Онлайн урок метод сложения при решении систем уравнений.

Давай повторим определения, которые ты уже знаешь и которые мы будем использовать на нашем уроке.

 

 

 

 

 

 

Уравнение — это равенство, содержащее одну или несколько переменных, значения которых нужно найти.

 

 

 

 

 

 

Решить систему уравнений — это значит найти все ее решения или доказать что их нет.

 

 

 

 

 

 

Если одно уравнение системы оставить без изменения, а другое уравнение заменить равносильным уравнением, то полученная система будет равносильна заданной.

 

 

 

 

Теперь установи соответствие между картинками и определениями, которые мы только что повторили.

 

 

 

 

 

х = 2 — 5 = -3х = 2 · 5 = 10х = 2 : 5 = 0,4х = 2 : 5 = 0,2

 

 

 

 

 

x = 3 : 4 = 0,75x = 3yx = 3y : 4 = 0,75yx = 3y — 4

 

 

 

 

 

x = 4 : 16 = 0,25x = -4 : 16 = -0,25x = 2 : 4 = 0,5нет корней

 

 

 

 

 

x = k2x = 2 · kx = 2 + kx = 2y = 2k

 

 

 

 

 

 

 

x = y = 2x = 1, y = 2x = y = 1x = 2, y = 1

 

 

 

 

 

Прежде чем мы начнем основную часть урока, перечислю для тебя определения, с которыми мы познакомимся сегодня:

 

 

1. Решение систем уравнений.

2. Преобразование уравнений системы.

3. Метод сложения при решении систем уравнений.

Решение систем уравнений: способ сложения + примеры

 

Системой линейных уравнений с двумя неизвестными — это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:

{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2

Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 – некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Существует несколько способов решения системы линейных уравнений. Рассмотрим один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ сложения. 

Алгоритм решения способом сложения

Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными способом сложения.

1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях.

2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным

3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных.

4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную.

5. Сделать проверку решения.

Пример решения способом сложения

Для большей наглядности решим способом сложения следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:

{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;

Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной у. Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.

{3*x+2*y=10 |*3
{5*x + 3*y = 12 |*2

Получим следующую систему уравнений:

{9*x+6*y = 30;
{10*x+6*y=24;

Теперь из второго уравнения вычитаем первое. Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение.

10*x+6*y – (9*x+6*y) = 24-30; x=-6;

Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение.

{3*(-6) + 2*y =10;
{2*y=28; y =14;

Получилась пара чисел x=6 и y=14. Проводим проверку. Делаем подстановку.

{3*x + 2*y = 10;
{5*x + 3*y = 12;

{3*(-6) + 2*(14) = 10;
{5*(-6) + 3*(14) = 12;

{10 = 10;
{12=12;

Как видите, получились два верных равенства, следовательно, мы нашли верное решение.

Ответ: (6, 14)

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Решение систем уравнений: способ подстановки + примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРешение задач с помощью систем уравнений: общая схема решения

Все неприличные комментарии будут удаляться.

Как решать системы способом сложения 🚩 Высшее образование

Система линейных уравнений представляет собой объединение двух или более равенств, в каждом из которых имеется по два или более неизвестных. Существуют два основных способа решения систем линейных уравнений, которые используются в рамках школьной программы. Один из них носит название метода подстановки, другой — метода сложения.
При стандартном виде первое уравнение имеет вид a1*x+b1*y=с1, второе уравнение имеет вид a2*x+b2*y=c2 и так далее. Например, в случае с двумя частями системы в обоих приведенных уравнениях a1, a2, b1, b2, c1, c2 — некоторые числовые коэффициенты, представленные в конкретных уравнениях. В свою очередь, x и у представляют собой неизвестные, значения которых нужно определить. Искомые значения обращают оба уравнения одновременно в верные равенства.
Для того чтобы решить систему способом сложения, то есть найти те значения x и y, которые превратят их в верные равенства, необходимо предпринять несколько несложных шагов. Первый из них заключается в преобразовании любого из уравнений таким образом, чтобы числовые коэффициенты для переменной x или y в обоих уравнениях совпадали по модулю, но различались по знаку.

Например, пусть задана система, состоящая из двух уравнений. Первое из них имеет вид 2x+4y=8, второе имеет вид 6x+2y=6. Одним из вариантов выполнения поставленной задачи является домножение второго уравнения на коэффициент -2, которое приведет его к виду -12x-4y=-12. Верный выбор коэффициента является одной из ключевых задач в процессе решения системы способом сложения, поскольку он определяет весь дальнейший ход процедуры нахождения неизвестных.

Теперь необходимо осуществить сложение двух уравнений системы. Очевидно, взаимное уничтожение переменных с равными по значению, но противоположными по знаку коэффициентами приведет его к виду -10x=-4. После этого необходимо решить это простое уравнение, из которого однозначно следует, что x=0,4.

Последним шагом в процессе решения является подстановка найденного значения одной из переменных в любое из первоначальных равенств, имеющихся в системе. Например, подставляя x=0,4 в первое уравнение, можно получить выражение 2*0,4+4y=8, откуда y=1,8. Таким образом, x=0,4 и y=1,8 являются корнями приведенной в примере системы.

Для того чтобы убедиться, что корни были найдены верно, полезно произвести проверку, подставив найденные значения во второе уравнение системы. Например, в данном случае получается равенство вида 0,4*6+1,8*2=6, которое является верным.

Конспект урока алгебры «Решение систем уравнений способом сложения»

Конспект урока по теме:

«Решение систем линейных уравнений. Способ сложения»

(7 класс)

Тема урока: Решение систем линейных уравнений. Способ сложения

Тип урока: закрепление знаний и способов действий.

Цели:

1) Образовательные: актуализировать опорные знания и способы действий при решении систем уравнений, добиваться осмысленного применения способа сложения при выполнении упражнений по образцу и в измененной ситуации;

2) Развивающие: развивать логическое мышление учащихся, вырабатывать умение сравнивать, делать выводы, делать самопроверку;

3) Воспитательные: воспитание познавательной активности, чувства ответственности, внимательности, уверенности в себе, самостоятельности в работе.

Основные методы: устный опрос, беседа, письменные упражнения, самостоятельная работа

Структура урока:

1. Организационный момент – 1 мин.

2. Проверка домашнего задания и актуализация знаний для работы на основном этапе – 10 мин.

3. Основной этап – 30 мин.

4. Подведение итогов урока – 3 мин.

5. Информация о домашнем задании 1 -мин.

Урок – 45 мин.

Ход урока

1. Организационный момент

Здравствуйте, ребята. Прошу садиться.

2. Проверка домашнего задания и актуализация опорных знаний

На прошлом уроке мы с вами познакомились еще с одним способом решения систем линейных уравнений – способом сложения. Сегодня на уроке мы будем применять полученные знания к решению более сложных систем линейных уравнений с двумя переменными. Прежде всего, давайте с вами вспомним все то, что изучили ранее. Просьба, при ответе поднимать руку. (Задаю вопросы по изученной теме, дети на них отвечают).

• Что называется решением системы уравнений с двумя переменными? (Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство).

• Что значит решить систему уравнений? (Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что решений нет).

• Давайте теперь вспомним некоторые знания. (Записи на доске, решаем устно.)

• Назовите три решения уравнения:

• а) у = 2х+5; б) ху = 6

• Проходит ли через точку М (1;3)

• График уравнения: а) у = 3х б) 5х — 2у = -1; в) 0 * х + 4у = 13?

• Пара чисел является решением уравнения х – 3у +7. Найдите неизвестное число в паре: (…,6), (0;…), (-5;…), (…,0).

• Сколько способов решения систем линейных уравнений вы знаете? (Три).

• Назовите, пожалуйста, эти способы. (Графический, способ подстановки и способ сложения).

• В чем состоит способ сложения решения систем линейных уравнений с двумя переменными?

(При решении систем способом сложения поступаем следующим образом:

1) умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) складываем почленно левые и правые части уравнений системы;

3) решаем получившееся уравнение с одной переменной;

4) находим соответствующее значение второй переменной).

• Если коэффициенты при одной из переменных являются противоположными числами, то с чего вы начинаете решение системы линейных уравнений? ( Если коэффициенты при одной из переменных являются противоположными числами, то решение сразу начинается с почленного сложения уравнений)

• Всегда ли способ сложения является лучшим способом решения систем уравнений? Всегда ли нужно его применять или можно воспользоваться другим способом решения систем уравнений?

(Способ сложения является лучшим способом решения систем уравнений, но не всегда. Если в одном из уравнений системы очень легко выразить одну из переменных, то лучше воспользоваться способом подстановки)

Хорошо. Молодцы! Теперь я вам предлагаю быстро в тетради самостоятельно решить систему уравнений способом сложения и ответ сказать вслух. У кого не возникло трудностей при выполнении домашнего задания, то вы решаете №636 (2-4), а все остальные решают №635(2-3)

Метод: опрос, самостоятельная работа.

3. Основной этап урока

Последовательно по два человека у доски решают следующие номера.

№ 637 (1,2 )

а) 40 x + 3 y = 10, б ) 5 x — 2 y = 1,

20 x — 7 y = 5. 15 x — 3 y = -3.

Решение: Решение:

40 x + 3 y = 10, 5 x — 2 y = 1, | (-3)

20 x — 7 y = 5, | (-2) 15 x — 3 y = -3,

40 x + 3 y = 10, -15 x + 6 y = -3,

-40 x + 14 y = -10, 15 x — 3 y = -3,

17 y = 0, 3 y = -6,

y = 0, y = -2,

y = 0, y = -2,

40 x + 3 y = 10, 5 x — 2 y = 1,

40 x + 3*0 = 10, 5 x + 4 = 1,

x = 1/4. x = -3/5.

Ответ: (1/4;0). Ответ: (-3/5;-2).

№638 (3,4)

в) 10 x = 4.6 + 3 y, г) -3 b + 10 a -0.1 = 0,

4 y + 3.2 = 6 x, 15 a + 4 b — 2.7 = 0,

Решение: Решение:

10 x = 4.6 + 3 y, -3 b + 10 a -0.1 = 0,

4 y + 3.2 = 6 x, 15 a + 4 b — 2.7 = 0,

10 x — 3 y = 4.6, | (4) 10 a — 3 b = 0.1, | (4)

-6 x + 4 y = -3.2, | (3) 15 a + 4 b = 2.7, | (3)

40 x — 12 y = 18.4, 40 a — 12 b = 0.4,

-18 x + 12 y = -9.6, 45 a + 12 b = 8.1,

22 x = 8.8, 85 a = 8.5,

-6 x + 4 y = -3.2, 15 a + 4 b = 2.7,

x =0.4, a = 0.1,

-2.4 + 4 y = -3.2, 1.5 + 4 b = 2.7,

4 y = -0.8, 4 b = 1.2,

y = -0.2. b = 0.3.

Ответ: (0.4;-0.2). Ответ: (0.1;0.3).

Следующий номер решает один ученик у доски.

Составьте уравнение вида y = kx + b, график которого проходит через точки А (8;-1) и В (-4;17).

Решение:

Нам дано линейное уравнение, графиком которого является прямая. Если график проходит через данные точки А и В, то координаты этих точек – это значения переменных x и y. Подставляя координаты вместо переменных в уравнение, получаем систему уравнений, из которой мы находим неизвестные коэффициенты k и b:

-1 = 8 k + b,

17 = -4 k + b,

Перепишем систему в правильной форме.

8 k + b = -1,

-4 k + b = 17, | (2)

8 k + b = -1,

-8 k + 2 b = 34,

3 b = 33,

8 k + b = -1,

b = 11,

8 k + 11 = -1,

8 k = -12,

k = -3/2,

k = -1.5,

Таким образом, уравнение имеет вид: y = -1.5 x + 11.

Ответ: y = -1.5 x + 11.

4.Итог урока

Анализ проделанной работы, выставление оценок.

-Закончите предложение:

• Сегодня на уроке мне понравилось…….

• Сегодня на уроке я узнал………

• Сегодня на уроке я научился……..

— Какие виды работы мы использовали?

— Как вы оцените работу ребят, подготовивших дома презентации?

• Повторение алгоритма решения линейных уравнений способом сложения.

Выставление оценок.

5.Домашнее задание

№ 637 (3,4), №638(1,2)