6.9.3. Решение систем линейных уравнений методом сложения. математика-повторение
Чтобы решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения, надо:
1) умножить левую и правую части одного или обоих уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в уравнениях стали противоположными числами;
2) сложить почленно полученные уравнения и найти значение одной из переменных;
3) подставить найденное значение одной переменной в одно из данных уравнений и найти значение второй переменной.
Если в данной системе коэффициенты при одной переменной являются противоположными числами, то решение системы начнём сразу с пункта 2).
Примеры. Решить систему линейных уравнений с двумя переменными методом сложения.
Так как коэффициенты при у являются противоположными числами (-1 и 1), то решение начинаем с пункта 2). Складываем уравнения почленно и получим уравнение 8х = 24. Вторым уравнением системы можно записать любое уравнение исходной системы.
Найдём х и подставим его значение во 2-ое уравнение.
Решаем 2–ое уравнение: 9-у = 14, отсюда у = -5.
Сделаем проверку. Подставим значения х = 3 и у = -5 в первоначальную систему уравнений.
Примечание. Проверку можно сделать устно и не записывать, если наличие проверки не оговорено в условии.
Ответ: (3; -5).
Если мы умножим 1-ое уравнение на (-2), то коэффициенты при переменной х станут противоположными числами:
Сложим эти равенства почленно.
Мы получим равносильную систему уравнений, в которой 1-ое уравнение есть сумма двух уравнений прежней системы, а 2-м уравнением системы мы запишем 1-ое уравнение исходной системы (обычно записывают уравнение с меньшими коэффициентами):
Находим у из 1-го уравнения и полученное значение подставляем во 2-ое.
Решаем последнее уравнение системы и получаем х = -2.
Ответ: (-2; 1).
Подставим значение х=4 во 2-ое уравнение.
3 · 4 — 5у = 27. Упростим: 12 — 5у = 27, отсюда -5у = 15, а у = -3.
Ответ: (4; -3).
www.mathematics-repetition.com
9 класс. Алгебра. Системы уравнений. — Решение систем уравнений методом сложения.
Комментарии преподавателя
На этом уроке мы продолжим изучение метод решения систем уравнений, а именно: метода алгебраического сложения. Вначале рассмотрим применение этого метода на примере линейных уравнений и его суть. Также вспомним, как уравнивать коэффициенты в уравнениях. И решим ряд задач на применение этого метода.
Тема: Системы уравнений
Урок: Метод алгебраического сложения
Рассмотрим метод алгебраического сложения на примере линейных систем.
Пример 1. Решить систему
Решение:
Если мы сложим эти два уравнения, то y взаимно уничтожатся, и останется уравнение относительно x.
Если же вычтем из первого уравнения второе, взаимно уничтожатся x, и мы получим уравнение относительно y. В этом и заключается смысл метода алгебраического сложения.
Ответ:
Мы решили систему и вспомнили метод алгебраического сложения. Повторим его суть: мы можем складывать и вычитать уравнения, но при этом необходимо обеспечить, чтобы получилось уравнение только с одним неизвестным.
Пример 2. Решить систему
Решение:
Член присутствует в обоих уравнениях, поэтому удобен метод алгебраического сложения. Вычтем из первого уравнения второе.
Ответ: (2; -1).
Таким образом, проанализировав систему уравнений, можно увидеть, что она удобна для метода алгебраического сложения, и применить его.
Рассмотрим еще одну линейную систему.
Пример 3. Решить систему
Решение:
Мы хотим избавиться от y, но в двух уравнениях коэффициенты при y разные. Уравняем их, для этого умножим первое уравнение на 3, второе – на 4.
Ответ:
Пример 4. Решить систему
Решение:
Уравняем коэф
www.kursoteka.ru
Пожалуйста объясните поподробней как решать системы уравнений способом сложения!!!!
1.надо выбрать переменную от которой хотите избавиться. если х или у (в двух уравнениях) уже имеют равные по модулю и противоположные по знаку коэфициенты то переходим к пункту 3 2 допустим выбрали х .в 1 урав он имеет коэф 2 а во втором коэф 5 тогда приводим к одному коэф с противопол знаками .для этого 1 урав умнож на (-5) а второе на 2 . в 1 получаем (-10х) во втором 10х 3 складываем оба уравнения иксы с иксами, у с у-ами, число с числом . приэтом х изчезнет останется уравнение с одним неизвестным у. 4.решаем находим у 5.подставляем найденное значение в одно из первоначальных уравн и находим х
Сложение или вычитание. Этот метод состоит в следующем. система уравнений (1): ах + by=c dx + ey = f 1) Умножаем обе части 1-го уравнения системы (1) на (– d ), а обе части 2-го уравнения на а и складываем их: система уравнений -axd — bdy = — cd adx + aey = af ______________ — bdy + aey = — cd + af Отсюда получаем: y = ( af – cd ) / ( ae – bd ). 2) Подставляем найденное для y значение в любое уравнение системы (1): ax + b( af – cd ) / ( ae – bd ) = c. 3) Находим другое неизвестное: x = ( ce – bf ) / ( ae – bd ). П р и м е р . Решить систему уравнений: 3x — 2y = — 4 x+3y = 5 методом сложения или вычитания. Умножаем первое уравнение на –1, второе – на 3 и складываем их: — 3x + 2y = — 4 3x + 9y = 15 ___________ 11y = 11 отсюда y = 1. Подставляем это значение во второе уравнение (а в первое можно?) : 3x + 9 = 15, отсюда x = 2.
touch.otvet.mail.ru
Урок на тему » Алгоритм решения систем линейных уравнений методом сложения»
Урок №
ТЕМА: Алгоритм решения систем
линейных уравнений способом сложения
Задачи: создать условия для развития умения решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом сложения | ||
Планируемые результаты | ||
Предметные: познакомятся с алгоритмом решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом сложения; научатся решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом сложения | Метапредметные: познавательные ‒ ориентироваться на разнообразие способов решения задач; регулятивные ‒ учитывать правило в планировании и контроле способа решения; коммуникативные ‒ учитывать разные мнения и стремиться | Личностные: формировать интерес к изучению темы |
Образовательные ресурсы: 1) Видеоуроки. URL: http://interneturok.ru/ 2) Школьный помощник. URL: http://school-assistant.ru/ |
Ход урока
I. Устная работа.
1. Является ли пара чисел (4; –1) решением системы уравнений:
а) б) в)
2. Являются ли данные системы уравнений равносильными:
и
II. Объяснение нового материала.
Объяснение проводить согласно пункту 44 учебника в несколько этапов:
1. На примере 1 выявить суть способа сложения решения систем линейных уравнений.
2. Рассмотреть вопрос о равносильности систем уравнений и его геометрическую интерпретацию.
3. Рассмотреть пример 2 из учебника.
4. Вывести алгоритм решения систем линейных уравнений способом сложения.
Так же, как был записан алгоритм решения систем уравнений способом подстановки, учащиеся должны занести в тетради новый алгоритм вместе с примером.
Алгоритм
1-й шаг.
Умножить почленно уравнения системы на такие множители, чтобы коэффициенты при одной
из переменных стали противоположными
2-й шаг.
Сложить почленно левые и правые части
уравнений системы
3-й шаг.
Решить получившееся уравнение с одной
переменной
–х = –1,
х = 1.
4-й шаг.
Найти соответствующее значение второй
переменной
3·1+2у=–1,
2у=–4,
у=–2.
Ответ: (1; –2)
Системы, в которых нужно подбирать множители к обоим уравнениям, на этом уроке решать не нужно, поэтому пример 3 также лучше разобрать на следующем уроке.
III. Формирование умений и навыков.
В течение урока учащиеся должны запомнить алгоритм решения систем линейных уравнений способом сложения.
1. Умножьте одно из уравнений системы на какое-нибудь число так, чтобы с помощью сложения можно было исключить одну из переменных.
а) б) в)
2. № 1082.
Для решения каждой системы следует вызывать к доске по одному учащемуся. Требовать, чтобы они вслух комментировали все шаги решения.
Необходимо показать учащимся вариант оформления решения системы уравнений способом сложения.
Решение:
в)
2у = 60;
у = 30;
4х – 5 · 30 = 90;
4х = 240;
х = 60.
Ответ: (60; 30).
3. № 1084 (а, б, в).
Этот номер несколько сложнее предыдущего.
Учащимся придётся подбирать множитель, который сделает коэффициенты противоположными. Множитель лучше не «держать в уме», а записывать справа от уравнения.
Решение:
а)
15у = 0;
у = 0;
20х – 7 · 0 = 5;
20х = 5;
х = .
Ответ: .
IV. Итоги урока.
– Какие существуют способы решения систем уравнений?
– Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений способом сложения.
– Сколько решений может иметь система линейных уравнений?
Домашнее задание: № 1083; № 1085 (а, б).
infourok.ru
Уроки №8-9 Системы уравнений. Решение систем линейных уравнений. Способ сложения 7 класс
Цель уроков: Ввести понятие функции, функциональной зависимости и как частный случай, линейная функция. Подведение под понятие системы с помощью построения пересекающихся прямых.
I этап. Вопросы по домашнему заданию и подведение итогов СР( урок №7). (15 мин)
Основные ошибки и непонимание:
Не смогли построить график функции:
Не ответили на вопрос задания №1:
При подстановке в №2 не поставили скобки или неверно раскрыли скобки, не учтя минус перед скобками:
Не поняли задание №3.
II этап. Введение алгоритма Решения систем линейных уравнений. Способ сложения.
Решим систему уравнений:
СПОСОБ СЛОЖЕНИЯ.
ЗАМЕТИМ!В обоих уравнениях есть , но в одном , а в другом .
При сложении
1. Сложим почленно уравнения (левая часть одного + левая часть другого и правые части отдельно.
Второе уравнение допишем неизменно.
2. При сложении одно уравнение получилось с одной переменной, значит можем найти его корень.
Найденное неизвестное из первого уравнения, подставляем в другое уравнение.
Находим второе неизвестное
Записываем ответ.
Иногда, чтобы применить этот способ, необходимо сделать преобразование уравнений. Рассмотрим пример№2
Данная система «НЕ ГОТОВА» к применению способа сложения.
Но мы можем домножить обе части уравнения на одно и то же число, чтобы в обоих уравнениях получилось одно неизвестное с противоположными коэффициентами!
1. УМНОЖИМ ОБЕ ЧАСТИ ПЕРВОГО УРАВНЕНИЯ НА (-3), чтобы получить противоположные числа при x
2. ДАЛЕЕ ПО АЛГОРИТМУ
ОТВЕТ: (-1;4)
ПРИМЕЧАНИЕ! Для подставки неизвестного можно выбирать любое из данных уравнений.
ОТВЕТ получился тот же самый
III этап. Решение систем линейных уравнений. Способ сложения.
IV этап. Разминка в начале следующего урока (устно).
ДАЛЕЕ … ПРОДОЛЖАЕМ РЕШАТЬ СИСТЕМЫ СПОСОБОМ СЛОЖЕНИЯ.
Дополнительно:
Домашнее задание (записать в тетрадь).
Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. Алгебра 8 класс. Задания для обучения и развития учащихся. Учебное пособие. — М.: Интеллект-Центр, 2013. – 176 с.
Изучение алгебры в 7-9 классах: Кн. Для учителя / Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева и др. – М. : Просвещение, 2002. – 287 с.: — ISBN 5-09-010414-X.
Алгебра. Дидактические материалы. 8 класс / М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин. – 2-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 2013. – 96 с. : ил. – ISBN 978-5-09-028132-4
Мерзляк А.Г. Алгебра: 9 класс: учебник для учащихся общеобразовательных организация/ А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. — М.: Вентана-Граф, 2014. – 304 c.: ил. ISBN 978-5-360-05308-8
Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е., Шабунин М.И. АЛГЕБРА. Рабочая тетрадь. 8 класс. Пособие для учащихся общеобразовательных организаций в двух частях. Издательство «Просвещение», 2013 ISBN 978-5-09-032404-5(общ.) ISBN 978-5-09-032403-8(1)
Лебединцева Е.А., Беленкова Е.Ю. Алгебра 7 класс. Задания для обучения и развития учащихся. Учебное пособие.
infourok.ru
Тренажёр по алгебре (7 класс) на тему: Алгоритм решения систем уравнений методом подстановки и сложения .Алгебра 7 класс.
Образец решения системы уравнений методом подстановки | АЛГОРИТМ (последовательность шагов при работе) | |
1. |
3х + у = 7 -5х + 2у =3 | Выразить из первого уравнения у через х, т.е.перенести 3х в другую часть с противоположным знаком ( т.к. у записан в уравнении без числа(коэффициента)). Получится у = 7 – 3х |
2. | у = 7 – 3х | Выделить в рамочку выраженную переменную у. Написать её в той же строчке в системе уравнений. |
3. | у = 7 – 3х — 5х + 2(7 – 3х) = 3 | Подставить во второе уравнение вместо у выражение (7 – 3х), взяв его в скобки ! |
4. | х = у = | Приготовить знак системы уравнений и место для будущих ответов х у |
5. | -5х + 2·(7 – 3х) = 3 -5х + 14 -6х = 3 | «Выйти из системы» и решить отдельно только уравнение с одной переменной х : 1) раскрыть скобки, умножив число перед скобкой на всё что в скобках; |
6. | -5х + 14 -6х = 3 -5х — 6х = 3 — 14 | 2)Перенести число 14 в правую часть уравнения с противоположным знаком, т.е. сделать «сортировку» — буквы к буквам, числа к числам. |
7. | — 11х= -11 | 3)Посчитать значение в левой и правой части уравнения |
8. | х = -11:(-11) х = 1 | 4)Вычислить х как неизвестный множитель, вспомнив простой пример 2 · 3 = 6 |
9. | х = 1 у = | Заполнить место в системе уравнений для х |
10. | у = 7 – 3х = 7 — 3·1 = 7-3 = 4 | Найти значение второй переменной у |
11. | х = 1 у = 4 | Заполнить место в системе уравнений для у |
12. | Ответ: (1;4) | Записать ответ в виде координат точки (х;у) |
Решить систему уравнений методом подстановки
выбирая удобную переменную для её выражения, когда она записана без числа.
№1. у – 2х = 1 №4. 2х + у = 12
6х – у = 7 7х – 2у = 31
№2. х + у =6 №5. 4х – у = 11
3х – 5у = 2 6х – 2у = 13
№3. 7х – 3у = 13 №6. 8у – х = 4
х – 2у = 5 2х – 21у = 2
Карточка составлена учителем математики Головлянициной Лидией Вадимовной
nsportal.ru