания.www.mozgan.ru
Высота и сторона основания правильной пирамиды
Зная сторону основания правильной пирамиды, то есть пирамиды, в основании которой лежит правильный многоугольник, можно найти периметр основания, его площадь, радиус окружностей, которые можно вписать или описать около него, а также угол между сторонами многоугольника.
Периметр правильного многоугольника равен произведению длины его стороны на их удвоенное количество, а площадь представляет собой отношение количества сторон, умноженного на квадрат длины одной стороны, к четырем тангенсам 180 градусов, деленных на количество сторон. P=n(a+b) S=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, нужно разделить сторону основания на два тангенса из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. (рис.34.1) r=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )
Радиус окружности, описанной вокруг основания правильной пирамиды, равен отношению стороны основания к двум синусам того же угла.(рис.34.2) R=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )
Угол γ между сторонами правильного многоугольника, заложенного в основание пирамиды, легко найти, умножив 180 градусов на количество сторон многоугольника без двух, и деленное на полное количество сторон. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n
Параметры самой пирамиды, как объемного тела, такие как боковое ребро и апофема пирамиды вычисляются через теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике с высотой во внутреннем пространстве пирамиды. Вторым катетом прямоугольного треугольника с апофемой является радиус вписанной окружности, а катетом треугольника с боковым ребром – радиус описанной окружности основания. (рис.34.4,34.5) l=√(h^2+r^2 )=√(h^2+(a/(2 tan〖(180°)/n〗 ))^2 ) b=√(h^2+R^2 )=√(h^2+(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 )
Угол между апофемой и основанием рассчитывается как отношение синуса – высоты к радиусу вписанной окружности, а угол между боковым ребром и основанием аналогично – высоты к радиусу описанной окружности, из тех же прямоугольных треугольников. sinα=h/r=(2h tan〖(180°)/n〗)/a sinβ=h/R=(2h sin〖(180°)/n〗)/a
Зная апофему и сторону основания пирамиды, можно найти площадь боковой поверхности, а затем площадь полной поверхности пирамиды. S_(б.п.)=lan/2 S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan〖(180°)/n〗 ))
Объем пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту, таким образом, зная высоту и сторону основания пирамиды, вычислить ее объем можно, подставив соответствующее выражение вместо площади основания. V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 h)/(12 tan〖(180°)/n〗 )
В любую правильную пирамиду (в основании которой лежит правильный многоугольник) можно вписать сферу, а также описать сферу около нее. Радиусы вписанной и описанной сфер зависят не только от высоты и стороны основания, но и от объема пирамиды, площади полной поверхности и бокового ребра пирамиды, поэтому для их вычисления необходимо произвести алгебраические преобразования формул. (рис.34.6,34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =ah/(tan〖(180°)/n〗 (2l+a/tan〖(180°)/n〗 ) ) R_1=b^2/2h=(h^2+(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2)/2h
geleot.ru
Площадь треугольной пирамиды — формула, пример расчета
Треугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник. 
В такой пирамиде грани основания и ребра боковых сторон равны между собой. Соответственно площадь боковых граней находится из суммы площадей трех одинаковых треугольников. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно по формуле площади равностороннего треугольника. А можно произвести расчет в несколько раз быстрее. Для этого необходимо применить формулу площади боковой поверхности треугольной пирамиды:
где p – периметр основания, у которого все стороны равны b, a – апофема, опущенная из вершины к этому основанию. Рассмотрим пример расчета площади треугольной пирамиды.
Задача: Пусть дана правильная пирамида. Сторона треугольника, лежащего в основании равна b = 4 см. Апофема пирамиды равна a = 7 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.Так как по условиям задачи мы знаем длины всех необходимых элементов, найдем периметр. Помним, что в правильном треугольнике все стороны равны, а, следовательно, периметр рассчитывается по формуле:
Подставим данные и найдем значение:
Теперь, зная периметр, можем рассчитывать площадь боковой поверхности:
Чтобы применить формулу площади треугольной пирамиды для вычисления полного значения, необходимо найти площадь основания многогранника. Для этого используется формула площади правильного треугольника:
Формула площади основания треугольной пирамиды может быть и другой. Допускается применение любого расчета параметров для заданной фигуры, но чаще всего это не требуется. Рассмотрим пример расчета площади основания треугольной пирамиды.
Задача: В правильной пирамиде сторона лежащего в основании треугольника равняется a = 6 см. Рассчитайте площадь основания.Для вычисления нам требуется только длина стороны правильного треугольника, располагающегося в основании пирамиды. Подставим данные в формулу:
Довольно часто требуется найти полную площадь многогранника. Для этого потребуется сложить площадь боковой поверхности и основания.
Рассмотрим пример расчета площади треугольной пирамиды.
При расчете площади правильной пирамиды стоит не забывать о том, что в основании лежит правильный треугольник и многие элементы этого многогранника равны между собой.
2mb.ru
Ребро и сторона основания правильной пирамиды
Сторона основания пирамиды является стороной правильного многоугольника, исходя из этого, можно найти все параметры пирамиды, связанные с основанием, воспользовавшись формулами для правильных многоугольников. P=n(a+b) S=(na^2)/(4 tan〖(180°)/n〗 )
Чтобы найти радиус окружности, вписанной в основание правильной пирамиды, нужно разделить сторону основания на два тангенса из 180 градусов, деленных на количество сторон в основании. (рис.34.1) r=a/(2 tan〖(180°)/n〗 )
Радиус окружности, описанной вокруг основания правильной пирамиды, равен отношению стороны основания к двум синусам того же угла. (рис.34.2) R=a/(2 sin〖(180°)/n〗 )
Угол γ между сторонами правильного многоугольника, заложенного в основание пирамиды, легко найти, умножив 180 градусов на количество сторон многоугольника без двух, и деленное на полное количество сторон. (рис.34.3) γ=180°(n-2)/n
Зная боковое ребро в совокупности со стороной основания, можно вычислить высоту пирамиды и ее апофему из прямоугольных треугольников, которые они образуют. (рис.34.5, 35.1) h=√(b^2-R^2 )=√(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ) l=√(b^2-a^2/4)
Косинус угла между боковым ребром и основанием будет равен отношению радиуса окружности, описанной вокруг основания, к боковому ребру пирамиды, а косинус угла между апофемой и основанием – отношению радиуса вписанной в основание окружности к апофеме. (рис.34.4,34.5) cosα=R/b=a/(2b sin〖(180°)/n〗 ) cosβ=r/l=a/(2 tan〖(180°)/n〗 √(b^2-a^2/4))
Площадь боковой поверхности пирамиды складывается из площадей треугольников, являющихся ее гранями, каждая из которых равна половине произведения апофемы на сторону основания, а площадь полной поверхности представляет собой сумму площади боковой поверхности и площади основания. S_(б.п.)=lan/2=(√(b^2-a^2/4) an)/2 S_(п.п.)=an(l/2+a/(4 tan〖(180°)/n〗 ))=an(√(b^2-a^2/4)/2+a/(4 tan〖(180°)/n〗 ))
Чтобы найти объем пирамиды, необходимо вычислить треть от произведения ее высоты на площадь основания, последовательно подставив выражения для площади и высоты в формулу. V=1/3 S_(осн.) h=(na^2 √(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(12 tan〖(180°)/n〗 )
Радиус сферы, которая может быть вписана в пирамиду, равен трем объемам, деленным на площадь полной поверхности пирамиды, а радиус сферы, описанной вокруг пирамиды – квадрату бокового ребра, деленному на две высоты. (рис.34.6,34.7) r_1=3V/S_(п.п.) =(a√(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ))/(tan〖(180°)/n〗 (2√(b^2-a^2/4)+a/tan〖(180°)/n〗 ) ) R_1=b^2/2h=b^2/(2√(b^2-(a/(2 sin〖(180°)/n〗 ))^2 ))
geleot.ru
Как вычислить площадь пирамиды: основания, боковую и полную?
При подготовке к ЕГЭ по математике учащимся приходится систематизировать знания по алгебре и геометрии. Хочется объединить все известные сведения, например, о том, как вычислить площадь пирамиды. Причем начиная от основания и боковых граней до площади всей поверхности. Если с боковыми гранями ситуация ясна, так как они являются треугольниками, то основание всегда разное.
Как быть при нахождении площади основания пирамиды?
Оно может быть совершенно любой фигурой: от произвольного треугольника до n-угольника. И это основание, кроме различия в количестве углов, может являться правильной фигурой или неправильной. В интересующих школьников заданиях по ЕГЭ встречаются только задания с правильными фигурами в основании. Поэтому речь будет идти только о них.
Правильный треугольник
То есть равносторонний. Тот, у которого все стороны равны и обозначены буквой «а». В этом случае площадь основания пирамиды вычисляется по формуле:
S = (а2 * √3) / 4.
Квадрат
Формула для вычисления его площади самая простая, здесь «а» — снова сторона:
S = а2.
Произвольный правильный n-угольник
У стороны многоугольника то же обозначение. Для количества углов используется латинская буква n.
S = (n * а2) / (4 * tg (180º/n)).
Как поступить при вычислении площади боковой и полной поверхности?
Поскольку в основании лежит правильная фигура, то все грани пирамиды оказываются равными. Причем каждая из них является равнобедренным треугольником, поскольку боковые ребра равны. Тогда для того, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды, потребуется формула, состоящая из суммы одинаковых одночленов. Число слагаемых определяется количеством сторон основания.
Площадь равнобедренного треугольника вычисляется по формуле, в которой половина произведения основания умножается на высоту. Эта высота в пирамиде называется апофемой. Ее обозначение — «А». Общая формула для площади боковой поверхности выглядит так:
S = ½ Р*А, где Р — периметр основания пирамиды.
Бывают ситуации, когда не известны стороны основания, но даны боковые ребра (в) и плоский угол при ее вершине (α). Тогда полагается использовать такую формулу, чтобы вычислить боковую площадь пирамиды:
S = n/2 * в2 sin α.
Задача № 1
Условие. Найти общую площадь пирамиды, если в его основании лежит равносторонний треугольник со стороной 4 см, а апофема имеет значение √3 см.
Решение. Его начинать нужно с расчета периметра основания. Поскольку это правильный треугольник, то Р = 3*4 = 12 см. Поскольку апофема известна, то можно сразу вычислить площадь всей боковой поверхности: ½*12*√3 = 6√3 см2.
Для треугольника в основании получится такое значение площади: (42*√3) / 4 = 4√3 см2.
Для определения всей площади потребуется сложить два получившихся значения: 6√3 + 4√3 = 10√3 см2.
Ответ. 10√3 см2.
Задача № 2
Условие. Имеется правильная четырехугольная пирамида. Длина стороны основания равна 7 мм, боковое ребро — 16 мм. Необходимо узнать площадь ее поверхности.
Решение. Поскольку многогранник — четырехугольный и правильный, то в его основании лежит квадрат. Узнав площади основания и боковых граней, удастся сосчитать площадь пирамиды. Формула для квадрата дана выше. А у боковых граней известны все стороны треугольника. Поэтому можно использовать формулу Герона для вычисления их площадей.
Первые расчеты просты и приводят к такому числу: 49 мм2. Для второго значения потребуется вычислить полупериметр: (7 + 16*2):2 = 19,5 мм. Теперь можно вычислять площадь равнобедренного треугольника: √(19,5*(19,5-7)*(19,5-16)2) = √2985,9375 = 54,644 мм2. Таких треугольников всего четыре, поэтому при подсчете итогового числа потребуется его умножить на 4.
Получается: 49 + 4*54,644 = 267,576 мм2.
Ответ. Искомое значение 267,576 мм2.
Задача № 3
Условие. У правильной четырехугольной пирамиды необходимо вычислить площадь. В ней известна сторона квадрата — 6 см и высота — 4 см.
Решение. Проще всего воспользоваться формулой с произведением периметра и апофемы. Первое значение найти просто. Второе немного сложнее.
Придется вспомнить теорему Пифагора и рассмотреть прямоугольный треугольник. Он образован высотой пирамиды и апофемой, которая является гипотенузой. Второй катет равен половине стороны квадрата, поскольку высота многогранника падает в его середину.
Искомая апофема (гипотенуза прямоугольного треугольника) равна √(32 + 42) = 5 (см).
Теперь можно вычислять искомую величину: ½*(4*6)*5+62 = 96 (см2).
Ответ. 96 см2.
Задача № 4
Условие. Дана правильная шестиугольная пирамида. Стороны ее основания равны 22 мм, боковые ребра — 61 мм. Чему равна площадь боковой поверхности этого многогранника?
Решение. Рассуждения в ней такие же, как были описаны в задаче №2. Только там была дана пирамида с квадратом в основании, а теперь это шестиугольник.
Первым делом вычисляется площадь основания по указанной выше формуле: (6*222) / (4*tg (180º/6)) = 726/(tg30º) = 726√3 см2.
Теперь необходимо узнать полупериметр равнобедренного треугольника, который является боковой гранью. (22+61*2):2 = 72 см. Осталось по формуле Герона сосчитать площадь каждого такого треугольника, а потом умножить ее на шесть и сложить с той, что получилась для основания.
Расчеты по формуле Герона: √(72*(72-22)*(72-61)2)=√435600=660 см2. Вычисления, которые дадут площадь боковой поверхности: 660*6 = 3960 см2. Осталось их сложить, чтобы узнать всю поверхность: 5217,47≈5217 см2.
Ответ. Основания — 726√3 см2, боковой поверхности — 3960 см2, вся площадь — 5217 см2.
fb.ru