Как решать дробное уравнение: Как решать дробные уравнения. Способ 1 — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 24.10.197028.07.2021 by alexxlab

2=6\)

Содержание

Как решаются дробно-рациональные уравнения?

Главное, что надо запомнить про дробно-рациональные уравнения – в них надо писать ОДЗ. И после нахождения корней – обязательно проверять их на допустимость. Иначе могут появиться посторонние корни, и все решение будет считаться неверным.

Алгоритм решения дробно-рационального уравнения:

Выпишите и «решите» ОДЗ.
Найдите общий знаменатель дробей.
Умножьте каждый член уравнения на общий знаменатель и сократите полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.
Запишите уравнение, не раскрывая скобок.
Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые.

Решите полученное уравнение.2+9x-5=0\)

Находим корни уравнения

$x_1=-5;$ $x_2=\frac{1}{2}.$

Один из корней не подходи под ОДЗ, поэтому в ответ записываем только второй корень.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

Смотрите также:
Дробно-рациональные неравенства

Скачать статью

Как решать дробные уравнения

Содержание:

Примеры с решением

Дробное уравнение — уравнение вида — , то и — некоторые многочлены. Дробное уравнение равносильно системе:

Решение дробного уравнения можно разбить на два этапа:

1) решить уравнение ;

2) проверить условие .

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1:

Решить дробное уравнение:

а)

Решение:

Соберем дроби в левую часть уравнения и приведем их к общему знаменателю:

Получившееся уравнение равносильно системе:

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2:

Решим уравнение

Решение:

Уравнение имеет два корня.

Проверим корни на выполнение второго условия системы.

Если , то , следовательно, число является посторонним корнем данного уравнения.

Если , то , следовательно, число является корнем данного уравнения.

Ответ: .

Пример 3:

Решение:

Преобразуем левую и правую части уравнения:

Полученное уравнение равносильно системе:

Пример 4:

Решим уравнение

Решение:

Уравнение имеет два корня.

Проверим корни на выполнение второго условия системы.

Если , то , следовательно, число является корнем данного уравнения.

Ответ:

Пример 5:

Решение:

Преобразуем числитель дроби, стоящей в левой части уравнения:

Так как числитель дроби равен то дробь ни при каких допустимых значениях переменной не будет принимать значение, равное нулю. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример 6:

Решение:

Преобразуем выражение, стоящее в левой части уравнения:

Уравнение принимает вид:

Корнем данного уравнения является любое действительное число, кроме .

Ответ: любое действительное число, кроме .

Рациональные уравнения (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Дробно-рациональные уравнения

А вот еще одно уравнение $ \displaystyle \frac{5}{x+1}+\frac{4{x}-6}{(x+1)\cdot (x+3)}=3$.

Это уравнение целое? НЕТ!!! Тут есть деление на переменную $ \displaystyle x$, а это говорит о том, что уравнение не целое. Тогда какое же оно? Это дробно рациональное уравнение.

Дробно-рациональное уравнение – рациональное (без знака корня) уравнение, в котором левая или правая части являются дробными выражениями.

На первый взгляд особой разницы не видно, ну давай попробуем решать его как мы решали целое (линейное) уравнение.

Для начала найдем наименьший общий знаменатель, это будет $ \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)$.

Важный момент!

В предыдущем примере, где было целое уравнение мы не стали свободный член $ \displaystyle 13$ приводить к знаменателю, т.к. умножали все на числа без переменных, но тут-то наименьший общий знаменатель $ \displaystyle (x+1)\cdot (x+3)$.

А это тебе не шутки, переменная в знаменателе!

Решая дробно-рациональное уравнение, обе его части умножаем на наименьший общий знаменатель!

Это надеюсь, ты запомнишь, но давай посмотрим что вышло:

$ \displaystyle \frac{5(x+1)\cdot (x+3)}{x+1}+\frac{(4{x}-6)\cdot (x+1)\cdot (x+3)}{(x+1)\cdot (x+3)}=3\cdot (x+1)\cdot (x+3)$.{2}}+3x=0.\end{array}\)

Ну как, это уже попроще выглядит, чем в начале было?

Выносим за скобку общий множитель: $ \displaystyle 3x\cdot (x+1)=0$

У этого уравнения два решения, его левая сторона принимает нулевое значение при $ \displaystyle x=0$ и $ \displaystyle x=-1$.

Вроде бы все, ну ладно давайте напоследок подставим корни $ \displaystyle x=0$ и $ \displaystyle x=-1$ в исходное уравнение, чтобы проверить, нет ли ошибок. Сначала подставим $ \displaystyle 0$, получается $ \displaystyle 3=3$ –нет претензий?

С ним все нормально. А теперь $ \displaystyle -1$, и тут же видим в знаменателе первого члена $ \displaystyle -1+1$!

Но ведь это же будет ноль!

На ноль делить нельзя, это все знают, в чем же дело???

Дело в ОДЗ – Области Допустимых Значений!

(если забыл что это, повтори тему «ОДЗ – область допустимых значений»!)

Всякий раз когда ты видишь уравнение, где есть переменные ($ \displaystyle x,y$ и т.д.) в знаменателе, прежде всего, нужно найти ОДЗ, найти какие значения может принимать икс.
Хотя удобнее в ОДЗ написать, чему икс НЕ может быть равен, ведь таких значений не так много, как правило.

Просто запомни, что на ноль делить нельзя! И перед тем как решать наше уравнение нам следовало сделать так:

ОДЗ: $ \displaystyle x+1\ne 0$ и $ \displaystyle x+3\ne 0$ $ \displaystyle \Rightarrow x\ne -1$ и $ \displaystyle x\ne -3$.

Если бы мы сразу так написали, то заранее бы знали, что эти ответы стоит исключить и так, из полученных нами $ \displaystyle x=0$ и $ \displaystyle x=-1$ мы смело исключаем $ \displaystyle x=-1$, т.к. он противоречит ОДЗ.

Значит, какой ответ будет у решенного уравнения?

В ответ стоит написать только один корень, $ \displaystyle x=0$.

Стоит заметить, что ОДЗ не всегда сказывается на ответе, возможны случаи, когда корни, которые мы получили, не попадают под ограничения ОДЗ.

Но писать ОДЗ в дробно рациональных уравнениях стоит всегда – так просто спокойнее, что ты ничего не упустил и да,

ВСЕГДА по окончании решения сверяй свои корни и область допустимых значений!

Дробно рациональное уравнение приведя. Решение дробно-рациональных уравнений. Как решаются дробно-рациональные уравнения

Дробным уравнением называется уравнение, в котором хотя бы одно из слагаемых — дробь, в знаменателе которой присутствует неизвестное. Например, дробным уравнением является уравнение .

Решать дробные уравнения удобно в следующем порядке:

найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение, если каждая дробь имеет смысл,
заменить данное уравнение целым, умножив обе его часть на общий знаменатель,
решить получившееся целое уравнение,
исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример 1. Решить дробное уравнение:

Решение. Воспользуемся основным свойством дроби с представим левую и правую части этого уравнения в виде дробей с одинаковым знаменателем:

Эти дроби равны при тех и только тех значениях, при которых равны их числители, а знаменатель отличен от нуля. Если знаменатель равен нулю, то дроби, а следовательно, и уравнение не имеет смысла.

Таким образом, чтобы найти корни данного уравнения, нужно решить уравнение

Упростив уравнение (раскрыв скобки и приведя подобные члены), получим квадратное уравнение

При решении квадратного уравнения получаем его корни:

Найденные корни не обращают знаменатель в нуль, поэтому они являются корнями исходного дробного уравнения.

Пример 2. Решить дробное уравнение:

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное дробное уравнение. Общий знаменатель —

Заменим исходное уравнение целым. Для этого умножим обе его части на общий знаменатель. Получим:

Выполним необходимые преобразования в полученном уравнении и придём к квадратному уравнению

Решенив квадратное уравнение , получаем его корни:

Если x = -3 , то найденный на первом шаге знаменатель обращается в нуль:

то же самое, если x = 3 .

Следовательно, числа -3 и 3 не являются корнями исходного уравнения, а, поскольку никакие другие корни не найдены, данное уравнение не имеет решения.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Решение. Найдём общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение. Для этого знаменатели дробей разложим на множители:

Общий знаменатель — выражение

Заменим исходное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель. Получим:

Выполнив преобразования, придём к квадратному уравнению

Решенив квадратное уравнение , получаем его корни:

Ни один из корней не обращает общий знаменатель в нуль. Следовательно, числа -4 и 9 — корни данного уравнения.

Пример 4. Решить дробное уравнение:

Решение. Введём новую переменную, обозначив . Получим уравнение с переменной y .

§ 1 Целое и дробное рациональные уравнение

В этом уроке разберем такие понятия, как рациональное уравнение, рациональное выражение, целое выражение, дробное выражение. Рассмотрим решение рациональных уравнений.

Рациональным уравнением называют уравнение, в котором левая и правая части являются рациональными выражениями.

Рациональные выражения бывают:

Дробные.

Целое выражение составлено из чисел, переменных, целых степеней с помощью действий сложения, вычитания, умножения, а также деления на число, отличное от нуля.

Например:

В дробных выражениях есть деление на переменную или выражение с переменной. Например:

Дробное выражение не при всех значениях входящих в него переменных имеет смысл. Например, выражение

при х = -9 не имеет смысла, так как при х = -9 знаменатель обращается в нуль.

Значит, рациональное уравнение может быть целым и дробным.

Целое рациональное уравнение — это рациональное уравнение, в котором левая и правая части — целые выражения.

Например:

Дробное рациональное уравнение — это рациональное уравнение, в котором или левая, или правая части — дробные выражения.

Например:

§ 2 Решение целого рационального уравнения

Рассмотрим решение целого рационального уравнения.

Например:

Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель знаменателей входящих в него дробей.

Для этого:

1. найдем общий знаменатель для знаменателей 2, 3, 6. Он равен 6;

2. найдем дополнительный множитель для каждой дроби. Для этого общий знаменатель 6 делим на каждый знаменатель

дополнительный множитель для дроби

3. умножим числители дробей на соответствующие им дополнительные множители. Таким образом, получим уравнение

которое равносильно данному уравнению

Слева раскроем скобки, правую часть перенесем налево, изменив знак слагаемого при переносе на противоположный.

Приведем подобные члены многочлена и получим

Видим, что уравнение линейное.

Решив его, найдем, что х = 0,5.

§ 3 Решение дробного рационального уравнения

Рассмотрим решение дробного рационального уравнения.

Например:

1.Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель знаменателей входящих в него рациональных дробей.

Найдем общий знаменатель для знаменателей х + 7 и х — 1.

Он равен их произведению (х + 7)(х — 1).

2.Найдем дополнительный множитель для каждой рациональной дроби.

Для этого общий знаменатель (х + 7)(х — 1) делим на каждый знаменатель. Дополнительный множитель для дроби

равен х — 1,

дополнительный множитель для дроби

равен х+7.

3.Умножим числители дробей на соответствующие им дополнительные множители.

Получим уравнение (2х — 1)(х — 1) = (3х + 4)(х + 7), которое равносильно данному уравнению

4.Слева и справа умножим двучлен на двучлен и получим следующее уравнение

5.Правую часть перенесем налево, изменив знак каждого слагаемого при переносе на противоположный:

6.Приведем подобные члены многочлена:

7.Можно обе части разделить на -1. Получим квадратное уравнение:

8.Решив его, найдем корни

Так как в уравнении

левая и правая части — дробные выражения, а в дробных выражениях при некоторых значениях переменных знаменатель может обратиться в нуль, то необходимо проверить, не обращается ли в нуль при найденных х1 и х2 общий знаменатель.

При х = -27 общий знаменатель (х + 7)(х — 1) не обращается в нуль, при х = -1 общий знаменатель также не равен нулю.

Следовательно, оба корня -27 и -1 являются корнями уравнения.

При решении дробного рационального уравнения лучше сразу указать область допустимых значений. Исключить те значения, при которых общий знаменатель обращается в нуль.

Рассмотрим еще один пример решения дробного рационального уравнения.

Например, решим уравнение

Знаменатель дроби правой части уравнения разложим на множители

Получим уравнение

Найдем общий знаменатель для знаменателей (х — 5), х, х(х — 5).

Им будет выражение х(х — 5).

теперь найдем область допустимых значений уравнения

Для этого общий знаменатель приравняем к нулю х(х — 5) = 0.

Получим уравнение, решив которое, найдем, что при х = 0 или при х = 5 общий знаменатель обращается в нуль.

Значит, х = 0 или х = 5 не могут быть корнями нашего уравнения.

Теперь можно найти дополнительные множители.

Дополнительным множителем для рациональной дроби

дополнительным множителем для дроби

будет (х — 5),

а дополнительный множитель дроби

Числители умножим на соответствующие дополнительные множители.

Получим уравнение х(х — 3) + 1(х — 5) = 1(х + 5).

Раскроем скобки слева и справа, х2 — 3х + х — 5 = х + 5.

Перенесем слагаемые справа налево, изменив знак переносимых слагаемых:

Х2 — 3х + х — 5 — х — 5 = 0

И после приведения подобных членов получим квадратное уравнение х2 — 3х — 10 = 0. Решив его, найдем корни х1 = -2; х2 = 5.

Но мы уже выяснили, что при х = 5 общий знаменатель х(х — 5) обращается в нуль. Следовательно, корнем нашего уравнения

будет х = -2.

§ 4 Краткие итоги урока

Важно запомнить:

При решении дробных рациональных уравнений надо поступить следующим образом:

1.Найти общий знаменатель дробей входящих в уравнение. При этом если знаменатели дробей можно разложить на множители, то разложить их на множители и затем найти общий знаменатель.

2.Умножить обе части уравнения на общий знаменатель: найти дополнительные множители, умножить числители на дополнительные множители.

3.Решить получившееся целое уравнение.

4.Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Список использованной литературы:

Макарычев Ю.Н., Н. Г. Миндюк, Нешков К.И., Суворова С.Б. / Под редакцией Теляковского С.А. Алгебра: учебн. для 8 кл. общеобразоват. учреждений. — М.: Просвещение, 2013.
Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: В двух частях. Ч.1: Учеб. для общеобразоват. учреждений. — М.: Мнемозина.
Рурукин А.Н. Поурочные разработки по алгебре: 8 класс.- М.: ВАКО, 2010.
Алгебра 8 класс: поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешкова, С.Б. Суворовой / Авт.-сост. Т.Л. Афанасьева, Л.А. Тапилина. -Волгоград: Учитель, 2005.

«Рациональные уравнения с многочленами» — одна из самых часто встречающихся тем в тестовых заданиях ЕГЭ по математике. По этой причине их повторению стоит уделить особое внимание. Многие ученики сталкиваются с проблемой нахождения дискриминанта, перенесения показателей из правой части в левую и приведения уравнения к общему знаменателю, из-за чего выполнение подобных заданий вызывает трудности. Решение рациональных уравнений при подготовке к ЕГЭ на нашем сайте поможет вам быстро справляться с задачами любой сложности и сдать тестирование на отлично.

Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!

Чтобы знать правила вычисления неизвестных и легко получать правильные результаты, воспользуйтесь нашим онлайн-сервисом. Портал «Школково» — это единственная в своем роде площадка, где собраны необходимые для подготовки к ЕГЭ материалы. Наши преподаватели систематизировали и изложили в понятной форме все математические правила. Кроме того, мы предлагаем школьникам попробовать силы в решении типовых рациональных уравнений, база которых постоянно обновляется и дополняется.

Для более результативной подготовки к тестированию рекомендуем следовать нашему особому методу и начать с повторения правил и решения простых задач, постепенно переходя к более сложным. Таким образом, выпускник сможет выделить для себя самые трудные темы и сделать акцент на их изучении.

Начните подготовку к итоговому тестированию со «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Выберите самый легкий пример из предложенных. Если вы быстро справились с выражением, переходите к более сложной задаче. Так вы сможете подтянуть свои знания вплоть до решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня.

Обучение доступно не только выпускникам из Москвы, но и школьникам из других городов. Уделяйте пару часов в день занятиям на нашем портале, например, и совсем скоро вы сможете справиться с уравнениями любой сложности!

Мы уже научились решать квадратные уравнения. Теперь распространим изученные методы на рациональные уравнения.

Что такое рациональное выражение? Мы уже сталкивались с этим понятием. Рациональными выражениями называются выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков математических действий.

Соответственно, рациональными уравнениями называются уравнения вида: , где — рациональные выражения.

Раньше мы рассматривали только те рациональные уравнения, которые сводятся к линейным. Теперь рассмотрим и те рациональные уравнения, которые сводятся и к квадратным.

Пример 1

Решить уравнение: .

Решение:

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда ее числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.

Получаем следующую систему:

Первое уравнение системы — это квадратное уравнение. Прежде чем его решать, поделим все его коэффициенты на 3. Получим:

Получаем два корня: ; .

Поскольку 2 никогда не равно 0, то необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Поскольку ни один из полученных выше корней уравнения не совпадает с недопустимыми значениями переменной, которые получились при решении второго неравенства, они оба являются решениями данного уравнения.

Ответ: .

Итак, давайте сформулируем алгоритм решения рациональных уравнений:

1. Перенести все слагаемые в левую часть, чтобы в правой части получился 0.

2. Преобразовать и упростить левую часть, привести все дроби к общему знаменателю.

3. Полученную дробь приравнять к 0, по следующему алгоритму: .

4. Записать те корни, которые получились в первом уравнении и удовлетворяют второму неравенству, в ответ.

Давайте рассмотрим еще один пример.

Пример 2

Решить уравнение: .

Решение

В самом начале перенесем все слагаемые в левую сторону, чтобы справа остался 0. Получаем:

Теперь приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

Данное уравнение эквивалентно системе:

Первое уравнение системы — это квадратное уравнение.

Коэффициенты данного уравнения: . Вычисляем дискриминант:

Получаем два корня: ; .

Теперь решим второе неравенство: произведение множителей не равно 0 тогда и только тогда, когда ни один из множителей не равен 0.

Необходимо, чтобы выполнялись два условия: . Получаем, что из двух корней первого уравнения подходит только один — 3.

Ответ: .

На этом уроке мы вспомнили, что такое рациональное выражение, а также научились решать рациональные уравнения, которые сводятся к квадратным уравнениям.

На следующем уроке мы рассмотрим рациональные уравнения как модели реальных ситуаций, а также рассмотрим задачи на движение.

Список литературы

Башмаков М.И. Алгебра, 8 класс. — М.: Просвещение, 2004.
Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра, 8. 5-е изд. — М.: Просвещение, 2010.
Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. — М.: Просвещение, 2006.

Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» ().
School.xvatit.com ().
Rudocs.exdat.com ().

Домашнее задание

Сегодня мы разберемся, как решать дробные рациональные уравнения.

Посмотрим: из уравнений

(1) 2х + 5 = 3(8 – х),

(3)

(4)

дробными рациональными уравнениями являются только (2) и (4), а (1) и (3) это целые уравнения.

Предлагаю решить уравнение (4), а затем сформулировать правило.

Поскольку уравнение дробное, то надо найти общий знаменатель. В этом уравнении это выражение 6(х – 12)(х – 6). Затем мы умножаем обе части уравнения на общий знаменатель:

После сокращения получаем целое уравнение:

6(х – 6) 2 – 6(х – 12) 2 = 5(х – 12)(х – 6).

Решив это уравнение надо обязательно проверить не обращают ли полученные корни в нуль знаменатели дробей в исходном уравнении.

Раскрываем скобки:
6х 2 – 72х + 216 – 6х 2 + 144х – 864 = 5х 2 – 90х + 360, упрощаем уравнение: 5х 2 – 162х + 1008 = 0.

Находим корни уравнения
D = 6084, √D = 78,
х 1 = (162 – 78)/10= 84/10 = 8,4 и х 2 = (162 + 78)/10 = 240/10 = 24.

При х = 8,4 и 24 общий знаменатель 6(х – 12)(х – 6) ≠ 0, значит эти числа являются корнями уравнения (4).

Ответ: 8,4; 24.

Решив предложенное уравнение, приходим к следующим положениям :

1) Находим общий знаменатель.

2) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель.

3) Решаем полученное целое уравнение.

4) Проверяем, какие из корней обращают общий знаменатель в нуль и исключаем их из решения.

Посмотрим теперь на примере, как работают полученные положения.

Решить уравнение:

1) Общий знаменатель: х 2 – 1

2) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель, получаем целое уравнение: 6 – 2(х + 1) = 2(х 2 – 1) – (х + 4)(х – 1)

3) Решаем уравнение: 6 – 2х – 2 = 2х 2 – 2 – х 2 – 4х + х + 4

х 2 – х – 2 = 0

х 1 = — 1 и х 2 = 2

4) При х = -1, общий знаменатель х 2 – 1 = 0. Число -1 корнем не является.

При х = 2, общий знаменатель х 2 – 1 ≠ 0. Число 2 – корень уравнения.

Ответ : 2.

Как видите, наши положения работают. Не бойтесь, у вас все получится! Самое главное правильно найдите общий знаменатель и аккуратно выполните преобразования . Надеемся, что при решение дробных рациональных уравнений у вас всегда будут получаться правильные ответы. Если у вас остались вопросы или вы хотите попрактиковаться в решении подобных уравнений, записывайтесь на уроки к автору этой статьи, репетитору й.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Как решать уравнения с дробями

При решении уравнений с дробями нужно придерживаться очень простого алгоритма:

Лучше всего найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) или просто общий знаменатель.
Умножить на него все члены.
Сократить.

После выполнения этих действий мы получим обычное уравнение, которое уже не будет содержать дроби. Далее уравнение решается, но в конце решения необходимо выяснить, не будет ли найденный корень превращать знаменатель в ноль.

Если знаменатель дробей уравнения содержит только числа, то такие уравнения называются линейными.

Пример.
Решим простое уравнение .

Решение.
В левой части уравнения оставим слагаемое с неизвестным, все остальное перенесем в правую часть уравнения:

Умножим обе части уравнения на знаменатель 13:

Ответ. .

Рассмотрим уравнение, в котором знаменатель содержит неизвестное. Такие уравнения называют дробными или дробно-рациональными.
При решении уравнений такого типа также избавляются от дробей, после чего практически всегда они превращаются в линейное или квадратное уравнение.
Необходимо учитывать следующее:

если при решении получают значение переменной, которое обращает знаменатель в 0, то такое значение не может быть корнем;
недопустимо умножать или делить уравнение на выражение, которое равно 0.Пример.
Решим дробное уравнение .
Решение.
Знаменатель может обратиться в нуль при — не может быть корнем.
В левой части уравнения оставим слагаемые с неизвестным, остальные перенесем в правую часть уравнения:

Избавимся от знаменателя с помощью умножения обеих частей уравнения на знаменатель х:

Осталось решить уравнение:

Ответ. .

Решение рациональных уравнений

Рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения.

Определение 1

Рациональными выражениями при этом являются выражения, которые возможно записать в виде обыкновенной дроби вида $\frac{m}{n}$, при этом $m$ и $n$ — целые числа и $n$ не может быть равно нулю. К рациональным выражениям относятся не только выражения, содержащие дроби вида $\frac{2}{3}$, но и выражения, содержащие только целые числа, так как любое целое число можно представить в виде неправильной дроби.

Теперь рассмотрим более подробно, что же такое рациональные уравнения.

Как мы уже упомянули выше, рациональные уравнения — это уравнения, содержащие в себе рациональные выражения и переменные.

Соответственно тому, на каком именно месте стоит переменная в рациональном уравнении, оно может быть либо дробным рациональным уравнением, либо целым рациональным уравнением.

Готовые работы на аналогичную тему

Дробные уравнения могут содержать дробь с переменной только в какой-то одной части уравнения, тогда как целые уравнения не содержат дробных выражений с переменной.

Целые рациональные уравнения примеры: $5x+2= 12$; $3y=-7(-4y + 5)$; $7a-14=256$.

Дробно-рациональные уравнения примеры: $\frac{3x-2}{x+3}+\frac{1}{2}=\frac{5}{x}$; $\frac{7}{2y-3}=5$;

Стоит отметить, что дробно-рациональными уравнениями называются только уравнения, содержащие дробь в знаменателе, так как уравнения, содержащие дробные выражения без переменных, легко сводятся к линейным целым уравнениям.

Как решать рациональные уравнения?

В зависимости от того, имеете ли вы дело с целым рациональным уравнением или с дробным, применяются несколько разные алгоритмы для решения.

Алгоритм решения целых рациональных уравнений

В начале необходимо определить наименьший общий знаменатель для всего равенства.
Затем нужно определить множители, на которые нужно домножить каждый член равенства.
Следующий этап — приведение к общему знаменателю всего равенства.
Наконец, осуществление поиска корней полученного целого рационального равенства.

Пример 1

Решите уравнение: $\frac{5x+9}{2}=\frac{x}{4}$

Сначала найдём общий множитель — в данном случае это число $4$. Для того чтобы избавиться от знаменателя, домножим левую часть на $\frac{2}{2}$, получаем:

$10x+18=x$ — полученное уравнение является линейным, его корень $x=-2$.

Как решать дробно-рациональные уравнения?

В случае с дробными рациональными уравнениями порядок решения похож на алгоритм для решения целых рациональных, то есть сохраняются пункты 1-4, но после нахождения предполагаемых корней в случае использования неравносильных преобразований корни требуется проверить, подставив в уравнение.2-3x-10=0$

Воспользуемся теоремой Виета для решения получившегося квадратного уравнения:

$\begin{cases} x_1 + x_2 = 3 \\ x_1 \cdot x_2 = -10 \\ \end{cases}$

$\begin{cases} x_1=5 \\ x_2=-2 \\ \end{cases}$

Так как преобразование, использовавшееся для упрощения уравнения, не является равносильным, полученные корни необходимо проверить в исходном уравнении, для этого подставим их:

$x_2=-2$:

$\frac{-2-3}{-2-5} +\frac{1}{-2}=\frac{-2+5}{(-2) \cdot (-2-5)}$

$\frac{5}{7}-\frac{1}{2}=\frac{3}{14}$

$\frac{3}{14}=\frac{3}{14}$ — следовательно, корень $x_2=-2$ — верный.

$x_1=5$:

$\frac{5-3}{5-5} +\frac{1}{5}=\frac{5+5}{(-2) \cdot (5-5)}$

Здесь сразу видно, что в знаменателе образуется нуль, следовательно, корень $x_1=5$ — посторонний.

Необходимо помнить, что в случае, если уравнение, содержащее в левой или правой части выражение вида $\frac{m}{n}$ равно нулю, равен нулю может быть только числитель дроби. Это происходит из-за того, что, если где-то в знаменателе образуется нуль, проверяемый корень не является корнем уравнения, так как всё равенство теряет смысл в этом случае.2+3x=\frac{1}{7}$.

По теореме Виета корни первого уравнения $x_1=-4; x_2=1$, корни второго же вычислим через дискриминант и имеем $x_{1,2}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.

Все корни уравнения составят: $x_1=-4; x_2=1, x_{3,4}=\frac{-3±\sqrt{\frac{67}{7}}}{2}$.

Преобразования для упрощения формы уравнения

Как вы уже могли увидеть выше, для решения рациональных уравнений используют различные преобразования.

Различают преобразования уравнений двух видов: равносильные (тождественные) и неравносильные.

Преобразования называются равносильными, если они приводят к уравнению нового вида, корни которого такие же, как у первоначального.

Тождественные преобразования, которые можно использовать для изменения вида первоначального уравнения без каких-либо проверок в дальнейшем, следующие:

Умножение или деление всего уравнения на какое-либо число, отличное от нуля;
Перенос частей уравнения из левой части в правую и наоборот.

Неравносильными преобразованиями называются преобразования, в ходе которых могут появиться посторонние корни. К неравносильным преобразованиям относят:

Возведение обеих частей уравнения в квадрат;
Избавление от знаменателей, содержащих переменную;

Корни рациональных уравнений, решённых с помощью неравносильных преобразований, необходимо проверять подстановкой в исходное уравнение, так как при неравносильных преобразованиях могут появиться посторонние корни. Не всегда неравносильные преобразования приводят к появлению посторонних корней, но всё же необходимо это учитывать.

Решение рациональных уравнений со степенями больше двух

Наиболее часто используемыми методами для решения уравнений со степенями больше двух являются метод замены переменной, рассмотренный нами выше на примере дробно-рационального уравнения, а также метод разложения на множители.

Рассмотрим более подробно метод разложения на множители.

Пусть дано уравнение вида $P(x)= 0$, при этом $P(x)$ — многочлен, степень которого больше двух. Если данное уравнение возможно разложить на множители так, что оно принимает вид $P_1(x)P_2(x)P_3(x).2+bx+a=0$. Такое название они имеют из-за повторения коэффициентов при старших степенях и младших.

Дробные рациональные уравнения

Определение:

Дробным рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причём хотя бы одно из них - дробным выражением.

Алгоритм решения:

· найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

· умножить обе части уравнения на общий знаменатель;

· решить получившееся целое уравнение;

· исключить из корней те, которые обращают общий знаменатель в ноль.

Пример.

Решить уравнение:

Знаменатель дроби, стоящей в правой части уравнения, можно разложить на множители, тогда найдем общий знаменатель:

Умножим на него обе части уравнения, получим уравнение:

Проверим, x=5 обращает общий знаменатель в ноль, а x=-2 знаменатель не обращает в ноль, значит x=-2 является корнем данного дробного рационального уравнения.

Получили корень x=-2.

Пример.

Решить уравнение:

Найдём область допустимых значений переменной:

Приведём к общему знаменателю дроби:

Получим целое уравнение:

Преобразовав его, получаем квадратное уравнение:

Так как корни не входят в область допустимых значений, значит оба числа являются корнями исходного дробного рационального уравнения.

Пример.

Решить уравнение:

Введем замену:

Решаем по алгоритму:

Осуществим обратную подстановку и решим полученные квадратные уравнения:

Проверим найденные корни:

Ни при каком из полученных значений знаменатель не обращается в ноль. Значит, данное дробное рациональное уравнение имеет 4 корня.

Больших вычислений требует проверка. Каждый корень нужно подставлять в уравнение.

Пример.

От автобусной остановки отъехал автобус до аэропорта, находящегося на расстоянии 120 км. Один из пассажиров автобуса опоздал к отправлению на 10 минут, и решил поехать на такси. Автобус и такси приехали в аэропорт одновременно. Нужно найти скорость автобуса, если известно, что скорость такси на 10 км/ч больше.

Пусть х — скорость автобуса, тогда (х + 10) — скорость такси. Выразим время движения обоих транспортных средств и составим уравнение:

Решим полученное дробное рациональное уравнение:

Получаем скорость автобуса

Как найти переменную как часть дроби

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

5.2 Дробные уравнения и приложения — промежуточная алгебра

Цели обучения

Методы решения дробных уравнений
- Решите дробные уравнения, очистив знаменатели
- Определить посторонние решения в дробном уравнении
Пропорции
- Определите и запишите пропорцию
- Решение задач пропорциональности с использованием чертежей в масштабе
Вариант
- Определение прямого изменения и решение задач, связанных с прямым изменением
- Определение обратной вариации и решение задач, связанных с обратной вариацией
- Определение вариаций шарниров и решение проблем, связанных с вариациями шарниров
Другие приложения
- Решить дробную формулу для указанной переменной
- Решить рабочие проблемы
- Решение проблем со смесью

Когда мы говорим о дробных уравнениях в алгебре, мы чаще всего имеем в виду уравнения, содержащие отношение двух многочленов.Дробные уравнения могут быть решены почти так же, как традиционные уравнения с дробными коэффициентами: путем умножения всего уравнения на все, что необходимо для исключения всех знаменателей, а затем решения полученного уравнения без дробных чисел. В следующем примере показано напоминание о процессе решения, когда знаменатели числовые.

Решите \ (\ frac {1} {2} x-3 = 2- \ frac {3} {4} x \), сначала очистив дроби в уравнении.

Умножьте все уравнение на 4, общий знаменатель дробных коэффициентов.

\ (4 \ left (\ frac {1} {2} x-3 = 2- \ frac {3} {4} x \ right) \)

Теперь распределите, чтобы исключить дроби.

\ (4 \ left (\ frac {1} {2} x \ right) -4 \ cdot3 = 4 \ cdot2-4 \ cdot \ left (\ frac {3} {4} x \ right) \\ 2x-12 = 8-3x \)

Теперь прибавьте \ (3x + 12 \) к обеим сторонам.

\ (2x-12 + 3x + 12 = 8-3x + 12 + 12 \\\\ 5x = 20 \)

Наконец, разделите обе части на коэффициент при \ (x \) — члене.

\ (х = 4 \)

Мы могли бы найти общий знаменатель и работать с дробями на протяжении всего процесса решения, но это часто приводит к большему количеству ошибок.Как правило, лучше умножить все уравнение на все, что необходимо, чтобы полностью исключить знаменатели.

Мы можем применить ту же идею к решению дробных уравнений, у которых есть многочлены в знаменателе дробей (а иногда и в числителе). Это означает, что очистка знаменателя может иногда означать умножение всего уравнения на полином. Это также означает, что нам нужно будет проверить, что мы не делим на ноль. В следующем примере мы очистим знаменатели дробного уравнения с биномом в знаменателе одного члена.Мы будем использовать общий знаменатель, чтобы исключить знаменатели из обеих дробей. Обратите внимание, что ЖК-дисплей является продуктом обоих знаменателей, потому что у них нет общих факторов.

Пример

Решите уравнение \ (\ displaystyle \ frac {8} {x + 1} = \ frac {4} {3} \).

Показать решение

Очистите знаменатели, умножив каждую сторону на общий знаменатель. Общий знаменатель равен \ (3 \ cdot \ left (x + 1 \ right) \), поскольку \ (3 \) и \ (x + 1 \) не имеют общих делителей.

\ (\ begin {array} {c} \ displaystyle 3 \ left (x + 1 \ right) \ left (\ frac {8} {x + 1} \ right) = 3 \ left (x + 1 \ right) \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ end {array} \)

Упростите общие множители.

\ (\ require {cancel} \ begin {align *} 3 \ cancel {\ left (x + 1 \ right)} \ left (\ frac {8} {\ cancel {x + 1}} \ right) & = \ cancel {3} \ left (x + 1 \ right) \ left (\ frac {4} {\ cancel {3}} \ right) \\ 3 \ cdot8 & = (x + 1) \ cdot4 \\ 24 & = 4x +4 \ end {align *} \)

Теперь вычтите 4 из обеих частей, а затем разделите на коэффициент при \ (x \) — члене, чтобы решить уравнение.

\ (\ begin {align *} 24 & = 4x + 4 \\ 20 & = 4x \\ 5 & = x \ end {align *} \)

Проверьте решение в исходном уравнении.

\ (\ begin {array} {r} \ displaystyle \, \, \, \, \, \ frac {8} {\ left (x + 1 \ right)} = \ frac {4} {3} \\ \\ \ displaystyle \ frac {8} {\ left (5 + 1 \ right)} = \ frac {4} {3} \\\\\ displaystyle \ frac {8} {6} = \ frac {4} { 3} \ end {array} \)

Ответ

\ (х = 1 \)

В следующем видео мы представляем два способа решения дробных уравнений с целыми и переменными знаменателями.

Исключенные значения и посторонние решения

Есть дополнительный шаг в процессе решения уравнений, у которых есть переменная в знаменателе. Поскольку деление на 0 не определено, необходимо исключить значения переменной, в результате которых знаменатель будет равен 0. Эти значения называются исключенными значениями . Процесс решения дробных уравнений разбивается на три основных этапа: используйте знаменатель, чтобы найти, какие значения запрещены (поскольку они требуют деления на ноль), затем удалите знаменатель с помощью умножения, затем используйте результат без дробной части, чтобы найти значения переменных. решить уравнение.Давайте посмотрим на пример.

Пример

Решите уравнение \ (\ displaystyle \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} \).

Показать решение

Сначала найдите и исключите любые значения для \ (x \), которые сделали бы знаменатель 0.

\ (\ Displaystyle \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} \)

Мы можем добиться этого, создав «неуравнение», которое устанавливает знаменатель не равным нулю.

\ (х-5 \ ne 0 \\\)

Добавление \ (5 \) к обеим сторонам уравнения un дает нам \ (x \ ne 5 \).

Мы можем исключить знаменатели, умножив все уравнение на \ (x-5 \). Пока \ (x \ ne 5 \), это допустимый шаг. Затем мы можем уменьшить дроби, чтобы исключить знаменатели.

\ (\ begin {align *} \ require {cancel} \ cancel {(x-5)} \ cdot \ frac {2x-5} {\ cancel {(x-5)}} & = \ frac {15} {\ cancel {(x-5)}} \ cdot \ cancel {(x-5)} \\ 2x-5 & = 15 \ end {align *} \)

Теперь мы можем решить уравнение без дробей, чтобы найти, какие значения \ (x \) решают уравнение.

\ (\ begin {array} {r} 2x-5 = 15 \\ 2x = 20 \ x = 10 \ end {array} \)

Проверьте решение в исходном уравнении.

\ (\ begin {array} {r} \ displaystyle \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} \, \, \\\\\ displaystyle \ frac {2 (10) -5} {10-5} = \ frac {15} {10-5} \\\\\ displaystyle \ frac {20-5} {10-5} = \ frac {15} {10-5 } \\\\\ displaystyle \ frac {15} {5} = \ frac {15} {5} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} \)

Ответ

\ (х = 10 \)

В следующем видео мы представляем пример решения дробного уравнения с переменными в знаменателе. 2 \ end {align *} \)

Теперь мы можем решить уравнение без дробей, чтобы найти, какие значения \ (m \) решают уравнение.{2}}} {- 4 + 4} \\\\\ displaystyle \ frac {16} {0} = \ frac {16} {0} \ end {array} \)

Так как \ (m = -4 \) приводит к делению на 0, это лишнее решение.

Ответ

\ (т = 4 \)

Матрешка, или матрешки.

Пропорции

Пропорция — это утверждение, что два соотношения равны друг другу. Есть много вещей, которые можно представить с помощью соотношений, и вы, вероятно, регулярно используете пропорциональные рассуждения и не осознаёте этого. Например, предположим, что вы вызвались предоставить напитки для общественного мероприятия.Вас просят принести достаточно напитков на 35-40 человек. В магазине вы видите, что напитки продаются в упаковках по 12. Вы умножаете 12 на 3 и получаете 36 — этого может быть недостаточно, если появятся 40 человек, поэтому вы решаете купить 4 упаковки напитков на всякий случай.

Этот процесс также может быть выражен в виде пропорционального уравнения и решен с использованием математических принципов. Во-первых, мы можем выразить количество напитков в упаковке как соотношение:

\ (\ displaystyle \ frac {12 \ text {напитки}} {1 \ text {package}} \)

Затем мы выражаем количество напитков, которые нам понадобятся, как отношение к неизвестному количеству необходимых нам упаковок.Мы будем использовать максимум, чтобы хватило: 40 человек потребуется 40 напитков.

\ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {40 \ текст {напитки}} {х \ текст {пакеты}} \)

Мы можем узнать, сколько пакетов нужно приобрести, установив выражения, равные друг другу:

\ (\ displaystyle \ frac {12 \ text {drink}} {1 \ text {package}} = \ frac {40 \ text {drink}} {x \ text {packages}} \)

Чтобы найти x, мы можем использовать методы решения линейных уравнений, или мы можем использовать перекрестное умножение в качестве ярлыка.

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ frac {12 \ text {drink}} {1 \ text {package}} & = \ frac {40 \ text {people}} {x \ text {packages}} \ \\ text {} \\ x \ text {пакеты} \ cdot \ frac {12 \ text {напитки}} {1 \ text {package}} & = \ frac {40 \ text {напитки}} {x \ text { пакеты}} \ cdot {x \ text {пакеты}} \\\ text {} \\ x \ cdot12 \ text {напитки} & = 40 \ text {напитки} \\\ text {} \\ x & = \ frac { 40 \ текст {напитки}} {12 \ текст {напитки}} \ Approx3.33 \ end {align *} \)

Мы можем округлить до 4, поскольку нет смысла покупать часть упаковки напитков. Конечно, вы не записываете свое мышление таким образом, когда находитесь в продуктовом магазине, но это помогает вам применить концепции к менее очевидным проблемам. В следующем примере мы покажем, как использовать пропорцию, чтобы найти количество людей на планете, у которых нет легкого доступа к чистой воде

Пример

По состоянию на июль 2018 года население мира оценивалось в 7 человек.6 миллиардов. По данным water.org, каждый третий человек на планете не имеет доступа к чистой воде. Найдите количество людей на планете, у которых нет легкого доступа к чистой воде.

Показать решение

Мы можем использовать пропорцию, чтобы найти неизвестное количество людей на планете, которые живут без легкого доступа к чистой воде, поскольку нам дано, что каждый третий не имеет доступа, и нам дано население планеты.

Мы знаем, что 1 из каждых 3 человек не имеет доступа, и можем записать это как отношение (дробь).Мы используем \ (x \), чтобы обозначить количество людей, не имеющих доступа к чистой воде, и мы используем 7,6 миллиарда для количества людей на планете. Мы также можем записать это в виде отношения. Мы приравниваем эти два соотношения, поскольку они представляют одну и ту же дробную часть населения.

\ (\ displaystyle \ frac {1 \ text {человек без доступа}} {3 \ text {total people}} = \ frac {x \ text {люди без доступа}} {7.6 \ text {всего миллиард человек}} \ )

Умножаем, чтобы удалить знаменатели

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ frac {1 \ text {человек без доступа}} {3 \ text {total people}} & = \ frac {x \ text {люди без доступа}} {7.6 \ text {всего миллиард человек}} \\ \ text {} \\\ displaystyle 7.6 \ text {Всего миллиард человек} \ cdot \ frac {1 \ text {человек без доступа}} {3 \ text {total people}} & = \ frac {x \ text {люди без доступа}} {7.6 \ text {всего миллиард человек}} \ cdot 7.6 \ text {миллиард всего человек} \\\ text {} \\\ frac {7.6 \ text {миллиард }} {3} & = x \\\ text {} \\ x \ приблизительно2,53 \ text {миллиард} \ end {align *} \)

Ответ

2,53 миллиарда человек не имеют доступа к чистой воде.

В следующем примере мы будем использовать длину не бедренной кости человека, чтобы оценить его рост.Этот процесс используется в судебной медицине и антропологии, и многие научные исследования показали, что это очень хорошая оценка.

Пример

Было доказано, что рост человека пропорционален длине бедра. Учитывая, что человек ростом 71 дюйм имеет длину бедра 17,75 дюйма, каков рост человека с длиной бедра 16 дюймов?

Показать решение

Высота и длина бедра пропорциональны для всех, поэтому мы можем определить соотношение с заданной высотой и длиной бедра.Затем мы можем использовать это, чтобы написать пропорцию, чтобы найти неизвестную высоту.

Пусть \ (x \) будет неизвестной высотой. Определите соотношение длины и высоты бедра для обоих людей, используя данные измерения.

Человек 1: \ (\ displaystyle \ frac {\ text {длина бедра}} {\ text {height}} = \ frac {17,75 \ text {дюймы}} {71 \ text {дюймы}} \)

Человек 2: \ (\ displaystyle \ frac {\ text {длина бедра}} {\ text {height}} = \ frac {16 \ text {дюймы}} {x \ text {дюймы}} \)

Приравняйте соотношения, так как мы предполагаем, что рост и длина бедра пропорциональны для всех.

\ (\ displaystyle \ frac {17,75 \ text {дюймы}} {71 \ text {дюймы}} = \ frac {16 \ text {дюймы}} {x \ text {дюймы}} \)

Решите, используя общий знаменатель, чтобы очистить дроби. Общий знаменатель \ (71x \)

\ (\ begin {array} {c} \ displaystyle \ frac {17.75} {71} = \ frac {16} {x} \\\\\ displaystyle71x \ cdot \ frac {17.75} {71} = \ frac { 16} {x} \ cdot {71x} \\\\\ displaystyle17.75 \ cdot {x} = 16 \ cdot {71} \\\\ x = \ frac {16} {17.75} \ cdot {71} = 64 \ end {array} \)

Неизвестный рост человека 2 — 64 дюйма.В общем, мы можем уменьшить дробь \ (\ frac {17.75} {71} = 0.25 = \ frac {1} {4} \), чтобы найти общее правило для всех. Это означает, что рост человека в 4 раза превышает длину его бедра.

Другой способ описать отношение длины бедра к высоте, которое мы нашли в последнем примере, — это сказать, что существует соотношение между длиной и высотой бедра 1: 4, или от 1 до 4.

Соотношения также используются в масштабных чертежах. Масштабные чертежи — это увеличенные или уменьшенные чертежи объектов, зданий, дорог и карт.Карты меньше того, что они представляют, и рисунок дендритных клеток в вашем мозгу, скорее всего, больше, чем то, что он представляет. Масштаб чертежа — это соотношение, которое представляет собой сравнение длины фактического объекта и его изображения на чертеже. На изображении ниже показана карта Соединенных Штатов в масштабе 1 дюйм, представляющая 557 миль. Мы могли бы записать масштабный коэффициент в виде дроби \ (\ frac {1} {557} \) или, как мы это делали с соотношением высоты бедра, 1: 557.

Карта с масштабным коэффициентом

В следующем примере мы будем использовать масштабный коэффициент, указанный на изображении выше, чтобы найти расстояние между Сиэтлом, Вашингтоном, и Сан-Хосе, Калифорния.

Пример

Масштабный коэффициент на карте США составляет 1: 557, а измеренное расстояние от Сиэтла, штат Вашингтон, до Сан-Хосе, штат Калифорния, составляет 1,5 дюйма на карте. Определите пропорцию, чтобы найти фактическое расстояние между двумя городами.

Показать решение

Нам нужно определить пропорцию, чтобы найти неизвестное расстояние между Сиэтлом и Сан-Хосе.

Коэффициент масштабирования составляет 1: 557, и мы будем называть неизвестное расстояние \ (x \). Отношение дюймов к милям равно \ (\ frac {1} {557} \).

Мы знаем дюймы между двумя городами, но не знаем миль, поэтому соотношение, описывающее расстояние между ними, равно \ (\ frac {1.5} {x} \).

Пропорция, которая поможет нам решить эту проблему, равна \ (\ displaystyle \ frac {1 \ text {inch}} {557 \ text {miles}} = \ frac {1.5 \ text {дюймы}} {x \ text {мили) }} \).

Решите, используя общий знаменатель \ (557x \ text {miles} \), чтобы очистить дроби.

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ frac {1 \ text {inch}} {557 \ text {miles}} & = \ frac {1.5 \ text {дюймы}} {x \ text {miles}} \\\ text {} \\ 557x \ text {miles} \ cdot \ frac {1 \ text {inch}} {557 \ text {miles}} & = \ frac {1.5 \ text {дюймы}} {x \ text {miles}} \ cdot {557x \ text {miles}} \\\ text {} \\ x & = 1.5 \ cdot {557} = 835.5 \ end { выровнять*}\)

Мы использовали масштабный коэффициент 1: 557, чтобы найти неизвестное расстояние между Сиэтлом и Сан-Хосе. Мы также проверили наш ответ о 835,5 миль с помощью карт Google и обнаружили, что расстояние составляет 839,9 миль, так что у нас все хорошо!

В следующем примере используется другая карта.На этот раз мы найдем масштабный коэффициент для карты с учетом протяженности между двумя городами на карте и их фактического расстояния друг от друга.

Пример

Два города на карте находятся на расстоянии 2,5 дюйма друг от друга. Фактическое расстояние друг от друга составляет 325 миль. Напишите пропорцию и решите масштабный коэффициент для одного дюйма карты.

Показать решение

Мы знаем, что каждые 2,5 дюйма на карте представляют 325 фактических миль. Ищем масштабный коэффициент для одного дюйма карты.

Нам нужно соотношение \ (\ frac {1} {x} \), где x — это фактическое расстояние, представленное на карте одним дюймом. Мы знаем, что на каждые 2,5 дюйма приходится 325 фактических миль, поэтому мы можем определить это соотношение как \ (\ frac {2.5} {325} \)

Мы можем использовать пропорцию, чтобы приравнять два отношения и найти неизвестное расстояние.

\ (\ begin {array} {ccc} \ displaystyle \ frac {1 \ text {inch}} {x \ text {miles}} = \ frac {2,5 \ text {дюймы}} {325 \ text {miles}} \\\ text {} \\ 325x \ text {miles} \ cdot \ displaystyle \ frac {1 \ text {inch}} {x \ text {miles}} = \ frac {2.5 \ text {дюймы}} {325 \ text {miles}} \ cdot {325x \ text {miles}} \\\ text {} \ 325 = 2,5x \ x = 130 \ end {array} \)

Коэффициент масштабирования для одного дюйма на карте составляет 1: 130, или на каждый дюйм карты приходится 130 фактических миль.

В следующем видео мы представляем пример использования пропорций для получения правильного количества лекарства для пациента, а также для поиска желаемой смеси кофе.

Вариант

Так много машин, так много шин.

Прямое изменение

Уравнения вариации являются примерами пропорций и используются для описания взаимосвязи между переменными.Например, представьте себе стоянку, заполненную машинами. Общее количество шин на стоянке зависит от общего количества автомобилей: у каждой машины четыре шины. Алгебраически вы можете представить эту взаимосвязь уравнением.

\ (\ text {количество шин} = 4 \ cdot \ text {количество автомобилей} \)

Число 4 показывает скорость, с которой связаны автомобили и шины. Вы называете скорость константой пропорциональности или константой вариации . Это константа, потому что это число не меняется.Поскольку количество автомобилей и количество шин связаны константой, изменения количества автомобилей вызывают пропорциональное и устойчивое изменение количества шин. Это пример прямой модификации , где количество шин напрямую зависит от количества автомобилей. Больше машин означает, что шин будет больше.

Вы можете использовать уравнение автомобиля и шины как основу для написания общего алгебраического уравнения, которое будет работать для всех примеров прямого изменения. В этом примере количество шин — это выходные данные, 4 — константа, а количество автомобилей — входные данные.Давайте введем эти общие термины в уравнение. Вы получите \ (y = k \ cdot x \). Это формула для всех уравнений прямой вариации.

\ (\ begin {align *} \ text {количество шин} & = 4 \ cdot \ text {количество автомобилей} \\\ text {} \\\ text {output} & = \ text {constant} \ cdot \ text {input} \ end {align *} \)

Пример

Решите для \ (k \), постоянной вариации, в задаче прямого изменения, где \ (y = 300 \) и \ (x = 10 \).

Показать решение

Напишите формулу прямой вариационной зависимости.

\ (у = к \ cdot x \)

Подставьте известные значения в уравнение.

\ (300 = k \ влево (10 \ вправо) \)

Решите относительно \ (k \), разделив обе части уравнения на 10.

\ (\ begin {array} {l} \ displaystyle \ frac {300} {10} = \ frac {10k} {10} \\\\\, \, \, \, 30 = k \ end {array} \)

Ответ

Константа изменения \ (k \) равна 30.

В следующем видео мы представляем пример решения уравнения прямой вариации.

Обратная вариация

Другой вид вариации называется , обратная вариация .В этих уравнениях выход равен константе, деленной на изменяющуюся входную переменную. В символической форме это уравнение \ (y = k \ cdot \ frac {1} {x} \) или \ (y = \ frac {k} {x} \).

Одним из примеров обратного изменения является скорость, необходимая для перемещения между двумя городами за заданный промежуток времени.

Допустим, вам нужно ехать из Бостона в Чикаго, а это примерно 1000 миль. Чем больше у вас времени, тем медленнее вы сможете двигаться. Если вы хотите добраться туда за 20 часов, вам нужно ехать со средней скоростью 50 миль в час, потому что \ (\ frac {1,000 \ text {miles}} {20 \ text {hours}} = 50 \ text {миль в час}\).Но если вы можете добраться туда за 40 часов, вам нужно будет в среднем всего 25 миль в час, поскольку \ (\ frac {1000 \ text {miles}} {40 \ text {hours}} = 25 \ text {миль в час. } \).

Уравнение для определения скорости путешествия из имеющегося у вас времени: \ (speed = \ frac {miles} {hours} \). В случае поездки из Бостона в Чикаго вы можете написать \ (s = \ frac {1,000} {t} \). Обратите внимание, что это та же форма, что и формула обратной функции вариации, \ (y = \ frac {k} {x} \).

Пример

Решите для \ (k \), постоянной вариации, в обратной вариационной задаче, где \ (x = 5 \) и \ (y = 25 \).

Показать решение

Напишите формулу обратной зависимости вариации.

\ (\ Displaystyle у = \ гидроразрыва {k} {x} \)

Подставьте известные значения в уравнение.

\ (\ displaystyle 25 = \ frac {k} {5} \)

Решите относительно \ (k \), умножив обе части уравнения на 5.

\ (\ begin {array} {c} \ displaystyle 5 \ cdot 25 = \ frac {k} {5} \ cdot 5 \\\\\ displaystyle 125 = \ frac {5k} {5} \\\\ 125 = k \, \, \, \ end {array} \)

Ответ

Константа изменения \ (k \) равна 125.

В следующем примере мы найдем температуру воды в океане на глубине 500 метров. Температура воды обратно пропорциональна глубине океана.

Температура воды в океане обратно пропорциональна глубине.

Пример

Температура воды в океане изменяется обратно пропорционально глубине воды. Чем глубже ныряет человек, тем холоднее становится вода. На глубине 1000 метров температура воды 5 градусов по Цельсию.Какая температура воды на глубине 500 метров?

Показать решение

Вам говорят, что это обратная зависимость, и что температура воды изменяется обратно пропорционально глубине воды.

\ (\ displaystyle temp = \ frac {k} {depth} \)

Подставьте известные значения в уравнение.

\ (\ Displaystyle 5 = \ гидроразрыва {k} {1,000} \)

Решите относительно \ (k \).

\ (\ begin {array} {l} \ displaystyle 1,000 \ cdot5 = \ frac {k} {1,000} \ cdot 1,000 \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, \ displaystyle 5,000 = \ frac {1,000k} {1,000} \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, 5,000 = k \ end {array} \)

Теперь, когда известна постоянная вариации, используйте \ (k \) для решения задачи: найдите температуру воды на 500 метрах. {2}} h \) — еще один пример вариации соединения.{2} \) когда основание составляет 10 дюймов, а высота — 6 дюймов, найдите постоянную вариации и площадь треугольника, основание которого составляет 15 дюймов, а высота — 20 дюймов.

Показать решение

Вам говорят, что это отношение вариаций суставов, и что площадь треугольника изменяется вместе с длиной основания и высотой.

\ (Площадь = k (основание) (высота) \)

Подставьте известные значения в уравнение и решите относительно \ (k \).

\ (30 = к \ влево (10 \ вправо) \ влево (6 \ вправо) \\ 30 = 60к \\\\\ displaystyle \ frac {30} {60} = \ frac {60k} {60} \\ \\\ displaystyle \ frac {1} {2} = k \)

Теперь, когда известно \ (k \), решите площадь треугольника, основание которого 15 дюймов, а высота 20 дюймов.

\ (\ begin {array} {l} Площадь = k (основание) (высота) \\\\ Площадь = \ left (\ frac {1} {2} \ right) (15) (20) \\\\ \ displaystyle Area = \ frac {300} {2} \\\\ Area = 150 \, \, \ text {квадратные дюймы} \ end {array} \)

Ответ

Постоянная вариации \ (k \) равна \ (\ frac {1} {2} \), а площадь треугольника составляет 150 квадратных дюймов.

Нахождение \ (k \) равным \ (\ frac {1} {2} \) не должно вызывать удивления. Вы знаете, что площадь треугольника равна половине базовой, умноженной на высоту, \ (A = \ frac {1} {2} bh \). \ (\ Frac {1} {2} \) в этой формуле точно такой же \ (\ frac {1} {2} \), который вы вычислили в этом примере!

В следующем видео мы показываем пример нахождения постоянной вариации для совместно изменяющегося отношения.

Прямая, совместная и обратная вариация

\ (k \) — постоянная вариации. Во всех случаях \ (k \ neq0 \).

Прямое изменение: \ (y = k \ cdot x \)
Обратная вариация: \ (y = \ frac {k} {x} \)
Вариант соединения: \ (y = k \ cdot xz \)

Решение для переменной

Дробные уравнения могут быть полезными инструментами для представления реальных ситуаций и поиска ответов на реальные проблемы. Уравнения, представляющие прямую, обратную и совместную вариацию, являются примерами дробных уравнений, которые могут моделировать многие реальные ситуации.При решении задач с использованием дробных уравнений часто бывает полезно сначала изменить уравнение, чтобы выделить указанную переменную. Следующие два примера показывают, как изолировать различные переменные в дробных уравнениях, которые используются для решения задач в физике и геометрии.

Пример

Формула для определения плотности объекта: \ (D = \ frac {m} {v} \), где \ (D \) — плотность, \ (m \) — масса объекта и \ ( v \) — объем объекта. Измените формулу, чтобы найти массу (\ (m \)), а затем снова объем (\ (v \)).

Показать решение

Начните с формулы плотности.

\ (D = \ frac {m} {v} \)

Умножьте обе части уравнения на \ (v \), чтобы выделить \ (m \).

\ (v \ cdot D = \ frac {m} {v} \ cdot v \)

Упростите и перепишите уравнение, решив для \ (m \).

\ (\ begin {array} {l} v \ cdot D = m \ cdot \ frac {v} {v} \\ v \ cdot D = m \ cdot 1 \\ v \ cdot D = m \ end {array} \)

Чтобы решить уравнение \ (D = \ frac {m} {v} \) в терминах \ (v \), вам нужно будет проделать те же шаги до этой точки, а затем разделить обе стороны на \ (D \) .{2}}} \)

В следующем видео мы даем еще один пример решения переменной в формуле или, как их еще называют, буквального уравнения.

Работа

Дробные уравнения могут использоваться для решения множества задач, связанных с темпами, временем и работой. Использование дробных выражений и уравнений может помочь вам ответить на вопросы о том, как объединить рабочих или машины для выполнения работы по расписанию.

«Рабочая задача» — это пример реальной жизненной ситуации, которую можно смоделировать и решить с помощью дробного уравнения.Рабочие задачи часто просят вас подсчитать, сколько времени потребуется разным людям, работающим с разной скоростью, чтобы выполнить задачу. Алгебраические модели таких ситуаций часто включают дробные уравнения, полученные из формулы работы, \ (W = r \ cdot t \). (Обратите внимание, что формула работы очень похожа на соотношение между расстоянием, скоростью и временем, или \ (d = r \ cdot t \).) Объем выполненной работы \ (\ left (W \ right) \) равен произведение скорости работы (\ (r \)) на время, затраченное на работу (\ (t \)). Формула работы имеет 3 варианта.

\ (\ begin {array} {l} W = r \ cdot t \\\\\, \, \, \, \, \ displaystyle t = \ frac {W} {r} \\\\\, \ , \, \, \, \ displaystyle r = \ frac {W} {t} \ end {array} \)

Некоторые рабочие проблемы заключаются в том, что несколько машин или людей работают вместе над проектом в течение одного и того же времени, но с разной скоростью. В этом случае вы можете сложить их индивидуальные показатели работы вместе, чтобы получить общую норму работы. Давайте посмотрим на пример.

Пример

Myra за 2 часа посадит 50 цветочных луковиц. Фрэнсису требуется 3 часа, чтобы посадить 45 цветочных луковиц.Сколько времени нужно, работая вместе, чтобы посадить 150 луковиц?

Показать решение

Подумайте, сколько луковиц каждый человек может посадить за час. Это их скорость посадки.

Myra: \ (\ displaystyle \ frac {50 \, \, \ text {bulbs}} {2 \, \, \ text {hours}} \) или \ (\ displaystyle \ frac {25 \, \, \ текст {лампочки}} {1 \, \, \ text {час}} \)

Фрэнсис: \ (\ displaystyle \ frac {45 \, \, \ text {bulbs}} {3 \, \, \ text {hours}} \) или \ (\ displaystyle \ frac {15 \, \, \ текст {лампочки}} {1 \, \, \ text {час}} \)

Объедините их почасовые ставки, чтобы определить, как они работают вместе.

Майра и Фрэнсис вместе:

\ (\ displaystyle \ frac {25 \, \, \ text {bulbs}} {1 \, \, \ text {hour}} + \ frac {15 \, \, \ text {bulbs}} {1 \, \ , \ text {hour}} = \ frac {40 \, \, \ text {bulbs}} {1 \, \, \ text {hour}} \)

Используйте вариант формулы работы, которая решена для \ (t \), чтобы найти время, необходимое для посадки 150 луковиц со скоростью 40 луковиц в час.

\ (\ begin {array} {c} \ displaystyle t = \ frac {W} {r} = \ frac {150 \ text {bulbs}} {40 \ text {лампочек в час}} = 3,75 \ text {часы} \ конец {массив} \)

Ответ

Майре и Фрэнсису потребуется 3 часа 45 минут, чтобы вместе посадить 150 луковиц.

Некоторые проблемы в работе идут в другую сторону. Вы можете рассчитать, сколько времени потребуется одному человеку, чтобы выполнить работу в одиночку, если вы знаете, сколько времени требуется людям, работающим вместе, чтобы завершить работу.

Пример

Арджун и Матео планируют вместе красить дом. Арджун думает, что если бы он работал один, ему потребовалось бы в 3 раза больше времени, чем Матео, чтобы покрасить весь дом. Работая вместе, они могут выполнить работу за 24 часа. Сколько времени потребуется каждому из них, работая в одиночку, чтобы выполнить задание?

Показать решение

Выберите переменные \ (A \) и \ (M \), чтобы представить неизвестное количество времени, необходимое Арджуну или Матео, чтобы покрасить дом самостоятельно.Поскольку Арджуну требуется в 3 раза больше времени, чем Матео, чтобы покрасить дом, мы можем сказать, что \ (A = 3 \ cdot M \).

Работа малярная 1 дом. Напишите выражение, представляющее рейтинг каждого человека, используя формулу \ (\ displaystyle r = \ frac {W} {t} \) _.

Оценка Матео: \ (\ displaystyle \ frac {1} {M} \)

Оценка Арджуна: \ (\ displaystyle \ frac {1} {A} = \ frac {1} {3M} \)

Их комбинированная ставка — это сумма их индивидуальных ставок.

Комбинированный коэффициент

: \ (\ displaystyle \ frac {1} {M} + \ frac {1} {3M} = \ frac {3} {3M} + \ frac {1} {3M} = \ frac {4} { 3M} \)

Проблема гласит, что им требуется 24 часа, чтобы покрасить дом при совместной работе, поэтому, если вы умножите их совокупную почасовую ставку \ (\ left (\ frac {4} {3M} \ right) \) на 24, вы получите 1 — количество домов, которое они могут покрасить за 24 часа.

\ (\ begin {array} {l} \ displaystyle 1 = \ left (\ frac {4} {3M} \ right) 24 \\\\\ displaystyle 1 = \ frac {4 \ cdot 24} {3M} \\ \\\ displaystyle 1 = \ frac {32} {M} \ end {array} \)

Теперь решите уравнение для \ (M \), количества часов, которое потребуется Матео, чтобы закончить работу в одиночку.

\ (\ begin {array} {l} \, \, \, \ displaystyle 1 = \ frac {32} {M} \\\\\, \, \, \ displaystyle M \ cdot 1 = \ frac {32} {M} \ cdot M \\\\\, \, \, M = 32 \ end {array} \)

Поскольку \ (M = 32 \), Матео самостоятельно покрасит дом за 32 часа. Время Арджуна составляет \ (3M \), так что ему потребуется 96 часов, чтобы проделать такой же объем работы.

Ответ

У Матео 32 часа, чтобы покрасить дом самому, и 96 часов, чтобы Арджун сам покрасил дом.

Анализ решения

Ранее мы нашли три формы уравнения работы: одну, решенную для скорости, одну, решенную для времени, и одну, решенную для работы. Последний пример указывает на другое уравнение, которое описывает работу, выполняемую двумя людьми:

\ (\ Displaystyle \ frac {t} {A} + \ frac {t} {B} = 1 \),

, где \ (t \) — время, чтобы выполнить работу вместе, \ (A \) — время, которое требуется человеку A, чтобы выполнить работу, и \ (B \) — время, которое требуется человеку B, чтобы выполнить работу. .1 относится к общему количеству проделанной работы: в данном случае работа заключалась в покраске 1 дома, время совместной работы составляло 24 часа, а время для двух человек, работающих индивидуально, составляло 32 часа 96 часов. Подстановка этих значений в уравнение дает нам

\ (\ Displaystyle \ frac {24} {32} + \ frac {24} {96} = 1 \)

Упрощение дробей дает

\ (\ Displaystyle \ frac {3} {4} + \ frac {1} {4} = 1 \)

Другими словами, человек A выполняет три четверти работы, а человек B выполняет одну четверть работы.Вместе они выполняют всю работу, и человек A делает в три раза больше, чем человек B.

В следующем видео мы показываем еще один пример определения скорости работы одного человека по совокупной скорости работы.

Основная идея здесь — выяснить индивидуальную норму работы каждого рабочего. Затем, как только эти ставки определены, сложите их, умножьте на время \ (t \), установите его равным количеству проделанной работы и решите дробное уравнение.

В следующем видео мы представляем еще один пример того, как два человека рисуют с разной скоростью.

Смешивание

Смеси состоят из различных веществ, которые могут включать химические вещества, пищу, воду или газы. Существует множество различных ситуаций, когда смеси могут встречаться как в природе, так и как средство для производства желаемого продукта или результата. Например, при разливе химических веществ, производстве и даже в биохимических реакциях используются смеси. Что может сделать смеси интересными с математической точки зрения, так это когда компоненты смеси добавляются с разными скоростями и концентрациями.В нашем следующем примере мы определим уравнение, которое моделирует концентрацию — или отношение сахара к воде — в большом смесительном баке с течением времени. Вас спрашивают, больше ли конечная концентрация сахара, чем концентрация в начале.

Пример

Большой бак для смешивания в настоящее время содержит 100 галлонов воды, в которые было смешано 5 фунтов сахара. Откроется кран, и в резервуар будет наливаться 10 галлонов воды в минуту, в то же время сахар заливается в резервуар со скоростью 1 фунт в минуту.

Найдите формулу концентрации (фунтов на галлон) сахара в резервуаре как функции времени (минут).

Какая будет концентрация через 12 минут? Это большая концентрация, чем в начале?

Показать ответ

Пусть \ (t \) будет количеством минут с момента открытия крана. Поскольку вода увеличивается со скоростью 10 галлонов в минуту, а сахар увеличивается со скоростью 1 фунт в минуту, это постоянные скорости изменения. Это говорит нам о том, что количество воды в резервуаре является линейным уравнением, как и количество сахара в резервуаре.Мы можем написать уравнение независимо для каждого:

\ (\ begin {cases} \ text {sugar:} S \ left (t \ right) = 5 + 1 \ cdot t \ text {в фунтах} \\ \ text {вода:} W \ left (t \ right ) = 100 + 10 \ cdot t \ text {в галлонах} \ end {case} \\\)

Концентрация, \ (C (t) \), будет отношением фунтов сахара к галлонам воды как функция времени.

\ (С \ влево (т \ справа) = \ Displaystyle \ гидроразрыва {S (т)} {W (т)} = \ гидроразрыва {5 + t} {100 + 10t} \\\)

Концентрация через 12 минут определяется путем оценки \ (C \ left (t \ right) \\\) в \ (t = \ text {} 12 \\\).

\ (С \ влево (12 \ вправо) = \ Displaystyle \ frac {5 + 12} {100 + 10 \ влево (12 \ вправо)} = \ Displaystyle \ frac {17} {220} \\\)

Это означает, что концентрация составляет 17 фунтов сахара на 220 галлонов воды, или около 0,08 фунта на галлон.

В начале концентрация

\ (С \ влево (0 \ вправо) = \ Displaystyle \ frac {5 + 0} {100 + 10 \ left (0 \ right)} = \ Displaystyle \ frac {5} {100} \\\)

Это означает, что начальная концентрация составляла 5 фунтов сахара на 100 галлонов воды, или около 0.05 фунтов на галлон, и через 12 минут концентрация будет выше, чем в начале.

В следующем видео мы покажем еще один пример того, как использовать дробные функции для моделирования микширования.

Сводка

Вы можете решить дробные уравнения, умножив все уравнение на общий знаменатель, чтобы исключить дроби. Затем вы можете решить полученное уравнение, используя ранее разработанные методы. Важным шагом в решении дробных уравнений является отказ от любых посторонних решений из окончательного ответа.Посторонние решения — это решения, которые не удовлетворяют исходной форме уравнения, потому что они приводят к неверным утверждениям или являются исключенными значениями, которые делают знаменатель равным 0 в какой-то момент в процессе решения.

Дробные уравнения могут использоваться для решения множества задач, связанных с темпами, временем и работой. Прямые, обратные и совместные вариационные уравнения являются примерами дробных уравнений. В прямом изменении переменные имеют прямую взаимосвязь: по мере увеличения одной величины другая величина также будет увеличиваться.В обратной вариации переменные имеют обратную зависимость: когда одна переменная увеличивается, другая уменьшается, и наоборот. Совместная вариация такая же, как прямая вариация, за исключением двух или более переменных.

Решение рациональных уравнений

Решение рациональных уравнений Вот шаги, необходимые для решения рациональных уравнений:

Шаг 1 :	Удалите все дроби. При решении рациональных уравнений у вас есть выбор из двух способов исключить дроби.Опция 1; умножьте всю проблему на наименьший общий знаменатель или ЖКД. Вариант 2; вы можете крестить умножение. Вариант 1 подойдет для любой задачи, но вы можете выполнить перекрестное умножение только в том случае, если у вас одна дробь равна одной дроби, то есть если дроби пропорциональны. Щелкните ссылку, чтобы просмотреть шаги по поиску ЖК-дисплея. Обратите внимание, что при решении рациональных уравнений все дроби должны исчезнуть после первого шага.
Шаг 2 :	Упростите полученное уравнение.Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
Шаг 3 :	Решите упрощенное уравнение. Если упрощенное уравнение имеет более высокие степени, такие как x ² или x ³, вы можете решить уравнение, приравняв его к нулю и разложив на множители. Если упрощенная задача не содержит более высоких степеней, тогда решите для x, получив x с одной стороны и числа с другой.
Шаг 4 :	Проверьте каждое решение.Подставьте каждое решение в знаменатель исходного вопроса и отклоните любые решения, которые приводят к тому, что знаменатель равен нулю, потому что это делает проблему неопределенной. Этот шаг не гарантирует правильного ответа; это только гарантирует, что ответ приемлем.

Пример 1 — Решить:

Шаг 1 : Удалите все дроби. В этом случае нам нужно умножить на ЖК-дисплей, чтобы исключить дроби.
Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение. В этом случае нам нужно получить x на одной стороне и числа на другой стороне.
Шаг 4 : Проверьте каждое решение. В этом случае единственное число, которое делает проблему неопределенной, — 0.Поскольку наш ответ не равен 0, ответ принят.

Пример 2 — Решить:

Шаг 1 : Удалите все дроби. В этом случае нам нужно умножить на ЖК-дисплей, чтобы исключить дроби.
Шаг 2 : Упростите полученное уравнение. Чтобы упростить уравнение, вам может потребоваться распределить и объединить похожие термины.
Шаг 3 : Решите упрощенное уравнение.В этом случае нам нужно получить x на одной стороне и числа на другой стороне.
Шаг 4 : Проверьте каждое решение. В этом случае единственными числами, которые могут сделать проблему неопределенной, являются 3 или –3. Поскольку наш ответ не равен 3 или –3, ответ принят.