Как решать дробное уравнение: Дробные рациональные уравнения — урок. Алгебра, 8 класс.

Содержание

Как решать дробные уравнения? | О математике понятно

        Итак, друзья, продолжаем осваивать решение основных типов алгебраических уравнений. Мы с вами уже хорошо (надеюсь) знаем, как именно надо решать линейные и квадратные уравнения. Осталось разобрать ещё одним основным типом уравнений — дробными уравнениями.

        Иногда их называют более научно и солидно - дробные рациональные уравнения. Или дробно-рациональные уравнения. Это сути не меняет.)

        Дробные уравнения — незаменимая вещь во многих других темах математики. Особенно — в текстовых задачах. Но для успешного их решения жизненно необходимо ориентироваться в трёх смежных темах:

        1. Дроби и действия с дробями и дробными выражениями.

        2. Тождественные преобразования уравнений.

        3. Решение линейных и квадратных уравнений.

        Без этих трёх китов браться за решение дробных уравнений слишком уж самонадеянно, я бы сказал. Почему? Да потому, что непонимание, как, скажем, работать с дробями (сокращать, приводить к общему знаменателю и т.д.) автоматически будет приводить к полному провалу и в дробных уравнениях. Намёк понятен?)

        Так что тем, у кого проблемы хотя бы по одной из вышеперечисленных тем — настоятельно рекомендую освежить их в памяти, да и по ссылочкам пройтись.

        Итак, вперёд!

 

Что такое дробное уравнение? Примеры.

        Дробное уравнение, как следует непосредственно из названия, - это уравнение, в котором есть дроби. Обязательно. Причём (важно!) не просто дроби, а дроби, у которых есть икс в знаменателе. Хотя бы в одном.

        Например, вот такое уравнение:

        

        Или такое:

        

        Или вот такое:

        

        И так далее.) Напоминаю, что, если в знаменателях сидят только числа, то такие уравнения к дробным не относятся. Либо это линейные уравнения, либо квадратные.

        Например:

        

        Это линейное уравнение, хотя тут тоже есть дроби. Почему? Да потому, что знаменатели дробей — четвёрка и пятёрка. Т.е.

просто числа. И ни один из знаменателей не содержит иксов.

        Или такое уравнение:

        

        Это обычное квадратное уравнение, несмотря на двойку в знаменателе. Опять же, по причине того, что двойка — не икс, и деления на неизвестное в дроби нету.

        В общем, вы поняли.

 

Как решать дробные уравнения? Убираем дроби!

        Как это ни странно, дробные уравнения в большинстве своём решаются довольно просто. По чётким и несложным правилам. Каким же именно образом?

        Первым делом надо избавиться от дробей! Это ключевой шаг в решении любого дробного уравнения, который должен быть освоен идеально. Ибо после того, как все дроби исчезли, уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное. А дальше мы уже с вами знаем, что делать.)

        Но… Как же нам избавиться от дробей?! Легко! Применяя всё те же старые добрые тождественные преобразования! В чём же суть?

        Вникаем. Нам надо помножить

обе части уравнения на одно и то же выражение. Но не на какое попало, а на такое, чтобы все знаменатели посокращались! Одним махом.) Ибо дальше, без знаменателей, жизнь становится гораздо проще и приятнее.)

        Это только на конкретном примере показать можно. Итак, решаем первое уравнение из нашего списка:

        Первое, что приходит на ум — перенести всё в одну сторону, привести всё к общему знаменателю и т.д. Забудьте, как кошмарный сон! Так делают только в одном случае — при решении дробно-рациональных неравенств методом интервалов. Это отдельная большая тема.

        А в уравнениях нам надо сразу умножить обе части на такое выражение, которое нам позволит сократить все знаменатели. И какое же это выражение?

        Давайте его конструировать. ) Смотрим ещё раз на уравнение:

        

        Понятно, что в левой части для ликвидации знаменателя нам необходимо умножение на (х+3), а в правой — на 3. Но математика позволяет умножать обе части уравнения только на одно и то же выражение! На разные — не катит. Ничего не поделать, так уж она устроена…)

        Значит, нам надо скомбинировать такое выражение, которое одновременно делилось бы как на (х+3), так и на тройку. Причём очень важно — только с помощью умножения! И какое же это выражение? Очевидно, это 3(х+3). То есть, по сути, общий знаменатель обеих дробей.

        Итак, для ликвидации всех дробей наше уравнение надо умножать на выражение 3(х+3).

        Умножаем:

        

        Это самое обычное умножение дробных выражений, но, так уж и быть, расписываю детально:

        

        Прошу обратить внимание: скобки (х+3) я не раскрываю! Прямо так, целиком, их и пишу, как будто бы это одна буква. Ибо наша основная на данный момент задача — дроби убрать. Чего без произведения никак не сделаешь… И зачем же нам тогда париться с раскрытием скобок?!

        А вот теперь мы видим, что в левой части сокращается целиком (х+3), а в правой 3. Чего мы и добивались! И теперь с чувством глубокого удовлетворения производим сокращение:

        

        Вот и отлично. Дроби исчезли. После сокращения получилось безобидное линейное уравнение:

        2∙3 = х+3

        А его (надеюсь) уже решит каждый:

        х = 3

 

        Решаем следующий примерчик:

        

        И опять избавляемся от того, что нам не нравится. В данном примере это дробь 20/х. Одна единственная. Для её ликвидации правую часть надо домножить на знаменатель. То есть, просто на х. Но тогда и левую часть тоже надо домножить на х: так уж второе тождественное преобразование требует.

        Вот и домножаем! Всю левую часть и всю правую часть:

        

        Напоминаю, что эта вертикальная чёрточка с умножением всего лишь означает, что обе части нашего уравнения мы умножаем на "х".     

        Вперёд!

        

        А вот теперь — снова внимание!

Очередные грабли. Заметьте, что при умножении левой части на икс, выражение (9 — х) я взял в скобки! Почему? Потому, что мы умножаем на икс всю левую часть целиком, а не отдельные её кусочки!

        Дело всё в том, что частенько после умножения народ записывает левую часть вот так:

        

        Это категорически неверно. Дальше можно уже не решать, да…)

        Но у нас всё хорошо, будем дорешивать.

        С чистой совестью сокращаем икс справа и получаем уравнение уже безо всяких дробей, в одну строчку.

        (9 — х)∙х = 20

        Вот и отлично. Все дроби исчезли напрочь, теперь можно и скобки раскрыть:

        9х — х2 = 20

        Переносим всё влево и приводим к стандартному виду:

        

        Получили классическое квадратное уравнение. Но минус перед квадратом икса — нехорош. Забыть его проще простого! От него всегда можно избавиться умножением (или делением) уравнения на (-1). Проще говоря, меняем в левой части все знаки на противоположные. А справа как был ноль, так ноль же и останется:

        

        Решаем через дискриминант (или подбираем по теореме Виета) и получаем два корня:

        х1 = 4

        х2 = 5

        И все дела.)

        Как вы видите, в первом случае уравнение после преобразований стало линейным, а здесь — квадратным.

        А бывает и так, что после ликвидации дробей вообще все иксы сокращаются и остаётся чистая правда. Что-нибудь типа 3=3.  Это означает, что икс может быть любым. Какой икс ни возьми — всё равно всё посокращается и останется железное равенство 3=3.

 

        Или наоборот, может получиться какая-нибудь белиберда, типа 3=4. А это будет означать, что корней нет. Какой икс ни возьми — всё сократится и останется бред…

        Надеюсь, такие сюрпризы вас уже нисколько не удивят. ) Если всё же удивят, то прогуляйтесь по ссылочке: Линейные уравнения. Как решать линейные уравнения? А чуть конкретнее — особые случаи при решении линейных уравнений.

Эти сюрпризы (полная пропажа иксов после преобразований) — они ко всем видам уравнений относятся. И дробные — не исключение.)

        Разумеется, при попытке ликвидации дробей встречаются и неожиданности. И одну из них мы рассмотрим прямо сейчас.

 

Раскладываем на множители!

        Решаем третье уравнение по списку:

        

        А вот тут некоторые могут и зависнуть. На что же такое надо домножить всё уравнение, чтобы за один шаг сократились все знаменатели? Можно, конечно, взять и тупо перемножить все три знаменателя, получить

        x(x2+2x)(x+2)

        и домножить на эту конструкцию всё уравнение. Математика не возражает.) Но… Может быть, есть выражение попроще?

        Что ж, вскрою тайну: да, всё гораздо проще! Если в совершенстве владеть таким мощным приёмом, как разложение на множители. Привет седьмому классу!)

        А попробуем-ка разложить на множители каждый из знаменателей? Ну, с х и х+2 точно ничего не сделать, а вот х2+2х вполне себе раскладывается! Выносим один икс за скобку и получаем:

        х2+2х = х(х+2)

        Отлично. Вставим наше разложение в исходное уравнение:

        

        Вот теперь всё и прояснилось.) Теперь уже отчётливо видно, что гораздо проще будет умножать обе части уравнения на х(х+2). Это выражение гораздо короче и прекрасно делится на каждый из знаменателей: и на x, и на (х+2), и само на себя — на х(х+2).

        Вот на х(х+2) и умножаем:

        

        И снова расписываю подробно, дабы не запутаться. В левой части я буду использовать скобки: там сумма дробей. В правой части скобки не нужны: там одна дробь. Вот и пишем:

        

        А теперь производим умножение. В левой части большие скобки умножаем на наше выражение х(х+2). Разумеется, по правилу раскрытия скобок, сначала первую дробь, затем — вторую. Ну, а в правой части, по правилу умножения дробей, просто умножаем числитель:

        

        Я уж не стал здесь рисовать единички в знаменателях, несолидно… И, опять же, малые скобки в числителях я не раскрываю! Они нам сейчас для сокращения понадобятся! И да… Откуда появились скобки (х — 3) в числителе первой дроби — думаю, уже не стоит объяснять?)

        С удовольствием сокращаем все дроби:

        

        (x-3)(x+2) + 3 = x

        Раскрываем оставшиеся скобки, приводим подобные и собираем всё слева:

        x2 + 2x — 3x — 6 + 3 — х = 0

        x2 — 2x — 3 = 0

        И снова получили квадратное уравнение. ) Решаем и получаем два корня:

        x1 = -1

        x2 = 3

        Вот и всё. Это и есть ответ.)

        Из этого примера можно сделать важный вывод:

 

        Если знаменатели дробей можно разложить на простые множители — обязательно делаем это! Пригодится при ликвидации дробей. Причём раскладываем всё до упора, используя все возможные способы из алгебры седьмого класса!

 

        Как вы видите, всё просто и логично. Мы меняем исходное уравнение так, чтобы после наших преобразований из примера исчезло всё то, что нам не нравится. Или мешает. В данном случае это — дроби. И точно так же мы будем поступать и со всякими логарифмами, синусами, показателями и прочей жестью.) Мы всегда будем от всего этого избавляться.)

        Ну что, порешаем?)

        Решить уравнения:

        

 

        Ответы (как обычно, вразброс):

        x = 3

        x1 = 0,5;    x2 = 3

        x = 2

        х = 6

        x = 2,6

        x1 = 2;    x2 = 5

 

        Последнее задание не решается? Что ж, формулы сокращённого умножения всяко помнить надо, да…)

        Всё решилось? Что ж, здорово! Значит, полпути в решении дробных уравнений мы с вами уже преодолели. 2=6\)

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ. И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

  1. Выпишите и «решите» ОДЗ.

  2. Найдите общий знаменатель дробей.

  3. Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

  4. Запишите уравнение, не раскрывая скобок.

  5. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

  6. Решите полученное уравнение. 2+9x-5=0\)


    Находим корни уравнения

    \(x_1=-5;\)        \(x_2=\frac{1}{2}.\)


    Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

    Ответ: \(\frac{1}{2}\).

    Смотрите также:
    Дробно-рациональные  неравенства

    Скачать статью

    Дробно рациональное уравнение приведя. Решение дробно-рациональных уравнений. Как решаются дробно-рациональные уравнения

    Дробным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одно из слагаемых - дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное. Например, дробным уравнением является уравнение .

    Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке:

    • найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл,
    • заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель,
    • решить получившееся целое уравнение,
    • исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

    Пример 1. Решить дробное уравнение:

    Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:

    .

    Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет смысла.

    Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение

    Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение

    .

    При решении квадратного уравнения получаем его корни:

    .

    Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются корнями исходного дробного уравнения.

    Пример 2. Решить дробное уравнение:

    .

    Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное уравнение. Общий знаменатель -

    Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель. Получим:

    Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к квадратному уравнению

    Решенив квадратное уравнение , получаем его корни:

    Если x = -3 , то найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль:

    ,

    то же самое, если x = 3 .

    Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а, поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения.

    Пример 3. Решить дробное уравнение:

    .

    Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:

    .

    Общий знаменатель - выражение

    Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим:

    Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению

    .

    Решенив квадратное уравнение , получаем его корни:

    .

    Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно, числа -4 и 9 - корни данного уравнения.

    Пример 4. Решить дробное уравнение:

    .

    Решение. Введём новую переменную, обозначив . Получим уравнение с переменной y .

    § 1 Целое и дробное рациональные уравнение

    В этом уроке разберем такие понятия, как рациональное уравнение, рациональное выражение, целое выражение, дробное выражение. Рассмотрим решение рациональных уравнений.

    Рациональным уравнением называют уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями.

    Рациональные выражения бывают:

    Дробные.

    Целое выражение составлено из чисел, переменных, целых степеней с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

    Например:

    В дробных выражениях есть деление на переменную или выражение с переменной. Например:

    Дробное выражение не при всех значениях входящих в него переменных имеет смысл. Например, выражение

    при х = -9 не имеет смысла, так как при х = -9 знаменатель обращается в нуль.

    Значит, рациональное уравнение может быть целым и дробным.

    Целое рациональное уравнение - это рациональное уравнение, в котором левая и правая части - целые выражения.

    Например:

    Дробное рациональное уравнение - это рациональное уравнение, в котором или левая, или правая части - дробные выражения.

    Например:

    § 2 Решение целого рационального уравнения

    Рассмотрим решение целого рационального уравнения.

    Например:

    Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель знаменателей входящих в него дробей.

    Для этого:

    1. найдем общий знаменатель для знаменателей 2, 3, 6. Он равен 6;

    2. найдем дополнительный множитель для каждой дроби. Для этого общий знаменатель 6 делим на каждый знаменатель

    дополнительный множитель для дроби

    дополнительный множитель для дроби

    3. умножим числители дробей на соответствующие им дополнительные множители. Таким образом, получим уравнение

    которое равносильно данному уравнению

    Слева раскроем скобки, правую часть перенесем налево, изменив знак слагаемого при переносе на противоположный.

    Приведем подобные члены многочлена и получим

    Видим, что уравнение линейное.

    Решив его, найдем, что х = 0,5.

    § 3 Решение дробного рационального уравнения

    Рассмотрим решение дробного рационального уравнения.

    Например:

    1.Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель знаменателей входящих в него рациональных дробей.

    Найдем общий знаменатель для знаменателей х + 7 и х - 1.

    Он равен их произведению (х + 7)(х - 1).

    2.Найдем дополнительный множитель для каждой рациональной дроби.

    Для этого общий знаменатель (х + 7)(х - 1) делим на каждый знаменатель. Дополнительный множитель для дроби

    равен х - 1,

    дополнительный множитель для дроби

    равен х+7.

    3.Умножим числители дробей на соответствующие им дополнительные множители.

    Получим уравнение (2х - 1)(х - 1) = (3х + 4)(х + 7), которое равносильно данному уравнению

    4.Слева и справа умножим двучлен на двучлен и получим следующее уравнение

    5.Правую часть перенесем налево, изменив знак каждого слагаемого при переносе на противоположный:

    6.Приведем подобные члены многочлена:

    7.Можно обе части разделить на -1. Получим квадратное уравнение:

    8.Решив его, найдем корни

    Так как в уравнении

    левая и правая части - дробные выражения, а в дробных выражениях при некоторых значениях переменных знаменатель может обратиться в нуль, то необходимо проверить, не обращается ли в нуль при найденных х1 и х2 общий знаменатель.

    При х = -27 общий знаменатель (х + 7)(х - 1) не обращается в нуль, при х = -1 общий знаменатель также не равен нулю.

    Следовательно, оба корня -27 и -1 являются корнями уравнения.

    При решении дробного рационального уравнения лучше сразу указать область допустимых значений. Исключить те значения, при которых общий знаменатель обращается в нуль.

    Рассмотрим еще один пример решения дробного рационального уравнения.

    Например, решим уравнение

    Знаменатель дроби правой части уравнения разложим на множители

    Получим уравнение

    Найдем общий знаменатель для знаменателей (х - 5), х, х(х - 5).

    Им будет выражение х(х - 5).

    теперь найдем область допустимых значений уравнения

    Для этого общий знаменатель приравняем к нулю х(х - 5) = 0.

    Получим уравнение, решив которое, найдем, что при х = 0 или при х = 5 общий знаменатель обращается в нуль.

    Значит, х = 0 или х = 5 не могут быть корнями нашего уравнения.

    Теперь можно найти дополнительные множители.

    Дополнительным множителем для рациональной дроби

    дополнительным множителем для дроби

    будет (х - 5),

    а дополнительный множитель дроби

    Числители умножим на соответствующие дополнительные множители.

    Получим уравнение х(х - 3) + 1(х - 5) = 1(х + 5).

    Раскроем скобки слева и справа, х2 - 3х + х - 5 = х + 5.

    Перенесем слагаемые справа налево, изменив знак переносимых слагаемых:

    Х2 - 3х + х - 5 - х - 5 = 0

    И после приведения подобных членов получим квадратное уравнение х2 - 3х - 10 = 0. Решив его, найдем корни х1 = -2; х2 = 5.

    Но мы уже выяснили, что при х = 5 общий знаменатель х(х - 5) обращается в нуль. Следовательно, корнем нашего уравнения

    будет х = -2.

    § 4 Краткие итоги урока

    Важно запомнить:

    При решении дробных рациональных уравнений надо поступить следующим образом:

    1.Найти общий знаменатель дробей входящих в уравнение. При этом если знаменатели дробей можно разложить на множители, то разложить их на множители и затем найти общий знаменатель.

    2.Умножить обе части уравнения на общий знаменатель: найти дополнительные множители, умножить числители на дополнительные множители.

    3.Решить получившееся целое уравнение.

    4.Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

    Список использованной литературы:

    1. Макарычев Ю.Н., Н. Г. Миндюк, Нешков К.И., Суворова С.Б. / Под редакцией Теляковского С.А. Алгебра: учебн. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. - М.: Просвещение, 2013.
    2. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. - М.: Мнемозина.
    3. Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс.- М.: ВАКО, 2010.
    4. Алгебра 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой / Авт.-сост. Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. -Волгоград: Учитель, 2005.

    «Рациональные уравнения с многочленами» - одна из самых часто встречающихся тем в тестовых заданиях ЕГЭ по математике. По этой причине их повторению стоит уделить особое внимание. Многие ученики сталкиваются с проблемой нахождения дискриминанта, перенесения показателей из правой части в левую и приведения уравнения к общему знаменателю, из-за чего выполнение подобных заданий вызывает трудности. Решение рациональных уравнений при подготовке к ЕГЭ на нашем сайте поможет вам быстро справляться с задачами любой сложности и сдать тестирование на отлично.

    Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!

    Чтобы знать правила вычисления неизвестных и легко получать правильные результаты, воспользуйтесь нашим онлайн-сервисом. Портал «Школково» - это единственная в своем роде площадка, где собраны необходимые для подготовки к ЕГЭ материалы. Наши преподаватели систематизировали и изложили в понятной форме все математические правила. Кроме того, мы предлагаем школьникам попробовать силы в решении типовых рациональных уравнений, база которых постоянно обновляется и дополняется.

    Для более результативной подготовки к тестированию рекомендуем следовать нашему особому методу и начать с повторения правил и решения простых задач, постепенно переходя к более сложным. Таким образом, выпускник сможет выделить для себя самые трудные темы и сделать акцент на их изучении.

    Начните подготовку к итоговому тестированию со «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Выберите самый легкий пример из предложенных. Если вы быстро справились с выражением, переходите к более сложной задаче. Так вы сможете подтянуть свои знания вплоть до решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня.

    Обучение доступно не только выпускникам из Москвы, но и школьникам из других городов. Уделяйте пару часов в день занятиям на нашем портале, например, и совсем скоро вы сможете справиться с уравнениями любой сложности!

    Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.

    Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.

    Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где - рациональные выражения.

    Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.

    Пример 1

    Решить уравнение: .

    Решение:

    Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

    Получаем следующую систему:

    Первое уравнение системы - это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:

    Получаем два корня: ; .

    Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.

    Ответ: .

    Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:

    1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.

    2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.

    3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: .

    4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.

    Давайте рассмотрим еще один пример.

    Пример 2

    Решить уравнение: .

    Решение

    В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

    Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

    Данное уравнение эквивалентно системе:

    Первое уравнение системы - это квадратное уравнение.

    Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:

    Получаем два корня: ; .

    Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

    Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один - 3.

    Ответ: .

    На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.

    На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.

    Список литературы

    1. Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
    2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.
    3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.
    1. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" ().
    2. School.xvatit.com ().
    3. Rudocs.exdat.com ().

    Домашнее задание

    Сегодня мы разберемся, как решать дробные рациональные уравнения.

    Посмотрим: из уравнений

    (1) 2х + 5 = 3(8 – х),

    (3)

    (4)

    дробными рациональными уравнениями являются только (2) и (4), а (1) и (3) это целые уравнения.

    Предлагаю решить уравнение (4), а затем сформулировать правило.

    Поскольку уравнение дробное, то надо найти общий знаменатель. В этом уравнении это выражение 6(х – 12)(х – 6). Затем мы умножаем обе части уравнения на общий знаменатель:

    После сокращения получаем целое уравнение:

    6(х – 6) 2 – 6(х – 12) 2 = 5(х – 12)(х – 6).

    Решив это уравнение надо обязательно проверить не обращают ли полученные корни в нуль знаменатели дробей в исходном уравнении.

    Раскрываем скобки:
    6х 2 – 72х + 216 – 6х 2 + 144х – 864 = 5х 2 – 90х + 360, упрощаем уравнение: 5х 2 – 162х + 1008 = 0.

    Находим корни уравнения
    D = 6084, √D = 78,
    х 1 = (162 – 78)/10= 84/10 = 8,4 и х 2 = (162 + 78)/10 = 240/10 = 24.

    При х = 8,4 и 24 общий знаменатель 6(х – 12)(х – 6) ≠ 0, значит эти числа являются корнями уравнения (4).

    Ответ: 8,4; 24.

    Решив предложенное уравнение, приходим к следующим положениям :

    1) Находим общий знаменатель.

    2) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель.

    3) Решаем полученное целое уравнение.

    4) Проверяем, какие из корней обращают общий знаменатель в нуль и исключаем их из решения.

    Посмотрим теперь на примере, как работают полученные положения.

    Решить уравнение:

    1) Общий знаменатель: х 2 – 1

    2) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель, получаем целое уравнение: 6 – 2(х + 1) = 2(х 2 – 1) – (х + 4)(х – 1)

    3) Решаем уравнение: 6 – 2х – 2 = 2х 2 – 2 – х 2 – 4х + х + 4

    х 2 – х – 2 = 0

    х 1 = - 1 и х 2 = 2

    4) При х = -1, общий знаменатель х 2 – 1 = 0. Число -1 корнем не является.

    При х = 2, общий знаменатель х 2 – 1 ≠ 0. Число 2 – корень уравнения.

    Ответ : 2.

    Как видите, наши положения работают. Не бойтесь, у вас все получится! Самое главное правильно найдите общий знаменатель и аккуратно выполните преобразования . Надеемся, что при решение дробных рациональных уравнений у вас всегда будут получаться правильные ответы. Если у вас остались вопросы или вы хотите попрактиковаться в решении подобных уравнений, записывайтесь на уроки к автору этой статьи, репетитору й.

    blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

    Как решать дробные уравнения

    Содержание:

    1. Примеры с решением

    Дробное уравнение — уравнение вида — , то и — некоторые многочлены. Дробное уравнение равносильно системе:

    Решение дробного уравнения можно разбить на два этапа:

    1) решить уравнение ;

    2) проверить условие .

    По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

    Примеры с решением

    Пример 1:

    Решить дробное уравнение:

    а)

    Решение:

    Соберем дроби в левую часть уравнения и приведем их к общему знаменателю:

    Получившееся уравнение равносильно системе:

    Возможно вам будут полезны данные страницы:

    Пример 2:

    Решим уравнение

    Решение:

    Уравнение имеет два корня.

    Проверим корни на выполнение второго условия системы.

    Если , то , следовательно, число является посторонним корнем данного уравнения.

    Если , то , следовательно, число является корнем данного уравнения.

    Ответ: .

    Пример 3:

    Решение:

    Преобразуем левую и правую части уравнения:

    Полученное уравнение равносильно системе:

    Пример 4:

    Решим уравнение

    Решение:

    Уравнение имеет два корня.

    Проверим корни на выполнение второго условия системы.

    Если , то , следовательно, число является корнем данного уравнения.

    Если , то , следовательно, число является корнем данного уравнения.

    Ответ:

    Пример 5:

    Решение:

    Преобразуем числитель дроби, стоящей в левой части уравнения:

    Так как числитель дроби равен то дробь ни при каких допустимых значениях переменной не будет принимать значение, равное нулю. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

    Ответ: нет решений.

    Пример 6:

    Решение:

    Преобразуем выражение, стоящее в левой части уравнения:

    Уравнение принимает вид:

    Корнем данного уравнения является любое действительное число, кроме .

    Ответ: любое действительное число, кроме .

    Дробные рациональные уравнения

    Определение:

    Дробным рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причём хотя бы одно из них - дробным выражением.

    Алгоритм решения:

    ·        найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

    ·        умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

    ·        решить получившееся целое уравнение;

    ·        исключить из корней те, которые обращают общий знаменатель в ноль.

    Пример.

    Решить уравнение:

    Знаменатель дроби, стоящей в правой части уравнения, можно разложить на множители, тогда найдем общий знаменатель:

    Умножим на него обе части уравнения, получим уравнение:

    Проверим, x=5 обращает общий знаменатель в ноль, а x=-2 знаменатель не обращает в ноль, значит x=-2 является корнем данного дробного рационального уравнения.

    Получили корень x=-2.  

    Пример.

    Решить уравнение:

    Найдём область допустимых значений переменной:

    Приведём к общему знаменателю дроби:

    Получим целое уравнение:

    Преобразовав его, получаем квадратное уравнение:

    Так как корни не входят в область допустимых значений, значит оба числа являются корнями исходного дробного рационального уравнения.

    Пример.

    Решить уравнение:

    Введем замену:

    Решаем по алгоритму:

    Осуществим обратную подстановку и решим полученные квадратные уравнения:

    Проверим найденные корни:

    Ни при каком из полученных значений знаменатель не обращается в ноль. Значит, данное дробное рациональное уравнение имеет 4 корня.

    Больших вычислений требует проверка. Каждый корень нужно подставлять в уравнение.

    Пример.

    От автобусной остановки отъехал автобус до аэропорта, находящегося на расстоянии 120 км. Один из пассажиров автобуса опоздал к отправлению на 10 минут, и решил поехать на такси. Автобус и такси приехали в аэропорт одновременно. Нужно найти скорость автобуса, если известно, что скорость такси на 10 км/ч больше.

    Пусть х - скорость автобуса, тогда (х + 10) - скорость такси. Выразим время движения обоих транспортных средств и составим уравнение:

    Решим полученное дробное рациональное уравнение:

    Получаем скорость автобуса

    Дробные рациональные уравнения с параметром примеры с решением

    Примеры

    Об уравнениях с параметром также см. 2-x-2}$$

    $$ {\left\{ \begin{array}{c} (a+3-5+3a)x-2(a+3)-(5-3a) = ax+3 \\ x \neq -1, x \neq 2 \end{array} \right.} $$

    $$ (4a-2)x+a-11 = ax+3 $$

    $$ (3a-2)x = 14-a \Rightarrow \left[ \begin{array}{cc} {\left\{ \begin{array}{c} a = \frac{2}{3} \\ 0 \cdot x = 5-\frac{2}{3}, x \in \varnothing \end{array} \right.} \\ {\left\{ \begin{array}{c} a \neq \frac{2}{3} \\ x = \frac{14-a}{3a-2} \end{array} \right.} \end{array} \right. \Rightarrow {\left\{ \begin{array}{c} a \neq \frac{2}{3} \\ x = \frac{14-a}{3a-2} \end{array} \right.} $$

    Проверяем условия $x \neq -1, x \neq 2$.

    $$ \frac{14-a}{3a-2} \neq -1 \Rightarrow 14-a \neq 2-3a \Rightarrow 2a \neq -12 \Rightarrow a \neq -6 $$

    $$ \frac{14-a}{3a-2} \neq 2 \Rightarrow 14-a \neq 6a-4 \Rightarrow 7a \neq 18 \Rightarrow a \neq \frac{18}{7} $$

    Ответ:

    При a = $\{-6; \frac{2}{3}; \frac{18}{7}\}$ решений нет; при $a \neq \{-6; \frac{2}{3}; \frac{18}{7}\}$ один корень $x = \frac{14-a}{3a-2}$

    Пример 2. 2}}{2} = \frac{a(1 \pm \sqrt{5})}{2} $$

    2) Накладываем условия $z \neq 0, z \neq \pm a$ на полученные решения.

    $$ z = - \frac{a}{4} \neq 0 \Rightarrow a \neq 0, z = -\frac{a}{4} \neq \pm a \Rightarrow a \neq 0 $$

    $$ z = \frac{a(1 \pm \sqrt{5})}{2} \neq 0 \Rightarrow a \neq 0 $$

    $$ z = \frac{a(1 \pm \sqrt{5})}{2} \neq \pm a \Rightarrow a(1 \pm \sqrt{5}) \neq \pm 2a \Rightarrow a \neq 0 $$

    3) Особая точка a = 0.

    При a = 0 исходное уравнение является ложным: 0 = 8, решений нет.

    4) Возвращаемся к исходной переменной: x = z-2a

    $$ x_1 = -\frac{a}{4}-2a = -\frac{9}{4} a $$

    $$ x_2 = \frac{a(1-\sqrt{5})}{2}-2a = \frac{a(1-\sqrt{5}-4)}{2} = \frac{a(-\sqrt{5}-3)}{2} $$

    $$ x_2 = \frac{a(1+\sqrt{5})}{2}-2a = \frac{a(1+\sqrt{5}-4)}{2} = \frac{a(\sqrt{5}-3)}{2} $$

    Ответ:

    При a = 0 корней нет

    При $a \neq 0$ три корня $x_1 = -\frac{9}{4} a; x_{2,3} = \frac{a(\pm\sqrt{5}-3)}{2}$

    Урок «Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений»

    АЛГЕБРА 8 класс

     Тема урока: Решение задач с помощью дробно-рациональных уравнений.

    Цели урока:

    Обучающая:

    Способствовать:

    выработке умений и навыков решать дробные рациональные уравнения, созданию условий для взаимоконтроля, самоконтроля усвоения знаний и умений;

    составления математической модели задачи, перевода условия задачи с обычного языка на математический;

    применения приемов: обобщения, сравнения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти;

    Развивающая:

    развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

    развитие интеллектуальных умений;

    развитие умения принимать решения.

    Воспитательная:

    воспитание познавательного интереса к предмету;

    воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

    воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

    Задачи:

    1) актуализировать знание решения дробных рациональных уравнений, умение решать задачи при помощи рациональных уравнений; добиться усвоения алгоритма решения задач;

    2) - Познавательные: овладение основами логического и алгоритмического мышления;

    Регулятивные: развитие умения читать и записывать информацию в виде различных математических моделей, планировать действия в соответствии с поставленной задачей;

    Коммуникативные: строить высказывания, аргументировано доказывать свою точку зрения;

    Личностные: развитие навыков сотрудничества со сверстниками,

    3) - воспитывать чувство товарищества.

    Тип урока: урок комплексного применения знаний, умений и навыков.


     

    ХОД УРОКА.

    Организационный этап.

      -визуальная проверка решения домашней работы;

      - проверка у доски решения упражнения №__, задачи №_____.

      2. Этап актуализации опорных знаний.

      На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Давайте дадим характеристику каждого их них. Какие это уравнения

      8. Решите уравнение:

      Найдите ОДЗ каждого уравнения. Решить в тетради уравнение№ 8.

      3.Этап комплексного применения знаний, умений и навыков.

      Поиск задач, математическими моделями которых являются дробные уравнения.

      Сегодняшний урок будет посвящён решению текстовых задач. Жизнь вообще перед нами ставит множество задач. Не все они решаются алгебраическим способом, но научившись решать математические задачи, вы сможете всегда прийти к верному решению какой – либо проблемы. Мы уже знакомились с текстовыми задачами и вы могли убедиться, что людям разных профессий приходится иметь дело с задачами на дробно-рациональные уравнения.


       

      В каких задачах мы встречаем дробно- рациональные выражения

      В тех, где одна величина выражается через другие при помощи дробного выражения.

      Например: время =;  ;

      Cторона прямоугольника=;

      ;

       и другие.

      Сегодня мы затронем три вида задач : на работу, на движение и на совместную работу.

      Задача 1:

      Члены школьного кружка натуралистов отправились на катере для сбора лекарственных трав. Проплыв вниз по течению реки 35 км, они сделали трехчасовую стоянку, после чего вернулись назад. Определите скорость катера в стоячей воде, если на все путешествие ушло 7 часов, а скорость течения реки 3 км/ч.

       

      V (км/ч)

      t (ч)

      S (км)

      По течению.

       

       

       

      Против течения.

       

       

       

      Собственная скорость катера

           

      Скорость течения реки

           

      Прогнозируемый результат ответа:

      Уравнение: 

      2х-35х-18=0. Д=1269. х=18; х=-.

      Ответ: v=18км/ч.

      Задача 2:

      Токарь должен был обработать 120 деталей к определенному сроку. Применив новый резец, он стал обтачивать в час на 20 деталей больше и поэтому закончил работу на 1 ч раньше срока. Сколько деталей он должен обрабатывать по плану?


       

       

      производительность

      время

      всего

      По плану

       

       

       

      Фактически

       

       

       

      x = 40 или x = -60 не удовлетворяет условию задачи

      Ответ: 40 деталей.

      Новый тип задач на совместную работу.

      Задача 3. Мастер на выполнение заказа тратит определенное количество дней, а ученик потратит на выполнение этого заказа на 10 дней больше. Работая вместе, мастер и ученик могут выполнить заказ за 12 дней. За какое время каждый из них работая отдельно может выполнить заказ.

      12(Х+10)+12Х-(х2+10Х)=0

      12Х+120+12Х-х2-10Х=0

      Х2 -14Х-120=0 Д=196+480=676=26? Х1=  

      Один из рабочих выполнит работу за 20 дней, а другой за 30 дней.

       Ответ: 20 дней и 30 дней.

      4.Итог урока:

       Общеизвестно высказывание: “Решение математической задачи можно сравнить со взятием крепости”. После данного урока решение большинства задач, я надеюсь, со взятием крепости уже не ассоциируется. Вы согласны со мной, ребята?


       

      5. Домашнее задание

      Блок по теме:

      Дробно-рациональные уравнения

      Отметка

      «зачёт»

      «4»

      «5»

      Обязательная часть

      4 балла

      4 балла

      4 балла

      Дополнительная часть

       

      8 балла

      12 баллов

      Обязательная часть

      1. Решите уравнение .

      2. Решите уравнение .

      3. Решите уравнение .

      4. Решите уравнение .

      Уравнения с дробями - Полный курс алгебры

      24

      Очистка фракций

      2-й уровень

      Чтобы решить уравнение с дробями, мы преобразуем его в уравнение без дробей, которое мы умеем решать. Методика называется очисткой от фракций.

      Пример 1. Решите для x :

      x
      3
      + x -2
      5
      = 6.

      Решение . Очистить следующие дроби:

      Умножьте обе части уравнения - каждый член - на НОК знаменателей. Тогда каждый знаменатель разделит на его кратное. Тогда у нас будет уравнение без дробей.

      НОК 3 и 5 равно 15. Следовательно, умножьте обе части уравнения на 15.

      15 · x
      3
      + 15 · x -2
      5
      = 15 · 6

      Слева распределите по 15 на каждый член. Теперь каждый знаменатель разделится на 15 - вот в чем суть - и мы получим следующее простое уравнение, "очищенное" от дробей:

      5 x + 3 ( x -2) = 90.
      Легко решается следующим образом:
      5 x + 3 x - 6 = 90
      8 x = 90 + 6
      x = 96
      8
      = 12.

      Мы говорим «умножить» обе части уравнения, но мы пользуемся тем фактом, что порядок, в котором мы умножаем или делим, не имеет значения. (Урок 1.) Поэтому сначала мы делим НОК на каждый знаменатель и таким образом очищаем от дробей.

      Мы выбираем , кратное каждого знаменателя, потому что каждый знаменатель будет тогда его делителем.

      Пример 2. Очистите дроби и решите относительно x :

      .
      x
      2
      5 x
      6
      = 1
      9

      Решение .НОК 2, 6 и 9 равно 18. (Урок 23 по арифметике). Умножьте обе части на 18 - и отмените.

      9 x -15 x = 2.

      Нет необходимости писать 18. Ученик должен просто посмотреть на и увидеть, что 2 перейдет в 18 девять (9) раз. Таким образом, этот член становится 9 x .

      Затем посмотрите и увидите, что 6 переходит в 18 три раза по (3).Таким образом, этот член становится 3 · −5 x = −15 x .

      Наконец, посмотрите и увидите, что 9 превратится в 18 два (2) раза. Таким образом, этот член становится 2 · 1 = 2.

      Вот очищенное уравнение и его решение:

      9 x -15 x = 2
      −6 x = 2
      x = 2
      −6
      x = 1
      3

      Пример 3.Решить относительно x :

      ½ (5 x - 2) = 2 x + 4.

      Решение . Это уравнение с дробью. Удаление дробей путем умножения обеих сторон на 2:

      5 x -2 = 4 x + 8
      5 x - 4 x = 8 + 2
      x = 10.

      В следующих задачах очистить дроби и решить для x :

      Чтобы увидеть каждый ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
      Чтобы закрыть ответ еще раз, нажмите «Обновить» («Reload»).
      Сначала решите проблему сами!

      Задача 1. x
      2
      x
      5
      = 3
      LCM - это 10.Вот очищенное уравнение и его решение:
      5 x - 2 x = 30
      3 x = 30
      x = 10.

      При решении любого уравнения с дробями в следующей строке вы пишете -

      5 x - 2 x = 30

      - должно иметь без дробей .

      Задача 2. x
      6
      = 1
      12
      + x
      8
      LCM - это 24.Вот очищенное уравнение и его решение:
      4 x = 2 + 3 x
      4 x - 3 x = 2
      x = 2
      Проблема 3. x -2
      5
      + x
      3
      = x
      2
      LCM - это 30. Вот очищенное уравнение и его решение:
      6 (x -2) + 10 x = 15 x
      6 x - 12 + 10 x = 15 x
      16 x -15 x = 12
      x = 12.

      Задача 4. Дробь равна дроби.

      x - 1
      4
      = x
      7
      LCM - это 28. Вот очищенное уравнение и его решение:
      7 ( x - 1) = 4 x
      7 x - 7 = 4 x
      7 x -4 x = 7
      3 x = 7
      x = 7
      3

      Мы видим, что когда одна дробь равна одной дроби, тогда уравнение может быть очищено "перекрестным умножением". «

      Если
      а
      б
      = c
      d
      ,
      , затем
      объявление = г. до н.э. .
      Задача 5. x - 3
      3
      = x -5
      2
      Вот очищенное уравнение и его решение:
      2 ( x - 3) = 3 ( x -5)
      2 x - 6 = 3 x - 15
      2 x - 3 x = - 15 + 6
      - x = −9
      x = 9
      Проблема 6. x - 3
      x - 1
      = x + 1
      x + 2
      Вот очищенное уравнение и его решение:
      ( x -3) ( x + 2) = ( x - 1) ( x + 1)
      x ² - x - 6 = x ² - 1
      - x = −1 + 6
      - x = 5
      x = −5.
      Задача 7. 2 x - 3
      9
      + x + 1
      2
      = x - 4
      LCM - это 18. Вот очищенное уравнение и его решение:
      4 x - 6 + 9 x + 9 = 18 x - 72
      13 x + 3 = 18 x - 72
      13 x -18 x = - 72 - 3
      −5 х = −75
      x = 15.
      Задача 8. 2
      x
      3
      8 x
      = 1
      4
      LCM - это 8 х . Вот очищенное уравнение и его решение:
      16–3 = 2 x
      2 x = 13
      x = 13
      2

      2-й уровень

      Следующий урок: Задачи со словами

      Содержание | Дом


      Сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставалась в сети.
      Даже 1 доллар поможет.


      Авторские права © 2021 Лоуренс Спектор

      Вопросы или комментарии?

      Эл. Почта: [email protected]


      Решение многоступенчатых линейных уравнений с дробями

      Нам нужно более двух операций, чтобы решить линейное уравнение . Использовать обратные операции для отмены каждой операции в обратном порядке.

      Если уравнение содержит дроби, умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (ЖК-дисплей) для очистки дробей.

      Шаги для решения многоступенчатого уравнения:

      Шаг 1 Очистите уравнение дробей.

      Шаг 2 Использовать Распределительное свойство чтобы убрать скобки с каждой стороны.

      Шаг 3 Объединение похожих терминов с каждой стороны.

      Шаг 4 Отменить сложение или вычитание.

      Шаг 5 Отменить умножение или деление.

      Пример:

      Решать 2 у 3 + у 2 знак равно 7 .

      Решение

      Наименьший общий знаменатель (ЖКД) в этом случае - 6 . Итак, умножьте обе части уравнения на 6 .

      6 ( 2 у 3 + у 2 ) знак равно 6 ( 7 )

      Использовать распределительный закон в левой части уравнения.

      6 ( 2 у 3 ) + 6 ( у 2 ) знак равно 6 ( 7 )

      Умножить.

      4 у + 3 у знак равно 42

      Объедините похожие термины.

      7 у знак равно 42

      Отменить умножение.Разделите каждую сторону на 7 .

      7 у 7 знак равно 42 7

      Упрощать.

      у знак равно 6

      Решение линейных уравнений с дробями

      Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

      Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

      Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

      Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

      Вы должны включить следующее:

      Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса - изображению, ссылке, тексту и т. д. - относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

      Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

      Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
      101 S. Hanley Rd, Suite 300
      St. Louis, MO 63105

      Или заполните форму ниже:

      Решение рациональных уравнений

      Решение рациональных уравнений Вот шаги, необходимые для решения рациональных уравнений:
      Шаг 1 : Удалите все дроби.При решении рациональных уравнений у вас есть выбор из двух способов исключить дроби. Опция 1; умножьте всю проблему на наименьший общий знаменатель или ЖКД. Вариант 2; вы можете крестить умножение. Вариант 1 подойдет для любой задачи, но вы можете выполнить перекрестное умножение только в том случае, если одна дробь равна одной дроби, то есть если дроби пропорциональны. Щелкните ссылку, чтобы просмотреть шаги по поиску ЖК-дисплея. Обратите внимание, что при решении рациональных уравнений все дроби должны исчезнуть после первого шага.
      Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
      Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение. Если упрощенное уравнение имеет более высокие степени, такие как x 2 или x 3 , вы можете решить уравнение, приравняв его к нулю и разложив на множители. Если упрощенная задача не содержит более высоких степеней, тогда решите для x, получив x с одной стороны и числа с другой.
      Шаг 4 : Проверьте каждое решение. Подставьте каждое решение в знаменатель исходного вопроса и отклоните любые решения, которые приводят к тому, что знаменатель становится равным нулю, потому что это делает проблему неопределенной. Этот шаг не гарантирует правильного ответа; это только гарантирует, что ответ приемлем.

      Пример 1 - Решить:

      Шаг 1 : Удалите все дроби.В этом случае нам нужно умножить на ЖК-дисплей, чтобы исключить дроби.
      Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
      Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение. В этом случае нам нужно получить x на одной стороне и числа на другой стороне.
      Шаг 4 : Проверьте каждое решение.В этом случае единственное число, которое сделало бы проблему неопределенной, - 0. Поскольку наш ответ не равен 0, ответ принимается.

      Пример 2 - Решить:

      Шаг 1 : Удалите все дроби. В этом случае нам нужно умножить на ЖК-дисплей, чтобы исключить дроби.
      Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
      Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение. В этом случае нам нужно получить x на одной стороне и числа на другой стороне.
      Шаг 4 : Проверьте каждое решение. В этом случае единственными числами, которые могут сделать проблему неопределенной, являются 3 или –3. Поскольку наш ответ не равен 3 или –3, ответ принят.

      Щелкните здесь для практических задач

      Пример 3 -

      Шаг 1 : Удалите все дроби.В этом случае мы можем либо умножить на ЖК-дисплей, либо крест-накрест, чтобы исключить дроби.
      Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
      Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение. В этом случае нам нужно получить x на одной стороне и числа на другой стороне, потому что члены x 2 будут сокращаться.
      Шаг 4 : Проверьте каждое решение. В этом случае единственные числа, которые делают проблему неопределенной, - это 2 или 5. Поскольку наш ответ - не 2 или 5, ответ принимается.

      Щелкните здесь для практических задач

      Пример 4 -

      Шаг 1 : Удалите все дроби. В этом случае нам нужно умножить на ЖК-дисплей, чтобы исключить дроби.
      Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
      Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение. В этом случае нам нужно получить x на одной стороне и числа на другой стороне.
      Шаг 4 : Проверьте каждое решение. В этом случае единственные числа, которые делают проблему неопределенной, - это 1 или 4.Поскольку наш ответ равен 4, ответ не принимается, что означает:

      Щелкните здесь для практических задач

      Пример 5 -

      Шаг 1 : Удалите все дроби. В этом случае мы можем либо умножить на ЖК-дисплей, либо крест-накрест, чтобы исключить дроби.
      Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
      Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение. В этом случае нам нужно получить уравнение, равное нулю, и решить его путем факторизации.
      Шаг 4 : Проверьте каждое решение. В этом случае единственные числа, которые делают проблему неопределенной, - это 0 или –12/5. Поскольку наши ответы не равны 0 или –12/5, ответы принимаются.

      Щелкните здесь для практических задач

      Пример 6 -

      Шаг 1 : Удалите все дроби.В этом случае нам нужно умножить на ЖК-дисплей, чтобы исключить дроби.
      Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
      Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение. В этом случае нам нужно получить уравнение, равное нулю, и решить его путем факторизации.
      Шаг 4 : Проверьте каждое решение.В этом случае единственными числами, которые могут сделать проблему неопределенной, являются 1, –1 или –2. Поскольку наши ответы не равны 1, –1 или –2, ответы принимаются.

      Щелкните здесь для практических задач

      Решайте уравнения с дробными или десятичными коэффициентами - предалгебра

      Цели обучения

      К концу этого раздела вы сможете:

      • Решите уравнения с дробными коэффициентами
      • Решите уравнения с десятичными коэффициентами

      Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

      1. Умножить:
        Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок)
      2. Найдите ЖК-дисплей
        Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок)
      3. Умножьте: на
        Если вы пропустили эту задачу, просмотрите (рисунок)

      Решение уравнений с дробными коэффициентами

      Давайте воспользуемся общей стратегией решения линейных уравнений, представленной ранее, чтобы решить уравнение

      Этот метод работал нормально, но многие студенты не чувствуют себя уверенно, когда видят все эти дроби.Итак, мы собираемся показать альтернативный метод решения уравнений с дробями. Этот альтернативный метод исключает дроби.

      Мы применим свойство равенства умножения и умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. Результатом этой операции будет новое уравнение, эквивалентное первому, но без дробей. Этот процесс называется , очищая уравнение дробей . Давайте снова решим то же уравнение, но на этот раз воспользуемся методом очистки дробей.

      Решить:

      Решить:

      Решить:

      Обратите внимание на (рисунок), что после того, как мы очистили уравнение дробей, оно было похоже на те, которые мы решили ранее в этой главе. Мы изменили проблему на ту, которую уже знали, как решить! Затем мы использовали общую стратегию решения линейных уравнений.

      Решите уравнения с дробными коэффициентами, удаляя дроби.

      1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
      2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает фракции.
      3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.

      Решить:

      Решение

      Мы хотим очистить дроби, умножив обе части уравнения на ЖК-дисплей всех дробей в уравнении.

      Решить:

      Решить:

      В следующем примере у нас будут переменные и дроби с обеих сторон уравнения.

      Решить:

      Решить:

      Решить:

      На (рисунок) мы начнем с использования свойства распределения. Этот шаг сразу очистит дроби!

      Решить:

      Решить:

      Решить:

      Часто дроби остаются даже после распределения.

      Решить:

      Решить:

      Решить:

      Решение уравнений с десятичными коэффициентами

      В некоторых уравнениях есть десятичные дроби.Такое уравнение возникает, когда мы решаем проблемы, связанные с деньгами и процентами. Но десятичные дроби - это еще один способ представления дробей. Например, и Итак, когда у нас есть уравнение с десятичными знаками, мы можем использовать тот же процесс, который мы использовали для очистки дробей, - умножить обе части уравнения на наименьший общий знаменатель.

      Решить:

      Решить:

      Решить:

      Решение

      Посмотрите на десятичные дроби и подумайте об эквивалентных дробях.

      Обратите внимание, ЖК-дисплей

      Умножая на ЖК-дисплей, мы очищаем десятичные дроби.

      Решить:

      Решить:

      В следующем примере используется уравнение, типичное для тех, которые мы увидим в денежных приложениях в следующей главе. Обратите внимание, что мы сначала распределим десятичные дроби, прежде чем очистим все десятичные дроби в уравнении.

      Решить:

      Решить:

      Решить:

      Ключевые понятия

      • Решите уравнения с дробными коэффициентами, очистив дроби.
        1. Найдите наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении.
        2. Умножьте обе части уравнения на этот ЖК-дисплей. Это очищает фракции.
        3. Решите, используя общую стратегию решения линейных уравнений.

      Упражнения по разделам

      Практика ведет к совершенству

      Решите уравнения с дробными коэффициентами

      В следующих упражнениях решите уравнение, убирая дроби.

      Решение уравнений с десятичными коэффициентами

      В следующих упражнениях решите уравнение, удалив десятичные дроби.

      Повседневная математика

      Монеты Тейлор имеет десять центов и пенни. Количество пенсов больше, чем количество монет. Решите уравнение для количества десятицентовиков.

      Письменные упражнения

      Объясните, как найти наименьший общий знаменатель числа

      .

      Если уравнение состоит из нескольких дробей, как умножение обеих частей на ЖК-дисплей упрощает решение?

      Если в уравнении дроби только с одной стороны, зачем нужно умножать обе части уравнения на ЖК-дисплей?

      В уравнении что такое ЖК-дисплей? Откуда вы знаете?

      Самопроверка

      ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

      ⓑ В целом, посмотрев контрольный список, думаете ли вы, что хорошо подготовлены к следующей главе? Почему или почему нет?

      Упражнения для повторения глав

      Решите уравнения, используя свойства равенства и сложения

      В следующих упражнениях определите, является ли данное число решением уравнения.

      В следующих упражнениях решите уравнение, используя свойство равенства вычитания.

      В следующих упражнениях решите уравнение, используя свойство сложения равенства.

      В следующих упражнениях решите уравнение.

      В следующих упражнениях переведите каждое английское предложение в алгебраическое уравнение, а затем решите его.

      Четыре меньше, чем

      В следующих упражнениях переведите в алгебраическое уравнение и решите.

      Дочке Рошель исполнилось несколько лет. Ее сын на годы младше. Сколько лет ее сыну?

      с = 11 - 3; 8 лет

      Тан весит фунтов. Минь весит на несколько фунтов больше, чем Тан. Сколько весит Мин?

      Питер заплатил, чтобы пойти в кино, что было меньше, чем он заплатил, чтобы пойти на концерт. Сколько он заплатил за концерт?

      с - 46.25 = 9,75; ? 56,00

      Элисса заработала на этой неделе, что больше, чем она заработала на прошлой неделе. Сколько она заработала на прошлой неделе?

      Решение уравнений с переменными и константами с обеих сторон

      В следующих упражнениях решите уравнения с константами с обеих сторон.

      В следующих упражнениях решите уравнения с переменными с обеих сторон.

      В следующих упражнениях решите уравнения с константами и переменными с обеих сторон.

      В следующих упражнениях решите каждое линейное уравнение, используя общую стратегию.

      1.26: Решение дробных уравнений - математика LibreTexts

      Дробное уравнение - это уравнение, включающее дроби, в знаменателе одного или нескольких членов которого стоит неизвестное.

      Пример 24.1

      Ниже приведены примеры дробных уравнений:

      а) \ (\ frac {3} {x} = \ frac {9} {20} \)

      б) \ (\ frac {x-2} {x + 2} = \ frac {3} {5} \)

      c) \ (\ frac {3} {x-3} = \ frac {4} {x-5} \)

      d) \ (\ frac {3} {4} - \ frac {1} {8 x} = 0 \)

      e) \ (\ frac {x} {6} - \ frac {2} {3 x} = \ frac {2} {3} \)

      Свойство Cross-Product можно использовать для решения дробных уравнений.

      Перекрестная собственность

      Если \ (\ frac {A} {B} = \ frac {C} {D} \), то \ (A \ cdot D = B \ cdot C \).

      Используя это свойство, мы можем преобразовать дробные уравнения в недробные. Мы должны проявлять осторожность при применении этого свойства и использовать его только тогда, когда на каждой стороне уравнения есть одна дробь. Итак, дробные уравнения можно разделить на две категории.

      I. Отдельные дроби с каждой стороны уравнения

      Уравнения a), b) и c) в примере 24.1 попадают в эту категорию. Мы решаем эти уравнения здесь.

      а) Решить \ (\ frac {3} {x} = \ frac {9} {20} \)

      \ [\ begin {array} {ll} \ text {Cross-Product} & 3 \ cdot 20 = 9 \ cdot x \\ \ text {Linear Equation} & 60 = 9 x \\ \ text {Разделить на 9 оба стороны} & \ frac {60} {9} = x \ end {array} \ nonumber \]

      Решение: \ (x = \ frac {60} {9} = \ frac {20} {3} \).

      б) \ (\ frac {x-2} {x + 2} = \ frac {3} {5} \)

      \ [\ begin {array} {ll} \ text {Cross-Product} & 5 \ cdot (x-2) = 3 \ cdot (x + 2) \\ \ text {Убрать скобки} & 5 x-10 = 3 x + 6 \\ \ text {Линейное уравнение: изолировать переменную} & 5 x-3 x = 10 + 6 \\ & 2 x = 16 \\ \ text {Разделить на 2 с обеих сторон} & \ frac {2 x } {2} = \ frac {16} {2} \ end {array} \ nonumber \]

      решение \ (x = 8 \).

      c) \ (\ frac {3} {x-3} = \ frac {4} {x-5} \)

      \ [\ begin {array} {ll} \ text {Cross-Product} & 3 \ cdot (x-5) = 4 \ cdot (x-3) \\ \ text {Убрать скобки} & 3 x-15 = 4 x-12 \\ \ text {Линейное уравнение: изолировать переменную} & 3 x-4 x = 15-12 \\ & -x = 3 \\ \ text {Разделить на 2 с обеих сторон} & \ frac {-x } {- 1} = \ frac {3} {- 1} \ end {array} \ nonumber \]

      Решение: \ (x = -3 \)

      Примечание: Если у вас есть дробное уравнение, и одно из членов не является дробью, вы всегда можете учесть это, поставив 1 в знаменателе.Например:

      Решить

      \ [\ frac {3} {x} = 15 \ nonumber \]

      Перепишем уравнение так, чтобы все члены были дробями.

      \ [\ frac {3} {x} = \ frac {15} {1} \ nonumber \]

      \ [\ begin {array} {ll} \ text {Cross-Product} & 3 \ cdot 1 = 15 \ cdot x \\ \ text {Линейное уравнение: изолировать переменную} & 3 = 15 x \\ \ text { Разделить на 15 с обеих сторон} & \ frac {3} {15} = \ frac {15 x} {15} \ end {array} \ nonumber \]

      Решение: \ (x = \ frac {3} {15} = \ frac {3 \ cdot 1} {3 \ cdot 5} = \ frac {1} {5} \).

      II. Множественные дроби по обе стороны от уравнения

      Уравнения d) и e) в примере 24.1 попадают в эту категорию. Мы решаем эти уравнения здесь.

      Мы используем технику комбинирования рациональных выражений, которую изучили в главе 23, чтобы свести нашу задачу к задаче с одной дробью на каждой стороне уравнения.

      d) Решите \ (\ frac {3} {4} - \ frac {1} {8 x} = 0 \)

      Сначала мы понимаем, что в левой части уравнения есть две дроби, и поэтому мы не можем сразу использовать свойство Cross-Product.Чтобы объединить LHS в единую фракцию, делаем следующее:

      \ [\ begin {array} {ll} \ text {Найдите НОК знаменателей} & 8 x \\ \ text {Перепишите каждую дробь, используя НОК} & \ frac {3 \ cdot 2 x} {8 x} - \ frac {1} {8 x} = 0 \\ \ text {Объединить в одну дробь} & \ frac {6 x-1} {8 x} = 0 \\ \ text {Перепишите уравнение так, чтобы все термины - дроби} & \ frac {6 x-1} {8 x} = \ frac {0} {1} \\ \ text {Cross-Product} & (6 x-1) \ cdot 1 = 8 x \ cdot 0 \\ \ text {Убрать скобки} & 6 x-1 = 0 \\\ text {Линейное уравнение: изолировать переменную} & 6 x = 1 \\ \ text {Разделить на 6 с обеих сторон} & \ frac {6 x } {6} = \ frac {1} {6} \ end {array} \ nonumber \]

      Решение: \ (x = \ frac {1} {6} \).{2} -4 x + 4 \ right) = 0 \\ & 3 (x-2) (x-2) = 0 \\ \ text {Разделить на 3 с обеих сторон} & \ frac {3 (x-2) (x-2)} {3} = \ frac {0} {3} \\ & (x-2) (x-2) = 0 \\ \ text {Квадратное уравнение: свойство нулевого произведения} & (x- 2) = 0 \ text {или} (x-2) = 0 \ end {array} \ nonumber \]

      Поскольку оба множителя одинаковы, то \ (x-2 = 0 \) дает \ (x = 2 \). Решение: \ (x = 2 \)

      Примечание: Существует еще один метод решения уравнений, в которых с обеих сторон содержится несколько дробей. Он использует НОК всех знаменателей в уравнении.Мы продемонстрируем это здесь, чтобы решить следующее уравнение: \ (\ frac {3} {2} - \ frac {9} {2 x} = \ frac {3} {5} \)

      \ [\ begin {array} \ text {Найдите НОК всех знаменателей в уравнении} & 10x \\ \ text {Умножьте каждую дробь (как левую, так и правую) на НОК} & 10 x \ cdot \ frac {3 } {2} -10 x \ cdot \ frac {9} {2 x} = 10 x \ cdot \ frac {3} {5} \\ & \ frac {10 x \ cdot 3} {2} - \ frac { 10 x \ cdot 9} {2 x} = \ frac {10 x \ cdot 3} {5} \\ \ text {Упростить каждую дробь} & \ frac {5 x \ cdot 3} {1} - \ frac {5 \ cdot 9} {1} = \ frac {2 x \ cdot 3} {1} \\ \ text {Посмотрите, как теперь все деноминаторы равны 1, поэтому их можно не принимать во внимание} & 5 x \ cdot 3-5 \ cdot 9 = 2 x \ cdot 3 \\ \ text {Решите, как любое другое уравнение} & 15 x-45 = 6 x \\ \ text {Линейное уравнение: выделите переменную} & 15 x-6 x = 45 \\ & 9 x = 45 \\ & x = \ frac {45} {9} \\ & x = 5 \ end {array} \ nonumber \]

      Решение: \ (x = 5 \)

      Проблема выхода

      Решение: \ (\ frac {2} {x} + \ frac {1} {3} = \ frac {1} {2} \)

      Дробей по алгебре

      Мы можем складывать, вычитать, умножать и делить дроби в алгебре так же, как и в простой арифметике.

      Сложение дробей

      Для сложения дробей существует простое правило:

      (Узнайте, почему это работает, на странице общего знаменателя).

      Пример:

      x 2 + y 5 знак равно (х) (5) + (2) (у) (2) (5)

      = 5x + 2y 10

      Пример:

      х + 4 3 + х - 3 4 знак равно (х + 4) (4) + (3) (x − 3) (3) (4)

      = 4x + 16 + 3x − 9 12

      = 7x + 7 12

      Вычитание дробей

      Вычитание дробей очень похоже, за исключением того, что + теперь -

      Пример:

      х + 2 х - x х - 2 знак равно (х + 2) (х − 2) - (х) (х) х (х − 2)

      = (x 2 -2 2 ) - x 2 х 2 - 2х

      = −4 х 2 - 2х

      Умножение дробей

      Умножение дробей - самый простой из всех, просто перемножьте вершины вместе, а минимумы вместе:

      Пример:

      3x х − 2 × x 3 знак равно (3x) (x) 3 (х − 2)

      = 3x 2 3 (х − 2)

      = x 2 х − 2

      Разделение на дроби

      Чтобы разделить дроби, сначала «переверните» дробь, на которую мы хотим разделить, затем используйте тот же метод, что и для умножения:

      Пример:

      3 года 2 х + 1 ÷ y 2 знак равно 3 года 2 х + 1 × 2 л

      = (3 года 2 ) (2) (х + 1) (у)

      = 6лет 2 (х + 1) (у)

      = 6лет х + 1


      Жесткий:

      .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *