Решите неравенство cos(x)^2-cos(x)
Дано неравенство:$$\cos^{2}{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos^{2}{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} = 0$$
преобразуем
$$\left(\cos{\left (x \right )} — 1\right) \cos{\left (x \right )} = 0$$
$$\cos^{2}{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 0$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(-1)^2 - 4 * (1) * (0) = 1
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = 1$$
$$w_{2} = 0$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (1 \right )}$$
$$x_{1} = \pi n$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (1 \right )}$$
$$x_{3} = \pi n — \pi$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} — \pi$$
$$x_{4} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$x_{4} = \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
Данные корни
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{4} = 2 \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10}$$
подставляем в выражение
$$\cos^{2}{\left (x \right )} — \cos{\left (x \right )}
2 cos (-1/10) - cos(-1/10)2 cos (1/10) - cos(1/10)
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x_____ _____ _____ \ / \ / -------ο-------ο-------ο-------ο------- x1 x2 x3 x4
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \frac{\pi}{2} \wedge x $$x > 2 \pi$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство cos(x)^2>0 (косинус от (х) в квадрате больше 0)
Дано неравенство:$$\cos^{2}{\left (x \right )} > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$\cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$\cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
преобразуем
$$\cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
$$\cos^{2}{\left (x \right )} = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = 0$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(0)^2 - 4 * (1) * (0) = 0
Т.к. D = 0, то корень всего один.
w = -b/2a = -0/2/(1)
$$w_{1} = 0$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} — \pi$$
$$x_{2} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (0 \right )}$$
$$x_{2} = \pi n — \frac{\pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
Данные корни
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{3 \pi}{2}$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{1} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
подставляем в выражение
$$\cos^{2}{\left (x \right )} > 0$$
$$\cos^{2}{\left (- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2} \right )} > 0$$
2 sin (1/10) > 0
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
_____ _____ \ / -------ο-------ο------- x1 x2
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \frac{3 \pi}{2}$$
www.kontrolnaya-rabota.ru
Решите неравенство 10*cos(x)^2+3*cos(x)-1>0 (10 умножить на косинус от (х) в квадрате плюс 3 умножить на косинус от (х) минус 1 больше 0)
Дано неравенство:$$10 \cos^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} — 1 > 0$$
Чтобы решить это нер-во — надо сначала решить соотвествующее ур-ние:
$$10 \cos^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Решаем:
Дано уравнение
$$10 \cos^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} — 1 = 0$$
преобразуем
$$10 \cos^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} — 1 = 0$$
$$10 \cos^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} — 1 = 0$$
Сделаем замену
$$w = \cos{\left (x \right )}$$
Это уравнение вида
a*w^2 + b*w + c = 0
Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} — b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} — b}{2 a}$$
где D = b^2 — 4*a*c — это дискриминант.
Т.к.
$$a = 10$$
$$b = 3$$
$$c = -1$$
, то
D = b^2 - 4 * a * c =
(3)^2 - 4 * (10) * (-1) = 49
Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.
w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)
w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)
или
$$w_{1} = \frac{1}{5}$$
$$w_{2} = — \frac{1}{2}$$
делаем обратную замену
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
Дано уравнение
$$\cos{\left (x \right )} = w$$
— это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
Или
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w \right )} — \pi$$
, где n — любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{2} = \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{1} \right )} — \pi$$
$$x_{3} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
$$x_{3} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left (w_{2} \right )} — \pi$$
$$x_{4} = \pi n — \pi + \operatorname{acos}{\left (- \frac{1}{2} \right )}$$
$$x_{4} = \pi n — \frac{\pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{3} = — \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )} + 2 \pi$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{3} = — \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )} + 2 \pi$$
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
Данные корни
$$x_{4} = \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
$$x_{1} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{4 \pi}{3}$$
$$x_{3} = — \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )} + 2 \pi$$
являются точками смены знака неравенства в решениях.
Сначала определимся со знаком до крайней левой точки:
$$x_{0} Возьмём например точку
$$x_{0} = x_{4} — \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )}$$
подставляем в выражение
$$10 \cos^{2}{\left (x \right )} + 3 \cos{\left (x \right )} — 1 > 0$$
2 10*cos (acos(1/5) - 1/10) + 3*cos(acos(1/5) - 1/10) - 1 > 0
2 -1 + 3*cos(1/10 - acos(1/5)) + 10*cos (1/10 - acos(1/5)) > 0
значит одно из решений нашего неравенства будет при:
$$x
_____ _____ _____ \ / \ / -------ο-------ο-------ο-------ο------- x4 x1 x2 x3
Другие решения неравенства будем получать переходом на следующий полюс
и т.д.
Ответ:
$$x $$x > \frac{2 \pi}{3} \wedge x $$x > — \operatorname{acos}{\left (\frac{1}{5} \right )} + 2 \pi$$
www.kontrolnaya-rabota.ru