Как решать через виета – Теорема Виета, формулы Виета — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 10.01.202023.12.2019 by alexxlab

уравнения Виета

Теорема Виета (точнее, теорема, обратная теореме Виета) позволяет сократить время на решение квадратных уравнений. Только надо уметь ею пользоваться. Как научиться решать квадратные уравнения по теореме Виета? Это несложно, если немного порассуждать.

Сейчас мы будем говорить только о решении по теореме Виета приведенного квадратного уравнения.Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором a, то есть коэффициент перед x², равен единице. Не приведенные квадратные уравнения решить по теореме Виета тоже можно, но там уже, как минимум, один из корней — не целое число. Их угадывать сложнее.

Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа x1 и x2 таковы, что

то x1 и x2 — корни квадратного уравнения

При решении квадратного уравнения по теореме Виета возможны всего 4 варианта. Если запомнить ход рассуждений, находить целые корни можно научиться очень быстро.

I. Если q — положительное число,

это означает, что корни x1 и x2 — числа одинакового знака (поскольку только при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число).

I.a. Если -p — положительное число, (соответственно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Если -p — отрицательное число, (соответственно, p>0), то оба корня — отрицательные числа (складывали числа одного знака, получили отрицательное число).

II. Если q — отрицательное число,

это значит, что корни x1 и x2 имеют разные знаки (при умножении чисел отрицательное число получается только в случае, когда знаки у множителей разные). В этом случае x1+x2 является уже не суммой, а разностью (ведь при сложении чисел с разными знаками мы вычитаем из большего по модулю меньшее). Поэтому x1+x2 показывает, на сколько одно отличаются корни x1 и x2, то есть, на сколько один корень больше другого (по модулю).

II.a. Если -p — положительное число, ( то есть p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Если -p — отрицательное число, (p>0), то больший (по модулю) корень — отрицательное число.

Рассмотрим решение квадратных уравнений по теореме Виета на примерах.

Решить приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:

Здесь q=12>0, поэтому корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма равна -p=7>0, поэтому оба корня — положительные числа. Подбираем целые числа, произведение которых равно 12. Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумма равна 7 у пары 3 и 4. Значит, 3 и 4 — корни уравнения.

В данном примере q=16>0, значит, корни x1 и x2 — числа одного знака. Их сумма -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Здесь q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то бОльшее число положительно. Значит, корни 5 и -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

www.uznateshe.ru

«Теорема Виета. Применение теоремы Виета к решению квадратных уравнений общего вида»

Цель урока: Сформулировать приём, позволяющий свести решение уравнения общего вида к нахождению целых корней вспомогательного уравнения и решение с применением теоремы Виета.

Образовательные задачи урока: Обеспечить закрепление теоремы Виета. Научить учащихся решать квадратные уравнения общего вида, с использованием теоремы Виета. Привить навыки устного решения квадратных уравнений общего вида.

Воспитательные задачи урока: Способствовать выработке у школьников умения обобщать факты, содействовать стремлению к личностному росту учащихся; развивать самостоятельность путём использования ИКТ для выполнения упражнений, навыки групповой и парной работы, самооценку собственных достижений.

Формы работы на уроке:

групповая работа
индивидуальная работа

фронтальная работа
парная работа

Методы работы на уроке:

компьютерное состязание (тренажёр на время)
взаимопроверка
беседа
создание проблемной ситуации и открытие знаний в результате проблемного диалога.
работа с электронными учебниками.
поощрение
работа в тетрадях

План урока:

№	Этап урока	Содержание (цель) этапа	Время (мин)	Цоры
1	Организационный момент (этап самоопределение деятельности).	Поставлена цель урока. На этапе самоопределения к деятельности были созданы условия для возникновения внутренней потребности включения в деятельность. А также была обозначена содержательная область. В работу были включены принципы: деятельности, непрерывности, психологической комфортности. Созданы условия для успешной совместной деятельности (Работа на уроке оценивается бальной системой, ведётся электронный журнал).	1	Презентация
2	Проверка домашнего задания	Фронтальная и индивидуальная проверка и коррекции знаний и умений учащихся.	5	Проверка домашнего задания по электронному журналу
2	Проверка домашнего задания	Фронтальный опрос правил (парная работа)	5	Презентация
3	Устный счёт по выбранным цветам (жёлтые и оранжевые по очереди) на ЭВМ (электронный тренажёр) и тест (Microsoft Office Excel, составленный учителем)	Предварительная подготовка к восприятию новой темы на уроке	5	Математика 5-11 (Практикум. Лаборатория. Тренажёр для устного счёта
4	Создание проблемной ситуации.	Этап актуализации знаний и постановки проблемы. Чётко были обозначены знания умения и навыки для построения нового способа действия. Учащиеся выявили и зафиксировали в речи причины затруднения. Поставили цель своей деятельности. Использовались такие принципы как, деятельности, вариативности, творчества.	2	Листки с примером
5	Проблемно-диалогическое обучение Объяснение новой темы	Совместно с детьми «открывается» способ решение общего квадратного уравнения через вспомогательное уравнение. Открытие детьми “нового” знания происходило через проблемный диалог. Учащиеся подходили к выбору метода решения учебной задачи, выдвигали и обосновывали свои собственные гипотезы. Ярко выражены следующие принципы: минимакса, деятельности, вариативности, психологической комфортности.	5	На доске
6	Инструкция к решению	Воспроизведение знаний учащимися, проговаривание в устной речи	2	Презентация
7	Разбор проблемной задачи	Первичное закрепление знаний, фронтальная работа с классом по усвоению новой темы	2	Презентация
8	Решение примеров из учебника	Разбор примера на доске учителем, Работа учащихся на доске, выявление затруднений.		На доске
9	Самостоятельная работа учащихся	Закрепление знаний учащихся (индивидуальная работа учащихся). На данном этапе уч-ся выполняли задания на новый способ действия. Была создана ситуация успеха. Индивидуальная работа учащихся, самооценка и коррекция знаний.		Алгебра электронный учебник.
10	Рефлексия	В заключение урока была организована самооценка собственной деятельности. На данном этапе были ярко выражены основные идеи урока, подведены итоги работы в группах и представлены вывода о значимости нового способа решения уравнений для дальнейшего обучения.	2
11	Результаты работы учащихся	Представление результатов по этапам урока в электронной таблице. Выставление оценок, распечатка результатов.		Презентация. Электронный журнал

Конспект урока:

Организационный момент. Обеспечение техники безопасности, постановка цели урока. Создание условий для успешной совместной деятельности (Работа на уроке оценивается бальной системой, ведётся электронный журнал).

Проверка домашнего задания (электронный журнал к уроку). ( Слайд №3 «ссылка на проверка домашнего задания»).

Домашнее задание было трёх уровней: А, В и С.

Задание на дом: §29

Задачи трёх уровней: (Решения задач даны в Microsoft office на компьютерах для сверки с домашним заданием учащихся)

Уровень А.

1. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

А)

Б)

Решение:

А) по теореме Виета:

Ответ: сумма корней равна 16, а произведение равно 28.

Б) по теореме Виета:

Ответ: сумма корней равна 12, а произведение равно -45.

2.Пользуясь теоремой обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5.

Решение: -общий вид приведённого квадратного уравнения.

Уравнение имеет вид:

Если умножить обе части уравнения на какое-нибудь число, то получим новое равносильное уравнение. Например:

Уровень В.

1. Найдите сумму и произведение корней уравнения:

А)

Б)

Решение:

А) По теореме Виета

Б)

Приведём к виду . Для этого разделим обе части уравнения на 2, получим:

2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны и

Решение:

Уравнение имеет вид:

Уровень С. (2балла)

Пример.

При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения равна 4.

Разбор задания С. (Слайд №3 «ссылка на уровень С»).

Уровень С.

Пример.

При каких значениях параметра a сумма квадратов корней уравнения равна 4.

Решение: По условию задачи уравнение должно быть разрешимо, т.е. и где — корни уравнения.

Значит:

так как по теореме Виета

Тогда

Ответ: a=0

Устный опрос учащихся (взаимопроверка и выставление баллов в карточку учёта результатов, в ходе урока результаты заносятся в электронный журнал).

Учитель: (параллельно идёт слайд №4 с вопросом)

Какое уравнение называется квадратным.

Учащиеся:

Квадратным уравнением называется уравнение , где - заданные числа