Когда производная функции положительна на графике: График производной функции

Содержание

Задачи 7 ЕГЭ профильная математика

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−4;6). Найдите точку экстремума функции f (x), принадлежащую отрезку (−3;5).
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график функции y = f (x) и двенадцать точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10, x11, x12. В скольких из этих точек производная функции f (x) отрицательна?
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график функции y = f (x) и восемь точек на оси абсцисс: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8.
    В скольких из этих точек производная функции f (x) положительна?
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x). На оси абсцисс отмечены восемь точек x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f (x)?
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале
    (−9;10). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−5;11). В какой точке отрезка [−4;10] функция f (x) принимает наименьшее значение?
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график функции y = f (x). Определите количество целых точек на интервале (−8;10), в которых производная функции положительна.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−5;11). В какой точке отрезка [−4;10] функция f (x) принимает наибольшее значение?
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график функции y = f (x). Определите количество точек экстремума на интервале (−1;10).
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−7;8). Найдите точку максимума функции f (x) на отрезке [−3;5].
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−7;8). Найдите точку минимума функции f (x) на отрезке [−3;5].
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−5;6). Найдите количество точек максимума функции f (x) на интервале (−5;6).
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−5;6). Найдите количество точек экстремума функции f (x) на интервале (−5;6).
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−5;6). Найдите промежутки убывания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−5;6). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−5;6). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−5;6). Найдите количество точек, в которых производная функции f (x) равна 0.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−4;6). Найдите количество точек экстремума функции f (x) на интервале (−4;6).

  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−4;6). Найдите количество точек максимума функции f (x) на интервале (−4;6).
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−4;6). Найдите количество целых точек на интервале (−4;6), в которых функция f (x) возрастает.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−2;8). Найдите количество целых точек на интервале (−2;8), в которых функция f (x) убывает.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−2;7). Найдите промежутки убывания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−3;7). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−3;7). Найдите количество точек экстремума функции f (x) на интервале (−3;7).
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−3;7). Найдите количество точек минимума функции f (x) на интервале (−3;7).
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−3;7). Найдите количество целых точек на интервале (−3;7), в которых функция f (x) возрастает.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−3;7). Найдите количество целых точек на интервале (−3;7), в которых функция f (x) убывает.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−3;7). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−3;7). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите их количество.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−4;5). Найдите количество точек экстремума функции f (x) на интервале (−4;5).
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−4;6). Найдите промежутки убывания функции f (x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−4;6). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график y = f ′(x) — производной функции y = f (x), определенной на интервале (−3;7). Найдите промежутки убывания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале
    (−6;7). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график функции y = f (x). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале
    (−3;5). Определите количество точек экстремума на интервале (−3;5).
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале
    (−6;5). Определите количество точек минимума на интервале (−6;5).
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале
    (−6;7). Определите количество точек максимума на интервале (−6;7).
  • посмотреть ответ

  • На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале
    (−6;5). Определите количество точек минимума на интервале (−1;4).
  • посмотреть ответ

    Подготовка к ЕГЭ по математике.

    Тест «Применение производной (прототипы задания В8)» в двух вариантах — Контрольные, тесты… — Алгебра — Точные науки — Методическая библиотека

    Задания данного теста соответствуют теории по теме «Производная и ее применение». Тест предназначен для проверки знаний, умений и навыков учащихся 10 – 11 классов по теме «Применение производной». В тесте представлены два варианта, в каждом из которых десять заданий, прототипов задачи типа В8 ЕГЭ. К тесту прилагаются ответы и указания к решению заданий. Данная задача В8 на применение производной. В задачи дан либо график функции, либо график производной функции. Если задан график функции, то найти необходимо максимумы функции, минимумы, промежутки монотонности…, если задан график производной функции, то найти требуется то, что относится к графику функции, чаще всего это количество целых точек, в которых производная положительна или отрицательна. Задача №2 данного теста на нахождение точек экстремума по графику производной. В момент, когда график функции убывает, график производной функции меньше нуля, в момент, когда график функции возрастает — производная больше нуля, в момент, когда график функции находится в своем минимуме или максимуме (эти точки называются экстремумы — производная равна нулю. Задача №3,4,8 на нахождение промежутков монотонности (убывания и возрастания функций) по графику производной и с обратной задачей: нахождение по графику функции промежутков, в которых производная положительна или отрицательна (знакопостоянства графика производной функции). Задача №5 на нахождение точек, в которых касательная будет параллельна заданному графику прямой (на графиках функции и ее производной). Таких заданий всего два типа. В первом случае задан график функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо просто подсчитать все точки максимумов и минимумов на заданном промежутке. Во втором случае задан график производной функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо: 1. Найти угловой коэффициент касательной. Это можно сделать двумя способами: • Найти производную функции графика прямой, это и есть угловой коэффициент прямой; • Взять число, которое стоит перед Х в уравнении, например, если y=2х+5, то угловой коэффициент равен 2, если y=-х+3, то угловой коэффициент равен -1 2. провести прямую параллельно оси ОХ через точку на оси ОY, равную угловому коэффициенту прямой. 3. Подсчитать количество точек пересечения этой прямой с графиком производной функции. Задача №7 на нахождение наибольших и наименьших значений графика функции на заданном промежутке. Здесь важно понять, что если график функции возрастает, то первое значение отрезка, на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наименьшим, а второе — наибольшим и наоборот, если график функции убывает, то первое значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наибольшим, а второе — наименьшим. Задание №9 на нахождение значения производной в заданной точке на графике функции.

    Получите доступ ко всем материалам

    Полный и неограниченный доступ ко всем материалам методической библиотеки на год с момента подачи и оплаты заявки. Доступ стоит 500 руб в год

    Если Вы уже подавали заявку – тогда войдите или зарегистрируйтесь на сайте под тем же email-адресом, на который оформляли доступ

    Также доступ ко всем материалам получают БЕСПЛАТНО

    Участники международного клуба учителей

    БЕСПЛАТНО

    Участники клуба получают множество привилегий включая бесплатное прохождение любых курсов КПК и переподготовки (оплачивается только изготовление и отправка документов), бесплатные сертификаты, благодарственные письма, стажировки зарубеж, помощь в прохождении аттестации, юридическую помощь и многое другое.

    Узнать подробнее о клубе

    Наши постоянные пользователи

    БЕСПЛАТНО

    Если Вы проходили профессиональную переподготовку (1 любой курс) или повышение квалификации (2 любых курса) в 2020-м году – Вы как наш постоянный клиент получаете много преимуществ, включая бесплатный доступ к трансляциям, получению сертификатов и многому другому.

    Узнать подробнее о программе

    Задание № 7. Производная функции. ЕГЭ . Математика.

          БАЗА ЗАДАНИЙ

    Задание № 7. Производная функции.

    1. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    2. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой  x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке  x0.

    3. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    4. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    5. На рисунке изображены график дифференцируемой функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0..

    6. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    7. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    8. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    9. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    10. На рисунке изображены график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

    11. На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите значение производной в точке 8.

    12. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 5; 5). Найдите точку из отрезка [− 2; 4], в которой производная функции f(x) равна 0.

    13. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (1; 10). Найдите точку из отрезка [2; 6], в которой производная функции f(x) равна 0.

    14. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 11; − 2). Найдите точку из отрезка [− 10; − 4], в которой производная функции f(x) равна 0.

    15. На рисунке изображён график дифференцируемой функции y=f(x), определённой на интервале (− 11; − 1). Найдите точку из отрезка [− 7; − 2], в которой производная функции f(x) равна 0.

    16.  На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой на интервале  (− 5; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

    17. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой  на интервале  (− 5; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

    18. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой  на интервале  (− 3; 8). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.

    19. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой  на  интервале (− 6; 6). Найдите количество решений уравнения f '(x)=0  на  отрезке  [− 4,5; 2,5].

    20. На рисунке изображён график функции  y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (2; 13). Найдите точку максимума функции f(x).

    21. На рисунке изображён график функции y=f '(x)  — производной функции f(x), определённой на интервале (− 6; 3). Найдите точку минимума функции f(x).

    22. На рисунке изображён график функции  y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (1; 10). Найдите точку минимума функции f(x).

    23. На рисунке изображён график функции  y=f '(x) — производной функции f(x), определённой на интервале (− 5; 5). Найдите точку максимума функции f(x).

    24. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой  на  интервале (− 7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

    25. На рисунке изображён график функции y=f(x), определённой  на  интервале (− 7; 7). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

    Когда значение производной функции отрицательны. Производная функции. Геометрический смысл производной. Задачи на определение характеристик производной по графику функции

    В задаче B9 дается график функции или производной, по которому требуется определить одну из следующих величин:

    1. Значение производной в некоторой точке x 0 ,
    2. Точки максимума или минимума (точки экстремума),
    3. Интервалы возрастания и убывания функции (интервалы монотонности).

    Функции и производные, представленные в этой задаче, всегда непрерывны, что значительно упрощает решение. Не смотря на то, что задача относится к разделу математического анализа, она вполне по силам даже самым слабым ученикам, поскольку никаких глубоких теоретических познаний здесь не требуется.

    Для нахождения значения производной, точек экстремума и интервалов монотонности существуют простые и универсальные алгоритмы — все они будут рассмотрены ниже.

    Внимательно читайте условие задачи B9, чтобы не допускать глупых ошибок: иногда попадаются довольно объемные тексты, но важных условий, которые влияют на ход решения, там немного.

    Вычисление значения производной. Метод двух точек

    Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x 0 , и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий алгоритм:

    1. Найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Обозначим эти точки A (x 1 ; y 1) и B (x 2 ; y 2). Правильно выписывайте координаты — это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.
    2. Зная координаты, легко вычислить приращение аргумента Δx = x 2 − x 1 и приращение функции Δy = y 2 − y 1 .
    3. Наконец, находим значение производной D = Δy/Δx. Иными словами, надо разделить приращение функции на приращение аргумента — и это будет ответ.

    Еще раз отметим: точки A и B надо искать именно на касательной, а не на графике функции f(x), как это часто случается. Касательная обязательно будет содержать хотя бы две таких точки — иначе задача составлена некорректно.

    Рассмотрим точки A (−3; 2) и B (−1; 6) и найдем приращения:
    Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

    Найдем значение производной: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

    Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

    Рассмотрим точки A (0; 3) и B (3; 0), найдем приращения:
    Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

    Теперь находим значение производной: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

    Задача. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0 . Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0 .

    Рассмотрим точки A (0; 2) и B (5; 2) и найдем приращения:
    Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

    Осталось найти значение производной: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

    Из последнего примера можно сформулировать правило: если касательная параллельна оси OX, производная функции в точке касания равна нулю. В этом случае даже не надо ничего считать — достаточно взглянуть на график.

    Вычисление точек максимума и минимума

    Иногда вместо графика функции в задаче B9 дается график производной и требуется найти точку максимума или минимума функции. При таком раскладе метод двух точек бесполезен, но существует другой, еще более простой алгоритм. Для начала определимся с терминологией:

    1. Точка x 0 называется точкой максимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≥ f(x).
    2. Точка x 0 называется точкой минимума функции f(x), если в некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство: f(x 0) ≤ f(x).

    Для того чтобы найти точки максимума и минимума по графику производной, достаточно выполнить следующие шаги:

    1. Перечертить график производной, убрав всю лишнюю информацию. Как показывает практика, лишние данные только мешают решению. Поэтому отмечаем на координатной оси нули производной — и все.
    2. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Если для некоторой точки x 0 известно, что f’(x 0) ≠ 0, то возможны лишь два варианта: f’(x 0) ≥ 0 или f’(x 0) ≤ 0. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, значит f’(x) ≥ 0. И наоборот, если график производной проходит под осью OX, то f’(x) ≤ 0.
    3. Снова проверяем нули и знаки производной. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо.

    Эта схема работает только для непрерывных функций — других в задаче B9 не встречается.

    Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−5; 5]. Найдите точку минимума функции f(x) на этом отрезке.

    Избавимся от лишней информации — оставим только границы [−5; 5] и нули производной x = −3 и x = 2,5. Также отметим знаки:

    Очевидно, в точке x = −3 знак производной меняется с минуса на плюс. Это и есть точка минимума.

    Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7]. Найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

    Перечертим график, оставив на координатной оси только границы [−3; 7] и нули производной x = −1,7 и x = 5. Отметим на полученном графике знаки производной. Имеем:

    Очевидно, в точке x = 5 знак производной меняется с плюса на минус — это точка максимума.

    Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−6; 4]. Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [−4; 3].

    Из условия задачи следует, что достаточно рассмотреть только часть графика, ограниченную отрезком [−4; 3]. Поэтому строим новый график, на котором отмечаем только границы [−4; 3] и нули производной внутри него. А именно, точки x = −3,5 и x = 2. Получаем:

    На этом графике есть лишь одна точка максимума x = 2. Именно в ней знак производной меняется с плюса на минус.

    Небольшое замечание по поводу точек с нецелочисленными координатами. Например, в последней задаче была рассмотрена точка x = −3,5, но с тем же успехом можно взять x = −3,4. Если задача составлена корректно, такие изменения не должны влиять на ответ, поскольку точки «без определенного места жительства» не принимают непосредственного участия в решении задачи. Разумеется, с целочисленными точками такой фокус не пройдет.

    Нахождение интервалов возрастания и убывания функции

    В такой задаче, подобно точкам максимума и минимума, предлагается по графику производной отыскать области, в которых сама функция возрастает или убывает. Для начала определим, что такое возрастание и убывание:

    1. Функция f(x) называется возрастающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Другими словами, чем больше значение аргумента, тем больше значение функции.
    2. Функция f(x) называется убывающей на отрезке если для любых двух точек x 1 и x 2 из этого отрезка верно утверждение: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Т.е. большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

    Сформулируем достаточные условия возрастания и убывания:

    1. Для того чтобы непрерывная функция f(x) возрастала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была положительна, т.е. f’(x) ≥ 0.
    2. Для того чтобы непрерывная функция f(x) убывала на отрезке , достаточно, чтобы ее производная внутри отрезка была отрицательна, т. е. f’(x) ≤ 0.

    Примем эти утверждения без доказательств. Таким образом, получаем схему для нахождения интервалов возрастания и убывания, которая во многом похожа на алгоритм вычисления точек экстремума:

    1. Убрать всю лишнюю информацию. На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому оставим только их.
    2. Отметить знаки производной на интервалах между нулями. Там, где f’(x) ≥ 0, функция возрастает, а где f’(x) ≤ 0 — убывает. Если в задаче установлены ограничения на переменную x, дополнительно отмечаем их на новом графике.
    3. Теперь, когда нам известно поведение функции и ограничения, остается вычислить требуемую в задаче величину.

    Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−3; 7,5]. Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых чисел, входящих в эти промежутки.

    Как обычно, перечертим график и отметим границы [−3; 7,5], а также нули производной x = −1,5 и x = 5,3. Затем отметим знаки производной. Имеем:

    Поскольку на интервале (− 1,5) производная отрицательна, это и есть интервал убывания функции. Осталось просуммировать все целые числа, которые находятся внутри этого интервала:
    −1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

    Задача. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на отрезке [−10; 4]. Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

    Избавимся от лишней информации. Оставим только границы [−10; 4] и нули производной, которых в этот раз оказалось четыре: x = −8, x = −6, x = −3 и x = 2. Отметим знаки производной и получим следующую картинку:

    Нас интересуют промежутки возрастания функции, т.е. такие, где f’(x) ≥ 0. На графике таких промежутков два: (−8; −6) и (−3; 2). Вычислим их длины:
    l 1 = − 6 − (−8) = 2;
    l 2 = 2 − (−3) = 5.

    Поскольку требуется найти длину наибольшего из интервалов, в ответ записываем значение l 2 = 5.

    Производная функции — одна из сложных тем в школьной программе. Не каждый выпускник ответит на вопрос, что такое производная.

    В этой статье просто и понятно рассказано о том, что такое производная и для чего она нужна . Мы не будем сейчас стремиться к математической строгости изложения. Самое главное — понять смысл.

    Запомним определение:

    Производная — это скорость изменения функции.

    На рисунке — графики трех функций. Как вы думаете, какая из них быстрее растет?

    Ответ очевиден — третья. У нее самая большая скорость изменения, то есть самая большая производная.

    Вот другой пример.

    Костя, Гриша и Матвей одновременно устроились на работу. Посмотрим, как менялся их доход в течение года:

    На графике сразу все видно, не правда ли? Доход Кости за полгода вырос больше чем в два раза. И у Гриши доход тоже вырос, но совсем чуть-чуть. А доход Матвея уменьшился до нуля. Стартовые условия одинаковые, а скорость изменения функции, то есть производная , — разная. Что касается Матвея — у его дохода производная вообще отрицательна.

    Интуитивно мы без труда оцениваем скорость изменения функции. Но как же это делаем?

    На самом деле мы смотрим, насколько круто идет вверх (или вниз) график функции. Другими словами — насколько быстро меняется у с изменением х. Очевидно, что одна и та же функция в разных точках может иметь разное значение производной — то есть может меняться быстрее или медленнее.

    Производная функции обозначается .

    Покажем, как найти с помощью графика.

    Нарисован график некоторой функции . Возьмем на нем точку с абсциссой . Проведём в этой точке касательную к графику функции. Мы хотим оценить, насколько круто вверх идет график функции. Удобная величина для этого — тангенс угла наклона касательной .

    Производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику функции в этой точке.

    Обратите внимание — в качестве угла наклона касательной мы берем угол между касательной и положительным направлением оси .

    Иногда учащиеся спрашивают, что такое касательная к графику функции. Это прямая, имеющая на данном участке единственную общую точку с графиком, причем так, как показано на нашем рисунке. Похоже на касательную к окружности.

    Найдем . Мы помним, что тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Из треугольника :

    Мы нашли производную с помощью графика, даже не зная формулу функции. Такие задачи часто встречаются в ЕГЭ по математике под номером .

    Есть и другое важное соотношение. Вспомним, что прямая задается уравнением

    Величина в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой . Она равна тангенсу угла наклона прямой к оси .

    .

    Мы получаем, что

    Запомним эту формулу. Она выражает геометрический смысл производной.

    Производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

    Другими словами, производная равна тангенсу угла наклона касательной.

    Мы уже сказали, что у одной и той же функции в разных точках может быть разная производная. Посмотрим, как же связана производная с поведением функции.

    Нарисуем график некоторой функции . Пусть на одних участках эта функция возрастает, на других — убывает, причем с разной скоростью. И пусть у этой функции будут точки максимума и минимума.

    В точке функция возрастает. Касательная к графику, проведенная в точке , образует острый угол с положительным направлением оси . Значит, в точке производная положительна.

    В точке наша функция убывает. Касательная в этой точке образует тупой угол с положительным направлением оси . Поскольку тангенс тупого угла отрицателен, в точке производная отрицательна.

    Вот что получается:

    Если функция возрастает, ее производная положительна.

    Если убывает, ее производная отрицательна.

    А что же будет в точках максимума и минимума? Мы видим, что в точках (точка максимума) и (точка минимума) касательная горизонтальна. Следовательно, тангенс угла наклона касательной в этих точках равен нулю, и производная тоже равна нулю.

    Точка — точка максимума. В этой точке возрастание функции сменяется убыванием. Следовательно, знак производной меняется в точке с «плюса» на «минус».

    В точке — точке минимума — производная тоже равна нулю, но ее знак меняется с «минуса» на «плюс».

    Вывод: с помощью производной можно узнать о поведении функции всё, что нас интересует.

    Если производная положительна, то функция возрастает.

    Если производная отрицательная, то функция убывает.

    В точке максимума производная равна нулю и меняет знак с «плюса» на «минус».

    В точке минимума производная тоже равна нулю и меняет знак с «минуса» на «плюс».

    Запишем эти выводы в виде таблицы:

    возрастает точка максимума убывает точка минимума возрастает
    + 0 0 +

    Сделаем два небольших уточнения. Одно из них понадобится вам при решении задач ЕГЭ. Другое — на первом курсе, при более серьезном изучении функций и производных.

    Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая :

    В точке касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки функция возрастала — и после точки продолжает возрастать. Знак производной не меняется — она как была положительной, так и осталась.

    Бывает и так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно.

    А как найти производную, если функция задана не графиком, а формулой? В этом случае применяется

    Этот раздел содержит задачи ЕГЭ по математике на темы, связанные с исследованием функций и их производных.

    В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2020 года они могут встретиться под номером 14 для базового уровня и под номером 7 для профильного уровня.

    Посмотрите внимательно на эти три графика функций.
    Заметили ли вы, что эти функции в некотором смысле «родственники»?
    Например, на тех участках, где график зеленой функции расположен выше нуля, красная функция возрастает. На тех участках, где график зеленой функции ниже нуля, красная функция убывает.
    Аналогичные замечания можно сделать относительно красного и синего графиков.
    Также можно заметить, что нули зеленой функции (точки x = −1 и x = 3) совпадают с точками экстремумов красного графика: при x = −1 на красном графике мы видим локальный максимум, при х = 3 на красном графике локальный минимум.
    Нетрудно заметить, что локальные максимумы и минимумы синего графика достигаются в тех же точках, где красный график проходит через значение y = 0.
    Можно сделать еще несколько выводов об особенностях поведения этих графиков, потому что они действительно связаны между собой. Посмотрите на формулы функций, расположенные под каждым из графиков, и путем вычислений убедитесь, что каждая предыдущая является производной для последующей и, соответственно, каждая следующая является одной из превообразных предыдущей функции.

    φ 1 (x ) = φ» 2 (x ) φ 2 (x ) = Φ 1 (x )
    φ 2 (x ) = φ» 3 (x ) φ 3 (x ) = Φ 2 (x )

    Вспомним, что мы знаем о производной:

    Производная функции y = f (x ) в точке х выражает скорость изменения функции в точке x .

    Физический смысл производной заключается в том, что производная выражает скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x).

    Геометрический смысл производной заключается в том, что её значение в рассматриваемой точке равняется угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику дифференцируемой функции в этой точке.

    А теперь пусть красного графика на рисунке нет. Допустим, что и формулы функций нам неизвестны.

    Могу ли я спросить вас о чем то, связанном с поведением функции φ 2 (x ), если известно, что она является производной функции φ 3 (x ) и первообразной функции φ 1 (x )?
    Могу. И на многие вопросы можно дать точный ответ, ведь мы знаем, что производная является характеристикой скорости изменения функции, поэтому можем судить о некоторых особенностях поведения одной из этих функций, глядя на график другой.

    Прежде, чем отвечать на следующие вопросы, прокрутите страницу вверх так, чтобы скрылся верхний рисунок, содержащий красный график. Когда ответы будут даны, верните его обратно, чтобы проверить результат. И только после этого смотрите моё решение.

    Внимание: Для усиления обучающего эффекта ответы и решения загружаются отдельно для каждой задачи последовательным нажатием кнопок на желтом фоне. (Когда задач много, кнопки могут появиться с задержкой. Если кнопок не видно совсем, проверьте, разрешен ли в вашем браузере JavaScript. )

    1) Пользуясь графиком производной φ» 2 (x ) (в нашем случае это зеленый график), определите какое из 2-ух значений функции больше φ 2 (−3) или φ 2 (−2)?

    По графику производной видно, что на участке [−3;−2] её значения строго положительны, значит функция на этом участке только возрастает, поэтому значение функции в левом конце x = −3 меньше, чем её значение в правом конце x = −2.

    Ответ: φ 2 (−3) φ 2 (−2)

    2) Пользуясь графиком первообразной Φ 2 (x ) (в нашем случае это синий график), определите какое из 2-ух значений функции больше φ 2 (−1) или φ 2 (4)?

    По графику первообразной видно, что точка x = −1 находится на участке возрастания, следовательно значение соответсвующей производной положительно. Точка x = 4 находится на участке убывания и значение соответствующей производной отрицательно. Поскольку положительное значение больше отрицательного, делаем вывод — значение неизвестной функции, которая как раз и является производной, в точке 4 меньше, чем в точке −1.

    Ответ: φ 2 (−1) > φ 2 (4)

    Подобных вопросов по отсутствующему графику можно задать много, что обуславливает большое разноообразие задач с кратким ответом, построенных по такой же схеме. Попробуйте решить некоторые из них.

    Задачи на определение характеристик производной по графику функции.


    Рисунок 1.


    Рисунок 2.

    Задача 1

    y = f (x ), определенной на интервале (−10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

    Производная функции положительна на тех участках, где функция возрастает. По рисунку видно, что это промежутки (−10,5;−7,6), (−1;8,2) и (15,7;19). Перечислим целые точки внутри этих интервалов: «−10″,»−9», «−8″,»0», «1»,»2″, «3»,»4″, «5»,»6″, «7»,»8″, «16»,»17″, «18». Всего 15 точек.

    Ответ: 15

    Замечания.
    1. Когда в задачах о графиках функций требуют назвать «точки», как правило, имеют в виду только значения аргумента x , которые являются абсциссами соответствующих точек, расположенных на графике. Ординаты этих точек — значения функции, они являются зависимыми и могут быть легко вычислены при необходимости.
    2. При перечислении точек мы не учитывали края интервалов, так как функция в этих точках не возрастает и не убывает, а «разворачивается». Производная в таких точках не положительна и не отрицательна, она равна нулю, поэтому они называются стационарными точками. Кроме того, мы не рассматриваем здесь границы области определения, потому что в условии сказано, что это интервал.

    Задача 2

    На рисунке 1 изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (−10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции f » (x ) отрицательна.

    Производная функции отрицательна на тех участках, где функция убывает. По рисунку видно, что это промежутки (−7,6;−1) и (8,2;15,7). Целые точки внутри этих интервалов: «−7″,»−6», «−5″,»−4», «−3″,»−2», «9»,»10″, «11»,»12″, «13»,»14″, «15». Всего 13 точек.

    Ответ: 13

    См. замечания к предыдущей задаче.

    Для решения следующих задач нужно вспомнить еще одно определение.

    Точки максимума и минимума функции объединяются общим названием — точки экстремума .

    В этих точках производная функции либо равна нулю, либо не существует (необходимое условие экстремума ).
    Однако необходимое условие — это признак, но не гарантия существования экстремума функции. Достаточным условием экстремума является смена знака производной: если производная в точке меняет знак с «+» на «−», то это точка максимума функции; если производная в точке меняет знак с «−» на «+» , то это точка минимума функции; если в точке производная функции равна нулю, либо не существует, но знак производной при переходе через эту точку не меняется на противоположный, то указанная точка не является точкой экстремума функции. Это может быть точка перегиба, точка разрыва или точка излома графика функции.

    Задача 3

    На рисунке 1 изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

    Вспомним, что уравнение прямой имеет вид y = kx + b , где k — коэффициент наклона этой прямой к оси Ox . В нашем случае k = 0, т.е. прямая y = 6 не наклонена, а параллельна оси Ox . Значит искомые касательные также должны быть параллельны оси Ox и также должны иметь коэффициент наклона 0. Таким свойством касательные обладают в точках экстремумов функций. Поэтому для ответа на вопрос нужно просто посчитать все точки экстремумов на графике. Здесь их 4 — две точки максимума и две точки минимума.

    Ответ: 4

    Задача 4

    Функции y = f (x ), определенной на интервале (−11;23). Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке .

    На указанном отрезке мы видим 2 точки экстремума. Максимум функции достигается в точке x 1 = 4, минимум в точке x 2 = 8.
    x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12.

    Ответ: 12

    Задача 5

    На рисунке 1 изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите количество точек, в которых производная функции f » (x ) равна 0.

    Производная функции равна нулю в точках экстремума, которых на графике видно 4:
    2 точки максимума и 2 точки минимума.

    Ответ: 4

    Задачи на определение характеристик функции по графику её производной.


    Рисунок 1.

    Рисунок 2.

    Задача 6

    На рисунке 2 изображен график f » (x ) — производной функции f (x ), определенной на интервале (−11;23). В какой точке отрезка [−6;2] функция f (x ) принимает наибольшее значение.

    На указанном отрезке производная нигде не была положительной, следовательно функция не возрастала. Она убывала или проходила через стационарные точки. Таким образом, наибольшего значения функция достигала на левой границе отрезка: x = −6.

    Ответ: −6

    Замечание: По графику производной видно, что на отрезке [−6;2] она равна нулю трижды: в точках x = −6, x = −2, x = 2. Но в точке x = −2 она не меняла знака, значит в этой точке не могло быть экстремума функции. Скорее всего там была точка перегиба графика исходной функции.

    Задача 7

    На рисунке 2 изображен график f » (x ) — производной функции f (x ), определенной на интервале (−11;23). В какой точке отрезка функция принимает наименьшее значение.

    На отрезке производная строго положительна, следовательно функция на этом участке только возрастала. Таким образом, наименьшего значения функция достигала на левой границе отрезка: x = 3.

    Ответ: 3

    Задача 8

    На рисунке 2 изображен график f » (x ) — производной функции f (x ), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек максимума функции f (x ), принадлежащих отрезку [−5;10].

    Согласно необходимому условию экстремума максимум функции может быть в точках, где её производная равна нулю. На заданном отрезке это точки: x = −2, x = 2, x = 6, x = 10. Но согласно достаточному условию он точно будет только в тех из них, где знак производной меняется с «+» на «−». На графике производной мы видим, что из перечисленных точек такой является только точка x = 6.

    Ответ: 1

    Задача 9

    На рисунке 2 изображен график f » (x ) — производной функции f (x ), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек экстремума функции f (x ), принадлежащих отрезку .

    Экстремумы функции могут быть в тех точках, где её производная равна 0. На заданном отрезке графика производной мы видим 5 таких точек: x = 2, x = 6, x = 10, x = 14, x = 18. Но в точке x = 14 производная не поменяла знак, следовательно её надо исключить из рассмотрения. Таким образом, остаются 4 точки.

    Ответ: 4

    Задача 10

    На рисунке 1 изображен график f » (x ) — производной функции f (x ), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите промежутки возрастания функции f (x ). В ответе укажите длину наибольшего из них.

    Промежутки возрастания функции совпадают с промежутками положительности производной. На графике мы видим их три — (−9;−7), (4;12), (18;19). Самый длинный из них второй. Его длина l = 12 − 4 = 8.

    Ответ: 8

    Задача 11

    На рисунке 2 изображен график f » (x ) — производной функции f (x ), определенной на интервале (−11;23). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f (x ) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

    Угловой коэффициент (он же тангенс угла наклона) заданной прямой k = −2. Нас интересуют параллельные или совпадающие касательные, т.е. прямые с таким же наклоном. Исходя из геометрического смысла производной — угловой коэффициент касательной в рассматриваемой точке графика функции, пересчитываем точки, в которых производная равна −2. На рисунке 2 таких точек 9. Их удобно считать по пересечениям графика и линии координатной сетки, проходящей через значение −2 на оси Oy .

    Ответ: 9

    Как видите, по одному и тому же графику можно задать самые разнообразные вопросы о поведении функции и её производной. Также один тот же вопрос можно отнести к графикам разных функций. Будьте внимательны при решении этой задачи на экзамене, и она покажется Вам очень легкой. Другие виды задач этого задания — на геометрический смысл первообразной — будут рассмотрены в другом разделе.

    Сергей Никифоров

    Если производная функции знакопостоянна на интервале, а сама функция непрерывна на его границах, то граничные точки при­со­еди­ня­ют­ся как к про­ме­жут­кам воз­рас­та­ния, так и к про­ме­жут­кам убы­ва­ния, что полностью соответствует определению возрастающих и убывающих функций.

    Фарит Ямаев 26.10.2016 18:50

    Здравствуйте. Как же (на каком основании) можно утверждать, что в точке, где производная равна нулю, функция возрастает. Приведите доводы. Иначе, это просто чей-то каприз. По какой теореме? А также доказательство. Спасибо.

    Служба поддержки

    Значение производной в точке не имеет прямого отношения к возрастанию функции на промежутке. Рассмотрите, например, функции — все они возрастают на отрезке

    Владлен Писарев 02.11.2016 22:21

    Если функция возрастает на интервале (а;b) и определена и непрерывна в точках а и b, то она возрастает на отрезке . Т.е. точка x=2 входит в данный промежуток.

    Хотя, как правило возрастание и убывание рассматривается не на отрезке, а на интервале.

    Но в самой точке x=2, функция имеет локальный минимум. И как объяснять детям, что когда они ищут точки возрастания (убывания), то точки локального экстремума не считаем, а в промежутки возрастания (убывания) — входят.

    Учитывая, что первая часть ЕГЭ для «средней группы детского сада», то наверное такие нюансы- перебор.

    Отдельно, большое спасибо за «Решу ЕГЭ» всем сотрудникам- отличное пособие.

    Сергей Никифоров

    Простое объяснение можно получить, если отталкиваться от определения возрастающей/убывающей функции. Напомню, что звучит оно так: функция называется возрастающей/убывающей на промежутке, если большему аргументу функции соответствует большее/меньшее значение функции. Такое определение никак не использует понятие производной, поэтому вопросов о точках, где производная обращается в ноль возникнуть не может.

    Ирина Ишмакова 20.11.2017 11:46

    Добрый день. Здесь в комментариях я вижу убеждения, что границы включать нужно. Допустим, я с этим соглашусь. Но посмотрите, пожалуйста, ваше решение к задаче 7089. Там при указании промежутков возрастания границы не включаются. И это влияет на ответ. Т.е. решения заданий 6429 и 7089 противоречат друг другу. Проясните, пожалуйста, эту ситуацию.

    Александр Иванов

    В заданиях 6429 и 7089 совершенно разные вопросы.

    В одном про промежутки возрастания, а в другом про промежутки с положительной производной.

    Противоречия нет.

    Экстремумы входят в промежутки возрастания и убывания, но точки, в которых производная равна нулю, не входят в промежутки, на которых производная положительна.

    A Z 28.01.2019 19:09

    Коллеги, есть понятие возрастания в точке

    (см. Фихтенгольц например)

    и ваше понимание возрастания в точке x=2 противочет классическому определению.

    Возрастание и убывание это процесс и хотелось бы придерживаться этого принципа.

    В любом интервале, который содержит точку x=2, функция не является возрастающей. Поэтому включение данный точки x=2 процесс особый.

    Обычно, чтобы избежать путаницы о включении концов интервалов говорят отдельно.

    Александр Иванов

    Функция y=f(x) называется возрастающей на некотором промежутке, если бо́льшему значению аргумента из этого промежутка соответствует бо́льшее значение функции.

    В точке х=2 функция дифференцируема, а на интервале (2; 6) производная положительна, значит, на промежутке }

    Графики функций и графики производных

    В демонстрационных вариантах ЕГЭ 2018 года они могут встретиться под номером 14 для базового уровня и под номером 7 для профильного уровня.

    Заметили ли вы, что эти функции в некотором смысле «родственники»?

    Например, на тех участках, где график зеленой функции расположен выше нуля, красная функция возрастает. На тех участках, где график зеленой функции ниже нуля, красная функция убывает.

    Аналогичные замечания можно сделать относительно красного и синего графиков.

    Также можно заметить, что нули зеленой функции (точки x = -1 и x = 3) совпадают с точками экстремумов красного графика: при x = -1 на красном графике мы видим локальный максимум, при х = 3 на красном графике локальный минимум.

    Нетрудно заметить, что локальные максимумы и минимумы синего графика достигаются в тех же точках, где красный график проходит через значение y = 0.

    Можно сделать еще несколько выводов об особенностях поведения этих графиков, потому что они действительно связаны между собой. Посмотрите на формулы функций, расположенные под каждым из графиков, и путем вычислений убедитесь, что каждая предыдущая является производной для последующей и, соответственно, каждая следующая является одной из превообразных предыдущей функции.

    Производная функции y = f(x) в точке х выражает скорость изменения функции в точке x.

    Физический смысл производной заключается в том, что производная выражает скорость протекания процесса, описываемого зависимостью y = f(x).

    Геометрический смысл производной заключается в том, что её значение в рассматриваемой точке равняется угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику дифференцируемой функции в этой точке.

    Могу. И на многие вопросы можно дать точный ответ, ведь мы знаем, что производная является характеристикой скорости изменения функции, поэтому можем судить о некоторых особенностях поведения одной из этих функций, глядя на график другой.

    Прежде, чем отвечать на следующие вопросы, прокрутите страницу вверх так, чтобы скрылся верхний рисунок, содержащий красный график. Когда ответы будут даны, верните его обратно, чтобы проверить результат. И только после этого смотрите моё решение.

    Подобных вопросов по отсутствующему графику можно задать много, что обуславливает большое разноообразие задач с кратким ответом, построенных по такой же схеме. Попробуйте решить некоторые из них.

    На рисунке 1 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

    На рисунке 1 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции f ‘(x) отрицательна.

    Для решения следующих задач нужно вспомнить еще одно определение.

    Однако необходимое условие — это признак, но не гарантия существования экстремума функции. Достаточным условием экстремума является смена знака производной: если производная в точке меняет знак с «+» на «−», то это точка максимума функции; если производная в точке меняет знак с «−» на «+» , то это точка минимума функции; если в точке производная функции равна нулю, либо не существует, но знак производной при переходе через эту точку не меняется на противоположный, то указанная точка не является точкой экстремума функции. Это может быть точка перегиба, точка разрыва или точка излома графика функции.

    На рисунке 1 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-10,5;19). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней.

    На рисунке 2 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-11;23). Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке [2;10].

    На рисунке 1 изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (-10,5;19). Найдите количество точек, в которых производная функции f ‘(x) равна 0.

    На рисунке 2 изображен график f ‘(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11;23). В какой точке отрезка [-6;2] функция f(x) принимает наибольшее значение.

    На рисунке 2 изображен график f ‘(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11;23). В какой точке отрезка [3;5] функция принимает наименьшее значение.

    На рисунке 2 изображен график f ‘(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11;23). Найдите количество точек максимума функции f(x), принадлежащих отрезку [-5;10].

    На рисунке 2 изображен график f ‘(x) — производной функции f(x) , определенной на интервале (-11;23). Найдите количество точек экстремума функции f(x), принадлежащих отрезку [0;20].

    На рисунке 1 изображен график f ‘(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (−10,5;19). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

    На рисунке 2 изображен график f ‘(x) — производной функции f(x), определенной на интервале (-11;23). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.

    Как видите, по одному и тому же графику можно задать самые разнообразные вопросы о поведении функции и её производной. Также один тот же вопрос можно отнести к графикам разных функций. Будьте внимательны при решении этой задачи на экзамене, и она покажется Вам очень легкой. Другие виды задач этого задания — на геометрический смысл первообразной — будут рассмотрены в другом разделе.

    Решаем задачи по математике
    Вычислить с точностью до 0 001 интеграл

    § 4. Применение производной к исследованию функций

    Исследование функции удобно проводить по следующему плану.

    1. Область определения функции.

    2. Точки пересечения графика функции с осями координат.

    3. Четность, нечетность функции.

    4. Исследование функции на непрерывность. Вертикальные асимптоты.

    5. Невертикальные асимптоты.

    6. Интервалы монотонности. Экстремумы.

    7. Интервалы выпуклости, вогнутости. Точки перегиба.

    8. Дополнительные точки, (по мере необходимости).

    9. Построение графика.

    Подчеркнем, что пункт 8 не является необходимым. его выполняют, если необходимо уточнить график.

     

    Пример 1. Исследовать функцию и построить ее график.

    1. Область определения ().

    2. Пусть х=0, тогда у=0. Пусть у=0, тогда  и . Итак, (0;0) и – точки пересечение графика с осями координат.

    3. у() =  – функция не является ни четной, ни нечетной.

    4. Функция непрерывна во всей области определения. Вертикальных асимптот нет.

    5. Невертикальные асимптоты

    Найдем k и b, если они существуют.  поэтому при невертикальной асимптоты не существует. Аналогично можно показать, что и при невертикальных асимптот не существует.

    6. Вычислим  Найдем критические точки:  х = 1 – критическая точка. Кроме того, y’ не существует при х = 0 – тоже критическая точка. Нанесем критические точки на числовую прямую и определим знаки производной в образовавшихся интервалах.

    Таким образом, на интервалах (-и (1;+ функция возрастает, на интервале (0;1) убывает.

    уmax = f(0) = 0, ymin = f(1)= —1.

    7. Вычислим

    у» не обращается в нуль ни при каком значении х и у» не существует при х=0. х=0 – критическая точка второго порядка. Нанесем критическую точку на числовую прямую и определим знаки второй производной в образовавшихся интервалах.

    Таким образом, на интервалах ( и  график функции вогнутый, точек перегиба нет.

    8. Заметим, что , то есть в точке (0;0) график имеет вертикальную касательную.

    Пример 2. Исследовать функцию = x-2arctg x и построить ее график.

    1. Область определения (.

    2. Пусть х = 0, тогда у = 0-2arctg 0.

    Пусть y = 0, тогда х-2arctg x = 0; х = 2arctg x – решить такое уравнение точнo не удается.

    Найдена точка (0;0) пересечения с осями координат.

    3.  функция нечетная.

    4. Функция непрерывна во всей области определения. Вертикальных асимптот нет.

    5. Невертикальные асимптоты.

    = kx+b

     – асимптота при .

    Выясним, есть ли асимптоты при 

    .

     – асимптота при 

    6. y

     и х = 1 – критические точки. Нанесем критические точки на числовую прямую и определим знаки производной в образовавшихся интервалах.

    На интервалах  функция возрастает, на интервале

    (-1;1)– убывает.

    7.  y» = 0; 4х = 0; х = 0 – критическая точка второго порядка. Нанесем ее на числовую прямую и определим знаки второй производной в образовавшихся интервалах.

    На интервале ( график выпуклый, на интервале  – вогнутый.

    х = 0 – абсцисса точки перегиба.

    8. .

    Пример 3. Исследовать функцию  и построить ее график.

    1. Область определения  так как при  и х=2 в знаменателе получается нуль.

    2. Пусть х=0, тогда у=0.

    Пусть у=0, тогда 

    (0;0) – точка пересечения графика с осями координат.

    3. = – функция нечетная.

    4. Функция имеет разрывы в точках х = -2 и х = 2, так как значения f(-2) и f(2) не определены.  ;   Это означает, что в точках  и х = 2 функция имеет разрывы II рода и прямые  и х = 2 являются вертикальными асимптотами.

    5. Найдем невертикальные асимптоты.

      следовательно, прямая у=0 является горизонтальной асимптотой при  и .

    6.        Вычислим  при всех значениях х, принадлежащих области определения функции. Точки  и х = 2 – критические, так как в них производная не существует.

    На интервалах  функция убывает. Экстремумов нет.

    7.      Вычислим 

    y» = 0

    х = 0 х = 2 – критические точки второго порядка.

    На интервалах  и (0;2) график функции выпуклый, а на интервалах (-2;0) и  – вогнутый; х = 0 – абсцисса точки перегиба.

     

    Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (

    Задание 7 Производная и первообразная

    Задание 7 Производная и первообразная Физический смысл производной 1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)= 6t 2 48t + 17 (где x расстояние от точки отсчета в метрах, t время в секундах,

    Подробнее

    Все прототипы задания В8 (2013)

    Все прототипы задания В8 (13) ( 7485) Прямая y 7x 5 параллельна касательной к графику функции y x 6x 8 Найдите абсциссу точки касания ( 7486) Прямая y 4x 11 является касательной к графику функции 3 y x

    Подробнее

    ПРОМЕЖУТКИ ВОЗРАСТАНИЯ

    1) На рисунке изображён график дифференцируемой функции y = f (x). На оси абсцисс отмечены девять точек:. Среди этих точек найдите все точки, в которых производная функции f (x) отрицательна. В ответе

    Подробнее

    Чтение графиков функций

    Материалы для выполнения внеаудиторной (домашней самостоятельной работы) нацеленные на устранение пробелов знаний и умений по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия»

    Подробнее

    ID_4689 1/7 neznaika.

    pro

    1 Производная и первообразная Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. На рисунке

    Подробнее

    ID_1342 1/10 neznaika.pro

    1 Производная и первообразная Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. На рисунке

    Подробнее

    Балабанова Виктория Викторовна

    Балабанова Виктория Викторовна Балабанова В.В. СОШ 46 2 k tg f ( ) 0 Балабанова В.В. СОШ 46 3 Если производная на некотором промежутке положительная, то функция на данном промежутке возрастает. Если производная

    Подробнее

    Задание 8. Варганова Л.Ю

    Задание 8 y f (x) у x 0 х Варганова Л. Ю Кодификатор элементов содержания Кодификатор требований http://shpargalkaege.ru/egeb8 Повторить материал по темам: Производная Понятие о производной функции, геометрический

    Подробнее

    ID_8568 1/6 neznaika.pro

    1 Анализ графиков и диаграмм Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. На рисунке

    Подробнее

    Тема 9 «Функция. Свойства функций»

    Тема 9 «Функция. Свойства функций» Пусть X некоторое непустое множество действительных чисел. И пусть указан закон f, по которому каждому числу х ϵ X ставится в соответствие единственное число y ϵ Y, обозначаемое

    Подробнее

    y и постройте еѐ график.

    Вариант 1 1 Найдите производную функции y 1 в точке Найдите f (0), если sin 0 Составьте уравнение касательной к графику функции 1, в точке графика с абсциссой 0 Составьте уравнение касательной к графику

    Подробнее

    и построения их графиков

    Применение производной для исследования функций и построения их графиков 1. Достаточные признаки монотонности функции. Достаточное условие возрастания функции Если f ( x ) > 0 в каждой точке интервала

    Подробнее

    Математика (БкПл-100, БкК-100)

    Математика (БкПл-100, БкК-100) М.П. Харламов 2009/2010 учебный год, 2-й семестр Лекция 5. Исследование функций с помощью производных 1 1. Понятие о производных высших порядков Опр. Пусть дана функция f(x)

    Подробнее

    Тема 39. «Производные функций»

    Тема 39. «Производные функций» Функция Производной функции в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению переменной, то есть = lim = lim + ( ) Таблица производных: Производная

    Подробнее

    Геометрический смысл производной

    И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Статья написана в соавторстве с А. Г. Малковой Геометрический смысл производной Большинство школьных учебников даёт определение производной через определение

    Подробнее

    Дифференциальное исчисление

    Дифференциальное исчисление Основные понятия и формулы Определение 1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при условии, что приращение аргумента

    Подробнее

    Примерные практические задания:

    Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА 11 класс (база) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

    Подробнее

    Контрольная работа 2. 1 вариант. 2 вариант. 1). Для функции f (х) = 3х 2 х Найти f (0), f (1), f (-3), f (5).

    Контрольная работа 1 вариант 1) Для f (х) = х + х 1 Найти f (), f (1), f (-), f (5) 1) Для f (х) = х х + Найти f (), f (1), f (-), f (5) ) Найти D(у), если: у 5х 5 в) у х х 5х 6 г) 7х 1 у х х у х ) Найти

    Подробнее

    3.

    Производная функции

    . Производная функции Актуальность темы Понятие производной одно из основных понятий математического анализа. В настоящее время понятия производной находит большое применение в различных областях науки

    Подробнее

    Примерные практические задания:

    Банк заданий по теме «ПРОИЗВОДНАЯ» МАТЕМАТИКА класс (профиль) Учащиеся должны знать/понимать: Понятие производной. Определение производной. Теоремы и правила нахождения производных суммы, разности, произведения

    Подробнее

    Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (

    Вариант 11675602 Ответом к заданиям 1 12 является целое число или конечная десятичная дробь. Дробную часть от целой отделяйте десятичной запятой. Единицы измерений писать не нужно. Если вариант задан учителем,

    Подробнее

    ID_6223 1/17 neznaika.

    pro

    1 Анализ графиков и диаграмм Ответами к заданиям являются слово, словосочетание, число или последовательность слов, чисел. Запишите ответ без пробелов, запятых и других дополнительных символов. На рисунке

    Подробнее

    Урок на тему: Построение графиков.

    Урок на тему: Построение графиков. Ребята, мы с вами строили уже не мало графиков функций, например параболы, гиперболы, тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали? Мы выбирали

    Подробнее

    Технологическая карта урока.

    Технологическая карта урока. Предмет: Алгебра и начала анализа (профильный уровень) Авторы учебника: А.Г. Мордкович и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс, (профильный уровень), М. «Мнемозина», 2014г

    Подробнее

    Модуль и производная В.

    В. Сильвестров

    Модуль и производная В.В. Сильвестров При решении некоторых задач приходится находить производную функции, содержащей один или несколько модулей. Такие задачи возможны и на едином государственном экзамене

    Подробнее

    Математика (БкПл-100)

    Математика (БкПл-100) М.П. Харламов 011/01 учебный год Тема. Пределы, непрерывность, производные 1 Тема: Предел функции 1. Предел функции Пусть f(x) функция, определенная на множестве Х; А и а числа. Опр.

    Подробнее

    ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ

    М и н и с т е р с т в о о б р а з о в а н и я и н а у к и Р о с с и й с к о й Ф е д е р а ц и и Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Национальный

    Подробнее

    Построение графиков функций

    Построение графиков функций 1. План исследования функции при построении графика 1. Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции:

    Подробнее

    Подготовка к ЕГЭ по математике

    2014 Подготовка к ЕГЭ по математике Теория для решения задач В9 Открытый банк заданий ЕГЭ по математике http://mathege.ru Александр и Наталья Крутицких www.matematikalegko.ru 01.01.2014 А.С. Крутицких

    Подробнее

    Заметки по исчислению I, раздел 2-10

    Заметки по исчислению I, разделы 2-10 Заметки, Урок 2.10
    Что значит f ‘ Скажи про f ?

    Первая производная функции — это выражение, которое сообщает нам наклон касательной линия к кривой в любой момент. Из-за этого определения первый производная функции многое говорит нам о функции. Если положительный, то должен увеличиваться. Если отрицательный, то должен уменьшаться. Если равно нулю, то должно быть при относительном максимуме или относительном минимуме. говорит нам похожие вещи о. также дает нам ценную информацию о. В в частности, он сообщает нам, когда функция вогнута вверх, вогнута вниз, или есть точка перегиба. Такой же тип информации указал о по и так далее.

    увеличение +
    уменьшение
    относительный мин.или макс. 0
    вогнуться увеличение +
    вогнуться уменьшение
    точка перегиба относительный мин. или макс. 0
    вогнуться увеличение +
    вогнуться уменьшение
    точка перегиба относительный мин. или макс. 0
    вогнуться увеличение
    вогнуться уменьшение
    точка перегиба относительный мин.или макс.
    вогнуться
    вогнуться
    точка перегиба



    Использование Инструменты для обогащения Calculus CD (пришел вместе с книгой), загрузите и запустите модуль 2. 10 . Этот модуль позволит вам попрактиковаться в использовании графической информации. о f ‘для определения наклона графика f ..

    Определение:

    Первоначальное происхождение Первообразная f является функция F такая, что F ‘ = f .

    Здесь у нас есть процесс, обратный тому, что мы изучение.Мы начинаем с производной, и мы хотим найти функцию. Этот тип процесса открытия является общим для научных экспериментов и данных встреча.

    Во-первых, нам нужно знать, что разные функции могут результат в точно такая же производная. Посмотрите на пример ниже:

    Здесь мы видим семейство кривых, построенных с их общая производная.

    Семейство параболических функций:, где c принимает значения: -1, 0, 1, 2, 3 и 4.

    Прямая линия на графике выше. Это
    производная функция для всех шести параболических функций.
    Поскольку дериватив — это прежде всего инструмент для определение формы функции положение графика не влияет на форму. Следовательно совпадающие кривые, которые ориентированы одинаково, но имеют разные должность имеют такую ​​же производную.

    Проверить концепции
    # 1: положительная производная что насчет функции?

    Выберите одну функцию положительная функция отрицательная функция возрастающая функция убывающая

    # 2: отрицательная секунда производная говорит о том, что функция?

    Выберите одну функцию уменьшается Функция вогнута вниз Функция отрицательный

    # 3: Верно или неверно. В производная функции также функция.

    Выберите одно верно неверно

    # 4: Вторая производная нуля говорит, что насчет оригинальная функция?

    Выберите там точка перегиба Есть относительный минимум или максимум It должна быть постоянной функцией

    # 5: Верно или неверно.А вторая производная функции дает ценную информацию о функции.

    Выберите одно верно неверно



    AC Вторая производная

    Для дифференцируемой функции \ (y = f (x) \ text {,} \) мы знаем, что ее производная \ (y = f ‘(x) \ text {,} \) является связанная функция, вывод которой в \ (x = a \) сообщает нам наклон касательной к \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \ text {.} \) То есть высоты на графике производных говорят нам значения уклонов на графике исходной функции.

    В точке, где \ (f ‘(x) \) положительно, наклон касательной к \ (f \) положительный. Следовательно, на интервале, где \ (f ‘(x) \) положительно, функция \ (f \) возрастает (или возрастает). Точно так же, если \ (f ‘(x) \) отрицательно на интервале, график \ (f \) убывает (или убывает).

    Производная от \ (f \) говорит нам не только , увеличивает или убывает функция \ (f \) на интервале, но также , как функция \ (f \) увеличивается или уменьшается.Посмотрите на две касательные, показанные на рисунке 1.6.1. Мы видим, что около точки \ (A \) значение \ (f ‘(x) \) положительно и относительно близко к нулю, а около этой точки график медленно растет. Напротив, около точки \ (B \ text {,} \) производная отрицательна и относительно велика по модулю, а \ (f \) быстро убывает около \ (B \ text {.} \)

    Рисунок 1.6.1. Две касательные на графике.

    Помимо вопроса о том, является ли значение производной функции положительным или отрицательным и большое оно или малое, мы также можем спросить: «Как изменяется производная?»

    Поскольку производная \ (y = f ‘(x) \ text {,} \) сама по себе является функцией, мы можем рассмотреть возможность взятия ее производной — производной от производной — и спросить, «что говорит производная от производной. нас о том, как ведет себя исходная функция? » Начнем с исследования движущегося объекта.

    Предварительный просмотр 1.6.1.

    Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \ (t \) в минутах, задается функцией \ (y = s (t) \), которая изображена на рисунке 1.6.2. Функция определения местоположения автомобиля измеряется в тысячах футов. Например, точка \ ((2,4) \) на графике означает, что за 2 минуты автомобиль проехал 4000 футов.

    Рисунок 1.6.2. График \ (y = s (t) \ text {,} \) положения автомобиля (измеренного в тысячах футов от исходного местоположения) в момент времени \ (t \) в минутах.
    1. На обыденном языке опишите поведение автомобиля за указанный промежуток времени. В частности, вам следует внимательно обсудить, что происходит на каждом из временных интервалов \ ([0,1] \ text {,} \) \ ([1,2] \ text {,} \) \ ([2,3 ] \ text {,} \) \ ([3,4] \ text {,} \) и \ ([4,5] \ text {,} \) плюс дать общий комментарий о том, что машина делает в интервале \ ([0,12] \ text {. } \)

    2. На левой оси, представленной на рисунке 1.6.3, нарисуйте аккуратный и точный график \ (y = s ‘(t) \ text {.} \)

    3. Что означает функция \ (y = s ‘(t) \) в контексте данной проблемы? Что мы можем сказать о поведении автомобиля, когда \ (s ‘(t) \) положительно? когда \ (s ‘(t) \) равно нулю? когда \ (s ‘(t) \) отрицательно?

    4. Переименуйте функцию, которую вы построили в (b), чтобы она вызывалась \ (y = v (t) \ text {.} \) Опишите поведение \ (v \) словами, используя такие фразы, как «\ (v \) возрастает на интервале \ (\ ldots \) ​​», а« \ (v \) постоянно на интервале \ (\ ldots \ text {.} \) ”

    5. Нарисуйте график функции \ (y = v ‘(t) \) на правой оси, представленной на рисунке 1.6.3. Напишите хотя бы одно предложение, чтобы объяснить, как поведение \ (v ‘(t) \) связано с графиком \ (y = v (t) \ text {.} \)

    Рисунок 1.6.3. Оси для построения \ (y = v (t) = s ‘(t) \) и \ (y = v’ (t) \ text {.} \)

    Подраздел 1.

    6.1 Увеличение или уменьшение

    До сих пор мы использовали слова , увеличивающие , и , уменьшающие , интуитивно для описания графика функции.Здесь мы определим эти термины более формально.

    Определение 1.6.4.

    Для функции \ (f (x) \), определенной на интервале \ ((a, b) \ text {,} \), мы говорим, что \ (f \) возрастает на \ ((a, b) \ ) при условии, что для всех \ (x \ text {,} \) \ (y \) в интервале \ ((a, b) \ text {,} \), если \ (x \ lt y \ text {,} \), затем \ (f (x) \ lt f (y) \ text {.} \) Аналогично, мы говорим, что \ (f \) убывает на \ ((a, b) \) при условии, что для всех \ (x \ text {,} \) \ (y \) в интервале \ ((a, b) \ text {,} \) если \ (x \ lt y \ text {,} \), то \ (f (х) \ gt е (у) \ текст {.} \)

    Проще говоря, возрастающая функция — это функция, которая возрастает при перемещении слева направо по графику, а убывающая функция — это функция, которая падает при увеличении значения ввода. Если функция имеет производную, знак производной говорит нам, увеличивается или уменьшается функция.

    Пусть \ (f \) — функция, дифференцируемая на интервале \ ((a, b) \ text {.} \). Можно показать, что если \ (f ‘(x)> 0 \) для каждое \ (x \) такое, что \ (a \ lt x \ lt b \ text {,} \), то \ (f \) увеличивается на \ ((a, b) \ text {;} \) аналогично, если \ (f ‘(x) \ lt 0 \) на \ ((a, b) \ text {,} \), то \ (f \) убывает на \ ((a, b) \ text {.} \)

    Например, функция, изображенная на рисунке 1.6.5, возрастает на всем интервале \ (- 2 \ lt x \ lt 0 \ text {,} \) и убывает на интервале \ (0 \ lt x \ lt 2 \ text {.} \) Обратите внимание, что значение \ (x = 0 \) не входит ни в один из интервалов, поскольку в этом месте функция изменяется с увеличения на уменьшение.

    Рисунок 1.6.5. Функция, убывающая на интервалах \ (- 3 \ lt x \ lt -2 \) и \ (0 \ lt x \ lt 2 \) и возрастающая на \ (- 2 \ lt x \ lt 0 \) и \ (2 \ lt х \ lt 3 \ текст {.} \)

    Подраздел 1.6.2 Вторая производная

    Теперь мы привыкли исследовать поведение функции, исследуя ее производную. Производная функции \ (f \) — это новая функция, заданная правилом

    .

    \ begin {уравнение *} f ‘(x) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

    Поскольку \ (f ‘\) сам по себе является функцией, для нас вполне возможно рассмотреть производную производной, которая является новой функцией \ (y = [f’ (x)] ‘\ text {.} \) Мы называем эту результирующую функцию второй производной от \ (y = f (x) \ text {,} \) и обозначаем вторую производную как \ (y = f » (x) \ text {.} \) Следовательно, мы иногда будем называть \ (f ‘\) «первой производной» от \ (f \ text {,} \), а не просто «производной» от \ (f \ text {.} \)

    Определение 1.6.6.

    Вторая производная определяется предельным определением производной первой производной. То есть

    \ begin {уравнение *} f » (x) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f ‘(x + h) -f’ (x)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

    Значение производной функции все еще сохраняется, поэтому при вычислении \ (y = f » (x) \ text {,} \) эта новая функция измеряет наклон касательных линий к кривой \ (y = f ‘( x) \ text {,} \), а также мгновенную скорость изменения \ (y = f ‘(x) \ text {. } \) Другими словами, так же, как первая производная измеряет скорость, с которой оригинал функция изменяется, вторая производная измеряет скорость, с которой изменяется первая производная. Вторая производная поможет нам понять, как изменяется сама скорость изменения исходной функции.

    Подраздел 1.6.3 Вогнутость

    В дополнение к вопросу , увеличивается или уменьшается функция, естественно также спросить , как функция увеличивается или уменьшается. Существует три основных поведения, которые возрастающая функция может демонстрировать на интервале, как показано на рисунке 1.6.7: функция может увеличиваться все более и более быстро, она может увеличиваться с той же скоростью, или она может увеличиваться медленным образом. вниз. По сути, мы начинаем думать о том, как изгибается конкретная кривая, при естественном сравнении с линиями, которые вообще не изгибаются.Более того, мы хотим понять, как изгиб в графике функции связан с поведением, характеризуемым первой производной функции.

    Рисунок 1.6.7. Три функции, которые все увеличиваются, но делают это с возрастающей, постоянной и убывающей скоростью соответственно.

    На крайней левой кривой на рисунке 1.6.7 нарисуйте последовательность касательных линий к кривой. При движении слева направо наклон этих касательных линий будет увеличиваться. Следовательно, скорость изменения изображенной функции увеличивается, и это объясняет, почему мы говорим, что эта функция увеличивается с возрастающей скоростью .Для крайнего правого графика на рис. 1.6.7 обратите внимание, что по мере увеличения \ (x \) функция увеличивается, но наклон касательных линий уменьшается. Эта функция на увеличивается со скоростью убывания.

    Аналогичные параметры используются для уменьшения функции. Здесь мы должны быть особенно осторожны с нашим языком, потому что убывающие функции включают отрицательные наклоны. Отрицательные числа представляют собой интересное противоречие между обычным языком и математическим языком. Например, может возникнуть соблазн сказать, что «\ (- 100 \) больше, чем \ (- 2 \ text {.} \) »Но мы должны помнить, что« больше чем »описывает расположение чисел на числовой строке: \ (x \ gt y \) при условии, что \ (x \) лежит справа от \ (y \ text {.} \) Итак, конечно, \ (- 100 \) меньше, чем \ (- 2 \ text {.} \) Неформально, может быть полезно сказать, что «\ (- 100 \) более отрицательно, чем \ (- 2 \ text {.} \) »Когда значения функции отрицательны, и эти значения становятся все более отрицательными по мере увеличения ввода, функция должна уменьшаться.

    Рисунок 1.6.8. Слева направо три функции, которые уменьшаются, но делают это по-разному.

    Теперь рассмотрим три графика, показанные на рисунке 1.6.8. Ясно, что средний график изображает функцию, убывающую с постоянной скоростью. Теперь на первой кривой нарисуйте последовательность касательных линий. Мы видим, что наклон этих линий становится все менее и менее отрицательным по мере того, как мы движемся слева направо. Это означает, что значения первой производной, хотя все отрицательные, увеличиваются, и, таким образом, мы говорим, что крайняя левая кривая убывает с возрастающей скоростью . x \ text {,} \), мы говорим, что кривая на вогнута вверх. на этом интервале.{x} \ text {,} \) мы говорим, что функция вогнута вниз . Вогнутость связана как с первой, так и со второй производной функции.

    На рисунке 1.6.9 мы видим две функции и последовательность касательных к каждой из них. На левом графике, где функция вогнута вверх, обратите внимание, что касательные линии всегда лежат ниже самой кривой, а наклон касательных линий увеличивается при движении слева направо. Другими словами, функция \ (f \) вогнута вверх на показанном интервале, потому что ее производная \ (f ‘\ text {,} \) возрастает на этом интервале.Точно так же на правом графике на рисунке 1.6.9, где функция показана вогнутой вниз, мы видим, что касательные линии всегда лежат над кривой, а наклон касательных линий уменьшается по мере того, как мы перемещаемся слева направо. Тот факт, что его производная \ (f ‘\ text {,} \) убывает, делает \ (f \) вогнутым вниз на интервале.

    Рисунок 1. 6.9. Слева функция, которая вогнута вверх; справа — вогнутая вниз.

    Мы формулируем эти самые последние наблюдения формально как определения терминов вогнутый вверх и вогнутый вниз .

    Определение 1.6.10.

    Пусть \ (f \) — дифференцируемая функция на интервале \ ((a, b) \ text {.} \). Тогда \ (f \) будет на вогнутым вверх на на \ ((a, b) \), если и только если \ (f ‘\) увеличивается на \ ((a, b) \ text {;} \) \ (f \) на вогнуто вниз на на \ ((a, b) \) тогда и только тогда, когда \ (f ‘\) убывает на \ ((a, b) \ text {.} \)

    Мероприятие 1.6.2.

    Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \ (t \) в минутах, задается функцией \ (y = s (t) \), которая изображена на рисунке 1.6.11. Функция определения местоположения автомобиля измеряется в тысячах футов. Помните, что вы работали с этой функцией и рисовали графики \ (y = v (t) = s ‘(t) \) и \ (y = v’ (t) \) в предварительном упражнении 1. 6.1.

    Рисунок 1.6.11. График \ (y = s (t) \ text {,} \) положения автомобиля (измеренного в тысячах футов от исходного местоположения) в момент времени \ (t \) в минутах.
    1. На каких интервалах функция положения \ (y = s (t) \) увеличивается? уменьшается? Почему?

    2. На каких интервалах функция скорости \ (y = v (t) = s ‘(t) \) увеличивается? уменьшается? ни один? Почему?

    3. Ускорение определяется как мгновенная скорость изменения скорости, поскольку ускорение объекта измеряет скорость, с которой изменяется скорость объекта.Скажем, функция ускорения автомобиля называется \ (a (t) \ text {.} \) Как \ (a (t) \) вычисляется из \ (v (t) \ text {?} \) Как \ ( a (t) \) вычисляется из \ (s (t) \ text {?} \) Объясните.

    4. Что вы можете сказать о \ (s » \) всякий раз, когда \ (s ‘\) увеличивается? Почему?

    5. Используя только слова увеличивающийся , убывающий , постоянный , вогнутый вверх , вогнутый вниз и линейный , завершите следующие предложения. Для функции положения \ (s \) со скоростью \ (v \) и ускорением \ (a \ text {,} \)

      • на интервале, где \ (v \) положительно, \ (s \) равно.

      • на интервале, где \ (v \) отрицательно, \ (s \) равно.

      • на интервале, где \ (v \) равно нулю, \ (s \) равно.

      • на интервале, где \ (a \) положительно, \ (v \) положительно.

      • на интервале, где \ (a \) отрицательно, \ (v \) равно.

      • на интервале, где \ (a \) равно нулю, \ (v \) равно.

      • на интервале, где \ (a \) положительно, \ (s \) положительно.

      • на интервале, где \ (a \) отрицательно, \ (s \) равно.

      • на интервале, где \ (a \) равно нулю, \ (s \) равно.

    Изучение контекста положения, скорости и ускорения — отличный способ понять, как функция, ее первая производная и ее вторая производная связаны друг с другом. В действии 1.6.2 мы можем заменить \ (s \ text {,} \) \ (v \ text {,} \) и \ (a \) произвольной функцией \ (f \) и ее производными \ (f ‘\) и \ (f’ ‘\ text {,} \) и, по сути, все те же наблюдения верны. В частности, обратите внимание, что следующие условия эквивалентны: на интервале, где график \ (f \) вогнут вверх, \ (f ‘\) возрастает, а \ (f’ ‘\) положительно. Аналогично, на интервале, где график \ (f \) вогнут вниз, \ (f ‘\) убывает, а \ (f’ ‘\) отрицательно.

    Мероприятие 1.6.3.

    Картофель помещается в духовку, и температура картофеля \ (F \) (в градусах Фаренгейта) в различные моменты времени измеряется и записывается в следующей таблице. Время \ (t \) измеряется в минутах.В упражнении 1.5.2 мы вычислили приближения к \ (F ‘(30) \) и \ (F’ (60) \) с использованием центральных разностей. Эти и другие значения представлены во второй таблице ниже, а также некоторые другие, вычисленные таким же образом.

    Таблица 1.6.12. Выберите значения \ (F (t) \ text {.} \)
    \ (t \) \ (F (t) \)
    \ (0 \) \ (70 \)
    \ (15 \) \ (180,5 \)
    \ (30 \) \ (251 \)
    \ (45 \) \ (296 \)
    \ (60 \) \ (324. 5 \)
    \ (75 \) \ (342,8 \)
    \ (90 \) \ (354,5 \)
    Таблица 1.6.13. Выберите значения \ (F ‘(t) \ text {.} \)
    \ (t \) \ (F ‘(t) \)
    \ (0 \) NA
    \ (15 \) \ (6,03 \)
    \ (30 \) \ (3,85 \)
    \ (45 \) \ (2,45 \)
    \ (60 \) \ (1.56 \)
    \ (75 \) \ (1,00 \)
    \ (90 \) NA
    1. Каковы единицы измерения значений \ (F ‘(t) \ text {?} \)

    2. Используйте центральную разницу, чтобы оценить значение \ (F » (30) \ text {. } \)

    3. Что означает значение \ (F » (30) \), которое вы вычислили в (b) в терминах температуры картофеля? Напишите несколько осторожных предложений, в которых обсуждаются с соответствующими единицами измерения значения \ (F (30) \ text {,} \) \ (F ‘(30) \ text {,} \) и \ (F’ ‘(30) \ text {,} \) и объясните общее поведение температуры картофеля в данный момент времени.

    4. В целом, температура картофеля растет с возрастающей скоростью, с постоянной скоростью или с уменьшающейся скоростью? Почему?

    Мероприятие 1.6.4.

    Это упражнение основано на нашем опыте и понимании того, как нарисовать график \ (f ‘\) с учетом графика \ (f \ text {.} \)

    На рис. 1.6.14, учитывая соответствующие графики двух разных функций \ (f \ text {,} \), нарисуйте соответствующий график \ (f ‘\) на первых осях ниже, а затем нарисуйте \ (f’ ‘ \) на втором наборе осей.Кроме того, для каждого из них напишите несколько осторожных предложений в духе действий 1. 6.2, которые связывают поведение \ (f \ text {,} \) \ (f ‘\ text {,} \) и \ (f » \ text {.} \) Например, напишите что-нибудь вроде

    \ (f ‘\) находится на интервале, что связано с тем, что \ (f \) находится на том же интервале, а \ (f’ ‘\) находится на интервале.

    , но, конечно, с заполненными пробелами. На протяжении всего времени масштаб сетки для графика \ (f \) должен быть \ (1 \ times 1 \ text {,} \) и принимать горизонтальный масштаб сетки для графика \ (f ‘\) идентичен графику для \ (f \ text {.} \) Если вам нужно отрегулировать вертикальный масштаб по осям для графика \ (f ‘\) или \ (f’ ‘\ text {,} \), вы должны обозначить это соответствующим образом.

    Рисунок 1.6.14. Две заданные функции \ (f \ text {,} \) с осями, предусмотренными для построения \ (f ‘\) и \ (f’ ‘\) ниже.

    Исчисление I — Форма графа, часть I

    Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

    Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

    Раздел 4-5: Форма графа, часть I

    В предыдущем разделе мы увидели, как использовать производную для определения абсолютного минимального и максимального значений функции.Однако существует гораздо больше информации о графике, который можно определить по первой производной функции. Мы начнем изучать эту информацию в этом разделе. Основная идея, которую мы рассмотрим в этом разделе, будет заключаться в выявлении всех относительных экстремумов функции.

    Давайте начнем этот раздел с повторения знакомой темы из предыдущей главы. Предположим, что у нас есть функция \ (f \ left (x \ right) \). Из нашей работы в предыдущей главе мы знаем, что первая производная \ (f ‘\ left (x \ right) \) — это скорость изменения функции.Мы использовали эту идею, чтобы определить, где функция увеличивалась, уменьшалась или не менялась.

    Прежде чем рассматривать эту идею, давайте сначала запишем математическое определение увеличения и уменьшения. Все мы знаем, как выглядит график возрастающей / убывающей функции, но иногда полезно иметь и математическое определение. Вот.

    Определение
    1. Для любых \ ({x_1} \) и \ ({x_2} \) из интервала \ (I \) с \ ({x_1} <{x_2} \), если \ (f \ left ({{x_1} } \ right) , увеличивая на \ (I \).
    2. Даны любые \ ({x_1} \) и \ ({x_2} \) из интервала \ (I \) с \ ({x_1} <{x_2} \), если \ (f \ left ({{x_1}} \ right)> f \ left ({{x_2}} \ right) \), то \ (f \ left (x \ right) \) равно , уменьшая на \ (I \).

    Это определение будет фактически использовано при доказательстве следующего факта в этом разделе.

    Теперь напомним, что в предыдущей главе мы постоянно использовали идею о том, что если производная функции была положительной в какой-то точке, то функция возрастала в этой точке, а если производная была отрицательной в какой-то точке, тогда функция убывала в этой точке. точка.Мы также использовали тот факт, что если производная функции была равна нулю в какой-то точке, тогда функция не менялась в этой точке. Мы использовали эти идеи для определения интервалов увеличения и уменьшения функции.

    Следующий факт резюмирует то, что мы делали в предыдущей главе.

    Факт
    1. Если \ (f ‘\ left (x \ right)> 0 \) для каждого \ (x \) на некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) увеличивается на интервал.
    2. Если \ (f ‘\ left (x \ right) <0 \) для каждого \ (x \) на некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) убывает на интервал.
    3. Если \ (f ‘\ left (x \ right) = 0 \) для каждого \ (x \) на некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) постоянно на интервал.

    Доказательство этого факта можно найти в разделе «Доказательства на основе производных приложений» главы «Дополнительно».

    Рассмотрим пример.Этот пример преследует две цели. Во-первых, это напомнит нам об увеличивающемся / уменьшающемся типе проблем, которые мы делали в предыдущей главе. Во-вторых, что, возможно, более важно, теперь в решение будут включены критические точки. Мы не знали о критических точках в предыдущей главе, но если вы вернетесь и посмотрите на эти примеры, первый шаг почти в каждой проблеме увеличения / уменьшения — найти критические точки функции, и поэтому процесс мы использовать в следующем примере должно быть знакомо.2} \ left ({x — 4} \ right) \ left ({x + 2} \ right) \ end {align *} \]

    Обратите внимание, что когда мы разложили на множители производную, мы сначала разложили на множители «-1», чтобы немного упростить остальную часть факторинга.

    Из факторизованной формы производной мы видим, что у нас есть три критических точки: \ (x = — 2 \), \ (x = 0 \) и \ (x = 4 \). Они нам понадобятся немного позже.

    Теперь нам нужно определить, где производная положительна, а где отрицательна.Мы делали это несколько раз как в главе «Обзор», так и в предыдущей главе. Поскольку производная является многочленом, она непрерывна, и поэтому мы знаем, что единственный способ изменить знак — сначала пройти через ноль.

    Другими словами, единственное место, где производная может изменить знак , — это критические точки функции. Теперь у нас есть другое применение для критических точек. Итак, мы построим числовую линию, нанесем на график критические точки и выберем контрольные точки из каждого региона, чтобы увидеть, является ли производная положительной или отрицательной в каждом регионе.

    Вот числовая линия и контрольные точки для производной.

    Убедитесь, что вы проверили свои позиции в производной. Одна из наиболее распространенных ошибок — вместо этого проверять точки в функции! Напомним, что мы знаем, что производная будет одного знака в каждом регионе. Единственное место, где производная может менять знак, — это критические точки, и мы отметили единственные критические точки на числовой прямой.

    Итак, похоже, у нас есть следующие интервалы увеличения и уменьшения.

    \ [\ begin {align *} {\ mbox {Increase:}} & — 2

    В этом примере мы использовали тот факт, что единственное место, где производная может изменить знак, — это критические точки. Кроме того, критическими точками для этой функции были те, для которых производная была равна нулю. Однако то же самое можно сказать и о критических точках, в которых не существует производной.Это приятно знать. Функция может менять знак, если он равен нулю или не существует. В предыдущей главе все наши примеры этого типа имели только критические точки, в которых производная была равна нулю. Теперь, когда мы знаем больше о критических точках, позже мы также увидим один или два примера с критическими точками, в которых не существует производной.

    Если вы не уверены, что считаете, что функции (они, конечно, не обязательно должны быть производными) могут менять знак там, где их нет, рассмотрите \ (f \ left (x \ right) = \ frac {1} { Икс}\) .2}}} \) например. Опять же, этого явно не существует в \ (x = 0 \) и все же положительно по обе стороны от \ (x = 0 \).

    Итак, повторим еще раз. Функции, независимо от того, являются ли они производными или нет, могут (но не обязательно) менять знак, если они либо равны нулю, либо не существуют.

    Теперь, когда у нас есть предыдущий пример «напоминания», давайте перейдем к новому материалу. Когда у нас есть интервалы увеличения и уменьшения для функции, мы можем использовать эту информацию, чтобы получить набросок графика. 3} + 5 \] Показать решение

    В этом примере действительно не так много. Каждый раз, когда мы рисуем график, хорошо иметь несколько точек на графике, которые могут служить нам отправной точкой. Итак, мы начнем с функции в критических точках. Это даст нам некоторые отправные точки, когда мы перейдем к наброску графика. Эти точки равны,

    \ [f \ left ({- 2} \ right) = — \ frac {89} {3} = — 29,67 \ hspace {0,25 дюйма} f \ left (0 \ right) = 5 \ hspace {0,5 дюйма} f \ слева (4 \ справа) = \ frac {1423} {3} = 474.33 \]

    Как только эти точки нанесены на график, мы переходим к увеличению и уменьшению информации и начинаем рисовать. Для справки это информация о возрастании / убывании.

    \ [\ begin {align *} {\ mbox {Increase:}} & — 2

    Обратите внимание, что нам нужен только набросок графика. Как уже отмечалось, прежде чем мы начали этот пример, мы не сможем точно предсказать кривизну графика в этой точке. Однако даже без этой информации мы все равно сможем получить общее представление о том, как должен выглядеть график.

    Чтобы получить этот набросок, мы начинаем с самого левого края графика и знаем, что график должен уменьшаться и будет продолжать уменьшаться, пока не дойдем до \ (x = — 2 \). На этом этапе функция будет продолжать увеличиваться, пока не достигнет значения \ (x = 4 \). Однако обратите внимание, что во время фазы роста ему действительно нужно пройти через точку в \ (x = 0 \), и в этой точке мы также знаем, что производная здесь равна нулю, и поэтому график проходит через \ (x = 0 \) по горизонтали. Наконец, как только мы достигаем \ (x = 4 \), график начинает и продолжает уменьшаться.Также обратите внимание, что, как и в случае \ (x = 0 \), график должен быть горизонтальным, когда он проходит через две другие критические точки.

    Вот график функции. Мы, конечно, использовали графическую программу для создания этого графика, однако, помимо некоторых потенциальных проблем с кривизной, если вы следовали информации об увеличении / уменьшении и сначала нанесли все критические точки, у вас должно быть что-то похожее на это.

    Давайте воспользуемся наброском из этого примера, чтобы дать нам очень хороший тест для классификации критических точек как относительных максимумов, относительных минимумов или ни минимумов, ни максимумов.

    Вспомните из раздела «Минимальные и максимальные значения», что все относительные экстремумы функции берутся из списка критических точек. График в предыдущем примере имеет два относительных экстремума, и оба возникают в критических точках, как мы и предсказывали в этом разделе. Также обратите внимание, что у нас есть критическая точка, которая не является относительными экстремумами (\ (x = 0 \)). Это нормально, поскольку нет оснований полагать, что все критические точки будут относительными экстремумами. Известно только, что относительные экстремумы будут исходить из списка критических точек.

    На эскизе графика из предыдущего примера мы видим, что слева от \ (x = — 2 \) график убывает, а справа от \ (x = — 2 \) график увеличивается и \ (x = — 2 \) — относительный минимум. Другими словами, график ведет себя около минимума точно так, как он должен быть, чтобы \ (x = — 2 \) было минимальным. То же самое можно сказать и об относительном максимуме при \ (x = 4 \) . График увеличивается слева и уменьшается справа точно так, как должно быть, чтобы \ (x = 4 \) было максимальным.Наконец, график возрастает по обе стороны от \ (x = 0 \), поэтому эта критическая точка не может быть минимумом или максимумом.

    Эти идеи можно обобщить, чтобы получить хороший способ проверить, является ли критическая точка относительным минимумом, относительным максимумом или ни одним из них. Если \ (x = c \) является критической точкой и функция убывает слева от \ (x = c \) и увеличивается вправо, то \ (x = c \) должен быть относительным минимумом функции . Аналогично, если функция увеличивается слева от \ (x = c \) и уменьшается вправо, то \ (x = c \) должен быть относительным максимумом функции.Наконец, если функция возрастает с обеих сторон от \ (x = c \) или убывает с обеих сторон для \ (x = c \), то \ (x = c \) не может быть ни относительным минимумом, ни относительным максимумом.

    Эти идеи можно обобщить в следующем тесте.

    Первый производный тест

    Предположим, что \ (x = c \) является критической точкой \ (f \ left (x \ right) \), тогда

    1. Если \ (f ‘\ left (x \ right)> 0 \) слева от \ (x = c \) и \ (f’ \ left (x \ right) <0 \) справа от \ (x = c \), тогда \ (x = c \) является относительным максимумом.
    2. Если \ (f ‘\ left (x \ right) <0 \) слева от \ (x = c \) и \ (f' \ left (x \ right)> 0 \) справа от \ ( x = c \), то \ (x = c \) является относительным минимумом.
    3. Если \ (f ‘\ left (x \ right) \) — один и тот же знак по обе стороны от \ (x = c \), то \ (x = c \) не является ни относительным максимумом, ни относительным минимумом.

    Здесь важно отметить, что тест первой производной классифицирует критические точки только как относительные экстремумы, а не как абсолютные экстремумы.Как мы помним из раздела «Поиск абсолютных экстремумов», абсолютные экстремумы — это наибольшие и наименьшие значения функции, которые могут даже не существовать или быть критическими точками, если они существуют.

    Тест первой производной — это именно такой тест, использующий первую производную. Он никогда не использует значение функции, и поэтому из теста нельзя сделать никаких выводов об относительном «размере» функции в критических точках (который может потребоваться для определения абсолютных экстремумов) и даже не может начать чтобы обратить внимание на тот факт, что абсолютные экстремумы не могут возникать в критических точках.{\ frac {2} {3}}}}} \ end {align *} \]

    Итак, похоже, у нас здесь четыре критических точки. Их,

    \ [\ begin {align *} t & = \ pm \, 2 & \ hspace {1.0in} & {\ mbox {Здесь не существует производной}} {\ mbox {.}} \\ t & = \ pm \ sqrt {\ frac {{12}} {5}} = \ pm 1.549 & \ hspace {1.0in} & {\ mbox {Здесь производная равна нулю}} {\ mbox {.}} \ end {align * } \]

    Определение интервалов увеличения и уменьшения также даст классификацию критических точек, так что давайте сначала разберемся с ними. Вот числовая линия с нанесенными на график критическими точками и контрольными точками.

    Итак, похоже, у нас есть следующие интервалы увеличения и уменьшения.

    \ [\ begin {align *} {\ mbox {Increase:}} & — \ infty

    Отсюда похоже, что \ (t = — 2 \) и \ (t = 2 \) не являются ни относительным минимумом, ни относительным максимумом, поскольку функция возрастает с обеих сторон от них. С другой стороны, \ (t = — \ sqrt {\ frac {12} {5}} \) — относительный максимум, а \ (t = \ sqrt {\ frac {12} {5}} \) — относительный минимум.

    Вот график функции. Обратите внимание, что этот график немного сложнее нарисовать, основываясь только на увеличивающейся и уменьшающейся информации. Он представлен здесь только для справки, чтобы вы могли увидеть, как он выглядит.

    В предыдущем примере две критические точки, где производная не существовала, не оказались относительными экстремумами. Не читайте в этом ничего. Часто они будут относительными экстремумами.Посмотрите пример 5 в разделе «Абсолютные экстремумы», чтобы увидеть пример одной такой критической точки.

    Давайте поработаем еще пару примеров.

    Пример 4 Предположим, что высота дороги над уровнем моря задается следующей функцией. \ [E \ left (x \ right) = 500 + \ cos \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) + \ sqrt 3 \ sin \ left ({\ frac {x} {4}} \верно)\]

    , где \ (x \) в милях. Предположим, что если \ (x \) положительно, мы находимся к востоку от начальной точки измерения, а если \ (x \) отрицательно, мы находимся к западу от начальной точки измерения.

    Если мы начнем в 25 милях к западу от начальной точки измерения и проедем до тех пор, пока не окажемся в 25 милях к востоку от начальной точки, сколько миль мы прошли по склону?

    Показать решение

    Хорошо, это просто отличный способ спросить, каковы интервалы увеличения и уменьшения для функции на интервале \ (\ left [{- 25,25} \ right] \). Итак, нам сначала нужна производная функции.

    \ [E ‘\ left (x \ right) = — \ frac {1} {4} \ sin \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) + \ frac {{\ sqrt 3}} { 4} \ cos \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) \]

    Установка этого значения равным нулю дает

    \ [\ begin {align *} — \ frac {1} {4} \ sin \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) + \ frac {{\ sqrt 3}} {4} \ cos \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) & = 0 \\ \ tan \ left ({\ frac {x} {4}} \ right) & = \ sqrt 3 \ end {align *} \]

    Решение этой проблемы и, следовательно, критических точек:

    \ [\ begin {array} {* {20} {c}} {\ displaystyle \ frac {x} {4} = 1.0472 + 2 \ pi n, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots} \\ {\ displaystyle \ frac {x} {4} = 4,1888 + 2 \ pi n, \, \ , n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots} \ end {array} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ begin {array} {* {20} {c}} { x = 4,1888 + 8 \ pi n, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots \, \,} \\ {x = 16,7552 + 8 \ pi n, \, \, n = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots} \ end {array} \]

    Я предоставляю вам проверить, что критические точки, попадающие в интервал, который мы ищем, это

    \ [- 20. 9439, \, \, \, — 8.3775, \, \, \, 4.1888, \, \, \, 16.7552 \]

    Вот числовая линия с критическими точками и контрольными точками.

    Итак, интервалы увеличения и уменьшения, похоже,

    \ [\ begin {align *} {\ mbox {Increase:}} & — 25

    Обратите внимание, что нам пришлось заканчивать интервалы на -25 и 25, поскольку мы не выполняли никакой работы за пределами этих точек, и поэтому мы не можем действительно сказать что-нибудь о функции вне интервала \ (\ left [{- 25,25} \ right] \).

    По интервалам мы действительно можем ответить на вопрос. Мы ехали по склону во время интервалов подъема, поэтому общее количество миль составляет

    км. \ [\ begin {align *} {\ mbox {Distance}} & = \ left ({- 20.9439 — \ left ({- 25} \ right)} \ right) + \ left ({4.1888 — \ left ({- 8.3775} \ right)} \ right) + \ left ({25 — 16.7552} \ right) \\ & = 24. 8652 {\ mbox {miles}} \ end {align *} \]

    Несмотря на то, что проблема не требовала этого, мы также можем классифицировать критические точки, которые находятся в интервале \ (\ left [{- 25,25} \ right] \).2} \ ln \ left ({3t} \ right) + 6 \]

    Определите, уменьшится ли численность населения в первые два года.

    Показать решение

    Итак, мы снова действительно находимся после интервалов и увеличиваемся и уменьшаемся в интервале [0,2].

    Мы обнаружили, что единственной критической точкой для этой функции в разделе «Критические точки» является

    . \ [x = \ frac {1} {{3 \ sqrt {\ bf {e}}}} = 0,202 \]

    Вот числовая линия для интервалов увеличения и уменьшения.

    Итак, похоже, что численность населения на короткий период уменьшится, а затем продолжит расти бесконечно.

    Кроме того, хотя проблема не требовала этого, мы видим, что единственная критическая точка является относительным минимумом.

    В этом разделе мы увидели, как мы можем использовать первую производную функции, чтобы дать нам некоторую информацию о форме графика и как мы можем использовать эту информацию в некоторых приложениях.

    Использование первой производной для получения информации о том, увеличивается или уменьшается функция, является очень важным применением производных инструментов и возникает довольно регулярно во многих областях.

    4.5 Производные и форма графика — Calculus Volume 1

    Цели обучения

    • 4.5.1 Объясните, как знак первой производной влияет на форму графика функции.
    • 4.5.2 Сформулируйте тест первой производной для критических точек.
    • 4.5.3 Используйте точки вогнутости и перегиба, чтобы объяснить, как знак второй производной влияет на форму графика функции.
    • 4.5.4 Объясните тест на вогнутость функции на открытом интервале.
    • 4.5.5 Объясните связь между функцией и ее первой и второй производными.
    • 4.5.6 Сформулируйте тест второй производной для локальных экстремумов.

    Ранее в этой главе мы заявляли, что если функция ff имеет локальный экстремум в точках c, c, то cc должна быть критической точкой f.f. Однако не гарантируется, что функция имеет локальный экстремум в критической точке. Например, f (x) = x3f (x) = x3 имеет критическую точку при x = 0x = 0, поскольку f ′ (x) = 3x2f ′ (x) = 3×2 равно нулю при x = 0, x = 0, но ff не имеет локального экстремума при x = 0.x = 0. Используя результаты из предыдущего раздела, теперь мы можем определить, действительно ли критическая точка функции соответствует локальному экстремальному значению. В этом разделе мы также увидим, как вторая производная предоставляет информацию о форме графика, описывая, изгибается ли график функции вверх или вниз.

    Первый производный тест

    Следствие 33 теоремы о среднем значении показало, что если производная функции положительна на интервале II, то функция возрастает на интервале I. I. С другой стороны, если производная функции отрицательна на интервале I, I, тогда функция убывает на интервале II, как показано на следующем рисунке.

    Рис. 4.30. Обе функции растут в интервале (a, b). (A, b). В каждой точке x, x производная f ′ (x)> 0.f ′ (x)> 0. Обе функции убывают на интервале (a, b). (A, b). В каждой точке x, x производная f ′ (x) <0. f ′ (x) <0.

    Непрерывная функция ff имеет локальный максимум в точке cc тогда и только тогда, когда ff переключается с увеличения на уменьшение в точке c.c. Точно так же ff имеет локальный минимум в точке cc тогда и только тогда, когда ff переключается с уменьшения на увеличение в точке c.c. Если ff — непрерывная функция на интервале II, содержащем cc и дифференцируемая по I, I, за исключением, возможно, точек c, c, единственный способ ff может переключиться с увеличения на уменьшение (или наоборот) в точке cc — это если f′f ′ меняет знак, когда xx увеличивается до c.c. Если ff дифференцируема в c, c, это единственный способ, которым f′. f ′. может менять знак при увеличении xx на cc, если f ′ (c) = 0. f ′ (c) = 0. Следовательно, для функции ff, которая непрерывна на интервале II, содержащем cc и дифференцируема по I, I, за исключением, возможно, точек c, c, единственный способ ff может переключиться с увеличения на уменьшение (или наоборот) — это если f ′ (c ) = 0f ′ (c) = 0 или f ′ (c) f ′ (c) не определено. Следовательно, чтобы найти локальные экстремумы для функции f, f, мы ищем точки cc в области определения ff такие, что f ′ (c) = 0f ′ (c) = 0 или f ′ (c) f ′ (c) равно неопределенный.Напомним, что такие точки называются критическими точками ф.ф.

    Обратите внимание, что ff не обязательно должен иметь локальные экстремумы в критической точке. Критические точки являются кандидатами только в локальные экстремумы. На рис. 4.31 мы показываем, что если непрерывная функция ff имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке, но функция может не иметь локального экстремума в критической точке. Мы показываем, что если ff имеет локальный экстремум в критической точке, то знак f′f ′ меняется по мере увеличения xx через эту точку.

    Рис. 4.31. Функция ff имеет четыре критических точки: a, b, c, andd.a, b, c иd. Функция ff имеет локальные максимумы в точках aa и d, d и локальный минимум в точках b.b. Функция ff не имеет локального экстремума в c.c. Знак f′f ′ меняется на всех локальных экстремумах.

    Используя рисунок 4.31, мы суммируем основные результаты, касающиеся локальных экстремумов.

    • Если непрерывная функция ff имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке c.c.
    • Функция имеет локальный экстремум в критической точке cc тогда и только тогда, когда производная f′f ′ меняет знак при увеличении xx на c.c.
    • Следовательно, чтобы проверить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке c, c, мы должны определить знак f ′ (x) f ′ (x) слева и справа от c.c.

    Этот результат известен как тест первой производной.

    Теорема 4.9

    Проверка первой производной

    Предположим, что ff — непрерывная функция на интервале II, содержащем критическую точку c. c. Если ff дифференцируема над I, I, за исключением, возможно, точки c, c, то f (c) f (c) удовлетворяет одному из следующих описаний:

    1. Если f′f ′ меняет знак с положительного, когда x c, x> c, то f (c) f (c) является локальным максимумом f.f.
    2. Если f′f ′ меняет знак с отрицательного, когда x c, x> c, то f (c) f (c) является локальным минимумом f.f.
    3. Если f′f ′ имеет один и тот же знак для x c, x> c, то f (c) f (c) не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом f.f.

    Мы можем резюмировать тест первой производной как стратегию поиска локальных экстремумов.

    Стратегия решения проблем: использование теста первой производной

    Рассмотрим функцию ff, непрерывную на интервале I.I.

    1. Найдите все критические точки ff и разделите интервал II на меньшие интервалы, используя критические точки в качестве конечных точек.
    2. Проанализируйте знак f′f ′ в каждом из подынтервалов. Если f′f ′ непрерывен на данном подынтервале (что обычно бывает), то знак f′f ′ на этом подынтервале не меняется и, следовательно, может быть определен путем выбора произвольной контрольной точки xx в этом подынтервале. и оценивая знак f′f ′ в этой контрольной точке. Используйте знаковый анализ, чтобы определить, увеличивается или уменьшается ff в течение этого интервала.
    3. Используйте тест первой производной и результаты шага 22, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум, локальный минимум или ни один из них в каждой из критических точек.

    Теперь давайте посмотрим, как использовать эту стратегию для поиска всех локальных экстремумов для определенных функций.

    Пример 4.17

    Использование теста первой производной для поиска локальных экстремумов

    Используйте тест первой производной, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов для f (x) = x3−3×2−9x − 1. f (x) = x3−3×2−9x − 1.Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

    Решение

    Шаг 1. Производная равна f ′ (x) = 3×2−6x − 9. f ′ (x) = 3×2−6x − 9. Чтобы найти критические точки, нам нужно найти, где f ′ (x) = 0. f ′ (x) = 0. Разлагая многочлен на множители, мы заключаем, что критические точки должны удовлетворять

    3 (x2−2x − 3) = 3 (x − 3) (x + 1) = 0,3 (x2−2x − 3) = 3 (x − 3) ( х + 1) = 0.

    Следовательно, критическими точками являются x = 3, −1.x = 3, −1. Теперь разделите интервал (−∞, ∞) (- ∞, ∞) на меньшие интервалы (−∞, −1), (- 1,3) и (3, ∞).(−∞, −1), (- 1,3) и (3, ∞).

    Шаг 2. Поскольку f′f ′ — непрерывная функция, для определения знака f ′ (x) f ′ (x) на каждом подынтервале достаточно выбрать точку на каждом из интервалов (−∞, −1 ), (- 1,3) и (3, ∞) (- ∞, −1), (- 1,3) и (3, ∞) и определяют знак f′f ′ в каждой из этих точек. Например, давайте выберем x = −2, x = 0 и x = 4x = −2, x = 0 и x = 4 в качестве контрольных точек.

    Интервал Контрольная точка Знак f ′ (x) = 3 (x − 3) (x + 1) f ′ (x) = 3 (x − 3) (x + 1) в контрольной точке Заключение
    (−∞, −1) (- ∞, −1) х = -2 х = -2 (+) (-) (-) = + (+) (-) (-) = + ff увеличивается.
    (−1,3) (- 1,3) х = 0х = 0 (+) (-) (+) = — (+) (-) (+) = — ff уменьшается.
    (3, ∞) (3, ∞) х = 4х = 4 (+) (+) (+) = + (+) (+) (+) = + ff увеличивается.

    Шаг 3. Поскольку f′f ′ меняет знак с положительного на отрицательный, когда xx увеличивается до –1, f – 1, f имеет локальный максимум при x = −1.x = −1. Поскольку f′f ′ меняет знак с отрицательного на положительный при увеличении xx до 3, f3, f имеет локальный минимум при x = 3.х = 3. Эти аналитические результаты согласуются со следующим графиком.

    Рисунок 4.32. Функция ff имеет максимум при x = −1x = −1 и минимум при x = 3x = 3.

    КПП 4.16

    Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для f (x) = — x3 + 32×2 + 18x.f (x) = — x3 + 32×2 + 18x.

    Пример 4.18

    Использование первого производного теста

    Используйте тест первой производной, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов для f (x) = 5×1 / 3 − x5 / 3. f (x) = 5×1 / 3 − x5 / 3. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

    Решение

    Шаг 1. Производная:

    f ′ (x) = 53x − 2 / 3−53×2 / 3 = 53×2 / 3−5×2 / 33 = 5−5×4 / 33×2 / 3 = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3. f ′ (x) = 53x − 2 / 3−53×2 / 3 = 53×2 / 3−5×2 / 33 = 5−5×4 / 33×2 / 3 = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3.

    Производная f ′ (x) = 0f ′ (x) = 0, когда 1 − x4 / 3 = 0,1 − x4 / 3 = 0. Следовательно, f ′ (x) = 0f ′ (x) = 0 при x = ± 1.x = ± 1. Производная f ′ (x) f ′ (x) не определена при x = 0.x = 0. Следовательно, у нас есть три критических точки: x = 0, x = 0, x = 1, x = 1 и x = −1.x = −1. Следовательно, разделим интервал (−∞, ∞) (- ∞, ∞) на меньшие интервалы (−∞, −1), (- 1,0), (0,1), (- ∞, −1), (−1,0), (0,1) и (1, ∞).(1, ∞).

    Шаг 2: Поскольку f′f ′ непрерывен на каждом подынтервале, достаточно выбрать контрольную точку xx в каждом из интервалов шага 11 и определить знак f′f ′ в каждой из этих точек. Точки x = −2, x = −12, x = 12 и x = 2x = −2, x = −12, x = 12 и x = 2 являются контрольными точками для этих интервалов.

    Интервал Контрольная точка Знак f ′ (x) = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3f ′ (x) = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3 в контрольной точке Заключение
    (−∞, −1) (- ∞, −1) х = -2 х = -2 (+) (-) + = — (+) (-) + = — ff уменьшается.
    (−1,0) (- 1,0) х = -12х = -12 (+) (+) + = + (+) (+) + = + ff увеличивается.
    (0,1) (0,1) х = 12 х = 12 (+) (+) + = + (+) (+) + = + ff увеличивается.
    (1, ∞) (1, ∞) х = 2х = 2 (+) (-) + = — (+) (-) + = — ff уменьшается.

    Шаг 3: Поскольку ff убывает на интервале (−∞, −1) (- ∞, −1) и увеличивается на интервале (−1,0), (- 1,0), ff имеет локальный минимум при x = −1.х = -1. Поскольку ff возрастает на интервале (−1,0) (- 1,0) и интервале (0,1), (0,1), ff не имеет локального экстремума при x = 0.x = 0. Поскольку ff возрастает на интервале (0,1) (0,1) и убывает на интервале (1, ∞), f (1, ∞), f имеет локальный максимум при x = 1. x = 1. Аналитические результаты согласуются со следующим графиком.

    Рис. 4.33. Функция f имеет локальный минимум при x = −1x = −1 и локальный максимум при x = 1.x = 1.

    КПП 4.17

    Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для f (x) = x − 13.е (х) = х-13.

    Вогнутость и точки перегиба

    Теперь мы знаем, как определить, где функция увеличивается или уменьшается. Однако есть еще одна проблема, которую следует учитывать в отношении формы графика функции. Если график изгибается, изгибается ли он вверх или вниз? Это понятие называется вогнутостью функции.

    На рис. 4.34 (a) показана функция ff с графиком, изгибающимся вверх. По мере увеличения xx наклон касательной увеличивается. Таким образом, поскольку производная увеличивается с увеличением xx, f′f ′ является возрастающей функцией.Мы говорим, что эта функция ff вогнута вверх. На рис. 4.34 (b) показана функция ff, которая изгибается вниз. По мере увеличения xx наклон касательной уменьшается. Поскольку производная убывает с увеличением xx, f′f ′ — убывающая функция. Мы говорим, что эта функция ff вогнута вниз.

    Определение

    Пусть ff — функция, дифференцируемая на открытом интервале I.I. Если f′f ′ возрастает над I, I, мы говорим, что ff вогнута вверх над I.I. Если f′f ′ убывает над I, I, мы говорим, что ff вогнута вниз над I.I.

    Рис. 4.34 (a), (c) Так как f′f ′ возрастает на интервале (a, b), (a, b), мы говорим, что ff вогнутое вверх над (a, b). (A, b). (b), (d) Поскольку f′f ′ убывает на интервале (a, b), (a, b), мы говорим, что ff вогнутая вниз на (a, b). (a, b).

    В общем, не имея графика функции f, f, как мы можем определить ее вогнутость? По определению функция ff вогнута вверх, если f′f ′ возрастает. Из следствия 3,3 мы знаем, что если f′f ′ — дифференцируемая функция, то f′f ′ возрастает, если ее производная f ″ (x)> 0.f ″ (x)> 0. Следовательно, дважды дифференцируемая функция ff будет вогнутой, когда f ″ (x)> 0. f ″ (x)> 0. Точно так же функция ff вогнута вниз, если f′f ′ убывает. Мы знаем, что дифференцируемая функция f′f ′ убывает, если ее производная f ″ (x) <0. f ″ (x) <0. Следовательно, дважды дифференцируемая функция ff вогнута вниз, когда f ″ (x) <0. f ″ (x) <0. Применение этой логики известно как тест на вогнутость.

    Теорема 4.10

    Тест на вогнутость

    Пусть ff — функция, дважды дифференцируемая на интервале I.I.

    1. Если f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для всех x∈I, x∈I, то ff вогнута вверх над I.I.
    2. Если f ″ (x) <0f ″ (x) <0 для всех x∈I, x∈I, то ff вогнута вниз над I.I.

    Мы заключаем, что мы можем определить вогнутость функции ff, глядя на вторую производную f.f. Кроме того, мы видим, что функция ff может переключать вогнутость (рисунок 4.35). Однако непрерывная функция может переключать вогнутость только в точке xx, если f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 или f ″ (x) f ″ (x) не определено.Следовательно, чтобы определить интервалы, в которых функция ff вогнута вверх и вогнута вниз, мы ищем те значения xx, где f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 или f ″ (x) f ″ (x) равно неопределенный. Когда мы определили эти точки, мы разделим область определения ff на меньшие интервалы и определим знак f ″ f ″ для каждого из этих меньших интервалов. Если f ″ f ″ меняет знак при прохождении через точку x, x, то ff меняет вогнутость. Важно помнить, что функция ff не может изменять вогнутость в точке xx, даже если f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 или f ″ (x) f ″ (x) не определено.Если, однако, ff действительно изменяет вогнутость в точке aa и ff непрерывен в a, a, мы говорим, что точка (a, f (a)) (a, f (a)) является точкой перегиба f.f.

    Определение

    Если ff непрерывен в aa, а ff изменяет вогнутость в a, a, точка (a, f (a)) (a, f (a)) является точкой перегиба f.f.

    Рис. 4.35. Поскольку f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для x a, x> a, функция ff вогнута вниз на интервале (a, ∞).(а, ∞). Точка (a, f (a)) (a, f (a)) является точкой перегиба f.f.

    Пример 4.19

    Испытание на вогнутость

    Для функции f (x) = x3−6×2 + 9x + 30, f (x) = x3−6×2 + 9x + 30, определить все интервалы, где ff вогнута вверх, и все интервалы, где ff вогнута вниз. Перечислите все точки перегиба для f.f. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

    Решение

    Чтобы определить вогнутость, нам нужно найти вторую производную f ″ (x) .f ″ (x). Первая производная равна f ′ (x) = 3×2−12x + 9, f ′ (x) = 3×2−12x + 9, поэтому вторая производная равна f ″ (x) = 6x − 12.f ″ (x) = 6x − 12. Если функция изменяет вогнутость, это происходит либо когда f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0, либо f ″ (x) f ″ (x) не определено. Поскольку f ″ f ″ определено для всех действительных чисел x, x, нам нужно только найти, где f ″ (x) = 0. f ″ (x) = 0. Решая уравнение 6x − 12 = 0,6x − 12 = 0, мы видим, что x = 2x = 2 — единственное место, где ff может изменить вогнутость. Теперь мы проверяем точки на интервалах (−∞, 2) (- ∞, 2) и (2, ∞) (2, ∞), чтобы определить вогнутость f.f. Точки x = 0x = 0 и x = 3x = 3 являются контрольными точками для этих интервалов.

    Интервал Контрольная точка Знак f ″ (x) = 6x − 12f ″ (x) = 6x − 12 в контрольной точке Заключение
    (−∞, 2) (- ∞, 2) х = 0х = 0 −− ff вогнутая вниз
    (2, ∞) (2, ∞) х = 3х = 3 ++ ff вогнутый вверх.

    Мы заключаем, что ff вогнута вниз на интервале (−∞, 2) (- ∞, 2) и вогнута вверх на интервале (2, ∞). (2, ∞). Поскольку ff изменяет вогнутость при x = 2, x = 2, точка (2, f (2)) = (2,32) (2, f (2)) = (2,32) является точкой перегиба. Рисунок 4.36 подтверждает аналитические результаты.

    Рисунок 4.36 Данная функция имеет точку перегиба в (2,32) (2,32), где график меняет вогнутость.

    КПП 4.18

    Для f (x) = — x3 + 32×2 + 18x, f (x) = — x3 + 32×2 + 18x, найти все интервалы, где ff вогнута вверх, и все интервалы, где ff вогнута вниз.

    Теперь мы суммируем в таблице 4.1 информацию, которую первая и вторая производные функции ff предоставляют о графике f, f, и проиллюстрируем эту информацию на рисунке 4.37.

    Знак f′f ′ Знак f ″ f ″ Ff увеличивается или уменьшается? Вогнутость
    Положительный Положительно Увеличение Вогнутый вверх
    Положительный отрицательный Увеличение Вогнутый вниз
    Отрицательный Положительно Уменьшение Вогнутый вверх
    Отрицательный отрицательный Уменьшение Вогнутый вниз

    Таблица 4. 1 Что производные говорят нам о графиках

    Рис. 4.37. Рассмотрим дважды дифференцируемую функцию ff на открытом интервале I.I. Если f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 для всех x∈I, x∈I, функция возрастает по I.I. Если f ′ (x) <0f ′ (x) <0 для всех x∈I, x∈I, функция убывает по I.I. Если f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для всех x∈I, x∈I, функция вогнута вверх. Если f ″ (x) <0f ″ (x) <0 для всех x∈I, x∈I, функция вогнута вниз на I.I.

    Тест второй производной

    Тест первой производной предоставляет аналитический инструмент для поиска локальных экстремумов, но вторая производная также может использоваться для определения экстремальных значений.Иногда использование второй производной может быть более простым методом, чем использование первой производной.

    Мы знаем, что если у непрерывной функции есть локальные экстремумы, они должны возникать в критической точке. Однако функция не обязательно должна иметь локальные экстремумы в критической точке. Здесь мы исследуем, как можно использовать тест второй производной, чтобы определить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке. Пусть ff — дважды дифференцируемая функция такая, что f ′ (a) = 0f ′ (a) = 0 и f ″ f ″ непрерывна на открытом интервале II, содержащем a.а. Предположим, что f ″ (a) <0. f ″ (a) <0. Поскольку f ″ f ″ непрерывна над I, I, f ″ (x) <0f ″ (x) <0 для всех x∈Ix∈I (рис. 4.38). Тогда по следствию 3,3 f′f ′ - убывающая функция над I.I. Поскольку f ′ (a) = 0, f ′ (a) = 0, мы заключаем, что для всех x∈I, f ′ (x)> 0x∈I, f ′ (x)> 0, если x ax> a. Следовательно, по тесту первой производной ff имеет локальный максимум при x = a.x = a. С другой стороны, предположим, что существует точка bb такая, что f ′ (b) = 0f ′ (b) = 0, но f ″ (b)> 0. f ″ (b)> 0. Поскольку f ″ f ″ непрерывна на открытом интервале II, содержащем b, b, то f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для всех x∈Ix∈I (рисунок 4.38). Тогда по следствию 3 f′3, f ′ — возрастающая функция над I.I. Поскольку f ′ (b) = 0, f ′ (b) = 0, мы заключаем, что для всех x∈I, x∈I, f ′ (x) <0f ′ (x) <0, если x 0f ′ (x)> 0, если x> bx> b. Следовательно, по тесту первой производной ff имеет локальный минимум при x = b.x = b.

    Рис. 4.38. Рассмотрим дважды дифференцируемую функцию ff такую, что f ″ f ″ непрерывна. Поскольку f ′ (a) = 0f ′ (a) = 0 и f ″ (a) <0, f ″ (a) <0, существует интервал II, содержащий aa, такой, что для всех xx в I, I, ff равно увеличивается, если x a.х> а. В результате ff имеет локальный максимум при x = a.x = a. Поскольку f ′ (b) = 0f ′ (b) = 0 и f ″ (b)> 0, f ″ (b)> 0, существует интервал II, содержащий bb, такой, что для всех xx в I, I, ff равно уменьшается, если x bx> b. В результате ff имеет локальный минимум при x = b.x = b.

    Теорема 4.11

    Тест второй производной

    Предположим, что f ′ (c) = 0, f ″ f ′ (c) = 0, f ″ непрерывно на интервале, содержащем c.c.

    1. Если f ″ (c)> 0, f ″ (c)> 0, то ff имеет локальный минимум в c.c.
    2. Если f ″ (c) <0, f ″ (c) <0, то ff имеет локальный максимум в c. c.
    3. Если f ″ (c) = 0, f ″ (c) = 0, то проверка не дает результатов.

    Обратите внимание, что для случая iii. когда f ″ (c) = 0, f ″ (c) = 0, тогда ff может иметь локальный максимум, локальный минимум или ни один из них в c.c. Например, функции f (x) = x3, f (x) = x3, f (x) = x4, f (x) = x4 и f (x) = — x4f (x) = — x4 все имеют критические указывает на x = 0.x = 0. В каждом случае вторая производная равна нулю при x = 0.x = 0. Однако функция f (x) = x4f (x) = x4 имеет локальный минимум при x = 0x = 0, тогда как функция f (x) = — x4f (x) = — x4 имеет локальный максимум при x, x, а функция f (x) = x3f (x) = x3 не имеет локального экстремума при x = 0.х = 0.

    Давайте теперь посмотрим, как использовать тест второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в критической точке cc, где f ′ (c) = 0. f ′ (c) = 0.

    Пример 4.20

    Использование теста второй производной

    Используйте вторую производную, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов для f (x) = x5−5×3. f (x) = x5−5×3.

    Решение

    Чтобы применить тест второй производной, нам сначала нужно найти критические точки cc, где f ′ (c) = 0.f ′ (c) = 0. Производная равна f ′ (x) = 5×4−15×2.f ′ (x) = 5×4−15×2. Следовательно, f ′ (x) = 5×4−15×2 = 5×2 (x2−3) = 0f ′ (x) = 5×4−15×2 = 5×2 (x2−3) = 0, когда x = 0, ± 3.x = 0, ± 3.

    Чтобы определить, есть ли у ff локальные экстремумы в любой из этих точек, нам нужно оценить знак f ″ f ″ в этих точках. Вторая производная —

    f ″ (x) = 20×3−30x = 10x (2×2−3). f ″ (x) = 20×3−30x = 10x (2×2−3).

    В следующей таблице мы оцениваем вторую производную в каждой из критических точек и используем тест второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в любой из этих точек.

    хх f ″ (x) f ″ (x) Заключение
    −3−3 −303−303 Местный максимум
    00 00 Тест второй производной безрезультатно
    33 303303 Местный минимум

    Используя проверку второй производной, мы заключаем, что ff имеет локальный максимум при x = −3x = −3, а ff имеет локальный минимум при x = 3.х = 3. Тест второй производной не дает результатов при x = 0.x = 0. Чтобы определить, есть ли у ff локальные экстремумы при x = 0, x = 0, мы применяем тест первой производной. Чтобы оценить знак f ′ (x) = 5×2 (x2−3) f ′ (x) = 5×2 (x2−3) для x∈ (−3,0) x∈ (−3,0) и x∈ ( 0,3), x∈ (0,3), пусть x = −1x = −1 и x = 1x = 1 — две контрольные точки. Поскольку f ′ (- 1) <0f ′ (- 1) <0 и f ′ (1) <0, f ′ (1) <0, мы заключаем, что ff убывает на обоих интервалах и, следовательно, ff не имеет локальные экстремумы при x = 0x = 0, как показано на следующем графике.

    Рисунок 4.39 Функция ff имеет локальный максимум при x = −3x = −3 и локальный минимум при x = 3x = 3.

    КПП 4.19

    Рассмотрим функцию f (x) = x3− (32) x2−18x.f (x) = x3− (32) x2−18x. Точки c = 3, −2c = 3, −2 удовлетворяют условию f ′ (c) = 0. f ′ (c) = 0. Используйте тест второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в этих точках.

    Мы разработали инструменты, необходимые для определения того, где функция увеличивается и уменьшается, а также получили представление об основной форме графика.В следующем разделе мы обсудим, что происходит с функцией при x → ± ∞.x → ± ∞. На данный момент у нас есть достаточно инструментов для создания точных графиков большого количества функций.

    Раздел 4.5 Упражнения

    194.

    Если cc является критической точкой для f (x), f (x), когда нет локального максимума или минимума в c? C? Объяснять.

    195.

    Для функции y = x3, y = x3, является ли x = 0x = 0 точкой перегиба и локальным максимумом / минимумом?

    196.

    Для функции y = x3, y = x3, является ли x = 0x = 0 точкой перегиба?

    197.

    Может ли точка cc быть одновременно точкой перегиба и локальным экстремумом дважды дифференцируемой функции?

    198.

    Зачем нужна непрерывность для первого производного теста? Придумайте пример.

    199.

    Объясните, должна ли функция вогнутого вниз пересекать y = 0y = 0 для некоторого значения x.x.

    200.

    Объясните, может ли многочлен степени 22 иметь точку перегиба.

    Для следующих упражнений проанализируйте графики f ‘, f’, затем перечислите все интервалы, в которых ff увеличивается или уменьшается.

    202. 204.

    Для следующих упражнений проанализируйте графики f ′, f ′, затем перечислите все интервалы, где

    1. ff увеличивается и уменьшается и
    2. расположены минимумы и максимумы.
    206. 208. 210.

    Для следующих упражнений проанализируйте графики f ‘, f’, затем перечислите все точки перегиба и интервалы ff, которые вогнуты вверх и вогнуты вниз.

    212. 214.

    Для следующих упражнений нарисуйте граф, удовлетворяющий заданным спецификациям для области x = [- 3,3].х = [- 3,3]. Функция не обязательно должна быть непрерывной или дифференцируемой.

    216.

    f (x)> 0, f ′ (x)> 0f (x)> 0, f ′ (x)> 0 над x> 1, −3 1, −3 217.

    f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 над x> 2, −3 2, −3 218.

    f ″ (x) <0f ″ (x) <0 сверх −1 0, −3 0, −3 219.

    Имеется локальный максимум при x = 2, x = 2, локальный минимум при x = 1, x = 1, и график не является ни вогнутым вверх, ни вогнутым вниз.

    220.

    Есть локальные максимумы при x = ± 1, x = ± 1, функция вогнута вверх для всех x, x, и функция остается положительной для всех x.x.

    Для следующих упражнений определите

    1. интервалов увеличения или уменьшения ff и
    2. локальных минимумов и максимумов f.f.
    221.

    f (x) = sinx + sin3xf (x) = sinx + sin3x над −π

    Для следующих упражнений определите a.интервалы, где ff вогнута вверх или вогнута вниз, и b. точки перегиба ф.ф.

    223.

    f (x) = x3−4×2 + x + 2f (x) = x3−4×2 + x + 2

    Для следующих упражнений определите

    1. интервалы увеличения или уменьшения ff,
    2. локальных минимумов и максимумов f, f,
    3. интервалов, где ff является вогнутым вверх и вогнутым вниз, и
    4. точки перегиба ф.ф.
    225.

    f (x) = x3−6x2f (x) = x3−6×2

    226.

    f (x) = x4−6x3f (x) = x4−6×3

    227.

    f (x) = x11−6x10f (x) = x11−6×10

    228.

    f (x) = x + x2 − x3f (x) = x + x2 − x3

    Для следующих упражнений определите

    1. интервалы увеличения или уменьшения ff,
    2. локальных минимумов и максимумов f, f,
    3. интервалов, где ff является вогнутым вверх и вогнутым вниз, и
    4. точки перегиба ф.ф. Нарисуйте кривую, а затем с помощью калькулятора сравните свой ответ. Если вы не можете определить точный ответ аналитически, воспользуйтесь калькулятором.
    231.

    [T] f (x) = sin (πx) −cos (πx) f (x) = sin (πx) −cos (πx) над x = [- 1,1] x = [- 1,1 ]

    232.

    [T] f (x) = x + sin (2x) f (x) = x + sin (2x) over x = [- π2, π2] x = [- π2, π2]

    233.

    [T] f (x) = sinx + tanxf (x) = sinx + tanx над (−π2, π2) (- π2, π2)

    234.

    [T] f (x) = (x − 2) 2 (x − 4) 2f (x) = (x − 2) 2 (x − 4) 2

    235.

    [T] f (x) = 11 − x, x ≠ 1f (x) = 11 − x, x ≠ 1

    236.

    [T] f (x) = sinxxf (x) = sinxx над x = x = [2π, 0) ∪ (0,2π] [2π, 0) ∪ (0,2π]

    237.

    f (x) = sin (x) exf (x) = sin (x) ex над x = [- π, π] x = [- π, π]

    238.

    f (x) = lnxx, x> 0 f (x) = lnxx, x> 0

    239.

    f (x) = 14x + 1x, x> 0f (x) = 14x + 1x, x> 0

    240.

    f (x) = exx, x ≠ 0f (x) = exx, x ≠ 0

    Для следующих упражнений интерпретируйте предложения в терминах f, f ′ и f ″ .f, f ′ и f ″.

    241.

    Население растет медленнее. Здесь ff — население.

    242.

    Велосипед ускоряется быстрее, но машина едет быстрее. Здесь f = f = положение велосипеда минус положение автомобиля.

    243.

    Самолет плавно приземляется. Здесь ff — высота самолета.

    244.

    Акции на пике. Здесь ff — цена акции.

    245.

    Экономика набирает обороты. Здесь ff — это показатель экономики, например ВВП.

    Для следующих упражнений рассмотрим многочлен третьей степени f (x), f (x), который обладает свойствами f ′ (1) = 0, f ′ (3) = 0. f ′ (1) = 0, f ′ (3) = 0. Определите, являются ли следующие утверждения верными или ложными . Обосновать ответ.

    246.

    f (x) = 0f (x) = 0 для некоторых 1≤x≤31≤x≤3

    247.

    f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 для некоторого 1≤x≤31≤x≤3

    248.

    Нет абсолютного максимума при x = 3x = 3

    249.

    Если f (x) f (x) имеет три корня, то у нее 11 точек перегиба.

    250.

    Если f (x) f (x) имеет одну точку перегиба, то она имеет три действительных корня.

    Правило первой производной

    Первую производную можно использовать для определения точек локального минимума и / или максимума функции, а также интервалов увеличения и уменьшения.

    Рисунок 1 представляет собой график полиномиальной функции 2x 3 + 3x 2 — 30x.

    Первая производная точки — это наклон касательной в этой точке. Когда наклон касательной равен 0, точка является либо локальным минимумом, либо локальным максимумом. Таким образом, когда первая производная точки равна 0, точка является местоположением локального минимума или максимума.

    ПЕРВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПРОВЕРКА:

    Предположим, что c — точка, в которой первая производная равна 0, f (c) = 0


    • Если f изменяется с положительного на отрицательное в c , то c — это локальный максимум .
    • Если f изменяется с отрицательного на положительное в точке c, то c является локальным минимумом .
    • Если f не изменяется в c, значит, в c не существует минимума / максимума.

    Поскольку производная — это наклон касательной, если производная положительна, это означает, что наклон положительный и функция возрастает. Аналогично, если производная отрицательна, наклон отрицательный, и функция убывает.Поэтому у нас есть тест, чтобы определить, увеличивается или уменьшается интервал.

    Если первая производная положительна на интервале, функция увеличивается на этом интервале. Если первая производная отрицательна на интервале, функция убывает на этом интервале.

    ТЕСТ НА УВЕЛИЧЕНИЕ / УМЕНЬШЕНИЕ:


    • Если f > 0 на интервале, функция увеличивается на этом интервале.
    • If f

    Давайте рассмотрим несколько примеров.

    Для работы этих примеров требуется использование различных производных правил. Если вы не знакомы с правилом, перейдите к соответствующей теме для обзора.

    Пример 1. Определите локальные точки минимума и максимума, а также интервалы, на которых функция увеличивается и уменьшается для f (x) = 2x 3 + 3x 2 — 36x.

    Шаг 1: Найдите значения x, когда первая производная равна 0, f ′ (x) = 0.

    Найдите первую производную:

    f (x) = 2x 3 + 3x 2 — 36x

    f ′ (x) = 6×2 + 6x − 36

    Установите производную равной нулю:

    0 = 6x 2 + 6x — 36

    Фактор:

    0 = 6 (х 2 + х — 6)

    0 = 6 (х + 3) (х — 2)

    Установите каждый коэффициент равным нулю и решите:

    6 ≠ 0

    х + 3 = 0; х = -3

    х — 2 = 0; х = 2

    Шаг 2: Создайте таблицу интервалов, которые заканчиваются / начинаются с x-значений, таких, что f ′ (x) = 0

    Возьмите значения x, найденные на шаге 1, и создайте таблицу интервалов.

    Чтобы определить знак первой производной, выберите число в интервале и решите.

    Если первая производная на интервале положительна, функция возрастает. Если первая производная на интервале отрицательна, функция уменьшается.


    Интервал

    f ′ (x) = 6×2 + 6x − 36

    f

    −∞≤x≤ − 3

    f ′ (- 4) = 6 (−4) 2 + 6 (−4) −36 = 36

    +

    Увеличение на −∞≤x≤ − 3

    −3≤x≤2

    f ′ (0) = 6 (0) 2 + 6 (0) −36 = −36

    Уменьшение на −3≤x≤2

    2≤x≤∞

    f ′ (3) = 6 (3) 2 + 6 (3) −36 = 36

    +

    Увеличение на 2≤x≤∞

    Шаг 3: Примените тест первой производной для определения точек минимума / максимума.

    Поскольку первая производная изменяется с положительной на отрицательную при -3, существует локальный максимум при -3. Максимальное значение в этой точке:

    f (−3) = 2 (−3) 3 + 3 (−3) 2−30 (−3) = 63 Локальный максимум: (-3, 63)

    Поскольку первая производная изменяется с отрицательной на положительную в 2, существует локальный минимум в 2.Максимальное значение в этой точке:

    f (2) = 2 (2) 3 + 3 (2) 2−30 (2) = — 32 Локальный минимум: (2, -32)

    Пример 2: Определите локальные точки минимума и максимума и интервалы, на которых функция увеличивается и уменьшается для f (x) = 2 sin x в интервале 0≤x≤2π.

    Шаг 1: Найдите значения x, когда первая производная равна 0, f ′ (x) = 0.

    Найдите первую производную:

    f (x) = 2sinx

    f ′ (x) = 2cosx

    Установите производную равной нулю:

    0 = 2 cos x

    Решите относительно x:

    0 = cos x

    cos − 10 = x

    π2, −3π2 = x

    Шаг 2: Создайте таблицу интервалов, которые заканчиваются / начинаются с x-значений, таких, что f ′ (x) = 0.

    Возьмите значения x, найденные на шаге 1, и создайте таблицу интервалов.

    Чтобы определить знак первой производной, выберите число в интервале и решите.

    Если первая производная на интервале положительна, функция возрастает. Если первая производная на интервале отрицательна, функция уменьшается.


    Интервал

    f ′ (x) = 2cosx

    f

    0≤x≤π2

    f ′ (1) = 2cos1≈1.08

    +

    Увеличение на 0≤x≤π2

    π2≤x≤3π2

    f ′ (2) = 2cos2≈ − 0.83

    Уменьшение на π2≤x≤3π2

    3π2≤x≤2π

    f ′ (6) = 2cos6≈1.92

    +

    Увеличение на 3π2≤x≤2π

    Шаг 3: Примените тест первой производной для определения точек минимума / максимума.

    Поскольку первая производная изменяется с положительной на отрицательную при π2, существует локальный максимум при π2. Максимальное значение в этой точке:

    f (π2) = 2sinπ2 = 2 Локальный максимум: (π2, 2)

    Поскольку первая производная изменяется с отрицательной на положительную при 3π2, существует локальный минимум при 3π2.Максимальное значение в этой точке:

    f (3π2) = 2sin3π2 = −2 Локальный минимум: (3π22, −2)

    Бизнес-исчисление

    Вторая производная и вогнутость

    Графически функция представляет собой вогнутую вверх , если ее график изогнут с раскрытием вверх (Рисунок 1a). Аналогично, функция вогнута вниз на , если ее график открывается вниз (рис. 1b).

    Рисунок 1

    На этом рисунке показана вогнутость функции в нескольких точках. Обратите внимание, что функция может быть вогнутой независимо от того, увеличивается она или уменьшается.

    Например, эпидемия : Предположим, началась эпидемия, и вы, как участник конгресса, должны решить, эффективно ли борются с распространением болезни текущие методы или нужны более решительные меры и больше денег. На рисунке 2 ниже \ (f (x) \) — это количество людей, у которых есть болезнь в момент \ (x \), и показаны две разные ситуации.На рисунках 2a и 2b показано количество людей с заболеванием \ (f (\ text {now}) \) и частота, с которой новые люди заболевают, \ (f ‘(\ text {now} )\), одинаковы. Разница в двух ситуациях заключается в вогнутости \ (f \), и эта разница в вогнутости может сильно повлиять на ваше решение.

    Рис. 2

    На Рис. 2a, \ (f \) вогнутая вниз в «сейчас», наклоны уменьшаются, и это выглядит так, как будто оно сокращается. Мы можем сказать: «\ (f \) увеличивается с убывающей скоростью.»Похоже, что нынешние методы начинают контролировать эпидемию.

    На рис. 2b, \ (f \) вогнутая вверх, наклоны увеличиваются, и похоже, что она будет увеличиваться все быстрее и быстрее. Похоже, что эпидемия все еще вышла из-под контроля.

    Различия между графиками зависят от того, увеличивается или уменьшается производная

    Производная функции f — это функция, которая дает информацию о наклоне \ (f \). Производная сообщает нам, увеличивается или уменьшается исходная функция .

    Поскольку \ (f ‘\) — функция, мы можем взять ее производную. Эта вторая производная также дает нам информацию о нашей исходной функции \ (f \). Вторая производная дает нам математический способ определить, как график функции искривлен. Вторая производная сообщает нам, является ли исходная функция вогнутой вверх или вниз .

    Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5.

    Вторая производная

    Пусть \ (y = f (x) \).2} \). Это читается вслух как «вторая производная от y (или f)».

    Если \ (f » (x) \) положительно на интервале, график \ (y = f (x) \) будет на вогнутым вверх на на этом интервале. Можно сказать, что \ (f \) увеличивается (или уменьшается) на с возрастающей скоростью .

    Если \ (f » (x) \) отрицательно на интервале, график \ (y = f (x) \) будет на вогнутым вниз на на этом интервале. Можно сказать, что \ (f \) увеличивается (или уменьшается) на с уменьшающейся скоростью .5. \]

    Если \ (f (x) \) представляет положение частицы в момент времени \ (x \), то \ (v (x) = f ‘(x) \) будет представлять скорость (скорость изменения положения ) частицы, а \ (a (x) = v ‘(x) = f’ ‘(x) \) будет представлять ускорение (скорость изменения скорости) частицы.

    Вы, вероятно, знакомы с ускорением от вождения или езды на автомобиле. Спидометр показывает вашу скорость (скорость). Когда вы выходите с остановки и нажимаете педаль акселератора, вы ускоряетесь — увеличивая скорость.2 \)} \).

    В момент времени 0 и 1 ускорение отрицательное, поэтому скорость частицы будет уменьшаться в этих точках — частица замедлялась. В момент времени 2 скорость положительна, значит, скорость частицы увеличивалась.

    Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5.

    Точки перегиба

    Определение (точка перегиба)

    Точка перегиба — это точка на графике функции, в которой вогнутость функции изменяется с вогнутой вверх на вниз или с вогнутой вниз на вверх.

    Пример 3

    Какие из отмеченных точек на графике ниже являются точками перегиба?

    Вогнутость изменяется в точках b и g. В точках a и h график имеет вогнутость с обеих сторон, поэтому вогнутость не меняется. В точках c и f график с обеих сторон вогнут вниз. В точке е, хотя график там выглядит странно, график вогнут вниз с обеих сторон — вогнутость не меняется.

    Точки перегиба возникают при изменении вогнутости.Поскольку мы знаем связь между вогнутостью функции и знаком ее второй производной, мы можем использовать это для поиска точек перегиба.

    Рабочее определение

    Точка перегиба — это точка на графике, где вторая производная меняет знак.

    Чтобы вторая производная сменила знак, она должна быть равна нулю или быть неопределенной. Таким образом, чтобы найти точки перегиба функции, нам нужно только проверить точки, где \ (f » (x) \) равно 0 или не определено.{-5/3} \). \ (h » \) не определено, если \ (x = 0 \), но \ (h » (\ text {отрицательное число}) \ gt 0 \) и \ (h » (\ text {положительное число }) \ lt 0 \), поэтому \ (h \) меняет вогнутость в точке (0,0), а (0,0) является точкой перегиба \ (h \).

    Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5.

    Пример 5

    Нарисуйте график функции с \ (f (2) = 3 \), \ (f ‘(2) = 1 \) и точкой перегиба в (2,3).

    Здесь показаны два возможных решения.

    Математических изображений | Полиномиальные функции и производная (1): линейные функции

    Простейшие функции — это линейные функции. Их формулы представляют собой многочлены степени один или cero (это случай, когда функция является постоянной функцией). Их графики представляют собой прямые линии.

    Мы заинтересованы в изучении производных простых функций с помощью интуитивно понятного и наглядного подхода. Начнем с линейной функции.

    ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

    Производная функции в точке может быть определена как мгновенная скорость изменения или как наклон касательной линии к график функции в этой точке. Можно сказать, что этот наклон касательной функции в точке — это наклон функция.

    Наклон функции, как правило, зависит от x. Тогда, начиная с функции, мы можем получить новую функцию, производную функцию исходной функции.

    Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

    Значение производной функции для любого значения x — это наклон исходной функции в точке x.

    Как мы можем нарисовать производную функцию заданной функции (в нашем случае линейной функции)?

    Общая процедура проста: мы начинаем рисовать касательную к функции в заданной точке.

    В нашем случае это очень просто, потому что касательная к прямой — это та же самая линия:

    Затем мы проводим параллельную линию касательной, проходящую через значение x-1, и получаем прямоугольный треугольник.Длина вертикальной стороны — наклон касательной.

    Затем мы можем нарисовать производную функцию линейной функции, что очень просто, потому что это постоянная функция. Ценность этого Постоянная функция — это наклон исходной линейной функции.

    Например, линейная функция с положительным наклоном:

    Другой пример, линейная функция с отрицательным наклоном:

    Когда функция является постоянной функцией, это означает, что ее график представляет собой горизонтальную линию (наклон равен 0).Тогда производная постоянной функции — это постоянная функция 0.

    Одна простая и интересная идея заключается в том, что когда мы переводим график функции вверх и вниз (мы добавляем или вычитаем число из исходной функции) производная не меняется. Причина очень интуитивна, и мы можем поиграть с интерактивным приложением, чтобы увидеть это свойство. Когда ты переместите фиолетовую точку, которую вы переводите вверх и вниз по графику, и производная будет такой же:

    Важно отметить, что производная многочлена степени 1 является постоянной функцией (многочленом степени 0).Когда мы получить такую ​​полиномиальную функцию, результатом будет многочлен, степень которого на 1 меньше, чем у исходной функции.

    Когда мы изучаем интеграл многочлена степени 1, мы видим, что в этом случае новая функция является многочленом степени 2. Еще на одну степень чем исходная функция.

    Эти результаты связаны с основной теоремой исчисления.

    РЕКОМЕНДАЦИИ

    Майкл Спивак, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.

    Том М. Апостол, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

    БОЛЬШЕ ССЫЛКИ

    Производная кубической функции — это квадратичная функция, парабола.

    Многочлены Лагранжа — это многочлены, проходящие через n заданных точек. Мы используем полиномы Лагранжа, чтобы исследовать общую полиномиальную функцию и ее производную.

    Если производная от F (x) равна f (x), то мы говорим, что неопределенный интеграл от f (x) относительно x равен F (x).Мы также говорим, что F — первообразная или примитивная функция от f.

    Две точки определяют прямую линию. Как функцию мы называем это линейной функцией. Мы можем видеть наклон линии и то, как мы можем получить уравнение прямой через две точки. Мы также изучаем точки пересечения по оси x и оси y линейного уравнения.

    Степень с натуральными показателями — простые и важные функции. Их обратные функции — это степени с рациональными показателями (радикал или корень n-й степени)

    Многочлены степени 2 — это квадратичные функции.Их графики — параболы. Чтобы найти точки пересечения по оси x, мы должны решить квадратное уравнение. Вершина параболы — это максимум минимума функции.

    Многочлены степени 3 — это кубические функции. Реальная кубическая функция всегда пересекает ось x хотя бы один раз.

    В качестве введения в кусочно-линейные функции мы изучаем линейные функции, ограниченные открытым интервалом: их графики подобны отрезкам.

    Кусочная функция — это функция, которая определяется несколькими подфункциями.Если каждый кусок является постоянной функцией, то кусочная функция называется кусочно-постоянной функцией или ступенчатой ​​функцией.

    Непрерывная кусочно-линейная функция определяется несколькими отрезками или лучами, соединенными без скачков между ними.

    Интегральное понятие ассоциируется с понятием площади. Мы начали рассматривать область, ограниченную графиком функции и осью абсцисс между двумя вертикальными линиями.

    Монотонные функции на отрезке интегрируемы.В этих случаях мы можем ограничить ошибку, которую мы допускаем при приближении интеграла с помощью прямоугольников.

    Если мы рассматриваем нижний предел интегрирования a как фиксированный и если мы можем вычислить интеграл для различных значений верхнего предела интегрирования b, то мы можем определить новую функцию: неопределенный интеграл от f.

    Подсчитать площадь под прямой несложно. Это первый пример интеграции, который позволяет нам понять идею и ввести несколько основных понятий: интегральное как область, пределы интеграции, положительные и отрицательные области.

    Вычислить площадь по параболе сложнее, чем вычислить площадь по линейной функции. Мы покажем, как аппроксимировать эту область с помощью прямоугольников и что интегральная функция многочлена степени 2 является многочленом степени 3.

    Мы можем увидеть некоторые основные понятия об интегрировании, применяемые к общей полиномиальной функции. Интегральные функции от полиномиальных функций — это полиномиальные функции с одной степенью выше, чем исходная функция.

    Фундаментальная теорема исчисления говорит нам, что каждая непрерывная функция имеет первообразную, и показывает, как построить ее с помощью интеграла.

    Вторая основная теорема исчисления — мощный инструмент для вычисления определенного интеграла (если мы знаем первообразную функции).

    Увеличивая степень, полином Тейлора все больше и больше приближает экспоненциальную функцию.

    Увеличивая степень, полином Тейлора все больше и больше приближает функцию синуса.

    Функция не определена для значений меньше -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат приближают функцию от -1 до 1.

    Функция имеет особенность в -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат приближают функцию от -1 до 1.

    Функция имеет особенность в -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат приближают функцию от -1 до 1.

    Эта функция имеет две действительные особенности в точках -1 и 1.Многочлены Тейлора аппроксимируют функцию в интервале с центром в центре ряда. Его радиус — это расстояние до ближайшей особенности.

    Это непрерывная функция, не имеющая реальных особенностей. Однако ряд Тейлора приближает функцию только в интервале. Чтобы понять это поведение, мы должны рассмотреть сложную функцию.

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск