Смешанные числа
В предыдущих уроках было сказано, что дробь, состоящая из целой и дробной части, называется смешанной.
Все дроби, имеющие целую и дробную часть, носят одно общее название — смешанные числа.
Смешанные числа так же как и обыкновенные дроби можно складывать, вычитать, умножать и делить. В данном уроке мы рассмотрим каждое из этих действий по отдельности.
Сложение целого числа и правильной дробиВстречаются задачи, в которых требуется сложить целое число и правильную дробь. Например, сложить число 2 и дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 2 представить в виде дроби . Затем сложить дроби с разными знаменателями:
А теперь внимательно посмотрим на этот пример. Смотрим на его начало и на его конец. Начало у него выглядит так: , а конец так: . Различие в том, что в первом случае число 2 и дробь соединяются знаком сложения, а во втором случае они записаны вместе. На самом деле это одно и то же. Дело в том, что это свёрнутая форма записи смешанного числа, а — развёрнутая.
Когда перед нами смешанное число вида , мы должны понимать, что знак сложения опущен.
Какой можно сделать вывод? Если потребуется сложить целое число и правильную дробь, можно опустить плюс и записать целое число и дробь вместе.
Значит значение выражения равно
Если к двум целым пиццам прибавить половину пиццы, то получится две целые пиццы и ещё половина пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения
Представим число 3 в виде дроби . Затем сложим дроби с разными знаменателями:
Это первый способ. Второй способ намного проще. Можно поставить знак равенства и записать целую и дробную часть вместе. То есть опустить знак сложения:
Пример 3. Найти значение выражения
Можно записать вместе число 2 и дробь , но этот ответ не будет окончательным, поскольку в дроби можно выделить целую часть.
Поэтому в данном примере сначала нужно выделить целую часть в дроби . Пять вторых это две целых и одна вторая:
Теперь в главном выражении вместо дроби запишем смешанное число
Получили новое выражение . В этом выражении смешанное число запишем в развёрнутом виде:
Применим сочетательный закон сложения. Сложим две двойки, получим 4:
Теперь свернём полученное смешанное число:
Это окончательный ответ. Подробное решение этого примера можно записать следующим образом:
Сложение смешанных чисел
Встречаются задачи, в которых требуется сложить смешанные числа. Например, найти значение выражения . Чтобы решить этот пример, нужно целые и дробные части сложить по отдельности.
Для начала запишем смешанные числа в развёрнутом виде:
Применим сочетательный закон сложения. Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:
Вычислим целые части: 2 + 3 = 5. В главном выражении заменяем выражение в скобках (2 + 3) на полученную пятёрку:
Теперь вычислим дробные части. Это сложение дробей с разными знаменателями. Как складывать такие дроби мы уже знаем:
Получили . Теперь в главном выражении заменяем дробные части на полученную дробь
Теперь свернем полученное смешанное число:
Таким образом, значение выражения равно . Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым и половине пиццы прибавить три целые и одну восьмую пиццы, то получится пять целых пицц и ещё пять восьмых пиццы:
Подобные примеры нужно решать быстро, не останавливаясь на подробностях. Находясь в школе, нам пришлось бы записать решение этого примера следующим образом:
Если в будущем увидите такое короткое решение, не пугайтесь. Вы уже понимаете, что откуда взялось.
Пример 2. Найти значение выражения
Запишем смешанные числа в развёрнутом виде:
Сгруппируем целые и дробные части по отдельности:
Вычислим целые части: 5 + 3 = 8. В главном выражении заменяем выражение в скобках (5 + 3) на полученное число 8
Теперь вычислим дробные части:
Получили смешанное число . Теперь в главном выражении заменяем выражение в скобках на полученное смешанное число
Получили выражение . В данном случае число 8 надо прибавить к целой части смешанного числа . Для этого смешанное число можно временно развернуть, чтобы было понятнее, что с чем складывать:
Сложим целые части. Получаем 9
Сворачиваем готовый ответ:
Таким образом, значение выражения равно .
Полное решение этого примера выглядит следующим образом:
Для решения подобных примеров существует универсальное правило. Выглядит оно следующим образом:
Чтобы сложить смешанные числа, надо:
- привести дробные части этих чисел к общему знаменателю;
- отдельно выполнить сложение целых и дробных частей.
Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, выделить целую часть в этой дроби и прибавить ее к полученной целой части.
Применение готовых правил допустимо в том случае, если суть темы полностью понятна. Решение по-шаблону, поглядывая в другие подобные примеры, приводит к ошибкам на обнаружение которых уходит дополнительное время. Поэтому, сначала разумнее понять тему, а затем пользоваться готовым правилом.
Пример 3. Найти значение выражения
Воспользуемся готовым правилом. Приведём дробные части к общему знаменателю, затем по отдельности сложим целые и дробные части:
Сложение целого и смешанного числа
Встречаются задачи, в которых нужно сложить целое и смешанное число. Например, сложить 2 и смешанное число . В этом случае целые части складываются отдельно, а дробная часть остаётся без изменения:
Здесь смешанная дробь была развёрнута в ходе решения, затем целые части были сгруппированы и сложены. В конце целая и дробная части были свёрнуты. В результате получили ответ .
Попробуем изобразить это решение в виде рисунка. Если к двум целым пиццам прибавить три целые и треть пиццы, то получятся пять целых и треть пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения
В этом примере, как и в предыдущем, нужно сложить целые части:
Осталось свернуть целую и дробную части, но дело в том, что дробная часть представляет собой неправильную дробь. Сначала нужно выделить целую часть в этой неправильной дроби. Затем целую часть этой дроби прибавить к 4, а дробную часть оставить без изменения. Продолжим данный пример на новой строке:
Вычитание дроби из целого числа
Встречаются задачи, в которых требуется вычесть дробь из целого числа. Например, вычесть из числа 1 дробь . Чтобы решить такой пример, нужно целое число 1 представить в виде дроби , и выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:
Если имеется одна целая пицца и мы вычтем из неё половину пиццы, то у нас получится половина пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения .
Представим число 2 в виде дроби , и выполним вычитание дробей с разными знаменателями:
Если имеются две целые пиццы и мы вычтем из низ половину, то останется одна целая и половина пиццы:
Такие примеры можно решать в уме. Достаточно суметь воспроизвести их в своём воображении. К примеру, найдём значение выражения , не приводя на бумаге никаких вычислений.
Представим, что число 3 это три пиццы:
Нужно вычесть из них . Мы помним, что треть выглядит следующим образом:
Теперь представим, во что превратятся три пиццы, если отрезать от них эту треть
Получилось (две целых и две трети пиццы).
Чтобы убедиться в правильности решения, можно найти значение выражения обычным методом, представив число 3 в виде дроби, и выполнив вычитание дробей с разными знаменателями:
Пример 3. Найти значение выражения
Представим число 3 в виде дроби . Затем выполним вычитание дробей с разными знаменателями:
Вычитание смешанного числа из целого числа
Теперь мы готовы к тому, чтобы вычесть смешанное число из целого числа. Найдём значение выражения .
Чтобы решить этот пример, число 5 нужно представить в виде дроби, а смешанное число перевести в неправильную дробь. После перевода смешанного числа в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:
Если из пяти целых пицц вычесть одну целую и половину пиццы, то останутся три целые пиццы и половина пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения
Представим 6 в виде дроби , а смешанное число , в виде неправильной дроби. После перевода смешанного числа в неправильную дробь, получим дробь . Теперь выполним вычитание дробей с разными знаменателями:
Примеры на вычитание дроби из числа или вычитание смешанной дроби из числа опять же можно выполнять в уме. Этот процесс легко поддаётся воображению.
К примеру, если нужно быстро найти значение выражения , то вовсе необязательно представлять число 2 в виде дроби и выполнять вычитание дробей с разными знаменателями. Число 2 можно вообразить, как две целые пиццы и далее представить, как от одной из них отрезали две третьих (два куска из трёх)
Тогда от той пиццы, от которой отрезали останется пиццы. Плюс одна из пицц останется нетронутой. Получится одна целая пицца и треть пиццы:
Если на рисунке вы закроете рукой две третьих пиццы (она закрашена), то сразу всё поймёте.
Вычитание смешанных чисел
Встречаются задачи, в которых требуется вычесть из одного смешанного числа другое смешанное число. Например, найдём значение выражения:
Чтобы решить этот пример, нужно смешанные числа и перевести в неправильные дроби, затем выполнить вычитание дробей с разными знаменателями:
Если от трёх целых пицц вычесть две целые и треть пиццы, то останутся одна целая и одна шестая пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения
Переводим смешанные числа и в неправильные дроби и выполняем вычитание дробей с разными знаменателями:
К вычитанию смешанных чисел мы ещё вернёмся. В вычитании дробей есть немало тонкостей, которым новичок пока не готов. Например, возможен случай, когда уменьшаемое может оказаться меньше вычитаемого. Это может вывести нас в мир отрицательных чисел, которых мы ещё не изучали.
А пока изучим умножение смешанных чисел. Благо оно не такое сложное, как сложение и вычитание.
Умножение целого числа на дробь
Чтобы целое число умножить на дробь, достаточно умножить это целое число на числитель дроби, а знаменатель оставить без изменения.
Например, умножим число 5 на дробь . Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на числитель дроби , а знаменатель оставить без изменения:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Если имеются пять целых пицц и мы возьмём от этого количества половину, то у нас окажется две целые пиццы и половина пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения
Умножим число 3 на числитель дроби
В ответе получилась неправильная дробь , но мы выделили её целую часть и получили 2.
Также, можно было сократить эту дробь. Получился бы тот же результат. Выглядело бы это следующим образом:
Если имеются три целые пиццы и мы возьмём от этого количества две третьих, то у нас окажется две целые пиццы:
Пример 3. Найти значение выражения
Этот пример решается так же, как и предыдущие. Целое число и числитель дроби нужно перемножить:
Пример 4. Найти значение выражения
Умножим число 3 на числитель дроби
Умножение смешанного числа на дробь
Чтобы умножить смешанное число на дробь, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем выполнить перемножение обыкновенных дробей.
Пример 1. Найти значение выражения
Переведём смешанное число в неправильную дробь. После перевода это число превратится в дробь . Затем можно будет умножить эту дробь на
Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:
Умножить эти куски на означает взять от них две трети. Чтобы взять от них две трети, сначала разделим их на три равные части. Разделим пополам ту пиццу, которая слева. Тогда у нас получится три равных куска:
Теперь если мы возьмем (два куска из трёх имеющихся), то получим одну целую пиццу. Для наглядности закрасим эти два куска:
Поэтому значение выражения было равно 1
Умножение смешанных чисел
Встречаются задачи, в которых требуется перемножить смешанные числа. Например, перемножить и . Чтобы решить этот пример, нужно перевести эти смешанные числа в неправильные дроби, затем выполнить умножение неправильных дробей:
Попробуем разобраться в этом примере с помощью рисунка. Допустим, имеются одна целая и половина пиццы:
Теперь разберемся со смешанным множителем . Этот множитель означает, что одну целую и половину пиццы нужно взять 2 раза и еще раза.
С множителем 2 всё понятно, он означает что одну целую и половину пиццы нужно взять два раза. Давайте возьмём два раза целую пиццу и половину:
Но ещё осталось взять от изначальной целой пиццы и половины, ведь множителем было смешанное число . Для этого вернёмся к изначальной одной целой и половине пиццы, и разделим их на равные части так, чтобы можно было взять от них ровно половину. А половину мы сможем взять, если разделим целую пиццу на четыре части, а половину на две части:
Мы разделили нашу целую пиццу и половину на равные части, и теперь можем сказать, что является половиной от этих кусков. Половиной от этих кусков является пиццы. Это можно хорошо увидеть, если мы упорядочим наши равные кусочки следующим образом:
А если смотреть на изначальную целую пиццу и половину с точки зрения такого порядка, как на этом рисунке, то половиной от них является пиццы.
Поэтому значение выражения равно
Пример 2. Найти значение выражения
Переводим смешанные числа в неправильные дроби и перемножаем эти неправильные дроби. Если в ответе получится неправильная дробь, выделим в ней целую часть:
Деление целого числа на дробь
Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это целое число умножить на дробь, обратную делителю.
Например, разделим число 3 на дробь . Здесь число 3 — это делимое, а дробь — делитель.
Чтобы решить этот пример, нужно число 3 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь . Поэтому умножаем число 3 на дробь
Допустим, имеются три целые пиццы:
Если мы зададим вопрос «cколько раз (половина пиццы) содержится в трёх пиццах», то ответом будет «шесть раз».
Действительно, если мы разделим каждую пиццу пополам, то у нас получится шесть половинок:
Поэтому значение выражения равно 6.
Пример 2. Найти значение выражения
Чтобы решить этот пример, нужно число 2 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь
Допустим, имеются две целые пиццы:
Зададим вопрос «Сколько раз пиццы содержится в этих двух пиццах?» Чтобы ответить на этот вопрос, выделим целую часть в дроби . После выделения целой части в этой дроби получим
Теперь поставим вопрос так: «Сколько раз (одна целая и половина пиццы) содержится в двух пиццах?».
Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти в двух пиццах такое количество пиццы, которое изображено на следующем рисунке:
В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:
А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:
Поэтому значение выражения равно
Пример 3. Найти значение выражения
Чтобы решить этот пример, нужно число 5 умножить на дробь, обратную дроби . А обратная дробь для дроби это дробь . Поэтому умножаем число 5 на
Дробь это 2 целых и . Проще говоря, две целые и четверть пиццы:
А выражение определяет сколько раз содержится в пяти целых пиццах. Ответом было смешанное число .
То есть пиццы содержится в пяти целых пиццах раза.
Давайте нащупаем в пяти пиццах два раза по
Белым цветом осталось не выделено две четверти. Эти две четверти представляют собой от , которые не вместились. Двумя девятыми они являются по той причине, что в пиццы каждую целую пиццу можно разделить на четыре части. Тогда каждый кусок будет девятой частью от этого количества, а два куска соответственно двумя из девяти:
Поэтому значение выражения равно
Деление дроби на целое число
Чтобы разделить дробь на целое число, нужно данную дробь умножить на число, обратное делителю. Таким делением мы занимались в прошлом уроке. Вспомним ещё раз.
Пример 1. Разделим дробь на число 2
Чтобы разделить дробь на 2, нужно данную дробь умножить на число, обратное числу 2. А обратное числу 2 это дробь
Пусть имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на две части. Тогда каждая получившаяся часть будет одной четвертой пиццы:
Поэтому значение выражения равно
Пример 2. Найти значение выражения
Чтобы решить этот пример, нужно дробь умножить на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь
Пример 3. Найти значение выражения
Умножаем первую дробь на число, обратное числу 3. Обратное числу 3 это дробь
Деление целого числа на смешанное число
Встречаются задачи, в которых требуется разделить целое число на смешанное число. Например, разделим 2 на .
Чтобы решить этот пример, нужно делитель перевести в неправильную дробь. Затем умножить число 2 на дробь, обратную делителю.
Переведём делитель в неправильную дробь, получим . Затем умножим 2 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби это дробь
Допустим, имеются две целые пиццы:
Зададим вопрос «Сколько раз (одна целая и половина пиццы) содержится в двух целых пиццах?». Похожий пример мы решали ранее, когда учились делить целое число на дробь.
В двух пиццах одна целая и половина пиццы содержится один раз. Это можно увидеть, если вторую пиццу разделить пополам:
А оставшаяся половина это треть от , которая не вместилась. Третью она является по той причине, что в одной целой и половине пиццы целую часть пиццы можно разделить пополам. Тогда каждый кусок будет третью от этого количества:
Поэтому значение выражения равно
Пример 2. Найти значение выражения
Переводим делитель в неправильную дробь, получаем . Теперь умножаем число 5 на дробь, обратную дроби . Обратная для дроби это дробь
Сначала мы получили ответ , затем сократили эту дробь на 5, и получили , но этот ответ нас тоже не устроил, поскольку он представлял собой неправильную дробь. Мы выделили в этой неправильной дроби целую часть. В результате получили ответ
Деление смешанного числа на целое число
Чтобы разделить смешанное число на целое число, нужно смешанное число перевести в неправильную дробь, затем умножить эту дробь на число, обратное делителю.
Например, разделим на 2. Чтобы решить этот пример, нужно делимое перевести в неправильную дробь. Затем умножить эту дробь на число, обратное делителю 2.
Переведём смешанное число в неправильную дробь, получим .
Теперь умножаем на число, обратное числу 2. Обратное числу 2 это дробь
Допустим, имеется одна целая и половина пиццы:
Разделим это количество пиццы поровну на две части. Для этого сначала разделим на две части целую пиццу:
Затем разделим поровну на две части и половину:
Теперь если мы сгруппируем эти кусочки на две группы, то получим по пиццы в каждой группе:
Поэтому значение выражения равно
Пример 2. Найти значение выражения
Переведём делимое в неправильную дробь, получим . Теперь умножаем на число, обратное числу 4. Обратное числу 4 это дробь .
Деление смешанных чисел
Чтобы разделить смешанные числа, нужно перевести их в неправильные дроби, затем выполнить обычное деление дробей. То есть умножить первую дробь на дробь, обратную второй.
Пример 1. Найти значение выражения
Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:
Как решать дальше мы уже знаем. Первую дробь нужно умножить на дробь, обратную второй. Обратная для второй дроби это дробь .
Дорешаем данный пример до конца:
Допустим, имеются две целые и половина пиццы:
Если зададим вопрос «Сколько раз (одна целая и четверть пиццы) содержится в двух целых и половине пиццы», то ответом будет «два раза»:
Пример 2. Найти значение выражения
Переведём смешанные числа в неправильные дроби. Получим следующее выражение:
Теперь умножаем первую дробь на дробь, обратную второй. Обратная для дроби это дробь
Сначала мы получили дробь. Эту дробь мы сократили на 9. В результате получили дробь , но такой ответ нас тоже не устроил и мы выделили в дроби целую часть. В результате получили окончательный ответ .
Задания для самостоятельного решения
Задание 1. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 2. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 3. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 4. Найдите значение выражения:
Решение:
Задание 5. Найдите значение выражения:
Решение:
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Навигация по записям
Вычитание смешанных чисел. Онлайн калькулятор
Чтобы вычесть смешанное число из другого смешанного числа, нужно отдельно вычесть целую часть из целой, а дробную из дробной и полученные результаты сложить.
Вычислим разность и :
Вычитание смешанных чисел можно записывать в более краткой форме, без промежуточных вычислений:
Если целые или дробные части уменьшаемого и вычитаемого окажутся равными, то в результате целая или дробная части соответственно будут равны нулю:
Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю:
Если дробные части уменьшаемого и вычитаемого имеют разные знаменатели, то сначала их нужно привести к общему знаменателю, а потом выполнить вычитание:
Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то из целой части уменьшаемого нужно взять одну единицу, представить её в виде дроби и прибавить к дробной части, после этого из дробной части уменьшаемого можно вычесть дробную часть вычитаемого:
Чтобы из натурального числа вычесть смешанное число, у натурального числа нужно взять одну единицу и представить её в виде дроби:
Чтобы вычесть натуральное число из смешанного числа, нужно натуральное число вычесть из целой части смешанного числа, оставив дробную часть без изменений:
При вычитании обыкновенной дроби из смешанного числа, дробь вычитается из дробной части смешанного числа. Если дробь больше, чем дробная часть смешанного числа, то из целой части нужно взять одну единицу, представить её в виде дроби и прибавить к дробной части, после этого можно выполнить вычитание:
Также, смешанные числа можно записать в виде неправильных дробей и выполнить вычитание, а в конце (если требуется по условию задания) записать результат в виде смешанного числа:
Калькулятор вычитания смешанных чисел
Данный калькулятор поможет вам выполнить вычитание смешанных чисел. Просто введите уменьшаемое и вычитаемое и нажмите кнопку Вычислить
. Данный калькулятор позволяет также выполнять вычитание: натурального числа и дроби, смешанного числа и дроби, натурального и смешанного числа, натуральных чисел.
правила, примеры, решения, вычитание из целого числа смешанной дроби
В данной статье рассмотрим правила, согласно которым выполняется действие вычитания смешанных чисел. Разберем конкретные примеры и некоторые нюансы при их решении. Изучим вычитание обыкновенной дроби и натурального числа из смешанного числа, а также — вычитание смешанного числа из дроби и натурального числа. Рассматривать вычитание мы будем при условии вычитания из большего числа меньшее.
Вычитание смешанных чисел
Пусть в качестве исходных данных даны два смешанных числа: abc и def , необходимо выполнить вычитание данных смешанных чисел.
Нам известно, что любое смешанное число возможно представить, как сумму его целой и дробной части, тогда получим:
abc-def=a+bc-d+ef
Свойства действий сложения и вычитания дают возможность выполнить вычисление полученного выражения различными способами. Опираясь на значения дробных частей смешанных чисел
abc и def , необходимо придерживаться следующих схем вычисления:
- если дробная часть уменьшаемого больше, чем дробная часть вычитаемого:
bc>ef, то вычитание оптимально будет произвести так:
abc-def=(a-d)+bc-ef
Пример 1Произвести вычитание смешанных чисел: 356-249 .
Решение
Сравним дробные части смешанных чисел, т.е. 56 и 49 . Чтобы определить, какая из дробей больше, приведем их к общему наименьшем знаменателю или наименьшему общему кратному: НОК (6, 9) = 18. При этом дополнительным множителем для дроби 56 станет 18 : 6 = 3; а для дроби 49 – 18 : 9 = 2, поэтому : 56=5·36·3=1518 и 49=4·29·2=818 .
Оценим полученный результат: 1518>818, что означает 56>49. Т.е. дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, и тогда действие вычитания производится путем раздельного вычитания целых и дробных частей заданных смешанных чисел:
3-2=156-49=1518-818=15-818=718
Т.е.: (3-2)+56-49=1+718=1718
Ответ: 356-249=1718
- если дробные части заданных смешанных чисел равны: bc=ef , а, соответственно разность их равна нулю, то результатом вычитания таких смешанных чисел будет разность их целых частей:
abc-def=(a-d)+bc-ef=a-d+0=a-d
Пример 2Произвести вычитание смешанных чисел 15710 и 2710 .
Решение
Мы видим, что дробные части заданных чисел равны, т.е. их разность есть нуль. Таким образом, действие вычитания заданных чисел сводится к нахождению разности их целых частей: 15710-2710=15+710-2+710=15-2+710-710=15-2+0=13
Ответ: 15710-2710=13
- если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого: bc<ef , то действие вычитания оптимально произвести так:
abc-def=a-d-ef+bc
Пример 3Произвести вычитание смешанных чисел: 2625-81415 .
Решение
Проведем сравнение дробных частей заданных чисел, определив для начала наименьший общий знаменатель: НОК (5, 15) = 15, тогда 25=2·35·3=615 .
Следовательно: 615<1415, т.е. дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого. Таким образом, находить разность заданных смешанных чисел будем так: 2625-81415=26615-81415=26+615-8+1415==26-8-1415+615=18-1415+615
Для начала вычтем дробь из натурального числа (в скобках): 18-1415=(17+1)-1415=17+1+1415=17+11+1415==17+1515-1415=17+115
Тогда 18-1415+615=17+115+615=17+115+615==17+715=17715
Ответ: 2625-81415=17715 .
Вычитание обыкновенной дроби из смешанного числа
Схема вычитания правильной дроби из смешанного числа такая же, как при действии вычитания смешанных чисел.
Пример 4Найти разницу: 356-415
Решение:
Приведем дробные части заданных чисел к единому наименьшему общему кратному: НОК (6, 15) = 30, тогда 65=5·56·5=2530 и 415=4·215·2=830 .
Таким образом, 56>415 .
В итоге вычитание возможно произвести так: 356-415=3+56-415=3+56-415=3+2530-830=3+1730=31730
Ответ: 356-415=31730
Нужна помощь преподавателя?
Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!
Описать задание Пример 5Произвести действие вычитания: 127-37
Решение
Дробные части исходных чисел имеют одинаковый знаменатель, что дает возможность их легко сравнить. Понятно, что 27 меньше, чем 37.
Тогда находить разницу будем так:
127-37=1+27-37=1-37+27=11-37+27==77-37+27=47+27=67
Ответ: 127-37=67.
Добавим еще одну, в общем очевидную деталь вычислений: если дробная часть смешанного числа равна вычитаемой дроби, то итогом вычисления будет число, равное целой части уменьшаемого смешанного числа. К примеру:
16311-311=16+311-311=16+311-311=16+0=16
Чтобы вычесть неправильную дробь из смешанного числа, необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, а затем производить вычисление.
Пример 6Вычислить значение разности: 7512-199 .
Решение: вычитаемая дробь является неправильной, выделим из нее целую часть и получим: 199=219
Приведем к общему знаменателю дробные части заданных чисел и согласно указанным выше схемам произведем вычитание смешанных чисел:
7512-219=7+512-2+19=7-2+512-19==5+1536-436=5+1136=51136
Ответ: 7512-199=51136 .
Вычитание натурального числа из смешанного
Определение 1Для совершения действия вычитания натурального числа из смешанного, необходимо вычесть заданное натуральное число из целой части смешанного числа, а дробную часть оставить без изменений: abc-n=a-n+bc
Пример 7Необходимо вычесть из смешанного числа 1511528 натуральное число 44.
Решение: 1511528-44=151+1528-44=151-44+1528=107+1528=1071528
Ответ: 1511528-44=1071528
Вычитание смешанного числа из обыкновенной дроби
Очевидно, что любое заданное смешанное число будет больше единицы. Уменьшаемая дробь должна быть больше вычитаемого, тогда эта дробь – неправильная. Необходимо выделить целую часть из неправильной дроби, и далее выполнение действия вычитания смешанного числа из обыкновенной дроби сведется к вычитанию смешанных чисел.
Пример 8Необходимо выполнить вычитание: 749-612
Решение
В первую очередь выделим целую часть неправильной уменьшаемой дроби: 749=829 , тогда заданный пример примет вид: 749-612=829-612
Найдем наименьший общий знаменатель: НОК (9, 2) = 18.
Получим: 29=2·29·2=418 и 12=1·92·9=918.
Тогда:
829-612=8418-6918=8+418-6+918=8-6-918+418==2-918+418=1+1-918+418=1+1-918+418==1+1-918+418=1+918+418=1+918+418==1+9+418=1+1318=11318
Ответ: 749-612=11318
Вычитание смешанного числа из натурального
Чтобы произвести действие вычитания смешанного числа из натурального, сначала от натурального числа отнимаем целую часть смешанного, после чего из полученного результата вычитаем дробную часть:
n-abc=n-a+bc=n-a-bc
Пример 9Необходимо вычесть из натурального числа 18 смешанное число.
Решение
18-535=18-5+35=18-5-35=13-35=12+1-35==12+1-35=12+11-35=12+55-35=12+5-35==12+25=1225
Ответ: 18-535=1225
Автор: Ирина Мальцевская
Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта
Смешанные дроби. Правильные и неправильные дроби, формулы и примеры решений
Содержание:
Правильные и неправильные дроби
Например. Дробь $\frac{11}{23}$ является правильной, так как ее числитель, равный 11, меньше, чем знаменатель, который равен 23: 11
Определение
Дробь называется неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.
Например. Дробь $\frac{23}{11}$ — неправильная, так как 23 > 11 . Дробь $\frac{3}{3}$ — неправильная, так как числитель дроби равен ее знаменателю.
Смешанные дроби
Определение
Числа, в состав которых входит целое число и правильная дробь, называются смешанными числами.
Целое число называют целой частью смешанного числа, а правильная дробь называется дробной частью смешанного числа.
Например. Для смешанной дроби $3 \frac{11}{23}=3+\frac{11}{23}$ число 3 — целая часть, $\frac{11}{23}$ — дробная.
Неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа, для этого нужно числитель поделить на знаменатель. Полученное неполное частное будет целой частью смешанной дроби, остаток — числителем дробной части, а знаменатель исходной неправильной дроби — знаменателем дробной части.
Пример
Задание. Записать неправильную дробь $\frac{20}{3}$ в виде смешанной.
Решение. Поделим числитель дроби — 20 на ее знаменатель — 3 (то есть выделим целую часть):
Итак, получаем, что $\frac{20}{3}=20 : 3=$ 6 (остаток 2). А тогда искомая смешанная дробь
$\frac{20}{3}=6 \frac{2}{3}$
Ответ. $\frac{20}{3}=6 \frac{2}{3}$
Чтобы смешанное число записать в виде неправильной дроби, надо целую часть умножить на знаменатель дробной части, к полученному числу прибавить числитель дробной части и записать эту сумму в числитель, а знаменатель дробной части оставить без изменений.
Слишком сложно?
Правильные и неправильные дроби. Смешанные дроби не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Пример
Задание. Смешанное число 8$\frac{2}{3}$ записать в виде неправильной дроби.
Решение. $8 \frac{2}{3}=\frac{8 \cdot 3+2}{3}=\frac{26}{3}$
Ответ. $8 \frac{2}{3}=\frac{26}{3}$
Читать следующую тему: сравнение дробей.
Смешанная дробь. Действия со смешанными дробями
Смешанной называют дробь, имеющую целую и дробную части.
Записываются они как \(a\)\(\frac{m}{n}\), где – \(a\) целое число,\(\frac{m}{n}\) — правильная дробь.
Например: \(2\)\(\frac{3}{5}\) здесь \(2\) – целая часть, \(\frac{3}{5}\) – дробная часть (правильная дробь).
\(17\)\(\frac{17}{18}\) здесь \(17\) – целая часть, \(\frac{17}{18}\) – дробная часть (правильная дробь).
Фактически такие дроби представляют собой сумму целого числа и дроби, то есть между целой и дробной частью стоит знак «плюс» (а не «умножить»).
Например: \(2\frac{3}{5}=2+\frac{3}{5}\)
Это не нужно заучивать, просто поймите суть. Вдумайтесь, что на практике означает, например, запись: «на складе осталось \(2\)\(\frac{3}{5}\) мешка муки»? Что на складе лежит два полных мешка и еще один заполненный на \(\frac{3}{5}\). Где здесь место умножению? Очевидно ведь, что это два плюс еще \(\frac{3}{5}\) мешка муки! Понимать этот момент очень важно, потому что здесь допускается огромное количество ошибок при вычислениях со смешанными дробями (см. ниже).
Превращение смешанной дроби в неправильную
Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную нужно целую часть умножить на знаменатель дробной и прибавить к результату числитель — получиться числитель неправильной дроби. Знаменатель при этом не меняется. То есть,
\(a\)\(\frac{m}{n}\)\(=\)\(\frac{a·n + m}{n}\).
Например, при преобразовании \(2\)\(\frac{3}{5}\) получим \(\frac{2·5 + 3}{5}=\frac{13}{5}\).
Почему вычисление производиться именно так? Все дело в плюсе, стоящем между целой и дробной частью (см. выше). На самом деле, полное преобразование выглядит вот так:
Но расписывать все так подробно слишком долго, да и незачем, проще сразу получать ответ, пользуясь формулой выше.
Превращение неправильной дроби в смешанную
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную, в ней нужно выделить целую часть.
Чтобы этого добиться, мы задаем себе вопрос – сколько раз знаменатель целиком «помещается» в числителе?
Например, пусть нам нужно представить как смешанную дробь \(\frac{13}{5}\). Сколько раз пятерка «помещается» в тринадцати? Два раза. Третий раз уже «не влезет». Значит, целая часть будет равна двойке, а дробная – остатку, то есть \(\frac{3}{5}\). Оформляем: \(\frac{13}{5}\)\(=\)\(\frac{10 + 3}{5}\)\(=\)\(\frac{10}{5}\)\(+\)\(\frac{3}{5}\)\(=2+\)\(\frac{3}{5}\)\(=2\)\(\frac{3}{5}\). Вот еще примеры с верным преобразованием:
\(\frac{37}{11}\)\(=\)\(\frac{33 + 4}{11}\)\(=\)\(\frac{33}{11}\)\(+\)\(\frac{4}{11}\)\(=3+\)\(\frac{4}{11}\)\(=3\)\(\frac{4}{11}\)
\(\frac{26}{3}\)\(=\)\(\frac{24 + 2}{3}\)\(=\)\(\frac{24}{3}\)\(+\)\(\frac{2}{3}\)\(=8+\)\(\frac{2}{3}\)\(=8\)\(\frac{2}{3}\)
А вот пример неправильного выделения целой части:
\(\frac{7}{2}\)\(=\)\(\frac{4 + 3}{2}\)\(=\)\(\frac{4}{2}\)\(+\)\(\frac{3}{2}\)\(=2+\)\(\frac{3}{2}\)\(=2\)\(\frac{3}{2}\)
В чем ошибка? В том, что дробная часть должна быть правильной дробью. А здесь не так — значит целая часть выделена не полностью. Действительно, ведь двойка в семерке нацело помещается три раза, а не два. Поэтому верным будет вот такое выделение:
\(\frac{7}{2}\)\(=\)\(\frac{6 + 1}{2}\)\(=\)\(\frac{6}{2}\)\(+\)\(\frac{1}{2}\)\(=3+\)\(\frac{1}{2}\)\(=3\)\(\frac{1}{2}\)
Превращение смешанной дроби в десятичную
Чтобы преобразовать смешанную дробь в десятичную, нужно в дробной части поделить числитель на знаменатель, после чего сложить результат с целой частью.
Например: \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(=2+\)\(\frac{3}{5}\)\(=2+0,6=2,6\)
\(7\)\(\frac{11}{25}\)\(=7+\)\(\frac{11}{25}\)\(=7+0,44=7,44\)
Отсюда вывод:
Смешанная дробь – обычное число, причем целая часть представляет собой то, что будет стоять до запятой, а дробная – после.
Наиболее частые ошибки при работе со смешанной дробью
Главной причиной большинства ошибок является забывание описанного выше момента – между целой и дробной частью стоит «плюс», а не «умножить».
Пример: Вычислить \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)
Ошибочное решение: \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)\(=2\)\(\frac{3}{5}\)\(·\)\(\frac{5}{1}\)\(=2\)\(\frac{3 · 5}{5 · 1}\)\(=2·3=6\)
Правильное решение: \(2\)\(\frac{3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)\(=(2+\)\(\frac{3}{5}\)\():\)\(\frac{1}{5}\)\(=\)\(\frac{2·5+3}{5}\)\(:\)\(\frac{1}{5}\)\(=\)\(\frac{13}{5}\)\(·\)\(\frac{5}{1}\)\(=\)\(\frac{13 · 5}{5 · 1}\)\(=13\)
Пример: Вычислить \(3\)\(\frac{1}{5}\)\(·1\)\(\frac{1}{4}\)
Ошибочное решение: \(3\)\(\frac{1}{5}\)\(·1\)\(\frac{1}{4}\)\(=3·\)\(\frac{1}{5}\)\(·1·\)\(\frac{1}{4}\)\(=\)\(\frac{3}{5}\)\(·\)\(\frac{1}{4}\)\(=\)\(\frac{3 · 1}{5 · 4}\)\(=\)\(\frac{3}{20}\)
Правильное решение: \(3\)\(\frac{1}{5}\)\(·1\)\(\frac{1}{4}\)\(=(3+\)\(\frac{1}{5}\)\()·(1+\)\(\frac{1}{4}\)\()=\)\(\frac{3·5 + 1}{5}\)\(·\)\(\frac{1·4 + 1}{4}\)\(=\)\(\frac{16}{5}\)\(·\)\(\frac{5}{4}\)\(=\)\(\frac{16 · 5}{5 · 4}\)\(=4\)
Из того, что целая и дробная части соединены знаком плюс следует еще один вывод:
Если перед смешанной дробью стоит знак минус, то он стоит и перед целой частью, и перед дробной.
Например: \(-7\) \(\frac{5}{9}\)\(=-(7+\) \(\frac{5}{9}\)\()=-7-\) \(\frac{5}{9}\).
Это важно помнить при вычитании смешанных дробей.
Пример. Вычислить \(4\)\(\frac{3}{5}\)\(-2\)\(\frac{1}{5}\).
Решение: \(4\)\(\frac{3}{5}\)\(-2\)\(\frac{1}{5}\)\(=(4+\)\(\frac{3}{5}\)\()-(2+\)\(\frac{1}{5}\)\()=4+\)\(\frac{3}{5}\)\(-2-\)\(\frac{1}{5}\)\(=4-2+\)\(\frac{3}{5}\)\(-\)\(\frac{1}{5}\)\(=2+\)\(\frac{3-1}{5}\)\(=2+\)\(\frac{2}{5}\)\(=2\)\(\frac{2}{5}\).
Вообще вычитание (сложение) смешанных дробей удобно проводить в два этапа: сначала отдельно вычесть (сложить) целые части, а затем – дробные.
Смотрите также:
Дроби (шпаргалка)
Скачать статью
Калькулятор онлайн — Сокращение дробей
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Обыкновенные дроби. Деление с остатком
Если нам нужно разделить 497 на 4, то при делении мы увидим, что 497 не делится на 4 нацело, т.е. остаётся остаток от деления.
В таких случаях говорят, что выполнено деление с остатком, и решение записывают в таком виде:
497 : 4 = 124 (1 остаток).
Компоненты деления в левой части равенства называют так же, как при делении без остатка: 497 — делимое, 4 — делитель. Результат деления при делении с остатком называют неполным частным. В нашем случае это число 124. И, наконец, последний компонент, которого нет в обычном делении, — остаток. В тех случаях, когда остатка нет, говорят, что одно число разделилось на другое без остатка, или нацело. Считают, что при таком делении остаток равен нулю. В нашем случае остаток равен 1.
Остаток всегда меньше делителя.
Проверку при делении можно сделать умножением. Если, например, имеется равенство 64 : 32 = 2, то проверку можно сделать так: 64 = 32 * 2.
Часто в случаях, когда выполняется деление с остатком, удобно использовать равенство
а = b * n + r ,
где а — делимое, b — делитель, n — неполное частное, r — остаток.
Частное от деления натуральных чисел можно записать в виде дроби.
Числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель.
Поскольку числитель дроби — это делимое, а знаменатель — делитель, считают, что черта дроби означает действие деление. Иногда бывает удобно записывать деление в виде дроби, не используя знак «:».
Частное от деления натуральных чисел m и n можно записать в виде дроби \( \frac{m}{n} \), где числитель m — делимое, а
знаменатель п — делитель:
\( m:n = \frac{m}{n} \)
Верны следующие правила:
Чтобы получить дробь \( \frac{m}{n} \), надо единицу разделить на n равных частей (долей) и взять m таких частей.
Чтобы получить дробь \( \frac{m}{n} \), надо число m разделить на число n.
Чтобы найти часть от целого, надо число, соответствующее целому, разделить на знаменатель и результат умножить на числитель дроби, которая выражает эту часть.
Чтобы найти целое по его части, надо число, соответствующее этой части, разделить на числитель и результат умножить на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\( \large \frac{a}{b} = \frac{a \cdot n}{b \cdot n} \)
Если и числитель, и знаменатель дроби разделить на одно и то же число (кроме нуля), величина дроби не изменится:
\( \large \frac{a}{b} = \frac{a : m}{b : m} \)
Это свойство называют основным свойством дроби.
Два последних преобразования называют сокращением дроби.
Если дроби нужно представить в виде дробей с одним и тем же знаменателем, то такое действие называют приведением дробей к общему знаменателю.
Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа
Вы уже знаете, что дробь можно получить, если разделить целое на равные части и взять несколько таких частей. Например, дробь \( \frac{3}{4} \) означает три четвёртых доли единицы. Во многих задачах предыдущего параграфа обыкновенные дроби использовались для обозначения части целого. Здравый смысл подсказывает, что часть всегда должна быть меньше целого, но как тогда быть с такими дробями, как, например, \( \frac{5}{5} \) или \( \frac{8}{5} \)? Ясно, что это уже не часть единицы. Наверное, поэтому такие дроби, у которых числитель больше знаменателя или равен ему, называют неправильными дробями. Остальные дроби, т. е. дроби, у которых числитель меньше знаменателя, называют правильными дробями.
Как вы знаете, любую обыкновенную дробь, и правильную, и неправильную, можно рассматривать как результат деления числителя на знаменатель. Поэтому в математике, в отличие от обычного языка, термин «неправильная дробь» означает не то, что мы что-то сделали неправильно, а только то, что у этой дроби числитель больше знаменателя или равен ему.
Если число состоит из целой части и дроби, то такие дроби называются смешанными.
Например:
\( 5:3 = 1\frac{2}{3} \) : 1 — целая часть, а \( \frac{2}{3} \) — дробная часть.
Если числитель дроби \( \frac{a}{b} \) делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её числитель
разделить на это число:
\( \large \frac{a}{b} : n = \frac{a:n}{b} \)
Если числитель дроби \( \frac{a}{b} \) не делится на натуральное число n, то, чтобы разделить эту дробь на n, надо её
знаменатель умножить на это число:
\( \large \frac{a}{b} : n = \frac{a}{bn} \)
Заметим, что второе правило справедливо и в том случае, когда числитель делится на n. Поэтому мы можем его применять тогда, когда трудно с первого взгляда определить, делится числитель дроби на n или нет.
Действия с дробями. Сложение дробей.
С дробными числами, как и с натуральными числами, можно выполнять арифметические действия. Рассмотрим сначала сложение дробей. Легко сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Найдем, например, сумму \( \frac{2}{7} \) и \( \frac{3}{7} \). Легко понять, что \( \frac{2}{7} + \frac{2}{7} = \frac{5}{7} \)
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.
Используя буквы, правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями можно записать так:
\( \large \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} \)
Если требуется сложить дроби с разными знаменателями, то их предварительно следует привести к общему знаменателю. Например:
\( \large \frac{2}{3}+\frac{4}{5} = \frac{2\cdot 5}{3\cdot 5}+\frac{4\cdot 3}{5\cdot 3} = \frac{10}{15}+\frac{12}{15} = \frac{10+12}{15} = \frac{22}{15} \)
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства сложения.
Сложение смешанных дробей
Такие записи, как \( 2\frac{2}{3} \), называют смешанными дробями. При этом число 2 называют целой частью смешанной дроби, а число \( \frac{2}{3} \) — ее дробной частью. Запись \( 2\frac{2}{3} \) читают так: «две и две трети».
При делении числа 8 на число 3 можно получить два ответа: \( \frac{8}{3} \) и \( 2\frac{2}{3} \). Они выражают одно и то же дробное число, т.е \( \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)
Таким образом, неправильная дробь \( \frac{8}{3} \) представлена в виде смешанной дроби \( 2\frac{2}{3} \). В таких случаях говорят, что из неправильной дроби выделили целую часть.
Вычитание дробей (дробных чисел)
Вычитание дробных чисел, как и натуральных, определяется на основе действия сложения: вычесть из одного числа другое — это значит
найти такое число, которое при сложении со вторым дает первое. Например:
\( \frac{8}{9}-\frac{1}{9} = \frac{7}{9} \) так как \( \frac{7}{9}+\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \)
Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями похоже на правило сложения таких дробей:
чтобы найти разность дробей с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель
оставить прежним.
С помощью букв это правило записывается так:
\( \large \frac{a}{c}-\frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} \)
Умножение дробей
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить их числители и знаменатели и первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем.
С помощью букв правило умножения дробей можно записать так:
\( \large \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} \)
Пользуясь сформулированным правилом, молено умножать дробь на натуральное число, на смешанную дробь, а также перемножать смешанные дроби. Для этого нужно натуральное число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанную дробь — в виде неправильной дроби.
Результат умножения надо упрощать (если это возможно), сокращая дробь и выделяя целую часть неправильной дроби.
Для дробей, как и для натуральных чисел, справедливы переместительное и сочетательное свойства умножения, а также распределительное свойство умножения относительно сложения.
Деление дробей
Возьмем дробь \( \frac{2}{3} \) и «перевернем» ее, поменяв местами числитель и знаменатель. Получим дробь \( \frac{3}{2} \). Эту дробь называют обратной дроби \( \frac{2}{3} \).
Если мы теперь «перевернем» дробь \( \frac{3}{2} \), то получим исходную дробь \( \frac{2}{3} \). Поэтому такие дроби, как \( \frac{2}{3} \) и \( \frac{3}{2} \) называют взаимно обратными.
Взаимно обратными являются, например, дроби \( \frac{6}{5} \) и \( \frac{5}{6} \), \( \frac{7}{18} \) и \( \frac{18}{7} \).
С помощью букв взаимно обратные дроби можно записать так: \( \frac{a}{b} \) и \( \frac{b}{a} \)
Понятно, что произведение взаимно обратных дробей равно 1. Например: \( \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} =1 \)
Используя взаимно обратные дроби, можно деление дробей свести к умножению.
Правило деления дроби на дробь:
чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.
Используя буквы, правило деления дробей можно записать так:
\( \large \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} \)
Если делимое или делитель является натуральным числом или смешанной дробью, то, для того чтобы воспользоваться правилом деления дробей, его надо предварительно представить в виде неправильной дроби.
Преобразование числа в дробь, дроби из одного вида в другой. Десятичное число, смешанная, неправильная, периодическая дробь
Тестирование онлайн
Преобразование дробей
Преобразование десятичного числа в дробь
Десятичные числа, такие как 0,2; 1,05; 3,017 и т.п. как слышатся, так и пишутся. Ноль целых две десятых, получаем дробь . Одна целая пять сотых, получаем дробь . Три целых семнадцать тысячных, получаем дробь . Цифры до запятой в десятичном числе — это целая часть дроби. Цифра после запятой — числитель будущей дроби. Если после запятой однозначное число — в знаменателе будет 10, если двухзначное — 100, трехзначное — 1000 и т.д. Некоторые полученные дроби можно сократить. В наших примерах
Преобразование дроби в десятичное число
Это обратное предыдущему преобразованию. Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, или
Если дробь, например . В этом случае необходимо воспользоваться основным свойством дроби и преобразовать знаменатель до 10 или 100, или 1000 … В нашем примере, если домножить числитель и знаменатель на 4, получим дробь , которую возможно записать в виде десятичного числа 0,12.
Некоторые дроби проще разделить, чем преобразовать знаменатель. Например,
Некоторые дроби невозможно преобразовать в десятичные числа!
Например,
Преобразование смешанной дроби в неправильную
Смешанную дробь, например , легко преобразовать в неправильную. Для этого необходимо целую часть умножить на знаменатель (низ) и сложить с числителем (верх), знаменатель (низ) оставить без изменения. То есть
При преобразовании смешанной дроби в неправильную, можно вспомнить, что Можно использовать сложение дробей
Преобразование неправильной дроби в смешанную (выделение целой части)
Неправильную дробь можно перевести в смешанную, выделив целую часть. Рассмотрим пример, . Определяем, сколько целых раз «3» вмещается в «23». Или 23 делим на 3 на калькуляторе, целое число до запятой — искомое. Это «7». Далее определяем числитель уже будущей дроби: полученную «7» умножаем на знаменатель «3» и из числителя «23» вычитаем полученное. Как бы находим то лишнее, что остается от числителя «23», если изъять максимальное количество «3». Знаменатель оставляем без изменения. Все сделано, записываем результат
Из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и сделать эту разность числителем; в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом.
Сложение и вычитание смешанных дробей
Быстрое определение: смешанная дробь — это целое число | |
| 1 3 / 4 | |
| (одна и три четверти) |
Чтобы упростить их сложение и вычитание, просто сначала преобразуйте в неправильные дроби:
Быстрое определение: у неправильной дроби верхнее число (это « верхний тяж ») | |
| 7 / 4 | |
| (семь четвертей или семь четвертей) |
Вы видите, что 1 3 4 совпадает с 7 4 ?
Другими словами, «одна и три четверти» — это то же самое, что «семь четвертей».
Добавление смешанных фракций
Я считаю, что это лучший способ добавить смешанные фракции:
(Вы можете прочитать, как преобразовать из или в смешанные дроби)
Пример: что такое 2
3 4 + 3 1 2 ?Преобразовать в неправильные дроби:
2 3 4 знак равно 11 4
3 1 2 знак равно 7 2
Общий знаменатель 4:
11 4 остается как 11 4
7 2 становится 14 4
(путем умножения верха и низа на 2)
Теперь добавить:
11 4 + 14 4 знак равно 25 4
Преобразовать обратно в смешанные дроби:
25 4 = 6 1 4
Когда вы набираетесь опыта, вы можете делать это быстрее, как в этом примере:
Пример: Что такое 3
5 8 +1 3 4Преобразовать в неправильные дроби:
3 5 8 знак равно 29 8
1 3 4 знак равно 7 4
Сделайте тот же знаменатель: 7 4 становится 14 8 (путем умножения верха и низа на 2)
И добавить:
29 8 + 14 8 знак равно 43 8 = 5 3 8
Вычитание смешанных дробей
Просто следуйте тому же методу, но вместо прибавления вычтите:
Пример: что такое 15
3 4 — 8 5 6 ?Преобразовать в неправильные дроби:
15 3 4 знак равно 63 4
8 5 6 знак равно 53 6
Общий знаменатель 12:
63 4 становится 189 12
53 6 становится 106 12
Теперь вычесть:
189 12 — 106 12 знак равно 83 12
Преобразовать обратно в смешанные дроби:
83 12 = 6 11 12
Смешанные фракции
(также называется « смешанных номеров »)
| 1 3 4 |
| (одна и три четверти) |
Смешанная фракция
целое число
и правильная дробь
комбинированный.
Например, 1 3 4
Примеры
Видите, как каждый пример состоит из целого числа и правильной дроби вместе? Именно поэтому ее называют «смешанной» дробью (или смешанным числом).
Имена
Мы можем дать названия каждой части смешанной дроби:
Три типа дробей
Дробь бывает трех видов:
Смешанные или неправильные фракции
Мы можем использовать неправильную или смешанную дробь, чтобы показать одинаковую сумму.
Например, 1 3 4 = 7 4 , как показано здесь:
Преобразование неправильной дроби в смешанную дробь
Чтобы преобразовать неправильную дробь в смешанную дробь, выполните следующие действия:
| |
Пример: преобразовать
11 4 в смешанную дробь.Разделить:
11 ÷ 4 = 2 с остатком 3
Запишите 2, а затем запишите остаток (3) над знаменателем (4).
Ответ:
2 3 4
Этот пример можно записать так:
Пример: преобразовать
10 3 в смешанную дробь.Ответ:
3 1 3
Преобразование смешанной дроби в неправильную дробь
Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную дробь, выполните следующие действия:
| |
Пример: преобразовать 3
2 5 в неправильную дробь.Умножьте целую часть числа на знаменатель:
3 × 5 = 15
Добавьте это в числитель:
15 + 2 = 17
Затем напишите этот результат над знаменателем:
17 5
Мы можем сделать числитель за один раз:
Пример: преобразовать 2
1 9 в неправильную дробь.Неправильные дроби — плохо?
НЕТ, неплохие!
По математике они на самом деле на лучше, чем на , чем смешанные дроби. Потому что смешанные дроби могут сбивать с толку, когда мы записываем их в формулу: , следует ли складывать или умножать две части?
| Смешанная фракция: | Что такое: | 1 + 2 1 4 | ? | ||
|---|---|---|---|---|---|
| Это: | 1 + 2 + 1 4 | = 3 1 4 ? | |||
| Или это: | 1 + 2 × 1 4 | = 1 1 2 ? | |||
| Неправильная фракция: | Что такое: | 1 + 9 4 | ? | ||
| Это: | 4 4 + 9 4 = 13 4 |
Но для повседневного использования люди лучше понимают смешанные дроби.
Пример: легче сказать «Я съел 2 1 4 сосисок», чем «Я съел 9 4 сосисок»
Операций со смешанными числами
Добавление смешанных чисел
Чтобы добавить смешанные числа , сначала преобразуйте каждое смешанное число в неделимая дробь . Затем сложите неправильные дроби и запишите ответ в простейшая форма .
Пример :
3 2 5 + 4 1 5 знак равно 17 5 + 21 год 5 знак равно ( 17 + 21 год ) 5 знак равно 38 5 или 7 3 5
Примечание: Вы можете использовать другой метод для сложения смешанных чисел.Сначала сложите части целого числа, а затем добавляйте дробные части по отдельности. Затем напишите ответ в простейшей форме. Например:
3 2 5 + 4 1 5 знак равно ( 3 + 4 ) + ( 2 5 + 1 5 ) знак равно 7 + 2 + 1 5 знак равно 7 + 3 5 знак равно 7 3 5
Вычитание смешанных чисел
Чтобы вычесть смешанные числа, сначала перепишите каждое смешанное число как неправильную дробь.Затем вычтите неправильные дроби и запишите ответ в простейшей форме.
Пример :
9 1 6 — 5 2 6 знак равно 55 6 — 32 6 знак равно 55 — 32 6 знак равно 23 6 или 3 5 6
Умножение смешанных чисел
Чтобы умножить смешанные числа, сначала перепишите каждое смешанное число как неправильную дробь.Затем перемножьте неправильные дроби и запишите результат в простейшем виде.
Пример :
2 2 3 ⋅ 3 1 5 знак равно 8 3 ⋅ 16 5 знак равно 128 15 знак равно 8 8 15
Деление смешанных чисел
Чтобы разделить смешанные числа, сначала перепишите каждое смешанное число как неправильную дробь.Затем, чтобы разделить неправильные дроби, умножьте первую дробь на мультипликативный обратный второй фракции.
Пример :
3 1 2 ÷ 4 2 3 знак равно 7 2 ÷ 14 3
Мультипликативная обратная величина 14 3 является 3 14 .
знак равно 7 2 ⋅ 3 14 знак равно 21 год 28 год знак равно 3 4
Добавление дробей с целыми числами в eMathHelp
Сложение дробей с целыми числами по сути то же самое, что преобразование смешанного числа в неправильную дробь (просто помните, как правильно складывать целые числа).
Действительно, предположим, что мы хотим сложить целое число $$$ {m} $$$ и дробь $$$ \ frac {{n}} {{q}} $$$.
Если $$$ \ frac {{n}} {{q}} $$$ — правильная дробь, то $$$ {m} \ frac {{n}} {{q}} $$$ — смешанное число а задача — преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
Если $$$ \ frac {{n}} {{q}} $$$ — неправильная дробь, это мало что меняет.
Известно, что целое число $$$ {m} $$$ можно представить в виде дроби $$$ \ frac {{m}} {{1}} $$$.
Теперь $$$ {m} + \ frac {{n}} {{q}} = \ frac {{m}} {{1}} + \ frac {{n}} {{q}} = \ frac {{{m} {q}}} {{q}} + \ frac {{n}} {{q}} = \ frac {{{m} {q} + {n}}} {{q }} $$$.
Формула для сложения дробей с целыми числами : $$$ {\ color {green} {{{m} + \ frac {{n}} {{q}} = \ frac {{{m} {q}) + {n}}} {{q}}}}} $$$.
Пример 1. Найдите $$$ {3} + \ frac {{6}} {{7}} $$$.
Решим пошагово:
$$$ {3} + \ frac {{6}} {{7}} = \ frac {{3}} {{1}} + \ frac {{ 6}} {{7}} = \ frac {{{3} \ cdot {\ color {red} {{{7}}}}}} {{{1} \ cdot {\ color {red} {{{ 7}}}}}} + \ frac {{6}} {{7}} = \ frac {{21}} {{7}} + \ frac {{6}} {{7}} = \ frac { {27}} {{7}} $$$.
Если вам нужно смешанное число, преобразуйте $$$ \ frac {{27}} {{7}} $$$ в смешанное число: $$$ \ frac {{27}} {{7}} = {3 } \ frac {{6}} {{7}} $$$ (обратите внимание, что это то же самое, что и $$$ {3} + \ frac {{6}} {{7}} $$$).
Ответ : $$$ \ frac {{27}} {{7}} = {3} \ frac {{6}} {{7}} $$$.
Следующий пример.
Пример 2. Найдите $$$ — {9} + \ frac {{13}} {{8}} $$$.
Воспользуемся прямой формулой:
$$$ — {9} + \ frac {{13}} {{8}} = \ frac {{- {9} \ cdot {8} + {13}}} { {8}} = \ frac {{- {72} + {13}}} {{8}} = — \ frac {{59}} {{8}} $$$.
Преобразуйте в смешанное число, если необходимо: $$$ — \ frac {{59}} {{8}} = — {7} \ frac {{3}} {{8}} $$$
Ответ : $$$ — \ frac {{59}} {{8}} = — {7} \ frac {{3}} {{8}} $$$.
Следующий пример.
Пример 3. Найдите $$$ — \ frac {{9}} {{4}} + {\ left (- {3} \ right)} $$$.
$$$ — \ frac {{9}} {{4}} + {\ left (- {3} \ right)} = — \ frac {{9}} {{4}} + {\ left ( — \ frac {{{3} \ cdot {\ color {red} {{{4}}}}}} {{{1} \ cdot {\ color {red} {{{4}}}}}}} \ right)} = — \ frac {{9}} {{4}} + {\ left (- \ frac {{12}} {{4}} \ right)} = \ frac {{- {9} + { \ left (- {12} \ right)}}} {{4}} = \ frac {{- {9} — {12}}} {{4}} = — \ frac {{21}} {{4 }} $$$.
Преобразовать в смешанную дробь, если необходимо: $$$ — \ frac {{21}} {{4}} = — {5} \ frac {{1}} {{4}} $$$.
Ответ : $$$ — \ frac {{21}} {{4}} = — {5} \ frac {{1}} {{4}} $$$.
А теперь пора попрактиковаться.
Упражнение 1. Найдите $$$ {2} + \ frac {{6}} {{7}} $$$.
Ответ : $$$ \ frac {{20}} {{7}} = {2} \ frac {{6}} {{7}} $$$.
Следующее упражнение.
Упражнение 2. Найдите $$$ {9} + {\ left (- \ frac {{29}} {{5}} \ right)} $$$.
Ответ : $$$ \ frac {{16}} {{5}} = {3} \ frac {{1}} {{5}} $$$.
Следующее упражнение.
Упражнение 3. Найдите $$$ — {5} + \ frac {{99}} {{8}} $$$.
Ответ : $$$ \ frac {{59}} {{8}} = {7} \ frac {{3}} {{8}} $$$.
Как складывать дроби и смешанные дроби
Дроби являются частью повседневной жизни. Их используют во всех сферах, от статистики до кулинарии. От оценки количества осадков до определения времени — они являются мерой различных величин, связанных с любым измеряемым веществом.
Проще говоря, дроби являются частью поровну разделенного сегмента.В более точных математических терминах дробь используется для представления равных частей коллекции.
Например, давайте представим, что мальчик ест 3/4 часть торта. Это означает, что торт делится на четыре равные части, и мальчик съедает три части или порции торта.
Как представлены дроби
Дробь обычно представлена двумя числами, разделенными линией. Число, которое написано над линией, называется числителем. Знаменатель — это число под чертой.Знаменатель используется для представления общего количества равных частей коллекции. Числитель используется для представления частей или частей коллекции.
Смешанные фракции
Смешанную дробь также иногда называют смешанным числом. Смешанная дробь состоит из двух частей: целой части и дробной части, т. Е. 3 1/4.
Неправильная дробь образуется, если число в знаменателе меньше числа в числителе, то есть 3/4.
Обычно неправильную дробь переводят в смешанную.Например, 23/4 — неправильная дробь. При преобразовании в смешанную фракцию получается 5 ¾.
Шаги для преобразования неправильной фракции в смешанную фракцию
- Возьмите числитель дроби (число над чертой) на и разделите его на знаменатель неправильной дроби (число под чертой).
- Знаменатель считается делителем, а числитель — делимым.
- Частное деления, выполненного на «этапе 1», записывается как целочисленная часть смешанной дроби.
- Запишите делитель в качестве знаменателя, а остаток в качестве числителя смешанной дроби
Пример
Преобразовать 9/4 в смешанную фракцию. Вы можете преобразовать неправильную дробь 9/4 в смешанную, выполнив следующие действия.
- Числитель здесь 9, а знаменатель 4. Итак, разделив 9 на 4
- После деления 9 на 4 получается 2 в качестве частного.
- При делении 9 на 4 в качестве остатка получается 1.
Полученная смешанная фракция будет 2 ¼.
Шаги для преобразования смешанной фракции в неправильную фракцию
- Умножьте знаменатель на целое число, затем сложите полученный результат с числителем.
- Запишите ответ, полученный на шаге 1, в числитель дроби. Знаменатель оставьте неизменным.
Пример
Давайте рассмотрим смешанную дробь, 2 ¾, и преобразуем ее в неправильную дробь. Чтобы разбить это, знаменатель смешанной дроби равен 4, а числитель равен 3.Целая числовая часть смешанной дроби равна 2. Выполните следующие действия:
- Умножьте знаменатель 4 на целое число 2. Получится 8. Затем к 8 добавьте числитель 3.
- Запишите 11 в числитель дроби. Оставьте тот же знаменатель. В результате получается неправильная дробь 11/4.
Добавление фракции и смешанной фракции
Сложение дробей со смешанными дробями — это, по сути, нахождение суммы обеих дробей. Шаги, чтобы найти добавление смешанной фракции к фракции, обсуждаются ниже:
- Преобразует смешанные фракции в неправильную дробь.
- Проверьте знаменатели дроби и найдите НОК (наименьшее общее кратное).
- Разделите результат НОК на знаменатель каждой дроби и умножьте числитель на частное.
- Сложите сумму произведения и поместите НОК в знаменатель.
[(Числитель дроби 1 * (НОК / знаменатель дроби 1)] + [Числитель дроби 2 * (НОК / знаменатель дроби 2)] / НОК
Пример
Нахождение суммы ¼ + 3 ½.Вы можете сложить две дроби, ¼ и 3 ½, выполнив следующие шаги:
- Есть только одна смешанная дробь из двух операндов, равных 3 ½. После преобразования 3 ½ в неправильную дробь результат становится 7/2.
- Знаменатели двух дробей — 2 и 4. НОК 2 и 4 равны 4.
- Результат НОК: 4. Разделите НОК со знаменателем ¼, так что 4 разделится на знаменатель 4. В результате получится 1, которую вы умножите на числитель, 1, в результате получится сумма 1.
Точно так же нужно выполнить тот же шаг во второй дроби. Сумма будет равна 14. Наконец, вы можете сложить сумму произведения и поместить НОК в знаменатель.
- ([Числитель дроби 1 * (НОК / знаменатель дроби 1)] + [Числитель дроби 2 * (НОК / знаменатель дроби 2)]) / НОК
- = ([1 * (4/4)] + [7 * (4/2)]) / 4
- = (1 + 14) / 4 = 15/4
После сложения результат будет 15/4, что является неправильной дробью.Однако его можно было преобразовать в смешанную фракцию. Действия по преобразованию неправильной фракции в смешанные описаны выше.
Заключение
Дроби очень важны не только для математики, но и в нашей повседневной жизни. Вычисление с использованием дробей требуется практически во всех областях, поэтому понимание того, как преобразовывать смешанные и неправильные дроби, сэкономит ваше время и поможет обеспечить точность результатов.
Оставьте первый комментарий ниже.
Сложение и вычитание смешанных чисел
Сложение и вычитание смешанного числа очень похоже на сложение и вычитание правильных дробей.Большая разница в том, что в смеси есть целые числа.
1.) Шаг 1 : Отделите целое число от дробей.(5 + 3) + ()
Шаг 2 : Теперь мы сложим целые числа и сложим дроби.
5 + 3 = 8
Для сложения дробей нам потребуются общие знаменатели.
Теперь, когда у нас есть общие знаменатели, мы можем сложить числители и оставить знаменатель прежним.
Шаг 3 : Запишите ответ на обе части в виде смешанного числа:
2.) Мы проделаем те же шаги в этом примере с одним небольшим изменением в конце.Шаг 1 : Отделите целое число от дробной части каждого числа.
2 + 6 +
Шаг 2 : Сложите целые числа, а затем сложите дроби.
2 + 6 = 8
Опять же, нам нужно будет получить общие знаменатели, чтобы мы могли складывать дроби.
Знаменатель второй дроби уже равен 10, поэтому мы готовы сложить.
В этом примере ответом на дробную часть является неправильная дробь. Измените его на смешанное число, чтобы его можно было добавить к целой числовой части задачи.
Шаг 3 : Добавьте целочисленный ответ к дробному ответу.
Следовательно,
Шаги для вычитания смешанных чисел очень похожи на шаги для сложения смешанных чисел. Однако, прежде чем работать с целым числом и дробью, вы должны получить общие знаменатели и убедиться, что вам не нужно брать взаймы.Мы рассмотрим этот пример, в котором вам не нужно брать взаймы, а в следующем примере вам нужно будет заимствовать, чтобы вы могли видеть и то, и другое.
3.) Шаг 1 : Найдите общие знаменатели.Можем вычесть без займов. Итак, мы готовы продолжить.
Шаг 2 : Вычтите целые числа и вычтите дроби.
8 — 2 = 6
Шаг 3 : Запишите ответ в виде смешанного числа.
4.) Шаг 1 : Получите общие знаменатели и определите, нужно ли вам заимствовать.В этом примере у нас есть Это пример, в котором нам нужно заимствовать 1 из 7. Однако имейте в виду, что 1 действительно
Итак,
Шаг 2 : Вычтите целые числа и дроби .
Новая задача:
6 — 3 = 3
Шаг 3 : Запишите ответ в виде смешанного числа.
Существуют и другие методы, например использование неправильных дробей, но если вам нужен смешанный ответ, это может стать трудным.Цифры могут быть очень большими, что облегчает совершение ошибок.
Что такое сложение смешанных чисел?
Добавление смешанных чиселДробь, состоящая из целого числа и дробной части, называется смешанным числом.
Неправильные дроби, дроби больше единицы, записанные в виде целого числа и правильной дроби, называются смешанными числами.
Сложение смешанных чисел с одинаковыми знаменателями
В одной корзине 2 4 ⁄ 5 кг яблок, а в другой — 3 3 ⁄ 5 кг яблок.Сколько всего яблок в обеих корзинах?
Здесь, чтобы найти количество яблок в обеих корзинах, мы складываем смешанные числа 2 4 ⁄ 5 и 3 3 ⁄ 5 . Знаменатели обеих дробных частей одинаковы. Итак, чтобы сложить смешанные числа с одинаковыми знаменателями, мы складываем целые части вместе и дробные части вместе, а затем объединяем сумму двух, как показано ниже:
Сложите целую часть с целой частью и дробную часть с дробной частью.
Если сумма дробных частей является неправильным числом, преобразуйте ее в смешанное число.
Объедините сумму целых чисел и дробей.
Таким образом, имеется 6 2 ⁄ 5 кг яблок.
Что мы сделали:
2 4 ⁄ 5 + 3 3 ⁄ 5 = 2 + 3 + 4 ⁄ 5 + 3 ⁄ 5
= 5 + 7 ⁄ 5
= 5 + 1 2 ⁄ 5
= 6 2 ⁄ 5
Сложение смешанных чисел с разными знаменателями
Теперь давайте посмотрим на пример, чтобы понять сложение смешанных чисел с разными знаменателями.
У Сьюзан 1 4 ⁄ 7 литров апельсинового сока. У Кита 2 2 ⁄ 5 литров апельсинового сока. Сколько у них апельсинового сока?
Здесь, чтобы найти ответ, нам нужно сложить смешанные числа 1 4 ⁄ 7 и 2 2 ⁄ 5 . Здесь знаменатели обеих дробных частей разные.
Для сложения смешанных чисел используйте любой из следующих методов:
Метод 1 :
- Сложите отдельно целые числа и отдельно сложите непохожие дроби.
Добавить 1 4 ⁄ 7 + 2 2 ⁄ 5 | |
Сложение целых чисел | Сложение Отличие дробей |
| 1 + 2 = 3 | 4 ⁄ 7 + 2 ⁄ 5 НОК 7 и 5 равно 35. Следовательно, 4 ⁄ 7 = 4 ⁄ 7 x 5 ⁄ 5 = 20 ⁄ 35 и 2 ⁄ 5 = 2 ⁄ 5 x 7 ⁄ 7 = 14 ⁄ 35 так, 4 ⁄ 7 + 2 ⁄ 5 = 20 ⁄ 35 + 14 ⁄ 35 = 34 ⁄ 35 |
3 + 34 ⁄ 35 = 3 34 ⁄ 35
Метод 2 :
1 4 ⁄ 7 = 11 ⁄ 7 и 2 2 ⁄ 5 = 12 ⁄ 5
1 4 ⁄ 7 + 2 2 ⁄ 5 = 11 ⁄ 7 + 12 ⁄ 5
Следовательно,
НОК 7 и 5 = 35
Итак,
11 ⁄ 7 = 11 ⁄ 7 x 5 ⁄ 5 = 55 ⁄ 35
и
12 ⁄ 5 = 12 ⁄ 5 x 7 ⁄ 7 = 84 ⁄ 35
Следовательно,
11 ⁄ 7 + 12 ⁄ 5 = 55 ⁄ 35 + 84 ⁄ 35
= 139 ⁄ 35
139 ⁄ 35 = 3 34 ⁄ 35
.