Точки экстремума функции, необходимые и достаточные условия экстремума

Содержание:

Определение

Точка $x_{0}$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство: $f(x) \leq f\left(x_{0}\right)$.

Точка $x_{0}$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f(x) \geq f\left(x_{0}\right)$.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума — локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка $x_{0}$ называется точкой строгого локального максимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство $f(x) \lt f\left(x_{0}\right)$.

{2}+1}=-1$.

Ответ. $y_{\min }=y(0)=-1$

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Что подразумевается под понятием «экстремум»?

Экстремум представляет собой значение функции на определенном интервале в момент достижения им минимального или максимального показания. Под понятием «экстремумы» или по-другому минимумы/максимумы подразумевается значение функции (у).

Точка экстремума – что это такое?

Если в определенной точке достигается экстремум или, иными словами, максимальное/минимальное значение функции на заданном интервале, то эта точка носит название точки экстремума. Из этого следует, что при достижении минимума, точка экстремума будет названа точкой минимума, и, наоборот, при достижении максимума эта точка будет называться точкой максимума. В случае, когда указываются точки экстремумов (или минимумов/максимумов) подразумеваются иксы, в которых достигаются минимальные или максимальные значения.

Что имеется в виду под понятием «точка минимума функции»?

Любая точка x₀ будет определена в качестве точки минимума функции y = f(x) при соблюдении условия о том, что имеется такая V, представляющая собой окрестность (x₀ — V; x₀+V) упомянутой ранее точки, из которой для каждого значения x x₀ действительно следующее неравенство:

f(x)>f(x₀).

Как описать точку минимума функции?

Под понятием «минимум функции» имеется в виду та точка на ней, в которой функция имеет значение, являющееся наименьшим среди всех значений, приобретаемых ею в любой из других соседних точек. Другими словами, это означает, что в случае, когда функция, достигнув определенной точки, прекращает падать, а, наоборот, наблюдается ее рост, то данная точка и представляет собой точку ее минимума.

Каким образом можно вычислить значение функции y=x⁴-4x³+6x²-4x, которого она достигает в точке своего минимума?

Для ответа на поставленный вопрос нужно отыскать точку минимума указанной функции, в которой ее значение перестает падать. Это можно сделать следующим образом:

y’ = 4x³ — 12x² + 12x – 4

Предположив, что минимальное значение данной функции равно 0, можно переписать равенство в следующем виде:

4x³ — 12x² + 12x — 4 = 0

Сократим данное уравнение на 4:

x³ — 3x² + 3x — 1 = 0

Получившееся равенство также может быть записано в следующем виде после перемены местами слагаемых:

(x³ — 1) + (-3x² + 3x) = 0

Распишем слагаемые в ином виде, чтобы избавиться от третьей степени:

(x — 1)(x² + x + 1) -3x(x — 1) = 0

Это же уравнение может выглядеть так:

(x -1)(x² + x + 1- 3x) = 0

Произведем сложение слагаемых х и -3х:

(x — 1) (x² -2x + 1) = 0

Теперь для упрощения можно переписать уравнение в таком виде:

(x — 1)(x-1)² = 0

Получившееся равенство:

(x — 1)³ = 0

В этом случае х = 1

-∞ 1 +∞

Знаками «+» и «-» обозначены значения производной.

После проведенных вычислений было установлено, что х = 1, что является точкой минимума функции:

у = 1⁴- 4*1³ + 6*1² — 4*1 = 1 — 4 +6 — 4 = -1

Какие расчеты нужно произвести, для того чтобы вычислить точку максимума для функции y = -x/x²+484?

Точкой максимума называется то значение х, достигнув которого, производная начинает менять свой знак с плюса на минус. Зная это, можно перейти к поиску точки максимума для функции, указанной в задании.

Для этого нужно начать с поиска производной, используя следующую формулу:

(U/V)’ = (U’V — UV’)/V²

Подставляем приведенные в задании значения и получаем:

y’ = (-(x² + 484) — 2x)/(x² + 484)² = (-x²-484 -2x)/(x² +484)²

Теперь следует приравнять производную к 0 и начать решать получившееся уравнение:

(-x²-484 -2x)/(x² +484)² = 0

Упростим уравнение и получим:

(-x²-484 -2x) = 0

(x² +484)² ≠ 0

-x²-484 -2x = 0

Избавимся от минусов в уравнении:

x² + 2x +484 = 0

D

В результате вычислений стало ясно, что корней нет.

Это значит, что невозможно поставить их на числовой прямой, для того чтобы проверить знаки производной по соседству с этими точками. На основании этого можно сделать вывод о том, что указанная в задании функция не имеет точек экстремума.

Что представляет собой точка максимума функции?

Под точкой максимума функции понимается та точка, в которой она достигает значения, являющегося наибольшим среди тех значений, что достигаются ею в соседних точках. Это означает, что в точке, при пересечении которой функция прекращает расти, и наблюдается ее падение, и достигается ее максимум.

Имеется график производной функции. Каким образом можно вычислить точки ее максимума и минимума?

В случае, если имеется график производной функции, и при этом требуется определить ее экстремумы, то необходимо вычислить точки пересечения этого графика производной с осью Ох.

По-другому они называются «нулями» производной. В случае, когда, пересекая конкретную точку, график производной восходит из области со знаком «-» в область со знаком «+», и в это время производная меняет свой знак на противоположный, функция также изменяется с убывания на рост. В этом случае данная точка, которая пересекается графиком производной, представляет собой точку минимума. Если же при пересечении графиком производной какой-либо точки он идет из положительной в отрицательную область, а функция из возрастания меняется на убывание, то речь идет о точке ее максимума.

Как можно вычислить экстремумы и точки экстремума функции y=4x⁴+2x²+1?

Для того чтобы найти ответ на поставленный вопрос, сначала нужно приравнять функцию к 0:

у = 0

Это же означает, что:

4X⁴ + 2X² + 1 = 0

Введем обозначения:

Х2 = А, при этом А больше 0.

С учетом введенных обозначений равенство будет иметь следующий вид:

4A² + 2A + 1 = 0

D = 4 — 4 = 0 ; √ D = 0

A = (- 2) : 4 = (- 0,5) (

Очевидно, что корней нет.

Ответ: х = 0, у = 1.

Дана функция y = x² -3x+2. Как можно вычислить экстремум этой функции?

Имеется функция y = x² -3x+2, которую также можно переписать в следующем виде:

у = -0,25+ (x-1,5)²

Отсюда следует, что:

miny = — 0,25 при условии, что х-1,5 = 0

Можно сделать вывод о том, что х = 1,5.

Запишем производную данной функции:

y ‘= (x² -3x+2)’ =2x -3

А затем приравняем ее к 0:

y ‘ = 0, значит:

2x -3 = 0.

Это позволяет сделать вывод о том, что:

x = 3/2.

Получается, что, если x

Если же x >3/2, то производная y’ > 0, и в этом случае функция возрастает.

x =3/2=1,5 – это единственная точка экстремума, которая является точкой минимума.

miny =(1,5)² -3*1,5+2 = -0,25.

Как раскрыть понятие «критическая точка функции»?

Критическая точка функции представляет собой ту точку, при пересечении с которой производная данной функции становится равной 0, либо она вовсе не существует.

Возможно ли привести доказательства того, что функция f(x) =2x — 3/x не может иметь критической точки?

Для начала нужно определить, что под критической точкой функции подразумевается та точка, при пересечении с которой производная приобретает нулевое значение, либо же эта производная просто не существует в этой точке, что означает, что функцию в данной точке невозможно дифференцировать.

Проверим, применимо ли это утверждение к упомянутой в задании функции:

f ‘(x) =(sin2x — 3x)’ = 2sin2x-3

Приравняем производную функции к 0:

f ‘(x) = 0, это значит, что 2sin2x-3 = 0.

Следовательно:

sin2x= 3 2 не имеет решения

Ответ: заданная функция не имеет критических точек и существует при любых х.

Каким способом можно определить критические точки функции y=|x|/1+x²?

Под критическими точками функции понимаются те точки, в которых ее производная равна 0 или вовсе не существует.

В задании дана функция:

y=|x|/(1+x²)

Предположим, что x

y=-x/(1+x²)

Запишем производную функции и приравняем ее к 0:

y`=(-1-x²+2x²)/(1+x²)²=(x²-1)/(1+x²)²=(x-1)(x+1)/(1+x²)²=0

х = 1 не соответствует условию, значит х = -1.

Теперь предположим, что x≥0.

Снова записываем производную имеющейся функции и приравниваем ее к 0:

y`=(1+x²-2x²)/(1+x²)²=(1-x²)/(1+x²)²=(1-x)(x+1)/(1+x²)²=0

х = — 1 не отвечает условию, значит х = 1.

Ответ: х = 1, х = -1.

Читать дальше: наибольшее и наименьшее значение функции.

Максимумы, минимумы и экстремумы функций

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Минимумы и максимумы вместе именуют

экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. \(y\). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, \(-5\) точка минимума (или точка экстремума), а \(1\) – минимум (или экстремум).

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\). Количество точек экстремума функции – \(5\).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось \(x\)).

         

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.

— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди \(-13\), \(-11\), \(-9\),\(-7\) и \(3\).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Начнем с \(-13\): до \(-13\) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что \(-13\) – точка максимума.

\(-11\): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что \(-11\) – это минимум.

\(- 9\): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

\(-7\): минимум.

\(3\): максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.

— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

1. Найдите производную функции \(f'(x)\). 
2. Найдите корни уравнения \(f'(x)=0\). 
3. Нарисуйте ось \(x\) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью \(f'(x)\), а под осью \(f(x)\).
4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов). 
5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью). 
6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(+\)» на «\(-\)», то \(x_1\) – точка максимума;
   — если \(f’(x)\) изменила знак с «\(-\)» на «\(+\)», то \(x_3\) – точка минимума;
   — если \(f’(x)\) не изменила знак, то \(x_2\) – может быть точкой перегиба. 2-4=0\)
                  \(x=±2\)

   3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

   
   

   Теперь очевидно, что точкой максимума является \(-2\).

   Ответ. \(-2\).

   Смотрите также:
   Связь функции и её производной | 7 задача ЕГЭ
   Разбор задач на поиск экстремумов, минимумов и максимумов

   
   Скачать статью

   Точки экстремума на графике производной

   Рассмотрим примеры заданий из №7 ЕГЭ, в которых нужно найти точки экстремума на графике производной.

   Точка x_o, в которой существует производная f'(x_o), является точкой экстремума функции f(x), если производная в этой точке равна нулю и при переходе через x_o производная меняет свой знак.

   Отсюда следует, что в точках экстремума функции график производной должен не просто касаться оси Ox, он должен её пересекать.

   №1

   На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-6;7). Найти точку экстремума функции f(x) на отрезке [-2;5].

   
   Решение:

   На рисунке изображён график производной (а не график функции)!

   В точках экстремума функции производная f'(x) равна нулю и меняет знак.

   Выделяем отрезок [-2;5]. Точка, в которой производная равна нулю и меняет знак —  это точка с абсциссой 3.

   Значит x=3 — точка экстремума функции y=f(x).

   Ответ: 3.

   №2

   На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-9;5). Найти количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [6-;4].

   Решение:

    

   Выделяем отрезок [-6;4].

   На этом отрезке график производной пересекает ось абсцисс в трёх точках.

   Следовательно, на отрезке [-6;4] функция f(x) имеет три точки экстремума.

   Ответ: 3.

    

    

    

   №3

   На рисунке изображён график производной функции f(x), определённой на интервале (-7;7). Найти количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [-5;6].

    

   Решение:

   Выделяем отрезок [-5;6].

   На этом отрезке график производной пересекает ось абсцисс в четырёх точках. Значит, функция f(x) имеет на отрезке [-5;6] четыре точки экстремума.

   Точка, в которой производная равна нулю, но знак не меняет (график производной коснулся оси Ox, но не пересёк её), не является точкой экстремума.

   Ответ: 4.

   Важно внимательно читать условие, чтобы не перепутать нахождение точек экстремума по графику производной с заданием на нахождение точек экстремума по графику функции!

   Экстремумы функции, максимум и минимум

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ

   Экстремумами (максимумами и минимумами) функции называются значения функции в точках максимума и минимума.

   Точки экстремума функции

   Говорят, что в точке максимум (минимум), если существует такая -окрестность точки — , что для всех из этой окрестности, отличных от выполняется неравенство .

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ

   Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

   ОПРЕДЕЛЕНИЕ Точки области определения, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками.

   Необходимое условие существования экстремума функции. Пусть функция дифференцируема в промежутке . Если в некоторой точке функция имеет экстремум, то в этой точке производная равна нулю: .

   Достаточное условие существования экстремума функции. Если производная функции равна нулю в точке и при переходе через эту точку в сторону возрастания меняет знак с «+» («-») на «-» («+»), то в точке функция имеет максимум (минимум). Если же при переходе через точку производная функции не меняет знак, то в этой точке функция экстремума не имеет.

   Для исследования функции на экстремум необходимо:

   1. найти критические точки функции;
   2. проверить, изменяет ли знак производная функции при переходе через критическую точку;
   3. вычислить значения максимума или минимума .

   Примеры исследования функции на экстремум

   ПРИМЕР 1

   Задание	Найти экстремум функции
   Решение	Найдем критические точки функции, для этого вычислим производную заданной функции     приравняем её к нулю и найдем корни полученного квадратного уравнения     Получили две критические точки . Обозначим найденные корни на числовой оси и определим знак производной на полученных интервалах. В точке производная меняет знак с «+» на «-», значит в этой точке максимум. Вычислим значение максимума     В точке производная меняет знак с «-» на «+», значит, — точка минимума. Значение минимума соответственно равно
   Ответ

   ПРИМЕР 2

   Задание	Найти экстремум функции
   Решение	Область определения функции — вся числовая прямая, за исключением точки , то есть . Вычислим производную заданной функции и найдем критические точки     Приравниваем к нулю производную     Получаем одну критическую точку . Обозначим на числовой оси область определения функции и найденную критическую точку и определим знак производной на полученных интервалах В точке производная меняет знак с «-» на «+», значит, в этой точке минимум. Значение минимума соответственно равно
   Ответ

   Читайте также:

   Монотонность функции

   Нули функции

   Наибольшее и наименьшее значение функции

   Точки перегиба функции

   Промежутки выпуклости и вогнутости функции

   Исследование функции

   Экстремумы функции одного переменного — Документ

   Экстремумы функции одного переменного

   Пусть — область определения функции и точка .

   Определение 1. Число М называется локальным максимумом функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из нее выполняется неравенство . При этом М=, а сама точка называется точкой локального максимума.

   Определение 2. Число m называется локальным минимумом функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из нее выполняется неравенство . При этом m=, а сама точка называется точкой локального минимума.

   Определение 3. Локальный максимум и локальный минимум называются локальными экстремумами. Соответствующая точка называется точкой локального экстремума.

   Теорема Ферма. Если функция имеет производную в точке и достигает в этой точке локального экстремума, то

   Определение 4. Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками.

   Замечание. Функция может иметь экстремум и в точке, где эта функция не имеет производной. Например, — точка минимума функции , а не существует.

   Определение 5. Точки, в которых функция имеет производную, равную нулю, или не является дифференцируемой, называют критическими точками.

   Для того, чтобы точка была точкой экстремума функции , необходимо, чтобы являлась критической точкой данной функции.

   Теорема 1. (достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума) Пусть функция дифференцируема на множестве , — стационарная точка функции и . Тогда:

   1) если при переходе через точку производная функции меняет знак с “плюса” на “минус”, т. е. слева от точки и <0 справа от точки , то — точка локального максимума функции ;

   2) если при переходе через точку производная функции меняет знак с “минуса” на “плюс”, то — точка локального минимума функции .

   Теорема 2. (достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума) Пусть функция дифференцируема на множестве , — стационарная точка функции и эта функция имеет вторую непрерывную производную в окрестности точки . Тогда:

   1) если <0, то — точка локального максимума функции ;

   2) если >0, то — точка локального минимума функции .

   Схема для решения задач на определение экстремума функций.

   1. Установить область определения функции .

   2. Найти её первую производную.

   3. Найти стационарные точки функции , т.е. решить уравнение =0, и точки, в которых не определена.

   4. Определить знак производной на числовых интервалах, на которые стационарные и критические точки разбили область определения. Оформить следует в виде таблицы или числовой прямой (см. пример1).

   Пример1. Найти экстремумы функции .

   Решение. Данная функция определена для всех действительных чисел, ее производная имеет вид и также определена при всех x. Из уравнения находим стационарные точки: , . Найденные стационарные точки разбивают область определения функции на интервалы: (−, −1) (−1, 1) (1, + ). Составляем таблицу для числовых интервалов и определяем знак производной. Для этого, наряду с другими способами, можно ограничиться вычислением значения производной в промежуточных точках полученных интервалов. Например, , , . Данные собираем в таблицу:

   X		–1		1
   Знак	—	0	+	0	—
   Вывод		т. мин.		т. макс.

   Или можно оформить в виде числовой прямой:

   Ответ. , .

   2. Наибольшее и наименьшее значения функции одного переменного на числовом отрезке

   Пусть функция непрерывна на числовом отрезке [a;b] и имеет несколько критических точек на этом отрезке. Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на числовом отрезке [a;b] удобно придерживаться следующей схемы рассуждений.

   1. Найти первую производную функции .

   2. Найти стационарные и критические точки и выбрать те из них, которые попадают в отрезок [a;b].

   3. Найти значения функции в этих точках.

   4. Найти значения функции в точках =a и =b.

   5. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

   Замечание. Нет необходимости выяснять характер стационарных точек, если стоит задача найти только наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a;b].

   Ответ записывается в виде найденных числовых значений: и .

   Пример2. Найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке [1;4].

   Решение. , причем производная определена всюду, критических точек нет. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем производную к нулю: . Итак, и — стационарные точки. При этом , а , поэтому последняя точка нас не интересует. Сравниваем значения исходной функции в выбранной точке и на концах отрезка:

   ; ; .

   Ответ. , .

   3. Наибольшее и наименьшее значения функции одного переменного на интервале

   При решении задач, связанных с определением наибольшего (наименьшего) значений функции на открытом числовом интервале (в частности, при решении прикладных задач) используется следующее утверждение.

   Пусть функция определена на открытом числовом интервале (a;b) и имеет на нём единственную стационарную точку .

   Если — точка локального максимума, то =; если — точка локального минимума, то =.

   Пример3. Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

   Решение. Пусть первый множитель равен , тогда второй множитель равен . Сумма этих чисел равна . По условию задачи − положительное число. Таким образом, задача свелась к нахождению такого значения , при котором функция принимает наименьшее значение на интервале . Найдём производную:

   .

   Стационарные точки = 6 и = −6. На интервале >0 есть только одна стационарная точка = 6. При переходе через точку = 6 производная меняет знак с “−” на “+”, и поэтому = 6 − точка локального минимума. Следовательно, наименьшее значение на интервале >0 функция принимает в точке = 6: .

   Ответ. 36= 6·6.

   Пример4. Найти наибольшее (или наименьшее) значение функции на интервале (−2; 0).

   Решение. Производная ; причем она определена на интервале (−2; 0) и не имеет здесь критических точек. Чтобы найти стационарные точки, приравниваем производную к нулю: , т. е. . Решая уравнение , находим стационарные точки: = −1. Определяем знак производной:

   Так как = −1 − это точка локального максимума, то .

   Ответ. .

   Экстремумы функции

   Обратимся  к графику функции у = х³ – 3х². Рассмотрим окрестность точки х = 0, т.е. некоторый интервал, содержащий эту точку. Логично, что существует такая окрестность точки х = 0, что наибольшее значение функция у = х³ – 3х² в этой окрестности принимает в точке х = 0. Например, на интервале (-1; 1) наибольшее значение, равное 0, функция принимает в точке х = 0. Точку х = 0 называют точкой максимума этой функции.

   Аналогично, точка х = 2 называется точкой минимума функции х³ – 3х², так как в этой точке значение функции не больше ее значения в иной точке окрестности точки х = 2, например, окрестности (1,5; 2,5).

   Таким образом, точкой максимума функции f(х) называется точка х₀, если существует окрестность точки х₀ – такая, что выполняется неравенство f(х) ≤ f(х₀) для всех х из этой окрестности.

   Например, точка х₀ = 0 – это точка максимума функции f(х) = 1 – х², так как f(0) = 1 и верно неравенство f(х) ≤ 1 при всех значениях х.

   Точкой минимума функции f(х) называется точка х₀, если существует такая окрестность точки х₀, что выполняется неравенство f(х) ≥ f(х₀) для всех х из этой окрестности.

   Например, точка х₀ = 2 – это точка минимума функции f(х) = 3 + (х – 2)², так как f(2) = 3 и f(х) ≥ 3 при всех х.

   Точками экстремума называются точки минимума и точки максимума.

   Обратимся к функции f(х), которая определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в этой точке производную.

   Если х₀ – точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f ‘(х₀) = 0. Это утверждение называют теоремой Ферма.

   Теорема Ферма имеет наглядный геометрический смысл: в точке экстремума касательная параллельна оси абсцисс и поэтому ее угловой коэффициент
   f ‘(х₀) равен нулю.

   Например, функция f(х) = 1 – 3х² имеет в точке х₀ = 0 максимум, ее производная f ‘(х) = -2х, f ‘(0) = 0.

   Функция f(х) = (х – 2)² + 3 имеет минимум в точке х₀ = 2, f ‘(х) = 2(х – 2), f ‘(2) = 0.

   Отметим, что если f ‘(х₀) = 0, то этого недостаточно, чтобы утверждать, что х₀ – это обязательно точка экстремума функции f(х).

   Например, если f(х) = х³, то f ‘(0) = 0. Однако точкой экстремума точка х = 0 не является, так как на всей числовой оси функция х³ возрастает.

   Итак, точки экстремума дифференцируемой функции необходимо искать лишь среди корней уравнения
   f ‘(х) = 0, но корень этого уравнения не всегда является точкой экстремума.

   Стационарными точками называют точки, в которых производная функции равна нулю.

   Таким образом, для того, чтобы точка х₀ была точкой экстремума, необходимо, чтобы она была стационарной точкой.

   Рассмотрим достаточные условия того, что стационарная точка является точкой экстремума, т.е. условия, при выполнении которых стационарная точка является точкой минимума или максимума функции.

   Если производная левее стационарной точки положительна, а правее – отрицательна, т.е. производная меняет знак «+» на знак «–» при переходе через эту точку, то эта стационарная точка – это точка максимума.

   Действительно, в данном случае левее стационарной точки функция возрастает, а правее – убывает, т.е. данная точка – это точка максимума.

   Если производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через стационарную точку, то эта стационарная точка является точкой минимума.

   Если производная знак не меняет при переходе через стационарную точку, т.е. слева и справа от стационарной точки производная положительна или отрицательна, то эта точка не является точкой экстремума.

   Рассмотрим одну из задач. Найти точки экстремума функции f(х) = х⁴ – 4х³.

   Решение.

   1) Найдем производную: f ‘(х) = 4х³ – 12х² = 4х² (х – 3).

   2) Найдем стационарные точки: 4х²(х – 3) = 0, х₁ = 0, х₂ = 3.

   3) Методом интервалов устанавливаем, что производная f ‘(х) = 4х²(х – 3) положительна при х > 3, отрицательна при х < 0 и при 0 < х < 3.

   4) Так как при переходе через точку х₁ = 0 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремума.

   5) Производная меняет знак «–» на знак «+» при переходе через точку х₂ = 3. Поэтому х₂ = 3 – точка минимума.

   © blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

   Алгебра – 10 класс.

   Точки экстремумов функций

   Дата публикации: 09 апреля 2017.

   Урок на тему: «Нахождение точек экстремумов функций. Примеры»

   Дополнительные материалы
   Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

   ---

   
   Скачать: Нахождение точек экстремумов функций (PDF)

   ---

   
   

   Что будем изучать:
   1. Введение.
   2. Точки минимума и максимума.
   3. Экстремум функции.
   4. Как вычислять экстремумы?
   5. Примеры.

   Введение в экстремумы функций

   Ребята, давайте посмотрим на график некоторой функции:

   Заметит, что поведение нашей функции y=f (x) во многом определяется двумя точками x1 и x2. Давайте внимательно посмотрим на график функции в этих точках и около них. До точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и сразу после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 функция опять перегибается, и после этого — опять возрастает. Точки x1 и x2 пока так и будем называть точками перегиба. Давайте проведем касательные в этих точках:

   Касательные в наших точках параллельны оси абсцисс, а значит, угловой коэффициент касательной равен нулю. Это значит, что и производная нашей функции в этих точках равна нулю.

   Посмотрим на график вот такой функции:

   Касательные в точках x2 и x1 провести невозможно. Значит, производной в этих точках не существует. Теперь посмотрим опять на наши точки на двух графиках. Точка x2 — это точка, в которой функция достигает наибольшего значения в некоторой области (рядом с точкой x2). Точка x1 — это точка, в которой функция достигает своего наименьшего значения в некоторой области (рядом с точкой x1).

   Точки минимума и максимума

   Определение: Точку x= x0 называют точкой минимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≥ f(x0).

   Определение: Точку x=x0 называют точкой максимума функции y=f(x), если существует окрестность точки x0, в которой выполняется неравенство: f(x) ≤ f(x0).

   Ребята, а что такое окрестность?

   Определение: Окрестность точки — множество точек, содержащее нашу точку, и близкие к ней.

   Окрестность мы можем задавать сами. Например, для точки x=2, мы можем определить окрестность в виде точек 1 и 3.

   Вернемся к нашим графикам, посмотрим на точку x2, она больше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка максимума. Теперь посмотрим на точку x1, она меньше всех других точек из некоторой окрестности, тогда по определению — это точка минимума.

   Ребята, давайте введем обозначения:

   y_min — точка минимума,
   y_max — точка максимума.

   Важно! Ребята, не путайте точки максимума и минимума с наименьшим и наибольшим значение функции. Наименьшее и наибольшее значения ищутся на всей области определения заданной функции, а точки минимума и максимума в некоторой окрестности.

   Экстремумы функции

   Для точек минимума и максимума есть общей термин – точки экстремума.

   Экстремум (лат. extremum – крайний) – максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума.

   Соответственно, если достигается минимум – точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум – точкой максимума.

   Как же искать экстремумы функции?

   Давайте вернемся к нашим графикам. В наших точках производная либо обращается в нуль (на первом графике), либо не существует (на втором графике).

   Тогда можно сделать важное утверждение: Если функция y= f(x) имеет экстремум в точке x=x0, то в этой точке производная функции либо равна нулю, либо не существует.

   Точки, в которых производная равна нулю называются стационарными.

   Точки, в которых производной функции не существует, называются критическими.

   
   

   Как вычислять экстремумы?

   Ребята, давайте опять вернемся к первому графику функции:

   Анализируя этот график, мы говорили: до точки x2 функция возрастает, в точке x2 происходит перегиб, и после этой точки функция убывает до точки x1. В точке x1 у функции опять перегибается, и после этого функция опять возрастает.

   На основании таких рассуждений, можно сделать вывод, что функция в точках экстремума меняет характер монотонности, а значит и производная функция меняет знак. Вспомним: если функция убывает, то производная меньше либо равно нулю, а если функция возрастает, то производная больше либо равна нулю.

   Обобщим полученные знания утверждением:

   Теорема: Достаточное условие экстремума: пусть функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке Х и имеет внутри промежутка стационарную или критическую точку x= x0. Тогда:

   • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x x0 выполняется f’(x)>0, то точка x0 – точка минимума функции y= f(x).
   • Если у этой точки существует такая окрестность, в которой при x 0, а при x> x0 выполняется f’(x)Если у этой точки существует такая окрестность, в которой и слева и справа от точки x0 знаки производной одинаковы, то в точке x0 экстремума нет.
   
   

   Для решении задач запомните такие правила: Если знаки производных определены то:

   Алгоритм исследования непрерывной функции y= f(x) на монотонность и экстремумы:

   • Найти производную y’.
   • Найти стационарные(производная равна нулю) и критические точки (производная не существует).
   • Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
   • По указанным выше утверждениям сделать вывод о характере точек экстремума.

   Примеры нахождения точки экстремумов

   1) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 7+ 12*x — x³

   Решение: Наша функция непрерывна, тогда воспользуемся нашим алгоритмом:
   а) y’= 12 — 3x²,
   б) y’= 0, при x= ±2,
   в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
   г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
   Точка x= -2 — точка минимума функции, точка x= 2 — точка максимума функции.
   Ответ: x= -2 — точка минимума функции, x= 2 — точка максимума функции.

   2) Найти точки экстремума функции и определить их характер.

   Решение: Наша функция непрерывна. Воспользуемся нашим алгоритмом:
   а) б) в точке x= 2 производная не существует, т.к. на нуль делить нельзя, Область определения функции: [2; +∞], в этой точки экстремума нет, т.к. окрестность точки не определена. Найдем значения, в которой производная равна нулю: в) Отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
   Точка x= 3 — точка минимума функции.
   Ответ: x= 3 — точка минимума функции.

   3) Найти точки экстремума функции y= x — 2cos(x) и определить их характер, при -π ≤ x ≤ π.

   Решение: Наша функция непрерывна, воспользуемся нашим алгоритмом:
   а) y’= 1 + 2sin(x),
   б) найдем значения в которой производная равна нулю: 1 + 2sin(x)= 0, sin(x)= -1/2,
   т.к. -π ≤ x ≤ π, то: x= -π/6, -5π/6,
   в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной: г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
   Точка x= -5π/6 — точка максимума функции.
   Точка x= -π/6 — точка минимума функции.
   Ответ: x= -5π/6 — точка максимума функции, x= -π/6 — точка минимума функции.

   4) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

   Решение: Наша функция имеет разрыв только в одной точке x= 0. Воспользуемся алгоритмом:
   а) б) найдем значения в которой производная равна нулю: y’= 0 при x= ±2,
   в) отметим стационарные точки на числовой прямой и определим знаки производной:
   г) посмотрим на наш рисунок, где изображены правила определения экстремумов.
   Точка x= -2 точка минимума функции.
   Точка x= 2 — точка минимума функции.
   В точке x= 0 функция не существует.
   Ответ: x= ±2 — точки минимума функции.

   Задачи для самостоятельного решения

   
   а) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 5x³ — 15x — 5.
   б) Найти точки экстремума функции и определить их характер:
   в) Найти точки экстремума функции и определить их характер: y= 2sin(x) — x при π ≤ x ≤ 3π.
   г) Найти точки экстремума функции и определить их характер:

   Исчисление I. Нахождение абсолютных экстремумов

   Вопрос, который мы действительно задаем, состоит в том, чтобы найти абсолютные экстремумы \(P\left( t \right)\) на интервале \(\left[ {0,4} \right]\). Поскольку эта функция непрерывна везде, мы знаем, что можем это сделать.

   Начнем с производной.

   \[P’\влево( t \вправо) = 3 + 4\cos \влево({4t} \вправо)\]

   Нам нужны критические точки функции.Производная существует везде, поэтому критических точек от нее нет. Итак, все, что нам нужно сделать, это определить, где производная равна нулю.

   \[\begin{align*}3 + 4\cos \left( {4t} \right) & = 0\\ \cos \left( {4t} \right) & = — \frac{3}{4}\ конец {выравнивание *} \]

   Решения для этого,

   \[\begin{array}{*{20}{c}}{4t = 2,4189 + 2\pi n,\,\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots}\ \{4t = 3,8643 + 2\pi n,\,\,\,\,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{array}\hspace{0. 25 дюймов} \Rightarrow \hspace{0,25 дюйма}\begin{array}{*{20}{c}}{t = 0,6047 + \displaystyle \frac{{\pi n}}{2},\,\,\, \,n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots}\\{t = 0,9661 + \displaystyle \frac{{\pi n}}{2},\,\,\,\,n = 0 , \pm 1, \pm 2, \ldots }\end{массив}\]

   Итак, это все критические точки. Нам нужно определить те, которые попадают в интервал \(\left[ {0,4} \right]\). Нам нечего делать, кроме как подставлять некоторые \(n\) в формулы, пока мы не получим их все.

   \(n = 0\) :

   \[т = 0.6047\hspace{1.0in}t = 0.9661\]

   Нам понадобятся обе эти критические точки.

   \(n = 1\)

   \[t = 0,6047 + \ frac {\ pi} {2} = 2,1755 \ hspace {1,0 дюйм} t = 0,9661 + \ frac {\ pi} {2} = 2,5369 \]

   Нам это понадобится.

   \(n = 2\)

   \[t = 0,6047 + \pi = 3,7463\hspace{1,0 дюйма} t = 0,9661 + \pi = 4,1077\]

   В этом случае нам нужен только первый, так как второй находится вне интервала.

   В интервале есть пять критических точек. Они,

   \[0,6047,\,\,\,0,9661,\,\,\,2,1755,\,\,\,2,5369,\,\,\,3,7463\]

   Наконец, чтобы определить абсолютный минимум и максимум населения, нам нужно только подставить эти значения в функцию, а также две конечные точки. Вот оценки функций.

   \[\begin{align*}P\left( 0 \right) & = 100.0\hspace{1.0in} & P\left( 4 \right) & = 111.7121\\ P\left( {0,6047} \right) & = 102,4756\hspace{1,0in} & P\left( {0,9661} \right) & = 102,2368\\ P\left( {2,1755} \right) & = 107,1880\hspace{1.0in} & P\left( {2,5369} \right) & = 106,9492\\ P\left( {3.7463} \right) & = 111.9004 & & \end{align*}\]

   Из этих оценок видно, что минимальная численность населения составляет 100 000 (помните, что \(P\) исчисляется тысячами…), что происходит при \(t = 0\), а максимальная численность населения составляет 111 900, что происходит при \(t = 3. ‘(0) = -3 * 1 * 3 = -9 -> цвет(красный)(«отрицательный»)#

   Первая производная дважды меняет знак . Он изменяется от отрицательных до положительных около #x=-3#, что означает, что эта критическая точка является локальным минимумом .

   С другой стороны, она переходит от положительного к отрицательному вокруг точки #x=-1#, что означает, что эта критическая точка является локальным максимумом .

   Это эквивалентно функции, которая идет от , уменьшая до , увеличивая (подумайте о долине) вокруг точки #x=-3# и от , увеличивая до , уменьшая (подумайте о холме) вокруг точки. #х=-1#.2 — 9x — 2 [-10, 10, -5, 5]}

   Секундные производные и другие. Экстремальные точки и способы их нахождения

   Экстремальные точки и способы их нахождения

   Максимальное значение функции f ( x ) = — x x 2 — 1 y = -1:

   Максимальное значение функции F ( x ) = Cos x — y = 1:

   Крайние точки , также называемые экстремумами , это места, где функция принимает экстремальное значение , то есть значение, которое особенно мало или особенно велико по сравнению с другими соседними значениями. функции.Экстремумы выглядят как вершины холмов и подошвы долин. Время отправиться в поход.

   Есть два типа крайних точек, минимум (долины) и максимум (холмы).

   Экстремальные точки могут быть локальными или глобальными , но об этом мы поговорим позже.

   Нам нужно определить минимальное и максимальное значения без на интервале бит.

   Минимальное значение функции — это y -значение функции, которое является столь же низким или ниже, чем другие значения функции поблизости.Минимум выглядит как долина:

   Множественное число от минимума минимум .

   Пример задачи

   Минимальное значение функции

   Пример задачи

   Минимальное значение функции f  ( x ) = cos x is y = -1:

   Функция может иметь несколько минимумов.

   Пример задачи

   Функция, изображенная на графике, имеет два минимума: y = 0 и y = 1.

   Функция может иметь бесконечно много минимумов.

   Пример задачи

   Функция, изображенная на графике, имеет бесконечно много минимумов:

   Функция может вообще не иметь минимумов.

   Пример задачи

   Функция f  ( x ) = — x ² не имеет минимумов, так как для каждого значения функции рядом есть меньшие значения:

   3

   2 90 Будьте осторожны 8: это разница между минимумом функции (значение y ) и местом, где этот минимум встречается (значение x ).

   Пример задачи

   Минимальное значение функции f  ( x ) = x ² + 1 равно y = 1, и этот минимум приходится на

   3 0:0 = 1.

   Пример задачи

   Функция f  ( x ) = cos x имеет только одно минимальное значение, y = -1. Однако это минимальное значение встречается в бесконечном количестве мест, например, x = π + 2 n π для каждого целого числа n :

   Функция может иметь несколько максимумов.

   Пример задачи

   На графике ниже функция имеет два максимума: y = 2 и y = 3.

   Функция может иметь бесконечно много максимумов.

   Пример задачи

   Функция, изображенная на графике, имеет бесконечно много максимумов:

   Функция может вообще не иметь максимумов.

   Пример задачи

   Функция f  ( x ) = x ² не имеет максимума, так как для каждого значения функции рядом есть большие значения:

   38 Будьте осторожны: разница между максимумом функции (значение y ) и тем, где этот максимум встречается (значение x ).

   Пример задачи

   Максимальное значение функции f  ( x ) = — x ²  – 1 равно y = -1, и этот максимум приходится на 0:390 x 4

   Пример задачи

   Функция f  ( x ) = cos x имеет только одно максимальное значение, y = 1. Однако это максимальное значение встречается в бесконечном количестве мест, например, при x = 2π n для каждого целого числа n :

   • Поиск и классификация экстремальных точек

     Оставайтесь стильными, Сан-Диего.Если у нас есть функция f , которая определена на всей прямой, любые экстремумы должны встречаться в критических точках, поскольку это единственные точки, в которых мы можем иметь пик или впадину:

     Любые другие точка не может быть экстремальной, потому что функция вот-вот станет больше или меньше:

     Если у нас есть функция, определенная на замкнутом интервале, на концах этого интервала также будут экстремальные точки:

     Поэтому мы знаем, как найти все интересные точки (то есть точки, которые могут быть экстремальными):

     • Найти все критические точки.
         
     • Если вы смотрите на функцию на замкнутом интервале, бросьте конечные точки интервала.

     На данный момент у нас есть все места, где могут возникнуть крайние точки . Однако критическая точка не обязательно должна быть максимальной или минимальной.

     После нахождения всех значений x , где могут встречаться экстремальные точки, нам все еще нужно проверить каждое значение x , чтобы увидеть, действительно ли оно является экстремальной точкой, и если да, то какого типа (максимальное или минимальное).

     Есть три способа определить, является ли каждая из найденных крайних точек максимумом, минимумом или ни тем, ни другим.Увы, первый способ, хотя и самый простой, обычно не принимается в качестве ответа на экзаменах. Тем не менее, это может быть хорошим способом проверить свою работу.

     • Воспользуйтесь графическим калькулятором, чтобы построить график функции вблизи возможного экстремума. Затем используйте свои глаза, чтобы увидеть, что это за точка.
         
     • Используйте тест первой производной
         
     • Используйте тест второй производной

     Эта математика пригодится для оптимизации, которая представляет собой искусство классификации экстремальных точек, но с большим количеством текстовых задач, наслоенных сверху.

   • Тест первой производной

     Пример задачи

     1. Ниже приведен график функции f с минимумом при x = x ₀ . Определите знак производной f ‘ для каждого помеченного x значения.
        
     2. Ниже приведен график функции f с максимумом при x = x ₀ . Определите знак производной f ‘ для каждого помеченного x значения.
        

     Минимум, если предположить, что он не находится в конечной точке интервала, обычно выглядит так:

     Производная равна нулю (или не определена) в месте минимума: до минимума, а затем увеличивается от минимума, производная отрицательна слева и положительна справа от места, где происходит минимум:

     Мы можем использовать числовую прямую, чтобы отслеживать знак f ‘ примерно так:

     Максимум, если предположить, что он не находится в конечной точке интервала, обычно выглядит так:

     Производная равна нулю (или не определена) в месте максимума:

     Поскольку функция должна возрастать до максимума, а затем убывать от максимума, производная положительна слева и отрицательна справа от места, где находится максимум:

     Мы можем использовать числовую линию для отслеживания знака f  ‘ следующим образом:

     Если у нас нет графика функции, мы можем пойти другим путем: сначала мы создаем числовую линию, и используйте это, чтобы определить, является ли критическая точка f максимумом или минимумом или ни тем, ни другим. Мы находим знак f ‘ немного левее критической точки и немного правее критической точки.

     Но если мы столкнемся с чем-то подобным, критическая точка не будет ни минимальной, ни максимальной: мин или макс или ни то, ни другое.

   • Тест второй производной

     Примеры задач

     • Предположим, что f определено и дважды дифференцируемо на всей прямой.Около минимума функции f f вогнута вверх или вогнута вниз?
         
     • Предположим, что f определено и дважды дифференцируемо на всей прямой. Около максимума функции f , является ли f вогнутой вверх или вогнутой вниз?

     Минимум f обычно находится на дне чаши с правой стороной вверх:

     Наличие чаши с правой стороной вверх означает, что f здесь вогнуто.

     Максимум f обычно встречается в верхней части перевернутой чаши:

     Наличие перевернутой чаши означает, что f здесь вогнуто вниз.

     Тест второй производной говорит:

     • Если f вогнуто вокруг критической точки, эта критическая точка является минимальной.
         
     • Если f имеет вогнутую форму вокруг критической точки, эта критическая точка является максимальной.

     Это верно, потому что если f вогнуто вокруг критической точки, f выглядит так:

     Такая критическая точка должна быть минимальной.С другой стороны, если f вогнуто вокруг критической точки, то f выглядит так:

     Такая критическая точка должна быть максимальной.

     Будьте осторожны: Если f  » равно нулю в критической точке, мы не можем использовать критерий второй производной, потому что мы не знаем вогнутости f вокруг критической точки.

     Be Осторожно: Иногда с этим тестом возникает путаница, потому что люди думают, что вогнутая функция должна соответствовать максимуму.Вот почему картинки полезны. Если мы вспомним, как вогнутая функция выглядит как , все будет в порядке.

     Есть хороший вопрос, который возникает у большинства людей прямо сейчас: если вам не сказали, что использовать, как вы узнаете, использовать ли первый тест производной или второй тест производной?

     Хорошая новость заключается в том, что часто это не имеет значения. Когда можно использовать и тест первой производной, и тест второй производной, они дадут один и тот же ответ.

     Другая хорошая новость заключается в том, что обычно вы можете выполнить любой тест, который проще.Иногда нахождение второй производной не приносит удовольствия, как в случае с функцией

     . Первая производная равна

     , и хотя мы могли бы найти вторую производную, это некрасиво, и мы не хотим заморачиваться. В этом случае, вероятно, имеет смысл подставить пару чисел и посмотреть, что делает знак первой производной. Иногда тест второй производной вообще не работает (если f  » равно 0 в критической точке), и в этом случае нам нужно использовать тест первой производной.

     С другой стороны, иногда можно увидеть, что вторая производная действительно хороша. Возьмите функцию

     F ( x ) = x x ² + 4 x + 1.

     Первое производное

     F ‘( x ) = 2 x + 4

     , а вторая производная равна

     f «( x ) = 2,

     , что всегда положительно. Следовательно, f всегда вогнуто вверх, поэтому любая критическая точка должна быть минимальной.Второй производный тест для этого — кусок пирога. Ммм, торт.

     Плохая новость заключается в том, что, как и в остальной математике, нам нужно практиковаться. Чем больше функций мы рассматриваем, тем лучше мы будем решать, использовать ли критерий первой производной или критерий второй производной для классификации экстремальных точек функции. Не волнуйтесь; есть много проблем с практикой.

   экстремум | математика | Британика

   экстремум , множественное число Экстремум , в исчислении любая точка, в которой значение функции наибольшее (максимум) или наименьшее (минимум).Существуют как абсолютные, так и относительные (или локальные) максимумы и минимумы. При относительном максимуме значение функции больше, чем ее значение в непосредственно соседних точках, а при абсолютном максимуме значение функции больше, чем ее значение в любой другой точке интересующего интервала. При относительных максимумах внутри интервала, если функция является гладкой, а не пиковой, ее скорость изменения или производная равна нулю. Однако производная может быть равна нулю в точке, где функция не имеет ни максимума, ни минимума, как в случае с функцией x ³ при x = 0.Один из способов определить это — вернуться к исходному определению и найти значение функции в непосредственно соседних точках. Например, функция x ³ — 3 x имеет производную 3 x ² — 3, которая равна 0, когда x равно ±1. При тестировании ближайших точек, таких как 0,9 и 1,1, видно, что функция имеет относительный минимум, когда x равно 1, и, аналогично, относительный максимум, когда x равен -1. Существует также критерий второй производной: если производная функции равна нулю в точке, то функция будет иметь относительный максимум или минимум, если вторая производная в этой точке меньше или больше 0, соответственно, критерий терпит неудачу, если он равен 0.Относительные максимумы могут также возникать в точках, в которых производная не существует, и эти точки также должны быть проверены.

   Теория экстремумов применима к практическим задачам оптимизации, таким как определение размеров контейнера, вмещающего максимальный объем при заданном количестве материала, использованного при его изготовлении. Обнаружение крайних точек также помогает в графических функциях.

   Британская викторина

   Числа и математика

   A-B-C, 1-2-3… Если вы считаете, что подсчет чисел похож на чтение алфавита, проверьте, насколько свободно вы владеете языком математики в этом тесте.

   Модуль 13. Экстремальные значения функций

   На этом уроке вы узнаете об абсолютных и локальных экстремальных точках и определите экстремальные точки из множества критических и конечных точек.

   ---

   Задачи оптимизации являются одним из наиболее важных приложений дифференциального исчисления, потому что мы часто хотим знать, когда результат функции максимален или минимален.В таких задачах может быть наибольшее или наименьшее выходное значение на всем интересующем входном интервале или в пределах локальной окрестности входного значения. Как абсолютные, так и локальные максимальные и минимальные значения представляют интерес во многих контекстах.

   Абсолютные экстремальные значения функции

   Когда выходное значение функции является максимальным или минимальным по всей области определения функции, это значение называется абсолютным максимумом или абсолютным минимумом , как определено ниже.

   Пусть f будет функцией с областью определения D и пусть c будет фиксированной константой в D . Тогда выходное значение f ( c ) равно

   1. абсолютное максимальное значение из f на D тогда и только тогда, когда f ( x ) f ( c ) для всех x в D .
   2. абсолютное минимальное значение из f на D тогда и только тогда, когда f ( c ) f ( x ) для всех x в D .

   Абсолютные экстремальные значения — пример

   Домен f ( x ) = x ² — все действительные числа, а диапазон — все неотрицательные действительные числа. График на рисунке ниже предполагает, что функция не имеет абсолютного максимального значения и имеет абсолютный минимум 0, который возникает при x = 0.

   [-5, 5, 1] ​​х [-2, 10, 1]

   Абсолютные экстремальные значения в домене с ограниченным доступом

   Если домен f ( x ) = x ² ограничен до [-2, 3], соответствующий диапазон равен [0, 9].Как показано ниже, график на интервале [-2, 3] предполагает, что f имеет абсолютный максимум 9 при x = 3 и абсолютный минимум 0 при x = 0.

   Два приведенных выше примера показывают, что существование абсолютных максимумов и минимумов зависит от области определения функции.

   Теорема об экстремальных значениях

   Теорема 1 ниже называется теоремой об экстремальных значениях.Он описывает условие, которое гарантирует, что функция имеет как абсолютный минимум, так и абсолютный максимум. Теорема важна, потому что она может направлять наши исследования, когда мы ищем абсолютных экстремальных значений функции.

   Теорема 1 Если f непрерывно на замкнутом интервале [ a , b ], то f имеет как абсолютное максимальное значение, так и абсолютное минимальное значение на интервале.

   Эта теорема утверждает, что непрерывная функция, определенная на замкнутом интервале , должна иметь как абсолютное максимальное значение, так и абсолютное минимальное значение. В нем не рассматривается, как найти экстремальные значения.

   Локальные экстремальные значения функции

   Один из самых полезных результатов исчисления заключается в том, что абсолютные экстремальные значения функции должны исходить из списка локальных экстремальных значений, и эти значения легко найти, используя первую производную функции.

   Локальные экстремальные значения, как определено ниже, являются максимальными и минимальными точками (если они есть), когда домен ограничен небольшой окрестностью входных значений.

   Пусть c — внутренняя точка области определения функции f . Тогда функция f имеет

   1. локальный максимум при c тогда и только тогда, когда f ( x ) f ( c ) для всех x в некотором открытом интервале, содержащем c .
   2. локальный минимум на c тогда и только тогда, когда f ( c ) f ( x ) для всех x в некотором открытом интервале, содержащем c .

   Конечные точки как локальные экстремумы

   Определение локальных экстремумов, данное выше, ограничивает входное значение внутренней точкой области.Определение можно расширить, включив в него конечные точки интервалов.

   Функция f имеет локальный максимум или локальный минимум в конечной точке c своей области определения, если соответствующее неравенство выполняется для всех x в некотором полуоткрытом интервале, содержащемся в области и имеющей c в качестве одной конечной точки .

   Из определений видно, что для областей, состоящих из одного или нескольких интервалов, любой абсолютный экстремум должен быть и локальным экстремумом.Таким образом, абсолютные экстремумы можно найти, исследуя все локальные экстремумы.

   Кандидаты на локальные экстремальные баллы

   Теорема 2 ниже, которая также называется теоремой Ферма, идентифицирует кандидатов на локальные точки экстремума.

   Теорема 2 Если функция имеет локальное максимальное значение или локальное минимальное значение во внутренней точке c своей области определения и если f ‘ существует в точке c , то f ‘ ( c ) = 0.

   Нахождение экстремальных значений функции

   Теорема 2 утверждает, что если функция имеет первую производную во внутренней точке, где есть локальный экстремум, то производная должна равняться нулю в этой точке. Это не говорит о том, что каждая точка, где первая производная равна нулю, должна быть локальным экстремумом. Из-за теоремы 2 при нахождении экстремальных значений функции необходимо учитывать лишь несколько точек.Эти точки состоят из точек внутренней области, где f ‘ ( x )= 0, точек внутренней области, где f ‘ не существует, и конечных точек области, которые не охватываются теоремой.

   Критические точки

   Критическая точка — это внутренняя точка в области определения функции, в которой f ‘ ( x ) = 0 или f ‘ не существует.Таким образом, единственными возможными кандидатами на координаты x крайней точки являются критические точки и конечные точки.

   Нахождение экстремальных значений с использованием методов исчисления

   Найдите локальные и абсолютные экстремальные значения f ( x ) = x ² на закрытом интервале [-2, 3] с помощью исчисления. Здесь применима теорема 1, поэтому мы точно знаем, что эта функция должна иметь абсолютные экстремумы в этой области.

   Обратите внимание на следующее:

   1. f ‘ ( x ) = 2 x , что равно нулю только при x = 0 и существует при всех значениях f в [-2, 3]. Следовательно, x = 0 является единственной критической точкой f .
   2. Значения f в конечных точках равны f (-2) = 4 и f (3) = 9.

   Путем сравнения выходных значений, когда x = -2, x = 0 и x = 3, можно определить абсолютные экстремумы.

   1. f имеет локальный минимум 0 при x = 0, что также является абсолютным минимумом.
   2. f имеет локальный максимум 4 при x = -2 и локальный максимум 9 при x = 3.Абсолютный максимум f равен 9.

   Просмотрите график функции в ограниченной области. График подтверждает приведенные выше результаты.

   [-2, 3, 1] х [-2, 10, 1]

   13.1.1 Найдите экстремальные значения f ( x ) = x ² на [-4, 2] с помощью математических методов, а затем подкрепите свои ответы, нарисовав график. Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

   Методы исчисления дают результаты, которые могут быть подтверждены графиками, а графики могут помочь в обнаружении экстремальных значений, как показано в следующем примере.

   Экстремальные значения f ( x ) = x ^2/3 на [-2, 4]

   Найдите экстремальные значения f ( x ) = x ^2/3 в ограниченной области [-2, 4], просмотрев график, а затем используя методы исчисления.(2/3) в Y ₁ .

7. Отобразите график в окне [-2, 4,1] x [-1, 3,1].

Функция имеет абсолютный минимум около x = 0 и два локальных максимума, которые приходятся на конечные точки ограниченной области. Абсолютный максимум приходится на правую конечную точку ограниченного домена.

Теперь определите крайние точки, используя методы исчисления.

• Используйте правило степени, чтобы найти f ‘:

производная, , нигде на [-2, 4] не равно 0, поэтому критическая точка не возникает из этого условия, но f ‘ не существует при x = 0, из чего следует, что x = 0 является критической точкой. точка. Следовательно, единственная критическая точка 90 740 f 90 741 приходится на 90 740 x 90 741 = 0.

Используйте функцию Value экрана Graph для вычисления значений f в критической точке и в конечных точках ограниченного домена [-2, 4].

• Из графика пресса f [CALC] и выберите 1:значение.
• Оцените f при x = -2, x = 0 и x = 4, введя -2, 0 и 4 соответственно.



Крайние значения можно резюмировать следующим образом:

1. f имеет локальный и абсолютный минимум 0 в 0.
2. Значение f при x = -2 составляет приблизительно 1,587, а значение при x = 4 составляет приблизительно 2,520. Каждый является локальным максимальным значением.
3. Абсолютное максимальное значение f приблизительно равно 2.520 при x = 4.

Экстремальные значения

В предыдущих примерах мы имели дело с непрерывными функциями, заданными на отрезках. В таком случае теорема 1 гарантирует наличие как абсолютного максимума, так и абсолютного минимума. В этом примере область не является замкнутым интервалом, и теорема 1 неприменима. Экстремальные значения можно найти с помощью процедуры, аналогичной описанной выше, но необходимо позаботиться о том, чтобы экстремумы действительно существовали.

Обратите внимание, что домен f равен (-2, 2), потому что подкоренное число должно быть неотрицательным, а знаменатель должен быть ненулевым.

• График в окне просмотра [-4, 4, 1] x [-2, 4, 1].

График предполагает наличие абсолютного минимума около 0,5 при x = 0. Также, по-видимому, имеются локальные максимумы около 2.5, когда x = -2 и x = 2. Однако f не определяется при x = -2 и x = 2, поэтому они не могут быть локальными максимумами.

Методы исчисления требуют, чтобы конечные точки домена и критические точки были идентифицированы. Домен f — это (-2, 2), открытый интервал, поэтому нет конечных точек. Критические точки определяются с помощью производной, которая находится с помощью цепного правила.

Производная равна 0 при x = 0 и не определена при x = -2 и x = 2.Поскольку -2 и 2 не находятся в области 90 740 f 90 741, единственной критической точкой является 90 740 x 90 741 = 0.

Когда x удаляется от 0 в любом направлении, знаменатель f ( x ) становится меньше, а f ( x ) увеличивается. Таким образом, f имеет абсолютный минимум 0,5 при x = 0.

Абсолютных максимальных баллов нет. Это не нарушает теорему об экстремальных значениях, поскольку функция не определена на замкнутом интервале.Поскольку абсолютный максимум должен иметь место в критической или конечной точке, а x = 0 является единственной такой точкой, абсолютного максимума быть не может.

y = x 3 в окне [-3, 3 1] x [-2, 2, 1]	в окне [-3, 3, 1] x [-2, 2, 1]

Обратите внимание, что производная от y = x ³ равна y’ = 3 x ² , а производная от y = 0 х

1 9 .

Первая производная y = x ³ равна нулю, когда x = 0, а первая производная y = x ^1/3 не существует при x x = 0 является критической точкой обеих функций, ни одна из них не имеет там экстремального значения.

В дополнение к поиску критических точек с использованием методов исчисления просмотр графика функции должен помочь определить экстремальные значения.

Обратите внимание, что в этих двух примерах первая производная положительна по обе стороны от 90 740 x 90 741 = 0. В уроке 13.2 мы будем использовать тест первой производной, где знак производной по обе стороны от критической точки используется для определения является ли критическая точка локальным максимумом, локальным минимумом или ни тем, ни другим.

Как найти локальные экстремумы, проверив критические точки функции | Расчет

шагов для поиска локальных экстремумов путем проверки критических точек функции

Шаг 1: Найдите критические точки {eq}f(x) {/eq}, приравняв первую производную к нулю.

Шаг 2: Используйте интервалы между критическими точками, чтобы оценить, соответствует ли {eq}f'(x) {/eq} является положительным или отрицательным в этом интервале. Это можно сделать, выбрав {eq}x {/eq} значения в интервале и подстановка в {eq}f'(x) {/экв}. Обратите внимание, что нас интересует только знак ответа, а не само значение. Например, если {eq}f'(1) = -3 {/eq}, нам нужно только извлечь, что производная отрицательна {eq}(-) {/экв} при {экв}x=1 {/экв}.

Шаг 3: Определите любые критические точки, в которых производная меняет знак как локальные экстремумы.Обязательно исключите любые значения {eq}x {/eq} не входит в домен {eq}f {/экв}.

• Изменение отрицательного {экв}(-) {/eq} в положительное значение {eq}(+) {/eq} означает {eq}f(x) {/eq} имеет локальный минимум.
• Изменение от положительного {экв}(+) {/eq} в минус {eq}(-) {/eq} означает {eq}f(x) {/eq} имеет локальный максимум.

Определения для поиска локальных экстремумов путем проверки критических точек функции

Критическая точка: Значение {eq}x {/eq} такое, что {eq}f'(x)=0 {/eq} или {eq}f'(x) {/eq} не существует.

Локальные экстремумы: Точка на функции {eq}f {/eq}, которая является либо максимальной, либо минимальной точкой для ближайших значений {eq}x {/экв}.

Возрастание/убывание: Особое соотношение между {eq}f'(x) {/eq} и {eq}f(x) {/eq} существует в том смысле, что знак производной говорит нам, увеличивается или уменьшается функция при этом значении {eq}x. {/экв}.

• Если {eq}f'(x) < 0 {/eq} (отрицательное), то функция убывает.
• если {eq}f'(x) >0 {/eq} (положительный), то функция возрастает.2+21x-4\вправо] = 14x+21 $$.

  Поскольку у нас есть многочлен, таких {eq}x не существует {/eq}, которые составляют {eq}f'(x) {/экв} не определено. Установка {eq}f'(x)=0 {/eq} и решая получаем

  $$\begin{выравнивание} 14x+21&=0\\ 14x&=-\frac{-21}{14}\\ х&=-\фракция{3}{2} \end{выравнивание} $$ Это наша единственная критическая точка {eq}f {/экв}.

  Шаг 2: Используйте интервалы между критическими точками, чтобы оценить, соответствует ли {eq}f'(x) {/eq} является положительным или отрицательным в этом интервале.

  Поскольку единственной критической точкой является {eq}x=-\frac{3}{2} {/eq} мы разбиваем действительные числа на интервалы, {eq}(-\infty,-\frac{3}{2}) {/eq} и {eq}(-\frac{3}{2},\infty) {/экв}.

  Теперь мы выбираем тестовое значение в каждом интервале. Значения {eq}x=-2 {/экв} и {экв}х=0 {/eq} работают для соответствующих интервалов. Оценка этих точек в {eq}f'(x) {/экв} мы получаем

  • {экв}f'(-2) = 14(-2) + 21 = -28+21 = -7 {/eq} и у нас есть {eq}f'(x) {/eq} отрицательно {eq}(-) {/eq} на интервале {eq}(-\infty,-\frac{3}{2}) {/экв}.
  • {экв}f'(0) = 14(0)+21 = 0+21=21 {/eq}, и у нас есть {eq}f'(x) {/eq} положителен {eq}(+) {/eq} на интервале {eq}(-\frac{3}{2},\infty) {/экв}.

  Шаг 3: Определите любые критические точки, в которых производная меняет знак как локальные экстремумы. Обязательно исключите любые значения {eq}x {/eq} не входит в домен {eq}f {/экв}.

  Имеем, что производная меняет знак при {eq}x=-\frac{3}{2} {/eq}, оно идет от отрицательного {eq}(-) {/eq} в положительное значение {eq}(+) {/экв}. 4)\\ -x(4x+8)&=0 & \textrm{(Выражение в левой части факторизовано)} \end{выравнивание} $$. Разделив их и решив, мы получим {eq}x=0 {/eq}, которая уже была точкой, в которой {eq}f'(x) {/eq} не определено, а {eq}x=-2 {/экв}. Таким образом, у нас есть критические точки {eq}x=-2 {/экв} и {экв}х=0 {/экв}.

  Шаг 2: Используйте интервалы между критическими точками, чтобы оценить, соответствует ли {eq}f'(x) {/eq} является положительным или отрицательным в этом интервале.

  Здесь мы разбиваем действительные числа на интервалы, {eq}(-\infty,-2) {/экв}, {экв}(-2,0) {/eq} и {eq}(0,\infty) {/экв}.

  Теперь мы выбираем тестовое значение в каждом интервале. Значения {eq}x=-3 {/экв}, {экв}х=-1 {/экв} и {экв}х=1 {/eq} работают для соответствующих интервалов. Мы можем упростить производное выражение до {eq}-x(4x+8) {/eq} для оценки, где {eq}f'(x)=0 {/экв}. Тогда оценивая эти точки, мы получаем

  • {экв}f'(-3) = -(-3)(4(-3)+8) = 3(-12+8) = (+)(-) = (-) {/экв}. Обратите внимание, что нас интересует только знак, а не значение, поэтому мы получаем, что {eq}f'(x) {/eq} отрицательно {eq}(-) {/eq} на интервале {eq}(-\infty,-2) {/экв}.
  • {экв}f'(-1) = -(-1)(4(-1)+8) = 1(-4+8) = (+)(+) = (+) {/экв}. Обратите внимание, что нас интересует только знак, а не значение, поэтому мы получаем, что {eq}f'(x) {/eq} положителен {eq}(+) {/eq} на интервале {eq}(-2,0) {/экв}.
  • {экв}f(1) = -(1)(4(1)+8) = -1(4+8) = (-)(+) = (-) {/экв}. Обратите внимание, что нас интересует только знак, а не значение, поэтому мы получаем, что {eq}f'(x) {/eq} положителен {eq}(-) {/eq} на интервале {eq}(0,\infty) {/экв}.

  Шаг 3: Определите любые критические точки, в которых производная меняет знак как локальные экстремумы.Обязательно исключите любые значения {eq}x {/eq} не входит в домен {eq}f {/экв}.

  Имеем, что производная меняет знак в каждой критической точке {eq}f {/экв}. Он идет от отрицательного к положительному и обратно к отрицательному. Однако {экв}х=0 {/eq} равно , а не в домене {eq}f {/eq} и, следовательно, не может быть локальным экстремумом. Это означает, что единственными локальными экстремумами являются {eq}x=-2. {/eq}, а поскольку функция движется от убывания к возрастанию, она является локальным минимумом.

  Таким образом, у нас есть локальный минимум при {eq}x=-2 {/экв}.

  Получите доступ к тысячам практических вопросов и пояснений!

  Экстремум (локальный и абсолютный) | Блестящая математика и естественные науки вики

  Точка xxx является абсолютным максимумом или минимумом функции fff в интервале [a, b][a, \, b][a,b], если f(x)≥f(x′)f(x) \ ge f(x’)f(x)≥f(x’) для всех x′∈[a, b]x’ \in [a, \, b]x′∈[a,b] или если f(x )≤f(x′)f(x) \le f(x′)f(x)≤f(x′) для всех x′∈[a, b]x’ \in [a, \, b]x ′∈[a,b]. Точка xxx является строгим (или уникальным) абсолютным максимумом или минимумом, если это единственная точка, удовлетворяющая таким ограничениям. Аналогичные определения справедливы для интервалов [a, ∞)[a, \, \infty)[a,∞), (−∞, b](-\infty, \, b](−∞,b] и (−∞ , ∞)(-\infty, \, \infty)(−∞,∞). Интервал обычно выбирается как область определения fff.

  Абсолютный максимум и абсолютный минимум функции

  Может не существовать абсолютного максимума или минимума, если область неограничена ни в положительном, ни в отрицательном направлении, или если функция не является непрерывной. Если функция не непрерывна (но ограничена), все равно будет существовать супремум или инфимум, но не обязательно могут существовать абсолютные экстремумы.Если функция непрерывна и ограничена, а интервал замкнут, то должны существовать абсолютный максимум и абсолютный минимум.

  Если функция не является непрерывной, то она может иметь абсолютные экстремумы в любых точках разрыва. Как правило, абсолютные экстремумы будут полезны только для функций с не более чем конечным числом точек разрыва. Абсолютные экстремумы можно найти, рассматривая эти точки вместе со следующим методом для непрерывных частей функции.

  Если функция непрерывна, то абсолютные экстремумы могут быть определены следующим методом. Дана функция fff и интервал [a, b][a, \, b][a,b],

  1. Определите все критические точки fff в интервале [a, b][a, \, b][a,b].
  2. Определите значение fff в каждой из его критических точек.
  3. Определите значение fff на каждой из конечных точек.

  Точки, соответствующие наибольшим значениям fff, являются абсолютным максимумом (максимумами), а точки, соответствующие наименьшим значениям fff, являются абсолютным минимумом (минимумами).3 &\ x > 2. \end{cases}f(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​1−(x+1)22×3−(x−2)23−(x−2)3​ x<0 0≤x≤1 12.​

  ---

  Функция имеет критические точки при x=-1x = -1x=-1, x=0x = 0x=0, x=1x = 1x=1 и x=2x = 2x=2. Он имеет конечные точки x=-32x = -\tfrac{3}{2}x=-23​ и x=72x = \tfrac{7}{2}x=27​.

  Максимальное значение возможно только при x=−1x = -1x=−1, x=1x = 1x=1 и x=2x = 2x=2. Поскольку f(−1)=1f(-1) = 1f(−1)=1, f(1)=2f(1) = 2f(1)=2 и f(2)=3f(2) = 3f (2)=3, абсолютные максимумы расположены при (2, 3)\boxed{(2, \, 3)}(2,3)​.

  Единственными возможными вариантами минимального значения являются x=−32x = -\tfrac{3}{2}x=−23​, x=0x = 0x=0, x=1x = 1x=1 и x=72x = \tfrac{7}{2}x=27​. Поскольку f(−32)=34f\left(-\tfrac{3}{2}\right) = \tfrac{3}{4}f(−23​)=43​, f(0)=0f(0 ) = 0f(0)=0, f(1)=2f(1) = 2f(1)=2 и f(72)=−38f\left(\tfrac{7}{2}\right) = — \tfrac{3}{8}f(27​)=−83​, абсолютные минимумы расположены в точках (72,−38)\boxed{\left(\tfrac{7}{2}, -\tfrac{3 {8}\справа)}(27​,−83​)​. □_\квадрат□​

  .