Так, если мы хотим проанализировать чувствительность (иу.э.с)опт к изменению стойкости элементов ленточного тормоза в условиях нашего примера, необходимо на основании выражений (ПО), (111), (121) и (123) построить графики функций  [c.149]

Рис. 4 дает возможность графически представить некоторые особенности производственной функции с двумя ресурсами производства. На двумерном рисунке нельзя изобразить сам график функции У = F (K, L), так что приходится ограничиваться лишь анализом изоквант. Построение графика производственной функции было бы, однако, весьма желательным, поэтому прибегают к следующему приему, основанному на свойстве (2. 5) производственной функции. Поскольку мы рассматриваем значения L > 0, то на основе (2.5) можно сделать преобразование соотношения У = = F (К, L), представив его в виде У = LF (K/L, 1) или Y/L = F (K/L, 1). Введем следующие обозначения у = = Y/L, k = K/L, f (k) = F (k, 1). Здесь у имеет смысл национального дохода на одного трудящегося, k — количество основных фондов на одного трудящегося (фондовооруженность), функция / (k) связывает эти два показателя и является одной из форм представления производственной функции. Зная функцию F (К, L), можно построить f (k),  [c.58]

Сначала проведем графический анализ задачи. Для этого построим графики функций у = sf (k) и у = t]k.  [c.74]

На рис. 3.3 изображены графики функций фактора фонда накопления для обычного и авансового аннуитетов.  [c.315]

Графики функций А(у), АГ( ), h»(y), g(y) и h (y)/g(y) для функции затрат (2.7) при а = 0,5 приведены на рис. 2.12.  [c.97]

График функции у(Г) для т г = 4 приведен на рис. 2.15. Изломы на графике соответствуют переходам к новым, до этого не использовавшимся, менее эффективным производственным способам.  [c.103]

Проведем сначала графический анализ задачи. Построим графики функций у = stf(k) и y = ( i + t])k (см. рис. 4.1). Из рисунка следует, что имеются два решения (3.13). Это / = 0 и k = k. Точка f = 0 является решением уравнения (3.13) при любых значениях параметров л и т) и параметров производственной функции в силу того, что ф(0)=0. Ненулевая точка пересечения графиков у = s p(k) и у = (ц + т))А , вообще говоря, может существовать не всегда или быть не единственной. При сформулированных в предыдущем параграфе свойствах производственных функций и некоторых других естественных предположениях о народном хозяйстве точка k существует и единственна (доказательство см., например, в гл. 2 книги [34]).  [c.245]

В связи с этим график функции имеет начальную ординату 77,08 дол. Начальная ордината — это постоянный элемент формулы, который обеспечивает наилучшую линейную аппроксимацию поведения затрат внутри релевантной области.  [c.234]

Для построения кривой спроса отложим на оси абсцисс точки, характеризующие количество товара, на которое предъявлен спрос, а на оси ординат — соответствующую им цену. Данная кривая есть график функции спроса от цены.  [c.15]

Кофе, полученный смешиванием разных сортов, нельзя сравнить с аналогичными продуктами в других киосках. Наш кофе самый лучший, мы предлагаем вам не просто кофе, а допинг для переговоров на выставке . График функции спроса для кофе, продаваемого на выставке, мог бы иметь вид S-образной кривой, как на рис. 10. На ней есть ограниченная область крутого, не эластичного по отношению к цене спроса. В этой области возможно проведение индивидуальной политики цен.  [c.61]

Сбор > i и ставка процента По мнению Дж. М. Кейнса, реальная процентная ставка не является основным детерминантом уровня сбережения и потребления населения. Вместо этого он утверждал, что уровень сбережения и потребления главным образом зависит от реального дохода. Экономисты-классики принимали реальный доход за постоянную величину. При полной занятости, как в классической модели, можно принять доход за постоянную величину и утверждать, что потребление в основном зависит от размера процентной ставки. Но поскольку может ли экономика достичь уровня полной занятости — это еще вопрос, то не следует доход принимать за постоянную величину. Предполагать неизменность национального дохода в силу допущения о полной занятости, как считают Дж. М. Кейнс и его последователи, не совсем верно. Таким образом, каждый раз, когда совокупный реальный доход изменяется, график функции сбережения (и потребления) в классической модели смещается. Короче говоря, Дж. М. Кейнс утверждал, что функция сбережения в классической модели характеризуется изменчивостью (подверженностью колебаниям), поскольку основной детерминант уровня сбережения — реальный доход — не является постоянной величиной. В дальнейшем, когда мы перейдем к рассмотрению кейнсианской модели в этой главе, станет очевидно, что уровни реального сбережения и реальное потребление являются функцией реального располагаемого дохода, а не реальной процентной ставки.  [c.494]

На рис. 19-3 приведен пример линейной функции сбережения. Угловой коэффициент функции сбережения (1 — Ь) является MPS, или 1 — МРС. Отметим, что b + + (1 — К) = 1, так что графики функций потребления и сбережения предполагают равенство МРС + MPS = 1.  [c.501]

График совокупных расходов в закрытой экономике представляет собой сумму графиков ожидаемого потребления, инвестиций и государственных расходов. Отрезок, отсекаемый графиком на вертикальной оси, равен величине чистых совокупных автономных расходов потребителей, фирм и государства. Когда инвестиции, государственные расходы и чистые налоги являются автономными, угловой коэффициент графика совокупных расходов равен угловому коэффициенту графика функции потребления, или предельной склонности к потреблению, которая является дробным числом.  [c.518]

Функцию потребления в кейнсианской модели экономики можно представить в виде с = с0 + ЬУ . Дайте определение и краткое объяснение каждого из двух компонентов ожидаемого потребления, заданных уравнением. Постройте график функции потребления. Чему равен его угловой коэффициент Какое экономическое толкование можно дать этому коэффициенту  [c.521]

При этом Р(х [c.118]

Показанный в предыдущем параграфе график функции предельной полезности (рис. 1.1, б) представляет собой линию с отрицательным наклоном, построенную в координатах MU, Q. Подобным же образом изображается обычно и линия индивидуального спроса, основное назначение которой состоит в том, чтобы выражать зависимость объема спроса конкретного индивидуума на определенное благо (QD) от уровня его цены (Р).  [c.18]

График функции приведен на рис. 5,6.  [c.73]

Если для каждого свойства каждого вида продукции строить свой график функции, то сложность и большой объем работы сделают крайне затруднительным практическое применение метода. Следовательно, не должно быть чрезмерно большого множества кривых.  [c.78]

Рассмотрим график функции Д у (Pj) (рис. 12).  [c.117]

Итак, в обоих потоках орел выпал четыре раза из десяти (аналогично, решка выпала в обоих потоках четыре раза из десяти), что дает вероятность 0,4. Обратите внимание, что если функция линейна, то есть изображается на графике прямой линией, то эта прямая проходит через точку, соответствующую коэффициенту корреляции 0,6 и вероятности 0,4. Если бы график функции отличался от прямой, то коэффициенту корреляции 0,6 соответствовало бы все, что угодно, кроме 0,4 (см. рис. 3.3).  [c.146]

Зная, что многие поставщики данных не имеют в своих программах построения графиков функции постоянного масштаба, нами так разработано программное обеспечение, чтобы пользователи могли выбирать или полноэкранное масштабирование самых последних загруженных данных или постоянный масштаб от самого высокого максимума до самого низкого минимума всего ряда данных для инвесторов, испытывающих неудобство из-за необходимости конвертировать данные своих рядов данных.  [c.34]

График совокупных расходов в закрытой экономике без государственного сектора. В экономике без государственного сектора совокупные ожидаемые реальные расходы равны сумме потребительских расходов домашних хозяйств и ожидаемых реальных инвестиционных расходов фирм. Следовательно, если мы сложим график автономных инвестиций с графиком функции потребления по вертикали, то получим график, отражающий уровни совокупных ожидаемых реальных расходов для любого данного уровня реального дохода. Это и есть график совокупных расюдов (с + / ).  [c.505]

Совок ипь лвтономные расходы и смещение графика совокупных расходов Что является причиной смещения графика совокупных расходов Чтобы ответить на этот вопрос, полезно рассмотреть уравнение, которым задан график совокупных расходов. Предположим, что величина автономных инвестиций равна /0. К тому же нужно помнить, что поскольку упрощенная модель экономики предполагает отсутствие государственного сектора (yd = у), то располагаемый доход равен доходу без налоговых вычетов. Поскольку график совокупных расходов строится путем сложения графиков функции потребления и автономных инвестиций, то уровень совокупных расходов будет равен  [c.510]

Предельная склонность к потреблению (marginal propensity to onsume, MP ) — дополнительное потребление вследствие роста дохода после уплаты налогов прирост потребительских расходов, деленный на соответствующий прирост располагаемого дохода угловой коэффициент графика функции потребления, когда по оси ординат откладываются значения располагаемого дохода.  [c.519]

Предельная склонность к сбережению (marginal propensity to save, MPS) — дополнительно сберегаемые средства при увеличении располагаемого дохода отношение прироста сбережений к соответствующему приросту располагаемого дохода. Представляет собой угловой коэффициент графика функции сбережения, когда по оси ординат откладываются значения располагаемого дохода.  [c.519]

Майклом Брэдли (Bradley) из университета Джорджа Вашингтона в 1989 г. Если ФРС нужно задать величину номинального национального дохода, то она будет изменять параметры инструментов своей политики, чтобы постоянно поддерживать номинальный доход на заданном уровне У. Это означает, что она будет проводить политику с учетом обеспечения равенства Р X у = Y. Предположим, что целью ФРС является сохранение номинального национального дохода на заданном уровне Y = 4000 млрд. долл. тогда множество комбинаций уровень цен—национальный доход будет соответствовать этой цели. Примерами могут служить РО = 4, у0 = 1000, /, = 5, у = 800 и Р2 = 8, у2 = 500. Все эти и другие возможные комбинации уровня цен и реального дохода будут представлены на графике функции Рх у = Y (рис. 24-12). Этот график, как и график совокупного спроса в классической модели, описанный в главе 18, является гиперболой.  [c.664]

Теперь рассмотрим рис. 24-13, на котором представлена точка А — точка равновесия графиков совокупного спроса и совокупного предложения, в которой уровень цен РО = 4, а реальный уровень производства у( = 1000. К тому же естественный уровень производства (рис. 24-13) равен у = lOOO, что означает, что равновесный реальный объем производства при естественном уровне производства, описываемый графиком долгосрочного совокупного предложения (у к), достигается и точке А. К тому же точка равновесия А принадлежит графику функции Р X у = Y (рис. 24-12). Следовательно, равновесный номинальный доход в точке А есть YQ = Рп х у( — 4 X X 1000, что равно номинальному доходу Y, выступающему в качестве промежуточной цели ФРС.  [c.665]

Протабулируем данную функцию на отрезке [-4,0 10,0] (расширять границы не имеет смысла, так как значения / (-4,0) и /(10,0) близки к предельным) с шагом 0,2. Кроме того, найдем приращение функции желательности на каждом шаге. По полученным значениям построим графики функции желательности и ее приращения (рисунок 9).  [c.49]

Линейное программирование (планирование) — математический метод отыскания максимума или минимума линейной функции при наличии ограничений в виде линейных неравенств или уравнений. (Линейное здесь означает, что на графике функции изоб-  [c.58]

и тест вертикальной линии

Ученик: Я не могу решить, являются ли некоторые из более сложных графов правильными. функции или нет.

Наставник: Есть много способов определить, является ли это функцией.

Ученик: Можно ли что-то сделать, просто взглянув на график?

Ментор: На самом деле есть. Это называется тестом вертикальной линии.

Ученик: Какое отношение вертикальная линия имеет к функциям?

Наставник: Посмотрите на один из графиков, о котором у вас есть вопрос.Затем возьмите вертикальную линию и поместите ее на графике. Если график является функцией, то в какое бы место на графике вы ни поместили вертикальная линия, график должен пересекать вертикальную линию только один раз.

Ученик: Правда? Это работает постоянно?

Наставник: Да, постоянно. Давайте попробуем один.

Можете ли вы сказать мне, является ли это функцией в этом графике?

Студент: Да, это так.Я не могу поставить вертикальную линию на этом графике так, чтобы она касалась функционировать более одного раза. Это прекрасно работает, особенно если я вижу сетку.

Наставник: А как насчет обычных форм, таких как круги и квадраты?

Ученик: Это не функции.

Воспитатель: Можете ли вы сказать мне, почему?

Ученик: Они не прошли бы тест вертикальной линии.

Наставник: Почему они не проходят?

Ученик: Обе эти фигуры пересекают вертикальную линию дважды во многих местах! Смотри, вот только один пример:

Наставник: Да! Помните, что попадание в вертикальную линию более одного раза означает, что их больше. чем одно значение y для определенных значений x.Это работает для формул, когда вы не уверены, они функции. Каждый раз, когда вы получаете более одного значения y при вводе значения x, это означает, что формула не является функцией. Наличие не более одного значения y для каждого значения x означает что существует четко определенная связь или, другими словами, функция.

Ученик: Это означает, что графики типа x = 2 не являются функциями, а графики типа y = 2 — функциями.

Наставник: Вы правы.Теперь попробуем посложнее.

Ученик: Что происходит в точке x=7? Похоже, график прыгает вниз?

Наставник: Это верно. Он находится вверху на плоской части при x = 7, но для x больше 7 он находится на изогнутой части. часть. Закрашенная точка говорит нам, что в точке 7 мы должны использовать y-значение 9, точку без затенение говорит нам, что криволинейная часть графика — это то, что можно использовать для чего-то большего, чем x = 7, но не для самой 7.Мы называем это кусочным графом, и когда у нас есть такая ситуация, мы нужно сказать, где находятся открытые и закрытые (заполненные или нет) кружки.

Ученик: Если вы так это читаете, то это функция. Нигде на этом графике я не могу сделать вертикальная линия касается функции более чем в одном месте. Это значительно упрощает задачу и имеет смысл.

Наставник: Можете ли вы нарисовать мне график, который не является функцией?

Студент: Конечно! Вот один:

Как это называется?

Наставник: Каждый график, описывающий отношение между x и y, называется отношение .Также графики, построенные на декартовой плоскости, называются плоские кривые , 2-мерные кривые , или просто кривых . Итак, функции — это все эти вещи, но, чтобы ответить на ваш вопрос, графики, которые не являются функции могут быть вызваны любым из этих имен.

Биоматематика: полиномиальные функции

Функции — линейные функции и уравнения

Наклон линейного уравнения — это число, которое показывает, насколько круто поднимается или опускается линия на нашем графике. Если мы притворимся, что линия представляет собой гору, мы как будто говорим о склоне горы.Если вам это поможет, нарисуйте вверху снежную шапку. Некоторые альпинисты. Подъемник. Впрочем, ничего слишком сложного.

Двигаемся слева направо по оси x , так же, как мы читаем. Если линия становится выше, когда мы движемся вправо, то мы поднимаемся на гору, поэтому линия имеет положительный наклон

Если линия становится ниже, когда мы движемся вправо, то мы спускаемся с горы, поэтому линия имеет наклон отрицательный наклон.

Если мы остаемся на той же высоте, то наклон равен нулю, потому что мы не поднимаемся и не спускаемся.Довольно скучная гора, если вы спросите нас.

Теперь давайте найдем реальные числа для уклонов. Говоря о горах, наклон — это соотношение, которое описывает, насколько быстро меняется наша высота, когда мы движемся вправо. Не наш реальный физический рост, заметьте. Мы не станем ниже или выше на протяжении этих примеров, даже если к концу вы почувствуете, что выросли.

Джули взбирается на гору. На каждые 10 футов, которые проходит Джулия (измеряется по земле), она поднимается на 20 футов выше. Каков наклон горы?

Склон горы .

На каждый фут, пройденный Джули (измеряется по земле), она поднимается на 2 фута над землей. Она была бы еще выше над землей, если бы носила каблуки, но мы полагаем, что это был бы странный выбор для альпинизма.

Проверьте это. Посмотрите на график линии y = x :

Наклон линии y = x равен 1. Если мы переместимся вправо на 1 по оси x , мы также переместитесь на единицу вверх по оси y :

Найдите наклон линии, изображенной ниже.Если мы не получим от вас вестей в течение трех часов, мы пошлем за вами смотрителя парка.

Давайте посмотрим, что происходит между парой точек графика:

На этой линии или горе мы поднимаемся на 2 на каждые 3, которые мы преодолеваем. За исключением одного раза, когда мы поднялись на 2, столкнулись с горным львом и побежали обратно на 7.

Наш склон  .

Один из способов представить уклон .

Чтобы использовать эту формулу для определения наклона линии, мы сначала фиксируем две точки на графике, координаты которых мы можем легко вычислить.

Рост — это сумма y изменений между этими двумя точками, и это число может быть положительным или отрицательным. Помните, вы можете подняться по или по спуститься с горы. Прогон — это сумма x изменений между этими двумя точками. Обычно мы думаем о движении от точки слева к точке справа, имея в виду, что x увеличивается, а «бег» всегда положителен. Вы можете подниматься или опускаться, но вы никогда не будете бежать назад, правильно Мы имеем в виду, кроме того случая, когда вы пятились от горного льва.

Тогда наклон этой линии равен:

Будьте осторожны: Это все очень хорошо и полезно запомнить формулу, но чтобы правильно ею пользоваться, нужно знать, что такое «подъем» и «бег». » на самом деле означает. Это не относится к вашему нижнему белью, задирающемуся на вас, или к вашим чулкам, которые в них сползают, хотя и то, и другое было бы чудесно запоминающимся изображением. В дополнение к формуле может быть полезно иметь в голове картинку, подобную приведенной ниже:

Пример задачи

Найдите наклон линии, показанной ниже.

Давайте найдем пару точек, с координатами которых удобно и легко работать, и посмотрим, какой подъем и разбег между этими двумя точками. Используйте изображение нижнего белья, если хотите. Это не поможет вам с этой проблемой, но вас никто не останавливает.

Наклон:

Пример задачи

Найдите наклон линии, показанной ниже.

Если мы попытаемся применить формулу   к вертикальной линии, у нас будут проблемы.Поскольку «пробег» между любыми двумя точками на вертикальной линии равен 0, и мы не можем делить на 0, наклон вертикальной линии не определен. Таким образом, наклон линии x = 1 не определен.

 Разумно, так как для того, чтобы бежать прямо на отвесную гору, потребуются мощные бедра. Если вы попытаетесь это сделать, вы также скоро потеряете определение.

Пример задачи

Найдите наклон проходящей линии через точки (1, 3) и (2, 7)

Мы можем найти наклон прямой, если даны любые две точки на прямой.Мы знаем, что часть линии будет выглядеть так:

Чтобы попасть из точки (1, 3) в точку (2, 7), нам нужно двигаться вправо 1 и вверх 4:

Значит наклон линии . Йоделай-хи-ху!

Пример задачи

Найдите наклон прямой, проходящей через (-3, 1) и (2, -2).

Часть линии выглядит так:

Расстояние, которое мы проходим, чтобы добраться от одного значения x до другого, равно 3 + 2 = 5, так как сначала мы должны пройти от x = -3 до х = 0, а затем от х = 0 до х = 2.У нас есть остановка на оси и , где мы можем перекусить фаст-фудом по завышенной цене, пока ждем нашей соединительной линии.

Чтобы перейти от одного значения y к другому, сначала мы переходим от y = 1 к y = 0, а затем от y = 0 к y = -2, для общий подъем -3. Еще раз, мы не могли получить прямой рейс. Ах хорошо. Это даст нам больше времени, чтобы прочитать книгу, над которой мы работали.

Таким образом, наклон этой линии равен .

Будьте осторожны: Часто делаются ошибки при расчете подъема и разбега, когда используются отрицательные координаты. Чтобы не ошибиться, рекомендуем нарисовать рисунок, который поможет в расчетах. Если искусство вам не по душе, найдите гору или забронируйте билет на самолет, чтобы воплотить в жизнь один из наших предыдущих примеров. Донести мысль таким образом будет дороже и отнять много времени, но это, безусловно, донесет идею до дома.

Итак, теперь мы можем считать наклон линии по графику или по любым двум точкам на линии.Мы хорошо себя чувствуем. Как насчет построения графика линии, если задана одна точка и наклон?

Пример задачи

Изобразите линию, проходящую через (0, 0) и имеющую наклон 2.

Начнем с рисования заданной точки:

Нам сказали, что линия имеет наклон из 2, что означает, что по мере того, как x перемещается по 1, y увеличивается на 2:

Теперь у нас есть две точки, которых достаточно, чтобы провести линию:

Отношения и определение того, является ли отношение Функция — Задача 3

Используйте тест вертикальной линии, чтобы определить, представляет ли график функцию.Если вертикальная линия перемещается по графику и в каждый момент времени касается графика только в одной точке, то график является функцией. Если вертикальная линия касается графика более чем в одной точке, то график не является функцией.

Одна из замечательных особенностей функций заключается в том, что мы знаем, что что-то является функцией, если каждый x имеет ровно один y, но иногда вам не дают баллы, вам не дают числа, все, что вам дают, это забавный график. Итак, о чем я хочу поговорить здесь, так это о том, как вы можете сказать, что что-то является функцией, просто основываясь на графике, и вы увидите, что это на самом деле довольно просто. Он использует так называемый тест вертикальной линии.

Итак, что я собираюсь сделать, так это пройтись по этим графикам и нарисовать вертикальные линии, и если они совпадают, если моя вертикальная линия пересекается с графиком более одного раза в каждой строке, тогда это не функция, потому что это представляет место, где значение x имеет два значения y.

Давайте проверим. Думайте об этом как о своем карандаше, это большой карандаш.Что бы вы сделали с графиком на бумаге, так это возьмите свой карандаш, положите его туда, а затем проведите им по графику, посмотрите, не попали ли вы в какие-либо места на этом графике, где ваш карандаш пересекает волнистую линию более чем в одном месте. И вы увидите на этом графике множество мест, посмотрите.

Я просто наткнулся на свой график, например, раз, два, три, четыре, например, 10 раз, что бы это ни было, не имеет значения, я наткнулся на него более одного раза, так что это не функция. Это значение x прямо здесь, что бы оно ни было, имеет множество значений y, есть значение y, есть еще одно, нет никого, это не функция.Каждый x получает только одно значение y.

Давайте попробуем нарисовать следующий график, используя карандаш, и убедитесь, что он вертикальный, а не горизонтальный. Вертикаль о-о! Вы можете видеть, как карандаш попадает в те места, где вертикальная линия пересекает график более чем в одном месте. Это снова означает, что x имеет два значения y, а не функцию.

Вот пара, которые немного отличаются, когда вы используете тест вертикальной линии здесь. Проверьте это, куда бы я ни двигал пером, оно пересекает график правильно только один раз, я никогда не попадаю на эту линию графика более одного раза.Итак, в этом случае да, это функция, потому что это значение x имеет только одно значение y.

Здесь очень похоже, когда я использую перо и перемещаю его вертикально по графику, я нигде не нажимаю на фигуру дважды, я нажимаю только один раз, поэтому d, да, это тоже функция.

Если вы больше ничего не помните из этого видео, надеюсь, вы помните тест на вертикальную линию. Если график проходит тест вертикальной линии, то это функция. Я имею в виду, что если вы двигаете ручкой, и она нажимает только один раз, то да, это функция, если она нажимает более одного раза, нет, это не функция.

Лично мне нравятся эти задачи. Я думаю, что они не слишком сложны, и в них не используются числа, так что это круто.

Графики и геометрия функций

Мы дадим ряд способов, которыми свойства функции  $f$ можно связать с особенностями ее графика.

1   Мы можем определить, когда множество на плоскости является графиком функции. Функции имеют свойство, состоящее в том, что для данного значения в домене назначено ровно одно целевое значение.Следует что ни одна вертикальная линия   $\displaystyle{ x=h }$   не может пересекать график функции более одного раза. Это полностью идентифицирует графики функций. 2 -5\, }$ мы имеем   $D=\mathbb{R}\;$ .В самом деле, для любого многочлен  $P(x)\,$ , областью определения  $P$ является  $D(P)=\mathbb{R}\; $ . Это потому что, как обсуждалось при описании нашей стратегии изучения многочлена, полином не имеет плохих значений   –   для любых   $h\in\mathbb{R}\,$ оценка   $P(h)$ имеет смысл.
В наших примерах рациональных функций мы видим, что вертикальные асимптоты линии   $x=h$, которые никогда не пересекаются с графиками. Пропущенные точки возникают, когда точки на вертикальных линиях, которые в противном случае встречаются кривые удаляются.2}\, }$ , упомянутых выше, имеем   $D(f)=[-1,1] \; $ .

3   Диапазон   $R(f)$   представляет собой набор значений   $k$  , для которых горизонтальная линия $y=k$ пересекает график. Если линия $y=k$ попадает на график $f$   в точке   $(h,k)\,$ , то в силу того, что   $(h,k)$   находится на графике, мы должны иметь $k=f(h)\,$ , и функция принимает значение $k$ хотя бы для одного   $x\in D(f)\; $ . 2 +4\,x}\, }$ , имеем   $R(f)=(-\infty, 1) \, \cup \, (16,\infty)\; $ . Обратите внимание, что это всего лишь предположения из графиков. Чтобы получить реальную ярость этих функций, нам нужно было бы сделать некоторый серьезный анализ самих функций.

4  Мы можем сказать, где функция принимает значение   $0$  , найдя, где линия   $y=0$ пересекает график функции. Эти точки пересечения будут иметь вид   $(a,0)\,$ , а   $a$ встречающиеся значения являются решениями   $f\,(x)=0\;$ .2 +4\,x}\, }$ , по-видимому, принимает значение   $20$   ровно для двух $x$ значения. На графике видно, что это примерно   $x=-1$   и  $x=-3\;$ .

5  Мы можем сказать, где данная функция является положительной (отрицательной), наблюдая, для каких значений   $x$   график находится выше (ниже) горизонтальной оси. Когда дело обстоит именно так, это то, что устанавливается на шаге 3 метода непрерывности.

Пример определения положительности функции

В примере, открывающем этот раздел, мы видим, что   $\displaystyle{ x^2 -5 \gt 0 }$   для $(-\infty, -\sqrt{5}) \, \cup \, (\sqrt{5},\infty) \; $ .

6  Мы говорим, что функция возрастает на интервале  $[a,b]$  в точности, если для любого $\displaystyle{ x_1 \, }$ , $\displaystyle{ \, x_2\in [a,b] }$   с   $\displaystyle{ x_1 \lt x_2\, }$ , имеем $\displaystyle{ f\,\left(x_1\right) \lt f\,\left(x_2\right)\; }$ . Оно убывает по   $[a,b]$   именно в том случае, если для любого $\displaystyle{ x_1\, }$ , $\displaystyle{ \, x_2\in [a,b] }$   с   $\displaystyle{ x_1 \lt x_2\, }$ , имеем $\displaystyle{ f\,\left(x_1\right) \gt f\,\left(x_2\right)\; }$ .Чтобы проверить, является ли функция возрастающей или убывающей на   $[a,b]\,$ , необходимо либо существенно проверить каждую пару точек между   $a$   и $b\,$ (обычно бесконечно много пар) или еще придумать какую-нибудь хитрость. Недостаточно просто проверить один пару пунктов, не давая какого-либо обоснования/объяснения используемого трюка .

Эти понятия сопровождаются красивыми картинками, которые помогают сделать их осмысленными. Возрастающие функции имеют свои графики идущие из нижнего левого угла в верхний правый, в то время как убывающие функции имеют свои графики, идущие из верхнего левого угла в нижний правый.

Функции

Функции — это очень специфические типы отношений. Перед определением функции важно определить отношение.

Отношения

Любой набор упорядоченных пар называется отношением . На рис. 1 показан набор упорядоченных пар.

А = {(–1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 4)}

Рисунок 1.График множества упорядоченных пар (–1, 1), (1, 3), (2, 2), (3, 4).

Домен и диапазон

Набор всех x называется доменом отношения. Набор всех y называется диапазоном отношения. Домен набора A на рисунке 1 — {–1, 1, 2, 3}, а диапазон набора A — {1, 2, 3, 4}.

Пример 1

Найдите домен и диапазон набора точек на рисунке 2.

Домен представляет собой набор {–2, –1, 1, 3}.Диапазон представляет собой набор {–1, 2, 3}.

Рис. 2. Нанесенные точки.

Определение функции

Отношение в примере имеет пары координат с уникальными первыми членами. Когда значение x каждой пары координат отличается, отношение называется функцией . Функция — это отношение, в котором каждый элемент домена связан ровно с одним элементом диапазона. Все функции являются отношениями, но не все отношения являются функциями. Хороший пример функционального отношения можно увидеть в линейном уравнении y = x + 1, изображенном на рис. потому что для любого значения x существует уникальное значение y.

Рисунок 3. График линейного уравнения y = x + 1.

Графики функций

В каждом случае на рис. 4 (a), (b) и (c) для любого значения x существует только одно значение y .Сравните это с графиками на рисунке 5.

Рисунок 4. Графики функций.

Графики отношений, не являющиеся функциями

В каждом из соотношений на рис. 5 (a), (b) и (c) одно значение x связано с двумя или более значениями y . Эти отношения не являются функциями.

Рисунок 5. Графики отношений, не являющихся функциями.

Определение домена, диапазона и того, является ли отношение функцией

Пример 2

Обратите внимание, что примеры 2(e) и (f) являются иллюстрациями обратных отношений : отношений, в которых домен и диапазон поменялись местами. Обратите внимание, что хотя отношение в (e) является функцией, обратное отношение в (f) ею не является.

Нахождение значений функций

Значение функции на самом деле является значением диапазона отношения. Учитывая функцию

f = {(1, –3), (2, 4), (–1, 5), (3, –2)}

значение функции в 1 равно –3, в 2 равно 4 и так далее. Это записывается как f (1) = –3 и f (2) = 4 и обычно читается как « f of 1 = –3 и f of 2 = 4».Строчная буква f использовалась здесь для обозначения понятия функции, но могла использоваться любая строчная буква.

Пример 3

Пусть ч = {(3, 1), (2, 2), (1, –2), (–2, 3)} Найдите каждое из следующих.

Пример 4

Если г ( x ) = 2 x + 1, найдите каждое из следующих чисел.

Пример 5

Если f ( x ) = 3 x ² + x –1, найдите диапазон f для домена {–2, –1, 1}.

Обзор типов графиков — Физика 132 Лабораторное руководство

В этом разделе рассматриваются различные типы графиков в целом. Мы предполагаем, что большинство из вас, вероятно, знакомы с этой информацией, поэтому не стесняйтесь ее пропустить.Тем не менее, на случай, если вам понадобится освежить в памяти материал, приведенный ниже, предоставлен из

E. Hoib, Электронная книга помощи по алгебре . Раздел 5.2 Справочник – Графики восьми основных типов функций. Copyright 2018. Используется с разрешения.

Не стесняйтесь следовать любой из ссылок для получения дополнительной информации о каждом типе графика.

Цель этого справочного раздела состоит в том, чтобы показать вам графики различных типов функций , чтобы вы могли ознакомиться с этими типами.Вы обнаружите, что у каждого типа есть свой отличительный график. Показывая несколько графиков на одном графике, вы сможете увидеть их общие черты. В этой галерее показаны примеры следующих типов функций:

В каждом случае аргумент (вход) функции называется x , а значение (выход) функции называется y .

Это функции вида:

y = m x + b ,

, где м и b — константы.Типичное использование линейных функций — преобразование одной величины или набора единиц в другую. Графики этих функций представляют собой прямых линий . м — уклон, b — точка пересечения y . Если м положительно, то линия поднимается вправо, а если м отрицательно, то прямая падает вправо. Линейные функции подробно описаны здесь.

Это функции вида:

у = а х ² + б х + с ,

, где a , b и c — константы.Их графики называются параболами . Это следующий простейший тип функции после линейной функции. Падающие предметы движутся по параболическим траекториям. Если a — положительное число, то парабола открывается вверх, а если a — отрицательное число, то парабола открывается вниз. Квадратичные функции подробно описаны здесь.

Это функции вида:

y = a x   ^b ,

, где a и b — константы.Они получили свое название из-за того, что переменная x возведена в некоторую степень. Многие физические законы (например, гравитационная сила как функция расстояния между двумя объектами или изгиб балки как функция нагрузки на нее) имеют форму степенных функций. Предположим, что a = 1, и рассмотрим несколько случаев для b ниже. Функция мощности подробно обсуждается здесь.

Степень

См. график ниже.Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Когда x большое и положительное, они все большие и положительные. Когда x большое и отрицательное, то числа с четными степенями большие и положительные, а числа с нечетными степенями большие и отрицательные.

Степень

См. график справа. Когда x = 0, эти функции подвергаются делению на ноль и, следовательно, все бесконечны. Когда x большое и положительное, они маленькие и положительное.Когда x большое и отрицательное, то числа с четными степенями маленькие и положительные, а числа с нечетными степенями маленькие и отрицательные.

Степень

См. график ниже. Когда x = 0, все эти функции равны нулю. Кривые вертикальны в начале координат, и по мере увеличения x они увеличиваются, но изгибаются к оси x .

Это функции вида:

Y = _{N N} · N + + N -1 N -1 N -1

4 N -1 + … + A ₂  ·  x  ² + a ₁  ·  x + a ₀ ,

Где _{N , ,} , _{N -1} , . .., A ₂ , A ₁ , A ₀ — это константы.Допускаются только целые степени x . Наивысшая степень x , которая встречается, называется степенью многочлена. На графике показаны примеры полиномов степени 4 и степени 5. Степень дает максимальное количество « подъемов и спадов», которые может иметь полином, а также максимальное количество пересечений оси x , которые он может иметь.

Полиномы полезны для создания гладких кривых в приложениях компьютерной графики и для аппроксимации других типов функций.Полиномы подробно описаны здесь.

Это функции вида:

y = a b   ^x ,

, где x находится в степени (а не в основании, как в случае со степенными функциями), а a и b являются константами. (Обратите внимание, что только b возводится в степень x , а не a . ) Если основание b больше 1, то результатом будет экспоненциальный рост.Многие физические величины растут экспоненциально (например, популяция животных и наличные деньги на процентном счете).

Если основание b меньше 1, результатом будет экспоненциальное затухание. Многие величины затухают экспоненциально (например, количество солнечного света, достигающего заданной глубины океана, и скорость объекта, замедляющегося из-за трения).

Экспоненциальные функции подробно описаны здесь.

Существует множество эквивалентных способов определения логарифмических функций.Мы определим их в виде:

y = a ln ( x ) + b ,

или

y = a log ( x ) +  b ,

, где x — натуральный логарифм, а a и b — константы. Они определены только для положительных x . Для маленьких x они отрицательны, а для больших x они положительны, но остаются маленькими.Логарифмические функции точно описывают реакцию человеческого уха на звуки различной громкости и реакцию человеческого глаза на свет различной яркости. Логарифмические функции подробно описаны здесь.

Это функции вида:

y = a  sin ( b x + c ),

или

y = a cos ( b x + c ),

, где a , b и c — константы.Синусоидальные функции полезны для описания всего, что имеет форму волны относительно положения или времени. Примерами являются волны на воде, высота прилива в течение дня и переменный ток в электричестве. Параметр a (называемый амплитудой) влияет на высоту волны, b (угловая скорость) влияет на ширину волны, а c (фазовый угол) сдвигает волну влево или вправо.