ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² стСпСни ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ: Бвойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ (Π•Π“Π­ 2022) | YouClever

{n}=\underbrace{b*b*b*…*b}_{n \; Ρ€Π°Π·}=a. $$

Число \(n\) ΠΏΡ€ΠΈ этом Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ корня.

Если \(n=2\), Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Π²Π°ΠΌΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 2-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Если \(n=3\), Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 3-ΠΉ стСпСни ΠΈ Ρ‚.Π΄.

ΠžΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡ извлСчСния корня n-ΠΉ стСпСни являСтся ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΊ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ возвСдСния Π² n-ю ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1 $$ \sqrt[3]{27}=3 $$

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа 27 равняСтся 3. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ссли число 3 возвСсти Π² 3-ю ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ 27.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2 $$ \sqrt[4]{16}=2 $$

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 4-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· 16-ΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2. Π”Π²ΠΎΠΉΠΊΠ° Π² 4-ΠΉ стСпСни Ρ€Π°Π²Π½Π° 16.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3 $$ \sqrt[3]{0}=0 $$

Если ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· 0, всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 0.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4 $$ \sqrt[3]{19}= ? $$

ΠœΡ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π² ΡƒΠΌΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² 3-ю ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ даст 19. Если ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ \(2,668…\) – ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число с бСсконСчным количСством Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² послС запятой.

ΠžΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ вас получаСтся ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ \(\sqrt[3]{19}\).

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли ΠΏΠΎΠ΄ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ Π½Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π’ этом случаС Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ справа ΠΈ слСва Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ блиТайшиС числа, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ:

$$ \sqrt[3]{8} \le \sqrt[3]{19} \le \sqrt[3]{27} $$ $$ 2 \le \sqrt[3]{19} \le 3 $$

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наш ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ числами 2 ΠΈ 3.


Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни

Надо Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ стСпСнями. Π”Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Из ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни Π½Π΅ сущСствуСт.

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл. Иногда Π² школьной ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ задания, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… трСбуСтся ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ смысл Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5 $$ \sqrt[3]{-27}=-3 $$

Π”Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· любого числа, Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ.


ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6 $$ \sqrt[4]{-27} $$

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни, Π° ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ стоит ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысла.k} $$

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ? Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ арифмСтичСского ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ясности Π½Π΅ добавляСт, Π½ΠΎ Π·Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ стоит:

АрифмСтичСским ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа a называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ a.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»:
√a = x
x2 = a
x β‰₯ 0
a β‰₯ 0

Из опрСдСлСния слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ a Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом. Π’ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ стоит ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ β€” ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ½Π°Ρ‡Π΅, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· √-16

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 4, Π½ΠΎ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ: 4*4 = 16 β€” Π½Π΅ сходится.

Если β€” 4, Ρ‚ΠΎ -4 * -4 = 16, (минус Π½Π° минус всСгда Π΄Π°Π΅Ρ‚ плюс).

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ число Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

Числа, стоящиС ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· опрСдСлСния, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ вопросы, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ x2 = 16, x = 4 ΠΈ x = -4.

Π Π°Π·Π½ΠΈΡ†Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈ арифмСтичСским ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ эти Π΄Π²Π° понятия, Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅:

  • x2 = 16 Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ  x = √16.

Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° нСтоТдСствСнных Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ выраТСния.

  • x2 = 16 β€” это ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.
  • x = √ 16 β€” арифмСтичСский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Из выраТСния x2 = 16 слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

  • |x| = √16, это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x = ±√16 = Β±4, x1 = 4, x2 = -4.

Если Π΄Π²Π΅ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠ°Π»ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²ΠΎΠ·Π»Π΅ x вводят вас Π² Π·Π°ΠΌΠ΅ΡˆΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ, ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΡˆΡƒ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡŽ ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ числа.

Π’ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС врСмя, ΠΈΠ· выраТСния x = √16 слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x = 4.

Если ситуация всС Π΅Ρ‰Π΅ каТСтся Π·Π°ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ, просто Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ. Если Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ «минус» β€” Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°:

 
  1. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ Π½Π΅Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ

  2. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Если Π²Ρ‹ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹, вас ΠΆΠ΄Π΅Ρ‚ Β«ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉΒ» Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΡΡΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Π”Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° выраТСния: 

 
  1. x2 = 36

  2. x = √36

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β€” ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. 

|x| = √36
x1 = +6
x2 = -6.

Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ β€” арифмСтичСский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. 

√36 = 6
x = 6.

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния стали Π΄Π²Π° числа β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. А Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС β€” Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅.

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня

Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число β€” это число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ нСльзя ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ.

Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго, ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², стСпСнСй ΠΈ Ρ‚.Π΄.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл:

√2 = 1,414213…;

Ο€ = 3,141592…;

e = 2,718281…. .

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ запись ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π²Π²Π΅Π»ΠΈ понятиС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² Π΄Π΅Π»Π΅.

Π”Π°Π½ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅: x2 = 2.

Π‘Ρ€Π°Π·Ρƒ сталкиваСмся с ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠΎΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚. 

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ числа, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ΄ΠΎΡΡ‚ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² этом:

1 * 1 = 1,
2 * 2 = 4,
3 * 3 = 9.

ΠžΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π΄Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚. Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа.

РСшСниС ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅:
Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

y = x2.
ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅: -√2; √2.


Если ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 2 с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ: √2 = 1,414213… .

Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π½Π΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ β€” Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.
x2 = 2.
x = √2
x = -√2. 

Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

Π Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅, Ссли Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ большС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² чисСл. Для этого Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ β€” сохранитС Π΅Π΅ сСбС ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΊ.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²


Π’ΠΎΡ‚ нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² извлСчСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ:

  • 1. Π˜Π·Π²Π»Π΅ΠΊΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ: √289

Π˜Ρ‰Π΅ΠΌ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ число 289, двигаСмся ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π³ΠΎ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΈ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρ‹, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΌ число.

Π’Π»Π΅Π²ΠΎ β€” 1, Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… β€” 7.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: √289 = 17.

  • 2. Π˜Π·Π²Π»Π΅ΠΊΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ: √3025

Π˜Ρ‰Π΅ΠΌ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ число 3025.
Π’Π»Π΅Π²ΠΎ β€” 5, Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… β€”  5.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: √3025 = 55.

  • 3. Π˜Π·Π²Π»Π΅ΠΊΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ: √7396

Π˜Ρ‰Π΅ΠΌ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ число 7396.

Π’Π»Π΅Π²ΠΎ β€” 8, Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… β€” 6.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: √7396 = 86.

  • 4. Π˜Π·Π²Π»Π΅ΠΊΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ: √9025

Π˜Ρ‰Π΅ΠΌ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ число 9025.

Π’Π»Π΅Π²ΠΎ β€” 9, Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… β€” 5.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: √9025 = 95.

  • 5. Π˜Π·Π²Π»Π΅ΠΊΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ √1600

Π˜Ρ‰Π΅ΠΌ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ число 1600.

Π’Π»Π΅Π²ΠΎ β€” 4, Π²Π²Π΅Ρ€Ρ… β€” 0.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: √1600 = 40.

Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ корня называСтся Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Бвойства арифмСтичСского ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня

Π£ арифмСтичСского ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня Π΅ΡΡ‚ΡŒ 3 свойства β€” ΠΈΡ… Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

  • ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ произвСдСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ
  • Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ β€” это ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числитСля ΠΈ ΠΈΠ· знамСнатСля
  • Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ возвСсти ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ потрСнируСмся ΠΈ ΠΏΠΎΡ€Π΅ΡˆΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Π½Π° всС Ρ‚Ρ€ΠΈ свойства. НС Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° для ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°ΠΌ.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ арифмСтичСских ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

Для умноТСния арифмСтичСских ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

 

Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ посмотритС Π½Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

Если Π½Π΅Ρ‚ возмоТности ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ· чисСл, Ρ‚ΠΎ поступаСм Ρ‚Π°ΠΊ:

 

  1. Если ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ большС Π΄Π²ΡƒΡ…, Ρ‚ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ с двумя мноТитСлями:

Добрая Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π»ΠΎΡ‡ΠΊΠ°

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ быстрСС, Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ².

 


Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ арифмСтичСских ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

Для дСлСния арифмСтичСских ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:

 
  1. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅ΠΌ Π² Π½Π΅ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ (16 * 3) + 1 = 49





Выполняя Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π΅ Π·Π°Π±Ρ‹Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ арифмСтичСских ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° прСобразования ΠΎΠ±Ρ‹ΠΊΠ½ΠΎΠ²Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ.

Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ арифмСтичСских ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ

Для возвСдСния арифмСтичСского корня Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹:



Π­Ρ‚ΠΈ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ:


ΠŸΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚Π΅ свойства стСпСнСй, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π±Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

ВнСсСниС мноТитСля ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня

Π’Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΠΌΠ΅Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎ-всякому ΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π²Π΅Ρ€Ρ‚Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями: ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ, Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. Π‘ΠΎΠ³Π°Ρ‚Ρ‹ΠΉ арсСнал, Π½Π΅ ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π° Π»ΠΈ? ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ ΠΎΠ²Π»Π°Π΄Π΅Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΠΎΠ² ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±Π΅Π· страха Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π° Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΊΡƒ.

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ разбСрСмся, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня.

Π”Π°Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 7√9

Число сСмь ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа Π΄Π΅Π²ΡΡ‚ΡŒ. 

Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° 7.

√9= 3.

7√9 = 7*3 = 21

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ число 7 β€” ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ внСсСм Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня. 

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ исходного выраТСния ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ. Π˜Π½Ρ‹ΠΌΠΈ словами, послС Π½Π°ΡˆΠΈΡ… манипуляций с ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ 21.

Π’Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ (√a)2 = a

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° число 7 Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. Π’ этом случаС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния останСтся Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅. 

7√9 = √72* 9 = √49 * 9 = √49 * √9 = 7 * 3 = 21.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° внСсСния мноТитСля ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня:

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ:

НСльзя Π²Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня.

ΠŸΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Π²Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡΠ²Π΅Ρ€ΡΡΡΡŒ с ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

 


ВынСсСниС мноТитСля ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня 

Π‘ Ρ‚Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΡ‹, каТСтся, Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π»ΠΈΡΡŒ. Но Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π° β€” такая Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π°, поэтому Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΡ…ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΈ вынСсти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня.

Π”Π°Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· произвСдСния.

Π’Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ навСрняка Π±Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ, поэтому Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ.

ИзвлСкаСм ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· всСх ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ. 


Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΈΠ· 4, поэтому:


Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ выносится ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня.

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹. ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉΡ‚Π΅ вынСсти ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡΠ²Π΅Ρ€ΡΡΡΡŒ с ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

 
  1. √28

    РаскладываСм ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 28 = 7*4.

    ИзвлСкаСм ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· 4. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 7 оставляСм ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня.



  2. ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ извлСчСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· произвСдСния,

    Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ вынСсСнный ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ, Ρ‚ΠΎ мСняСм ΠΈΡ… мСстами.

  3. ВынСситС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ: √24

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: РаскладываСм Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 24 = 6 * 4.


  4. УпроститС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

    ВынСсСм Π² Π΄Π²ΡƒΡ… послСдних выраТСния ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня.

    Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅ΠΌ (-4 * 4) = -16. ВсС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ записываСм Π² Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.

    ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎ всСм Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ β€” √5.
    Выносим ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π·Π° скобки:

    Π”Π°Π»Π΅Π΅ вычисляСм всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² скобках:

 

Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ досконально Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π»ΠΈ арифмСтичСский ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ, Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ Π±Π΅Π· Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня ΠΈ Π²Ρ‹Π½ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚Ρ‚ΡƒΠ΄Π°. ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ±Π΅Π΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΎΠΌ.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… корня, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ».

Если:

  • √a < √b, Ρ‚ΠΎ a < b
  • √a = √b, Ρ‚ΠΎ a = b

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.

Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° выраТСния: √70 ΠΈ 8√2

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: 8√2 = √64 * √2 = √64*2 = √128.

70 < 128.

Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ √70  <  8√2.

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π΅ΠΌ

Π§Π΅ΠΌ большС число ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ корня, Ρ‚Π΅ΠΌ большС сам ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

ΠŸΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Π² сравнСнии ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. БвСряСтС свои Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ с ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°ΠΌΠΈ.

 
  1. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° выраТСния: √50 ΠΈ 9√5

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 9√5.

    9√5 = √81 * √5 = √81*5 = √405

    50 < 405

    Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ √50 < 9√5.


  2. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° выраТСния: 6√5 ΠΈ √18

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 6√5.

    6√5 = √36 * √5 = √36*5= √180

    180 > 18

    Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 6√5 > √18.


  3. Π‘Ρ€Π°Π²Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° выраТСния: 7√12 ΠΈ √20

    ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 7√12.

    7√12 = √49 * √12 = √49*12 = √588

    588 >20

    Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 7√12 > √20.

Как Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ слоТного Π² сравнСнии арифмСтичСских ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‚. 

Π‘Π°ΠΌΠΎΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ β€” Π²Ρ‹ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΈ ΡΠ²Π΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ с Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², Ссли значСния корня слишком большиС для Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΠ³ΠΎ вычислСния Π² ΡƒΠΌΠ΅.

НС Π±ΠΎΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° просто создана для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ сСбя подсказками ΠΈ Π½Π°ΠΌΠ΅ΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

Когда Π²Ρ‹ почувствуСтС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ достаточно Π½Π°Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ сСбС врСмя ΠΎΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½-ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Они ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ быстрСС ΠΈ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ эффСктивнСС. 

Π’Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ, Π²ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· большого числа

Π’Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ навСрняка познакомились ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ с Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ². Она β€” ваша правая Ρ€ΡƒΠΊΠ°. Π‘ Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²Ρ‹ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄ΡƒΠΌΡ‹Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π½Π°ΠΈΠ·ΡƒΡΡ‚ΡŒ.

Но, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° заканчиваСтся Π½Π° числС 9801. А это, ΡΠΎΠ³Π»Π°ΡΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Π½Π΅ самоС ΠΊΡ€ΡƒΠΏΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΈΠ· Ρ‚Π΅Ρ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠΏΠ°ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.


Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· большого числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ отсутствуСт Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ², Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ:

 
  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ «сотни», ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ стоит.

  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ «дСсятки», ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΠ½ΠΎ стоит.

  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ послСднюю Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρƒ Π² этом числС.

Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· большого числа ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ способами β€” Π²ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· √2116.

Наша Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌΠΈ дСсятками стоит число 2116.

102 = 100

202 = 400

302 = 900

402 = 1600

502 = 2500 

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, 2116 большС 1600, Π½ΠΎ мСньшС 2500.

Π­Ρ‚ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число 2116 находится ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 402ΠΈ 502.

41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49.

Π—Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ Π»Π°ΠΉΡ„Ρ…Π°ΠΊ ΠΏΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡŽ всСго Π½Π° свСтС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.

НС сСкрСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° послСднСм мСстС Π² любом числС ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 0.


Как ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ

12 = 1

22 = 4

32 = 9

42 = 16 β‡’ 6

52 = 25 β‡’ 5

62 = 36 β‡’ 6

72 = 49 β‡’ 9

82 = 64 β‡’ 4

92 = 81 β‡’ 1

ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ число 41, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, даст число, Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ β€” Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° 1.

Число, 42, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, даст число, Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ β€” Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° 4.

Число 43, Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚, даст число, Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ β€” 9.

Вакая Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ позволяСт Π½Π°ΠΌ Π±Π΅Π· записи Β«ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΒ» всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Ρ‹, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Ρ‚Π΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π½ΡƒΠΆΠ½ΡƒΡŽ Π½Π°ΠΌ Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Ρƒ 6 Π½Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρƒ нас ΠΎΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄Π²Π° Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π°: 442 ΠΈ 462.

Π”Π°Π»Π΅Π΅ вычисляСм: 44 * 44 = 1936.

46 * 46 = 2116.

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚: √2116 = 46

Если Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ способ показался Π½Π΅ Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° понятным β€” ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ большС Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ число Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Если Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ всС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚. 

Π•Ρ‰Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа √11664

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ число 11664 Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ: 

11666 : 4 = 2916

2916 : 4 = 729

729 : 3 = 243

243 : 3 = 81

11664

4

2916

4

729

3

243

3

81

81

Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:


Π˜Π·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· большого числа Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°. Но Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… способов Β«Π½Π° экстрСнный случай» Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ²Ρ€Π΅Π΄ΠΈΡ‚. НапримСр, для ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π•Π“Π­.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΊΡ€Π΅ΠΏΠΈΡ‚ΡŒ всС тСорСтичСскиС знания, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π΅Ρ‰Ρ‘ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ поупраТняСмся Π² Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² Π½Π° арифмСтичСскиС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.
 

Mathway | ΠŸΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

1 ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ с использованиСм Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 50
2 ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ с использованиСм Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 45
3 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 5+5
4 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 7*7
5 Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 24
6 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 52/6
7 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 93/8
8 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 34/5
9 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=x+1
10 ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ с использованиСм Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 128
11 Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности сфСра (3) ο„΅
12 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 54-6Γ·2+6
13 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=-2x
14 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 8*8
15 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ 5/9
16 ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ с использованиСм Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 180
17 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=2
18 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 7/8
19 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 9*9
20 Risolvere per C C=5/9*(F-32)
21 Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ 1/3+1 1/12
22 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=x+4
23 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=-3
24 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ x+y=3
25 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ x=5
26 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 6*6
27 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 2*2
28 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 4*4
29 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 1/2+(2/3)Γ·(3/4)-(4/5*5/6)
30 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 1/3+13/12
31 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 5*5
32 Risolvere per d 2d=5v(o)-vr
33 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 3/7
34 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=-2
35 ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ y=6
36 ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ 9
37 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=2x+2
38 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=2x-4
39 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ x=-3
40 Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойство ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня x^2+5x+6=0
41 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 1/6
42 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΠΈΡ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ 9%
43 Risolvere per n 12n-24=14n+28
44 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 16*4
45 Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ кубичСский ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 125
46 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 43%
47 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ x=1
48 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=6
49 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=-7
50 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=4x+2
51 ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½ y=7
52 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=3x+4
53 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=x+5
54 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ 3x+2y=6
55 Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойство ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня x^2-5x+6=0
56 Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойство ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня x^2-6x+5=0
57 Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойство ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня x^2-9=0
58 ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ с использованиСм Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 192
59 ΠžΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ с использованиСм Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 25/36
60 Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° простыС ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ 14
61 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 7/10
62 Risolvere per a (-5a)/2=75
63 Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ x
64 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 6*4
65 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ 6+6
66 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ -3-5
67 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ -2-2
68 Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 1
69 Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 4
70 Найти ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ 1/3
71 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 11/20
72 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 7/9
73 Найти НОК 11 , 13 , 5 , 15 , 14 , , , ,
74 Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойство ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня x^2-3x-10=0
75 Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойство ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня x^2+2x-8=0
76 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ 3x+4y=12
77 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ 3x-2y=6
78 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=-x-2
79 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=3x+7
80 ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, являСтся Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠΌ 2x+2
81 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=2x-6
82 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=2x-7
83 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=2x-2
84 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=-2x+1
85 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=-3x+4
86 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=-3x+2
87 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y=x-4
88 Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ (4/3)Γ·(7/2)
89 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ 2x-3y=6
90 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ x+2y=4
91 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ x=7
92 Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ x-y=5
93 Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойство ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня x^2+3x-10=0
94 Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ свойство ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня x^2-2x-3=0
95 Найти ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ повСрхности конус (12)(9) ο„²
96 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 3/10
97 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 7/20
98 ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π½Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ 2/8
99 Risolvere per w V=lwh
100 Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ 6/(5m)+3/(7m^2)

ДСйствия со стСпСнями ΠΈ корнями

1. ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ стСпСнСй с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π° основаниС остаётся ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ:

.

НапримСр, .

2. ΠŸΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ стСпСнСй с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСнСй Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π° основаниС остаётся ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ:

.

НапримСр, .

3. ΠŸΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ стСпСни Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСнСй ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π° основаниС остаётся ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ:

.

НапримСр, .

4. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ произвСдСния Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ стСпСнСй ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ:

.

НапримСр, .

5. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ частного Ρ€Π°Π²Π½Π° частному стСпСнСй Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ дСлитСля:

.

НапримСр, .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния

.

РСшСниС. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Π² явной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· свойств стСпСни с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ нСльзя, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ всС стСпСни ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ основания. Π—Π°ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ стСпСни Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

(ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ произвСдСния Ρ€Π°Π²Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ стСпСнСй ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ),

(ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ стСпСнСй с ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ΠΌΠΈ основаниями ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π° основаниС остаётся ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ стСпСни Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ стСпСнСй ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, Π° основаниС остаётся ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΠΈΠΌ).

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ свойства стСпСни с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.

Бвойства стСпСнСй ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ интСнсивно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°Ρ… матСматичСского Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, для нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ парамСтричСски Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ нСявно.

Π˜ΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ мСсто ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ тоТдСства:

1) ;

2) ;

3) .

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ дСйствия со стСпСнями ΡΠ°ΠΌΠΎΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния

.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Найти Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния

.

1. ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ k-ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· произвСдСния Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ стСпСни ΠΈΠ· сомноТитСлСй: , Π³Π΄Π΅ (ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ извлСчСния корня ΠΈΠ· произвСдСния).

2. Если , Ρ‚ΠΎ (ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ извлСчСния корня ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ).

3. Если , Ρ‚ΠΎ (ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ извлСчСния корня ΠΈΠ· корня).

4. Если , Ρ‚ΠΎ (ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ возвСдСния корня Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ).

5. Если , Ρ‚ΠΎ , Π³Π΄Π΅ , Ρ‚. Π΅. ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ корня ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ число.

6. Если , Ρ‚ΠΎ , Ρ‚. Π΅. Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ соотвСтствуСт ΠΈ большСС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня.

7. ВсС ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ часто ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΌ порядкС (Ρ‚. Π΅. справа Π½Π°Π»Π΅Π²ΠΎ). НапримСр:

(ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ умноТСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ),

(ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ дСлСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ),

.

8. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ вынСсСния мноТитСля ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня. ΠŸΡ€ΠΈ .

9. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° β€” внСсСниС мноТитСля ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊ корня. НапримСр,

10. Π£Π½ΠΈΡ‡Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Π² Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ. Рассмотрим Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΈΠΏΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ случаи.

Π°) , Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ .

НапримСр, .

Π±)

НапримСр,

Π²)

ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹ Π² Π±Π»ΠΎΠΊΠ΅ «Школьная ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Β»

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ с корнями

ΠšΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ n стСпСни ΠΈΠ· числа Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ Π² эту ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ даст Ρ‚ΠΎ число, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ извлСкаСтся ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго, дСйствия производятся с корнями ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ 2 стСпСни. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ корня часто Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΅Π³ΠΎ явно, Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ являСтся число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½Π΅Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ (трансцСндСнтноС). Но ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ΅ΠΌΡ‹, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² с корнями.Π’Π°ΠΌ понадобится

Если Π½Π΅ трСбуСтся Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² с корнями Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΈΠ· числа ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π½Π°Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅, ΠΈ просто Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΡƒ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π·Π½Π°ΠΊ корня. Как ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Π½Π° ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… бСрСтся ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ. Но для вычислСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΡ… стСпСнСй, Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ возвСдСния числа Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ (Π½Π° ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π΅).4=(-2)βˆ™ (-2)βˆ™ (-2)βˆ™ (-2)=16. Для извлСчСния ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня Π½Π°Ρ†Π΅Π»ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° это Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

Если ΠΆΠ΅ рядом Π½Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΈΠ»ΠΈ трСбуСтся Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² расчСтах, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ свойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ для упрощСния Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Из ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ частично. Для этого Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ свойством, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· произвСдСния Π΄Π²ΡƒΡ… чисСл Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· этих чисСл √mβˆ™n=√mβˆ™βˆšn.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ВычислитС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния (√80-√45)/ √5. ΠŸΡ€ΡΠΌΠΎΠ΅ вычислСниС Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ Π½Π΅ даст, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π°Ρ†Π΅Π»ΠΎ Π½Π΅ извлСкаСтся Π½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (√16βˆ™5-√9βˆ™5)/ √5=(√16βˆ™βˆš5-√9βˆ™βˆš5)/ √5=√5βˆ™(√16-√9)/ √5. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ сокращСниС числитСля ΠΈ знамСнатСля Π½Π° √5, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ (√16-√9)=4-3=1.

Если ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ сам ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π²ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½Ρ‹ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ корня Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ Ρ‚Π΅ΠΌ свойством, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ корня. Если Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ производится Π½Π°Ρ†Π΅Π»ΠΎ, число вносится ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ корня.4=5Β²=25.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. Π’Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния (√3+√5)βˆ™(√3-√5). ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ разности ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ (√3)Β²-(√5)Β²=3-5=-2.

ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΎΠΉ стСпСни

Вопросы занятия:

Β·  ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ извлСкаСтся ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· числа;

Β·  ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ свойства арифмСтичСского корня n-ΠΎΠΉ стСпСни;

Β·  ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ свойства корня ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠšΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ n-ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· числа Π° называСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, энная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° А.

Говоря ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ энной стСпСни Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ корня n являСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом.

Π’Π°ΠΌ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ извСстСн Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ частный случай корня n-ΠΎΠΉ  ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· числа. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ корня Π² этом случаС Π½Π΅ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· числа Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ число, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ числу Π°.

НапримСр,

Π•Ρ‰Ρ‘ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ частным случаСм являСтся ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни, ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ»ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ кубичСским.

НапримСр,

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒΡΡ вопросом, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° этот вопрос, рассмотрим Π΄Π²Π° случая корня энной стСпСни: Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ корня являСтся Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ числом ΠΈ Π³Π΄Π΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ корня являСтся Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ числом.

Но Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΎΡ‚ нСоднозначности Π² вычислСниях, Π΄ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΎΠΉ стСпСни ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Β«ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΎΠΉ  ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΠΈ ΠΈΠ· Π°Β». А ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ°ΠΊ «минус ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· Π°Β».

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· этой договорённости ΠΈ становится понятно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Из рассмотрСнных случаСв ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

ВСрнёмся ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ корня энной стСпСни

Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ запись вмСсто ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ:

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ свойство, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии корня энной стСпСни.

Но вСдь ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ числом Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΎ ΠΏΡƒΡ‚Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, вмСсто этого свойства ΠΌΡ‹ пользовались двумя:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

Π’Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ энной стСпСни ΠΈΠ· любого Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл ΠΏΡ€ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π­Π½ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ значСния. Π’Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ арифмСтичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ n-ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· числа Π°.

Π›ΡŽΠ±ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· арифмСтичСский.

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй всСгда ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ арифмСтичСскими, вСдь ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρƒ Π½ΠΈΡ… являСтся числом Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ ΠΈΡ… значСниями ΠΌΡ‹ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ касаСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл.

А Π²ΠΎΡ‚, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… стСпСнСй ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈ этом вынСся минус ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ энной стСпСни ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ всСгда ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΡŽ арифмСтичСского корня.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с корнями энной стСпСни ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ нСсколько свойств. Напомним ΠΈΡ….

ВсС эти свойства пригодятся Π²Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ с выраТСниями, содСрТащими Π·Π½Π°ΠΊ корня.

Π˜Ρ‚ΠΎΠ³ΠΈ ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ°

На этом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ с Π²Π°ΠΌΠΈ вспомнили, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· числа. Напомнили, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ числом Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ «арифмСтичСским ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ n-ΠΎΠΉ стСпСни».

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа всСгда являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ арифмСтичСским ΠΈ поэтому Ρ€Π°Π²Π΅Π½ числу Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ. А корня Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π΅ сущСствуСт. ΠšΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Ρ€Π°Π²Π΅Π½ числу Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ. НапримСр, ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни ΠΈΠ· Π΄Π²Π°Π΄Ρ†Π°Ρ‚ΠΈ сСми Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ‚Ρ€Ρ‘ΠΌ.

Ну, Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Ρ€Π°Π²Π΅Π½ числу ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ. Π•Π³ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ арифмСтичСского корня n-ΠΎΠΉ стСпСни, ΠΏΡ€ΠΈ этом вынося минус ΠΈΠ·-ΠΏΠΎΠ΄ Π·Π½Π°ΠΊΠ° корня. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΡ‹ Π½Π°ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΠ»ΠΈ свойства арифмСтичСского корня энной стСпСни ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ»ΠΈ ΠΈΡ… Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ….

Π’ΠΎΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня Π² Excel

Для извлСчСния корня Π² Excel ΠΈ возвСдСния числа Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ встроСнныС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ матСматичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹. Рассмотрим Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ….

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠšΠžΠ Π•ΠΠ¬ Π² Excel

ВстроСнная функция ΠšΠžΠ Π•ΠΠ¬ Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня. Π’ мСню Β«Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈΒ» ΠΎΠ½Π° находится Π² ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Β«ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅Β».

Бинтаксис Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: =ΠšΠžΠ Π•ΠΠ¬(число).

ЕдинствСнный ΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ прСдставляСт собой ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ функция вычисляСт ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Если Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Excel Π²Π΅Ρ€Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ #Π§Π˜Π‘Π›Πž!.

Π’ качСствС Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ссылку Π½Π° ячСйку с числовым Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

Ѐункция Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ числа 36. АргумСнт – ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

АргумСнт Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ – ссылка Π½Π° ячСйку с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ 36.

Ѐункция Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π° ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ, Ρ‚.ΠΊ. Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ – ссылка Π½Π° ячСйку с ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ.

Ѐункция ABS Π²ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа -36. Π•Π΅ использованиС ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΎ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ошибки ΠΏΡ€ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.

Ѐункция ΠΈΠ·Π²Π»Π΅ΠΊΠ»Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΎΡ‚ суммы 13 ΠΈ значСния ячСйки C1.

ο»Ώ

Ѐункция возвСдСния Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π² Excel

Бинтаксис Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: =Π‘Π’Π•ΠŸΠ•ΠΠ¬(Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅; число). Оба Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅.

Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ – любоС вСщСствСнноС числовоС Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. Число – ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ возвСсти Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

Π’ ячСйкС C2 – Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ возвСдСния числа 10 Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚.Β».

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅! Дробная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΈΡˆΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² скобках.

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚Ρƒ ΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, Π½ΠΎ с использованиСм Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π‘Π’Π•ΠŸΠ•ΠΠ¬.

ИзвлСкли ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ дСвятой стСпСни ΠΈΠ· значСния ячСйки h2.

ИзвлСкли ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ пятой стСпСни ΠΈΠ· суммы числа 9 ΠΈ значСния ячСйки h2.

Π’Π΅ ΠΆΠ΅ матСматичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π‘Π’Π•ΠŸΠ•ΠΠ¬:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, возвСсти Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π»Π΅Ρ‡ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ n-ΠΉ стСпСни Π² Excel ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Как Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ число Π² стСпСни

Для ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ отобраТСния числа Π² стСпСни ΠΏΡ€ΠΈ дСмонстрации Ρ„Π°ΠΉΠ»Π° ΠΈΠ»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚ΠΈ, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ произвСсти ряд манипуляций:

  1. Π©Π΅Π»ΠΊΠ°Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ ячСйкС с числом ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ ΠΊΠ½ΠΎΠΏΠΊΠΎΠΉ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ. Π’Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ Β«Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ ячССк» (ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ CTRL+1).
  2. Π’ ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Π²ΡˆΠ΅ΠΌΡΡ мСню ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½Π° Π²ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΡƒ «Число». Π—Π°Π΄Π°Π΅ΠΌ «ВСкстовый» Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚. ВСкстовый Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ для значСния Π² ячСйкС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· панСль инструмСнтов («Главная» – «Число»). ПослС установки тСкстового Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚Π° Ρ†ΠΈΡ„Ρ€Π° Π² ячСйкС становится слСва.
  3. Рядом с Ρ†ΠΈΡ„Ρ€ΠΎΠΉ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π² ячСйку Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ со Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌ «минус».
  4. ВыдСляСм Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСни (Β«-3Β»). Π’Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌ мСню Β«Π€ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ ячССк». УстанавливаСм Π²ΠΈΠ΄ΠΎΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ «Надстрочный». И Π½Π°ΠΆΠΈΠΌΠ°Π΅ΠΌ ОК.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ числа 5 Π² -3 стСпСни.

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² стСпСни Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ 2

13

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ…

Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

БтратСгия поиска ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ цСлочислСнном ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅

БопряТСнныС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ мноТитСлях

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ цСлочислСнном ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅

Π’ Π­Π’ΠžΠ™ Π’Π•ΠœΠ• ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° стСпСни большС 2.Π­Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Π²ΠΈΡΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΌΡ‹: БинтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ Π² этой Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ называСтся Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ….

Ѐакторная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. x β€” r являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° P ( x ) Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· P ( x ).

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

P ( x ) = ( x β€” 1) ( x + 2) ( x + 3)

, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1, βˆ’2 ΠΈ βˆ’3.

И Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ссли ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ βˆ’2, 1 ΠΈ 5, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ:

( x + 2) ( x β€” 1) ( x β€” 5).

Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ эти Ρ‚Ρ€ΠΈ корня.

НиТС ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1.

a) Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ: ( x + 1) ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ x 5 + 1.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Π½Π°Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΌΡ‹ΡˆΠΈ Π½Π° Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ.
Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π°ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π·, Π½Π°ΠΆΠΌΠΈΡ‚Π΅ Β«ΠžΠ±Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΒ» (Β«ReloadΒ»).
Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ сами!

βˆ’1 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· x 5 + 1. Для, (βˆ’1) 5 + 1 = βˆ’1 + 1 = 0.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, согласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ мноТитСлях,
[ x β€” (- 1)] = ( x + 1) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.

Π±) Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, x 5 + 1 = ( x + 1) ( x 4 β€” x 3 + x 2 β€” x + 1)

БлСдуя Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π΅, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ:

( x + a ) β€” коэффициСнт x 5 + a 5 ,

ΠΈ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ:

( x + a ) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ x n + a n , Π³Π΄Π΅ n являСтся Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ.

Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ называСтся основной Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹:

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни n ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ комплСксный.

Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ взгляд простоС ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ позволяСт ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄:

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ P ( x ) стСпСни n ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ n ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ комплСксных.

Если ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт P ( x ) Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… позволяСт Π½Π°ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄:

P ( x ) = ( x β€” r n ) ( x β€” r n β€” 1 ). . . ( x β€” r 2 ) ( x β€” r 1 )

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ стСпСни, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ корня.А Ссли всС ΠΎΠ½ΠΈ настоящиС, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ:

Ибо Ρ‚Ρ€ΠΈ корня β€” это Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Ρ†Π΅ΠΏΡ‚Π° x .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Если ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ начинаСтся слСва ΠΎΡ‚ y β€” ось, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° этот Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ начинаСтся с Π½ΠΈΠΆΠ΅ оси x . ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ? ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² любом ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Если Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ, Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ градусам, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x являСтся большим ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числом , Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ слСва ΠΎΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° нСчСтная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа сам ΠΏΠΎ сСбС ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΠΆΠ΅ оси x .

Π§Ρ‚ΠΎ касаСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни, Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ корня. А Ссли всС ΠΎΠ½ΠΈ настоящиС, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹Π³Π»ΡΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΠΉ Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ β€” Π½Π°Π΄ осью x . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ , Π΄Π°ΠΆΠ΅ градусов (ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° чСтная ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ .Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ оси x .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. ΠΠ°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ: βˆ’1, ΒΎ.

РСшСниС . ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ -1 β€” ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ( x + 1) β€” ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ. Π§Ρ‚ΠΎ касаСтся корня, Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

x = 3
4
, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚
4 x = 3
4 x β€” 3 = 0

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹: (4 x β€” 3) ( x + 1).

Полином Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4 x 2 + x β€” 3.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ βˆ’1, 1, 2, ΠΈ нарисуйтС Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹: ( x + 1) ( x β€” 1) ( x β€” 2). ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ получаСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ( x 2 β€” 1) ( x β€” 2) =

x 3 β€” 2 x 2 β€” x + 2.

Π’ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ:

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y β€” это постоянный Ρ‡Π»Π΅Π½ 2. Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ y β€” постоянный Ρ‡Π»Π΅Π½, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ постоянный Ρ‡Π»Π΅Π½ β€” это Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y , ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x = 0.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ βˆ’Β½, βˆ’2, βˆ’2, ΠΈ нарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ.

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹: (2 x + 1) ( x + 2) 2 .ΠŸΡ€ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (2 x + 1) ( x 2 + 4 x + 4) =

2 x 3 + 9 x 2 + 12 x + 4.

Π’ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ:

βˆ’2 β€” Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅ пСрСсСкаСт ось x .

Вопрос. Если r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° p ( x ), Ρ‚ΠΎ послС дСлСния p ( x ) Π½Π° x β€” r , ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ остаток слСдуСт ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ?

0.ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° x β€” r β€” это коэффициСнт ΠΈΠ· p ( x ).

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4. ЯвляСтся Π»ΠΈ x = 2 ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°:

x 6 β€” 3 x 5 + 3 x 4 β€” 3 x 3 + 3 x 2 βˆ’3 x + 2?

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° x β€” 2, ΠΈ посмотритС Π½Π° остаток.

ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΊ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0. 2 β€” ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 12

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. НайдитС Ρ‚Ρ€ΠΈ корня ΠΈΠ·

.

P ( x ) = x 3 -2 x 2 -9 x + 18,

с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 3.

РСшСниС. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 3 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· P ( x ), Ρ‚ΠΎ согласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ мноТитСлях x β€” 3 являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² P ( x ) Π½Π° x β€” 3, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.

У нас

x 3 β€” 2 x 2 β€” 9 x + 18 = ( x 2 + x β€” 6) ( x β€” 3)
= ( x β€” 2) ( x + 3) ( x β€” 3)

Π’Ρ€ΠΈ корня: 2, βˆ’3, 3.

ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ x β€” 3 являСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ P ( x ), остаток Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 5. НарисуйтС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°,

.

y = x 3 β€” 2 x 2 -5 x + 6,

, учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ -2.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ βˆ’2 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ( x + 2) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ.Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° x + 2. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ βˆ’2 помСщаСтся Π² ΠΏΠΎΠ»Π΅:

У нас

x 3 β€” 2 x 2 -5 x + 6 = ( x 2 β€” 4 x + 3) ( x + 2)
= ( x β€” 1) ( x β€” 3) ( x + 2)

Π’Ρ€ΠΈ корня: 1, 3, βˆ’2.Π’ΠΎΡ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ:

БтратСгия поиска ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° прСдставляСт собой стратСгия нахоТдСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° стСпСни n > 2?

Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ³Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ r . Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° x β€” r ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ коэффициСнт ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ градус мСньшС. Если ΠΌΡ‹ смоТСм Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ этого Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΌΡ‹ смоТСм ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚ΡŒ процСсс, ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°Ρ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ достигнСм ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ всСгда смоТСм Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ.

Π’ΠΎΡ‚ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°, которая ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΡƒΠ³Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ цСлочислСнном ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅. Если Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, коэффициСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами, Π° ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Β± 1, Ρ‚ΠΎ это Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число являСтся коэффициСнтом постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.

ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ это Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Π­Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ цСлочислСнном ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ являСтся ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅:

Если Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΎΠ± / с являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, коэффициСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами, Ρ‚ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число r являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, Π° Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число s являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅Π³ΠΎ коэффициСнта.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ цСлочислСнныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ x 3 β€” 4 x 2 + 2 x + 4?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚. Если Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ мноТитСлями постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π° 4; Π° ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ: Β± 1, Β± 2, Β± 4.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, 1 β€” это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ? Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° x β€” 1 ΠΈ надССмся Π½Π° остаток 0.

1 β€” 4 + 2 + 4 | 1
+ 1 β€” 3 β€” 1
β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€” β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€” β€”β€”
1 β€” 3 β€” 1 + 3

ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΊ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0.1 Π½Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ βˆ’1:

1 β€” 4 + 2 + 4 | -1
β€” 1 + 5 β€” 7
β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€” β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€” β€”β€”
1 β€” 5 + 7 β€” 3

ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΊ снова Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0.ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅ΠΌ 2:

1 β€” 4 + 2 + 4 | 2
+ 2 β€” 4 β€” 4
β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€” β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€” β€”β€”
1 β€” 2 β€” 2 + 0

Π”Π°! 2 β€” это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.Π£ нас

x 3 β€” 4 x 2 + 2 x + 4 = ( x 2 β€” 2 x β€” 2) ( x β€” 2)

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ, Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚. Как ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ»ΠΈ Π² Ρ‚Π΅ΠΌΠ΅ 11:

.

x = 1 Β±

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚Ρ€ΠΈ корня:

1+, 1 -, 2.

ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 6.

Π°) ΠšΠ°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°?

x 3 β€” 2 x 2 β€” 3 x + 1

Β± 1. Π­Ρ‚ΠΎ СдинствСнныС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.

Π±) Π˜ΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»ΠΈ этот ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ?

НСт, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈ 1, Π½ΠΈ -1 Π½Π΅ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ этот ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 0. БинтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΠ±Π° Β± 1 Π½Π΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ остатка 0.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 7. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ этот ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ.

x 3 + 2 x 2 β€” 5 x β€” 6

ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ цСлочислСнныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ: Β± 1, Β± 2, Β± 3, Β± 6. БинтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ -1 β€” это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

x 3 + 2 x 2 -5 x -6 = ( x + 1) ( x 2 + x β€” 6)
= ( x + 1) ( x + 3) ( x βˆ’2)

БопряТСнныС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹

Если ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число a + являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ сопряТСниС a β€” Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.(Π‘ΠΌ. «Навыки Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹Β», Π£Ρ€ΠΎΠΊ 28.) И Ссли комплСксноС число a + bi являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ сопряТСнноС число a β€” bi .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ P ( x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ:

βˆ’2, 1 +, 5 ΠΈ .

ΠšΠ°ΠΊΡƒΡŽ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ P ( x )?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ .5. Ибо, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 1 + β€” ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ ΠΈ сопряТСнный с Π½ΠΈΠΌ 1 -. А ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 5 i являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС ΠΈ сопряТСнноС с Π½ΠΈΠΌ, βˆ’5 i .

P ( x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡƒΠΌ эти 5 ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

βˆ’2, 1 Β±, Β± 5 ΠΈ .

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 8. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΉΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ со ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ:

Π°) 2 +

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 2 + являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ 2 β€” Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, согласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎ суммС ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями x 2 β€” 4 x + 1.

Π’Π΅ΠΌΠ° 10

Π±) 2 β€” 3 ΠΈ

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 2 β€” 3 i β€” это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎ 2 + 3 i β€” Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅. ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, согласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ суммы ΠΈ произвСдСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, ΠΎΠ½ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями x 2 β€” 4 x + 13.

Π‘ΠΌ. Π’Π΅ΠΌΡƒ 10, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 9. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с корнями 1 ΠΈ 5 i .

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 5 i являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ сопряТСнный элСмСнт, βˆ’5 i . Они Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ корнями ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° этих ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 0. ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 25. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ( x 2 + 25).

Π”Π°Π»Π΅Π΅, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 1 β€” это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ( x β€” 1) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

( x β€” 1) ( x 2 + 25) = x 3 β€” x 2 + 25 x β€” 25.

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 10. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ f ( x ) = x 5 + x 4 + x 3 + x 2 β€” 12 x β€” 12. Один ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ β€” βˆ’2 i .

Если f ( x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ цСлочислСнныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, сколько ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ?

Один. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 5-ΠΉ стСпСни, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ 5 ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π”Π²Π° ΠΈ -.И Π΄Π²Π° β€” 2 i ΠΈ βˆ’2 i .

Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 11. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ 5-ΠΉ стСпСни ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ 2 Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня ΠΈ 3 ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… корня?

НСт это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ всСгда ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π² ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹, Ρ‚ΠΎ, Ссли Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΈΡ… всСгда Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число.

Рассмотрим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 5-ΠΉ стСпСни с ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΌ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ. Когда x β€” большоС ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ находится Π½ΠΈΠΆΠ΅ оси x .Когда x β€” большоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΎΠ½ΠΎ находится Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ оси x . Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Π· ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡ΡŒ ось x . Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ пСрСсСкал ось x Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹? НСт, Ρ‚Ρ‹ Π½Π΅ моТСшь. ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ мноТитСлях

x β€” r являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° P ( x )
Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°
r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ P ( x ).

Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Ссли ( x β€” r ) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ P ( x ), Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° P ( r ) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ( r β€” r ), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0. Π­Ρ‚ΠΎ сдСлаСт P ( r ) = 0. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.

И Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Ссли r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· P ( x ), Ρ‚ΠΎ P ( r ) = 0. Но согласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎΠ± остатках P ( r ) = 0 ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ послС дСлСния P ( x ) Π½Π° x β€” r , остаток Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0. x β€” r , ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, это коэффициСнт P ( x ).

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ цСлочислСнном ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅

Если Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, коэффициСнты ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами, Π° ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Β± 1, Ρ‚ΠΎ это Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число являСтся коэффициСнтом ΠΈ постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число r Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°:

P ( x ) = Β± x n + a n βˆ’1 x n βˆ’1 + a n βˆ’2 x n βˆ’2 +.. . + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 ,

, Π³Π΄Π΅ ΠΈ β€” Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа. Π’ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ,

P ( r ) = Β± r n + a n βˆ’1 r n βˆ’1 + a n βˆ’2 r n βˆ’2 +.. . + a 2 r 2 + a 1 r + a 0 = 0,

ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ постоянный Ρ‡Π»Π΅Π½ Π² 0 ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΈΠ· ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²:

r (Β± r n βˆ’1 + a n βˆ’1 r n βˆ’2 +. + a 2 r + a 1 ) = β€” a 0

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ всС ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами; поэтому Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² скобках являСтся Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ для удобства Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅ΠΌ β€” q:

r (βˆ’q) = β€” a 0 ,

ΠΈΠ»ΠΈ,

rq = Π° 0 .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, постоянный Ρ‡Π»Π΅Π½ a 0 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ rq , Ссли r ΠΈ q ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ числами. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² этих условиях r являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ‚Π΅ΠΌΠ°: ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ | Π”ΠΎΠΌ


Π‘Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΆΠ΅Ρ€Ρ‚Π²ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ TheMathPage ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π°Π»Π°ΡΡŒ Π² сСти.
Π”Π°ΠΆΠ΅ 1 Π΄ΠΎΠ»Π»Π°Ρ€ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚.


АвторскиС ΠΏΡ€Π°Π²Π° Β© 2021 ЛоурСнс Π‘ΠΏΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

Вопросы ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΈ?

Π­Π». ΠŸΠΎΡ‡Ρ‚Π°: themathpage@yandex.com


Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°

ОбновлСно 8 дСкабря 2020 Π³.

Π›ΠΈΠ·Π° Мэлони

ΠšΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΅Π³ΠΎ нулями, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ корнями ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ значСния x , ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… функция Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Когда Π΄Π΅Π»ΠΎ Π΄ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π΄ΠΎ фактичСского поиска ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π² вашСм распоряТСнии нСсколько ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ²; Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³ β€” это ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π°Ρ‰Π΅ всСго, хотя графичСскоС ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹ΠΌ.

Бколько ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ?

Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½ Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ стСпСни ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π»Π΅Π½ с Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, сколько ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π² вашСм ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 2, ΠΎΠ½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° корня; Ссли Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 3, Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ корня; ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅.

Найти ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ: ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1

Π‘Π°ΠΌΡ‹ΠΉ ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ способ нахоТдСния ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ β€” это максимально Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ вашСго ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ установка ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.Π’ этом Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ большС смысла, Ссли Π²Ρ‹ рассмотритС нСсколько ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². Рассмотрим простой ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ x 2 β€” 4 x:

    ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ x Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠ· ΠΎΠ±ΠΎΠΈΡ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ:

    x (x β€” 4)

    ΠžΠ±Π½ΡƒΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ:

    x = 0

    β€” это ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½, установлСнный Π² ноль, ΠΈ

    x β€” 4 = 0

    β€” Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½, установлСнный Π² ноль.

    Π£ вас ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π°. Если x = 0, Ρ‚ΠΎ всС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, x = 0 β€” это ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.

    Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ рассмотрим Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ x . Если Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚Π΅ 4 ΠΊ ΠΎΠ±Π΅ΠΈΠΌ сторонам, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅:

    x β€” 4 + 4 = 0 + 4

    x = 4

    Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли x = 4, Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ вСсь ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

    ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π±Ρ‹Π» Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни (ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π±Ρ‹Π» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π΄Π²ΡƒΠΌ), Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π²Π° Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… корня. Π’Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ нашли ΠΈΡ… ΠΎΠ±Π°, поэтому всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ…:

    x = 0, x = 4

Найти ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Ρƒ: ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2

Π’ΠΎΡ‚ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΠΏΡƒΡ‚Π½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΡƒΠ΄Π»ΠΈΠ²ΡƒΡŽ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρƒ. Рассмотрим ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ x 4 -16.2 + 4)

А Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠΎΡ€Π° Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ. Быстро становится ясно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли x = 2, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, всС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, Ссли x = βˆ’2, Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ всС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, x = 2 ΠΈ x = βˆ’2 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ нулями ΠΈΠ»ΠΈ корнями этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.

А ΠΊΠ°ΠΊ насчСт послСднСго сСмСстра? ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни Β«2Β», ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° корня.Но Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‹ΠΊΠ»ΠΈ. Π’Π°ΠΌ придСтся ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡŽ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡƒΡŽ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹ΠΌΠΈ числами ΠΈΠ»ΠΈ, Ссли Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅, комплСксными числами. Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π»Π΅ΠΊΠΎ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π·Π° Ρ€Π°ΠΌΠΊΠΈ вашСй Π½Ρ‹Π½Π΅ΡˆΠ½Π΅ΠΉ матСматичСской ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ, поэтому ΠΏΠΎΠΊΠ° достаточно ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня (2 ΠΈ βˆ’2) ΠΈ Π΄Π²Π° ΠΌΠ½ΠΈΠΌΡ‹Ρ… корня, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ оставитС Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ.

НайдитС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅, ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°.ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ прСдставляСт собой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ пСрСсСкаСт ось x . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли Π²Ρ‹ построитС линию, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ x , Π³Π΄Π΅ линия пСрСсСкаСт ось x , Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ значСния x этих Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π² своС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ссли Π²Ρ‹ ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎ поняли.

Рассмотрим ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, с ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π²Ρ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΈ, для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° x 2 β€” 4 x . Если Π²Ρ‹ нарисуСтС Π΅Π³ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ линия пСрСсСкаСт ось x Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… x = 0 ΠΈ x = 4.2-4 (4) = 0

, поэтому x = 4 Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся допустимым Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ для этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. А ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π» ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 2, Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° корня.

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния

Как Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния

АвторскиС ΠΏΡ€Π°Π²Π° Β© 20022020 Бтэн Π‘Ρ€Π°ΡƒΠ½

Π‘Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠ°: Π’ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅ Π²Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° уравнСния ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² (Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅). Π‘Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Ρ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ Π²ΠΎ всСх Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ°Ρ…, Π½ΠΎ эта ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ связываСт ΠΈΡ… всС вмСстС Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅.


Π“Π΅Π½Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠ»Π°Π½

Π£Π±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вас Π½Π΅ смущаСт тСрминология. ВсС это Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅:

  • РСшСниС полиномиального уравнСния p ( x ) = 0
  • НахоТдСниС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ полиномиального уравнСния p ( x ) = 0
  • НахоТдСниС Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ p ( x )
  • Ѐакторизация полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ p ( x )

Π•ΡΡ‚ΡŒ коэффициСнт для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ корня, ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚. ( x β€” r ) являСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. Π­Ρ‚ΠΎ Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… : поиск ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎ сути Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС. (ОсновноС Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊ постоянный коэффициСнт.)

Π’ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠŸΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅?

Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ уравнСния ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ аналитичСскоС) Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ . Π’ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏ, ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ числовоС) Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ , всСгда Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π° ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ СдинствСнная Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

Когда найдСшь, Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ . Π’Ρ‹ всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ числСнноС ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ, Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠΉΡ‚ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ Π³ΠΎΡ€Π°Π·Π΄ΠΎ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½Π΅Π΅. Π­Ρ‚Π° страница Ρ‚Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ большС всСго своСго Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Π½Π° ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ, Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ расскаТСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° аналитичСскиС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ тСрпят Π½Π΅ΡƒΠ΄Π°Ρ‡Ρƒ.

Шаг за шагом

Как Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ полиномиального уравнСния)? По сути, Π²Ρ‹ сточитС . ΠšΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π· Π²Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠΈΠ²Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ· ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Ρƒ вас остаСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅.Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ этот Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.

На любом этапС ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρ‹, Ссли Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π΅Ρ‚Π΅ Π² кубичСскоС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3 ΠΈΠ»ΠΈ 4), Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€ продолТСния Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π° ΠΈΠ»ΠΈ использования кубичСскиС ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹. Π­Ρ‚ΠΈΡ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ» ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹, поэтому Π±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠΈΠ½ΡΡ‚Π²ΠΎ людСй ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³.

Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠΉΡ‚Π΅ этой ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π΅ шаг Π·Π° шагом:

  1. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ уравнСния Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π² ΡΡ‚Π°Π½Π΄Π°Ρ€Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ с 0 с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°ΡŽΡ‚ .[ подробности ]
  2. Π—Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅ , сколько ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΎΠΆΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ. [ подробности ]
  3. Если Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 1 ΠΈΠ»ΠΈ 2), Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚Π΅ осмотром ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния. [ подробности ]
    Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ 7.
  4. НайдитС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ самая слоТная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ, Π½ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ. [ подробности ]
    Если Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ 5 Π½ΠΈΠΆΠ΅; Ссли Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅, ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ 6.
  5. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ . Π­Ρ‚ΠΎ оставляСт вас с Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ , ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° 1 мСньшС. [ подробности ]
    Для ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ части Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π²Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, Π° Π½Π΅ ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π». ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΡ‚Π΅ с шага 3.
  6. Если Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ , ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΊ числСнныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹. [ подробности ]
    Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ 7.
  7. Если это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ . Если это Π±Ρ‹Π» ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ для разлоТСния Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Π·Π°ΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π² Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ , Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ постоянныС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ Π²Ρ‹Π²Π΅Π»ΠΈ Π½Π° шагС 1.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌΠ° , Π½Π°Π±ΠΎΡ€ шагов Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ ΠΊ ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌΡƒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρƒ Π·Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ количСство ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ. Π­Ρ‚ΠΎ итСративная стратСгия , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ срСдниС шаги ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ, сколько Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ.

ΠšΡƒΠ±ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚Ρ‹Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ здСсь ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ находят Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ всСго. Но Ссли Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ для кубичСскиС уравнСния (ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3) ΠΈ уравнСния Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни (ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 4), ΠΎΠ±Π° Π² Mathworld.ΠΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ прСдоставляСтся Π”ΠΈΠΊ Никаллс Π² PDF для кубичСский Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ чСтвСртичная уравнСния.


Π¨Π°Π³ 1. Бтандартная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° ΠΈ ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅

К соТалСнию, это Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π½Π΅ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ. Если Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ полиномиальноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ , ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ всС Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ сторону ΠΈ 0 с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ. И Π±ΡƒΠ΄ΡŒ Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Π° ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ ваш ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, ΠΎΡ‚ Π΄ΠΎ наимСньшСй стСпСни .

НапримСр, Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:

x + 6 x + 12 x = βˆ’8

Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° эту Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ:

x + 6 x + 12 x + 8 = 0

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ упростили, ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΠ² Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ .Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π² сСбя Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅ βˆ’1 Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: коэффициСнт

7-6 x -15 x β€” 2 x

Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ с Π΅Π³ΠΎ стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹:

βˆ’2 x β€” 15 x β€” 6 x + 7

, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ βˆ’1

β€” (2 x + 15 x + 6 x β€” 7) ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ (βˆ’1) (2 x + 15 x + 6 x -7)

Если Π²Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Ρ‹Π±Ρ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ любоС ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ постоянный ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ.Но Ссли Π²Ρ‹ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡΠΎΡ…Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ 8 x + 16 x + 8 = 0, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π»Π΅Π²ΡƒΡŽ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΡƒΡŽ Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 8. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ x + 2 x + 1 = 0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ исходноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ 8 x + 16 x + 8, Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 8 ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡˆΠ΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ 8 ( x + 2 x + 1), Ρ‡Ρ‚ΠΎ являСтся ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅Π½ исходному ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ .(Π₯отя это ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ сосрСдоточит ваши дальнСйшиС усилия ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ½Π³Ρƒ Π½Π° x + 2 x + 1, это Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ошибкой Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ исходный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ x + 2 x + 1.)

Π’Π°Ρˆ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ цСлочислСнных коэффициСнтов .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ (1/3) x + (3/4) x β€” (1/2) x + 5/6 = 0, Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 1/12 ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Π΅ стороны Π½Π° 1/12.Π­Ρ‚ΠΎ Π² точности Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ самоС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ распознаваниС ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° наимСньший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈΠ· 12. Π’ любом случаС Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ 4 x + 9 x β€” 6 x + 10 = 0, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ исходноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ (1/3) x + (3/4) x β€” (1/2) x + 5/6, Π²Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 1/12 (ΠΈΠ»ΠΈ наимСньший ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ 12) ΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅ΠΌ 1/12. Π’Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΡˆΡŒ (1/12) (4 x + 9 x β€” 6 x + 10), Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎ исходному ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρƒ .

Π¨Π°Π³ 2. Бколько ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ?

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни n Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ n ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ мноТСствСнныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.

Как ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°? Π’ Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ( x β€” r ) являСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. Но Ссли Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни n Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ( x β€” r ), ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° 1, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни n βˆ’1.НСоднократно примСняя Π€ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ мноТитСлях Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π²Π°ΠΌ n ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈ n Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ , сколько ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ сколько ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½. Π­Ρ‚ΠΎ большоС Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΡΠ±Π΅Ρ€Π΅Π³Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ устройство, особСнно ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°, Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠ° .Когда ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ располоТСн Π² стандартная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°, Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Π—Π½Π°ΠΊ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π½Π°ΠΊ коэффициСнта отличаСтся ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ коэффициСнта. (НулСвой коэффициСнт игнорируСтся.) Для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€,

p ( x ) = x 5 β€” 2 x 3 + 2 x 2 β€” 3 x + 12

ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° Π·Π½Π°ΠΊΠ°.

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°:

  • Число ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· p ( x ) = 0 Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ количСство Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΊΠ° p ( x ), ΠΈΠ»ΠΈ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€.
  • Число ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ· p ( x ) = 0 Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ количСство Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Ρ†ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΊΠ° p (- x ), ΠΈΠ»ΠΈ мСньшС Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: рассмотрим p ( x ) Π²Ρ‹ΡˆΠ΅. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρƒ Π½Π΅Π³ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π° Π² Π·Π½Π°ΠΊΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π΄Π²Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня, ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ сформируйтС p (- x ), Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² x Π½Π° (- x ) Π² Π²Ρ‹ΡˆΠ΅:

p (- x ) = (- x ) 5 β€” 2 (- x ) 3 + 2 (- x ) 2 β€” 3 (- x ) + 12

p (- x ) = β€” x 5 + 2 x 3 + 2 x 2 + 3 x + 12

p (- x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, поэтому ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π» p ( x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π½Π΅Π³Π°Ρ‚ΠΈΠ² ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ p ( x ) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, сначала ΠΈΡ‰ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Ρ‹.

p ( x ) β€” ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ пятой стСпСни, поэтому ΠΎΠ½ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ x Π½Π΅ являСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x = 0 Π½Π΅ являСтся Π½ΡƒΠ»ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°. (Для ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π² этом случаС комплСксныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠΈ.) Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ возмоТности:

количСство Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ
, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹
ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ комплСксныС
Π½Π΅Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅
пСрвая Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 4 12 90272 90272 9027 2 1 2
Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚ 0 1 4

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

Если ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов , Ρ‚ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ настоящиС ΠΈΠ»ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число нСвСщСствСнных комплСксных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π² сопряТСнных ΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ… .

НапримСр, Ссли 5 + 2i являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° с вСщСствСнными коэффициСнтов, Ρ‚ΠΎ 5βˆ’2i Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΈ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ( x βˆ’5βˆ’2i) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ, Ρ‚ΠΎ ( x βˆ’5 + 2i) Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ.

ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ это ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°? ΠŸΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ Π΅Π΅ Π½Π° комплСксноС сопряТСниС, Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚:

( x βˆ’5βˆ’2i) ( x βˆ’5 + 2i) = x βˆ’10 x + 25βˆ’4i = x βˆ’10 x +29

Если ( x βˆ’5βˆ’2i) Π±Ρ‹Π»ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Π½ΠΎ ( x βˆ’5 + 2i) Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π΅Π³ΠΎ коэффициСнтах, нСзависимо ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ.Если ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ коэффициСнтов, Ρ‚ΠΎ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ комплСксныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² сопряТСнныС ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹.

Π˜Ρ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

По Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌ, Ссли ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… коэффициСнтов Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, содСрТащиС ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ (Ссли Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ) Π² сопряТСнных ΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ…. Если ( x βˆ’2 + √3) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° с Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтов, Ρ‚ΠΎ ( x βˆ’2 βˆ’ √3) Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ, вспомнитС, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ. Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ; ΠΈΠ»ΠΈ просто ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ эти Π΄Π²Π° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.(1/3) ΠΈ Π΄Π²Π° слоТныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.

Π˜Π½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ с Ρ‡Π΅Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌΠΈ корнями порядка β‰₯4 Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² сопряТСнных ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹. Π£ мСня Π½Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π°. Π― Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°ΡŽ Π½Π°Π΄ ΠΏΡ€ΡƒΡ„, ΠΊΠ°ΠΊ я ΡƒΡΠΏΠ΅Π²Π°ΡŽ.

ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

Когда Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ( x β€” r ) встрСчаСтся Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅ m Ρ€Π°Π·, r составляСт называСтся ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ ΠΌ .

  • Если ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌ β€” Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ касаСтся Ось x ΠΏΡ€ΠΈ x = r , Π½ΠΎ Π½Π΅ пСрСсСкаСт Π΅Π΅.
  • Если ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌ β€” Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ число, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт Ось x ΠΏΡ€ΠΈ x = r . Если ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 3, 5, 7 ΠΈ Ρ‚. Π”., Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрСсСчСния оси.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹: сравнитС эти Π΄Π²Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈ ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ:

f ( x ) = ( x βˆ’1) ( x βˆ’4) 2 = x 3 β€” 9 x 2 + 24 x β€” 16

Π³ ( x ) = ( x βˆ’1) 3 ( x βˆ’4) 2 = x 5 β€” 11 x 4 + 43 x 3 β€” 73 x 2 + 56 x β€” 16

Π­Ρ‚ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ, Π½ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ 1 встрСчаСтся с Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΉ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ:

Оба ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Π½ΡƒΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… 1 ΠΈ 4. f ( x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΈ корня. Π’Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ· Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ 1 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 1 ΠΈ 4 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ· кратности 2. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π³Ρ€Π°Ρ„ пСрСсСкаСт ось x = 1 (Π½ΠΎ Π½Π΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ) ΠΈ касаСтся x = 4 Π±Π΅Π· пСрСсСчСния.

Напротив, Π³ ( x ) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 5. ( Π³ ( x ) = f ( x ) Ρ€Π°Π· ( x βˆ’1) 2 .) Из пяти ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ 1 встрСчаСтся с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 3: Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт ось ΠΏΡ€ΠΈ x = 1 ΠΈ являСтся Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Π°ΠΌ; 4 встрСчаСтся с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 2, ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ касаСтся ось x = 4 Π±Π΅Π· пСрСсСчСния.


Π¨Π°Π³ 3. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

Когда Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ (Ax + Bx + C), ΠΎΠ½ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΡ… Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ.

Иногда Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ просто ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΊΠ°ΠΊ Π² случаС с x β€” x βˆ’6 = ( x +2) ( x βˆ’3).Π’ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… случаях Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. Π’ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° квадратная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ справа) ваш Π΄Ρ€ΡƒΠ³.

НапримСр, ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ коэффициСнт 12 x β€” x βˆ’35. МоТно Π»ΠΈ это Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· ΠΏΡ€ΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ? Π‘ΡƒΠ΄ΠΎΠΌ ΠΈ ошибка Π²Π°ΠΌ придСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ! ВмСсто этого ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ корням , ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ 12 x β€” x βˆ’35 = 0, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

x = [- (- 1) √1 β€” 4 (12) (- 35)] / 2 (12)

x = [1 √1681] / 24

√1681 = 41, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

x = [1 41] / 24

x = 42/24 ΠΈΠ»ΠΈ -40/24

x = 7/4 ΠΈΠ»ΠΈ -5/3

Если 7/4 ΠΈ βˆ’5/3 ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями, Ρ‚ΠΎ ( x βˆ’7/4) ΠΈ ( x +5/3) Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,

12 x β€” x βˆ’35 = (4 x βˆ’7) (3 x +5)

А ΠΊΠ°ΠΊ насчСт x βˆ’5 x +7? Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ выглядит ΠΊΠ°ΠΊ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠΉ, Π½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚Ρ‹ моТСшь Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½? Π‘Π½ΠΎΠ²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

x = [- (- 5) √25 β€” 4 (1) (7)] / 2 (1)

x = [5 √ βˆ’ 3] / 2

Π§Ρ‚ΠΎ с этим Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, зависит ΠΎΡ‚ исходной ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹. Если это Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Π» Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ€Π΅Π°Π»Ρ‹, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° x βˆ’5 x +7 β€” простоС число.Но Ссли этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π±Ρ‹Π» Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ уравнСния, ΠΈ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС слоТныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Ρƒ вас ΠΈΡ… Π΄Π²Π°:

x = 5/2 + (√3 / 2) i, x = 5/2 β€” (√3 / 2) i

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ исходноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ коэффициСнты, эти слоТныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² сопряТСнной ΠΏΠ°Ρ€Π΅.


Π¨Π°Π³ 4. НайдитС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ шаг являСтся сСрдцСм Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ полиномиальноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Иногда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ осмотра (см. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Ρ‹). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ способ быстрого доступа, поэтому ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ напряТСнныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹.

ΠœΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ

ВсСгда Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΠΉΡ‚Π΅ с поиска Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Ρ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅. НапримСр, Ссли ваша функция

f ( x ) = 4 x 6 + 12 x 5 + 12 x 4 + 4 x 3

, Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π½Π΅ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°

f ( x ) = 4 x 3 ( x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1)

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ числа 4 ΡƒΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ числа, x 3 Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ x = 0 (с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 3), ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ кубичСский ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ (стСпСни 3) вмСсто sextic (ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 6).ЀактичСски, Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ эту ΠΊΡƒΠ±ΠΈΠΊΡƒ ΠΊΠ°ΠΊ особый ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚, ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡƒΠ± ( x +1) 3 .

Когда Π²Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ± этом Π² ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° пСрСчисляСтС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. x +3 x +3 x +1 = 0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, Π½ΠΎ x ( x +3 x +3 x +1) = 0 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ с Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ x = 0 (с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 3).

ΠžΡΠΎΠ±Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹

Π‘ΡƒΠ΄ΡŒΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ Special Products .Если Π²Ρ‹ смоТСтС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ…, ваша Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° станСт Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅. Π‘ΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹:

  • ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ (2 Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹): A 2 A B + B = ( A B )
  • сумма ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²: A + B Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΎ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π² Ρ†Π΅Π»ΠΎΠΌ (для ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… случаСв см. Как Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²)
  • Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ²: A β€” B = ( A + B ) ( A β€” B )
  • ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡƒΠ± (2 Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹): A 3 A B + 3 A B B = ( A B )
  • сумма ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²: A + B = ( A + B ) ( A β€” A B + B )
  • Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²: A β€” B = ( A β€” B ) ( A + A B + B )

ВыраТСния для суммы ΠΈΠ»ΠΈ разности Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ² выглядят Ρ‚Π°ΠΊ: хотя ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ этого Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚. A A B + B являСтся простым Π½Π°Π΄ Ρ€Π΅Π°Π»Π°ΠΌΠΈ.

Рассмотрим

p ( x ) = 27 x β€” 64

Π’Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ это ΠΊΠ°ΠΊ

p ( x ) = (3 x ) β€” 4

Π’Ρ‹ ΡƒΠΌΠ΅Π΅Ρ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π½ΠΈΡ†Ρƒ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠ²:

p ( x ) = (3 x βˆ’4) (9 x +12 x +16)

Π‘ΠΈΠ½Π³ΠΎ! Как Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Π΄ΠΎ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, ΠΈ всС Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎ.

Π’ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

q ( x ) = x 6 + 16 x 3 + 64

Π­Ρ‚ΠΎ просто ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…Ρ‡Π»Π΅Π½, Π½ΠΎ вмСсто этого Π² x 3 Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ x . Π’Ρ‹ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅ это Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅:

q ( x ) = ( x 3 ) 2 + 2 (8) ( x 3 ) + 8 2

q ( x ) = ( x 3 + 8) 2

И Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ( x 3 +8) 2 ΠΊΠ°ΠΊ ( x +2) 2 ( x 2 βˆ’2 x +4) 2 .

Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Ρ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΡƒΡ‡Π»ΠΈ простыС ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли Ρƒ вас всС Π΅Ρ‰Π΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни 3 ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅?

ΠžΡ‚Π²Π΅Ρ‚ β€” Rational Root Test . Он ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠ°Π½Π΄ΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Π½Π΅ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

Рассмотрим ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹, записанный с Π²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ стСпСни Π΄ΠΎ самого Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами :

f ( x ) = a n x n +… + a o

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ корня Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ , Ссли ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½ΡƒΠ»ΡŒ , Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ , это Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ p / q , Π³Π΄Π΅ p β€” коэффициСнт Π·Π°Π΄Π½Π΅ΠΉ константы a o ΠΈ q β€” ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ коэффициСнта a n .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

p ( x ) = 2 x 4 β€” 11 x 3 β€” 6 x 2 + 64 x + 32

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠ΅Π³ΠΎ коэффициСнта (2) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 2 ΠΈ 1.Π’ коэффициСнты постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π° (32) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1, 2, 4, 8, 16 ΠΈ 32. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ: 1, 2, 4, 8, 16 ΠΈΠ»ΠΈ 32 Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° 2 ΠΈΠ»ΠΈ 1:

любой из 1/2, 1/1, 2/2, 2/1, 4/2, 4/1, 8/2, 8/1, 16/2, 16/1, 32/2, 32/1

ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΎ: любоС ΠΈΠ·, 1, 2, 4, 8, 16, 32

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это список всСх Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ? ΠœΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ 32/7, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ этого ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.

Π’Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ : НС Π΄Π΅Π»Π°ΠΉΡ‚Π΅ Rational Root Test большС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΅ΡΡ‚ΡŒ.Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ корнями , просто Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа Π½Π΅ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ корнями. И это Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Ρ‹ Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π°ΠΆΠ΅ слоТныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ. Rational Root Test β€” это Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ отправная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с Π½Π΅Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами. Π’Ρ‹ застряли? НСт, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ распространСнныС Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ (LCD) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ с Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ способ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

(1/2) x β€” (3/2) x + (2/3) x β€” 1/2

Π–Πš-дисплСй 1/6.Вынося Π·Π° скобки 1/6 ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

.

(1/6) (3 x β€” 9 x + 4 x β€” 3)

Π­Ρ‚ΠΈ Π΄Π²Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ эквивалСнтны, ΠΈ поэтому ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Ρ‹. Но Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Rational Root Test ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ. ВСст Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ СдинствСнно Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ β€” Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· 1/3, 1, 3.

ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ? ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ Π³Ρ€ΡƒΠ±ΠΎΠΉ силы Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π»ΡΡ Π±Ρ‹ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° x Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅: Ссли Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° это число являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ способ.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Synthetic Division, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°Π½Π΄ΠΈΠ΄Π°Ρ‚ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. Π­Ρ‚ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ Π½Π° Ρ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹. Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, это ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ Π² Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΡΡˆΠΈΠ΅ стСпСни чисСл. Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, Π² Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя ΠΎΠ½ сообщаСт нСзависимо ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, являСтся Π»ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ число ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, ΠΎΠ½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ сокращСнный ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Ρ‹. НаконСц, Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ синтСтичСского дСлСния ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ вСрхняя ΠΈΠ»ΠΈ ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π°, Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли число тСстированиС оказываСтся Π½Π΅ Ρ€ΡƒΡ‚ΠΎΠΌ.

Иногда ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Π² дальнСйшСм Π²Ρ‹ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. НапримСр, Rational Root Test сообщаСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли

q ( x ) = 2 x 4 + 13 x 3 + 20 x 2 + 28 x + 8

ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· списка любой ΠΈΠ·, 1, 2, 4, 8. Но Π½Π΅ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΠΉΡ‚Π΅ с Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ синтСтичСскоС Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π½Π΅Ρ‚ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΊΠ°, Π½Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.Π•ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ?

q (- x ) = 2 x 4 -13 x 3 + 20 x 2 -28 x + 8

ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ смСны Π·Π½Π°ΠΊΠ°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. (Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π²Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ.) НСт Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ являСтся Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π½ΠΎ любой ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· списка -, βˆ’1, βˆ’2, βˆ’4, βˆ’8.

(Если Ρƒ вас графичСского ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π²Π°Ρ€ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, построив Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΠΈ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½, каТСтся, пСрСсСкаСт ось x .Но Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎ-ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½Π΅ΠΌΡƒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ алгСбраичСски, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f ( x ) Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ 0, Π° Π½Π΅ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ 0.)

ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Rational Root Test Π³Π°Ρ€Π°Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΡƒΠ΅Ρ‚ Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСх Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Но ΠΎΠ½ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ упустит настоящиС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅Ρ‚. Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ x βˆ’2 = 0, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ √2, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ x + 4 = 0, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ 2i.

НаконСц, ΠΏΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Rational Root Test Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли всС коэффициСнты β€” Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа.ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π΅Ρ‰Π΅ Ρ€Π°Π· Π½Π° эту Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, которая Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ справа:

p ( x ) = 2 x 4 β€” 11 x 3 β€” 6 x 2 + 64 x + 32

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ СдинствСнно Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π½ΡƒΠ»ΠΈ β€” это 1, 2, 4, 8, 16, 32. Но ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ Π²Ρ‹Ρ‡Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ 2 (ΠΊΠ°ΠΊ я ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°-Ρ‚ΠΎ сдСлал Π² классС), написав эквивалСнт функция

p ( x ) = 2 ( x 4 β€” (11/2) x 3 -3 x 2 + 32 x + 16)

Π­Ρ‚Π° функция Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Π° ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ, Π½ΠΎ Π²Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ дольшС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Rational Root Test, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ коэффициСнты Π½Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа.По сути β€” это ноль p ( x ), Π½ΠΎ это Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ. ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° я (Π½Π΅Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π½ΠΎ) ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ» Rational Root Test ΠΊ вторая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°. Моя ошибка Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π»Π°ΡΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я Π·Π°Π±Ρ‹Π», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠ° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅. Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° всС коэффициСнты ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа.

ГрафичСскиС подсказки

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ€ΡƒΡ‡Π½ΡƒΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Π³Π΄Π΅ находятся ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎ, ΠΈ сколько сущСствуСт настоящих ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Если Rational Root Test Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2 Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… корня, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, пСрСсСкаСт Π»ΠΈ ΠΎΠ½ (ΠΈΠ»ΠΈ касаСтся) оси x Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… 2 ΠΈΠ»ΠΈ βˆ’2.Если Π΄Π°, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ±Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. Π”Π° Ρ‚Ρ‹ всСгда Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ, Π²Ρ‹ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ‹ являСтся Π»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния Π½Π° ваш Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ всСго рядом с ΠΎΠ½.

Π“Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

НСкоторыС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ Π½Π΅ ΡΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ корня, Π½ΠΎ скорСС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ сущСствуСт ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя значСниями ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ мСньшС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа большС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ ΡΡƒΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ поиска.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ

Π­Ρ‚Π° Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° находится Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ось x для ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ значСния x ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ оси x для Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x , ΠΎΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ось x Π³Π΄Π΅-Ρ‚ΠΎ посСрСдинС. (Если Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, пСрСсСчСния ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½Ρ‹ΠΌ.)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

p ( x ) = 3 x + 4 x β€” 20 x βˆ’32

Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ (Ссли Π΅ΡΡ‚ΡŒ) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΈΠ· списка любой ΠΈΠ· 1/3, 2/3, 1, 4/3, 2, 8/3, 4, 16/3, 8, 32/3, 16, 32.ЕстСствСнно, сначала Π²Ρ‹ посмотритС Π½Π° Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΊΠ° ΠŸΠΎΠ»Π΅Π³Ρ‡Π΅. ΠŸΡ€ΠΎΠ±ΡƒΡ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ p (1) = βˆ’45, p (2) = βˆ’22 ΠΈ p (4) = 144. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ p (2) ΠΈ p (4) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, Π²Ρ‹ Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт ось ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ x = 2 ΠΈ x = 4, поэтому хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими числами. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Π»ΠΈΠ±ΠΎ 8/3 β€” это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΎΡ‚ 2 Π΄ΠΎ 4 ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹. (По Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρƒ, синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 8/3 β€” это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.)

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ находится root, Π½ΠΎ ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ Π½Π΅Ρ‚ root. НапримСр, ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ

q ( x ) = 4 x β€” 16 x + 15

q (1) ΠΈ q (3) ΠΎΠ±Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹, Π½ΠΎ это Π²Π°ΠΌ Π½Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π»ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ ось ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. (Π­Ρ‚ΠΎ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π΄Π²Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ пСрСсСкаСт ось, ΠΏΡ€ΠΈ x = 3/2 ΠΈ x = 5/2.)

ВСрхняя ΠΈ ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹

Одним ΠΈΠ· ΠΏΠΎΠ±ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… эффСктов синтСтичСского дСлСния являСтся Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Ссли число, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ тСстируСтС, окаТСтся Π½Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅Π²Ρ‹ΠΌ, ΠΎΠ½ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ мСньшС ΠΈΠ»ΠΈ большС этого Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€:

  • Если Π²Ρ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число , a , ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ число Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ строкС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° a β€” это вСрхняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° для ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ≀ a .
  • Если Π²Ρ‹ Π΄Π΅Π»Π°Π΅Ρ‚Π΅ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число b , Π° числа Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ряду Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° b β€” это ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° для ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ β‰₯ b .

    Π§Ρ‚ΠΎ Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, Ссли ниТняя строка содСрТит Π½ΡƒΠ»ΠΈ? Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ Π£Ρ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² , послС синтСтичСского дСлСния Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ниТнюю Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΏΠΎΡΡΠ½ΡΡŽΡ‚ это.

(ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ для Π½ΠΈΠΆΠ½ΠΈΡ… ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΎΠΊ слСдуСт ΠΈΠ· ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° для Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΡ… ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΎΠΊ. НиТниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ p ( x ) Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ p (- x ), ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° (- x + r ) Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° β€” ( x β€” r ).)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

q ( x ) = x 3 + 2 x 2 β€” 3 x β€” 4

ИспользованиС Rational Root ВСст, Π²Ρ‹ опрСдСляСтС СдинствСнныС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ 4, 2 ΠΈ 1.Π’Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ βˆ’2 ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, ΠΈ Π²Ρ‹ тСстируСтС Π΅Π³ΠΎ с синтСтичСским Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ:

        -2 | 1 2 -3-4
            | -2 0 6
            | ------------------
               1 0–3 2 

βˆ’2 Π½Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ уравнСния f ( x ) = 0. Π’ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ строкС Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, ΠΈ Π²Ρ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число; ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ этот ноль всС ΠΏΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ‚. Напомним, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π°, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ряду Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.1 ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ (Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ), ΠΈ 0 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π½ΠΎ βˆ’3 Π½Π΅ считаСтся Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ. Π§Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ битая, Π° Ρ‚Ρ‹ Π½Π΅ знаСшь Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ мСньшС -2. (ЀактичСски, графичСский ΠΈΠ»ΠΈ числСнныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΏΠΎΠΊΠ°ΠΆΡƒΡ‚ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ -2,5.) Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ наимСньший Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, βˆ’4:

.
        -4 | 1 2 -3-4
            | -4 8-20
            | ------------------
               1–2 5–24 

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ; поэтому Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ΅ βˆ’4.(ΠžΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΊ βˆ’24 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ βˆ’4 сам ΠΏΠΎ сСбС Π½Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.)

Π’ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

r ( x ) = x + 3 x β€” 3

Rational Root Test сообщаСт Π²Π°ΠΌ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ β€” 1 ΠΈ 3. Π‘ синтСтичСским Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° βˆ’3:

        -3 | 1 3 0-3
            | -3 0 0
            | ------------------
               1 0 0-3 

βˆ’3 Π½Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Π½ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ здСсь Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ 0 считаСтся Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, βˆ’3 β€” это ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Π° это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ вСщСствСнных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π½ΠΈΠΆΠ΅ βˆ’3.

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

БущСствуСт интСрСсная взаимосвязь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ коэффициСнтами ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΠΈ. Π― ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡŽ ΠΎΠ± этом Π² послСднюю ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ это большС ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ для формирования ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΡƒΠ»ΠΈ с ΠΆΠ΅Π»Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌΠΈ свойствами, вмСсто нахоТдСния Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. Однако Ссли Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ…, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это Ρ‚Π΅Ρ…Π½ΠΈΠΊΠ°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠΉΡΡ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.

Рассмотрим ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

f ( x ) = a n x n + a n βˆ’1 x n βˆ’1 + a n βˆ’2 x n βˆ’2 + … + a 2 x 2 + a 1 x + Π° ΠΈΠ»ΠΈ

Π‘ΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ:

  • β€” a n βˆ’1 a n = сумма всСх ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ
  • + a n βˆ’ 2 a n = сумма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ взято ΠΏΠΎ Π΄Π²Π° Π·Π° Ρ€Π°Π·
  • β€” a n βˆ’3 a n = сумма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ взято ΠΏΠΎ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π·Π° Ρ€Π°Π·
  • ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅, ΠΏΠΎΠΊΠ°
  • (-1) n a 0 a n = ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСх ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: f ( x ) = x 3 β€” 6 x 2 β€” 7 x β€” 8 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3 ΠΈ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ.Если записываСм Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ r 1 , r 2 , r 3 , Ρ‚ΠΎ сумма ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° r 1 + r 2 + r 3 = β€” (- 6) = 6; Π² сумма ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, взятых ΠΏΠΎ Π΄Π²Π° Π·Π° Ρ€Π°Π·, Ρ€Π°Π²Π½Π° r 1 r 2 + r 1 r 3 + r 2 r 3 = βˆ’7, Π° ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ r 1 r 2 r 3 = (-1) 3 (-8) = 8.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½

Π³ ( x ) = x 5 -11 x 4 + 43 x 3 -73 x 2 + 56 x β€” 16

ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ x = 1, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π²Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… корня.

РСшСниС: ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… корня Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ c ΠΈ d . Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумма всСх ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° 1 + 1 + 1 + c + d = β€” (- 11) = 11, ΠΈΠ»ΠΈ c + d = 8.Π’Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚ всСх ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ 111 c d = (βˆ’1) 5 (βˆ’16) = 16, ΠΈΠ»ΠΈ c d = 16. c + d = 8, c d = 16; поэтому c = d = 4, поэтому ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ с Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ x = 4.

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ коэффициСнты ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ нСсколько Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌ ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ коэффициСнтами ΠΈ корнями. Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ Π² Π’ΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΠΈ Бвойства ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π΅, хотя ΠΈ нСсколько ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡŽΠΌΠ΅.


Π¨Π°Π³ 5. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ

ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ r являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° x β€” r являСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ; это факторная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°. Π’Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Ρ‚Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‡Π΅ΡˆΡŒ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, являСтся Π»ΠΈ r ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° x β€” r ΠΈ посмотритС, Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π»ΠΈ Ρ€ΠΎΠ²Π½Ρ‹ΠΌ (остаток ΠΎΡ‚ 0). Π­Π»ΠΈΠ·Π°Π±Π΅Ρ‚ Π‘Ρ‚Π°ΠΏΠ΅Π»ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ дСлСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π² столбик.

Но Π΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ‰Π΅ ΠΈ быстрСС.Если Ρ‚Π²ΠΎΠΉ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°Ρ€ΠΆΠ°Π²Π΅Π»ΠΎ, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π²Π·Π³Π»ΡΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π° Dr. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° короткая Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ ΠΏΠΎ синтСтичСскому Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ·ΠΈΠΎΠ½Ρƒ; Ссли Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ, Π­Π»ΠΈΠ·Π°Π±Π΅Ρ‚ БтСйплс БинтСтичСский Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ·ΠΈΠΎΠ½ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ. (Π£ Π΄ΠΎΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠœΠ°Ρ‚Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ страница ΠΎ ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Synthetic Division.)

БинтСтичСскоС ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ±ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ прСимущСства. Если Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ·Ρ€Π΅Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ . А ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚Π΅Π±Π΅ Π²Π΅Π·Π΅Ρ‚, ΠΈ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ниТнюю привязаны ΠΊ корням.

Π’Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° Π±ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π° x β€” r для постоянной r . Если Π²Ρ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° x βˆ’3, Π²Ρ‹ провСряСтС, являСтся Π»ΠΈ 3 ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, ΠΈ Π²Ρ‹ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 3 (Π½Π΅ Π½Π° βˆ’3). Если Π²Ρ‹ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° x +11, Π²Ρ‹ тСстируСтС являСтся Π»ΠΈ βˆ’11 ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, ΠΈ Π²Ρ‹ синтСтичСски Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° βˆ’11 (Π½Π΅ 11).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

p ( x ) = 4 x 4 β€” 35 x 2 β€” 9

Π’Ρ‹ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ·Ρ€Π΅Π²Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ x βˆ’3 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, ΠΈ провСряСтС это с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

        3 | 4 0-35 0-9
           | 12 36 3 9
           | --------------------
              4 12 1 3 0 

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ остаток Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 0, Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 3 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ p ( x ) = 0, Π° x βˆ’3 являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ p ( x ).Но Ρ‚Ρ‹ знаСшь Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 3 ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ ниТняя строка синтСтичСского дСлСния всС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Π΅, Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ p ( x ) = 0 Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ≀ 3. И Π²Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Ρ‡Ρ‚ΠΎ

p ( x ) = ( x βˆ’3) (4 x 3 + 12 x 2 + x + 3)

4 x 3 + 12 x 2 + x + 3 β€” это ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ .ВсС Π΅Π³ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ коэффициСнтов исходного p ( x ), Π½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π½Π° Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρƒ Π½ΠΈΠΆΠ΅ , поэтому Π΅Π³ΠΎ с Π½ΠΈΠΌ Π»Π΅Π³Ρ‡Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ.


Π¨Π°Π³ 6. ЧислСнныС ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹

Когда Ρƒ вашСго уравнСния большС Π½Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ числовым ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹ нахоТдСния ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ значСния ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

  • Π‘Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡ Π² Π’ΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΠΈ Алгоритм поиска ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ достойноС Ρ€Π΅Π·ΡŽΠΌΠ΅ с указатСлями Π½Π° ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Ρ‹.
  • МногиС графичСскиС ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Команда Root ΠΈΠ»ΠΈ Zero, которая ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Π°ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. НапримСр, Π½Π° ВИ-83 ΠΈΠ»ΠΈ ВИ-84 Π²Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ [2nd] [Calc] [zero].

ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для всСх слоТных ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ:

4 x + 15 x β€” 36 = 0

Π¨Π°Π³ 1. Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠΆΠ΅ Π² стандартной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, с Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ноль с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны ΠΈ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ x ΠΎΡ‚ наибольшСго Π΄ΠΎ наимСньшСго.Π’Π°ΠΌ Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΡ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Π¨Π°Π³ 2. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 3 ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΏΠ»ΠΎΠ΄Ρ‹. Π•ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½Π° вариация Π·Π½Π°ΠΊΠ°, Π° ΠΎΡ‚ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ. Π˜Π·ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² β€” x x :

βˆ’4 x β€” 15 x β€” 36

Π—Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π½Π΅Ρ‚, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π΄Π²Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… корня Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ слоТными, ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Π°.

Π¨Π°Π³ΠΈ 3 ΠΈ 4. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΊ соТалСнию, довольно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ: Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 дСлится Π½Π° любоС ΠΈΠ· 4, 2, 1. (пСрСчислСны Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для этого Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.) Π’Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚Π΅ сначала ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ 1:

        1 | 4 0 15 -36
           | 4 4 19
           | -----------------
              4 4 19-17 

1 Π½Π΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, поэтому Π²Ρ‹ провСряСтС 2:

        2 | 4 0 15 -36
           | 8 16 62
           | -----------------
              4 8 31 26 

Π£Π²Ρ‹, 2 Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π΅ Ρ€ΡƒΡ‚.Но ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f (1) = βˆ’17 ΠΈ f (2) = 26. Π£ Π½ΠΈΡ… ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ², Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт ось x ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ x = 1 ΠΈ x = 2, Π° ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ находится ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 1 ΠΈ 2. (Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС это СдинствСнный root, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сущСствуСт ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈ Π½Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.)

ЕдинствСнный Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 1 ΠΈ 2 β€” 3/2, ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ 3/2 являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»Π΅Π½. Π’Ρ‹ ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Π΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ 3/2 ΠΏΠΎ синтСтичСскому Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ:

        3/2 | 4 0 15 -36
             | 6 9 36
             | -----------------
                4 6 24 0 

Π£Ρ€Π°! 3/2 β€” это ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 4 x + 6 x + 24. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами,

(4 x + 15 x β€” 36) ( Ρ… βˆ’3/2) = 4 x + 6 x + 24

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 2, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅Ρ‚ нСобходимости Π² большСм ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ± ΠΈ ошибок, ΠΈ Π²Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΊ ΡˆΠ°Π³Ρƒ 5.

Π¨Π°Π³ 5. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ

4 x + 6 x + 24 = 0

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ 2:

2 x + 3 x + 12 = 0

НСт смысла ΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ этот ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ большС Π½Π΅Ρ‚ настоящиС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

x = [βˆ’3 √9 β€” 4 (2) (12)] / 2 (2)

x = [βˆ’3 √ βˆ’ 87] / 4

x = βˆ’3/4 (√87 / 4) i

Π¨Π°Π³ 6. ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ нашли ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ€Π°Π½Π½ΠΈΠΉ шаг! ΠŸΠΎΠ»Π½Ρ‹ΠΉ список ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ β€”

3/2, βˆ’3/4 + (√87 / 4) я, βˆ’3/4 β€” (√87 / 4) я


Π§Ρ‚ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ

  • 19 октября 2020 Π³. : ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΎ Π² HTML5. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅, Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ курсивом ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ; Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠ΅ i.
  • 3 ноября 2018 Π³. : НСкоторыС измСнСния форматирования для ясности, особСнно с Ρ€Π°Π΄ΠΈΠΊΠ°Π»Π°ΠΌΠΈ. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 0 являСтся Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Π² этом ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅.
  • (ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ измСнСния ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹)
  • 15 фСвраля 2002 Π³. : ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ публикация.

АлгСбра β€” Π½ΡƒΠ»ΠΈ / ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ²Π΅Π΄ΠΎΠΌΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… устройств ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ всС Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ Π‘ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΡŒ всС Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΊΠΈ

ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, Π²Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ устройство с Β«ΡƒΠ·ΠΊΠΎΠΉΒ» ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½ΠΎΠΉ экрана ( i.Π΅. Π²Ρ‹, вСроятно, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ΡΡŒ ΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ‚Π΅Π»Π΅Ρ„ΠΎΠ½ΠΎΠΌ). Из-Π·Π° особСнностСй ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π½Π° этом сайтС Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ всСго ΠΏΡ€ΠΎΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π»Π°Π½Π΄ΡˆΠ°Ρ„Ρ‚Π½ΠΎΠΌ Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅. Если вашС устройство Π½Π΅ находится Π² альбомном Ρ€Π΅ΠΆΠΈΠΌΠ΅, ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ уравнСния Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ сбоку ΠΎΡ‚ вашСго устройства (Π²Ρ‹ смоТСтС ΠΏΡ€ΠΎΠΊΡ€ΡƒΡ‡ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΈΡ…), Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Ρ‹ мСню Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΠΎΠ±Ρ€Π΅Π·Π°Π½Ρ‹ ΠΈΠ·-Π·Π° ΡƒΠ·ΠΊΠΎΠΉ ΡˆΠΈΡ€ΠΈΠ½Ρ‹ экрана.

Π Π°Π·Π΄Π΅Π» 5-2: Нули / ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²

ΠœΡ‹ Π½Π°Ρ‡Π½Π΅ΠΌ этот Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π» с опрСдСлСния, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ ноль ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.ΠœΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (x = r \) являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° \ (P \ left (x \ right) \), Ссли \ (P \ left (r \ right) = 0 \). Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, \ (x = r \) являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Ссли ΠΎΠ½ являСтся Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ уравнСния \ (P \ left (x \ right) = 0 \).

Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ… Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС Π½ΡƒΠ»ΠΈ для Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ этому, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π½Π°ΠΌ Π² этом процСссС.

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ нахоТдСния Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ \ (P \ left (x \ right) \) Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ сводится ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ уравнСния \ (P \ left (x \ right) = 0 \), ΠΈ ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ. Ρ‡Ρ‚ΠΎ для ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ² Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни (ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ…).2} = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \, \, \, \, \, \, \, \, \, x = 7 \]

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, этот ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ СдинствСнный ноль ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ. Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ вспомнитС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ посмотрСли Π½Π° Π½ΠΈΡ…, ΠΌΡ‹ Π½Π°Π·Π²Π°Π»ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ .

ΠœΡ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡƒΡŽ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…, сначала Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠ² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² свойство Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ мноТитСля Π² Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅. Когда ΠΌΡ‹ Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ посмотрСли Π½Π° свойство Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄Π΅Π»ΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΎ гласит, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² равняСтся Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°.

Бвойство Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΎ Π΄ΠΎ любого количСства Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ². Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ссли Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ \ (n \) Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ², Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ для Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π°. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокой стСпСни, ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠ³Π»ΠΈ Π±Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΈΡ….

Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ взглянСм Π½Π° ΠΏΠ°Ρ€Ρƒ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ…. 2} \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x + 4} \ right) \) ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Π‘ этим ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠΌ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ здСсь,

\ [x = β€” 5, \, \, \, x = β€” 1, \, \, \, x = 1, \, \, \, {\ mbox {and}} \, \, \, x = β€” 4 \]

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ нСкоторая тСрминология, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ ΠΌΠ΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ.2} \ left ({x + 5} \ right) \ left ({x + 4} \ right) \) ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

ΠœΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… Π² этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅, поэтому Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ эту Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρƒ. Π’ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌ случаС ΠΌΡ‹ просто запишСм Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ вСрнСмся ΠΊ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, посмотрим Π½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° ΠΈ Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

a Π’ этом случаС Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π° простых нуля: \ (x = β€” 5, \, \, x = 3 \).

b Π—Π΄Π΅ΡΡŒ \ (x = 7 \) β€” Π½ΡƒΠ»ΡŒ кратности 2.

c Π£ этого ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π΄Π²Π° нуля: \ (x = β€” 1 \) с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 2 ΠΈ \ (x = 2 \) с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 3.

d Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρƒ нас Ρ‚Ρ€ΠΈ нуля. : \ (x = β€” 5 \) простой, \ (x = 0 \) с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 4 ΠΈ \ (x = 3 \) с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 3.

e Π’ послСднСм случаС Ρƒ нас Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅ нуля. \ (x = β€” 5 \), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся простым, \ (x = β€” 1 \) с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 3, \ (x = 1 \) с ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ 2 ΠΈ \ (x = β€” 4 \), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся простым.

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ нас ΠΊ нСскольким интСрСсным Ρ„Π°ΠΊΡ‚Π°ΠΌ ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°Ρ…. Π’ΠΎΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΈ, Π½Π°Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅, самоС Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅.

Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

Если \ (P \ left (x \ right) \) β€” ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни n , Ρ‚ΠΎ \ (P \ left (x \ right) \) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ \ (n \) Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ, Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒΡΡ .

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π²Ρ‹ пСрСчислитС всС Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΈ пСрСчислитС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ \ (k \) Ρ€Π°Π·, Π³Π΄Π΅ \ (k \) β€” Π΅Π³ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Ρƒ вас Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€ΠΎΠ²Π½ΠΎ \ (n \) чисСл Π² спискС.Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ способ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚ состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ всСх Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ со ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ для ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΎΠ², пСрСчислСнных Ρ‚Π°ΠΌ.

Π­Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ приятный Ρ„Π°ΠΊΡ‚ Π² Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°Ρ…, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ рассмотрим Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ всСх Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°. Если ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΡŽΡŽ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρƒ количСства Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ всС ΠΈΡ… Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ, ΠΈ поэтому ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ слоТными. Π’ этом Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π»ΠΈ с ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ, Π½ΠΎ это Π½Π΅ позволяСт Π²Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΠ° Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ нулям. Π’ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ комплСксныС Π½ΡƒΠ»ΠΈ появятся Π² спискС Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ.

Иногда Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π΅Π½ ΠΈ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚.

Ѐакторная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°

Для ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° \ (P \ left (x \ right) \),

  1. Если \ (r \) являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ \ (P \ left (x \ right) \), Ρ‚ΠΎ \ (x β€” r \) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ \ (P \ left (x \ right) \).
  2. Если \ (x β€” r \) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ \ (P \ left (x \ right) \), Ρ‚ΠΎ \ (r \) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ \ (P \ left (x \ right) \).

ΠžΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΆΠ΅, Ссли ΠΌΡ‹ вСрнСмся ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρƒ, ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это подтвСрТдаСтся ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°ΠΌΠΈ, пСрСчислСнными Ρ‚Π°ΠΌ.

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€-Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρƒ.

Π€Π°ΠΊΡ‚ 1

Если \ (P \ left (x \ right) \) являСтся ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ стСпСни \ (n \) ΠΈ \ (r \) являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ \ (P \ left (x \ right) \), Ρ‚ΠΎ \ (P \ left (x \ right) \) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅.

\ [P \ left (x \ right) = \ left ({x β€” r} \ right) Q \ left (x \ right) \]

, Π³Π΄Π΅ \ (Q \ left (x \ right) \) β€” ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ стСпСни \ (n β€” 1 \). \ (Q \ left (x \ right) \) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² \ (P \ left (x \ right) \) Π½Π° \ (x β€” r \).

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Ρ„Π°ΠΊΡ‚, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ с Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΈ.

Π€Π°ΠΊΡ‚ 2

Если \ (P \ left (x \ right) = \ left ({x β€” r} \ right) Q \ left (x \ right) \) ΠΈ \ (x = t \) являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ \ (Q \ left (x \ right) \), Ρ‚ΠΎ \ (x = t \) Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ \ (P \ left (x \ right) \).

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ достаточно Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ. Π’ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, Ссли \ (x = t \) являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ \ (Q \ left (x \ right) \), Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

\ [Q \ left (t \ right) = 0 \]

, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли \ (x = t \) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ \ (P \ left (x \ right) \), Ρ‚ΠΎ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (P \ left (t \ right) = 0 \ ) ΠΈ это Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ довольно просто. Π’ΠΎΡ‚ ΠΎΠ½Π°,

\ [P \ left (t \ right) = \ left ({t β€” r} \ right) Q \ left (t \ right) = \ left ({t β€” r} \ right) \ left (0 \ right) = 0 \]

, ΠΈ поэтому \ (x = t \) являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ \ (P \ left (x \ right) \).2} β€” 5x β€” 6 \) Π€Π°ΠΊΡ‚ 1 Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ \ (P \ left (x \ right) \) ΠΊΠ°ΠΊ,

\ [P \ left (x \ right) = \ left ({x β€” 2} \ right) Q \ left (x \ right) \]

ΠΈ \ (Q \ left (x \ right) \) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠΌ. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ \ (Q \ left (x \ right) \) Π»ΡŽΠ±Ρ‹ΠΌ ΠΈΠ· ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ рассмотрСли Π΄ΠΎ этого ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°, ΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρƒ 2 ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° нуля, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΈΠ· \ (Q \ left (x \ right) \) Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ нулями \ (P \ left (x \ right) \). На этом этапС Ρƒ нас Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 3 нуля, ΠΈ Π½Π° этом всС Π³ΠΎΡ‚ΠΎΠ²ΠΎ.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π΄Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ \ (Q \ left (x \ right) \). Для этого всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ, β€” это быстроС синтСтичСскоС Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½ΠΈΠΆΠ΅.

\ [\ begin {align *} \ left. {\ underline {\, 2 \,}} \! \ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ | & \, \, \, \ begin {array} {* {20} {l}} 1 & {\, \, 2} & {- 5} & {- 6} \ end {array} \\ & \, \ , \, \, \, \, \ underline {\, \, \ begin {array} {* {20} {l}} {} & 2 & {\, \, \, \, 8} & {\, \, \, \, \, 6} \ end {array}} \\ & \, \, \, \, \, \ begin {array} {* {20} {l}} {\, 1} & {4} & {\, \, 3} & {\, \, \, \, \, 0} \ end {array} \ end {align *} \]

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π΄ записью \ (Q \ left (x \ right) \) вспомнитС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ послСднСС число Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΠ΅ΠΉ строкС β€” это остаток, ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (P \ left (2 \ right) \) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ этому Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€.Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π² этом случаС ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ \ (P \ left (2 \ right) = 0 \). Если Π·Π°Π΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΌΡ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это ΠΏΡ€Π°Π²Π΄Π°. Π’ постановкС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π°ΠΌ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π»ΠΎΡΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (x = 2 \) являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ \ (P \ left (x \ right) \), Π° это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ \ (P \ left (2 \ right) = 0 \).

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Π·Π°Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΎΠ± этом Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ? Π­Ρ‚ΠΎ отличная ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° нашСго синтСтичСского подраздСлСния. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ \ (x = 2 \) являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ для \ (P \ left (x \ right) \), ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ любоС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ число, ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ нуля Π² этой послСднСй записи, ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ сдСлали Ρ‡Ρ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ.2} β€” 5Ρ… β€” 6 \). ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ \ (Q \ left (x \ right) \) Π² \ (P \ left (x \ right) \), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

\ [P \ left (x \ right) = \ left ({x β€” 2} \ right) \ left ({x + 3} \ right) \ left ({x + 1} \ right) \]

ΠšΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ Π½Π°Π±ΠΎΡ€Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ². Для этого потрСбуСтся Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ большС Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹, Π½ΠΎ это ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

Π£Ρ€ΠΎΠΊ 39: Нули ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ II:
ВСрхняя ΠΈ ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ, основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ

Π¦Π΅Π»ΠΈ обучСния


ПослС изучСния этого руководства Π²Ρ‹ смоТСтС:
  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅, являСтся Π»ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ число Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ функция.
  2. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π°ΠΏΠΏΡ€ΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.
  3. Π—Π½Π°ΠΉΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π½Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ комплСксноС число являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° функция Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ сопряТСниС Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.
  4. Π—Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹.
  5. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ n-ΠΉ стСпСни функция учитывая Π΅Π³ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΠΈ.

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅



Π’ этом ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠ΅ ΠΌΡ‹ рассмотрим нСсколько аспСктов ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅Π»ΠΎ с Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Если Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π½ΡƒΠ»ΠΈ, Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ нуля ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π”Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚Π°, бСсплатно ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΊ Π£Ρ€ΠΎΠΊ 38: Нули ΠŸΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ I. На этой страницС ΠΌΡ‹ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ углубимся Π² понятиС Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ.Одна Π²Π΅Ρ‰ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΡ‹ рассмотрим, β€” это Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠΈ свСрху ΠΈ снизу ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ Π½Π°ΠΌ ΡΡƒΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ возмоТности Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠšΠΎΠ½Ρ†Π΅ΠΏΡ†ΠΈΡ Π½Π° этой страницС β€” это Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‡ΡŒ ΡΡƒΠ·ΠΈΡ‚ΡŒ возмоТности Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ, особСнно Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ зСмля ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌΠΈ значСниями. Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ с нСнастоящими слоТный числа. Π—Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π½Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ комплСксноС число Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ Π΅Π΅ сопряТСнная? ΠœΡ‹ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π·Π° этим, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹ ΠΈ Π›ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с ΡƒΡ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠΌ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ. Π£Ρ… Ρ‚Ρ‹, ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠ΅, Ρƒ нас ΡƒΠΆΠ΅ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°. Π― Π΄ΡƒΠΌΠ°ΡŽ Ρ‚Π΅Π±Π΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ.

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΈΠΊ




ВСрхняя ΠΈ ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° .

ВСрхняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π°
Если Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ f ( x ) ΠΏΠΎ ( x β€” c ), Π³Π΄Π΅ c > 0, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ это Π΄Π°Π΅Ρ‚ всС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° c β€” это вСрхняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния f ( x ) = 0.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для c to Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ. Один β€” c > 0 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π’ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, всС коэффициСнты частного, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ остаток ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅.


НиТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π°
Если Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ f ( x ) ΠΏΠΎ ( x β€” c ), Π³Π΄Π΅ c <0, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈ это Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° c являСтся Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ уравнСния f ( x ) = 0.ОсобоС Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ слСдуСт ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для c to Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ. Один β€” c <0 ΠΈΠ»ΠΈ ΠΆΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ коэффициСнты частноС Π° ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ.




ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1 : ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ β€” 4 ΠΈ 4.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ β€” 4 β€” это мСньшСС связаны ΠΈ 4 ΠΎΡ†Π΅Π½ΠΊΠ° свСрху Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ уравнСния.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° НиТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π°:
Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ синтСтичСскоС Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ с β€” 4 ΠΈ посмотрим, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π»ΠΈ ΠΌΡ‹ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ:

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ c = -4 <0 И ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ряду нашСго синтСтичСского Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ·ΠΈΠΎΠ½Π° замСститСля .

Π’Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚?

β€” 4 β€” ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ этого ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.


ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° ВСрхняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π°:
Π”Π°Π²Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ с 4 ΠΈ посмотрим, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π»ΠΈ ΠΌΡ‹ всС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹:

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ c = 4> 0 И всС Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² Π² Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΌ ряду нашСго синтСтичСского подраздСлСния ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ.

Π’Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚?

4 β€” вСрхняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ этого ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ β€” 4 β€” ниТняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π°, Π° 4 β€” вСрхняя Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Π° для настоящиС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния, Ρ‚ΠΎ это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ уравнСния Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΎΡ‚ β€” 4 Π΄ΠΎ 4.


ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½Π°Ρ Ρ†Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° .

Если f ( x ) β€” это полиномиальная функция ΠΈ f ( a ) ΠΈ f ( b ) ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, c ,
ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ a ΠΈ b Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f ( c ) = 0.


Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρƒ вас Π΅ΡΡ‚ΡŒ полиномиальная функция ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ заставляСт Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ β€” ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ‚Π°ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ функция Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ 0.

Π­Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚, ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ 0 отдСляСт ΠΏΠ»ΡŽΡΡ‹ ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π³Π°Ρ‚ΠΈΠ²Ρ‹. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, Π²Π°ΠΌ придСтся ΡƒΠ΄Π°Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ промСТуточная Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, проходящая Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 0.




ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2 : ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ноль находится Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ‚ 2 Π΄ΠΎ 3. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ этого нуля с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ дСсятых.

ΠŸΡ€ΠΈ поискС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ синтСтичСскоС ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ Π²ΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ Π² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΡ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ интСрСсно ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ†Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹, я ΠΈΠ΄ΡƒΡ‰ΠΈΠΉ Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠ΄ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΊ функция. Если Π±Ρ‹ ΠΌΠ½Π΅ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ большС, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π·Π½Π°ΠΊΠΈ частного, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° я Π±Ρ‹ использовал синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅.

Находка Ρ„ (2):

Находка Ρ„ (3):

Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ f (2) = -2 ΠΈ f (3) = 5, Ρ‚ΠΎ согласно Intermediate Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ , сущСствуСт ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚ 2 Π΄ΠΎ 3, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ этой полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠΌ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Π΄Π΅ΡΡΡ‚ΡƒΡŽ для смСны Π·Π½Π°ΠΊΠ°:


Находка Ρ„ (2.1):

Находка Ρ„ (2.2):

Находка Ρ„ (2.3):

Находка Ρ„ (2.4):

Находка Ρ„ (2,5):

ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Ρ‚, Ρƒ нас помСняна вывСска !!!!!

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ноль с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ дСсятых. Π’Π°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ x = 2,4 ΠΈΠ»ΠΈ x = 2,5. ΠœΡ‹ Π½Π΅ всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ†Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±Π»ΠΈΠΆΠ΅ Π΄ΠΎ нуля.

Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΏΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π³Π»ΡƒΠ±ΠΆΠ΅ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ ΠΌΠΈΠΌΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ сотых:



Π£Ρ„ !!!! НаконСц ΠΌΡ‹ подошли ΠΊ смСнС Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сотыС.Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ сузили Π΅Π³ΠΎ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅. ΠœΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ 2,44 ΠΈ 2,45 находится ноль.

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ призСмлится Ρ‡ΡƒΡ‚ΡŒ Π½ΠΈΠΆΠ΅ 2,45, блиТайший дСсятый Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ 2,4.

Π Π°Π±ΠΎΡ‚Π° здСсь нСслоТная, просто ΡƒΡ‚ΠΎΠΌΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ.




Основная Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° АлгСбра

КаТдоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f ( x ) = 0 стСпСни ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ комплСксный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ.


Π˜ΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ комплСксныС числа Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‚ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа. Настоящий числа β€” это комплСксныС числа, мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Π° 0.



Π’ уравнСниях ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ нСвСщСствСнныС комплСксныС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ всСгда происходит Π² сопряТСнных ΠΏΠ°Ρ€Π°Ρ….

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ссли комплСксноС число с ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ уравнСния полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ сопряТСнная ΠΊ Π½Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ Ρ‚Π° ΠΆΠ΅ функция.

ΠŸΠΎΠΌΠ½ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сопряТСниС a + bi Π΅ΡΡ‚ΡŒ a β€” bi . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли 2 + 3 i β€” извСстный ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ 2 β€” 3 i Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅.

Если Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€ комплСксных чисСл, Π½Π΅ ΡΡ‚Π΅ΡΠ½ΡΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΈΠ΄Ρ‚ΠΈ to Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ пособиС 12: ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹Π΅ числа.


ЛинСйная факторизация Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° .

Если

Π³Π΄Π΅ n > 1 ΠΈ

, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ

Π³Π΄Π΅ комплСксныС числа
(Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ‡Π΅Ρ‚Π»ΠΈΠ²Ρ‹ΠΉ)


Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, полиномиальная функция стСпСни n , Π³Π΄Π΅ n > 0, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Π½Π° n (Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ…) Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ Π½Π°Π΄ комплСксным числом ΠΏΠΎΠ»Π΅.

Π˜ΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ мСсто Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌ врСмя. Для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° появляСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт, ΠΎΠ½ считаСтся Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. НапримСр, Ссли, Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΉ коэффициСнт ( x + 2) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· 3, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ встрСчаСтся Ρ‚Ρ€ΠΈΠΆΠ΄Ρ‹. Π’Π°ΠΊ тСхничСски Π΅ΡΡ‚ΡŒ 4 Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ( x β€” 3) Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ ( x + 2).Π­Ρ‚ΠΎ соотвСтствуСт ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.




ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3 : Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅; 1 + ΠΈ .

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ комплСксноС число 1 + i являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ, это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ 1 β€” i Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΌ.Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ.

Π­Ρ‚ΠΎ дСлаСтся Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π°ΠΌ Π΄Π°ΡŽΡ‚ настоящий ноль.

Если Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ поиску ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ f ( x ) = 0 ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ root-ΠΏΡ€Π°Π² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊ Tutorial 37: БинтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎΠ± остаткС ΠΈ мноТитСлях.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ синтСтичСскоС Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π½Π°ΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ частноС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ:

Π€Ρƒ !!! ΠŸΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° всС эти комплСксныС числа Π² частном. НС Π±ΠΎΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ добавляСм Π² наш ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ это частноС, Ρ‚Π΅ слоТный числа исчСзнут, ΠΈ Ρƒ нас останСтся Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠ΅Π΅ частноС с настоящий числовыС коэффициСнты.

ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ это:


Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΡ‹ ΠΊΡƒΠ΄Π°-Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ΄Π΅ΠΌ.ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π» ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° с использованиСм ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, ΠΈ частного, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ закончился Π² этом послСднСм синтСтичСском Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ·ΠΈΠΎΠ½Π΅.



* ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Π΄Π²Π° мноТитСля Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ x минус комплСксныС Π½ΡƒΠ»ΠΈ
* Π’Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ β€” это частноС Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅

* Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ комплСксный ноль

* БопряТСнный ноль

* Установка 3-Π³ΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° = 0


Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ полиномиального уравнСния Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ 1 + i , 1 β€” ΠΈ ΠΈ -3/5.




ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4 : Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π°) ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… Π½Π°Π΄ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числа Π±) ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ сводятся ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числам, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π²) Π² ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ комплСксныС Π½Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ Π½Π°Π΄ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°:



Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 11 Π½Π΅ являСтся ΠΈΠ΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ, это, насколько ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ это ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.

Π€Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ нСсводимых Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π°Π΄ вСщСствСнными числами:



Π—Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ? Π½Π°Π΄ комплСксом Π½Π΅Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΊΠ°ΠΊ?

ΠŸΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ факторизованная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ слоТныС Π½Π΅Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°:


ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΆΠ΄Ρ‹ ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π»ΠΈ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΡŽ комплСксных чисСл Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‡ΠΈΠ»ΠΈ с Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€ΡŒΠΌΡ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ мноТитСлями ΠΈ Ρ‡Ρ‚ΠΎ наш ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π±Ρ‹Π» Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠΉ стСпСни.




Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° Ѐункция ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ Нули

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ обратимся. Π’ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, Π½Π°ΠΌ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΠΈ ΠΈ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈ ΠΌΡ‹ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π·Π° ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½.

Π¨Π°Π³ 1. Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ ΠΈ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡ‹ ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ всС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π˜ΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли Π²Π°ΠΌ Π΄Π°Π΄ΡƒΡ‚ нСнастоящий комплСксный ноль, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ сопряТСнный Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ являСтся Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ.

Π’Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅ΠΉΡ‚Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π°Π΄ комплСксными числами (Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ) Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ вас Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚.

ΠšΠΎΡΡ„Ρ„ΠΈΡ†ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Ссли c β€” ноль, Ρ‚ΠΎ ( x β€” c ) являСтся Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π¨Π°Π³ 2: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΡŒΡ‚Π΅ всС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π½Π° шагС 1.




ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5 : НайдитС n -ю ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ функция, Π³Π΄Π΅ n = 3; 2 + 3 i ΠΈ 4 Π½ΡƒΠ»ΠΈ; f (3) = -20.


ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ наша ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 3, это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ коэффициСнты Π½Π°Π΄ комплСксныС числа (Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅).

ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Ρ‹ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π΄Π²Π° нуля. Нам Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ. Π£ тСбя Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ?

Ах Π΄Π°, Ссли Π½Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ комплСксноС число Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡŠΡŽΠ³Π°Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ноль.ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ 2 + 3 i являСтся Π½ΡƒΠ»ΡŒ, это ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ 2 β€” 3 i Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ , ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ:


Π¨Π°Π³ 2: Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π° шагС 1.



* Расст.- Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠΌΠΏ. числа

* Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΏ. Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹
* Π£ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ( i Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ = -1)
* Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡˆΠΈΡ…ΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ


Π­Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π»Π° ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌΡƒ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ: f (3) = -20.

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π² этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ΅.


* f (3) = -20

* Π Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ для a sub n


Бобирая всС вмСстС, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:


ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ



Π­Ρ‚ΠΎ практичСскиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΡ‚ΠΈ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Π²Π°ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚Π΅ Π»ΠΈ Π²Ρ‹ эти Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌ. ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ всС Π² ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ случаС, Ссли Π²Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΡ‚Π΅ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ успСха Π² этом, Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ это. Π”Π°ΠΆΠ΅ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠΈΠ΅ спортсмСны ΠΈ ΠΌΡƒΠ·Ρ‹ΠΊΠ°Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π»ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ ΠΎΡΠ²ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ свой Π²ΠΈΠ΄ спорта ΠΈΠ»ΠΈ инструмСнт На самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ слишком ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠΈ.

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Π½ΠΈΡ… ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΎΡ‚Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, Π²Ρ‹ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡƒ свой, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ свой ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚, Ρ‰Π΅Π»ΠΊΠ½ΡƒΠ² ссылку для ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚Π° / обсуТдСния для этой ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ .По ссылкС Π²Ρ‹ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚Π΅ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ шаги, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ этот ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚.

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 1Π°: ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС настоящиС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ -3 ΠΈ 4.

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 2a: ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ настоящий ноль ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ числа.Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ аппроксимация этого нуля с Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π΄ΠΎ дСсятых.

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° ΠŸΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ° 3a: Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ всС ΠΊΠΎΡ€Π½ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ полиномиальноС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 4a: Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ функция Π°) ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, Π½Π΅ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Ρ… ΠΏΠΎ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числам, Π±) ΠΏΡ€ΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ сводятся ΠΊ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ числам, ΠΈ c) Π² ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ факторизованная Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰Π°Ρ комплСксныС Π½Π΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа.

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ° Π—Π°Π΄Π°Ρ‡Π° 5a: НайдитС ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ n -ΠΉ стСпСни Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ с Π² Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… условиях

НуТна Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ ΠΏΠΎ этим Ρ‚Π΅ΠΌΠ°ΠΌ?






ПослСдний Ρ€Π°Π· Ρ€Π΅Π΄Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π» Ким Π‘ΡŒΡŽΠ°Ρ€Π΄ 15 ΠΌΠ°Ρ€Ρ‚Π° 2012 Π³.
АвторскиС ΠΏΡ€Π°Π²Π° Π½Π° всС содСрТаниС (C) 2002 β€” 2012, WTAMU ΠΈ Kim Seward. ВсС ΠΏΡ€Π°Π²Π° Π·Π°Ρ‰ΠΈΡ‰Π΅Π½Ρ‹.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Из-Π·Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ бСсконСчноС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠ΅ Π² количСствС Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² ΠΈ стСпСни ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π₯отя порядок Ρ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ² Π² полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ Π²Π°ΠΆΠ΅Π½ для выполнСния ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ, ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ располагаСм Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Π² порядкС убывания стСпСни ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅. градусов ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° β€” это Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠ°Ρ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, которая встрСчаСтся Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅; это ΠΌΠΎΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ссли функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄. Π“Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ β€” это Ρ‡Π»Π΅Π½, содСрТащий Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‡Π»Π΅Π½ с Π½Π°ΠΈΠ²Ρ‹ΡΡˆΠ΅ΠΉ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒΡŽ. Π‘Ρ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт β€” это ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½.

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: ВСрминология ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Рисунок 6

ΠœΡ‹ часто пСрСставляСм ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΡ… стСпСни Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ.

Когда ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ записываСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄.

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ руководство. Для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт.

  1. НайдитС Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ x
    , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Π΄ΡƒΡΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‡Π»Π΅Π½, содСрТащий Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»ΡŒΡˆΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ x
    , Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½.
  3. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ коэффициСнт Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ стСпСни ΠΈ Π²Π΅Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ коэффициСнта полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π£ΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ, ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΈ ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.{6} + 2x β€” 6 \\ [/ латСкс].

РСшСниС

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ повСдСния ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π—Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ стСпСни полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, посмотритС Π½Π° Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‡Π»Π΅Π½Π° самая высокая, этот Ρ‡Π»Π΅Π½ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ расти Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ быстрСС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ Ρ‡Π»Π΅Π½Ρ‹, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ x становится ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ большим ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ малСньким, поэтому Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄ΠΎΠΌΠΈΠ½ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅.{3} \\ [/ латСкс]

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ повСдСния ΠΈ стСпСни полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΠΏΠΈΡˆΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° рисункС 7.

Рисунок 7

РСшСниС

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ значСния x становятся ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ большими, Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ значСния [latex] f \ left (x \ right) \\ [/ latex] Π½Π΅ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ значСния x становятся ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ малСнькими, Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ значСния [latex] f \ left (x \ right) \\ [/ latex] ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π±Π΅Π· ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ.ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ символичСски ΠΎΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅, написав

[латСкс] \ begin {case} \ text {as} x \ to β€” \ infty, f \ left (x \ right) \ to β€” \ infty \\ \ text {as} x \ to \ infty, f \ left (x \ right) \ to \ infty \ end {case} \\ [/ latex]

На словах ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° значСния x ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊ бСсконСчности, значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊ бСсконСчности, Π° ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° значСния x ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ бСсконСчности, значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ бСсконСчности.

ΠœΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ этот Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ стСпСнной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни, которая Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Π°, поэтому ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ°, ΡΠΎΠ·Π΄Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ этот Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π° ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ.{4} \\ [/ латСкс]; ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° Ρ€Π°Π²Π½Π° 4. Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ чСтная (4), Π° ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΠΈΠΉ коэффициСнт ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ (–3), поэтому ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ

.

[латСкс] \ begin {case} \ text {as} x \ to β€” \ infty, f \ left (x \ right) \ to β€” \ infty \\ \ text {as} x \ to \ infty, f \ left (x \ right) \ to β€” \ infty \ end {case} \\ [/ latex]

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ 5

Π”Π°Π½Π° функция [латСкс] f \ left (x \ right) = 0,2 \ left (x β€” 2 \ right) \ left (x + 1 \ right) \ left (x β€” 5 \ right) \\ [/ latex] , Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½, ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

РСшСниС

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ локального повСдСния ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Помимо ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ повСдСния ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, нас Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ интСрСсуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ происходит Π² «сСрСдинС» Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. Π’ частности, нас ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚ мСста, Π³Π΄Π΅ мСняСтся ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„Π°. ΠŸΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ увСличСния ΠΊ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ΠΎΡ‚ ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ.

Π€ΠΈΠ³.10

Нас Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹.Как ΠΈ Π²ΠΎ всСх функциях, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния y- β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ пСрСсСкаСт Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ось. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° соотвСтствуСт ΠΏΠ°Ρ€Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ являСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, поэтому ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‡ΠΈΠΊ y- [latex] \ left (0, {a} _ {0} \ right) \\ [/ latex ]. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹ x- происходят ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… значСниях, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ. Π’ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Π° x-.

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

ΠŸΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ мСняСт Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ с увСличСния Π½Π° ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ»ΠΈ с ΡƒΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ y- β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅. x -ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ β€” это Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

Как: для Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния.

  1. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния y- , установив [latex] x = 0 \\ [/ latex] ΠΈ найдя ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.
  2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ x , вычислив Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Π΅ значСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π”Π°Π½Π° полиномиальная функция [латСкс] f \ left (x \ right) = \ left (x β€” 2 \ right) \ left (x + 1 \ right) \ left (x β€” 4 \ right) \\ [/ latex] , записанный Π² Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅ для вашСго удобства, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Ρ‹ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Π° y ΠΈ x .

РСшСниС

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ y- происходит, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ сигнал Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, поэтому Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚Π΅ 0 Π½Π° x .

[латСкс] \ begin {case} f \ left (0 \ right) = \ left (0-2 \ right) \ left (0 + 1 \ right) \ left (0-4 \ right) \ hfill \\ \ тСкст {} = \ left (-2 \ right) \ left (1 \ right) \ left (-4 \ right) \ hfill \\ \ text {} = 8 \ hfill \ end {case} \\ [/ latex]

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‡ΠΈΠΊ y- Ρ€Π°Π²Π΅Π½ (0, 8).

-ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ x происходит, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ сигнал Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

[латСкс] \ begin {case} \ text {} 0 = \ left (x β€” 2 \ right) \ left (x + 1 \ right) \ left (x β€” 4 \ right) \ hfill \\ x β€” 2 = 0 \ hfill & \ hfill & \ text {ΠΈΠ»ΠΈ} \ hfill & \ hfill & x + 1 = 0 \ hfill & \ hfill & \ text {ΠΈΠ»ΠΈ} \ hfill & \ hfill & x β€” 4 = 0 \ hfill \\ \ text {} x = 2 \ hfill & \ hfill & \ text {ΠΈΠ»ΠΈ} \ hfill & \ hfill & \ text {} x = -1 \ hfill & \ hfill & \ text {ΠΈΠ»ΠΈ} \ hfill & \ hfill & x = 4 \ end {case} [/ latex]

x -ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚: [latex] \ left (2,0 \ right), \ left (-1,0 \ right) \\ [/ latex] ΠΈ [latex] \ left (4,0 \ right) )\\[/латСкс]. {2} -20x \\ [/ latex], ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ y β€” ΠΈ x β€” ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚.

РСшСниС

Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΡ… ΠΈ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°ΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния x ΠΈ количСство Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°. Полиномиальная функция n -ΠΉ стСпСни являСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ n Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², поэтому ΠΎΠ½Π° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ n ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ, ΠΈΠ»ΠΈ x -ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ стСпСни n Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ n β€” 1 Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°.Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° самоС большСС Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π° мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π°, ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½Ρƒ мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ количСство Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

НСпрСрывная функция Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²ΠΎΠ² Π² Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅: Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ€ΠΈΡΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π΅ отрывая ΠΏΠ΅Ρ€ΠΎ ΠΎΡ‚ Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ. Плавная кривая β€” это Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π±Π΅Π· острых ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ². ΠŸΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠ³ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° всСгда Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π½Π° Π·Π°ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΠΌΠΈ.

ΠžΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ΠΎΠ²

Полином стСпСни n Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ n x -ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ n β€” 1 Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°.{3} \\ [/ латСкс]

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 11: Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΎ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°

Какой ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄ ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅, прСдставлСнном Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ Π½Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π° рисункС 13, Π½Π° основС Π΅Π³ΠΎ пСрСсСчСний ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°?

Рисунок 13

РСшСниС

Рисунок 14

ΠšΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„Π° Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π³Ρ€Π°Ρ„ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ° Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ стСпСни.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ 2 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния x , Ρ‡Ρ‚ΠΎ соотвСтствуСт стСпСни 2 ΠΈΠ»ΠΈ большС, ΠΈ 3 Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 4 ΠΈΠ»ΠΈ большС.Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· этого, Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ ровная ΠΈ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ 4.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ 8

Π§Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌΠ΅, прСдставлСнном Π½Π° рисункС 15, Π½Π° основании Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°?

Рисунок 15

РСшСниС

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 12: Π’Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Ρ‹ ΠΎ полиномиальной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ

Учитывая Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ [латСкс] f \ left (x \ right) = β€” 4x \ left (x + 3 \ right) \ left (x β€” 4 \ right) \\ [/ latex], ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ локальноС ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

РСшСниС

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ y находится ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ вычислСния [latex] f \ left (0 \ right) \\ [/ latex].

[латСкс] \ begin {case} f \ left (0 \ right) = β€” 4 \ left (0 \ right) \ left (0 + 3 \ right) \ left (0-4 \ right) \ hfill \ hfill \ \ \ text {} = 0 \ hfill \ end {case} \\ [/ latex]

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚ y β€” [латСкс] \ left (0,0 \ right) \\ [/ latex].

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹ x находятся ΠΏΡƒΡ‚Π΅ΠΌ опрСдСлСния Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

[латСкс] \ begin {case} 0 = -4x \ left (x + 3 \ right) \ left (x β€” 4 \ right) \\ x = 0 \ hfill & \ hfill & \ text {ΠΈΠ»ΠΈ} \ hfill & \ hfill & x + 3 = 0 \ hfill & \ hfill & \ text {ΠΈΠ»ΠΈ} \ hfill & \ hfill & x β€” 4 = 0 \ hfill \\ x = 0 \ hfill & \ hfill & \ text {ΠΈΠ»ΠΈ} \ hfill & \ hfill & \ text {} x = -3 \ hfill & \ hfill & \ text {ΠΈΠ»ΠΈ} \ hfill & \ hfill & \ text {} x = 4 \ end {case} \\ [/ latex]

x -ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…Π²Π°Ρ‚: [latex] \ left (0,0 \ right), \ left (-3,0 \ right) \\ [/ latex] ΠΈ [latex] \ left (4,0 \ right) )\\[/латСкс].

Π‘Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Ρ€Π°Π²Π½Π° 3, поэтому Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 2 ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ.

ΠŸΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠΉ 9

Π”Π°Π½Π° функция [латСкс] f \ left (x \ right) = 0,2 \ left (x β€” 2 \ right) \ left (x + 1 \ right) \ left (x β€” 5 \ right) \\ [/ latex] , ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ мСстноС ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

РСшСниС

1. Каково наимСньшСС ΠΈ наибольшСС количСство Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° 6-ΠΉ стСпСни?

1. Π£ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ большС ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ, Ρ‡Π΅ΠΌ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΠΎΠ»ΠΈΠ½ΠΎΠΌ ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠΉ стСпСни ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ 6 Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.НапримСр, (x-1) (x-2) (x-3) (x-4) (x-5) (x-6) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 6 ΠΈ 6 Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ.

Π£ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° Π½Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, наимСньшСС количСство Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½Π° стСпСни 6 ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ 0. Π­Ρ‚ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли Π±Ρ‹ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = polynomial Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π» пСрСсСчСний ΠΏΠΎ x. НапримСр, x 6 +1 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ 6 ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΊΠΎΡ€Π½Π΅ΠΉ [Π° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ

f (x) = x 6 +1 Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ пСрСсСчСния ΠΏΠΎ оси x].

β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”- β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”

2.Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ i Π² стСпСни ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ³ΠΎ числа, Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ Π½Π° 4 ΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ остаток ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ. Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли ΠΌΡ‹ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ 103 Π½Π° 4, остаток Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ 3. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, i 103 = i 3 = -i.

β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”- β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”-

3. x 2 -8x + 17 = 0 x = [8 ± √ (-4)] / 2 = [8 ± 2i] / 2 = 4 ± i

β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”- β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”-

4.Богласно Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ΅ ΠΎΠ± остаткС, Ссли ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΡ‡Π»Π΅Π½ f (x) с Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ коэффициСнтами дСлится Π½Π° x β€” c, Ρ‚ΠΎ остаток Ρ€Π°Π²Π΅Π½ f (c).

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли f (x) = x 8 β€” 1, Ρ‚ΠΎ остаток ΠΎΡ‚ дСлСния f (x) Π½Π° x-2 Ρ€Π°Π²Π΅Π½ f (2) = 2 8 β€” 1 = 255.

β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”- β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”β€”

5. Если f (x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΡ€Π΅Π½ΡŒ, p / q, Ρ‚ΠΎ p являСтся Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ постоянного Ρ‡Π»Π΅Π½Π°, Π° q являСтся Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ коэффициСнта.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *