Касательная в точке – Калькулятор онлайн — Уравнение прямой касательной к графику функции в точке (с подробным решением)

Posted on by alexxlab

Касательная — это… Что такое Касательная?

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Определение

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку (x0,f(x0)). Угол α между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

\operatorname{tg}\,\alpha = f

где \operatorname{tg} обозначает тангенс, а \operatorname {k}

 — коэффициент наклона касательной. Производная в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

\operatorname {k}

Пусть f\colon U(x_0) \to \R и x_1 \in U(x_0). Тогда прямая линия, проходящая через точки (x0,f(x0)) и (x1,f(x1)) задаётся уравнением

y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}(x-x_0).

Эта прямая проходит через точку (x

0,f(x0)) для любого x_1\in U(x_0), и её угол наклона α(x1) удовлетворяет уравнению

\operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}.

В силу существования производной функции f в точке x0, переходя к пределу при x_1 \to x_0, получаем, что существует предел

\lim\limits_{x_1 \to x_0} \operatorname{tg}\,\alpha(x_1) = f

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

\alpha = \operatorname{arctg}\,f

Прямая, проходящая через точку (x0,f(x0)) и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий \operatorname{tg}\,\alpha = f задаётся уравнением касательной:

y = f(x0) + f‘(x0)(x − x0).

Касательная к окружности

\operatorname{tg}\,\alpha = f

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
  2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. tangens — «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

y = f(x_0) + f
  • Если существует левая производная f то ле́вой полукаса́тельной к графику функции f в точке x0 называется луч
y = f(x_0) + f
  • Если существует бесконечная правая производная f то правой полукасательной к графику функции f в точке x0 называется луч
x = x_0, \; y \geqslant f(x_0)\; (y \leqslant f(x_0)).
  • Если существует бесконечная левая производная f то правой полукасательной к графику функции f в точке x0 называется луч
x = x_0, \; y \leqslant f(x_0)\; (y \geqslant f(x_0)).

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.

dic.academic.ru

Касательная прямая — это… Что такое Касательная прямая?

График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая)

Каса́тельная пряма́я — прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.

Строгое определение

Замечание

Прямо из определения следует, что график касательной прямой проходит через точку . Угол между касательной к кривой и осью Ох удовлетворяет уравнению

где обозначает тангенс, а  — коэффициент наклона касательной. Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Касательная как предельное положение секущей

Derivative-SVG.svg

Пусть и Тогда прямая линия, проходящая через точки и задаётся уравнением

Эта прямая проходит через точку для любого и её угол наклона удовлетворяет уравнению

В силу существования производной функции в точке переходя к пределу при получаем, что существует предел

а в силу непрерывности арктангенса и предельный угол

Прямая, проходящая через точку и имеющая предельный угол наклона, удовлетворяющий задаётся уравнением касательной:

Касательная к окружности

Отрезки касательных

Прямая, имеющая одну общую точку с окружностью и лежащая с ней в одной плоскости, называется касательной к окружности.

Свойства

  1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.
  2. Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.
  3. Длина отрезка касательной, проведённой к окружности единичного радиуса, взятого между точкой касания и точкой пересечения касательной с радиусом, является тангенсом угла между этим радиусом и направлением от центра окружности на точку касания. «Тангенс» от лат. 
    tangens     — «касательная».

Вариации и обобщения

Односторонние полукасательные

  • Если существует бесконечная правая производная то правой полукасательной к графику функции в точке называется луч
  • Если существует бесконечная левая производная то правой полукасательной к графику функции в точке называется луч

См. также

Литература

dic.academic.ru

37. Точки перегиба. Критерий. Касательная в точке перегиба.

Опр.Точка

графика функции называетсяточкой перегибаэтого графика, если существует такая окрестность точкисоси абсцисс, в пределах которой график функции слева и справа отсимеет разные направления выпуклости.

Иногда при определении точки перегиба графика функции дополнительно требуют, чтобы этот график всюду в пределах достаточно малой окрестности точки с оси абсцисс слева и справа от с лежал по разные стороны от касательной к этому графику в точке .

Точки отделяющие выпуклую вверх часть кривой от выпуклой вниз (или наоборот) называются точками перегиба, в точках перегиба касательная пересекает кривую.

Th. Если ф-яy=f(x) во всех точках (a;b) имеет отрицательную вторую производную т.е.fII<0, то график ф-ии на этом интервале выпуклый вверх. ЕслиfII>0, то он выпуклый вниз.

Достаточное условие существования точек перегиба.

Если fII(x) при переходе черезx0в которой она равна 0 или не существует, меняет знак то точка графика с абсциссойx0есть точка перегиба.

ПРИМЕР:

y=x5-x+5

yI=5x 4-1

yII=20x3

20x3=0

x=0

График выпуклый вверх в интервале (-;0), график вогнутый на (0; +), (0;5) – точка перегиба.

Th. (необх. усл-е сущ-е точки перегиба). Если в точке есть перегиб у дважды дифф-й ф-ции, тоf”(c)=0/

f”(c)-не полож-е, не отриц-е, значит 0

f(x)=x4

c=0

f”(x)=12x2

f”(c)-усл-е необх-е, но не дост-е.

(дост. усл. т. перегиба) Если ф-ция дважды дифф-ма в окр т.с, то с-точка перегиба, меняет знак.

38. Вертикальные и наклонные асимптоты графика функции.

Определение наклонной асимптоты к графику функции.

Опр.Говорят, что прямая (1)

является наклонной асимптотойграфика функциипри, если функцияf(x) представима в виде , где (2)

Опр. Говорят, что прямая x = a является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы одно из предельных значений

или равно + или —.

Опр. Часть графика называется бесконечной ветвью если при движении точки по этой части, расстояние между ей и началом координат стремится к бесконечности.

Опр.Прямая называется асимптотой бесконечной ветви графика функции, если при удалении точки от начала координат по этой ветви, расстояние до данной прямой стремится к нулю.

Теорема 1:x=a(вертикальная прямая) – является асимптотой для бесконечно вертикальной ветви графика функцииy=f(x), тогда когдаf(x), приxa.

Теорема 2:Критерий существования наклонной асимптоты прямаяy=kx+bявляется асимптотой для правой (левой) ветви графика функции тогда, когда существует предел при :

Док-во:ТочкаM0(x0,y0) и прямая

L:Ax+By+Cz=0, то расстояние

Пустьy=kx+b

асимптота =>

d(M,l)0=>

kx-f(x)+b0

тогда f(x)-kxb

при x+

существует предел:

Теорема: Необходимый признак существования наклонной асимптоты.Если прямаяl:y=kx+b

наклонная асимп. для правой наклонной ветви, то:

Док-во:

Пример:

x=1 – верт. Асимптота, т.к.

f(x), когдаx1

Вывод:y=0y+1 – наклонная асимптота для левой и правой ветви.

Для отыскания вертикальной асимптоты нужно найти х вблизи которого функция f(x) возрастает по модулю. Обычно это точки разрыва второго рода.

Если хотя бы один из этих пределов не существует, то кривая асимптоты не имеет. Если k=0,bимеет конечное значение, то асимптота наз-ся горизонтальной.

studfile.net

касательная к кривой — это… Что такое касательная к кривой?


касательная к кривой
мат. tangent to curve

Большой англо-русский и русско-английский словарь. 2001.

  • касательная дуга
  • касательная к окружности

Смотреть что такое «касательная к кривой» в других словарях:

  • Касательная к кривой — График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая) Касательная прямая  прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка. Содержание 1 Определение 2 Замечание …   Википедия

  • КАСАТЕЛЬНАЯ К КРИВОЙ ЛИНИИ — (см. рис.) предельное положение (см.), проходящей через данную точку кривой М и другую М, стремящуюся к ней точку кривой. (N нормаль к предельному положению секущей.) …   Большая политехническая энциклопедия

  • Касательная — Касательная. КАСАТЕЛЬНАЯ прямая к кривой l в точке M, предельное положение MT, к которому стремится секущая MM’ при приближении точки M’ к точке M.   …   Иллюстрированный энциклопедический словарь

  • Касательная — прямая, с которою стремится совпасть секущая,проведенная через две точки на произвольной кривой, по мере сближенияэтих точек. Математическая теория К. имеет весьма важное значение.Точка, через которую к кривой линии проведена К., называется… …   Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

  • КАСАТЕЛЬНАЯ — прямая к кривой L в точке M предельное положение (на рисунке MT), к которому стремится секущая ММ? при приближении точки М? к точке М …   Большой Энциклопедический словарь

  • КАСАТЕЛЬНАЯ — КАСАТЕЛЬНАЯ, касательной, жен. (мат.). Прямая линия, имеющая одну общую точку с кривой. Провести касательную к кругу. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

  • Касательная плоскость — Пример простой поверхности Поверхность традиционное название для двумерного многообразия в пространстве. Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений: Если функция непрерывна в… …   Википедия

  • Касательная —         к кривой линии, предельное положение секущей. К. определяется так. Пусть М точка кривой L (рис. 1). Выберем на L вторую точку M и проведём прямую MM . Будем считать М неподвижной, а точку M приближать к М по кривой L. Если при… …   Большая советская энциклопедия

  • Касательная прямая — График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая) Касательная прямая  прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью …   Википедия

  • Касательная — График функции (чёрная кривая) и касательная прямая (красная прямая) Касательная прямая  прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка. Содержание 1 Определение 2 Замечание …   Википедия

  • касательная — ой; ж. Матем. Прямая, имеющая общую точку с кривой, но не пересекающая её. Провести касательную к окружности. * * * касательная прямая к кривой L в точке М, предельное положение (на рисунке МТ), к которому стремится секущая ММ при приближении… …   Энциклопедический словарь


dic.academic.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *