На рисунке выше оси и перпендикулярны. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. В дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число. Так, единичный вектор — это вектор, длина которого равна 1.

Отложим от начала координат О единичные векторы и так, чтобы их направления совпадали с направлениями осей и соответственно.

Векторы и называют координатными векторами.

Координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам

Координаты вектора записывают в фигурных скобках после обозначения вектора: .

На рисунке выше .

Нулевой вектор можно представить в виде , следовательно, его координаты равны нулю: .

Если векторы и равны, то и . Значит, координаты равных векторов соответственно равны.

Доказательство

Дано: , , .

Доказать: .

Доказательство:

По условию и , тогда и .

Сложим последние два равенства и применим свойства сложения векторов и умножения вектора на число, получим: , следовательно, координаты вектора равны , т.е. . Что и требовалось доказать.

Доказательство

Дано: , , .

Доказать: .

Доказательство:

По условию и , тогда (1)  и .  (2) 

Вычтем из равенства (1) равенство (2) и применим свойства сложения векторов и умножения вектора на число, получим: , следовательно, координаты вектора равны , т.е. . Что и требовалось доказать.

Доказательство

Дано: , — число, .

Доказать: .

Доказательство:

По условию , значит, .

Умножим последнее равенство на число и используя свойства умножения вектора на число, получим: , следовательно, координаты вектора равны , т.е. . Что и требовалось доказать.

Данные правила позволяют определить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

Найти координаты вектора , если известно, что .

Решение:

По правилу 3⁰ вектор будет иметь координаты , т.е. , вектор координаты , т.е. .

Так как , то координаты вектора можно найти по правилу 1⁰: , т.е. .

Ответ: .

Координаты вектора в декартовой системе координат: векторные координаты, радиус вектор

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается Oxy, где Ox и Oy – оси коорднат. Ось Ox называют осью абсцисс, а ось Oy – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось Oz, которая перпендикулярна и Ox и Oy).

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i→ и j→ , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей Ox и Oy , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i→ и j→ являются координатными векторами.

Координатные векторы

Векторы i→ и j→ называются координатными векторами для заданной системы координат.

Откладываем от начала координат произвольный вектор a→ . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a→ может быть представлен в виде a→=ax·i→+ay·j→ , где коэффициенты ax и ay — единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Разложение вектора

Разложением вектора a→ по координатным векторам i→ и j→ на плоскости называется представление вида a→=ax·i→+ay·j→.

Коэффициенты ax и ay называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a→=(2;-3) означает, что вектор a→ имеет координаты (2;-3) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i→ и j→ какa→=2·i→-3·j→.

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i→ и j→ имеют координаты (1;0) и (0;1) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i→=1·i→+0·j→; j→=0·i→+1·j→.

Также имеет место быть нулевой вектор 0→ с координатами (0;0) и разложением 0→=0·i→+0·j→.

Равные и противоположные векторы

Векторыa→иb→равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, -a→=(-ax;-ay).

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i→,j→,k→, а произвольный вектор a→ раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a→=ax·i→+ay·j→+az·k→, а коэффициенты этого разложения (ax;ay;az) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i→=(1;0;0) ,   j→=(0;1;0),   k→=(0;0;1), координаты нулевого вектора также равны нулю 0→=(0;0;0) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равныa→=b→⇔ax=bx, ay=by, az=bz , и координаты противоположного вектора a→ противоположны соответствующим координатам вектора a→ , то есть,-a→=(-ax;-ay; -az) .

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат Oxy и на ней задана произвольная точка M с координатами M(xM;yM).

Вектор OM→ называется радиус-вектором точки M.

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор OM→ имеет вид суммы OM→=OMx→+OMy→=xM·i→+yM·j→, где точки Mx и My это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i→ и j→ — координатные векторы, следовательно, вектор OM→ имеет координаты (xM;yM) в данной системе координат.

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M(xM;yM;zM) разлагается по координатным векторам как OM→=OMx→+OMy→+OMz→=xM·i→+yM·j→+zM·k→, следовательно, OM→=(xM;yM;zM).

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Метод координат (ЕГЭ 2022) | YouClever

Я неслучайно расположил задачи в таком порядке. Пока ты еще не успел начать ориентироваться в методе координат, я сам разберу наиболее «проблемные» фигуры, а тебе предоставлю разобраться с простейшим кубом!

Постепенно тебе предстоит научиться работать со всеми фигурами, сложность задач я буду увеличивать от теме к теме.

Приступаем к решению задач:

1. Рисуем тетраэдр, помещаем его в систему координат так, как я предлагал ранее. Поскольку тетраэд правильный – то все его грани (включая основание) – правильные треугольники.

Поскольку нам не дана длина стороны, то я могу принять ее равной \( 1\). Я думаю, ты понимаешь, что угол на самом деле не будет зависеть от того, насколько наш тетраэдр будет «растянут»?

Также проведу в тетраэдре высоту и медиану \( \displaystyle BM\).

Попутно я нарисую его основание (оно нам тоже пригодится).

Мне нужно найти угол между \( \displaystyle DH\) и \( \displaystyle BM\). Что нам известно?

Нам известна только координата точки \( \displaystyle B\). Значит, надо найти еще координаты точек \( \displaystyle D,H,M\).

Теперь думаем: точка \( \displaystyle H\) – это точка пересечения высот (или биссектрисс или медиан) треугольника \( \displaystyle ABC\).

А точка \( \displaystyle D\) – это приподнятая точка \( \displaystyle H\).

Точка же \( \displaystyle M\) – это середина отрезка \( \displaystyle AD\).

Тогда окончательно нам надо найти: координаты точек: \( \displaystyle A,D,H,M\).

Начнем с самого простого: координаты точки \( \displaystyle A\).

Смотри на рисунок: Ясно, что аппликата точки \( \displaystyle A\) равна нулю (точка лежит на плоскости \( \displaystyle Oxy\)).

Её ордината равна \( \displaystyle 0,5\) (так как \( \displaystyle AK\) – медиана).

Сложнее найти ее абсциссу. Однако это легко делается на основании теоремы Пифагора: Рассмотрим треугольник \( \displaystyle BAS\). Его гипотенуза \( \displaystyle BA\) равна \( \displaystyle 1\), а один из катетов \( \displaystyle AS\) равен \( \displaystyle 0,5\)

Тогда:

Окончательно имеем: \( A\left( \frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2},0 \right)\).

Теперь найдем координаты точки \( \displaystyle H\).

Ясно, что ее аппликата опять равна нулю, а ее ордината такая же, как у точки \( \displaystyle A\), то есть \( 0,5\).

Найдем ее абсциссу. Это делается достаточно тривиально, если помнить, что высоты равностороннего треугольника точкой пересечения делятся в пропорции \( \displaystyle \mathbf{2}:\mathbf{1}\), считая от вершины. Так как: \( AK=BS=\frac{\sqrt{3}}{2}\), то искомая абсцисса точки, равная длине отрезка \( \displaystyle KH\), равна: \( KH=\frac{AK}{3}=\frac{\sqrt{3}}{6}\). Т

аким образом, координаты точки \( \displaystyle H\) равны:

Найдем координаты точки \( \displaystyle D\).

Ясно, что ее абсцисса и ордината совпадают с абсциссой и ординатой точки \( \displaystyle H\). А аппликата равна длине отрезка \( \displaystyle DH\). \( \displaystyle DH\) – это один из катетов треугольника \( \displaystyle DAH\).{2}}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{19}{36}}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{19}{54}}}=\frac{\sqrt{54}}{3\sqrt{19}}=\sqrt{\frac{6}{19}}\)

Таким образом, \( \varphi =arccos\sqrt{\frac{6}{19}}.\)

Ответ: \( \varphi =arccos\sqrt{\frac{6}{19}}.\)

Тебя не должны пугать такие «страшные» ответы: для задач С2 это обычная практика. Я бы скорее удивился «красивому» ответу в этой части. Также, как ты заметил, я практически не прибегал ни к чему, кроме как к теореме Пифагора и свойству высот равностороннего треугольника. То есть для решения стереометрической задачи я использовал самый минимум стереометрии. Выигрыш в этом частично «гасится» достаточно громоздкими вычислениями. Зато они достаточно алгоритмичны!

Презентация — Координаты векторов

Слайды и текст этой онлайн презентации

Слайд 1

КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ Подготовила: Крылова Алина Викторовна учитель математики МБОУ «Видновская СОШ №2» Московская область Ленинский район г. Видное 2019 год

Слайд 2

Повторение Дайте определение вектора. Какой вектор называется нулевым? Длина вектора. Чему равна длина нулевого вектора? Какие векторы называются коллинеарными? Дайте определение равных векторов. Что значит «Вектор отложен от данной точки? Сколько векторов равных данному можно отложить от данной точки?

Слайд 3

Повторение В чем заключается правило треугольника сложения двух векторов? В чем заключается правило параллелограмма сложения двух векторов? Какой вектор называется разностью двух векторов? Какой вектор называется противоположным данному? Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число ? Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.

Слайд 4

Устная работа

Слайд 5

Устная работа

Слайд 6

Координаты вектора Определение Единичные векторы – векторы, длины которых равны единице. Векторы i и j называются координатными векторами.

Слайд 7

Обозначение

Слайд 8

Обозначение Координаты вектора указываются в фигурных скобках после обозначения вектора

Слайд 9

Определить координаты векторов

Слайд 10

Определить координаты векторов и построить их

Слайд 11

Разложите вектор по координатным векторам

Слайд 12

Свойства координатных векторов

Слайд 13

Координаты вектора Каждая координата суммы двух векторов или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Слайд 14

Координаты вектора Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов .

Слайд 15

Координаты вектора Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты на это число.

Слайд 16

Слайд 17

Математический диктант Запишите разложение по координатным векторам вектора ? 2; 1 . Выпишите координаты вектора с , если с ? 2? . Найдите координаты вектора ? , равного разности векторов ? и ? , если ? 5;0 , ? 0; 4 . Найдите координаты вектора 3? , если ? 4; 2 . Найдите координаты вектора ? ? 4? , если ? 3; 2 , ? 2; 3 . Постройте вектор ? 3;1 с началом в точке О.

Слайд 18

Домашнее задание п.87; вопросы 1 – 3 (стр.224) № 921(в, г), № 922(в, г) , № 923(в, г), №924(в, г), №926

Слайд 19

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!

Что такое орт вектора

6. Орт вектора.

Ортом данного вектора называется вектор, который направлен одинаково с данным вектором и имеет модуль, равный единице.

Орт вектора а обозначается Следовательно,

Очевидно, что равные векторы имеют равные орты.

© 2020 Научная библиотека

Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт

Энциклопедический словарь . 2009 .

Смотреть что такое «ОРТ (единичный вектор)» в других словарях:

Единичный вектор — или орт (единичный вектор нормированного векторного пространства) вектор, норма (длина) которого равна единице. Единичный вектор … Википедия

ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР — (орт) вектор, длина которого равна единице выбранного масштаба … Большой Энциклопедический словарь

единичный вектор — (орт), вектор, длина которого равна единице выбранного масштаба. * * * ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР (орт), вектор, длина которого равна единице выбранного масштаба … Энциклопедический словарь

Единичный вектор — орт, вектор, длина которого равна единице выбранного масштаба. Любой вектор а может быть получен из некоторого коллинеарного ему Е. в. е умножением на число (скаляр) λ, т. е. а = λе. См. также Векторное исчисление … Большая советская энциклопедия

ЕДИНИЧНЫЙ ВЕКТОР — (орт), вектор, длина к рого равна единице выбранного масштаба … Естествознание. Энциклопедический словарь

Орт — Орт: В Викисловаре есть статья «орт» Орф, или Орт двуглавый пёс, порождение Тифона и Ехидны, брат Цербера. Орт … Википедия

орт — а; м. [нем. Ort] 1. Горн. Горизонтальная подземная горная выработка, не имеющая непосредственного выхода на поверхность. 2. Матем. Вектор, длина которого равна единице. * * * орт I (от греч. orthós прямой), то же, что единичный вектор. II (нем.… … Энциклопедический словарь

ОРТ — (от греч. orthos прямой) то же, что единичный вектор … Большой Энциклопедический словарь

Орт (матем.) — Орт (от греч. orthós прямой) (матем.), то же, что единичный вектор … Большая советская энциклопедия

ОРТ — единичный вектор, вектор, длина к рого равна единице выбранного масштаба … Математическая энциклопедия

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается O x y , где O x и O y – оси коорднат. Ось O x называют осью абсцисс, а ось O y – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось O z , которая перпендикулярна и O x и O y ).

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат O x y на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i → и j → , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей O x и O y , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i → и j → являются координатными векторами.

Координатные векторы

Векторы i → и j → называются координатными векторами для заданной системы координат.

Откладываем от начала координат произвольный вектор a → . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a → может быть представлен в виде a → = a x · i → + a y · j → , где коэффициенты a x и a y — единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Разложение вектора

Разложением вектора a → по координатным векторам i → и j → на плоскости называется представление вида a → = a x · i → + a y · j → .

Коэффициенты a x и a y называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a → = ( 2 ; — 3 ) означает, что вектор a → имеет координаты ( 2 ; — 3 ) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i → и j → как a → = 2 · i → — 3 · j → .

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i → и j → имеют координаты ( 1 ; 0 ) и ( 0 ; 1 ) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i → = 1 · i → + 0 · j → ; j → = 0 · i → + 1 · j → .

Также имеет место быть нулевой вектор 0 → с координатами ( 0 ; 0 ) и разложением 0 → = 0 · i → + 0 · j → .

Равные и противоположные векторы

Векторы a → и b → равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, — a → = ( — a x ; — a y ) .

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i → , j → , k → , а произвольный вектор a → раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a → = a x · i → + a y · j → + a z · k → , а коэффициенты этого разложения ( a x ; a y ; a z ) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i → = ( 1 ; 0 ; 0 ) , j → = ( 0 ; 1 ; 0 ) , k → = ( 0 ; 0 ; 1 ) , координаты нулевого вектора также равны нулю 0 → = ( 0 ; 0 ; 0 ) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равны a → = b → ⇔ a x = b x , a y = b y , a z = b z , и координаты противоположного вектора a → противоположны соответствующим координатам вектора a → , то есть, — a → = ( — a x ; — a y ; — a z ) .

Координаты радиус-вектора точки

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат O x y и на ней задана произвольная точка M с координатами M ( x M ; y M ) .

Вектор O M → называется радиус-вектором точки M .

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор O M → имеет вид суммы O M → = O M x → + O M y → = x M · i → + y M · j → , где точки M x и M y это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i → и j → — координатные векторы, следовательно, вектор O M → имеет координаты ( x M ; y M ) в данной системе координат.

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M ( x M ; y M ; z M ) разлагается по координатным векторам как O M → = O M x → + O M y → + O M z → = x M · i → + y M · j → + z M · k → , следовательно, O M → = ( x M ; y M ; z M ) .

Координаты точки и координаты вектора. Как найти координаты вектора

Прямоугольная система координат

Чтобы определить понятие координат точек, нам необходимо ввести систему координат, в которой мы и будем определять ее координаты. Одна и та же точка в разных системах координат может иметь различные координаты. Здесь мы будем рассматривать прямоугольную систему координат в пространстве.

Возьмем в пространстве точку $O$ и введем для нее координаты $(0,0,0)$. Назовем ее началом системы координат. Проведем через нее три взаимно перпендикулярные оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$, как на рисунке 1. Эти оси будут называться осями абсцисс, ординат и аппликат, соответственно. Осталось только ввести масштаб на осях (единичный отрезок) – прямоугольная система координат в пространстве готова (рис. 1)

Рисунок 1. Прямоугольная система координат в пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Помощь со студенческой работой на тему

Координаты точки

Теперь разберем, как определяют в такой системе координаты любой точки. Возьмем произвольную точку $M$ (рис. 2).

Рисунок 2. Произвольная точка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Построим на координатных осях прямоугольный параллелепипед, так, что точки $O$ и $M$ противоположные его вершины (рис. 3).

Рисунок 3. Построение прямоугольного параллелепипеда. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Тогда точка $M$ будет иметь координаты $(X,Y,Z)$, где $X$ – значение на числовой оси $Ox$, $Y$ – значение на числовой оси $Oy$, а $Z$ – значение на числовой оси $Oz$.

Пример 1

Необходимо найти решение следующей задачи: написать координаты вершин параллелепипеда, изображенного на рисунке 4.

Рисунок 4. Параллелепипед. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение.

Точка $O$ начало координат, следовательно, $O=(0,0,0)$.

Точки $Q$, $N$ и $R$ лежат на осях $Ox$, $Oz$ и $Oy$, соответственно, значит

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$

Точки $S$, $L$ и $M$ лежат в плоскостях $Oxz$, $Oxy$ и $Oyz$, соответственно, значит

$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$

Точка $P$ имеет координаты $P=(2,2.5,1.5)$

Координаты вектора по двум точкам и формула нахождения

Чтобы узнать, как найти вектор по координатам двух точек, необходимо рассмотреть введенную нами ранее систему координат. В ней от точки $O$ по направлению оси $Ox$ отложим единичный вектор $\overline{i}$, по направлению оси $Oy$ — единичный вектор $\overline{j}$, а единичный вектор $\overline{k}$ нужно направлять по оси $Oz$.

Для того чтобы ввести понятие координат вектора, введем следующую теорему (здесь ее доказательство мы рассматривать не будем).

Теорема 1

Произвольный вектор в пространстве может быть разложен по трем любым векторам, которые не лежат в одной плоскости, причем коэффициенты в таком разложении будут единственным образом определены.

Математически это выглядит следующим образом:

$\overline{δ}=m\overline{α}+n\overline{β}+l\overline{γ}$

Так как векторы $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ построены на координатных осях прямоугольной системы координат, то они, очевидно, не будут принадлежать одной плоскости. Значит любой вектор $\overline{δ}$ в этой системе координат, по теореме 1, может принимать следующий вид

$\overline{δ}=m\overline{i}+n\overline{j}+l\overline{k}$ (1)

где $n,m,l∈R$.

Определение 1

Три вектора $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ будут называться координатными векторами.

Определение 2

Коэффициенты перед векторами $\overline{i}$, $\overline{j}$ и $\overline{k}$ в разложении (1) будут называться координатами этого вектора в заданной нами системе координат, то есть

$\overline{δ}=(m,n,l)$

Линейные операции над векторами

Теорема 2

Теорема о сумме: Координаты суммы любого числа векторов определяются суммой их соответствующих координат.

Доказательство.

Будем доказывать эту теорему для 2-х векторов. Для 3-х и более векторов доказательство строится аналогичным образом. Пусть $\overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline{β}=(β_1,β_2 ,β_3)$.

Эти вектора можно записать следующим образом

$\overline{α}=α_1\overline{i}+ α_2\overline{j}+α_3\overline{k}$, $\overline{β}=β_1\overline{i}+ β_2\overline{j}+β_3\overline{k}$

$\overline{α}+\overline{β}=α_1\overline{i}+α_2\overline{j}+α_3\overline{k}+β_1\overline{i}+ β_2\overline{j}+β_3\overline{k}=(α_1+β_1 )\overline{i}+(α_2+β_2 )\overline{j}+(α_3+β_3)\overline{k}$

Следовательно

$\overline{α}+\overline{β}=(α_1+β_1,α_2+β_2,α_3+β_3)$

Теорема доказана.

Замечание 1

Замечание: Аналогично, находится решение разности нескольких векторов.

Теорема 3

Теорема о произведении на число: Координаты произведения произвольного вектора на действительное число определяется произведением координат на это число.

Доказательство.

Возьмем $\overline{α}=(α_1,α_2,α_3)$, тогда $\overline{α}=α_1\overline{i}+α_2\overline{j}+α_3\overline{k}$, а

$l\overline{α}=l(α_1\overline{i}+ α_2\overline{j}+α_3\overline{k})=lα_1\overline{i}+ lα_2\overline{j}+lα_3\overline{k}$

Значит

$k\overline{α}=(lα_1,lα_2,lα_3)$

Теорема доказана.

Пример 2

Пусть $\overline{α}=(3,0,4)$, $\overline{β}=(2,-1,1)$. Найти $\overline{α}+\overline{β}$, $\overline{α}-\overline{β}$ и $3\overline{α}$.

Решение.

$\overline{α}+\overline{β}=(3+2,0+(-1),4+1)=(5,-1,5)$

$\overline{α}-\overline{β}=(3-2,0-(-1),4-1)=(1,1,3)$

$3\overline{α}=(3\cdot 3,3\cdot 0,3\cdot 4)=(9,0,12)$

— обзор

Замечание 1.5.2

Обратите внимание, что процедура определения порога является нелинейной операцией: индексы ( j , k ) сохраненных коэффициентов зависят от функции, которую нужно аппроксимировать. В частности, это означает, что для описания такого адаптивного приближения необходимо хранить как значения сохраненных коэффициентов, так и их индексы. Другой естественный способ определения таких нелинейных приближений — это задание количества сохраняемых коэффициентов, а не порога, т.е.е. определите f _N как приближение к вышеупомянутому f, сохраняя его N наибольших вейвлет-коэффициентов. Затем разреженность многомасштабного представления можно измерить по убыванию ‖fN − f‖L2 , когда N переходит к + ∞, то есть супремум всех s таких, что

(1.5.1) ‖fN− f‖L2≤CN − s.

В частном случае вышеприведенного примера можно легко получить из оценок | d _{j, k} | видно, что эта ошибка затухает как N ⁻¹ или N ⁻² при использовании соответственно системы Хаара или базиса Шаудера.Общие результаты по нелинейным приближениям будут представлены в Глава 4 . В частности, эти результаты будут означать, что (1.5.1) выполняется с произвольно большим s для приведенного выше примера, при условии, что используется вейвлет-базис достаточно высокой точности. Это контрастирует с линейной аппроксимацией, которая определяет f _N , сохраняя N первых коэффициентов f, то есть f _N : = P _j f, когда N = 2 ^j . В этом случае по существу невозможно улучшить скорость N ⁻¹ в приведенном выше примере, даже при использовании вейвлетов высокого порядка, из-за наличия сингулярностей (для базиса Шаудера «сверхсходимость» явление все еще имеет место в нашем примере, поскольку сингулярности расположены в точках грубой сетки, что приводит к искусственно более высокой скорости N ⁻² log ( N ) ). Это также контрастирует с нелинейным приближением в других базисах, таких как ряд Фурье: коэффициенты Фурье c _N ( f ) в приведенном выше примере не являются разреженными в том смысле, что они ведут себя как O (| N | −3/2) для всех N.В свою очередь, ошибки линейного и нелинейного приближения L ² — ведут себя как N ⁻¹ .

Теперь мы проиллюстрируем свойства сжатия многомасштабных разложений в случае двумерных функций, связанных с математическим представлением изображений . Цифровое черно-белое изображение представляет собой двумерный массив I ( m , n ), измеряющий интенсивность уровня серого в каждой точке (или «пиксель»: элемент изображения) ( m , n ).В качестве примера на рисунке 1.5.5 показано изображение размером 512 × 512, каждый пиксель квантован по 8 битам, то есть 256 возможных уровней серого (0 для черного, 255 для белого). Многомасштабное разложение тензорного произведения, которое обобщает систему Хаара для функций двух переменных, специально адаптировано для представления таких изображений: мы можем идентифицировать цифровое изображение на рисунке 1.5.5 с функцией в V ₉ и перейти к многомасштабная декомпозиция с использованием сепарабельного алгоритма, описанного в § 1.4.

Рисунок 1.5.5. Оцифрованное изображение: 512 × 512 пикселей и 256 уровней серого

Мы отображаем организацию декомпозиции на четырех уровнях на рисунке 1.5.6: коэффициенты самого грубого приближения (в V ₅ ) отображаются в верхнем левом углу , в то время как остальная часть массива содержит вейвлет-коэффициенты с промежуточным разрешением.

Рисунок 1.5.6. Многомасштабная декомпозиция тензорного произведения

В рамках обработки изображений иногда нормализует базисные функции в L ¹ вместо L ² : ϕ _{j, k} ( x , y ) = 2 ^{2 j} ϕ (2 ^j x — k _x , 2 ^j y — k _y ), для k = ( k _x , k _y ), и аналогично для ψ .Эта нормализация позволяет нам визуализировать многомасштабную декомпозицию нашего изображения как другого изображения: коэффициенты аппроксимации — это в точности средние значения изображения на квадратах пикселей и, следовательно, также находятся в диапазоне от 0 до 255, а также абсолютные значения вейвлет-коэффициентов. Мы отображаем это изображение разложения на рис. 1.5.7: коэффициенты самого грубого приближения появляются как упрощенная версия изображения. Остальная часть массива содержит абсолютные значения вейвлет-коэффициентов: как и ожидалось, в основном она разреженная, за исключением краев.Как было отмечено о разложении тензорного произведения (замечание 1.4.1), вертикальные и горизонтальные ребра сопоставляются с помощью определенного вейвлета.

Рисунок 1.5.7. Мультимасштабное разложение изображения

На рисунке 1.5.8 мы реконструировали изображение с 2000 наибольшими коэффициентами (после перенормировки в L ² ), то есть с уменьшением параметра выше 100.

Рисунок 1.5.8. Реконструкция из 2000 наибольших коэффициентов

Очевидно, что система Хаара не очень хорошо приспособлена для задачи представления изображений с несколькими коэффициентами: появляются визуальные артефакты, отражающие квадратные разрывы производящих функций.Однако мы снова наблюдаем, что стратегия пороговой обработки генерирует адаптивную аппроксимацию изображения в том смысле, что уровень разрешения увеличивается по краям.

Наконец, мы хотим показать, что многомасштабная декомпозиция также может применяться для «сжатия» операторов в интегральных уравнениях. Такие уравнения возникают во многих контекстах, либо как прямое моделирование физического процесса, либо как альтернативные формулировки дифференциальных уравнений в частных производных. Они включают применение или обращение интегрального оператора T , определенного формулой типа

(1.5.2) Tf (x) = ∫K (x, y) f (y) dy,

, где ядро ​​ K ( x , y ) — это функция, которая поддерживается во всех диапазонах x . и и . Распределенный характер K ( x , y ) имеет следующие непосредственные последствия: обычная дискретизация T — на основе методов конечных элементов или прямой выборки K ( x , y ). ) — в результате получаются полностью заполненные матрицы, которые сложно хранить, применять или инвертировать.

Чтобы понять, как многомасштабная декомпозиция может «разрежить» представление T , давайте рассмотрим простой случай, когда x и y находятся в диапазоне I = [0, 1]. Обозначим через V _J , J ≥ 0, пространство кусочно-постоянных функций, определенных в §1.2 и адаптированных к I , и φ _{J, k} , k = 0, ⋯ , 2 ^J — 1, его ортонормированный базис.Затем мы определяем дискретизацию T на V _j как матрицу

(1.5.3) TJ = (〈TφJ, m, φJ, n〉) m, n = 0, ⋯, 2J − 1 .

Эта матрица естественно появляется в двух разных ситуациях.

1.

Приблизительное действие T на функцию: при f , найти приближение g _J дюйм V _J из g = ТФ . Для этого мы можем начать с аппроксимации f на f _J ∈ V _J , а затем определить g _J = P _J Tf _J , где P _J — ортогональная проекция.Затем вычисление вектора координат G _J из g _J (в базисе φ _{J, k} ) выполняется путем применения T _J к вектору координат F _J из f _J .

2.

Приблизительное действие T ⁻¹ на функцию: при f , найти приближение g _J ∈ V _J из g раствор Tg = f .Метод Галеркина заключается в поиске г _J ∈ V _J таких, что 〈TgJ, uJ〉 = 〈f, uJ〉 для всех u _J ∈ V _J , т. Е. решение T _J G _J = F _J , где F _J — вектор координат f _J = P _J f и G _J вектор координат неизвестного g _J .

Корректность системы во второй задаче, а также оценки ошибок, которые могут быть получены в некоторой предписанной норме для обеих задач, конечно, зависят от специфики оператора T и данные ф .

Поскольку матричные элементы T _J имеют вид

(1.5.4) TJ (m, n) = 〈TφJ, m, φJ, n〉 = ∫K (x, y) φJ, m (x) φJ, n (y) dxdy,

ясно, что распределенная природа K ( x , y ) приведет к полной матрице.Например, если у нас есть равномерная граница | K ( x , y ) | ≤ C , мы уверены, что (1.5.2) определяет ограниченный оператор в L ² ( I ), и что операторы T _J ограничены независимо от J . Мы также получаем из (1.5.4) оценку | TJ (m, n) | <˜2 − J, но эта оценка априори не позволяет аппроксимировать T _J по операторной норме разреженной матрицей .

Если теперь использовать многомасштабную основу, то есть φ _{j 0 , k} , k = 0, ⋯ 2 ^{j ₀} — 1, и ψ _{j, k} , j ₀ ≤ j < J , k = 0, ⋯, 2 ^j — 1, чтобы переформулировать обе задачи, получаем новую матрицу S _J , элементы которого обычно имеют вид

(1.5.5) SJ (j, l, m, n) = 〈Tψj, m, ψl, n〉 = ∫K (x, y) ψj, m (x) ψl, n (y) dxdy,

для j ₀ < j , л < J — 1, м = 0, ⋯, 2 ^j — 1, n = 0, ⋯, 2 ^l — 1 (с аналогичными выражениями для тех элементов, которые включают базисные функции φ _{j 0 , k} ). Из (1.5.5) видно, что S _J просто получается путем применения к T _J вейвлет-разложения «полного тензорного произведения», которое было описано в Замечании 1.4.3: дискретизированное ядро ​​«обрабатывается» как цифровое изображение. Структура результирующей матрицы представлена ​​на рисунке 1.5.9 в случае, когда J = 4 и j ₀ = 1.

Рисунок 1.5.9. Мультимасштабная дискретизация ядра

Таким образом, мы можем надеяться получить некоторую разреженность, когда ядро ​​будет иметь некоторые свойства гладкости. В частности, если K ( x , y ) равно C ¹ на опоре ψj, m (x) ψl, n (y), мы можем использовать тот же метод, что и в Замечании 1 .5.1, чтобы получить оценку

(1.5.6) | SJ (j, l, m, n) | ≤ [supIj, m × Il, n | ∇K |] 2−2max {j, l},

что, в отличие от грубой оценки, которая у нас была для T _J , может позволить нам отбросить многие коэффициенты, сохранив хорошее приближение к S _J .

В качестве примера рассмотрим оператор однослойного логарифмического потенциала, который связывает плотность электрического заряда на бесконечном цилиндре единичного радиуса {(z, ei2πx), z∈ℝ, x∈ [0,1]} с индуцированным потенциал на одном цилиндре, когда обе функции не зависят от переменной z .Ассоциированное ядро ​​

(1.5.6) K (x, y) = log | ei2πx − ei2πy |.

является единичным по диагонали { x = y }, но интегрируемым.

Начиная с дискретизации T ₉ в V ₉ , мы вычисляем многомасштабную матрицу S˜9 и определяем разреженную матрицу S ₉ , обнуляя все элементы S ₉ с модулем менее 10 ⁻² × 2 ⁻⁹ . Мы отображаем на рисунке 1.5.10 расположение сохраненных коэффициентов: на каждом подблоке S ₉ , что соответствует паре шкалы ( j , l ), неудивительно, что мы находим важные коэффициенты около диагонали, поскольку он соответствует особой части ядра.

Рисунок 1.5.10. Разрезание ядра логарифмического потенциала

Это приближение S ₉ содержит примерно 30000 ненулевых записей, то есть коэффициент сжатия около 10.Чтобы оценить ее точность, мы можем использовать следующую простую версию леммы Шура для матриц (общую версию см. В главе 4, лемма 4.6.1)

(1.5.8) ‖A‖2≤ [supj∑i | Ai, j |] [supi∑j | Ai, j |],

, что дает оценку ошибки в операторной норме

(1.5.9) ‖S9 − S˜9‖≤10−2.

Базы как системы координат

Цели

1. Научитесь рассматривать базис как систему координат в подпространстве.
2. Рецепты: вычисляет B-координаты вектора, вычисляет обычные координаты вектора из его B-координат.
3. Рисунок: B-координаты вектора с использованием его положения на нестандартной координатной сетке.
4. Словарь: Координаты B .

В этом разделе мы интерпретируем базис подпространства V как систему координат на V, и мы узнаем, как записать вектор в V в этой системе координат.

Факт

Если B = {v1, v2, …, vm} является базисом для подпространства V, то любой вектор x в V может быть записан как линейная комбинация

x = c1v1 + c2v2 + ··· + cmvm

ровно в одну сторону.

Напомним, что сказать, что B является базисом , для V означает, что B охватывает V, а B линейно независима. Поскольку B охватывает V, мы можем записать любой x в V как линейную комбинацию v1, v2, …, vm. Для уникальности предположим, что у нас есть два таких выражения:

x = c1v1 + c2v2 + ··· + cmvmx = cA1v1 + cA2v2 + ··· + cAmvm.

Вычитание первого уравнения из второго дает

0 = x − x = (c1 − cA1) v1 + (c2 − cA2) v2 + ··· + (cm − cAm) vm.

Поскольку B линейно независим, единственным решением вышеуказанного уравнения является тривиальное решение: все коэффициенты должны быть равны нулю.Отсюда следует, что ci − cAi для всех i, что доказывает, что c1 = cA1, c2 = cA2, …, cm = cAm.

Пример

Рассмотрим стандартную основу R3 из этого примера в разделе 2.7:

e1 = E100F, e2 = E010F, e3 = E001F.

Согласно вышеуказанному факту, каждый вектор в R3 может быть записан как линейная комбинация e1, e2, e3 с уникальными коэффициентами. Например,

v = E35−2F = 3E100F + 5E010F − 2E001F = 3e1 + 5e2−2e3.

В данном случае координаты v в точности совпадают с коэффициентами при e1, e2, e3.

А что такое координаты? Один из способов думать о координатах — это то, что они указывают, как добраться до определенной точки из начала координат. В приведенном выше примере линейную комбинацию 3e1 + 5e2−2e3 можно представить себе как следующий список инструкций: начать с начала координат, проехать 3 единицы на север, затем проехать 5 единиц на восток, затем на 2 единицы вниз.

Определение

Пусть B = {v1, v2, …, vm} — базис подпространства V, и пусть

x = c1v1 + c2v2 + ··· + cmvm

— вектор в V.Коэффициенты c1, c2, …, cm представляют собой координаты x относительно B . Вектор координаты B x — это вектор

[x] B = GKKIc1c2 … cmHLLJinRm.

Если мы изменим основу, то мы все равно сможем дать инструкции, как добраться до точки (3,5, −2), но инструкции будут другими. Скажем для примера берем основу

v1 = e1 + e2 = E110F, v2 = e2 = E010F, v3 = e3 = E001F.

Мы можем записать (3,5, −2) в этом базисе как 3v1 + 2v2−2v3. Другими словами: начните с начала координат, пройдите 3 раза на северо-восток до точки v1, затем на 2 единицы на восток, затем на 2 единицы вниз.В этой ситуации мы можем сказать, что «3 — это координата v1 отрезка (3,5, −2), 2 — координата v2 отрезка (3,5, −2), а −2 — координата v3 отрезка (3,5, −2). ”

Приведенное выше определение дает способ использования Rm для обозначения точек подпространства размерности m: точка просто помечается ее вектором B-координат. Например, если мы выберем основу для плоскости, мы можем пометить точки этой плоскости точками R2.

Пример

Пусть

v1 = E2−11Fv2 = E10−1F.

Они образуют базис B для плоскости V = Span {v1, v2} в R3. Мы указываем систему координат, определяемую буквой B, путем рисования линий, параллельных «оси v1» и «оси v2»:

Из рисунка видно, что v1-координата u1 равна 1, как и v2-координата, поэтому [u1] B = A11B. Аналогично имеем

Рецепты: координаты B

Если B = {v1, v2, …, vm} является базисом для подпространства V и x находится в V, то

[x] B = GKKIc1c2 … cmHLLJmeansx = c1v1 + c2v2 + ··· + cmvm.

Нахождение B-координаты x означает решение векторного уравнения

x = c1v1 + c2v2 + ··· + cmvm

в неизвестных c1, c2, …, cm. Обычно это означает сокращение строки расширенной матрицы

координат и векторов в космосе

Координаты и векторы в космической геометрии

Координатная геометрия даже более полезна в космосе, чем на плоскости, поскольку она Рисовать фигуры в 3D для точной визуализации намного сложнее.

Замечание:

Векторы будут записаны в виде строк или столбцов, если выполняются только векторные операции. обеспокоены. Если в картинку попадают матрицы, то есть разница между векторы-строки (матрицы-строки) и векторы-столбцы (матрицы-столбцы).

• Как правило, для нулевого вектора пишут O или иногда 0.
• В 2-пробел часто пишут O или 0 для (0, 0), I или i для (1, 0) и J или j для (0, 1).
• В 3-пробел один из них записывает O или 0 для (0, 0, 0), I или i для (1, 0, 0) и J или j для (0, 1, 0), K или k для (0, 0, 1).
• В n-пространстве , даже когда n = 1, 2 или 3, записываются векторы e ₁ , …, e _n , где ek — вектор в n-мерном пространстве со всеми элементами = 0 кроме 1 в записи k.

Сложение векторов и скалярное умножение

В этих примечаниях предполагается, что механика и базовая геометрия вектора сложение и умножение вектора на скаляр (т.е., действительное число) являются понял.

Центры масс и параметризации линий и Самолеты

Линии и плоскости могут быть описаны в координатной геометрии с помощью параметризации. Эта тема изучалась в Math 444. Предоставляется обзор и несколько упражнений. по ссылке выше.

Уравнения прямых и плоскостей

Линии и плоскости также являются наборами решений линейных уравнений. Эта секция вводит тему.

Основы точечного продукта

Основные факты о скалярном произведении здесь, определение, алгебраические свойства, взаимосвязь с косинусом и тест скалярного произведения для ортогональных векторов.

Крест Основные сведения о продукте

Этот сайт в Texas A&M определяет кросс-продукт и показывает некоторые основные свойства. Вот еще одна отсылка к MathWorld.

Нормальные векторы к плоскостям и линиям

Уравнение плоскости в пространстве или прямой на плоскости имеет векторную форму, А ^. X = к. Вектор A — нормальный вектор на плоскость (или линию). Вектор нормали можно разделить на его длину сделать агрегат нормальным. Перекрестное произведение можно использовать для поиска векторов нормалей.

Приложения векторных методов к сферической геометрии

Все векторные инструменты для работы с уравнениями плоскостей, нормалей, а также информацию об углах из точечных и перекрестных произведений, можно использовать для ответить на многие вопросы по сфере.

Приложения к компьютерной графике и компьютерным играм

Вот один из многих примеров: объяснение удаления скрытых поверхностей Джеффом Уиксом.

векторов в трехмерных системах координат — MATLAB и Simulink — MathWorks Italia

Векторы в трехмерной системе координат

Векторы представляют такие величины, как скорость и ускорение. Функции Mapping Toolbox ™ преобразуют векторные компоненты между фиксированными по центру Земли (ECEF) и системы восток-север-вверх (ENU) или северо-восток-вниз (NED).Для получения дополнительной информации о ECEF, Системы координат ENU и NED см. В разделе Выбор трехмерной системы координат.

В отличие от координат, измеряющих положение, компоненты вектора в декартовой системе не зависят от положения в пространстве. Следовательно, когда вы преобразуете вектор из одной системы в другой, изменяются только компоненты вектора. Величина вектора остается неизменной. одно и тоже.

Например, это изображение показывает двумерное векторное преобразование из x — y системы в u — v система.Вектор имеет компоненты x = 2 и y = 1 в x — y система и компоненты u = 1,30 и v = 1,82 в диапазоне u — v система. Компоненты вектора разные, но в каждой системе величина вектор составляет 2,24 единицы.

На этом изображении показано преобразование координат из глобальной системы ECEF в локальную ENU. система с использованием ecef2enu .Векторы позиции начинаются в начале координат каждой системы и заканчивается в точке P . Следовательно, преобразование меняет величина вектора положения.

На этом изображении показано векторное преобразование из глобальной системы ECEF в локальную систему ENU. используя ecef2enuv . Вектор r не зависит от позиции. Следовательно, преобразование изменяет компоненты вектора, но величина вектора такая же.

Советы

В отличие от функций преобразования координат, таких как ecef2enu , функции преобразования векторов, такие как ecef2enuv , не требуют указания эталонного сфероида или эллипсоидальная высота местного начала.