Как найти у равнобедренного треугольника высоту: Высота в равнобедренном треугольнике. Свойство 3

Содержание

Высота и угол «α» равнобедренного треугольника

Высота равнобедренного треугольника, которая лежит под прямым углом к основанию, создает внутри еще два одинаковых прямоугольных треугольника, являясь катетом в каждом из них. Второй катет такого треугольника представляет собой половину основания, так как эта высота является одновременно медианой и биссектрисой, а гипотенузой будет боковая сторона равнобедренного треугольника. Соответственно, зная высоту и угол α при основании, через прямоугольный треугольник можно узнать стороны равнобедренного треугольника. (рис.88.2) a=h/sin⁡α b=2h/tan⁡α

Поскольку сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам, следовательно, угол при вершине будет равен разности 180 градусов и двух углов при основании. β=180°-2α

Периметр равнобедренного треугольника через высоту и угол α равен сумме двух отношений высоты к синусу угла и двух отношений высоты к тангенсу. Площадь, в свою очередь, преобразовывается в квадрат высоты, деленный на тангенс.

2⁡α l_a=(b√(a(2a+b) ))/(a+b)=(2h/tan⁡α √(h/sin⁡α (2 h/sin⁡α +2h/tan⁡α )))/(h/sin⁡α +2h/tan⁡α )=(2h√(2+2/cos⁡α ))/(tan⁡α+2 sin⁡α )

Чтобы вычислить среднюю линию, необходимо разделить на два ту сторону треугольника, которая ей параллельна. Поскольку ни одна из сторон не известна, то средняя линия, параллельная основанию, равна высоте, деленной на тангенс угла α, а средняя линия, параллельная боковой стороне равна высоте, деленной на два синуса угла α. (рис.88.5) M_b=b/2=h/tan⁡α M_a=a/2=h/(2 sin⁡α )

Чтобы вычислить радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности, нужно подставить вместо сторон a и b в формулу отношения высоты и тангенса или синуса соответственно, а затем упростить выражение (рис.88.6) r=b/2 √((a-2b)/(a+2b))=h/tan⁡α √((h/sin⁡α -2 2h/tan⁡α )/(h/sin⁡α +2 2h/tan⁡α ))=h/tan⁡α √((1-4 cos⁡α)/(1+4 cos⁡α ))

Радиус окружности, описанной вокруг равнобедренного треугольника также зависит от обеих сторон – основания и боковой стороны, поэтому его формула видоизменяется аналогично радиусу вписанной окружности.

2⁡α )

Высота равнобедренного треугольника

Примечание. Это часть урока с задачами по геометрии (раздел равнобедренный треугольник). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение

Задача

В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны AB, и AC равны 13а. Тангенс угла B равен 3/4. Найдите высоту AK, проведенную к основанию BC этого равнобедренного треугольника.

Решение.
Поскольку мы знаем тангенс угла B, то стороны прямоугольного треугольника AKB соотносятся как
AK/KB = tg B = 3/4

Обозначим коэффициент пропорциональности этих сторон как х.
Тогда по теореме Пифагора для данного треугольника будет справедливо выражение:

(3x)2 + (4x)2 = (13a)2
9x2  + 16x2 = 169a2
25x2  = 169a2
x2  = 169/25a2
x = 13/5a

Откуда
AK = 3x = 13/5a*3= 7,8a

KB = 4x = 13/5a*4 = 10,4a

Ответ:    7,8a и 10,4a

 Углы равнобедренного треугольника | Описание курса | Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник 

   

Как найти площадь треугольника — Лайфхакер

Как найти площадь любого треугольника

Посчитать площадь треугольника можно разными способами. Выбирайте формулу в зависимости от известных вам величин.

Зная сторону и высоту

  1. Умножьте сторону треугольника на высоту, проведённую к этой стороне.
  2. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на сторону или её продолжение из противоположной вершины.

Зная две стороны и угол между ними

  1. Посчитайте произведение двух известных сторон треугольника.
  2. Найдите синус угла между выбранными сторонами.
  3. Перемножьте полученные числа.
  4. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a и b — стороны треугольника.
  • α — угол между сторонами a и b.

Сейчас читают 🔥

Зная три стороны (формула Герона)

  1. Посчитайте разности полупериметра треугольника и каждой из его сторон.
  2. Найдите произведение полученных чисел.
  3. Умножьте результат на полупериметр.
  4. Найдите корень из полученного числа.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b, c — стороны треугольника.
  • p — полупериметр (равен половине от суммы всех сторон треугольника).

Зная три стороны и радиус описанной окружности

  1. Найдите произведение всех сторон треугольника.
  2. Поделите результат на четыре радиуса окружности, описанной вокруг прямоугольника.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • R — радиус описанной окружности.
  • a, b, c — стороны треугольника.

Зная радиус вписанной окружности и полупериметр

Умножьте радиус окружности, вписанной в треугольник, на полупериметр.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • r — радиус вписанной окружности.
  • p — полупериметр треугольника (равен половине от суммы всех сторон).

Как найти площадь прямоугольного треугольника

  1. Посчитайте произведение катетов треугольника.
  2. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a, b — катеты треугольника, то есть стороны, которые пересекаются под прямым углом.

Как найти площадь равнобедренного треугольника

  1. Умножьте основание на высоту треугольника.
  2. Поделите результат на два.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — основание треугольника. Это та сторона, которая не равняется двум другим. Напомним, в равнобедренном треугольнике две из трёх сторон имеют одинаковую длину.
  • h — высота треугольника. Это перпендикуляр, опущенный на основание из противоположной вершины.

Как найти площадь равностороннего треугольника

  1. Умножьте квадрат стороны треугольника на корень из трёх.
  2. Поделите результат на четыре.

  • S — искомая площадь треугольника.
  • a — сторона треугольника. Напомним, в равностороннем треугольнике все стороны имеют одинаковую длину.

Читайте также 🧠👨🏻‍🎓✍🏻

Формула основания равнобедренного треугольника через стороны. Как найти площадь фигуры, если один угол прямой? Обозначения величин, принятые в рассматриваемых формулах

Буквенные обозначения сторон и углов на приведенном рисунке соответствуют обозначениям, которые указаны в формулах. Таким образом, это поможет Вам сопоставить их с элементами равнобедренного треугольника. Из условия задачи определите, какие элементы известны, найдите на чертеже их обозначения и подберите подходящую формулу.

Формула площади равнобедренного треугольника

Далее приведены формулы нахождения площади равнобедренного треугольника : через стороны, боковую сторону и угол между ними, через боковую сторону, основание и угол при вершине, через сторону основания и угол при основании и т.д. Просто найдите наиболее подходящую на рисунке слева. Для самых любопытных в тексте справа поясняется, почему формула явяляется правильной и как именно с ее помощью находится площадь.

  1. можно найти, зная его сторону и основание . Данное выражение было получено путем упрощения более общей, универсальной формулы. Если за основу взять формулу Герона, а затем принять во внимание, что две стороны треугольника равны меду собой, то выражение упрощается до формулы, представленной на картинке.
    Пример использования такой формулы приведен на примере решения задачи ниже.
  2. Вторая формула позволяет найти его площадь через боковые стороны и угол между ними — это половина квадрата боковой стороны, умноженная на синус угла между боковыми сторонами
    Если мысленно опустить высоту на боковую сторону равнобедренного треугольника, заметим, что ее длина будет равна a * sin β. Поскольку длина боковой стороны нам известна, высота, опущенная на нее теперь известна, половина их произведения и будет равна площади данного равнобедренного треугольника (Пояснение: полное произведение дает площадь прямоугольника, что очевидно. Высота делит этот прямоугольник на два малых прямоугольника, при этом стороны треугольника являются их диагоналями, которые делят их ровно пополам.
    Таким образом, площадь равнобедренного треугольника и будет равна половине произведения боковой стороны на высоту). См. также Формулу 5
  3. Третья формула показывает нахождение площади через боковую сторону, основание и угол при вершине .
    Строго говоря, зная один из углов равнобедренного треугольника, можно найти и остальные, поэтому применение данной или предыдущей формулы — вопрос вкуса (кстати, поэтому можно запомнить только одну из них).
    У третьей формулы также есть еще одна интересная особенность — произведение a sin α
    даст нам длину высоты, опущенной на основание. В результате мы получим простую и очевидную формулу 5.
  4. Площадь равнобедренного треугольника можно также найти через сторону основания и угол при основании (углы при основании равны) как квадрат основания, деленный на четыре тангенса половины угла, образованного его боковыми сторонами. Если присмотреться внимательнее, то станет очевидно, что половина основания (b/2) умноженная на tg(β/2) даст нам высоту треугольника. Поскольку высота в равнобедренном треугольнике является, одновременно, биссектрисой и медианой, то tg(β/2) — это отношение половины основания (b/2) к высоте — tg(β/2) = (b/2)/h. Откуда h = b / (2 tg(β/2)). В итоге формула снова будет сведена к более простой Формуле 5, которая вполне очевидна.
  5. Разумеется, площадь равнобедренного треугольника можно найти, опустив высоту из вершины на основание, в результате чего получится два прямоугольных треугольника. Далее — все очевидно.
    Половина произведения высоты на основание
    и есть искомая площадь. Пример использования данной формуле см. в задаче ниже (2-й способ решения)
  6. Эта формула получается, если попытаться найти площадь равнобедренного треугольника с помощью теоремы Пифагора . Для этого выразим высоту из предыдущей формулы, которая одновременно, является катетом прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, половиной его основания и высотой, через теорему Пифагора. Боковая сторона является гипотенузой, поэтому из квадрата боковой стороны (а) вычтем квадрат второго катета. Поскольку он равен половине основания (b/2) то его квадрат будет равен b 2 /4. Извлечение корня из данного выражения и даст нам высоту. Что и видно в Формуле 6. Если числитель и знаменатель умножить на два, а потом двойку числителя внести под знак корня, получим второй вариант той же самой формулы, который написан через знак «равно».
    Кстати, самые сообразительные могут увидеть, что если в Формуле 1 раскрыть скобки, то она превратиться в Формулу 6. Или наоборот, разность квадратов двух чисел, разложенная на множители, даст нам исходную, первую.

Обозначения , которые были применены в формулах на рисунке:

a — длина одной из двух равных сторон треугольника

b — длина основания

α — величина одного из двух равных углов при основании

β — величина угла между равными сторонами треугольника и противолежащего его основанию

h — длина высоты, опущенная из вершины равнобедренного треугольника на основание

Важно . Обратите внимание на обозначения переменных! Не перепутайте α и β, а также

a и b !

Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел площадь равнобедренного треугольника). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет — пишите об этом в форуме. Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ или sqrt(), при чем в скобках указано подкоренное выражение .

Задача

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 13 см, а основание равно 10 см. Найдите площадь равнобедренного треугольника.



Решение .

1-й способ . Применим формулу Герона. Поскольку треугольник равнобедренный, то она примет более простой вид (см. формулу 1 в списке формул выше):

где а — длина боковых сторон, а b — длина основания.
Подставив значения длин сторон треугольника из условия задачи, получим:
S = 1/2 * 10 * √ ((13 + 5)(13 — 5)) = 5 √ (18 * 8) = 60 см 2

2-й способ . Применим теорему Пифагора
Предположим, что мы не помним формулу, использованную в первом способе решения. Поэтому опустим из вершины B на основание AC высоту BK.
Поскольку высота равнобедренного треугольника делит его основание пополам, то длина половины основания будет равна
AK = AC / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Высота с половиной основания и стороной равнобедренного треугольника образует прямоугольный треугольник ABK. В этом треугольнике нам известна гипотенуза AB и катет AK. Выразим длину второго катета через теорему Пифагора.

Математика — это удивительная наука. Однако такая мысль приходит только тогда, когда ее понимаешь. Чтобы этого достичь, нужно решать задачи и примеры, чертить схемы и рисунки, доказывать теоремы.

Путь к пониманию геометрии лежит через решение задач. Отличным примером могут служить задания, в которых нужно найти площадь равнобедренного треугольника.

Что такое равнобедренный треугольник, и в чем его отличие от других?

Чтобы не пугаться терминов «высота», «площадь», «основания», «равнобедренного треугольника» и прочих, потребуется начать с теоретических основ.

Сначала о треугольнике. Это плоская фигура, которая образована из трех точек — вершин, в свою очередь, соединенных отрезками. Если два из них оказываются равны друг другу, то треугольник становится равнобедренным. Эти стороны получили название боковых, а оставшаяся стала основанием.

Существует частный случай равнобедренного треугольника — равносторонний, когда и третья сторона равна двум боковым.

Свойства фигуры

Они оказываются верными помощниками в решении задач, которые требуют найти площадь равнобедренного треугольника. Поэтому знать и помнить о них необходимо.

  • Первое из них: углы равнобедренного треугольника, одна сторона которых — основание, всегда равны друг другу.
  • Важным является и свойство о дополнительных построениях. Проведенные к непарной стороне высота, медиана и биссектриса совпадают.
  • Эти же отрезки, проведенные из углов при основании треугольника, попарно равны. Это тоже часто облегчает поиск решения.
  • Два равных угла в нем всегда имеют значение меньше чем 90º.
  • И последнее: вписанная и описанная окружности строятся так, что их центры лежат на высоте к основанию треугольника, а значит медиане и биссектрисе.

Как в задаче распознать равнобедренный треугольник?

Если при решении задания встает вопрос о том, как найти площадь равнобедренного треугольника, то сначала нужно понять, что он относится к этой группе. А в этом помогут определенные признаки.

  • Равны два угла или две стороны треугольника.
  • Биссектриса является еще и медианой.
  • Высота треугольника оказывается медианой или биссектрисой.
  • Равны две высоты, медианы или биссектрисы фигуры.

Обозначения величин, принятые в рассматриваемых формулах

Для упрощения того, как находить площадь равнобедренного треугольника по формулам, введена замена его элементов на буквы.

Внимание! Важно не путать «а» с «А» и «в» с «В». Это разные величины.

Формулы, которыми можно воспользоваться в разных задачах

Известны длины сторон, и требуется найти площадь равнобедренного треугольника.

В этом случае нужно возвести в квадрат оба значения. То число, которое получилось от изменения боковой стороны, умножить на 4 и вычесть из него второе. Из полученной разности извлечь квадратный корень. Длину основания разделить на 4. Два числа перемножить. Если записать эти действия буквами, то получится такая формула:

Пусть она будет записана под №1.

Найти по значениям сторон площадь равнобедренного треугольника. Формула, которая кому-то может показаться проще, чем первая.

Первым действием нужно найти половину основания. Потом найти сумму и разность этого числа с боковой стороной. Два последних значения перемножить и извлечь квадратный корень. Последним действием умножить все на половину основания. Буквенное равенство будет выглядеть так:

Это формула №2.

Способ найти площадь равнобедренного треугольника, если известны основание и высота к нему.

Одна из самых коротких формул. В ней нужно перемножить обе данные величины и разделить их на 2. Вот как она будет записана:

Номер этой формулы — 3.

В задании известны стороны треугольника и значение угла, лежащего между основанием и боковой стороной.

Здесь, для того чтобы узнать, чему будет равна площадь равнобедренного треугольника, формула будет состоять из нескольких множителей. Первый из них — это значение синуса угла. Второй равен произведению боковой стороны на основание. Третий — дробь ½. Общая математическая запись:

Порядковый номер формулы — 4.

В задаче даны: боковая сторона равнобедренного треугольника и угол, лежащий между его боковыми сторонами.

Как и в предыдущем случае, площадь находится по трем множителям. Первый равен значению синуса угла, указанного в условии. Второй — это квадрат стороны. И последний также равен половине единицы. В итоге формула запишется так:

Ее номер — 5.

Формула, которая позволяет найти площадь равнобедренного треугольника, если известны его основание и угол, лежащий напротив него.

Сначала нужно вычислить тангенс половины известного угла. Полученное число умножить на 4. Возвести в квадрат длину боковой стороны, которое потом разделить на предыдущее значение. Таким образом, получится такая формула:

Номер последней формулы — 6.

Примеры задач

Первая задача: известно, что основание равнобедренного треугольника равно 10 см, а его высота — 5 см. Нужно определить его площадь.

Для ее решения логично выбрать формулу под номером 3. В ней все известно. Подставить числа и сосчитать. Получится, что площадь равна 10 * 5 / 2. То есть 25 см 2 .


Вторая задача: в равнобедренном треугольнике даны боковая сторона и основание, которые равны соответственно 5 и 8 см. Найти его площадь.

Первый способ. По формуле №1. При возведении в квадрат основания получается число 64, а учетверенный квадрат боковой стороны — 100. После вычитания из второго первого получится 36. Из него прекрасно извлекается корень, который равен 6. Основание, поделенное на 4, равно 2. Итоговое значение определится как произведение 2 и 6, то есть 12. Это ответ: искомая площадь равна 12 см 2 .

Второй способ. По формуле №2. Половина основания равна 4. Сумма боковой стороны и найденного числа дает 9, их же разность — 1. После умножения получается 9. Извлечение квадратного корня дает 3. И последнее действие, умножение 3 на 4, что дает те же 12 см 2 .

Решая задачи по геометрии и определяя, как найти площадь равнобедренного треугольника, можно получить неоценимый опыт. Чем больше различных вариантов заданий выполнено, тем проще найти ответ в новой ситуации. Поэтому регулярное и самостоятельное выполнение всех заданий — это путь к успешному усвоению материала.

    Выясните, как найти площадь параллелограмма. Квадраты и прямоугольники являются параллелограммами, как и любая другая четырехсторонняя фигура, у которой противоположные стороны параллельны. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле: S = bh , где «b» – основание (нижняя сторона параллелограмма), «h» – высота (расстояние от верхней до нижней стороны; высота всегда пересекает основание под углом 90°).

  • В квадратах и прямоугольниках высота равна боковой стороне, так как боковые стороны пересекают верхнюю и нижнюю стороны под прямым углом.
  • Сравните треугольники и параллелограммы. Между этими фигурами существует простая связь. Если любой параллелограмм разрезать по диагонали, получатся два равных треугольника. Аналогично, если сложить два равных треугольника, получится параллелограмм. Поэтому площадь любого треугольника вычисляется по формуле: S = ½bh , что составляет половину площади параллелограмма.

    Найдите основание равнобедренного треугольника. Теперь вы знаете формулу для вычисления площади треугольника; осталось выяснить, что такое «основание» и «высота». Основание (обозначается как «b») – это сторона, которая не равна двум другим (равным) сторонам.

  • Опустите перпендикуляр на основание. Сделайте это из вершины треугольника, которая противоположна основанию. Помните, что перпендикуляр пересекает основание под прямым углом. Такой перпендикуляр является высотой треугольника (обозначается как «h»). Как только вы найдете значение «h», вы сможете вычислить площадь треугольника.

    • В равнобедренном треугольнике высота пересекает основание точно посередине.
  • Посмотрите на половину равнобедренного треугольника. Обратите внимание, что высота разделила равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Посмотрите на один из них и найдите его стороны:

    • Короткая сторона равна половине основания: b 2 {\displaystyle {\frac {b}{2}}} .
    • Вторая сторона – это высота «h».
    • Гипотенуза прямоугольного треугольника является боковой стороной равнобедренного треугольника; обозначим ее как «s».
  • Воспользуйтесь теоремой Пифагора . Если известны две стороны прямоугольного треугольника, его третью сторону можно вычислить по теореме Пифагора: (сторона 1) 2 + (сторона 2) 2 = (гипотенуза) 2 . В нашем примере теорема Пифагора запишется так: . {2})}
    h = (25 − 9) {\displaystyle h={\sqrt {(}}25-9)}
    h = (16) {\displaystyle h={\sqrt {(}}16)}
    h = 4 {\displaystyle h=4} см.

  • Подставьте значения основания и высоты в формулу для вычисления площади треугольника. Формула: S = ½bh; подставьте в нее значения «b» и «h» и вычислите площадь. В ответе не забудьте написать квадратные единицы измерения.

    • В нашем примере основание равно 6 см, а высота равна 4 см.
    • S = ½bh
      S = ½(6 см)(4 см)
      S = 12 см 2 .
  • Рассмотрим более сложный пример. В большинстве случаев вам будет дана более трудная задача, чем рассмотренная в нашем примере. Чтобы вычислить высоту, нужно извлечь квадратный корень, который, как правило, не извлекается нацело. В этом случае запишите значение высоты в виде упрощенного квадратного корня . Вот новый пример:

    • Вычислите площадь равнобедренного треугольника, стороны которого равны 8 см, 8 см, 4 см.
    • В качестве основания «b» выберите сторону, которая равна 4 см. {2}}}}
      = 64 − 4 {\displaystyle ={\sqrt {64-4}}}
      = 60 {\displaystyle ={\sqrt {60}}}
    • Упростите квадратный корень с помощью множителей: h = 60 = 4 ∗ 15 = 4 15 = 2 15 . {\displaystyle h={\sqrt {60}}={\sqrt {4*15}}={\sqrt {4}}{\sqrt {15}}=2{\sqrt {15}}.}
    • S = 1 2 b h {\displaystyle ={\frac {1}{2}}bh}
      = 1 2 (4) (2 15) {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(4)(2{\sqrt {15}})}
      = 4 15 {\displaystyle =4{\sqrt {15}}}
    • Ответ можно записать с корнем или извлечь корень на калькуляторе и записать ответ в виде десятичной дроби (S ≈ 15,49 см 2).
  • Встаёт не только перед школьниками или студентами, но и в реальной, практической жизни. Например, во время строительства возникает необходимость отделки фасадной части, находящейся под крышей. Как вычислить количество нужного материала?

    Часто с подобными задачами сталкиваются мастера, которые работают с тканью или кожей. Ведь многие детали, которые предстоит выкроить мастеру, имеют как раз форму равнобедренного треугольника.

    Итак, существует несколько способов, помогающих найти площадь равнобедренного треугольника. Первый — вычисление её по основанию и высоте.

    Для решения нам необходимо построить для наглядности треугольник MNP с основанием MN и высотой PO. Теперь кое-что достроим в чертеже: из точки P провести линию, параллельную основанию, а из точки M — линию, параллельную высоте. Точку пересечения назовём Q. Чтобы узнать, как найти площадь равнобедренного треугольника, нужно рассмотреть полученный четырёхугольник MOPQ, в котором боковая сторона данного нам треугольника MP является уже его диагональю.

    Докажем сначала, что это прямоугольник. Так как мы строили его сами, то знаем, что стороны MO и OQ параллельны. И стороны QM и OP тоже параллельны. Угол POM прямой, значит и угол OPQ тоже прямой. Следовательно, получившийся чётырёхугольник является прямоугольником. Найти его площадь не составит труда, она равна произведению PO на OM. OM — это половина основания данного треугольника MPN. Отсюда вытекает, что площадь построенного нами прямоугольника равна полупроизведению высоты прямоугольного треугольника на его основание.

    Вторым этапом поставленной перед нами задачи, как определить площадь треугольника, является доказательство того факта, что полученный нами прямоугольник по площади соответствует данному равнобедренному треугольнику, то есть, что площадь треугольника также равна полупроизведению основания и высоты.

    Сравним для начала треугольник PON и PMQ. Они оба прямоугольны, так как прямой угол в одном из них образован высотой, а прямой угол в другом является углом прямоугольника. Гипотенузы в них являются сторонами равнобедренного треугольника, следовательно, также равны. Катеты PO и QM также равны как параллельные стороны прямоугольника. Значит, и площадь треугольника PON , и треугольника PMQ равны между собой.

    Площадь прямоугольника QPOM равна площадям треугольников PQM и MOP в сумме. Заменив надстроенный треугольник QPM треугольником PON, получаем в сумме данный нам для вывода теоремы треугольник. Теперь мы знаем, как найти площадь равнобедренного треугольника по основанию и высоте — вычислить их полупроизведение.

    Но можно узнать, как найти площадь равнобедренного треугольника по основанию и боковой стороне. Здесь также существует два варианта: теорема Герона и Пифагора. Рассмотрим решение с применением теоремы Пифагора. Для примера возьмём тот же PMN с высотой PO.

    В прямоугольном треугольнике POM MP — гипотенуза. Её квадрат равен сумме квадратов PO и OM. А так как OM — половина основания, которое нам известно, то мы легко может найти OM и возвести число в квадрат. Произведя вычитание из квадрата гипотенузы полученное число, узнаем, чему равен квадрат другого катета, который в равнобедренном треугольнике является высотой. Найдя из разности и узнав высоту прямоугольного треугольника, можно дать ответ на поставленное перед нами задание.

    Нужно просто перемножить высоту на основание и полученный результат разделить напополам. Почему именно так следует поступать, мы объяснили в первом варианте доказательства.

    Бывает, что нужно произвести вычисления по боковой стороне и углу. Тогда находим высоту и основание, используя формулу с синусами и косинусами, и, опять же, перемножаем их и делим результат пополам.

    Как найти стороны равнобедренного треугольника зная периметр. Периметр и площадь треугольника. Что мы узнали

    Периметр – это сумма всех сторон фигуры. Эта характеристика, наравне с площадью, одинаково востребована для всех фигур. Формула периметра равнобедренного треугольника логично вытекает из его свойств, но формула не столь сложна, как получение и закрепление практических навыков.

    Формула вычисления периметра

    Боковые стороны равнобедренного треугольника равны между собой. Это проистекает из определения и хорошо видно даже из названия фигуры. Именно из этого свойства и проистекает формула периметра:

    P=2a+b, где b-это основание треугольника, a-значение боковой стороны.

    Рис. 1. Равнобедренный треугольник

    Из формулы видно, что для нахождения периметра достаточно знать величину основания и одной из боковых сторон. 2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

    Найдем периметр: P=AC+AB*2=6+5*2=16

    Задача 2

    • В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равна 10, а острый угол при основании 30 градусам. нужно найти периметр треугольника.

    Рис. 3. Рисунок к задаче 2

    Эта задача осложнена отсутствием сведений о сторонах треугольника, но, зная значение высоты и угла, в прямоугольном треугольнике ABH можно найти катет AH, а после решение пойдет по тому же сценарию, что и в задаче 1.

    Найдем AH через значение синуса:

    $$sin (ABH)={BH\over AB}={1\over2}$$ — синус 30 градусов является табличным значением.

    Выразим нужную сторону:

    $$AB={{BH\over {1\over 2}}} =BH*2=10*2=20$$

    Через котангенс найдем значение AH:

    $$ctg(BAH)={AH\over BH}={1\over\sqrt{3}}$$

    $$AH={BH\over\sqrt{3}}=10*\sqrt{3}=17,32$$ — получившееся значение округлим до сотых.

    Найдем основание:

    AC=AH*2=17,32*2=34,64

    Теперь, когда все требуемые значения найдены, определим периметр:

    P=AC+2*AB=34,64+2*20=74,64

    Задача 3

    • В равнобедренном треугольнике ABC известна площадь, которая равна $$16\over\sqrt{3}$$ и острый угол при основании в 30 градусов. Найти периметр треугольника.

    Значения в условии часто приводятся в виде произведения корня на число. Это делается, чтобы максимально оградить последующее решение от погрешностей. Округлять результат лучше в конце вычислений

    При такой постановке задачи может показаться, что решений нет, ведь сложно выразить одну из сторон или высоту из имеющихся данных. Попробуем решить по-другому.

    Обозначим высоту и половину основания латинскими буквами: BH=h и AH=a

    Тогда основание будет равно: AC=AH+HC=AH*2=2a

    Площадь: $$S={1\over 2}*AC*BH={1\over 2}*2a*h=ah$$

    С другой стороны, значение h можно выразить из треугольника ABH через тангенс острого угла. Почему именно тангенс? Потому что в треугольнике ABH мы уже обозначили два катета a и h. Нужно выразить одно через другое. Два катета вместе связывают тангенс и котангенс. Традиционно к котангенсу и косинусу обращаются, только если не подходит тангенс или синус. Это не правило, можно решать так, как удобно, просто так принято. 2}=4,62$$

    Подставим значения в формулу периметра:

    P=AB*2+AH*2=4,62*2+4*2=17,24

    Что мы узнали?

    Мы разобрались подробно во всех тонкостях нахождения периметра равнобедренного треугольника. Решили три задачи разного уровня сложности, показав на примере, как решаются типовые задачи на решение равнобедренного треугольника.

    Тест по теме

    Оценка статьи

    Средняя оценка: 4.4 . Всего получено оценок: 83.

    Предварительные сведения

    Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.

    Определение 1

    Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

    Определение 2

    Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

    Определение 3

    Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

    Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.

    В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

    Определение 4

    Треугольник будем называть разносторонним, если ни одна из его сторон не равняется никакой другой.

    Определение 5

    Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны равны друг другу, но не равняются третьей стороне.

    Определение 6

    Треугольник будем называть равносторонним, если все его стороны равняются друг другу.

    Все виды этих треугольников Вы можете видеть на рисунке 2.

    Как найти периметр разностороннего треугольника?

    Пусть нам дан разносторонний треугольник, у которого длины сторон будут равняться $α$, $β$ и $γ$.

    Вывод: Для нахождения периметра разностороннего треугольника надо все длин его сторон сложить между собой.

    Пример 1

    Найти периметр разностороннего треугольника равняются $34$ см, $12$ см и $11$ см.

    $P=34+12+11=57$ см

    Ответ: $57$ см.

    Пример 2

    Найти периметр прямоугольного треугольника, у которого катеты равняются $6$ и $8$ см.

    Сначала найдем длину гипотенуз этого треугольника по теореме Пифагора. Обозначим ее через $α$, тогда

    $α=10$ По правилу вычисления периметра разностороннего треугольника, получим

    $P=10+8+6=24$ см

    Ответ: $24$ см.

    Как найти периметр равнобедренного треугольника?

    Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.

    По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

    $P=α+α+β=2α+β$

    Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.

    Пример 3

    Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см.

    По рассмотренному выше примеру, видим, что

    $P=2\cdot 12+11=35$ см

    Ответ: $35$ см.

    Пример 4

    Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см.

    Рассмотрим рисунок по условию задачи:

    Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см.

    По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда

    По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим

    $P=2\cdot 10+12=32$ см

    Ответ: $32$ см.

    Как найти периметр равностороннего треугольника?

    Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон будут равняться $α$.

    По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

    $P=α+α+α=3α$

    Вывод: Для нахождения периметра равностороннего треугольника надо длину стороны треугольника умножить на $3$.

    Пример 5

    Найти периметр равностороннего треугольника, если его сторона равняется $12$ см.

    По рассмотренному выше примеру, видим, что

    $P=3\cdot 12=36$ см

    Предварительные сведения

    Периметр любой плоской геометрической фигур на плоскости определяется как сумма длин всех его сторон. Исключением из этого не является и треугольник. Сначала приведем понятие треугольника, а также виды треугольников в зависимости от сторон.

    Определение 1

    Треугольником будем называть геометрическую фигуру, которая составлена из трех точек, соединенных между собой отрезками (рис. 1).

    Определение 2

    Точки в рамках определения 1 будем называть вершинами треугольника.

    Определение 3

    Отрезки в рамках определения 1 будем называть сторонами треугольника.

    Очевидно, что любой треугольник будет иметь 3 вершины, а также три стороны.

    В зависимости от отношении сторон друг к другу, треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные и равносторонние.

    Определение 4

    Треугольник будем называть разносторонним, если ни одна из его сторон не равняется никакой другой.

    Определение 5

    Треугольник будем называть равнобедренным, если две его стороны равны друг другу, но не равняются третьей стороне.

    Определение 6

    Треугольник будем называть равносторонним, если все его стороны равняются друг другу.

    Все виды этих треугольников Вы можете видеть на рисунке 2.

    Как найти периметр разностороннего треугольника?

    Пусть нам дан разносторонний треугольник, у которого длины сторон будут равняться $α$, $β$ и $γ$.

    Вывод: Для нахождения периметра разностороннего треугольника надо все длин его сторон сложить между собой.

    Пример 1

    Найти периметр разностороннего треугольника равняются $34$ см, $12$ см и $11$ см.

    $P=34+12+11=57$ см

    Ответ: $57$ см.

    Пример 2

    Найти периметр прямоугольного треугольника, у которого катеты равняются $6$ и $8$ см.

    Сначала найдем длину гипотенуз этого треугольника по теореме Пифагора. Обозначим ее через $α$, тогда

    $α=10$ По правилу вычисления периметра разностороннего треугольника, получим

    $P=10+8+6=24$ см

    Ответ: $24$ см.

    Как найти периметр равнобедренного треугольника?

    Пусть нам дан равнобедренный треугольник, у которого длины боковых сторон будут равняться $α$, а длина основания равняется $β$.

    По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

    $P=α+α+β=2α+β$

    Вывод: Для нахождения периметра равнобедренного треугольника надо удвоенную длину его сторон сложить с длиной его основания.

    Пример 3

    Найти периметр равнобедренного треугольника, если его боковые стороны равняются $12$ см, а основание $11$ см.

    По рассмотренному выше примеру, видим, что

    $P=2\cdot 12+11=35$ см

    Ответ: $35$ см.

    Пример 4

    Найти периметр равнобедренного треугольника, если его высота, проведенная на основание, равняется $8$ см, а основание $12$ см.

    Рассмотрим рисунок по условию задачи:

    Так как треугольник равнобедренный, то $BD$ также является и медианой, следовательно, $AD=6$ см.

    По теореме Пифагора, из треугольника $ADB$, найдем боковую сторону. Обозначим ее через $α$, тогда

    По правилу вычисления периметра равнобедренного треугольника, получим

    $P=2\cdot 10+12=32$ см

    Ответ: $32$ см.

    Как найти периметр равностороннего треугольника?

    Пусть нам дан равносторонний треугольник, у которого длины всех сторон будут равняться $α$.

    По определению периметра плоской геометрической фигуры, получим, что

    $P=α+α+α=3α$

    Вывод: Для нахождения периметра равностороннего треугольника надо длину стороны треугольника умножить на $3$.

    Пример 5

    Найти периметр равностороннего треугольника, если его сторона равняется $12$ см.

    По рассмотренному выше примеру, видим, что

    $P=3\cdot 12=36$ см

    Любого треугольника равен сумме длин трёх его сторон. Общая формула для нахождения периметра треугольников:

    P = a + b + c

    где P — это периметр треугольника, a , b и c — его стороны.

    Можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину боковой стороны на 2 и прибавив к произведению длину основания. Общая формула для нахождения периметра равнобедренных треугольников будет выглядеть так:

    P = 2a + b

    где P — это периметр равнобедренного треугольника, a — любая из боковых сторон, b — основание.

    Можно найти сложив последовательно длины его сторон или умножив длину любой его стороны на 3. Общая формула для нахождения периметра равносторонних треугольников будет выглядеть так:

    P = 3a

    где P — это периметр равностороннего треугольника, a — любая из его сторон.

    Площадь

    Для измерения площади треугольника можно сравнить его с параллелограммом . Рассмотрим треугольник ABC :

    Если взять равный ему треугольник и приставить его так, чтобы получился параллелограмм, то получится параллелограмм с той же высотой и основанием, что и у данного треугольника:

    В данном случае общая сторона сложенных вместе треугольников является диагональю образованного параллелограмма. Из свойства параллелограммов известно, что диагональ всегда делит параллелограмм на два равных треугольника, значит площадь каждого треугольника равна половине площади параллелограмма.

    Так как площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту, то площадь треугольника будет равна половине этого произведения. Значит для ΔABC площадь будет равна

    Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник:

    Два равных прямоугольных треугольника можно сложить в прямоугольник, если прислонить их друг к другу гипотенузой. Так как площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон, то площадь данного треугольника равна:

    Из это можно сделать вывод, что площадь любого прямоугольного треугольника равна произведению катетов, разделённому на 2.

    Из данных примеров можно сделать вывод, что площадь любого треугольника равна произведению длин основания и высоты, опущенной на основание, разделённому на 2 . Общая формула для нахождения площади треугольников будет выглядеть так:

    где S — это площадь треугольника, a — его основание, h a — высота, опущенная на основание a .

    Для каких вычислений понадобится высота равнобедренного треугольника

    Треугольник – одна из основных фигур в геометрии. Принято выделять треугольники прямые (один угол у которых равен 900), остро- и тупоугольные (величина углов меньше или больше 90соответственно), равносторонние и равнобедренные. При вычислениях различного рода используют основные геометрические понятия и величины (синус, медиана, радиус, перпендикуляр и т.п.)

    Темой для нашего исследования станет высота равнобедренного треугольника. Углубляться в терминологию и определения мы не станем, лишь коротко обозначим основные понятия, которые будут необходимы для понимания сути.

    Итак, равнобедренным треугольником принято считать треугольник, в котором величина двух сторон выражена одним тем же числом (равенство сторон). Равнобедренный треугольник может быть и остроугольным, и тупоугольным, и прямым. Также он может быть и равносторонним (все стороны фигуры равны по величине). Нередко можно услышать: все равносторонние треугольники равнобедренные, но не все равнобедренные – равносторонние.

    Высотой любого треугольника считается перпендикуляр, опущенный из угла на противоположную сторону фигуры. В качестве медианы выступает отрезок, проведенный из угла фигуры на центр противолежащей стороны.

    Чем примечательна высота равнобедренного треугольника?

    • Если высота, опущенная на одну из сторон, является медианой и биссектрисой, то данный треугольник будет считаться равнобедренным, и наоборот: треугольник является равнобедренным, если высота, опущенная на одну из сторон, является одновременно биссектрисой и медианой. Эту высоту называют основной.
    • Высоты, опущенные на боковые (равные) стороны равнобедренного треугольника, тождественны и образуют две подобные фигуры.
    • Если известна высота равнобедренного треугольника (как, впрочем, и любого другого) и сторона, на которую эта высота была опущена, можно узнать площадь данного многоугольника. S=1/2* (c*hc)

    Как используется высота равнобедренного треугольника в вычислениях? Свойства ее, проведенной к его основанию, делают справедливыми следующие утверждения:

    • Основная высота, являясь одновременно медианой, делит основание на два равных отрезка. Это позволяет нам узнать величину основания, площадь треугольника, образованного высотой, и т.д.
    • Являясь перпендикуляром, высота равнобедренного треугольника может считаться стороной (катетом) нового прямоугольного треугольника. Зная величину каждой из сторон, опираясь на теорему Пифагора (всем известное соотношение значений квадратов катетов и гипотенузы), можно вычислить числовое значение высоты.

    Чему равна высота треугольника? В целом равнобедренный треугольник, высота которого нам необходима, не перестает быть таковым по своей сути. Поэтому для него не теряют своей актуальности все формулы, используемые для этих фигур, как таковых. Можно вычислить длину высоты, зная величину углов и стороны, величину сторон, площадь и сторону, а также ряд других параметров. Высота треугольника равна определенному соотношению этих величин. Приводить сами формулы не имеет смысла, найти их просто. Кроме этого, обладая минимумом информации, можно найти нужные значения и уже после этого приступать к вычислению высоты.

    Равнобедренный треугольник. Вычисление длин, углов. Синус угла


    Задача 1. В треугольнике  Найдите

    Решение: + показать


    Задача 2.  В треугольнике   Найдите

    Решение: + показать


    Задача 3. В треугольнике   Найдите

    Решение: + показать


    Задача 8. В треугольнике   Найдите высоту .

    Решение: + показать

    Треугольник

    По теореме Пифагора:

    Ответ:  


    Задача 9. В равнобедренном треугольнике с основанием боковая сторона равна   Найдите длину высоты

    Решение: + показать


    Задача 10. В равнобедренном треугольнике с основанием боковая сторона равна   Найдите  

    Решение: + показать


    Задача 11.  Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен  Боковая сторона треугольника равна Найдите площадь этого треугольника.

    Решение: + показать

    Ответ:  


    Задача 12. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен  Найдите боковую сторону треугольника, если его площадь равна

    Решение: + показать


    Задача 13. Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен  Боковая сторона треугольника равна Найдите площадь этого треугольника.

    Решение: + показать

    Ответ:  


    Задача 18. В треугольнике  высота равна Найдите угол Ответ дайте в градусах.

    Решение: + показать

    В прямоугольном треугольнике значит

    Ответ:  


    Задача 19. В треугольнике угол равен   Найдите угол Ответ дайте в градусах.

    Решение: + показать

    В равнобедренном треугольнике  

    Поэтому

     

    Ответ:  


    Задача 20. Один угол равнобедренного треугольника на  больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.

    Решение: + показать

    Пусть тогда

    Тогда

    Ответ:  


    Задача 21.  Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен  Боковая сторона треугольника равна Найдите длину основания этого треугольника.

    Решение: + показать

    Пусть

    Тогда в прямоугольном треугольнике  

    Стало быть,

    По теореме Пифагора

    Откуда

    Ответ:  


    Задача 22. В треугольнике  Внешний угол при вершине равен  Найдите угол Ответ дайте в градусах.

    Решение: + показать


    Вы можете пройти тест по теме «Равнобедренный треугольник. Вычисление  углов  и длин».

    Как найти площадь равнобедренного треугольника?

    В этом уроке мы покажем простой способ решения следующей задачи: как найти площадь равнобедренного треугольника.

    Применим на практике ряд уже доказанных свойств в следующей геометрической задаче:

    Задача

    В равнобедренном треугольнике ΔABC с длиной катета 10 высота до основания равна две трети основания. Найдите площадь треугольника.

    Стратегия

    Чтобы решить эту проблему, мы будем работать в обратном направлении от того, что нам нужно сделать.

    Нам нужно найти площадь треугольника, который, как мы знаем, определяется формулой (основание умножить на высоту)/2.

    Проблема в том, что мы не знаем ни длины основания, ни высоты. Но нам дана связь между ними, которая является подсказкой о том, что нам нужно делать. Обозначим длину основания ВС за х.

    Тогда мы знаем, что высота AD равна 2x/3, как указано в задаче.

    Таким образом, ответ, который мы ищем, равен (основание умножить на высоту)/2, или х умножить на 2х/3, разделить на два.

    Но как найти х? В задаче нам дали две дополнительные вещи, которые мы еще не использовали: длину катета (10) и тот факт, что это равнобедренный треугольник. Нам, вероятно, нужно использовать эти две вещи, чтобы решить проблему.

    Рассмотрим свойства равнобедренных треугольников. Сразу следует вспомнить, что, как мы показали, в равнобедренном треугольнике высота основания делит основание пополам, поэтому CD=DB=x/2.

    Наконец, AD — это высота, что означает, что угол ∠ADC — прямой, и у нас есть прямоугольный треугольник ΔADC, гипотенузу которого мы знаем (10) и можем использовать для нахождения катетов по теореме Пифагора c 2 =a 2 +b 2,

    где c= 10 ,a = x/2 и b=2x/3 . И мы закончили, остальное просто алгебраическое решение для x.

    Доказательство

    (1) ΔADC — прямоугольный треугольник //дан, так как AD — высота до основания 3) AC = 10 // Дано

    (4) CB = x

    (5) CD = X / 2 // Высота до базы в изоляре Triangle Bisects Base

    (6) AD = 2x / 3 // Дано

    (7) 10 2 = (x/2) 2 + (2x/3) 2     //Подставить в (2)

    (8) 100 = x 2 /4+4x 2 /9 // Упростите

    (9) 100 * 36 = 9x 2 + 16x 2 // Умножьте обе стороны на 36

    (10) 100 * 36 = 25x 2 // Соберите похожие термины

    (11) 4*36 = x 2                   // разделить на 25

    (12) √144 = x                      = // извлечь квадратный корень из обеих сторон x

    (390) CB

    (14) AD = 2x/3 = 2*12/3 = 8

    (15) Площадь = 12 * 8 / 2 = 48

    Вот как легко найти площадь равнобедренного треугольника!

    Как найти высоту равностороннего треугольника

    Овладейте семью столпами успеха в школе

    Улучшите свои оценки и снизьте стресс

    Давайте рассмотрим еще несколько примеров нахождения высоты равностороннего треугольника.

    Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 8 см.

    8/2 = 4 4√3 = 6,928 см.

    Когда вы используете десятичные дроби и когда вы используете ответ с квадратным корнем. Ответ с квадратным корнем является точным ответом. На стандартизированных тестах, таких как SAT, они ожидают точного ответа. Десятичный ответ является оценкой.

    Найдите высоту равностороннего треугольника со стороной 12 единиц.

    12/2 = 6, тогда 6√3 единиц = 10.392 единицы

    Сторона равностороннего треугольника равна 16 единицам. Чему равна высота этого равностороннего треугольника.

    16/2=8√3 единиц или 13,856 единиц

    Высота равностороннего треугольника равна 10 единицам. Какова длина стороны?

    h = √3 / 2 * a = a = √3 / 2 * a = a = a = √3 / 2 * a = a = a = a = a = a = √3 / 2 * a

    a = 6 / √3 / 2

    a = 4√3

    0 Common Core Standard 6. g.1

    Треугольника Проблемы практики

    Формула для высоты равностороннего треугольника

    Найдите высоту треугольника со стороной 6 единиц.

    Шаг 1. Возьмите 1/2 бокового времени √3


    6/2 * √ (3) = 3√3 = высота

    Формула для области равностороннего треугольника

    1/2 основания * высота или 1/2 b * h

    Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной 8 единиц

    Шаг 1. Используйте формулу высоты:  ( сторона/2 * √3  )  для расчета высоты.

                 высота = 8/2* √3=4√3

    Шаг 2.Подставьте высоту в формулу площади 1/2b * h

                 h=1/2 (8)(4 √ 3 ) = 90 100 16 √ 3 = площадь треугольника

    Периметр = Добавить все три стороны или 3* стороны

    Каков периметр треугольника со стороной 7 единиц?

    Добавление всех трех сторон 7 + 7 + 7 = 21 единицы

    0 или



    3 (7) = 21 единицы

    Формула длины апофема выглядит следующим образом:

    Найдите апофему равностороннего треугольника со стороной 12 единиц

    Шаг 1. Подключите длину боковой в формуле


    12 / ((2√3))

    шаг 2. Упростите 12 / (2√3) =

    Apottem — это расстояние от центра многоугольника до середины стороны границы

    Видеореализация для поиска апофема

    В данном случае у нас есть треугольник, поэтому апофема — это расстояние от центра треугольника до середины стороны треугольника.Апофема перпендикулярна стороне треугольника и образует прямой угол.

    Эта формула работает для всех многоугольников

    S = длина одной стороны

    N = количество сторон

    Tan = Tan функция в градусах

    Есть много разных Типы треугольников, названные по длине стороны и величине угла. Равносторонний треугольник обладает следующими свойствами.


      5
      4
    • равносторонние треугольники имеют три равных боковых длины
    • равносторонних треугольников также имеют три равные углами 60 градусов
    • У них также есть три равные высоты
    • — высота равностороннего треугольника равна на длину его стороны.Нет. При прочих равных условиях легко представить, что высота и длина стороны равны, но это не так.
    • Высота равна стороне/2 x √3

    Как найти высоту равнобедренного треугольника без основания

    Например, если ваш равнобедренный треугольник имеет стороны 5 см, 5 см и 6 см, используйте 6 см в качестве основания. Используя теорему Пифагора h3 a2 b2, вы можете найти половину основания равнобедренного треугольника, так как вам известны гипотенуза и еще одна сторона прямоугольного треугольника.








    Решил две одинаковые стороны треугольника IsoSceles E



    Как найти площадь следующих inoSceles треугольник





    Как вы найдете периметр и область треугольника IsoSceles



    Высота измеряется под прямым углом к ​​основанию.



    Как найти высоту равнобедренного треугольника без основания .

    Проще говоря, используйте теорему Ptaggs, чтобы увидеть решение симметрии.
    Формула для апекса.
    И формула площади треугольника.

    Вычислите площадь равнобедренного треугольника, если известны стороны или высота и основание a.
    Каждый треугольник имеет три высоты, каждая из которых связана с отдельным основанием.
    База — самая простая часть.

    А 12абсин c.
    Высоту треугольника можно найти, если у вас есть 2 стороны и угол между ними или все три стороны.
    Если вы знаете высоту и одну сторону, вы можете вычислить длину основания аналогичным образом и работать над решением.

    Две стороны равнобедренного треугольника равны.
    В равнобедренном треугольнике есть две разные высоты.
    Площадь равнобедренного треугольника.

    Площадь равнобедренного треугольника без высоты.
    Независимо от наличия до трех различных высот один треугольник всегда будет иметь только одну меру площади.
    Выберите элементы основание и высота основание и гипотенуза основание и угол основания гипотенуза и высота гипотенуза и угол основания высота и угол основания площадь и площадь основания и высота площадь и площадь гипотенузы и угол основания высота и угол при вершине.

    Если высота равнобедренного треугольника не указана явно, но вам известны значения одной из сторон и основания, вы можете вычислить высоту, используя базовую тригонометрию, и продолжить оттуда.
    Основание равнобедренного треугольника.
    Вычисляет другие элементы равнобедренного треугольника из выбранных элементов.

    H a2 05 b2 где a — катет треугольника, а b — основание.
    В некоторых треугольниках, таких как прямоугольные равнобедренные и равнобедренные треугольники, найти высоту легко одним из двух способов.
    Просто используйте третью неравную сторону равнобедренной кости.

    Если у вас есть две стороны и угол, вы будете использовать формулу площади для двух углов и стороны.
    Теперь у вас есть формула, но что именно означают основание и высота в равнобедренном треугольнике.
    Найдите основание равнобедренного треугольника.

    Как найти высоту равнобедренного треугольника.
    И так, и если мы опустим высоту прямо здесь, что является всей точкой, это высота, мы знаем, что это будут прямые углы.
    Равнобедренный треугольник — это треугольник с двумя сторонами одинаковой длины.

    Таким образом, эти углы при основании также будут равны.











    Если есть треугольник IsoSceles имеет площадь 12 см. Математика 2 математики и



    Проблемы на INOSCELES Trangles с подробными решениями



    Прямоугольник в IsoSceles треугольник





    Как Найти область inoSceles треугольник с картинками



    Как найти высоту треугольника правый равносторонний



    IsoSceles треугольник Wikipedia








    периметр inoScelees треугольник



    площадь изослуж треугольник 60 см кв и длина



    Как найти высоту равностороннего треугольника Математика средней школы





    Найти высоту Выполненный равнобедренный треугольник Стоковое Изображение RF



    20 см База 10



    Как F Инд область inoSceles треугольник Geometry Help















    Как найти площадь изослута треугольника с фотографиями



    Периметр IsoSceles Triangle Geogebra





    Как найти площадь равнобедренного треугольника Quora



    Равнобедренный треугольник с основанием 30 см и перпендикуляром

    Как найти высоту в равнобедренном треугольнике? Формула нахождения свойств высоты в равнобедренном треугольнике

    Геометрия – это не только предмет в школе, по которому нужно получить отличную оценку. Это также знания, которые часто требуются в жизни. Например, при строительстве дома с высокой крышей нужно рассчитать толщину бревен и их количество. Это легко, если вы знаете, как найти высоту в равнобедренном треугольнике. Архитектурные сооружения строятся на знании свойств геометрических фигур. Формы зданий часто визуально напоминают их. Египетские пирамиды, пакеты с молоком, художественная вышивка, северная роспись и даже пирожки – все это окружающие человека треугольники.Как сказал Платон, весь мир основан на треугольниках.

    Равнобедренный треугольник

    Чтобы было понятнее, о чем пойдет речь далее, стоит вспомнить основы геометрии.

    Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Их всегда называют боковыми. Сторона, размеры которой различаются, называлась площадками.

    Основные понятия

    Как и любая наука, геометрия имеет свои основные правила и понятия. Их очень много. Рассмотрим только те, без которых наша тема будет несколько непонятна.

    Высота – это прямая линия, проведенная перпендикулярно противоположной стороне.

    Медиана — отрезок, направленный от любой вершины треугольника исключительно к середине противоположной стороны.

    Биссектриса угла — это луч, который делит угол пополам.

    Биссектриса треугольника — это прямая, а точнее отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину с противоположной стороной.

    Очень важно помнить, что биссектриса угла обязательно является лучом, а биссектриса треугольника является частью такого луча.

    Углы при основании

    Теорема гласит, что углы, лежащие при основании любого равнобедренного треугольника, всегда равны. Доказать эту теорему очень просто. Рассмотрим показанный равнобедренный треугольник ABC, для которого AB = BC. Из угла АВС нужно провести биссектрису ВД. Теперь рассмотрим два полученных треугольника. По условию AB = BC сторона AP у треугольников общая, а углы ABD и SVD равны, так как VD — биссектриса. Вспоминая первый признак равенства, можно смело заключить, что рассматриваемые треугольники равны. И, следовательно, все соответствующие углы равны. И, конечно же, вечеринки, но к этому моменту мы вернемся позже.

    Высота равнобедренного треугольника

    Основная теорема, на которой основано решение почти всех задач, звучит так: высота в равнобедренном треугольнике – это биссектриса и медиана. Чтобы понять его практический смысл (или суть), необходимо сделать вспомогательное уточнение. Для этого необходимо вырезать из бумаги равнобедренный треугольник.Проще всего это сделать из стандартного тетрадного листа в клетку.

    Полученный треугольник сложите пополам, совместив боковые стороны. Что случилось? Два равных треугольника. Теперь нужно проверить догадки. Разверните оригами. Нарисуйте линию сгиба. С помощью транспортира проверьте угол между начерченной линией и основанием треугольника. О чем говорит угол 90 градусов? Дело в том, что проведенная линия перпендикулярна. По определению — высота. Как найти высоту в равнобедренном треугольнике, мы разобрались.Теперь займемся углами вверху. Используя тот же транспортир, проверьте углы, образованные теперь по высоте. Они равны. Это означает, что высота также является биссектрисой. Вооружившись линейкой, измерьте длины, на которые разбивается высота основания. Они равны. Следовательно, высота в равнобедренном треугольнике делит основание пополам и является медианой.

    Доказательство теоремы

    Наглядное пособие наглядно демонстрирует истинность теоремы. А вот геометрия — наука достаточно точная, поэтому требует доказательств.

    При рассмотрении равенства углов с равенством треугольников было доказано. Напомним, что ВД — биссектриса, а треугольники АВД и СВД равны. Вывод был такой: соответствующие стороны треугольника и, конечно же, углы равны. Следовательно, AD = SD. Следовательно, VD является медианой. Осталось доказать, что VD — высота. Исходя из равенства рассматриваемых треугольников, получается, что угол АБР равен углу ВДВ.Но эти два угла соприкасаются и, как известно, дают в сумме 180 градусов. Следовательно, чему они равны? Конечно, 90 градусов. Таким образом, VD — это высота в равнобедренном треугольнике, проведенном к основанию. КЭД

    Основные черты

    • Для успешного решения задач необходимо помнить основные черты равнобедренных треугольников. Они кажутся обратными теоремам.
    • Если в ходе решения задачи обнаружено равенство двух углов, то вы имеете дело с равнобедренным треугольником.
    • Если бы удалось доказать, что медиана является одновременно и высотой треугольника, смело заключайте — треугольник равнобедренный.
    • Если биссектриса является еще и высотой, то по основным признакам треугольник называется равнобедренным.
    • И, конечно, если в роли высоты выступает медиана, то такой треугольник равнобедренный.

    Формула высоты 1

    Однако для большинства задач требуется найти арифметическую высоту.Именно поэтому рассмотрим, как найти высоту в равнобедренном треугольнике.

    Вернемся к показанной выше фигуре ABC, в которой а — стороны, а с — основание. VD — высота этого треугольника, она имеет обозначение h.

    Что такое треугольник AED? Поскольку VD — высота, треугольник ABD прямоугольный, катет которого нужно найти. Используя формулу Пифагора, получаем:

    АВ² = АД² + ВД²

    Определив из выражения ВД и подставив ранее использованные обозначения, получим:

    Н² = а² — (в/2)².

    Необходимо извлечь корень:

    H = √²² — in² / 4.

    Если убрать из корня знак ¼, то формула будет иметь вид:

    H = ½ √4a² — in².

    Это высота в равнобедренном треугольнике. Формула следует из теоремы Пифагора. Даже если вы забудете эту символическую запись, то, зная способ нахождения, всегда сможете ее вывести.

    Формула высоты 2

    Описанная выше формула является основной и чаще всего используется для решения большинства геометрических задач.Но это не единственный случай. Иногда в условии вместо основания дается значение угла. Как с такими данными найти высоту в равнобедренном треугольнике? Для решения подобных задач целесообразно использовать другую формулу:

    Н = а/sin α,

    где Н — высота, направленная к основанию,

    а — сторона,

    α — угол при основании .

    Если в задании указано значение угла при вершине, то высота в равнобедренном треугольнике равна:

    H = a/cos(β/2),

    где H — высота, опущенная на основание ,

    β — угол при вершине,

    а — сторона.

    Прямоугольный равнобедренный треугольник

    Очень интересным свойством является треугольник, вершина которого равна 90 градусам. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Как и в предыдущих случаях, VD — это высота, направленная к основанию.

    Углы у основания равны. Вычислить их большой работой не получится:

    α = (180-90)/2.

    Таким образом, углы при основании,всегда 45 градусов. Теперь рассмотрим треугольник ADV. Он тоже прямоугольный. Найдем угол ABD. Путем нехитрых вычислений получаем 45 градусов.И, следовательно, этот треугольник не только прямоугольный, но и равнобедренный. Стороны AD и VD являются боковыми сторонами и равны между собой.

    Но сторона БП при этом является половиной стороны АС. Получается, что высота в равнобедренном треугольнике равна половине основания, а если записать в виде формулы, то получится следующее выражение:

    H = B/2.

    Следует помнить, что эта формула является исключительно частный случай и может использоваться только для прямоугольных равнобедренных треугольников.

    Золотые треугольники

    Очень интересен золотой треугольник. На этом рисунке отношение стороны к основанию равно величине, называемой числом Фидия. Угол при вершине 36 градусов, у основания — 72 градуса. Этим треугольником восхищались пифагорейцы. Принципы золотого треугольника лежат в основе многих бессмертных шедевров. Известная всем пятиконечная звезда построена на пересечении равнобедренных треугольников. Для многих творений Леонардо да Винчи использовал принцип «золотого треугольника».Композиция «Джоконда» основана именно на фигурах, образующих правильный пятиугольник звезды.

    Картина «Кубизм», одно из творений Пабло Пикассо, завораживает взглядом положенных в основу равнобедренных треугольников.

    Найти высоту треугольника по заданной площади. Пошаговое руководство с примерами и картинками

    Цель этой страницы : Попрактиковаться в применении обычной формулы площади треугольника для нахождения высоты, зная площадь треугольника и основание.

    Пример 1

    На диаграмме 1 площадь треугольника равна 17,7 квадратных единиц, а его основание равно 4.

    Направления: Рассчитать высоту

    Диаграмма 1

    Красные измерения относятся к этой проблеме.

    Диаграмма 2

    Помните, что у каждого треугольника может быть 3 пары основание/высота.Итак, чтобы решить этот тип вопроса, вы должны сначала определить базу.

    Поэтому всякий раз, когда вы говорите о высоте, мы должны убедиться, что знаем, о каком из трех «оснований» (или сторон) треугольника мы говорим.

    Схема 3


    Помните: высота перпендикулярна основанию , равному $$ \overline{CB}$$.А $$ \overline{CB} $$ имеет меру 4. Мы не можем использовать другие стороны для решения этой задачи. Итак, до конца этого урока ваша первая задача — определить, какая сторона является базовой, особенно когда вы доберетесь до более сложных сторон.

    шагов :

    Шаг 1

    $ A = \ frac 1 2 \ cdot \ text { base } \ cdot \ red {\ text { height } } \\ 17.7 = \frac 1 2 \cdot 4 \cdot \red h $

    Шаг 2

    Найдите высоту, решив $$\red h $$.

    $ 17,7 = \frac 4 2 \cdot \red h \\ 17.7 = 2 \cdot \red h \\ \frac{17.7}{2} = \red h \\ \красный h = 8,85 $

    Проблема 1

    Если площадь этого треугольника равна 658. 8 квадратных футов и его основание 24 дюйма, какова высота?

    Покажи ответ

    Эта задача очень похожа на пример 1.

    Шаг 1

    $ A = \frac 1 2 \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} \\ 658.8 = \frac 1 2 \cdot 24 \cdot \red{ \text{h}} $

    Следующий шаг

    Шаг 2

    Найдите высоту, решив $$h$$.

    $ 658,8 = 12 \cdot \red h \\ \ гидроразрыва {658,8} {12} = ч \ч = 54,9 $

    Больше похоже на проблему 1

    Задачи 2 и 3 …(попрактикуйтесь в применении формулы, нет необходимости выбирать основную сторону)

    Проблема 2

    Если площадь этого треугольника равна 11,6 квадратных единиц, а его основание равно 2, какова его высота?

    Покажи ответ Шаг 1

    $ A = \frac 1 2 \cdot \text{основание} \cdot \red{ \text{высота} } \\ 11. 6 = \frac 1 2 \cdot 2 \cdot \red{ \text{h } } $

    Следующий шаг

    Шаг 2

    $ 11,6 = 1 \cdot \red h \\ ч = 11,6 $

    Проблема 3

    Если площадь этого треугольника равна 17.7 квадратных единиц и его основание 15, какова его высота?

    Покажи ответ Шаг 1

    Подставьте известные значения в формулу.

    $ A = \frac 1 2 \cdot \text{основание} \cdot \red{ \text{высота} } \\ 17.7 = \frac 1 2 \cdot \text{15} \cdot \red{ \text{ h } } \\ $

    Следующий шаг

    Шаг 2

    Найдите высоту, решив $$h$$.

    $ 17.7 = 7,5 \красный час \\ \ гидроразрыва {17,7} {7,5} = ч \\ ч = 2,4 $

    Проблема 4

    Если площадь треугольника слева равна 35. 8 квадратных единиц, найдите его высоту.

    Покажи ответ

    Эта задача очень похожа на пример 1. В каждом треугольнике есть 3 пары основание/высота, но по рисунку видно, что основание — это сторона длины 12.Помните, что основание и высота перпендикулярны.

    Шаг 1

    Подставьте известные значения в формулу.

    $ A = \frac 1 2 \cdot \text{основание} \cdot \red{ \text{высота} } \\ 35. 8 = \frac 1 2 \cdot \text{12 } \cdot \red{ \text{h } } $

    Следующий шаг

    Шаг 2

    Найдите высоту, решив $$h$$.

    $ 35,8 = 6 ч \\ \фракция{35.8}{6} =ч \\ ч = 5. 9 $

    Проблема 5

    Если площадь треугольника слева равна 73.5 квадратных единиц, найдите высоту.

    Покажи ответ

    Эта задача очень похожа на пример 1. В каждом треугольнике есть 3 пары основание/высота, но по рисунку видно, что основание — это сторона длины 11.Помните, что основание и высота перпендикулярны.

    Шаг 1

    Подставьте известные значения в формулу.

    $ A = \frac 1 2 \cdot \text{основание} \cdot \red{ \text{высота} } \\ 73.5 = \frac 1 2 \cdot 11 \cdot \red{ \text{h} } $

    Следующий шаг

    Шаг 2

    $ 73. 5 = 5,5 \красный час \\ \ гидроразрыва {73,5} {5,5} = ч \\ ч = 13,4 $

    Проблема 6

    Если площадь треугольника слева равна 141.9 квадратных единиц, найдите его высоту.

    Покажи ответ

    Эта задача очень похожа на пример 1. В каждом треугольнике есть 3 пары основание/высота, но по рисунку видно, что основание — это сторона длины 21.Помните, что основание и высота перпендикулярны.

    Шаг 1

    Подставьте известные значения в формулу.

    $ A = \frac 1 2 \cdot \text{основание} \cdot \red{ \text{высота} } \\ 141. 9 = \frac 1 2 \cdot 21 \cdot \red{ \text{h } } $

    Следующий шаг

    Шаг 2

    $ 141.9 = 10,5 ч \\ \ гидроразрыва {141,9} {10,5} = ч \\ ч = 13,5 $

    Задача-вызов

    Если периметр равностороннего треугольника равен 18, а его площадь равна 15. 6 квадратных единиц, какова мера его высоты? Кроме того, имеет ли значение, какую сторону вы выберете в качестве своей базы?

    Поскольку это равносторонний треугольник, и мы знаем, что его периметр равен 18, мы можем вычислить, что длина каждой стороны равна 6 (18/3 = 6). Неважно, какое основание мы выберем, поскольку все 3 высоты (или высоты) в равностороннем треугольнике конгруэнтны. С этого момента нужно просто следовать шагам, которые мы использовали на этой веб-странице:

    Покажи ответ

    Шаг 1

    Эта задача очень похожа на пример 1.В каждом треугольнике есть 3 пары основание/высота, но по рисунку видно, что основание — это сторона, длина которой равна 21. Помните, что основание и высота перпендикулярны.

    Подставьте известные значения в формулу.

    Площадь = $$ \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота$$

    15.6 = ½(6)(ч)

    Следующий шаг

    Шаг 2

    Найдите высоту.

    $$ 15,6 = 3 часа \\ \ гидроразрыва {15.6} {3} = ч \\ ч = 5,2 $$

    Решатель задач по геометрии — Треугольники

    Решатель геометрических задач

    Треугольник                         

     

     

    Они дают дорожки, некоторые проблемы могут быть решены автоматически, числовые значения не имеют значения в различных примерах.

    равносторонний треугольник

    INOWSELES TRIANGLE

    Правый треугольник

    Sceanene Triangle

    Треугольники

    Треугольники

    Треугольники

    Треугольники и P

    Последние проблемы с 2013 года

    Оравнивая треугольник

    трек 1

    Рассчитать периметр и область равносторонний треугольник, зная, что его сторона равна 10 см.

    Дорожка 2

    Вычислите периметр равностороннего треугольника, зная, что его высота равна 10 см.

    Дорожка 3

    Вычислите периметр и площадь равностороннего треугольника, высота которого составляет 25,98 см.

    Дорожка 4

    Периметр равностороннего треугольника равен 99 см. Вычислите сторону треугольника.

    Направляющая 5

    Периметр равностороннего треугольника равен 45 см. Насколько велика ваша площадь?

    Дорожка 6

    Чем нужно увеличить сторону равностороннего треугольника, которая равна 30 см, чтобы его периметр был равен 150 см?

    Дорожка 7

    Затем нужно уменьшить периметр равностороннего треугольника, длина которого составляет 60 см, так, чтобы его сторона была 15 см.

    Равнобедренный треугольник

    Дорожка 8

    Равнобедренный треугольник имеет основание 5 см, по наклонной стороне 0,3 дм. Вычислите периметр и площадь треугольника.

    Дорожка 9

    Равнобедренный треугольник имеет длину наклонной стороны 180 см и высоту 144 см. Вычислите периметр и площадь.

    Дорожка 10

    Равнобедренный треугольник с основанием 56 см и высотой 96 см. Вычислите размер периметра треугольника и площадь.

    Дорожка 11

    Вычислите периметр равнобедренного треугольника, зная, что его основание равно 5 см, а наклонная сторона равна 4/5 основания.

    Дорожка 12

    Равнобедренный треугольник имеет основание 60 см и высоту 2/3 основания. Вычислите размер косой стороны.

    Дорожка 13

    Сторона равнобедренного треугольника равна 50 см, а основание равно его 6/5. Вычислите периметр и площадь треугольника.

    Дорожка 14

    Периметр равнобедренного треугольника равен 52 см, а основание равно 3/5 наклонной стороны. Вычислите размеры основания и стороны треугольника.

    Направляющая 15

    Разница между косой стороной и основанием составляет 20 см, а косая сторона составляет 5/4 основания; вычислить периметр и площадь равнобедренного треугольника.

    Дорожка 16

    В равнобедренном треугольнике сумма наклонной стороны и основания составляет 50 см, а их разность составляет 16 см. Вычислите размеры сторон и периметра.

    Дорожка 17

    В равнобедренном треугольнике сумма основания и наклонной стороны составляет 41 см, а основание превышает наклонную сторону на 5 см.Вычислите периметр.

    Дорожка 18

    Периметр равнобедренного треугольника равен 35 см, а наклонная сторона в три раза больше основания. Вычислите размеры основания и наклонной стороны.

    Дорожка 19

    Вычисляет длину окружности и площадь равнобедренного треугольника, зная, что основание равно 2/5 наклонной стороны, а их сумма равна 49 см.

    Дорожка 20

    Угол при вершине равнобедренного треугольника равен 120°. Вычислите периметр и площадь треугольника, зная, что его высота равна 20 см.

    Дорожка 21

    Два равнобедренных треугольника ABC и PQR имеют одинаковый периметр, равный 35 см, и каждая из наклонных сторон треугольника ABC в три раза больше основания. Насколько велика каждая из конгруэнтных сторон RFP, зная, что основание превышает 4 см до ABC?

    Дорожка 22

    Периметр равнобедренного треугольника равен 17 дм, а основание превышает наклонную сторону на 20 см. Вычислите площадь треугольника.

    Дорожка 23

    Периметр равнобедренного треугольника равен 17 дм, а основание превышает наклонную сторону на 20 см. Зная, что высота измерения 3,57 дм, вычисляем площадь треугольника.

    Дорожка 24

    В равнобедренном треугольнике периметр равен 120 см, а высота косой стороны основания равна 50 см и 35,70 см соответственно. Вычислите площадь треугольника и измерение высоты на наклонной стороне.

    Дорожка 25

    В равнобедренном треугольнике угол при основании является четвертой частью внешней смежной. Вычислите амплитуды трех внутренних углов треугольника.

    Дорожка 26

    Площадь равнобедренного треугольника 432 см, а основание 36 см. Вычислите периметр.

    Дорожка 27

    Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см, основание и высота соответственно 14 см и 24 см. Вычислите измерение высоты на наклонной стороне.

    Дорожка 28

    Высота равнобедренного треугольника равна 6/5 основания, а их сумма равна 44 см.Вычислите периметр и площадь треугольника.

    Дорожка 29

    Периметр равнобедренного треугольника равен 96 см, а основание равно 36 см. Вычислите площадь треугольника.

    Дорожка 30

    Периметр равнобедренного треугольника равен 72 см, а каждая из наклонных сторон равна 26 см. Вычислить меру основания и площадь треугольника.

    Дорожка 31

    Вычисляет длину сторон и площадь равнобедренного треугольника, зная, что длина периметра составляет 72 см, а каждая из равных сторон превышает основание на 6 см.

    Дорожка 32

    Равнобедренный треугольник имеет длину основания 36 см и каждую из наклонных сторон по 30 см. Вычислите меру основания равнобедренного треугольника, подобного показанному выше, с равными сторонами длиной 15 см.

    Дорожка 33

    Равнобедренный треугольник имеет площадь 432 см и высоту 24 см. Вычислите периметр.

    Дорожка 34

    В равнобедренном треугольнике, площадь которого 432 см , основание равно 3/2 высоты относительно него.Вычислите периметр треугольника.

    Дорожка 35

    В равнобедренном треугольнике сумма наклонной стороны и основания составляет 50 см, а их разность составляет 16 см. Вычислите размеры сторон и периметра.

    Дорожка 36

    Два равнобедренных треугольника имеют одинаковый периметр 96 см. Основание первого треугольника составляет 6/5 каждой из наклонных сторон. Основание второго треугольника равно 9/11 основания первого. Вычислите размер каждой из наклонных сторон и площади треугольников.

    Прямоугольный треугольник

    Трек 37

    В прямоугольном треугольнике катет имеет длину 24 см, а другой катет — 7 см. Вычисляет длину гипотенузы.

    Трек 38

    Прямоугольный треугольник имеет катет 4,6 дм, а другой катет 58 см. Определяет его площадь и периметр.

    Дорожка 39

    Постройте треугольник со сторонами соответственно 3 см, 5 см и 4 см. Что такое треугольник?

    Дорожка 40

    Прямоугольный треугольник имеет катет вдоль гипотенузы 1.5 м 3 м в длину. Вычисляет длину другого катета и относительную высоту гипотенузы.

    Трек 41

    В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы 25 см, длина катета 7 см. Вычисляет длину другого катета

    Дорожка 42

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 50 см, а катет — 30 см. Вычисляет площадь и периметр треугольника.

    Трек 43

    Прямоугольный треугольник имеет площадь 300 см , длина одного катета равна 2/3 другого катета.Вычислите длину двух коротких сторон.

    Трек 44

    Прямоугольный треугольник имеет площадь 300 см , длина одного катета равна 2/3 длины другого катета. Вычислите периметр.

    Путь 45

    Разница между катетом и гипотенузой прямоугольного треугольника составляет 2 м, их отношение 5/3. Вычислите периметр и площадь треугольника.

    Путь 46

    Сумма гипотенузы и катета прямоугольного треугольника равна 8 м; их соотношение равно 5/3.Вычислите периметр и площадь треугольника.

    Трек 47

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 180 см, а катет равен 4/5. Вычислите периметр и площадь треугольника.

    Дорожка 48

    Овощ имеет форму прямоугольного треугольника, длина гипотенузы которого равна 500 м, а катет равен 3/5 гипотенузы. Вы хотите оградить сад колючей проволокой. Сколько метров колючей проволоки нужно?

    Дорожка 49

    Прямоугольный треугольник имеет длинный катет 16.4 см и площадь 151,7 см. Вычисляет длину другого катета.

    Трек 50

    Площадь треугольника 600 см . Найдите периметр и высоту гипотенузы, зная, что длина большего катета 40 см.

    Путь 51

    Площадь равнобедренного треугольника 200 дм . Рассчитайте протяженность двух катетов и периметр.

    Дорожка 52

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 50 см, а проекция катета на нее равна 18 см.Вычисляет меру другого катета и площадь треугольника.

    Дорожка 53

    В прямоугольном треугольнике катет составляет 5/3 его проекции на гипотенузу, а разница двух измерений составляет 72 см. Определяет относительную высоту гипотенузы и периметра треугольника.

    Трек 54

    Катеты прямоугольного треугольника имеют длину 3 см и длину 4 см, найти гипотенузу и высоту относительно нее

    Трек 55

    Гипотенуза прямоугольного треугольника имеет длину 5 см и катет 4 см ; расположен другой катет, относительная высота гипотенузы и сегменты, на которые он делит гипотенузу.

    Трек 56

    Площадь треугольника 6 см, длина катета 4 см. Найдите периметр и площадь двух треугольников, которые получаются при проведении медианы относительно большего катета.

    Дорожка 57

    Вычислите периметр и площадь равнобедренного треугольника с катетом длиной 20 см.

    Дорожка 58

    Вычислите периметр и площадь прямоугольного треугольника, зная, что его длина составляет 2,4 дюйма, а высота составляет 3/4 проекции большего катета на гипотенузу.

    Дорожка 59

    Площадь треугольника равна 600 квадратных сантиметров, а высота гипотенузы равна 24 см. Зная, что эта высота делит гипотенузу на две части одна на 9/16 другой, вычислить периметр треугольника, периметр и площадь двух треугольников, на которые треугольник делится по высоте гипотенузе.

    Трек 60

    Катет в прямоугольном треугольнике составляет 3/4 другого, и их разница составляет 10 см. Зная, что гипотенуза превышает катет более чем на 10 см, вычислить площадь и периметр треугольника.

    Трек 61

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза и катет имеют соответственно размеры 30 см, 40 см и 50 см. Вычислите меру гипотенузы и периметра.

    След 62

    Вычислите периметр и площадь прямоугольного треугольника, зная, что длина гипотенузы равна 10 см, а ширина острого угла равна 30.

    Дорожка 63

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза длиной 50 см и катет составляют 3/4 гипотенузы. Зная, что периметр равен 120 см, вычислите протяженность коротких сторон и площадь треугольника.

    Дорожка 64

    Прямоугольный треугольник имеет гипотенузу длиной 50 см и периметром 92 см. Вычисляет размер коротких сторон, которые составляют одну из 9/12 другой.

    Трек 65

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза и сумма катета величиной 32см 18см и их разность. Вычислите периметр и площадь треугольника.

    Дорожка 66

    В прямоугольном треугольнике сумма двух коротких сторон размером 31 см 17 см и их разность.Вычислите периметр и площадь треугольника.

    Трек 67

    Вычислите периметр и площадь прямоугольного треугольника с острыми углами 45 градусов, зная, что гипотенуза равна 141,42 см.

    Путь 68

    В прямоугольном треугольнике ABC медиана гипотенузы BC является AM. Зная, что AM + AB = 31,18 см, AB -AM = 8,82 см и AB = 2AC, вычислите периметр треугольника

    След 69

    Вычислите меру гипотенузы прямоугольного треугольника, зная, что катет равен 40 см и 4/3 другого. Вычислите периметр и площадь.

    Направляющая 70

    В равнобедренном треугольнике короткие стороны имеют длину 10 см. Определяет длину гипотенузы, периметр и площадь.

    Дорожка 71

    В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы 25 см, катет равен 3/4 длины гипотенузы. Вычислите периметр и площадь треугольника.

    Дорожка 72

    Треугольник имеет периметр 120 см и две стороны 30 см и 40 см. Вычисляет площадь.

    Трек 73

    Прямоугольный треугольник имеет катет 10 см и гипотенузу 26 см.Вычислите проекцию катета на гипотенузу.

    Дорожка 74

    Зная, что проекция катета меньше прямоугольного треугольника 10,8 см, а больше катета 19,2 см, вычислить площадь и периметр треугольника.

    Дорожка 75

    Вычислите периметр и площадь прямоугольного треугольника, зная, что относительная высота гипотенузы равна 2,4 см и что проекция катета на гипотенузу равна 3.2 см.

    Дорожка 76

    В прямоугольном треугольнике, площадь которого равна 6 см, гипотенуза равна 5 см. Вычислите периметр треугольника.

    Дорожка 77

    В равнобедренном треугольнике с периметром 34,14 см. Если гипотенуза размером 14,14 см, измеренная как катет?

    Трек 78

    Вычислите периметр и площадь прямоугольного треугольника, зная, что длина катета равна 5 см, а ширина острого угла равна 60.

    Дорожка 79

    Вычислите периметр и площадь прямоугольного треугольника, зная, что длина катета равна 5 см, а ширина острого угла равна 30.

    Дорожка 80

    Вычислите периметр и площадь прямоугольного треугольника, зная, что длина большего катета составляет 8,66 см, а ширина острого угла равна 30.

    Дорожка 81

    Вычислите периметр и площадь прямоугольного треугольника, зная, что длина большего катета составляет 8,66 см, а ширина острого угла равна 60.

    Дорожка 82

    Вычисляет малый катет прямоугольного треугольника, зная, что длина большего катета составляет 8,66 см, а ширина острого угла равна 60.

    Дорожка 83

    Вычисляет гипотенузу прямоугольного треугольника, зная, что длина большего катета составляет 8,66 см, а ширина острого угла равна 60.

    Дорожка 84

    Вычисляет гипотенузу прямоугольного треугольника, зная, что длина малого катета равна 5 см, а ширина острого угла равна 60.

    Дорожка 85

    Вычислите периметр прямоугольного треугольника, зная, что длина малого катета равна 5 см, а ширина острого угла равна 60.

    Дорожка 86

    Вычислите периметр и площадь прямоугольного треугольника с катетом длиной 18 см, который составляет 20/12 его проекции на гипотенузу.

    Трек 87

    Треугольник является двойным прямоугольником. Вычислите площадь треугольника, зная, что разница в размерах прямоугольника составляет 20 см, а основание равно 3/5 высоты.

    Дорожка 88

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 30 см, а высота гипотенузы 14,4 см. Зная, что проекция катета меньше 10,8 см, а больше катета 19,2 см, вычислить площадь и периметр треугольника.

    Трек 89

    Вычисляет относительную высоту гипотенузы прямоугольного треугольника с площадью 6 см и гипотенузой 5 см. Зная, что проекция катета меньше на гипотенузу 1,8 см, вычислить периметр данного треугольника.

    Трек 90

    Вычисляет площадь и периметр прямоугольного треугольника, зная, что гипотенуза имеет длину 30 см и 5/3 меньшего катета.

    След 91

    Из прямоугольного треугольника вы знаете, что больший катет длиной 24 см составляет 4/5 гипотенузы. Вычислите длину окружности и площадь треугольника.

    След 92

    Из прямоугольного треугольника вы знаете, что катет больше по гипотенузе 24 см и ее пять четвертей.Вычислите длину окружности и площадь треугольника.

    След 93

    Из прямоугольного треугольника вы знаете, что катет больше на 24 см в длину, а другой катет составляет его 3/4. Вычислите длину окружности и площадь треугольника.

    Трек 94

    Катет в прямоугольном треугольнике с гипотенузой 24 см и на 16 см больше другого катета. Вычислите периметр и площадь.

    Путь 95

    В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 50 см, а относительная высота 24 см. Вычислите периметр, зная, что две короткие стороны составляют одну из 3/4 другой.

    Дорожка 96

    Периметр прямоугольного треугольника равен 60 см, зная, что катет меньше пяти двенадцатых большей и 5/13 гипотенузы, рассчитайте площадь треугольника.

    Дорожка 97

    Сумма катетов прямоугольного треугольника равна 140 м.е. один из них равен 3/4 другого. Вычислите периметр, площадь и высоту гипотенузы треугольника.

    Разносторонний треугольник

    Путь 98

    Нарисуйте треугольник с вершинами ABC и сторонами 300 см; 200 см; 150 см.

    Дорожка 99

    Разносторонний треугольник со стороной 50 см, длиной второй стороны 40 см и третьей стороны 80 см. Вычислите периметр и площадь

    Дорожка 100

    Основание треугольника имеет длину 20 см. Высота треугольника равна 15 см. Вычислить площадь треугольника

    Путь 101

    Длина основания треугольника 20 см, а площадь 300 см .Вычислите высоту треугольника.

    Путь 102

    В треугольнике внутренний угол равен 30, а угол больше 40 . Найдите амплитуду каждого внешнего угла.

    Путь 103

    Периметр разностороннего треугольника равен 50 м, длина одной стороны 15 м, а другой стороны 12 м. Вычисляет длину третьей стороны.

    Дорожка 104

    Высота треугольника 15 см, а площадь 300 см . Вычисляет основание треугольника.

    Трек 105

    В треугольнике основание составляет 2/3 высоты, разница между основанием и высотой 120 см. Вычислите площадь треугольника.

    Дорожка 106

    Треугольник имеет основание 5 см, высота превышает основание на 0,2 дм. Вычислите площадь треугольника.

    Дорожка 107

    Сумма двух сторон треугольника со стороной 128 см, одна из которых составляет 3/5 другой. Зная, что третья сторона равна 40 см, вычислите длину каждой стороны треугольника и его периметр.

    Трек 108

    периметр треугольника 110 см, одна сторона 40 см. Вычислите размер двух сторон, зная, какая из них составляет 2/5 другой.

    Направляющая 109

    В треугольнике сумма основания и высоты равна 40 см. Вычислите площадь, зная, что основание равно 5/3 высоты.

    Направляющая 110

    Разница между основанием и высотой треугольника составляет 81 см. Зная, что высота равна 2/5 основания, можно определить площадь треугольника.

    Дорожка 111

    Сумма основания и высоты треугольника 120 см, а их разница 20 см. Вычислите площадь треугольника.

    Дорожка 112

    В треугольнике ABC сторона AB равна 20 см, сторона BC AB больше 5 см, а сторона AC BC больше 3 см. Вычислите периметр треугольника.

    Путь 113

    Вычислите площадь треугольника, зная, что длина основания составляет 50 м, а высота равна 5/3

    Путь 114

    Разносторонний треугольник имеет периметр 65 см, длинную сторону 20 см два один двойник другого.Вычисляет протяженность двух других сторон и площадь треугольника.

    Дорожка 115

    В треугольнике одна сторона равна 4/5 суммы двух других сторон, а последние составляют одну из 3/2 другой. Зная, что периметр равен 90 см, вычислите меру каждой стороны.

    Трек 116

    Периметр треугольника 260 см, разница между ВС и АВ 5 см, разница между АС и ВС 10 см. Вычислите площадь треугольника.

    Дорожка 117

    В треугольнике одна сторона равна 14 см, а вторая сторона на 8 см в три раза больше первой, зная, что периметр равен 112 см вычисляем площадь.

    Дорожка 118

    В треугольнике одна сторона равна 10 см, вторая сторона больше первой на 14 см, а периметр равен 60 см. Вычислите меру третьей стороны.

    Дорожка 119

    Периметр треугольника 250 см, первая сторона 1/3 второй стороны. Третья сторона составляет 3/4 второй стороны.Вычислите три стороны треугольника.

    Дорожка 120

    Две стороны треугольника ABC больше третьей соответственно на 10 см и 20 см. Вычислите длину трех сторон и площадь, зная, что периметр равен 120 см.

    След 121

    Вычисляет длину сторон и площадь треугольника ABC с периметром 60 см, зная, что сторона АС больше стороны АВ на 14 см, а сторона ВС больше стороны АС на 2 см.

    Трек 122

    Периметр треугольника 120 см.Зная, что вторая сторона превышает первую на 10 см, а третья проходит первую на 20 см, вычисляют измерения трех сторон треугольника.

    Дорожка 123

    Разносторонний треугольник имеет два угла соответственно 45 и 60 . Вычислите периметр и площадь, зная, что высота равна 20 см.

    Вписанные и описанные треугольники

    Путь 124

    Равнобедренный треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Учитывая, что длина окружности равна 275.69 см и что длина отрезка ОН равна 36,10 см, вычислить площадь и периметр треугольника.

    Дорожка 125

    Вычислите площадь треугольника, зная, что его основание равно 20 см, а высота равна половине основания.

    Дорожка 126

    Диаметр окружности равен 3/5 стороны равностороннего треугольника площадью 100 см . Вычисляет длину окружности.

    Дорожка 127

    Разносторонний треугольник имеет сторону 70 см, вторую сторону 60 см и третью сторону 80 см. Вычислите площадь круга, вписанного в треугольник.

    Дорожка 128

    Вычислите длину описанной окружности в треугольнике, зная, что катет и его проекция на гипотенузу измеряют дм и 1,8 дм 3 соответственно.

    Дорожка 129

    Равнобедренный треугольник, вписанный в окружность радиусом 43,90 см, имеет относительную высоту к основанию 80 см. Вычислите периметр и площадь треугольника.

    Дорожка 130

    В окружность диаметром 100 см вписан равнобедренный треугольник ABC, не содержащий центра.Высота треугольника относительно стороны неравного размера 36 см. Вычислите длину периметра треугольника и его площадь.

    Дорожка 131

    Прямоугольный треугольник имеет катеты 18 см и 24 см, рассчитайте длину радиуса описанной окружности.

    Дорожка 132

    Равнобедренный треугольник имеет основание 36 см и высоту 24 см. Вычислите периметр и длину радиуса описанной окружности треугольника.

    Дорожка 133

    Равнобедренный треугольник имеет основание 36 см и высоту 24 см. Вычислите периметр и длину радиуса окружности, вписанной в треугольник.

    Дорожка 134

    Равнобедренный треугольник имеет основание АВ 36 см и высоту 24 см. Вычислите:
    центральный угол, опирающийся на хорду AB описанной окружности треугольника;
    площадь кругового сектора;
    длина дуги, опирающейся на хорду AB;
    расстояние веревки от центра круга.

    Дорожка 135

    Разносторонний треугольник имеет сторону 70 см, вторую сторону 60 см и третью сторону 80 см.Вычислите:
    центральный угол, опирающийся на хорду AB описанной окружности треугольника;
    площадь кругового сектора;
    длина дуги, опирающейся на хорду AB;
    расстояние веревки от центра круга.

    Дорожка 136

    Треугольник ABC вписан в окружность, у него сторона AB конгруэнтна стороне вписанного в нее квадрата сторона BC конгруэнтна стороне равностороннего треугольника, вписанного в ту же окружность.Вычислите величины углов треугольника.

    треугольники и многоугольники

    Трек 137

    Окружность с центром О имеет радиус 10 см. Проведите из точки P вне окружности касательные PA и PB и соединив точку O с точками касания A и B, вы получите четырехугольник APBO. Зная, что периметр четырехугольника равен 100 см, вычислите размеры его сторон.

    Дорожка 138

    Окружность с центром О имеет радиус 10 см.Проведем из точки Р вне окружности касательную РА и соединив точку О с точкой касания А и точкой Р, получим треугольник АРО. Зная, что отрезок ПО равен 40 см, вычислить площадь и периметр треугольника.

    Дорожка 139

    Окружность с центром О имеет радиус 10 см. Проведем из точки Р вне окружности касательную РА и соединив точку О с точкой касания А и точкой Р, получим треугольник АРО. Зная, что отрезок ПА равен 38,73 см, вычислить площадь и периметр треугольника.

    Дорожка 140

    Хорда АВ окружности равна 90 см, расстояние от центра 40 см. Вычислите меру длины окружности и площади круга.

    Дорожка 141

    Хорда АВ окружности равна 90 см, расстояние от центра 40 см. Вычисляет измерение длины периметра треугольника ОВА и площади треугольника.

    Дорожка 142

    Прямоугольник имеет основание и высоту соответственно 40 см в длину и 30 см; определяет площадь и периметр каждого из четырех треугольников, в которых он остается, разделенный на его диагонали.

    Трек 143

    Равносторонний треугольник имеет площадь 500 см и равен 2/3 равнобедренного треугольника. Вычисляет меру высоты равнобедренного треугольника, зная, что высота равностороннего треугольника равна 100 см, а основание равнобедренного треугольника в три раза больше высоты равностороннего треугольника.

    Дорожка 144

    Площадь треугольника составляет 2/5 площади прямоугольника с основанием 60 см и высотой 20 см.Вычислите меру высоты треугольника, зная, что его основание равно 30 см.

    Путь 145

    Прямоугольник с основанием 10 м и высотой, равной шестикратному числу основания, эквивалентен прямоугольному треугольнику. с одним катетом 30 метров. Вычислите периметр треугольника.

    Дорожка 146

    Треугольник имеет стороны соответственно 100 см, 60 см и 80 см. Вычислите периметр подобного ему треугольника, длина наибольшей стороны которого 200 см.

    Направляющая 147

    Размеры прямоугольника составляют 2/3 другого, а их разница составляет 3 см. Вычислить сторону равностороннего треугольника, периметр которого равен периметру прямоугольника.

    Дорожка 148

    Сторона квадрата в три раза больше стороны равностороннего треугольника с периметром 90 см. Вычислите периметр квадрата.

    Дорожка 149

    Периметр параллелограмма равен 400 см, а одна сторона равна 3/5 его ряда.Вычислите периметр и площадь равностороннего треугольника, длина стороны которого равна большей стороне параллелограмма.

    Дорожка 150

    Треугольник имеет основание 30 см и высоту 20 см. Найдите периметр квадрата, равный 4/3 треугольника.

    Трек 151

    В прямоугольном треугольнике катет длиной 5 дм и катетом 4 дм. Найдите площадь квадрата, периметр которого равен 4/3 периметра треугольника.

    След 152

    Найдите периметр квадрата, эквивалентного прямоугольному треугольнику, гипотенуза которого равна 76.катет длиной 22 см и 2,5 дм.

    Направляющая 153

    Треугольник имеет площадь 1500 мм и длину основания 50 мм. Вычислите площадь треугольника, подобного данному, зная, что его высота равна 30 мм.

    Дорожка 154

    Прямоугольник эквивалентен квадрату с периметром 40 см. Учитывая, что высота прямоугольника равна 1/4 основания, вычисляется площадь ромба прямоугольника, изопериметрически конгруэнтного высоте, равной 3/5 стороны квадрата, а периметр равностороннего треугольника равен ромбу.

    Дорожка 155

    В равнобедренном треугольнике периметр равен 170 см, а основание равно 70 см. Вычисляет площадь и периметр квадрата, эквивалентного 2/25 треугольника.

    Дорожка 156

    Вычислите меру гипотенузы каждого из четырех треугольников, в которых ромб разделен диагоналями, зная, что сумма диагоналей длиной 14 м составляет 3/4 другой.

    Дорожка 157

    У равнобедренного прямоугольного треугольника короткие стороны равны 20 см.Вычисляет меру периметра прямоугольника, эквивалентного треугольнику, одна сторона которого равна 8/25 другой.

    Дорожка 158

    Равнобедренный треугольник эквивалентен прямоугольнику с периметром 100 см. Вычислите основание треугольника, зная, что высота прямоугольника составляет 1/3 высоты треугольника, а их разность равна 10 см.

    Дорожка 159

    В сумме диагоналей ромба размером 150 см и а составляет 1/2 другой.Вычислите:
    мера стороны квадрата, эквивалентного реву;
    периметр прямоугольника, эквивалентный одной пятой ромба, зная, что его размер составляет 4/5 другого;
    измерение трех высот разностороннего треугольника, равного 6/25 ромба, стороны которого соответственно равны 30 см, 40 см и 50 см

    Дорожка 160

    в три раза больше первого, а третий равен 4/5 секунды.Вычислите сторону равностороннего треугольника, периметр которого в четыре раза больше ABC.

    Дорожка 161

    Периметр равностороннего треугольника 30 см. Равнобедренный треугольник, имеющий тот же периметр, что и равносторонний треугольник, имеет наклонные стороны на каждой из 4/5 стороны данного треугольника; Вычислите меру основания.

    Путь 162

    Периметр треугольника ABC равен 160 см, сторона AB BC больше 30 см, а сторона AC равна 5/4 BC. Вычислите периметр другого треугольника, каждая сторона которого соответственно равна 7/5, тройке и семи десятым сторон AB, BC и AC треугольника ABC.

    Дорожка 163

    В треугольнике ABC сторона AB равна 50 см, сторона BC равна 3/5 стороны AB, а сторона AC равна 3/2 стороны BC. Вычислите сторону равностороннего треугольника, периметр которого равен 3/5 периметра треугольника ABC.

    Дорожка 164

    Прямоугольник эквивалентен треугольнику с основанием 48 см и высотой 28 см. Зная, что размер прямоугольника равен 14 см, вычислите длину диагонали.

    Дорожка 165

    Прямоугольник эквивалентен треугольнику с основанием 48 см и высотой 28 см. Зная, что размер прямоугольника равен 48 см, вычислите длину диагонали и периметр прямоугольника.

    Трек 166

    Стороны треугольника соответственно 300 см, 150 см и 200 см. Вычисляет размеры сторон треугольника, зная, что отношение сходства равно 1/10.

    Дорожка 167

    В разностороннем треугольнике с периметром 220 см сумма двух сторон по 140 см и одна равна 2/5 другой.Вычислить периметр равнобедренного треугольника, основание которого равно большей стороне данного треугольника, а наклонная сторона вдвое больше меньшей стороны

    Дорожка 168

    Трапеция образована квадратом и треугольником. Учитывая, что площадь треугольника равна 6 см, а разность оснований трапеции равна 4 см, вычислите площадь трапеции.

    Трек 169

    Пятиугольник образован квадратом и внешним по отношению к нему треугольником, основанием которого является сторона квадрата.Вычислите площадь пятиугольника, зная, что площадь квадрата равна 100 м², а высота треугольника равна 12 м.

    Дорожка 170

    Прямоугольник имеет периметр 160 см и длину основания 30 см. Вычисляет высоту треугольника, равного прямоугольнику и имеющего длину основания 50 см.

    Трек 171

    Периметр правильного пятиугольника равен 50 см. Чему равен периметр равностороннего треугольника, длина стороны которого равна длине пятиугольника?

    Дорожка 172

    Одна сторона равностороннего треугольника имеет длину 20 см.Какой должна быть сторона правильного шестиугольника, если он имеет такой же периметр?

    Дорожка 173

    Параллелограмм и треугольник имеют основания длиной 50 см и 40 см соответственно. Если две фигуры имеют одинаковую площадь и высота параллелограмма равна 30 см, вычисляется высота треугольника.

    Дорожка 174

    Равнобедренный и равнобедренный треугольники имеют одинаковый периметр. Каждая из наклонных сторон равнобедренного треугольника составляет 5/6 основания, а сторона равностороннего треугольника равна 32 см.Вычислите длину каждой стороны, площадь равнобедренного треугольника и площадь равностороннего треугольника.

    Дорожка 175

    Сумма основания и высоты треугольника равна 60 см, а а равна 1/2 другого треугольника. Вычисляет меру периметра квадрата, площадь которого равна площади треугольника.

    Трек 176

    Размеры сторон прямоугольного треугольника 400 см и 30 дм, периметр 12 м. Определяет площадь и меру гипотенузы.Рассчитайте:
    1 ) измеряет высоту и периметр прямоугольника, равного треугольнику и имеющего основание 25 дм;
    2) Периметр квадрата равен 3/2 треугольника; 3) апофема пятиугольника, эквивалентного треугольнику;
    4 ) периметр шестиугольника равен 5/3 треугольника;
    5 ) сторона семиугольника, имеющая тот же периметр, что и треугольник; 6) апофема восьмиугольника, равная 7/8 треугольника;
    7 ) периметр эннагоно, эквивалентного треугольнику;
    8 ) площадь десятиугольника с конгруэнтной гипотенузой стороны треугольника;
    9) апофема endecagono, сторона которой равна малому катету треугольника;
    10 ) периметр двенадцатиугольника, сторона которого равна высоте относительно гипотенузы треугольника.

    Дорожка 177

    Периметр прямоугольника размером 68 см и размером 5/12 другого прямоугольника. Вычислите площадь равностороннего треугольника, длина стороны которого равна диагонали прямоугольника.

    Трек 178

    Прямоугольник и квадрат изопериметричны. Сумма длин диагонали и основания прямоугольника размером 98 см и а равна 25/24 другого. Вычислите площадь равностороннего треугольника, длина стороны которого равна диагонали квадрата.

    Дорожка 179

    Вычисляет меру высоты треугольника с основанием 10 см, зная, что он эквивалентен другому треугольнику, сумма основания и высоты которого равна 35 см, а их разность составляет 5 см.

    Дорожка 180

    Два подобных треугольника с основаниями соответственно 20 см и 40 см; зная, что в первом треугольнике относительная высота к основанию равна 15 см, вычислить соответствующую высоту и площадь второго треугольника.

    Дорожка 181

    Ромб с диагональю 96 см равен удвоенному равнобедренному треугольнику с периметром 128 см и основанием 28 см. Определяет периметр алмаза.

    Дорожка 182

    В равнобедренном треугольнике косая сторона равна 25 см, а периметр равен 64 см. Вычисляет периметр квадрата, площадь которого равна 50/21 площади треугольника.

    Путь 183

    В окружности с центром O и радиусом 30 см рассмотрим хорду AB, равную 36 см.Вычислите периметр и площадь треугольника АВО.

    Трек 184

    Вычисляет длину хорды окружности радиусом 30 см, зная, что она находится на расстоянии 24 см от центра. Вычисляет длину окружности и площадь круга. Вычислите периметр и площадь треугольника АВО.

    Дорожка 185

    Вычисляет длину хорды круга диаметром 60 см, зная, что он находится на расстоянии 24 см от центра. Вычисляет длину окружности и площадь круга.Вычислите периметр и площадь треугольника АВО.

    Дорожка 186

    Равнобедренный треугольник, вершинами которого являются концы каната и центр окружности, имеет площадь 240 см . Зная, что расстояние от центра веревки равно 24 см, вычислите длину радиуса окружности.

    Дорожка 187

    Прямоугольный треугольник равен 3/4 параллелограмма, имеющего длину основания и высоту 80 см и 40 см соответственно. Рассчитывает размер катетов, зная, что один составляет 3/4 другого.

    Дорожка 188

    Диаметр круга равен стороне равностороннего треугольника с площадью 100 см . Вычисляет длину окружности.

    Дорожка 189

    Окружность конгруэнтна равностороннему треугольнику с периметром 90 см. Вычисляет длину окружности.

    Трек 190

    Прямоугольный треугольник имеет катеты соответственно 3 см и 4 см. Вычислите длину окружности, радиус которой равен гипотенузе треугольника.

    Трек 191

    Прямоугольный треугольник имеет катеты соответственно 3 см и 4 см. Вычислите длину окружности, диаметр которой равен 3/4 гипотенузы треугольника.

    Трек 192

    Прямоугольный треугольник имеет катеты соответственно 3 см и 4 см. Вычисляет длину окружности, диаметр которой составляет 3/4 большего катета.

    Трек 193

    Прямоугольный треугольник имеет катеты соответственно 3 см и 4 см. Вычислите длину окружности, радиус которой на 3/4 больше катета.

    Трек 194

    Прямоугольный треугольник имеет катеты соответственно 3 см и 4 см. Вычислите длину окружности, радиус которой равен 3/4 малого катета.

    Трек 195

    Прямоугольный треугольник имеет катеты соответственно 3 см и 4 см. Вычисляет длину окружности, диаметр которой составляет 3/4 малого катета.

    Дорожка 196

    Прямоугольный треугольник имеет площадь 6 см и соотношение между двумя катетами 3/4. Вычислите длину окружности, диаметр которой менее конгруэнтен катету.

    Трек 197

    Прямоугольный треугольник имеет площадь 6 см и отношение между двумя катетами 3/4. Вычисляет длину окружности, радиус которой конгруэнтен большему катету.

    Последние выпуски 2013 года

    Трек 198

    В треугольнике ABC точка P является отрезком пути PQ, перпендикулярным гипотенузе BC. Докажите, что треугольник PQC подобен треугольнику ABC. Зная, что PC 15 см, 9 см и PQ AC 24 см. Найдите периметр треугольника АВС.

    Путь 199

    В системе декартовых осей треугольник с вершинами A (3, -5), B (15, -5), C (-5, 5).

    Трек 200

    В системе декартовых координат, единицей измерения см является треугольник с вершинами A (3, -5), B (8, -5), C (-5, 5) .
    Опишите его характеристики;
    вычисляет длину периметра;
    вычисляет площадь;
    вычисляет длину медиан.

    Дорожка 201

    Периметр равнобедренного треугольника 96 см, а наклонная сторона 30 см.Вычислите высоту треугольника, зная, что его площадь равна 432 см.

    Дорожка 202

    Разносторонний треугольник со стороной 50 см, длиной второй стороны 40 см и третьей стороны 80 см. Вычислите три медианы.

    Путь 203

    Основание равнобедренного треугольника размером 36 м, а его высота равна 2/3. Вычисляет площадь и периметр треугольника, подобного данному, с основанием 72 м.

    Трек 204

    Равносторонний треугольник со стороной 30 см эквивалентен прямоугольному треугольнику, катет которого равен одной трети стороны равностороннего треугольника. Вычислите периметр обоих треугольников.

    Путь 205

    Вычислите количество сторон многоугольника, зная, что мера суммы внутренних углов равна 180 .

    Дорожка 206

    В окружность радиусом 10 см вписан треугольник. Зная, что две короткие стороны соответственно равны 3/5 и 4/5 гипотенузы, вычислите площадь и периметр треугольника.

    Дорожка 207

    Равнобедренный треугольник имеет основание 36 см и высоту 24 см.Вычислите периметр и площадь треугольника, зная, что он имеет высоту 6 см.

    Дорожка 208

    Основание равнобедренного треугольника составляет 6/5 наклонной стороны, а периметр равен 96 см. Вычислите периметр равностороннего треугольника, длина стороны которого равна 3/5 длины наклонной стороны данного равнобедренного треугольника.

    Дорожка 209

    Основание равнобедренного треугольника составляет 6/5 наклонной стороны, а периметр равен 96 см. Вычислите периметр равностороннего треугольника, длина стороны которого равна 5/3 основания данного равнобедренного треугольника.

    Дорожка 210

    Основание равнобедренного треугольника составляет 6/5 наклонной стороны, а периметр равен 96 см. Вычислите периметр равностороннего треугольника, длина стороны которого равна основанию данного равнобедренного треугольника.

    Дорожка 211

    Основание равнобедренного треугольника составляет 6/5 наклонной стороны, а периметр равен 96 см. Вычислите периметр равностороннего треугольника, длина стороны которого равна наклонной стороне данного равнобедренного треугольника.

    Дорожка 212

    Равнобедренный треугольник имеет площадь 432 см и высоту 24 см. Вычислите периметр и площадь равностороннего треугольника, длина стороны которого равна 5/3 наклонной стороны данного равнобедренного треугольника.

    Дорожка 213

    Равнобедренный треугольник имеет площадь 432 см и высоту 24 см. Вычислите периметр и площадь равностороннего треугольника, длина стороны которого равна 5/3 основания данного равнобедренного треугольника.

    Дорожка 214

    Равнобедренный треугольник имеет площадь 432 см и высоту 24 см. Вычислите периметр и площадь равностороннего треугольника, длина стороны которого равна основанию данного равнобедренного треугольника.

    Дорожка 215

    Равнобедренный треугольник имеет площадь 432 см и высоту 24 см. Вычислите периметр и площадь равностороннего треугольника, длина стороны которого равна наклонной стороне данного равнобедренного треугольника.

    Дорожка 216

    Равнобедренный треугольник имеет площадь 432 см и высоту 24 см. Вычислите периметр и площадь равностороннего треугольника, высота которого равна наклонной стороне данного равнобедренного треугольника.

    Дорожка 217

    Равнобедренный треугольник имеет площадь 432 см и высоту 24 см. Вычислите периметр и площадь равностороннего треугольника, высота которого равна 5/3 основания данного равнобедренного треугольника.

    Дорожка 218

    Равнобедренный треугольник имеет площадь 432 см и высоту 24 см. Вычислите периметр и площадь равностороннего треугольника, высота которого равна 5/3 наклонной стороны данного равнобедренного треугольника.

    Дорожка 219

    Равнобедренный треугольник имеет площадь 432 см и высоту 24 см.Вычислите периметр и площадь равностороннего треугольника, высота которого равна основанию данного равнобедренного треугольника.

    Дорожка 220

    Треугольник имеет угол 30 и стороны, составляющие 6 см и 9 см; вычисляет периметр и площадь треугольника.

    Путь 221

    Прямоугольный треугольник имеет площадь 6 см и гипотенузу 5 см. Каково отношение подобия к подобному треугольнику, у которого относительная высота гипотенузы равна 4.8 см?

    Трек 222

    Угол треугольника равен 60°, а длина катета, расположенного напротив него, составляет 8,66 см. Вычисляет площадь и периметр.

    Трек 223

    В прямоугольном треугольнике катет и его проекция на гипотенузу имеют размеры 30 см и 18 см. Вычислите периметр и площадь.

    Дорожка 224

    Вычислите периметр и площадь прямоугольного треугольника, зная, что разность между гипотенузой и проекцией на него катета составляет 32 см, а их отношение равно 25/9.

    Дорожка 225

    Равнобедренный треугольник имеет основание 36 см и высоту 24 см. Вычислите периметр и площадь треугольника, подобного данному, зная, что наклонная сторона второго треугольника равна 7,5 см.

    Дорожка 226

    Равносторонний треугольник с длинной стороной 60 см и равнобедренный треугольник имеют одинаковый периметр. Основание равнобедренного треугольника равно 80 см. Насколько велика наклонная сторона? Вычисляет, кроме того, площадь двух треугольников.

    Трек 227

    Вычислите периметр и площадь прямоугольного треугольника, в котором катет на 4 см больше другого катета, зная, что гипотенуза равна 20 см.

    Трек 228

    Площадь прямоугольного треугольника 600 см. Вычислите периметр, зная, что разница между двумя катетами составляет 10 см.

    Дорожка 229

    Вы хотите украсить рамы для картин 10 в форме равностороннего треугольника со стороной 150 см. Сколько декаметров ленты нужно для украшения?

    Трек 230

    Радиус окружности равен гипотенузе прямоугольного треугольника, две стороны которого имеют длину 3 см и длину 4 см. Вычислите длину окружности и площадь круга.

    Программа для решения задач может давать совершенно неправильные ответы.

    Площадь равнобедренного треугольника: значение, формула, примеры

    Площадь равнобедренного треугольника — это площадь или пространство, заключенное между сторонами равнобедренного треугольника. Общая формула расчета площади равнобедренного треугольника равна половине произведения основания и высоты треугольника.Помимо общей формулы, для расчета площади равнобедренных треугольников используются разные формулы.

    Равнобедренный треугольник — один из видов треугольников с двумя равными сторонами. Треугольник, у которого две стороны (катеты) равны, а углы при основании равны, называется равнобедренным треугольником. В этой статье мы предоставим подробную информацию о площади равнобедренного треугольника. Прокрутите вниз, чтобы узнать больше!

    Что такое равнобедренный треугольник?

    Равнобедренный треугольник — один из видов треугольников с двумя равными сторонами. Треугольник, у которого две стороны (катеты) равны, а углы при основании равны, называется равнобедренным треугольником. Название «равнобедренный треугольник» происходит от греческих слов iso , что означает «такой же» и Skelos , что означает ноги.

    Изучение концепций экзамена на Embibe

    Мы знаем, что углы, лежащие против равных сторон, равны по измерению. Таким образом, в равнобедренном треугольнике углы при основании (углы, противоположные равным сторонам), образованные катетами с основанием треугольника, равны по мере.о)\), то данный равнобедренный треугольник называется прямоугольным равнобедренным треугольником. Интересен тот факт, что равносторонний треугольник также является равнобедренным треугольником (частный случай).

    Свойства равнобедренного треугольника

    Равнобедренный треугольник — это треугольник с двумя равными сторонами. Существуют определенные свойства равнобедренного треугольника, которые делают его уникальным среди всех типов треугольников, таких как равносторонний треугольник, прямоугольный треугольник и разносторонний треугольник. °\).

    Попытка пробных тестов

    Определение площади равнобедренного треугольника

    Треугольник, у которого две стороны (катеты) равны и углы при основании равны, называется равнобедренным треугольником. Площадь равнобедренного треугольника – это площадь поверхности или пространства, заключенного между сторонами равнобедренного треугольника.

    Помимо общей формулы для вычисления площади равнобедренного треугольника, которая равна половине произведения основания и высоты равнобедренного треугольника, существуют другие формулы, используемые для вычисления площади треугольников.

    Общая формула для вычисления площади равнобедренного треугольника, если известны значения высоты и основания, дается произведением основания и высоты равнобедренного треугольника на два.
    \({\text{Площадь}} = \frac{1}{2} \times {\text{база}} \times {\text{высота}}\)

    Площадь равнобедренного треугольника с использованием сторон

    Площадь равнобедренного треугольника можно найти, вычислив высоту или высоту равнобедренного треугольника, если известны длины катетов (равных сторон) и основания. 2}}}{4}} \)
    Здесь
    \(a -\) длина катетов (равных сторон равнобедренного треугольника)
    \(b -\) длина неравной стороны или основания равнобедренного треугольника.
    Вывод:
    Пусть у равнобедренного треугольника длина равных сторон или катетов равна «\(a\)» единиц, а длина основания равнобедренного треугольника равна «\(b\)» единиц.

    Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике проведенная высота делит основание на две равные части.
    В данном равнобедренном треугольнике \(ABC\)
    \(AB = AC = a\) единиц и \(BC = b\) единиц, \(AD = h\), \(BD = DC = \frac{ б}{2}\) единиц.2}}}{4}} \right)} \)
    Вывод:
    Мы знаем, что площадь треугольника со сторонами \(a, b, c\) и полупериметром \(s\) определяется выражением \(\sqrt {s \left({s – a} \right)\left({s – b} \right)\left({s – c} \right)} \)

    Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами «\(a\)» и основанием «\(b\)»,
    Тогда полупериметр \((s) = \frac{{a + a + b}}{2} = a + \frac{b}{2}\)
    Площадь равнобедренного треугольника по формуле Герона равна
    \( \Rightarrow {\text{Area}} = \sqrt {\left({a + \frac{b }{2}} \right)\left({a + \frac{b}{2} – a} \right)\left({a + \frac{b}{2} – a} \right)\left ({a + \frac{b}{2} — b} \right)} \)
    \( \Rightarrow {\text{Area}} = \sqrt {\left({a + \frac{b}{2) }} \right){{\left({\frac{b}{2}} \right)}^2}\left({a — \frac{b}{2}} \right)} \)
    \ ( \ Rightarrow {\ text {Площадь}} = \ sqrt {{{\ left ({\ frac {b} {2}} \ right)} ^ 2} \ left ({{a ^ 2} — \ frac {{ {b^2}}}{4}} \right)} \)
    \({\text{Площадь}} = \frac{1}{2} \times b \times \sqrt {\left({{a ^2} – \frac{{{b^2}}}{4}} \right)} \)

    Площадь равнобедренного треугольника с использованием тригонометрических соотношений

    Площадь равнобедренного треугольника, если дана длина двух сторон и угол между ними или когда даны два угла и длина стороны между ними, может быть найдена с помощью тригонометрических соотношений следующим образом:

    Если даны две стороны и угол между ними:
    \({\text{Площадь}} = \frac{1}{2} \times b \times a \times \sin \alpha \)
    Здесь,
    \(a-\) длина равной стороны треугольника
    \(b-\) длина основания (неравной стороны)
    \(α-\) угол между катетами и основанием (угол при основании)
    При двух углы и сторона включены:
    \({\text{Площадь}} = {a^2} \times \sin \alpha \times \sin \frac{\beta}{2}\)
    Здесь,
    \ (a-\) длина равной стороны треугольника
    \(α-\) угол при основании
    \(β-\) угол при вершине

    Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника

    Треугольник, в котором один угол является прямым углом \((90^°)\) и с двумя равными сторонами, кроме гипотенузы, называется равнобедренным прямоугольным треугольником.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск