2

Функция LOG

В этой статье описаны синтаксис формулы и использование функции LOG в Microsoft Excel.

Описание

Возвращает логарифм числа по заданному основанию.

Синтаксис

LOG(число;[основание])

Аргументы функции LOG описаны ниже.

• Число    Обязательный. Положительное вещественное число, для которого вычисляется логарифм.

• Основание    Необязательный. Основание логарифма. Если аргумент «основание» опущен, предполагается, что он равен 10.

Пример

Скопируйте образец данных из следующей таблицы и вставьте их в ячейку A1 нового листа Excel.

Чтобы отобразить результаты формул, выделите их и нажмите клавишу F2, а затем — клавишу ВВОД. При необходимости измените ширину столбцов, чтобы видеть все данные.

Формула	Описание	Результат
=LOG(10)	Логарифм числа 10. Так как второй аргумент (основание) опущен, предполагается, что он равен 10. Результат (1) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 10.	1
=LOG(8; 2)	Логарифм числа 8 по основанию 2. Результат (3) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 8.	3
=LOG(86; 2,7182818)	Логарифм числа 86 по основанию e (приблизительно 2,718). Результат (4,454) — степень, в которую необходимо возвести основание, чтобы получить число 86.	4,4543473

Логарифмические ряды, Логарифмы, log, ln, lg

Ряды Маклорена не могут быть использованы для нахождения ряда для logx, поэтому должен быть найден еще один метод. Первый шаг — изменения переменной, шаг, который очень полезен, так как вы приступаете к процессам, больше использующим математику. Вместо того, чтобы использовать log х в качестве переменной, используйте log (l + х), которая находит конечные значения для последовательных производных при х = 0. 5}{5}….$

Когда упрощаются коэффициенты путем деления на множители факториала, они являются своего рода гармоническим рядом, который не сходится очень быстро. Числители — это последовательные степени х, а знаменатели простые числа, не факториалы.

Вы захотите логарифмы чисел больших, чем 2. Здесь скорость сходимости показана в нахождении логарифма 2 этим методом. На сходимость влияет: единственный уменьшающийся фактор гармонического ряда интегральных обратных чисел. Он колеблется между наивысшим значением, а значит, должен сходиться гораздо дальше, чтобы достичь своего наивысшего значения.

Логарифмические ряды: изменение

Вот трюк, для чего введены логарифмы. Если вы изменяете переменную снова, используя (1 + x)/(1 — x), по принципу логарифмов, логарифм этой переменной будет логарифмом (1 + x) минус логарифм (1 — x).

Во-первых, ряд логарифмов (l — x) был последовательностью степеней x разделенных на гармоническую последовательность интегральных чисел, меняющих свой знак. Ряды для log(l — x) используют те же численные члены, но все их знаки — отрицательные. Помните, что вы собираетесь вычесть их из log(l + x), вследствие чего все отрицательные знаки в конце станут позитивными.

Этот метод делает две вещи: удаляет четные степени x и и объединяет их. Эти ряды заключены в большие скобки, умноженные на 2.

Чтобы показать, насколько быстрее эти ряды сходятся, используйте это для вычисления log 2, что при применении первого метода заняло бы вечность. Решите (x + 1)/(x — 1) = 2. Здесь еще одна переменная изменится. Решая этого уравнения, переменная в ряде не 1, а 1/3. Так как каждый другой член выпал, последовательные члены уменьшаются на х (или 1/9). Это соотношение приводит к гораздо быстрому схождению. Он сходится так быстро, что только 4 члена необходимы для получения log2 c четырьмя цифрами после запятой.

Расчет логарифмов

Здесь вы рассчитываете два логарифма, чтобы найти сравнения в скорости сходимости. Для расчета log1,1 сделайте х = 1 / 21. Последовательные члены сейчас сходятся более чем 400:1. Три члена ряда теперь производят логарифм с шестью знаками после запятой.

Как вы уже видели, для вычисления log2, х = 1/3, где сходимость около одной десятой за каждый дополнительный член. Для точности до шести цифр, требуется семь членов.

Теперь попробуйте найти значение log 3; x = 1/2. Этот ряд сходится более медленно, но попробуйте по-другому. Вы уже посчитали log 2. Log 3 = log 2 + log 1.5, потому что 3 = 2.1,5. Поэтому, найдите log1.5 и сложите его значение с log2. Log 1.5 использует x = 1/5 и его ряд сходится быстрее чем в случае с log 2. Теперь у вас есть значение с 6-ю цифрами для log 3.

В примере выше вы пробовали найти значение логарифмов до 10. Обратите внимание, что есть способы для упрощения вычислений. Log 4 есть удвоенный log 2. Вы можете получить его либо из 4 = 2.2 или из 4 = 2². Log 5 есть log 4 + log 1.25. Log 6 есть log 2 + log 3. Log 7 есть log 4 + log 1.75. Log 8 есть log 2 взятый 3 раза, потому что 8 есть 2³.

Log 9 есть удвоенной log 3 потому что 9 = 3². Наконец, log 10 есть log 2+ log 5.

Общие логарифмы

Хотя все алгоритмы должны быть вычислены в их основной форме с основанием e, иногда называемыми гиперболическими или логарифмами Непера (от имени изобретателя логарифмов). Но более распространенное названия натуральные логарифмы или логарифмы с основанием e.
Log₁₀x = y       x = 10^y       Log_ε10 = t       ε^t = 10
      So x = (ε^t)^y = ε^ty       Log_εx = ty

Если у логарифма основание 10, тогда логарифм 10 по основанию 10 равен 1. Вы можете изменить основание, разделив натуральный логарифм на логарифм 10.

Использование логарифмов: умножение и деление

Конечно, нахождение логарифмов с помощью карманных калькуляторов намного проще, чем использование таблиц. Калькулятор вычисляет логарифмы обоих видов, натуральные и общие.

Общие логарифмы обозначаются log, а натуральные логарифмы обозначаются ln.

Примеры, которые мы здесь приводим, взяты из таблиц с логарифмами с четырьмя цифрами. Ваш калькулятор, возможно, показывает больше цифр, чем таблица. На своем калькуляторе я ввел логарифм 32 и получил 1.505149978; значение логарифма 256 равно 2.408239965. Суммируя их, получим 3.9133889944. Используя сдвиг, ответ равен точно 8192!

Последний пример показывает еще одну разницу с таблицами. Таблица дала только мантиссу — дробную часть. Вам необходимо вставить характеристику — целое число слева от запятой. 0.0969 есть мантиссой (в четырехзначных таблицах) для чисел 125. Риска над 1 указывает, что характеристика отрицательная. Поэтому, log есть -1 + 0.0969. Мой калькулятор пишет -0.903089987. Однако, если я ввожу 1.25 вместо 0.125, калькулятор пишет 0.096910013. Если число больше 1, мантисса не меняется, только характеристика изменяется и смещается десятичная точка.

Использование логарифмов: индексы

Здесь снова примеры, которые были приготовлены с помощью четырехзначных логарифмических таблиц. Карманный калькулятор может найти ответы намного быстрее. Действительно, большинство калькуляторов имеют одну клавишу, x^y. Однако, давайте посмотрим как обработать эти примеры с помощью калькулятора.

Логарифм 12 считается калькулятором как 1.079181246. Умножая на 3, получаем 3.23764 3738. Используя смещение и логарифм дает точно 1728. Вводим 12 снова. Нажимаем x^y, затем 3, и =. Калькулятор снова высвечивает 1728.

В следующем примере log 2 равен 0.301029995, правильный ответ снова. Однако, если ввести log 1024, высвечивается предыдущее значение 3.010299957 с одной дополнительной цифрой.

Выше использованы логарифмы или x^y клавиши, где индексы были очевидны. Иногда ответ не такой простой. Возьмем следующее: 35^4/5. С использованием калькулятора: Log 35 = 1.544068044. Используя клавиши x^y, получаем тот же ответ.

Кроме того, можно вычислить это значение используя биномиальное разложение, если калькулятор оснащен достаточной памятью. Вам не нужно повторно вычислять каждый член. После второго члена, вы можете умножить/разделить на дополнительные множители. Например, чтобы получить третий член на второй, умножте на 3 и разделите на 320 и так далее. Этот ряд сходится очень быстро.

Биноминальным разложением

Биноминальным разложением

В этот раз, 4-х значные логарифмы довольно ограниченны. Используя тот же калькулятор с клавишами логарифмов или с x^y, результат равен 353.5533906. Биноминальное разложение дает тот же результат за исключением последних двух цифр.

Конечно, ваш калькулятор не сделает биномиальный ряд для вас. Для того-то и упражнения, чтобы показать, что биномиальный ряд работает. Как калькулятор это делает? Он имеет встроенные программы, которые вычисляют логарифмические ряды очень быстро — за доли секунды. Помните, что калькулятор работает в двоичной системе, даже если он высвечивает десятичные цифры.

Использование логарифмов с формулами

Формула здесь связывает давление и объем в физическом расширение и сжатии газа. Это характерно для многих формул. Величины р и v являются переменными, k и индекс n являются константами. В этой таблице к = 1000 и n = 1,4.

В таблице приведены значения v от 10 до 30 (предполагается, что этот диапазон охватывает необходимые значения в нашей конкретной задаче) и используются логарифмы для расчета соответствующего значения р (в последнем столбце). В 3-й колонке приведены значения 0,4logv в качестве помощи нахождения log1,4v. Табулирование с помощью этого метода облегчало процесс до появления калькуляторов.

Четвертая колонка есть вычитание из 3, что есть log1000. Чтобы сделать это на калькуляторе, у вас есть выбор: использовать клавишу logs или x^y. В любом случае, вы должны вставить k в это. Если k было другим, чем степень 10, это немного усложнит вычисление. Метод: использовать клавишу 1/x (обратное значение) а потом умножить на 1000 (или на соответсвующее значение к).

Поиск закона логарифмов

Вы знаете, что v и p относится друг к другу по закону типа: pvⁿ = k. Это показывает, как это делались вычисления с помощью логарифмов до появления калькуляторов. Вы можете использовать ваш калькулятор, но использование клавиши x^y является не таким легким; использование клавиши log есть более легким.

Возьмем логарифмы значения p: 1.361727836 и 1.176091259. После вычитания получим 0.185636579. Возьмем логарифмы значения v: 1.176091259 и 1.301029996. После вычитания получим: 0.124938736. Разделим первое значение на второе: 0.185636579/0.124938736= 1.485820827 — значение n. Такое вычисление требовало использование ячейки памяти вашего калькулятора. И все эти цифры после запятой точные, но необязательные. Числа, с которыми вам необходимо работать, скорее всего, имеют две значащие цифры.

Вопросы и задачи

1. Рассмотрим следующий рисунок. Эти функции нарисованы на логарифмической шкале. Перерисуйте приближения этих функций в полулогарифмическом масштабе (ось х — линейные, ось у — логарифмическая). Выберите масштаб, который является обоснованными для угла значения в каждом конкретном случае.

2. Нарисуйте приблизительные значения функции в прямоугольных координатах поверх приведенного графика. Выберите масштаб, который является наиболее подходящим для диапазона значений в каждом случае. Масштабы могут быть неодинаковыми на каждой оси, но обе оси должны быть линейными.

3. Рассмотрите следующий рисунок. Эти функции нарисованы в прямоугольных координатах. Нарисуйте приблизительные значения функции в полулогарифмическом масштабе (ось х — линейная и ось у — логарифмическая). Выберите подходящий масштаб для диапазона значений в каждом случае.

4. Нарисуйте приблизительные значения функции в логарифмическом масштабе . Выберите подходящий масштаб для диапазона значений в каждом случае. Масштабы могут быть неодинаковыми на каждой оси, но обе оси должны быть линейными.

5. Используя формулу log₁₀xy = log₁₀x + log₁₀y, найдите значения следующих множителей путем сложений чисел. Вы можете использовать калькулятор. Запишите ответы с тремя цифрами после запятой.
(a) 5.44 • 3.67       (b) 10.5 • 0.567
(c) 36.7 • 2.56       (d) 0.987 • 0.822

6. Используя формулу log₁₀x^y = ylog₁₀x, найдите значения (стремя цифрами после запятой). Вы можете использовать калькулятор.
(a) 5.44^3,67       (b) 10.5^3,67
(c) 36.7^2,56       (d) 0.987^0,822

7. Если бы в решении задачи №6 натуральные логарифмы (с основанием e) были бы использованы вместо логарифмов с основанием 10 был бы результат верным?

8. Если бы в решении задачи №6 логарифмы по основанию 7 были бы использованы вместо десятичных логарифмов, был бы результат верным?

Что такое логарифм отрицательного числа? — 2021

Логарифмы отрицательных чисел не определены в действительных числах, так же, как квадратные корни отрицательных чисел не определены в действительных числах. Если ожидается, что вы найдете журнал с отрицательным числом, в большинстве случаев достаточно ответа «undefined».

Это является Можно оценить одно, однако ответом будет комплексное число. (номер формы #a + bi #, где #i = sqrt (-1) #)

Если вы знакомы со сложными числами и чувствуете себя комфортно с ними, тогда читайте дальше.

Во-первых, давайте начнем с общего случая:

#log_b (-x) =? #

Мы будем использовать правило изменения базы и конвертируем в натуральные логарифмы, чтобы упростить ситуацию позже:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Обратите внимание, что #ln (-x) # это то же самое, что #ln (-1 * x) #, Мы можем использовать свойство сложения логарифмов и разделить эту часть на два отдельных журнала:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Теперь единственная проблема — выяснить, что #ln (-1) # является. На первый взгляд это может показаться невозможным, но есть довольно известное уравнение, известное как Идентификация Эйлера, которое может помочь нам.

Идентичность Эйлера гласит:

# e ^ (ipi) = -1 #

Этот результат происходит из степенных рядов расширения синуса и косинуса. (ipi) = ln (-1) #

Упрощенная:

#ipi = ln (-1) #

Итак, теперь, когда мы знаем, что #ln (-1) # есть, мы можем заменить обратно в наше уравнение:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Теперь у вас есть формула для поиска логов отрицательных чисел. Итак, если мы хотим оценить что-то вроде # log_2 10 #мы можем просто вставить несколько значений:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #

Сокращение логарифмов. Логарифм правила действия с логарифмами

Как известно, при перемножении выражений со степенями их показатели всегда складываются (a b *a c = a b+c). Этот математический закон был выведен Архимедом, а позже, в VIII веке, математик Вирасен создал таблицу целых показателей. Именно они послужили для дальнейшего открытия логарифмов. Примеры использования этой функции можно встретить практически везде, где требуется упростить громоздкое умножение на простое сложение. Если вы потратите минут 10 на прочтение этой статьи, мы вам объясним, что такое логарифмы и как с ними работать. Простым и доступным языком.

Определение в математике

Логарифмом называется выражение следующего вида: log a b=c, то есть логарифмом любого неотрицательного числа (то есть любого положительного) «b» по его основанию «a» считается степень «c», в которую необходимо возвести основание «a», чтобы в итоге получить значение «b». Разберем логарифм на примерах, допустим, есть выражение log 2 8. Как найти ответ? Очень просто, нужно найти такую степень, чтобы из 2 в искомой степени получить 8. Проделав в уме некоторые расчеты, получаем число 3! И верно, ведь 2 в степени 3 дает в ответе число 8.

Разновидности логарифмов

Для многих учеников и студентов эта тема кажется сложной и непонятной, однако на самом деле логарифмы не так страшны, главное — понять общий их смысл и запомнить их свойста и некоторые правила. Существует три отдельных вида логарифмических выражений:

1. Натуральный логарифм ln a, где основанием является число Эйлера (e = 2,7).
2. Десятичный a, где основанием служит число 10.
3. Логарифм любого числа b по основанию a>1.

Каждый из них решается стандартным способом, включающим в себя упрощение, сокращение и последующее приведение к одному логарифму с помощью логарифмических теорем. Для получения верных значений логарифмов следует запомнить их свойства и очередность действий при их решениях.

Правила и некоторые ограничения

В математике существует несколько правил-ограничений, которые принимаются как аксиома, то есть не подлежат обсуждению и являются истиной. Например, нельзя числа делить на ноль, а еще невозможно извлечь корень четной степени из отрицательных чисел. Логарифмы также имеют свои правила, следуя которым можно с легкостью научиться работать даже с длинными и емкими логарифмическими выражениями:

• основание «a» всегда должно быть больше нуля, и при этом не быть равным 1, иначе выражение потеряет свой смысл, ведь «1» и «0» в любой степени всегда равны своим значениям;
• если а > 0, то и а b >0, получается, что и «с» должно быть больше нуля.

Как решать логарифмы?

К примеру, дано задание найти ответ уравнения 10 х = 100. Это очень легко, нужно подобрать такую степень, возведя в которую число десять, мы получим 100. Это, конечно же, 10 2 =100.

А теперь давайте представим данное выражение в виде логарифмического. Получим log 10 100 = 2. При решении логарифмов все действия практически сходятся к тому, чтобы найти ту степень, в которую необходимо ввести основание логарифма, чтобы получить заданное число.

Для безошибочного определения значенияя неизвестной степени необходимо научиться работать с таблицей степеней. Выглядит она следующим образом:

Как видите, некоторые показатели степени можно угадать интуитивно, если имеется технический склад ума и знание таблицы умножения. Однако для больших значений потребуется таблица степеней. Ею могут пользоваться даже те, кто совсем ничего не смыслит в сложных математических темах. В левом столбце указаны числа (основание a), верхний ряд чисел — это значение степени c, в которую возводится число a. На пересечении в ячейках определены значения чисел, являющиеся ответом (a c =b). Возьмем, к примеру, самую первую ячейку с числом 10 и возведем ее в квадрат, получим значение 100, которое указано на пересечении двух наших ячеек. Все так просто и легко, что поймет даже самый настоящий гуманитарий!

Уравнения и неравенства

Получается, что при определенных условиях показатель степени — это и есть логарифм. Следовательно, любые математические численные выражения можно записать в виде логарифмического равенства. Например, 3 4 =81 можно записать в виде логарифма числа 81 по основанию 3, равному четырем (log 3 81 = 4). Для отрицательных степеней правила такие же: 2 -5 = 1/32 запишем в виде логарифма, получим log 2 (1/32) = -5. Одной из самых увлекательных разделов математики является тема «логарифмы». Примеры и решения уравнений мы рассмотрим чуть ниже, сразу же после изучения их свойств. А сейчас давайте разберем, как выглядят неравенства и как их отличить от уравнений.

Дано выражение следующего вида: log 2 (x-1) > 3 — оно является логарифмическим неравенством, так как неизвестное значение «х» находится под знаком логарифма. А также в выражении сравниваются две величины: логарифм искомого числа по основанию два больше, чем число три.

Самое главное отличие между логарифмическими уравнениями и неравенствами заключается в том, что уравнения с логарифмами (пример — логарифм 2 x = √9) подразумевают в ответе одно или несколько определенных числовых значений, тогда как при решении неравенства определяются как область допустимых значений, так и точки разрыва этой функции. Как следствие, в ответе получается не простое множество отдельных чисел как в ответе уравнения, а а непрерывный ряд или набор чисел.

Основные теоремы о логарифмах

При решении примитивных заданий по нахождению значений логарифма, его свойства можно и не знать. Однако когда речь заходит о логарифмических уравнениях или неравенствах, в первую очередь, необходимо четко понимать и применять на практике все основные свойства логарифмов. С примерами уравнений мы познакомимся позже, давайте сначала разберем каждое свойство более подробно.

1. Основное тождество выглядит так: а logaB =B. Оно применяется только при условии, когда а больше 0, не равно единице и B больше нуля.
2. Логарифм произведения можно представить в следующей формуле: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При этом обязательным условием является: d, s 1 и s 2 > 0; а≠1. Можно привести доказательство для этой формулы логарифмов, с примерами и решением. Пусть log a s 1 = f 1 и log a s 2 = f 2 , тогда a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Получаем, что s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (свойства степеней), а далее по определению: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, что и требовалось доказать.
3. Логарифм частного выглядит так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
4. Теорема в виде формулы приобретает следующий вид: log a q b n = n/q log a b.

Называется эта формула «свойством степени логарифма». Она напоминает собой свойства обычных степеней, и неудивительно, ведь вся математика держится на закономерных постулатах. Давайте посмотрим на доказательство.

Пусть log a b = t, получается a t =b. Если возвести обе части в степень m: a tn = b n ;

но так как a tn = (a q) nt/q = b n , следовательно log a q b n = (n*t)/t, тогда log a q b n = n/q log a b. Теорема доказана.

Примеры задач и неравенств

Самые распространенные типы задач на тему логарифмов — примеры уравнений и неравенств. Они встречаются практически во всех задачниках, а также входят в обязательную часть экзаменов по математике. Для поступления в университет или сдачи вступительных испытаний по математике необходимо знать, как правильно решать подобные задания.

К сожалению, единого плана или схемы по решению и определению неизвестного значения логарифма не существует, однако к каждому математическому неравенству или логарифмическому уравнению можно применить определенные правила. Прежде всего следует выяснить, можно ли упростить выражение или привести к общему виду. Упрощать длинные логарифмические выражения можно, если правильно использовать их свойства. Давайте скорее с ними познакомимся.

При решении же логарифмических уравнений, следует определить, какой перед нами вид логарифма: пример выражения может содержать натуральный логарифм или же десятичный.

Вот примеры ln100, ln1026. Их решение сводится к тому, что нужно определить ту степень, в которой основание 10 будет равно 100 и 1026 соответственно. Для решений же натуральных логарифмов нужно применить логарифмические тождества или же их свойства. Давайте на примерах рассмотрим решение логарифмических задач разного типа.

Как использовать формулы логарифмов: с примерами и решениями

Итак, рассмотрим примеры использования основных теорем о логарифмах.

1. Свойство логарифма произведения можно применять в заданиях, где необходимо разложить большое значение числа b на более простые сомножители. Например, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Ответ равен 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 — как видите, применяя четвертое свойство степени логарифма, удалось решить на первый взгляд сложное и нерешаемое выражение. Необходимо всего лишь разложить основание на множители и затем вынести значения степени из знака логарифма.

Задания из ЕГЭ

Логарифмы часто встречаются на вступительных экзаменах, особенно много логарифмических задач в ЕГЭ (государственный экзамен для всех выпускников школ). Обычно эти задания присутствуют не только в части А (самая легкая тестовая часть экзамена), но и в части С (самые сложные и объемные задания). Экзамен подразумевает точное и идеальное знание темы «Натуральные логарифмы».

Примеры и решения задач взяты из официальных вариантов ЕГЭ. Давайте посмотрим, как решаются такие задания.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Решение:
перепишем выражение, немного его упростив log 2 (2x-1) = 2 2 , по определению логарифма получим, что 2x-1 = 2 4 , следовательно 2x = 17; x = 8,5.

• Все логарифмы лучше всего приводить к одному основанию, чтобы решение не было громоздким и запутанным.
• Все выражение, стоящие под знаком логарифма, указываются как положительные, поэтому при вынесении множителем показателя степени выражения, который стоит под знаком логарифма и в качестве его основания, остающееся под логарифмом выражение должно быть положительно.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Логарифмические выражения, решение примеров. В этой статье мы рассмотрим задачи связанные с решением логарифмов. В заданиях ставится вопрос о нахождении значения выражения. Нужно отметить, что понятие логарифма используется во многих заданиях и понимать его смысл крайне важно. Что касается ЕГЭ, то логарифм используется при решении уравнений, в прикладных задачах, также в заданиях связанных с исследованием функций.

Приведём примеры для понимания самого смысла логарифма:

Основное логарифмическое тождество:

Свойства логарифмов, которые необходимо всегда помнить:

*Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.

* * *

*Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.

* * *

*Переход к новому основанию

* * *

Ещё свойства:

* * *

Вычисление логарифмов тесно связано с использованием свойств показателей степени.

Перечислим некоторые из них:

Суть данного свойства заключается в том, что при переносе числителя в знаменатель и наоборот, знак показателя степени меняется на противоположный. Например:

Следствие из данного свойства:

* * *

При возведении степени в степень основание остаётся прежним, а показатели перемножаются.

* * *

Как вы убедились само понятие логарифма несложное. Главное то, что необходима хорошая практика, которая даёт определённый навык. Разумеется знание формул обязательно. Если навык в преобразовании элементарных логарифмов не сформирован, то при решении простых заданий можно легко допустить ошибку.

Практикуйтесь, решайте сначала простейшие примеры из курса математики, затем переходите к более сложным. В будущем обязательно покажу, как решаются «страшненькие» логарифмы, таких на ЕГЭ не будет, но они представляют интерес, не пропустите!

На этом всё! Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в который нужно возвести число а чтобы получить число b.

Если , то .

Логарифм — крайне важная математическая величина , поскольку логарифмическое исчисление позволяет не только решать показательные уравнения, но и оперировать с показателями, дифференцировать показательные и логарифмические функции, интегрировать их и приводить к более приемлемому виду, подлежащему расчету.

Вконтакте

Все свойства логарифмов связаны напрямую со свойствами показательных функций. Например, тот факт, что означает, что:

Следует заметить, что при решении конкретных задач, свойства логарифмов могут оказаться более важными и полезными, чем правила работы со степенями.

Приведем некоторые тождества:

Приведем основные алгебраические выражения:

;

.

Внимание! может существовать только при x>0, x≠1, y>0.

Постараемся разобраться с вопросом, что такое натуральные логарифмы. Отдельный интерес в математике представляют два вида — первый имеет в основании число «10», и носит название «десятичный логарифм». Второй называется натуральным. Основание натурального логарифма — число «е». Именно о нем мы и будем детально говорить в этой статье.

Обозначения:

• lg x — десятичный;
• ln x — натуральный.

Используя тождество можно увидеть, что ln e = 1, как и то, что lg 10=1.

График натурального логарифма

Построим график натурального логарифма стандартным классическим способом по точкам. При желании, проверить правильно ли мы строим функцию, можно при помощи исследования функции. Однако, есть смысл научится строить его «вручную», чтобы знать, как правильно посчитать логарифм.

Функция: y = ln x. Запишем таблицу точек, через которые пройдет график:

Поясним, почему мы выбрали именно такие значения аргумента х. Всё дело в тождестве: . Для натурального логарифма это тождество будет выглядеть таким образом:

Для удобства мы можем взять пять опорных точек:

;

;

.

;

.

Таким образом, подсчет натуральных логарифмов — довольно несложное занятие, более того, он упрощает подсчеты операций со степенями, превращая их в обычное умножение.

Построив по точкам график, получаем приблизительный график:

Область определения натурального логарифма (т.е. все допустимые значения аргумента Х) — все числа больше нуля.

Внимание! В область определения натурального логарифма входят только положительные числа! В область определения не входит х=0. Это невозможно исходя из условий существования логарифма .

Область значений (т.е. все допустимые значения функции y = ln x) — все числа в интервале .

Предел натурального log

Изучая график, возникает вопрос — как ведет себя функция при y

Очевидно, что график функции стремится пересечь ось у, но не сможет этого сделать, поскольку натуральный логарифм при х

Предел натурального log можно записать таким образом:

Формула замены основания логарифма

Иметь дело с натуральным логарифмом намного проще, чем с логарифмом, имеющим произвольное основание. Именно поэтому попробуем научиться приводить любой логарифм к натуральному, либо выражать его по произвольному основанию через натуральные логарифмы.

Начнем с логарифмического тождества:

Тогда любое число, либо переменную у можно представить в виде:

где х — любое число (положительное согласно свойствам логарифма).

Данное выражение можно прологарифмировать с обеих сторон. Произведем это при помощи произвольного основания z:

Воспользуемся свойством (только вместо «с» у нас выражение):

Отсюда получаем универсальную формулу:

.

В частности, если z=e, то тогда:

.

Нам удалось представить логарифм по произвольному основанию через отношение двух натуральных логарифмов.

Решаем задачи

Для того чтобы лучше ориентироваться в натуральных логарифмах, рассмотрим примеры нескольких задач.

Задача 1 . Необходимо решить уравнение ln x = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:

Задача 2 . Решите уравнение (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.

Решение: Используя определение логарифма: если , то , получаем:

.

Еще раз применим определение логарифма:

.

Таким образом:

.

Можно приближенно вычислить ответ, а можно оставить его и в таком виде.

Задача 3. Решите уравнение .

Решение: Произведем подстановку: t = ln x. Тогда уравнение примет следующий вид:

.

Перед нами квадратное уравнение. Найдем его дискриминант:

Первый корень уравнения:

.

Второй корень уравнения:

.

Вспоминая о том, что мы производили подстановку t = ln x, получаем:

В статистике и теории вероятности логарифмические величины встречаются очень часто. Это неудивительно, ведь число е — зачастую отражает темп роста экспоненциальных величин.

В информатике, программировании и теории вычислительных машин, логарифмы встречаются довольно часто, например для того чтобы сохранить в памяти N понадобится битов.

В теориях фракталов и размерностях логарифмы используются постоянно, поскольку размерности фракталов определяются только с их помощью.

В механике и физике нет такого раздела, где не использовались логарифмы. Барометрическое распределение, все принципы статистической термодинамики, уравнение Циолковского и прочее — процессы, которые математически можно описать только при помощи логарифмирования.

В химии логарифмирование используют в уравнениях Нернста, описаниях окислительно-восстановительных процессов.

Поразительно, но даже в музыке, с целью узнать количество частей октавы, используют логарифмы.

Натуральный логарифм Функция y=ln x ее свойства

Доказательство основного свойства натурального логарифма

Логарифмы и правила действий с ними достаточно емкие и простые. Следовательно, разобраться в данной теме вам не составит труда. После того как вы узнаете все правила натуральных логарифмов, любая задача решится самостоятельно. Первое знакомство с этой темой может показаться скучным и бессмысленным, но именно при помощи логарифмов решились многие проблемы математиков XVI века. «О чем это?» — подумали вы. Прочтите статью до конца и узнаете, что этот раздел «царицы наук» может быть интересен не только математикам, ученым точных наук, но и простым ученикам средних школ.

Определение логарифма

Начнем с определения логарифма. Как гласят многие учебники: логарифмом числа b по основанию a (logab) является некое число с, для которого выполняется такое равенство: b=ac. То есть, говоря простыми словами, логарифм — определенная степень, в которую возводим основание, чтобы получить данное число. Но важно помнить, что логарифм вида logab имеет смысл только при: a>0; a — число, отличное от 1; b>0, следовательно, делаем вывод, что логарифм можно найти только у положительных чисел.

Классификация логарифмов по основанию

Логарифмы могут быть с любым положительным числом в основании. Но также существует два вида: натуральный и десятичный логарифмы.

• Натуральный логарифм — логарифм с основанием е (е — число Эйлера, численно приблизительно равняется 2,7, иррациональное число, которое ввели для показательной функции y = ex), обозначается как ln a = logea;
• Десятичный логарифм — логарифм с основанием 10, то есть log10a = lg a.

Основные правила логарифмов

Для начала нужно познакомиться с основным логарифмическим тождеством: alogab=b, далее следуют два таких основных правила:

• loga1 = 0 — так как любое число в нулевой степени равно 1;
• logaa = 1.

Благодаря открытию логарифма для нас не составит труда решить абсолютно любое показательно уравнение, ответ которого нельзя выразить натуральным числом, а только иррациональным. Например: 5х = 9, х = log59 (так как натурального х для данного уравнения не существует).

Действия с логарифмами

• loga(x · y) = logax+ logay — чтобы найти логарифм произведения, нужно сложить логарифмы сомножителей. Обратите внимание на то, что основания логарифмов одинаковы. Если записать это в обратном порядке, то получим правило сложения логарифмов.
• loga xy = logax — logay — чтобы найти логарифм частного, нужно найти разность логарифмов делимого и делителя. Обратите внимание: основания у логарифмов одинаковы. При записи в обратном порядке получаем правило вычитания логарифмов.

• logakxp = (p/k)*logax — таким образом, если в аргументе и основании логарифма стоят степени, то их можно выносить за знак логарифма.
• logax = logac xc — частный случай предыдущего правила, когда показатели степеней равны, их можно сократить.
• logax = (logbx)(logba) — так называемый модуль перехода, процедура приведения логарифма к другому основанию.
• logax = 1/logxa — частный случай перехода, смена мест основания и данного числа. Все выражение, образно говоря, переворачивается, и логарифм с новым основанием оказывается в знаменателе.

История возникновения логарифмов

В XVI веке возникла необходимость проведения многих приближенных вычислений для решения практических задач, главным образом, в астрономии (например, определение положения судна по Солнцу или звездам).

Эта потребность быстро росла и значительную трудность создавало умножение и деление многозначных чисел. И ученый-математик Непер при тригонометрических расчетах решил заменить трудоемкое умножение на обыкновенное сложение, сопоставив для этого некоторые прогрессии. Тогда деление, аналогично, заменяется на процедуру попроще и надежнее — вычитание, а дабы извлечь корень n-ой степени, нужно разделить логарифм подкоренного выражения на n. Решение такой нелегкой задачи в математике явно отображало цели Непера в науке. Вот как он писал об этом в начале своей книги «Рабдология»:

Я всегда старался, насколько позволяли мои силы и способности, освободить людей от трудности и скуки вычислений, докучливость которых обыкновенно отпугивает очень многих от изучения математики.

Название логарифма предложил сам Непер, он был получен путем совмещения греческих слов, которые в сочетании означали “число отношений”.

Основание логарифма ввел Спейдел. Его заимствовал Эйлер из теории о степенях и перенес в теорию логарифмов. Понятие логарифмирования стало известным благодаря Коппе в XIX веке. А использование натуральных и десятичных логарифмов, а также их обозначения появились благодаря Коши.

В 1614 году Джон Непер издал на латыни сочинение «Описание удивительной таблица логарифмов». Там было изложено краткое описание логарифмов, правил и их свойств. Так термин «логарифм» утвердился в точных науках.

Операцию логарифмирования и первое упоминание о ней появилось благодаря Валлису и Иоганну Бернулли, а окончательно установлена она была Эйлером в XVIII веке.

Именно заслуга Эйлера в распространении логарифмической функции вида y = logax на комплексную область. В первой половине XVIII века вышла его книга «Введение в анализ бесконечных», где были современные определения показательной и логарифмической функций.

Логарифмическая функция

Функция вида y = logах (имеет смысл, только если: а > 0, а ≠ 1).

• Логарифмическая функция определяется множеством всех положительных чисел, так как запись logах существует только при условии — х > 0;.
• Данная функция может принимать абсолютно все значения из множества R (действительных чисел). Так как у всякого действительного числа b есть положительное x, чтобы выполнялось равенство logaх = b, то есть, это уравнение имеет корень — х = аb (следует из того, что logaab= b).
• Функция возрастает на промежутке a>0, а убывает на промежутке 0Если а>0, то функция принимает положительные значения при х>1.

Следует помнить, что любые графики логарифмической функции у = logах имеют одну стационарную точку (1;0), так как logа 1 = 0. Это хорошо видно на иллюстрации графика ниже.

Как видим на изображениях, функция не имеет четности или нечетности, не имеет наибольших или наименьших значений, не ограничена сверху или снизу.

Логарифмическая функция y = logаx и показательная функция y = aх, где (а>0, а≠1), взаимно обратные. Это можно видеть на изображении их графиков.

Решение задач с логарифмами

Обычно решение задачи, содержащей логарифмы, основано на преобразовании их в стандартный вид или же направлено на упрощение выражений под знаком логарифма. Или же стоит переводить обычные натуральные числа в логарифмы с нужным основанием, проводить дальнейшие операции по упрощению выражения.

Есть некие тонкости, которые не стоит забывать:

• При решении неравенств, когда обе части стоят под логарифмами по правилу с одним основанием, не спешите «отбрасывать» знак логарифма. Помните о промежутках монотонности логарифмической функции. Так как, если основание больше 1 (случай, когда функция возрастает) — знак неравенства останется без изменений, но когда основание больше 0 и меньше 1 (случай, когда функция убывает) — знак неравенства изменится на противоположный;
• Не забывайте определения логарифма: logах = b, а>0, а≠1 и х>0, чтобы не потерять корней из-за неучтенной области допустимых значений. ОДЗ (область допустимых значений) существует практически для всех сложных функций.

Это банальные, но масштабные ошибки, с которыми столкнулись многие на пути поиска верного ответа для задания. Правил решения логарифмов не так уж и много, поэтому эта тема проще, чем другие и последующие, но в ней стоит хорошо разобраться.

Вывод

Данная тема с первого взгляда может показаться сложной и громоздкой, но, исследуя ее глубже и глубже, начинаешь понимать, что тема просто заканчивается, а сложностей так ничего и не вызвало. Мы рассмотрели все свойства, правила и даже ошибки, касающиеся темы логарифмов. 3.\)

Область допустимых значений логарифма

• Аргумент и основание не могут быть равны нулю и отрицательными числами.
• Основание не может быть равно единице, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей.
• Число b может быть любым.
• ОДЗ логарифма \(log_a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1\).

Десятичные логарифмы

Десятичные логарифмы – логарифмы, в основании которых стоит \(10\). Пример \(log_{10}10 =1\),

Log₁₀100 =2. Записывают их в виде \(lg 10 = 1\),  \(lg 100 = 2.\)

Натуральный логарифм

Натуральный логарифм – логарифм, в основании которого стоит \(e\). Что означает \(e\)? Это иррациональное число, бесконечное непериодическое десятичное число, математическая константа, которую надо запомнить:

\(e = 2,718281828459…\)

\(ln x = log_e x\)

---

Краткая история логарифма

Логарифмом имеет много применений в науке и инженерии. Естественный логарифм имеет константу \(e\) в своем основании, его использование широко распространено в дискретной математике, особенно в исчислении. Двоичный логарифм использует базу \(b = 2\) и занимает видное место в информатике. Логарифмы были введены Джоном Нейпиром в начале \(XVII\) века, как средство упрощения расчетов. Они были легко приняты учеными, инженерами и другими, чтобы облегчать вычисления . Современное понятие логарифмов исходит от Леонарда Эйлера, который связал их с экспоненциальной функцией в \(XVII\) веке.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Киевский Политехнический университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-6 класса. Легко и быстро нахожу контакт с детьми. Люблю общаться, и довольна, когда вижу результаты работы. Доступно объясняю материал. Занятия проходят на позитивной ноте. Люблю математику просто потому что мне нравится решать сложные задачи, находить ответы разными путями, стараться выкрутиться из, казалось бы, нерешаемых ситуаций. Она научила меня критическому мышлению, усидчивости, настойчивости.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Актюбинский педагогический техникум

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-5 классов. Люблю работать с детьми и умею находить с ними общий язык. Математику люблю за точность и преподаю её так, как хотела бы, чтобы учили моего ребенка. При обучении настраиваю на позитивное восприятие всего нового и непонятного. Весело и интересно объясняю сложный материал. Со мной вашим детям будет легко, занимательно и познавательно. До встречи на уроках!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Волковысский педагогический колледж УО «Гродненский государственный университет им. Я. Купалы»

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 2-4 классов по математике и русскому языку. Люблю математику не за скучные формулы, а интересный подход к каждой теме. Считаю, что когда интересно — полезно! Использую игровые методики обучения. Всегда стараюсь найти обратную связь с учеником. Главные помощники на наших уроках — энтузиазм и трудолюбие. Русский язык — один из сложнейших, и в то же время прекраснейших языков. На моих уроках всё интересное — просто! На уроках Ваш ребёнок будет учить не просто скучные и большие правила, а учиться понимать, что оно подразумевает и вместе со мной будет закреплять всё с помощью интересных занятий. В обоих предметах опираясь на уже имеющиеся знания я подберу наиболее подходящую методику для Вашего ребёнка и проведу каждое занятие с пользой!

Решение уравнений

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Понятие логарифма.

Свойства логарифма. Десятичные и натуральные логарифмы

1. Понятие логарифма. Свойства логарифма. Десятичные и натуральные логарифмы.

2. Основные вопросы:

1. Понятие логарифма. Свойства
логарифма.
2. Формула перехода к другому
основанию.
3. Десятичные и натуральные
логарифмы.

3. Немного истории

Потому-то, словно пена
Опадают наши рифмы
И величие степенно
Отступает в логарифмы.
Борис Слуцкий
Первый изобретатель
логарифмов —
шотландский барон Джон
Непер (1550—1617)

4. Решите уравнение.

1)
Мы искали
х показатель степени,
Решить
а надо
в, где
а 0основание
и а 1, b0,5 ,0
0,5х =32,уравнение
в который
возвести
х = — 5.
чтобы получить 32.
значит, найти показательстепени,
2)
в который надоМы
возвести
основание
a,
искали показатель
степени,
в который надо возвести основание
чтобы получить
число b
чтобы получить 27.
1
,
3
3)
Показатель
степени – это и есть логарифм
4х+1+4х = 320 , Мы искали показатель степени,
условиях).
4х(4+1) (при
= 320 ,определенных
в который надо возвести
основание 4,
4х = 64 ,
чтобы получить 64.
х = 3.
Слово ЛОГАРИФМ
происходит от греческих слов
— число и отношение
• Первые таблицы логарифмов назывались
• «Описание удивительной таблицы
логарифмов»
(1614 г.) и
• «Устройство удивительной таблицы
логарифмов»
(1619 г.)
5

6. Определение логарифма

Логарифмом числа b>0 по основанию
a>0, a ≠ 1 , называется показатель степени,
в которую надо возвести число a, чтобы
получить число b.
Логарифм числа b по основанию a
обозначается
logab

7. ПРИМЕРЫ

1) log232, здесь b = 32, a = 2, c = 5.
log232 = 5 , т. к. 25 = 32 .
2) log50,04 ,
здесь b = 0,04, a = 5, c = — 2.
log50,04 = — 2, т. к. 5-2 = 1/25 = 0,04 .
3) Найти х, такое, что log8х = 1/3.
По определению логарифма
х = 81/3 = 2.
c
a
= b logab = c
Откуда получаем основное
логарифмическое тождество
(b > 0, a > 0, a 1)
a
loga b
b

9. ПРИМЕРЫ

1) 0,5
2)
5
5
2log5 3
log5 3
log0,5 6
6 .
(( 5 ) )
3.
2 log5 3

10. Свойства логарифма

1. Логарифм единицы
log
1
0
a
2. Логарифм основания
log a 1
a

11. Свойства логарифма

3. Логарифм произведения равен
сумме логарифмов множителей:
log xy log x log y
a
a
a

12. Свойства логарифма

4. Логарифм частного равен
логарифмов делимого без логарифма
делителя:
x
log
log x log y
a y
a
a

13. Свойства логарифма

5.1. Логарифм степени равен
произведению показателя степени на
логарифм ее основания:
5.1) log x
a
p
p log a x.

14. Свойства логарифма

5.2. При возведении основания в
некоторую (не нулевую) степень логарифм
делится на этот показатель степени:
1
5.2) log p b log a b.
a
p

15. Свойства логарифма

6. Логарифм корня равен отношению
логарифма подкоренного выражения и
показателя корня:
log
b
m
a
log а b
m

16. Свойства логарифма

7. Переход от одного основания к
другому
log b
c
log b
a
log a
c

17. Следствия

1
1) log b
a
log a
b
3) log
2) log
b
log
a
am
a
n
b
b
n
log a b.
m
Свойства логарифмов: ПРИМЕРЫ
• 1. Вычислить: log612 + log63
Решение:
log612 +log63 = log6(12*3) = log636 = log662 = 2
Ответ: 2.
• 2. Вычислить: log5250 – log52.
Решение:
log5250 – log52 = log5(250/2) = log5125 = 3
Ответ: 3.
• 3. Вычислить: 27 log3 2
Решение:
3 log3 2
log3 8
log3 2
=
3
3
8
27
Ответ: 8.
18

19. Натуральный и десятичный логарифмы.

Десятичным называется логарифм,
основание которого равно 10.
Обозначается lg b, т.е. lg b=log10 b.
Натуральным называется логарифм,
основание которого равно e.
Обозначается ln b, т.е. ln b=loge b.

20. Свойства натуральных логарифмов

Чтобы по известному десятичному логарифму числа х найти
его натуральный логарифм, нужно разделить десятичный
логарифм числа х на десятичный логарифм числа е:
lg x
lg x
ln x
2.30259 lg x
lg e 0.43429
Чтобы по известному натуральному логарифму числа х
найти его десятичный логарифм, нужно умножить
натуральный логарифм числа х на десятичный логарифм
числа е:
lg x lg e ln x 0.43429 ln x
Число lg e=0.43429 называется модулем
десятичных логарифмов и обозначается через М.

21. Решение упражнений

1) log 5 16 log 2 25
Воспользуемся сначала свойством log a b n n log a b
log 5 2 log 2 5 4 log 5 2 2 log 2 5
4
2
Теперь перейдем к основанию 2
1
8
log 2 5 8
log 2 5
log a b
1
log c a

23.

2) Найдите значение выражения 2
3
log5 7
log5 3
9 4
1
log3 4
log c b
log a b
log c a
2 log3 7
3
9 4
log4 3
1
log a b
log c a
3 3
9 4
9 7 9 3 9 (7 3) 9 4 36
2
log3 7
log4 3

24. 3)Найдите значение выражения , если

Решение:
log a (a b ) log a a log a b
5
2
5
2
1
7
5 2
5 2 12
log b a
2
Ответ: 12
1
log a b
log c a

4.3 — Свойства логарифмов

4.3 — Свойства логарифмов

Изменение базовой формулы

Одна дилемма состоит в том, что в вашем калькуляторе есть логарифмы только для двух оснований. База 10 (журнал) и база e (ln). Что произойдет, если вы захотите узнать логарифм для какой-то другой базы? Вам не повезло?

№ Есть изменение базовой формулы для преобразования между разными базами. К найти базу журнала a, где a предположительно некоторое число, отличное от 10 или e , в противном случае вы просто использовали бы калькулятор,

Возьмите журнал аргумента, разделенный на журнал основания.

журнал _a x = (журнал _b x) / (журнал _b a)

Там нет необходимости использовать основание 10 или e , но поскольку это два у вас есть на калькуляторе, вероятно, это те два, которые вы собираетесь использовать больше всего. Я предпочитаю натуральный журнал (ln всего 2 буквы, а журнал 3, плюс есть дополнительная выгода, о которой я знаю из расчетов). База, которая вы используете не имеет значения, только то, что вы используете одну и ту же базу для числителя и знаменатель.

журнал _a x = (журнал x) / (журнал a) = (ln x) / (ln a)

Пример: журнал ₃ 7 = (ln 7) / (ln 3)

Логарифмы — экспоненты

Помните, что логарифмы — это показатели степени, поэтому свойства показателей свойства логарифмов.

Умножение

Какое правило, когда вы умножаете два значения с одинаковым основанием вместе (x ² * x ³ )? Правило состоит в том, что вы сохраняете базу и добавляете экспоненты. Что ж, помните, что логарифмы — это показатели, и когда вы умножаете, вы собираетесь сложить логарифмы.

журнал продукта — это сумма журналов.

журнал _a xy = журнал _a x + журнал _a y

Дивизион

Правило при делении двух значений с одинаковым основанием — вычесть экспоненты. Следовательно, правило деления — вычитание логарифмов.

логарифм частного — это разница журналов.

журнал _a (x / y) = журнал _a x — журнал _a y

Возведение в степень

Когда вы возводите количество в степень, правило состоит в том, что вы умножаете показатели вместе. В этом случае одним из показателей будет лог, а другим — экспонента будет степенью, до которой вы увеличиваете количество.

Показатель аргумента — коэффициент журнала.

журнал _a x ^r = r * журнал _a x

Мелодическая математика

Некоторые из приведенных выше утверждений очень мелодичны. То есть звучат хорошо. Это может помочь вам запомнить мелодическую математику, а не формулы.

• Журнал продукта представляет собой сумму логов
• Сумма журналов — это журнал продуктов
• Логарифм частного — разность бревен
• Разница журналов — это журнал частного
• Показатель степени при аргументе — это коэффициент журнала
• Коэффициент логарифма — это показатель степени при аргументе

Ладно, последние два не такие мелодичные.

Общие ошибки

Я почти не решаюсь помещать здесь этот раздел. Кажется, когда я пытаюсь указать ошибка, которую люди собираются совершить, что больше людей совершают ее.

• журнал суммы НЕ является суммой журналов. Сумма журналов — это журнал продукт. Журнал суммы не может быть упрощен.
  журнал _a (x + y) ≠ журнал _a x + журнал _a y
• журнал разницы НЕ является разницей журналов. Разница журналы — это журнал частного. Журнал разницы не может быть упрощен.
  журнал _a (x — y) ≠ журнал _a x — журнал _a y
• An показатель степени в журнале НЕ является коэффициентом журнала. Только когда аргумент возведен в степень, можно превратить показатель степени в коэффициент. Когда весь логарифм возведен в степень, то его нельзя упростить.
  (бревно _a x) ^r ≠ r * журнал _a x
• журнал частного не является частным из журналов.Частное бревен от изменения базовой формулы. Журнал частного — это разница журналов.
  журнал _a (x / y) ≠ (журнал _a x ) / (журнал _a г)

Умножение и деление логарифмов — Математика для старших классов

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или больше ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам Varsity найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему утверждению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Правила логарифмирования

— объяснение и примеры

Что такое логарифм? Зачем мы их изучаем? А каковы их правила и законы?

Для начала, логарифм числа «b» может быть определен как степень или экспонента, до которой должно быть возведено другое число «a», чтобы получить результат, равный числу b.

Мы можем символически представить это утверждение как;

журнал _a b = n.

Точно так же мы можем определить логарифм числа как обратную его экспоненту. Например, log _a b = n может быть представлен экспоненциально как; а ^н = б.

Таким образом, можно сделать вывод, что;

a ⁿ = b ⇔ log _a b = n.

Хотя в школах изучают логарифмы для упрощения вычислений, связанных с большими числами, они по-прежнему играют важную роль в нашей повседневной жизни.

Давайте посмотрим на некоторые из этих применений логарифмов:

• Мы используем логарифмы для измерения кислотности и щелочности химических растворов.
• Измерение силы землетрясений производится по шкале Рихтера с использованием логарифмов.
• Уровень шума измеряется в дБ (децибелах) по логарифмической шкале.
• Экспоненциальные процессы, такие как уменьшение соотношения активных изотопов, рост бактерий, распространение эпидемии среди населения и охлаждение мертвого тела, анализируются с использованием логарифмов.
• Логарифм используется для расчета периода выплаты ссуды.
• В математике логарифм используется для различения сложных задач и определения площади под кривыми.

Как и показатели степени, логарифмы имеют правила и законы, которые работают так же, как правила показателей. Важно отметить, что законы и правила логарифмов применяются к логарифмам любого основания. Однако во всех расчетах должна использоваться одна и та же база.

Мы можем использовать законы и правила логарифмов для выполнения следующих операций:

• Преобразование логарифмических функций в экспоненциальную форму.
• Сложение
• Вычитание
• Умножение
• Деление
• Расширение и сжатие
• Решение логарифмических уравнений.

Законы логарифмов

Логарифмические выражения могут быть записаны по-разному, но в соответствии с определенными законами, называемыми законами логарифмов. Эти законы могут применяться к любой базе, но при расчетах используется одна и та же база.

Четыре основных закона логарифмов включают:

Закон о правилах продукта

Первый закон логарифмов гласит, что сумма двух логарифмов равна произведению логарифмов.Первый закон представлен как;

⟹ журнал A + журнал B = журнал AB

Пример:

1. журнал ₂ 5 + журнал ₂ 4 = журнал ₂ (5 × 4) = журнал ₂ 20
2. журнал ₁₀ 6 + журнал ₁₀ 3 = журнал ₁₀ (6 x 3) = журнал ₁₀ 18

• журнал x + журнал y = журнал (x * y) = журнал xy

1. журнал 4x + log x = log (4x * x) = log 4x ²

Закон о частичном правиле

Вычитание двух логарифмов A и B равно делению логарифмов.

⟹ журнал A — журнал B = журнал (A / B)

Пример:

1. журнал ₁₀ 6 — журнал ₁₀ 3 = журнал ₁₀ (6/3) = журнал ₁₀ 2
2. log ₂ 4x — log ₂ x = log ₂ (4x / x) = log ₂ 4

Закон о правиле власти

⟹ log A ⁿ = n log A

Пример:

1. log ₁₀ 5 ³ = 3 log ₁₀ 5
2. 2 log x = log x ²

1. 5 ln x ² = ln x ^{(2 * 5 )} = ln x ¹⁰

Изменение закона об основных правилах

⟹ log _b x = (log _a x) / (log _a b)

Пример 4:

• журнал ₄ 16 = (журнал 16) / (журнал 4).

Правила логарифмов

Логарифмы — очень дисциплинированная область математики. Они всегда применяются в соответствии с определенными правилами и положениями.

При игре с логарифмами необходимо помнить следующие правила:

• Учитывая, что a ⁿ = b log _a b = n, логарифм числа b определяется только для положительных действительных чисел.

⟹ a> 0 (a ≠ 1), a ⁿ > 0.

• Логарифм положительного действительного числа может быть отрицательным, нулевым или положительным.

Примеры

1. 3 ² = 9 log ₃ 9 = 2
2. 5 ⁴ = 625 log ₅ 625 = 4
3. 7 ⁰ = 1 ⇔ log ₇ 1 = 0
4. 2 ^-3 = ¹ / ₈ ⇔ лог ₂ ( ¹ / ₈ ) = -3
5. 10 ^-2 = 0,01 ⇔ лог ₁₀ 01 = -2
6. 2 ⁶ = 64 лог ₂ 64 = 6
7. 3 ^{— 4} = 1/3 ⁴ = 1/81 лог ₃ 1/81 = -4
8. 10 ^-2 = 1/100 = 0. 01 ⇔ log ₁₀ 01 = -2

• Логарифмические значения данного числа различны для разных оснований.

Примеры

1. log ₉ 81 log ₃ 81
2. log ₂ 16 log ₄ 16

• Логарифмы с основанием 10 называются десятичными логарифмами. Когда логарифм записывается без основания индекса, мы предполагаем, что основание равно 10.

Примеры

1. log 21 = log ₁₀
2. log 0.05 = log ₁₀ 05

• Логарифм с основанием «е» называется натуральным логарифмом. Константа e приблизительно равна 2,7183. Натуральные логарифмы выражаются как ln x, что совпадает с log _e
• Логарифмическое значение отрицательного числа является мнимым.
• Логарифм от 1 до любого конечного ненулевого основания равен нулю.
  a ⁰ = 1 log _a 1 = 0.

Пример:

7 ⁰ = 1 log ₇ 1 = 0

• Логарифм любого положительного числа с тем же основанием равно 1.

a ¹ = a ⟹ log _a a = 1.

Примеры

1. log ₁₀ 10 = 1
2. log ₂ 2 = 1

• Учитывая, что x = log _a M, тогда a ^{log a M} = a

Пример 1

Вычислите следующее выражение.

журнал ₂ 8 + журнал ₂ 4

Решение

Применяя закон правила продукта, мы получаем;

log ₂ 8 + log ₂ 4 = log ₂ (8 x 4)

= log ₂ 32

Записываем 32 в экспоненциальной форме, чтобы получить значение его экспоненты.

32 = 2 ⁵

Следовательно, 5 — правильный ответ

Пример 2

Журнал оценки ₃ 162 — журнал ₃ 2

Решение

Это выражение вычитания; следовательно, мы применяем закон правила частных отношений.

журнал ₃ 162 — журнал ₃ 2 = журнал ₃ (162/2)

= журнал ₃ 81

Запишите аргумент в экспоненциальной форме

81 = 3 ⁴

Следовательно, ответ — 4.

Пример 3

Разверните логарифмическое выражение ниже.

журнал ₃ (27x ² y ⁵ )

Решение

журнал ₃ (27x ² y ⁵ ) = журнал ₃ 27 + журнал ₃ x ² + журнал ₃ y ⁵

= журнал ₃ (9) + журнал ₃ (3) + 2log ₃ x + 5log ₃ y

Но журнал ₃ 9 = 3

Заменить, чтобы получить.

= 3 + log ₃ (3) + 2log ₃ x + 5log ₃ y

Пример 4

Вычислить значение журнала _√2 64.

Решение

⟹ log _√2 64 = log _√2 (2) ⁶

⟹ log _√2 64 = 6log _√2 (2)

⟹ log _√2 64 = 6log _√2 (√2) ²

⟹ log _√2 64 = 6 * 2log _√2 (√2)

⟹ log _√2 64 = 12 * 2 (1)

⟹ log _√2 64 = 12

Пример 5

Решить относительно x, если log _0.1 (0,0001) = x

Решение

⟹ log _0,1 (0,0001) = log _0,1 (0,1) ⁴

⟹ log _0,1 (0,0001) = 4log _0,1 0,1

⟹ log _0,1 (0,0001) = 4 (1)

⟹ log _0,1 (0,0001) = 4

Следовательно, x = 4.

Пример 6

Найдите значение x для данного , 2log x = 4log3

Решение

2logx = 4log3

Разделите каждую сторону на 2.

⟹ log x = (4log3) / 2

⟹ log x = 2log3

⟹ log x = log3 ²

⟹ log x = log9

x = 9

Пример 7

Вычислить журнал ₂ (5x + 6) = 5

Решение

Перепишите уравнение в экспоненциальной форме

2 ⁵ = 5x + 6

Упростите.

32 = 5x + 6

Вычтем обе части уравнения на 6

32-6 = 5x + 6-6

26 = 5x

x = 26/5

Пример 8

Решить log x + log (x − 1) = log (3x + 12)

Решение

⇒ log [x (x — 1)] = log (3x + 12)

Отбросьте логарифмы, чтобы получить;

⇒ [x (x — 1)] = (3x + 12)

Примените свойство распределения для удаления скобок.

⇒ x ² — x = 3x + 12

⇒ x ² — x — 3x — 12 = 0

⇒ x ² — 4x — 12 = 0

⇒ (x − 6) ( x + 2) = 0

⇒x = — 2, x = 6

Поскольку аргумент логарифма не может быть отрицательным, правильный ответ — x = 6.

Пример 9

Evaluate ln 32 — ln (2x) = ln 4x

Решение

ln [32 / (2x)] = ln 4x

Отбросьте натуральные бревна.

[32 / (2x)] = 4x

32 / (2x) = 4x.

Перекрестное умножение.

32 = (2x) 4x

32 = 8x ²

Разделите обе стороны на 8, чтобы получить;

x ² = 4

x = — 2, 2

Поскольку у нас не может быть логарифма отрицательного числа, то x = 2 остается правильным ответом.

Практические вопросы

1. Оценка журнала ₄ 64 + журнал ₄ 16
2. журнал ₃ 14−2log ₃ 5
3. Оценить 2 журнала ₃ 5 + log ₃ 40 — 3 log ₃ 10
4. Сжать журнал ₂ 4 + log ₂ 5
5. Расширить журнал ₃ (xy ³ / √z)
6. Сжать следующее выражение 5 ln x + 13 ln (x ³ + 5) — 1/2 ln (x + 1)
7. Упростите log _a 28 — log _a 4 как единственный логарифм
8. Найдите значение log ₅ 8 + ₅ (1/1000)
9. Решите относительно x в логарифме 3log ₅ 2 = 2log ₅ X
10. Запишите log12 + log 5 как единственный логарифм

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Основные правила журнала и расширяющиеся выражения журнала

Purplemath

Вы изучили различные правила для управления и упрощения выражений с показателями степени, например, правило, которое гласит, что x ³ × x ⁵ равно x ⁸ , потому что вы можете складывать экспоненты. Аналогичные правила для логарифмов.

Правила журнала:

1) журнал _b ( mn ) = журнал _b ( m ) + журнал _b ( n )

2) бревно _b ( ^м / _n ) = бревно _b ( м ) — бревно _b ( n )

3) журнал _b ( м ⁿ ) = n · журнал _b ( м )

MathHelp.com

Менее формально правила журнала могут быть выражены как:

1) Умножение внутри журнала можно превратить в сложение вне журнала, и наоборот.

2) Деление внутри журнала можно превратить в вычитание вне журнала, и наоборот.

3) Показатель степени для всего, что находится внутри бревна, можно вынести вперед как множитель, и наоборот.

Предупреждение: как и в случае с экспонентами, приведенные выше правила работают только , если основания совпадают. Например, выражение «log _d ( m ) + log _b ( n )» нельзя упростить, потому что основания («d» и «b») не совпадают, просто как x ² × y ³ нельзя упростить, потому что основания ( x и y ) не совпадают.

---

Расширяющиеся логарифмы

Правила журнала могут использоваться для упрощения (или, точнее, для «уплотнения») выражений, для «расширения» выражений или для поиска значений. Начнем с расширения.

Когда в инструкциях говорится «расширить», они означают, что они дали мне одно выражение журнала с большим количеством вещей внутри него, и они хотят, чтобы я использовал правила журнала, чтобы разбить журнал на множество отдельных терминов журнала, каждый из которых имеет только одна вещь внутри своего конкретного журнала.То есть они дали мне , один журнал с сложным аргументом , и они хотят, чтобы я преобразовал это в много журналов , каждый с простым аргументом .

В данном случае у меня внутри журнала есть «2 x ». Поскольку «2 x » — это умножение, я могу разделить это выражение в соответствии с первым из приведенных выше правил журнала и превратить его в сложение вне журнала:

журнал ₃ (2 x ) = журнал ₃ (2) + журнал ₃ ( x )

Тогда ответ, который они ищут:

Примечание: не пытайтесь вычислить «журнал ₃ (2)» в вашем калькуляторе. Хотя вы были бы правы, если бы сказали, что «log ₃ (2)» — это просто число (и позже мы увидим, как преобразовать это выражение во что-то, что вы можете оценить в своем калькуляторе), что они? На самом деле мы ищем здесь «точную» форму журнала, как показано выше, а не десятичное приближение из вашего калькулятора.

Если вы дадите «ответ» в виде десятичного приближения, вы должны ожидать потерю баллов.

---

У меня внутри бревна деление.Согласно второму правилу журнала, приведенному выше, его можно разделить на части как вычитание вне журнала, поэтому:

журнал ₄ ( ¹⁶ / _x ) = журнал ₄ (16) — журнал ₄ ( x )

Первый член в правой части приведенного выше уравнения можно упростить до точного значения, применив основное определение логарифма. В этом случае я использую тот факт, что мощность, необходимая на 4 для создания 16, равна 2; другими словами, поскольку 4 ² = 16, то:

Затем исходное выражение полностью раскрывается как:

журнал ₄ ( ¹⁶ / _x ) = 2 — журнал ₄ ( x )

Всегда не забывайте находить время, чтобы проверить, можно ли упростить какие-либо термины в вашем расширении (например, журнал ₄ (16) выше).

---

Показатель внутри бревна можно вынести вперед как множитель:

log ₅ ( x ³ ) = 3 · log ₅ ( x ) = 3log ₅ ( x )

Приведенные выше примеры представляют собой очень простое использование правил журнала применительно к раскрытию выражений журнала. На следующей странице мы рассмотрим, какие упражнения вы будете выполнять в своем домашнем задании и на следующем тесте.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/logrules.htm

Введение в умножение и деление с помощью логарифмической алгебры

Введение в умножение и деление с помощью логарифмической алгебры

Расчеты комплексные умножение и / или деление чисел, иногда можно упростить, выполнив вычисления с логарифмическая алгебра.Логарифмическая алгебра основана на том, что полномочия или представители базовые числа добавляются, когда умножение, или вычитаются при делении.

По определению , логарифм числа равен точному показателю (степени) основного числа (10 в случае научного обозначение), который произведет это номер. Например: log (1.0) = 0.0, поскольку 10 0.0 = 1.0. Также по определению , антилогатрим числа равен числу, которое приводит к когда базовое число (10 в случай научного обозначения) возведен в степень логарифма; например, antilogathrim = 1,0 = 10 0,0 .

С номерами, представленными в научная запись (, т. е. , как степени x основного числа 10 или 10 ^x ), экспоненты 10 добавляются, когда два числа умножаются или вычитаются при делении чисел, как показано в примере ниже:

(2 x 10 4 ) x (3 x 10 -5 ) / (4 x 10 9 ) = (2 x 3/4) x 10 (4-5-9) = 1.5 х 10 -10

Для чисел, которые являются чистыми степенями 10 преобразовать в логарифмические значения просто. Например, журнал (10 ⁴ ) равен 4. Однако для большинства чисел логарифмическое преобразование требует доступа к логарифмическая таблица. Однако таблица журнала на самом деле не нужна, чтобы получить приблизительных значений . большинство вычислений, если использовать следующие приблизительные значения журнала .

Стол полезного логарифмического Приближение

журнал (1) = 0,0 log (2) = 0,3 (фактически 0,301) log (3) = 0,5 (фактически 0,477) log (5) = 0,7 (фактически 0,699) log (7) = 0,85 (фактически 0,845)

С этими приблизительными логарифмическими значениями приблизительное решения для большинства произведений умножения и коэффициентов деления могут быть определенный.Например, рассмотрим расчет: (2 x 10 ⁴ ) x (3 х 10 ^-5 ) / (4 х 10 ⁹ ):

1. Преобразуйте каждое число в уравнении к его логарифмическому значение, используя таблицу выше.
2. Сложить или вычесть логарифмы (показатели) согласно умножению или делению.
3. Определите окончательный расчетный ответ, взяв антилогарифм составной суммы показателей.

(2 x 10 4 ) x (3 x 10 -5 ) / (4 х 10 9 ) = (10 0.3 x 10 4 ) x (10 0,5 x 10 -5 ) / (10 0,6 x 10 9 ) = 10 (0,3 + 4 + 0,5 -5 — 0,6 — 9) = 10 (-9,8) = 10 (-0,8) x 10 (-9) = 10 0,2 x 10 -10 = 1,5 x 10 -10

Примечание: несколько шагов не были полностью разработан. А именно, log (4) в знаменателе оказался следующим:

4 = 2 ² = (10 ^0.3 ) ² = 10 ^{(0,3 + 0,3)} = 10 ^0,6

Также на последнем этапе антилогарифм 10 ^0,2 был аппроксимирован «обратным ходом» с учетом того, что log (3) — log (2) = 0,2 из таблицы приближений журнала выше. Таким образом,

10 ^0,2 = 10 ^{(0,5 — 0,3)} = 10 ^(0,5) /10 ^(0,3) = 3/2 = 1,5.

---

Умножение и деление числа больше единицы с использованием логарифма Математика

Умножение и деление числа больше единицы с использованием логарифма

Чтобы умножить и разделить числа с помощью логарифмов, сначала выразите число как логарифм, а затем примените законы сложения и вычитания индексов к логарифмам.Добавьте логарифм при умножении и вычтите при делении.

Примеры: вычислить с помощью логарифма.

1. 4627 x 29,3
2. 8198 ÷ 3,905
3. 48,63 x 8,53

15,39

Решения

1. 4627 x 29,3

Чтобы найти Antilog журнала4 5.1322 используйте таблицу Antilog4: 13 под 2 diff 2 (добавьте значение разницы) число 0,1356. Чтобы поставить десятичную точку в нужном месте, добавьте единицу к целому числу журнала i. е. 5 + 1 = 6, затем сдвиньте десятичную точку антилогарифмической цифры вправо (положительно) на 6 разрядов.

2. 819,8 x 3,905

Нет журнала

819,8 2,9137

3,905 0,5916

antilog → 209,9 2,3221

, следовательно, 819,8 ÷ 3,905 =

9 900 819,8 ÷ 3,905

209 995

15.39

ОЦЕНКА (Используйте поле внизу, чтобы опубликовать свой ответ для обсуждения и оценки):

1. Используйте таблицу, чтобы найти полный логарифм следующего:

(a) 183 (b) 89500 (c) ) 10.1300 (d) 7

2 Используйте логарифм для вычисления.

3612 x 750.9

113.2 x 9.98

Простой пример для полномочий: источник здесь

Мы стремимся вычислить 2345

Используя правило (3), log (2345) = 345 ∗ log2

Мы уже запомнили, что log2 = 0.30103, поэтому это 345 ∗ 0,30103 = 103,85535

Следовательно, используя правило (5), 2345 = 10103,85535

Мы можем упростить это с помощью правила (1) до 2345 = 100,85535 ∗ 10103

Используя алгоритм для оценки антилогарифмов, мы вычисляем, что 100,85535 = 7,1672

Следовательно, наш ответ: 7,1672 ∗ 10103

Более сложный пример для степеней:

Мы пытаемся сделать невозможное на вид ππ. log (ππ) = π ∗ logπ

Используя наш алгоритм для вычисления логарифмов, мы аппроксимируем logπ следующим образом:

log3.14159 = log227–0,04% = log11 + log2 – log7–0,00432 ∗ 0,04

Примечание: 0,04% — это быстрое приближение 227 – ππ

log3,14159 = 1,04139 + 0,30103–0,84510–0,00017 = 0,497415

Самая сложная часть в этом вычислении — это слепое умножение 3,14159 и 0,49715 на 5 знаков после запятой:

log (ππ) = 3,14159 ∗ 0,49715 = 1,56184

Затем мы снова используем наш метод антилогарифмов для вычисления ππ = 101,56184

Попробуйте 36 : Log36 = 1,55630, поэтому ππ = 36 ∗ 100,00554

0.00554 / 0,00432 = 1,28, поэтому ππ = 36 + 1,28% = 36,46

Пример для корней:

Тот же метод работает для любых корней, за исключением того, что мы выполняем деление, а не умножение. В качестве примера вычислим 902,54 −−−−− √7

Используя метод вычисления логарифмов, log902,54 = 2,95547

log902,54 −−−−− √7 = log902,547 = 2,955477 = 0,42221 902,54− −−−− √7 = 100,42221

Используя метод вычисления антилогарифмов, 100,42221 = 2,643, и это наш ответ.

ОЦЕНКА (Используйте поле внизу, чтобы опубликовать свой ответ для обсуждения и оценки)

1. Найдите логарифм следующего:

(a) 0,064 (b) 0,002 (c) 0,802

2. Evaluate используя логарифм.

95,3 x √ 318,4

1,29 ⁵ x 2,03

Использование логарифма для оценки задач умножения, деления, степеней и корней с числами меньше единицы.

Примеры:

1. 0.6735 x 0,928
2. 0,005692 ¸ 0,0943
3. 0,6104 ³
4. 4 √ 0,000

5. 3 √ 0,06642

Решение

1. 0,6735 x 0,928

_ 0,6735 1,8283

0,928 1,9675

0,6248 1,7958

Следовательно, 0,6735 x 0,928 = 0.6248

Мы заинтересованы в продвижении БЕСПЛАТНОГО обучения. Расскажите своим друзьям о Stoplearn.com. Нажмите кнопку «Поделиться» ниже! Загрузите наше бесплатное мобильное приложение для Android : Сохраните свои данные при использовании нашего бесплатного приложения. Нажмите, чтобы загрузить приложение StopLearn. Выполни свое задание : Находите вопросы в конце каждого урока, Обсуждайте свои ответы на этом форуме По вопросам размещения рекламы / партнерства пишите [email protected]

Связанные

11 правил естественного журнала, которые вам нужно знать

Если вы посещаете математические классы в средней школе или колледже, вы, скорее всего, будете учиться натуральному логарифму. Но что такое натуральные бревна? Что такое ln? Почему продолжает появляться буква е?

Естественный журнал может показаться сложным, но как только вы поймете несколько ключевых правил естественного журнала, вы сможете легко решать даже очень сложные на вид проблемы. В этом руководстве мы объясним четыре наиболее важных правила натурального логарифма, обсудим другие свойства натурального логарифма, которые вам следует знать, рассмотрим несколько примеров различной сложности и объясним, чем натуральные логарифмы отличаются от других логарифмов.

Что такое ln?

Натуральный логарифм, или ln, является обратной величиной e . Буква « e » представляет математическую константу, также известную как натуральный показатель степени. Как и π, e является математической константой и имеет заданное значение. Значение e равно примерно 2,71828.

e встречается во многих случаях в математике, в том числе в сценариях, касающихся сложных процентов, уравнений роста и уравнений распада. ln ( x ) — это время, необходимое для увеличения до x , а e ^x — это величина роста, произошедшая по прошествии времени x .

Поскольку e так часто используется в математике и экономике, и людям в этих областях часто требуется логарифм с основанием e числа, чтобы решить уравнение или найти значение, натуральный логарифм был создан как Быстрый способ записи и расчета базы данных e . Натуральный логарифм просто позволяет людям, читающим задачу, знать, что вы берете логарифм числа с основанием e . Таким образом, ln ( x ) = log _e ( x ).Например, ln ( 5 ) = log _e ( 5 ) = 1,609.

Четыре основных правила естественного журнала

Есть четыре основных правила, которые вам нужно знать при работе с естественным журналом, и вы будете встречать каждое из них снова и снова в своих математических задачах. Хорошо их знайте, потому что они могут сбить с толку, когда вы их впервые увидите, и вы хотите убедиться, что у вас есть такие базовые правила, прежде чем переходить к более сложным темам логарифмирования.

Правило продукта

• ln (x) (y) = ln (x) + ln (y)
• Натуральный логарифм умножения x и y — это сумма ln x и ln y.
• Пример: ln (8) (6) = ln (8) + ln (6)

Правило частного

• ln (x / y) = ln (x) — ln (y)
• Натуральный логарифм деления x и y — это разность ln x и ln y.
• Пример: ln (7/4) = ln (7) — ln (4)

Взаимное правило

• ln (1 / x) = −ln (x)
• Натуральный логарифм обратной величины x противоположен ln x.
• Пример: ln (⅓) = -ln (3)

Правило мощности

• ln ( x ^y ) = y * ln (x)
• Натуральный логарифм числа x в степени y равен y умноженному на ln числа x.
• Пример: ln (5 ² ) = 2 * ln (5)

Ключевые свойства натурального бревна

В дополнение к четырем правилам натурального логарифма, описанным выше, также есть несколько свойств ln, которые вам необходимо знать, если вы изучаете натуральные логарифмы. Запомните их, чтобы вы могли быстро перейти к следующему этапу решения, не тратя время на попытки запомнить общие свойства ln.

Сценарий	ln Имущество
ln отрицательного числа	Длина отрицательного числа не определена
пер 0	ln (0) не определено
пер 1	ln (1) = 0
Линия Infinity	ln (∞) = ∞
пер е	ln (эл. ) = 1
ln e повышен до x степени	лин ( e x ) = x
e повышен до мощности	e ln (x) = x

Как видно из последних трех строк, ln ( e ) = 1, и это верно, даже если одна возведена в степень другой.Это потому, что ln и e являются обратными функциями друг друга.

Задачи выборки натурального журнала

Пришло время проверить свои навыки и убедиться, что вы понимаете правила ln, применяя их к примерам задач. Ниже приведены три примера проблем. Попробуйте решить их самостоятельно, прежде чем читать объяснение.

Проблема 1

Оценить ln (7 ² /5)

Сначала мы используем правило частного, чтобы получить: ln (7 ² ) — ln (5).

Затем мы используем правило мощности, чтобы получить: 2ln (7) -ln (5).

Если у вас нет калькулятора, вы можете оставить уравнение в таком виде или вычислить значения натурального логарифма: 2 (1,946) — 1,609 = 3,891 — 1,609 = 2,282.

Проблема 2

Оценить ln ( e ) / 7

Для этой задачи нам нужно запомнить, что ln ( e ) = 1

Это означает, что задача упрощается до 1/7, что и является нашим ответом.

Проблема 3

Решить ln (5 x -6) = 2

Когда у вас есть несколько переменных в круглых скобках, вы хотите сделать e базовым, а все остальное — показателем степени e . Тогда вы получите ln и e рядом друг с другом и, как мы знаем из правил естественного журнала, e ^{ln (x)} = x.

Итак, уравнение принимает вид e ^{ln (5x-6)} = e ²

Начиная с e ^{ln (x)} = x , e ^{ln (5x-6)} = 5x-6

Следовательно 5 x -6 = e ²

Поскольку e является константой, вы можете вычислить значение e ² , либо используя клавишу e на вашем калькуляторе, либо используя оценочное значение e, равное 2. 718.

5 x -6 = 7,389

Теперь добавим 6 к обеим сторонам

5 x = 13,389

Наконец, мы разделим обе стороны на 5.

х = 2,678

Чем натуральные логарифмы отличаются от других логарифмов?

Напоминаем, что логарифм — это противоположность степени. Если вы возьмете журнал числа, вы отмените экспоненту. Ключевое различие между натуральным логарифмом и другими логарифмами заключается в используемом основании.В логарифмах обычно используется основание 10 (хотя это может быть другое значение, которое будет указано), тогда как в натуральных логарифмах всегда используется основание e .

Это означает, что ln (x) = log _e ( x )

Если вам нужно преобразовать логарифм в натуральный логарифм, используйте следующие два уравнения:

• журнал ₁₀ ( x ) = ln (x) / ln (10)
• ln (x) = log ₁₀ ( x ) / log ₁₀ ( e )

За исключением разницы в основании (которая является большой разницей) правила логарифмирования и правила натурального логарифма одинаковы:

Правила логарифмирования	Правила
журнал (xy) = журнал (x) + журнал (y)	ln (x) (y) = ln (x) + ln (y)
журнал (x / y) = журнал (x) −log (y)	ln (x / y) = ln (x) −ln (y)
журнал (x a ) = a журнал ( x )	лин (x a ) = a ln ( x )
журнал (10 x ) = x	лин ( e x ) = x
10 журнал (x) = x	e ln (x) = x

Резюме: Правила естественного журнала

Натуральный логарифм или ln — это величина, обратная e. Правила естественного журнала могут сначала показаться нелогичными, но как только вы их изучите, их довольно просто запомнить и применить к практическим задачам.

Четыре основных правила ln:

• ln (x) (y) = ln (x) + ln (y)
• ln (x / y) = ln (x) — ln (y)
• лин (1 / x) = — ln (x)
• n ( x ^y ) = y * ln (x)

Ключевое различие между натуральным логарифмом и другими логарифмами заключается в используемом основании.

Что дальше?

Пишете исследовательскую работу для школы, но не знаете, о чем писать? В нашем справочнике по темам исследовательских работ более 100 тем в десяти категориях, так что вы можете быть уверены, что найдете идеальную тему для себя.

Хотите узнать о самых быстрых и простых способах конвертации между градусами Фаренгейта и Цельсия? Мы вас прикрыли! Ознакомьтесь с нашим руководством по лучшим способам преобразования Цельсия в градусы Фаренгейта (или наоборот).