Корень натуральной степени свойства корней. Свойства степеней и корней формулы.

Как извлечь корень из числа. А для этого рассмотрим само понятие корня и свойства корней.

 

Если алгебраическое выражение содержит корень, то оно называется иррациональным. Корнем любой степени из \(a\) является число \(n\), при возведении в эту степень мы получаем \(a\).

\(^n \sqrt{a}=a^{\frac{1}{n}}\)

 “\(n\)”-показатель или степень корня, натуральное число, которое больше или равно \(0\).  “\(a\)”- подкоренное выражение.

Действие, с помощью которого вычисляется корень заданного числа, называется извлечением корня из \(a\). Результат извлечения корня называется радикалом.

 

Свойства корней

Два значения будут иметь корень четной степени. Они будут находиться на противоположном знаке в абсолютных равных условиях.

Корень четной степени отрицательного числа не существует, так как при возведении любого вещественного числа в степень с чётным показателем результатом будет неотрицательное число.

 Значение будет положительным из корня нечетной степени из положительного числа. Корень нечетной степени из отрицательного числа будет иметь отрицательное значение.

Корень нуля всегда равен нулю.

Извлечения корня четной степени множество действительных чисел не замкнуто. Результат этого действия неоднозначен.

Что касается извлечения корня нечетной степени, множество вещественных чисел замкнуто. Результат этого действия однозначен.

Свойства  корней

      

1. \( ^n\sqrt{a b} = ^n\sqrt{a} ·^n\sqrt{b}\)    \(a,b \geq 0\)
2. \( ^n\sqrt{\frac{a}{ b}} = \frac{^n\sqrt{a}} {^n\sqrt{b}}\)
3. \( ^n\sqrt{a^k}= ^n\sqrt{a}^k\)
4. \( ^n\sqrt{ ^m\sqrt{n}}= ^{nm}\sqrt{n}\)
5. \( ^n\sqrt{a^n}=|a|\)  \(\begin{equation*} \begin{cases} a,a \geq0\\ -a,a<0 \end{cases} \end{equation*}\)
6. \( ^n\sqrt{0}=0\)
7. \( ^n\sqrt{1}=1\)
8. \( ^n(\sqrt{a^n})=a \)     \(a \geq 0\)
9. \( ^k\sqrt{a^{kn}}= \sqrt{a^{n}}\)

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

myalfaschool.ru

Степени и корни

Степени и корни

Степени.

Выражение   называется степенью.

В этом выражении число   называется основанием степени, а число    — показателем степени.

Если — натуральное число, то , то есть степень равна произведению

множителей, каждый из которых равен .

Для положительных чисел    и    и рациональных чисел    и  

справедливы следующие свойства степени:

1.

Любое число в нулевой степени равно 1.

2.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а показатели складываются.

3.

При делении степеней с одинаковыми основаниями, основание остается прежним, а показатели вычитаются.

4.  

При возведении в степень произведения, в эту степень возводится каждый множитель.

5.  

При возведении в степень дроби в эту степень возводится числитель дроби и знаменатель.

6.

При возведении степени в степень показатели перемножаются.

7.

При возведении в отрицательную степень, основание степени «переворачивается», и знак  показателя степени меняется на противоположный.

Корни.

:

Арифметическим корнем n-ой степени из неотрицательного числа называется неотрицательное число, n-я степень которого равна :

Внимание! Степень корня — это натуральное число, большее 1.

,

,

Свойства корня n-ой степени:

1.

2.

3.

4.

5.

Частные случаи:

1. Если показатель корня целое нечетное число (

), то подкоренное выражение может быть отрицательным.

В  случае нечетного показателя уравнение  при любом действительном значении и целом  ВСЕГДА имеет единственный корень:

,

Для корня нечетной степени справедливо тождество:

,

2. Если показатель корня целое четное число (), то подкоренное выражение  не может быть отрицательным.

В  случае четного показателя уравнение имеет

при

 единственный корнь 

и, если , два корня:

и  

Для корня четной степени справедливо тождество:

Внимание! Для корня четной степени справедливы равенства:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Корни и степени, возведение в степень, извлечение корня

Формулы преобразования степени числа. Свойства степени

(ab)ⁿ=aⁿbⁿ   
Степень произведения двух чисел равна произведению каждого из сомножителей в этой степени  

( a / b )ⁿ  = aⁿ / bⁿ
Степень частного равна частному этих чисел, каждое из которых возведено в данную степень  

aⁿ a^m = a^n+m
Произведение двух одинаковых чисел в разную степень равно этому числу в степени, равной сумме этих степеней

aⁿ  / a^m = a^n-m если n > m
Частное двух одинаковых чисел в разной степени равно этому числу в степени разности числителя и знаменателя, при условии, что степень числа в числителе больше степени в знаменателе. 

(aⁿ )^m=a^nm
Число в степени, возводимое в степень равно числу в степени, равной их произведению

Формулы преобразования корня числа. Свойства корня

ⁿ√0 = 0
Корень произвольной степени из нуля равен нулю

ⁿ√1 = 1
  Корень произвольной степени из единицы равен единице

Корень числа произвольной степени, возведенный в эту же степень, равен этому числу.

Корень произвольной степени от произведения равен произведению корней этой же степени каждого из множителей

Корень произвольной степени частного двух чисел равен частному корней этой степени этих же чисел

Содержание главы:
 Задача про бросание гранаты | Описание курса | Дробь в степени числа. Нахождение дробной степени числа 

   

profmeter.com.ua

Свойства корня n-ой степени. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Корень из произведения, десятичные дроби и целые числа Сложность: лёгкое	2
2.	Корень из произведения, целые числа и обыкновенные дроби Сложность: лёгкое	3
3.	Корень из частного, обыкновенные дроби Сложность: лёгкое	2
4.	Корень из произведения Сложность: лёгкое	4
5.	Корень из корня Сложность: лёгкое	1
6.	Извлечение корня из степени Сложность: лёгкое	3
7.	Показатели корня Сложность: лёгкое	2
8.	Корни с разными показателями Сложность: лёгкое	2
9.	Корень из произведения степеней, корень в степени (целые числа) Сложность: среднее	3
10.	Корень из дроби Сложность: среднее	5
11.	Произведение корней Сложность: среднее	4
12.	Частное корней Сложность: среднее	3
13.	Произведение корня из произведения степеней и корня из степени Сложность: среднее	5
14.	Корень из частного степеней Сложность: среднее	3
15.	Корень из степени Сложность: среднее	4
16.	Сравнение корней Сложность: среднее	3
17.	Произведение корней с разными показателями Сложность: среднее	3
18.	Частное корней с разными показателями Сложность: среднее	3
19.	Произведение корней с разными показателями из произведений степеней Сложность: среднее	6
20.	Степень произведения (число и корень) Сложность: среднее	6
21.	Степень произведения (одночлен и корень) Сложность: среднее	4
22.	Корень из произведения степеней (десятичные дроби) Сложность: среднее	4
23.	Уравнение Сложность: сложное	5
24.	Уравнение, сводимое к квадратному (метод введения новой переменной) Сложность: сложное	5
25.	Уравнение, сводимое к квадратному (полное) Сложность: сложное	8

www.yaklass.ru