Как строить график функции квадратного уравнения: Построение графика квадратичной функции — урок. Алгебра, 8 класс.

2+bx_в+с\)
Ось симметрии проходит через вершину параболы и параллельна оси \(y\) (ординат). \(x_1\) и \(x_2\) – нули функции. Их можно найти, приравняв формулу функции к нулю и решив соответствующее квадратное уравнение.

Содержание

3 параметра позволяющих сопоставить формулу квадратичной функции и график:

1.

\(a>0\) — ветви параболы направлены вверх

\(a<0\) — ветви параболы направлены вниз

2.

\(c\) равна ординате точки пересечения
графика с осью \(y\)

3.

2+5x+1\)      \(x_в= \frac{-5}{2}=-2,5\) так же как на графике 3

Ответ:  


Как построить график квадратичной функции (параболу)?

Квадратичную функцию можно строить, как и все остальные, выбирая точки наугад (подробнее можно прочитать здесь). Но есть способ позволяющий строить параболу быстрее, выбирая точки осмысленно.

  1. Найдите координаты вершины параболы. Поставьте точку вершины на координатной плоскости и проведите через неё ось симметрии параболы.
  2. Найдите точку пересечения графика с осью \(y\): \(x=0;y=c\). Постройте точку симметричную точке \((0;c)\) относительно оси параболы.
  3. Найдите координату целой точки, лежащей вблизи оси параболы.  Отметьте  симметричную ей точку на плоскости.

  4. Соедините точки плавной линией.

\(a=2\), \(b=8\), \(c=2\)

1. 2-4x+2$$

Графики функций. Прямая. Парабола. Функция корня. Тригонометрические функции

Факт 1.
\(\bullet\) Линейная функция – функция вида \(f(x)=kx+b\), где \(k,b\) – некоторые числа.
\(\bullet\) Графиком линейной функции является прямая.
\(\bullet\) Если \(b=0\), то прямая проходит через начало координат.
\(\bullet\) Графиком \(x=a\) является прямая, параллельная оси \(Oy\).
\(\bullet\) Графиком \(y=с\) является прямая, параллельная оси \(Ox\).
\(\bullet\) Для \(f(x)=kx+b\) коэффициент \(k\) равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси \(Ox\).

\(k_1=\mathrm{tg}\alpha\), \(k_2=\mathrm{tg}\beta\).
\(\bullet\) Если две прямые \(y=k_1x+b_1\) и \(y=k_2x+b_2\) параллельны, то \(k_1=k_2\).
\(\bullet\) Если эти прямые взаимно перпендикулярны, то \(k_1\cdot k_2=-1\).  

Факт 2.
\(\bullet\) Квадратичная функция – функция вида \(f(x)=ax^2+bx+c\), где \(a, b, c\) – некоторые числа, причем \(a\ne 0\). 2+cx+d\) выглядит, например, как \((3)\).


 

Факт 4.
\(\bullet\) Функция корня – функция \(f(x)=\sqrt x\).
\(\bullet\) График функции \(y=\sqrt x\):

\(\bullet\) Заметим, что \(y=\sqrt x\) определена при \(x\geqslant 0\) и принимает значения \(y\geqslant 0\).  

Факт 5.
\(\bullet\) Графиком функции \(y=\sin x\) является синусоида

\(\bullet\) Графиком функции \(y=\cos x\) также является синусоида, но сдвинутая на \(\frac{\pi}2\) единиц влево по оси \(Ox\)

\(\bullet\) Обе функции \(y=\sin x\) и \(y=\cos x\) периодичны с периодом \(2\pi\). Обе функции могут принимать значения \(y\in [-1;1]\).
\(\bullet\) Функция \(y=\sin x\) – нечетная, функция \(y=\cos x\) – четная.  

Факт 6.
\(\bullet\) График функции \(y=\mathrm{tg} \,x\)

Прямые \(x=k\cdot \frac{\pi}2\), где \(k\) – нечетное число, являются асимптотами графика (то есть график их не пересекает). x\in (0;+\infty)\):

Ее график всегда проходит через точку \((0;1)\).  

Факт 8.
\(\bullet\) Логарифмическая функция \(y=\log_ax\) при \(a>1\) является возрастающей, ее область определения \(x>0\), ее область значений \((-\infty;+\infty)\):

Ее график всегда проходит через точку \((1;0)\).

 

\(\bullet\) Логарифмическая функция \(y=\log_ax\) при \(0<a<1\) является убывающей, ее область определения \(x>0\), ее область значений \((-\infty;+\infty)\):

Ее график всегда проходит через точку \((1;0)\).

 

Пошаговое руководство построение графика квадратичной функции

Для того, чтобы начертить график функции в Прямоугольной системе координат, нам необходимы две перпендикулярные прямые xOy (где O это точка пресечения x и y), которые называются «координатными осями», и нужна единица измерения.

У точки в этой системе есть две координаты.
M(x, y): M это название точки, x это абсцисса и она измеряется по Ox, а y это ордината и мерится по Oy. 2-\frac{\Delta}{4a}$
где Δ = b2 — 4ac

Если a > 0, то минимальным значением f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. Графиком будет выпуклая парабола, вершина которой (точка, в которой она меняет направление) это $V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Если a < 0, то минимальное значение f(x) будет $-\frac{\Delta}{4a}$ , которое получается, если $x=-\frac{b}{2a}$. Графиком будет вогнутая парабола, вершина которой это$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

Парабола симметрична относительно прямой, которую она пересекает $x=-\frac{b}{2a}$ и которая называется «осью симметрии».
Именно поэтому, когда мы присваиваем знаячения x, то вибираем их симметричными относительно $-\frac{b}{2a}$.
При построении графика, точки пересечения с осями координат очень важны.

|. Точка, расположенная на оси Ox имеет форму P(x, 0), потому что расстояние от неё до Ox равно 0. Если точка находиться и на Ox и на графике функции,то она также имеет вид P(x, f(x)) ⇒ f(x) = 0.

Таким образом, для того чтобы найти координаты точки пересечения с осью Ox, мы должны решить уравнение f(x)=0. Мы получаем уравнение a2 + bx + c = 0.

Решение уравнения зависит от знака Δ = b2 — 4ac.

Иммем следующие варианты:

1) Δ < 0,
тогда у уравнения нет решений в R (множестве действительных чисел) и график не пересекает Ox. Форма графика будет:

или

2) Δ = 0,
тогда у уравнения два решения $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$
График касается оси Ox в вершине параболы. Форма графика будет:

или

3) Δ > 0,
тогда у уравнения два разных решения.

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ и $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$

График функции будет пересекать ось Ox в точках M(x1 и Ox. Форма графика будет:

или

||. Точка, находящаяся на оси Oy имеет форму R(0, y), потому что расстояние от Oy равно 0. Если точка находиться и на Oy и на графике функции, то она также имеет форму

R(x, f(x)) ⇒ x = 0 ⇒ R(0, f(0)).

В случае квадратичной функции,
f(0) = a×02 + b×0 + c ⇒ R(0, c).

Необходимые шаги для построения графика квадратичной функции

f: R → R
f(x) = ax2 + bx + c

1. Составляем таблицу переменных, куда заносим некоторые важные значения x.

2. Вычисляем координаты вершины$V(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a})$.

3. Также записываем 0 в таблицу и нулевые значения симметричные $-\frac{b}{2a}$.

или

4. Мы определяем точку пересечения с осью Ox,решая уравнение f(x)=0 и записываем корни x1 и x2 в таблице.
Δ > 0 ⇒

Δ < 0 ⇒ точек пересечения нет. В этом случае мы выберем два удобных значения, которые симметричны $-\frac{b}{2a}$

Δ = 0 ⇒ график касается Ox прямо в вершине параболы. Мы снова выберем два удобных значения, симметричных $-\frac{b}{2a}$. Для лучшего определения формы графика мы может выбрать другие пары значений для

x, но они должны быть симметричны $-\frac{b}{2a}$.

5. Мы наносим эти значения на систему координат и строим график, соединяя эти точки.

Пример 1
f: R → R
f(x) = x2 — 2x — 3
a = 1, b = -2, c = -3
Δ = b2 — 4×a×c = (-2)2 — 4×1×(-3) = 16
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{16}{4}=-4$

2. f(0) = -3
Симметричное 0 значение относительно 1 равно 2.
f(2) = -3

3. f(x) = 0 ⇒ x2 — 2x — 3 = 0
Δ = 16 > 0
$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{2-4}{2}=-1$

$x_1=\frac{2+4}{2}=3$

Мы нашли точки:
A(-1; 0)
B(0; -3)
V(1; -4)
C(2; -3)
D(3; 0)

График будет иметь вид:

Пример 2
f: R → R
f(x) = -x2

— 2x + 8
a = -1, b = -2, c = 8
Δ = b2 — 4×a×c = (-2)2 — 4×(-1)×8 = 36
$-\frac{b}{2a}=\frac{2}{-2}=-1$ ⇒ V(-1; 9)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-36}{-4}=9$

2. f(0) = 8
f(-2) = 8 (симметричное 0 значение относительно -1 равно -2)

3. f(x) = 0 ⇒ -x2 — 2x + 8 = 0
Δ = 36
x1 = 2 и x2 = -4

A(-4; 0)
B(-2; 8)
V(-1; 9)
C(0; 8)
D(2; 0)

Пример 3
f: R → R
f(x) = x2 — 4x + 4
a = 1, b = -4, c = 4
Δ = b2 — 4×a×c = (-4)2 — 4×1×4 = 0
$-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$ ⇒ V(2; 0)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=0$

2. f(0) = 4
f(4) = 4 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

3. f(x) = 0 ⇒ x2 — 4x + 4 = 0
Δ = 0
x1 = x2 = $-\frac{b}{2a}$ = 2

A(-2; 9)

B(0; 4)
V(2; 0)
C(4; 4)
D(5; 9)

Пример 4
f: R → R
f(x) = -x2 + 4x — 5
a = -1, b = 4, c = -5
Δ = b2 — 4×a×c = 42 — 4×(-1)×(-5) = 16 — 20 = -4
$-\frac{b}{2a}=\frac{-4}{-2}=2$ ⇒ V(2; -1)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-\frac{-4}{-4}=-1$

2. f(0) = -5
f(4) = -5 (симметричное 0 значение относительно 2 равно 4)

3. f(x) = 0 ⇒ -x2 + 4x — 5 = 0, Δ < 0
У этого уравнения нет решений. Мы выбрали симметричные значения вокруг 2

A(-1; -10)
B(0; 5)
V(2; -1)
C(4; -5)
D(5; -10)

Если область определения не R (множество действительных чисел), а какой-то интервал, то мы стираем часть графика, которая соответствует тем значениям x, которые не находятся в данном интервале. Необходимо записать конечные точки интервала в таблице.

Пример 5

f: [0; +∞) → R
f(x) = x2 — 2x — 3
a = 1, b = -2, c = -3
Δ = b2 — 4×a×c = (-2)2 — 4×1×(-3) = 16
$-\frac{b}{2a}=1$ ⇒ V(1; -4)

1. $-\frac{\Delta}{4a}=-4$

2. f(0) = -3
f(2) = -3 симметричное 0 значение относительно 1 равно 2)

3. f(x) = 0 ⇒ x2 — 2x — 3 = 0, Δ = 16
x1 = -1 ∉ [0; ∞)
x2 = 3

A(0; -3)
V(1; -4)
B(2; -3)
C(3; 0)

Квадратичная функция, парабола, график, свойства: нули, вершина, ось симметрии, промежутки возрастания, убывания.

Тесты

Тестирование онлайн

  • Квадратичная функция

Определение. График

Квадратичной (квадратной) функцией называется функция вида

где a, b, с — числа.

Графиком квадратичной функции является парабола.

Парабола имеет вершину, ось, проведенная через вершину и параллельная оси Оу, делит параболу на две симметричные части. Вершиной параболы называется точка

Если коэффициент а>0, то ветви параболы направлены вверх, если a, то ветви параболы направлены вниз.

Свойства квадратичной функции y=x

2

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, т.е.

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Значение функции y=0 является наименьшим, а наибольшего значения функция не имеет.

4) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

5) Функция непериодическая.

6)Парабола имеет с осями координат единственную общую точку (0;0) — начало координат.

7) Значение аргумента x=0 является нулем функции.

8) На промежутке функция убывающая, а на промежутке — возрастающая.

9) Функция принимает положительные значения на множестве , т.е. все точки параболы, кроме начала координат.

Преобразование параболы

Функция y=x2 — частный случай квадратичной функции.

Квадратичную функцию всегда можно привести у виду , а затем построить параболу с помощью ее геометрических преобразований.

Для построения параболы необходимо:

1) Найти координаты вершины

2) Построить ось симметрии, проанализировать куда направлены ветви параболы

3) Найти точки пересечения параболы с осью Ox (нули), если они есть, решив уравнение

4) Найти точку пересечения с осью Оу, решив уравнение

Построение графика квадратичной функции — презентация онлайн

1.

Функция у = а (х -x0) +y0 Функция
2
у = а (х -x ) +y
0
0

2. Указать координаты вершины параболы

2
1)у=-2(х-7) +3
(7;3)
2)у=3(х-8)
2
2
(8;0)
3)у=-(х+2) -6
(-2;-6)
2
4)у=4х -1
(0;-1)
y x
2
y x 3
2
y x 3
2
y x
2
y x 2
2
y x 2
2
y 2x
2
y 2 x 1
2
y 2 x 1 3
2
2
у=(х+2)
2
у=(х+2)
2
2)у = (х-3)
2
4)у = — х +1
2
6)y= (х+2) + 1
2
3) y = х — 2
2
5)y= — (х — 1) — 3
2
2
уУ=
= |х
х — -22|
2
у=│Х — 2│
2
у=│1-х │
2
У=│1 – Х │
у=1-х
2
Построить график функции
2
у=││-х +4│- 5│
2y=│-x 2+4│
y=││-x +4│-5│
2
y=│-x +4│-5
2
y=-x +4

16. Решите графически уравнение (х-2) = -x +10

Решите графически уравнение
2
2
(х-2) = -x +10
y = (x-2)
2
2
y = (x-2)
2
y=-x +10
-1
2
y=-x +10
3
Ответ:х=-1;х=3

17.

Преобразование графика функции y= f(x) y=f(x-m)
y=f(x+m)
вправо на m
влево на m
y=f(x)-n
y=f(x)+n
вниз на n
на n
вверх
y=f(x-m)+n
вправо на m вверх на n
у=│f(x)│
m>0
n>0
№1 Найдите пары: «Квадратичная функция-график этой
функции» и отметьте знаком «+»
у=-(х-1) 2-2
2
у=(х-2) +1
2
у=-(х+1) +2
2
у=(х+2) +1
у=х 2-2х+3
№2 Даны пары: «Квадратичная функция- координаты вершины
параболы».Укажите верные и неверные соответствия

Квадратичная функция
2
1
у=(х+4) — 5
2
у=(х+12) — 4
3
у=-(х- 5) +3
4
у=-(х+8) — 9
5
у=(х+12) +20
2
2
2
2
Координаты вершины параболы
(- 4;- 5)
(12;- 4)
(- 5;- 3)
(- 8;- 9)
(-12;20)

19. Домашнее задание

Решить графически уравнения:
2
2
1)х +2= — (х+2)
2
2
2)х +2= 5(х-3)

20. Частное суммы смежных углов и наибольшего числа корней квадратного уравнения

21.

К сумме углов треугольника прибавить произведение корней квадратного трехчлена х-3х-10 К сумме углов треугольника
прибавить произведение
корней квадратного
2
трехчлена х-3х-10

22. Спасибо за урок !

23. Библиография:

1)Беляцкая Н.А. «Квадратичная функция и ее график»

Графические квадратные уравнения

Квадратное уравнение это многочлен уравнение степень 2 . Стандартная форма квадратного уравнения:

0 знак равно а Икс 2 + б Икс + c

где а , б и c все реальные числа и а ≠ 0 .

В этом уравнении ( 0 , c ) это у -перехват параболы.

Знак а определяет, открывается ли парабола вверх или вниз: если а положительна, парабола открывается, а если а отрицательный, открывается вниз.

Если а имеет высокое абсолютное значение, парабола «тощая»; если он имеет низкое абсолютное значение, парабола широкая.

Обратите внимание, что уравнение для синей параболы имеет а знак равно 3 , положительное число больше, чем 1 ; поэтому он тонкий и открывается вверх.Он также имеет c знак равно — 2 , так что у -перехват — 2 .

Уравнение для красной параболы имеет а знак равно — 1 8 , отрицательное число, близкое к 0 ; поэтому он широкий и открывается вниз. Он также имеет c знак равно — 6 , так что у -перехват — 6 .

Даже если ты знаешь у -перехватываю, не всегда легко набросать график параболы, записанный в стандартной форме.Вы можете использовать таблицу значений ИЛИ преобразовать уравнение в другую форму, например:

Форма вершины : у знак равно а ( Икс — час ) 2 + k

Эта форма уравнения для квадратичной функции называется форма вершины , потому что мы можем легко прочитать вершину параболы: точку ( час , k ) . Значение а такой же, как в стандартной форме, и оказывает такое же влияние на график.

Пример 1:

Постройте график функции ж ( Икс ) знак равно — 1 2 ( Икс — 1 ) 2 + 2

Здесь уравнение имеет форму вершины. Вершина параболы равна ( 1 , 2 ) .С а знак равно — 1 2 , парабола открывается вниз и немного шире.

Когда квадратное уравнение легко записать в факторизованная форма , вы можете использовать это, чтобы быстро нарисовать график.

Пример 2:

Постройте график функции у знак равно Икс 2 + Икс — 6 .

Это уравнение может быть учтенный и написано как

у знак равно ( Икс + 3 ) ( Икс — 2 )

Здесь мы сразу видим, что когда Икс равно — 3 или 2 , у равно 0 .Так ( — 3 , 0 ) и ( 2 , 0 ) являются Икс -перехватывает. С а в этом случае положительна (коэффициент при Икс 2 является 1 ) график открывается вверх. {2} у = х2.

Пример графика простого квадратичного выражения

Существует так много разных типов задач, которые вам могут задать относительно квадратных уравнений. В этой статье основное внимание будет уделено тому, как мы можем построить квадратное уравнение из квадратичного графа, используя несколько разных методов. Но, прежде чем мы перейдем к этим типам задач, найдите момент, чтобы поиграть с квадратичными выражениями в этом замечательном онлайн-калькуляторе для построения графиков. Чем удобнее вы будете работать с квадратичными графиками и выражениями, тем проще будет эта тема!

А теперь приступим к решению задач с этими знаниями, а именно, как найти уравнение параболы!

Как найти квадратное уравнение из графика:

Чтобы найти квадратное уравнение из графика, можно использовать два простых метода: с использованием 2 точек или 3 точек.{2} \ mp dy = a (x ± f) 2∓d

Используя эту формулу, все, что нам нужно сделать, это перебрать вершину и другую точку, решить для a, а затем переписать наше окончательное уравнение. {2} 8 = a (−2) 2 8 = 4a8 = 4a8 = 4a а = 2а = 2а = 2 Решите значение a, используя координату

Шаг 3. Запишите квадратное уравнение

После решения «а» у нас теперь есть вся информация, необходимая для написания нашего окончательного ответа.{2} + 4y = 2 (x + 1) 2 + 4

На этом урок о форме вершин и о том, как найти квадратное уравнение по двум точкам, завершен! Если вы хотите освежить свою память на связанные темы, такие как, как решать квадратные выражения в форме вершины, как преобразовать регулярное квадратное уравнение из стандартной формы в форму вершины, заполнив квадрат, и как использовать формулу вершины, убедитесь, что чтобы посмотреть наши уроки.

2) Найдите квадратное уравнение по 3 точкам

В некоторых случаях нам не повезет, если мы получим точку на вершине.Если это так, мы больше не сможем найти квадратичное выражение, используя всего две точки, и нам нужно сделать что-то немного другое. В случае, если нам дана информация о пересечениях параболы по оси x, а также об одной другой точке, мы можем найти квадратное уравнение, используя уравнение, которое называется «факторизованной формой». Общее уравнение для формулы факторизованной формы выглядит следующим образом, где b и c являются значениями x-координат точек пересечения x:

y = a (x − b) (x − c) y = a (x — b) (x — c) y = a (x − b) (x − c)

Используя эту формулу, все, что нам нужно сделать, это подставить координаты x точек пересечения с x, другую точку, а затем найти a, чтобы мы могли записать наш окончательный ответ.Опять же, лучший способ освоить эту форму квадратных уравнений — это решить задачу-пример.

Пример:

Определите уравнение параболы, показанное на изображении ниже:

Найдите уравнение параболы

Шаг 1. Определите точки

Поскольку нам даны три точки в этой задаче, x-точки пересечения и еще одна точка, мы можем использовать факторизованную форму для решения этого вопроса.

Из графика мы видим, что точки пересечения по оси x равны -2 и 5, а точка на параболе равна (8,6).

Шаг 2. Подточки в форме вершины и решение относительно «a»

Теперь все, что нам нужно сделать, это подставить наши значения в формулу факторизованной формы и решить для «a», чтобы получить всю информацию для написания нашего окончательного квадратного уравнения. Напомним, факторизованная форма:

y = a (x − b) (x − c) y = a (x — b) (x — c) y = a (x − b) (x − c)

Используя координаты отрезков x:

ххх-перехват = -2-2-2 х = −2x = -2x = −2 (х + 2) = 0 (х + 2) = 0 (х + 2) = 0 ххх-перехват = 555 х = 5х = 5х = 5 (х-5) = 0 (х — 5) = 0 (х-5) = 0 y = (x + 2) (x − 5) y = (x + 2) (x — 5) y = (x + 2) (x − 5)

Затем мы можем использовать точку на параболе (8,6), чтобы найти «a»:

6 = a (8 + 2) (8−5) 6 = a (8 + 2) (8-5) 6 = a (8 + 2) (8−5) 6 = а (10) (3) 6 = а (10) (3) 6 = а (10) (3) 6 = 30a6 = 30a6 = 30a a = 15a = \ frac {1} {5} a = 51

Шаг 3. Запишите квадратное уравнение

После решения «а» у нас теперь есть вся информация, необходимая для написания нашего окончательного ответа.

y = 15 (x + 2) (x − 5) y = \ frac {1} {5} (x + 2) (x — 5) y = 51 (x + 2) (x − 5)

Вот и все! Это два наиболее важных метода нахождения квадратичной функции по заданной параболе. Для дальнейшего изучения квадратичных функций и их графиков посмотрите эти полезные видео, посвященные дискриминанту и построению графиков квадратичных неравенств. , и конические сечения.


College Algebra
Урок 34: Графики квадратичных функций

Цели обучения


После изучения этого руководства вы сможете:
  1. Найдите вершину квадратичной функции.
  2. Определите, является ли вершина максимальной или минимальной точкой квадратичного функция.
  3. Постройте квадратичную функцию.

Введение



В этом уроке мы рассмотрим графики квадратичных функций. График квадратичной функции называется параболой и имеет искривленную форму. форма. Одна из основных точек параболы — ее вершина. Это самая высокая или самая низкая точка на графике. Ты можешь думать как конечная точка параболы. Я покажу вам, как найти вершина, а также ось симметрии, проходящая через эту точку. Я также освежу вашу память о том, как найти x — и y — перехватывает. Если вам нужен обзор Чтобы узнать, что такое пересечения на графике, см. Учебное пособие по 26: Уравнения линий. При нахождении x -перехватов, вам придется решать квадратное уравнение.если ты Нужен обзор решения квадратных уравнений, см. Учебное пособие по 17: Квадратичные уравнения. Если вы изучаете алгебру в колледже класса, работа с квадратичными функциями неизбежна, даже если это против твоя религия. Так что, думаю, тебе лучше начать.

Учебник



Квадратичная функция

Квадратичная функция — это функция, которую
можно записать в форме

где a , b , и c
являются константами и


Обратите внимание, что в квадратичной функции на вашей независимой переменная, и это наивысшая степень.




Стандартная форма
Квадратичная функция


Иногда квадратичная функция записывается в стандартной форме. Можно оставить его в этой форме при работе с вашей проблемой. Я покажу вам, как построить параболу, используя любую форму.




График квадратичной функции

График квадратичной функции называется параболой . Это в основном представляет собой изогнутую форму, открывающуюся вверх или вниз.



Если у вас есть квадратичная функция в любой форме, ИЛИ,

, если a > 0, , то парабола открывается с на ,

если a <0, , то парабола открывается на вниз на .



Вершина — самая низкая или самая высокая точка (в зависимости от направления) на графике квадратичной функции.

Нахождение вершины по форме ,:

Если ваша квадратичная функция имеет вид ,, затем

вершина = .

В основном вы найдете значение x сначала вершина, а затем просто вставьте это значение в функцию, чтобы получить y или функциональное значение вершины.

Нахождение вершины по форме:

Если ваша квадратичная функция имеет вид, затем

вершина = ( h , k ).





Каждая парабола симметрична относительно вертикальной линии, называемой осью. симметрии. Эта вертикальная линия проходит через вершину.

Думайте об этом как о зеркальном изображении этой вертикальной линии.



Следующие три графика иллюстрируют различные аспекты графика. квадратичной функции или параболы.


График функции:

Я хочу, чтобы вы отметили несколько моментов по этому поводу график:

Прежде всего, посмотрите, как вершина является самая низкая точка на графике. Он будет либо самым низким, либо высшая точка на графике квадратичной функции.

Во-вторых, посмотрите на ось симметрии . На самом деле это не так часть самого графика, но важна тем, что парабола создает зеркальное изображение об этом. Обратите внимание, как он симметричен относительно оси симметрии. Также обратите внимание, как он проходит через вершину.

В-третьих, обратите внимание, что есть одно y -перехват но нет x — перехват . Квадратичный функция может иметь один или два перехвата x .


График функции:

Я хочу, чтобы вы отметили несколько моментов по этому поводу график:

Прежде всего, посмотрите, как вершина является самая низкая точка на графике. Он будет либо самым низким, либо высшая точка на графике квадратичной функции.

Во-вторых, посмотрите на ось симметрии . На самом деле это не так часть самого графика, но важна тем, что парабола создает зеркальное изображение об этом. Обратите внимание, как он симметричен относительно оси симметрии. Также обратите внимание, как он проходит через вершину.

В-третьих, обратите внимание, что есть один y -перехват и один x — перехват . Квадратичный функция может иметь один или два перехвата x .




График функции:

Я хочу, чтобы вы отметили несколько моментов по этому поводу график:

Прежде всего, посмотрите, как вершина является высшая точка на графике. Он будет либо самым низким, либо высшая точка на графике квадратичной функции.

Во-вторых, посмотрите на ось симметрии . На самом деле это не так часть самого графика, но важна тем, что парабола создает зеркальное изображение об этом. Обратите внимание, как он симметричен относительно оси симметрии. Также обратите внимание, как он проходит через вершину.

В-третьих, обратите внимание, что есть одно y -перехват и два x -перехват . Квадратичный функция может иметь один или два перехвата x .



Пример 1 : Найдите координаты вершины. Без построения графиков определите, является ли вершина точкой максимума или минимума квадратичной функции.



* Стандартная форма квад. функция


Начиная с ( h , k ) это вершина в стандартной форме, как вы думаете, что наша вершина для этого проблема?

Если вы сказали (1, -3), вы правы.

Будьте осторожны со своими признаками этой проблемы. Это действительно соблазнительно сказать, что вершина — это (1, 3). Однако внимательно посмотрите на стандартная форма. Обратите внимание, что знак перед h — минус, а знак перед k — положительный. Итак, h — это число, которое мы вычитаем из x , который в нашем случае равен 1. k — это число мы добавляем в конце, в нашем случае мы добавляем отрицательное число 3.


Максимум или минимум?
Далее мы хотим определить, есть ли вершина, мы нашли, (1, -3) является точкой максимума или минимума, без построения графика.

Если мы знаем, в каком направлении открывается кривая, то может помочь нам ответить на этот вопрос.

Начиная с , = 4 и 4 больше 0, эта парабола раскрылась бы.

Означает ли это, что вершина является максимальной или минимальной? точка?

Если вы сказали минимум, вы правы.

Итак, наша вершина (1, -3) является точкой минимума.





Пример 2 : Найдите координаты вершины. Без построения графиков определите, является ли вершина точкой максимума или минимума квадратичной функции.




* Определить a , b , и c

* Вставить значения в форму вершины. для a , b , и c

* Вставьте -5/4 для x , чтобы найти значение y вершины


Вершина будет.

Максимум или минимум?
Далее мы хотим определить, есть ли вершина, мы нашли« является максимумом или точка минимума, без построения графика.

Если мы знаем, в каком направлении открывается кривая, то может помочь нам ответить на этот вопрос.

Так как a = -2, и -2 меньше 0, эта парабола раскрылась бы вниз.

Означает ли это, что вершина является максимальной или минимальной? точка?

Если вы сказали максимальное количество баллов, вы правы.

Итак, наша вершина — это точка максимума.



Построение квадратичной функции



Шаг 3: Найдите точки пересечения.



Шаг 4: Постройте параболу.


Постройте точки, найденные на шагах 2 и 3, и проведите изогнутую линию через их.




Пример 3 : Используйте вершину и точки пересечения, чтобы нарисовать график квадратичная функция. Найдите уравнение для оси симметрии этой функции.


Поскольку a = -1 и -1 <0, то это выглядит как и , он будет изгибаться вниз.

Это дает нам хороший ориентир, чтобы знать, что мы идем в правильном направлении.




* Стандартная форма квадроцикла. функция


Начиная с ( h , k ) это вершина в стандартной форме, как вы думаете, что это за вершина?

Если вы сказали (-1, 4), вы правы.

Будьте осторожны со своими признаками этой проблемы. Обратите внимание, как знак перед h — минус, а вот один перед k положительный.Так что это число, которое мы вычитаем из x , что в нашем случае -1. k — это номер, который мы добавляем в конце, в нашем случае мы добавляем 4.



y -перехват
Напоминаем, что перехват y всегда где график пересекает ось y , что означает x = 0:



* Заменить x на 0


Перехват y равен (0, 3).

x — интервал
Напоминаем, что перехват x всегда где график пересекает ось x , что означает y = 0:



x -перехваты: (-3, 0) и (1, 0).




Ось симметрии
Как показано на графике, ось симметрии составляет x = -1.




Пример 4 : Используйте вершину и точки пересечения, чтобы нарисовать график квадратичная функция. Найдите уравнение для оси симметрии этой функции.


Поскольку a = 1 и 1> 0, то это выглядит как it собирается изогнуться.

Это дает нам хороший ориентир, чтобы знать, что мы идем в правильном направлении.






* Определить a , b , и c

* Вставить значения в форму вершины. для a , b , и c

* Подключите -1 для x , чтобы найти значение y вершины


Итак, вершина равна (-1, 1).



y -перехват
Напоминаем, что перехват y всегда где график пересекает ось y , что означает x = 0:



* Заменить x на 0


Перехват y равен (0, 2).

x — интервал
Напоминаем, что перехват x всегда где график пересекает ось x , что означает y = 0:


* Заменить y (или f (x)) с 0


Обратите внимание, что это не фактор. Попробуем решить с помощью квадратная формула:



Обратите внимание, как мы получили отрицательное число под квадратным корнем. Это означает, что вещественных чисел не существует. Это также означает, что НЕТ x -перехватов.




Ось симметрии
Как показано на графике, ось симметрии составляет x = -1.


Практические задачи



Это практические задачи, которые помогут вам перейти на следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти типы проблем. Math работает как и все в противном случае, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковать это. Даже лучшим спортсменам и музыкантам помогали на протяжении всего пути. практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы стать лучше в своем виде спорта или инструменте. На самом деле не бывает слишком много практики.

Чтобы получить от них максимальную отдачу, вам следует решить проблему свой, а затем проверьте свой ответ, щелкнув ссылку для ответа / обсуждения для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа.

Практика Задачи 1a — 1b: Найти координаты вершины заданного квадратичная функция.Без построения графиков определите, является ли вершина точка максимума или минимума квадратичной функции.



Практика Задачи 2a — 2b: Используйте вершину и пересечения, чтобы нарисовать график данной квадратичной функции. Найдите уравнение для этого ось симметрии функции.


Нужна дополнительная помощь по этим темам?






Последняя редакция 10 июля 2010 г. Ким Сьюард.2 + bx + c $ чей граф содержит $ (1,0) $ и $ (3,0) $ должен делиться на $ (x-1) $ и должен делиться на $ (x-3) $. Итак, единственные квадратики, графики которых содержат $ (1,0) $ и $ (3,0) $ имеют вид $$ е (х) = к (х-1) (х-3) $$ где $ k $ — действительное число. Графы этих парабол имеют вершину где-то в строке $ x = 2 $. Константа $ k $ определяет, где вершина расположена, и это, в свою очередь, определяет, открывается ли парабола вверх или вниз, и насколько он пологий или крутой.

Здесь данные точки $ (1,1) $ и $ (3,7) $ не дают непосредственного представления о выборе квадратичной.2 + 7х -5. $$

Осталось использовать эти две различные квадратичные системы, чтобы найти полный список квадратики, график которых содержит $ P_1 $ и $ P_2 $. Заметим, что если $ t $ равен любое реальное число тогда $$ h_t (x) = tf (x) + (1-t) g (x) $$ удовлетворит \ begin {eqnarray *} h_t (1) & = & tf (1) + (1-t) g (1) = t + (1-t) = 1 \\ h_t (3) & = & tf (3) + (1-t) g (3) = 7t + 7 (1-t) = 7. \ end {eqnarray *}

Ниже приведены графики $ h_t (x) $ при $ t = -1, 0, 1,2 $:

Осталось показать, что набор функций $ h_t (x) $ представляет собой полный список все квадратичные функции, график которых содержит точки $ (1,1) $ и $ (3,7) $.Пусть $ q (x) $ — квадратичная функция с $ q (1) = 1 $ и $ q (3) = 7 $. Уведомление тот $$ h_t (0) = tf (0) + (1-t) g (0) = t (1) + (1-t) (- 5) = 6t-5 $$ Выбирая $ t_0 = \ frac {5 + q (0)} {6} $, мы видим, что $$ h_ {t_0} (0) = q (0). $$ Мы также знаем, что $ h_ {t_0} (1) = q (1) $ и $ h_ {t_0} (3) = q (3) $. Следовательно квадратичная функция $ h_ {t_0} (x) -q (x) $ принимает значение 0 в трех вещественных числа 0,1,3. Это возможно только в том случае, если $$ h_ {t_0} (x) — q (x) = 0 $$ и поэтому набор квадратичных многочленов $ h_t (x) $ представляет собой полный список всех квадратичных многочленов, принимающих значение 1, когда $ x = 1 $ и 7, когда $ x = 3 $.

В отличие от семейства квадратичных из части а, здесь $ x $ -координата вершины парабол не то же самое. Фактически, каждое действительное число $ v $ дает в точности одна парабола, вершина которой имеет координату $ x $, равную $ v $, который проходит через $ (1,1) $ и $ (3,7) $.

Ведущий коэффициент / вершина

Графики Квадратичные функции:
Ведущий коэффициент / The Vertex
(стр. 2 из 4)

Разделы: Введение, Значение ведущего коэффициента / Вершина, Примеры


Общий вид квадратичной « y = ax 2 + bx + c «. Для построения графиков используется старший коэффициент « a ». указывает, насколько «толстой» или «худой» будет парабола. быть.

Для | a | > 1 (такой как a = 3 или a = –4) парабола будет «худой», потому что она быстрее разрастается (в три раза так быстро или в четыре раза быстрее, соответственно, в случае нашей выборки значения
из ).

Для | a | <1 (такой как a = 1 / 3 или a = –1 / 4 ), парабола будет «толстой», потому что она растет медленнее (треть так же быстро или на четверть от скорости соответственно в примерах). Кроме того, если a отрицательное, тогда парабола перевернута.

Вы можете увидеть эти тенденции, если посмотреть, как кривая y = ax 2 движется как « a » изменений:

Как видите, как ведущий коэффициент изменяется от очень отрицательного до слегка отрицательного до нуля (не совсем квадратичный) от слегка положительного до очень положительного, парабола переходит от худого перевернутого к толстому перевернутому к прямой (называемой «вырожденная» парабола) к толстому правому боку к худому правой стороной вверх. авторское право © Элизабет Стапель 2002-2011 Все права защищены.

Есть простой, хоть и немного «тупой», способ запомнить разницу между правой стороной вверх параболы и перевернутые параболы:

    положительный квадратичный y = x 2 отрицательное квадратичное y = — x 2

Это может быть полезная информация: Если, например, у вас есть уравнение, в котором a отрицательно, но вы каким-то образом придумываете точки на графике, которые делают это выглядишь так, будто квадратичная правая сторона вверх, тогда ты будешь знать, что ты нужно вернуться и проверить свою работу, т. к. что-то не так с .


Параболы всегда имеют самая низкая точка (или самая высокая точка, если парабола перевернута). Этот точка, в которой парабола меняет направление, называется «вершиной».

Если квадратичная записана в виде y = a ( x h ) 2 + k, тогда вершина — это точка ( h , k ).Это делает смысл, если задуматься. Квадрат всегда положителен (для парабола, направленная вверх правой стороной), если она не равна нулю. Так что у тебя всегда будет это фиксированное значение k , и тогда вы всегда будете что-то добавлять к нему, чтобы увеличить на , если, конечно, часть в квадрате не равна нулю. Таким образом, наименьшее значение y может быть y = k , и это наименьшее значение будет, когда часть в квадрате, x h , равна нуль. А часть в квадрате равна нулю, когда x h = 0, или когда х = х . То же рассуждение работает, причем k является наибольшим значением, и квадратная часть всегда вычитается из него, для перевернутых парабол.

(Примечание: « a » в форме вершины « y = a ( x h ) 2 + k » квадратичная такая же, как « » в общей форме квадратного уравнения: « y = ax 2 + bx + c ».)

Поскольку вершина полезна точки, и поскольку вы можете «считать» координаты для вершина из вершины формы квадратичной, вы можете видеть, где вершина форма квадратичной может быть полезной, особенно если вершина не одна ваших значений T-диаграммы. Однако квадратичные обычно не пишут на форма вершины. Вы можете заполнить квадрат для преобразования ax 2 + bx + c в форму вершины, но для нахождения вершины проще использовать формулу.(Формула вершины выводится из процесса завершения квадрата, так же как квадратичный Формула. В любом случае запоминание, вероятно, проще, чем завершение кв.)

Для данного квадратичного y = ax 2 + bx + c , найдена вершина ( h , k ) вычисляя h = b / 2 a , а затем оценивая y при h , чтобы найти k .Если вы уже выучили квадратичный Формула, вы можете легко запомнить формулу для k , поскольку он связан как с формулой для h , так и с дискриминантом в квадратичной формуле: k = (4 ac b 2 ) / 4 а .

  • Найдите вершину из y = 3 x 2 + x -2 и изобразите параболу.

    Чтобы найти вершину, я посмотрите на коэффициенты a , b , и c . Формула для вершины дает мне:

    Тогда я могу найти k , оценив y при h = –1 / 6 :

      k = 3 ( –1 / 6 ) 2 + ( –1 / 6 ) — 2

        = 3 / 36 1 / 6 -2

        = 1 / 12 2 / 12 24 / 12

        = –25 / 12

    Итак, теперь я знаю, что вершина находится в точке ( –1 / 6 , –25 / 12 ) . С использованием формула была полезна, потому что это не та точка, которую я, вероятно, попасть в мою Т-диаграмму.

    Мне нужны дополнительные очков для моего графика:


    Теперь я могу график, а вершину обозначу:

Когда вы записываете вершине в домашнем задании запишите точные координаты: «( –1 / 6 , –25 / 12 )». Но для построения графиков десятичное приближение «(–0,2, –2.1) «может быть более полезно, так как его легче определить по осям.

Единственное другое соображение относительно вершины находится «ось симметрии». Если вы посмотрите на параболе вы заметите, что можете провести вертикальную линию вправо вверх через середину, что разделило бы параболу на два зеркальных половинки.Эта вертикальная линия, проходящая прямо через вершину, называется осью симметрии. Если вас спросят об оси, запишите строку « x = h », где h — только координата x вершины. Итак, в приведенном выше примере ось будет вертикальной. строка x = h = –1 / 6 .

Полезное примечание: если ваш квадратичный x -перехватывает оказываются красивыми аккуратными числами (так что с ними относительно легко работать), ярлык для поиска оси симметрии должен отметить, что эта вертикальная линия всегда находится точно между двумя точками пересечения x . Таким образом, вы можете просто усреднить два перехвата, чтобы получить местоположение ось симметрии и координата x вершины. Однако, если у вас грязные x -перехватывания (как в приведенном выше примере), или если квадратичная на самом деле не пересекает ось x (как вы увидите на следующей странице), тогда вам нужно будет использовать формулу найти вершину.

<< Предыдущий Наверх | 1 | 2 | 3 | 4 | Вернуться к указателю Далее >>

Цитируйте эту статью как:

Стапель, Елизавета.«Графики квадратичных функций: ведущий коэффициент / вершина». Purplemath . Доступна с
https://www. purplemath.com/modules/grphquad2.htm . Проверено [Дата] [Месяц] 2016

10.5 Построение графических квадратичных уравнений с двумя переменными — элементарная алгебра 2e

Задачи обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Распознать график квадратного уравнения с двумя переменными
  • Найдите ось симметрии и вершину параболы
  • Найдите точки пересечения параболы
  • Граф квадратных уравнений с двумя переменными
  • Решите максимальные и минимальные приложения

Будьте готовы 10.13

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Постройте уравнение y = 3x − 5y = 3x − 5, нанеся точки.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 4. 11.

Будьте готовы 10.14

Вычислить 2×2 + 4x − 12×2 + 4x − 1, когда x = −3x = −3.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.57.

Будьте готовы 10,15

Вычислить −b2a − b2a, когда a = 13a = 13 и b = 56b = 56.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 1.89.

Распознать график квадратного уравнения с двумя переменными

У нас есть графические уравнения вида Ax + By = CAx + By = C.Мы назвали уравнения такими линейными уравнениями, потому что их графики представляют собой прямые линии.

Теперь изобразим на графике уравнения вида y = ax2 + bx + cy = ax2 + bx + c. Мы называем этот вид уравнения квадратным уравнением от двух переменных.

Квадратное уравнение с двумя переменными

Квадратное уравнение с двумя переменными, где a, b, andca, b иc — действительные числа, а a ≠ 0a ≠ 0, представляет собой уравнение вида

Точно так же, как мы начали рисовать линейные уравнения с помощью точек, мы сделаем то же самое для квадратных уравнений.

Давайте сначала посмотрим на график квадратного уравнения y = x2y = x2. Мы выберем целые значения xx между −2−2 и 2 и найдем их значения yy. См. Таблицу 10.1.

y = x2y = x2
хх гг
0 0
1 1
-1-1 1
2 4
−2−2 4

Таблица 10. 1

Обратите внимание, когда мы полагаем x = 1x = 1 и x = −1x = −1, мы получаем то же значение для yy.

y = x2y = x2y = 12y = (- 1) 2y = 1y = 1y = x2y = x2y = 12y = (- 1) 2y = 1y = 1

То же самое произошло, когда мы положили x = 2x = 2 и x = −2x = −2.

Теперь мы построим точки, чтобы показать график y = x2y = x2. См. Рисунок 10.2.

Рисунок 10.2

График — это не линия. Эта фигура называется параболой. Каждое квадратное уравнение имеет график, который выглядит следующим образом.

В примере 10.43 вы попрактикуетесь в построении параболы путем нанесения нескольких точек.

Пример 10,43

Решение

Мы изобразим уравнение, нанеся точки.

Выберите целые числа для x , подставьте их в уравнение и решите относительно y .
Запишите значения упорядоченных пар в диаграмму.
Постройте точки и соедините их плавной кривой. Результатом будет график уравнения y = x2−1y = x2−1.

Чем отличаются уравнения y = x2y = x2 и y = x2−1y = x2−1? В чем разница между их графиками? Как их графики совпадают?

Все параболы вида y = ax2 + bx + cy = ax2 + bx + c открываются вверх или вниз. См. Рисунок 10.3.

Рисунок 10.3

Обратите внимание, что единственная разница в двух уравнениях — это отрицательный знак перед x2x2 в уравнении второго графика на рисунке 10.3. Когда член x2x2 положителен, парабола открывается вверх, а когда член x2x2 отрицателен, парабола открывается вниз.

Ориентация параболы

Для квадратного уравнения y = ax2 + bx + cy = ax2 + bx + c, если:

Пример 10.44

Определите, открывается ли каждая парабола вверх или вниз:

ⓐ y = −3×2 + 2x − 4y = −3×2 + 2x − 4 ⓑ y = 6×2 + 7x − 9y = 6×2 + 7x − 9

Решение

Найдите значение « a ».

Поскольку буква «а» отрицательна, парабола откроется вниз.

Найдите значение « a ».

Поскольку буква «а» положительна, парабола откроется вверх.

Попробовать 10,87

Определите, открывается ли каждая парабола вверх или вниз:

ⓐ y = 2×2 + 5x − 2y = 2×2 + 5x − 2 ⓑ y = −3×2−4x + 7y = −3×2−4x + 7

Попробовать 10,88

Определите, открывается ли каждая парабола вверх или вниз:

ⓐ y = −2×2−2x − 3y = −2×2−2x − 3 ⓑ y = 5×2−2x − 1y = 5×2−2x − 1

Найдите ось симметрии и вершину параболы

Посмотрите еще раз на рисунок 10.3. Видите ли вы, что мы можем сложить каждую параболу пополам и что одна сторона будет лежать поверх другой? «Линия сгиба» — это линия симметрии. Мы называем это осью симметрии параболы.

Мы снова показываем те же два графика с осью симметрии красным цветом. См. Рисунок 10.4.

Рисунок 10.4

Уравнение оси симметрии может быть получено с помощью квадратичной формулы. Мы опустим вывод здесь и перейдем непосредственно к использованию результата. Уравнение оси симметрии графика y = ax2 + bx + cy = ax2 + bx + c имеет вид x = −b2a.х = −b2a.

Итак, чтобы найти уравнение симметрии каждой из парабол, которые мы построили на графике выше, мы подставим в формулу x = −b2ax = −b2a.

Вернитесь к рис. 10.4. Это уравнения красных пунктирных линий?

Точка параболы, которая находится на оси симметрии, является самой низкой или самой высокой точкой параболы, в зависимости от того, открывается парабола вверх или вниз. Эта точка называется вершиной параболы.

Мы можем легко найти координаты вершины, потому что знаем, что она находится на оси симметрии.Это означает, что его координата x равна −b2a − b2a. Чтобы найти координату x вершины, мы подставляем значение координаты x в квадратное уравнение.

Ось симметрии и вершина параболы

Для параболы с уравнением y = ax2 + bx + cy = ax2 + bx + c:

  • Осью симметрии параболы является прямая x = −b2ax = −b2a.
  • Вершина находится на оси симметрии, поэтому ее координата x равна −b2a − b2a.

Чтобы найти координату y вершины, подставим x = −b2ax = −b2a в квадратное уравнение.

Пример 10.45

Для параболы y = 3×2−6x + 2y = 3×2−6x + 2 найти: ⓐ ось симметрии и ⓑ вершину.

Попробовать 10,89

Для параболы y = 2×2−8x + 1y = 2×2−8x + 1 найти: ⓐ ось симметрии и ⓑ вершину.

Попробовать 10.90

Для параболы y = 2×2−4x − 3y = 2×2−4x − 3 найти: ⓐ ось симметрии и ⓑ вершину.

Найдите точки пересечения параболы

Когда мы рисовали линейные уравнения, мы часто использовали точки пересечения x и y , чтобы построить графики линий. Определение координат точек пересечения также поможет нам построить график парабол.

Помните, что на интервале y значение xx равно нулю. Итак, чтобы найти точку перехвата y , мы подставляем x = 0x = 0 в уравнение.

Давайте найдем точки пересечения и двух парабол, показанных на рисунке ниже.

Рисунок 10.5

При перехвате x значение yy равно нулю. Чтобы найти точку перехвата x , мы подставляем y = 0y = 0 в уравнение. Другими словами, нам нужно будет решить уравнение 0 = ax2 + bx + c0 = ax2 + bx + c относительно xx.

y = ax2 + bx + c0 = ax2 + bx + cy = ax2 + bx + c0 = ax2 + bx + c

Но решение подобных квадратных уравнений — это именно то, что мы сделали ранее в этой главе.

Теперь мы можем найти точки пересечения x двух парабол, показанных на рисунке 10.5.

Сначала мы найдем точки пересечения параболы x с уравнением y = x2 + 4x + 3y = x2 + 4x + 3.

Теперь мы найдем точки пересечения параболы x с уравнением y = −x2 + 4x + 3y = −x2 + 4x + 3.

Мы будем использовать десятичные аппроксимации пересечений по оси x, чтобы мы могли найти эти точки на графике.

(2 + 7,0) ≈ (4.6,0) (2−7,0) ≈ (−0.6,0) (2 + 7,0) ≈ (4.6,0) (2−7,0) ≈ (- 0,6,0)

Соответствуют ли эти результаты нашим графикам? См. Рисунок 10.6.

Рисунок 10.6

Как добраться

Найдите точки пересечения параболы.

Чтобы найти точки пересечения параболы по уравнению y = ax2 + bx + cy = ax2 + bx + c:

y-interceptx-intercepts Letx = 0 и решить для y. Let = 0 и решить для x. y-interceptx-intercepts Letx = 0 и решить для y. Let = 0 и решить для x.

Пример 10.46

Найдите точки пересечения параболы y = x2−2x − 8y = x2−2x − 8.

Решение

Когда y = 0y = 0, то x = 4orx = −2x = 4orx = −2. Перехваты x — это точки (4,0) (4,0) и (−2,0) (- 2,0).

Попробуйте 10.91

Найдите точки пересечения параболы y = x2 + 2x − 8.y = x2 + 2x − 8.

Попробуйте 10.92

Найдите точки пересечения параболы y = x2−4x − 12.y = x2−4x − 12.

В этой главе мы решали квадратные уравнения вида ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0. Мы решили для xx, и результаты были решениями уравнения.

Теперь мы смотрим на квадратные уравнения с двумя переменными вида y = ax2 + bx + cy = ax2 + bx + c. Графики этих уравнений представляют собой параболы. x -перехваты парабол происходят там, где y = 0y = 0.

Например:

Квадратное уравнение Квадратное уравнение с двумя переменными y = x2−2x − 15×2−2x − 15 = 0 (x − 5) (x + 3) = 0lety = 00 = x2−2x − 150 = (x − 5) (x + 3) x −5 = 0x + 3 = 0x = 5x = −3x − 5 = 0x + 3 = 0x = 5x = −3 (5,0) и (−3,0) пересекает x Квадратное уравнение Квадратное уравнение с двумя переменными y = x2−2x −15×2−2x − 15 = 0 (x − 5) (x + 3) = 0lety = 00 = x2−2x − 150 = (x − 5) (x + 3) x − 5 = 0x + 3 = 0x = 5x = −3x − 5 = 0x + 3 = 0x = 5x = −3 (5,0) и (−3,0) пересечения по оси x

Решениями квадратного уравнения являются значения xx интерцептов x .

Ранее мы видели, что квадратные уравнения имеют 2, 1 или 0 решений. На графиках ниже показаны примеры парабол для этих трех случаев. Поскольку решения уравнений дают x -перехвата графиков, количество x -перехватов совпадает с количеством решений.

Ранее мы использовали дискриминант для определения количества решений квадратного уравнения вида ax2 + bx + c = 0ax2 + bx + c = 0. Теперь мы можем использовать дискриминант, чтобы сказать нам, сколько перехватов x есть на графике.

Перед тем, как вы начнете решать квадратное уравнение, чтобы найти значения перехватов x , вы можете оценить дискриминант, чтобы знать, сколько решений ожидать.

Пример 10,47

Найдите точки пересечения параболы y = 5×2 + x + 4y = 5×2 + x + 4.

Попробовать 10.93

Найдите точки пересечения параболы y = 3×2 + 4x + 4.y = 3×2 + 4x + 4.

Попробуйте 10.94

Найдите точки пересечения параболы y = x2−4x − 5.у = х2−4х − 5.

Пример 10.48

Найдите точки пересечения параболы y = 4×2−12x + 9y = 4×2−12x + 9.

Решение
Чтобы найти точку пересечения y , положим x = 0x = 0 и решим относительно y .
Если x = 0x = 0, тогда y = 9y = 9.
Перехват y — это точка (0,9) (0,9).
Чтобы найти точку перехвата x , положим y = 0y = 0 и решим относительно x .
Найдите значение дискриминанта, чтобы предсказать количество решений и, таким образом, x -перехватов. b2−4ac22−4⋅4⋅9144−1440b2−4ac22−4⋅4⋅9144−1440
Поскольку значение дискриминанта равно 0, существует только одно реальное решение уравнения. Следовательно, есть только один перехват x .
Решите уравнение, разложив на множители полный квадрат трехчлена.
Использовать свойство нулевого продукта.
Решите для x .
Когда y = 0y = 0, тогда 32 = x.32 = x.
Перехват x — это точка (32,0). (32,0).

Попробовать 10.95

Найдите точки пересечения параболы y = −x2−12x − 36.y = −x2−12x − 36.

Попробовать 10.96

Найдите точки пересечения параболы y = 9×2 + 12x + 4. y = 9×2 + 12x + 4.

Графические квадратные уравнения с двумя переменными

Теперь у нас есть все необходимое для построения графика квадратного уравнения с двумя переменными. Нам просто нужно собрать их вместе. В следующем примере мы увидим, как это сделать.

Пример 10.49

Как построить квадратное уравнение с двумя переменными

График y = x2−6x + 8y = x2−6x + 8.

Попробовать 10.97

Постройте параболу y = x2 + 2x − 8.y = x2 + 2x − 8.

Попробовать 10.98

Постройте параболу y = x2−8x + 12.y = x2−8x + 12.

How To

Постройте квадратное уравнение с двумя переменными.
  1. Шаг 1. Напишите квадратное уравнение с yy на одной стороне.
  2. Шаг 2. Определите, открывается ли парабола вверх или вниз.
  3. Шаг 3. Найдите ось симметрии.
  4. Шаг 4. Найдите вершину.
  5. Шаг 5. Найдите точку пересечения и . Найдите точку, симметричную пересечению y поперек оси симметрии.
  6. Шаг 6. Найдите перехваты x .
  7. Шаг 7. Постройте параболу.

Нам удалось найти перехваты x в последнем примере с помощью факторинга. Мы также находим перехваты x в следующем примере с помощью факторинга.

Пример 10,50

График y = −x2 + 6x − 9y = −x2 + 6x − 9.

Решение
Уравнение y имеет одну сторону.
Поскольку a равно −1−1, парабола открывается вниз.

Чтобы найти ось симметрии, найдите x = −b2ax = −b2a.



Ось симметрии x = 3.x = 3. Вершина находится на прямой x = 3.x = 3.
Найдите y , когда x = 3.x = 3.



Вершина равна (3,0). (3,0).
Перехват y происходит, когда x = 0.x = 0.
Заменить x = 0.x = 0.
Упростить.

Точка (0, −9) (0, −9) находится на три единицы левее линии симметрии.
Точка на три единицы правее линии симметрии равна (6, −9). (6, −9).
Точка, симметричная точке пересечения y- , равна (6, −9) (6, −9)



Перехват y равен (0, −9). (0, −9).
Перехват x происходит, когда y = 0.y = 0.
Заменить y = 0. y = 0.
Разложите на множители GCF.
Разложите на множители трехчлен.
Решите относительно x .
Соедините точки, чтобы построить параболу.

Попробовать 10,99

Постройте параболу y = −3×2 + 12x − 12.y = −3×2 + 12x − 12.

Попробуйте 10.100

Изобразите параболу y = 25×2 + 10x + 1.y = 25×2 + 10x + 1.

Для графика y = −x2 + 6x − 9y = −x2 + 6x − 9 вершина и пересечение x были одной и той же точкой.Помните, как дискриминант определяет количество решений квадратного уравнения? Дискриминант уравнения 0 = −x2 + 6x − 90 = −x2 + 6x − 9 равен 0, поэтому существует только одно решение. Это означает, что существует только одно пересечение x , и это вершина параболы.

Сколько x -перехватов вы ожидаете увидеть на графике y = x2 + 4x + 5y = x2 + 4x + 5?

Пример 10.51

График y = x2 + 4x + 5y = x2 + 4x + 5.

Решение
Уравнение имеет y с одной стороны.
Поскольку a равно 1, парабола открывается вверх.
Чтобы найти ось симметрии, найдите x = −b2a.x = −b2a.


Ось симметрии x = −2.x = −2.
Вершина находится на прямой x = −2. x = −2.
Найдите y , когда x = −2.x = −2.



Вершина равна (−2,1). (- 2,1).
Перехват y происходит, когда x = 0.х = 0.
Заменить x = 0.x = 0.
Упростить.
Точка (0,5) (0,5) находится на две единицы правее линии симметрии.
Точка на две единицы левее линии симметрии равна (−4,5). (- 4,5).



Перехват y равен (0,5). (0,5).

Точка, симметричная точке пересечения y- , равна (−4,5) (- 4,5).
Перехват x — происходит, когда y = 0.y = 0.
Заменить y = 0. y = 0.
Проверить дискриминант.

b2−4acb2−4ac
42−4⋅1542−4⋅15
16−2016−20
−4−4
Поскольку значение дискриминанта отрицательное, решения нет и, следовательно, нет точки пересечения x-.
Соедините точки, чтобы построить параболу. Вы можете выбрать еще две точки для большей точности.

Попробуйте 10.101

Постройте параболу y = 2×2−6x + 5.y = 2×2−6x + 5.

Попробуйте 10.102

Постройте параболу y = −2×2−1.y = −2×2−1.

Найти перехват y , подставив x = 0x = 0 в уравнение, легко, не так ли? Но нам нужно было использовать квадратичную формулу, чтобы найти точки пересечения x в примере 10.51. В следующем примере мы снова будем использовать квадратичную формулу.

Пример 10.52

График y = 2×2−4x − 3y = 2×2−4x − 3.

Решение
Уравнение y имеет одну сторону.
Так как равно 2, парабола открывается вверх.
Чтобы найти ось симметрии, найдите x = −b2ax = −b2a.


Ось симметрии x = 1x = 1.
Вершина на прямой x = 1.x = 1.
Найдите y , когда x = 1x = 1.


Вершина равна (1, −5) (1, −5).
Перехват y происходит, когда x = 0. x = 0.
Заменить x = 0.х = 0.
Упростить.
Перехватчик y- равен (0, −3) (0, −3).
Точка (0, −3) (0, −3) находится на одну единицу левее линии симметрии.
Точка на одну единицу правее линии симметрии равна (2, −3) (2, −3)
Точка, симметричная точке пересечения y- , равна (2, −3). (2, −3).
Перехват x происходит, когда y = 0y = 0.
Заменить y = 0y = 0.
Используйте квадратичную формулу.
Подставить значения a, b, c.
Упростить.
Упростить внутри корня.
Упростим радикал.
Разложите на множители GCF.
Удалите общие множители.
Запишите в виде двух уравнений.
Приблизительные значения.
Приблизительные значения точек пересечения x- равны (2,5,0) (2,5,0) и (-0,6,0) (-0,6,0).
Постройте параболу, используя найденные точки.

Попробуйте 10.103

Изобразите параболу y = 5×2 + 10x + 3.y = 5×2 + 10x + 3.

Попробуйте 10.104

Изобразите параболу y = −3×2−6x + 5.у = −3×2−6x + 5.

Решите максимальные и минимальные приложения

Знание того, что вершина параболы является самой низкой или самой высокой точкой параболы, дает нам простой способ определить минимальное или максимальное значение квадратного уравнения. Координата y вершины является минимальным значением y параболы, которая открывается вверх. Это максимальное значение y параболы, которая открывается вниз. См. Рисунок 10.7.

Рисунок 10.7

Минимальные или максимальные значения квадратного уравнения

Координата y вершины графа квадратного уравнения равна

  • минимальное значение квадратного уравнения, если парабола открывается вверх.
  • максимальное значение квадратного уравнения, если парабола открывается вниз.

Пример 10.53

Найдите минимальное значение квадратного уравнения y = x2 + 2x − 8y = x2 + 2x − 8.

Попробуйте 10.105

Найдите максимальное или минимальное значение квадратного уравнения y = x2−8x + 12y = x2−8x + 12.

Попробуйте 10. 106

Найдите максимальное или минимальное значение квадратного уравнения y = −4×2 + 16x − 11y = −4×2 + 16x − 11.

Мы использовали формулу

h = −16t2 + v0t + h0h = −16t2 + v0t + h0

для расчета высоты в футах, hh, объекта, взлетающего в воздух с начальной скоростью v0v0 через tt секунд.

Эта формула представляет собой квадратное уравнение относительно переменной tt, поэтому ее график представляет собой параболу. Решая координаты вершины, мы можем определить, сколько времени потребуется объекту, чтобы достичь максимальной высоты. Затем мы можем рассчитать максимальную высоту.

Пример 10.54

Квадратное уравнение h = −16t2 + v0t + h0h = −16t2 + v0t + h0 моделирует высоту удара волейбольного мяча прямо вверх со скоростью 176 футов в секунду с высоты 4 фута.

  1. ⓐ За сколько секунд волейбольный мяч достигнет максимальной высоты?
  2. ⓑ Найдите максимальную высоту волейбольного мяча.
Решение

h = −16t2 + 176t + 4h = −16t2 + 176t + 4

Поскольку a отрицательно, парабола открывается вниз.

Квадратное уравнение имеет максимум.


  1. Найти ось симметрии. T = −b2at = −1762 (−16) t = 5,5 Ось симметрии ist = 5,5. Вершина находится на прямой = 5,5. Максимум достигается при = 5,5 секунд. Найти ось симметрии. t = −b2at = −1762 (−16) t = 5.5 Ось симметрии ist = 5.5. вершина находится на линии = 5.5. Максимум происходит при = 5.5 секунд.

  2. Найдите h , когда t = 5,5t = 5,5.
    Используйте калькулятор, чтобы упростить.
    Вершина равна (5,5,488) (5,5,488).
    Поскольку парабола имеет максимум, координата h- вершины является максимальным значением y квадратного уравнения. Максимальное значение квадратичной функции составляет 488 футов, и она возникает при t = 5. 5t = 5,5 секунды.

Попробуйте 10.107

Квадратное уравнение h = −16t2 + 128t + 32h = −16t2 + 128t + 32 используется для определения высоты камня, брошенного вверх с высоты 32 фута со скоростью 128 футов / сек. Сколько времени потребуется, чтобы камень достиг максимальной высоты? Какая максимальная высота? Округлите ответы до ближайшей десятой.

Попробуйте 10.108

Игрушечная ракета, взорвавшаяся от земли со скоростью 208 фут / сек, имеет квадратное уравнение h = −16t2 + 208th = −16t2 + 208t.Когда ракета достигнет максимальной высоты? Какая будет максимальная высота? Округлите ответы до ближайшей десятой.

Раздел 10.5 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Распознать график квадратного уравнения с двумя переменными

В следующих упражнениях график:

В следующих упражнениях определите, раскрывается ли парабола вверх или вниз.

165.

y = −2×2−6x − 7y = −2×2−6x − 7

168.

y = −9×2−24x − 16y = −9×2−24x − 16

Найдите ось симметрии и вершину параболы

В следующих упражнениях найдите ⓐ ось симметрии и ⓑ вершину.

172.

y = −2×2−8x − 3y = −2×2−8x − 3

Найдите точки пересечения параболы

В следующих упражнениях найдите перехваты x и y .

174.

y = x2 + 10x − 11y = x2 + 10x − 11

175.

y = −x2 + 8x − 19y = −x2 + 8x − 19

177.

y = 4×2−20x + 25y = 4×2−20x + 25

178.

y = −x2−14x − 49y = −x2−14x − 49

Графические квадратные уравнения с двумя переменными

В следующих упражнениях построите график с помощью точек пересечения, вершины и оси симметрии.

184.

y = −x2 + 8x − 16y = −x2 + 8x − 16

185.

y = −x2 + 2x − 7y = −x2 + 2x − 7

188.

y = 3×2−6x − 1y = 3×2−6x − 1

190.

y = −4×2−6x − 2y = −4×2−6x − 2

191.

y = −x2−4x + 2y = −x2−4x + 2

193.

y = 5×2−10x + 8y = 5×2−10x + 8

194.

y = −16×2 + 24x − 9y = −16×2 + 24x − 9

196.

y = −2×2 + 8x − 10y = −2×2 + 8x − 10

Решение максимальных и минимальных приложений

В следующих упражнениях найдите максимальное или минимальное значение.

198.

y = −4×2 + 12x − 5y = −4×2 + 12x − 5

200.

y = −x2 + 4x − 5y = −x2 + 4x − 5

В следующих упражнениях решите. Округлите ответы до ближайшей десятой.

203.

Стрела выпущена вертикально вверх с платформы высотой 45 футов со скоростью 168 футов / сек. Используйте квадратное уравнение h = −16t2 + 168t + 45h = −16t2 + 168t + 45, чтобы найти, сколько времени потребуется стрелке, чтобы достичь максимальной высоты, а затем найдите максимальную высоту.

204.

Камень бросается вертикально вверх с платформы высотой 20 футов со скоростью 160 футов / сек.Используйте квадратное уравнение h = −16t2 + 160t + 20h = −16t2 + 160t + 20, чтобы найти, сколько времени потребуется камню, чтобы достичь максимальной высоты, а затем найдите максимальную высоту.

205.

Владелец компьютерного магазина подсчитал, что, взимая xx долларов за каждый компьютер, он может продавать 40 − x40 − x компьютеров каждую неделю. Квадратное уравнение R = −x2 + 40xR = −x2 + 40x используется для нахождения выручки RR, получаемой, когда продажная цена компьютера равна xx. Найдите продажную цену, которая принесет ему максимальный доход, а затем найдите сумму максимального дохода.

206.

Розничный торговец, продающий рюкзаки, оценивает, что, продав их по xx долларов за штуку, он сможет продавать 100 x 100 x рюкзаков в месяц. Квадратное уравнение R = −x2 + 100xR = −x2 + 100x используется для нахождения RR, полученного, когда продажная цена рюкзака равна xx. Найдите продажную цену, которая принесет ему максимальный доход, а затем найдите сумму максимального дохода.

207.

Владелец ранчо собирается оградить загон с трех сторон у реки. Ему нужно максимально увеличить площадь загона, используя 240 футов ограждения.Квадратное уравнение A = x (240−2x) A = x (240−2x) дает площадь загона AA для длины x, x загона вдоль реки. Найдите длину загона вдоль реки, которая даст максимальную площадь, а затем найдите максимальную площадь загона.

208.

Ветеринар огораживает прямоугольную площадку для бега на открытом воздухе напротив своего здания для собак, о которых он заботится. Ему нужно максимально увеличить площадь, используя 100 футов ограждения. Квадратное уравнение A = x (100−2x) A = x (100−2x) дает площадь AA выгула собаки для длины xx здания, которое будет граничить с выгулом собаки.Найдите длину строения, которое должно граничить с собачьим бегом, чтобы обеспечить максимальную площадь, а затем найдите максимальную площадь для собачьего бега.

Повседневная математика
209.

В предыдущем наборе упражнений вы работали с квадратным уравнением R = −x2 + 40xR = −x2 + 40x, которое моделировало доход, полученный от продажи компьютеров по цене xx долларов. Вы нашли цену продажи, по которой будет получен максимальный доход, и рассчитали максимальный доход. Теперь вы ознакомитесь с дополнительными характеристиками этой модели.
ⓐ Изобразите уравнение R = −x2 + 40xR = −x2 + 40x. Ⓑ Найдите значения интерцептов x .

210.

В предыдущем наборе упражнений вы работали с квадратным уравнением R = −x2 + 100xR = −x2 + 100x, которое моделировало доход, полученный от продажи рюкзаков по цене xx долларов. Вы нашли цену продажи, по которой будет получен максимальный доход, и рассчитали максимальный доход. Теперь вы ознакомитесь с дополнительными характеристиками этой модели.
ⓐ Изобразите уравнение R = −x2 + 100xR = −x2 + 100x.Ⓑ Найдите значения интерцептов x . {2} -1 \).{2} -2 х-1 \)

Ответ
  1. вниз
  2. вверх

Найдите ось симметрии и вершину параболы

Посмотрите еще раз на Рисунок 9.6.10 . Вы видите, что мы можем сложить каждую параболу пополам, и тогда одна сторона окажется поверх другой? «Линия сгиба» — это линия симметрии. Мы называем ее осью симметрии параболы.

Мы снова показываем те же два графика с осью симметрии.{2} + b x + c \) равно \ (x = — \ frac {b} {2 a} \).

Итак, чтобы найти уравнение симметрии каждой из парабол, которые мы построили на графике выше, мы подставим в формулу \ (x = — \ frac {b} {2 a} \).

Обратите внимание, что это уравнения, изображенные пунктирными синими линиями на графиках.

Точка параболы, которая является самой низкой (парабола открывается вверх) или самой высокой (парабола открывается вниз), лежит на оси симметрии. Эта точка называется вершиной параболы.

Мы можем легко найти координаты вершины, потому что знаем, что она находится на оси симметрии.{2} -6 x + 2 \) найти:

  1. ось симметрии
  2. вершина

Решение :

а.

Ось симметрии — это вертикальная линия \ (x = — \ frac {b} {2 a} \).
Подставьте значения \ (a, b \) в уравнение. \ (x = — \ frac {-6} {2 \ cdot 3} \)
Упростить.{2} -6 х + 2 \)
Вершина — это точка на линии симметрии, поэтому ее координата \ (x \) будет \ (x = 1 \). Найдите \ (f (1) \).
Упростить.
Результат — координата \ (y \). \ (f (1) = — 1 \)
Вершина равна \ ((1, -1) \). {2} +4 x + 3 \).{2} -4 (-1) (3)}} {2 (-1)} \)
Упростить. \ (x = \ frac {-4 \ pm \ sqrt {28}} {- 2} \)
\ (x = \ frac {-4 \ pm 2 \ sqrt {7}} {- 2} \)
\ (x = \ frac {-2 (2 \ pm \ sqrt {7})} {- 2} \)
\ (x = 2 \ pm \ sqrt {7} \)
\ (x \) — точки пересечения — это \ ((2+ \ sqrt {7}, 0) \) и \ ((2- \ sqrt {7}, 0) \).{2} -2 х-8 \)
Решите на множитель. \ (0 = (х-4) (х + 2) \)
\ (0 = х-4 \ четырехугольник 0 = х + 2 \)
\ (4 = х \ квад-2 = х \)
Если \ (f (x) = 0 \), то \ (x = 4 \) или \ (x = -2 \). \ (X \) — точки пересечения — это точки \ ((4,0) \) и \ ((- 2,0) \). {2} +2 x-8 \).{2} -2 x-15 \\ 0 & = (x-5) (x + 3) \\ x-5 & = 0 \ quad x + 3 = 0 \\ x & = 5 \ quad x = -3 \\ (5,0) & \ text {and} (- 3,0) \\ & x \ text {-intercepts} \ end {align} \)

Решениями квадратичной функции являются значения \ (x \) точек пересечения \ (x \) .

Ранее мы видели, что квадратные уравнения имеют решения \ (2, 1 \) или \ (0 \). На графиках ниже показаны примеры парабол для этих трех случаев. Поскольку решения функций дают \ (x \) — точки пересечения графиков, количество \ (x \) — точек пересечения равно количеству решений.{2} -4 х-5 \)

Ответ

\ (y \) — перехват: \ ((0, -5) \) \ (x \) — перехватывает \ ((- 1,0), (5,0) \)

Графические квадратичные функции с использованием свойств

Теперь у нас есть все, что нужно для построения графика квадратичной функции. Нам просто нужно собрать их вместе. В следующем примере мы увидим, как это сделать. {2} -6x + 8 \), используя его свойства.{2} -6x + 8 \)

Ось симметрии — это линия \ (x = — \ frac {b} {2 a} \).

Ось симметрии

\ (x = — \ frac {b} {2 a} \)

\ (x = — \ frac {(- 6)} {2 \ cdot 1} \)

\ (х = 3 \)

Ось симметрии — это прямая \ (x = 3 \).

Шаг 3 : Найдите вершину. Вершина находится на оси симметрии.{2} -6 (\ color {red} {3} \ color {black} {)} + 8 \)

\ (f (3) = — 1 \)

Вершина равна \ ((3, -1) \).

Шаг 4 : Найдите точку пересечения \ (y \). Найдите точку, симметричную точке пересечения \ (y \) поперек оси симметрии.

Находим \ (f (0) \).

Мы используем ось симметрии, чтобы найти точку, симметричную пересечению \ (y \). Пересечение \ (y \) находится на \ (3 \) единицах слева от оси симметрии \ (x = 3 \).{2} -6 (\ color {red} {0} \ color {black} {)} + 8 \)

\ (f (0) = 8 \)

Перехватчик \ (y \) равен \ ((0,8) \).

Точка симметрична \ (y \) — точка пересечения:

Дело в \ ((6,8) \).

Шаг 5 : Найдите \ (x \) — точки пересечения. При необходимости найдите дополнительные баллы.

Решаем \ (f (x) = 0 \).

Мы можем решить это квадратное уравнение факторизацией.{2} -6x + 8 \)

\ (\ color {красный} {0} \ color {черный} {=} (x-2) (x-4) \)

\ (х = 2 или х = 4 \)

\ (x \) — точки пересечения — это \ ((2,0) \) и \ ((4,0) \). {2} + 2x-8 \), используя его свойства.{2} -8x + 12 \), используя его свойства.

Ответ

Здесь мы перечисляем шаги, которые необходимо предпринять, чтобы построить график квадратичной функции.

Построение квадратичной функции с помощью свойств

  1. Определите, открывается ли парабола вверх или вниз.
  2. Найдите уравнение оси симметрии.
  3. Найдите вершину.
  4. Найдите точку пересечения \ (y \). Найдите точку, симметричную точке пересечения \ (y \) поперек оси симметрии.{2} -4 x-3 \), используя его свойства.

    Решение :

    Поскольку \ (a \) равно \ (2 \), парабола открывается вверх.

    Чтобы найти уравнение оси симметрии, используйте \ (x = — \ frac {b} {2 a} \). \ (x = — \ frac {b} {2 a} \)
    \ (x = — \ frac {-4} {2 \ cdot 2} \)
    \ (х = 1 \)
    Уравнение оси симметрии: \ (x = 1 \).{2} -4 х-3 \)
    Найдите \ (f (0) \).
    Упростить. \ (f (0) = — 3 \)
    Перехватчик \ (y \) — это \ ((0, -3) \).
    Точка \ ((0, -3) \) находится на одну единицу левее линии симметрии. Точка, симметричная \ (y \) — точка пересечения равна \ ((2, -3) \)
    Точка на одну единицу правее линии симметрии равна \ ((2,3) \).{2} -4 (2) (3)}} {2 (2)} \)
    Упростить. \ (x = \ frac {-4 \ pm \ sqrt {16 + 24}} {4} \)
    Упростить внутри корня. \ (x = \ frac {4 \ pm \ sqrt {40}} {4} \)
    Упростим радикал. \ (x = \ frac {4 \ pm 2 \ sqrt {10}} {4} \)
    Разложите на множители GCF. \ (x = \ frac {2 (2 \ pm \ sqrt {10})} {4} \)
    Удалите общие множители. \ (x = \ frac {2 \ pm \ sqrt {10}} {2} \)
    Запишите в виде двух уравнений. \ (x = \ frac {2+ \ sqrt {10}} {2}, \ quad x = \ frac {2- \ sqrt {10}} {2} \)
    Приблизительные значения. \ (x \ приблизительно 2,5, \ quad x \ приблизительно-0,6 \)
    Приблизительные значения точек пересечения \ (x \) — \ ((2.5,0) \) и \ ((- 0.6,0) \).
    Постройте параболу, используя найденные точки.{2} -6 x + 5 \), используя его свойства.

    Ответ

    Решение максимальных и минимальных приложений

    Знание того, что вершина параболы является самой низкой или самой высокой точкой параболы, дает нам простой способ определить минимальное или максимальное значение квадратичной функции. {2} +2 x-8 \).{2} +2 х-8 \)

    Поскольку \ (a \) положительно, парабола открывается вверх. Квадратное уравнение имеет минимум.
    Найдите уравнение оси симметрии. \ (x = — \ frac {b} {2 a} \)
    \ (x = — \ frac {2} {2 \ times 1} \)
    \ (х = -1 \)
    Уравнение оси симметрии: \ (x = -1 \).{2} +2 х-8 \)
    Найдите \ (f (-1) \).
    \ (ф (-1) = 1-2-8 \)
    \ (f (-1) = — 9 \)
    Вершина равна \ ((- 1, -9) \).
    Поскольку парабола имеет минимум, \ (y \) — координата вершины является минимальным \ (y \) — значением квадратного уравнения. {2} +176 t + 4} \\ {h (t) = — 16 (5.{2} +176 (5.5) +4} \ end {array} \)

    Используйте калькулятор, чтобы упростить.

    \ (ч (т) = 488 \)

    Вершина равна \ ((5.5,488) \).

    Поскольку парабола имеет максимум, \ (h \) — координата вершины является максимальным значением квадратичной функции.

    Максимальное значение квадратичной функции составляет \ (488 \) футов, и это происходит, когда \ (t = 5.5 \) секунд.

    Через \ (5.5 \) секунд волейбольный мяч достигнет максимальной высоты \ (488 \) футов.

    Упражнение \ (\ PageIndex {21} \)

    Решайте, округляя ответы до ближайшей десятой.{2} +128 t + 32 \) используется для определения высоты камня, брошенного вверх с высоты \ (32 \) футов со скоростью \ (128 \) футов / сек. Сколько времени потребуется, чтобы камень достиг максимальной высоты? Какая максимальная высота?

    Ответ

    Камню потребуется \ (4 \) секунды, чтобы достичь максимальной высоты в \ (288 \) футов.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск