Как по графику параболы определить функцию – Алгоритм нахождения значения коэффициентов a,b,c квадратичной функции (9 класс) — Разное — Математика — Методическая копилка — Международное сообщество педагогов «Я

Posted on by alexxlab

Как легко составить уравнение параболы по графику

Автор Сергей Валерьевич

Среда, 3 августа, 2016

В данной статье репетитор по математике рассказывает о простом и эффективном способе составления уравнения параболы по её графику, которому вас не научат в школе. Дочитайте эту статью до конца или посмотрите видео с подробным объяснением, потому что эта информация может вам пригодиться на экзамене.


Задача состоит в том, чтобы по графику параболы (см. рисунок) определить коэффициенты a, b и c соответствующей квадратичной функции y = ax^2+bx+c:

График параболы, уравнение которой требуется составить

Существует стандартный и крайне неэффективный способ решения этой задачи. Он заключается в том, чтобы через координату x_B вершины параболы связать коэффициенты a и b, используя формулу x_B = -\frac{b}{2a}. Затем взять координаты двух точек, которые принадлежат параболе, составить систему уравнений и решить её относительно искомых коэффициентов. Считать придётся долго и муторно.

Мы не пойдём этим путём. Предлагаемый в данной статье способ намного более прост и изящен. Введём новую систему координат X_1OY_1

с центром в вершине параболы и осями, сонаправленными с исходной системой координат. В данной системе координат уравнение нашей параболы будет иметь вид: y_1 = ax_1^2, где a\ne 0. Изобразим в новой системе координат график квадратичной функции y_1 = x_1^2 (синяя пунктирная линия на рисунке):

Парабола, уравнение которой требуется найти, в новой системе координат

Абсциссы точек C и B в новой системе координат равны. Ордината точки C в 2 раза больше ординаты точки B. Значит график исходной параболы в новой системе координат получен умножением на \frac{1}{2} всех ординат точек графика функции y_1= x_1^2. Откуда получаем, что a=\frac{1}{2}. Значит исходная парабола может быть представлена в виде следующего выражения в новой системе координат: y_1 = \frac{1}{2}x_1^2.

Осталось перейти в исходную систему координат. Поскольку новая система координат получена путём параллельного переноса исходной системы координат на 4 единичных отрезка вправо и 2 единичных отрезка вверх, то в исходной системе координат наша парабола может быть представлена в виде следующего выражения:

    \[ y = \frac{1}{2}(x-4)^2+2 = \frac{1}{2}x^2-4x+10. \]

Как видите, данный способ требует минимум вычислений и фактически является полуустным. Запомните этот способ, он может пригодиться вам при решений задач из ЕГЭ, ОГЭ или вступительных экзаменов в вузы и школы с углубленным изучением математики.

Статья написана репетитором по математике в Москве, Сергеем Валерьевичем

yourtutor.info

Определение значений коэффициентов квадратичной функции по графику.

Просмотр содержимого документа
«Определение значений коэффициентов квадратичной функции по графику.»

Определение значений коэффициентов квадратичной функции по графику. Методическая разработка Сагнаевой А.М. МБОУ СОШ№44 г. Сургут, ХМАО-Югра .

Определение значений коэффициентов квадратичной функции по графику.

Методическая разработка Сагнаевой А.М.

МБОУ СОШ№44 г. Сургут, ХМАО-Югра .

Y у 1 Ι. Нахождение коэффициента а по графику параболы  определяем координаты вершины  (m,n) 2. по графику параболы  определяем координаты любой точки А  (х 1 ;у 1 ) 3. подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом  виде: у=a(х-m)2+n 4. решаем полученное уравнение. А(х 1 ;у 1 ) c n Х m Х 1 Вершина парабола

Y

у 1

Ι. Нахождение коэффициента

а

  • по графику параболы  определяем координаты вершины  (m,n)

2. по графику параболы  определяем координаты любой точки А  (х 1 ;у 1 )

3. подставляем эти значения в формулу квадратичной функции, заданной в другом  виде:

у=a(х-m)2+n

4. решаем полученное уравнение.

А(х 1 ;у 1 )

c

n

Х

m

Х 1

Вершина

парабола

Y ΙΙ. Нахождение коэффициента b у 1 1. Сначала находим значение коэффициента  a 2. В формулу для абсциссы параболы  m= -b/2a  подставляем значения  m и a 3. Вычисляем значение коэффициента  b . А(х 1 ;у 1 ) c n Х Х 1 m Вершина парабола

Y

ΙΙ. Нахождение коэффициента b

у 1

1. Сначала находим значение коэффициента  a

2. В формулу для абсциссы параболы  m= -b/2a  подставляем значения  m и a

3. Вычисляем значение коэффициента  b .

А(х 1 ;у 1 )

c

n

Х

Х 1

m

Вершина

парабола

Y ΙΙΙ. Нахождение коэффициента c у 1 1. Находим ординату точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту  с , т.е. точка (0;с) -точка пересечения графика параболы с осью Оу. 2.     Если по графику невозможно найти точку пересечения параболы с осью Оу, то находим коэффициенты  a,b (см. шаги Ι, ΙΙ ) 3. Подставляем найденные значения  a, b ,А(х 1; у 1 )  в  уравнение   у=ax 2  +bx+c  и находим  с. А(х 1 ;у 1 ) c n Х Х 1 m Вершина парабола

Y

ΙΙΙ. Нахождение коэффициента c

у 1

1. Находим ординату точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту 

с , т.е. точка (0;с) -точка пересечения графика параболы с осью Оу.

2.     Если по графику невозможно найти точку пересечения параболы с осью Оу, то находим коэффициенты  a,b

(см. шаги Ι, ΙΙ )

3. Подставляем найденные значения  a, b ,А(х 1; у 1 )  в  уравнение

  у=ax 2  +bx+c  и находим  с.

А(х 1 ;у 1 )

c

n

Х

Х 1

m

Вершина

парабола

Y ΙΙΙ. Нахождение коэффициента c у 1 1. Находим ординату точки пересечения графика параболы с осью Оу, это значение равно коэффициенту  с , т.е. точка (0;с) -точка пересечения графика параболы с осью Оу. 2.     Если по графику невозможно найти точку пересечения параболы с осью Оу, то находим коэффициенты  a,b (см. шаги Ι, ΙΙ ) 3. Подставляем найденные значения  a, b ,А(х 1; у 1 )  в  уравнение   у=ax 2  +bx+c  и находим  с. А(х 1 ;у 1 ) c n Х Х 1 m Вершина парабола
Задачи 1 2 4 3 5 6

Задачи

1

2

4

3

5

6

1 подсказка

1

подсказка

1 подсказка Ιх 2 Ι , а х 1 0, т.к. a Ордината точки пересечения параболы с осью ОY – коэффициент с Ответ: 5 с х 1 х 2 «
  • Ветви параболы направлены вниз,

значит а

  • Корни имеют разные знаки,Ι х 1 ΙΙх 2 Ι , а х 1 0, т.к. a
  • Ордината точки пересечения параболы с осью ОY – коэффициент с

Ответ: 5

с

х 1

х 2

2 П Подсказка

2

П Подсказка

2 П Подсказка 0 x 1 +x 2 = — b/a 0. a 0. Ответ: 5 «

C

1.Ветви параболы направлены вниз, значит а

Ответ: 5

2 П Подсказка 0 , т.к. ветви параболы направлены вверх; 2. с=у(0)3. Вершина параболы имеет положительную абсциссу: при этом а 0, следовательно, b4. D0, т.к. парабола пересекает ось ОХ в двух различных точках. «

3

Y

На рисунке приведен график функции у=ax 2 +bx+c. Укажите знаки коэффициентов a,b,c и дискриминанта D.

-1

3

X

Решение:

1. а0 , т.к. ветви параболы направлены вверх;

2. с=у(0)

3. Вершина параболы имеет положительную абсциссу:

при этом а 0, следовательно, b

4. D0, т.к. парабола пересекает ось ОХ в двух различных точках.

4 На рисунке изображена парабола   Укажите значения  k  и  t .   A.   B. k=-3, t=-2   C. k=2, t=-3 k=-2, t=-3   D. k=3, t=2

4

На рисунке изображена парабола

 

Укажите значения  k  и  t .

  A.

  B.

k=-3, t=-2

  C.

k=2, t=-3

k=-2, t=-3

  D.

k=3, t=2

5 Найдите координаты вершины параболы и напишите функцию, график которой изображен на рисунке.

5

Найдите координаты вершины параболы и напишите функцию, график которой изображен на рисунке.

6 Найдите  , где    - абсциссы точек пересечения параболы и горизонтальной прямой (см. рис.).   A.   B. 31   C. 30 35   D. 42

6

Найдите  , где    — абсциссы точек пересечения

параболы и горизонтальной прямой (см. рис.).

  A.

  B.

31

  C.

30

35

  D.

42

multiurok.ru

Чтение графиков функций. Смещение параболы. Егэ решение.

Смещение по горизонтали параболы

 

Если мы прибаляем к функции \(y=x^2\) число 3 \(y=(x+3)^2\), то график смещается по оси \(0X\) на \(-3\) еденицы, если вычитаем число \(2\)  \(y=(x-2)^2\), то график сместится \(+2\)  относительно  \(0X\):

Чтение графиков функций: парабола


Если мы отнимем от \(y=(x+3)^2\) 3 , то \(y=(x+3)^2-3\), то график начнет смещаться уже по вертикали вниз на \(3\) единицы, а именно по оси \(0Y\):

Чтение графиков функций: парабола Напомним, графиком квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c \) является парабола, если забыл что такое парабола, то повтори в этой статье https://myalfaschool.ru/articles/parabola. Вершину параболы можно вычислить по формуле: \(x=\frac{ — b}{2a}.\)

Задача 

Чтение графиков функций: парабола

Здесь нам пригодятся знания нахождения формулы вершины параболы  \(x=\frac{ — b}{2a}\), она не такая  и тяжелая, так что запомните ее. Если мы видим на графике параболу, то сразу представляем уранение вида \(y = ax^2 + bx + c \). По графику выше определяем вершина равна -1:

\(\frac{-b}{2a}=-1\)  \(—>\) \(b=2a\)

Как видно из рисунка парабола пересекает \(OY\) в точке 3, поэтому \(с=3\)  и \(y = ax^2 + 2ax + 3\), так как \(b=2a\). Находим любую точку проходящую через параболу, возьмем вершину параболы \((-1; 2)\) и подставим в уравнение:

\(2 = (-1)x^2 + 2(-1)x + 3\) \(—>\) \(2=-a+3\) \(—>\) \(a=1\)

 

Ответ: 2)1.

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена

Знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

В этой статье я расскажу, как по графику квадратичной функции найти знаки коэффициентов квадратного трехчлена.

Чтобы определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена по графику квадратичной функции y=ax^2+bx+c, нужно вспомнить теорему Виета.

Согласно теореме Виета, сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену.

Квадратное уравнение называется приведенным, если его старший коэффициент равен единице.

Чтобы уравнение  ax^2+bx+c=0 стало приведенным, нужно обе части уравнения разделить на старший коэффициент. Получим приведенное уравнение x^2+{b/a}x+{c/a}=0. Для него справедливы соотношения:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x_1+x_2=-b/a} {x_1*x_2=c/a} }}{ }

И эти же соотношения справедливы для уравнения  ax^2+bx+c=0

По графику квадратичной функции мы легко можем определить знак коэффициента  a — если ветви параболы направлены вверх, то a>0a>0,  а если вниз, то a<0a>0.

Также по графику легко определяются знаки корней (корни квадратного трехчлена   ax^2+bx+c — это абсциссы точек пересечения графика функции  y=ax^2+bx+c с осью абсцисс), а также знак корня с большим модулем.

Если оба корня положительны, то x_1+x_2=-b/a>0a>0.

Если оба корня отрицательны, то x_1+x_2=-b/a<0a>0.

Если корень с большим модулем положителен, то x_1+x_2=-b/a>0a>0.

Если корень с большим модулем отрицателен, то x_1+x_2=-b/a<0a>0.

Если корни имеют одинаковые знаки, то x_1*x_2=c/a>0a>0.

Если корни имеют разные знаки, то x_1*x_2=c/a<0a>0.

Во всех случаях, определив знак коэффициента a по направлению ветвей параболы, мы легко найдем знаки коэффициентов b и c

Рассмотрим примеры.

1. Определить знаки коэффициентов квадратного трехчлена ax^2+bx+c, если график функции  y=ax^2+bx+c имеет вид:

y=ax^2+bx+c

1. Ветви параболы направлены вниз, следовательно, a<0a>0.

2. Корни имеют одинаковые знаки, следовательно, их произведение положительно: x_1*x_2=c/a>0a>0. Так как a<0a>0, следовательно, c<0a>0.

3. Оба корня отрицательны, следовательно,   их сумма отрицательна: x_1+x_2=-b/a<0a>0. Так как a<0a>0, следовательно, b<0a>0.

Ответ: a<0a>0, b<0a>0, c<0a>0.

 

2. Определить знаки коэффициентов  квадратного трехчлена ax^2+bx+c, если график функции  y=ax^2+bx+c имеет вид:

y=ax^2+bx+c

1. Ветви параболы направлены вверх, следовательно, a>0a>0.

2. Корни имеют разные  знаки, следовательно, их произведение отрицательно: x_1*x_2=c/a<0a>0. Так как a>0a>0, следовательно, c<0a>0.

3. Корень с большим модулем положителен, следовательно,  сумма корней положительна: x_1+x_2=-b/a>0a>0. Так как a>0a>0, следовательно, b<0a>0.

Ответ: a>0a>0, b<0a>0, c<0a>0.

Замечание: c — ордината точки пересечения параболы с осью OY, поэтому знак cможно определить сразу.

a>0

 

ege-ok.ru

Построение параболы, с примерами

Алгоритм построения графика параболы

Если парабола задана уравнением , то чтобы построить ее график, понадобится:

  1. Выяснить направление ветвей параболы: если коэффициент , то ветви направлены вверх, а если – вниз.
  2. Определить координаты вершины параболы. Чтобы определить абсциссу вершины параболы пользуются формулой

       

    Для определения ординаты вершины параболы нужно подставить в уравнение параболы вместо найденное в предыдущем шаге значение :

       

  3. Нанести полученную точку на график и провести через неё ось симметрии, параллельно координатной оси .
  4. Найти точки пересечения с осями координат:

    5. – с осью – найти корни уравнения , если уравнение не имеет действительных корней, то график не пересекает ось абсцисс,

    – с осью – подставить в уравнение значение и вычислить значение .

  5. Найти координаты произвольной точки , которая принадлежит параболе. Для этого возьмем произвольное значение и подставим его в уравнение параболы.
  6. Соединить полученные точки на графике плавной линией и продолжить график за крайние точки, до конца координатной оси.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *