8.1.3. Свойство углов и сторон параллелограмма   математика-повторение

Задача 1. Один из углов параллелограмма равен 65°. Найти остальные углы параллелограмма.

Решение.

∠C =∠A = 65° как противоположные углы параллелограмма.

∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма.

∠В = 180° — ∠А = 180° — 65° = 115°.

∠D =∠B = 115° как противолежащие углы параллелограмма.

Ответ: ∠А =∠С = 65°; ∠В =∠D = 115°.

Задача 2. Сумма двух углов параллелограмма равна 220°. Найти углы параллелограмма.

 Решение.

Так как у параллелограмма имеется  2 равных острых угла и 2 равных тупых угла, то нам дана сумма двух тупых углов, т.е. ∠В +∠D = 220°. Тогда ∠В =∠D = 220°: 2 = 110°.

∠А +∠В = 180° как углы, прилежащие к одной стороне параллелограмма, поэтому ∠А = 180° — ∠В = 180° — 110° = 70°. Тогда  ∠C =∠A = 70°.

Ответ: ∠А =∠С = 70°; ∠В =∠D = 110°.

Задача 3. Один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого. Найти углы параллелограмма.

Решение.

Пусть ∠А =х. Тогда ∠В = 3х. Зная, что сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной его стороне равна 180°, составим уравнение.

х + 3х = 180;

4х = 180;

х = 180 : 4;

х = 45.

Получаем: ∠А =х = 45°, а ∠В = 3х = 3 ∙ 45° = 135°.

Противолежащие углы параллелограмма равны, следовательно,

∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.

Ответ: ∠А =∠С = 45°; ∠В =∠D = 135°.

Задача 4. Докажите, что если у четырехугольника две стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 Доказательство.

Проведем диагональ BD  и рассмотрим  Δ ADB и Δ CBD.

AD = BC по условию. Сторона BD – общая.  ∠1 = ∠2 как внутренние накрест лежащие при параллельных (по условию) прямых AD и BC и секущей BD. Следовательно, Δ ADB = Δ CBD по двум сторонам и углу между ними (1-й признак равенства треугольников).  В равных треугольниках соответственные углы равны, значит, ∠3 =∠4. А эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых AB и CD и секущей BD. Отсюда следует параллельность прямых AB и CD. Таким образом, в данном четырехугольнике ABCD противолежащие стороны попарно параллельны, следовательно, по определению ABCD – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Задача 5. Две стороны параллелограмма относятся как 2 : 5, а периметр равен 3,5 м. Найти стороны параллелограмма.

Решение.

Периметр параллелограмма P_ABCD= 2 ∙ (AB + AD).

Обозначим одну часть через х. тогда AB = 2x, AD = 5x метров. Зная, что периметр параллелограмма равен 3,5 м, составим уравнение:

2 ∙ (2x + 5x) = 3,5;

2 ∙ 7x = 3,5;

14x = 3,5;

x = 3,5 : 14;

x = 0,25.

Одна часть составляет 0,25 м. Тогда AB = 2 ∙ 0,25 = 0,5 м; AD = 5 ∙ 0,25 = 1,25 м.

Проверка.

Периметр параллелограмма P_ABCD= 2 ∙ (AB + AD) = 2 ∙ (0,25 + 1,25) = 2 ∙ 1,75 = 3,5 (м).

Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м.

Ответ: CD = AB = 0,25 м; BC = AD = 1,25 м.

 

 

www.mathematics-repetition.com

Углы параллелограмма | Треугольники

Решение задач на углы параллелограмма опирается на свойства параллелограмма.

Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равны 180º (так как они являются внутренними односторонними при параллельных прямых (противолежащих сторонах параллелограмма) и секущей (пересекающей их стороне).

Противоположные углы параллелограмма равны.

Поэтому, если в задаче дана сумма углов параллелограмма (не 180º ), то речь идет  о его противолежащих углах.

Если сказано, что один из углов параллелограмма больше или меньше другого на некоторое количество градусов (или в несколько раз, или углы относятся в некотором отношении), то речь идет об углах, прилежащих к одной стороне параллелограмма.

Если в задаче требуется найти все углы параллелограмма, в начале изучения темы ищут все четыре угла.

В дальнейшем обычно находят только два из них (прилежащие к одной стороне), поскольку другие два им равны.

Рассмотрим некоторые задачи на нахождение углов параллелограмма.

Задача 1.

Найти углы параллелограмма, если один из его углов на 40º больше другого.

 

Дано: ABCD — параллелограмм,

∠B на 40º  больше ∠A.

Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.

Решение:

Пусть ∠A=хº, тогда ∠B=х+40º.

Так как противоположные стороны параллелограмма параллельны, то

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Имеем уравнение:

х+х+40=180

2х=180-40

2х=140

х=70

Значит, ∠A=70º, тогда ∠B=70+40=110º.

∠C=∠A=70º, ∠D=∠B=110º (как противолежащие углы параллелограмма).

Ответ: 70º, 70º, 110º, 110º.

Задача 2.

Найти углы параллелограмма, если два из них относятся как 2:3.

 

 

Дано: ABCD — параллелограмм,

∠A:∠B=2:3.

Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.

Решение:

Пусть k — коэффициент пропорциональности. Тогда ∠A=2kº, ∠B=3kº.

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Составим уравнение и решим его:

2k+3k=180

5k=180

k=36

Значит, ∠A=2∙36=72º, ∠B=3∙36=108º.

∠C=∠A=72º, ∠D=∠B=108º (как противолежащие углы параллелограмма).

Ответ: 72º, 72º, 108º, 108º.

Задача 3.

Найти углы параллелограмма, если сумма двух из них равна 150º.

 

Дано: ABCD — параллелограмм,

∠A+∠C=150º.

Найти: ∠A, ∠B, ∠C,∠D.

Решение:

∠A=∠C=150:2=75º (как противолежащие углы параллелограмма).

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB).

Следовательно, ∠B=180º-∠A=180-75=105º.

∠D=∠B=105º (как противолежащие углы параллелограмма).

Ответ: 75º, 75º, 105º, 105º.

www.treugolniki.ru

Найти острый угол параллелограмма

---

Свойства углов параллелограмма:

1. Противоположные углы равны

2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение:  cos β <0

a, b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол

β — тупой угол

 

Формулы косинуса острого и тупого углов через стороны и диагонали (по теореме косинусов):

 

 

Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и стороны:

 

Формулы соотношения острого и тупого углов:

 

 

Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos или arcsin

 

 

---

---

Формулы площади параллелограмма

Формула периметра параллелограмма

Все формулы по геометрии

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 05 ноября 2011

Обновлено: 27 сентября 2017

www-formula.ru

Как найти острый угол параллелограмма?

Параллелограммом называется такой четырехугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны.

Параллелограмм обладает всеми свойствами четырехугольников, но кроме этого имеет и свои отличительные особенности. Зная их, мы можем с легкостью находить как стороны, так и углы параллелограмма.

Свойства параллелограмма

1. Сумма углов в любом параллелограмме, как и в любом четырехугольнике, равна 360°.
2. Средние линии параллелограмма и его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Эту точку принято называть центром симметрии параллелограмма.
3. Противоположные стороны у параллелограмма всегда равны.
4. Также у этой фигуры всегда равны противоположные углы.
5. Сумма углов, которые прилегают к любой из сторон параллелограмма, всегда составляет 180°.
6. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон. Это выражается формулой:
   • d₁² + d₂² = 2 (a²+b ²), где d₁ и d₂ — диагонали, a и b — смежные стороны.
7. Косинус тупого угла всегда меньше нуля.

Как найти углы заданного параллелограмма, применяя эти свойства на практике? И какие еще формулы могут нам в этом помочь? Рассмотрим конкретные задания, в которых требуют: найдите величины углов параллелограмма.

Нахождение углов параллелограмма

Случай 1. Известна мера тупого угла, требуется найти острый угол.

Пример: В параллелограмме ABCD угол A равен 120°. Найдите меру остальных углов.

Решение: Пользуясь свойством № 5, мы можем найти меру угла B, смежного с тем углом, который дан в задании. Он будет равен:

А теперь, пользуясь свойством №4, мы определяем, что два оставшихся угла C и D противоположны тем углам, которые мы уже нашли. Угол C противоположен углу A, угол D — углу B. А следовательно они попарно им равны.

• Ответ: B = 60°, C = 120°, D=60°

Случай 2. Известны длины сторон и диагонали

В таком случае нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Мы можем сначала по формуле вычислить косинус нужного нам угла, а потом по специальной таблице найти, чему равен сам угол.

Для острого угла формула такая:

• cosa = (А² + В² — d²) / (2 * А * В), где
• а — это искомый острый угол,
• А и В — стороны параллелограмма,
• d — меньшая диагональ

Для тупого угла формула немного меняется:

• cosß = (А² + В² — D²) / (2 * А * В), где
• ß — это тупой угол,
• А и В — стороны,
• D — большая диагональ

Пример: необходимо найти острый угол параллелограмма, стороны которого равны 6 см и 3 см, а меньшая диагональ равна 5.2 см

Подставляем значения в формулу для нахождения острого угла:

• cosa = (6² + 3² — 5.2²) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 — 27.04) / (2 * 18) = 17.96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. По таблице выясняем, что искомый угол равен 60°.
• Ответ: 60°

elhow.ru