Разложение квадратного трехчлена на множители

Разложение квадратного трехчлена
на множители

Если квадратный трехчлен имеет хотя бы один корень, то его можно разложить на множители. Для этого следует воспользоваться формулой

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)

Иногда эту формулу формулируют в более понятном виде в виде утверждения:

если m и n – корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0, то
ax² + bx + c = a(x – m)(x – n)

Из данного утверждения следует алгоритм разложения квадратного трехчлена на множители:

1. найти корни квадратного трехчлена m и n, т.

   е. решить уравнение ax² + bx + c = 0;

2. записать выражение a(x – m)(x – n)

Решать уравнение можно любым способом (для этого чаще всего используют формулу корней).

Например, нужно разложить на множители квадратный трехчлен x² + 5x – 6.
Решая уравнение x² + 5x – 6 = 0, получим корни m = 1 и n = – 6. Следовательно,

x² + 5x – 6 = (х – 1)(х + 6).

Онлайн калькулятор
для разложения квадратного трехчлена
на множители

Для получения объяснения того, как тот или иной квадратный трехчлен раскладывается на множители, вы можете воспользоваться формой вверху страницы. Просто введите квадратный трехчлен и нажмите кнопку «Разложить на множители».

{2}$$
в виде произведения
$$\left(- \sqrt{3} y + \left(\frac{x}{2} — 2 y\right)\right) \left(\sqrt{3} y + \left(\frac{x}{2} — 2 y\right)\right)$$
$$\left(- \sqrt{3} y + \left(\frac{x}{2} — 2 y\right)\right) \left(\sqrt{3} y + \left(\frac{x}{2} — 2 y\right)\right)$$
$$\left(\frac{x}{2} + y \left(-2 — \sqrt{3}\right)\right) \left(\frac{x}{2} + y \left(-2 + \sqrt{3}\right)\right)$$
$$\left(\frac{x}{2} + y \left(-2 — \sqrt{3}\right)\right) \left(\frac{x}{2} + y \left(-2 + \sqrt{3}\right)\right)$$

Удачи вам в нелёгком труде!

Разложение квадратного трёхчлена на множители

Предварительные навыки

Как разложить на множители квадратный трёхчлен

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax² + bx + c.

В прошлых уроках мы решали квадратные уравнения. Общий вид таких уравнений выглядел так:

ax² + bx + c = 0

Левая часть этого уравнения является квадратным трёхчленом.

Одним из полезных преобразований при решении задач является разложение квадратного трёхчлена на множители. Для этого исходный квадратный трёхчлен приравнивают к нулю и решают квадратное уравнение. В этом случае говорят, что выполняется поиск корней квадратного трёхчлена.

Полученные корни x₁ и x₂ следует подстáвить в следующее выражение, которое и станет разложением:

a(x − x₁)(x − x₂)

Таким образом, чтобы разложить квадратный трёхчлен на множители при помощи решения квадратного уравнения, нужно воспользоваться следующей готовой формулой:

ax² + bx 

+ c = a(x − x₁)(x − x₂)

Где левая часть — исходный квадратный трёхчлен.

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

x² − 8x + 12

Найдём корни квадратного трёхчлена. Для этого приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим квадратное уравнение:

x² − 8x + 12 = 0

В данном случае коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента. Чтобы сэкономить время, некоторые подробные вычисления можно пропустить:

Итак, x₁ = 6, x₂ = 2. Теперь воспользуемся формулой ax² + bx + c = a(x − x₁)(x 

− x₂). В левой части вместо выражения ax² + bx + c напишем свой квадратный трёхчлен x² − 8x + 12. А в правой части подставим имеющиеся у нас значения. В данном случае a = 1, x₁ = 6, x₂ = 2

x² − 8x + 12 = 1(x − 6)(x − 2) = (x − 6)(x − 2)

Если a равно единице (как в данном примере), то решение можно записать покороче:

x² − 8x + 12 = (x − 6)(x − 2)

Чтобы проверить правильно ли разложен квадратный трёхчлен на множители, нужно раскрыть скобки у правой части получившегося равенства.

Раскроем скобки у правой части равенства, то есть в выражении (x − 6)(x − 2). Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен

x² − 8x + 12

(x − 6)(x − 2) = x² − 6x − 2x + 12 = x² − 8x + 12

---

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

2x² − 14x + 24

Приравняем данный квадратный трёхчлен к нулю и решим уравнение:

2x² − 14x + 24 = 0

Как и в прошлом примере коэффициент b является чётным. Поэтому можно воспользоваться формулами для чётного второго коэффициента:

Итак, x₁ = 4, x₂ = 3. Приравняем квадратный трехчлен 2x² − 14x + 24 к выражению a(x − x₁)(x − x₂), где вместо переменных a, x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения.

В данном случае a = 2

2x² − 14x + 24 = 2(x − 4)(x − 3)

Выполним проверку. Для этого раскроем скобки у правой части получившегося равенства. Если мы всё сделали правильно, то должен получиться квадратный трёхчлен 2x² − 14x + 24

2(x − 4)(x − 3) = 2(x² − 4x −3x + 12) = 2(x² − 7x + 12) = 2x² − 14x + 24

---

Как это работает

Разложение квадратного трёхчлена на множители происходит, если вместо коэффициентов квадратного трёхчлена подстáвить теорему Виета и выполнить тождественные преобразования.

Для начала рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена равен единице:

x² + bx + c

Вспоминаем, что если квадратное уравнение является приведённым, то теорема Виета имеет вид:

Тогда приведённый квадратный трехчлен x² + bx + c можно разложить на множители следующим образом. Сначала выразим b из уравнения x₁ + x₂ = −b. Для этого можно умножить обе его части на −1

Переменную c из теоремы Виета выражать не нужно — она уже выражена. Достаточно поменять местами левую и правую часть:

Теперь подставим выраженные переменные b и c в квадратный трёхчлен x² + bx + c

Раскроем скобки там где это можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Из первых скобок вынесем общий множитель

x, из вторых скобок — общий множитель −x₂

Далее замечаем, что выражение (x − x₁) является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Мы пришли к тому, что выражение x² + bx + c стало равно (x − x₁)(x − x₂)

x² + bx + c = (x − x₁)(x − x₂)

Но это был случай, когда исходный квадратный трёхчлен является приведённым. В нём коэффициент a равен единице. И соответственно, в формуле разложения такого квадратного трехчлена коэффициент a можно опустить.

Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент a квадратного трёхчлена не равен единице. Это как раз тот случай, когда в формуле разложения присутствует перед скобками коэффициент

a

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Вспоминаем, что если квадратное уравнение не является приведённым, то есть имеет вид ax² + bx + c = 0, то теорема Виета принимает следующий вид:

Это потому что теорема Виета работает только для приведённых квадратных уравнений. А чтобы уравнение ax² + bx + c = 0 стало приведённым, нужно разделить обе его части на a

Далее чтобы квадратный трёхчлен вида ax² + bx + c разложить на множители, нужно вместо b и c подставить соответствующие выражения из теоремы Виета. Но в этот раз нам следует использовать равенства и

Для начала выразим b и c. В первом равенстве умножим обе части на a. Затем обе части получившегося равенства умножим на −1

Теперь из второго равенства выразим c. Для этого умножим обе его части на a

Теперь подставим выраженные переменные b и с в квадратный трёхчлен ax² + bx + c. Для наглядности каждое преобразование будем выполнять на новой строчке:

Здесь вместо переменных b и c были подставлены выражения −ax₁ − ax₂ и ax₁x₂, которые мы ранее выразили из теоремы Виета. Теперь раскроем скобки там где это можно:

В получившемся выражении выполним разложение многочлена на множители способом группировки. В данном случае удобно сгруппировать первый член со вторым, а третий с четвёртым:

Теперь из первых скобок вынесем общий множитель ax, а из вторых — общий множитель −ax₂

Далее замечаем, что выражение x − x₁ тоже является общим множителем. Вынесем его за скобки:

Вторые скобки содержат общий множитель a. Вынесем его за скобки. Его можно расположить в самом начале выражения:

Мы пришли к тому, что выражение ax² + bx + c стало равно a(x − x₁)(x − x₂)

ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)

Отметим, что если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Действительно, если не найдены корни квадратного трёхчлена, то нéчего будет подставлять в выражение a(x − x₁)(x − x₂) вместо переменных x₁ и x₂.

Если квадратный трёхчлен имеет только один корень, то этот корень одновременно подставляется в x₁ и x₂. Например, квадратный трёхчлен x² + 4x + 4 имеет только один корень −2

Тогда значение −2 в процессе разложения на множители будет подставлено вместо x₁ и x₂. А значение a в данном случае равно единице. Её можно не записывать, поскольку это ничего не даст:

Скобки внутри скобок можно раскрыть. Тогда получим следующее:

При этом если нужно получить короткий ответ, последнее выражение можно записать в виде (x + 2)² поскольку выражение (x + 2)(x + 2) это перемножение двух сомножителей, каждый из которых равен (x + 2)

---

Примеры разложений

Пример 1. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x² − 2x − 1

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения. В левой части напишем квадратный трёхчлен 3x² − 2x − 1, а в правой части — его разложение в виде a(x − x₁)(x − x₂), где вместо a, x₁ и x₂ подстáвим соответствующие значения:

Во вторых скобках можно заменить вычитание сложением:

---

Пример 2. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3 − 11x + 6x²

Упорядочим члены так, чтобы старший коэффициент располагался первым, средний — вторым, свободный член — третьим:

6x² − 11x + 3

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

Упростим получившееся разложение. Вынесем за первые скобки общий множитель 3

Теперь воспользуемся сочетательным законом умножения. Напомним, что он позволяет перемножать сомножители в любом порядке. Умножим 3 на вторые скобки. Это позвóлит избавиться от дроби в этих скобках:

---

Пример 3. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

3x² + 7x − 6

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

---

Пример 4. Найдите значение k, при котором разложение на множители трёхчлена 3x² − 8x + k содержит множитель (x − 2)

Если разложение содержит множитель (x − 2), то один из корней квадратного трёхчлена равен 2. Пусть корень 2 это значение переменной x₁

Чтобы найти значение k, нужно знать чему равен второй корень. Для его определения воспользуемся теоремой Виета.

В данном случае квадратный трёхчлен не является приведённым, поэтому сумма его корней будет равна дроби , а произведение корней — дроби 

Выразим из первого равенства переменную x₂ и сразу подстáвим найденное значение во второе равенство вместо x₂

Теперь из второго равенства выразим k. Так мы найдём его значение.

---

Пример 5. Разложить на множители следующий квадратный трёхчлен:

Перепишем данный трёхчлен в удобный для нас вид. Если в первом члене заменить деление умножением, то получим . Если поменять местами сомножители, то получится . То есть коэффициент a станет равным

Коэффициент b можно перевести в обыкновенную дробь. Так проще будет искать дискриминант:

Найдём корни квадратного трёхчлена:

Воспользуемся формулой разложения:

---

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 2. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 3. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 4. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 5. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 6. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 7. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 8. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 9. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 10. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 11. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

Задание 12. Разложить на множители квадратный трёхчлен:

Решение:

---

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках

Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже

Навигация по записям

Квадратный трехчлен.

2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Ответ: \(-1,6\)

Смотрите также:
Квадратный трехчлен (шпаргалка)

Квадратный трехчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители 9 класс онлайн-подготовка на Ростелеком

Тема 3.

Квадратный трёхчлен и его корни. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трёхчлен — это многочлен вида ax² + bx + c, где x — переменная, a, b, c — некоторые числа, причем a ≠ 0.

Если x = 2, то 2x² — 5x — 3 = 2 ∙ 2² — 5 ∙ 2 — 3 = -5

Если x = -5, то 2x² — 5x — 3 = 2 ∙ (-5)² — 5 ∙ (-5) — 3 = 72

Если x = 3, то 2x² — 5x — 3 = 2 ∙ 3² — 5 ∙ 3 — 3 = 0

Корень квадратного трёхчлена – это значение переменной, при котором значение квадратного трёхчлена равно 0.

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена ax² + bx + c, необходимо решить квадратное уравнение ax² + bx + c = 0.

2x² — 5x — 3 = 0

D = 25 — 4 ∙ 2 ∙ -3 = 49

x1=5+74=3

x1=5-74=-0,5

Ответ: -0,5; 3

Количество корней зависит от дискриминанта.

Если D > 0, то квадратный трехчлен имеет 2 корня;

Если D = 0, то квадратный трехчлен имеет 1 корень;

Если же D

При решении задач иногда удобно выделить квадрат двучлена из квадратного трехчлена.

Например, выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена x² – 6x – 2.

Вспомним формулы сокращенного умножения:

1. a+b2=a2+2ab+b2
2. a-b2=a2-2ab+b2

x2-6x-2=x2-6x+9-9-2=x-32-11

При решении уравнений, неравенств удобно, когда квадратный трёхчлен представлен в виде произведения множителей, например

-2×2+14x-20=-2×2-7x+10=-2×2-2x-5x+10=-2xx-2-5x-2=-2x-2x-5

х = 2 и х = 5 – корни квадратного трехчлена.

Таким образом, ax2+bx+c=ax-x1x-x2,

где x₁, x₂— корни квадратного трехчлена ax² + bx + c.

Разложить на множители 3×2+5x-2

3×2+5x-2=0

D=52-4∙3∙-2=49

x1=-5+76=26=13

x2=-5-76=-126=-2

3×2+5x-2=3x-13x—2

3×2+5x-2=3x-1x+2

2.1.4. Квадратный трёхчлен

Глава 2. Алгебраические выражения

2.1.

2.1.4.

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

В дальнейшем мы будем рассматривать многочлены с действительными коэффициентами.

Модель 2.1. Степенная функция

Корень многочлена первой степени легко угадывается: В самом деле:

Корни квадратного трехчлена можно найти, если воспользоваться так называемым методом выделения полного квадрата. Его суть проще всего увидеть на примере. Выполним следующие преобразования квадратного трехчлена:

Выражение D = b² – 4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена. Продолжим преобразования в предположении, что D ≥ 0:
Воспользуемся теперь формулой сокращённого умножения для разности квадратов.

Обозначим и Тогда последнее разложение квадратного трехчлена имеет вид:

ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).

Отсюда непосредственно видно, что числа x₁ и x₂ являются корнями квадратного трехчлена ax² + bx + c. Полученная формула ввиду своей важности называется формулой разложения квадратного трехчлена на множители.

Итак, установлено, что если D ≥ 0, то квадратный трехчлен имеет два корня (при D = 0 они совпадают). Если же D < 0, то трехчлен не имеет действительных корней.

Пример 1

Разложить на множители квадратный трехчлен x² – 4x + 3.

 

Несмотря на то, что в дальнейшем, рассматривая многочлены, мы будем искать только действительные корни, сделаем в этом разделе небольшое отступление и покажем, что у квадратного трехчлена при любом D существуют два, в общем случае комплексных, корня. Аналогично, у любого многочлена степени n на множестве комплексных чисел есть n корней, некоторые из них могут совпадать.

Пользуясь понятием комплексного числа как расширения понятия числа действительного, можно найти корни квадратного трехчлена и при D < 0. Итак, на множестве комплексных чисел квадратное уравнение:

всегда имеет два комплексных корня:

Очевидно, что при условии, что a, b, c – действительные числа, корнями квадратного трехчлена могут быть: два различных действительных числа; одно действительное число; сопряженные комплексные числа.

Пример 2

Решите уравнение

Вычисляем дискриминант: Формула корней даёт: Ответ.

Для того чтобы установить одну важную теорему, касающуюся квадратного трехчлена, вычислим следующие комбинации корней этой функции:

Итак, нами доказана следующая теорема, принадлежащая великому французскому математику Виету.



Разложение квадратного трёхчлена на множители — формула, алгоритм, примеры

Алгоритм разложения квадратного трёхчлена на множители с помощью дискриминанта

Данный алгоритм является универсальным. 2} = $$

$$ =-\frac{x-16}{x+2} = \frac{16-x}{x+2}$$

Калькулятор факторинга

— eMathHelp

Калькулятор попытается разложить на множители любое выражение (полиномиальное, биномиальное, трехчленное, квадратичное, рациональное, иррациональное, экспоненциальное, тригонометрическое или их сочетание) с указанными шагами. Для этого сначала применяются некоторые подстановки, чтобы преобразовать выражение в полином, а затем используются следующие методы: разложение мономов на множители (общий множитель), квадратичное разложение на множители, группировка и перегруппировка, квадрат суммы / разности, куб суммы / разности. , разность квадратов, сумма / разность кубов и теорема о рациональных нулях.{2} + 64 = \ left (x — 4 \ right) \ left (x — 2 \ right) \ left (x + 2 \ right) \ left (x + 4 \ right) $$$.

Решите квадратное уравнение с множителем

Быстрый! Мне нужна помощь с: Выберите элемент математической справки . .. Исчисление, Производные вычисления, Интеграционное вычисление, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Нахождение всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Вычисление с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Степени комплексных чисел, Преобразование вычитания, Преобразование площади, Преобразование скорости, Преобразование длины , VolumeData Analysis, Find the AverageData Analysis, Find the Standard DeviationData Analysis, HistogramsDecimals, Convert to a дробь, Электричество, Стоимость разложения, IntegerFactors, Greatest CommonFactors, Least CommonFractions, AddingFractions, ComparingFractions, ConvertingFractions, Convert to a decimalFractions, DécimalFractions ВычитаниеФракции, Что это такое: Геометрия, Коробки, Геометрия, Круги, Геометрия, Цилиндры, Геометрия, Прямоугольники, Геометрия, Правые треугольники, Геометрия, Сферы, Геометрия, Квадраты, Графики, Линии, Графики, Любая функция, Графики, Круги, График hing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x, y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Equation from point and slopeLines, The Equation from slopeLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation, The Equation from slopeLines Theotation и Y-intation , Нахождение шансов, Математика, Практика многочленов, Математика, Практика основ Квадратные многочлены, Деление многочленов, Факторизация разности квадратов Многочлены, Факторизация триномов Полиномы, Факторинг с GCF Полиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Квадратные уравнения ormulaQuadratic Equations, Solve by FactoringRadicals, Other RootsRadicals, Square RootsRatios, What they areRetirement, Saving forSale price, CalculatingSc Scientific Notation, ConvertingSc Scientific Notation, DividingScaught Notation, MultiplyShapes, RectanglesSimplifying, Thinking a ProductsSimplifying, Simplifer , Правые треугольники, Ветер, Рисунок

Калькулятор факторинга

с шагом

Этот калькулятор факторинга поможет вам проверить, все ли вы сделали правильно и ваш результат верен. Это также большая помощь для тех, кто не знает, как учитывать факторы или не нуждается в обновлении памяти. Нет ничего сложного в факторизации уравнения, если вы знаете алгоритм. Обязательно прочтите главу о формуле квадратного уравнения, чтобы быстрее справиться с этим заданием. В случае, если все, что вам нужно, чтобы получить быстрый ответ на свой вопрос, алгоритм прост. Вы вводите выражение, с которым вам нужна помощь, и нажимаете кнопку «Ввод» на калькуляторе. Это удобный и быстрый способ убедиться, что все результаты верны и получить хорошую оценку.

Вы можете подумать, что математику сложно изучать, но на самом деле все математические задачи пытаются упростить, а не усложняют их. Когда вы получаете задание, цель состоит в том, чтобы сложные и запутанные вещи выглядели простыми и логичными. Те же цели преследует и процесс факторинга. Он используется для упрощения многих алгебраических выражений. Ваша цель — изменить выражение таким образом, чтобы больше не было добавляемых или вычитаемых терминов. Ваша цель — получить множители множителей.Это может показаться простым, но для успешного достижения целей вам необходимо знать несколько правил.

Вы должны узнать, что означает удаление общих множителей для упрощения выражения. Когда вы смотрите на формулировку своей математической задачи, вам нужно найти эти общие факторы. Например, 18x, 36x и 48x имеют общий множитель 6x. Поначалу их может быть сложно обнаружить, но чем больше математических задач вы решите, тем быстрее вы научитесь.

Важно подчеркнуть, что общий множитель может состоять из нескольких членов.Примеры: (x + 3), (a + b) и т. Д. Часто вам придется сгруппировать члены, чтобы упростить уравнение. Изучите методы факторизации трехчленов, чтобы решить проблему быстрее. Одни из наиболее важных формул, которые вам необходимо запомнить:

Используйте калькулятор факторинга

Если возникнет проблема, которую вы не знаете, как решить, наш калькулятор поможет вам. Есть много заданий, которые кажутся запутанными и странными. Ваш учитель мог упустить важную информацию, которая поможет вам решить эту проблему.Если да, то наш калькулятор — именно то, что вам нужно. Вы просто вводите задачу по срокам и получаете пошаговое решение. Логично, что получение мгновенного результата бесполезно, поскольку вы не знаете, какие шаги привели к такому решению. Этот калькулятор показывает вам, как было получено решение. Как только вы поймете алгоритм, вы сможете решать все аналогичные задания, которые у вас есть в домашней работе. А вот несколько примеров решения задач по факторингу:

Чтобы сделать домашнее задание быстрее, я использую этот калькулятор факторинга.Чтобы ввести выражение и получить мгновенный ответ, требуется несколько секунд.

Отзывы покупателей калькулятора факторинга

Ребят как этим калькулятором пользоваться? Кто-нибудь понимает?

Этот калькулятор меня спас в тесте 🙂

Хороший хороший калькулятор

Поскольку числитель и знаменатель обращаются в нуль при x = 1, то 1 является корнем обоих многочленов, что означает, что каждый из них разлагается на множители, один из которых будет (x-1). Найдите корни первого многочлена: x2 + 2x-3 = 0

Я ЛЮБЛЮ этот калькулятор !!!

Ahora multiplicaré al maestro por 0, quien preguntó estas ecuaciones de 3 niveles

Последнее обновление: среда, 31 марта 2021 г. — 20:26

Решите квадратное уравнение с помощью программы «Пошаговое решение математических задач

»

Решение уравнений — центральная тема алгебры.Все приобретенные навыки в конечном итоге приводят к умению решать уравнения и упрощать решения. В предыдущих главах мы решали уравнения первой степени. Теперь у вас есть необходимые навыки для решения уравнений второй степени, которые известны как квадратные уравнения .

КВАДРАТИКА, РЕШЕННАЯ ФАКТОРИНГОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите квадратное уравнение.
2. Приведите квадратное уравнение в стандартную форму.
3. Решите квадратное уравнение факторизацией.

Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax ² + bx + c = 0, когда a ≠ 0 и a, b и c — действительные числа.

Все квадратные уравнения могут быть представлены в стандартной форме, и любое уравнение, которое может быть преобразовано в стандартную форму, является квадратным уравнением. Другими словами, стандартная форма представляет все квадратные уравнения.

Решение уравнения иногда называют корнем уравнения.

Эта теорема доказана в большинстве учебных пособий по алгебре.

Важная теорема, которую невозможно доказать на уровне этого текста, гласит: «Каждое полиномиальное уравнение степени n имеет ровно n корней». Использование этого факта говорит нам, что квадратные уравнения всегда будут иметь два решения. Возможно, что два решения равны.

Квадратное уравнение будет иметь два решения, потому что оно имеет степень два.

Самый простой метод решения квадратичных вычислений — разложение на множители. Этот метод не всегда можно использовать, потому что не все многочлены факторизуемы, но он используется всякий раз, когда факторизация возможна.

Метод решения с помощью факторизации основан на простой теореме.

Если AB = 0, то либо A = 0, либо B = 0.

Другими словами, если произведение двух множителей равно нулю, то по крайней мере один из множителей равен нулю.

Мы не будем пытаться доказывать эту теорему, но внимательно отметим, что в ней говорится. Мы никогда не сможем перемножить два числа и получить ответ ноль, если хотя бы одно из чисел не равно нулю. Конечно, оба числа могут быть нулевыми, поскольку (0) (0) = 0.

Решение Шаг 1 Приведите уравнение в стандартную форму.

Мы должны вычесть 6 с обеих сторон.

Шаг 2 Полностью разложите на множители.

Напомним, как разложить на множители трехчлены.

Шаг 3 Установите каждый коэффициент равным нулю и решите относительно x. Поскольку у нас (x — 6) (x + 1) = 0, мы знаем, что x — 6 = 0 или x + 1 = 0, и в этом случае x = 6 или x = — 1.

Здесь применяется приведенная выше теорема, согласно которой хотя бы один из факторов должен иметь нулевое значение.

Шаг 4 Проверьте решение в исходном уравнении.Если x = 6, то x ² — 5x = 6 становится

Проверка ваших решений — верный способ узнать, правильно ли вы решили уравнение.

Следовательно, x = 6 является решением. Если x = — 1, то x ² — 5x = 6 становится

Следовательно, — 1 — решение.

Решения могут быть указаны либо записью x = 6 и x = — 1, либо использованием обозначения набора и записи {6, — 1}, что мы читаем: «набор решений для x равен 6 и — 1.«В этом тексте мы будем использовать обозначение набора.

В этом примере 6 и -1 называются элементами набора.

Обратите внимание, что в этом примере уравнение уже имеет стандартную форму.

Опять же, проверка решений убедит вас, что вы не допустили ошибки при решении уравнения. также называют корнями уравнения.

(x + 1) — наименьший общий знаменатель всех дробей в уравнении. Помните, что каждый член уравнения нужно умножить на (x + 1).

Проверьте решения в исходном уравнении.

Проверьте исходное уравнение, чтобы убедиться, что знаменатель не равен нулю.

Обратите внимание, что здесь два решения равны. Это происходит только тогда, когда трехчлен является полным квадратом.

НЕПОЛНАЯ КВАДРАТИКА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите неполное квадратное уравнение.
2. Решите неполное квадратное уравнение.

Если, когда уравнение помещается в стандартную форму ax ² + bx + c = 0, либо b = 0, либо c = 0, уравнение представляет собой неполное квадратичное .

Пример 1

5x ² — 10 = 0 является неполным квадратичным, так как средний член отсутствует и, следовательно, b = 0.

Когда вы встречаетесь с неполной квадратичной с c — 0 (отсутствует третий член), ее все же можно решить с помощью факторизации.

x — общий множитель. Произведение двух факторов равно нулю. Поэтому мы используем теорему из предыдущего раздела. Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что если член c отсутствует, вы всегда можете множить x из других членов. Это означает, что во всех таких уравнениях нуль будет одним из решений.
Неполная квадратичная с отсутствующим членом b должна быть решена другим методом, так как факторизация будет возможна только в особых случаях.

Пример 3 Решить относительно x, если x ² — 12 = 0.

Решение Поскольку x ² — 12 не имеет общего множителя и не является разностью квадратов, его нельзя разложить на рациональные множители. Но из предыдущих наблюдений мы имеем следующую теорему.

Обратите внимание, что есть два значения, которые в квадрате будут равны A.

Используя эту теорему, мы имеем

Проверьте эти решения.

Добавьте 10 с каждой стороны. Проверьте эти решения.

Здесь 7x — общий множитель. Проверьте эти решения.

Обратите внимание, что в этом примере у нас есть квадрат числа, равного отрицательному числу. Это никогда не может быть правдой в действительной системе счисления, и поэтому у нас нет реального решения.

ЗАВЕРШЕНИЕ ПЛОЩАДИ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите трехчлен полного квадрата.
2. Завершите третий член, чтобы получился полный квадрат трехчлена.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Из вашего опыта факторизации вы уже понимаете, что не все многочлены факторизуемы. Следовательно, нам нужен метод решения квадратичных вычислений, которые не подлежат факторизации. Необходимый метод называется «завершение квадрата».

Сначала давайте рассмотрим значение «трехчлена полного квадрата». Когда мы возводим двучлен в квадрат, мы получаем полный квадрат трехчлена.Общая форма: (a + b) ² = a ² + 2ab + b ² .

Помните, возведение бинома в квадрат означает его умножение на само себя.

Из общей формы и этих примеров мы можем сделать следующие наблюдения относительно трехчлена полного квадрата.

1. Два из трех членов — полные квадраты. 4x ² и 9 в первом примере, 25x ² и 16 во втором примере, а ² и b ² в общем виде.
   

   Другими словами, первый и третий члены представляют собой полные квадраты.

2. Другой член — это произведение квадратных корней из двух других членов, умноженное на два плюс или минус.

Член -7 сразу говорит, что это не может быть трехчлен полного квадрата. Задача при заполнении квадрата состоит в том, чтобы найти число, которое заменит -7 таким образом, чтобы получился идеальный квадрат.

Рассмотрим эту задачу: заполните пробел так, чтобы «x ² + 6x + _______» было трехчленом в виде полного квадрата.Из двух условий для трехчлена полного квадрата мы знаем, что пробел должен содержать полный квадрат и что 6x должно быть удвоенным произведением квадратного корня x ² и числа в пробеле. Поскольку x уже присутствует в 6x и является квадратным корнем из x ² , то 6 должно быть в два раза больше квадратного корня из числа, которое мы помещаем в пробел. Другими словами, если мы сначала возьмем половину 6, а затем возведем в квадрат этот результат, мы получим необходимое число для бланка.

Следовательно, x ² + 6x + 9 — это трехчлен полного квадрата.

Теперь давайте рассмотрим, как мы можем использовать завершение квадрата для решения квадратных уравнений.

Пример 5 Решите x ² + 6x — 7 = 0, заполнив квадрат.

Напомним, что вместо -7, +9 сделало бы выражение точным квадратом.

Решение Сначала мы замечаем, что член -7 необходимо заменить, если мы хотим получить трехчлен в виде полного квадрата, поэтому мы перепишем уравнение, оставив пустое место для нужного числа.

Здесь будьте осторожны, чтобы не нарушить какие-либо правила алгебры. Например, обратите внимание, что вторая форма появилась в результате добавления +7 к обеим сторонам уравнения. Никогда не добавляйте что-либо к одной стороне, не добавляя то же самое к другой стороне.

Теперь мы находим половину числа 6 = 3 и 3 ² = 9, чтобы получить число для пробела. Опять же, если мы поместим 9 в пустое поле, мы также должны добавить 9 к правой стороне.

Помните, что если 9 добавляется к левой части уравнения, это также должно быть добавлено к правой части.

Теперь разложим на множители трехчлена полного квадрата, что дает

Теперь x 2 + 6x + 9 можно записать как (x + 3) 2 .

Таким образом, 1 и -7 являются решениями или корнями уравнения.

Пример 6 Решите 2x ² + 12x — 4 = 0, заполнив квадрат.

Решение Эта проблема порождает еще одну трудность.Первый член, 2x ² , не является полным квадратом.
Мы исправим это, разделив все члены уравнения на 2, и получим

Другими словами, получите коэффициент 1 для члена x 2 .

Теперь прибавим 2 к обеим сторонам, получив

Опять же, это более лаконично.

Пример 7 Решите 3x ² + 7x — 9 = 0, заполнив квадрат.

Решение Шаг 1 Разделите все члены на 3.

Опять же, получите коэффициент 1 для x 2 , разделив на 3.

Шаг 2 Перепишите уравнение, оставив пробел для члена, необходимого для завершения квадрата.

Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента при x и прибавьте к обеим сторонам.

Это выглядит сложно, но мы следуем тем же правилам, что и раньше.

Шаг 4 Разложите квадрат на множители.

Факторинг никогда не должен быть проблемой, поскольку мы знаем, что у нас есть полный квадратный трехчлен, что означает, что мы находим квадратные корни из первого и третьего членов и используем знак среднего члена.

Если у вас возникнут затруднения, вам следует еще раз повторить арифметику, связанную с сложением чисел справа.
Теперь у нас

Шаг 5 Извлеките квадратный корень из каждой части уравнения.

Шаг 6 Решите относительно x (два значения).

не может быть упрощено. Мы могли бы также записать решение этой проблемы в более сжатой форме как

Выполните шаги, описанные в предыдущем вычислении, а затем обратите особое внимание на последнее значение. Каков вывод, когда квадрат количества равен отрицательному числу? «Нет реального решения».

Какое действительное число мы можем возвести в квадрат и получить -7?

Таким образом, чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, следуйте этому пошаговому методу.

Шаг 1 Если коэффициент при x2 не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x2 + bx + _______ = c + _______.
Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и добавьте эту величину к обеим сторонам уравнения.
Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
Если шаг 5 невозможен, уравнение не имеет реального решения.

Эти шаги помогут в решении уравнений в следующем упражнении.

КВАДРАТИЧЕСКАЯ ФОРМУЛА

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Решите общее квадратное уравнение, заполнив квадрат.
2. Решите любое квадратное уравнение, используя формулу корней квадратного уравнения.
3. Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат.

Стандартная форма квадратного уравнения — ax ² + bx + c = 0. Это означает, что каждое квадратное уравнение может быть представлено в этой форме. В некотором смысле, тогда ax ² + bx + c = 0 представляет все квадраты. Если вы можете решить это уравнение, у вас будет решение всех квадратных уравнений.

Решим общее квадратное уравнение методом завершения квадрата.

Это необходимо для получения члена x 2 с коэффициентом 1. Это мы делали в предыдущем разделе много раз.

Надо прибавить с каждой стороны.

Эта форма называется квадратной формулой и представляет собой решение всех квадратных уравнений.

Запомните это выражение.

Чтобы использовать формулу корней квадратного уравнения, вы должны указать a, b и c. Для этого данное уравнение всегда необходимо оформлять в стандартном виде.

Осторожно подставьте значения a, b и c в формулу.

Не каждое квадратное уравнение имеет реальное решение.

Это уравнение уже имеет стандартную форму.

Реального решения нет, так как -47 не имеет действительного квадратного корня.

Опять же, это уравнение в стандартной форме.

Теперь это решение следует упростить.

ПРОБЛЕМЫ СО СЛОВОМ

ЗАДАЧИ

По завершении этого раздела вы сможете:

1. Определите текстовые задачи, для решения которых требуется квадратное уравнение.
2. Решайте текстовые задачи, связанные с квадратными уравнениями.

Некоторые типы текстовых задач можно решить с помощью квадратных уравнений. Процесс определения и постановки проблемы такой же, как и в главе 5, но с проблемами, решаемыми квадратичными методами, вы должны быть очень осторожны, проверяя решения в самой проблеме. Физические ограничения внутри проблемы могут устранить одно или оба решения.

Пример 1 Если длина прямоугольника на 1 единицу больше, чем в два раза больше ширины, а его площадь составляет 55 квадратных единиц, найдите длину и ширину.

Решение Формула площади прямоугольника: Площадь = Длина X Ширина. Пусть x = ширина, 2x + 1 = длина.

Если x представляет ширину, то 2x представляет удвоенную ширину, а 2x + 1 представляет единицу более чем удвоенную ширину.

Приведите квадратное уравнение в стандартную форму. Эта квадратичная величина может быть решена путем факторизации.

На этом этапе вы можете видеть, что решение x = -11/2 недействительно, поскольку x представляет собой измерение ширины, а отрицательные числа не используются для таких измерений.Следовательно, решение

ширина = x = 5, длина = 2x + 1 = 11.

Измерение не может быть отрицательным значением.

Величина, обратная x. Помните, что ЖК-дисплей означает наименьший общий знаменатель. Каждый член нужно умножить в 10 раз. Опять же, эту квадратичную величину можно разложить на множители.

Оба решения проверяют. Следовательно, набор решений есть.

Есть два решения этой проблемы.

Пример 3 Если определенное целое число вычитается из его квадрата, умноженного на 6, получается 15. Найдите целое число.

Решение Пусть x = целое число. Тогда

Поскольку ни одно из решений не является целым числом, проблема не имеет решения.

У вас может возникнуть соблазн указать эти значения в качестве решения, если вы не обратили пристальное внимание на тот факт, что проблема запрашивала целое число.

Пример 4 Управляющий фермой имеет под рукой 200 метров забора и хочет оградить прямоугольное поле так, чтобы его площадь составляла 2400 квадратных метров. Какие должны быть размеры поля?

Решение Здесь задействованы две формулы. P = 2l + 2w для периметра и A = lw для площади.
Сначала используя P = 2l + 2w, получаем

Теперь мы можем использовать формулу A = lw и подставить (100 — l) вместо w, получив

Поле должно быть шириной 40 метров и длиной 60 метров.

Мы могли бы точно так же решить для l, получив l = 100 — w. Тогда

Обратите внимание, что в этой задаче мы фактически используем систему уравнений

P = 2 l + 2 w
A = l w.

В общем случае система уравнений, в которой участвует квадратичная функция, будет решаться методом подстановки. (См. Главу 6.)

РЕЗЮМЕ

Ключевые слова

• Квадратное уравнение — это полиномиальное уравнение от одной неизвестной, которое содержит вторую степень, но не более высокую степень переменной.
• Стандартная форма квадратного уравнения — это ax ² + bx + c = 0, когда a 0.
• Неполное квадратное уравнение имеет вид ax ² + bx + c = 0, и либо b = 0, либо c = 0.
• Квадратичная формула равна
  

Процедуры

• Факторизация — это самый прямой и самый простой метод поиска решений квадратного уравнения. Этот метод основан на теореме: если AB = 0, то A = 0 или B = 0. Чтобы использовать эту теорему, мы приводим уравнение в стандартную форму, коэффициент и устанавливаем каждый коэффициент равным нулю.
• Чтобы решить квадратное уравнение, заполнив квадрат, выполните следующие действия:
  Шаг 1 Если коэффициент при x ² не равен 1, разделите все члены на этот коэффициент.
  Шаг 2 Перепишите уравнение в виде x ² + bx + _____ = c + _____
  Шаг 3 Найдите квадрат половины коэффициента члена x и прибавьте эту величину к обеим сторонам. уравнения.
  Шаг 4 Разложите заполненный квадрат на множители и сложите числа в правой части уравнения.
  Шаг 5 Найдите квадратный корень из каждой части уравнения.
  Шаг 6 Решите относительно x и упростите.
• Метод завершения квадрата используется для вывода формулы корней квадратного уравнения.
• Чтобы использовать квадратную формулу, напишите уравнение в стандартной форме, укажите a, b и c и подставьте эти значения в формулу. Все решения следует упростить.

Калькулятор квадратичных формул

Калькулятор ниже решает квадратное уравнение

ax ² + bx + c = 0

.

В алгебре квадратное уравнение — это любое полиномиальное уравнение второй степени следующего вида:

топор ² + bx + c = 0

, где x — неизвестное значение, a называется квадратичным коэффициентом, b линейным коэффициентом и c константой.Цифры a , b и c являются коэффициентами уравнения, и они представляют известные числа. Например, a не может быть 0, иначе уравнение будет линейным, а не квадратичным. Квадратное уравнение можно решить несколькими способами, включая факторизацию, использование формулы квадратичного уравнения, завершение квадрата или построение графика. Здесь будет обсуждаться только использование квадратной формулы, а также основы завершения квадрата (поскольку вывод формулы включает завершение квадрата).Ниже представлена ​​квадратичная формула, а также ее вывод.

Вывод квадратичной формулы

С этого момента можно завершить квадрат, используя соотношение:

x ² + bx + c = (x — h) ² + k

Продолжение деривации с использованием этого отношения:

Напомним, что ± существует как функция вычисления квадратного корня, что дает решения квадратного уравнения как с положительными, так и с отрицательными корнями.Значения x , найденные с помощью квадратной формулы, являются корнями квадратного уравнения, которые представляют значения x , где любая парабола пересекает ось x. Кроме того, квадратная формула также обеспечивает ось симметрии параболы. Это демонстрирует приведенный ниже график. Обратите внимание, что квадратная формула на самом деле имеет множество реальных приложений, таких как вычисление площадей, траекторий снарядов и скорости, среди прочего.

Калькулятор уравнения четвертой степени — Расчет с высокой точностью

[1] 2021/12/21 01:42 20-летний уровень / средняя школа / университет / аспирант / полезный /

Цель использования

Решение матричного характеристического уравнения для Анализ основных компонентов

[2] 2021/12/15 15:00 Уровень 30 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Полезно /

Цель использования

Решение для оставшегося времени проблема наведения космического корабля при посадке

[3] 2021/10/03 08:08 Моложе 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Полезно /

Цель использования

Чтобы найти корни нулей и поэтому используйте множественные значения / y между нулями, чтобы определить точки, которые делают уравнение положительным.

Комментарий / Запрос

Добавить в работу

[4] 2021.09.19 03:55 До 20 лет / Высшая школа / ВУЗ / аспирант / Очень /

Цель использования

Контроль Системы: Диаграмма корневого локуса показывала точку отрыва btn -3 и -4, слишком ленив, чтобы использовать Regula Falsi, использовал калькулятор, чтобы найти эту конкретную точку. Очень полезно.

[5] 2021/09/08 05:14 До 20 лет / Средняя школа / Вуз / аспирант / Немного /

Цель использования

Хочу узнать код.

[6] 2021.06.29 20:22 Уровень 30 лет / Инженер / Очень /

Цель использования

Определение максимально возможной высоты прямоугольника (r1) с учетом его ширины, установленной по диагонали внутри другой прямоугольник (r2) известной высоты и ширины, так что углы r1 касаются краев r2. В конечном итоге оно превращается в уравнение четвертой степени и требует решения небольшой дополнительной алгебры. Я нашел уравнение четвертой степени в Википедии и подтвердил свою точность с помощью функции на этом сайте. Сработало хорошо.

[7] 2021/05/30 04:24 До 20 лет / Старшая школа / Университет / аспирант / Полезно /

Цель использования

решение рекуррентных уравнений

Комментарий / запрос

добавить шаги !

[8] 2021/05/29 06:57 Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Полезно /

Цель использования

Решение линейного уравнения порядка 4

[9] 2021/05/28 16:30 Уровень 20 лет / Средняя школа / Университет / аспирант / Немного /

Цель использования

просто для развлечения

Комментарий / запрос

алгебраическое решение

[10 ] 2021/05/04 14:46 Моложе 20 лет / Старшая школа / Университет / Аспирант / Немного /

Цель использования

Решить для общего отношения геометрической прогрессии, когда сумма и произведение 5 последовательные сроки даны.

Факторинг квадратных уравнений: полиномиальные задачи с ведущим коэффициентом, отличным от единицы — стенограмма видео и урока

Регулировка шаблона

Коэффициент 2 x 2-5 x — 3.

Пример квадратичного разложения

Мы начнем эту задачу очень похоже на простые задачи разложения на множители, ища два числа, которые соответствуют шаблону. Дело в том, что это будет не совсем та же картина.Одна часть остается неизменной, и это тот факт, что нам нужно найти пару чисел, которые в сумме дадут средний коэффициент — в данном случае -5. Но вторая часть будет другой. Вместо того, чтобы наши два числа имели произведение, равное константе на конце, теперь нам нужно, чтобы произведение нашей пары чисел было равно константе на конце, умноженной на ведущий коэффициент. На самом деле это было верно и для более простых задач факторизации, но ведущий коэффициент был равен 1, поэтому умножение на 1 не меняло числа.

Следующий шаг проблемы должен быть вам знаком. Найдите пару чисел, в которой сумма -5 и произведение -6. Составив быстрый список пар факторов из 6 и имея в виду, что нам понадобится один, чтобы быть положительным, а другой — отрицательным, становится ясно, что -6 и +1 — наши два победителя. А теперь мы подошли к единственному другому отличию в нашем процессе. Вместо того, чтобы просто сказать -6 и +1 в наших биномах, и мы закончили, есть дополнительный шаг, прежде чем мы сможем быть уверены в нашем ответе.Хотя есть несколько способов выполнить этот шаг, я рекомендую использовать метод площади, чтобы вернуться к ответу. Помещение 2 x 2 и -3 по одной диагонали диаграммы и двух значений, которые мы придумали с помощью нашего шаблона, присоединенного к x по другой диагонали, уводит нас на один шаг от нашего ответа.

Если мы сможем найти, какие термины должны были быть на внешней стороне этой таблицы, чтобы их можно было умножить, и дать нам то, что у нас есть здесь, с нами будет покончено.Мы делаем это, отделяя наибольший общий множитель из каждой строки и столбца нашей диаграммы. Итак, если я посмотрю на верхнюю строку этой диаграммы, у меня будет 2 x 2 и -6 x . Мне нужно спросить себя, что у этих вещей общего? Итак, 2 и 6 делятся на 2, поэтому я могу взять 2. Но у них обоих также есть x , что означает, что я также беру x , поэтому я могу вытащить 2 x , чтобы вне этой строки. Спустившись по строке вниз, 1 x и -3, у них нет никаких факторов с общими числами, а также у них нет общих переменных, что означает единственное, что я могу разделить это 1.Теперь переходим к столбцам. Начнем с левого столбца 2 x 2 и 1 x . У чисел нет ничего общего, но у переменных есть, а это значит, что я могу взять 1 x . Наконец, столбец справа: -6 x и -3. Оба имеют -3, что означает, что я делю это и пишу сверху. То, что у нас теперь есть слева и над нашей маленькой моделью области, является факторизованным ответом. Термины, находящиеся на одной стороне, — это члены, которые вместе в скобках составляют наши два бинома, и я получаю (2 x + 1) ( x — 3).Вы всегда можете быстро умножить свой ответ, чтобы убедиться, что вы получили правильный ответ, и если вы сделаете это здесь, похоже, у нас все хорошо.

Факторинг подобных квадратов требует времени, и они не всегда просты, поэтому практика является ключевым моментом. Давайте сделаем еще один пример во время этого урока.

Умножьте ответ, чтобы убедиться, что он правильный.

Другой пример

Фактор 9 x 2 — 4.

Этот пример не только еще один с не-1 ведущим коэффициентом, это также пример специальной квадратичной функции, которая часто сбивает студентов с толку.Почему? Потому что в середине нет x ! Это не трехчлен! Но это нормально. Подумайте об этой проблеме как о следующей: Фактор 9 x 2 + 0x — 4. Теперь мы готовы к работе. Мы начинаем с поиска двух чисел, соответствующих шаблону. Для этого им нужно будет сложить до нуля (средний член) и умножить на -36, то есть 9 в начале умножить на -4 в конце. Быстрый просмотр наших вариантов здесь и знание того, что нам придется прибавить к нулю, делает довольно очевидным, что 6 и -6 будут нашими победителями. Теперь, когда у нас есть эти два значения, мы можем заполнить нашу модель площади. Мы помещаем 9 x 2 и -4 по одной диагонали, а 6 x и -6 x — по другой, но на самом деле не имеет значения, по какой диагонали или даже в каком порядке вы их разместите; они все будут работать! Наконец, нам нужно выделить наибольшие общие множители из каждой строки и столбца, чтобы выяснить, какие биномы существуют за пределами этой диаграммы.

Глядя на верхний ряд, похоже, что у них обоих есть 3 и x .В нижнем ряду оба числа делятся на 2. В левом столбце я снова вижу 3 и x , а в правом столбце они оба имеют -2, так что я могу это вытащить. Переписывание членов с каждой стороны вместе в круглых скобках в виде биномов означает, что факторизованная форма этого выражения будет (3 x + 2) (3 x — 2).

Резюме урока

Факторинговые задачи с ведущим коэффициентом, отличным от 1, имеют два отличия от своих более простых аналогов. Во-первых, шаблон, который мы используем для определения пары чисел, которая поможет нам найти ответ, теперь требует, чтобы вы нашли два числа, произведение которых равно константе, умноженной на ведущий коэффициент, вместо того, чтобы просто быть ведущим коэффициентом, как раньше.