Комбинаторные задачи на развитие смекалки для 1-4 классов.

Задачи комбинаторного характера

Задачи № 1

Это задачи на взвешивание.

1) На столе лежат три одинаковых по виду кубика. Один из них немного легче, чем другие. Как найти бракованный кубик при помощи двухчашечных весов за одно взвешивание?

2) Даны 4 монеты. Одна из них фальшивая: она легче, чем другие. Каким наименьшим числом взвешиваний на двухчашечных весах можно определить фальшивую монету?

Задачи № 2

Эти задачи решаются с помощью перебора разных вариантов.

1) В коробке лежат белые и голубые шары. Мальчик вынул 3 шара, не глядя в коробку. Будут ли среди вынутых шаров хотя бы 2 шара одного цвета?

2) В мешке лежат 3 красных шарика и 3 синих. Наугад достали сразу 3 шарика. Шарики каких цветов могли достать? Рассмотри все возможные варианты. Сделай схематический рисунок.

3) Из мешка, в котором лежат 2 синих шарика и 2 красных шарика, девочка выбирает поочерёдно 3 шарика. Изобрази все возможные варианты выбора шариков с помощью схематического рисунка. Запиши полученные варианты, используя буквы С и К.

4) В мешке лежат 2 белых и 5 чёрных шаров. Какое наименьшее количество шаров надо вынуть из мешка наугад, чтобы среди них обязательно оказались 2 шара одного цвета?

5) В аквариуме 3 рыбки: гуппи, сомик и меченосец. Толя запустил в аквариум сачок. Что может в нём оказаться? Перечисли все возможные варианты.

6) На дереве сидели 4 вороны и 3 галки. К дереву подошла кошка и стала карабкаться. 6 птиц улетели. Могла ли остаться на дереве хоть одна ворона?

7) На кормушке сидело 5 воробьёв и 2 синицы. Улетели 3 птицы. Был ли среди них хотя бы один воробей?

8) В коробке лежат 5 цветных и 3 простых карандаша. Из коробки достали 5 карандашей. Какими могут быть взятые карандаши? Найди 4 варианта.

9) Алёша, Боря, Вася и Гена – лучшие математики класса. На школьную олимпиаду нужно представить команды из трёх человек. Сколькими способами это можно сделать?

Задачи 3

В этих задачах нужно составлять разные числа из цифр.

Можно также дать учащимся дополнительные задания:

— расположите числа в порядке возрастания / убывания;

— найдите наименьшее /наибольшее число;

— найдите числа, кратные 2, 3, 5 и т. д.

1) Сколько всего двузначных чисел можно составить из цифр 7, 4 и 5 при условии, что цифры в записи числа не повторяются? Запиши эти числа через запятую.

2) Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, если цифры в записи числа могут повторяться? Запиши эти числа через запятую.

3) Составь все двузначные числа, в записи которых используются цифры 3 и 7.

4) Какие трёхзначные числа можно составить из цифр 7, 0, 9, если:

а) цифры в записи числа не повторяются;

б) цифры в записи числа могут повторяться.

5) Сколько двузначных чисел можно записать лишь с помощью цифр 1, 2, 3, 4?

5) Сколько существует двузначных чисел, в записи которых содержится хотя бы одна цифра 5?

6) Сколько среди двузначных чисел таких, в записи которых используются только цифры 1 и 2?

7) Сколько среди трёхзначных чисел таких, в записи которых используются только цифры 3 и 4?

8) Составь все двузначные и трёхзначные числа из цифр, чтобы цифры в записи числа не повторялись: а) 3,1, 6; б) 2,0,5.

Задачи 4

В этих задачах нужно составлять разные слова из букв.

Можно дать учащимся задание придумать «перевод» полученных слов и разрешить им пообщаться на новом языке.

1) На острове «Ро-ко-ко» только 3 буквы: р, о, к. В словах они не могут повторяться. Сколько различных слов есть у жителей этого острова, если все их слова – двухбуквенные?

2) Переставь буквы в слове АНЯ всеми возможными способами и запиши полученные варианты. Какое ещё женское имя при этом получится?

3) В телеграмме всего 3 слова: «Вылетаю самолётом завтра». Какие ещё предложения можно составить из этих слов? Запиши полученные варианты, обозначив каждое слово его начальной буквой, например ВЗС.

4) На одной маленькой планете жили лилипуты. И говорили они между собой на своём языке. А знали они всего три буквы: Т, Я, О. Какие слова могли составить лилипуты из этих букв? Сколько всего слов было в их языке, если каждое слово могло содержать не более 3 букв? Буквы в одном слове не повторялись.

Задачи 5

В этих задачах разные предметы ученикам нужно раскрасить разными способами. К задачам 1-6 необходимо подготовить раздаточный материал.

1) Раскрась домики тремя карандашами разного цвета так, чтобы среди них не было одинаковых и цвета на одном домике не повторялись. См. рис. 1.

2) Попробуй раскрасить все нарисованные флажки тремя карандашами разного цвета так, чтобы среди них не было двух одинаковых и цвета полос на одном флажке не повторялись.

См. рис. 2.

3) Попробуй раскрасить все нарисованные колпаки тремя карандашами разного цвета так, чтобы среди их не было двух одинаковых и цвета полос на одном колпаке не повторялись.

См. рис. 3.

4) Возьми зелёный, жёлтый и коричневый карандаши. Раскрась ими листочки так, чтобы в одной строчке листочки были разными, а одинаковые строки не повторялись. См. рис. 4.

5) Возьми 3 цветных карандаша: красный, жёлтый и синий. Раскрась ими нарисованные карандаши так, чтобы в каждой строке карандаши были разными, а одинаковых строк не было.

См. рис. 5.

Рисунок 1.

Рисунок 2.

Рисунок 3.

6) Флаг раскрашен в две красные и три зелёные полоски. Последовательность цветов раскраски обозначена цепочкой букв, записанных внизу рамки. Раскрась остальные флаги другими способами, подпиши их в рамке.

См. рис. 6.

7) На костюм клоуна для брата Маша хочет пришить 2 синие и 2 красные пуговицы. Как могут быть расположены эти пуговицы? Попробуй найти разные варианты. Представь их в виде рисунков или записей с буквами С и К.

8) Обведи в тетради 4 клетки в ряд. Раскрась их четырьмя карандашами (кранным, синим, жёлтым и зелёным) так, чтобы: синяя клетка была не в начале и не в конце этого ряда; красная клетка была слева от синей, но не обязательно рядом с ней. Сколько вариантов раскраски может быть? Изобрази их в тетради. Сделай записи с помощью букв К, С, Ж, З.

Рисунок 4.

Рисунок 5.

к к з з з

Рисунок 6.

Задачи 6

В этих задачах нужно найти разные варианты расстановки.

1) Перед тобой три игрушки: машина, кубик, рыбка. Запиши первыми буквами, как их можно расставить тройками, чтобы в каждой тройке игрушки были разными, а одинаковых троек не было. Две первые строчки записаны. Продолжи остальные.

М. К. Р.

М. Р. К.

2) Составь расписание на завтра, если должно быть по одному уроку математики, чтения и рисования. Запиши все варианты первыми буквами: М Ч Р.

3) Виталик, Дима и Сергей решили вместе сфотографироваться. Сколькими различными способами они могут сесть на одну скамейку? Найди 6 способов.

4) У Коли на полке лежат три книги: одна со сказками, другая со стихами, третья с рассказами. Он хочет их переместить. Сколькими способами он может это сделать?

5) Расположи предметы на полках разными способами.

См. рис.7

Рисунок 7.

Задачи 7

Задачи этой группы отличаются тем, что они решаются с помощью «дерева вероятностей» или составления таблицы.

1) Имеется ткань двух цветов: голубая и зелёная. Требуется обить диван, кресло и стул. Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели?

2) При изготовлении авторучки корпус и колпачок могут иметь одинаковый или разный цвет. На фабрике есть пластмасса четырёх цветов: белого, красного, синего и зелёного. Какие отличающиеся по цвету ручки можно изготовить?

3) Аня, Боря, Вера и Гена – лучшие лыжники школы. На соревнования надо было выбрать из них троих. Сколькими способами можно это сделать?

4) В классе Аня, Петя и Лена хорошо поют, Серёжа и Галя играют на гитаре, а Миша умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, артиста и фокусника?

Задачи 8

Эти задачи отличаются тем, что «дерево возможностей» уже есть. Нужно лишь ответить на вопрос.

1. На полке в магазине стоят два медвежонка – жёлтый и коричневый, две машинки – чёрная и белая и три мяча – красный, жёлтый и голубой. Васе надо купить 3 игрушки: одного медвежонка, одну машинку и один мяч. Определи с помощью «дерева», сколькими способами он может это сделать? См. рис. 8

к

ж

б

ч

б

ч

к з г к з г к з г к з г

Медвежата

Машинки

Мячи

Рисунок 8.

2) Сколькими способами можно прочитать слово КОТ в схеме, двигаясь по указанным линиям?

3) Сколькими способами можно прочитать слово РОЗА в схеме, двигаясь по указанным линиям?

Задачи 9

В этих задачах дерево нужно достроить «дерево возможностей» и ответить на вопрос.

1. У Даши 4 кофты – красная, жёлтая, голубая и зелёная и 2 юбки – синяя и белая. Сколькими способами она может составить себе костюм? Закончи составление «дерева» и раскрась Дашины наряды соответствующим образом. См. рис. 9

Кофта

Юбка

К

С Б

.

Ж .

Рисунок 9.

2) Мебельный магазин имеет 3 образца стульев – с бордовой, серой и зелёной обивкой и два образца столов – круглые и квадратные. Маша с папой пришли в магазин, им нужно купить стол со стульями. Сколько вариантов выбора у них есть? Составь «дерево» и покажи путь, который соответствует круглой форме стола и зелёной обшивке стульев. См. рис. 10.

Стол

Стулья

б с з

Рис. 10

2. Три поросёнка – Ниф-Ниф, Наф-Наф и Нуф- Нуф – решили построить себе домики. Выбрали три прекрасных места: у реки, на озере и на горе. Найди все возможные варианты их размещения с помощью «дерева» и таблицы.

См. рис. 11.

р

г

г

р

г

о

г

о

Ниф-Ниф

Нуф-Нуф

Наф-Наф

Рисунок 11.

Ниф-Ниф

Нуф-Нуф

Наф-Наф

р

о

г

Задачи 10

Для решения этих задач нужно составлять и заполнять таблицы.

1) В коробке лежат 2 красные и 3 зелёные гирлянды. Сколько различных комбинаций из них можно составить? Составь таблицу и покажи в ней цепочку «к-з-з-к-з».

2) Сколькими способами можно выстроить башню из 2 синих и 2 красных кубиков? Составь таблицу и сделай рисунок полученных вариантов решения.

3) Сколькими способами можно разложить 5 ручек красного, зелёного, жёлтого, синего и розового цвета в одинаковых 2 пеналах?

4) Круг разделили на две части и решили раскрасить их карандашами разных цветов. Сколькими способами можно это сделать, если имеются красный, синий и зелёный карандаши?

5) Сколькими способами можно разложить 3 одинаковых карандаша в две разные коробки? Заполни таблицу.

I коробка

II коробка

Задачи 11

Эти задачи удобно решать с помощью дерева возможностей.

1) У Юры 2 пирамидки, 3 мяча и 2 конструктора. Он хочет выбрать из этих игрушек одну пирамидку, один мяч и один конструктор. Сколькими способами он это может сделать?

2) У Тани 2 вида ручек и 4 вида карандашей. Сколько различных комплектов из одной ручки и одного карандаша можно из них составить?

3) У Золушки было всего 2 простенькие шляпки. Чтобы украсить их, она из лоскутков ткани сделала три разных цветка. Сколько теперь будет у Золушки вариантов шляпок с цветами?

3. В шкафу висят 4 юбки красного, жёлтого, зелёного и синего цветов, а также 3 свитера жёлтого, зелёного и синего цветов. Сколько костюмов можно составить из этой одежды, если известно, что цвета юбки и свитера в одном костюме не совпадают?

Задачи 12

Эти задачи решаются с помощью составления графов.

1) В соревнованиях участвуют 5 футбольных команд. Каждая команда играет один раз с каждой командой из остальных команд. Сколько матчей будет сыграно?

2) Два человека пожали друг другу руки. Сколько было рукопожатий? А если 7 человек пожали друг другу руки, то сколько будет рукопожатий?

3) Коля, Вася и Боря играли в шашки. Каждый из них сыграл две партии. Сколько всего партий было сыграно?

4) Маугли попросил трёх обезьян принести ему орехи. Обезьяны набрали орехов и понесли Маугли. По дороге они поссорились, и каждая обезьяна бросила в каждую по ореху. В результате они принесли орехов вдвое меньше, чем собрали. Сколько орехов получил Маугли?

Задачи 13

Эти задачи можно решить при помощи схематического рисунка.

1) Школьники из Волгограда собрались на каникулы ехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе или поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву – а самолёте, теплоходе или автобусе. Сколькими различными способами могут ребята осуществить своё путешествие? Назовите возможные варианты этого путешествия.

2. Из деревни Простоквашино в деревню Сметанино ведут 3 дороги, а из деревни Сметанино в деревню Кефирово – 2 дороги. Сколько различных дорог ведёт из Простоквашино в Кефирово?

См. рис. 12

П

С

К

Рисунок 12

Конспект занятия по внеурочной деятельности кружка «Комбинаторные задачи» (1 класс)

Конспект занятия кружка «Комбинаторные задачи» в 1 классе УМК «Гармония»

Тема: решение комбинаторных задач способом хаотичного перебора.

Тип занятия: закрепление.

Цель: формирование приёмов умственной деятельности при решении комбинаторных задач.

Задачи занятия:

I. Предметные:

-создавать условия для формирования умения решать простые комбинаторные задачи способом хаотичного перебора;

-способствовать формированию навыка устного счета.

II.Метапредметные:

1) Познавательные УУД:

-формировать мыслительную деятельность учащихся;

-формировать комбинаторное и логическое мышление.

2) Регулятивные УУД:

-формировать учебную деятельность;

-формировать умения осуществлять контроль и коррекцию.

3) Коммуникативные УУД:

-формировать умения работать в парах и группах;

-развивать умения высказывать свою точку зрения.

III. Личностные:

-формировать положительную мотивацию к учению;

-формировать способность к самооценке.

Ход занятия.

I.

II.

III.

IV.

Организационный момент (1 мин.)

Приветствие гостей и детей.

— К нам сегодня пришли гости. Мы, как гостеприимные хозяева, поприветствуем их своими улыбками.

— Сначала тихо сядут девочки, а потом мальчики.

Постановка проблемы (5 мин.)

— Ребята, а вы знаете какой сегодня день?

— А может в этом нам поможет разобраться волшебный конверт? (достаю конверт)

— Здесь какие-то буквы.

— Вы не знаете, что надо с ними делать?

— Давайте попробуем.

-Так что же у вас получилось?

— Что это за слово?

— Это же моё имя. Причем здесь моё имя и сегодняшний день – 25 января?

— Как здорово! Тогда я устрою сегодня праздник. Вы поможете мне в этом?

— А что делают, когда готовятся к празднику?

Основная часть (32 мин.)

1)– Тогда начнем с украшения помещения. Чем же можно украсить помещение?

— У меня как раз есть воздушные шары, но только 4-х цветов. Надо составить пары из шаров так, чтобы в каждой паре шары были разного цвета, и развесить их по классу.

-Сейчас каждый выйдет к доске, возьмет себе по шарику и встанет в круг.

— Найдите себе пару с шариком другого цвета, свяжите нитки крепким узелком и возьмитесь за руки.

— Посмотрите, у всех получилось составить пары из шаров разного цвета?

— Сколько же разных пар получилось?

— Как у вас получилось составить пары?

— Еще можно выполнить это задание по схеме, чтобы не пропустить ни одной пары.

Рисую на доске схему (4 кружка) и показываю, как можно составить пары из 4-х шаров разного цвета.

Проверяем наглядно (считаем пары шаров)

— Действительно, разных пар получилось 6.

— А остальные что же?

2) – Итак, одно дело сделано. Теперь, я думаю, надо подготовить концертный номер. Я предлагаю станцевать танец.

— Ну, а кто же будет танцевать? Кто умеет? Кто занимается танцами? Выходите к доске.

— А танец будут танцевать (одеваю детям маски) Слон, Волк, Тигр. Их партнершами будут: Зайка, Лисичка и Мышка.

— Только вот незадача. Зайка боится, что Волк и Тигр могут её съесть. Слон боится раздавить Мышку, а Лисичка поссорилась с Волком из-за Пети-Петушка (вешаю на доску текст задачи и условие).

— Как же быть? ( Выслушиваю все ответы, по необходимости помогаю).

В итоге должно получиться 3 пары: З-С, Л-Т, М-В.

— Вот теперь пары готовы! Можно и потанцевать. Приглашаю всех на танец (включаю музыкальную композицию «В мире животных» ремикс)

3) – Вот и танец готов.

— Что же ещё осталось сделать?

— Займемся сервировкой стола.

— У меня будет 3 стола для гостей, значит должно быть 3 группы помощников.

— Сейчас я каждому раздам кружки разного цвета. Дети, у которых кружки синего цвета, должны подойти к столу с синими салфетками, у кого зеленые — к столу с зелеными, у кого красные – с красными.

— Итак, группы готовы.

-Давайте повторим правила работы в группе (правила написаны на доске, хором повторяем).

-На каждом столе лежат тарелки, вилки и ложки. Ваша задача – разложить каждый набор из тарелки, ложки и вилки по-разному для каждого гостя.

— Сколько разных вариантов у вас получится, столько я гостей и приглашу. Чем больше разных вариантов, тем лучше.

( Когда группы будут готовы, они показывают знак готовности – «ладошки»).

Во время работы групп, смотрю за ходом действий и решаю, представителя какой группы спросить первого

(где меньше вариантов).

— Давайте послушаем представителя от каждой группы.

Три ученика рассказывают, какие варианты у них получились.

— Где больше получилось разных вариантов?

А ещё больше может быть?

— Почему?

— Давайте попробуем решить это задание с помощью схемы.

-Сколько разных предметов было?

— Обозначим их буквами, с которых начинаются названия этих предметов, Т В Л.

Т В Л, Т Л В

В Т Л, В Л Т

Л Т В, Л В Т

Итог (7 мин.)

Поздравление.

— Ну вот, помещение украшено, танец подготовлен, стол накрыт.

-Ничего не забыли?

— Так какой праздник сегодня?

-А каких Татьян вы знаете?

— Среди наших гостей тоже могут быть Татьяны. Давайте поздравим всех присутствующих здесь Татьян.

Рефлексия.

— А сейчас я попрошу вас закончить предложения.

На доске висит плакат со словами:

Мне понравилось…

У меня не получилось…

Я расскажу друзьям…

— Теперь оцените свою работу.

— Если вы остались довольны своей работой на этом занятии, то поставьте в вазу свой цветок.

-Всем спасибо за работу.

— Занятие окончено.

Разные ответы детей.

Составить слово.

К доске выходят 7 учеников по моему выбору, берут по букве, пытаются составить слово.

Остальные дети помогают советом.

ТАТЬЯНА

Это имя.

Сегодня именины у Татьян, Татьянин день.

Украшают помещение, готовят праздничный стол, готовят концертный номер и т.д.

Воздушными шарами, цветами и т.д.

Дети выполняют указания учителя.

Дети оценивают обстановку и отвечают на вопрос.

6

Случайно, само по себе.

Эти лишние оказались, такие уже есть.

Дети встают лицом к классу.

Дети пытаются решить задачу, при этом выполняя условие. Участники передвигаются у доски, а зрители помогают им советом.

Все дети выходят и становятся парами.

Стол накрыть.

Выполняют задание.

Дети работают в группах.

Дети отвечают.

Три.

Поздравить, прочитать стихи.

Татьянин день.

Дети читают стихи, дарят цветы, сделанные своими руками на уроке технологии.

Дети выполняют мою просьбу.

Самоанализ занятия кружка «Комбинаторные задачи» в 1 классе.

Тема занятия: «Решение комбинаторных задач способом хаотичного перебора».

Основная функция комбинаторных задач в 1-2 классах – создать условие для формирования у учащихся приёмов умственной деятельности (анализ и синтез, сравнение и абстрагирование), для развития произвольного внимания и образного мышления и для усвоения тех вопросов, которые входят в содержание программы.

Комбинаторные задачи учащиеся сначала решают способом перебора (хаотичного или системного), а затем с помощью таблиц.

Эти способы не требуют введения в программное содержание новых понятий, т.е. не перегружают младших школьников дополнительной информацией.

Форма занятия: игра «Подготовка к празднику».

Тип занятия: закрепление.

Цель занятия: формирование приёмов умственной деятельности при решении комбинаторных задач.

Для реализации цели я поставила следующие задачи на урок:

Задачи занятия:

I. Предметные:

-создавать условия для формирования умения решать простые комбинаторные задачи способом хаотичного перебора;

-способствовать формированию навыка устного счета.

II.Метапредметные:

1) Познавательные УУД:

-формировать мыслительную деятельность учащихся;

-формировать комбинаторное и логическое мышление.

2) Регулятивные УУД:

-формировать учебную деятельность;

-формировать умения осуществлять контроль и коррекцию.

3) Коммуникативные УУД:

-формировать умения работать в парах и группах;

-развивать умения высказывать свою точку зрения.

3. Личностные:

-формировать положительную мотивацию к учению;

-формировать способность к самооценке.

Для реализации данных задач на занятии применялись следующие технологии:

• Технология развивающего обучения

• Коммуникативная технология

• Технология сотрудничества

Рассмотрим реализацию задач на различных этапах занятия.

1 этап — организация начала занятия.

Занятие началось с приветствия.

Такой прием развивает положительную мотивацию к обучению, создает положительный психологический настрой на урок (личностные УУД).

II этап –Постановка проблемы

Перед детьми был поставлен вопрос, затем создана проблемная ситуация с буквами.

Такое задание побудило ребят к активной мыслительной деятельности. Они осуществляли поиск нужной информации, учились основам смыслового чтения, принимали информацию на слух (познавательные УУД). Верно найденное слово активизируют самостоятельность, при этом создаётся ситуация успеха (личностные УУД). Ребята предлагают разные точки зрения, все варианты допускаются (коммуникативные УУД).

Осуществляют итоговый контроль и действия в уме (регулятивные УУД).

III этап –Основная часть.

Игровая ситуация на протяжении всего занятия формировала мотивацию к познанию и проявление интереса к учебному материалу (личностные УУД).

В процессе обыгрывания знакомой жизненной ситуации «Подготовка к празднику» дети решают комбинаторные задачи способом хаотичного перебора, т.е. анализируют материал, выделяют главное, осуществляют синтез, применяют имеющиеся знания в новых условиях, строят высказывания, формируют вывод (познавательные УУД).

Принимают и сохраняют учебную задачу, осуществляют контроль, вносят коррективы в свои действия, выполняют учебные действия в уме (регулятивные УУД).

Формируют собственное мнение, контролируют действия партнёра при работе в парах и группах (коммуникативные УУД).

Ориентируются на понимание причин успеха и неуспеха, формируют способность к самооценке ( личностные УУД).

IVэтап – Итог. Рефлексия

Подводя итоги занятия, обращаю внимание не на предметное содержание, не на умения, которые осваивали, а на универсальные действия в целом. Это в свою очередь, способствует осознанию процесса учения ребёнком. В течение занятия старалась направлять деятельность учащихся на метапредметный уровень. Деятельность учащихся организовала таким образом, что бы большую часть заданий они выполняли в парах и в группах, имели возможность корректировать действия друг друга, исправлять свои и чужие ошибки.

В 1 классе работа в парах и группах только осваивается, видно, что не все ребята легко переступают барьер общения и сотрудничества. Кому-то это даётся легко, а кому-то с трудом. Совместная работа развивает уверенность в своих возможностях, формирует навык сотрудничества (коммуникативные и личностные УУД). В процессе выполнения работы моя роль – наблюдать за работой групп, за умением детей договориться, придти к единому мнению, оказать помощь (метапредметные). А помощь надо оказывать, т.к. в классе есть ребята, которым пока ещё трудно даётся искусство общения в силу личностных особенностей.

Я считаю, что все задачи, поставленные мною на занятии, были реализованы.

Материал (1 класс) на тему: Программа кружка «Учимся решать комбинаторные задачи.» 1 класс Истомина Н.Б.

РЕШЕНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ ЗАДАЧ

Пояснительная записка

Рабочая программа учебного курса «Решение комбинаторных задач» для 1 класса составлена на основе федерального государственного образовательного стандарта, с учетом авторской программы по математике Н. Б. Истоминой и адаптирована к возможностям учащихся класса.

Основная цель программы — создать условия для формирования у учащихся приемов умственной деятельности (анализ, синтез, сравнение, абстрагирование),  для развития произвольного внимания и образного мышления и для усвоения тех способов, которые входят в содержание программы по математике в начальной школе.

         Задачи:

• прививать  интерес к математике;
• расширять кругозор учащихся в различных областях элементарной математики;
• расширять математические знания в области однозначных чисел;
• учить применять математическую терминологию; делать доступные выводы и обобщения, обосновывать собственные мысли.

 Общая характеристика учебного курса.

Комбинаторика – один из разделов дискретной математики, который приобрел большое значение в связи с использованием его в теории вероятностей, математической логике, теории чисел, вычислительной технике, кибернетике.

Элементы теории вероятностей, в частности элементы комбинаторики, на современном этапе являются составной частью всего курса математики, начиная с начальной школы.  

Данная программа составлена в соответствии с логикой построения начального курса математики; результатами психологических и методических  исследований, связанных с решением комбинаторных задач младшими школьниками; различными видами соединений (комбинаций), которые связаны с размещениями, перестановками, сочетаниями.

В практической деятельности человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Приходится выбирать из некоторого конечного множества совокупности объектов его подмножества, обладающие тем или иным свойством, подсчитывать, сколько различных комбинаций можно составить из конечного числа элементов, принадлежащих данной совокупности, располагать эти элементы в определенном порядке.

С комбинаторными вычислениями приходится иметь дело представителям многих специальностей: прорабу при распределении между рабочими различных видов работ, диспетчеру при составлении графика движения. Завуч школы, составляя расписание учебных занятий, использует разные комбинации, шахматист из различных комбинаций выбирает наилучшую и т.д.

В этих задачах речь идет о тех или иных комбинациях. Решение большинства комбинаторных задач основано на двух основных законах комбинаторики, которые называют правилом суммы и правилом произведения.

Комбинаторные задачи учащиеся1-2 классов сначала решают способом перебора (хаотичного или системного), а затем с помощью  таблиц. Эти способы не требуют  введения в программное содержание начального курса математики новых понятий, то есть не перегружают младших школьников дополнительной информацией. Термин «комбинаторные задачи» детям не разъясняется. Представление о содержании этого понятия сложится у них в процессе обучения. 

Не менее важным фактором  реализации данной программы является  и стремление развить у учащихся умения самостоятельно работать, думать, решать творческие задачи, а также совершенствовать навыки  аргументации собственной позиции по определенному вопросу.  Содержание программы соответствует познавательным возможностям младших школьников и предоставляет им возможность работать на уровне повышенных требований, развивая  учебную мотивацию.

Ценностные ориентиры курса.

1. Математика является важнейшим источником принципиальных идей для всех естественных наук и современных технологий, дальнейшего изучения данного предмета, для выявления и развития математических способностей учащихся и их способности к самообразованию.
2. Математическое знание, в частности решение комбинаторных задач – это особый способ коммуникации:

• наличие знакового (символьного) языка для описания и анализа действительности;
• участие математического языка как своего рода «переводчика» в системе  научных коммуникаций, в том числе между  разными системами знаний;
• использование математического  языка в качестве средства взаимопонимания людей с разным  житейским, культурным, цивилизованным опытом.

Таким образом, в процессе обучения математике осуществляется  приобщение  подрастающего поколения к уникальной сфере интеллектуальной культуры.

3. Овладение различными видами учебной деятельности в процессе обучения математике является основой изучения других учебных предметов, обеспечивая тем самым познание различных сторон окружающего мира.
4. Успешное решение математических (логических и комбинаторных) задач оказывает влияние на эмоционально – волевую сферу личности учащихся, развивает их волю и настойчивость, умение преодолевать трудности, испытывать удовлетворение от результатов интеллектуального труда.

Место учебного предмета в учебном плане.

        В учебном плане школы на изучение программы учебного курса в рамках кружка «Решение комбинаторных задач» в 1-4 классах отводится по 34 часа в год (1 час в неделю).

Планируемые результаты освоения программы.

Личностные результаты: 

• Определять и высказывать под руководством педагога самые простые общие для всех людей правила поведения при сотрудничестве.
• В предложенных педагогом ситуациях общения и сотрудничества, опираясь на общие для всех простые правила поведения,  делать выбор, при поддержке других участников группы и педагога.

Метапредметные результаты :  

Регулятивные УУД:

• Определять и формулировать цель деятельности   с помощью учителя.
• Проговаривать последовательность действий.
• Учиться высказывать своё предположение (версию) на основе работы с иллюстрацией рабочей тетради.
• Учиться работать по предложенному учителем плану.
• Учиться отличать верно  выполненное задание от неверного.
• Учиться совместно с учителем и другими учениками давать эмоциональную оценку деятельности товарищей.

Познавательные УУД:

• Ориентироваться в своей системе знаний: отличать новое от уже известного с помощью учителя.
• Делать предварительный отбор источников информации: ориентироваться  в тетради.
• Добывать новые знания: находить ответы на вопросы, используя свой жизненный опыт и информацию, полученную от учителя.
• Перерабатывать полученную информацию: делать выводы в результате  совместной  работы всего класса.
• Преобразовывать информацию из одной формы в другую; находить и формулировать решение задачи с помощью простейших  моделей (предметных, рисунков, схематических рисунков, схем).
• Использовать знаково-символические средства.

Коммуникативные УУД:

• Донести свою позицию до других: оформлять свою мысль в устной и письменной речи (на уровне одного предложения или небольшого текста).
• Слушать и понимать речь других.
• Учиться выполнять различные роли в группе (лидера, исполнителя).

Предметные результаты: 

• описывать признаки предметов и узнавать предметы по их признакам;
• выделять существенные признаки предметов;
• сравнивать между собой предметы;
• обобщать, делать несложные выводы;
• классифицировать предметы;
• давать определения тем или иным понятиям;
• выявлять функциональные отношения между понятиями;
• владеть терминологией;
• выявлять закономерности и проводить аналогии.  
• классифицировать числа по одному или нескольким основаниям, объяснять свои действия;
•  распознавать одну и ту же информацию, представленную в разной форме — (таблицы, схемы).

Основное содержание курса «Решение комбинаторных задач» во втором классе (34 часа).

Развитие внимания.

Дорисуй, нарисуй, раскрась. Найди закономерность. Выбираем основание для классификации. Проверка результатов для классификации. Выбираем нужный ответ. Делим объекты на классы по заданному основанию.

Родовое и видовое отличие.

Развиваем наблюдательность.  Родовое и видовое отличие. Задачи на смекалку. Сравнение.

Развитие памяти и воображения. связаны с размещениями, перестановками, сочетаниями.

Сравнение. Развиваем память и внимание. Вставь нужную букву, цифру. Развиваем воображение.

Комбинаторные задачи.

Выбор комбинаций. Решаем комбинаторные задачи. Развиваем логику мышления. Обобщаем изученное.

Тематическое планирование

№	Тема	Кол-во часов	Дата	Характеристика деятельности учащихся
1-2	Дорисуй, нарисуй, раскрась	2		Учатся ориентироваться в тетради; описывать признаки предметов. Знать основные цвета.
3	Развиваем внимание	1
4	Найди закономерность	1		Учатся отличать элемент объекта от целого; выделять существенные признаки объекта; определять и формулировать цель деятельности. Использовать знаково-символические средства. Оформлять свою мысль в устной речи. Делать выводы о результатах работы класса.
5	Выбирать основание для классификации	1
6-7	Проверка результатов классификации	2
8	Выбираем нужный цвет	1		Уметь выбирать нужный цвет. Учатся классифицировать объекты по данным требованием. Делать выводы, оценивать свою работу и арботу одноклассников. Знать основные цвета
9-10	Делим объекты на классы по заданному основанию	2
11-12	Развиваем наблюдательность	2
13	Задачи на раскрашивание	1		Учатся выбирать основание для классификации. Сравнивать, классифицировать объекты. Выявлять функциональные отношения между понятиями; находить и формулировать решение задачи с помощью простейших  моделей. Выполнять простейшие рассуждения, используя  информацию, данную на рисунке, схеме Преобразовывать информацию, данную в табличной форме в текстовую.
14	Родовое и видовое отличие	1
15-16	Задачи на смекалку	2
17-18	Сравнение	2
19-20	Развиваем память и внимание	2
21-22	Вставь нужные буквы	2
23-24	Развиваем воображение	2		Уметь работать по предложенному учителем плану; преобразовывать информацию из одной формы в другую. Сравнивать, классифицировать объекты. Оформлять свою мысль в устной и письменной речи. Делать выводы о результатах работы класса.
25-26	Выбор комбинаций	2
27-28	Решаем комбинаторные задачи	2
29-30	Развиваем логику мышления	2
31-32	Обобщаем изученное	2
33	Чему мы научились	1

Материально-техническое обеспечение учебного процесса.

1. Н. Б. Истомина, Е. П. Виноградова. «Учимся решать комбинаторные задачи». Рабочая тетрадь 1-2 класс. Смоленск, из-во «Ассоциация XXI век», 2013г.
2. Агаркова Н. В. Нескучная математика. 1 – 4 классы. Занимательная математика. Волгоград: «Учитель», 2007
3. Агафонова И. Учимся думать. Занимательные логические задачи, тесты и упражнения для детей 8 – 11 лет. С. – Пб,1996
4. Лавриненко Т. А. Задания развивающего характера по математике. Саратов: «Лицей», 2002
5. Сухин И. Г. Занимательные материалы. М.: «Вако», 2004
6. Шкляров Т. В. Как научить вашего ребёнка решать задачи. М.: «Грамотей», 2004
7. Узорова О. В., Нефёдова Е. А. «Вся математика с контрольными вопросами и великолепными игровыми задачами. 1 – 4 классы. М., 2004

Рабочая программа (1 класс) по теме: Рабочая программа внеурочной деятельности «Занимательная комбинаторика» 1 класс

Дополнительная образовательная программа внеурочной деятельности «Занимательная комбинаторика»

Для детей младшего школьного возраста

(7 – 10 лет)

Срок реализации: 4 года

Пояснительная записка

Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования (ФГОС НОО) 2009 г. предусматривает обязательную организацию внеурочной деятельности по ряду направлений развития личности. Одно из них – общеинтеллектуальное направление. Оно может быть реализовано через систему внеурочных развивающих занятий, направленных прежде всего на развитие такого компонента творческого мышления, как гибкость. Основным средством его развития выступает выполнение комбинаторных заданий разных видов.

Программа внеурочной деятельности «Занимательная комбинаторика» для детей младшего школьного возраста направлена на овладение учащимися различными методами решения комбинаторных задач. Но при этом обучение выступает не самоцелью, а условием интеллектуального развития детей. Дети самостоятельно добывают знания и способы действия, перестраивают ранее полученные способы решения задач, открывают новые способы.  В процессе  освоения программы у учащихся развиваются приемы умственных действий: сравнение, классификация, анализ, синтез и обобщение. Учащиеся учатся применять при выполнении комбинаторных заданий следующие методы:  метод практического перебора, графический метод (с применением таблиц и графов), метод обобщенных рассуждений. Данные методы применяются при выполнении заданий по конструированию, по составлению и определению числа размещений, перестановок и сочетаний. В ходе занятий учащиеся активно овладевают одним из основных универсальных учебных действий – моделированием.

Отличительная особенность программы:

Реализация авторской технологии обучения детей решению комбинаторных задач как средства развития гибкости мышления.

Актуальность программы обусловлена тем, что, во-первых, младший школьный возраст – это такой период развития ребенка, когда при создании специальных условий наиболее интенсивно развиваются свойства творческого мышления;  во-вторых, программа является пропедевтической по отношению к схоластической линии, введенной в настоящее время в содержание математики общеобразовательной школы.

Новизна программы обусловлена своей направленностью на реализацию развития гибкости мышления детей, соответствующую современной теории психологии обучения и развития детей, теории и методике обучения математике детей младшего школьного возраста. Программа является естественным дополнением начального курса математики в школе. Она педагогически целесообразна, т. к. в процессе ее реализации происходит не только усвоение определенного математического содержания, но и обогащение опыта творческой деятельности учащихся, расширение математического кругозора детей.

Цель программы:

Общеинтеллектуальное развитие личности учащихся средствами овладения методами решения творческих, эвристических и комбинаторных заданий, математического содержания в условиях внеурочной деятельности образовательного учреждения.

Задачи программы:

1. Формирование умения применять метод моделирования при поиске способа решения проблем творческого, поискового и комбинаторного характера
2. Обучение использованию знаково-символических средств (таблица, направленный и ненаправленный графы, граф-дерево и др.) представления содержания математических заданий для его всестороннего анализа и выработки нескольких способов решения обозначенной проблемы;
3. Развитие основных мыслительных операций: сравнения, анализа, синтеза, обобщения, классификации по родовым признакам рассматриваемых наборов элементов комбинаторных заданий;
4. Совершенствование умений устанавливать причинно-следственные связи в содержании комбинаторных заданий; на основе практического опыта строить рассуждения в обобщенном виде для выработки рациональных приемов систематического перебора как основы дальнейшего введения комбинаторных формул;
5. Уточнение, дополнение и обобщение знаний учащихся о множествах, отношениях между множествами, операциях над множествами (объединения, пересечения, вычитания, декартова произведения), а также об элементе множества и отношениях между элементами множества;
6. Обеспечение усвоения ряда понятий теории множеств и математической логики («некоторый», «каждый», «все», «отдельные», «множество», «элемент множества», «часть», «целое»), понимания смысла союзов-связок «и», «или», частицы «не» и  других, применения этих знаний при решении практико-ориентированных комбинаторных заданий;
7. Подготовка мышления учащихся к изучению тем стохастической линии курса математики старших классов.

Теоретико-методологические основы курса строятся на системно-деятельностном подходе.

Программа рассчитана на 128 часов и предполагает проведение регулярных еженедельных внеурочных занятий со школьниками 1-4 классов.

Формы реализации программы:

1. Внеучебная деятельность в режиме второй половины дня образовательного учреждения.
2. Кружковая работа в учреждениях дополнительного образования.

Виды деятельности:

• Игровая
• Исследовательская
• Поисковая
• Предметная
• Коммуникативная
• Проектная
• Конструктивная

Методы:

• Методы, повышающие познавательную активность
• Методы, направленные на повышение эмоциональной активности и мотивации деятельности детей при овладении универсальными учебными действиями
• Методы и приемы, способствующие установлению связи между разными видами деятельности;
• Методы коррекции и уточнения

Программа обеспечена учебным пособием для детей «Занимательная комбинаторика».

Формы подведения итогов:

• Тесты
• Викторины
• Выставки
• Соревнования
• Проекты
• Конкурсы

Закончить и обобщить полученные детьми знания рекомендуется в ходе выполнения и защиты проектов по составлению детьми своих комбинаторных заданий разных типов.

Основные разделы программы внеурочной деятельности

«Занимательная комбинаторика»

Первый год

«Предметное моделирование»

№ п/п	Содержание	Теоретические часы	Практические часы	Всего часов
1	Раздел 1. Подготовка к решению комбинаторных задач	—	12	12
2	Раздел 2. Практические действия как способ решения комбинаторных задач		20	20
	Итого	—	32	32

Тематический план занятий (32 ч)

№ п/п	Тема занятия	кол-во часов
Раздел 1. Подготовка к решению комбинаторных задач (12 ч)
1-4	Свойства объектов	4
5-8	Множество. Отношения между множествами	4
9-10	Выполнение операций над множествами	2
11-12	Логические задачи	2
Раздел 2. Практические действия как способ решения комбинаторных задач (20 ч)
13-14	Конструирование из палочек	2
15-19	Составление сочетаний без повторений из элементов предметных множеств	5
20-24	Составление размещений и перестановок из элементов предметных множеств	5
25-26	Комбинаторные задания, связанные с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 20	2
27	Решение составных арифметических задач разными способами	1
28	Итоговое занятие «Составляем свои наборы и характеризуем их»	1
29-32	Резерв	4

Содержание разделов программы

Первый год

Раздел 1. Подготовка к решению комбинаторных задач (12 ч)

Свойства  (признаки) объектов. Общие и отличительные признаки. Кодирование и декодирование свойств (цвет, размер, форма, толщина) с помощью блоков Дьенеша. Классификация объектов по разным основаниям. Поиск закономерностей в изменяющихся объектах. Подбор объектов в соответствии с указанной закономерностью.

Множества. Элемент множества. Пересекающиеся и непересекающиеся множества. Игры с «обручами» как образ диаграмм Эйлера-Венна.  Объединение, пересечение, разность множеств.

Раздел 2. Практические действия как способ решения комбинаторных задач (20 ч)

Конструирование из палочек: составление конструкций по образцу и контуру;  составление конструкций по представлению; преобразование конструкций согласно заданным условиям.

Составление сочетаний без повторений из элементов предметных  множеств. Составляем рецепты компотов, салатов. Составляем меню на неделю для домашних птиц и животных. Составляем наборы игрушек, деревьев, рыбок, цветов, фруктов и др.

Составление размещений и перестановок из элементов предметных множеств.  Составляем упорядоченные наборы из букв, цифр,  картин, мебели и др. Раскрашиваем разными способами домики, флаги. Костюмы и др.

Комбинаторные задания, связанные с вычислительными приемами сложения и вычитания в пределах 20.  Состав чисел в пределах 20. Определение значений выражений разными способами (общие и частные вычислительные приемы). Выбор рациональных способов сложения и вычитания в пределах 20.

Решение составных арифметических задач разными способами. Сравнение способов решения. Составление задач, обратных данной задаче. Составление задач, аналогичных данной задаче.

Составление упорядоченных и неупорядоченных наборов по своему желанию. Описание своих наборов.

Предполагаемые результаты:

1. Приобретение школьниками знаний о таком разделе математики, как комбинаторика;
2. Приобретение школьниками знаний об основных понятиях теории множеств и комбинаторики (кортеж, пара, упорядоченный и неупорядоченный набор, размещения с повторением и без повторений, перестановки, сочетания без повторений)
3. Приобретение школьниками знаний об основных правилах комбинаторики (правило суммы и произведения)
4. Приобретение школьниками знаний о значении комбинаторных задач разных видов в нашей жизни
5. Приобретение школьниками знаний о способах решения комбинаторных задач с помощью предметного и графического моделирования

Способы определения результативности: беседа, наблюдение, анализ работ учащихся, тестирование уровня развития приемов умственной деятельности (тест «Найди похожий», автор Е.С. Ермакова, или тест Гилфорда для детей младшего школьного возраста).

http//www.vashpsixolog.ru

Литература

1. Белокурова, Е.Е. Методика обучения решению комбинаторных задач.
2. Белокурова, Е.Е. Некоторые комбинаторные задачи в начальном курсе математики.        
3. Белокурова, Е.Е.Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц и графов.
4. Белокурова, Е.Е. Характеристики комбинаторных задач.
5. Виленкин, Н. Я. Индукция. Комбинаторика.
6. Грин Р. Введение в мир числа.
7. Ермакова, Е.С. Гибкость как свойство продуктивного мышления и ее развития в детском возрасте.
8. Ермакова, Е.С. Обучение решению комбинаторных задач детей 4-10 лет.

Ресурсы сети Интернет:

1. http://www.school2100.ru – сайт издательства «Баласс»
2. http//mama65.moy.su/publ/45-1-0-498  краткие конспекты занятий, направленных на развитие гибкости мышления детей 6-7 лет средствами комбинаторных заданий. Авторы: Ермакова Е. С., Румянцева И. Б., Целищева И.И.
3. http//planetadetstva.net/pedagogam/srednyaya-gruppa/razvivaemgibkost-myshleniya-u-detej –варианты комбинаторных заданий для детей

Решение комбинаторных задач в начальной школе

Решение комбинаторных задач в начальной школе

Комбинаторика – раздел дискретной математики, изучающий всевозможные сочетания и расположения предметов.

Цели: 1. Понимание того, что в задаче на перебор вариантов целесообразно следовать логике перебора, а не хаотично.

2. Познакомить с инструментом перебора вариантов, деревом возможности.

3. Развивать вариативное мышление.

4. Закреплять вычислительные навыки.

Процесс обучения школьников решению комбинаторных задач таит в себе большие развивающие возможности: на их основе совершенствуются приемы умственной деятельности, формируется важная для человека способность комбинировать, определяющая развитие комбинаторного мышления. Комбинаторное мышление, тесно связанное со становлением умственных операций и представляющее собой активизацию мыслительной деятельности « в направлении поиска тех или иных преобразований» (О.С.Медведева), в свою очередь, взаимосвязано с теоретическим мышлением, считающимся основным «новообразованием» младшего школьного возраста (Л.С.Выготский, В.В.Давыдов).

Подготовительный период

(свойства предметов, отношения).

1. Следы от НЛО. Витя и Вика обнаружили в поле странные следы. Они сразу догадались. Что ночью здесь приземлились НЛО. Но дети поспорили: с одной планеты прилетели НЛО или с разных? Разрешите спор Вити и Вики. (Рис. 1)

Чтобы помочь ученикам справиться с заданием, проводится беседа:

— Что надо определить, чтобы ответить на вопрос задания? (Одинаковые следы или разные)

— Как вы считаете? Ваши предложения? Чем они похожи? (По 4 кружка 4 цветов)

— Но чем же все-таки различаются следы? (Кружки строятся в разном порядке)

Учитель предлагает проследить, как «путешествуют» кружки одного цвета в следах. Ученики приходят к выводу, что если последовательно поворачивать «следы» по кругу, то получится один и тот же рисунок. При обнаружении этой ситуации ученики сравнивают, обобщают, анализируют и устанавливают отношения между предметами.

2. «Парусники». 4 парусника готовились к соревнованиям. У каждого спортсмена был свой белый корабль. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека, и было ясно, кто из спортсменов идет впереди, кто запаздывает. Покажите, кА по-разному раскрасили паруса, если были всего 2 краски. (Рис.2.)

Основная трудность, которая возникает у школьников при раскрашивании – это догадаться, что весь парус можно закрасить одним цветом. В этой ситуации можно задать вопрос: «Обязательно каждый парус надо закрасить двумя красками? Как еще по-другому можно закрасить оставшиеся?» (Рис.3).

Перестановка из двух элементов.

Далее идет работа над понятиями «выше», «ниже», «наверху», «внизу», «слева», «справа» и вводится понятие перестановки. Учитель сообщает, что порядок расположения предметов называется перестановка. Сначала переставляются 2 элемента. (Рис.4)

Дети делают вывод, что существует 2 способа расположения предметов.

Перестановка из трех элементов по два.

Теперь ученики при выполнении другого задания смогут сразу определить число комбинаций, если они будут составлены без повторений из трех элементов по два.

Из трех букв А, У, Х можно составить 6 слогов, где слог состоит из двух букв, буквы не повторяются

АУ УА ХА

АХ УХ ХУ

Перестановки из трех элементов.

Далее ребятам предлагается игра «Электричка». Сначала 2, а потом 3 девочки меняются местами.

ТК \\ ТКЛ КТЛ ЛКТ

КТ \\ ТЛК КЛТ ЛТК

Деи проговаривают алгоритм получения новых перестановок: один элемент фиксируется, а два других переставляются.

На 13-м уроке рассматривается перестановка 3-х элементов, здесь есть подсказка, и дети её замечают. Один цвет фиксируется 2 раза наверху, остальные дети меняют. (Рис.5)

Учитель предлагает учащимся определить

— какой прямоугольник расположен выше красного?

— ниже красного?

— какой ниже синего, но выше красного?

— как изменить расположение прямоугольников, чтобы красный находился ниже синего, но выше зеленого?

Такая же работа проводится над всеми столбиками, кроме последнего.

— Можно ли раскрасить последний столбик как-нибудь по другому?

Ребята вспоминают и закрепляют алгоритм перестановки.

В последующих заданиях дети самостоятельно разукрашивают 2,3,4,5 столбиков. А потом – С\Р над всем заданием. Игры: «Светофор», «Поясок», «Бусинки».

«Картины»

Художник написал 3 картины и сделал для них рамки. (Рис. 6)

Помоги ему найти лучший способ расположения картин на стене.

Состав числа в пределах 10.

Смысл действий сложения и вычитания.

Большинство задач этого этапа основывается на знании состава однозначного числа – на умении представить число разными способами в виде суммы других чисел, причем соблюдается принцип перевода предметных действий на язык математических символов и наоборот.

1. «Чашки». Помоги расставить 5 чашек на 3 полки разными способами так, чтобы на каждой полке стояли чашки.

1 2 2 1+2+2

2 1 2 2+1+2

2 2 1 2+2+1

3 1 1 3+1+1

1 3 1 1+3+1

1 1 3 1+1+3

Вывод: от перестановки слагаемых сумма не меняется.

2. Запиши значения выражений 2+1, 3-1, 3-2.

Какие цифры использованы для записи чисел? Запиши все возможные перестановки этих цифр, без повторов. Подчеркни ту запись, которая обозначает отрезок чисел, стоящих по порядку, в обратном порядке.

3 2 1 2 1 3 1 2 3

3 1 2 2 3 1 1 3 2

3. Состав чисел в пределах 20.

а) составь все возможные суммы из двух чисел, используя лишь числа 5,6,7 (порядок слагаемых не принимается во внимание)

5 + 5, 5 + 6, 5 + 7, 6 + 6, 6 + 5, 6 + 7, 7 + 5, 7 + 6, 7 + 7

б) составь все возможные разности из этих же чисел.

6 – 6, 6 – 5, 7 – 7, 7 – 6, 7 – 5, 5 – 5

Перестановки из 4,5,6… элементов

Во 2 классе рассматриваются случаи перестановки 4,5,6 элементов, где первые 1,2,3 соответственно элементы фиксируются, а остальные 3 переставляются:

«Раскрась флаги». Задача учителя показать и познакомить детей с эффективными инструментами систематического перебора – таблицами и графами. Эта работа поможет создать мотивацию для изучения дерева возможностей.

з з \\ к к к

з к \\

з к к

к з к

к к з

к з\\

з к к

к з к

к к з

к к\\

з з к

з к з

к з з

Двузначные и трехзначные числа.

1.Запишите числа: 22,24,26, 42,44,46, 62,64,66.

По какому правилу все эти числа собраны в одну группу? По каким признакам можно разбить эти числа на две группы?

— в записи чисел 22,24,26 использованы цифры 2,3,6

— в этих числах по 2 дес., в записи каждого числа цифра 2

— в записи чисел 42,44,46 использованы цифры 2,4,6

— в этих числах по 4 дес., в записи каждого числа цифра 4

— в записи чисел 62.64,66 использованы цифры 2,4,6

— в этих числах по 6 дес., в записи каждого числа цифра 6

— Итак, по какому правилу записали все числа?

В записи двузначных чисел использовали цифры 2,4,6.

— На какие две группы разбиваются эти числа?

22,44,66 – записи использована одна цифра

24,26,42,46,62,64 – в записи разные цифры.

2. Какие трехзначные числа можно составить из цифр 7,0,9, если

а) цифры в записи числа не повторяются?

7 0 9 9 0 7

7 9 0 9 7 0

4 перестановки, т.к. трехзначное число не может начинаться с 0.

Дети должны усвоить мысль о том. Что перебор вариантов выгодно осуществлять в определенном порядке. Каждую цифру надо фиксировать по очереди в разряде сотен.

б) цифры в записи числа могут повторяться?

«7» «9» «7 и 0» «7 и 9» «9 и 0» \\ 9,7,0

9 и 7

777 999 770 779 990

707 797 909

700 799 900

977

997

979

— найди наименьшее трехзначное число

— подчеркни наибольшее трехзначное число

— найди число, в котором: 70 дес. 7 ед., 7 дес. 99 ед..

— какое число подходит к схеме

?

Итак, при выполнении только одного задания задействуется весь комплекс мыслительных операций.

Кроме того, в процессе выполнения этого задания школьники повторяют устную и письменную нумерацию, работают над их разрядным составом, обращают внимание на поместное значение цифр, постоянно различают понятия «число» и «цифра». Можно сделать вывод, что систематическое использование комбинаторных задач при изучении тех или иных математических понятий одновременно будет способствовать реализации развивающих и образовательных функций курса «Математика в начальной школе».

Таблицы, графы. Дерево возможностей.

1. Три поросенка Ниф-Ниф, Нуф-Нуф и Наф-Наф решили построить себе домики. Выбрали три прекрасных места: у реки, на озере и на горе. Найди все возможные варианты их размещения с помощью таблицы. (Рис. 7)

2. Однажды встретились пятеро друзей. Каждый, здороваясь, пожал каждому руки. Сделай график и определи, сколько рукопожатий было сделано. (Рис.8)

3. Дерево возможностей — ветки растут и сверху и снизу. Дети являются творцами создания веточек у дерева. На их глазах точка превращается в дерево возможностей.

Сосчитай, сколько слов содержится в заклинании волшебника, если слова начинаются с букв Ш, Ц. Второй буквой могут быть О, И, Е. А оканчиваться слова могут буквами Р, К, Х. (Рис. 9)

ШОР ШИР ШЕР
ШОК ШИК ШЕК
ШОХ ШИХ ШЕХ

ЦОР ЦИР ЦЕР
ЦОК ЦИК ЦЕК
ЦОХ ЦИХ ЦЕХ

2 * 3 * 3 = 18 вариантов.

Таким образом, при решении комбинаторных задач активизируется мыслительная деятельность учащихся. Ученики, анализируя условие, выделяют определенные части, составляют нужные комбинации. Задействуется такая мыслительная операция, как анализ – процесс расчленения целого на части, выделения отдельных элементов в объекте. С другой стороны, в процессе синтеза, или соединения элементов, сторон объектов в целое, учащиеся определяют, что сначала можно составить определенную комбинацию.

На примерах хорошо видно, что при поиске ответа на поставленный вопрос ученики не смогут обойтись без наблюдения и сравнения.

Если младшие школьники не будут специально, с определенной целью воспринимать информацию, заключенную в задаче, то вряд ли смогут решить её. Сравнение – процесс выделения признаков, свойств объектов и установления сходства и различия между ними – позволяет ученикам при составлении чисел избежать повторов. Составит все возможные числа на основе сходства и различия.

Систематическое использование комбинаторных задач в обучении – эффективно для формирования у учащихся базовых математических знаний, умений, навыков.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Е.Е.Белокурова «Обучение решению комбинаторных задач с помощью таблиц и граф».

2. Л.Г.Петерсон «Математика 1,2,3 кл.».

3. Л.Г.Петерсон «Методические рекомендации».

4. С.В.Солнышко «Использование комбинаторных задач при обучении первоклассников математике».

Методическая разработка (2, 3, 4 класс) на тему: Решение комбинаторных задач в начальной школе.

 «Комбинаторные задачи и способы их решения»

Проблема, над которой я работала в последние годы —  это «Комбинаторные задачи и способы их решения». Слайд 2            

Учитывая возрастные особенности младших школьников, комбинаторные задачи решаются бесформульным методом на основе рассуждений учащихся, составлением графов, размещением, таблиц, дерева решений.

Сегодня я попытаюсь показать, как можно решать комбинаторные задачи, имея минимум знаний по комбинаторике. Слайд 3

Что же такое комбинаторика?

Комбинаторика — это раздел  математики,  в котором    исследуются и

решаются задачи выбора элементов из   исходного множества и расположения   их   в некоторой комбинации, составляемой    по    заданным правилам. Слайд 4  

Предлагаю вам следующую задачу, которая часто встречается в курсе математики начальной школы.

Из цифр 1,2,3,4,5,6 составить все возможные трехзначные числа.

Скажите, пожалуйста,  расположение цифр в записи числа будет играть  роль? Слайд 5

 При такой постановке вопроса мы должны рассмотреть случаи:

1) когда цифры в записи числа повторяются

2) когда цифры в записи числа не повторяются. Слайд  6

Рассмотрим первый случай, когда цифры повторяются.

Отметим место каждой цифры звездочкой. Сколько цифр претендует на первое место? На второе место? На третье?

6 х 6 х 6 =216         Слайд 7          

Рассмотрим второй случай, когда цифры не повторяются.    Слайд 8          

Отметим место каждой цифры звездочкой. Сколько цифр претендует на первое место? На второе место? На третье?

        6 х 5 х 4 =120      

Используя это условие задачи можно составить большое количество задач, изменяя формулировку вопроса: например составьте четное количество трехзначных чисел,  кратных 5, так чтобы цифры в записи числа не повторялись

        Таким образом, не меняя условия задачи, мы можем составлять большое количество задач с учетом того материала, который изучается на уроке.

 Такой вид комбинаторной задачи называется размещением.

        Следующим способом решение комбинаторных задач  бесформульным методом является таблица. Предлагаю решить следующую задачу.

   Для начинки пирогов бабушка решила смешать два продукта. Сколько различных пирогов может испечь бабушка, если для начинки у нее есть картофель, грибы,  яблоки, мясо.   Слайд 9        

Составим таблицу по строкам и столбцам распределим наши продукты. Теперь я прошу вас, не задумываясь о совместимости продуктов заполнить нашу таблицу. Слайд 10    

Рассмотрим получившуюся таблицу. Обратите внимание на диагональ. Слайд 11  

Здесь произошло объединение двух одинаковых продуктов. Что вы предлагаете? (Использовать можно, но конечный продукт не будет достигнут.)  Слайд 12  

Исключаем диагональ. Слайд 13  

Рассмотрим сочетание продуктов выше и ниже диагонали. Что вы можете сказать? (одинаковое сочетание)

Слайд 14  Исключим либо верхнюю, либо нижнюю часть.

• Сколько вариантов решений осталось 6. С математической точки зрения 6 вариантов являются решением, а если опираться на жизненный опыт, то понятно не все начинки могут быть использованы для пирога. Говорят о вкусах не спорят!

Когда нам необходимо составить комбинацию, в которой более двух элементов удобно пользоваться древом решений.

         Перечислите все возможные варианты обедов из трех блюд (одного первого, одного второго, одного третьего) В меню имеется два первых блюда – щи, борщ, три вторых – рыба, гуляш, плов два третьих – компот, чай.   Слайд 15  

Сколько всего вариантов у вас получилось? (12)

Как вы посчитали?

Слайд 16,  17, 18.

Итак, предлагаю решить следующую задачу:

« 5 финалистов конкурса «Учитель года», решили обменяться впечатлениями о конкурсе и позвонили между собой. Сколько звонков будет сделано?»   Слайд 19  — 26

Убедимся в истинности ваших суждений.

 Сколько звонков сделает 1 финалист?

Сколько звонков сделает 2 финалист?

Сколько звонков сделает 3 финалист?

Сколько звонков сделает 4 финалист?

Сколько звонков сделает 5 финалист?

Сколько звонков будет сделано?

Таким образом, решение непростой задачи свелось к тому, что появилась картинка, называемая графом и для того, чтобы ее решать достаточно пересчитать ребра графов.

Эту задачу можно решать и аналитическим способом. Давайте рассуждать

1 сделает 4 звонка

2 – 3 звонка,

3 -2 звонка, 4 – 1 звонок

        4+3+2+1= 10

А теперь сделаем итог:  на сколько, вы,  имея минимум знаний по комбинаторике, научились их решать:        

        Решите следующую задачу. Сколько существует вариантов размещения 5 финалистов конкурса «Учитель года» на три призовых. Слайд  27      

 (цифры в записи числа не повторяются)

 5х4х3х2х1=120   Слайд  28      

В начальном курсе математики рассматриваются только четыре вида комбинаций:

Размещение с повторением

                  Размещение без повторения

                  Сочетание

                  Перестановка                      Слайд  29        

Ни один из перечисленных видов не обременен формулой подсчета вариантов. Любую комбинаторную задачу можно решить путем рассуждений, что я вам  предложила.

Умение составлять комбинации по определенным признакам, классифицировать их лежит в основе разнообразнейших сфер человеческой деятельности. Поэтому вариативность – качество необходимое людям разных специальностей: учителю, составляющему расписание, конструктору программу, биологу ит.д. Вариативность играет важную роль в творчестве.

Я хочу закончить свое выступление словами Анри  Пуанкаре

знаменитого французского математика, философа:

 «Творчество, конечно, состоит не в том, чтобы составить бесконечные комбинации, а в том, чтобы создавать полезные, а таких не особенно много. Творить – это значит различать, выбирать» Слайд 30

«Комбинаторные задачи

и способы их решения»

учитель начальных классов

МКОУ «СОШ №3» ИМРСК

Колесникова Татьяна Николаевна

ноябрь 2015 год

Конспекты уроков по теме «Комбинаторные задачи

Жеребцова Галина Александровна

Решение комбинаторных задач.

Урок 1.

Цель: начать формировать умения решать простейшие комбинаторные задачи.

Задачи:

К концу урока учащиеся должны уметь:

• выделять комбинаторные задачи из ряда предложенных задач;

• решать простейшие комбинаторные задачи.

Способствовать:

• формированию познавательного интереса к предмету; мировоззрения учащихся.

• воспитанию чувства патриотизма; ответственности за качество и результат, выполняемой работы.

• совершенствованию операций умственной деятельности: анализ, синтез, классификация, способность наблюдать и делать выводы, выделять существенные признаки.

ХОД УРОКА

I Актуализация опорных знаний.

Слово учителя: в старинных русских сказаниях повествуется, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до распутья, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. Ребята, с какой проблемой сталкивается добрый молодец на перепутье?

Ответ учащихся: с проблемой выбора дальнейшего пути движения.

Слово учителя: Верно! А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Это сделать очень трудно не потому, что его нет или оно одно и поэтому его трудно найти, а приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.

Оказывается существует целый раздел математики, именуемый комбинаторикой, который занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.

II. Изучение нового материала.

Слово учителя: задачи, которые мы сегодня будем решать помогут вам творить, думать необычно, оригинально, смело, видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая, любить неизвестное, новое; преодолевать трудности и идти через невозможное вперед.

Комбинаторная задача – задача, в которой идет речь о тех или иных комбинациях объектов.

Учащимся раздаются цветные полоски (белый, синий, красный) и предлагается из них составить флаг РФ. Затем задаются вопросы исторического характера.



Что означает каждый цвет?

Значение цветов флага России: белый цвет означает мир, чистоту, непорочность, совершенство; синий – цвет веры и верности, постоянства; красный цвет символизирует энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.

Оказывается, есть государства, где флаги имеют такие же цвета.

Флаги стран Европы, где встречаются три цвета: белый, синий, красный.

СЕРБИЯ







Видим, что от перестановок цветных полосок, можно получить другой флаг. Как подсчитать, сколько таких флагов мы можем составить из трех цветных полосок?

Решение этой задачи можно записать тремя способами:

1. Таблица вариантов

КБС	КСБ
БСК	БКС
СБК	СКБ

1. Дерево вариантов







1. Правило умножения

1 полоса 3 способа

2 полоса 2 способа

3 полоса 1 способ

3 ∙ 2 ∙ 1 = 6

Ответ: 6 способов

III Выполнение упражнений.

1. Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 5, 7, 4, если известно, что цифры не повторяются (повторяются)?

2. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 5, 7 и 0?

IV Итог урока.

Домашнее задание.

Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 3 и 5? Решите задачу различными способами

Урок 2.

Цель: продолжить формирование умений решать простейшие комбинаторные задачи практического содержания.

Задачи:

К концу урока учащиеся должны уметь:

• учить учащихся находить возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов, отвечающие условию задачи;

• выяснить практическое применение математики в повседневной жизни.

Способствовать:

• формированию познавательного интереса к предмету;

• воспитывать чувство ответственности за качество и результат, выполняемой работы;

• формированию сознательного отношения к труду.

  1. развитию умения самостоятельно выбирать способ решения и умения обосновать выбор.

Из урока в урок я не перестаю повторять, а вы убеждаетесь в том, что наш мир полон математики. И сегодня мы продолжим исследовать на предмет выявления (если можно так выразиться) математики вокруг нас.

1) Устный опрос.

• Какие задачи называются комбинаторными?

• Что такое комбинаторика?

• Может ли комбинаторика помочь в реальной жизни?

• Как часто люди комбинируют?

• Какими способами мы умеем решать комбинаторные задачи?

• Ч чем заключается правило умножения?

• В чем заключается правило решения задач с помощью дерева вариантов?

• В каких играх мы применяем комбинаторику?

В это время два ученика оформляют на доске решение домашних задач.

2) Работа в группах.

Класс разбит на 5 групп. Каждая группа получает задания, на решение которых отводится 10 мин. После выполнения заданий каждая группа представляет свое решение.

1 группа.

В субботу в 5 «А» классе 5 уроков: физкультура, русский язык, литература, ИЗО, математика. Сколько можно составить вариантов расписания на день? Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная, что математика – последний урок?

2 группа.

Путешественник хочет выехать на своей машине из города А, посетить города В, С и D, после чего вернуться в город А. Какими путями можно это сделать? На рисунке схема путей, связывающих города. Какой из вариантов самый оптимальный?

3 группа.

Участники лыжных соревнований стартуют с интервалом в 30 секунд. Чтобы определить порядок старта, спортсмены тянут жребий, определяющий номер старта. Сколько существует различных последовательностей выхода лыжников на старт, если в соревнованиях принимает участие 6 лыжников. Через какой промежуток времени все спортсмены будут на лыжне?

4 группа.

Проказница Мартышка,

Осел,

Козел,

Да косолапый Мишка

Затеяли сыграть в квартет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

………………..

«Стой, братцы, стой!» — кричит Мартышка.-

Погодите.

Как музыке идти? Ведь Вы не так сидите!

Сколькими различными способами могут сесть крыловские музыканты в один ряд?

5 группа.

Хоккейная комбинация. На поле 5 игроков. Начал комбинацию игрок № 1, продолжили игроки с другими номерами, а забил гол игрок № 5. Каждый хоккеист ударил по шайбе только один раз. На рисунке с помощью стрелок изображен один из возможных вариантов передачи шайбы между игроками в данной комбинации. Изобразите в тетради все другие возможные варианты передачи шайбы.

3) Представление решений.

4) Итоги

5) Домашнее задание.

а) Решить любые три задачи.

1. Сколько трёхзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?

2. Андрей зашел в магазин, чтобы купить майки. В магазине оказались майки четырех цветов: белые, голубые, красные, черные.

а) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки?

Подсказка: обозначьте цвета маек буквами Б, Г, К, Ч. Составьте дерево возможных вариантов

б) Сколько вариантов покупки есть у Андрея, если он хочет купить две майки разного цвета?

3. В классе три человека хорошо поют, двое других играют на гитаре, а еще один умеет показывать фокусы. Сколькими способами можно составить концертную бригаду из певца, гитариста и фокусника?

4. Наташа сшила кукле десять разных платьев, а Даша сшила своему мишке трое штанишек и четыре футболки. Как вы думаете, у кого больше разных нарядов – у куклы или у мишки?

5. Для начинки пирогов у Наташи есть капуста, яйца, зелень лук и клубничное варенье. Сколько различных начинок можно приготовить из этих продуктов? При этом не надо забывать, что пироги должны быть вкусными. Вряд ли кто из вас захочет съесть пирог с начинкой из капусты с клубничным вареньем.

6. Служитель зоопарка должен дать зайцу два различных овоща. Сколькими различными способами он может это сделать, если у него есть морковь, свекла и капуста?

7. В алфавите племени УАУА имеются всего две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?

8. На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром.

Сколько различных вариантов завтрака может выбрать Вова?

б) Составить синквейн.

ПРАВИЛА НАПИСАНИЯ СИНКВЕЙНА

1 строчка – одно слово – название стихотворения, тема, обычно существительное.

2 строчка – два слова (прилагательные или причастия). Описание темы, слова можно соединять союзами и предлогами.

3 строчка – три слова (глаголы). Действия, относящиеся к теме.

4 строчка – четыре слова – предложение. Фраза, которая показывает отношение автора к теме в 1-ой строчке.

5 строчка – одно слово – ассоциация, синоним, который повторяет суть темы в 1-ой строчке, обычно существительное.

Комбинаторика

Интересная, непознанная.

Изучать, понимать, перебирать.

Присутствует во всех областях.

Вариативность.

Урок 3.

Цель: продолжить формирование умений решать простейшие комбинаторные задачи практического содержания.

Задачи:

К концу урока учащиеся должны уметь:

• находить возможные комбинации, составленные из чисел, слов, предметов, отвечающие условию задачи.

Способствовать:

• обобщению и систематизации знаний и умений учащихся по теме

• формированию познавательного интереса к предмету;

• формированию сознательного отношения к труду;

• развитию математического мышления и логической речи учащихся;

• развитие умения самостоятельно выбирать способ решения и умения обосновать выбор.

1) Из истории науки «Комбинаторика» (сообщение ученика)

Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, — возникла в XII веке.

Еще в доисторическую эпоху люди сталкивались с комбинаторными задачами. Выбирать и расположить предметы в определенном порядке, отыскивать среди разных рассположений наилучшее – вот задачи, решаемые в быту, на охоте или в сражениях. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Нидийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют «сочетания». В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. По мере усложнения производственных и общественных отношений задачи усложнялись. Комбинаторные задачи встречались, как игры в досуге. Наряду с состязаниями в беге, метании диска, кулачными боями появлялись игры, требовавшие умение мыслить, рассчитывать, составлять планы, опровергать планы противника. Со временем игры усложнились: появились нарды, карты, шашки и шахматы. В таких играх приходилось рассчитывать различные ситуации, комбинации сочетания фигур.

При тайных переписках дипломаты стали применять шифры, которые были основаны на различных перестановках букв, чисел, заменах букв с использованием ключевых слов и т. д.

Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей. Первые научные исследования по этой теме принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Чарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Пискамо (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика». Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л. Эйлер. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в.

За последние годы комбинаторика переживает период бурного развития, связанного с общим повышением интереса к проблемам дискретной математики. Комбинаторные методы используются для решения транспортных задач, в частности задач по составлению расписаний; для составления планов производства и реализации продукции. Установлены связи между комбинаторикой и задачами линейного программирования, статистики и т. д. Комбинаторика используется для составления и декодирования шифров и для решения других проблем теории информации. Значительную роль комбинаторные методы играют и в чисто математических вопросах — теории групп и их

представлений, изучении оснований геометрии, неассоциативных алгебр и т. д.

2) Повторение

Какие способы решения комбинаторных задач мы знаем?

Дерево вариантов, табличный, правило умножения.

Сравним эти способы.

Способ решения	Плюсы	Минусы
Дерево вариантов	Наглядность, возможность увидеть все варианты	Очень громоздкий и длительный, если много различных вариантов
Табличный	Наглядность, компактность, возможность увидеть все варианты	Невозможность решать задачи, в которых более двух составляющих одного события
Правило умножения	Компактность, быстрота решения	«Не видно» самих вариантов, можно только просчитать их количество.

3) Выполнение упражнений.

1. Туристическая фирма планирует посещение туристами в Италии трех городов: Венеции, Рима и Флоренции. Сколько существует вариантов такого маршрута?

2. Человек, пришедший в гости, забыл код, открывающий дверь подъезда, но помнил, что он составлен из нулей и единиц и содержит четыре цифры. Сколько вариантов кода в худшем случае ему придется перебрать, чтобы открыть дверь?

3. Витя, Толя и Игорь купили вместе интересную книгу и решили ее читать по очереди. Выпишите все варианты такой очереди. Сколько есть вариантов, в которых Игорь на первом месте? Витя не на последнем месте?

4. Имеется ткань двух цветов: голубая и зеленая – и требуется обить диван, кресло и стул. Сколько существует различных вариантов обивки этой мебели?

3) Самостоятельная работа.

1 вариант. 1. Сколько можно составить четырехзначных чисел из цифр 1, 5, 8, 3, если: а) цифры в числе не повторяются; б) цифры могут повторяться. 2. В среду в 5 «Б» классе 5 уроков: русский, информатика, естаствознание, ИЗО, иностранный. Сколько можно составить вариантов расписания на день? Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная, что информатика –первый урок?

2 вариант. 1. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 4, 9, 7, если: а) цифры в числе не повторяются; б) цифры могут повторяться. 2. В среду в 5 «А» классе 5 уроков: русский, литература, естаствознание, математика, иностранный. Сколько можно составить вариантов расписания на день? Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная, что математика – второй урок?

4) Итог урока.

Математика повсюду –
Глазом только поведешь
И примеров сразу уйму
Ты вокруг себя найдешь…

5) Домашнее задание

Составить комбинаторные задачи практического содержания.

7