Формулы сокращённого умножения многочленов — Википедия

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Содержание

• 1 Формулы для квадратов
• 2 Формулы для кубов
• 3 Формулы для четвёртой степени
• 4 Формулы для n-ой степени
• 5 Некоторые свойства формул
• 6 См. также
• 7 Литература

Формулы для квадратов

• (a±b)2=a2±2ab+b2{\displaystyle (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}}
• a2−b2=(a+b)(a−b){\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
• (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc}

Формулы для кубов

• (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3{\displaystyle (a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}}
• a3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2){\displaystyle a^{3}\pm b^{3}=(a\pm b)(a^{2}\mp ab+b^{2})}
• (a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2b+3a2c+3ab2+3ac2+3b2c+3bc2+6abc{\displaystyle \left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^{2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc}

Формулы для четвёртой степени

• (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4{\displaystyle (a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}}
• a4−b4=(a−b)(a+b)(a2+b2){\displaystyle a^{4}-b^{4}=(a-b)(a+b)(a^{2}+b^{2})} (выводится из a2−b2{\displaystyle a^{2}-b^{2}})

Формулы для n-ой степени

• an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+an−3b2+…+a2bn−3+abn−2+bn−1){\displaystyle a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+…+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})}
• a2n−b2n=(a+b)(a2n−1−a2n−2b+a2n−3b2−…−a2b2n−3+ab2n−2−b2n−1){\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2}-…-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})}, где n∈N{\displaystyle n\in N}
• a2n−b2n=(an+bn)(an−bn){\displaystyle a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})}
• a2n+1+b2n+1=(a+b)(a2n−a2n−1b+a2n−2b2−…+a2b2n−2−ab2n−1+b2n){\displaystyle a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{2}-…+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})}, где n∈N{\displaystyle n\in N}

Некоторые свойства формул

• (a−b)2n=(b−a)2n{\displaystyle (a-b)^{2n}=(b-a)^{2n}}, где n∈N{\displaystyle n\in N}
• (a−b)2n+1=−(b−a)2n+1{\displaystyle (a-b)^{2n+1}=-(b-a)^{2n+1}}, где n∈N{\displaystyle n\in N}

См. также

• Многочлен
• Бином Ньютона
• Факторизация многочленов

Литература

• М. Я. Выгодский. Справочник по элементарной математике. — Москва, 1958.

Как раскрываются скобки со степенями. Раскрытие скобок: правила, примеры, решения

сформировать способность к раскрытию скобок с учетом знака, стоящего перед скобками;

развивающие:

развивать логическое мышление, внимание, математическую речь, умение анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

воспитывающие:

формирование ответственности, познавательного интереса к предмету

Ход урока

I. Организационный момент.

Проверь-ка дружок
Ты готов на урок?
Всё ли на месте? Всё в порядке?
Ручка, книжка и тетрадка.
Все ли правильно сидят?
Все ль внимательно глядят?

Начать урок я хочу с вопроса к вам:

Как вы думаете, что самое ценное на Земле? (Ответы детей.)

Этот вопрос волновал человечество не одну тысячу лет. Вот какой ответ дал известный ученый Аль-Бируни: “Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит”.

Пусть эти слова станут девизом нашего урока.

II. Актуализация прежних знаний, умений, навыков:

Устный счет:

1.1. Какое сегодня число?

2. Расскажите, что вы знаете о числе 20?

3. А где расположено это число на координатной прямой?

4. Назовите число ему обратное.

5. Назовите число ему противоположное.

6. Как называется число – 20?

7. Какие числа называются противоположными?

8. Какие числа называются отрицательными?

9. Чем равен модуль числа 20? – 20?

10. Чему равна сумма противоположных чисел?

2. Объясните следующие записи:

а) Гениальный математик древности Архимед родился в 0 287 г.

б) Гениальный русский математик Н.И.Лобаческий родился в 1792 г.

в) Первые олимпийские игры состоялись в Греции в – 776 г.

г) Первые Международные олимпийские игры состоялись в 1896 г.

д) XXII Олимпийские зимние игры состоялись в 2014 году.

3. Узнайте, какие числа крутятся на “математической карусели” (все действия выполняются устно).

II. Формирование новых знаний, умений, навыков.

Вы научились выполнять разные действия с целыми числами. Чем же будем заниматься дальше? Как будем решать примеры и уравнения?

Давайте найдем значение данных выражений

7 + (3 + 4) = -7 + 7 = 0
-7 + 3 + 4 = 0

Какой порядок действий в 1 примере? Сколько получилось в скобках? Порядок действий во втором примере? Результат первого действия? Что можно сказать об этих выражениях?

Конечно результаты первого и второго выражений одинаковы, значит между ними можно поставить знак равенства: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4

Что же мы сделали со скобками? (Опустили.)

Как вы думаете чем мы будем заниматься сегодня на уроке? (Дети формулируют тему урока.) В нашем примере, какой знак стоит перед скобк

Правила раскрытия скобок со степенями. Как раскрыть скобки

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений . Например , в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение : В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что

знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей .

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение : Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение : У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…

Потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\) . Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\) . А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\) . Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:

— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

Пр

Вынесение за скобки общего множителя: правило, примеры

В рамках изучений тождественных преобразований очень важна тема вынесения общего множителя за скобки. В данной статье мы поясним, в чем именно заключается такое преобразование, выведем основное правило и разберем характерные примеры задач.

Понятие вынесения множителя за скобки

Чтобы успешно применять данное преобразование, нужно знать, для каких выражений оно используется и какой результат надо получить в итоге. Поясним эти моменты.

Вынести общий множитель за скобки можно в выражениях, представляющих собой суммы, в которых каждое слагаемое является произведением, причем в каждом произведении есть один множитель, общий (одинаковый) для всех. Он так и называется – общим множителем. Именно его мы будем выносить за скобки. Так, если у нас есть произведения 5·3 и 5·4,

то мы можем вынести за скобки общий множитель 5.

В чем состоит данное преобразование? В ходе него мы представляем исходное выражение как произведение общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех исходных слагаемых, кроме общего множителя.

Возьмем пример, приведенный выше. Вынесем общий множитель 5 в 5·3 и 5·4 и получим 5(3+4). Итоговое выражение – это произведение общего множителя 5 на выражение в скобках, которое является суммой исходных слагаемых без 5.

Данное преобразование базируется на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали до этого. В буквенном виде его можно записать как a·(b+c)=a·b+a·c. Поменяв правую часть с левой, мы увидим схему вынесения общего множителя за скобки.

Правило вынесения общего множителя за скобки

Используя все сказанное выше, выведем основное правило такого преобразования:

Определение 1

Чтобы вынести за скобки общий множитель, надо записать исходное выражение в виде произведения общего множителя и скобок, которые включают в себя исходную сумму без общего множителя.

Пример 1

Возьмем простой пример вынесения. У нас есть числовое выражение 3·7+3·2−3·5, которое является суммой трех слагаемых 3·7, 3·2 и общего множителя 3. Взяв за основу выведенное нами правило, запишем произведение как 3·(7+2−5). Это и есть итог нашего преобразования. Запись всего решения выглядит так: 3·7+3·2−3·5=3·(7+2−5).

Мы можем выносить множитель за скобки не только в числовых, но и в буквенных выражениях

Правило по математике раскрытие скобок если перед скобками стоит (+) и (-) очень нужно прваило

Раскрытие скобок. Правила Выражение а + (b + с) можно записать без скобок: а + (b + с) = а + b + с. Эту операцию называют раскрытием скобок. Пример 1. Раскроем скобки в выражении а + ( — b + с) . Решение. а + ( — b + с) = а + ((-b) + с) = а + (-b) + с = а — b + с. Если перед скобками стоит знак » + «, то можно опустить скобки и этот знак » + «, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком » + «. — 2,87 + (2,87 — 7,639) = — 2,87 + 2,87 — 7,639 = 0 — 7,639 = — 7,639. Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых. Значит: -(а + b) = -a — b. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак » — «, надо заменить этот знак на » + «, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки. Значит: 9,36 — (9,36 — 5,48) = 9,36 + (-9,36 + 5,48) = 9,36 — 9,36 + 5,48 = 0 + 5,48 = 5,48.

Если перед скобками стоит +. то при раскрытии скобок слагаемые сохраняют свои знаки. Если -. то слагаемые меняют свои знаки на противоположные

если стоит плюс перед скобками, то знак не изменяется, а если перед скобками знак минус, то в скобках знаки меняются на противоположные.

Если перед скобками стоит +. то при раскрытии скобок слагаемые сохраняют свои знаки. Если -. то слагаемые меняют свои знаки на противоположные

Если перед выражением в скобках стоит знак «+» или «-» то скобки можно раскрыть. Правило. Если перед скобками стоит знак «плюс» , то >при раскрытии скобок все слагаемые в скобках переписываются без скобок со своими знаками. Если перед скобками стоит знак «минус» , то при раскрытии скобок, все слагаемые в скобках переписываются без скобок с изменением их знака на противоположный.

если перед скобкой минус то в скобке все знаки менять на противоположный а если плюс то просто переписать но без скобок

противоположно

Раскрыте скобок это решениен примера со скобками без скобок например : раскройте скобки (51+11)*2 мы убираем скобки решаем пример 51+11*2,вот и всё

Раскрытие скобок. Правила Выражение а + (b + с) можно записать без скобок: а + (b + с) = а + b + с. Эту операцию называют раскрытием скобок. Пример 1. Раскроем скобки в выражении а + ( — b + с) . Решение. а + ( — b + с) = а + ((-b) + с) = а + (-b) + с = а — b + с. Если перед скобками стоит знак » + «, то можно опустить скобки и этот знак » + «, сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком » + «. — 2,87 + (2,87 — 7,639) = — 2,87 + 2,87 — 7,639 = 0 — 7,639 = — 7,639. Чтобы записать сумму, противоположную сумме нескольких слагаемых, надо изменить знаки данных слагаемых. Значит: -(а + b) = -a — b. Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак » — «, надо заменить этот знак на » + «, поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные, а потом раскрыть скобки. Значит: 9,36 — (9,36 — 5,48) = 9,36 + (-9,36 + 5,48) = 9,36 — 9,36 + 5,48 = 0 + 5,48 = 5,48.

Если перед скобками стоит знак » + «, то скобки можно опустить, сохранив при этом знаки слагаемых. Если перед скобками стоит знак » — «, то при раскрытии скобок знаки слагаемых меняются на противоположные.

помогите по алгебре. Как правильно возвести выражение в скобках в степень? например (-2+8)^2

1) можно вычислить выражение в скобках, а потом возвести результат 6 в квадр. Или, если выражение содержит буквы, то по формуле (аплюс минус в) в квадрате

это будет : (-2)*(-2) + 8*8

(а+в) ^2= а^2+2ав +в^2

По общему правилу вначале вычисляется выражение в скобках, потом результат возводится в степень. В приведенном примере можно сразу вычислить сумму в скобках: -2+8=6, далее 6 возводим в квадрат, получаем 6*6 = 36 Бывает, что выражение в скобках вычислить невозможно, например, из-за наличия переменных, тогда для выражений вида (a+b)^2 и (a-b)^2 существуют формулы сокращенного умножения (чтобы не сидеть и не перемножать каждый член одной скобки на каждый член другой скобки, а потом приводить подобные) : (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 и (a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2. Возмем приведенный Вами пример: (-2+8)^2 = (-2)^2 + 2*(-2)*8 + 8^2 = 4-32+64 = 36 Есть формулы для возведения двухчленов в куб: (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) (a — b)^3 = a^3 — 3a^2b + 3ab^2 — b^3 = a^3 — b^3 — 3ab(a — b) формула для возведения трехчленов в квадрат: (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2 (ab + bc + ca)