Как решить уравнение с помощью графика: Использование графиков функций при решении уравнений, неравенств, систем. – Графическое решение уравнений — урок. Алгебра, 7 класс. — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 10.05.202007.02.2020 by alexxlab

Содержание

Презентация по математике на тему «Графическое решение уравнений» (7 класс)

Цели: обучить новому способу решения уравнений, развивать умения анализировать, умения строить графики линейной и квадратичной функций, находить координаты их общих точек; формировать аккуратность, внимательность, интерес, культуру математической речи.

ХОД УРОКА

Организационный момент

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: «Учиться можно только с интересом. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом!». Давайте будем следовать совету писателя: будем активны, внимательны, будем поглощать знания с большим желанием. В листе оценивания вы будете выставлять баллы, полученные вами за каждый этап урока. Открываем тетради и записываем число, классная работа. Тему урока сформулируем немного попозже.

2. Актуализация знаний и умений учащихся

На прошлых уроках мы говорили о функции у=х² и ее графике. Давайте вспомним основные определения и понятия темы, разгадывая кроссворд. (слайд 2)

у = кх + в, у = кх, у = х² – всё это — функции.
График линейной функции – прямая. Сколько точек нужно для построения?
График квадратичной функции – парабола? Как построить?
Точка (0,0) – для параболы – вершина.
Вторая координата точки – ордината.
В записи у = кх + в х – это аргумент.
х+5=0, х= -5, что такое -5? — корень.
Первая координата точки – абсцисса.
Парабола состоит из двух частей, каждая из которых называется – ветвь.

Прочитайте главное слово в кроссворде. Что оно означает? Уравнение – равенство, содержащее неизвестную.

Но можно ли связать два математических понятия – функция у=х² (с которой мы познакомились) и уравнение? Давайте разбираться. Но для начала предлагаю вам решить самостоятельно несколько уравнений. На эту работу даю вам 7 мин.

3. Подготовка к восприятию нового способа действия (слайд 3)

Решите уравнение.

3х =
х = 0

2) 3х² + 6х = 0
3х(х + 2) = 0
0 или х + 2 = 0
х = -2

3) х² – 49 = 0 4^*) х² = х + 2
(х – 7)(х + 7) = 0 х² — х – 2=0
х = 7 или х = – 7 х² + х — 2х – 2=0

х(х+1)-2(х+1)=0

(х+1)(х-2)=0

х= -1 или х= 2

(слайд 4)

Последнее уравнение мы решали способом группировки, такой способ как видно сложен для восприятия, да к тому же не всегда подходит. Как быть? А может, попробуем угадать корни?

Рассмотрим внимательно левую и правую части уравнения. Что напоминает? Функции квадратичную и линейную. Но, между ними знак равенства. y = x² и y = x + 2. Что одинаково в этих записях? Правые части равны, значит равны и левые. У графиков этих функции есть одинаковые значения y. Как их найти? Построимь оба графика в одной системе координат. Как мы видим прямая пересекает параболу в 2-х точках. (слайд 5)

Сколько таких точек? Назовите их координаты ((–1; 1),(2; 4)) Но каждая точка – (x; у), а в уравнении только – х. Значит в ответе – х. Это абсциссы точек, в которых пересекаются построенные графики. Ответ: х=–1; х=2

Нашей задачей было выяснить, как связаны понятия – функция у=х² и уравнение. Решили уравнение с помощью графиков функций. Таким образом, мы с вами решили уравнение графическим способом. Поэтому темой сегодняшнего урока будет «Графическое решение уравнений». (слайд 6) Какое умение вы будете показывать сегодня? Как бы вы озвучили цель нашего урока? Цель: уметь решать уравнения графическим способом. (слайд 7)

Назовем все этапы алгоритма решения уравнения графическим способом. (слайд 8)

Уравнение разбиваем на 2 функции: y = х²(или y = -х²) и y = kx + b.
Строим графики функций в одной системе координат.
Отмечаем все точки пересечения графиков функций.
Находим абсциссы точек пересечения (это и есть корни уравнения). (слайд 9)

Первичное осмысление материала. (слайд 10)

Вчера на уроке мы с вами говорили о взаимном расположении прямой и параболы.

Каким может быть взаимное расположение прямой и параболы?

Пересекаются в двух точках
Не пересекаются

Касаются в одной точке

А что это нам дает при решении уравнений?

Уравнение имеет 2 корня
Уравнение корней не имеет
Уравнение имеет 1 корень

4. Закрепление материала. Самостоятельная работа с самопроверкой. (10 мин)

x²=2x-1 Ответ: х=1
x²=2x-3 Ответ: корней нет
-x²=-x-2 Ответ: х=-1, х=2

8^*) x²+x-6=0 Ответ: х=-3, х=2

5. Итоги урока (слайд 16) Урок подходит к концу, давайте подведём итоги. Какую цель мы ставили на уроке? Справились мы с поставленными задачами? Какими умениями вы оперировали? (умения анализировать, умения строить графики линейной и квадратичной функций, находить координаты их общих точек; быть внимательным и аккуратным, культуру математической речи) На следующем уроке мы продолжим отработку этих умений.

– Какие 2 математических понятия мы связали и для чего? (Функции и уравнения, чтобы решить уравнения)

– Как решить уравнение графическим способом?
– Этот способ будем применять в старших классах по мере изучения новых функций.
– Сложно ли решать уравнение?

«Надо же как все просто…Как научиться ходить. Потом ты начинаешь удивляться, что в этом было такого сложного».

Р.Бах «Иллюзии»

Что получилось, а над чем Вам придется поработать? Показал/ не показал умение

А теперь продолжите предложение:

Сегодня на уроке я научился…

Сегодня на уроке мне понравилось…

Сегодня на уроке я повторил…

Сегодня на уроке я закрепил…

Сегодня на уроке я поставил себе оценку …

Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…

В каких знаниях уверен…

Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету…

Кому, над, чем следовало бы ещё поработать…

Насколько результативным был урок сегодня…

Оценочные листы сдайте. Спасибо за урок!

Итого

баллов

Кроссворд

9 + 13х = 35 + 26х

3х² + 6х = 0

х² – 49 = 0

х² = х + 2

x²=2x-1

x²=2x-3

-x² = -x — 2

x²+x-6=0

Всего баллов

Оценка

Самооценка

Оценочный лист

Ф. И._____________________________________

Оценки выставляются по следующим критериям:

3-6 баллов – оценка “3”; 7-11 баллов – оценка “4”; 12-19 баллов – оценка “5”;

Алгоритм решения уравнения графическим способом.

Уравнение разбиваем на 2 функции: y = х²(или y = -х²) и y = kx + b.
Строим графики функций в одной системе координат.
Отмечаем все точки пересечения графиков функций.
Находим абсциссы точек пересечения (это и есть корни уравнения).

А теперь продолжите предложение:

Сегодня на уроке я научился…

Сегодня на уроке мне понравилось…

Сегодня на уроке я повторил…

Сегодня на уроке я закрепил…

Сегодня на уроке я поставил себе оценку …

Какие виды работ вызвали затруднения и требуют повторения…

В каких знаниях уверен…

Помог ли урок продвинуться в знаниях, умениях, навыках по предмету…

Кому, над, чем следовало бы ещё поработать…

Насколько результативным был урок сегодня…

Конспект урока по математике на тему «Графическое решение уравнений»

Графическое решение уравнений вида
у = х² и у = х³

Цели: формировать понятие графического решения уравнения как нахождения абсциссы точек пересечения графиков двух функций; формировать умение решать графически уравнения вида у = х² и у = х³.

Ход урока

I. Устная работа.

1. Заданы функции:

1) у = 2х; 4) у = 3

х + 2; 7) у =

;

2) у = х; 5) у = –3х + 2; 8) у = х²;

3) у = –3х; 6) у = –3х – 2; 9) у = х³.

На рисунках а) – и) изображены графики этих функций. Заполните таблицу соответствия:

Формула	1	2	3	4	5	6	7	8	9
График

a) б) в)

г) д) е)

ж) з) и)

2. Как называется функция вида y = kx?

3. Как называется функция вида y = kx + b?

4. Как называется график функции y = x²?

5. Как называется график функции вида y = x³?

II. Актуализация знаний.

Решить уравнение.

а) x² = 16; б) x³ = 8; в) x² = ;

г) x³ = ; д) x² = 0; е) x² = –4.

III. Объяснение нового материала.

Необходимо разъяснить принцип графического решения уравнения.

Рассматриваем примеры 1, 2 со с. 109 учебника. Показываем, что равенство (аналитическое) x² = x + 1 можно понимать как равенство значений двух функций y = x² и y = x + 1. Графически, если графики этих функций пересекаются, то точка пересечения показывает значение х (абсцисса), при котором значения функций (ордината) равны.

Отсюда учащиеся могут сами вывести и сформулировать алгоритм графического решения уравнения:

1-й шаг. Преобразовать уравнение к равенству двух функций известного вида (y = kx; y = kx + b; y = x²; y = x³).

2-й шаг. В одной системе координат построить графики этих функций.

3-й шаг. Определить наличие или отсутствие точки (точек) пересечения.

4-й шаг. Если точки пересечения есть, то найти по графику их абсциссы, которые и будут являться решениями уравнения. Если точек пересечения нет, то, значит, уравнение не имеет решений.

Подчеркиваем учащимся, что решение, полученное графически, может быть как точным, так и приближенным.

Проверить полученное значение можно, подставив в уравнение.

IV. Формирование умений и навыков.

1. № 493 (устно).

2. Решите графически уравнение.

а) x² = 2x; б) x² = x; в) x² = –2x.

3. № 566.

В следующем упражнении от учащихся требуется сначала преобразовать уравнение к «удобному» виду, а затем решить его графически.

4. № 494.

Решение:

б) x² + 2x – 3 = 0;

x² = –2x + 3.

Построим графики функций y = x² и y = –2x + 3.

Ответ: х = –3; х = 1.

5. № 495 (устно).

6. № 496.

V. Итоги урока.

– В каком случае уравнение можно решить графически?

– Назовите алгоритм решения уравнения графическим способом.

– В каком случае уравнение не имеет корней?

– Как можно проверить точность корней уравнения, найденных графическим способом?

Домашнее задание:

1. Решите графически уравнение.

а) х = 3х; б) 2x = x + 2; в) 3x = 3x + 4.

2. Решите графически уравнение.

а) x² = 9; б) x² = ; в) x² = –3; г) x³ = 8.

3. Решите уравнение графически.

а) x² = 6 – x; б) x² + 4x = –3; в) x² – 4x = 0; г) x³ + 2 = 3x.

Графический способ решения уравнений.

Графический способ решения уравнений.

Характеристики урока (занятие)

Уровень образования: основное общее образование

Целевая аудитория: учащиеся

Класс: 8 класс

Предмет: алгебра

Используемое оборудование: проектор, компьютер, учебник «Алгебра» 8 класс «Просвещение» авторы Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, под редакцией С.А.Теляковского.

Цели урока:

Образовательные: познакомить учащихся с графическим способом решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, виды графиков и свойства функций у =, у = х², закрепить навыки построения графиков функций.
Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.
Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютеры, карточки с дифференцированными заданиями, сигнальные карточки.
Тип урока: урок формирования знаний.
Вид урока: урок – практикум.
Методы урока: словесные, наглядные, практические.
Организационные формы общения: индивидуальная, парная, коллективная.
Презентация к уроку.

Структура урока:

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.
2. Актуализация опорных знаний – устная работа, с помощью которой ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.
3. Изучение нового материала – рассматривается ещё один способ решения квадратных уравнений – графический.
4. Закрепление изученного материала.
5. Практическая работа с использованием компьютеров.
6. Обогащение знаний – знакомство с траекториями движения космических аппаратов
7. Подведение итогов урока.
8. Творческое домашнее задание.
9. Рефлексия.

Ход урока

I. Мотивационная беседа.

Учитель: Как вы думаете, зачем надо изучать математику?

Ответ на этот вопрос вы найдёте, если узнаете, что означает в переводе с греческого слово “математика”. “Математика” – знание, наука. Именно поэтому, если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои знания по математике. Итак, запишите в тетрадь число и тему урока.

Цель урока: познакомить вас еще с одним способом решения квадратных уравнений – графическим, закрепить этот способ решения практической работой с использованием компьютеров.

II. Актуализация опорных знаний. (Устная работа.)

1. Линию, являющуюся графиком функции у = х², называют…

? ) – синусоидой; : ) – гиперболой; …) – параболой.

2. Составьте слово, назвав подряд буквы, соответствующие правильному ответу. Является ли функция у = х²возрастающей на отрезке [a; в], если:

е) а = – 3; в = 3;
к) а = 1; в = 4;
д) а = – 2; в = – 1;
а) а = 0; в = 0,5;
к) а = 9; в = 10;
б) а = –9; в = 10;

3. Назовите буквы, соответствующие точкам, принадлежащим графику функции у = х²

М(3; 9), Ж(5; 5), С(-100; -100), Н(-2; 4), О₁(-1; 1), Г(0; 0), В(-7; 7), А(2; 8), О₂(2; 4).

4. Графиком функции у = является …

а) прямая; б) отрезок; в) гипербола; г) ветвь параболы.

5. Назовите буквы, которые соответствуют правильному ответу.

а) Какие из данных уравнений являются квадратными?

в) 5х + 1 = 0.
к) х³ – 2х² + 1 = 0.
н) 5 – 8х = 0.
э) 2х² – 9х + 5 = 0.
з) 2х – = 0.
м) х² + 3х + 2 = 0.
т) 3х² – 5х – 8 = 0.
о) х² + 5х – 6 = 0.

б) Какие из данных квадратных уравнений являются приведенными?

к) 2х² – 9х + 5 = 0.
в) х² – 4х² + 3 = 0.
о) 3х²+ 5х + 2 = 0.
л) 3х² – 4х – 7 = 0.
ф) 3х²– 2х – 5 = 0.
к) х²+ 6х + 8 = 0.
з) х² – 14х + 49 = 0.
у) х²– 10х + 25 = 0.
е) х²+ 11х – 12 = 0.

III. Изучение нового материала.

Решим уравнение: х² + 2х – 3 = 0.
Какое это уравнение?
Как это уравнение можно решить?
Ответ: С помощью формул, с помощью теоремы Виета.

Можно его решить устно?
Ответ: Можно, по теореме Виета.

Какие же корни?
Ответ: –3 и 1.

Я сегодня покажу ещё один способ решения – графический. Представим данное уравнение в следующем виде: х²= – 2х + 3.

Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение х, при котором левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции у₁, равной левой части уравнения и у₂, равной правой части уравнения. Теперь нужно найти такое значение х, при котором у₁= у₂, т. е. общую точку, принадлежащую графику функции у₁и графику функции у₂. Эта точка будет являться точкой пересечения графиков функций у₁= х² и у₂= –2х + 3. Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения.

В координатной плоскости построим графики функций у₁ = х² и у₂ = –2х + 3.

Для этого составим таблицы их значений.

у₁ = х² – парабола

х	0	±1	±2	±3
у	0	1	4	9

[–3; 3]

у₂ = –2х + 3 – прямая

х = –3, х = 1.

А(–3;9) и В(1;1) –точки пересечения. Абсциссы этих точек равны –3 и 1.

Значит х = –3 и х = 1 – решение уравнения х² + 2х – 3 =0

Ответ:

так) х = – 1 и х = 3
для) х = – 3 и х = 1
вот) х = – 5 и х = 0

Рассмотрим алгоритм решения.

Алгоритм решения:

1. дано уравнение х² + 2х – 3 = 0.
2. представим уравнение в следующем виде х² = – 2х + 3.
3. в одной системе координат строятся графики функций

у₁ = х² и у₂ = – 2х + 3.

4. абсциссы точек пересечения являются решением данного уравнения

IV. Закрепление изученного материала.

1). Решить уравнение х² – х – 2 = 0. x [-5; 5] с шагом 0,5 в программе MS Excel (Приложение 2, задание 2)

у₁ = х², у₂ = х + 2

(Решение см. Слайд 24)

Ответ:

души) х = –2 и х = 1
школы) х = 3 и х = 1
сердца) х = 2 и х = – 1.

2). Решить самостоятельно.

а). х² – 2х – 8 = 0 x [–5; 5] с шагом 0,5

а) один ученик решает аналитически, с помощью теоремы Виета.
б) другой ученик решает графически в тетради.
в) класс решает в программе MS Excel. (Решение см. Приложение 3)

Ответ:

широкого) х = 5 и х = 1;
русского) х = 4 и х = – 2;
красного) х = 3 и х = – 1.

IX.р

б). 2х² + х – 3 = 0 x [–4; 4] с шагом 0,5

а) один ученик решает графически в тетради.
б) другой ученик решает аналитически по формуле для решения квадратных уравнений.
в) класс решает в программе MS Excel. (Решение см. Приложение 4)

Ответ:

слилось) х = 1 и х = –1,5;
расцвело) х = 3 и х = –2;
приснилось) х = –1 и х = 2.

Физкультминутка.

Отвели свой взгляд направо,
Отвели свой взгляд налево,
Оглядели потолок,
Посмотрели все вперёд.
Раз – согнуться – разогнуться,
Два ─ согнуться – потянутся,
Три – в ладоши три хлопка,
Головою три кивка.
Пять и шесть тихо сесть.

V. Практическая работа.

(Класс разбивается на 2 группы.)

Каждая группа учащихся получает дифференцированные задания на карточках. (Приложение 5)

С помощью графиков нескольких функций, построенных на заданных промежутках в программе MS Excel получаются буквы: М; О; С; К; В; А.(Приложение 6 лист1–7) и фигуры: КИТ; ЗОНТИК; ОЧКИ. (Приложение 7лист1–3).

Учитель: Какие буквы у вас получились?

Ответы учащихся: М О С К В А

Учитель: Получилась фраза А.С. Пушкина из романа “Евгений Онегин” “Москва… как много в этом звуке для сердца русского слилось”.

(

Как часто в горестной разлуке,
В моей блуждающей судьбе,
Москва, я думал о тебе!
Москва … как много в этом звуке
Для сердца русского слилось!
Как много в нём отозвалось.)

Учитель: Что это за город Москва?
Это сердце нашей Родины, столица нашего государства.

VI. Обогащение знаний.

(Высвечивается слайд, на котором находится парабола и гипербола.)

Мы сегодня на уроке применяли эти два графика: параболу и гиперболу.

Я хочу вам сказать ребята, что окружающий нас мир тесно связан с математикой. Валерий Чкалов говорил: “Полёт–это математика”. Оказывается, траектории движения космических аппаратов описываются параболой, гиперболой, эллипсом. При первой космической скорости (7,91 км/с) космический аппарат движется по эллипсу относительно Земли. (на рис. орбита 3) При второй космической скорости (11,2 км/с) аппарат движется по параболе (на рис. орбита 4) и движется в пределах Солнечной системы. При третьей космической скорости (16,6 км/с) космические аппараты движутся по гиперболе (на рис. орбита5) и навсегда покидают пределы Солнечной системы. В 70-х годах ХХ века были запущены такие космические аппараты “Пионер-10”, “Пионер-11”,которые навсегда покинули Солнечную систему в поисках разумных цивилизаций во Вселенной. Они несут в себе платиновые пластинки, на которых нанесены силуэты мужчины и женщины на фоне космического корабля, Солнечная система и траектория “Пионера”, схема атома водорода и положение Солнца по отношению к наиболее ярким галактическим пульсарам.

VII. Подведение итогов урока.

Вы замечательно поработали на уроке. Проверив ваши работы и учитывая ваши ответы за устную работу, я поставила вам оценки в индивидуальную таблицу.

Каждый ученик класса принимал участие в уроке. Во время урока заполняется индивидуальная таблица, в которой виден результат его работы на уроке.

Ф.И	Устная работа	Практическая работа	Общая оценка

Надеюсь, этот материал вы не забудете. Помните слова французского инженера-физика Лауэ: “Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто”. Думаю, что образование, которое вы получите, будет соответствовать времени, в котором мы живем. А чтобы это случилось на самом деле, предлагаю вам выполнить следующую творческую домашнюю работу.

VIII. Домашнее задание.

Творческое задание: сочинить сказку, рассказ или подготовить презентацию на тему “Замечательные кривые” (Презентация 2.ppt)

IX. Рефлексия.

В конце урока проводится беседа, в которой выясняется:

– Что нового узнали на уроке?
– Понравился ли урок? (С помощью сигнальных карточек.)
– Что понравилось на уроке?

Графическое решение уравнений средствами Microsoft Excel

Применение табличного процессора Microsoft Excel для графического решения уравнений n-ой степени

Из курса математики известно, что корнями уравнения являются значения точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Если же мы решаем систему уравнений, то ее решениями будут координаты точек пересечения графиков функций. Этот метод нахождения корней уравнения называется графическим. Мы уже знаем, что с помощью EXCEL можно строить практически любые графики. Воспользуемся этими знаниями для нахождения корней системы уравнений:

Преобразуем данную систему в приведенную:

Для оценки решений воспользуемся диаграммой, на которой отобразим графики обеих функций. Сначала построим таблицу:

Первая строка – строка заголовков.

При заполнении столбца А: в ячейку А2 заносится начальное значение аргумента Х = – 10, для автоматического заполнения всего столбца в ячейку А3 занести формулу “= А2 + 1” и скопировать ее до ячейки А22.

При заполнении столбца В: в ячейку В2 заносится формула “= А2 * А2”, которая затем копируется до ячейки В22.

При заполнении столбца С: в ячейку С2 заносится формула “ = 2 * А2 + 9”, и также копируется до С22

Рисунок 1

С помощью Мастера диаграмм построим в одной координатной плоскости графики заданных функций для первоначальной оценки решений/

Рисунок 2

На диаграмме видно, что оба графика имеют точки пересечения – координаты этих точек и есть решения системы. Так как шаг изменения аргумента достаточно велик, то мы получим приближенные значения решений.

Рисунок 3

Уточним их, построив два графика в интервалах от – 3 до 0, где находится первое решение, и от 3 до 5, где находится второе решение. Составим новые таблицы. Для первого решения – рисунок 4, для второго – рисунок 5.

Рисунок 4

Рисунок 5

Для более точного построения мы уменьшили шаг изменения аргумента. Решением нашей системы будут координаты точек пересечения графиков: Х₁ = – 2,2; Y₁ = 4,6; Х₂ = 4,2; Y₂ = 17,4. Как вы уже поняли, графическое решение системы дает приблизительные результаты.
Это можно сделать, построив график и определив координаты точек его пересечения с осью OX, либо построив два графика: Y = X3;
Y = 2X2 + 4X – 12 и определив точки их пересечения.

Рисунок 6

План-конспект урока «Графический способ решения уравнений»

План–конспект урока по алгебре в 8 классе

«Решение квадратных уравнений графическим способом»

Учитель высшей квалификационной категории

Гуляева Ульяна Ивановна

«Математика – это язык, на котором

говорят все точные науки»

Н. И. Лобачевский.

«Решение квадратных уравнений графическим способом»

Учитель высшей квалификационной категории

Гуляева Ульяна Ивановна

«Математика – это язык, на котором

говорят все точные науки»

Н. И. Лобачевский.

Тема: «Решение квадратных уравнений графическим способом»

Цели урока:

1. Образовательные: познакомить учащихся с графическим способом решения квадратных уравнений, повторить ранее изученные методы решения квадратных уравнений, виды графиков и свойства функций у = , у = х², закрепить навыки построения графиков функций.

2. Развивающие: развивать навыки творческой, познавательной, мыслительной деятельности, логическое мышление, вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

3. Воспитательные: воспитывать сознательное отношение к учебному труду, развивать интерес к математике, самостоятельность, прививать аккуратность и трудолюбие.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютеры, карточки с дифференцированными заданиями, сигнальные карточки.

Тип урока: урок формирования знаний.

Вид урока: урок – практикум.

Методы урока: словесные, наглядные, практические.

Организационные формы общения: индивидуальная, парная, коллективная.

Структура урока:

1. Мотивационная беседа с последующей постановкой цели.

2. Актуализация опорных знаний – устная работа, с помощью которой ведётся повторение основных фактов, свойств на основе систематизации знаний.

3. Изучение нового материала – рассматривается ещё один способ решения квадратных уравнений – графический.

4. Закрепление изученного материала.

5. Практическая работа с использованием компьютеров.

6. Обогащение знаний – знакомство с траекториями движения космических аппаратов

7. Подведение итогов урока.

8. Творческое домашнее задание.

9. Рефлексия.

Ход урока.

I. Мотивационная беседа.

Учитель: Как вы думаете, зачем надо изучать математику?

Ответ на этот вопрос вы найдёте, если узнаете, что означает в переводе с греческого слово «математика». «Математика» — знание, наука. Именно поэтому, если человек был умен в математике, то это всегда означало высшую ступень учености. А умение правильно видеть и слышать – первый шаг к мудрости. Вот поэтому мне сегодня очень хочется, чтобы вы стали немного мудрее и расширили свои знания по математике.

Итак, запишите в тетрадь число и тему урока. Сегодня необычный день, 25 января – Татьянин день. Это день всех студентов, день молодости.

Цель урока — познакомить вас еще с одним способом решения квадратных уравнений – графическим, закрепить этот способ решения практической работой с использованием компьютеров.

У вас находятся одинаковые трафареты, состоящие из 10 комбинаций, которые обозначены римскими цифрами.

I II III IV V

VI VII VIII

IX X

В каждую клетку нужно вписать букву или знак препинания. Тогда сложится фраза. Но на трафарете нет места для самого первого слова зашифрованной фразы. Это слово мы получим, решив графические уравнения. У нас получится крылатое изречение из романа А. С. Пушкина «Евгений Онегин». Следует вам ответить на соответствующие тестовые задания I –X и вписать в трафарет знак или букву, которой обозначен верный ответ.

Тестовые задания.

II. Актуализация опорных знаний.

1. Линию, являющуюся графиком функции у = х², называют…

?) синусоидой; 🙂 гиперболой; …) параболой.

…

2. Составьте слово, назвав подряд буквы, соответствующие правильному ответу. Является ли функция у = х² возрастающей на отрезке [a; в], если:

е) а = — 3; в = 3;

к) а = 1; в = 4;

д) а = — 2; в = — 1;

а) а = 0; в = 0,5;

к) а = 9; в = 10;

б) а = — 9; в = 10;

3. Назовите буквы, соответствующие точкам, принадлежащим графику функции у = х² :

М(3; 9), Ж(5; 5), С(-100; -100), Н(-2; 4), О₁ (-1; 1),

Г(0; 0), В(-7; 7), А(2; 8), О₂(2; 4).

III

4. Графиком функции является …

а) прямая; б) отрезок; в) гипербола; г) ветвь параболы.

5. Назовите буквы, которые соответствуют правильному ответу.

а) Какие из данных уравнений являются квадратными?

в) 5х + 1 = 0. к) х³ – 2х² + 1 = 0. н) 5 – 8х = 0.

э) 2х² – 9х + 5 = 0. з) 2х ─ = 0. м) х² + 3х + 2 = 0.

т) 3х² – 5х – 8 = 0. о) х² + 5х – 6 = 0.

б) Какие из данных квадратных уравнений являются приведенными?

к) 2х² – 9х + 5 = 0. в) х² – 4х² + 3 = 0. о) 3х²+ 5х + 2 = 0.

л) 3х² – 4х – 7 = 0. ф) 3х²– 2х – 5 = 0. к) х²+ 6х + 8 = 0.

з) х² – 14х + 49 = 0. у) х²– 10х + 25 = 0. е) х²+ 11х – 12 = 0.

III. Изучение нового материала.

Решим уравнение: х² + 2х – 3 = 0.

Какое это уравнение?

Как это уравнение можно решить?

Ответ: С помощью формул, с помощью теоремы Виета.

Можно его решить устно?

Ответ: Можно, по теореме Виета.

Какие же корни?

Ответ: -3 и 1.

Я сегодня покажу ещё один способ решения – графический. Представим данное уравнение в следующем виде:

х² = ─ 2х + 3.

Чтобы решить данное уравнение, нужно найти такое значение х, при котором левая часть уравнения была бы равна правой. Введем две функции f(x), равной левой части уравнения и g(x), равной правой части уравнения. Теперь нужно найти такое значение х, при котором f(x)=g(x), т. е. общую точку, принадлежащую графику функции f(x) и графику функции g(x). Эта точка будет являться точкой пересечения графиков функций f(x)=х² и g(x)=-2х+3. Абсцисса точки пересечения будет являться решением исходного уравнения.

В координатной плоскости построим графики функций f(x) = х² и

g(x) = ─2х + 3.

Для этого составим таблицы их значений.

f(x) = х² ─ парабола

[-3; 3]

g(x) = ─2х + 3 ─ прямая

-3

х = -3, х = 1.

А(-3;9) и В(1;1)-точки пересечения. Абсциссы этих точек равны -3 и 1.

Значит х = -3 и х = 1 – решение уравнения х² + 2х – 3 =0

Ответ: так) х = ─ 1 и х = 3

для) х = ─ 3 и х = 1

вот) х = ─ 5 и х = 0

VII

Рассмотрим алгоритм решения.

Алгоритм решения:

1. дано уравнение х² + 2х – 3 = 0.

2. представим уравнение в следующем виде х² = ─ 2х + 3.

3. в одной системе координат строятся графики функций

у₁ = х² и у₂ = ─ 2х + 3.

4. абсциссы точек пересечения являются решением данного уравнения

IV. Закрепление изученного материала.

1). Решить уравнение х² – х – 2 = 0. x [-5; 5] с шагом 0,5

у₁ = х² у₂ = х + 2

Ответ: души) х = — 2 и х = 1

школы) х = 3 и х = 1

сердца) х = 2 и х = — 1.

VIII

2). Решить самостоятельно.

а) один ученик решает графически;

б) другой ученик решает аналитически с помощью теоремы Виета.

Ответ : широкого) х = 5 и х = 1;

русского) х = 4 и х = — 2;

красного) х = 3 и х = — 1.

а) один ученик решает графически;

б) другой ученик решает аналитически с помощью квадратных корней

Ответ: слилось) х = 1 и х = -1,5;

расцвело) х = 3 и х = — 2;

приснилось) х = -1 и х = 2.

Физминутка.

Отвели свой взгляд направо,

Отвели свой взгляд налево,

Оглядели потолок,

Посмотрели все вперёд.

Раз – согнуться – разогнуться,

Два ─ согнуться – потянутся,

Три – в ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

Пять и шесть тихо сесть.

V. Практическая работа.

Раздаются учащимся дифференцированные задания на карточках.

С помощью графиков нескольких функций, построенных на заданных промежутках, получаются буквы: М; О; С; К; В; А. и фигуры: КИТ; ЗОНТИК; ОЧКИ

Учитель: Какие буквы у вас получились?

Ответы учащихся: М О С К В А

Учитель: Получилась фраза А.С. Пушкина из романа «Евгений Онегин» «Москва… как много в этом звуке для сердца русского слилось».

(Как часто в горестной разлуке,

В моей блуждающей судьбе,

Москва, я думал о тебе!

Москва … как много в этом звуке

Для сердца русского слилось!

Как много в нём отозвалось.)

VI. Обогащение знаний.

Высвечивается слайд, на котором находится парабола и гипербола.

а) мы сегодня на уроке применяли эти два графика: параболу и гиперболу.

Я хочу вам сказать ребята, что окружающий нас мир тесно связан с математикой. Валерий Чкалов говорил: «Полёт–это математика». Оказывается, траектории движения космических аппаратов описываются параболой, гиперболой, эллипсом. При первой космической скорости (7,91 км/с) космический аппарат движется по эллипсу относительно Земли. (на рис. орбита 3) При второй космической скорости (11,2 км/с) аппарат движется по параболе (на рис. орбита4) и движется в пределах Солнечной системы. При третьей космической скорости (16,6 км/с) космические аппараты движутся по гиперболе (на рис. орбита5) и навсегда покидают пределы Солнечной системы. В 70-х годах ХХ века были запущены такие космические аппараты «Пионер-10», «Пионер-11»,которые навсегда покинули Солнечную систему в поисках разумных цивилизаций во Вселенной. Они несут в себе платиновые пластинки, на которых нанесены силуэты мужчины и женщины на фоне космического корабля, Солнечная система и траектория «Пионера», схема атома водорода и положение Солнца по отношению к наиболее ярким галактическим пульсарам.

б) графики помогают нам наглядно увидеть изменения различных величин: изменение роста, веса, температуры, скорости и т.д.

Вот посмотрите на эти графики, характеризующие ваш класс:

1. График успеваемости (Знание – сила. Кто много читает, тот много знает – пословица.

2. График роста, график веса учащихся 8-го класса.

Чтобы достичь нормального веса и роста подростку 15-ти лет нужно заниматься спортом, вести здоровый образ жизни, не увлекаться пагубными привычками: алкоголем, табакокурением, наркотиками. Никогда не забывать пословицу «В здоровом теле здоровый дух»

VII. Подведение итогов урока.

Ф.И

Устная работа

Практическая

работа

Общая

оценка

Надеюсь, этот материал вы не забудете. Помните слова французского инженера-физика Лауэ: «Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто». Думаю, что образование, которое вы получите, будет соответствовать времени, в котором мы живем. А чтобы это случилось на самом деле, предлагаю вам выполнить следующую творческую домашнюю работу.

VIII. Домашнее задание.

Творческое задание: составить рекламу параболе или гиперболе;

сочинить сказку или рассказ на тему «Замечательные

кривые».

IX. Рефлексия.

В конце урока проводится беседа, в которой выясняется:

— Что нового узнали на уроке?

— Понравился ли урок? (с помощью сигнальных карточек)

— Что понравилось на уроке?

— Что не понравилось?

— Что необходимо изменить, чтобы было еще интереснее?

Проект, презентация и брошюра тема»Функционально-графический способ решения параметрических уравнений»»

Областная бюджетная общеобразовательная школа-интернат

«Лицей-интернат пос. им. Маршала Жукова»

Функционально-графический
метод решения параметрических уравнений

Исследовательский проект по математике

Выполнил: Курдюмов Дмитрий

Руководитель: учитель математики

Курдюмова Елена

Валерьевна

Курск-2014

Содержание

Введение.
Теоретическая часть.
Практическая часть.
1. Линейное уравнение с модулем
2. Квадратные уравнения.
3. Квадратные уравнения с модулем.
4. Дробно-рациональные уравнения.
5. Иррациональные уравнения.
6. Тригонометрические уравнения.
7. Задачи с путеводителем.
8. Задачник.
Заключение.
Список используемой литературы.

1. Введение

Как известно, результаты ЕГЭ по математике ниже, чем по другим предметам. По данным министерства образования в 2014 году средний балл по русскому языку составил 62,5, средний балл по математике — 39,6, по физике — 45,7 , по английскому языку — 61,2, по химии — 55,6, по биологии — 54,3, по истории — 45,7, по информатике и ИКТ — 57,2, по обществознанию — 53,1, по географии — 53,1, по литературе — 54. На 100 баллов написали: русский язык – 0,31%, математика – 0,07%, физика — 0,23%, химия – 0,43%, информатика и ИКТ – 0,74%, биология – 0,29%, история – 0,30%, география – 0,93%, английский язык – 0,78%, обществознание — 0,10%, литература – 0,21%. Такой низкий результат обусловлен сложностью заданий второй части.

При подготовке к ЕГЭ по математике я столкнулся с проблемой: решение параметрических уравнений (задания С5). Провел опрос среди старшеклассников лицея о необходимости сдачи экзамена по математике профильного уровня: среди 43 опрошенных 31 требуются хорошие баллы при поступлении в вузы, что составляет 72%, и 90% из них не умеют решать параметрические уравнения. Почему?

Я обратился к педагогам нашего лицея и узнал, что в рамках школьной программы хорошо отрабатываются задания С1-С3 тестов ЕГЭ. Задание С4 тоже можно решить, опираясь на школьные знания, но на него требуется время. А вот задания С5 — вообще не знаешь с чего начать. Эту ситуацию мне пояснили так: по программе в каждом классе отводится очень мало времени на изучение заданий с параметрами.

8 класс – 1 час на решение квадратных уравнений с параметром,

9 класс – 1 час на решение систем уравнений с параметром,

10 класс – 2 часа на решение тригонометрических уравнений с параметром,

11 класс – 4 часа на решение различных уравнений с параметром.

Всего 8 часов!

Цель: научиться самому и помочь другим решать уравнения с параметрами.

Задачи: классифицировать параметрические задания С5 из тестов ЕГЭ по математике, изучить способы решения параметрических уравнений, выбрать наиболее удобный способ для решения параметрических заданий из тестов ЕГЭ, составить пособие по решению параметрических уравнений для старшеклассников, в которое включить разобранные примеры (образец), задания с подсказками и задания с ответами.

2. Теоретическая часть.

Толковый словарь определяет параметр как величину, характеризующую какое — нибудь основное свойство машины, устройства, системы или явления, процесса. (Ожегов С.И. , Шведова Н.Ю. Толковый словарь русского языка. Москва. 1999). Рассмотрение параметров — это всегда выбор. Покупая какую-то вещь, мы внимательно изучаем ее основные характеристики. Перед выбором мы стоим и в различных жизненных ситуациях.

Рассмотрим с точки зрения алгебры, как определяется параметр. Параметр (от греческого “parametron” – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.

Решить уравнение — значит: найти множество значений неизвестных, удовлетворяющих этому уравнению. Иногда уравнения, кроме букв, обозначающих неизвестное(X, Y,Z), содержат другие буквы, называемые параметрами(a, b, c). Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений.

Решение задач с параметрами можно считать деятельностью, близкой по своему значению к исследовательской. Это обусловлено тем, что выбор метода решения, процесс решения, запись ответа предполагают определённый уровень сформированности умений наблюдать, сравнивать, анализировать, выдвигать и проверять гипотезу, обобщать полученные результаты.

В отношении уравнений с параметром чаще всего встречаются две постановки задачи.

1) Для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

2) Найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным требованиям.

Основной принцип решения уравнений с параметром состоит в следующем: нужно разбить область допустимых значений параметра на такие участки, в каждом из которых уравнение решается одним и тем же способом. Отдельно для каждого такого участка находятся решения, зависящие от значений параметра. Ответ к уравнению состоит из списка участков изменения параметра с указанием для каждого из них всех решений этого уравнения.

Замечания.

1) Указанный подход к решению задач с параметром часто называется методом ветвления.

2) Для осуществления такого плана нужно знать “граничные” или “контрольные” значения параметра, которые разбивают ОДЗ на указанные участки. Поиск этих значений тесно связан со спецификой параметра и его двойственной природой (“число” – “неизвестная”).

Специфика уравнений с параметром состоит в том, что изменение значений параметра влечет за собой изменение не только коэффициентов, но и ряда других характеристик.

1) Степень уравнения (Например, уравнение 2ax 3x 6 0 при а = 0 является линейным, а при а 0 – квадратным).

2) Характер монотонности функции (Например, функция у  a^xпри a > 1 является возрастающей, а при 0 < a < 1 – убывающей).

3) ОДЗ переменной (Например, в неравенстве ax x 1 область допустимых значений переменной также зависит от а: при а = 0 ОДЗ: xR, при a > 0: ОДЗ: x 0, при a < 0 ОДЗ: x 0 ).

В тестах ЕГЭ по математике уравнения с параметрами можно разделить на три типа:

уравнения, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству;
уравнения, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра;
уравнения, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и их системы имеют заданное число решений.

Для решения уравнений с параметрами используют способы: аналитические и функционально-графические. Большинство уравнений с параметрами из тестов ЕГЭ по математике быстрее решать функционально-графическим способом.

Рассмотрим пример.

При каких значениях параметра a уравнение имеет три корня?

Решение (аналитический способ)

или

а) т.к. , то

б) т.к. , то

б)

– 1

– 0,5

0,5

Решение (функционально-графический способ):

;

$E:\Maison\Митя\Сочи\2014\Проект\график 1.png$

На графике видно

Ответ:

Убедившись в том, что графический способ короче, я собрал в сборник задания, решаемые этим способом.

3. Практическая часть.

Образцы выполнения заданий.

Линейное уравнение с модулем

При каких значениях параметра а уравнениеимеет единственное решение?

Решение:

;

$E:\Documentы\Леночка\Cочи\2014\Проект\график 6.png$

Ответ:

Квадратное уравнение

Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения ах²-(а+1)х+а+3=0 имеют разные знаки.

Решение:

Для того, чтобы парабола, являющаяся графиком функции у= ах²-(а+1)х+а+3, пересекала ось абсцисс в точках, между которыми располагается начало координат, необходимо и достаточно, чтобы квадратный трехчлен ах²-(а+1)х+а+3 принимал в точке х = 0 отрицательное или положительное значение, в зависимости от направления ветвей параболы. Графическая интерпретация данной задачи: