Как решать уравнения с двумя неизвестными 7 класс: Урок 45. уравнения первой степени с двумя неизвестными — Алгебра — 7 класс — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 01.01.197424.01.2022 by alexxlab

Содержание

Урок 45. уравнения первой степени с двумя неизвестными — Алгебра — 7 класс

Алгебра

7 класс

Урок № 45

Уравнения первой степени с двумя неизвестными

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Линейные уравнения.

• Корень уравнения.

• Решение линейных уравнений.

• Линейное уравнение с двумя неизвестными.

Тезаурус:

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.

Переменная – символ, используемый для представления величины, которая может принимать любое из ряда значений.

Свободный член – член уравнения, не содержащий неизвестного.

Решить уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

Преобразование – это действия, выполняемые с целью замены исходного выражения на выражение, которое будет тождественно равным исходному.

Линейное уравнение – уравнение вида ax = b, где x – переменная, a, b – некоторые числа.

Основная литература:

Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Мы с вами уже познакомились с линейными уравнениями первой степени, содержащими одно неизвестное.

Однако уравнение может содержать не одно, а несколько неизвестных, обозначенных буквами.

Сформулируем определение уравнения в общем виде.

Определение.

Уравнением называется равенство, в котором одно или несколько чисел, обозначенных буквами, являются неизвестными.

Пусть, например, сказано, что сумма квадратов двух неизвестных чисел.

x² + z² = 7x² + z² = 7

Для уравнений с двумя неизвестными остаются справедливыми все те свойства, которые были установлены для уравнений с одним неизвестным.

Попробуем дать определение таких уравнений.

Определение.

Уравнением первой степени с двумя неизвестными называется уравнение вида ax + bx = c, где x, y – неизвестные, a, b (коэффициенты при неизвестных), не равные оба нулю, c – любое число.

Решим уравнение: 2x – y = 3

Возьмём пару чисел: x = 1, y = –1.

Подставив эти значения, получим верное равенство:

2 – (–1) = 3

3 = 3

Следовательно, эта пара чисел удовлетворяет уравнению, или она (эта пара) – решение уравнения.

Возьмём пару чисел: x = 2, y = 4

2 · 2 – 4 = 0

Следовательно, 0 ≠ 3. Это ложное равенство.

Говорят, что пара чисел не удовлетворяет уравнению, или, что она – не решение уравнения.

Определение. Каждая пара значений x и y, подстановка которых в уравнение с двумя неизвестными x и y, обращает его в верное равенство.

Свойство.

Уравнение первой степени, содержащее два неизвестных, имеет бесконечное множество решений.

В случае линейной зависимости, выражающейся уравнением первой степени с двумя неизвестными, графиком является прямая линия.

Докажем, что прямая линия будет графиком и любого уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Возьмём уравнение: 2x – y = 4

Выразим y через x:

y = 2x – 4

Уравнение представляет собой линейную зависимость вида:

y = ax + b, графиком является прямая линия.

Решим задачу.

Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15. Сколько было инопланетян и сколько их питомцев?

Необходимо ввести две переменные: x – число инопланетян, y – число питомцев, тогда получим уравнение 3x + 2y = 15.

Давайте же узнаем, сколько инопланетян выгуливало своих питомцев.

3x + 2y = 15. Выразим y через x:

далее воспользуемся методом перебора: при x = 1, y = 6. При x = 2,

при x = 3,y = 3

Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев; 3 инопланетянина и 3 питомца.

Подобные уравнения встречаются часто, они-то и называются неопределенными. Особенность их состоит в том, что уравнение содержит две или более переменных и требуется найти все целые или натуральные их решения. Такими уравнениями и занимался Диофант. Он изобрел большое число способов решения подобных уравнений, поэтому их часто называют диофантовыми уравнениями.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Задание 1.

Какое значение переменной удовлетворяет уравнению: 4x – 2y – 14?

Решение.

Для решения уравнения, выразим одну переменную через другую: 2y = 4x – 14,

разделим обе части уравнения на 2:

y = 2x – 7,

подставим вместо переменной x её значения:

при x = 3 получаем:

y = 6 – 7 = –1,

при x = 4 получаем:

y = 8 – 7 = 1,

при x = –4 получаем:

y = –8 – 7 = –15.

Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:

x = 4, = 1.

Ответ: x = 4, = 1.

Задание 2.

Решите уравнение: x – 2y = 5

Решение:

Выразим переменную x через переменную y:

x = 5 + 2y

подставим вместо переменной y её значения:

при y = 1 получаем x = 5 + 2 = 7

при y = 3 получаем x = 5 + 6 = 11

при y = 5 получаем x = 5 + 10 = 15

Следовательно, из предложенного списка, уравнению удовлетворяет только пара:

x = 7, y = 1

Ответ: x = 7, y = 1.

Конспект урока по математике «Линейные уравнения с двумя неизвестными»

Организационный этап

Здравствуйте ребята, садитесь. Посмотрите, на доске написано несколько выражений, то есть равенств, содержащих переменные.

Актуализация знаний

Что это за равенства?

Верно, а что называется уравнением?

Верно, а чем отличаются друг от друга уравнения на доске?

Правильно. С одними из них мы уже очень часто сталкивались и умеем хорошо решать, а с другими, если и сталкивались, то достаточно редко.

А при решении каких жизненных ситуаций мы можем встретить такие уравнения?

Предлагаю вам жизненную ситуацию:

Вы собрались классом в поход. Сколько двухместных и трехместных палаток нужно взять, чтобы все разместились, и не оставалось свободных мест.

Реальна в жизни такая ситуация?

Мы знаем, как решить эту задачу?

Тогда, как вы думаете, что мы с вами будем изучать на сегодняшнем уроке и какова наша цель?

Верно, на сегодняшнем уроке мы с вам рассмотрим линейные уравнения с двумя переменными. Откроем тетради, запишем сегодняшнее число и тему урока: «Линейные уравнения с двумя переменными».

Открытие нового знания

Как вы думаете, что это за уравнения?

Хорошо, запишем определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида: ax+by=c, где x и y – переменные, a,b и с – некоторые числа. Выберите из предложенных уравнения с двумя переменными. Примеры линейных уравнений с двумя неизвестными:

5х+2у=10
2х+3у=8
-7х+у=5
х — у=5
8х+3у=1
х – 5у= -3

Запишите себе несколько примеров в тетради.

Заметим, что если в уравнении ах+ву=с; а≠0, в≠0, то его называют уравнением первой степени с двумя переменными.

А как вы думаете, что вообще такое степень уравнения и как ее определить? Чтобы узнать, как определить степень уравнения нам поможет многочлен. Давайте вспомним, что называется степенью многочлена?

А что значит стандартный вид многочлена?

Верно, тогда вернемся к нашим уравнениям и кто мне скажет, что называется степенью уравнения?

Таким образом, степень уравнения – это наибольший показатель степени переменной, присутствующей в уравнении. Запишем определение. Чтобы определить степень уравнения, достаточно обратить внимание на значение степеней имеющихся переменных. Максимальная величина и определяет степень уравнения. Давайте с вами вместе определим степень следующих уравнений.

ху – х² – у²= 2
(х²+у² — ху)²= ху²
(х² — у)³= х²у³+ 1

Хорошо, степень уравнения определять мы научились. А как вы думаете, что является решением уравнения с двумя переменными? Для начала давайте вспомним, что значит решить уравнение?

Хорошо, а что является решением уравнения?

Все правильно, тогда, вернемся к нашим уравнениям с двумя переменными и кто мне скажет, что будет решением уравнения с двумя переменными?

Хорошо, решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

При каких значениях х и у уравнение 3х – у = 13 обращается в верное равенство?

Верно, значит пара (0; -13) является решение данного уравнения. Обратите внимание, что на первом месте пишется значение переменной х, а на втором месте значение переменной у. А будет ли решение нашего уравнения являться также решением следующего уравнения:

у = 3х – 13

Может кто-то знает, как называются такие уравнения?

Значит уравнения с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными.

Также заметим, что уравнения с двумя переменными обладают теми же свойствами, что и уравнения с одной переменной. Кто назовет мне эти свойства?

Итак, каждая пара чисел, являющаяся решением уравнения с двумя переменными изображается в координатной плоскости точкой с координатами (х; у), где х – абсцисса, у – ордината. Как вы думаете, что является графиком уравнения с двумя переменными?

Верно, графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решением этого уравнения. Выясним, что представляет собой график линейного уравнения с двумя переменными. Рассмотрим следующее уравнение: 3х + 2у = 6. Что для начала мы можем сделать?

Правильно, давайте так и поступим: 2у = 6 – 3х;

у = .

Найдем несколько решений полученного уравнения:

Х	0	1	2	-1	-2
У	3	1,5	0	4,5	6

Отметим эти точки на координатной плоскости. Соединим их и получим график данного уравнения.

Итак, графиком линейного уравнения является прямая, значит нам достаточно найти только два решения линейного уравнения с двумя переменными. Запишем алгоритм построения графика линейного уравнения с двумя переменными:

1. Выразить из данного уравнения одну переменную, через другую.

2. Найти любые два решения уравнения.

3. Записать координаты точек, через которые проходит график.

4. Изобразить найденные точки в системе координат и провести прямую.

Рассмотрим еще несколько примеров:

0,5х +0у = — 1,5. Выразим х: х = — 3, у – произвольное число. Графиком уравнения является прямая, проходящая через точку с координатами

(-3;0).

0х – 2у = 6. Выразим у: 2у = 6; у = Графиком уравнения является прямая, проходящая через точку с координатами (0; 3).

Закрепление нового материала

Теперь рассмотрим задания на карточках. Приложение 1.

Подведение итогов урока

Итак, мы рассмотрели линейное уравнение с двумя неизвестными. Давайте подведем итоги урока.

Чему был посвящен урок?

Какая цель на сегодняшнем уроке перед нами стояла?

Достигли ли мы поставленной цели?

Что повторили и что узнали нового?

Запишите домашнее задание: №1190, 1192, 1206(б, г, е)

Надеюсь наш сеголняшний урок прошел познавательно. Спасибо за внимание.

Уравнения

Равенство, содержащее переменную

Некоторые из них квадратные, некоторые кубические, в некоторых из них присутствуют две неизвестных.

Высказывают предположения.

Да!

Нет

На сегодняшнем уроке мы будем изучать уравнения с двумя неизвестными, а цель — научиться решать уравнения с двумя переменными.

Уравнение, содержащее две неизвестные.

Выбирают из представленных на доске уравнений уравнения с двумя переменными, называют их.

Записывают примеры линейных уравнений с двумя переменными.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов; Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

В многочлене каждый член является одночленом стандартного вида, причем среди них нет подобных членов.

Наибольший показатель степени в которую возводится переменная.

2 степень

4 степень

6 степень

Решить уравнение – значит найти множество его корней.

Решением уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Значения х и у обращающие уравнение в верное равенство.

Например, пара значений (8;3)

Да

Равносильные

Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному; Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решением данного уравнения.

Выразить переменную у через х.

Ученики работают устно, около доски и делают записи в тетрадях.

Линейным уравнениям с двумя переменными.

Научиться решать уравнения с двумя переменными.

Да

Повторили: что такое уравнение, степень многочлена, что значит привести многочлен к стандартному виду, что значит решить уравнение, что называется решением уравнения, свойства уравнений с одной переменной.

Узнали: что такое уравнение с двумя переменными, как определить степень уравнения, что является решением уравнения с двумя переменным, что является графиком линейного уравнения с двумя переменными.

Уравнения первой степени с двумя неизвестными. 7 класс

1. Уравнения первой степени с двумя неизвестными.

Урок алгебры в 7 классе

2. Фронтальный опрос повторяем параграф 9 стр. 171-177

• 1)Какое равенство называют уравнением?
• 2)Что называют корнем уравнения?

• 3)Что значит решить уравнение?
• 4)Сколько корней может иметь уравнение?
• 5)Какое уравнение называется линейным?
Привести примеры линейных уравнений.
• 6)Как доказать, что данное число является (не
является) корнем уравнения?

3. Ответы:

1. Общий вид уравнения первой степени с одним неизвестным х
таков:
Кх + в = 0, (к≠0). Где к и в –данные числа.
Число к называется коэффициентом при неизвестным в этом
уравнении,
а число в – свободным членом этого уравнения.
2.Корнем уравнения называется такое число, при подстановке
которого в уравнение место х получается верное числовое
равенство.
3.Решить уравнение – значит найти все его корни.
4.Если к≠0, то уравнение имеет единственный корень.
Если к=0 и в=0, то уравнение имеет бесконечно много корней.

Если к=0 и в≠0, то уравнение не имеет корней.

5.Линейным уравнением с одним неизвестным х называют
уравнение, левая и правая часть которого есть многочлены
степени не выше первой относительно х или числа.
Примеры: 5х+7=8; 3х-7 =6 + 3х; 10х – 5 =0; и т.д.
6.Чтобы доказать, что данное число является (не является) корнем
уравнения, надо подставить его в уравнение вместо х. Если
получится верное числовое равенство, то данное число является
корнем уравнения.

4. Задача о жизни Диофанта.

Диофант провел шестую часть
своей жизни в детстве;
двенадцатую – в юности; после
седьмой части, проведенной в
бездетном супружестве, и еще
после 5 лет у него родился сын,
умерший по достижении
половины лет жизни отца;
после этого Диофант прожил
только 4 года. Сколько лет
прожил Диофант?
Ответ: 84 года.

5. Историческая справка

Диофант Александрийский – он жил в 3
веке нашей эры. Из работ Диофанта
самой важной является
“Арифметика”, из 13 книг которой
только 6 сохранились до наших дней.

В сохранившихся книгах Диофанта
содержится 189 задач с решениями. В
пяти книгах содержатся методы
решения неопределенных уравнений.
Это и составляет основной вклад
Диофанта в математику.

6. Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал, сколько ног ходит по лужайке. Их

Задача
Трехногие инопланетяне выгуливают на лужайке
своих двуногих питомцев. Кто-то подсчитал,
сколько ног ходит по лужайке. Их оказалось 15.
Сколько было инопланетян и сколько их
питомцев?
Уравнение :3x+2y=15.
Решение задачи:
Пусть х – количество инопланетян, у – количество питомцев.
Тогда у всех питомцев по 2у ног, а у всех инопланетян -3х ног.
Составим уравнение:
3х + 2у = 15.
Заметим, что количество инопланетян и питомцев не
может выражаться нецелым или отрицательным числами.
Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и
у=(15 – 3х)/2должно быть целым и неотрицательным, а, значит,

нужно, чтобы выражение 15 – 3х без остатка делилось на 2.

Простой перебор вариантов показывает, что это возможно
только при х = 1, тогда у = 6 и при х=3, тогда у = 3.
Ответ: 1 инопланетянин и 6 питомцев или 3 инопланетянина и
3 питомца.
Определение.
Уравнением первой степени с двумя неизвестными х и у
называется уравнение вида
ах+by=c,
в котором a, b, c — заданные числа, причем хотя бы одно
из чисел a и b не равно нулю .
Числа a и b называют коэффициентами , а число
c — свободным членом.

9. Какие из этих уравнений являются линейными уравнениями с двумя переменными :

а) 6х²=36;
б)2х-5у=9;
в)7х+3у³=12;
г) ½х+⅓у=6,
д) х/5- у/4=3,
е) -7x +xy=45

10. Как найти все пары решений линейных уравнений с двумя переменными?

Определение.
Решением уравнения с двумя неизвестными x и y называется
упорядоченная пара чисел (x; y), при подстановке которых в это
уравнение получается верное числовое равенство.
Если ax+by=c и b‡ 0, то решениями уравнения являются пары
, где х – любое число.

Если ax+0*y=c и a‡ 0, то решениями уравнения являются пары
, где y – любое число.
Если 0*x+by=c и b‡ 0, то решениями уравнения являются пары
, где х – любое число.

11. Работа для ума. (заполнить таблицу по образцу . Сфотографировать и выслать на почту сетевого города)

Найти три пары решений данных уравнений
вариантов):
( шесть
1)x-y=12, 2) x+y=2, 3) x-y=-5,
4) x+y=-6, 5) x-y=-2, 6) x+y=8.
Х –у =12
(35;23)
(-5;-17)
7;-5)
Х + у=2
Х – у =5 Х + у =6
Х–у=-2
Х + у =8
Самостоятельная работа .
I уровень. Составьте уравнение для решения задачи:
«Из 25 роз надо составить букеты по 3 и по 5 роз.
Сколько букетов каждого вида получится?» Решите
задачу методом подбора.
II уровень. Составьте уравнение для решения задачи:
« В комнате было несколько стульев на четырех ножках
и табуреток на трех ножках. После того как их все
заняли, оказалось, что ног у сидящих людей вместе с
ножками у всех стульев и табуреток 49.

Сколько было
стульев и табуреток?» Решите задачу методом
подбора.
Самопроверка:
I уровень. Уравнение 3x+5y=25.Ответ:5
букетов по 3 розы или 2 букета по 5
роз.
II уровень. Уравнение
4x+ 3y+ 2(x + y)=49 или 6x+5y=49.
Ответ:4 стула и 5 табуреток.
Итог урока
а) Какие уравнения называются
линейными с двумя переменными?
б) Что называется решением
линейного уравнения с двумя
переменными?
в) Как записывается это решение?
(читаем п.10.1 стр.182-184)

15. Домашнее задание

§10.1 читать
№674 (решить в тетрадке, сфотографировать и
выслать на почту сетевого города.)

16. Образец решения №674

Является ли пара чисел (-2;1) решением уравнения 2х – у + 4=0
Чтобы пара чисел (х;у) являлась решением уравнения ах+ву +с=0,
Необходимо чтобы при подстановки чисел х и у в уравнение
получилось верное равенство.
(-2;1) => х=-2, у=1 => 2*(-2) – 1 + 4=0
-4- 1 + 4 =0
-1 ≠ 0 => пара чисел (-2;1) не
является решением уравнения 2х – у + 4=0

Уравнения первой степени с двумя неизвестными

Материал опубликовала

П. 10.1. Линейные уравнения первой степени с двумя неизвестными §10. Системы линейных уравнений Мурастова А.В., учитель математики МБОУ СОШ №3 г. Ноябрьск Алгебра. 7 класс. Учебник С.М.Никольского и др.

ax + by + с = 0 В нашем учебнике уравнение записано в таком виде: a, b, c – данные числа; хотя бы одно из чисел а и b не равно 0; а и b – коэффициенты при неизвестных; с – свободный член; х и у – неизвестные (переменные).

Перепишите уравнение в заданном виде Перепишите уравнение в заданном виде Назовите а, b и с ax + by + с = 0 2x — 1y — 3 = 0

Разбор типичных заданий = 0 а) 5х — 2 + 4у ax + by + с = 0

2x — 1y — 3 = 0 Возьмём пару чисел (х0 ; у0) х0 = 1 у0 = — 1 Подставим их в уравнение: 2 · 1 – 1 · (-1) – 3 = 2+1-3 =0

2x — 1y — 3 = 0 Пусть х0 = -2. Тогда 2·(- 2) –у – 3 = 0 или – 4 – у – 3 = 0 – получилось линейное уравнение с одной переменной. Решив его, найдем у. у0 = — 7 Пара (-2; — 7) – решение уравнения.

Разбор типичных заданий 672 (1). 3х + 2у – 1 = 0 3·1 + 2· (-1) — 1= 0 3 – 2 – 1 = 0 0 = 0, следовательно, пара (1;-1) решение уравнения.

Разбор типичных заданий а) Пусть х = 1 Пусть х = 2 Пусть х = 0 тогда 1+у–5=0 у = 4 (1; 4) тогда 2+у–5=0 у = 3 (2; 3) тогда 0+у–5=0 у = 5 (0; 5)

Разбор типичных заданий

б)выразим у через х: 2х – у = 3 -у = 3 – 2х у = -3+2х или у=2х-3 г)выразим у через х: 3х – 5у = 8 -5у = 8 — 3х у = (8 – 3х):5 у = 1,6 — 0,6х

3)выразим х через у: х — у + 4 = 0 х = у — 4 х =( у – 4) : х =( у – 4) · х = у –

Домашнее задание Уч. п.10.1 –изучить РТ п.10.1 уровни: Из каждого номера только буква а) – на «удовлетворительно» Из каждого номера буквы а)б) – на «хорошо» Из каждого номера только буквы в)г),№290а)б) – на «отлично»

Урок алгебры 7 класс. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

Урок алгебры 7 класс.

Тема урока. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

1 модуль. Урок-установка к теме: «Системы линейных уравнений с двумя переменными».

Цели урока:

Образовательная. Формирование понятий: линейное уравнение с двумя переменными, решение линейного уравнения с двумя переменными, график линейного уравнения с двумя переменными, система линейных уравнений с двумя переменными; формирование умений строить графики линейных уравнений с двумя переменными. Ознакомление учащихся со способами решения систем линейных уравнений с двумя переменными, с составлением системы линейных уравнений с двумя переменными по условию задачи. Развивающая. Развитие мышления учащихся через умение выделять главное, развитие сознательного восприятия учебного материала, внимания и памяти.

Воспитательная. Содействие воспитанию культуры письменной и устной математической речи, графической культуры; формирование умения работать в парах, умения оценивать друг друга и давать себе самооценку.

Цель. Ход урока.

МотивацияСистемы уравнений, как и отдельные уравнения используются для решения сложных и необходимых задач. Ранее мы отмечали, что довольно часто математической моделью реальной ситуации служит линейное уравнение с одной переменной или уравнение, которое после преобразований сводится к линейному.

1,2 слайд. Исаак Ньютон сказал: «Чтобы решить вопрос, относящийся к числам или к отвлеченным отношениям величин, нужно лишь перевести задачу с родного языка на алгебраический».

Сегодня нам предстоит сделать первые шаги в данном направлении.

Но для этого нам нужно вспомнить материал предыдущих тем.

Актуализация опорных знаний.Как называется функция у=-2х+7?

Как определить, принадлежат ли точки А(-4;15), В(4,1) графику функции?

Что является графиком функции?

Сколько точек необходимо?

Построим график функции у=-х+2.

Без построения определите, будут ли пересекаться прямые? Как они могут располагаться?

Что называется уравнением? Что значит — решить уравнение? Решить уравнение 9х-7=6х+14. Сколько решений может иметь такое уравнение? ——

Знакомство с установкой и осознание нового материала.Урок 1. Уравнение с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя переменными.

Слайд 3-5.

Слайд 3. Работа с установкой. Что является решением линейного уравнения с двумя переменными? Найти решение уравнения х-3у=10. Как это удобнее сделать? Х=3у+10 Слайд 4

Проверим, какие из пар чисел (6;-4) , (2;1) являются решениями следующих уравнений х+у=2, х-у=10 . Слайд 5

График уравнения х+у=2 у нас уже есть, построим график х-у=10, определим координаты точки пересечения.

Урок 2. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Графический способ решения. Способ подстановки.

Слайд 6-8

Как определить количество решений системы уравнений?

Определим алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными. Какую систему мы уже решили?

Слайд 9

Работа с установкой. В чем заключается способ подстановки?

Слайд 10

Решим систему способом подстановки.

Слайд 11

Урок 3. Системы линейных уравнений с двумя переменными. Способ сложения. Решение задач составлением системы уравнений.

Работа с установкой. В чем заключается способ сложения?

Слайд 12

Решим систему способом сложения.

Урок 4,5. Многие задачи, в частности те, в которых нужно найти значение двух величин, удобно решать при помощи систем уравнений.

Слайд 13,14

Рефлексия. Осмысление результатов работы. — Что нового узнали?

— Чему научились?

-Что показалось самым трудным?

Сегодня мы решили одну систему линейных уравнений с двумя переменными тремя способами. Следует обратить внимание на равноправие трёх способов решения систем. Преимуществом геометрического языка является его наглядность, зато алгебраический язык позволяет сводить задачу к точным вычислениям. На следующем уроке мы продолжим работать над темой и рассмотрим подробнее тему: «Уравнение с двумя переменными. График линейного уравнения с двумя переменными».

2 модуль.

Ход урока.

Закрепление и осознание знаний.Самостоятельная работа с учебником. Работа в парах. Стр.217 отвечаем на вопросы по вариантам. Фронтальная работа. Стр.218 устные упражнения.

Решение упражнений у доски.

Определяем какая из пар является решением уравнения.Выражаем одну переменную через другую.Определяем принадлежность точки графику.Строим график линейного уравнения с двумя переменными.Подведение итогов урока.На 22 грн купили несколько тетрадей по 5 грн и ручек по 3 грн. Сколько купили тетрадей и ручек? Решая задачу, количество тетрадей обозначь за х, а ручек за у. Составить уравнение по условию задачи. Назовите пару чисел, являющуюся решением этого уравнения.

3 модуль.

Закрепление знаний.Решение упражнений у доски.Построение в одной плоскости графиков двух уравнений. №1035Составление уравнения, график которого пересекает оси координат в заданных точках. №1043Самостоятельная работа с взаимопроверкой (обратная сторона доски).

А. Выразить переменную у через х. Пользуясь полученной формулой нати 2 решения. Х+у=12; у-х=10.

Б. Построить график уравнения, определив точки пересечения графика с координатными осями. 3Х+5у=15; 4у+3х=12.

В. Сколько решений имеет уравнение

(х-1)2+(у+2)2=0; (х+1)2+(у-2)2=0;

Каждое задание 4 балла.

Подведение итогов урока. Выставление оценок.

Если Вы являетесь автором этой работы и хотите отредактировать, либо удалить ее с сайта — свяжитесь, пожалуйста, с нами.

Линейное уравнение с двумя переменными, урок по алгебре для 7 класса

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Определение линейного уравнения с двумя переменными

Ребята, мы рассматривали линейные уравнения с одной переменной. Давайте познакомимся с линейным уравнениями с двумя переменными.

Линейное уравнение с двумя переменными – это уравнение вида ax + by + с = 0,
где: a, b, и с – коэффициенты уравнения; х и у – переменные уравнения.

Решением является пара чисел, которая удовлетворяет уравнению, т.е. при постановке этих чисел в исходное уравнение мы получим верное равенство.

Давайте рассмотрим задачу.
Расстояние между населёнными пунктами А и Б составляет 65 км. Пешеход вышел из пункта А в пункт Б ровно в 12:00. Через час из пункта Б в пункт А выехал велосипедист. Ровно через 3 часа после выезда велосипедиста они встретились. Определите скорости пешехода и велосипедиста.

Решение.
Сначала составим математическую модель этой задачи.
1. Обозначим скорость пешехода через х, а скорость велосипедиста через у.
2. Путь, который прошел пешеход, равен 4х.
3. Путь, который преодолел велосипедист, равен 3у.
4. Составим математическое выражение.
4x + 3y = 65
4x + 3y — 65 = 0
Пара чисел 5 и 15 превращают данное равенство в верное. Действительно, при подстановка этих чисел в уравнение получим: 4 * 5 + 3 * 15 — 65 = 0.

Нужно понимать, что среди бесконечного множества решений данного уравнения нужно выбирать те, которые подходят логически. Например, есть такие решения, при которых значения х или у будут отрицательными. Формально, они удовлетворяют уравнению, но не подходят логически, т.к. скорость не может быть отрицательной или равной нулю.

Основные свойства линейных уравнений с двумя неизвестными

1. В уравнении любое из слагаемых можно перенести из одной части в другую, при этом необходимо изменить его знак. Полученное уравнение будет равносильно исходному.
2. Обе части уравнения можно разделить на любое число, не равное нулю. В результате получим равносильное уравнение.

Как решить Алгебра

у = 24 – 4x
Объяснение:
Как показано в приведенном выше примере, мы вычисляем значение переменной из одного уравнения и подставляем его в другое.
Нам дано, что
у = 24 – 4х ——(1)
2х + у/2 = 12 ——(2)
Здесь мы выбираем уравнение (1) для вычисления значения x. Поскольку уравнение (1) уже находится в самая упрощенная форма:
(Подставив это значение y в уравнение (2) и затем решив для x дает)
2x + (24-4x)/2 = 12 ——(2) (∵ y = 24 – 4x)
2х + 24/2- 4х/2 = 12
2х + 12 – 2х = 12
12 = 12
Вам может показаться, что это тот же сценарий, что обсуждался выше (24 = 24).Но ждать! Вы пытаетесь сделать выводы слишком рано. В предыдущем сценарии значение результат 24 = 24 получился, потому что мы подставили значение переменной в то же уравнение, что и используется для его вычисления. Здесь мы этого не сделали.
Результат 12 = 12 как-то связан с природой системы уравнений, которую мы даны.Независимо от того, какой метод решения вы можете использовать, решение системы линейных уравнений лежит в одной точке, где их прямые пересекаются. В этом случае две строки в основном одинаковы (одна строка над другой). На следующем рисунке показан этот сценарий.
Такая система называется зависимой системой уравнения.А решением такой системы является вся линия (каждая точка на прямой есть точка пересечения двух линий)
Следовательно, решением данной системы уравнений является вся строка: у = 24 — 4x
Другой возможный сценарий:
Как и в этом примере, существует другой сценарий, в котором замена одной переменной в уравнение 2 ^nd приводит к результату, подобному показанному ниже:
23 = –46
или
5 = 34
Такой сценарий возникает, когда не существует решения данной системы уравнений. то есть, когда две прямые не пересекаются ни в какой точке.
Следовательно, в случае такого результата, когда ваши основные математические правила, кажется, не работают, простой вывод состоит в том, что решения данной системы не существует. Такая система уравнений называется Несовместимой системой.
Решение задач на сложение с двумя или более переменными — видео и расшифровка урока
Написание уравнений
Прежде чем мы сможем решить нашу задачу, нам нужно написать наши уравнения. Мы видим, что у нас есть два неизвестных значения: количество детских билетов и количество взрослых билетов. Эти два неизвестных значения будут представлены двумя переменными. Поскольку у нас есть две переменные, нам нужно будет написать два уравнения. Всякий раз, когда мы работаем с задачами, включающими более одной переменной, нам нужно убедиться, что у нас есть одно уравнение для каждой переменной. Каждое уравнение может содержать только одну из переменных или может содержать до всех переменных. Что нам нужно искать, когда мы читаем нашу проблему, так это утверждения, которые помогают нам понять, что представляют собой наши уравнения.
В нашей задаче мы видим одно уравнение, в котором говорится, что общее количество билетов, купленных Ларри, равно 10. Другое уравнение исходит из утверждения, в котором говорится, что Ларри заплатил в общей сложности 44 доллара за билеты.Мы можем выбрать любую букву для наших переменных. Мы можем использовать c для количества билетов для детей и a для количества билетов для взрослых. Используя эти две переменные, мы можем написать a + c = 10 для нашего первого уравнения, которое говорит нам, что общее количество билетов, купленных Ларри, равно 10. Второе уравнение, таким образом, будет 3 c + 5 a = 44, что говорит нам о том, что Ларри заплатил в общей сложности 44 доллара за все билеты. Во втором уравнении мы умножили количество билетов на их соответствующую стоимость, чтобы вычислить общую сумму.
Решение уравнений
Теперь, когда у нас есть два уравнения, мы можем приступить к решению нашей задачи. У нас есть два уравнения, поэтому мы будем использовать метод замены для решения. Есть и другие методы, которые мы можем использовать, и эти методы обсуждаются в других уроках.
В этом методе мы решаем одно из наших уравнений для одной из переменных, чтобы создать новое уравнение. Затем мы подключаем это новое уравнение к другому уравнению, чтобы помочь нам найти другую переменную. Как только мы нашли эту переменную, мы можем использовать эту информацию в новом уравнении, которое мы создали в начале, чтобы найти первую переменную.Если у нас есть более двух переменных, мы будем использовать один и тот же метод, чтобы помочь нам найти несколько переменных. Затем мы будем использовать эти новые уравнения, чтобы подключить одно из уравнений, которые мы не использовали, чтобы помочь нам найти одну из переменных. Наша цель при подключении уравнений состоит в том, чтобы придумать уравнение, которое имеет только одну переменную. Давайте теперь посмотрим, как мы это сделаем с нашей проблемой.
Начнем с решения уравнения a + c = 10 для a . Получаем а = 10 — х после вычитания х с обеих сторон.Теперь мы можем подставить a = 10 — c во второе уравнение, 3 c + 5 a = 44. Получим 3 c + 5 * (10 — c ) = 44. Обратите внимание, что теперь у нас есть уравнение только с одной переменной. Это то, что мы очень хорошо знаем, как решить. Мы идем дальше и решаем это для c .
3 C + 5 * (10 — C ) = 44
3 C + 50 — 5 C = 44
-2 C + 50 = 44
-2 C + 50 — 50 = 44 — 50
-2 с = -6
-2 с / -2 = -6 / -2
с = 3
9000 Мы нашли, что 30 с
9000 , наше количество дочерних билетов равно 3.

Теперь мы можем использовать эту информацию, чтобы определить количество билетов для взрослых, подставив c = 3 в уравнение a = 10- c .

a = 10 — c

a = 10 — 3

a = 7

Мы сделали это! Мы выяснили, что количество взрослых билетов равно 7. Мы нашли ответ.

Пример

Давайте рассмотрим другой пример.

‘В миске с фруктами лежат апельсины, яблоки и виноград.Винограда в два раза больше, чем апельсинов. Апельсинов в два раза больше, чем яблок. Всего фруктов в миске 14. Сколько виноградин в миске?»

Читая эту задачу, мы видим, что у нас есть три переменные. Поскольку у нас есть три переменных, нам нужно иметь три уравнения. Нам нужно искать наши три уравнения в нашей задаче. Мы можем обозначить наши три переменные как или для апельсинов, a для яблок и г для винограда.Первое уравнение, которое мы можем написать: г = 2 o , которое говорит нам, что винограда в два раза больше, чем апельсинов. Второе уравнение, которое мы можем написать: o = 2 a , которое говорит нам, что апельсинов в два раза больше, чем яблок. Третье уравнение, которое мы можем написать, это o + a + г = 14, которое говорит нам, что общее количество фруктов в чаше равно 14.

Теперь мы можем продолжить и решить, чтобы найти наш ответ. Итак, нам нужно решить некоторые из наших уравнений для нескольких наших переменных.Наша цель — создать новые уравнения, которые мы можем вставить в одно из уравнений, что даст нам уравнение только с одной переменной. Для этого мы можем оставить первое уравнение как есть, г = 2 o . Мы можем решить второе уравнение, o = 2 a , для a . Делая это, мы получаем a = o /2. Если мы подставим эти два новых уравнения в третье уравнение, o + a + g = 14, мы получим уравнение только с одной переменной.Это уравнение, которое мы можем решить. Сначала нам нужно поставить каждый член в левой части уравнения над знаменателем 2, а затем упростить.

о (2 / 2) + о / 2 + 2 о (2 / 2) = 14 14

7 O

7 O /2 = 14

(7 O /2) * 2 = 14 * 2

7 O = 28

7 O /7 = 28/7

о = 4

Мы нашли количество апельсинов.Теперь мы можем использовать эту информацию, чтобы найти количество виноградин. Мы можем подставить o = 4 в наше исходное уравнение, г = 2 o , чтобы найти количество виноградин.

г = 2 o

г = 2 * 4

г = 8

Ответ: 8 виноградин! Поскольку наша задача требует, чтобы мы нашли только количество виноградин, мы можем остановиться здесь. Но, если нам нужно еще найти количество яблок, мы можем сделать это следующим образом.И, наконец, мы можем найти количество яблок, используя уравнение o = 2 a .

4 = 2 a

4 / 2 = 2 a / 2

2 = a

Два яблока!

Итоги урока

Теперь давайте повторим, что мы узнали. Словесные задачи на сложение с двумя или более переменными — это математические задачи, сформулированные в словах, которые имеют оператор сложения и имеют два или более неизвестных значения для решения. Чтобы решить эти типы задач, мы сначала пишем наши уравнения из нашей задачи.Нам нужно по одному уравнению для каждой переменной.

Как только мы получим наши уравнения, мы приступим к их решению. Мы можем использовать метод подстановки или любой другой метод, с которым мы знакомы, чтобы помочь нам решить. Метод подстановки требует от нас решения некоторых уравнений для некоторых переменных. Затем мы подставляем эту информацию в одно из других уравнений. Целью этого является создание уравнения, которое имеет только одну переменную. Затем мы решаем это уравнение для одной переменной.Затем мы можем использовать эту информацию, чтобы найти другие переменные.

Результат обучения

После того, как вы закончите этот урок, вы сможете написать и решить задачу на сложение слов с двумя или более переменными.

7 класс: выражения и уравнения

Рейтинг:

http://hcpssfamilymath.weebly.com/3-expressions—equations-7ee.html

Общие базовые стандарты

Стандарты содержания

7.EE.1 — Применение свойств операций в качестве стратегий для сложения, вычитания, факторизации и расширения линейных выражений с рациональными коэффициентами.

7.EE.2 — Поймите, что переписывание выражения в разных формах в контексте задачи может пролить свет на проблему и на то, как связаны в ней величины.

7.EE.3 — Решайте многоэтапные задачи из реальной жизни и математические задачи, связанные с положительными и отрицательными рациональными числами в любой форме (целые числа, дроби и десятичные дроби), стратегически используя инструменты.Применять свойства операций для вычисления с числами в любой форме; конвертировать между формами по мере необходимости; и оценить обоснованность ответов, используя умственные вычисления и стратегии оценки.

7.ee.4a — решить слова проблемы, ведущие к уравнениям формы px + ri

7 = R и P ( x + q ) = R , где p , q и r являются конкретными рациональными числами. Решите уравнения этих форм бегло.Сравните алгебраическое решение с арифметическим, указав последовательность операций, используемых в каждом подходе.

7.ee.4b — решить слова проблемы, приводящие к неравенствам формы px + q > r или r + ri + R , где p , q , и r являются конкретными рациональными числами. Нарисуйте график множества решений неравенства и интерпретируйте его в контексте проблемы.

7.G.5 — Используйте факты о дополнительных, дополнительных, вертикальных и смежных углах в многошаговой задаче, чтобы написать и решить простые уравнения для неизвестного угла в фигуре.

Стандарты математической практики

МП. 1. Разберитесь в проблемах и настойчиво решайте их.

МП.2. Рассуждайте абстрактно и количественно.

МП.3. Придумывайте жизнеспособные аргументы и критикуйте рассуждения других.

МП.4. Модель с математикой.

МП.5. Используйте соответствующие инструменты.

МП.6. Следите за точностью.

МП.7. Ищите и используйте структуру.

МП.8. Ищите и выражайте закономерность в повторяющихся рассуждениях.

Описание блока

В этом разделе «Выражения и уравнения» учащиеся системы государственных школ округа Ховард будут создавать выражения и уравнения с одной переменной и использовать эти уравнения для решения задач. Студенты будут использовать свойства операций для создания эквивалентных выражений.Студенты исследуют и решают реальные математические задачи, используя числовые и алгебраические выражения и уравнения. При подготовке к работе на соответствие и подобие в 8 классе знакомятся с соотношениями между углами, образованными пересекающимися прямыми, и находят неизвестные на фигуре. Модуль включает в себя множество задач, которые позволяют учащимся изучать способы решения уравнений и неравенств, а также применять эти навыки в области геометрии и в реальных условиях.Это одно из пяти подразделений, предоставляемых школьной системой округа Ховард. Хотя округ Ховард находится в штате PARCC, критерии оценки по-прежнему соответствуют SBAC .

Предостережения

Ограничение поддержки для учащихся, работающих ниже уровня своего класса, разных учащихся и учащихся с ограниченными возможностями, а также для учащихся, изучающих английский язык (ELL).
Несмотря на то, что в каждый урок включено формативное оценивание, учителя должны будут давать явные итоговые оценивания.

Обоснование выбора

Модуль предлагает уроки, которые поддерживают строгость Общего базового государственного стандарта по математике.

Модуль
предоставляет четкие, подробные ресурсы и материалы для учителей, а также дополнительную учебную поддержку. Он включает в себя инструкции ведущего, а также возможные студенческие решения и студенческие работы.
Предоставляет учащимся возможность применять математику в реальных ситуациях, а также устанавливает связи для передачи знаний между областями.

Словесные задачи, которые приводят к одновременным уравнениям. Примеры

, КОТОРЫЕ ВЕДУТ К

Раздел 1: Примеры

Общая проблема

Проблема с билетом

Инвестиционная проблема

Проблема с монетами

Проблемы со смесью

Проблема восходящего/нисходящего потока

Раздел 2: Проблемы

ВОТ НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ задач, которые приводят к одновременным уравнениям.

Пример 1. У Андре больше денег, чем у Боба. Если бы Андре дал Бобу 20 долларов, у них была бы такая же сумма. А если бы Боб дал Андре 22 доллара, у Андре было бы вдвое больше, чем у Боба. Сколько на самом деле есть у каждого?

Решение . Пусть x будет суммой денег , которая есть у Андре. Пусть y будет суммой , которая есть у Боба .

Всегда позволяйте x и y отвечать на вопрос — и будьте предельно ясны в отношении того, что они представляют!

Поскольку неизвестных два, то и уравнений должно быть два.(В общем, чтобы иметь единственное решение, количество уравнений должно равняться количеству неизвестных.) Как мы можем получить два уравнения из данной информации? Мы должны перевести каждое словесное предложение на язык алгебры.

Вот первое предложение:

«Если бы Андре дал Бобу 20 долларов, у них была бы такая же сумма.»

Алгебраически:

1) x − 20 = y + 20.

(Андре — x — имеет ту же сумму, что и Боб, после того, как он дал ему 20 долларов.)

Вот второе предложение:

«Если бы Боб дал Андре 22 доллара, у Андре было бы в два раза больше
, чем у Боба. »

Алгебраически:

2) х + 22 = 2 ( у — 22).

(У Андре в два раза больше, чем у Боба — после того, как Боб дал ему 22 доллара.)

Чтобы решить любую систему из двух уравнений, мы должны свести ее к одному уравнению с одним из неизвестных. В этом примере мы можем решить уравнение 1) для x —

х − 20			=	у + 20

	подразумевает	х	=	у + 40

— и подставьте его в уравнение 2):

у + 40 + 22	=	2( и — 22).
То есть
y + 62	=	2 г − 44,

г − 2 г	=	— 44 — 62,

по методикам Урока 9,

− y 2 2 2	=	−106

г	=	106.

У Боба 106 долларов. Следовательно, согласно выражению для x , у Андре

106 + 40 = 146 долларов.

Пример 2. Продано 1000 билетов. Билеты для взрослых стоили 8,50 долларов, детские — 4,50 долларов, всего было собрано 7300 долларов. Сколько билетов каждого вида было продано?

Решение . Пусть x будет числом билетов для взрослых . Пусть y будет номером детских билетов .

Опять же, мы позволили x и y ответить на вопрос. И снова мы должны получить два уравнения из данной информации. Вот они:

1)	Всего билетов:	х	+	у	=	1000

2)	Всего собрано денег:	8.5 х	+	4,5 г	=	7300

В уравнении 2) мы преобразуем коэффициенты в целые числа, умножив обе части уравнения на 10:

1)	х	+	у	=	1000

2′)	85 х	+	45 у	=	73 000

Мы называем второе уравнение 2′ («2 штрих»), чтобы показать, что мы получили его из уравнения 2).

Эти одновременные уравнения решаются обычным способом.

Решения: x = 700, y = 300.

Чтобы увидеть ответ, наведите указатель мыши на цветную область.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решай задачу сам!

Пример 3. Госпожа Б. вложила 30 000 долларов; часть под 5%, а часть под 8%. Общая сумма процентов по вкладу составила 2100 долларов.Сколько она инвестировала по каждой ставке?

Решение .

1)	Всего инвестиций:	х	+	у	=	30 000

2)	Всего процентов	.05 х	+	.08 у	=	2 100

(Чтобы преобразовать проценты в десятичные дроби, см. «Навыки арифметики», урок 4.)

Опять же, в уравнении 2) сделаем коэффициенты целыми числами, умножив обе части уравнения на 100:

1)	х	+	у	=	30 000

2′)	5 х	+	8 у	=	210 000

Это одновременные уравнения, которые нужно решить.

Решения: x = 10 000 долларов США, y = 20 000 долларов США.

Проблема. У Саманты есть 30 монет, состоящих из четвертаков и десяти центов, на общую сумму 5,70 доллара. Сколько у нее каждого?

Чтобы увидеть ответ, проведите мышью слева направо
по закрашенной области.
Чтобы снова закрыть ответ, нажмите «Обновить» («Reload»).
Сначала решай задачу сам!

Пусть x будет количеством кварталов. Пусть y будет количеством десятицентовиков.

Уравнения:

1)	Общее количество монет:	х	+	у	=	30

2)	Общее значение:	.25 х	+	.10 у	=	5,70

Устранить y :

Умножьте уравнение 1) на -10 и уравнение 2) на 100:

1′)	−10 x	—	10 у	=	−300

2′)	25 х	+	10 у	=	570

Добавить:

	15 х			=	270

			x	=	270 15
				=	300 − 30 15
				=	20 − 2 (Урок 11 арифметики)
			x	=	18.

Следовательно, y = 30 − 18 = 12,

Пример 4. Задача о смеси. Первый:

«36 галлонов 25% спиртового раствора»

означает: 25 % или одна четверть раствора составляет чистый спирт.

Одна четверть от 36 равна 9. Этот раствор содержит 9 галлонов чистого спирта.

Вот проблема:

Сколько галлонов 30% спиртового раствора и сколько 60% спиртового раствора нужно смешать, чтобы получить 18 галлонов 50% раствора?

«18 галлонов 50% раствора» означает: 50% или половина чистого спирта.Таким образом, окончательный раствор будет содержать 9 галлонов чистого спирта.

Пусть x будет количеством галлонов 30% раствора. Пусть y будет количеством галлонов 60% раствора.

1)	Общее количество галлонов	х	+	у	=	18

2)	Галлоны чистого спирта	. 3 х	+	.6 у	=	9

2′)		3 х	+	6 у	=	90

Уравнения 1) и 2′) представляют собой два уравнения с двумя неизвестными.

Решения: x = 6 галлонов, y = 12 галлонов.

Пример 5. Проблема восходящего/нисходящего потока. Лодка проходит 27 миль вверх по течению за 3 часа. Та же лодка может пройти 30 миль вниз по течению за 2 часа. Найдите скорости лодки и течения.

Раствор. Пусть x будет скоростью лодки (без течения). Пусть y будет скоростью течения.

Учащийся может повторить значения слов «вверх по течению» и «вниз по течению» в Уроке 25. Мы видели, что скорость равна расстоянию , деленному на время :

.
Следовательно, по задаче:
Скорость восходящего потока = Расстояние вверх по течению
Время вверх по течению = 27
3 = 9

Скорость нисходящего потока = Расстояние нисходящего потока
Время нисходящего потока = 30
2 = 15
Вот уравнения:
1) Скорость восходящего потока: х − у = 9

2) Скорость входящего потока: х + у = 15
Наслаждайтесь!
(Решения: x = 12 миль в час, y = 3 мили в час. )
Раздел 2: Проблемы
Содержание | Дом
Пожалуйста, сделайте пожертвование, чтобы TheMathPage оставался онлайн.
Даже 1 доллар поможет.
Copyright © 2021 Лоуренс Спектор
Вопросы или комментарии?
Электронная почта: [email protected]

7-12 Математика
Математика 7: Математика 7 класс — Common Core
В седьмом классе учебное время должно быть сосредоточено на четырех важнейших областях: (1) развитие понимания и применение пропорциональных отношений, включая проценты; (2) развитие понимания операций с рациональными числами и работы с выражениями и линейными уравнениями; (3) решение задач, связанных с чертежами в масштабе и неформальными геометрическими построениями, а также работа с двух- и трехмерными формами для решения задач, связанных с площадью, площадью поверхности и объемом; и (4) делать выводы о популяциях на основе выборок: учащиеся также работают над беглым решением уравнений вида px + q = r и p(x + q) = r.
Математика 8: Математика 8 класс — Common Core
В восьмом классе учебное время должно быть сосредоточено на трех важнейших областях: (1) формулировка и рассуждение о выражениях и уравнениях, включая моделирование связи двумерных данных с линейным уравнением и решение линейных уравнений и систем линейных уравнений; (2) понимание концепции функции и использование функций для описания количественных отношений; (3) анализ двух- и трехмерного пространства и фигур с использованием расстояния, угла, сходства и конгруэнтности, а также понимания и применения теоремы Пифагора.Студенты также работают над беглостью решения простых систем из двух уравнений с двумя неизвестными путем проверки.
Интегрированная математика I — Common Core
Основная цель курса «Математика I» состоит в том, чтобы формализовать и расширить понимание учащимися линейных функций и их приложений. Важнейшие темы исследования углубляют и расширяют понимание линейных взаимосвязей, частично противопоставляя их экспоненциальным явлениям, а частично применяя линейные модели к данным, демонстрирующим линейный тренд. Учащиеся опираются на свой предыдущий опыт работы с данными, разрабатывая более формальные средства оценки соответствия модели данным. Учащиеся используют методы регрессии для описания приблизительно линейных отношений между величинами. Они используют графические представления и знание контекста, чтобы судить об уместности линейных моделей. В линейных моделях они смотрят на остатки, чтобы проанализировать соответствие. Математика I использует свойства и теоремы о конгруэнтных фигурах, чтобы углубить и расширить понимание геометрических знаний, полученных в предыдущих классах.
Линейные уравнения — определение, формула, примеры и решения
Линейное уравнение — это уравнение, в котором наивысшая степень переменной всегда равна 1. Оно также известно как уравнение одной степени. Стандартная форма линейного уравнения с одной переменной имеет вид Ax + B = 0. Здесь x — переменная, а A и B — константы. Стандартная форма линейного уравнения с двумя переменными имеет вид Ax + By = C. Здесь x и y — переменные, а A, B и C — константы.
Что такое линейное уравнение?
Уравнение, имеющее наивысшую степень 1, называется линейным уравнением.Это означает, что ни одна переменная в линейном уравнении не имеет показатель степени больше 1. График линейного уравнения всегда образует прямую линию.
Определение линейного уравнения
Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, в котором каждый член имеет показатель степени, равный 1, и когда это уравнение изображается на графике, оно всегда приводит к прямой линии. Вот почему оно называется «линейным уравнением».
Примеры линейных уравнений
Существуют линейные уравнения с одной переменной и линейные уравнения с двумя переменными.Давайте научимся определять линейные уравнения и нелинейные уравнения с помощью следующих примеров.
Уравнения Линейный или нелинейный
у = 8х — 9 Линейный
у = х ² — 7 Нелинейный, степень переменной x равна 2
√у + х = 6 Нелинейный, степень переменной y равна 1/2
у + 3х — 1 = 0 Линейный
у ² — х = 9 Нелинейный, степень переменной x равна 2
Формула линейного уравнения
Формула линейного уравнения — это способ выражения линейного уравнения. Это можно сделать разными способами. Например, линейное уравнение может быть выражено в стандартной форме, в форме точки пересечения или в форме точка-наклон. Теперь, если мы возьмем стандартную форму линейного уравнения, давайте узнаем, как оно выражается. Мы видим, что оно варьируется от случая к случаю в зависимости от количества переменных, и следует помнить, что наивысшая (и единственная) степень всех переменных в уравнении должна быть 1.
Линейные уравнения в стандартной форме
Стандартная форма или общая форма линейных уравнений с одной переменной записывается как Ax + B = 0; , где A и B — целые числа, а x — единственная переменная.Стандартная форма линейных уравнений с двумя переменными выражается как Ax + By = C; , где A, B и C — целые числа, а x и y — переменные.

График линейных уравнений
График линейного уравнения с одной переменной x образует вертикальную линию, параллельную оси y, и наоборот, тогда как график линейного уравнения с двумя переменными x и y образует прямую линию. Построим график линейного уравнения с двумя переменными с помощью следующего примера.
Пример: Построить график для линейного уравнения с двумя переменными, x — 2y = 2.
Решение: Давайте построим график уравнения, используя следующие шаги.
Шаг 1: Данное линейное уравнение имеет вид x — 2y = 2.
Шаг 2: Преобразуйте уравнение в виде y = mx + b. Это даст: y = x/2 — 1
Шаг 3: Теперь мы можем заменить значение x на другие числа и получить результирующее значение y для создания координат.
Шаг 4: Когда мы подставляем x = 0 в уравнение, мы получаем 2y = (0) — 2, y = -1. Точно так же, если мы подставим значение x вместо 2 в уравнение y = x/2 — 1, мы получим y = 0
Шаг 5: Если мы заменим значение x на 4, мы получим y = 1. Значение x = -2 дает значение y = -2. Теперь эти пары значений (x, y) удовлетворяют заданному линейному уравнению y = x/2-1. Поэтому мы перечисляем координаты, как показано в следующей таблице.
Шаг 6: Наконец, мы наносим эти точки (4,1), (2,0), (0,-1) и (-2, -2) на график и соединяем точки, чтобы получить прямую линию .Так линейное уравнение изображается на графике.
Линейные уравнения с одной переменной
Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение, в котором присутствует только одна переменная. Оно имеет форму Ax + B = 0, где A и B — любые два целых числа, а x — неизвестная переменная, имеющая только одно решение. Это самый простой способ представить математическое утверждение. Это уравнение имеет степень, которая всегда равна 1. Линейное уравнение с одной переменной решается очень просто.Переменные разделяются и подводятся к одной стороне уравнения, а константы объединяются и подводятся к другой стороне уравнения, чтобы получить значение неизвестной переменной.
Пример: Решите линейное уравнение с одной переменной: 3x + 6 = 18
Решение: Чтобы решить данное уравнение, мы подносим числа в правую часть уравнения и сохраняем переменную в левой части. Это означает, что 3x = 18 — 6. Затем, когда мы находим значение x, мы получаем 3x = 18 — 6.Наконец, значение x = 12/3 = 4,
Линейные уравнения с двумя переменными
Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид Ax + By + C = 0, в котором A, B, C — константы, а x и y — две переменные, каждая со степенью 1. Если мы рассмотрим два таких линейных уравнений, они называются одновременными линейными уравнениями. Например, 6x + 2y + 9 = 0 — это линейное уравнение с двумя переменными. Существуют различные способы решения линейных уравнений с двумя переменными, такие как графический метод, метод подстановки, метод перекрестного умножения, метод исключения и метод определителя.После их решения мы получаем решения для обеих переменных.
Как решать линейные уравнения?
Уравнение похоже на весы с одинаковыми весами с обеих сторон. Если мы прибавим или вычтем одно и то же число из обеих частей уравнения, оно останется верным. Точно так же, если мы умножаем или делим одно и то же число в обеих частях уравнения, это правильно. Мы подносим переменные к одной стороне уравнения, а константу к другой стороне, а затем находим значение неизвестной переменной.Это способ решения линейного уравнения с одной переменной. Давайте разберемся в этом с помощью примера.
Пример: Решите уравнение 3x — 2 = 4.
Решение: Выполняем математические операции с левой (левой) и правой (правой) сторонами так, чтобы равновесие не нарушалось. Итак, давайте добавим 2 с обеих сторон, чтобы уменьшить LHS до 3x. Это не нарушит баланс. Новая левая сторона равна 3x — 2 + 2 = 3x, а новая правая сторона равна 4 + 2 = 6.Теперь давайте разделим обе части на 3, чтобы уменьшить LHS до x. Таким образом, мы имеем х = 2 . Это один из способов решения линейных уравнений с одной переменной.
Советы по линейным уравнениям
Значение переменной, которая делает линейное уравнение верным, называется решением или корнем линейного уравнения.
На решение линейного уравнения не влияет сложение, вычитание, умножение или деление одного и того же числа на обе части уравнения.
График линейного уравнения с одной или двумя переменными всегда образует прямую линию.
☛ Связанные статьи

Примеры линейных уравнений
Пример 1. Сумма двух чисел равна 44. Если одно число на 10 больше другого, найдите числа, составив линейное уравнение.
Решение:
Пусть одно число равно х, значит, другое число равно х + 10.Мы знаем, что сумма обоих чисел равна 44. Следовательно, линейное уравнение можно представить в виде x + x + 10 = 44. В результате получается 2x + 10 = 44. Теперь давайте решим уравнение, выделив переменной с одной стороны и приведением констант с другой стороны. Это означает, что 2x = 44 -10. После этого шага 2x = 34, поэтому значение x = 17. Это означает, что одно число равно 17, а другое число равно 17 + 10 = 27. Следовательно, два числа равны 17 и 27.
Пример 2: Число, умноженное на шесть, равно 48.Составьте линейное уравнение и найдите неизвестное число.
Решение: Пусть неизвестное число равно x. Шесть раз это число равно 48, значит 6x = 48. Итак, это линейное уравнение можно решить, чтобы найти значение x, которое является неизвестным числом. 6x = 48 означает x = 8. Следовательно, неизвестное число равно 8.
Пример 3: Решите данное линейное уравнение: 5x — 95 = 75
Решение: 5x — 95 = 75
5х = 75 + 95
5х = 170
х = 34
перейти к слайдуперейти к слайдуперейти к слайду
Есть вопросы по основным математическим понятиям?
Станьте чемпионом по решению проблем, используя логику, а не правила.Узнайте, что стоит за математикой, с нашими экспертами по Cuemath
Забронируйте бесплатный пробный урок
Часто задаваемые вопросы о линейном уравнении
Что такое линейное уравнение? Объясните на примере.
Линейное уравнение — это уравнение, в котором наивысшая степень переменной всегда равна 1. Оно также известно как уравнение одной степени. Когда это уравнение изображается на графике, оно всегда приводит к прямой линии. По этой причине его называют «линейным уравнением».Существуют линейные уравнения с одной переменной и линейные уравнения с двумя переменными. Стандартная форма линейного уравнения с одной переменной имеет вид Ax + B = 0. Уравнение вида Ax + By = C называется линейным уравнением с двумя переменными. Вот несколько примеров линейных уравнений: 5x + 6 = 1, 42x + 32y = 60, 7x = 84.
Что такое формула линейного уравнения?
Формула линейного уравнения — это способ выражения линейного уравнения. Это может быть выражено в стандартной форме, в форме пересечения наклона или в форме точка-наклон.Стандартная форма линейного уравнения с одной переменной имеет вид Ax + B = 0. Здесь x — переменная, а A и B — константы. В то время как стандартная форма линейного уравнения с двумя переменными имеет вид Ax + By = C. Здесь x и y — переменные, а A, B и C — константы.
Почему линейное уравнение называют линейным?
Линейное уравнение называется линейным, потому что, когда мы пытаемся построить график данного линейного уравнения с двумя переменными, получается прямая линия.
Как вы решаете линейные уравнения? Привести пример.
Мы можем решить линейное уравнение с одной переменной, переместив переменные в одну часть уравнения, а числовую часть в другую. Например, x — 1 = 5 — 2x можно решить, переместив числовые части в правую часть уравнения, сохранив при этом переменные в левой части. Следовательно, мы получаем x + 2x = 5 + 1. Таким образом, 3x = 6. Это дает x = 2,
.
Могут ли линейные уравнения иметь дроби?
Да, линейные уравнения могут иметь дроби только до тех пор, пока знаменатель в дробной части является постоянной величиной.Переменные не могут быть частью знаменателя любой дроби в линейном уравнении.
Что такое линейные уравнения с одной переменной?
Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение, в котором присутствует только одна переменная. Оно имеет форму Ax + B = 0, где A и B — любые два целых числа, а x — неизвестная переменная, имеющая только одно решение. Например, 9x + 78 = 18 — это линейное уравнение с одной переменной.
Что такое линейные уравнения с двумя переменными?
Линейное уравнение с двумя переменными имеет форму Ax + By + C = 0, где A, B, C — константы, а x и y — две переменные, каждая из которых имеет степень 1.Например, 7x + 9y + 4 = 0 — это линейное уравнение с двумя переменными. Если мы рассмотрим два таких линейных уравнения, они называются одновременными линейными уравнениями.
Чем квадратные уравнения отличаются от линейных уравнений?
Линейные уравнения с двумя переменными не имеют показателя степени больше 1 ни для одной из переменных. Общая форма линейного уравнения выражается как Ax + By + C = 0, где A, B и C — константы, а x и y — переменные. Принимая во внимание, что квадратные уравнения имеют одну переменную, которая возведена во вторую степень.Общая форма квадратного уравнения выражается как y = ax ² + bx + c. Еще одно различие между двумя уравнениями заключается в том, что линейное уравнение образует прямую линию, тогда как квадратное уравнение образует параболу.
Как построить график линейных уравнений?
Когда мы рисуем линейные уравнения с двумя переменными, они образуют прямую линию. Чтобы построить график уравнения формы Ax + By = C, мы получаем два решения, которые соответствуют точкам пересечения x и y.Преобразуем уравнение к форме y = mx + b. Затем мы заменяем значение x другими числами и получаем значение y, которое создает набор координат (x, y). Эти координаты можно нанести на график, а затем соединить линией. Подробное объяснение графического отображения линейных уравнений дано в разделе «График линейного уравнения» на этой странице.
Как решать линейные уравнения с дробями?
Линейные уравнения с дробями решаются так же, как мы решаем обычные уравнения.Нам нужно ввести переменную с одной стороны и константы с другой стороны и найти переменную. Например, решим уравнение (2а/3) — 10 = 12,
.
Шаг 1: Здесь мы приведем константы в правой части, то есть (2a/3) = 12 + 10.
Шаг 2: Теперь у нас есть (2a/3) = 22. Далее это можно записать как 2a = 22 × 3
Шаг 3: Следовательно, значение a = 66/2 = 33.
Используйте переменные для представления величин в реальной или математической задаче и создавайте простые уравнения и неравенства для решения задач, рассуждая о величинах.Решите текстовые задачи, ведущие к уравнениям вида px + q = r и p(x + q) = r, где p, q и r — конкретные рациональные числа. Решите уравнения этих форм бегло. Сравните алгебраическое решение с арифметическим, указав последовательность операций, используемых в каждом подходе. Например, периметр прямоугольника равен 54 см. Его длина составляет 6 см. Какова его ширина? Решите текстовые задачи, ведущие к неравенствам вида px + q r или px + q r, где p, q и r — конкретные рациональные числа.Нарисуйте график множества решений неравенства и интерпретируйте его в контексте проблемы.
Например: как продавец, вам платят 50 долларов в неделю плюс 3 доллара за продажу. На этой неделе вы хотите, чтобы ваша зарплата была не менее 100 долларов. Напишите неравенство для количества продаж, которое вам нужно сделать, и опишите решения. MAFS.7.EE.2.4 — Используйте переменные для представления величин в реальной или математической задаче и создавайте простые уравнения и неравенства для решения задач, рассуждая о количествах.Решите текстовые задачи, ведущие к уравнениям вида px + q = r и p(x + q) = r, где p, q и r — конкретные рациональные числа. Решите уравнения этих форм бегло. Сравните алгебраическое решение с арифметическим, указав последовательность операций, используемых в каждом подходе. Например, периметр прямоугольника равен 54 см. Его длина составляет 6 см. Какова его ширина? Решите текстовые задачи, ведущие к неравенствам вида px + q r или px + q r, где p, q и r — конкретные рациональные числа.Нарисуйте график множества решений неравенства и интерпретируйте его в контексте проблемы. Например: как продавец, вам платят 50 долларов в неделю плюс 3 доллара за продажу. На этой неделе вы хотите, чтобы ваша зарплата была не менее 100 долларов. Напишите неравенство для количества продаж, которое вам нужно сделать, и опишите решения.
Веб-сайт несовместим с используемой версией браузера. Не все функции могут быть доступны. Пожалуйста, обновите ваш браузер до последней версии.
Используйте переменные для представления величин в реальной или математической задаче и создавайте простые уравнения и неравенства для решения задач, рассуждая о величинах.
Решите текстовые задачи, ведущие к уравнениям вида px + q = r и p(x + q) = r, где p, q и r — конкретные рациональные числа. Решите уравнения этих форм бегло. Сравните алгебраическое решение с арифметическим, указав последовательность операций, используемых в каждом подходе. Например, периметр прямоугольника равен 54 см. Его длина составляет 6 см. Какова его ширина?
Решите текстовые задачи, ведущие к неравенствам вида px + q > r или px + q < r, где p, q и r — конкретные рациональные числа.Нарисуйте график множества решений неравенства и интерпретируйте его в контексте проблемы. Например: как продавец, вы получаете 50 долларов в неделю плюс 3 доллара за продажу. На этой неделе вы хотите, чтобы ваша зарплата была не менее 100 долларов. Напишите неравенство для количества продаж, которое вам нужно сделать, и опишите решения.

Разъяснения
Ожидания беглости или примеры завершающих стандартов
При решении текстовых задач, ведущих к уравнениям с одной переменной вида px + q = r и p(x + q) = r, учащиеся бегло решают уравнения. Это потребует свободного владения арифметикой рациональных чисел (7.NS.1.1–1.3), а также в некоторой степени свободного владения операциями со свойствами для перезаписи линейных выражений с рациональными коэффициентами (7.EE.1.1).
Примеры возможностей углубленного изучения
Работа по выполнению этого стандарта основывается на работе, которая привела к выполнению 6.EE.2.7, и готовит учащихся к работе, которая приведет к выполнению 8.EE.3.7.
Общая информация
Предметная область: Математика
Класс: 7
Домен-поддомен: Выражения и уравнения
Кластер : Уровень 2: Базовое применение навыков и понятий
Дата принятия или пересмотра: 14 февраля
Дата последней оценки: 14/02
Статус: Утвержден Государственным советом
Оценено: Да
Спецификации объекта испытаний

Пределы оценки:
Неравенство должно иметь контекст. Неравенства могут использовать ≤ или ≥. Неравенства не могут быть составными неравенствами
Калькулятор:
Да
Контекст:
Допустимо
Образцы тестовых заданий (4)
Тестовый образец #: Образец образца 1
Вопрос:
Периметр прямоугольного сада равен 37.5 футов (футов). Ширина равна х, а длина составляет 15 футов. Какова ширина сада в футах?
Сложность: Н/Д
Тип: EE: Редактор формул
Тестовый образец #: Образец 3
Вопрос:
На своей работе Джесси зарабатывает 9 долларов. 50 в час. Она также получает бонус в размере 60 долларов каждый месяц.
Джесси нужно зарабатывать более 460 долларов в месяц.
A. Создайте неравенство, представляющее ситуацию, где h представляет собой количество часов, которые Джесси нужно отработать в месяц, чтобы заработать более 460 долларов.
B. Введите минимальное целое количество часов, которое Джесси должна будет отработать, чтобы зарабатывать 460 долларов в месяц.
Сложность: Н/Д
Тип: EE: Редактор формул
Тестовый образец #: Образец 4
Вопрос:
Этот вопрос состоит из трех частей.
Ванесса налила 40 галлонов воды в свой новый пруд для разведения рыбы на заднем дворе и хочет добавить еще воды. Ее пруд может вместить максимум 256 галлонов. Ее садовый шланг может добавить 48 галлонов воды за 2 минуты.
Часть А . Создайте неравенство, чтобы представить количество минут, m, в течение которых Ванесса могла использовать садовый шланг, чтобы добавить больше воды в пруд, не добавляя максимальное количество воды в случае дождя.
Часть B. Перетащите соответствующую стрелку и кружок к числовой прямой, чтобы построить график решения неравенства из части A.
Часть C. Выберите все количество времени в минутах, в течение которого Ванесса может оставить дом включенным.

Сложность: Н/Д
Тип: СЕТКА: Графический дисплей элемента ответа
Связанные точки доступа
Альтернативная версия этого теста для учащихся с серьезными когнитивными нарушениями.
Связанные ресурсы
Проверенные ресурсы, которые преподаватели могут использовать для обучения концепциям и навыкам в этом эталонном тесте.
Уроки STEM — Активность по моделированию
УРА!! Пицца на обед:
Директор Центральной средней школы подумывает добавить пиццу в обеденное меню по понедельникам и пятницам, но ему нужна помощь в определении стоимости одного куска и того, что учащиеся считают важным в отношении пиццы. После первоначального решения учащихся о пицце директор вспоминает, что за доставку взимается плата. Учащиеся должны пересмотреть свое решение и выполнить дополнительные расчеты, чтобы убедиться, что их первоначальный процесс все еще работает.
Упражнения по выявлению моделей, MEA, представляют собой открытые междисциплинарные действия по решению проблем, которые предназначены для выявления мыслей учащихся о концепциях, встроенных в реалистичные ситуации. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.
Робот-разведчик: масса, плотность, объем, вес:
В этом MEA учащиеся должны выбрать, какой материал использовать при разработке усовершенствованного военного робота-разведчика. Учащиеся должны проанализировать данные об индивидуальных свойствах каждого материала, чтобы сделать его правильным выбором для военной или полицейской службы. Студенты должны выполнить расчеты, чтобы определить плотность материала, а также общую массу и вес робота. Этот урок посвящен характерным свойствам плотности, преобразованию единиц измерения и различению массы и веса.
Упражнения по выявлению моделей, MEA, представляют собой открытые междисциплинарные действия по решению проблем, которые предназначены для выявления мыслей учащихся о концепциях, встроенных в реалистичные ситуации. Нажмите здесь, чтобы узнать больше о MEA и о том, как они могут изменить ваш класс.
Формирующие оценки MFAS
Алгебра или арифметика?:
Учащихся просят сравнить арифметическое решение с алгебраическим решением задачи со словами.
Решите уравнения:
Студентов просят решить два уравнения с рациональными числами.
Квадраты:
Студентов просят написать и решить уравнение формы p ( x + q ) = r в контексте задачи о периметре квадрата.
Напишите и решите уравнение:
Учащихся просят написать и решить двухэтапное уравнение для моделирования взаимосвязи между переменными в заданном сценарии.
Оригинальные учебные пособия для учащихся Наука — классы K-8
Балансировка машины:
Используйте модели для решения проблем с равновесием на космической станции в этом интерактивном учебном пособии по математике и естественным наукам.
Оригинальные учебники для учащихся по математике — 6-8 классы
Ресурсы для учащихся
Проверенные ресурсы, которые учащиеся могут использовать для изучения концепций и навыков в этом эталонном тесте.
Оригинальные учебные пособия для студентов
Балансировка машины:
Используйте модели для решения проблем с равновесием на космической станции в этом интерактивном учебном пособии по математике и естественным наукам.
Тип: оригинальное учебное пособие для учащихся
Задачи решения проблем
Улыбки:
В этом онлайн-задаче на решение задач учащиеся применяют алгебраические рассуждения, чтобы определить «стоимость» отдельных типов лиц из сумм хмурых, улыбчивых и нейтральных лиц. На этой странице представлены три иллюстрированные задачи, связанные с решением систем уравнений, а также советы по обдумыванию проблемы, решения и других подобных задач.
Тип: Задача решения проблем
Рыбацкие приключения 2:
Студентов просят написать и решить неравенство, чтобы определить количество людей, которые могут безопасно арендовать лодку.
Тип: Задача решения проблем
Комплект спортивного инвентаря:
Ученика просят написать и решить неравенство в соответствии с контекстом.
Тип: Задача решения проблем
Такси Готэм-сити:
Цель этого задания — дать учащимся возможность решить многошаговую задачу на соотношение, к которой можно подойти разными способами.Это можно сделать, составив таблицу, которая поможет проиллюстрировать структуру ставок такси для различных пройденных расстояний и с небольшим упорством приведет к решению, использующему арифметику. Также можно рассчитать удельную ставку (доллары за милю) и использовать ее для непосредственного определения расстояния без составления таблицы.
Тип: Задача решения проблем
Бревенчатая поездка:
Студентов просят решить неравенство, чтобы ответить на реальный вопрос.
Тип: Задача решения проблем
Учебники
Возрастная проблема со словами:
В этом учебном пособии учащимся показано, как составить и решить задачку на определение возраста.В учебнике также показано, как проверить свою работу с помощью подстановки.
Тип: Учебник
Возрастная проблема со словами:
Учащиеся узнают, как составить и решить задачу на определение возраста.
Тип: Учебник
Решение двухшаговых уравнений:
В этом коротком видео используется как уравнение, так и визуальная модель, чтобы объяснить, почему одни и те же шаги должны использоваться в обеих частях уравнения при нахождении значения переменной.
Тип: Учебник
Линейные уравнения с одной переменной:
Этот урок знакомит учащихся с линейными уравнениями с одной переменной, показывает, как решать их, используя свойства равенства сложения, вычитания, умножения и деления, и позволяет учащимся определить, является ли значение решением, существует ли бесконечно много решений или вообще никакого решения. Сайт содержит объяснение уравнений и линейных уравнений, способы решения уравнений в целом и стратегию решения линейных уравнений. Урок также объясняет противоречие (уравнение без решения) и тождество (уравнение с бесконечными решениями). В конце есть пять практических задач для студентов, чтобы проверить свои знания со ссылками на ответы и объяснениями того, как эти ответы были найдены. Также упоминаются дополнительные ресурсы.
Тип: Учебник
Видео/аудио/анимация
Решение задач движения с помощью линейных уравнений:
На основе определения скорости могут быть созданы линейные уравнения, которые позволяют нам решать задачи, связанные с постоянными скоростями, временем и расстоянием.
Примечание. Это видео превосходит базовые ожидания в отношении математических понятий в этом классе. Видео предназначено для учащихся, продемонстрировавших мастерство в рамках обучения, которые могут быть готовы к более строгому расширению математических концепций. Как и в случае со всеми другими материалами, убедитесь, что вы оцениваете готовность учащихся или адаптируете их в соответствии с потребностями учащихся перед администрированием.
Тип: Видео/Аудио/Анимация
Виртуальный манипулятор
Машина линейной функции:
В этом упражнении учащиеся подставляют значения в независимую переменную, чтобы увидеть, что выдает эта функция. Затем на основе этой информации они должны определить коэффициент (наклон) и константу (пересечение по оси y) для линейной функции. Это задание позволяет учащимся изучить линейные функции и выяснить, какие входные значения полезны при определении правила линейной функции. Это задание включает в себя дополнительные материалы, в том числе справочную информацию по затронутым темам, описание того, как использовать приложение, и исследовательские вопросы для использования с апплетом Java.
Тип: виртуальный манипулятор
Ресурсы для родителей
Проверенные ресурсы, которые опекуны могут использовать, чтобы помочь учащимся освоить концепции и навыки в этом эталонном тесте.
Задачи решения проблем
Улыбки:
В этом онлайн-задаче на решение задач учащиеся применяют алгебраические рассуждения, чтобы определить «стоимость» отдельных типов лиц из сумм хмурых, улыбчивых и нейтральных лиц.На этой странице представлены три иллюстрированные задачи, связанные с решением систем уравнений, а также советы по обдумыванию проблемы, решения и других подобных задач.
Тип: Задача решения проблем
Рыбацкие приключения 2:
Студентов просят написать и решить неравенство, чтобы определить количество людей, которые могут безопасно арендовать лодку.
Тип: Задача решения проблем
Комплект спортивного инвентаря:
Ученика просят написать и решить неравенство в соответствии с контекстом.
Тип: Задача решения проблем
Такси Готэм-сити:
Цель этого задания — дать учащимся возможность решить многошаговую задачу на соотношение, к которой можно подойти разными способами.Это можно сделать, составив таблицу, которая поможет проиллюстрировать структуру ставок такси для различных пройденных расстояний и с небольшим упорством приведет к решению, использующему арифметику. Также можно рассчитать удельную ставку (доллары за милю) и использовать ее для непосредственного определения расстояния без составления таблицы.
Тип: Задача решения проблем
Бревенчатая поездка:
Студентов просят решить неравенство, чтобы ответить на реальный вопрос.
Тип: Задача решения проблем
Руководство
Загрузка.