Координатные векторы это: Что такое координатные векторы — Школьные Знания.com

Содержание

Вектор в системе координат — урок. Геометрия, 9 класс.

Вспомним, что при умножении вектора на число k≠0 мы получаем два коллинеарных (параллельных) вектора, которые или сонаправлены, если k>0, или противоположно направлены, если k<0. Длины векторов различаются \(k\) раз.

Справедливо и обратное суждение.

Если ненулевые векторы коллинеарны, то обязательно можно найти число k≠0 так, что b→=k⋅a→.

Для неколлинеарных векторов справедливо суждение, что каждый вектор на плоскости можно представить в виде c→=k⋅a→+m⋅b→. Говорят, что вектор c→ разложен по векторам a→ и b→, а числа \(k\) и \(m\) называют коэффициентами разложения.

Это справедливо для любого вектора на плоскости, причём коэффициенты определяются единственным образом.

Выберем два не коллинеарных вектора на осях системы координат. Пусть длина каждого из них будет равна единичному отрезку в этой системе координат. Эти векторы называют координатными векторами и обозначают i→ и j→.

 

 

Если от начала координат отложить вектор a→, то его можно разложить по векторам i→ и j→ следующим образом: a→=3⋅i→&plus;2⋅j→.

В этом разложении коэффициенты координатных векторов называют координатами вектора a→.

Это записывают как a→3;2.

 

Любой вектор, который равен с вектором a→, можно переместить и отложить от начала координат. Следовательно, можем сделать вывод.

Равные векторы имеют равные координаты.

Но в то же время в координатной системе можно переместить векторы i→ и j→, таким образом определить координаты векторов независимо от их места расположения в координатной системе.

 

Легко понять, что разница между абсциссами (координатами x) конечной и начальной точки вектора и есть абсцисса вектора, а разница между ординатами (координатами y) конечной и начальной точки вектора есть ордината вектора.

 

Связь между координатами противоположных векторов следует из того, что, если умножить вектор на \(-1\), результатом будет противоположный вектор.

У противоположных векторов противоположные координаты.

Важно понять ещё несколько интересных связей между координатами векторов одинаковой длины.

 

Координаты вектора. Направляющие косинусы, формулы и онлайн калькуляторы

Содержание:

Для решения задач с векторами необходимо определить вектор на плоскости или в пространстве, то есть дать информацию о его направлении и длине.

Координаты вектора

Пусть задана прямоугольная декартова система координат (ПДСК) $x O y$ и произвольный вектор $\overline{a}$, начало которого совпадает с началом системы координат (рис. 1).

Определение

Координатами вектора $\overline{a}$ называются проекции $a_{x}$ и $a_{y}$ данного вектора на оси $O x$ и $O y$ соответственно:

$$a_{x}=Пр_{O x} \bar{a}, a_{y}=Пр_{O y} \bar{a}$$

Величина $a_{x}$ называется абсциссой вектора $\overline{a}$, а число $a_{y}$ - его ординатой. То, что вектор $\overline{a}$ имеет координаты $a_{x}$ и $a_{y}$, записывается следующим образом: $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$.

Пример

Запись $\overline{a}=(5 ;-2)$ означает, что вектор $\overline{a}$ имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Сумма двух векторов, заданных координатами

Пусть заданы $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ и $\overline{b}=\left(b_{x} ; b_{y}\right)$, тогда вектор $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}$ имеет координаты $\left(a_{x}+b_{x} ; a_{y}+b_{y}\right)$ (рис. 2).

Определение

Чтобы найти сумму двух векторов, заданных своими координатами, надо сложить их соответствующие координаты.

Слишком сложно?

Координаты вектора. Направляющие косинусы не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Пример

Задание. Заданы $\overline{a}=(-3 ; 5)$ и $\overline{b}=(0 ;-1)$. Найти координаты вектора $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}$

Решение. $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4)$


Умножение вектора на число

Если задан $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$, то тогда вектор $m \overline{a}$ имеет координаты $m \overline{a}=\left(m a_{x} ; m a_{y}\right)$, здесь $m$ - некоторое число (рис. 3).

Определение

Чтобы умножить вектор на число, надо каждую координату этого вектора умножить на заданное число.

Пример

Задание. Вектор $\overline{a}=(3 ;-2)$. Найти координаты вектора 2$\overline{a}$

Решение. $2 \overline{a}=2 \cdot(3 ;-2)=(2 \cdot 3 ; 2 \cdot(-2))=(6 ;-4)$

Рассмотрим далее случай, когда начало вектора не совпадает с началом системы координат. Предположим, что в ПДСК заданы две точки $A\left(a_{x} ; a_{y}\right)$ и $B\left(b_{x} ; b_{y}\right)$. Тогда координаты вектора $\overline{A B}=\left(x_{1} ; y_{1}\right)$ находятся по формулам (рис. 4):

$x_{1}=b_{x}-a_{x}, y_{1}=b_{y}-a_{y}$

Определение

Чтобы найти координаты вектора, заданного координатами начала и конца, надо от координат конца отнять соответствующие координаты начала.

Пример

Задание. Найти координаты вектора $\overline{A B}$, если $A(-4 ; 2), B(1 ;-3)$

Решение.{2} \gamma=1$

Если известны направляющие косинусы вектора $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y}\right)$, то его координаты могут быть найдены по формулам:

$a_{x}=|\overline{a}| \cos \alpha, a_{y}=|\overline{a}| \cos \beta$

Аналогичные формулы имеют место и в трехмерном случае - если известны направляющие косинусы вектора $\overline{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right)$, то его координаты могут быть найдены по формулам:

$a_{x}=|\overline{a}| \cos \alpha, a_{y}=|\overline{a}| \cos \beta, a_{z}=|\overline{a}| \cos \gamma$

Читать дальше: длина (модуль) вектора.

Координаты вектора в декартовой системе координат: векторные координаты, радиус вектор

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Определение 1

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается Oxy, где Ox и Oy – оси коорднат. Ось Ox называют осью абсцисс, а ось Oy – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось Oz, которая перпендикулярна и Ox и Oy).

Пример 1

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i→ и j→ , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей Ox и Oy , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i→ и j→ являются координатными векторами.

Координатные векторы

Определение 2

Векторы i→ и j→ называются координатными векторами для заданной системы координат.

Пример 2

Откладываем от начала координат произвольный вектор a→ . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a→ может быть представлен в виде a→=ax·i→+ay·j→ , где коэффициенты ax и ay - единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Разложение вектора

Определение 3

Разложением вектора a→ по координатным векторам i→ и j→ на плоскости называется представление вида a→=ax·i→+ay·j→.

Определение 4

Коэффициенты ax и ay называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a→=(2;-3) означает, что вектор a→ имеет координаты (2;-3) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i→ и j→ какa→=2·i→-3·j→.

Замечание

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i→ и j→ имеют координаты (1;0) и (0;1) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i→=1·i→+0·j→; j→=0·i→+1·j→.

Также имеет место быть нулевой вектор 0→ с координатами (0;0) и разложением 0→=0·i→+0·j→.

Равные и противоположные векторы

Определение 5

Векторыa→иb→равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Определение 6

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, -a→=(-ax;-ay).

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i→,j→,k→, а произвольный вектор a→ раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a→=ax·i→+ay·j→+az·k→, а коэффициенты этого разложения (ax;ay;az) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i→=(1;0;0) ,   j→=(0;1;0),   k→=(0;0;1), координаты нулевого вектора также равны нулю 0→=(0;0;0) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равныa→=b→⇔ax=bx, ay=by, az=bz , и координаты противоположного вектора a→ противоположны соответствующим координатам вектора a→ , то есть,-a→=(-ax;-ay; -az) .

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат Oxy и на ней задана произвольная точка M с координатами M(xM;yM).

Определение 7

Вектор OM→ называется радиус-вектором точки M.

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор OM→ имеет вид суммы OM→=OMx→+OMy→=xM·i→+yM·j→, где точки Mx и My это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i→ и j→ - координатные векторы, следовательно, вектор 

OM→ имеет координаты (xM;yM) в данной системе координат.

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M(xM;yM;zM) разлагается по координатным векторам как OM→=OMx→+OMy→+OMz→=xM·i→+yM·j→+zM·k→, следовательно, OM→=(xM;yM;zM).

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Координаты вектора / Метод координат / Справочник по геометрии 7-9 класс

Прямоугольная система координат (декаротова система координат) — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Для задания прямоугольной системы координат нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать направление (оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу измерения отрезков.

На рисунке выше оси и перпендикулярны. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. В дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число. Так, единичный вектор - это вектор, длина которого равна 1.

Отложим от начала координат О единичные векторы и так, чтобы их направления совпадали с направлениями осей и соответственно.

Векторы и называют координатными векторами.

Координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде , причем коэффициенты разложения и определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат.

Координаты вектора записывают в фигурных скобках после обозначения вектора: .

На рисунке выше .

Нулевой вектор можно представить в виде , следовательно, его координаты равны нулю: .

Если векторы и равны, то и . Значит, координаты равных векторов соответственно равны.

Правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число:
10. Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.
Доказательство

Дано: , , .

Доказать: .

Доказательство:

По условию и , тогда и .

Сложим последние два равенства и применим свойства сложения векторов и умножения вектора на число, получим: , следовательно, координаты вектора равны , т.е. . Что и требовалось доказать.

20. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.
Доказательство

Дано: , , .

Доказать: .

Доказательство:

По условию и , тогда (1)  и .  (2) 

Вычтем из равенства (1) равенство (2) и применим свойства сложения векторов и умножения вектора на число, получим: , следовательно, координаты вектора равны , т.е. . Что и требовалось доказать.

30. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.
Доказательство

Дано: , - число, .

Доказать: .

Доказательство:

По условию , значит, .

Умножим последнее равенство на число и используя свойства умножения вектора на число, получим: , следовательно, координаты вектора равны , т.е. . Что и требовалось доказать.

Данные правила позволяют определить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

Пример

Найти координаты вектора , если известно, что .

Решение:

По правилу 30 вектор будет иметь координаты , т.е. , вектор координаты , т.е. .

Так как , то координаты вектора можно найти по правилу 10: , т.е. .

Ответ: .

Метод координат (ЕГЭ 2022) | ЮКлэва

Я неслучайно расположил задачи в таком порядке. Пока ты еще не успел начать ориентироваться в методе координат, я сам разберу наиболее «проблемные» фигуры, а тебе предоставлю разобраться с простейшим кубом!

Постепенно тебе предстоит научиться работать со всеми фигурами, сложность задач я буду увеличивать от теме к теме.

Приступаем к решению задач:

1. Рисуем тетраэдр, помещаем его в систему координат так, как я предлагал ранее. Поскольку тетраэд правильный – то все его грани (включая основание) – правильные треугольники.

Поскольку нам не дана длина стороны, то я могу принять ее равной \( 1\). Я думаю, ты понимаешь, что угол на самом деле не будет зависеть от того, насколько наш тетраэдр будет «растянут»?

Также проведу в тетраэдре высоту и медиану \( \displaystyle BM\).

Попутно я нарисую его основание (оно нам тоже пригодится).

Мне нужно найти угол между \( \displaystyle DH\) и \( \displaystyle BM\). Что нам известно?

Нам известна только координата точки \( \displaystyle B\). Значит, надо найти еще координаты точек \( \displaystyle D,H,M\).

Теперь думаем: точка \( \displaystyle H\) – это точка пересечения высот (или биссектрисс или медиан) треугольника \( \displaystyle ABC\).

А точка \( \displaystyle D\) – это приподнятая точка \( \displaystyle H\).

Точка же \( \displaystyle M\) – это середина отрезка \( \displaystyle AD\).

Тогда окончательно нам надо найти: координаты точек: \( \displaystyle A,D,H,M\).

Начнем с самого простого: координаты точки \( \displaystyle A\).

Смотри на рисунок: Ясно, что аппликата точки \( \displaystyle A\) равна нулю (точка лежит на плоскости \( \displaystyle Oxy\)).

Её ордината равна \( \displaystyle 0,5\) (так как \( \displaystyle AK\) – медиана).

Сложнее найти ее абсциссу. Однако это легко делается на основании теоремы Пифагора: Рассмотрим треугольник \( \displaystyle BAS\). Его гипотенуза \( \displaystyle BA\) равна \( \displaystyle 1\), а один из катетов \( \displaystyle AS\) равен \( \displaystyle 0,5\)

Тогда:

\( BS=\sqrt{B{{A}^{2}}-A{{S}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Окончательно имеем: \( A\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0 \right)\).

Теперь найдем координаты точки \( \displaystyle H\).

Ясно, что ее аппликата опять равна нулю, а ее ордината такая же, как у точки \( \displaystyle A\), то есть \( 0,5\).

Найдем ее абсциссу. Это делается достаточно тривиально, если помнить, что высоты равностороннего треугольника точкой пересечения делятся в пропорции \( \displaystyle \mathbf{2}:\mathbf{1}\), считая от вершины. Так как: \( AK=BS=\frac{\sqrt{3}}{2}\), то искомая абсцисса точки, равная длине отрезка \( \displaystyle KH\), равна: \( KH=\frac{AK}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}\). Т

аким образом, координаты точки \( \displaystyle H\) равны:

\( H\left( \frac{\sqrt{3}}{6},\frac{1}{2},0 \right).\)

Найдем координаты точки \( \displaystyle D\).

Ясно, что ее абсцисса и ордината совпадают с абсциссой и ординатой точки \( \displaystyle H\). А аппликата равна длине отрезка \( \displaystyle DH\). \( \displaystyle DH\) – это один из катетов треугольника \( \displaystyle DAH\).{2}}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{19}{36}}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{19}{54}}}=\frac{\sqrt{54}}{3\sqrt{19}}=\sqrt{\frac{6}{19}}\)

Таким образом, \( \varphi =arccos\sqrt{\frac{6}{19}}.\)

Ответ: \( \varphi =arccos\sqrt{\frac{6}{19}}.\)

Тебя не должны пугать такие «страшные» ответы: для задач С2 это обычная практика. Я бы скорее удивился «красивому» ответу в этой части. Также, как ты заметил, я практически не прибегал ни к чему, кроме как к теореме Пифагора и свойству высот равностороннего треугольника. То есть для решения стереометрической задачи я использовал самый минимум стереометрии. Выигрыш в этом частично «гасится» достаточно громоздкими вычислениями. Зато они достаточно алгоритмичны!

Координаты вектора

Вспомним, как мы находили координаты вектора на плоскости.

Пользуясь тем, что любой вектор можно разложить по двум неколлинеарным векторам, на осях мы задавали единичные векторы. Таким образом, любой вектор можно разложить по данным единичным векторам, а координатами вектора являются коэффициенты этого разложения.

Так же вам уже известно, что любой вектор пространства можно выразить через 3 некомпланарных вектора, то есть векторы, не лежащие в одной плоскости.

Изобразим прямоугольную систему координат Охуz. На каждой из положительных осей от начала координат отложим единичные векторы.

Буквой i обозначим единичный вектор оси Оx, буквой j — единичный вектор оси Оy, буквой k — единичный вектор оси Оz.

Определение:

Векторы i, j, k будем называть координатными векторами.

Понятно, что они являются некомпланарными. И поэтому любой вектор пространства можно разложить по единичным векторам i, j, k. Причём коэффициенты разложения х, у и z определяются единственным образом.

Коэффициенты х, у и z называют координатами вектора р в данной системе координат. Координаты вектора будем записывать в фигурных скобках в последовательности х, у, z.

Задание: Пользуясь разложениями векторов по координатным векторам, записать их координаты.

Решение:

Задание: пользуясь координатами векторов, запишем их разложения по координатным векторам i, j, k.

Решение:

Задача: В прямоугольном параллелепипеде 𝑂𝐴 = 2, 𝑂𝐵 = 3, а ОО1 = 2. Найти координаты векторов 𝑂𝐴1, 𝑂𝐵1, 𝑂𝑂1, 𝑂𝐶, 𝑂𝐶1, 𝐵𝐶1, 𝐴𝐶1 и 𝑂1 𝐶.

Решение:

После выполнения этого задания можно сделать вывод о том, что если вектор лежит в некоторой из координатных плоскостей или параллелен ей, а также лежит или параллелен некоторой из координатных осей, то его соответствующие координаты равны нулю.

Если вектор лежит в координатной плоскости Оху или параллелен ей, то его аппликата равна нулю. Если вектор принадлежит или параллелен координатной плоскости Охz, то его ордината равна нулю. Если же вектор принадлежит или параллелен координатной плоскости Оyz, то его абсцисса равна нулю.

В случае, когда вектор лежит на оси координат Оx или параллелен ей, то ордината и аппликата равны нулю. Если вектор принадлежит или параллелен оси Оy, то абсцисса и аппликата равны нулю. И если вектор принадлежит или параллелен оси Оz, то абсцисса и ордината равны нулю.

А сейчас поговорим о противоположных векторах. Из планиметрии известно, что координаты противоположных векторов противоположны. Это утверждение верно и для векторов в пространстве.

Задание: найти координаты векторов противоположных данным векторам.

Решение:

Также из курса планиметрии вам известны правила определения координат вектора суммы, вектора разности и произведения вектора на число.

Такие же правила действую и для координат векторов в пространстве.

Задание: 𝑎 ⃗{−1;0;3}, 𝑏 ⃗{5;−2;1} и 𝑐 ⃗{1;7;−2}. Определить координаты векторов:

1) 𝑎 ⃗+𝑐 ⃗;   2) 𝑏 ⃗−𝑎 ⃗;   3) 2𝑎 ⃗+𝑏 ⃗;   4) 1/2 𝑎 ⃗−2𝑏 ⃗+𝑐 ⃗.

Решение:

Так, используя правила определения координат вектора суммы, разности и произведения вектора на число, мы определили координаты данных векторов.

Итоги:

Сегодня мы ввели понятие координатных векторов i, j, k. И, пользуясь тем, что любой вектор пространства можно выразить через 3 некомпланарных вектора, записали, что коэффициенты х, у и z называют координатами вектора p в данной системе координат.

Мы отметили, что все координаты нулевого вектора равны нулю. Равные векторы имеют равные координаты, а координаты противоположных векторов противоположны.2\), откуда получаем требуемое равенство.

 

Утверждение

Если в прямоугольной системе координат точка \(M\) – середина отрезка \(PQ\), где \(P(x_1;y_1), \ Q(x_2;y_2)\), то

\[M\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}; \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)\]

Доказательство

Пусть \(M(a;b)\).

 

1) Пусть \(PQ\parallel Oy \Rightarrow x_1=x_2=a\). Значит, \(a=\dfrac{x_1+x_2}2=\dfrac{a+a}2\) – верно.

 

Т.к. \(PM=MQ\), следовательно, \(|y_2-b|=|y_1-b| \Rightarrow y_2-b=y_1-b\) или \(y_2-b=b-y_1\), что равносильно \(y_2=y_1\) или \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\). Первое равенство невозможно (т.к. тогда точки \(P\) и \(Q\) совпадают).

 

2) Случай \(PQ\parallel Ox \Rightarrow y_1=y_2=b\) доказывается аналогично.

 

3) \(x_1\ne x_2, y_1\ne y_2\).


 

Тогда \(Ma=b\) – средняя линия трапеции \(x_1PQx_2\), следовательно, равна полусумме оснований, то есть \(b=\dfrac{y_1+y_2}2\).

 

Аналогично \(a=\dfrac{x_1+x_2}2\).  

\[{\Large{\text{Векторы на координатной плоскости}}}\]

Лемма

Если векторы \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) коллинеарны, то существует такое число \(\lambda\ne 0\), что \(\overrightarrow a=\lambda\overrightarrow b\).

 

Доказательство

1) Если \(\overrightarrow a\uparrow \uparrow \overrightarrow b\).

 

Рассмотрим вектор \(\dfrac1{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\). Данный вектор сонавправлен с \(\overrightarrow a\), а его длина равна \(1\). Тогда вектор \(\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\) также сонаправлен с \(\overrightarrow a\), но его длина равна \(|\overrightarrow b|\). То есть равен вектору \(\overrightarrow b\).

 

2) Если \(\overrightarrow a\uparrow \downarrow \overrightarrow b\).

 

Аналогично доказывается, что \(\overrightarrow b=-\dfrac{|\overrightarrow b|}{|\overrightarrow a|}\overrightarrow a\).

 

Определение

Если вектор \(\overrightarrow p\) представлен как линейная комбинация двух векторов: \(\overrightarrow p=\alpha\overrightarrow a+\beta \overrightarrow b\), то говорят, что вектор \(\overrightarrow p\) разложен по векторам \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\).

 

\(\alpha, \beta\) – коэффициенты разложения.  

Пусть векторы \(\overrightarrow i\), \(\overrightarrow j\) – векторы, длины которых равны \(1\), а направление совпадает с направлением осей \(Ox\) и \(Oy\) соответственно. Такие векторы называются единичными векторами.

 

Тогда если \(\overrightarrow p=a\overrightarrow i+b\overrightarrow j\), то \(\{a;b\}\) – координаты вектора \(\overrightarrow p\).


 

Свойства координат вектора

1. Равные векторы имеют равные координаты.

 

2. Координаты суммы векторов равны сумме координат каждого вектора: если \(\overrightarrow a\{x_1;y_1\}, \ \overrightarrow b\{x_2;y_2\}\), то \(\overrightarrow a+\overrightarrow b=\{x_1+x_2;y_1+y_2\}\).

 

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты данного вектора на это число: \(\overrightarrow a\{x;y\}, \ \lambda \) – число, то \(\lambda\overrightarrow a\{\lambda x;\lambda y\}\).2}\).  

\[{\Large{\text{Скалярное произведение векторов}}}\]

Определение

Пусть от одной точки отложены два вектора \(\overrightarrow {AB}\) и \(\overrightarrow {AC}\). Тогда угол между этими векторами – это угол \(\angle BAC\), не превышающий развернутого угла.


 

Скалярное произведение векторов \(\overrightarrow a\) и \(\overrightarrow b\) – это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначение: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b\) или \((\overrightarrow a, \overrightarrow b)\). \[(\overrightarrow a, \overrightarrow b)=|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|\cdot \cos\widehat{(\overrightarrow a, \overrightarrow b)}\]

Следствия

1. Если ненулевые векторы взаимно перпендикулярны, то косинус угла между ними равен нулю, следовательно, и их скалярное произведение равно нулю.

 

2. Если угол между ненулевыми векторами острый, то скалярное произведение положительно.2=0 \Leftrightarrow |\overrightarrow a|=0\).

 

2. Переместительный закон: \(\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b=\overrightarrow b\cdot \overrightarrow a\).

 

3. Распределительный закон: \(\overrightarrow a \cdot (\overrightarrow b+\overrightarrow c)=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b+\overrightarrow a\cdot \overrightarrow c\).

 

4. Сочетательный закон: \((\lambda\overrightarrow a)\cdot \overrightarrow b=\lambda (\overrightarrow a\cdot \overrightarrow b)\).

Вектор координат

- обзор

Замечание 1.5.2

Обратите внимание, что процедура определения порога является нелинейной операцией: индексы ( j , k ) сохраненных коэффициентов зависят от функции, которую нужно аппроксимировать. В частности, это означает, что для описания такого адаптивного приближения необходимо хранить как значения сохраненных коэффициентов, так и их индексы. Другой естественный способ определения таких нелинейных приближений - это задание количества сохраняемых коэффициентов, а не порога, т.е.е. определите f N как приближение к вышеуказанному f, сохраняя его N наибольших вейвлет-коэффициентов. Затем разреженность многомасштабного представления можно измерить по убыванию ‖fN − f‖L2 , когда N переходит к + ∞, то есть супремум всех s, таких что

(1.5.1) ‖fN− f‖L2≤CN − s.

В частном случае вышеприведенного примера можно легко получить из оценок | d j, k | видно, что эта ошибка затухает как N −1 или N −2 при использовании соответственно системы Хаара или базиса Шаудера.Общие результаты по нелинейным приближениям будут представлены в Глава 4 . В частности, эти результаты будут означать, что (1.5.1) выполняется с произвольно большим s для приведенного выше примера, при условии, что используется вейвлет-базис достаточно высокой точности. Это контрастирует с линейной аппроксимацией, которая определяет f N , сохраняя N первых коэффициентов f, то есть f N : = P j f, когда N = 2 j . В этом случае по существу нельзя улучшить скорость N −1 в приведенном выше примере, даже при использовании вейвлетов высокого порядка, из-за наличия сингулярностей (для базиса Шаудера «сверхсходимость» явление все еще имеет место в нашем примере, поскольку сингулярности расположены в точках грубой сетки, что приводит к искусственно более высокой скорости N −2 log ( N ) ). Это также контрастирует с нелинейным приближением в других базисах, таких как ряд Фурье: коэффициенты Фурье c N ( f ) в приведенном выше примере не являются разреженными в том смысле, что они ведут себя как O (| N | −3/2) для всех N.В свою очередь, ошибки линейного и нелинейного приближения L 2 - ведут себя как N −1 .

Теперь мы проиллюстрируем свойства сжатия многомасштабных разложений в случае двумерных функций, связанных с математическим представлением изображений . Цифровое черно-белое изображение представляет собой двумерный массив I ( m , n ), измеряющий интенсивность уровня серого в каждой точке (или «пиксель»: элемент изображения) ( m , n ).В качестве примера на рисунке 1.5.5 показано изображение размером 512 × 512, каждый пиксель квантован по 8 битам, то есть 256 возможных уровней серого (0 для черного, 255 для белого). Многомасштабное разложение тензорного произведения, которое обобщает систему Хаара для функций двух переменных, специально адаптировано для представления таких изображений: мы можем идентифицировать цифровое изображение на рисунке 1.5.5 с функцией в V 9 и перейти к многомасштабное разложение с использованием сепарабельного алгоритма, описанного в § 1.4.

Рисунок 1.5.5. Оцифрованное изображение: 512 × 512 пикселей и 256 уровней серого

Мы отображаем организацию декомпозиции на четырех уровнях на рисунке 1.5.6: коэффициенты самого грубого приближения (в V 5 ) отображаются в верхнем левом углу , в то время как остальная часть массива содержит вейвлет-коэффициенты с промежуточным разрешением.

Рисунок 1.5.6. Многомасштабная декомпозиция тензорного произведения

В рамках обработки изображений иногда нормализует базисные функции в L 1 вместо L 2 : ϕ j, k ( x , y ) = 2 2 j ϕ (2 j x - k x , 2 j y - k y ), для k = ( k x , k y ), и аналогично для ψ .Эта нормализация позволяет нам визуализировать многомасштабную декомпозицию нашего изображения как другого изображения: коэффициенты аппроксимации - это в точности средние значения изображения на квадратах пикселей и, таким образом, также находятся в диапазоне от 0 до 255, а также абсолютные значения вейвлет-коэффициентов. Мы отображаем это изображение разложения на рис. 1.5.7: коэффициенты самого грубого приближения появляются как упрощенная версия изображения. Остальная часть массива содержит абсолютные значения вейвлет-коэффициентов: как и ожидалось, в основном она разреженная, за исключением краев.Как было отмечено о разложении тензорного произведения (замечание 1.4.1), вертикальные и горизонтальные ребра сопоставляются с помощью определенного вейвлета.

Рисунок 1.5.7. Мультимасштабное разложение изображения

На рисунке 1.5.8 мы реконструировали изображение с 2000 наибольшими коэффициентами (после перенормировки в L 2 ), то есть с уменьшением параметра выше 100.

Рисунок 1.5.8. Реконструкция из 2000 наибольших коэффициентов

Очевидно, что система Хаара не очень хорошо приспособлена для задачи представления изображений с несколькими коэффициентами: появляются визуальные артефакты, отражающие квадратные разрывы производящих функций.Однако мы снова наблюдаем, что стратегия пороговой обработки генерирует адаптивную аппроксимацию изображения в том смысле, что уровень разрешения увеличивается по краям.

Наконец, мы хотим показать, что многомасштабная декомпозиция также может применяться для «сжатия» операторов в интегральных уравнениях. Такие уравнения возникают во многих контекстах, либо как прямое моделирование физического процесса, либо как альтернативные формулировки дифференциальных уравнений в частных производных. Они включают применение или обращение интегрального оператора T , определенного формулой типа

(1.5.2) Tf (x) = ∫K (x, y) f (y) dy,

, где ядро ​​ K ( x , y ) - это функция, которая поддерживается во всех диапазонах x . и и . Распределенный характер K ( x , y ) имеет следующие непосредственные последствия: обычная дискретизация T - на основе методов конечных элементов или прямой выборки K ( x , y ). ) - в результате получаются полностью заполненные матрицы, которые сложно хранить, применять или инвертировать.

Чтобы понять, как многомасштабная декомпозиция может «разрежить» представление T , давайте рассмотрим простой случай, когда x и y находятся в диапазоне I = [0, 1]. Обозначим через V J , J ≥ 0, пространство кусочно-постоянных функций, определенных в §1.2 и адаптированных к I , и φ J, k , k = 0, ⋯ , 2 J - 1, его ортонормированный базис.Затем мы определяем дискретизацию T на V j как матрицу

(1.5.3) TJ = (〈TφJ, m, φJ, n〉) m, n = 0, ⋯, 2J − 1 .

Эта матрица естественно появляется в двух разных ситуациях.

1.

Приблизительное действие T на функцию: при f , найти приближение g J дюйм V J из g = = ТФ . Для этого мы можем начать с аппроксимации f на f J V J , а затем определить g J = P J Tf J , где P J - ортогональная проекция.Затем вычисление вектора координат G J из g J (в базисе φ J, k ) выполняется путем применения T J к вектору координат F J из f J .

2.

Приблизительное действие T −1 на функцию: при f , найти приближение g J V J из g раствор Tg = f .Метод Галеркина заключается в поиске г J V J таких, что 〈TgJ, uJ〉 = 〈f, uJ〉 для всех u J V J , т. Е. решение T J G J = F J , где F J - вектор координат f J = P J f и G J вектор координат неизвестного g J .

Корректность системы во второй задаче, а также оценки ошибок, которые могут быть получены в некоторой предписанной норме для обеих задач, конечно, зависят от специфики оператора T и данные ф .

Поскольку матричные элементы T J имеют вид

(1.5.4) TJ (m, n) = 〈TφJ, m, φJ, n〉 = ∫K (x, y) φJ, m (x) φJ, n (y) dxdy,

ясно, что распределенная природа K ( x , y ) приведет к полной матрице.Например, если у нас есть равномерная граница | K ( x , y ) | ≤ C , мы уверены, что (1.5.2) определяет ограниченный оператор в L 2 ( I ), и что операторы T J ограничены независимо от J . Мы также получаем из (1.5.4) оценку | TJ (m, n) | <˜2 − J, но эта оценка априори не позволяет аппроксимировать T J по операторной норме разреженной матрицей .

Если теперь использовать многомасштабную основу, то есть φ j 0 , k , k = 0, ⋯ 2 j 0 - 1 и ψ j, k , j 0 j < J , k = 0, ⋯, 2 j - 1, чтобы переформулировать обе задачи, получаем новую матрицу S J , элементы которого обычно имеют вид

(1.5.5) SJ (j, l, m, n) = 〈Tψj, m, ψl, n〉 = ∫K (x, y) ψj, m (x) ψl, n (y) dxdy,

для j 0 < j , л < J - 1, м = 0, ⋯, 2 j - 1, n = 0, ⋯, 2 l - 1 (с аналогичными выражениями для тех элементов, которые включают базисные функции φ j 0 , k ). Из (1.5.5) видно, что S J просто получается путем применения к T J вейвлет-разложения «полного тензорного произведения», описанного в Замечании 1.4.3: дискретизированное ядро ​​«обрабатывается» как цифровое изображение. Структура результирующей матрицы представлена ​​на рисунке 1.5.9 в случае, когда J = 4 и j 0 = 1.

Рисунок 1.5.9. Мультимасштабная дискретизация ядра

Таким образом, мы можем надеяться получить некоторую разреженность, когда ядро ​​будет иметь некоторые свойства гладкости. В частности, если K ( x , y ) равно C 1 на опоре ψj, m (x) ψl, n (y), мы можем использовать тот же метод, что и в Замечании 1 .5.1, чтобы получить оценку

(1.5.6) | SJ (j, l, m, n) | ≤ [supIj, m × Il, n | ∇K |] 2−2max {j, l},

что, в отличие от грубой оценки, которая была у нас для T J , может позволить нам отбросить многие коэффициенты, сохранив хорошее приближение к S J .

В качестве примера рассмотрим оператор однослойного логарифмического потенциала, который связывает плотность электрического заряда на бесконечном цилиндре единичного радиуса {(z, ei2πx), z∈ℝ, x∈ [0,1]} с индуцированным потенциал на одном цилиндре, когда обе функции не зависят от переменной z .Ассоциированное ядро ​​

(1.5.6) K (x, y) = log | ei2πx − ei2πy |.

является единичным по диагонали { x = y }, но интегрируемым.

Начиная с дискретизации T 9 в V 9 , мы вычисляем многомасштабную матрицу S˜9 и определяем разреженную матрицу S 9 , обнуляя все элементы S 9 с модулем менее 10 −2 × 2 −9 . Мы отображаем на рисунке 1.5.10 расположение сохраненных коэффициентов: на каждом подблоке S 9 , что соответствует паре шкалы ( j , l ), неудивительно, что мы находим важные коэффициенты вблизи диагонали, поскольку он соответствует особой части ядра.

Рисунок 1.5.10. Разрезание ядра логарифмического потенциала

Это приближение S 9 содержит примерно 30000 ненулевых записей, то есть коэффициент сжатия около 10.Чтобы оценить ее точность, мы можем использовать следующую простую версию леммы Шура для матриц (общую версию см. В главе 4, лемма 4.6.1)

(1.5.8) ‖A‖2≤ [supj∑i | Ai, j |] [supi∑j | Ai, j |],

, что дает оценку ошибки в операторной норме

(1.5.9) ‖S9 − S˜9‖≤10−2.

Вектор координат

Марко Табога, доктор философии

Ранее мы предоставили два определения векторного пространства:

  • неформальное определение: вектор - это конечный массив чисел, и набор таких массивы называется векторным пространством тогда и только тогда, когда оно закрыто относительно взять линейный комбинации;

  • формальное определение: векторное пространство - это набор, снабженный двумя операциями, называется сложением векторов и скалярным умножением, которые удовлетворяют ряду аксиомы.

Мы также объяснили, что более простое неформальное определение идеально совместим с более формальным определением, как набор числовых массивов удовлетворяет всем свойствам векторного пространства при условии, что сложение векторов и скалярное умножение определены обычным образом, и что множество замкнуты относительно линейных комбинаций.

Теперь мы вводим новую концепцию координатного вектора, которая делает два определения почти эквивалентны: если мы имеем дело с абстрактным вектором пространство, но его размерность конечна, и мы можем определить основу для пробел, то мы можем записать каждый вектор как линейную комбинацию базиса; в виде как следствие, мы можем представить вектор в виде массива, называемого координатой вектор, содержащий коэффициенты линейной комбинации.Как только у нас есть Получив это простое представление, мы можем применить обычные правила матрицы алгебры к координатным векторам, даже если мы имеем дело с абстрактным векторное пространство. Это не только очень удобно, но и стирает различия. между двумя подходами к определению векторов и векторных пространств (по крайней мере, для конечномерный случай).

Определение

Теперь мы готовы дать определение координатному вектору.

Обратите внимание, что уникальность скаляров гарантируется уникальность представления с точки зрения основы.

Сложение векторов координат

Сложение двух векторов можно осуществить, выполнив обычную операция сложения вектора на соответствующие им координатные векторы.

Проба

Умножение координатных векторов на скаляры

Умножение вектора на скаляр можно выполнить, выполнив обычная работа умножение скаляром на его координатном векторе.

Проба

Числовые массивы - это векторы координат относительно каноническая основа

Когда элементы линейного пространства являются одномерными массивами чисел (векторами в простейшем смысле член), то они совпадают со своими векторами координат относительно стандартная основа.Например, пусть быть пространством для всех векторы-столбцы. Позволять быть его каноническим основанием, где вектор, все элементы которого , кроме -й, что равно : Брать любой Затем, совпадает со своим координатным вектором относительно базиса , тот это потому что

Решенные упражнения

Ниже вы можете найти несколько упражнений с объясненными решениями.

Упражнение 1

Позволять - векторное пространство всех многочленов третьего порядка.Выполните добавление два полиномы используя свои координатные векторы относительно baseCheck что результат будет таким же, как если бы вы суммировали два полинома напрямую.

Решение

Упражнение 2

Позволять быть пространством для всех векторов. Рассмотрим основу где найти вектор координат с уважение к данной основе.

Решение

У нас есть thatTherefore, вектор координат является

Как цитировать

Укажите как:

Табога, Марко (2017).«Координатный вектор», Лекции по матричной алгебре. https://www.statlect.com/matrix-algebra/coordinate-vector.

MathScene - Векторы - Урок 3

MathScene - Векторы - Урок 3

2008 Расмус Эхф и Джанн Сак

Урок 3

Векторы в системе координат


Пример 1

В точка A имеет координаты (2, 2), а точка B - координаты (6, 5) (см. диаграмму).Координаты вектора являются

Мы можно использовать формулу для расстояния между двумя точками, чтобы найти расстояние между A и B, то есть длина вектора
(см. Правило Пифагора в уроке 2). Формула выглядит следующим образом:

Подставляя заданные координаты в формулу, получаем:

Мы видим, что числа под квадратным корнем - это просто координаты вектор.Это, конечно, потому, что длина вектора - это просто гипотенуза в прямоугольном треугольнике с более короткими сторонами 3 и 4.

Формула длины вектора, начинающегося в точке
A = (x 1 , y 1 ) и заканчивается на B = (x 2 , y 2 ) составляет:

Если координаты вектора равны то у нас есть следующее правило:



Пример 2

Найдите вектор что параллельно и который имеет длину 2 единицы (видеть диаграмму).

Два треугольника на диаграмме похожи, поэтому соответствующие стороны находятся в одинаковом соотношении.
|| = t ∙ ||. Число t - это соотношение между соответствующими сторонами. Соотношение есть.
Мы можем найти координаты как следует:

Если векторы и являются параллельно, то существует такое число t, что:

= т ∙


Пример 3

Какие из следующих векторов параллельны и .

Если векторов и являются параллельно, то существует такое число t, что = т ∙. Если векторы и являются параллельно существует такое число r, что знак равно г ∙.

Мы можно найти числа t и r, используя координаты x, а затем проверить, чтобы увидеть будут ли найдены те же значения, когда мы используем координаты y.

= т ∙

3 = t ∙ 13 дает t = 3/13 = 2/9

4 = t ∙ 18 также дает t = 4/18 = 2/9

В векторов и соток параллель .

= г ∙

3 = r ∙ 6 дает r =

4 = r ∙ 9 дает r = 4/9

В векторов и соток не параллельно (Это значит, что и являются тоже не параллельно).

Вектор на схеме имеет координаты . В вектор начинается в точке (0, 0) и заканчивается в (3, 2), поэтому координаты конечная точка совпадает с координатами самого вектора.Это верно для все векторы, которые начинаются в начале системы координат, то есть в точка (0, 0).

Вектор, начинающийся в точке (0, 0), имеет те же координаты, что и его конечная точка. Этот вектор называется вектором положения для A.

Каждая точка в системе координат может быть представлена ​​своим вектором положения. Координаты точки и ее вектор положения совпадают.Это может быть очень полезно при просмотре переводов в системе координат.


Пример 4

Треугольник, изображенный на схеме, должен быть переведен на вектор .

Мы используем векторы положения вершинных точек (−3, 0),
(2, −2) и (3, 1) и складываем вектор каждому из них.

Это дает нам новый вектор положения каждой вершины.Схема ниже показывает перевод.


Пример 5

Теперь мы будем использовать векторы положения, чтобы найти середину отрезка AB, если A = (1, 2) и B = (4, 3).

Как обычно, точка O является началом системы координат. Если M середина из AB тогда:

знак равно + ∙

Вектор является вектор положения точки M и, следовательно, имеет те же координаты, что и точка M, которую мы хотим вычислить.Вектор вектор положения A. Чтобы достичь средней точки M, нам нужно добавить половину вектор. Нарисуйте диаграмму, чтобы увидеть это.

Сначала нам нужно найти вектор .

Теперь мы можем найти .

знак равно + ∙

Координаты M такие же, как у вектора положения. или (2, 2) .


Легко найти формулу, по которой мы сможем найти координаты середина отрезка AB.

2 = + ∙ + - ∙

Мы видим, что вектор положения середины отрезка линии является своего рода среднее из векторов положения конечных точек. Таким образом, мы можем найти координаты средней точки путем нахождения среднего значения координат x и y координаты соответственно.
Это приводит нас к правилу, которое мы называем правилом средней точки.

Середина M отрезка AB задается правилом:

Правило использования координат:


Пример 6

Вершины треугольника ABC равны A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0).

Найдите длину линии от A до середины стороны BC (медиана треугольник ABC).

Начнем с поиска середины BC, используя указанное выше правило.

Назовем среднюю точку M и найдем ее вектор положения (видеть диаграмму).

Следовательно, M, середина BC имеет координаты
М = (3, 1).

Далее находим координаты вектора .

Наконец, мы можем найти длину вектора как обязательный.

2,55

= + ∙

= + ∙ - ∙

= - ∙ - ∙

Когда мы складываем их вместе, выходит и получаем:

3 = + +

Чтобы найти координаты T, мы берем среднее значение x и y координаты вершин соответственно.

Таким образом, мы находим точку пересечения T медиан треугольник, найдя своего рода среднее из векторов положения вершины. Таким образом, это правило является расширением правила средней точки.


Пример 7

Найдите точку пересечения T медиан треугольника ABC ( центр) при условии, что A = (1, 2), B = (4, 3) и C = (3, 0) (см. диаграмму).

Центр T = (2, 1) .


Попробовать викторину 3 по векторам.
Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

10.n \\


v & \ mapsto \ begin {bmatrix}
\ inner {v} {e_1} \\ \ vdots \\ \ inner {v} {e_n} \ end {bmatrix},
\ end {split}
\ конец {уравнение *}

, который отображает вектор \ (v \ in V \) в вектор-столбец \ (n \ times 1 \) его координат относительно базиса \ (e \). Вектор-столбец \ ([v] _e \) называется вектором координат \ (v \) относительно базиса \ (e \).

Пример \ (\ PageIndex {1} \):

Напомним, что векторное пространство \ (\ mathbb {R} _1 [x] \) многочленов над \ (\ mathbb {R} \) степени не выше 1 является пространством скалярного произведения со скалярным произведением, определенным как

\ begin {уравнение *}
\ inner {f} {g} = \ int_0 ^ 1 f (x) g (x) dx. n x_k \ overline {y} _k.n}.
\ end {multline *}

Важно помнить, что отображение \ ([\, \ cdot \,] _ e \) зависит от выбора основы \ (e = (e_1, \ ldots, e_n) \).

Авторы

Версии этого учебника в твердом и мягком переплете доступны на сайте WorldScientific.com.

Прямоугольная система координат

Следующее обсуждение ограничено векторами в двумерной координатной плоскости, хотя концепции могут быть расширены на более высокие измерения.

Если вектор сдвигается так, что его начальная точка находится в начале прямоугольной координатной плоскости, говорят, что он находится в стандартной позиции . Если вектор равен вектору и имеет начальную точку в начале координат, он называется стандартным вектором для. Другие названия стандартного вектора включают радиус-вектор и вектор положения (рисунок 1).

Рисунок 1
Векторы, нарисованные на плоскости.

Вектор - это стандартный вектор для всех векторов в плоскости с тем же направлением и величиной, что и.Чтобы найти стандартный вектор для геометрического вектора в координатной плоскости, необходимо найти только координаты точки P , поскольку точка 0 находится в начале координат. Если координаты точки A равны ( x a , y a ) , а координаты точки B равны ( x b , y b ), то координаты точки P равны ( x b - x a , y ab - y a ).

Пример 1: Если конечные точки вектора имеют координаты A (−2, −7) и B (3, 2), то каковы координаты точки P , так что это стандартный вектор и = (см. рисунок 2)?

Рисунок 2
Чертеж для примера 1.

Если координаты точки P равны ( x , y ),

Алгебраический вектор - это упорядоченная пара действительных чисел.Алгебраический вектор, соответствующий стандартному геометрическому вектору, обозначается как ⟨ a, b ⟩, если конечная точка P имеет координаты (a, b) . Числа a и b называются компонентами вектора ⟨a, b⟩ (см. Рисунок 3).

Рисунок 3
Компоненты вектора.

Если a, b, c и d - все действительные числа, такие что a = c и b = d , то вектор v = ⟨a, b⟩ и вектор u = c, d⟩ считаются равными.То есть алгебраические векторы с равными соответствующими компонентами равны. Если оба компонента вектора равны нулю, вектор называется нулевым вектором . Величина вектора v = a, b⟩ равна.

Пример 2: Какова величина вектора u = ⟨3, −5⟩?

Сложение векторов определяется как добавление соответствующих компонентов векторов, то есть, если v = a, b⟩ и u = ⟨c, d⟩ , то v + u = ⟨a + c, b + d⟩ (рисунок 4).

Рисунок 4
Сложение вектора.

Скалярное умножение определяется как умножение каждого компонента на константу, то есть, если v = ⟨a, b⟩ и q является константой, то q v = q⟨a , b⟩ = ⟨qa, qb⟩ .

Пример 3: Если v = ⟨8, −2⟩ и w = ⟨3, 7⟩, то найдите 5 v −2 w .

Единичный вектор - это вектор, величина которого равна 1. Единичный вектор v с тем же направлением, что и ненулевой вектор u , может быть найден следующим образом:

Пример 4 : Найдите единичный вектор v с тем же направлением, что и вектор u , учитывая, что u = ⟨7, - 1⟩.

Два специальных единичных вектора, i = ⟨1, 0⟩ и j = ⟨0, 1⟩, могут использоваться для выражения любого вектора v = ⟨a, b⟩ .

Пример 5: Запишите u = ⟨5, 3⟩ в терминах единичных векторов i и j (рисунок 5).

Рисунок 5
Чертеж для примера 5.

Векторы обладают алгебраическими свойствами, аналогичными свойствам действительных чисел (таблица 1).


Пример 6: Найдите 4 u + 5 v , если u = 7 i - 3 j и v = −2 i + 5 j .

Для двух векторов u = a, b⟩ = a i + b j и v = ⟨c, d⟩ = c i + d j , точечное произведение , записанное как u · v , является скалярной величиной u ˙ v = ac + bd . Если u, v и w - векторы, а q - действительное число, то скалярные произведения демонстрируют следующие свойства:

Последнее свойство, u ˙ v = | u | | v | cos α, можно использовать для определения угла между двумя ненулевыми векторами u и v .Если два вектора перпендикулярны друг другу и образуют угол 90 °, они называются ортогональными . Поскольку cos 90 ° = 0, скалярное произведение любых двух ортогональных векторов равно 0.

Пример 7: Учитывая, что u = ⟨ 5 , −3⟩ и v = ⟨6, 10⟩, покажите, что u и v ортогональны, продемонстрировав, что скалярное произведение u и v равно нулю.

Пример 8: Какой угол между u = ⟨5, −2⟩ и v = ⟨6, 11⟩?

Считается, что объект находится в состоянии статического равновесия , если все векторы силы, действующие на объект, в сумме равны нулю.

Пример 9: Канатоходец весом 150 фунтов стоит ближе к одному концу каната, чем к другому. Более короткая веревка отклоняется от горизонтали на 5 °. Более длинная веревка отклоняется на 3 °. Каково натяжение каждой части веревки?

Нарисуйте силовую диаграмму со всеми тремя векторами сил в стандартном положении (Рисунок 6).

Рисунок 6
Чертеж для примера 9.

Сумма векторов силы должна быть равна нулю для каждого компонента.

Для компонента i : - | u | cos 5 ° + | v | cos 3 ° = 0

Для компонента j : | u | sin5 ° + | v | cos 3 ° - 150 =

Решите эти два уравнения относительно | u | и | в |:

Подставляем значения для синусов и косинусов:

Умножьте первое уравнение на 0,0872, а второе на 0,9962:

.

Сложите два уравнения и решите относительно | в |:

Заменить и решить для | u |:

Базы как системы координат

Цели
  1. Научитесь рассматривать базис как систему координат в подпространстве.
  2. Рецепты: вычисляет B-координаты вектора, вычисляет обычные координаты вектора из его B-координат.
  3. Рисунок: B-координаты вектора с использованием его положения на нестандартной координатной сетке.
  4. Словарь: Координаты B .

В этом разделе мы интерпретируем базис подпространства V как систему координат на V, и мы узнаем, как записать вектор в V в этой системе координат.

Факт

Если B = {v1, v2, ..., vm} является базисом для подпространства V, то любой вектор x в V может быть записан как линейная комбинация

x = c1v1 + c2v2 + ··· + cmvm

ровно в одну сторону.

Напомним, что сказать, что B является базисом , для V означает, что B охватывает V, а B линейно независима. Поскольку B охватывает V, мы можем записать любой x в V как линейную комбинацию v1, v2, ..., vm. Для уникальности предположим, что у нас есть два таких выражения:

x = c1v1 + c2v2 + ··· + cmvmx = cA1v1 + cA2v2 + ··· + cAmvm.

Вычитание первого уравнения из второго дает

0 = x − x = (c1 − cA1) v1 + (c2 − cA2) v2 + ··· + (cm − cAm) vm.

Поскольку B линейно независим, единственное решение вышеуказанного уравнения - тривиальное решение: все коэффициенты должны быть равны нулю. Отсюда следует, что ci − cAi для всех i, что доказывает, что c1 = cA1, c2 = cA2, ..., cm = cAm.

Пример

Рассмотрим стандартную основу R3 из этого примера в разделе 2.7:

e1 = E100F, e2 = E010F, e3 = E001F.

Согласно вышеуказанному факту, каждый вектор в R3 может быть записан как линейная комбинация e1, e2, e3 с уникальными коэффициентами.Например,

v = E35−2F = 3E100F + 5E010F − 2E001F = 3e1 + 5e2−2e3.

В данном случае координаты v в точности совпадают с коэффициентами при e1, e2, e3.

А что такое координаты? Один из способов думать о координатах - это то, что они указывают, как добраться до определенной точки из начала координат. В приведенном выше примере линейную комбинацию 3e1 + 5e2−2e3 можно представить себе как следующий список инструкций: начать с начала координат, проехать 3 единицы на север, затем проехать 5 единиц на восток, затем на 2 единицы вниз.

Определение

Пусть B = {v1, v2, ..., vm} - базис подпространства V, и пусть

x = c1v1 + c2v2 + ··· + cmvm

- вектор в V. Коэффициенты c1, c2, ..., cm - это координаты x относительно B . Вектор координаты B x - это вектор

[x] B = GKKIc1c2 ... cmHLLJinRm.

Если мы изменим основу, то мы все равно сможем дать инструкции, как добраться до точки (3,5, −2), но инструкции будут другими.Скажем для примера берем основу

v1 = e1 + e2 = E110F, v2 = e2 = E010F, v3 = e3 = E001F.

Мы можем записать (3,5, −2) в этом базисе как 3v1 + 2v2−2v3. Другими словами: начните с начала координат, пройдите 3 раза на северо-восток до точки v1, затем на 2 единицы на восток, затем на 2 единицы вниз. В этой ситуации мы можем сказать, что «3 - это координата v1 отрезка (3,5, −2), 2 - координата v2 отрезка (3,5, −2), а −2 - координата v3 отрезка (3,5, −2). ”

Приведенное выше определение дает способ использования Rm для обозначения точек подпространства размерности m: точка просто помечается ее вектором B-координат.Например, если мы выберем основу для плоскости, мы можем пометить точки этой плоскости точками R2.

Пример

Пусть

v1 = E2−11Fv2 = E10−1F.

Они образуют базис B для плоскости V = Span {v1, v2} в R3. Мы указываем систему координат, определяемую буквой B, путем рисования линий, параллельных «оси v1» и «оси v2»:

Из рисунка видно, что v1-координата u1 равна 1, как и v2-координата, поэтому [u1] B = A11B. Аналогично имеем

[u2] B = M-112N [u3] B = C32-12D [u4] B = M032N.Figure8Left: B-координаты вектора x. Справа: вектор x. Фиолетовая сетка справа - изображение системы координат, определяемой базисом B; один набор линий измеряет координату v1, а другой набор - координату v2. Перетащите заголовки векторов x и [x] B, чтобы понять соответствие между x и его вектором B-координат.
Рецепты: B-координаты

Если B = {v1, v2, ..., vm} является базисом для подпространства V и x находится в V, то

[x] B = GKKIc1c2...cmHLLJ означает x = c1v1 + c2v2 + ··· + cmvm.

Нахождение B-координаты x означает решение векторного уравнения

x = c1v1 + c2v2 + ··· + cmvm

в неизвестных c1, c2, ..., cm. Обычно это означает сокращение строки расширенной матрицы

13 Смена основы (системы координат)

13 Смена основы (системы координат)
Дополнительные примечания по линейной алгебре © Леон ван Доммелен



13 Изменение основы (системы координат)

Обычно вы используете декартовы координаты при работе с с векторами.Это основано на «декартовой основе». векторы ». Например, через два Габаритные размеры,


Эти декартовы базисные векторы показаны красным на рисунке. 1 (а). Используя эти два базисных вектора, вы можете записать любого вектора в виде

Это проиллюстрировано графически на рисунке. 1 (б). Обратите внимание, как, начиная с начала координат, если вы сначала переместитесь, а затем вы достигнете конечная точка вектора. Сейчас и сейчас обычные номера , которые называются компонентами , или Коэффициенты »или« координаты вектора .

Таким образом, вам никогда не придется иметь дело с большим количеством векторов. это и. Все остальное - обычные числа.

Но иногда бывает удобно использовать другую основу, чем очевидный. Например, вы могли знать, что в имея дело с плоскими напряжениями, часто удобно повернуть систему координат к главным осям . Принципиально осей сдвиговых напряжений нет, есть нормальные напряжения. Но если ты повернуть систему координат и стать другим векторами, назовите их и.Однако дело в том, что при использовании этих новых базисных векторов и физическая проблема упростилась.

Как мы увидим позже, чтобы упростить задачу, желаемые новые векторы не всегда ортонормированы (ортогональны и имеют длину 1), как и в примере выше. В общем, новые базисные векторы, мы будем называть их и, может быть что угодно, пока поскольку они линейно независимы. Пока это правда, вы можете по-прежнему писать произвольный вектор как


где и остаются обычные числа.Они называются координаты в новой базе. Это графически проиллюстрировано на рисунке 1 (c).

Однако в целом координаты и в новом базисе не совпадают с координатами и в старом базисе . Итак, если вы хотите использовать новую основу для своего преимущество, вам обычно нужно знать, как вычислять и если вы знаете, и / или наоборот. Это проблема, которую рассмотрит этот раздел.

Во-первых, найти старые координаты и присвоить новые и это легко.Просто запишите приведенное выше уравнение в виде умножение строки на столбец:


Затем запишите это в старых декартовых координатах:

или более кратко,

где штрих у вектора означает, что его координаты записаны с точки зрения новой основы, и отсутствие основного числа означает, что они выписаны в сроки старого базиса. Согласно вышеизложенному, чтобы получить старую координаты из новых, просто введите и введите матрица, назовите это,
(5)

и умножить на эту матрицу.Обратите внимание, что введенные вами и должны быть записаны в терминах старого Декартовы координаты. Но что еще можно было сделать?

Таким образом, вы получите следующие формулы преобразования между координатами

(6)

как указано выше. Обратите внимание, что при вычислении старого координаты из новых , он называется « матрица преобразования из старого в новый ».Это не делает в любом смысле, но так математики называют это. Просто помни, от старого к новому на самом деле означает старого из нового .

Последнее, что вам нужно знать, это то, что происходит с матрицами. Если матрица преобразует вектор в вектор в терминах Декартовы координаты, затем следует преобразовать в с точки зрения новых координат. С


желаемая матрица считается равной.

Итак, правила преобразования для матриц следующие:

(7)

Это очень похоже на векторы, за исключением того, что есть дополнительный трейлинг соответственно.

Хотя мы использовали двухмерный пример, вы можете сделать все вышеперечисленное.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск