Заметки по исчислению I, раздел 2-10

Первая производная функции — это выражение, которое сообщает нам наклон касательной линия к кривой в любой момент. Из-за этого определения первый производная функции многое говорит нам о функции. Если положительный, то должен увеличиваться. Если отрицательный, то должен уменьшаться. Если равно нулю, то должно быть при относительном максимуме или относительном минимуме. говорит нам похожие вещи о. также дает нам ценную информацию о. В в частности, он сообщает нам, когда функция вогнута вверх, вогнута вниз, или есть точка перегиба. Такой же тип информации указал о по и так далее.

увеличение	+
уменьшение	—
относительный мин.или макс.	0
вогнуться	увеличение	+
вогнуться	уменьшение	—
точка перегиба	относительный мин. или макс.	0
	вогнуться	увеличение	+
	вогнуться	уменьшение	—
	точка перегиба	относительный мин. или макс.	0
		вогнуться	увеличение
		вогнуться	уменьшение
		точка перегиба	относительный мин.или макс.
			вогнуться
			вогнуться
			точка перегиба

Использование Инструменты для обогащения Calculus CD (пришел вместе с книгой), загрузите и запустите модуль 2. 10 . Этот модуль позволит вам попрактиковаться в использовании графической информации. о f ‘для определения наклона графика f ..

Определение:

Здесь у нас есть процесс, обратный тому, что мы изучение.Мы начинаем с производной, и мы хотим найти функцию. Этот тип процесса открытия является общим для научных экспериментов и данных встреча.

Во-первых, нам нужно знать, что разные функции могут результат в точно такая же производная. Посмотрите на пример ниже:

# 1: положительная производная что насчет функции?	Выберите одну функцию положительная функция отрицательная функция возрастающая функция убывающая
# 2: отрицательная секунда производная говорит о том, что функция?	Выберите одну функцию уменьшается Функция вогнута вниз Функция отрицательный
# 3: Верно или неверно. В производная функции также функция.	Выберите одно верно неверно
# 4: Вторая производная нуля говорит, что насчет оригинальная функция?	Выберите там точка перегиба Есть относительный минимум или максимум It должна быть постоянной функцией
# 5: Верно или неверно.А вторая производная функции дает ценную информацию о функции.	Выберите одно верно неверно

AC Вторая производная

Для дифференцируемой функции \ (y = f (x) \ text {,} \) мы знаем, что ее производная \ (y = f ‘(x) \ text {,} \) является связанная функция, вывод которой в \ (x = a \) сообщает нам наклон касательной к \ (y = f (x) \) в точке \ ((a, f (a)) \ text {.} \) То есть высоты на графике производных говорят нам значения уклонов на графике исходной функции.

В точке, где \ (f ‘(x) \) положительно, наклон касательной к \ (f \) положительный. Следовательно, на интервале, где \ (f ‘(x) \) положительно, функция \ (f \) возрастает (или возрастает). Точно так же, если \ (f ‘(x) \) отрицательно на интервале, график \ (f \) убывает (или убывает).

Производная от \ (f \) говорит нам не только , увеличивает или убывает функция \ (f \) на интервале, но также , как функция \ (f \) увеличивается или уменьшается.Посмотрите на две касательные, показанные на рисунке 1.6.1. Мы видим, что около точки \ (A \) значение \ (f ‘(x) \) положительно и относительно близко к нулю, а около этой точки график медленно растет. Напротив, около точки \ (B \ text {,} \) производная отрицательна и относительно велика по модулю, а \ (f \) быстро убывает около \ (B \ text {.} \)

Помимо вопроса о том, является ли значение производной функции положительным или отрицательным и большое оно или малое, мы также можем спросить: «Как изменяется производная?»

Поскольку производная \ (y = f ‘(x) \ text {,} \) сама по себе является функцией, мы можем рассмотреть возможность взятия ее производной — производной от производной — и спросить, «что говорит производная от производной. нас о том, как ведет себя исходная функция? » Начнем с исследования движущегося объекта.

Предварительный просмотр 1.6.1.

Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \ (t \) в минутах, задается функцией \ (y = s (t) \), которая изображена на рисунке 1.6.2. Функция определения местоположения автомобиля измеряется в тысячах футов. Например, точка \ ((2,4) \) на графике означает, что за 2 минуты автомобиль проехал 4000 футов.

1. На обыденном языке опишите поведение автомобиля за указанный промежуток времени. В частности, вам следует внимательно обсудить, что происходит на каждом из временных интервалов \ ([0,1] \ text {,} \) \ ([1,2] \ text {,} \) \ ([2,3 ] \ text {,} \) \ ([3,4] \ text {,} \) и \ ([4,5] \ text {,} \) плюс дать общий комментарий о том, что машина делает в интервале \ ([0,12] \ text {. } \)

2. На левой оси, представленной на рисунке 1.6.3, нарисуйте аккуратный и точный график \ (y = s ‘(t) \ text {.} \)

3. Что означает функция \ (y = s ‘(t) \) в контексте данной проблемы? Что мы можем сказать о поведении автомобиля, когда \ (s ‘(t) \) положительно? когда \ (s ‘(t) \) равно нулю? когда \ (s ‘(t) \) отрицательно?

4. Переименуйте функцию, которую вы построили в (b), чтобы она вызывалась \ (y = v (t) \ text {.} \) Опишите поведение \ (v \) словами, используя такие фразы, как «\ (v \) возрастает на интервале \ (\ ldots \) ​​», а« \ (v \) постоянно на интервале \ (\ ldots \ text {.} \) ”

5. Нарисуйте график функции \ (y = v ‘(t) \) на правой оси, представленной на рисунке 1.6.3. Напишите хотя бы одно предложение, чтобы объяснить, как поведение \ (v ‘(t) \) связано с графиком \ (y = v (t) \ text {.} \)

Подраздел 1.

До сих пор мы использовали слова , увеличивающие , и , уменьшающие , интуитивно для описания графика функции.Здесь мы определим эти термины более формально.

Определение 1.6.4.

Для функции \ (f (x) \), определенной на интервале \ ((a, b) \ text {,} \), мы говорим, что \ (f \) возрастает на \ ((a, b) \ ) при условии, что для всех \ (x \ text {,} \) \ (y \) в интервале \ ((a, b) \ text {,} \), если \ (x \ lt y \ text {,} \), затем \ (f (x) \ lt f (y) \ text {.} \) Аналогично, мы говорим, что \ (f \) убывает на \ ((a, b) \) при условии, что для всех \ (x \ text {,} \) \ (y \) в интервале \ ((a, b) \ text {,} \) если \ (x \ lt y \ text {,} \), то \ (f (х) \ gt е (у) \ текст {.} \)

Проще говоря, возрастающая функция — это функция, которая возрастает при перемещении слева направо по графику, а убывающая функция — это функция, которая падает при увеличении значения ввода. Если функция имеет производную, знак производной говорит нам, увеличивается или уменьшается функция.

Пусть \ (f \) — функция, дифференцируемая на интервале \ ((a, b) \ text {.} \). Можно показать, что если \ (f ‘(x)> 0 \) для каждое \ (x \) такое, что \ (a \ lt x \ lt b \ text {,} \), то \ (f \) увеличивается на \ ((a, b) \ text {;} \) аналогично, если \ (f ‘(x) \ lt 0 \) на \ ((a, b) \ text {,} \), то \ (f \) убывает на \ ((a, b) \ text {.} \)

Например, функция, изображенная на рисунке 1.6.5, возрастает на всем интервале \ (- 2 \ lt x \ lt 0 \ text {,} \) и убывает на интервале \ (0 \ lt x \ lt 2 \ text {.} \) Обратите внимание, что значение \ (x = 0 \) не входит ни в один из интервалов, поскольку в этом месте функция изменяется с увеличения на уменьшение.

Подраздел 1.6.2 Вторая производная

Теперь мы привыкли исследовать поведение функции, исследуя ее производную. Производная функции \ (f \) — это новая функция, заданная правилом

\ begin {уравнение *} f ‘(x) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x + h) -f (x)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

Поскольку \ (f ‘\) сам по себе является функцией, для нас вполне возможно рассмотреть производную производной, которая является новой функцией \ (y = [f’ (x)] ‘\ text {.} \) Мы называем эту результирующую функцию второй производной от \ (y = f (x) \ text {,} \) и обозначаем вторую производную как \ (y = f » (x) \ text {.} \) Следовательно, мы иногда будем называть \ (f ‘\) «первой производной» от \ (f \ text {,} \), а не просто «производной» от \ (f \ text {.} \)

Определение 1.6.6.

Вторая производная определяется предельным определением производной первой производной. То есть

\ begin {уравнение *} f » (x) = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f ‘(x + h) -f’ (x)} {h} \ text {.} \ end {уравнение *}

Значение производной функции все еще сохраняется, поэтому при вычислении \ (y = f » (x) \ text {,} \) эта новая функция измеряет наклон касательных линий к кривой \ (y = f ‘( x) \ text {,} \), а также мгновенную скорость изменения \ (y = f ‘(x) \ text {. } \) Другими словами, так же, как первая производная измеряет скорость, с которой оригинал функция изменяется, вторая производная измеряет скорость, с которой изменяется первая производная. Вторая производная поможет нам понять, как изменяется сама скорость изменения исходной функции.

Подраздел 1.6.3 Вогнутость

В дополнение к вопросу , увеличивается или уменьшается функция, естественно также спросить , как функция увеличивается или уменьшается. Существует три основных поведения, которые возрастающая функция может демонстрировать на интервале, как показано на рисунке 1.6.7: функция может увеличиваться все более и более быстро, она может увеличиваться с той же скоростью, или она может увеличиваться медленным образом. вниз. По сути, мы начинаем думать о том, как изгибается конкретная кривая, при естественном сравнении с линиями, которые вообще не изгибаются.Более того, мы хотим понять, как изгиб в графике функции связан с поведением, характеризуемым первой производной функции.

На крайней левой кривой на рисунке 1.6.7 нарисуйте последовательность касательных линий к кривой. При движении слева направо наклон этих касательных линий будет увеличиваться. Следовательно, скорость изменения изображенной функции увеличивается, и это объясняет, почему мы говорим, что эта функция увеличивается с возрастающей скоростью .Для крайнего правого графика на рис. 1.6.7 обратите внимание, что по мере увеличения \ (x \) функция увеличивается, но наклон касательных линий уменьшается. Эта функция на увеличивается со скоростью убывания.

Аналогичные параметры используются для уменьшения функции. Здесь мы должны быть особенно осторожны с нашим языком, потому что убывающие функции включают отрицательные наклоны. Отрицательные числа представляют собой интересное противоречие между обычным языком и математическим языком. Например, может возникнуть соблазн сказать, что «\ (- 100 \) больше, чем \ (- 2 \ text {.} \) »Но мы должны помнить, что« больше чем »описывает расположение чисел на числовой строке: \ (x \ gt y \) при условии, что \ (x \) лежит справа от \ (y \ text {.} \) Итак, конечно, \ (- 100 \) меньше, чем \ (- 2 \ text {.} \) Неформально, может быть полезно сказать, что «\ (- 100 \) более отрицательно, чем \ (- 2 \ text {.} \) »Когда значения функции отрицательны, и эти значения становятся все более отрицательными по мере увеличения ввода, функция должна уменьшаться.

Теперь рассмотрим три графика, показанные на рисунке 1.6.8. Ясно, что средний график изображает функцию, убывающую с постоянной скоростью. Теперь на первой кривой нарисуйте последовательность касательных линий. Мы видим, что наклон этих линий становится все менее и менее отрицательным по мере того, как мы движемся слева направо. Это означает, что значения первой производной, хотя все отрицательные, увеличиваются, и, таким образом, мы говорим, что крайняя левая кривая убывает с возрастающей скоростью . x \ text {,} \), мы говорим, что кривая на вогнута вверх. на этом интервале.{x} \ text {,} \) мы говорим, что функция вогнута вниз . Вогнутость связана как с первой, так и со второй производной функции.

На рисунке 1.6.9 мы видим две функции и последовательность касательных к каждой из них. На левом графике, где функция вогнута вверх, обратите внимание, что касательные линии всегда лежат ниже самой кривой, а наклон касательных линий увеличивается при движении слева направо. Другими словами, функция \ (f \) вогнута вверх на показанном интервале, потому что ее производная \ (f ‘\ text {,} \) возрастает на этом интервале.Точно так же на правом графике на рисунке 1.6.9, где функция показана вогнутой вниз, мы видим, что касательные линии всегда лежат над кривой, а наклон касательных линий уменьшается по мере того, как мы перемещаемся слева направо. Тот факт, что его производная \ (f ‘\ text {,} \) убывает, делает \ (f \) вогнутым вниз на интервале.

Мы формулируем эти самые последние наблюдения формально как определения терминов вогнутый вверх и вогнутый вниз .

Определение 1.6.10.

Пусть \ (f \) — дифференцируемая функция на интервале \ ((a, b) \ text {.} \). Тогда \ (f \) будет на вогнутым вверх на на \ ((a, b) \), если и только если \ (f ‘\) увеличивается на \ ((a, b) \ text {;} \) \ (f \) на вогнуто вниз на на \ ((a, b) \) тогда и только тогда, когда \ (f ‘\) убывает на \ ((a, b) \ text {.} \)

Мероприятие 1.6.2.

Положение автомобиля, движущегося по прямой дороге в момент времени \ (t \) в минутах, задается функцией \ (y = s (t) \), которая изображена на рисунке 1.6.11. Функция определения местоположения автомобиля измеряется в тысячах футов. Помните, что вы работали с этой функцией и рисовали графики \ (y = v (t) = s ‘(t) \) и \ (y = v’ (t) \) в предварительном упражнении 1. 6.1.

1. На каких интервалах функция положения \ (y = s (t) \) увеличивается? уменьшается? Почему?

2. На каких интервалах функция скорости \ (y = v (t) = s ‘(t) \) увеличивается? уменьшается? ни один? Почему?

3. Ускорение определяется как мгновенная скорость изменения скорости, поскольку ускорение объекта измеряет скорость, с которой изменяется скорость объекта.Скажем, функция ускорения автомобиля называется \ (a (t) \ text {.} \) Как \ (a (t) \) вычисляется из \ (v (t) \ text {?} \) Как \ ( a (t) \) вычисляется из \ (s (t) \ text {?} \) Объясните.

4. Что вы можете сказать о \ (s » \) всякий раз, когда \ (s ‘\) увеличивается? Почему?

5. Используя только слова увеличивающийся , убывающий , постоянный , вогнутый вверх , вогнутый вниз и линейный , завершите следующие предложения. Для функции положения \ (s \) со скоростью \ (v \) и ускорением \ (a \ text {,} \)

   • на интервале, где \ (v \) положительно, \ (s \) равно.

   • на интервале, где \ (v \) отрицательно, \ (s \) равно.

   • на интервале, где \ (v \) равно нулю, \ (s \) равно.

   • на интервале, где \ (a \) положительно, \ (v \) положительно.

   • на интервале, где \ (a \) отрицательно, \ (v \) равно.

   • на интервале, где \ (a \) равно нулю, \ (v \) равно.

   • на интервале, где \ (a \) положительно, \ (s \) положительно.

   • на интервале, где \ (a \) отрицательно, \ (s \) равно.

   • на интервале, где \ (a \) равно нулю, \ (s \) равно.

Изучение контекста положения, скорости и ускорения — отличный способ понять, как функция, ее первая производная и ее вторая производная связаны друг с другом. В действии 1.6.2 мы можем заменить \ (s \ text {,} \) \ (v \ text {,} \) и \ (a \) произвольной функцией \ (f \) и ее производными \ (f ‘\) и \ (f’ ‘\ text {,} \) и, по сути, все те же наблюдения верны. В частности, обратите внимание, что следующие условия эквивалентны: на интервале, где график \ (f \) вогнут вверх, \ (f ‘\) возрастает, а \ (f’ ‘\) положительно. Аналогично, на интервале, где график \ (f \) вогнут вниз, \ (f ‘\) убывает, а \ (f’ ‘\) отрицательно.

Мероприятие 1.6.3.

Картофель помещается в духовку, и температура картофеля \ (F \) (в градусах Фаренгейта) в различные моменты времени измеряется и записывается в следующей таблице. Время \ (t \) измеряется в минутах.В упражнении 1.5.2 мы вычислили приближения к \ (F ‘(30) \) и \ (F’ (60) \) с использованием центральных разностей. Эти и другие значения представлены во второй таблице ниже, а также некоторые другие, вычисленные таким же образом.

\ (t \)	\ (F (t) \)
\ (0 \)	\ (70 \)
\ (15 \)	\ (180,5 \)
\ (30 \)	\ (251 \)
\ (45 \)	\ (296 \)
\ (60 \)	\ (324. 5 \)
\ (75 \)	\ (342,8 \)
\ (90 \)	\ (354,5 \)

1. Каковы единицы измерения значений \ (F ‘(t) \ text {?} \)

2. Используйте центральную разницу, чтобы оценить значение \ (F » (30) \ text {. } \)

3. Что означает значение \ (F » (30) \), которое вы вычислили в (b) в терминах температуры картофеля? Напишите несколько осторожных предложений, в которых обсуждаются с соответствующими единицами измерения значения \ (F (30) \ text {,} \) \ (F ‘(30) \ text {,} \) и \ (F’ ‘(30) \ text {,} \) и объясните общее поведение температуры картофеля в данный момент времени.

4. В целом, температура картофеля растет с возрастающей скоростью, с постоянной скоростью или с уменьшающейся скоростью? Почему?

Мероприятие 1.6.4.

Это упражнение основано на нашем опыте и понимании того, как нарисовать график \ (f ‘\) с учетом графика \ (f \ text {.} \)

На рис. 1.6.14, учитывая соответствующие графики двух разных функций \ (f \ text {,} \), нарисуйте соответствующий график \ (f ‘\) на первых осях ниже, а затем нарисуйте \ (f’ ‘ \) на втором наборе осей.Кроме того, для каждого из них напишите несколько осторожных предложений в духе действий 1. 6.2, которые связывают поведение \ (f \ text {,} \) \ (f ‘\ text {,} \) и \ (f » \ text {.} \) Например, напишите что-нибудь вроде

\ (f ‘\) находится на интервале, что связано с тем, что \ (f \) находится на том же интервале, а \ (f’ ‘\) находится на интервале.

, но, конечно, с заполненными пробелами. На протяжении всего времени масштаб сетки для графика \ (f \) должен быть \ (1 \ times 1 \ text {,} \) и принимать горизонтальный масштаб сетки для графика \ (f ‘\) идентичен графику для \ (f \ text {.} \) Если вам нужно отрегулировать вертикальный масштаб по осям для графика \ (f ‘\) или \ (f’ ‘\ text {,} \), вы должны обозначить это соответствующим образом.

Исчисление I — Форма графа, часть I

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i. е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 4-5: Форма графа, часть I

В предыдущем разделе мы увидели, как использовать производную для определения абсолютного минимального и максимального значений функции.Однако существует гораздо больше информации о графике, который можно определить по первой производной функции. Мы начнем изучать эту информацию в этом разделе. Основная идея, которую мы рассмотрим в этом разделе, будет заключаться в выявлении всех относительных экстремумов функции.

Давайте начнем этот раздел с повторения знакомой темы из предыдущей главы. Предположим, что у нас есть функция \ (f \ left (x \ right) \). Из нашей работы в предыдущей главе мы знаем, что первая производная \ (f ‘\ left (x \ right) \) — это скорость изменения функции.Мы использовали эту идею, чтобы определить, где функция увеличивалась, уменьшалась или не менялась.

Прежде чем рассматривать эту идею, давайте сначала запишем математическое определение увеличения и уменьшения. Все мы знаем, как выглядит график возрастающей / убывающей функции, но иногда полезно иметь и математическое определение. Вот.

Определение

1. Для любых \ ({x_1} \) и \ ({x_2} \) из интервала \ (I \) с \ ({x_1} <{x_2} \), если \ (f \ left ({{x_1} } \ right) , увеличивая на \ (I \).
2. Даны любые \ ({x_1} \) и \ ({x_2} \) из интервала \ (I \) с \ ({x_1} <{x_2} \), если \ (f \ left ({{x_1}} \ right)> f \ left ({{x_2}} \ right) \), то \ (f \ left (x \ right) \) равно , уменьшая на \ (I \).

Это определение будет фактически использовано при доказательстве следующего факта в этом разделе.

Теперь напомним, что в предыдущей главе мы постоянно использовали идею о том, что если производная функции была положительной в какой-то точке, то функция возрастала в этой точке, а если производная была отрицательной в какой-то точке, тогда функция убывала в этой точке. точка.Мы также использовали тот факт, что если производная функции была равна нулю в какой-то точке, тогда функция не менялась в этой точке. Мы использовали эти идеи для определения интервалов увеличения и уменьшения функции.

Следующий факт резюмирует то, что мы делали в предыдущей главе.

Факт

1. Если \ (f ‘\ left (x \ right)> 0 \) для каждого \ (x \) на некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) увеличивается на интервал.
2. Если \ (f ‘\ left (x \ right) <0 \) для каждого \ (x \) на некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) убывает на интервал.
3. Если \ (f ‘\ left (x \ right) = 0 \) для каждого \ (x \) на некотором интервале \ (I \), то \ (f \ left (x \ right) \) постоянно на интервал.

Доказательство этого факта можно найти в разделе «Доказательства на основе производных приложений» главы «Дополнительно».

Рассмотрим пример.Этот пример преследует две цели. Во-первых, это напомнит нам об увеличивающемся / уменьшающемся типе проблем, которые мы делали в предыдущей главе. Во-вторых, что, возможно, более важно, теперь в решение будут включены критические точки. Мы не знали о критических точках в предыдущей главе, но если вы вернетесь и посмотрите на эти примеры, первый шаг почти в каждой проблеме увеличения / уменьшения — найти критические точки функции, и поэтому процесс мы использовать в следующем примере должно быть знакомо.2} \ left ({x — 4} \ right) \ left ({x + 2} \ right) \ end {align *} \]

Обратите внимание, что когда мы разложили на множители производную, мы сначала разложили на множители «-1», чтобы немного упростить остальную часть факторинга.

Из факторизованной формы производной мы видим, что у нас есть три критических точки: \ (x = — 2 \), \ (x = 0 \) и \ (x = 4 \). Они нам понадобятся немного позже.

Теперь нам нужно определить, где производная положительна, а где отрицательна.Мы делали это несколько раз как в главе «Обзор», так и в предыдущей главе. Поскольку производная является многочленом, она непрерывна, и поэтому мы знаем, что единственный способ изменить знак — сначала пройти через ноль.

Другими словами, единственное место, где производная может изменить знак , — это критические точки функции. Теперь у нас есть другое применение для критических точек. Итак, мы построим числовую линию, нанесем на график критические точки и выберем контрольные точки из каждого региона, чтобы увидеть, является ли производная положительной или отрицательной в каждом регионе.

Вот числовая линия и контрольные точки для производной.

Убедитесь, что вы проверили свои позиции в производной. Одна из наиболее распространенных ошибок — вместо этого проверять точки в функции! Напомним, что мы знаем, что производная будет одного знака в каждом регионе. Единственное место, где производная может менять знак, — это критические точки, и мы отметили единственные критические точки на числовой прямой.

Итак, похоже, у нас есть следующие интервалы увеличения и уменьшения.

В этом примере мы использовали тот факт, что единственное место, где производная может изменить знак, — это критические точки. Кроме того, критическими точками для этой функции были те, для которых производная была равна нулю. Однако то же самое можно сказать и о критических точках, в которых не существует производной.Это приятно знать. Функция может менять знак, если он равен нулю или не существует. В предыдущей главе все наши примеры этого типа имели только критические точки, в которых производная была равна нулю. Теперь, когда мы знаем больше о критических точках, позже мы также увидим один или два примера с критическими точками, в которых не существует производной.

Если вы не уверены, что считаете, что функции (они, конечно, не обязательно должны быть производными) могут менять знак там, где их нет, рассмотрите \ (f \ left (x \ right) = \ frac {1} { Икс}\) .2}}} \) например. Опять же, этого явно не существует в \ (x = 0 \) и все же положительно по обе стороны от \ (x = 0 \).

Итак, повторим еще раз. Функции, независимо от того, являются ли они производными или нет, могут (но не обязательно) менять знак, если они либо равны нулю, либо не существуют.

Теперь, когда у нас есть предыдущий пример «напоминания», давайте перейдем к новому материалу. Когда у нас есть интервалы увеличения и уменьшения для функции, мы можем использовать эту информацию, чтобы получить набросок графика. 3} + 5 \] Показать решение

В этом примере действительно не так много. Каждый раз, когда мы рисуем график, хорошо иметь несколько точек на графике, которые могут служить нам отправной точкой. Итак, мы начнем с функции в критических точках. Это даст нам некоторые отправные точки, когда мы перейдем к наброску графика. Эти точки равны,

Как только эти точки нанесены на график, мы переходим к увеличению и уменьшению информации и начинаем рисовать. Для справки это информация о возрастании / убывании.

Обратите внимание, что нам нужен только набросок графика. Как уже отмечалось, прежде чем мы начали этот пример, мы не сможем точно предсказать кривизну графика в этой точке. Однако даже без этой информации мы все равно сможем получить общее представление о том, как должен выглядеть график.

Чтобы получить этот набросок, мы начинаем с самого левого края графика и знаем, что график должен уменьшаться и будет продолжать уменьшаться, пока не дойдем до \ (x = — 2 \). На этом этапе функция будет продолжать увеличиваться, пока не достигнет значения \ (x = 4 \). Однако обратите внимание, что во время фазы роста ему действительно нужно пройти через точку в \ (x = 0 \), и в этой точке мы также знаем, что производная здесь равна нулю, и поэтому график проходит через \ (x = 0 \) по горизонтали. Наконец, как только мы достигаем \ (x = 4 \), график начинает и продолжает уменьшаться.Также обратите внимание, что, как и в случае \ (x = 0 \), график должен быть горизонтальным, когда он проходит через две другие критические точки.

Вот график функции. Мы, конечно, использовали графическую программу для создания этого графика, однако, помимо некоторых потенциальных проблем с кривизной, если вы следовали информации об увеличении / уменьшении и сначала нанесли все критические точки, у вас должно быть что-то похожее на это.

Давайте воспользуемся наброском из этого примера, чтобы дать нам очень хороший тест для классификации критических точек как относительных максимумов, относительных минимумов или ни минимумов, ни максимумов.

Вспомните из раздела «Минимальные и максимальные значения», что все относительные экстремумы функции берутся из списка критических точек. График в предыдущем примере имеет два относительных экстремума, и оба возникают в критических точках, как мы и предсказывали в этом разделе. Также обратите внимание, что у нас есть критическая точка, которая не является относительными экстремумами (\ (x = 0 \)). Это нормально, поскольку нет оснований полагать, что все критические точки будут относительными экстремумами. Известно только, что относительные экстремумы будут исходить из списка критических точек.

На эскизе графика из предыдущего примера мы видим, что слева от \ (x = — 2 \) график убывает, а справа от \ (x = — 2 \) график увеличивается и \ (x = — 2 \) — относительный минимум. Другими словами, график ведет себя около минимума точно так, как он должен быть, чтобы \ (x = — 2 \) было минимальным. То же самое можно сказать и об относительном максимуме при \ (x = 4 \) . График увеличивается слева и уменьшается справа точно так, как должно быть, чтобы \ (x = 4 \) было максимальным.Наконец, график возрастает по обе стороны от \ (x = 0 \), поэтому эта критическая точка не может быть минимумом или максимумом.

Эти идеи можно обобщить, чтобы получить хороший способ проверить, является ли критическая точка относительным минимумом, относительным максимумом или ни одним из них. Если \ (x = c \) является критической точкой и функция убывает слева от \ (x = c \) и увеличивается вправо, то \ (x = c \) должен быть относительным минимумом функции . Аналогично, если функция увеличивается слева от \ (x = c \) и уменьшается вправо, то \ (x = c \) должен быть относительным максимумом функции.Наконец, если функция возрастает с обеих сторон от \ (x = c \) или убывает с обеих сторон для \ (x = c \), то \ (x = c \) не может быть ни относительным минимумом, ни относительным максимумом.

Эти идеи можно обобщить в следующем тесте.

Первый производный тест

Предположим, что \ (x = c \) является критической точкой \ (f \ left (x \ right) \), тогда

1. Если \ (f ‘\ left (x \ right)> 0 \) слева от \ (x = c \) и \ (f’ \ left (x \ right) <0 \) справа от \ (x = c \), тогда \ (x = c \) является относительным максимумом.
2. Если \ (f ‘\ left (x \ right) <0 \) слева от \ (x = c \) и \ (f' \ left (x \ right)> 0 \) справа от \ ( x = c \), то \ (x = c \) является относительным минимумом.
3. Если \ (f ‘\ left (x \ right) \) — один и тот же знак по обе стороны от \ (x = c \), то \ (x = c \) не является ни относительным максимумом, ни относительным минимумом.

Здесь важно отметить, что тест первой производной классифицирует критические точки только как относительные экстремумы, а не как абсолютные экстремумы.Как мы помним из раздела «Поиск абсолютных экстремумов», абсолютные экстремумы — это наибольшие и наименьшие значения функции, которые могут даже не существовать или быть критическими точками, если они существуют.

Тест первой производной — это именно такой тест, использующий первую производную. Он никогда не использует значение функции, и поэтому из теста нельзя сделать никаких выводов об относительном «размере» функции в критических точках (который может потребоваться для определения абсолютных экстремумов) и даже не может начать чтобы обратить внимание на тот факт, что абсолютные экстремумы не могут возникать в критических точках.{\ frac {2} {3}}}}} \ end {align *} \]

Итак, похоже, у нас здесь четыре критических точки. Их,

Определение интервалов увеличения и уменьшения также даст классификацию критических точек, так что давайте сначала разберемся с ними. Вот числовая линия с нанесенными на график критическими точками и контрольными точками.

Итак, похоже, у нас есть следующие интервалы увеличения и уменьшения.

Отсюда похоже, что \ (t = — 2 \) и \ (t = 2 \) не являются ни относительным минимумом, ни относительным максимумом, поскольку функция возрастает с обеих сторон от них. С другой стороны, \ (t = — \ sqrt {\ frac {12} {5}} \) — относительный максимум, а \ (t = \ sqrt {\ frac {12} {5}} \) — относительный минимум.

Вот график функции. Обратите внимание, что этот график немного сложнее нарисовать, основываясь только на увеличивающейся и уменьшающейся информации. Он представлен здесь только для справки, чтобы вы могли увидеть, как он выглядит.

В предыдущем примере две критические точки, где производная не существовала, не оказались относительными экстремумами. Не читайте в этом ничего. Часто они будут относительными экстремумами.Посмотрите пример 5 в разделе «Абсолютные экстремумы», чтобы увидеть пример одной такой критической точки.

Давайте поработаем еще пару примеров.

, где \ (x \) в милях. Предположим, что если \ (x \) положительно, мы находимся к востоку от начальной точки измерения, а если \ (x \) отрицательно, мы находимся к западу от начальной точки измерения.

Если мы начнем в 25 милях к западу от начальной точки измерения и проедем до тех пор, пока не окажемся в 25 милях к востоку от начальной точки, сколько миль мы прошли по склону?

Хорошо, это просто отличный способ спросить, каковы интервалы увеличения и уменьшения для функции на интервале \ (\ left [{- 25,25} \ right] \). Итак, нам сначала нужна производная функции.

Установка этого значения равным нулю дает

Решение этой проблемы и, следовательно, критических точек:

Я предоставляю вам проверить, что критические точки, попадающие в интервал, который мы ищем, это

Вот числовая линия с критическими точками и контрольными точками.

Итак, интервалы увеличения и уменьшения, похоже,

Обратите внимание, что нам пришлось заканчивать интервалы на -25 и 25, поскольку мы не выполняли никакой работы за пределами этих точек, и поэтому мы не можем действительно сказать что-нибудь о функции вне интервала \ (\ left [{- 25,25} \ right] \).

По интервалам мы действительно можем ответить на вопрос. Мы ехали по склону во время интервалов подъема, поэтому общее количество миль составляет

Несмотря на то, что проблема не требовала этого, мы также можем классифицировать критические точки, которые находятся в интервале \ (\ left [{- 25,25} \ right] \).2} \ ln \ left ({3t} \ right) + 6 \]

Определите, уменьшится ли численность населения в первые два года.

Итак, мы снова действительно находимся после интервалов и увеличиваемся и уменьшаемся в интервале [0,2].

Мы обнаружили, что единственной критической точкой для этой функции в разделе «Критические точки» является

Вот числовая линия для интервалов увеличения и уменьшения.

Итак, похоже, что численность населения на короткий период уменьшится, а затем продолжит расти бесконечно.

Кроме того, хотя проблема не требовала этого, мы видим, что единственная критическая точка является относительным минимумом.

В этом разделе мы увидели, как мы можем использовать первую производную функции, чтобы дать нам некоторую информацию о форме графика и как мы можем использовать эту информацию в некоторых приложениях.

Использование первой производной для получения информации о том, увеличивается или уменьшается функция, является очень важным применением производных инструментов и возникает довольно регулярно во многих областях.

4.5 Производные и форма графика — Calculus Volume 1

Цели обучения

• 4.5.1 Объясните, как знак первой производной влияет на форму графика функции.
• 4.5.2 Сформулируйте тест первой производной для критических точек.
• 4.5.3 Используйте точки вогнутости и перегиба, чтобы объяснить, как знак второй производной влияет на форму графика функции.
• 4.5.4 Объясните тест на вогнутость функции на открытом интервале.
• 4.5.5 Объясните связь между функцией и ее первой и второй производными.
• 4.5.6 Сформулируйте тест второй производной для локальных экстремумов.

Ранее в этой главе мы заявляли, что если функция ff имеет локальный экстремум в точках c, c, то cc должна быть критической точкой f.f. Однако не гарантируется, что функция имеет локальный экстремум в критической точке. Например, f (x) = x3f (x) = x3 имеет критическую точку при x = 0x = 0, поскольку f ′ (x) = 3x2f ′ (x) = 3×2 равно нулю при x = 0, x = 0, но ff не имеет локального экстремума при x = 0.x = 0. Используя результаты из предыдущего раздела, теперь мы можем определить, действительно ли критическая точка функции соответствует локальному экстремальному значению. В этом разделе мы также увидим, как вторая производная предоставляет информацию о форме графика, описывая, изгибается ли график функции вверх или вниз.

Первый производный тест

Следствие 33 теоремы о среднем значении показало, что если производная функции положительна на интервале II, то функция возрастает на интервале I. I. С другой стороны, если производная функции отрицательна на интервале I, I, тогда функция убывает на интервале II, как показано на следующем рисунке.

Непрерывная функция ff имеет локальный максимум в точке cc тогда и только тогда, когда ff переключается с увеличения на уменьшение в точке c.c. Точно так же ff имеет локальный минимум в точке cc тогда и только тогда, когда ff переключается с уменьшения на увеличение в точке c.c. Если ff — непрерывная функция на интервале II, содержащем cc и дифференцируемая по I, I, за исключением, возможно, точек c, c, единственный способ ff может переключиться с увеличения на уменьшение (или наоборот) в точке cc — это если f′f ′ меняет знак, когда xx увеличивается до c.c. Если ff дифференцируема в c, c, это единственный способ, которым f′. f ′. может менять знак при увеличении xx на cc, если f ′ (c) = 0. f ′ (c) = 0. Следовательно, для функции ff, которая непрерывна на интервале II, содержащем cc и дифференцируема по I, I, за исключением, возможно, точек c, c, единственный способ ff может переключиться с увеличения на уменьшение (или наоборот) — это если f ′ (c ) = 0f ′ (c) = 0 или f ′ (c) f ′ (c) не определено. Следовательно, чтобы найти локальные экстремумы для функции f, f, мы ищем точки cc в области определения ff такие, что f ′ (c) = 0f ′ (c) = 0 или f ′ (c) f ′ (c) равно неопределенный.Напомним, что такие точки называются критическими точками ф.ф.

Обратите внимание, что ff не обязательно должен иметь локальные экстремумы в критической точке. Критические точки являются кандидатами только в локальные экстремумы. На рис. 4.31 мы показываем, что если непрерывная функция ff имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке, но функция может не иметь локального экстремума в критической точке. Мы показываем, что если ff имеет локальный экстремум в критической точке, то знак f′f ′ меняется по мере увеличения xx через эту точку.

Используя рисунок 4.31, мы суммируем основные результаты, касающиеся локальных экстремумов.

• Если непрерывная функция ff имеет локальный экстремум, он должен возникать в критической точке c.c.
• Функция имеет локальный экстремум в критической точке cc тогда и только тогда, когда производная f′f ′ меняет знак при увеличении xx на c.c.
• Следовательно, чтобы проверить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке c, c, мы должны определить знак f ′ (x) f ′ (x) слева и справа от c.c.

Этот результат известен как тест первой производной.

Теорема 4.9

Проверка первой производной

Предположим, что ff — непрерывная функция на интервале II, содержащем критическую точку c. c. Если ff дифференцируема над I, I, за исключением, возможно, точки c, c, то f (c) f (c) удовлетворяет одному из следующих описаний:

1. Если f′f ′ меняет знак с положительного, когда x c, x> c, то f (c) f (c) является локальным максимумом f.f.
2. Если f′f ′ меняет знак с отрицательного, когда x c, x> c, то f (c) f (c) является локальным минимумом f.f.
3. Если f′f ′ имеет один и тот же знак для x c, x> c, то f (c) f (c) не является ни локальным максимумом, ни локальным минимумом f.f.

Мы можем резюмировать тест первой производной как стратегию поиска локальных экстремумов.

Стратегия решения проблем: использование теста первой производной

Рассмотрим функцию ff, непрерывную на интервале I.I.

1. Найдите все критические точки ff и разделите интервал II на меньшие интервалы, используя критические точки в качестве конечных точек.
2. Проанализируйте знак f′f ′ в каждом из подынтервалов. Если f′f ′ непрерывен на данном подынтервале (что обычно бывает), то знак f′f ′ на этом подынтервале не меняется и, следовательно, может быть определен путем выбора произвольной контрольной точки xx в этом подынтервале. и оценивая знак f′f ′ в этой контрольной точке. Используйте знаковый анализ, чтобы определить, увеличивается или уменьшается ff в течение этого интервала.
3. Используйте тест первой производной и результаты шага 22, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум, локальный минимум или ни один из них в каждой из критических точек.

Теперь давайте посмотрим, как использовать эту стратегию для поиска всех локальных экстремумов для определенных функций.

Пример 4.17

Использование теста первой производной для поиска локальных экстремумов

Используйте тест первой производной, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов для f (x) = x3−3×2−9x − 1. f (x) = x3−3×2−9x − 1.Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

Решение

Шаг 1. Производная равна f ′ (x) = 3×2−6x − 9. f ′ (x) = 3×2−6x − 9. Чтобы найти критические точки, нам нужно найти, где f ′ (x) = 0. f ′ (x) = 0. Разлагая многочлен на множители, мы заключаем, что критические точки должны удовлетворять

Следовательно, критическими точками являются x = 3, −1.x = 3, −1. Теперь разделите интервал (−∞, ∞) (- ∞, ∞) на меньшие интервалы (−∞, −1), (- 1,3) и (3, ∞).(−∞, −1), (- 1,3) и (3, ∞).

Шаг 2. Поскольку f′f ′ — непрерывная функция, для определения знака f ′ (x) f ′ (x) на каждом подынтервале достаточно выбрать точку на каждом из интервалов (−∞, −1 ), (- 1,3) и (3, ∞) (- ∞, −1), (- 1,3) и (3, ∞) и определяют знак f′f ′ в каждой из этих точек. Например, давайте выберем x = −2, x = 0 и x = 4x = −2, x = 0 и x = 4 в качестве контрольных точек.

Интервал	Контрольная точка	Знак f ′ (x) = 3 (x − 3) (x + 1) f ′ (x) = 3 (x − 3) (x + 1) в контрольной точке	Заключение
(−∞, −1) (- ∞, −1)	х = -2 х = -2	(+) (-) (-) = + (+) (-) (-) = +	ff увеличивается.
(−1,3) (- 1,3)	х = 0х = 0	(+) (-) (+) = — (+) (-) (+) = —	ff уменьшается.
(3, ∞) (3, ∞)	х = 4х = 4	(+) (+) (+) = + (+) (+) (+) = +	ff увеличивается.

Шаг 3. Поскольку f′f ′ меняет знак с положительного на отрицательный, когда xx увеличивается до –1, f – 1, f имеет локальный максимум при x = −1.x = −1. Поскольку f′f ′ меняет знак с отрицательного на положительный при увеличении xx до 3, f3, f имеет локальный минимум при x = 3.х = 3. Эти аналитические результаты согласуются со следующим графиком.

КПП 4.16

Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для f (x) = — x3 + 32×2 + 18x.f (x) = — x3 + 32×2 + 18x.

Пример 4.18

Использование первого производного теста

Используйте тест первой производной, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов для f (x) = 5×1 / 3 − x5 / 3. f (x) = 5×1 / 3 − x5 / 3. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

Решение

Шаг 1. Производная:

Производная f ′ (x) = 0f ′ (x) = 0, когда 1 − x4 / 3 = 0,1 − x4 / 3 = 0. Следовательно, f ′ (x) = 0f ′ (x) = 0 при x = ± 1.x = ± 1. Производная f ′ (x) f ′ (x) не определена при x = 0.x = 0. Следовательно, у нас есть три критических точки: x = 0, x = 0, x = 1, x = 1 и x = −1.x = −1. Следовательно, разделим интервал (−∞, ∞) (- ∞, ∞) на меньшие интервалы (−∞, −1), (- 1,0), (0,1), (- ∞, −1), (−1,0), (0,1) и (1, ∞).(1, ∞).

Шаг 2: Поскольку f′f ′ непрерывен на каждом подынтервале, достаточно выбрать контрольную точку xx в каждом из интервалов шага 11 и определить знак f′f ′ в каждой из этих точек. Точки x = −2, x = −12, x = 12 и x = 2x = −2, x = −12, x = 12 и x = 2 являются контрольными точками для этих интервалов.

Интервал	Контрольная точка	Знак f ′ (x) = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3f ′ (x) = 5 (1 − x4 / 3) 3×2 / 3 в контрольной точке	Заключение
(−∞, −1) (- ∞, −1)	х = -2 х = -2	(+) (-) + = — (+) (-) + = —	ff уменьшается.
(−1,0) (- 1,0)	х = -12х = -12	(+) (+) + = + (+) (+) + = +	ff увеличивается.
(0,1) (0,1)	х = 12 х = 12	(+) (+) + = + (+) (+) + = +	ff увеличивается.
(1, ∞) (1, ∞)	х = 2х = 2	(+) (-) + = — (+) (-) + = —	ff уменьшается.

Шаг 3: Поскольку ff убывает на интервале (−∞, −1) (- ∞, −1) и увеличивается на интервале (−1,0), (- 1,0), ff имеет локальный минимум при x = −1.х = -1. Поскольку ff возрастает на интервале (−1,0) (- 1,0) и интервале (0,1), (0,1), ff не имеет локального экстремума при x = 0.x = 0. Поскольку ff возрастает на интервале (0,1) (0,1) и убывает на интервале (1, ∞), f (1, ∞), f имеет локальный максимум при x = 1. x = 1. Аналитические результаты согласуются со следующим графиком.

КПП 4.17

Используйте тест первой производной, чтобы найти все локальные экстремумы для f (x) = x − 13.е (х) = х-13.

Вогнутость и точки перегиба

Теперь мы знаем, как определить, где функция увеличивается или уменьшается. Однако есть еще одна проблема, которую следует учитывать в отношении формы графика функции. Если график изгибается, изгибается ли он вверх или вниз? Это понятие называется вогнутостью функции.

На рис. 4.34 (a) показана функция ff с графиком, изгибающимся вверх. По мере увеличения xx наклон касательной увеличивается. Таким образом, поскольку производная увеличивается с увеличением xx, f′f ′ является возрастающей функцией.Мы говорим, что эта функция ff вогнута вверх. На рис. 4.34 (b) показана функция ff, которая изгибается вниз. По мере увеличения xx наклон касательной уменьшается. Поскольку производная убывает с увеличением xx, f′f ′ — убывающая функция. Мы говорим, что эта функция ff вогнута вниз.

Определение

Пусть ff — функция, дифференцируемая на открытом интервале I.I. Если f′f ′ возрастает над I, I, мы говорим, что ff вогнута вверх над I.I. Если f′f ′ убывает над I, I, мы говорим, что ff вогнута вниз над I.I.

В общем, не имея графика функции f, f, как мы можем определить ее вогнутость? По определению функция ff вогнута вверх, если f′f ′ возрастает. Из следствия 3,3 мы знаем, что если f′f ′ — дифференцируемая функция, то f′f ′ возрастает, если ее производная f ″ (x)> 0.f ″ (x)> 0. Следовательно, дважды дифференцируемая функция ff будет вогнутой, когда f ″ (x)> 0. f ″ (x)> 0. Точно так же функция ff вогнута вниз, если f′f ′ убывает. Мы знаем, что дифференцируемая функция f′f ′ убывает, если ее производная f ″ (x) <0. f ″ (x) <0. Следовательно, дважды дифференцируемая функция ff вогнута вниз, когда f ″ (x) <0. f ″ (x) <0. Применение этой логики известно как тест на вогнутость.

Теорема 4.10

Тест на вогнутость

Пусть ff — функция, дважды дифференцируемая на интервале I.I.

1. Если f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для всех x∈I, x∈I, то ff вогнута вверх над I.I.
2. Если f ″ (x) <0f ″ (x) <0 для всех x∈I, x∈I, то ff вогнута вниз над I.I.

Мы заключаем, что мы можем определить вогнутость функции ff, глядя на вторую производную f.f. Кроме того, мы видим, что функция ff может переключать вогнутость (рисунок 4.35). Однако непрерывная функция может переключать вогнутость только в точке xx, если f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 или f ″ (x) f ″ (x) не определено.Следовательно, чтобы определить интервалы, в которых функция ff вогнута вверх и вогнута вниз, мы ищем те значения xx, где f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 или f ″ (x) f ″ (x) равно неопределенный. Когда мы определили эти точки, мы разделим область определения ff на меньшие интервалы и определим знак f ″ f ″ для каждого из этих меньших интервалов. Если f ″ f ″ меняет знак при прохождении через точку x, x, то ff меняет вогнутость. Важно помнить, что функция ff не может изменять вогнутость в точке xx, даже если f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 или f ″ (x) f ″ (x) не определено.Если, однако, ff действительно изменяет вогнутость в точке aa и ff непрерывен в a, a, мы говорим, что точка (a, f (a)) (a, f (a)) является точкой перегиба f.f.

Определение

Если ff непрерывен в aa, а ff изменяет вогнутость в a, a, точка (a, f (a)) (a, f (a)) является точкой перегиба f.f.

a, x> a, функция ff вогнута вниз на интервале (a, ∞).(а, ∞). Точка (a, f (a)) (a, f (a)) является точкой перегиба f.f.

Пример 4.19

Испытание на вогнутость

Для функции f (x) = x3−6×2 + 9x + 30, f (x) = x3−6×2 + 9x + 30, определить все интервалы, где ff вогнута вверх, и все интервалы, где ff вогнута вниз. Перечислите все точки перегиба для f.f. Используйте графическую утилиту, чтобы подтвердить свои результаты.

Решение

Чтобы определить вогнутость, нам нужно найти вторую производную f ″ (x) .f ″ (x). Первая производная равна f ′ (x) = 3×2−12x + 9, f ′ (x) = 3×2−12x + 9, поэтому вторая производная равна f ″ (x) = 6x − 12.f ″ (x) = 6x − 12. Если функция изменяет вогнутость, это происходит либо когда f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0, либо f ″ (x) f ″ (x) не определено. Поскольку f ″ f ″ определено для всех действительных чисел x, x, нам нужно только найти, где f ″ (x) = 0. f ″ (x) = 0. Решая уравнение 6x − 12 = 0,6x − 12 = 0, мы видим, что x = 2x = 2 — единственное место, где ff может изменить вогнутость. Теперь мы проверяем точки на интервалах (−∞, 2) (- ∞, 2) и (2, ∞) (2, ∞), чтобы определить вогнутость f.f. Точки x = 0x = 0 и x = 3x = 3 являются контрольными точками для этих интервалов.

9 Wind Speeds of Hurricane Katrina Source: http://news.nationalgeographic.com/news/2005/09/0914_050914_katrina_timeline.html.» data-label=»»>

Интервал	Контрольная точка	Знак f ″ (x) = 6x − 12f ″ (x) = 6x − 12 в контрольной точке	Заключение
(−∞, 2) (- ∞, 2)	х = 0х = 0	−−	ff вогнутая вниз
(2, ∞) (2, ∞)	х = 3х = 3	++	ff вогнутый вверх.

Мы заключаем, что ff вогнута вниз на интервале (−∞, 2) (- ∞, 2) и вогнута вверх на интервале (2, ∞). (2, ∞). Поскольку ff изменяет вогнутость при x = 2, x = 2, точка (2, f (2)) = (2,32) (2, f (2)) = (2,32) является точкой перегиба. Рисунок 4.36 подтверждает аналитические результаты.

Рисунок 4.36 Данная функция имеет точку перегиба в (2,32) (2,32), где график меняет вогнутость.

КПП 4.18

Для f (x) = — x3 + 32×2 + 18x, f (x) = — x3 + 32×2 + 18x, найти все интервалы, где ff вогнута вверх, и все интервалы, где ff вогнута вниз.

Теперь мы суммируем в таблице 4.1 информацию, которую первая и вторая производные функции ff предоставляют о графике f, f, и проиллюстрируем эту информацию на рисунке 4.37.

Знак f′f ′	Знак f ″ f ″	Ff увеличивается или уменьшается?	Вогнутость
Положительный	Положительно	Увеличение	Вогнутый вверх
Положительный	отрицательный	Увеличение	Вогнутый вниз
Отрицательный	Положительно	Уменьшение	Вогнутый вверх
Отрицательный	отрицательный	Уменьшение	Вогнутый вниз

Таблица 4. 1 Что производные говорят нам о графиках

Рис. 4.37. Рассмотрим дважды дифференцируемую функцию ff на открытом интервале I.I. Если f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 для всех x∈I, x∈I, функция возрастает по I.I. Если f ′ (x) <0f ′ (x) <0 для всех x∈I, x∈I, функция убывает по I.I. Если f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для всех x∈I, x∈I, функция вогнута вверх. Если f ″ (x) <0f ″ (x) <0 для всех x∈I, x∈I, функция вогнута вниз на I.I.

Тест второй производной

Тест первой производной предоставляет аналитический инструмент для поиска локальных экстремумов, но вторая производная также может использоваться для определения экстремальных значений.Иногда использование второй производной может быть более простым методом, чем использование первой производной.

Мы знаем, что если у непрерывной функции есть локальные экстремумы, они должны возникать в критической точке. Однако функция не обязательно должна иметь локальные экстремумы в критической точке. Здесь мы исследуем, как можно использовать тест второй производной, чтобы определить, имеет ли функция локальный экстремум в критической точке. Пусть ff — дважды дифференцируемая функция такая, что f ′ (a) = 0f ′ (a) = 0 и f ″ f ″ непрерывна на открытом интервале II, содержащем a.а. Предположим, что f ″ (a) <0. f ″ (a) <0. Поскольку f ″ f ″ непрерывна над I, I, f ″ (x) <0f ″ (x) <0 для всех x∈Ix∈I (рис. 4.38). Тогда по следствию 3,3 f′f ′ - убывающая функция над I.I. Поскольку f ′ (a) = 0, f ′ (a) = 0, мы заключаем, что для всех x∈I, f ′ (x)> 0x∈I, f ′ (x)> 0, если x ax> a. Следовательно, по тесту первой производной ff имеет локальный максимум при x = a.x = a. С другой стороны, предположим, что существует точка bb такая, что f ′ (b) = 0f ′ (b) = 0, но f ″ (b)> 0. f ″ (b)> 0. Поскольку f ″ f ″ непрерывна на открытом интервале II, содержащем b, b, то f ″ (x)> 0f ″ (x)> 0 для всех x∈Ix∈I (рисунок 4.38). Тогда по следствию 3 f′3, f ′ — возрастающая функция над I.I. Поскольку f ′ (b) = 0, f ′ (b) = 0, мы заключаем, что для всех x∈I, x∈I, f ′ (x) <0f ′ (x) <0, если x 0f ′ (x)> 0, если x> bx> b. Следовательно, по тесту первой производной ff имеет локальный минимум при x = b.x = b.

Рис. 4.38. Рассмотрим дважды дифференцируемую функцию ff такую, что f ″ f ″ непрерывна. Поскольку f ′ (a) = 0f ′ (a) = 0 и f ″ (a) <0, f ″ (a) <0, существует интервал II, содержащий aa, такой, что для всех xx в I, I, ff равно увеличивается, если x a.х> а. В результате ff имеет локальный максимум при x = a.x = a. Поскольку f ′ (b) = 0f ′ (b) = 0 и f ″ (b)> 0, f ″ (b)> 0, существует интервал II, содержащий bb, такой, что для всех xx в I, I, ff равно уменьшается, если x bx> b. В результате ff имеет локальный минимум при x = b.x = b.

Теорема 4.11

Тест второй производной

Предположим, что f ′ (c) = 0, f ″ f ′ (c) = 0, f ″ непрерывно на интервале, содержащем c.c.

1. Если f ″ (c)> 0, f ″ (c)> 0, то ff имеет локальный минимум в c.c.
2. Если f ″ (c) <0, f ″ (c) <0, то ff имеет локальный максимум в c. c.
3. Если f ″ (c) = 0, f ″ (c) = 0, то проверка не дает результатов.

Обратите внимание, что для случая iii. когда f ″ (c) = 0, f ″ (c) = 0, тогда ff может иметь локальный максимум, локальный минимум или ни один из них в c.c. Например, функции f (x) = x3, f (x) = x3, f (x) = x4, f (x) = x4 и f (x) = — x4f (x) = — x4 все имеют критические указывает на x = 0.x = 0. В каждом случае вторая производная равна нулю при x = 0.x = 0. Однако функция f (x) = x4f (x) = x4 имеет локальный минимум при x = 0x = 0, тогда как функция f (x) = — x4f (x) = — x4 имеет локальный максимум при x, x, а функция f (x) = x3f (x) = x3 не имеет локального экстремума при x = 0.х = 0.

Давайте теперь посмотрим, как использовать тест второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в критической точке cc, где f ′ (c) = 0. f ′ (c) = 0.

Пример 4.20

Использование теста второй производной

Используйте вторую производную, чтобы найти расположение всех локальных экстремумов для f (x) = x5−5×3. f (x) = x5−5×3.

Решение

Чтобы применить тест второй производной, нам сначала нужно найти критические точки cc, где f ′ (c) = 0.f ′ (c) = 0. Производная равна f ′ (x) = 5×4−15×2.f ′ (x) = 5×4−15×2. Следовательно, f ′ (x) = 5×4−15×2 = 5×2 (x2−3) = 0f ′ (x) = 5×4−15×2 = 5×2 (x2−3) = 0, когда x = 0, ± 3.x = 0, ± 3.

Чтобы определить, есть ли у ff локальные экстремумы в любой из этих точек, нам нужно оценить знак f ″ f ″ в этих точках. Вторая производная —

f ″ (x) = 20×3−30x = 10x (2×2−3). f ″ (x) = 20×3−30x = 10x (2×2−3).

В следующей таблице мы оцениваем вторую производную в каждой из критических точек и используем тест второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в любой из этих точек.

хх	f ″ (x) f ″ (x)	Заключение
−3−3	−303−303	Местный максимум
00	00	Тест второй производной безрезультатно
33	303303	Местный минимум

Используя проверку второй производной, мы заключаем, что ff имеет локальный максимум при x = −3x = −3, а ff имеет локальный минимум при x = 3.х = 3. Тест второй производной не дает результатов при x = 0.x = 0. Чтобы определить, есть ли у ff локальные экстремумы при x = 0, x = 0, мы применяем тест первой производной. Чтобы оценить знак f ′ (x) = 5×2 (x2−3) f ′ (x) = 5×2 (x2−3) для x∈ (−3,0) x∈ (−3,0) и x∈ ( 0,3), x∈ (0,3), пусть x = −1x = −1 и x = 1x = 1 — две контрольные точки. Поскольку f ′ (- 1) <0f ′ (- 1) <0 и f ′ (1) <0, f ′ (1) <0, мы заключаем, что ff убывает на обоих интервалах и, следовательно, ff не имеет локальные экстремумы при x = 0x = 0, как показано на следующем графике.

Рисунок 4.39 Функция ff имеет локальный максимум при x = −3x = −3 и локальный минимум при x = 3x = 3.

КПП 4.19

Рассмотрим функцию f (x) = x3− (32) x2−18x.f (x) = x3− (32) x2−18x. Точки c = 3, −2c = 3, −2 удовлетворяют условию f ′ (c) = 0. f ′ (c) = 0. Используйте тест второй производной, чтобы определить, имеет ли ff локальный максимум или локальный минимум в этих точках.

Мы разработали инструменты, необходимые для определения того, где функция увеличивается и уменьшается, а также получили представление об основной форме графика.В следующем разделе мы обсудим, что происходит с функцией при x → ± ∞.x → ± ∞. На данный момент у нас есть достаточно инструментов для создания точных графиков большого количества функций.

Раздел 4.5 Упражнения

194.

Если cc является критической точкой для f (x), f (x), когда нет локального максимума или минимума в c? C? Объяснять.

195.

Для функции y = x3, y = x3, является ли x = 0x = 0 точкой перегиба и локальным максимумом / минимумом?

196.

Для функции y = x3, y = x3, является ли x = 0x = 0 точкой перегиба?

197.

Может ли точка cc быть одновременно точкой перегиба и локальным экстремумом дважды дифференцируемой функции?

198.

Зачем нужна непрерывность для первого производного теста? Придумайте пример.

199.

Объясните, должна ли функция вогнутого вниз пересекать y = 0y = 0 для некоторого значения x.x.

200.

Объясните, может ли многочлен степени 22 иметь точку перегиба.

Для следующих упражнений проанализируйте графики f ‘, f’, затем перечислите все интервалы, в которых ff увеличивается или уменьшается.

202. 204.

Для следующих упражнений проанализируйте графики f ′, f ′, затем перечислите все интервалы, где

1. ff увеличивается и уменьшается и
2. расположены минимумы и максимумы.

206. 208. 210.

Для следующих упражнений проанализируйте графики f ‘, f’, затем перечислите все точки перегиба и интервалы ff, которые вогнуты вверх и вогнуты вниз.

212. 214.

Для следующих упражнений нарисуйте граф, удовлетворяющий заданным спецификациям для области x = [- 3,3].х = [- 3,3]. Функция не обязательно должна быть непрерывной или дифференцируемой.

216.

f (x)> 0, f ′ (x)> 0f (x)> 0, f ′ (x)> 0 над x> 1, −3 1, −3 217.

f ′ (x)> 0f ′ (x)> 0 над x> 2, −3 2, −3 218.

f ″ (x) <0f ″ (x) <0 сверх −1 0, −3 0, −3 219.

Имеется локальный максимум при x = 2, x = 2, локальный минимум при x = 1, x = 1, и график не является ни вогнутым вверх, ни вогнутым вниз.

220.

Есть локальные максимумы при x = ± 1, x = ± 1, функция вогнута вверх для всех x, x, и функция остается положительной для всех x.x.

Для следующих упражнений определите

1. интервалов увеличения или уменьшения ff и
2. локальных минимумов и максимумов f.f.

221.

f (x) = sinx + sin3xf (x) = sinx + sin3x над −π

Для следующих упражнений определите a.интервалы, где ff вогнута вверх или вогнута вниз, и b. точки перегиба ф.ф.

223.

f (x) = x3−4×2 + x + 2f (x) = x3−4×2 + x + 2

Для следующих упражнений определите

1. интервалы увеличения или уменьшения ff,
2. локальных минимумов и максимумов f, f,
3. интервалов, где ff является вогнутым вверх и вогнутым вниз, и
4. точки перегиба ф.ф.

225.

f (x) = x3−6x2f (x) = x3−6×2

226.

f (x) = x4−6x3f (x) = x4−6×3

227.

f (x) = x11−6x10f (x) = x11−6×10

228.

f (x) = x + x2 − x3f (x) = x + x2 − x3

Для следующих упражнений определите

1. интервалы увеличения или уменьшения ff,
2. локальных минимумов и максимумов f, f,
3. интервалов, где ff является вогнутым вверх и вогнутым вниз, и
4. точки перегиба ф.ф. Нарисуйте кривую, а затем с помощью калькулятора сравните свой ответ. Если вы не можете определить точный ответ аналитически, воспользуйтесь калькулятором.

231.

[T] f (x) = sin (πx) −cos (πx) f (x) = sin (πx) −cos (πx) над x = [- 1,1] x = [- 1,1 ]

232.

[T] f (x) = x + sin (2x) f (x) = x + sin (2x) over x = [- π2, π2] x = [- π2, π2]

233.

[T] f (x) = sinx + tanxf (x) = sinx + tanx над (−π2, π2) (- π2, π2)

234.

[T] f (x) = (x − 2) 2 (x − 4) 2f (x) = (x − 2) 2 (x − 4) 2

235.

[T] f (x) = 11 − x, x ≠ 1f (x) = 11 − x, x ≠ 1

236.

[T] f (x) = sinxxf (x) = sinxx над x = x = [2π, 0) ∪ (0,2π] [2π, 0) ∪ (0,2π]

237.

f (x) = sin (x) exf (x) = sin (x) ex над x = [- π, π] x = [- π, π]

238.

f (x) = lnxx, x> 0 f (x) = lnxx, x> 0

239.

f (x) = 14x + 1x, x> 0f (x) = 14x + 1x, x> 0

240.

f (x) = exx, x ≠ 0f (x) = exx, x ≠ 0

Для следующих упражнений интерпретируйте предложения в терминах f, f ′ и f ″ .f, f ′ и f ″.

241.

Население растет медленнее. Здесь ff — население.

242.

Велосипед ускоряется быстрее, но машина едет быстрее. Здесь f = f = положение велосипеда минус положение автомобиля.

243.

Самолет плавно приземляется. Здесь ff — высота самолета.

244.

Акции на пике. Здесь ff — цена акции.

245.

Экономика набирает обороты. Здесь ff — это показатель экономики, например ВВП.

Для следующих упражнений рассмотрим многочлен третьей степени f (x), f (x), который обладает свойствами f ′ (1) = 0, f ′ (3) = 0. f ′ (1) = 0, f ′ (3) = 0. Определите, являются ли следующие утверждения верными или ложными . Обосновать ответ.

246.

f (x) = 0f (x) = 0 для некоторых 1≤x≤31≤x≤3

247.

f ″ (x) = 0f ″ (x) = 0 для некоторого 1≤x≤31≤x≤3

248.

Нет абсолютного максимума при x = 3x = 3

249.

Если f (x) f (x) имеет три корня, то у нее 11 точек перегиба.

250.

Если f (x) f (x) имеет одну точку перегиба, то она имеет три действительных корня.

Правило первой производной

Первую производную можно использовать для определения точек локального минимума и / или максимума функции, а также интервалов увеличения и уменьшения.

Рисунок 1 представляет собой график полиномиальной функции 2x ³ + 3x ² — 30x.

Первая производная точки — это наклон касательной в этой точке. Когда наклон касательной равен 0, точка является либо локальным минимумом, либо локальным максимумом. Таким образом, когда первая производная точки равна 0, точка является местоположением локального минимума или максимума.

ПЕРВАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПРОВЕРКА:

Предположим, что c — точка, в которой первая производная равна 0, f ^‘ (c) = 0

• Если f ^‘ изменяется с положительного на отрицательное в c , то c — это локальный максимум .
• Если f ^‘ изменяется с отрицательного на положительное в точке c, то c является локальным минимумом .
• Если f ^‘ не изменяется в c, значит, в c не существует минимума / максимума.

Поскольку производная — это наклон касательной, если производная положительна, это означает, что наклон положительный и функция возрастает. Аналогично, если производная отрицательна, наклон отрицательный, и функция убывает.Поэтому у нас есть тест, чтобы определить, увеличивается или уменьшается интервал.

Если первая производная положительна на интервале, функция увеличивается на этом интервале. Если первая производная отрицательна на интервале, функция убывает на этом интервале.

ТЕСТ НА УВЕЛИЧЕНИЕ / УМЕНЬШЕНИЕ:

• Если f ^‘> 0 на интервале, функция увеличивается на этом интервале.
• If f ^‘

Давайте рассмотрим несколько примеров.

Для работы этих примеров требуется использование различных производных правил. Если вы не знакомы с правилом, перейдите к соответствующей теме для обзора.

Пример 1. Определите локальные точки минимума и максимума, а также интервалы, на которых функция увеличивается и уменьшается для f (x) = 2x ³ + 3x ² — 36x.

Шаг 1: Найдите значения x, когда первая производная равна 0, f ′ (x) = 0.	Найдите первую производную: f (x) = 2x 3 + 3x 2 — 36x f ′ (x) = 6×2 + 6x − 36 Установите производную равной нулю: 0 = 6x 2 + 6x — 36 Фактор: 0 = 6 (х 2 + х — 6) 0 = 6 (х + 3) (х — 2) Установите каждый коэффициент равным нулю и решите: 6 ≠ 0 х + 3 = 0; х = -3 х — 2 = 0; х = 2
Шаг 2: Создайте таблицу интервалов, которые заканчиваются / начинаются с x-значений, таких, что f ′ (x) = 0 Возьмите значения x, найденные на шаге 1, и создайте таблицу интервалов. Чтобы определить знак первой производной, выберите число в интервале и решите. Если первая производная на интервале положительна, функция возрастает. Если первая производная на интервале отрицательна, функция уменьшается.
Интервал f ′ (x) = 6×2 + 6x − 36 f −∞≤x≤ − 3 f ′ (- 4) = 6 (−4) 2 + 6 (−4) −36 = 36 + Увеличение на −∞≤x≤ − 3 −3≤x≤2 f ′ (0) = 6 (0) 2 + 6 (0) −36 = −36 — Уменьшение на −3≤x≤2 2≤x≤∞ f ′ (3) = 6 (3) 2 + 6 (3) −36 = 36 + Увеличение на 2≤x≤∞
Шаг 3: Примените тест первой производной для определения точек минимума / максимума.
Поскольку первая производная изменяется с положительной на отрицательную при -3, существует локальный максимум при -3. Максимальное значение в этой точке: f (−3) = 2 (−3) 3 + 3 (−3) 2−30 (−3) = 63 Локальный максимум: (-3, 63) Поскольку первая производная изменяется с отрицательной на положительную в 2, существует локальный минимум в 2.Максимальное значение в этой точке: f (2) = 2 (2) 3 + 3 (2) 2−30 (2) = — 32 Локальный минимум: (2, -32)

Пример 2: Определите локальные точки минимума и максимума и интервалы, на которых функция увеличивается и уменьшается для f (x) = 2 sin x в интервале 0≤x≤2π.

Шаг 1: Найдите значения x, когда первая производная равна 0, f ′ (x) = 0.	Найдите первую производную: f (x) = 2sinx f ′ (x) = 2cosx Установите производную равной нулю: 0 = 2 cos x Решите относительно x: 0 = cos x cos − 10 = x π2, −3π2 = x
Шаг 2: Создайте таблицу интервалов, которые заканчиваются / начинаются с x-значений, таких, что f ′ (x) = 0. Возьмите значения x, найденные на шаге 1, и создайте таблицу интервалов. Чтобы определить знак первой производной, выберите число в интервале и решите. Если первая производная на интервале положительна, функция возрастает. Если первая производная на интервале отрицательна, функция уменьшается.
Интервал f ′ (x) = 2cosx f 0≤x≤π2 f ′ (1) = 2cos1≈1.08 + Увеличение на 0≤x≤π2 π2≤x≤3π2 f ′ (2) = 2cos2≈ − 0.83 — Уменьшение на π2≤x≤3π2 3π2≤x≤2π f ′ (6) = 2cos6≈1.92 + Увеличение на 3π2≤x≤2π
Шаг 3: Примените тест первой производной для определения точек минимума / максимума.
Поскольку первая производная изменяется с положительной на отрицательную при π2, существует локальный максимум при π2. Максимальное значение в этой точке: f (π2) = 2sinπ2 = 2 Локальный максимум: (π2, 2) Поскольку первая производная изменяется с отрицательной на положительную при 3π2, существует локальный минимум при 3π2.Максимальное значение в этой точке: f (3π2) = 2sin3π2 = −2 Локальный минимум: (3π22, −2)

Бизнес-исчисление

Вторая производная и вогнутость

Графически функция представляет собой вогнутую вверх , если ее график изогнут с раскрытием вверх (Рисунок 1a). Аналогично, функция вогнута вниз на , если ее график открывается вниз (рис. 1b).

Рисунок 1

На этом рисунке показана вогнутость функции в нескольких точках. Обратите внимание, что функция может быть вогнутой независимо от того, увеличивается она или уменьшается.

Например, эпидемия : Предположим, началась эпидемия, и вы, как участник конгресса, должны решить, эффективно ли борются с распространением болезни текущие методы или нужны более решительные меры и больше денег. На рисунке 2 ниже \ (f (x) \) — это количество людей, у которых есть болезнь в момент \ (x \), и показаны две разные ситуации.На рисунках 2a и 2b показано количество людей с заболеванием \ (f (\ text {now}) \) и частота, с которой новые люди заболевают, \ (f ‘(\ text {now} )\), одинаковы. Разница в двух ситуациях заключается в вогнутости \ (f \), и эта разница в вогнутости может сильно повлиять на ваше решение.

Рис. 2

На Рис. 2a, \ (f \) вогнутая вниз в «сейчас», наклоны уменьшаются, и это выглядит так, как будто оно сокращается. Мы можем сказать: «\ (f \) увеличивается с убывающей скоростью.»Похоже, что нынешние методы начинают контролировать эпидемию.

На рис. 2b, \ (f \) вогнутая вверх, наклоны увеличиваются, и похоже, что она будет увеличиваться все быстрее и быстрее. Похоже, что эпидемия все еще вышла из-под контроля.

Различия между графиками зависят от того, увеличивается или уменьшается производная

Производная функции f — это функция, которая дает информацию о наклоне \ (f \). Производная сообщает нам, увеличивается или уменьшается исходная функция .

Поскольку \ (f ‘\) — функция, мы можем взять ее производную. Эта вторая производная также дает нам информацию о нашей исходной функции \ (f \). Вторая производная дает нам математический способ определить, как график функции искривлен. Вторая производная сообщает нам, является ли исходная функция вогнутой вверх или вниз .

Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5.

Вторая производная

Пусть \ (y = f (x) \).2} \). Это читается вслух как «вторая производная от y (или f)».

Если \ (f » (x) \) положительно на интервале, график \ (y = f (x) \) будет на вогнутым вверх на на этом интервале. Можно сказать, что \ (f \) увеличивается (или уменьшается) на с возрастающей скоростью .

Если \ (f » (x) \) отрицательно на интервале, график \ (y = f (x) \) будет на вогнутым вниз на на этом интервале. Можно сказать, что \ (f \) увеличивается (или уменьшается) на с уменьшающейся скоростью .5. \]

Если \ (f (x) \) представляет положение частицы в момент времени \ (x \), то \ (v (x) = f ‘(x) \) будет представлять скорость (скорость изменения положения ) частицы, а \ (a (x) = v ‘(x) = f’ ‘(x) \) будет представлять ускорение (скорость изменения скорости) частицы.

Вы, вероятно, знакомы с ускорением от вождения или езды на автомобиле. Спидометр показывает вашу скорость (скорость). Когда вы выходите с остановки и нажимаете педаль акселератора, вы ускоряетесь — увеличивая скорость.2 \)} \).

В момент времени 0 и 1 ускорение отрицательное, поэтому скорость частицы будет уменьшаться в этих точках — частица замедлялась. В момент времени 2 скорость положительна, значит, скорость частицы увеличивалась.

Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5.

Точки перегиба

Определение (точка перегиба)

Точка перегиба — это точка на графике функции, в которой вогнутость функции изменяется с вогнутой вверх на вниз или с вогнутой вниз на вверх.

Пример 3

Какие из отмеченных точек на графике ниже являются точками перегиба?

Вогнутость изменяется в точках b и g. В точках a и h график имеет вогнутость с обеих сторон, поэтому вогнутость не меняется. В точках c и f график с обеих сторон вогнут вниз. В точке е, хотя график там выглядит странно, график вогнут вниз с обеих сторон — вогнутость не меняется.

Точки перегиба возникают при изменении вогнутости.Поскольку мы знаем связь между вогнутостью функции и знаком ее второй производной, мы можем использовать это для поиска точек перегиба.

Рабочее определение

Точка перегиба — это точка на графике, где вторая производная меняет знак.

Чтобы вторая производная сменила знак, она должна быть равна нулю или быть неопределенной. Таким образом, чтобы найти точки перегиба функции, нам нужно только проверить точки, где \ (f » (x) \) равно 0 или не определено.{-5/3} \). \ (h » \) не определено, если \ (x = 0 \), но \ (h » (\ text {отрицательное число}) \ gt 0 \) и \ (h » (\ text {положительное число }) \ lt 0 \), поэтому \ (h \) меняет вогнутость в точке (0,0), а (0,0) является точкой перегиба \ (h \).

Для просмотра этого видео включите JavaScript и рассмотрите возможность обновления до веб-браузера, который поддерживает видео HTML5.

Пример 5

Нарисуйте график функции с \ (f (2) = 3 \), \ (f ‘(2) = 1 \) и точкой перегиба в (2,3).

Здесь показаны два возможных решения.

Математических изображений | Полиномиальные функции и производная (1): линейные функции

Простейшие функции — это линейные функции. Их формулы представляют собой многочлены степени один или cero (это случай, когда функция является постоянной функцией). Их графики представляют собой прямые линии.

Мы заинтересованы в изучении производных простых функций с помощью интуитивно понятного и наглядного подхода. Начнем с линейной функции.

ПОНЯТИЕ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ

Производная функции в точке может быть определена как мгновенная скорость изменения или как наклон касательной линии к график функции в этой точке. Можно сказать, что этот наклон касательной функции в точке — это наклон функция.

Наклон функции, как правило, зависит от x. Тогда, начиная с функции, мы можем получить новую функцию, производную функцию исходной функции.

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции для любого значения x — это наклон исходной функции в точке x.

Как мы можем нарисовать производную функцию заданной функции (в нашем случае линейной функции)?

Общая процедура проста: мы начинаем рисовать касательную к функции в заданной точке.

В нашем случае это очень просто, потому что касательная к прямой — это та же самая линия:

Затем мы проводим параллельную линию касательной, проходящую через значение x-1, и получаем прямоугольный треугольник.Длина вертикальной стороны — наклон касательной.

Затем мы можем нарисовать производную функцию линейной функции, что очень просто, потому что это постоянная функция. Ценность этого Постоянная функция — это наклон исходной линейной функции.

Например, линейная функция с положительным наклоном:

Другой пример, линейная функция с отрицательным наклоном:

Когда функция является постоянной функцией, это означает, что ее график представляет собой горизонтальную линию (наклон равен 0).Тогда производная постоянной функции — это постоянная функция 0.

Одна простая и интересная идея заключается в том, что когда мы переводим график функции вверх и вниз (мы добавляем или вычитаем число из исходной функции) производная не меняется. Причина очень интуитивна, и мы можем поиграть с интерактивным приложением, чтобы увидеть это свойство. Когда ты переместите фиолетовую точку, которую вы переводите вверх и вниз по графику, и производная будет такой же:

Важно отметить, что производная многочлена степени 1 является постоянной функцией (многочленом степени 0).Когда мы получить такую ​​полиномиальную функцию, результатом будет многочлен, степень которого на 1 меньше, чем у исходной функции.

Когда мы изучаем интеграл многочлена степени 1, мы видим, что в этом случае новая функция является многочленом степени 2. Еще на одну степень чем исходная функция.

Эти результаты связаны с основной теоремой исчисления.

РЕКОМЕНДАЦИИ

Майкл Спивак, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.

Том М. Апостол, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.

БОЛЬШЕ ССЫЛКИ

Производная кубической функции — это квадратичная функция, парабола.

Многочлены Лагранжа — это многочлены, проходящие через n заданных точек. Мы используем полиномы Лагранжа, чтобы исследовать общую полиномиальную функцию и ее производную.

Если производная от F (x) равна f (x), то мы говорим, что неопределенный интеграл от f (x) относительно x равен F (x).Мы также говорим, что F — первообразная или примитивная функция от f.

Две точки определяют прямую линию. Как функцию мы называем это линейной функцией. Мы можем видеть наклон линии и то, как мы можем получить уравнение прямой через две точки. Мы также изучаем точки пересечения по оси x и оси y линейного уравнения.

Степень с натуральными показателями — простые и важные функции. Их обратные функции — это степени с рациональными показателями (радикал или корень n-й степени)

Многочлены степени 2 — это квадратичные функции.Их графики — параболы. Чтобы найти точки пересечения по оси x, мы должны решить квадратное уравнение. Вершина параболы — это максимум минимума функции.

Многочлены степени 3 — это кубические функции. Реальная кубическая функция всегда пересекает ось x хотя бы один раз.

В качестве введения в кусочно-линейные функции мы изучаем линейные функции, ограниченные открытым интервалом: их графики подобны отрезкам.

Кусочная функция — это функция, которая определяется несколькими подфункциями.Если каждый кусок является постоянной функцией, то кусочная функция называется кусочно-постоянной функцией или ступенчатой ​​функцией.

Непрерывная кусочно-линейная функция определяется несколькими отрезками или лучами, соединенными без скачков между ними.

Интегральное понятие ассоциируется с понятием площади. Мы начали рассматривать область, ограниченную графиком функции и осью абсцисс между двумя вертикальными линиями.

Монотонные функции на отрезке интегрируемы.В этих случаях мы можем ограничить ошибку, которую мы допускаем при приближении интеграла с помощью прямоугольников.

Если мы рассматриваем нижний предел интегрирования a как фиксированный и если мы можем вычислить интеграл для различных значений верхнего предела интегрирования b, то мы можем определить новую функцию: неопределенный интеграл от f.

Подсчитать площадь под прямой несложно. Это первый пример интеграции, который позволяет нам понять идею и ввести несколько основных понятий: интегральное как область, пределы интеграции, положительные и отрицательные области.

Вычислить площадь по параболе сложнее, чем вычислить площадь по линейной функции. Мы покажем, как аппроксимировать эту область с помощью прямоугольников и что интегральная функция многочлена степени 2 является многочленом степени 3.

Мы можем увидеть некоторые основные понятия об интегрировании, применяемые к общей полиномиальной функции. Интегральные функции от полиномиальных функций — это полиномиальные функции с одной степенью выше, чем исходная функция.

Фундаментальная теорема исчисления говорит нам, что каждая непрерывная функция имеет первообразную, и показывает, как построить ее с помощью интеграла.

Вторая основная теорема исчисления — мощный инструмент для вычисления определенного интеграла (если мы знаем первообразную функции).

Увеличивая степень, полином Тейлора все больше и больше приближает экспоненциальную функцию.

Увеличивая степень, полином Тейлора все больше и больше приближает функцию синуса.

Функция не определена для значений меньше -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат приближают функцию от -1 до 1.

Функция имеет особенность в -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат приближают функцию от -1 до 1.

Функция имеет особенность в -1. Многочлены Тейлора относительно начала координат приближают функцию от -1 до 1.

Эта функция имеет две действительные особенности в точках -1 и 1.Многочлены Тейлора аппроксимируют функцию в интервале с центром в центре ряда. Его радиус — это расстояние до ближайшей особенности.

Это непрерывная функция, не имеющая реальных особенностей. Однако ряд Тейлора приближает функцию только в интервале. Чтобы понять это поведение, мы должны рассмотреть сложную функцию.

.