Как звучит теорема фалеса: формула и примеры решения задач

Posted on by alexxlab

Содержание

формула и примеры решения задач

Содержание:

Формулировка теоремы Фалеса

Теорема

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки (рис. 1).

В теореме нет ограничений на взаимное расположение секущих (она верна как для пересекающихся прямых, так и для параллельных). Также не важно, где находятся отрезки на секущих.

Теорема

Обобщённая теорема Фалеса

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки (рис. 1):

$$\frac{A_{1} A_{2}}{B_{1} B_{2}}=\frac{A_{2} A_{3}}{B_{2} B_{3}}=\frac{A_{1} A_{3}}{B_{1} B_{3}}$$

Теорема Фалеса является частным случаем обобщённой теоремы Фалеса, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Теорема

Обратная теорема Фалеса

Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны (рис. 2).

Замечание. В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины.

Примеры решения задач

Пример

Задание. Разделить данный отрезок на четыре равные части.

Решение. Пусть $AB$ — заданный отрезок (рис. 3), который необходимо разделить на четыре равные части.

Через точку $A$ проведем произвольную полупрямую $a$ и отложим на ней последовательно четыре равных между собой отрезка $AC, CD, DE, EK$ .

Соединим точки $B$ и $K$ отрезком и проведем через оставшиеся точки $C$, $D$ и $E$ прямые, параллельные прямой $BK$ так, чтобы они пересекли отрезок $AB$ .

Согласно теореме Фалеса отрезок $AB$ разделится на четыре равные части.

Слишком сложно?

Теорема Фалеса не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отмечена точка $K$. Отрезок $CK$ пересекает медиану $AM$ треугольника в точке $P$, причем $AK = AP$. Найти отношение $BK : PM$ .

Решение. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $CK$, которая пересечет $AB$ в точке $D$ (рис. 4).

По теореме Фалеса $BD = KD$ .

По теореме о пропорциональных отрезках имеем, что

$$P M=K D=\frac{B K}{2} \Rightarrow B K: P M=2: 1$$

Ответ. $B K: P M=2: 1$

Историческая справка

Теорема Фалеса (а также теоремы Чевы и Менелая) применяются в первую очередь тогда, когда в задаче даны соотношения между отрезками. Очень часто при этом приходится проводить дополнительный отрезок.

Аргентинская музыкальная группа представила песню, посвящённую теореме. В видеоклипе для этой песни приводится доказательство для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.

Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.

Обобщённая теорема Фалеса

Основные понятия

Прежде чем сформулировать теорему Фалеса и доказать её, напомним несколько ключевых определений геометрии:

  • четырёхугольник;
  • параллелограмм;
  • трапеция.

Четырёхугольник имеет четыре вершины.{\circ}$. Можно убедиться, что сумма всех углов данной трапеции действительно равна $360$.

Владея ключевыми понятиями, можем перейти к теореме Фалеса и её доказательству.

Теорема Фалеса

Теорема названа в честь древнегреческого ученого Фалеса Милетского. Звучит она следующим образом:

Теорема 1

Если последовательно отложить на прямой несколько равных друг другу отрезков и провести через их концы параллельные прямые, которые пересекают вторую проведённую прямую, то эти параллельные прямые отсекут на ней также равные отрезки.

Доказательство теоремы Фалеса

Докажем эту теорему.

Рассмотрим рисунок:

Рисунок 3. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

На прямой $a$ отложены следующие отрезки: $A_1 A_2, A_2 A_3, A_3 A_4,…$. Через эти отрезки проведены несколько параллельных прямых, пересекающих прямую $b$ в соответствующих точках $B_1,B_2,B_3,B_4,…$. Докажем, что отрезки $B_1 B_2, B_2 B_3, B_3 B_4,…$ равны между собой. Для начала упростим задачу и докажем следующее: $B_1 B_2 = B_2 B_3$.

На рисунке прямые $a$ и $b$ параллельны. Следовательно, $A_1 B_1 B_2 A_2$ и $A_2 B_2 B_3 A_3$ — параллелограммы. Это означает, что противоположные стороны параллелограммов равны, следовательно, $A_1 A_2 = B_1 B_2, A_2 A_3 = B_2 B_3$. И из $A_1 A_2=A_2 A_3$ следует, что $B_1 B_2= B_2 B_3$.

Есть и другой случай, когда прямые $a$ и $b$ не параллельны:

Рисунок 4. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Проведём такую прямую $c$, которая параллельна $a$:

Рисунок 5. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Прямая $c$ пересекает $A_2 B_2$ и $A_3 B_3$ соответственно в т. $C_1, C_2$. Так как $A_1 A_2=A_2 A_3$, то, по аналогии в предыдущем случае, $B_1 C_1 = C_1 C_2$.

Рассмотрим $\triangle C_2 B_1 B_3$. $C_1$ — середина $B_1 C_2$. $B_2 C_1$ параллельна $B_3 C_2$.

Проведём через точку $B_3$ такую прямую, которая параллельна $B_1 C_2$.

Рисунок 6. Доказательство теоремы Фалеса. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Точкой $D$ обозначено пересечение $B_2 C_1$ с проведённой прямой. Получаем параллелограмм $C_1 C_2 B_3 D$. Так как $C_1$ — середина $B_1 C_2$, а $C_1 C_2= B_3 D$ (как противоположные стороны параллелограмма), следовательно, $C_1 B_1 = B_3 D$.

Рассмотрим $\triangle C_1 B_1 B_2$ и $\triangle B_2 B_3 D$ Они равны согласно второму признаку равенства треугольников. То есть так как выполняются равенства $C_1 B_1 = B_3 D$, $\angle C_1 B_1 B_2 = \angle B_2 B_3 D$ и $\angle B_1 C_1 B_2=\angle B_2 D B_3$ (как лежащие накрест углы при пересечении параллельных прямых $B_1 C_2$ и $B_3 D$ секущими $B_1 B_3$ и $C_1 D$).

Следовательно, $B_1 B_2= B_2 B_3$.

Аналогично доказывается равенство $B_2 B_3=B_3 B_4$ и другие.

Таким образом, в данной статье мы полностью разобрали теорему Фалеса, произвели подробное её доказательство, фигурируя известными понятиями.

Лестницы. Входная группа. Материалы. Двери. Замки. Дизайн

Как звучит теорема фалеса. Фалес Милетский, или о том, как важно знать подобие треугольников и теорему Фалеса

называется пропорцией . При этом говорят, что:

x 1 относится к x 2 как y 1 относится к y 2 ,

отношение чисел x 1 и x 2 равно отношению чисел y 1 и y 2 ,

числа x 1 и x 2 соотносятся так же, как числа y 1 и y 2 ,

или, наконец,

числа x 1 и y 1 (!) пропорциональны числам x 2 и y 2 (то есть числители пропорциональны знаменателям).

Входящие сюда числа x 1 , x 2 , y 1 и y 2 называются членами пропорции. Обычно все они положительны, но это необязательно. Предполагается, однако, что ни одно из них не равно нулю. Особого названия это равенство удостоилось по той причине, что оно часто встречается при решении разных математических задач.

Пропорции можно преобразовывать, перенося члены «с верху» одной части равенства «в низ» другой части равенства и наоборот. Эту процедуру легко обосновать следующим образом. Допустим мы хотим перенести

x 1 из левой части в правую. Для этого умножим обе части пропорции на 1/x 1:

то есть переменная x 1 у нас переместилась «по диагонали сверху вниз». Перенесем теперь «влево наверх» переменную y 2 . Это достигается умножением на нее обеих частей данного равенства. В результате имеем

числители x 1 и y 1 соотносятся между собой точно так же, как и соответствующие им знаменатели x 2 и y 2 .

Обобщенная теорема Фалеса

Теорема Фалеса, рассмотренная в прошлый раз, допускает следующее обобщение.

Пусть две произвольные прямые x и y пересекаются тремя параллельными прямыми n 1 , n 2 и n 3 в точках X 1 , X 2 , X 3 и Y 1 , Y 2 , Y 3 , как показано на рисунке:

Тогда длины отсекаемых отрезков образуют следующую пропорцию

представляет собой рациональное число, то есть может быть выражено в виде несократимой дроби

где a и b — некоторые натуральные числа, a b . Разобьем отрезок X 1 X 3 на b одинаковых частей. (При этом точка X 2 окажется одной из точек деления.) Проведем через каждую точку деления прямые, параллельные n 1 , n 2 и n 3 . (Одна из этих прямых совпадет с прямой n 2 .)

По теореме Фалеса (в ее первоначальном варианте), отрезок Y 1 Y 3 также делится этими прямыми на b равных частей, из которых a частей составляют отрезок Y 1 Y 2 . Следовательно,

|Y 1 Y 2 |

|X 1 X 2 |

|Y 1 Y 3 |

b

|X 1 X 3 |

что и требовалось доказать. Из нашего построения следует также, что

|Y 2 Y 3 |

|X 2 X 3 |

|Y 1 Y 3 |

b

|X 1 X 3 |

|Y 2 Y 3 |

|X 2 X 3 |

|Y 1 Y 2 |

a

|

X 1 X 2 |

Пользуясь свойствами пропорций, эти равенства можно переписать в виде одной цепочки:

|Y 1 Y 2 |

|Y 2 Y 3 |

|Y 1 Y 3 |

|X 1 X 2 |

|X 2 X 3 |

|X 1 X 3 |

Таким образом, отрезки отсекаемые на прямой y пропорциональны соответствующим отрезкам на прямой x .

Теоретически возможна также ситуация, когда отношение длин

не является рациональным числом, поскольку длины отрезков |X 1 X 2 | и |X 1 X 3 | могут, в принципе, выражаться иррациональными числами. Однако на практике такой случай никогда не встречается. Для определения длин отрезков мы всегда пользуемся каким-либо измерительным прибором (например, школьной линейкой), который выдает лишь округленные результаты в виде конечной десятичной дроби.

Важное следствие

Пусть даны несовпадающие прямые x и y , которые пересекаются в точке O, и еще — две параллельные прямые n 1 и n 2 , которые пересекают прямую x в точках X 1 и X 2 и прямую y в точках Y 1 и Y 2 , как показано на рисунке.

Введем обозначения:

x 1 = |OX 1 |, x 2 = |OX 2 |;

y 1 = |OY 1 |, y 2 = |OY 2 |;

z 1 = |X 1 Y 1 |, z 2 = |X 2 Y 2 |.

Действительно, оба равенства в этой цепочке непосредственно следует из обобщенной теоремы Фалеса. Для первого равенства это ясно сразу, а для второго это становится очевидным после того, как мы через точку Y 1 проведем прямую m , параллельную прямой x .

Верно и обратное утверждение. Пусть дана та же геометрическая конструкция и известно, что

Тогда прямые n 1 и n 2 параллельны. В самом деле, проведем через точку X 1 вспомогательную прямую, параллельную прямой n 2 . По обобщенной теореме Фалеса, эта вспомогательная прямая проходит через точку Y 1 . Следовательно, она совпадает с прямой n 1 . Таким образом, прямая n 1 параллельна прямой n 2 .

Масштаб

Выйдем на улицу, прихватив с собой лист бумаги и карандаш. Расположим наш лист горизонтально и поставим на нем приблизительно посередине точку O. Из этой точки проведем мысленно лучи в направлении различных примечательных точек на местности, расположенных в радиусе примерно ста метров, — деревьев, столбов, углов зданий и того подобного.

Допустим, у нас есть возможность измерить расстояния до этих примечательных точек. Пусть, например, расстояние до ближайшего дерева равно 10 м. Мысленно отложим от точки O в направлении этого дерева отрезок, длина которого в 1000 раз меньше данного расстояния, и отметим карандашом на бумаге положение второго его конца. Нетрудно рассчитать, что расстояние от точки O до отметки составит 10 м/1000 = 1 см.

Подобным же образом, пусть расстояние до какого-то другого примечательного объекта равно x 1 . Умножим это расстояние на число k , равное 1/1000. Мысленно отложим от точки O отрезок длиной x 2 = kx 1 вдоль луча, направленного на данный объект. В том месте на бумаге, где находится второй конец отрезка, сделаем отметку карандашом. Проделаем такую процедуру со всеми примечательными точками на местности, используя всё время одно и то же значение параметра k . Если какие-либо из этих точек соединены между собой забором или стеной или же чем-то подобным, то между соответствующими метками на бумаге также проведем линии.

В результате на нашем листе бумаги получится карта местности. В силу теоремы Фалеса и свойств пропорций, все соотношения между расстояниями на бумаге будут в точности такими же, как и в действительности. Более того, все линии на бумаге окажутся параллельны соответствующим линиям на местности. Эта параллельность, конечно, нарушится, когда мы унесем наш лист куда-нибудь в другое место, однако углы между линиями сохранятся.

Параметр k , который мы использовали в нашем построении, называется масштабным коэффициентом или просто масштабом . Разумеется, он необязательно должен быть равен 1/1000. Он может, в принципе, принимать любое значение, важно лишь, чтобы это значение оставалось всё время неизменным в процессе построения карты.

На настоящих географических картах масштаб обязательно указывается в легенде, при этом вместо дробной черты обычно используется двоеточие. Например, масштаб 1:100 000 означает, что один сантиметр на карте соответствует 100000 сантиметрам (то есть одному километру) на местности.

Технические чертежи также всегда выполняются, как говорят, в определенном масштабе. Масштаб 1:1 означает, что деталь начерчена в натуральную величину. А масштаб 10:1 говорит о том, что чертеж выполнен с десятикратным увеличением.

Замечание о параллельных прямых

Мы назвали параллельными такие несовпадающие прямые, угол между которыми равен нулю. Мы отметили, что такие прямые нигде не пересекаются. Докажем теперь, что если прямые лежат в одной плоскости и не параллельны (то есть угол между ними отличен от нуля), то тогда они обязательно где-нибудь пересекутся.

Пусть на плоскости даны две прямые — x и n . Отметим на них произвольные точки — O и Y — и проведем через эти точки третью прямую — y . Если исходить из того, что угол между прямыми x и n не равен нулю, то смежные углы должны оказаться не равны друг другу. Пусть для определенности α 1 > α 2 , как показано на рисунке.

Проведем через точку O прямую n 1 , параллельную прямой n . Отметим на ней со стороны угла α 1 произвольную точку N 1 и проведем через эту точку прямую y 1 , параллельную прямой y . При этом образуется параллелограмм, обозначенный на рисунке серым фоном.

Это значит, что прямая y 1 пересекает прямую n в некоторой точке, которую мы обозначим через N . Прямая x , заходя на «территорию» параллелограмма в точке O , обязательно должна где-то оттуда выйти. Она может это сделать либо через отрезок YN , либо через отрезок N 1 N . В первом случае сразу становится очевидно, что прямая x пересекает прямую n . Рассмотрим второй случай. Обозначим точку пересечения прямой x и отрезка N 1 N через X 1 . Проведем через нее прямую n 2 , параллельную прямой n . Эта прямая разбивает параллелограмм ON 1 NY на два новых параллелограмма и пересекает прямую y в некоторой точке Y 1 . Отметим на прямой x такую точку X , для которой выполняется соотношение

Проведем через точки X и Y прямую. Согласно рассмотренному выше следствию из теоремы Фалеса, эта прямая параллельна прямой n 2 , а значит, образует нулевой угол с прямой n . Следовательно, новая прямая совпадает с прямой n , которая, таким образом, пересекает прямую x в точке X .

Мы теперь можем утверждать, что следующие три утверждения о несовпадающих прямых a и b , лежащих в одной плоскости, означают в точности одно и то же:

(1) Угол между прямыми a и b равен нулю.

(2) Прямые a и b нигде не пересекаются.

(3) Прямые a и b параллельны.

В традиционных курсах геометрии определением параллельности прямых служит утверждение 2. Мы выбрали для этих целей утверждение 1. Ведь гораздо проще определить угол между двумя прямыми, чем удостовериться, что они нигде не пересекаются на всём своем бесконечном протяжении.

Конспект

1. Равенство вида x 1 /x 2 = y 1 /y 2 называется пропорцией. Числители пропорциональны знаменателям. Числитель и знаменатель одной дроби соотносятся так же, как числитель и знаменатель другой дроби. Эквивалентное равенство: x 1 /y 1 = x 2 /y 2 .

2. Обобщенная теорема Фалеса . Пусть две произвольные прямые a и b пересекаются тремя параллельными прямыми. Тогда отрезки, отсекаемые на прямой a , пропорциональны соответствующим отрезкам, отсекаемым на прямой b .

3. Следствие 1 . Пусть стороны угла с вершиной в точке O пересекаются двумя параллельными прямыми n 1 и n 2 . Тогда отрезки, отсекаемые на прямых n 1 и n 2 , соотносятся так же, как отрезки, отложенные на любой из сторон угла от точки O до соответствующих точек пересечения с прямыми n 1 и n 2 .

4. Следствие 2 . Пусть на сторонах угла отложены от вершины отрезки таким образом, что отрезки на одной стороне пропорциональны отрезкам на другой. Тогда прямые, проходящие через соответствующие концы этих отрезков, параллельны друг другу.

5. На карте сохраняются все соотношения между расстояниями и все углы. Отношение расстояния между некоторыми двумя точками на карте к расстоянию между соответствующими точками на местности не зависит от выбора точек и называется масштабом.

6. Если угол между двумя прямыми, лежащими в одной плоскости, не равен нулю, то такие прямые обязательно пересекаются.

Теорема планиметрии о параллельных и секущих.

Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том , что вписанный угол , опирающийся на диаметр окружности , является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла .

Формулировки [ | ]

Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой равные отрезки.

Более общая формулировка, также называемая теорема о пропорциональных отрезках

Параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки :

A 1 A 2 B 1 B 2 = A 2 A 3 B 2 B 3 = A 1 A 3 B 1 B 3 . {\displaystyle {\frac {A_{1}A_{2}}{B_{1}B_{2}}}={\frac {A_{2}A_{3}}{B_{2}B_{3}}}={\frac {A_{1}A_{3}}{B_{1}B_{3}}}.}

Замечания [ | ]

  • Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках, поскольку равные отрезки можно считать пропорциональными отрезками с коэффициентом пропорциональности, равным 1.

Доказательство в случае секущих

Рассмотрим вариант с несвязанными парами отрезков: пусть угол пересекают прямые A A 1 | | B B 1 | | C C 1 | | D D 1 {\displaystyle AA_{1}||BB_{1}||CC_{1}||DD_{1}} и при этом A B = C D {\displaystyle AB=CD} .

Доказательство в случае параллельных прямых

Проведем прямую BC . Углы ABC и BCD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AB и CD и секущей BC , а углы ACB и CBD равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых AC и BD и секущей BC . Тогда по второму признаку равенства треугольников треугольники ABC и DCB равны. Отсюда следует, что AC = BD и AB = CD . ■

Вариации и обобщения [ | ]

Обратная теорема [ | ]

Если в теореме Фалеса равные отрезки начинаются от вершины (часто в школьной литературе используется такая формулировка), то обратная теорема также окажется верной. Для пересекающихся секущих она формулируется так:

В обратной теореме Фалеса важно, что равные отрезки начинаются от вершины

Таким образом (см. рис.) из того, что C B 1 C A 1 = B 1 B 2 A 1 A 2 = … {\displaystyle {\frac {CB_{1}}{CA_{1}}}={\frac {B_{1}B_{2}}{A_{1}A_{2}}}=\ldots } , следует, что A 1 B 1 | | A 2 B 2 | | … {\displaystyle A_{1}B_{1}||A_{2}B_{2}||\ldots } .

Если секущие параллельны, то необходимо требовать равенство отрезков на обеих секущих между собой, иначе данное утверждение становится неверным (контрпример — трапеция, пересекаемая линией, проходящей через середины оснований).

Этой теоремой пользуются в навигации: столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется направление с одного судна на другое.

Лемма Соллертинского [ | ]

Следующее утверждение, двойственно к лемме Соллертинского :

Пусть f {\displaystyle f} — проективное соответствие между точками прямой l {\displaystyle l} и прямой m {\displaystyle m} . Тогда множество прямых будет множеством касательных к некоторому коническому сечению (возможно, вырожденному).

В случае теоремы Фалеса коникой будет бесконечно удалённая точка, соответствующая направлению параллельных прямых.

Это утверждение, в свою очередь, является предельным случаем следующего утверждения:

Пусть f {\displaystyle f} — проективное преобразование коники. Тогда огибающей множества прямых X f (X) {\displaystyle Xf(X)} будет коника (возможно, вырожденная).

| ]

Эта гробница мала, но слава над ней необъятна.
В ней перед тобою сокрыт многоразумный Фалес.

Надпись на гробнице Фалеса Милетского

Представьте себе такую картину. 600 г. до н.э. Египет. Перед вами огромнейшая египетская пирамида. Чтобы удивить фараона и остаться у него в фаворитах вам нужно измерить высоту этой пирамиды. В распоряжении у вас… ничего. Можно пасть в отчаяние, а можно поступить, как Фалес Милетский : использовать теорему подобия треугольников. Да, оказывается, все достаточно просто. Фалес Милетский подождал пока длина его тени и его рост совпадут, а затем с помощью теоремы о подобии треугольников нашел длину тени пирамиды, которая соответственно, была равна тени, отбрасываемой пирамидой.

Кто же такой этот Фалес Милетский ? Человек, который обрел славу одного из «семи мудрецов» древности? Фалес Милетский – древнегреческий философ, который отличился успехами в области астрономии, а также математики и физики. Годы его жизни были установлены только приблизительно: 625-645 гг до н.э.

Среди доказательств знания Фалесом астрономии можно привести следующий пример. 28 мая 585 г до н.э. предсказание Милетским солнечного затмения помогло прекратить длившуюся уже 6 лет войну между Лидией и Мидией. Это явление настолько испугало мидян, что они согласились на невыгодные для себя условия заключения мира с лидийцами.

Довольно широко известна легенда, которая характеризует Фалеса как находчивого человека. Фалесу часто приходилось слышать нелестные отзывы о его бедности. Однажды он решил доказать то, что и философы могут при желании жить в достатке. Еще зимой Фалес по наблюдению за звездами определил, что летом будет хороший урожай маслин. Тогда же он нанял маслодавильни в Милете и на Хиосе. Это обошлось ему довольно дешево, так как зимой спрос на них практически отсутствует. Когда же маслины дали богатый урожай, свои маслодавильни Фалес начал сдавать внаем. Собранное большое количество денег таким методом расценивалось как доказательство того, что философы могут зарабатывать своим умом, но их призвание выше таких земных проблем. Эта легенда, кстати, повторялась самим Аристотелем.

Что же касается геометрии, то многое из его «открытий» было позаимствовано у египтян. И все же этот перенос знаний в Грецию считается одной из основных заслуг Фалеса Милетского.

Достижениями Фалеса считаются формулировка и доказательство следующих теорем:

  • вертикальные углы равны;
  • равными треугольниками признаются те, у которых сторона и два прилегающих угла соответственно равны;
  • углы при основании равнобедренного треугольника равны;
  • диаметр делит круг пополам;
  • вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Именем Фалеса названа еще одна теорема, которая полезна при решении геометрических задач. Существует ее обобщенный и частный вид, обратная теорема, формулировки также могут немного отличаться в зависимости от источника, но смысл их всех остается одним. Рассмотрим эту теорему.

Если параллельные прямые пересекают стороны угла и отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Допустим, точки А 1 , А 2 , А 3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла, а В 1 , В 2 , В 3 – точки пересечения параллельных прямых с другой стороной угла. Необходимо доказать, что если А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и В 1 В 2 = В 2 В 3 .

Через точку В 2 проведем прямую, параллельную прямой А 1 А 2 . Обозначим новую прямую С 1 С 2 . Рассмотрим параллелограммы A 1 C 1 B 2 A 2 и A 2 B 2 C 2 A 3 .

Свойства параллелограмма позволяют нам утверждать, что A1A2 = C 1 B 2 и A 2 A 3 = B 2 C 2 . А так как по нашему условию А 1 А 2 = А 2 А 3 , то и C 1 B 2 = В 2 С 2 .

И, наконец, рассмотрим треугольники Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 .

C 1 B 2 = B 2 C 2 (доказано выше).

А это значит, что Δ C 1 B 2 B 1 и Δ C 2 B 2 B 3 будут равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и прилегающим углам).

Таким образом, теорема Фалеса доказана.

Использование данной теоремы значительно облегчит и ускорит решение геометрических задач. Успехов в освоении этой занимательной науки математики!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть А 1 , А 2 , А 3 — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и А 2 лежит между А 1 и А 3 (рис.1).

Пусть B 1 В 2 , В 3 — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если А 1 А 2 = A 2 A 3 , то В 1 В 2 = В 2 В 3 .

Проведем через точку В 2 прямую EF, параллельную прямой А 1 А 3 . По свойству параллелограмма А 1 А 2 = FB 2 , A 2 A 3 = B 2 E .

И так как А 1 А 2 = A 2 A 3 , то FB 2 = В 2 Е.

Треугольники B 2 B 1 F и В 2 В 3 Е равны по второму признаку. У них B 2 F = В 2 Е по доказанному. Углы при вершине В 2 равны как вертикальные, а углы B 2 FB 1 и B 2 EB 3 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных А 1 В 1 и A 3 B 3 и секущей EF. Из равенства треугольников следует равенство сторон: В 1 В 2 = В 2 В 3 . Теорема доказана.

С использованием теоремы Фалеса устанавливается следующая теорема.

Теорема 2. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке 2 отрезок ED — средняя линия треугольника ABC.

ED — средняя линия треугольника ABC

Пример 1. Разделить данный отрезок на четыре равные части.

Решение. Пусть АВ — данный отрезок (рис.3), который надо разделить на 4 равные части.

Деление отрезка на четыре равные части

Для этого через точку А проведем произвольную полупрямую а и отложим на ней последовательно четыре равных между собой отрезка AC, CD, DE, ЕК.

Соединим точки В и К отрезком. Проведем через оставшиеся точки С, D, Е прямые, параллельные прямой ВК, так, чтобы они пересекли отрезок АВ.

Согласно теореме Фалеса отрезок АВ разделится на четыре равные части.

Пример 2. Диагональ прямоугольника равна а. Чему равен периметр четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника?

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 4.

Тогда EF — средняя линия треугольника ABC и, значит, по теореме 2. $$ EF = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2} $$

Аналогично $$ HG = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2} , EH = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2} , FG = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2} $$ и, следовательно, периметр четырехугольника EFGH равен 2a.

Пример 3. Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см, а вершины его — середины сторон другого треугольника. Найти периметр большого треугольника.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 5.

Отрезки АВ, ВС, АС — средние линии треугольника DEF. Следовательно, согласно теореме 2 $$ AB = \frac{1}{2}EF\ \ ,\ \ BC = \frac{1}{2}DE\ \ ,\ \ AC = \frac{1}{2}DF $$ или $$ 2 = \frac{1}{2}EF\ \ ,\ \ 3 = \frac{1}{2}DE\ \ ,\ \ 4 = \frac{1}{2}DF $$ откуда $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$ и, значит, периметр треугольника DEF равен 18 см.

Пример 4. В прямоугольном треугольнике через середину его гипотенузы проведены прямые, параллельные его катетам. Найти периметр образовавшегося прямоугольника, если катеты треугольника равны 10 см и 8 см.

Решение. В треугольнике ABC (рис.6)

∠ А прямой, АВ = 10 см, АС = 8 см, KD и MD — средние линии треугольника ABC, откуда $$ KD = \frac{1}{2}AC = 4 см. \\ MD = \frac{1}{2}AB = 5 см. $$ Периметр прямоугольника К DMА равен 18 см.

Тема урока

Цели урока

  • Познакомиться с новыми определениями и вспомнить некоторые уже изученные.
  • Сформулировать и доказать свойства квадрата, доказать его свойства.
  • Научиться применять свойства фигур при решении задач.
  • Развивающие – развить внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь.
  • Воспитательные — посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручке, самостоятельность.

Задачи урока

  • Проверить умение учащихся решать задачи.

План урока

  1. Историческая справка.
  2. Фалес как математик и его труды.
  3. Полезно вспомнить.

Историческая справка

  • Теорема Фалеса до сих пор используется в морской навигации в качестве правила о том, что столкновение судов, двигающихся с постоянной скоростью, неизбежно, если сохраняется курс судов друг на друга.


  • Вне русскоязычной литературы теоремой Фалеса иногда называют другую теорему планиметрии, а именно, утверждение о том, что вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым. Открытие этой теоремы действительно приписывается Фалесу, о чём есть свидетельство Прокла.
  • Основы геометрии Фалес постигал в Египте.

Открытия и заслуги ее автора

А известно ли вам, что Фалес Милетский был одним из семи самых известных по тем временам, мудрецом Греции. Он основал Ионийскую школу. Идею, которую продвигал Фалес в этой школе, было единство всего сущего. Мудрец считал, что есть единое начало, от которого произошли все вещи.

Огромной заслугой Фалеса Милетского является создание научной геометрии. Этот великий учений сумел с египетского искусства измерения создать дедуктивную геометрию, базой которой есть общие основания.

Кроме огромных познаний в геометрии, Фалес еще и неплохо разбирался в астрономии. Эму первому удалось предсказать полное затмение Солнца. А ведь это происходило не в современном мире, а в далеком 585 году, еще до нашей эры.

Фалес Милетский был тем человеком, который сообразил, что север можно точно определить по созвездию Малой Медведицы. Но и это не было его последним открытием, так как он сумел в точности определить продолжительность года, разбить его на триста шестьдесят пять дней, а также установил время равноденствий.

Фалес на самом деле был всесторонне развитым и мудрым человеком. Кроме того, что он славился как прекрасный математик, физик, астроном, он еще и как настоящий метеоролог, смог довольно точно предсказать урожай оливок.

Но самое примечательное то, что Фалес никогда не ограничивался в своих познаниях только научно-теоретической областью, а всегда пытался закрепить доказательства своих теорий на практике. И самое интересное, то, что великий мудрец не сосредотачивался на какой-то одной области своих познаний, его интерес имел различные направленности.

Имя Фалеса стало нарицательным для мудреца уже тогда. Его важность и значимость для Греции была так велика, как для России имя Ломоносова. Конечно, его мудрость можно толковать по-разному. Но точно можно сказать, что ему были присущи и изобретательность, и практическая смекалка, и в какой-то степени отрешенность.

Фалес Милетский был отличным математиком, философом, астрономом, любил путешествовать, был купцом и предпринимателем, занимался торговлей, а также был неплохим инженером, дипломатом, провидцем и активно участвовал в политической жизни.

Он даже умудрился с помощью посоха и тени определить высоту пирамиды. А было это так. В один погожий солнечный день Фалес поставил свой посох на границе, где заканчивалась тень от пирамиды. Далее он дождался, когда длинна от тени его посоха сравнялась с его высотой, и замерил длину тени пирамиды. Вот так, казалось бы просто Фалес определил высоту пирамиды и доказал, что длина одной тени имеет отношение к длине другой тени, также, как и высота пирамиды относится к высоте посоха. Чем и поразил самого фараона Амасиса.

Благодаря Фалесу все известные в то время знания были переведены в область научного интереса. Он смог донести результаты до уровня, пригодного для научного потребления, выделив определенный комплекс понятий. И возможно с помощью Фалеса началось последующее развитие античной философии.

Теорема Фалеса играет одну важных ролей в математике. Она была известна не только в Древнем Египте и Вавилоне, но и в других странах и являлась почвой для развития математики. Да и в повседневной жизни, при строительстве зданий, сооружений, дорог и т.д., без теоремы Фалеса не обойтись.

Теорема Фалеса в культуре

Теорема Фалеса прославилась не только в математике, но ее приобщили еще и к культуре. Однажды аргентинская музыкальная группа Les Luthiers (исп.) на суд зрителей представила песню, которую посвятила известной теореме. Участники Les Luthiers в своем видеоклипе специально для этой песни предоставили доказательства для прямой теоремы для пропорциональных отрезков.

Вопросы

  1. Какие прямые называются параллельными?
  2. Где практически применяется теорема Фалеса?
  3. О чем гласит теорема Фалеса?

Список использованных источников

  1. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/Глав.ред.М.Д.Аксенова.-м.:Аванта+,2001.
  2. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП – М.: Интеллект-Центр, 2006»
  3. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 – 9: учебник для общеобразовательных учреждений»
Предмети > Математика > Математика 8 класс

 

Формулировка теоремы Фалеса по геометрии 8 класса: обобщенная, обратная

В данной публикации мы рассмотрим одну из основных теорем по геометрии 8 класса – теорему Фалеса, которая получила такое название в честь греческого математика и философа Фалеса Милетского. Также разберем пример решения задачи для закрепления изложенного материала.

Формулировка теоремы

Если на одной из двух прямых отмерить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, то пересекая вторую прямую они отсекут на ней равные между собой отрезки.

  • A1A2 = A2A3 …
  • B1B2 = B2B3 …

Примечание: Взаимное пересечение секущих не играет роли, т.е. теорема верна и для пересекающихся прямых, и для параллельных. Расположение отрезков на секущих, также, не важно.

Обобщенная формулировка

Теорема Фалеса является частным случаем теоремы о пропорциональных отрезках*: параллельные прямые отсекают на секущих пропорциональные отрезки.

В соответствии с этим для нашего чертежа выше справедливо следующее равенство:

* т.к. равные отрезки, в т.ч., являются пропорциональными с коэффициентом пропорциональности, равным единице.

Обратная теорема Фалеса

1. Для пересекающихся секущих

Если прямые пересекают две другие прямые (параллельные или нет) и отсекают на них равные или пропорциональные отрезки, начиная от вершины, значит эти прямые являются параллельными.

Из обратной теоремы следует:

Обязательное условие: равные отрезки должны начинаться от вершины.

2. Для параллельных секущих

Отрезки на обеих секущих должны быть равны между собой. Только в этом случае теорема применима.

  • a || b
  • A1A2 = B1B2 = A2A3 = B2B3 …

Пример задачи

Дан отрезок AB на плоскости. Разделите его на 3 равные части.

Решение

Проведем из точки A прямую a и отметим на ней три подряд идущих равных отрезка: AC, CD и DE.

Крайнюю точку E на прямой a соединяем с точкой B на отрезке. После этого через оставшиеся точки C и D параллельно BE проведем две прямые, пересекающие отрезок AB.

Образованные таким образом точки пересечения на отрезке AB делят его на три части, равные между собой (согласно теореме Фалеса).

Фалес Милетский — Биография. Происхождение. Семья. Политическая деятельность. Наука и Философия. Память

Фале́с (др.-греч. Θαλῆς ὁ Μιλήσιος, 637/624— 547/558)— древнегреческий философ и математик из Милета в Малой Азии. Традиционно, как античными, так и современными авторами, считается основоположником греческой философии и науки, «отцом философии»

Большинство античных источников, которые описывают Фалеса, отстоят на 500 и более лет от даты его предполагаемой смерти. Наиболее достоверными современные учёные признают сведения о Фалесе в трудах Геродота и Аристотеля, которые жили «всего» через 2—3 столетия после его смерти. В связи с этим вокруг имени Фалеса возникло множество легенд, сведения об «отце философии» и его открытиях зачастую противоречивы. С именем Фалеса связаны многочисленные открытия в астрономии и математике. Главное положение учения Фалеса, что первоосновой всего сущего является вода, по мнению современных мыслителей, в том числе Гегеля и Ницше, делает его «первым философом». В античной традиции неизменно открывал список «семи мудрецов», заложивших основы греческой культуры и государственности.

Основатель первой древнегреческой научно-философской милетской школы, с открытий которой начинается история европейской науки— космогонии и космологии, физики, географии, метеорологии, астрономии, биологии и математики.

Источники

Древние греки связывали с именем полулегендарного учёного и философа Фалеса многочисленные открытия античности. При этом подавляющее большинство источников, которые описывают Фалеса, датированы промежутком от 500 лет после его предполагаемой смерти. В них античные авторы приводили различные истории анекдотического характера, которые всерьёз не рассматриваются историками. Эти фрагменты были собраны немецким историком Германом Дильсом (1848—1922) в монографии «Der Fragmente der Vorsokratiker». Те или детали из жизни и учения Фалеса описывали Геродот (около 484—425 годов дон.э.), Платон (429/427—347 годы дон.э.), Аристотель (384—322 годы дон.э.), Каллимах (310—240 годы дон.э.), Цицерон (106—43 годы дон.э.), Николай Дамасский (ок. 64 года дон.э.— после 4 года), Луций Анней Сенека (ок. 4 года дон.э.— 64), Плиний Старший (22/24—79), Иосиф Флавий (ок. 37— ок. 100), Гераклит Грамматик (I век), Плутарх (46—127), Татиан (112—185), Апулей (ок. 125— ок. 170), Климент Александрийский (ок. 150— ок. 215), Тертуллиан (155/165—220/240), Клавдий Элиан (ок. 170— после 222), Теон Смирнский (II век), Диоген Лаэртский (180—240), Ямвлих (245/280— 325/330), Мавр Сервий Гонорат (III век), Фемистий (около 317— после 388), Юлиан (331/332—363), Иероним Стридонский (342—419/420), Кирилл Александрийский (376—444), Феодорит (386—457), Прокл Диадох (412—485), Симпликий (490—560), Георгий Синкелл (VIII—IX века), византийский энциклопедический словарь X века Суда, Абу-ль-Фарадж бин Харун (1226—1286), различные схолиасты, анонимные трактаты и др. Кроме явных сомнений в достоверности сведений из источников, отдалённых от описываемого персонажа 500—1500-летним промежутком, обращает на себя внимание противоречивость данных.

Наиболее достоверными современные учёные признают сведения о Фалесе в трудах Геродота и Аристотеля, которые жили «всего» через 2—3 столетия после его смерти.

Историки воспринимают данные свидетельства по разному. Голландский математик Б.Л.Ван дер Варден считал, что Фалес первым ввёл в геометрию математические доказательства, возможно, опираясь на почерпнутые у древних египтян и вавилонян знания. О. Нейгебауэр утверждал, что все сведения о Фалесе, как и о Пифагоре, являются мифами. По мнению данного учёного этим легендарным личностям приписали все их «открытия». Возможно речь идёт о «культурной легенде»— имени, с которым древние греки ассоциировали открытия и мысли своих предков до того момента, как появилась их письменная фиксация. Такие радикальные оценки личности Фалеса не получили широкого распространения. Современные учёные воспринимают Фалеса основоположником древнегреческих философии и математики.

Немецкий философ Г. В.Ф.Гегель охарактеризовал несколько античных источников, имеющих непосредственное отношение к Фалесу, относительно их ценности для понимания древнегреческой философии. Изложение Платона внешне может показаться изложением учений других философов. Так как Платон собирал и основательно изучал трактаты своих предшественников, то его сведения имеют важное значение. Однако в его произведениях невозможно вычленить мысли самих древних философов и их интерпретацию автором. Наиболее ценные сведения о древней философии содержатся у Аристотеля. Цицерон приводит множество деталей из древних учений. Однако, по мнению Гегеля, его сведения о философах поверхностны. Важным источником является компилятивный труд Диогена Лаэртского. В его книге собраны многочисленные анекдоты, которые могут быть использованы для получения биографических сведений.

Происхождение

Фалес родился в семье Эксамия и Клеобулины. По одной версии по происхождению был финикийцем и принадлежал к роду Фелидов, чьим мифическим родоначальником являлся сын царя Тира и Сидона Агенора Кадм. Был изгнан из Финикии и переехал в расположенный на малоазийском побережье Эгейского моря ионийский город Милет. По другой версии происходил из знатного милетского рода. Согласно Аполлодору родился в первый год тридцать пятой олимпиады, то есть в 640 году дон.э. В византийской энциклопедии Суда с ссылкой на Флегонта написано, что Фалес был уже известен в седьмую олимпиаду, то есть в 752—749 годах дон.э. Эти даты не согласуются с другими событиями из предполагаемой жизни философа. Герман Дильс считал, что Фалес жил в 624—547 годах дон.э., Поль Таннери — в 637—558 годах дон.э..

Вопрос происхождения Фалеса, который не особо беспокоил древних греков, с неожиданной стороны заинтересовал историков Нового и Новейшего времени. Если принять версию Геродота и цитировавших его античных авторов о финикийском происхождении Фалеса, то получается «отец философии» был семитом. Ещё Э. Целлер (1814—1908), который отстаивал самобытность древнегреческой цивилизации, высказал предположение, что речь шла о беотийском происхождении Фалеса. Мифический Кадм хоть и был сыном финикийского царя, всё же в первую очередь известен как основатель столицы Беотии Фив. Знатные беотийцы возводили к нему своё генеалогическое древо. Другой немецкий учёный Г. Дильс опубликовал в 1889 году статью «Thales ein Semite?», в которой обосновывал несемитское происхождение Фалеса. Вопрос о принадлежности Фалеса к грекам или финикийцам остаётся неразрешённым. Об этом свидетельствует статья «Thales, ein Phönizier?» 2015 года в которой собраны свидетельства античных авторов о месте рождения Фалеса, аргументы «за» и «против» современных историков.

Семья

Сведения о семейном положении Фалеса носят фрагментарный и противоречивый характер. Диоген Лаэртский собрал существовавшие в античности версии о семье Фалеса. Так, согласно одним источникам, он был женат и имел сына Кибисфа; другим— усыновил племянника, сына сестры; третьим— был бездетным и жил в одиночестве. На вопрос почему он не заводит детей, Фалес ответил: «Потому что люблю их». Ещё по одной легенде, когда мать требовала от сына жениться, тот вначале отвечал: «Слишком рано!», а затем— «Слишком поздно!»

Ещё по одной легенде Фалес утром трижды благодарил богов: «За то, что они создали его человеком, а не животным; эллином, а не варваром; мужчиной, а не женщиной».

Политическая деятельность

В первой половине жизни много путешествовал. Согласно античным источникам какое-то время жил в Египте, где обучался у жрецов, изучал причины наводнений и разливов Нила. По Ямвлиху именно он уговорил Пифагора отплыть в Египет и представил его, обучившим своим тайнам, жрецам. Гипотетические путешествия Фалеса в Египет и обучение у местных учёных имели важное значение для древних греков. Они приписывали загадочной древнеегипетской цивилизации тайные и утраченные знания. Фалес, в представлении эллинов, был первым греческим мудрецом, который принёс в Элладу знания египтян, сделал их общим достоянием. Подобные легенды также существовали о Пифагоре и Платоне.

По свидетельству Диогена Лаэртского Фалес был близким другом и советником тирана Милета Фрасибула. Данное утверждение античного автора, по мнению современных историков, выглядит правдоподобным. Знатное происхождение, учёность, а возможно и личная симпатия должны были способствовать сближению Фалеса с правителем города Фрасибулом. Возможно, что именно Фалесу принадлежали советы, которые помогли Фрасибулу заключить мир и равноправный союз с намного более сильным соперником Лидией около 615 года дон.э. В контексте дружбы философа и тирана становится понятным назначение ученика Фалеса Анаксимандра ойкистом милетской колонии Аполлонии Понтийской (современный Созопол в Болгарии).

Прозорливость Фалеса проявилась во время создания Киром Великим империи Ахеменидов. Он одним из первых осознал угрозу порабощения Ионии персами и предложил реальный, хоть и нереализованный, план противодействия этой угрозе. По его мнению было необходимо создать политическое объединение синойкизм Панионию с политическим центром на острове Хиос. Одновременно он убедил граждан Милета отказаться от военного союза с царём Лидии Крёзом, который начал войну с Киром. Это позволило Милету после поражения Лидии заключить наиболее выгодный, по сравнению с другими ионийскими городами, сепаратный мир с Киром. Одновременно Фалес помог Крёзу во время военных действий с персами. По свидетельству Геродота, когда войско Крёза остановилось перед полноводной рекой Галис, Фалес построил плотину и изменил русло реки таким образом, что солдаты смогли спокойно продолжить путь навстречу врагу.

Легенды

Иллюстрация XVIII века к басне Жана де Лафонтена «Астролог, упавший в колодец»

С именем Фалеса связаны несколько легенд. Популярность получил сюжет о философе или астрологе, который упал в колодец. Впервые в мировой литературе он приведен в диалоге Платона «Теэтет» первой половины IV века дон.э.:

На примере Фалеса, наблюдавшего за звёздами, понятно это, Феодор! Заглядевшись однажды на небо, он упал в колодец, а фракиянка одна, благопристойная и прелестная служанка, как рассказывают, посмеяласьнад ним: жаждет-де знать, что на небе происходит, и не замечает, что у него перед носом и под ногами. Эта насмешка относится ко всем, кто проводит время в философствовании. Такой человек действительно не осведомлён ни о ближнем своём, ни о соседе, и не только не знает, что он делает, но и человек ли он вообще или какое-нибудь животное. А между тем предметом его поисков и неутомимого исследования в отличие от других является вопрос о том, что такое человек и что присуще его природе.

Впоследствии басню описал Диоген Лаэртский и она вошла в сборник «Басни Эзопа» под номером 40 согласно индексу Перри. В Новое время её использовали при критике астрологов и лжеучёных схоластов и другие писатели, в том числе и знаменитый французский баснописец Жан де Лафонтен.

Ещё одну легенду о жизни легендарного мудреца приводит Аристотель в «Политике». Современники упрекали Фалеса, что его занятия философией и наукой бесполезны, не приносят никакой выгоды. Тогда Фалес на основании астрономических данных предугадал богатый урожай оливок. После этого он за бесценок законтрактовал маслобойни на Хиосе и в Милете. Когда наступило время сбора оливок, то всем понадобился доступ к маслодавильням, что позволило Фалесу разбогатеть. Таким образом он доказал, что философ может легко разбогатеть используя свои знания, но не делает этого, так как не богатство является его целью.

Фалес входит во все античные списки «семи мудрецов», которые имеют множество вариаций. С именами семи мудрецов связаны два рассказа с многими вариациями: совместный пир и состязание из-за треножника. Рассказ о пире мудрецов, которые собрались в гостях у коринфского тирана Периандра, дошёл до современников в изложении Плутарха. По современным оценкам автор приписал мудрецам собственные идеи и не отобразил все народные мотивы. Содержание рассказа о треножнике содержит массу вариаций. По наиболее распространённой версии рыбак выловил вместе с рыбой этот жертвенный предмет. За обладание им разгорелась война между жителями Милета и острова Кос. В конечном итоге стороны обратились за советом к дельфийскому оракулу. Пифия передала волю Аполлона «отдать треножник умнейшему из греков». Тогда артефакт вручили Фалесу. Тот в свою очередь посчитал себя недостойным звания «умнейшего из греков» и отправил предмет Бианту. В конечном итоге треножник сменил семь владельцев и вернулся к Фалесу. После этого все семь мудрецов согласились отдать предмет Аполлону, так как именно он по их мнению и был «мудрейшим».

Согласно античным источникам Фалес умер в преклонном возрасте, «когда смотрел гимнастическое состязание, обессилев вследствие жары».

Изречения и сочинения

Античная традиция причисляла Фалеса к «семи мудрецам». С их именами связывают рождение древнегреческой философии, а самого Фалеса называли её отцом. Истоки философии в Древней Греции связаны с народными пословицами, житейскими мудростями. Мысли первых философов дошли до современников не в виде завершённых трактатов, а в форме множества изречений. Точность их распределения между мудрецами условна, имеет существенные отличия в источниках. Фалесу приписывают авторство следующих сентенций:

  • «Древнее всего сущего— Бог, ибо он не рожден»;
  • «Прекраснее всего— мир, ибо он творение Бога»;
  • «Больше всего— пространство, ибо оно объемлет всё»;
  • «Быстрее всего— ум, ибо он обегает всё»;
  • «Сильнее всего— неизбежность, ибо она властвует всем»;
  • «Мудрее всего— время, ибо оно раскрывает все»;
  • «Что на свете трудно?»— «Познать себя!»;
  • «Что легко?»— «Советовать другому!»;
  • «Чем поддержал ты своих родителей, такой поддержки жди и от детей»;
  • и др.

Сочинения Фалеса не сохранились. В позднеантичных источниках упомянуты несколько трактатов. Диоген Лаэртский приписывает ему авторство «О солнцеворотах» (Περὶ τροπὴς) и «О равноденствиях» (Περὶ ἰσημερίας). Симпликий (490—560) называет единственным завершённым трудом Фалеса «Морскую астрономию», которую учёный написал в конце жизни. В ней по свидетельству Симпликия были описаны методики ориентирования во время морских путешествий. Сенека, Плутарх и Гален упоминали фалесово сочинение «О началах». К подложным сочинениям Фалеса относят два письма от его имени к Солону и Ферекиду. В отличие от других древнегреческих учёных, чьи труды не сохранились, у историков имеются сомнения относительно самого факта существования трактатов Фалеса. Во всяком случае, ни Геродот, ни Платон, ни Аристотель о них ничего не знали. Таким образом современные представления об учении и открытиях Фалеса основаны даже не на цитировании оригинальных работ другими авторами, а на передаче в источниках устной традиции, которая отделена от Фалеса многими поколениями.

Наука

Космогония и космология

Согласно Диогену Лаэртскому началом всех вещей Фалес считал воду, а Космос— живым существом, полным божественных сил. Земля плавает в центре Мирового океана «какдерево или какое-нибудь другое подобное вещество». Землетрясения представляют собой волнения в Мировом океане. Солнце и Луна объезжают небо не на колесницах, а на кораблях. Вопрос относительно того является ли Фалес первым, кто создал космогоническую теорию происхождения всего сущего из одного элемента, либо заимствовал это учение из Древних Египта и/или Вавилона, переосмыслил идеи из трудов Гомера об Океане остаётся открытым. Космологические идеи Фалеса имеют сходство с египетским мифом о Птахе, который воплотился в божество, когда весь мир представлял собой первозданный океан Нун. Вавилонский космогонический миф «Энума элиш» представляет описание борьбы Мардука с богами водного хаоса. В «Одиссее» Гомера содержится строка: «Навестить Океана, прародителя богов, и матерь Тефию». Одновременно существует и другая точка зрения, что Фалес пришёл к выводу о сотворении всего сущего из воды самостоятельно. Аристотель попытался повторить логику рассуждений своего предшественника. Если растения питаются влагой, начало живых существ— влажное семя, огонь Солнца и сам Космос питаются испарениями, то значит именно вода является началом всего сущего.

Вопрос о ближневосточном влиянии на космологию Фалеса остаётся открытым. Гипотеза имеет как сторонников, так и противников. Одновременно профессор филолог-классик А.В.Лебедев подчёркивает, что в египетских и других мифах кроме водной стихии—прародительнице всего сущего присутствует и демиург. Таковой есть, согласно Цицерону, Диогену Лаэртскому, позднеантичным христианским источникам и др., и у Фалеса в виде всепроникающей божественной силы, которая присутствует везде и во всём. Данные источники противоречат свидетельству Аристотеля о том, что древние физиологи, к которым принадлежит Фалес, описывали лишь материальную первопричину всего сущего, а первым кто выдвинул идею божественной силы Нус («космический Разум») был Анаксагор. Исходя из этого можно сделать вывод о том, что концепция о вмешательстве Бога в космогонии Фалеса является «ошибкой послеаристотелевского времени». Как бы то ни было данное утверждение, хоть и существует в научной среде, не является общепринятым.

Хоть космогонические взгляды Фалеса и несут следы первобытных мифологических представлений, они стали первым учением о материальной основе сущего, заложили основы научного подхода к описанию природных явлений. Также Фалес первым предположил раскалённый землеобразный состав материи звёзд и Солнца.

Бог для Фалеса представляет собой всепроникающий космический Ум, который приводит первовещество воду в движение. Сама вода при сгущении становится землёй, а при испарении— воздухом, который затем возгорается в виде эфира, то есть огнём, в том числе и огнём Солнца и звёзд. Выпадая в осадок вода превращается в ил, то есть землю.

В утверждении, что «всё— из воды», философ и антиковед А.Ф.Лосев выделяет три идеи. Идею всеединства можно выразить одним, приписываемым Фалесу, предложением: «Космос един». Утверждение о единстве мира напрямую следует из идеи о первовеществе. Вторая идея, заложенная в «первовещество», состоит в «неуничтожимости всего». Отсюда в свою очередь следует не только неуничтожимость материи, но и «бессмертие души», как наиболее тонкой и особой формы материи. Третья идея «Всё из воды, и всё разрешается в воду» представляет антитезу конкретных предметов и безликой стихии.

Убеждение Фалеса в том, что «всё полно богов» приводит к всеобщему одушевлению («Прекрасно полагает Фалес, что во всех важнейших и величайших частях космоса имеется душа, а потому и не стоит удивляться тому, что промыслом Бога совершаются прекраснейшие дела»). Согласно античным источникам Фалес приписывал наличие души янтарю и магниту. Соединив оба утверждения «всё— из воды» и «всё полно богов» древнегреческая мысль стала воспринимать Бога первопричиной возникновения всего сущего.

Астрономия

Античные источники утверждают, что Фалес точно указал дату солнечного затмения. Современники датируют это событие 28 мая 585 годом дон.э. У антиковедов возникает вопрос относительно того, каким образом Фалес мог сделать такое экстраординарное для древних греков предсказание, если оно действительно имело место быть. Голландский математик Б.Л.Ван дер Варден видит в этом однозначное свидетельство знакомства Фалеса с вавилонской астрономией, которая на тот момент, согласно современным представлениям, обладала соответствующими знаниями. О том, что предсказание было свидетельствует Ксенофан, который жил через полвека после Фалеса. По мнению учёных представления Фалеса о природе солнечных затмений соответствовали современным. Возможно античный учёный предсказал не точную дату, а год, либо другой промежуток времени. Метод с помощью которого было определено событие неизвестен. Согласно современным реконструкциям хода мысли Фалеса он обладал глубокими познаниями эклиптики.

Фалес первым определил угловой размер Луны и Солнца в ½ градуса; он нашёл, что размер Солнца составляет 1720 часть от его кругового пути, а размер Луны— такую же часть от лунного пути. Можно утверждать, что Фалес создал «математический метод» в изучении движения небесных тел.

Согласно античным представлениям Фалес открыл для греков созвездие Малой Медведицы как путеводный инструмент; ранее этим созвездием пользовались финикийцы. Фалес ввёл календарь по египетскому образцу (в котором год состоял из 365 дней, делился на 12 месяцев по 30 дней, и пять дополнительных дней оставались выпадающими). Также ему приписывали открытие наклона эклиптики к экватору и выделение на небесной сфере пяти кругов: арктического, летнего тропика, небесного экватора, зимнего тропика и антарктического круга. Он научился вычислять время солнцестояний и равноденствий, установил неравность промежутков между ними. Исходя из дошедших источников современные учёные называют Фалеса основоположником геоцентризма.

Геометрия

Информация о математических достижениях Фалеса дошла до современников благодаря комментатору «Начал» Евклида Проклу Диадоху (412—485), а также Диогену Лаэртскому (180—240). Прокл в свою очередь основывался на несохранившейся «Истории геометрии и арифметики» Евдема Родосского (IV век дон.э.), а Диоген Лаэртский цитирует Памфилу Эпидаврскую (I век). Кроме того позднеантичные авторы в нескольких вариациях описали легенду об измерении Фалесом высоты египетских пирамид. Согласно Диогену Лаэртскому учёный измерил их высоту по тени. Он подметил момент, когда отбрасываемая Фалесом тень стала равной его росту. По версии Плутарха Фалес поставил шест на край отбрасываемой пирамидой тени. Измерив длину шеста и его тени он показал, что отношение длины тени пирамиды к тени от шеста равно отношению высоты пирамиды к высоте шеста.

Согласно Проклу Фалес сделал четыре математических открытия. Он первым доказал, что диаметр делит круг пополам. Также ему принадлежит авторство утверждения о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника. Согласно Евдему Фалес открыл, что при пересечении двух прямых образуются две пары равных углов. Древнегреческому математику принадлежит теорема о равенстве двух треугольников у которых равные сторона и два угла, что позволило находить расстояние от берега до корабля в море. Диоген Лаэртский пишет: «Памфила говорит, что он [Фалес], научившись у египтян геометрии, первый вписал прямоугольный треугольник в круг и за это принес в жертву быка. Впрочем, иные, в том числе Аполлодор Исчислитель, приписывают это Пифагору».

Схема определения Фалесом высоты пирамиды

Задачи о вычислении высоты пирамиды и расстояния до корабля на первый взгляд являются сугубо прикладными. Однако по современным оценкам момент, когда Фалес начал определять эти величины, стал переломным в истории науки. Ведь, если возможно измерить высоту пирамиды и расстояние до находящегося вдали корабля, то следующие вопросы, которые поставит перед собой человечество станут: «Каково расстояние от Земли до Солнца и от Солнца до Луны?»

Хоть измерение Фалесом пирамид выглядит весьма простым в осуществлении и заключается в решении пропорции CB=DA, с одним неизвестным D, задача предполагает много математических вопросов. Результатом разбора понятия пропорции, как равенства отношений, подобия сходно расположенных треугольников станет формулировка теоремы Фалеса о пропорциональных отрезках: «Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные отрезки». Обратная теорема Фалеса звучит как «Если прямые, пересекающие две другие прямые (параллельные или нет), отсекают на обеих из них равные (или пропорциональные) между собой отрезки, начиная от вершины, то такие прямые параллельны».

В мировой литературе существуют разночтения относительно «Теоремы Фалеса». Впервые термин встречается во французской математической литературе в 1882 году. Затем определение было использовано в 1885 году в итальянской книге по геометрии. В немецкой с 1894 года, а затем и в англоязычной математической литературе, определение «Теорема Фалеса» закрепилось за другой теоремой: «Если в треугольнике угол опирается на диаметр окружности, описанной вокруг него, то этот угол— прямой, то есть треугольник— прямоугольный». Обозначение теоремы о параллельных секущих именем Фалеса закрепилось также в испанской, бельгийской и русской литературе, а о вписанном в полукруг треугольнике— австрийской, венгерской и чешской.

Каким образом Фалес определил расстояние от берега до корабля в море, античные источники умалчивают. Б. Л. Ван дер Варден считает, что именно с этой задачей связано появление теоремы о равенстве треугольников.

Философия

Греческая философия начинается, по-видимому, с нескладной мысли — с положения, будто вода – первоначало и материнское лоно всех вещей. Действительно ли на этом нужно всерьез остановиться? Да, и по трём причинам: во-первых, потому, что это положение высказывает нечто о происхождении вещей, во-вторых, потому, что оно делает это без иносказаний и притч; и, наконец, потому, что в нём, хотя и в зачаточном состоянии, заключена мысль: «Все – едино». Первое оставляет еще Фалеса в обществе религиозных и суеверных людей, второе выводит его из этого общества и показывает его нам естествоиспытателем, но в силу третьего — Фалес становится первым греческим философом. Если бы он сказал: из воды происходит земля, мы имели бы научную гипотезу, ложную, но все же трудно опровержимую. Но он вышел за пределы научного. Выражая своё представление о единстве гипотезою воды, Фалес не преодолел низкий уровень физических воззрений своего времени, а перескочил через него. Скудные и беспорядочные наблюдения эмпирического характера, произведенные Фалесом над состоянием и изменениями воды, или, точнее, влаги, менее всего могли дозволить такое радикальное обобщение — не говоря уже о том, чтоб на вести на него; к этому побуждал метафизический догмат, возникающий из мистической интуиции, — догмат, с которым мы встречаемся во всех философиях, включая сюда постоянно возобновляемые попытки выразить его лучше — положение «всё — едино».

Фалес считается основателем первой древнегреческой научно-философской школы, которая вошла в историю под названием «милетской». Она в отличие от современной философии не касалась теоретических проблем бытия и познания, а изучала сущность мира. Философы милетской школы не ставили вопрос об отношении материального к духовному. В понимании современников именно с открытий данной школы началась история европейской науки— космогонии и космологии, физики, географии, метеорологии, астрономии, биологии и математики. В этом контексте Фалеса могут называть натурфилософом, подчёркивая его занятия естественными науками.

Милетская школа описывала эволюцию космоса, начиная от первовещества до сотворения живых существ. Фалес и его последователи противопоставили науку мифологии, «логос мифу», отказались от противопоставления божественного человеческому. Предложенные ими фундаментальные законы, в том числе «закон сохранения материи», отрицание возникновения из ничего и полного уничтожения, претендовали на всеобщий характер.

Фалес определил первичным веществом воду. В античных источниках отсутствуют какие-либо сведения о размышлениях Фалеса относительно того, каким образом она возникла и каким образом из неё происходят другие формы бытия. Аристотель высказывает предположение относительно обстоятельств признания именно воды, а не земли, воздуха, или огня, первичным веществом. Хоть Аристотель и добавляет к своим обоснованиям словосочетание «может быть», впоследствии их стали принимать как фактические, а не гипотетические основы учения Фалеса. В данном случае мы имеем одно из первых «доказательств от действительности», основанные на соответствии общей мысли о воде. Аристотель приводит примеры влажного семени, которое даёт жизнь, воды, как пищи для растений. В данном случае бесформенная субстанция вода приобретает конкретную форму и «индивидуализируется индивидуальностью».

Центральное положение учения Фалеса, что вода есть первовещество представляет собой начало философии. Эта мысль, несмотря на её недоказуемость, представляла собой отход от мифологических верований согласно которым природа была порождением богов. В ней впервые артикулировано положение о том, что «единое есть сущность». В этом положении множество предметов и явлений имеют единую суть, первоначало, которое видоизменилось тем или иным образом. При этом фалесовское первоначало, в отличие от поздних философских учений, имеет материальную природу. Поэтому его и определяют «натурфилософом».

Фалесовой воде не хватает формы. Философы милетской школы объясняли приобретение первовеществом конкретной формы лишь количественными различиями— сгущением и разрежением. Следующий вопрос, который поставит себе философия, в изложении Гегеля, будет определение души. Гегель считал, что фалесовские определения души, а также утверждения о том, что Бог есть некий дух, либо космический разум, придающий воде некие формы являются поздними выдумками. Суммируя роль Фалеса в развитии философии Гегель приписывает античному учёному два достижения: «он совершил отвлечение, дабы обнять природу в одной простой сущности; он выставил понятие основания, то есть определил воду как бесконечное понятие, как простую сущность мысли, не признавая за ним никакой дальнейшей определённости».

Память

Фалес Милетский, один из тех знаменитых семи мудрецов и, несомненно, самый великий среди них— ведь это он был у греков первым изобретателем геометрии, самым опытным испытателем природы, самым знающим наблюдателем светил,— проводя маленькие черточки, делал великие открытия: он изучал смены времен года, ветров дуновения, планет движения; грома дивное грохотание, звезд по кругам своим блуждания, солнца ежегодные обращения, а также луну— как она прибывает, родившись, как убывает, старея, и почему исчезает, затмившись. Так вот, этот самый Фалес уже в глубокой старости создал свое божественное учение о солнце, устанавливающее соотношение между размерами солнца и длиною окружности, которую оно описывает. (Я не только знаком с этим учением, но даже подтвердил правильность его своими собственными опытами). Говорят, что вскорости же после своего открытия Фалес рассказал о нем Мандраиту из Приены. Тот, придя в восторг от этой новой и неожиданной истины, предложил Фалесу просить любое вознаграждение за такой замечательный урок. „Для меня будет достаточным вознаграждением,— ответил мудрый Фалес,— если, пожелав сообщить кому бы то ни было о том, чему ты у меня выучился, ты не станешь приписывать этого открытия себе, но заявишь во всеуслышание, что оно сделано мною, и никем иным“. Прекрасное вознаграждение, несомненно, достойное такого мужа и непреходящее! Да, потому что и по сей день и впредь во все времена Фалес получал и будет получать от нас— всех тех, кто действительно знакомится с его трудами,— это вознаграждение за свои исследования небесных явлений.

Фалес при жизни снискал славу мудреца и умнейшего среди эллинов. Его имя уже в V веке дон.э. стало нарицательным для мудреца. «Отцом философии» и её «родоначальником» (греч. άρχηγέτης) Фалеса называли уже в древности. Диоген Лаэртский писал о нём, как о «первом мудреце», Цицерон, Платон и Страбон— «первом философе», Юстин и Евсевий— «первом натурфилософе», Аристотель— «основателе философии», Апулей— «первом геометре», Евдем и Минуций Феликс— «первом астрономе», Плиний, Лактанций и Тертуллиан— «первом физике». Комедиографы Аристофан и Плавт использовали имя «Фалес» в качестве эпитета софистов в ироничном смысле.

Данте поместил Диогена в первый круг Ада— Лимб, где находятся добродетельные язычники.

В Новое время первым, кто стал связывать имя Фалеса с возникновением философии был немецкий философ Д. Тидеман (1748—1803). Впоследствии это мнение нашло отображение в трудах Э. Целлера (1814—1908), А. Швеглера (1819—1857), Гегеля и других философов. Современники видят заслугу Фалеса в преобразовании мифологического мировоззрения в философское. Его считают одним из первых греческих философов и учёных, человеком, находившимся у истоков древнегреческой научной мысли, которая в свою очередь стала колыбелью западноевропейской цивилизации. Если просуммировать все оценки Фалеса историками Нового и Новейшего времени, то они будут практически неотличимы от античных. Античного философа описывают как первого математика и создателя научной геометрии, астронома, метеоролога, физика, создателя милетской научной школы.

В 1935г. Международный астрономический союз присвоил имя Фалеса Милетского кратеру на видимой стороне Луны.

О теоремах, данных без доказательств

Я учился в математической школе. Учился весьма посредственно, но, например, те, кого вовсе отчисляли, переходя в обычную школу, стабильно учились там на отлично без малейшего напряжения мозга.

Однажды для меня стало большим откровением, что в обычных школах некоторые теоремы и формулы давались без доказательства. То есть, людям просто говорили, что есть теорема Фалеса, а есть — формула Герона. А потом сразу давали задачи, которые можно было решить с их использованием. Это для меня было абсолютным разрывом мозга. Это не укладывалось в голове. Я совершенно не мог понять, какой смысл в том, чтобы проходить формулу, не выводя её — это же тогда просто бессмысленный набор букв и знаков. Ну или максимум «занимательный факт»: британские учёные выяснили, что.

Нас, помню, развлекал учитель математики, читая на перемене вопросы билетов экзамена по геометрии из какой-то там другой школы. Идея того, что в ответ на вопрос нужно тупо по памяти написать формулу или формулировку теоремы, представлялась смешной всему классу.

Позже в университете для некоторых моих одногруппников казалось странной необходимость доказывать теоремы или выводить формулы. По школьной привычке учить формулы наизусть эти люди учили наизусть и вывод формул, не понимая, что там происходит. При этом многие из них благодаря прилежности хорошо писали контрольные; боялись же они экзамена. У меня история была обратная: всегда было очень трудно попасть на экзамен, потому, что для этого надо было сдать зачёт, а чтобы допуститься на него, нужно было написать все контрольные в семестре. Терпения же и внимательности на решение практических задачек всегда не хватало.

Экзамены по математике в университете я сдавал на 4, 4, 4 и 5 (в четвёртом семестре была теория функции комплексного переменного, которую я обожаю).

Каждый раз, когда я сдавал листочек с ответами Олегу Геннадьевичу, напротив большинства пунктов задания он ставил минус. Потом, когда он вызывал меня отвечать, он спрашивал: почему не решили эту задачу? Я говорил: забыл формулу такую-то и откуда она берётся. Он говорил: ну, а если бы знали формулу, что бы делали? Я отвечал: нашёл бы то-то, подставил бы в формулу, выразил бы это через это и получил бы ответ. Он подсказывал: ну, вот если вы возьмёте то-то, представите это как сумму этого и этого, а потом домножите на то-то, то вы увидите, как вывести формулу. Я садился, выводил формулу, и он ставил мне плюсик, не дожидаясь, пока я решу собственно задачу. Потом мы переходили к следующему пункту… Почему, спрашивал он, не доказали теорему? Я говорил: я знаю, что при соблюдении таких-то условий она вытекает из того-то через то-то и то-то, но совершенно не помню, как от вот этой формулы делается переход дальше. Он говорил: ну дак дальше из того-то следует, что так-то и так-то… А! перебивал его я, ну точно же, и тогда мы сможем заменить это на это, и там то-то то-то сократится и останется как раз то, что нам нужно!

Люди учившие всё наизусть, частенько уходили с двойками, даже если на листочке напротив всего стояли плюсы: когда в ходе разговора выяснялось, что человек не соображает, листочек уже не имел никакого значения. Он ценил понимание больше прилежности, и понимающему человеку готов был прощать лень и плохую подготовку, за что я ему очень благодарен.

Теорема и её доказательство, формула и её вывод, данные в неразрывной связке, воспитывают навык видеть во всём здравый смысл. Не обязательно знать это всё наизусть, чтобы сформировать правильное отношение к математике. Важно, что математика существовала бы, даже если бы не было Пифагора и Фалеса, Эйлера и Коши, Остроградского и Гаусса. Всё работает так, как работает, с неизбежностью, а не потому, что кто-то так придумал.

Когда люди учат в школе теоремы без доказательств, они потом твердят, что факториал нуля равен 1 по определению. Знающие же то, что математика существует независимо от того, что написано в определениях, понимают, что факториал нуля равен 1 объективно, и он оставался бы равен 1, даже если бы об этом никто не написал в определении.

В математике так много разделов и направлений, и они так сильно взаимосвязаны, что практически невозможно придумать способ последовательного изложения всего этого, чтобы никогда не было необходимости ссылаться вперёд. Нужно быть готовым, что иногда тебе придётся поверить во что-то на слово, а уже позже убедиться, что это действительно так. Человек же, приученный всегда верить на слово, про вторую часть мгновенно забывает.

Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника [wiki.eduVdom.com]

Теорема 1. Теорема Фалеса1). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть А1, А2, А3 — точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла и А2 лежит между А1 и А3 (рис.1).

Рис.1

Пусть B1 В2, В3 — соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если А1А2 = A2A3, то В1В2 = В2В3.

Проведем через точку В2 прямую EF, параллельную прямой А1А3. По свойству параллелограмма А1А2 = FB2 , A2A3 = B2E .

И так как А1А2 = A2A3, то FB2 = В2Е.

Треугольники B2B1F и В2В3Е равны по второму признаку. У них B2F = В2Е по доказанному. Углы при вершине В2 равны как вертикальные, а углы B2FB1 и B2EB3 равны как внутренние накрест лежащие при параллельных А1В1 и A3B3 и секущей EF. Из равенства треугольников следует равенство сторон: В1В2 = В2В3 . Теорема доказана.

С использованием теоремы Фалеса устанавливается следующая теорема.

Теорема 2. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. На рисунке 2 отрезок ED — средняя линия треугольника ABC.


ED — средняя линия треугольника ABC

Рис.2

Пример 1. Разделить данный отрезок на четыре равные части.

Решение. Пусть АВ — данный отрезок (рис.3), который надо разделить на 4 равные части.


Деление отрезка на четыре равные части

Рис.3

Для этого через точку А проведем произвольную полупрямую а и отложим на ней последовательно четыре равных между собой отрезка AC, CD, DE, ЕК.

Соединим точки В и К отрезком. Проведем через оставшиеся точки С, D, Е прямые, параллельные прямой ВК, так, чтобы они пересекли отрезок АВ.

Согласно теореме Фалеса отрезок АВ разделится на четыре равные части.

Пример 2. Диагональ прямоугольника равна а. Чему равен периметр четырехугольника, вершины которого являются серединами сторон прямоугольника?

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 4.

Рис.4

Тогда EF — средняя линия треугольника ABC и, значит, по теореме 2. $$ EF = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2} $$

Аналогично $$ HG = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2} , EH = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2} , FG = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2} $$ и, следовательно, периметр четырехугольника EFGH равен 2a.

Пример 3. Стороны треугольника равны 2 см, 3 см и 4 см, а вершины его — середины сторон другого треугольника. Найти периметр большого треугольника.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 5.

Рис.5

Отрезки АВ, ВС, АС — средние линии треугольника DEF. Следовательно, согласно теореме 2 $$ AB = \frac{1}{2}EF\ \ ,\ \ BC = \frac{1}{2}DE\ \ ,\ \ AC = \frac{1}{2}DF $$ или $$ 2 = \frac{1}{2}EF\ \ ,\ \ 3 = \frac{1}{2}DE\ \ ,\ \ 4 = \frac{1}{2}DF $$ откуда $$ EF = 4\ \ ,\ \ DE = 6\ \ ,\ \ DF = 8 $$ и, значит, периметр треугольника DEF равен 18 см.

Пример 4. В прямоугольном треугольнике через середину его гипотенузы проведены прямые, параллельные его катетам. Найти периметр образовавшегося прямоугольника, если катеты треугольника равны 10 см и 8 см.

Решение. В треугольнике ABC (рис.6)

Рис.6

∠ А прямой, АВ = 10 см, АС = 8 см, KD и MD — средние линии треугольника ABC, откуда $$ KD = \frac{1}{2}AC = 4 см. \\ MD = \frac{1}{2}AB = 5 см. $$ Периметр прямоугольника К DMА равен 18 см.

Thales | Жизнь | Философия

16 декабря 2020

Время чтения: 3 минуты

Введение

Кем был Фалес Милетский?

Чем знаменит Фалес Милетский?

Фалес Милетский был греческим математиком, астрономом и досократическим философом. Он жил в VI и V веках до нашей эры в Милете, который находится на территории современной Турции.

Он известен как один из легендарных Семи мудрецов.Известно, что он внес идею научной философии.

Мало что известно наверняка о Фалесе, кроме того, что говорили о нем другие философы, но он по-прежнему является важной фигурой для того, чтобы быть первым досократическим философом.

Он также известен своим вкладом в математику. Он использовал геометрию для расчета высоты пирамид и расстояния между кораблем и берегом.

Его самое известное утверждение заключалось в том, что все в основе своей состоит из воды.Он считал, что Земля — ​​это плоская масса, плавающая в бескрайнем море.

Фалес проложил путь сократовской эпохе и классическим философам к установлению центральных тем западной философии.

Многие из его теорий и убеждений могут показаться нам странными, но в то время они считались новаторскими.

Жизнь Фалеса — PDF

Если вы когда-нибудь захотите прочитать его столько раз, сколько захотите, вот загружаемый PDF-файл, чтобы узнать больше.

📥 Жизнь Фалеса Милетского — PDF

Загрузить

Также читайте:

Личная жизнь Фалеса

Даты жизни Фале неизвестны, но приблизительно установлены. Фалес, вероятно, родился около 625 г. до н.э. в Милете в Ионии, Малая Азия. (Современная Турция)

Считается, что он никогда не был женат и женился не потому, что ему не нравилась мысль о детях.Хотя в более поздние годы, озабоченный семьей, он удочерил своего племянника.

Говорят, что однажды он посетил Египет, где узнал о геометрии. Его часто называют первым греческим математиком.

Он хотел оторваться от мифологии и объяснить мир с помощью естественных, практических теорий и гипотез.

Фалес также был очень наблюдательным ученым. Ему удалось успешно предсказать солнечное затмение 28 мая 585 г. до н.э., и по сей день мы не знаем, как он это сделал.

Фалес умер в возрасте 78 лет во время 58-й олимпиады, где он перенес тепловой удар во время просмотра игр.

Какой вклад внес Фалес в философию?

Фалес считался уникальным за то, что отвергал греческий пантеон богов и искал предсказуемые законы в природе, как и современные ученые.

Другими словами, Фалес считал мир рациональным, упорядоченным и понятным посредством исследования.

По его словам, под всем должно быть что-то, объединяющее все.Этим Фалес хотел объяснить жизнь.

Из всех элементов Фалес определил воду как объединяющую силу. Но почему вода? Мы подумаем.

В древние времена законы физики не были хорошо изучены. Реки текут к морю, волны разбиваются, приливы и отливы приходят и уходят, и, поскольку они не знали силы тяжести, казалось, что вода движется независимо.

Также всем живым нужна вода. Мы можем прожить месяцы без еды, но только три дня без воды.

Если все живое нуждается в воде, вода должна быть важным ингредиентом для жизни.Таким образом, вода может объяснить движение, энергию, происхождение земли и способность веществ к преобразованию.

Большинство досократических философов, пришедших после него, последовали за ним в объяснении природы как происходящей из единства всего, вместо того, чтобы прибегать к мифологическим и сверхъестественным объяснениям.

Конечно, теперь мы знаем, что Фалес сильно ошибался. Тем не менее, он начал мыслить научно и рационально еще в те времена, когда люди верили, что боги несут ответственность за все.

Геометрия

Фалес был также известен своими инновациями в области геометрии. Он обладал как теоретическими, так и практическими знаниями и пониманием геометрии.

Фалес изучал и понимал прямоугольные и подобные им треугольники. Он также использовал свои знания на практике.

Фалес измерил высоту пирамид по их теням в тот момент, когда его собственная тень была равна его высоте. Он также измерил расстояния кораблей в море с помощью геометрии.

Фалесу Милетскому приписывают открытие 5 геометрических теорем:

  • Окружность делится пополам на ее диаметр
  • Углы напротив двух равных сторон треугольника равны
  • Противоположные углы двух пересекающихся углов равны
  • Угол, вписанный в полукруг, представляет собой прямоугольный треугольник
  • Мы можем определить треугольник, если у нас есть длина его основания и два угла у основания

Теорема Фалеса

Фалес очень хорошо известен благодаря теореме Фалеса, которая до сих пор преподается в школах.

Теорема Фалеса утверждает, что если A, B и C — разные точки на окружности, где прямая AC — диаметр, то \ (∠ABC \) — прямой угол.

Интересным фактом является то, что, как говорят, Фалес принес в жертву греческому богу быка в качестве благодарности за открытие этой теоремы.

Основная теорема о пропорциональности

Фалес также ввел основную теорему пропорциональности, которая является одним из широко используемых понятий в геометрии.

В нем говорится, что если линия проводится параллельно одной стороне треугольника, пересекая две другие стороны в разных точках, то две другие стороны делятся в одинаковом соотношении.

На приведенном выше рисунке PQ нарисован параллельно стороне YZ треугольника XYZ. Таким образом, согласно теореме, соотношение XP и PY будет равно отношению XQ и QZ.

Другие статьи об известных математиках:

Сводка

Фалес считается надежным и вдумчивым человеком, хотя во многих вещах он ошибался.

Фалес использовал то немногое, что у него было, чтобы придумывать хорошие теории. Благодаря ему более поздние досократики сформировали новые представления о мире, что в конечном итоге привело к Сократу, человеку, навсегда изменившему западный мир. Изучение математики и ее истории — очень интересное путешествие. Присоединяйтесь к нам в увлекательном путешествии, подпишитесь на бесплатную пробную версию.

О компании Cuemath

Cuemath, удобная для учащихся платформа математики и кодирования, проводит регулярные онлайн-классы для преподавателей и развития навыков, а их приложение Mental Math для iOS и Android — это универсальное решение для детей, развивающее несколько навыков.Ознакомьтесь со структурой комиссий Cuemath и подпишитесь на бесплатную пробную версию

Часто задаваемые вопросы о Фалесе Милетском (FAQ)

Чем знаменит Фалес?

Фалес известен как один из семи мудрецов. Он известен в основном своей космологией воды как сущности всей материи и тем, что Земля представляет собой плоский диск, плавающий в море.

Где учился Фалес?

Говорят, что Фалес однажды в своей жизни посетил Египет, где узнал о геометрии.Его также часто называют первым греческим математиком и первым философом в мире.

Фалес — первый философ?

Да, Фалес считается первым философом.

Что открыл Фалес?

Фалесу Милетскому приписывают открытие 5 геометрических теорем:

  • Окружность делится пополам на ее диаметр
  • Углы напротив двух равных сторон треугольника равны
  • Противоположные углы двух пересекающихся углов равны
  • Угол, вписанный в полукруг, представляет собой прямоугольный треугольник
  • Мы можем определить треугольник, если у нас есть длина его основания и два угла у основания

Внешние ссылки

Фалес Милетский (Британника)

Фалес Милетский (Википедия)

Все о математике Фалесе

Математика — это предмет, который часто поднимается в дебатах о секторе образования, где она постоянно является одним из предметов, по которому школьники борются больше всего. считается важным этапом в академической карьере студентов, где от студентов ожидается, что они будут ежегодно укреплять свои знания, чтобы добиться успеха и понять новые математические понятия. Что входит в структуру и что лежит в основе этой дисциплины? Косинусы, обратные числа, дроби, четырехугольники, относительные числа, окружности, симметрия, касательные, неравенства — пересмотр курсов математики может стать менее напряженным , если смотреть на это через призму истории.Один из многих прекрасных примеров — великий ученый и математик Фалес. Ознакомьтесь с его историей, чтобы открыть некоторые из стратегических концепций, с которыми вы, возможно, боретесь, и улучшить свои возможности в них!

Фалес Милетский: жизнь математика

В жизни студента-математика есть два имени, которые невозможно забыть: Пифагор и Фалес. Последний, профессор первого, согласно историческим текстам, был философом, родившимся в Милете около 625 г. до н. Э.Правильно названный, греческий философ Фалес Милетский считается одним из семи мудрецов Древней Греции , наряду с другими греческими философами: Солоном, Хилоном Спартским, Питтаком Митиленским, Биасом Приенским, Клеобулом Линдосским и Периандром Коринфским. . Основатель школы милетцев, Фалес начал свою академическую карьеру как философ и ученый, отправившись в Египет в очень молодом возрасте благодаря хорошим отношениям, которые существовали между страной и его родным городом Милетом.Именно там молодой Фалес открыл знания египетских и вавилонских наук. Оказавшись там, он изучил геометрию, астрономию и философию — все знания, которые были основной частью образовательной подготовки египетских священников. По словам древнегреческих историков, эта поездка в Египет стоит , что не подтверждается данными . Фактически, только некоторые записи, написанные спустя годы после смерти Фалеса, смогли подтвердить жизнь ученого и поместить его в Египет в то время.Достигнув совершеннолетия, Фалес вернулся в греческий город Милет, чтобы создать Школу милетцев. Фалес использовал свое положение для распространения своих знаний по математике и греческой философии, продолжая при этом проводить наблюдения и научные эксперименты. На протяжении всей своей жизни Фалес использовал свои наблюдения, чтобы понять, как устроен мир. Согласно легенде, он вычислил высоту великой пирамиды, помог предсказать лунное и солнечное затмения и применил на практике теоремы Фалеса.Узнайте об онлайн-курсах математики.

Древняя Греция, и особенно Милет, оказали глубокое влияние на западную философию.

Считается, что его математические и научные исследования произвели революцию во времени. Считающийся мудрецом, Фалес всегда гордился тем, что объяснял свои открытия с рациональной точки зрения , а не мифологической , это было традицией в то время. Для него процесс наблюдения и создания доказательств был основой научных рассуждений.Согласно некоторым отчетам, написанным через много лет после его смерти, Фалес умер около 547 г. до н.э. в Милете во время участия в гимнастических соревнованиях. Найденный на трибуне, он, очевидно, умер от голода, жажды и возраста. Среди других великих математиков и философов из этой области — Архимеда!

Как Фалес повлиял на курсы математики

Все слышали и даже узнали многие теоремы, открытые Фалесом. Фалес был первым, кто обозначил в истории математики в создании своей научной формулы и принципа.Вот пять геометрических теорем, которые ему приписывают:

  1. Окружность делится пополам диаметром
  2. Углы в треугольнике равны, если их противоположности — две стороны одинаковой длины
  3. Пересекающиеся прямые линии образуют противоположные углы, которые равны равно
  4. Прямой угол и соответствующий ему прямоугольный треугольник можно нарисовать внутри и с использованием полукруга
  5. Если даны основание треугольника и два угла, треугольник можно нарисовать

Хотя сегодня это может показаться слишком простым, чтобы когда-либо считались революционными , они фактически дают нам много информации и считались главным нововведением в то время.Теоремы Фалеса используются для вычисления определенных соотношений долготы и пропорций геометрических фигур, имеющих параллельные линии. Они также используются для вычисления многих понятий в тригонометрии, когда есть две параллельные линии. Согласно легенде, Фалес открыл эту теорему при вычислении высоты пирамиды. Для этого математик рассчитал тень пирамиды до пола. С помощью трости Фалес смог вычислить размеры пирамиды Египта по отношению к тени своей трости.Хотя Фалесу приписывают эти теоремы, они уже были известны вавилонянам и египтянам. Мы знаем это в первую очередь благодаря доказательству, приведенному в книге «Элементы Евклида», в которой рассматривается пропорциональность площадей треугольников одинаковой высоты. Однако Фалесу было присвоено слов за последнее. Фалес не получил во многих странах баллов за некоторые из своих теорем. Например, англичане называют одну из его теорем теоремой о перехвате, а немцы — теоремой о лучах.Однако все они не полностью идентичны и больше напоминают теорию Пифагора.

История греческих математиков неполна без упоминания Фалеса

Фалеса От математики к астрономии

На протяжении своей жизни Фалес использовал математику, чтобы понять важные понятия реальной жизни. Математические упражнения, простые числа, десятичные дроби, уравнения, медианы, вычитание, сложение, философия, архитектура — математика служила инструментом для понимания окружающего мира.В начале своей карьеры Фалес увлекся астрономией и анализом неба. Из-за этого он считается одним из пионеров греческой астрономии. Подобно своим исследованиям в области математики, Фалес использовал метод наблюдения созвездий, чтобы понять, как функционирует Вселенная. Он сделал много открытий в этих областях :

  • Использовал маленькую ковшу, чтобы направлять моряков в открытом океане
  • Рассчитал продолжительность года благодаря интервалам солнцестояния и равноденствий
  • Указал путь сына между ними. два тропика
  • Перечислил эфемериды

Его открытия были лишь небольшой частью его наблюдений.В частности, он проанализировал количество дней в году и пришел к выводу, что год состоит не из 365 дней, а из 365 дней с четвертью. Это открытие позже станет базой високосных лет. Thales также наблюдал звезды в движении, диаметр Солнца и Луны — все это время с использованием той же системы измерения объектов относительно тени трости. Он также определил позицию Плеяд, рассчитал угол наклона орбиты зодиака и т. Д. Благодаря своим наблюдениям Фалес также мог предсказать большой урожай оливок согласно Аристотелю.Он применил эти наблюдения за природой, чтобы объяснить, как функционирует мир, но чаще всего в конечном итоге просто улучшал жизнь окружающих его людей . Например, благодаря ему моряки научились ориентироваться, а навигация улучшилась в десять раз. Астрономия и все связанные с ней области многим обязаны Фалесу, который был простым математиком. Чтобы узнать больше о том, как эти открытия повлияли на работу другого великого математика, Рене Декарта, щелкните здесь!

Фалес в контексте великих

Все открытия Фалеса оставили особый след в области математики.Арифметика, сложные функции, целые числа, многоугольники, умножение, факторизация, вероятность — его знания и открытия все еще преподаются в наши дни и на наших курсах математики, что делает Фалеса одним из крупнейших математиков истории.

Древняя философия находилась под влиянием таких мыслителей, как Фалес.

Однако больше, чем его открытия, Фалес теоретизировал знаний, которые уже были установлены египтянами или вавилонянами. Математик не просто удовлетворился этими знаниями, изложенными в мифологических истинах, но попытался наблюдать и доказать все эти утверждения, с которыми он столкнулся во время своих занятий по математике.Таким образом Фалес сбивал своих современников с толку. В книге Жана Вуалкена научный французский редактор объяснил, что Фалес хотел «заменить мифологическое объяснение» явлений «физическим объяснением». Это то, что побуждает Вуалкина, наряду со многими другими, называть его «одним из предшественников греческой науки». Научное наследие Фалеса усиливается открытиями его Милетской школы. Их работа, получившая название милетской школы или «ионийской школы», произвела революцию в области науки, и они стали известны как досократические философы.Его учение, характерное для Фалеса, благоприятствовало зрительному восприятию и наблюдению, чтобы привнести практичность в знания. Школа включала в себя в основном геометрию и астрономию, две любимые области Фалеса, но в школе также работали над предметами , такими как биология, физика и метафизика. Они были первыми студентами, которых назвали физиками, и они изучали все о природе. Ученики Милетской школы использовали такие понятия, как четыре элемента, для объяснения функции среды .Все эти исследования считаются первыми научными исследованиями природы и внесли неизгладимый вклад в науку. Фалес в древности обозначил не только область математики, но и историю науки в целом, вдохновляя работы даже сэра Исаака Ньютона. Для этого мы должны помнить его имя вместе с его достижениями.

Здесь можно найти хорошие уроки математики.

Первые доказательства: Фалес и начало геометрии

Podcast: Download

Доказательная геометрия началась с Thales.Приписываемые ему теоремы заключают в себе два способа выполнения математики, предполагая, что идея доказательства могла исходить из любого из двух источников: внимания к шаблонам и отношениям, возникающим в результате исследовательского построения и игры, или осознания того, что «очевидные» вещи могут быть продемонстрировано с использованием формальных определений и доказательства от противного.

Выписка

Как начались доказательства? Это похоже на головоломку с курицей или яйцом. Зачем кому-то садиться и говорить себе: «Я собираюсь доказать некоторые теоремы сегодня», если никто никогда не делал ничего подобного раньше? Как эта идея могла так неожиданно прийти в голову кому-то?

На самом деле, мы вроде как знаем ответ.Греческая традиция говорит нам, у кого был этот момент лампочки: у Фалеса. Примерно в году -600 или около того. За сотни лет до того, как у нас появились какие-либо прямые исторические источники по греческой геометрии. Но мы все еще более или менее знаем, что доказал Фалес. Более поздние источники рассказывают нам о Фалесе. История, возможно, смешана с легендами в такого рода сообщениях, но ключевые аспекты, вероятно, будут довольно надежными. Больше фактов, чем выдумок. Давайте проанализируем этот вопрос, вопрос о достоверности, чуть более глубоко позже, но сначала давайте примем истории за чистую монету и посмотрим, как мы можем пережить создание дедуктивной геометрии, как это передано в этих греческих историях.

Итак, начнем: Какая первая теорема была доказана? Что стало той искрой, которая зажгла пожар аксиоматико-дедуктивной математики? Лучшее предположение, основанное на исторических свидетельствах, звучит так. Момент любви с первого взгляда, та теорема, открывшая нам глаза на силу математического доказательства, заключалась в следующем: диаметр разрезает круг пополам.

Довольно разочаровывает, не правда ли? Какая неубедительная теорема. Это даже не теорема. Как можно влюбиться в геометрию, доказывая что-то столь тривиальное и очевидное?

Но не отчаивайтесь.Вообще-то, это приятно. Дело не в теореме, а в доказательстве.

Вот как это доказать. Предположим, что нет. Это будет доказательство от противного. Предположим, диаметр не делит круг на две равные половины. Хорошо, у нас есть линия, проходящая через середину круга, и она разрезана на две части. И мы предполагаем, что эти две части не совпадают. Возьмите один из кусочков и переверните его на другой. Как вы складываете омлет или креп. Мы предположили, что части не равны, поэтому, когда вы кладете одну на другую, они не совпадают.Так что должно быть какое-то место, где одна из двух частей выступает над другой. Теперь нарисуйте радиус в этом направлении от середины круга до места по периметру, где две половины не совпадают. Тогда один радиус длиннее другого. Но это означает, что дело было не в круге с самого начала. Круг — это фигура, одинаково удаленная от средней точки во всех направлениях. Вот что значит быть кругом.

Итак, мы доказали, что две вещи несовместимы друг с другом: нельзя одновременно быть кругом и иметь несовпадающие половинки.Потому что, если у вас есть несовпадающие половинки, у вас также есть «неравные радиусы», а это значит, что вы не круг.

Итак, у круга должны быть равные половины. Бам. Теорема. Скучный результат, но великолепное доказательство. Или убедительное доказательство. Это доказательство, намекающее на новый мир.

Фалес, должно быть, чувствовал себя волшебником, который только что обнаружил, что обладает сверхспособностями. «Ого, ты можешь это сделать ?!» С помощью чистого рассуждения, вычеркивая последствия определения, можно без тени сомнения доказать, что определенные утверждения не могут быть неправильными? Это вещь? Это то, что можно сделать? Вот это да.Давай сделаем это со всем! Правильно?

Так вот как Фалес открыл доказательство. Насколько мы можем догадаться.

Еще несколько теорем приписываются Фалесу. Я хочу особо выделить одну, которая, как мне кажется, также является своего рода архетипом того, что из себя представляет математика.

Теорема, которую мы только что рассмотрели, о диаметре, разделяющем окружность пополам, идеально воплощает один из прототипов математических рассуждений. Вы могли бы назвать это парадигмой чистой математики. Логические следствия определений, доказательства от противного.Такие вещи. Доказательство Фалеса действительно поражает своей эстетикой. С тех пор мы делаем одно и то же снова и снова. Например, современный курс теории групп — это просто идея доказательства Фалеса, примененная, по сути, пятьсот раз.

Теперь я хочу взять еще один результат, приписываемый Фалесу, и я хочу утверждать, что он символизирует другой способ математической мысли. Это второй путь к доказательствам. Этот второй способ основан больше на игре, исследовании, открытии, чем на логике и определениях.

Пример, который я хочу использовать, чтобы показать это, действительно часто называют просто «теоремой Фалеса». В нем говорится, что любой треугольник, поднятый на диаметре круга, имеет прямой угол. Другими словами, изобразите круг. Разрежьте его пополам диаметром. Теперь поднимите треугольник, используя этот диаметр как одну из его сторон, и третья вершина треугольника находится где-то на окружности. Так что это похоже на палатку, торчащую из диаметра. И это может быть асимметричная палатка, которая больше направлена ​​в ту или иную сторону.Независимо от того, как вы устанавливаете эту палатку, до тех пор, пока ее кончик находится в любой точке круга, тогда угол между двумя стенами палатки в этой точке, на вершине, будет прямым углом, 90 градусов. . Это теорема Фалеса.

Как мог Фалес доказать эту теорему? К сожалению, мы не знаем этого, основываясь на исторических данных. Но давайте рассмотрим одну гипотезу, которая имеет смысл с точки зрения контекста.

Мы должны представить, что Фалес каким-то образом наткнулся на доказательство.Мы не пытаемся объяснить, как кто-то может думать о доказательстве этой теоремы как таковой. Это неправильная точка зрения, потому что считается само собой разумеющимся, что в математике кто-то пытается что-то доказать. Нам нужно объяснить, откуда взялось это видение, чтобы доказать все в геометрии. Как мог кто-то случайно натолкнуться на теорему Фалеса и благодаря этой случайности осознать идею дедуктивной геометрии?

Действительно, теорема Фалеса сама по себе не слишком интересна или важна.Если бы у вас было видение систематического доказательства всей геометрии, почему бы вам начать с этой теоремы или сделать ее центральной частью, как якобы сделал Фалес? Ты бы не стал.

Теорема Фалеса интересна не в том, что это был один из первых результатов, к которому математики применили дедуктивное доказательство. Скорее, интересно то, что математики случайно наткнулись на саму идею доказательства.

Есть история о Фалесе, который упал в колодец, потому что он настолько увлекся астрономическими рассуждениями, что забыл о том, что его окружало.У Платона записано: «Когда он изучал звезды и смотрел вверх, он упал в яму. Поскольку ему так хотелось познать вещи в небе, он не мог видеть то, что было перед ним у самых его ног ».

Возможно, это легенда, но открытие теоремы Фалеса, должно быть, было чем-то вроде этого. Обнаружение математического доказательства должно было быть похоже на падение в яму. Вы смотрите в одном направлении и бум! Вы внезапно обнаруживаете, что сначала случайно врезаетесь лицом в эту совершенно не связанную новую вещь, о существовании которой вы даже не подозревали.

Как могла быть теорема Фалеса такой? Что из всех мировых теорем делает теорему Фалеса особенно благоприятной для такого рода случайного открытия доказательства?

Вот моя гипотеза. В этот век невинности, прежде чем кто-либо знал что-либо о доказательствах, людям все еще нравились формы. У них были линейка и компас. Они использовали эти инструменты для измерения полей и прочего, но им также понравилась их эстетика.

Они игрались с линейкой и компасом.Играем с фигурами. После пяти минут игры с компасом вы узнаете, как нарисовать правильный шестиугольник. Воспоминание? Вы, наверное, делали это в детстве. Нарисуйте круг, а затем, не меняя отверстия компаса, проведите циркулем по окружности. Умещается ровно шесть раз. Очень приятная форма.

Мы точно знаем, что люди делали это до Фалеса. В мозаиках Месопотамии есть шестиугольные мозаичные узоры, датируемые примерно -700 годом.

Додекаэдры — еще одна из таких вещей.Додекаэдр похож на те двенадцатигранные кости, которые вы используете в Dungeons and Dragons и тому подобное. До-дека-эдр, буквально: двухсторонний. Другими словами, так двенадцать сторон. Двенадцать граней, каждое из которых представляет собой правильный пятиугольник. Эти вещи есть в археологической летописи. Люди делали их из камня и бронзы. Было обнаружено несколько десятков древних додекаэдров, самые старые из них были найдены еще до Фалеса. Возможно, они использовались для пророческих целей, например, карты Таро или что-то в этом роде.А может, для настольных игр, кто знает?

В любом случае, я хочу сказать, что людей интересовали геометрические узоры для различных целей: художественных, культурных и так далее. Не только для измерения полей в налоговых целях. И они явно работали с такими инструментами, как линейка и компас, чтобы делать эти вещи.

К теореме Фалеса легко прийти, просто играя с линейкой и циркулем, пытаясь нарисовать красивые вещи. Начните с прямоугольника. Нарисуйте его диагонали. Поместите стрелку циркуля в место пересечения, прямо в середину прямоугольника.Установите перо циркуля в один из углов прямоугольника. Теперь крутите его. У вас получится круг, который идеально и плотно прилегает к прямоугольнику.

Но посмотрите, что получилось. Диагональ прямоугольника становится диаметром круга. А выступающие из него прямоугольники — это как раз те треугольники-шатры, о которых говорит Теорема Фалеса. Это внезапно делает теорему очевидной.

Почему теорема Фалеса верна? Почему любая из этих «палаток», поднятых на диаметре круга, имеет прямой угол? Потому что он исходит из прямоугольника.Любая такая палатка представляет собой половину прямоугольника. Это мощный сдвиг в перспективе. Глядя на треугольник таким образом, мы обнаруживаем скрытые отношения, скрытый порядок в природе вещей. Определенные углы всегда должны быть прямыми в силу своего рода метафизической необходимости. Наши глаза были открыты, возможно, впервые, на существование такого рода потребностей, этих видов скрытых отношений, которые существует, чтобы мыслящий человек мог раскрыть.

Итак, ключ к этому сдвигу перспективы, что треугольник «на самом деле» является половиной прямоугольника.Предположим вместо этого, что мы застряли в точке зрения, что мы смотрим на треугольник, вписанный в круг. Тогда те ассоциации и идеи, которые нам напрашиваются, не так полезны для доказательства этой теоремы. С этой точки зрения, если бы вы искали доказательства, что бы вы сделали? Может быть, вы, например, соедините середину круга с концом треугольника. Итак, теперь у вас есть два меньших треугольника. Что ты собираешься с ними делать? Что-нибудь с суммами углов и так далее? Или, может быть, у вас возникнет соблазн опустить перпендикуляр вместо вершины треугольника, а затем вы можете использовать теорему Пифагора о двух маленьких треугольниках, которые вы получите.

Такие вещи не то, что мы хотим. Подобные подходы быстро становятся слишком техническими. Помните, это должно было быть началом геометрии. Вы не должны использовать кучу предыдущих результатов для доказательства. Это должно быть доказательство из первых принципов. Доказательство перед всеми другими доказательствами.

Идея о том, что треугольник «на самом деле» является половиной прямоугольника, отличается. Это меняет то, как мы смотрим на диаграмму. Это меняет акценты. Это меняет то, что мы считаем основным.Теперь прямоугольник идет первым, треугольник — вторым, а круг — последним. С этой точки зрения теорема на самом деле вовсе не касается кругов, так сказать. Круг — это просто вторичный артефакт.

В этом доказательстве мы как художники. Мы отошли от холста, наклонили голову и увидели это прозрение. И прозрение стало возможным благодаря тому, как мы раньше играли с этими идеями. Мы просто играли с линейкой и циркулем, мы исследовали треугольники, прямоугольники и круги с непредубежденной любовью.Из этой пьесы рождаются такие прозрения, как теорема Фалеса. В этом контексте естественно приходит вдохновение.

В отличие от других скучных доказательств, на которые я ссылался, которые были основаны на разрезании треугольника и бросании в него книги: суммы углов, теорема Пифагора, все, что мы можем придумать. Это скучный подход, подход грубой силы. Ему не хватает того эстетического вдохновения, этого прозрения, раскрывающего истинную природу треугольника и его второй половины, с которой ему суждено было воссоединиться.

Геометрия не могла начаться с такого рода практических доказательств, потому что они имеют смысл только после того, как для начала есть книга по геометрии. Но геометрия могла начаться с доказательства типа прозрения. Таким образом, кто-то вроде Фалеса мог прийти к идее доказательства, играя с линейкой и компасом.

Возможно, вы знакомы с «Плачом Локкарта»: отличным эссе о том, что не так с математическим образованием. Иди и прочитай, он доступен в Интернете.Интересно, что Локхарт использует именно этот пример, чтобы доказать свою точку зрения. Он описывает, как его ученики открыли теорему Фалеса, в основном так, как я говорю, что Фалес мог это сделать. Он также красноречиво показывает, насколько это удовлетворяет гораздо больше, чем сухое доказательство, записанное в книге.

Недаром в этом вопросе история и образование идут рука об руку. Доказательство должно было начаться с убедительного эстетического опыта или вау-момента. В то время другого пути не было. Заставить Фалеса запоминать факты для экзамена было некому.Открытие заставило его ценить математику. Если мы хотим развить внутреннюю мотивацию у наших студентов, неплохо было бы в первую очередь подумать, что заставило людей полюбить эти идеи. Первая любовь всегда чистейшая и невинная. Современные учебники похожи на браки по договоренности, навязанные студентам. Но в истории всегда есть настоящая история любви.

Тем не менее, несмотря на все это, вы все равно можете подумать, что теорема Фалеса немного скучна. Что-то всегда есть под прямым углом.Ну и что? Какая разница?

Как я пытался утверждать, Фалеса и его современников, вероятно, впечатлила не сама по себе теорема, а, скорее, идея о том, что теоремы и доказательства вообще существуют. Есть скрытые истины, которые можно раскрыть с помощью рассуждений. Замечательный.

Но на самом деле интересна и сама теорема. Позвольте мне показать вам кое-что интересное, что вы можете сделать с помощью теоремы Фалеса.

Существует древняя легенда о царице Дидоне.Дочь царя Тира, крупного города в древности. Вы все еще можете увидеть руины этого древнего города на территории современного Ливана. В какой-то момент Дидоне пришлось бежать из-за придворных интриг. Убийства и предательства и так далее. Поэтому она берет с прикроватной тумбочки пару диадем, может быть, золотой сундук, который отложила на дождливый день, и торопливо уходит в ночь. С едва ли в мире остался друг.

Ей нужно пройти весь путь до нынешнего Туниса, находящегося за тысячи километров, и попытаться как-то начать все сначала, как приличествует королевской семье.Используя свой сундук с сокровищами, она заключает сделку, чтобы купить землю. Как гласит легенда, столько земли, сколько она может покрыть шкурой быка. Она разрезала бычью шкуру на тонкие полоски и связала их вместе, и что теперь? Итак, теперь у нее есть длинная веревка, которую она может использовать как своего рода забор, чтобы изолировать желаемую землю.

Но какой формы сделать? Квадрат, прямоугольник, треугольник? Нет. Дидона знает лучше. Возможно, ее королевское образование включало математику. Сделайте это круглым. Это лучший способ.Круг имеет максимальную площадь среди всех фигур с заданным периметром. Или в данном случае, поскольку она была у океана: полукруг, с другой стороны береговой линией, естественной границей.

Давай докажем это. Что полукруг — лучший выбор. Я собираюсь доказать это с помощью противоречия: предположим, что кто-то построил забор на участке, который не является полукругом; затем я могу показать, как это сделать лучше: как переместить забор так, чтобы территория стала еще больше, без добавления забора.

Хорошо, у вас есть береговая линия, это прямая линия. И из одной точки на берегу, идя вглубь, у вас есть этот забор, который затем снова спускается и снова встречается с берегом в какой-то другой точке. Так что вместе с береговой линией он закрывает определенную территорию.

Предположим, эта форма не является полукругом. Если бы это был полукруг, применима теорема Фалеса. И он сказал бы вам, что этот угол, то, что я назвал углом палатки, в любой точке вдоль забора будет прямым углом.Таким образом, если фигура не является полукругом, на заборе должна быть точка, в которой этот угол не является прямым.

Я говорю, что если сделать этот угол прямым, то увеличится площадь покрытия. Вы можете представить это так. Итак, у вас есть форма, окруженная забором: представьте, что у вас есть вырез из картона. А по периметру у вас есть отмеченная точка, где угол палатки не является прямым ангелом. Итак, на вашем картоне нарисован этот треугольник: треугольник, состоящий из прямой береговой линии с одной стороны и двух линий от его концов, идущих вверх, чтобы встретиться в точке палатки по периметру.

Давайте вырежем этот треугольник из картона. Итак, у вас остались две части: любые части, которые торчали из сторон треугольника. Теперь переместите эти две части так, чтобы угол палатки получился прямым. Это означает перемещение конечных точек вдоль береговой линии. Перемещая две точки на береговой линии, вы меняете угол, под которым встречаются две картонные части. Две картонные части встречаются в одной точке, точке палатки, и это похоже на петлю, которая может открываться или закрываться на больший или меньший угол.Таким образом, вы перемещаете эти штуки, пока угол поворота не станет 90 градусов.

Обратите внимание, что вы не меняли периметр таким образом. Вы только что переместили такое же количество забора.

Но вы действительно увеличили огражденную площадь. Потому что, если у вас есть две палки фиксированной длины, и вы хотите сделать из этих палочек самый большой треугольник, лучший способ — сделать угол между ними прямым. Это интуитивно понятно. Вы знаете, что площадь треугольника равна основанию, умноженному на высоту, больше двух.Итак, если одна из ваших палочек является основанием, то для увеличения площади вы хотите максимизировать высоту, то есть перпендикулярную высоту, идущую вверх от основания, что, очевидно, достигается путем направления другой палки прямо вверх под прямым углом.

Итак, это доказывает, что для любого ограждения, не являющегося полукругом, вы можете сделать лучший. Вы можете передвинуть забор и увеличить площадь. Так что полукруг — лучшее решение, а все остальные менее хороши.

Не знаю, сможете ли вы все это представить себе.Но, может быть, позже попытайтесь реконструировать этот аргумент для себя. Это действительно очень интуитивно понятно и красиво.

Так в чем же тогда мораль этой истории? Математически это ответ на вопрос «ну и что?» вопрос относительно теоремы Фалеса. Это могло показаться достаточно скучной теоремой, но здесь мы видим ее в действии красивым и неожиданным образом, как ключевой ингредиент в этом доказательстве о том, как оградить землю. Кто бы мог предвидеть это?

Это говорит о том, что у математики есть своего рода «снежный ком» или аспект самооплодотворения.Теорема Фалеса, в чем дело? Просто скучное наблюдение о треугольнике в круге. Может показаться, что это не так уж и много. Но одно ведет к другому. Когда вам становится понятна теорема Фалеса, вы начинаете видеть ее в других, неожиданных местах. Как эта проблема о районе. Вы бы не подумали, что это связано, но чем больше вы занимаетесь математикой, тем больше связей вы обнаруживаете.

Выберите любую теорему, какой бы скучной она ни была, например, теорема Фалеса, и вы сможете найти эти удивительные вещи, в которых скучная теорема на самом деле является ключевым моментом, открывающим совершенно новые способы осмысления, казалось бы, не связанных между собой проблем.Это для вас математика. Неудивительно, что греки прижились как жук, как только они сдвинулись с мертвой точки. В один момент вы натыкаетесь на какой-то случайный результат, вроде теоремы Фалеса, а в следующий момент вы знаете, что видите математику везде.

Такова математическая мораль истории. Теперь мы должны вернуться и сказать кое-что об исторической стороне всего этого. Что мы действительно знаем о Фалесе и его теоремах, королеве Дидоне и всем остальном? Сколько истории и сколько легенд?

Если мы начнем с Дидоны, то эта история используется в основном через Вергилия.Энеида, знаменитая эпическая поэма. Это было написано во времена Римской империи, примерно в -20 году. Но это относится к историческим или якобы историческим событиям, которые произошли еще до Фалеса, может быть, за два столетия до Фалеса, то есть примерно 800-х годов. У нас есть версия Верджила, это то, что до нас дошло, но он просто крадет старую историю. Эти вещи существовали веками в греческой культуре, в различных литературных и исторических пересказах, которые сейчас утеряны.

Совершенно правдоподобно, что действительно существовала такая историческая королева, которая действительно покинула свой королевский дом в Тире и действительно приземлилась на северных берегах Африки, где она основала это новое поселение, которое должно было стать великим городом Карфаген. .Может быть, она даже сделала полукруглыми городские стены, кто знает? Совершенно очевидно, что она могла хотеть минимизировать периметр по какой-либо причине, и что она могла знать, что полукруглая форма была оптимальной для этой цели.

Но в то время не было бы никаких математических доказательств этого, подобных тому, которое я набросал выше. Приведенное мной доказательство принадлежит Якобу Штайнеру в начале 19 века. Со времен Греции у нас есть другое доказательство этого результата.Таким образом, они, конечно, очень хорошо знали результат, что полукруг является оптимальным, если, возможно, не то конкретное доказательство, которое я предложил.

Если история царицы Дидоны говорит что-либо об истории математики, она, вероятно, больше всего не освещает ни время, когда произошли события, около -800, ни время, когда были написаны источники, которые у нас есть, около года 0. Но, может быть, это так. что-то говорит о промежуточных веках, когда история могла бы быть передана и переработана.

История была как бы маринована в греческой культуре.Может быть, именно они придали этому математическую окраску. Подходит для обуви: греки ценили мудрых, аристократических, образованных правителей, которые разрабатывают рациональную политику для общего блага, основанную на разуме и математике. Может быть, они позволили этим идеалам окрасить то, как они пересказывают историю королевы Дидоны и ее круглого города.

С этой точки зрения мы могли бы также предположить, что к тому времени, когда Вергилий придет и напишет римскую версию истории, это понимание математики уже не то, чем было раньше.На самом деле Верджил не раскрывает математический аспект этой истории. Дидона — всего лишь второстепенный персонаж. Его эпос об Энее, который находится в поисках, которые в конечном итоге приведут к основанию Рима.

Эней терпит кораблекрушение и выносится на берег в Карфагене, круглом городе Дидоны. Дидона влюбляется в него, но он не отвечает на ее любовь. Он уплывает, и Дидона убивает себя из-за разбитого сердца. Моррис Клайн завершает рассказ: «Итак, неблагодарный и невосприимчивый человек с жестким умом стал причиной потери потенциального математика.Это был первый удар по математике, нанесенный римлянами ». Конечно, есть еще много всего, откуда это взялось.

Можно рассматривать эту историю как символ перехода мудрых философов-королей (или в данном случае королев) греческого мира, которые лелеяли математику и использовали ее для улучшения мира. Переход от этого к бессердечному римлянину, который думает только о себе и не заботится о теореме Фалеса. В греческом мире ботаники-математики считались привлекательными, но каким-то образом эти невежественные римляне явно не считали королеву-геометрию идеальной подружкой.

Итак, история о Дидоне и круглом городе, о доказательстве оптимизации и всем остальном очень интересна с точки зрения более широких математических и культурных точек, с которыми она связана, но сама по себе она не является историей как таковой.

С Thales все иначе. Это больше факт, чем легенда. Насколько мы можем определить, Фалес действительно доказал, что диаметр делит окружность пополам, скорее всего, с помощью доказательства, обсужденного выше.

Источники, которые у нас есть, далеки от совершенства.В первую очередь Прокл, писавший примерно в 450 году, то есть через тысячу лет после жизни Фалеса. Такого рода запоздалые источники очень популярны. У них нет авторитета сами по себе. Прокл был никем. Его собственное понимание истории и математики очень плохо. Посредственный мыслитель, посредственный ученый, живущий в посредственном возрасте.

Таковы источники, которые у нас есть. По сути, столь же авторитетный, как факт, который вы читаете на обратной стороне коробки с хлопьями или чего-то подобного.

Но есть надежда.Во времена своей славы Греция была просто выдающейся интеллектуальной культурой. И кое-что, например, о Фалесе, можно проследить до тех пор, что делает его весьма достоверным. Ученик Аристотеля Евдем написал историю геометрии. Увы, этого уже нет. Возраст невежества игнорировал это, и теперь его больше нет. Но что это была бы за работа.

Эти люди знали, что делали. Более поздние люди, подобные Проклу, похожи на некоторых онлайн-рандомов, которые публикуют недоработанные идеи в блоге или плохо информированные комментарии в Facebook.Вот насколько они заслуживают доверия.

Но люди вроде Евдема — совсем другая история. Это больше похоже на первоклассного ученого в исследовательском учреждении со всей инфраструктурой, о которой можно только мечтать: библиотеки, чрезвычайно знающие и умные коллеги с широким спектром знаний, широкая финансовая и культурная поддержка со стороны общественности и политиков и т. Д. . «История геометрии» Евдема была бы настоящей книгой «University Press», прошедшей рецензирование до зубов и с красивой аннотацией Аристотеля в суперобложке.

Такие люди, как Евдем, не занимались распространением случайных сплетен и непроверенных фактоидов, потому что они звучат круто. Они были настоящими учеными и интеллектуалами.

И действительно, многие сведения о Фалесе можно проследить до этого потерянного источника. Когда Прокл говорит, что Фалес был первым, кто доказал, что круг делится пополам по его диаметру, источником этого является Евдем. Следовательно, это очень достоверно. Это случилось с Фалесом на самом деле. На самом деле часть о диаметре, разделяющем окружность пополам, более достоверна, чем часть о теореме Фалеса.Была ли теорема Фалеса на самом деле теоремой Фалеса? Может быть. Но мы не можем проследить конкретно эту часть до лучших источников. В отличие от диаметра пополам одной и некоторых других деталей. Но с точки зрения контекста это имеет смысл.

Истории Фалеса и происхождения геометрии, очевидно, были хорошо известны не только специализированным ученым, но и широкой афинской публике. Драматург Аристофан несколько раз использует имя Фалеса как символ геометрии в своих пьесах. Так же, как сегодня, можно использовать имя Эйнштейна, например, чтобы вызвать образ ученого.У Аристофана один говорящий в диалоге говорит: «Этот человек — Фалес». Это означает, что человек — геометр. Очевидно, можно было ожидать, что театральная публика в классических Афинах поймет это упоминание. Каждый образованный человек знал бы о Фалесе и истоках геометрии.

На самом деле, общественное уважение к геометрии и ее истории было очевидно настолько велико, что Аристофан даже заставил одного из своих персонажей оплакивать ее как чрезмерную, говоря: «Почему мы продолжаем восхищаться старым Фалесом?» Какое время было бы жить.Когда драматургам приходилось решать такие проблемы, как чрезмерное уважение и интерес к математике среди широкой публики. «Привет, ребята, может быть, нам нужно охладить это тем, насколько мы любим геометрию». Какая проблема с роскошью. Едва ли та, с которой сегодня приходится бороться голливудским блокбастерам.

В любом случае, нам, может быть, не стоит слишком углубляться в эти отдельные цитаты. Но общая интеллектуальная достоверность этого возраста важна. Эти очень умные и серьезные люди записали в научных историях рассказы о Фалесе, основавшем дедуктивную геометрию и доказавшем, что круг делится пополам по своему диаметру.Это всего через двести или триста лет после Фалеса, и в прямой линии от него, вероятно, с целыми работами Фалеса, которые все еще хранятся в библиотеках и так далее.

Итак, поехали. Истоки доказательства и дедуктивной геометрии. Мы действительно кое-что об этом знаем, и эту историю стоит узнать, если вы спросите меня.

Фалес Милетский — Хронология математики — Матигон

c. 300 г. до н. Э .: Индийский математик Пингала пишет о нуле, двоичных числах, числах Фибоначчи и треугольнике Паскаля.

г. 260 г. до н. Э .: Архимед доказывает, что π находится между 3,1429 и 3,1408.

г. 235 г. до н.э.: Эратосфен использует алгоритм сита для быстрого поиска простых чисел.

г. 200 г. до н. Э .: «Суан шу шу» (Книга о числах и вычислениях) — один из старейших китайских текстов по математике.

г. 100 г. н. Э.: Никомах ставит старейшую нерешенную проблему в математике: существуют ли какие-либо нечетные совершенные числа.

г. 250 г. н.э .: культура майя в Центральной Америке процветает, и в ней используется система счисления с основанием 20.

г. 830 г. н.э .: Аль-Хорезми издает «Китаб аль-джабр ва аль-мукабала», первую книгу об алгебре и тезку по ней.

1202: Liber Abaci Фибоначчи вводит арабские цифры в Европу, а также простую алгебру и числа Фибоначчи.

1482: Первое печатное издание «Элементов» Евклида

1545: Кардано задумывает идею комплексных чисел.

1609: Кеплер публикует «Astronomia nova», в которой объясняет, что планеты движутся по эллиптическим орбитам.

1618: Napier публикует первые упоминания числа e в книге по логарифмам.

1637: Ферма утверждает, что доказал Великую теорему Ферма.

1654: Паскаль и Ферма развивают теорию вероятностей.

1684: Лейбниц публикует первую статью по исчислению.

1687: Ньютон издает «Основы математики», содержащие законы гравитации и движения, а также свою версию математического анализа.

1736: Эйлер решает проблему Кенигсбергских мостов, изобретая теорию графов.

1761: Ламберт доказывает, что π иррационально

1799: Гаусс доказывает основную теорему алгебры.

1829: Бойяи, Гаусс и Лобачевский изобретают гиперболическую неевклидову геометрию.

1832: Галуа находит общее условие для решения алгебраических уравнений, тем самым основывая теорию групп и теорию Галуа.

1858: Август Фердинанд Мебиус изобретает ленту Мебиуса.

1874: Кантор доказывает, что существуют разные «размеры» бесконечности и что действительные числа неисчислимы.

1895: Статья Пуанкаре «Analysis Situs» положила начало современной топологии.

1905: Эйнштейн объясняет фотоэлектрический эффект и броуновское движение, открывает специальную теорию относительности и E = mc².

1915: Нётер показывает, что каждый закон сохранения в физике соответствует симметрии Вселенной.

1931: Теорема Гёделя о неполноте устанавливает, что математика всегда будет неполной.

1939: Группа французских математиков издает свою первую книгу по теории множеств под псевдонимом Николя Бурбаки.

1961: Лоренц обнаруживает хаотическое поведение в моделировании погоды — эффект бабочки.

1976: Аппель и Хакен доказывают гипотезу четырех цветов с помощью компьютера.

1977: Адельман, Ривест и Шамир вводят криптографию с открытым ключом с использованием простых чисел.

1994: Эндрю Уайлс доказывает Великую теорему Ферма.

2000: Институт математики Клэя опубликовал семь задач, присуждаемых Премией тысячелетия.

2003: Перельман доказывает гипотезу Пуанкаре, единственную из семи решенных на сегодняшний день проблем тысячелетия.

г. 9100 г. до н.э .: старейшее известное сельскохозяйственное поселение на Кипре.

г. 2030 г. до н.э.: шумерский город Ур — самый большой город в мире.

г. 3500 г. до н. Э .: Первые колесные машины появляются в Месопотамии и Восточной Европе.

г. 3200 г. до н.э .: первые системы письма появляются в Месопотамии, Египте и долине Инда.

г. 3000 г. до н.э .: первые свидетельства плавки железной руды для производства кованого железа.

г. 2560 г. до н.э .: Великая пирамида Гизы построена в Древнем Египте для фараона Хуфу.

г. 1754 г. до н. Э .: Вавилонский царь Хаммурапи издает Кодекс Хаммурапи, один из первых юридических документов.

776 г. до н.э .: Первые Олимпийские игры проходят в Греции.

753 г. до н. Э .: Легендарная дата основания Рима.

г. 563 г. до н. Э .: Будда родился в Индии. Его учение стало основой буддизма.

г. 551 г. до н. Э .: Конфуций родился в Китае. Его учение стало основой конфуцианства.

490 г. до н.э .: Греция остановила персидское вторжение в битве при Марафоне.Начинается классический период.

432 г. до н. Э.: Акрополь построен в Афинах во время их золотого века при Перикле.

399 до н.э .: Сократ приговорен к смерти, отказывается бежать и выпивает чашу яда.

327 г. до н.э .: Александр Великий вторгается в Индию, создав огромную империю по всей Азии.

г. 221 г. до н.э.: Цинь Шихуанди объединяет Китай и начинает строительство Великой стены.

146 г. до н. Э .: Римская армия разрушает Карфаген, положив конец Третьей Пунической войне.

44 г. до н. Э .: Юлий Цезарь убит.

4 г. до н. Э.: Иисус из Назарета родился в Вифлееме, утверждая христианство.

180 г. н.э.: смертью Марка Аврелия положен конец Pax Romana, 200-летнему периоду мира в Европе.

476 г. н.э .: падение Римской империи

570 г. н.э .: Мухаммед, основатель ислама, родился в Мекке.

г. 641 г. н.э .: Александрийская библиотека разрушена.

800 г. н.э .: Карл Великий коронован как первый император Священной Римской империи.

г. 870 г. н.э.: норвежские исследователи открывают и колонизируют Исландию.

1066: Вильгельм Завоеватель побеждает в битве при Гастингсе и становится королем Англии.

1088: Первый университет открыт в Болонье, Италия.

1096: Первый крестовый поход инициирован Папой Урбаном II.

1206: Чингисхан побеждает своих соперников и получает титул «Вселенский правитель монголов».

1215: Король Англии Иоанн вынужден подписать Великую хартию вольностей, ограничивая его полномочия.

1266: Марко Поло прибывает ко двору Хубилай-хана в Пекине.

г. 1347 год: Черная смерть убивает миллионы людей по всей Европе.

1439: Иоганнес Гутенберг изобретает печатный станок.

1453 г .: Османские турки завоевывают Константинополь, отмечая падение Византийской империи.

1492: Христофор Колумб прибывает в Америку, начиная новую эру европейских завоеваний.

1517: Мартин Лютер публикует свои 95 тезисов, положив начало протестантской реформации.

1522: Экспедиция Фердинанда Магеллана облетает Землю.

1543: Польский ученый Николай Коперник пишет, что Земля вращается вокруг Солнца.

1588: При королеве Елизавете I Англия побеждает испанскую армаду.

1603: Впервые исполняется «Гамлет» Уильяма Шекспира.

1633: Католическая инквизиция судит Галилео Галилея за его научные труды.

1649: Король Карл I предан суду и обезглавлен во время Гражданской войны в Англии.

1756: Вольфганг Амадей Моцарт родился в Австрии.

г. 1765: Джеймс Ватт изобретает более эффективный паровой двигатель, который станет двигателем промышленной революции.

1776: Америка издает Декларацию независимости от Великобритании.

1789: Революционеры штурмуют Бастилию в Париже, начиная Французскую революцию.

1804: Наполеон становится императором Франции.

1819: Симон Боливар побеждает Испанию в битве при Бояке, что приводит к независимости многих стран Южной Америки.

1837: Сэмюэл Морс и другие разрабатывают электрические телеграфы.

1859: Чарльз Дарвин публикует «Происхождение видов», вводя естественный отбор.

1865: Авраам Линкольн убит в конце Гражданской войны в США.

1876: Александр Белл изобретает телефон.

1903: Братья Райт создают первый самолет с двигателем тяжелее воздуха.

1914: Франц Фердинанд из Австрии убит в Сараево, в начале Первой мировой войны.

1929: Обвал фондового рынка в «черный вторник» положил начало великой депрессии.

1939: Адольф Гитлер вторгается в Польшу, начиная Вторую мировую войну.

1953: Уотсон и Крик открывают двойную спиральную структуру ДНК.

1957: Советский Союз запускает в космос Спутник-1, первый искусственный спутник Земли.

1969: Астронавты Аполлона-11 Нил Армстронг и Базз Олдрин приземляются и идут по Луне.

1975: Конец войны во Вьетнаме

1989: Тим Бернерс-Ли изобретает всемирную паутину.

Фалес: Древние греки построили космос из прямоугольных треугольников

  • Каждый треугольник, вписанный в круг по его диаметру, представляет собой прямоугольный треугольник.
  • Говорят, что после этого открытия Фалес совершил великое ритуальное жертвоприношение.
  • Мог ли Фалес полагать, что весь космос состоит из прямоугольных треугольников?

Покойный комментатор Прокл приписывает Фалесу авторитет ученика Аристотеля Евдема, который «открыл» геометрические предложения, некоторые из которых были более общими, а другие — более практическими.Рассмотрим некоторые диаграммы, изображающие практические примеры прямоугольных треугольников.

Слева направо у нас есть измерения Фалеса: (i) высоты пирамиды, когда ее тень равна ее высоте; (ii) высоту пирамиды, когда ее тень не равна, но пропорциональна ее высоте; (iii) расстояние до судна в море от береговой линии; и (iv) расстояние до корабля в море от вышки. Обратите внимание, что при повороте все они представляют собой диаграмму и ту же диаграмму !

Более общие положения также кажутся относящимися к практической геометрии:

У нас есть отчет об особом достижении Фалеса.Возникнув у Диогена Лаэртия из 3 -х годов века до н.э., на основании авторитета математика Памфилы, он говорит, что Фалес совершил великолепное ритуальное жертвоприношение , начертив прямоугольный треугольник в окружности. Очевидно, он думал, что это большое дело. Подробнее об этом чуть позже.

Первое, что должен был знать Фалес, это то, что сумма углов каждого треугольника равна двум прямым. (Сумма углов внутри каждого треугольника равна 180 °. Два прямых угла, каждый из которых составляет 90 °, также в сумме составляют 180 °.У нас есть древний отчет, в котором говорится, что поколение геометров Фалеса уловило этот факт во всех видах треугольников — равносторонних, равнобедренных и разносторонних. Как могли это сделать Фалес и его геометры? Рассмотрим следующие схемы:

Опустив перпендикуляр из вершины на противоположную сторону в каждом виде треугольника, а затем завершив образованные два прямоугольника, можно сразу увидеть, что каждый прямоугольник (содержащий четыре прямых угла) делится пополам на диагональ, образованную каждой стороной треугольника. треугольник.Следовательно, каждый полутреугольник содержит два прямых угла. И если два прямых угла у основания удалить, оставив три угла одного большого треугольника, сумма углов составит два прямых угла.

Теперь рассмотрим, как Фалес мог доказать, что каждый треугольник, вписанный в круг по его диаметру, должен быть прямоугольным. Чтобы показать это, он опирался на предложение равнобедренного треугольника и доказал, что угол при A [α + β] прямоугольный.

Возможно, он сделал это следующим образом: основываясь на предложении равнобедренного треугольника, Фалес знает, что отрезки BD и AD (левая диаграмма) равны по длине, потому что они оба являются радиусами окружности BAC.Таким образом, их противоположные углы — α и α — должны быть равны. Поскольку каждый треугольник равен 180 ° (то есть содержит эквивалент двух прямых углов), а угол BDA в основании является прямым углом, α + α также должен равняться одному прямому углу. Само по себе α составляет половину прямого угла.

Далее, CD и AD оба равны по длине, поскольку они тоже являются радиусами окружности BAC, и поэтому углы, противоположные каждому из них, также должны быть равны — то есть β равно β. Если мы признаем, что угол в основании ADC является прямым углом, и в каждом треугольнике есть эквивалент двух прямых углов, тогда β + β должно равняться одному прямому углу.Само по себе β составляет половину прямого угла.

Наконец, угол в точке A делится на две равные части, α и β. Поскольку каждый из них составляет половину прямого угла, вместе (α + β) они равны одному прямому углу.

Это объясняет прямой угол для равнобедренного треугольника, вписанного внутри круга. А как насчет всех разновидностей лестницы? Более или менее, это тот же аргумент.

Рассмотрим треугольник ABC (правая диаграмма). Он состоит из двух треугольников ABD и ACD. В ABD AD должен быть равен BD, потому что оба являются радиусами окружности BAC, и поэтому углы, противоположные этим сторонам, также должны быть равны.Тот же аргумент применим к треугольному АЦП. Таким образом, три угла треугольника ABC равны α + β + (α + β). Поскольку мы уже знаем, что сумма углов каждого треугольника равна 180 ° (то есть, что эквивалентно двум прямым углам), тогда α + β + (α + β) равняется двум прямым углам. Таким образом, α + β должно равняться одному прямому углу.

Возможно, эти доказательства убедили Фалеса и его товарищей в том, что каждый треугольник, вписанный в круг по его диаметру, правильный. Но почему великие ритуальные жертвоприношения?

Древние традиции не дают нам большего понимания, и нам остается только строить догадки.Аристотель утверждает, что Фалес постулировал лежащее в основе единство, воду, которая изменяется без изменения. Хотя все выглядит иначе, вода является субстратом всех проявлений. Вода просто изменяется без существенных изменений. Если бы Фалес изучал геометрию, чтобы попытаться обнаружить лежащую в основе структуру воды, возможно, он следовал той же линии мысли, что и Платон, когда он идентифицировал четыре элемента (огонь, воздух, воду и землю) с геометрическими формами.

Фалес мог идентифицировать прямоугольный треугольник как фундаментальную структуру воды.Более того, теперь у него был способ создать неограниченное количество из них для дальнейшего исследования, просто построив круг, начертив его диаметр и вписав в него треугольник.

Но, возможно, есть и другая причина его великолепной жертвы, рассматриваемая в этом метафизическом свете. Я могу представить возражение одного из его соотечественников, услышав идею Фалеса о том, что вода является основной природой или единством всех вещей, а прямоугольный треугольник — его структурой. Возражение могло быть таким: прямоугольные треугольники могут составлять основу любой прямолинейной фигуры, но определенно не составляют основу круга.Круг не состоит из прямоугольных треугольников, не так ли? Таким образом, прямоугольный треугольник — это , а не , судя по всему, фундаментальная фигура.

Ответ Фалеса, должно быть, поразил его соотечественников так же, как и многих из нас сегодня. Действительно, круг тоже построен из прямоугольных треугольников! Если мы нанесем на диаметр круга все возможные треугольники, вписываемые внутрь круга — начиная с одного конца диаметра, касаясь круга и заканчивая другим концом диаметра, — мы получим то, что современные математики называют «геометрическими точками».«Сам круг состоит из прямоугольных треугольников!

Проф. Роберт Хан имеет широкие интересы в области истории древней и современной астрономии и физики, древних технологий, вклада древнего Египта и монументальной архитектуры в раннюю греческую философию и космологию, а также древней математики и геометрии Египта и Греции. Каждый год он проводит выездные семинары « Древнего наследия » в Грецию, Турцию и Египет.Его последняя книга — Метафизика теоремы Пифагора .

Статьи с вашего сайта

Статьи по теме в Интернете

% PDF-1.4 % 1 0 объект > эндобдж 10 0 obj /Заголовок /Предмет / Автор /Режиссер / Ключевые слова / CreationDate (D: 20210703041256-00’00 ‘) / ModDate (D: 20181209124441Z) >> эндобдж 2 0 obj > эндобдж 3 0 obj > эндобдж 4 0 obj > эндобдж 5 0 obj > эндобдж 6 0 obj > ручей 2018-12-09T12: 44: 41Z2018-12-09T12: 44: 35Z2018-12-09T12: 44: 41ZMicrosoft® Word 2013application / pdf

  • CERME
    • uuid: b6cf965c-28d7-4f4e-a60b-462c658093c3uuid: a410a52c-dfa5-e641-84de-e8b48ffd6479 Microsoft® Word 2013 конечный поток эндобдж 7 0 объект > эндобдж 8 0 объект > эндобдж 9 0 объект > эндобдж 11 0 объект > эндобдж 12 0 объект > эндобдж 13 0 объект > эндобдж 14 0 объект > эндобдж 15 0 объект > эндобдж 16 0 объект > эндобдж 17 0 объект > эндобдж 18 0 объект > эндобдж 19 0 объект > / ProcSet [/ PDF / Text / ImageC / ImageB / ImageI] >> эндобдж 20 0 объект > ручей x ڝ XɎ6 + MdAr32 Q ۗ ER = vl4FTz | UmqnɰTM; ~ ǧ / nq`yc2m2, O? Wkkfm {nq1r | Sgs} OXIɣ! PL ^ -] R_m 7o «yn8> c ۃ знак равно pDuzieHӽ? | YSmu ~ YB? Z 6S

    7C «\ W ޲ = 6 rӞ Ӽ? 4ϦIG ~ ׼ фp = V +.3U

    ПИФАГОРА: КУЛЬТ ЛИЧНОСТИ И МИСТИЧЕСКАЯ СИЛА ЧИСЛОВ

    I. Мистический треугольник Вспомните урок геометрии, и, возможно, вы сможете откопать сонное воспоминание о Пифагоре. Ему приписывают открытие, что квадрат самой длинной стороны прямоугольного треугольника — помните гипотенузу? — равно сумме квадратов двух других сторон. Этот факт — самое заметное наследие Пифагора. Вы можете знать это как теорему Пифагора: a2 + b2 = c2.Но вряд ли кто-нибудь, кто использует эту формулу, знает, что этот математик из Древней Греции, который помог многим из нас ориентироваться в правильных треугольниках и решить множество практических задач в реальном мире, возглавил причудливый религиозный культ и умер в пламени пламени, когда силы демократии сплотились против него и его мистической группы. Пожар очень напоминает пожар, в котором погибли Дэвид Кореш и многие из его последователей из ветви Давида в 1994 году недалеко от Вако, штат Техас. Представьте, что Кореш в свободное время был всемирно известным философом и ученым, а также хорошим друг и личный, духовный и диетический советник, скажем, Брюса Дженнера, бывшего олимпийского чемпиона по десятиборью.Представьте себе, что эти двое тусовались с другими жителями Ветви Давида в доме Дженнера, когда федеральные агенты заполонили это место. Это была бы картина, потому что, по мнению историков, именно так умер Пифагор — в доме своего ученика Майло, известного олимпийского борца. На них напали лидеры сообщества, считавшие, что культ личности Пифагора зашел достаточно далеко. Отчасти геометрия и прямоугольные треугольники кажутся намного сексуальнее, не так ли? II. ЧТО СКАЗАЛ ОРАКУЛ Мнесарх, греческий ювелир, и его жена Парфенида, домохозяйка, были богатыми поклонниками Аполлона и жили на греческом острове Самос.Их жизнь заключалась в спокойном существовании молодой пары в одном из менее шумных регионов Древней Греции. Скоро их мир изменится. По словам сирийского философа 4-го века Ямвлиха, во время посещения города Дельфы они посоветовались с одним из самых известных религиозных авторитетов Греции, жрицей по имени «Пифийский оракул», и считали, что она способна видеть будущее. Она сказала молодой паре, что у них будет сын, который изменит мир. Возможно, Мнесарху были видения грека Кэла Рипкена или Джо Монтаны, потому что Дельфы были местом проведения крупного спортивного фестиваля, Пифийских игр, которые проводились каждые четыре года, как Олимпийские игры.Мнесарх быстро переименовал свою жену в Пифию. Затем двое влюбленных послушно последовали инструкциям провидца и посетили Финикию, на территории нынешней Сирии, для рождения ребенка. В 582 г. до н. Э. В Сидоне у Мнесарха и Пифия родился сын. Его тоже назвали в пифийской традиции. Это был Пифагор (сердцевина-АГ-или-нас). Семья переехала на Самос, который в некоторых источниках указан как место рождения Пифагора. В 18 лет Пифагор покинул Самос. Он учился в Милете, морском порту, оккупированном греками на побережье современной Турции, у Фалеса, легендарного натуралиста, и исследовал свои корни в Финикии.Затем он отправился в Мемфис в Египте, чтобы более 20 лет учиться у египетских религиозных мистиков. Только когда Пифагору исполнилось 60 лет, он начал успокаиваться, и его мысли о старении не были такими, как у типичного пожилого человека. По словам Диогена Лаэртия, биографа III века и одного из многих древних писателей, развивших легенды о Пифагоре, великий человек видел жизнь в четыре этапа. «Двадцать лет мальчик, 20 лет юноша, 20 лет — юноша и 20 лет — мужчина», — сказал Пифагор.Завершив первые три из этих эпох, Пифагор решил поселиться. Его путешествия привели его в Кротон, город на юге Италии, населенный в основном греками. Историки расходятся во мнениях относительно того, что он там делал, но есть общее мнение, что Пифагор сочетал сияющую харизму с магнетическим обаянием шамана. Он был учителем многих вещей, мистиком с окраин в захолустном городке. Кротонцы стекались, чтобы погреться в его очаровании и впитать его мудрость. У Пифагора также было «золотое бедро», по мнению многих древних авторов, которые трезво описывали эту любопытную особенность, как если бы нога человека была буквально сделана из металла.Это привело кротонцев к тому, что они считали естественным выводом: Пифагор был либо богом Аполлоном, либо сыном Аполлона. Не было никого, кого бы великий человек не учил бы — детей, бедняков, городских старейшин. Он распространял среди всех свои убеждения о вере, диете и морали. Он даже разговаривал с женщинами, которых считал равными, с нетипичным поведением мужчины в те дни, что несколько столетий спустя привело некоторых историков к обсуждению параллелей между историями о Пифагоре и историями об Иисусе Христе. Например, Ямвлих утверждает, что через несколько дней после того, как Пифагор прибыл в Кротон, учитель увидел, как рыбаки тащили большой улов рыбы.Пифагор сказал им, сколько у них рыбы. Когда они подсчитали свой улов, они были ошеломлены, узнав, что он был прав. Когда Пифагор приказал людям вернуть рыбу в море, они сочли за лучшее подчиниться, говорит Ямвлих. Как будто в результате очередного чуда, ни одна рыба не погибла. С такими успехами Пифагор распространял свою доктрину строгого вегетарианства. Согласно легендам, он издавна совершал эти странные магические трюки. Например, путешествуя в юности, Пифагор был схвачен пиратами, надеявшимися продать его на невольничьем рынке.Как ни странно, мальчик, похоже, не возражал. Он сидел в углу корабля в трансе. Он не ел. Он не пил. Он не двигался три дня. Пираты забеспокоились. Но когда подходящий ветер задул корабль с опережением графика, они пришли к выводу, что мальчик был не просто беспризорником, а богом. Когда корабль достиг Египта, члены экипажа вынесли его на берег. Они поставили ему жертвенник, окружили его едой и фруктами и ушли. Пифагору повезло. Его удача продолжилась в Кротоне, граждане которого построили ему школу и храм в честь его бога-покровителя Аполлона.Его растущая группа последователей превратилась в «государство в государстве». По словам современного ученого Питера Гормана в его книге «Пифагор: жизнь», верующие были разделены на два уровня — ученики, которые жили в коммуне, делясь всем имуществом, и более крупная группа под названием «Акусматики», чья преданность была менее трудоемкой. Ученики жили верой и правдой со своим гуру. Подобно Пифагору, они ели легко, не ели ни мяса, ни рыбы. Спали мало, не пили, настаивали на моногамии.Они никогда не ели бобы, потому что Пифагор учил, что человеческие души находятся внутри бобов. Они никогда не ездили по большой дороге, никогда не трогали белых петухов. Они «приняли от {Пифагора} законы, — говорит Ямвлих, — как если бы они были божественными заповедями, без которых они ничего не делали». III. Культ чисел Ряды пифагорейской общины в Кротоне в конечном итоге увеличились до более чем 2500 человек. Многие горожане, особенно дворяне старой гвардии, были недовольны. Формирование общины, согласно книге Гормана, было «постепенным, потому что внезапное преобразование такого масштаба нарушило бы совет лидеров.»Культов тогда боялись и не доверяли так же, как и сейчас, и они были в моде, потому что это была эпоха, когда рушились старые, стабильные социальные порядки и религии, которым они доверяли. Общество находилось в состоянии брожения. Многие люди искали новые ценности и обновленные моральные ориентиры. Культ Пифагора имел много общего с орфическими культами, охватившими Грецию. Они были названы в честь Орфея, трагического мифологического любовника. Орфики проповедовали и практиковали попурри науки, мистицизма и монашеского самообладания. Злые греческие мужчины и женщины искали того же. спасение через орфический и культ Пифагора, которого сегодняшние недовольные ищут в таких современных движениях, как ополчения и новые религии.Жизнь того времени, согласно Дж.Бери в его Истории Греции, не была похожа на жизнь в старые добрые времена. Исчезли безопасные ядерные дома времен Гомера тремя веками ранее. В бурную эпоху растущей политической демократии, которую многие считали продвижением правления мафии и социального распутства, новые культы, такие как пифагорейцы и орфики, предлагали новые вероучения, по которым можно жить, проповедуя умеренность, общинную жизнь и олигархию, правление немногих просвещенных. Многие люди во времена Пифагора были привлечены тихим шепотом о жизни после смерти в каком-то потустороннем мире — концепция, которая дошла до греков из египетской и восточной культур.Секретность и мистические традиции были частью привлекательности культов. Это придало им вид просвещения и революции. У каждой группы был свой спин. Орфики подчеркивали переселение душ после смерти в новые тела. Культы, посвященные богу Дионисию, предпочитали неистовые ритуалы ченнелинга. Пифагор рассматривал числа. В конце концов, он был математиком — некоторые считают его первым в мире — хотя, конечно, не в нашем понимании этого слова. Для него числа были божественными, первоэлементами всего сущего.Отдельные числа обладали магической силой. По его словам, числа являются «причиной богов и демонов». Пифагор начал считать с числа 3. Единицу и 2 он рассматривал как строительные блоки для всех остальных чисел, а не сами числа. Числа были строительными блоками всего остального. «Возможностей было семь», — пишет современный ученый Уорд Резерфорд в своем отчете о связи пифагорейцев чисел даже с самыми абстрактными понятиями. «Справедливость — 4, мужественность — нечетное число, женственность — четное». Два воплощали женское начало, 3 — мужское, и, таким образом, брак был 5.Каким бы странным ни казалось такое мышление сегодня, пифагорейцы разработали ключевые концепции, которые повлияли на развитие современной науки. Один из них, например, заключался в том, что природа или реальность на самом глубоком уровне является математической. «Все есть число», — учил Пифагор, используя формулировку, удивительно близкую к взглядам, высказанным Альбертом Эйнштейном и другими: Бог — математик. Это доверие к математике было одним из самых мощных инструментов современной науки, особенно физики. Но пифагорейцы пошли немного дальше. Они утверждали, что их числовой мистицизм может привести к духовному очищению, в конечном итоге объединяя души отдельных людей с божественным.Тем не менее, упор на математику привел к практическим успехам. В Кротоне, например, Пифагор основал одну из первых лабораторий в мире, где он тестировал акустику, забивая колокола разного веса и измеряя высоту тонов, которые они производят. Он обнаружил, что музыкальный тон связан с вибрацией струны и варьируется в зависимости от длины струны. Он обнаружил, что музыкальная гармония возникает из-за волн в вибрирующих струнах, которые точно кратны друг другу — одна волна в вибрирующей струне ровно в два или три раза длиннее другой, с которой она гармонирует.Он измерил звезды и построил солнечную систему с центром в Земле. Фактически, он утверждал, что движения звезд и планет создают форму музыкальной гармонии за пределами человеческого понимания — источник выражения «музыка сфер». Но пифагорейцы не делились своими знаниями. Тайна сохранялась с рвением, включая знание различных геометрических форм, которые, как считается, обладали божественными свойствами. Эти формы включали сферу, куб и тетраэдр, твердое тело с четырьмя равносторонними треугольниками в качестве граней.По словам Гормана, ученик по имени Гиаппас «раскрыл свойства додекаэдра» и был немедленно изгнан из общины. В конце концов, кто знает, что может случиться, если секретные планы этой твердой формы с 12 пятиугольниками в качестве сторон попадут в чужие руки? Несмотря на все свои геометрические достижения, Пифагор, возможно, не разработал теорему, носящую его имя. Его сочинения утеряны, и почти все, что ему приписывают, происходит из писаний его общины. Многие ученые считают, что теорему разработали другие члены его группы.IV. День расплаты Как и Чикаго, Кротон вскоре стал городом с одной звездой. Как и Майкл Джордан, Пифагор стал всемогущим. Он, вероятно, был выше прямого участия в политических драках, но многие из его культа — нет. Как писал Бери, его сторонники превратили орден в «инструмент политической власти». Иногда каждому лидеру нужен кризис, чтобы сплотить слабых сторонников. Пифагор нашел его прямо за углом в Сибарисе. Соседний город-государство был идеальным противником. Имя его граждан «сибариты» является нашим синонимом развратника.Даже в те бурные дни сибариты были известны своей любовью к излишествам и своей военной мощью, намного превосходящей таковую Кротона. Когда Телис, сибаритский диктатор, потребовал возвращения беженцев, сбежавших в Кротон, многие кротонцы захотели подчиниться. Они пострадали в недавних конфликтах с другими городами-государствами и не были уверены в своей силе. Но Пифагор проявил дерзость и сплотил Кротона. Его ученик, борец Майло, собрал армию и напал на Сибариса. Хотя войска Майло были в меньшинстве, они сокрушили Сибариса настолько, что он практически исчез.Внезапно Кротон стал главной державой в регионе. Но даже в победе оставались ожесточенные разногласия. По всему греческому миру распространились давние проблемы с культами. Проблемы для Пифагора обострились после того, как он пробыл в Кротоне около 20 лет. Дворянин по имени Сайлон попросил присоединиться к пифагорейцам, но у него была репутация тусовщика, поэтому Пифагор отказался. Отвергнутый, Сайлон сплотил население против Пифагора и устроил ему засаду в доме Майло. В ходе столкновения дом был сожжен, а большинство местных пифагорейцев были убиты.Однако пифагорейская школа не исчезла. В то время как орфическое движение было в значительной степени отвергнуто после VI века до нашей эры, пифагорейцы просуществовали еще 300 лет, распространившись до Ближнего Востока и породив множество мыслителей. Пифагор оказался одним из отцов западной философской традиции. Его легкое сочетание науки, свободного спиритизма и философии заложило основу для бурной волны древнегреческих философов. Его самым большим поклонником был бы Платон. Гибель Пифагора никогда не была очевидной.Диоген Лаэртий сообщает, что он избежал пожара у Милона только для того, чтобы оказаться на бобовом поле, священной земле. Когда он отказался перейти его, преследователи из Кротона поймали его и перерезали ему горло. В других сообщениях говорится, что он сбежал в Метапонтум, греко-итальянский город-государство, и вскоре умер там. По некоторым данным, он был последним на Делосе, утешая умирающего учителя. О наблюдениях Пифагора, подобного Элвису, сообщалось в течение многих лет. Какова бы ни была его судьба, наследие Пифагора процветает сегодня, не в последнюю очередь благодаря простой формуле, которая напоминает нам, что реальный мир, в конце концов, имеет интимную фундаментальную основу в числах — a2 + b2 = c2.

    Дэнни Хаким — бывший помощник службы новостей Washington Post, который живет в Денвере и пишет детскую книгу по истории. ЗАГОЛОВОК: ПИФАГОРЕЙСКАЯ ТЕОРЕМА Определенные формы в реальном мире подчиняются математическим законам с последовательностью, которую Пифагор и его последователи считали мистическими. Возьмем так называемый прямоугольный треугольник — любой треугольник с внутренним углом 90 градусов. Независимо от длины сторон, всегда верно, что если возвести в квадрат длину самой длинной стороны (гипотенуза, которая всегда противоположна прямому углу), это число будет равно сумме квадратов двух других. стороны.Треугольник, определяемый этими тремя квадратными наборами блоков, является прямоугольным треугольником. Длина гипотенузы составляет пять блоков. Возведите его в квадрат, что мы сделали буквально, и у вас будет 25 блоков. Квадрат одной из сторон содержит девять блоков, а квадрат третьей — 16 блоков. Девять плюс 16 равняется 25. Если вы назовете гипотенузу c и другие стороны a и b, формула будет a2 + b2 = c2. ЗАГОЛОВОК: Одно из самых известных высказываний по геометрии всплывает из якобы недавно приобретенного мозга Пугала ближе к концу «Волшебника страны Оз».

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *