Линейная функция — Википедия

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

y=kx+b{\displaystyle y=kx+b} (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• Частный случай b=0{\displaystyle b=0} линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от b≠0{\displaystyle b\neq 0} — неоднородных линейных функций.

Свойства

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями y=k1x+b1,{\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},} и y=k2x+b2,{\displaystyle y=k_{2}x+b_{2},} определяется равенством: tgα=|k1−k21+k1k2|,{\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,} где k1k2≠−1,{\displaystyle k_{1}k_{2}\neq -1,} то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при k1=k2, α=0{\displaystyle k_{1}=k_{2},~\alpha =0} и прямые параллельны.

• b{\displaystyle b} является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При b=0{\displaystyle b=0}, прямая проходит через начало координат.

Видео по теме

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция n{\displaystyle n} переменных x=(x1,x2,…,xn){\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} — функция вида

f(x)=a0+a1x1+a2x2+⋯+anxn{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

где a0,a1,a2,…,an{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё n{\displaystyle n}-мерное пространство переменных x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} вещественных или комплексных. При a0=0{\displaystyle a_{0}=0} линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} и коэффициенты a0,a1,a2,…,an{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} — вещественные числа, то графиком линейной функции в (n+1){\displaystyle (n+1)}-мерном пространстве переменных x1,x2,…,xn,y{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y} является n{\displaystyle n}-мерная гиперплоскость

y=a0+a1x1+a2x2+⋯+anxn{\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

в частности при n=1{\displaystyle n=1} — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X{\displaystyle X} над некоторым полем k{\displaystyle k} в это поле, то есть для такого отображения f:X→k{\displaystyle f:X\to k}, что для любых элементов x,y∈X{\displaystyle x,y\in X} и любых α,β∈k{\displaystyle \alpha ,\beta \in k} справедливо равенство

f(αx+βy)=αf(x)+βf(y){\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция f(x1,x2,…,xn){\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} называется линейной, если существуют такие a0,a1,a2,…,an{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}, где ai∈{0,1},∀i=1,n¯{\displaystyle a_{i}\in \{0,1\},\forall i={\overline {1,n}}}, что для любых x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} имеет место равенство:

f(x1,x2,…,xn)=a0⊕a1⋅x1⊕a2⋅x2⊕⋯⊕an⋅xn{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}}.

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например —

нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция y=x2{\displaystyle y=x^{2}}.

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f=kx+b{\displaystyle f=kx+b}, где b≠0{\displaystyle b\neq 0}, то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае f(x1+x2)≠f(x1)+f(x2){\displaystyle f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})} и f(cx)≠cf(x){\displaystyle f(cx)\neq cf(x)}. Например, нелинейной зависимостью считают σ(τ){\displaystyle \sigma (\tau )} для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Ссылки

• Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.

Линейная функция — Википедия. Что такое Линейная функция

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

y=kx+b{\displaystyle y=kx+b} (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• Частный случай b=0{\displaystyle b=0} линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от b≠0{\displaystyle b\neq 0} — неоднородных линейных функций.

Свойства

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями y=k1x+b1,{\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},} и y=k2x+b2,{\displaystyle y=k_{2}x+b_{2},} определяется равенством: tgα=|k1−k21+k1k2|,{\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,} где k1k2≠−1,{\displaystyle k_{1}k_{2}\neq -1,} то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при k1=k2, α=0{\displaystyle k_{1}=k_{2},~\alpha =0} и прямые параллельны.

• b{\displaystyle b} является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При b=0{\displaystyle b=0}, прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция n{\displaystyle n} переменных x=(x1,x2,…,xn){\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} — функция вида

f(x)=a0+a1x1+a2x2+⋯+anxn{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

где a0,a1,a2,…,an{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё n{\displaystyle n}-мерное пространство переменных x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} вещественных или комплексных. При a0=0{\displaystyle a_{0}=0} линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} и коэффициенты a0,a1,a2,…,an{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} — вещественные числа, то графиком линейной функции в (n+1){\displaystyle (n+1)}-мерном пространстве переменных x1,x2,…,xn,y{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y} является n{\displaystyle n}-мерная гиперплоскость

y=a0+a1x1+a2x2+⋯+anxn{\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}}

в частности при n=1{\displaystyle n=1} — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X{\displaystyle X} над некоторым полем k{\displaystyle k} в это поле, то есть для такого отображения f:X→k{\displaystyle f:X\to k}, что для любых элементов x,y∈X{\displaystyle x,y\in X} и любых α,β∈k{\displaystyle \alpha ,\beta \in k} справедливо равенство

f(αx+βy)=αf(x)+βf(y){\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)}

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция f(x1,x2,…,xn){\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} называется линейной, если существуют такие a0,a1,a2,…,an{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}, где ai∈{0,1},∀i=1,n¯{\displaystyle a_{i}\in \{0,1\},\forall i={\overline {1,n}}}, что для любых x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} имеет место равенство:

f(x1,x2,…,xn)=a0⊕a1⋅x1⊕a2⋅x2⊕⋯⊕an⋅xn{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}}.

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция y=x2{\displaystyle y=x^{2}}.

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f=kx+b{\displaystyle f=kx+b}, где b≠0{\displaystyle b\neq 0}, то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае f(x1+x2)≠f(x1)+f(x2){\displaystyle f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})} и f(cx)≠cf(x){\displaystyle f(cx)\neq cf(x)}. Например, нелинейной зависимостью считают σ(τ){\displaystyle \sigma (\tau )} для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Ссылки

• Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.

Линейная форма — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Лине́йная форма, лине́йный функционал (также используются термины 1-форма, ковектор, ковариантный вектор) — линейное отображение, действующее из векторного пространства L{\displaystyle L} над полем K{\displaystyle K} в поле K{\displaystyle K}. Условие линейности заключается в выполнении следующих двух свойств:

Φ(f+g)=Φ(f)+Φ(g),{\displaystyle \Phi (f+g)=\Phi (f)+\Phi (g),}

Φ(αf)=αΦ(f){\displaystyle \Phi (\alpha f)=\alpha \,\Phi (f)}

для любых двух векторов f,g∈L{\displaystyle f,g\in L} и любого α∈K{\displaystyle \alpha \in K}. Таким образом, линейная форма (линейный функционал) является частным случаем понятия линейного оператора, действующего из одного векторного пространства в другое векторное пространство: LK→MK{\displaystyle L_{K}\to M_{K}}, рассматриваемых над одним и тем же полем K{\displaystyle K}. Именно, в случае линейной формы (линейного функционала) векторное пространство MK=K{\displaystyle M_{K}=K}.

Термин линейная форма обычно используют в алгебре и алгебраической геометрии, чаще всего говоря при этом о конечномерных векторных пространствах. С алгебраической точки зрения линейная форма представляет собой частный случай более общего понятия k-формы при k=1.

Термин линейный функционал распространён в функциональном анализе, причем чаще всего речь идет о бесконечномерных векторных пространствах, элементами которых являются функции того или иного класса, и термин функционал подчеркивает то, что рассматривается функция (отображение), аргументом которой являются функции. В качестве поля K{\displaystyle K} чаще всего используются поля R{\displaystyle \mathbb {R} } или C{\displaystyle \mathbb {C} }.

Примеры линейных форм для конечномерных векторных пространств:

• Простейшим примером линейной формы является линейная однородная функция одного вещественного или комплексного переменного:

y=kx.{\displaystyle y=kx.}

Φ(x)=a⋅x=a1x1+a2x2+⋯+anxn.(∗){\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {x} =a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}.\qquad (*)}

Более того, в случае любого конечномерного пространства L{\displaystyle L} все линейные формы на нём имеют вид (∗){\displaystyle (*)}. Это позволяет отождествить каждую линейную форму Φ(x){\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )} с вектором a∈L{\displaystyle {\mathbf {a} }\in L}, причем указанное соответствие взаимно однозначно.

Примеры линейных функционалов для функциональных пространств:

Φ(f)=∑i=0nαidifdxi(xi),xi∈Ω,{\displaystyle \Phi (f)=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(x_{i}),\quad x_{i}\in \Omega ,}

задаёт линейный функционал на L{\displaystyle L}.

• Одним из важнейших примеров линейного функционала служит скалярное произведение вектора-аргумента f∈L{\displaystyle f\in L} и некоторого фиксированного вектора ϕ∈L{\displaystyle \phi \in L}: Φ(f)=⟨f,ϕ⟩{\displaystyle \Phi (f)=\langle f,\phi \rangle }. В функциональном анализе часто рассматриваются векторные пространства, состоящие из интегрируемых функций, а скалярное произведение задаётся с помощью интеграла (обычно используется интеграл Лебега). В этом случае приведенная выше формула для линейного функционала принимает вид

Φ(f)=∫Ωf(x)ϕ(x)dω{\displaystyle \Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)d\omega }.

Такие линейные функционалы используются, например, при определении преобразования Фурье.

• Пусть A:L→L{\displaystyle A\colon L\to L} — линейный оператор, отображающие в себя векторное пространство L{\displaystyle L}, которое состоит из функций, интегрируемых на некотором множестве Ω{\displaystyle \Omega }. Тогда выражение

Φ(f)=∫ΩAf(x)ϕ(x)dω{\displaystyle \Phi (f)=\int _{\Omega }Af(x)\phi (x)d\omega }.

задаёт линейный функционал на пространстве L{\displaystyle L}. Примеры таких линейных функционалов:

Φ(f)=∫Ωf(x)dω{\displaystyle \Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)d\omega },

Φ(f)=∫Ωf(x)ϕ(x)dω{\displaystyle \Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)d\omega },

Φ(f)=∫Ω(∑i=0nαidifdxi(x))dω{\displaystyle \Phi (f)=\int _{\Omega }{\Bigl (}\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(x){\Bigr )}\,d\omega }.

• Множество всех линейных форм на векторном пространстве L{\displaystyle L} само является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на элементы из поля K{\displaystyle K}. Это пространство называется сопряженным к L{\displaystyle L} и обозначается L∗{\displaystyle L^{\ast }}^[1]. Векторы сопряжённого пространства принято называть ковекторами. В квантовой механике также принято использовать термины бра-векторы и кет-векторы для обозначения векторов исходного пространства и ковекторов.
• Если размерность dim⁡L=n{\displaystyle \dim L=n} (конечна), то при выборе в пространстве L{\displaystyle L} некоторого базиса e1,…,en{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}} любая линейная форма записывается в виде Φ(x)=a1x1+⋯+anxn{\displaystyle \Phi (x)=a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}, где вектор x=x1e1+⋯+xnen{\displaystyle x=x_{1}e_{1}+\cdots +x_{n}e_{n}} и набор коэффициентов ai{\displaystyle a_{i}} однозначно определяет данную форму. Форма Φ(x){\displaystyle \Phi (x)} задаётся набором своим координат ai{\displaystyle a_{i}} в некотором базисе сопряжённого пространства L∗{\displaystyle L^{\ast }}, который называется взаимным или двойственным к базису e1,…,en{\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}. Тем самым, dim⁡L∗=n{\displaystyle \dim L^{*}=n}^[2].
• Если размерность dim⁡L{\displaystyle \dim L} конечна, то L∗{\displaystyle L^{\ast }} изоморфно L{\displaystyle L}, однако в бесконечномерном случае это не так. В конечномерном случае второе сопряженное пространство (L∗)∗{\displaystyle (L^{\ast })^{\ast }} естественно отождествляется с исходным пространством L{\displaystyle L}^[3]. В бесконечномерном случае условие, что пространство L{\displaystyle L} изоморфно (L∗)∗{\displaystyle (L^{\ast })^{\ast }}, весьма нетривиально, такие пространства называют рефлексивными^[4].
• Ядро линейной формы (линейного функционала) — векторное подпространство. Если пространство L{\displaystyle L} конечномерно, ядро линейной формы, не равной тождественно нулю, является гиперплоскостью в L{\displaystyle L}. В частности, при dim⁡L=3{\displaystyle \dim L=3} ядро линейной формы Φ(x)=a1x1+a2x2+a3x3=0{\displaystyle \Phi (x)=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=0}, где |a1|+|a2|+|a3|≠0{\displaystyle |a_{1}|+|a_{2}|+|a_{3}|\neq 0}, — плоскость в трёхмерном пространстве, причем коэффициенты ai{\displaystyle a_{i}} суть координаты нормального вектора плоскости.

• При изучении бесконечномерных функциональных пространствах особую роль играют непрерывные линейные функционалы, иначе называемые обобщёнными функциями. Свойство непрерывности линейного функционала зависит от класса функций (пространства), на котором он действует. Так, нетрудно видеть, что некоторые из приведённых выше функционалов не непрерывны при действии на разрывные функции (можно легко привести такие примеры). Однако на сепарабельных пространствах — то есть в наиболее употребительном и конструктивно разработанном случае — все они непрерывны.
• Теорема представлений Риса утверждает, что каждый непрерывный линейный функционал в гильбертовом пространстве может быть представлен в виде аналогичном (∗){\displaystyle (*)} через скалярное произведение с некоторым элементом этого пространства.
• Используя обобщённые функции, в частности дельта-функцию Дирака и её производные, можно многие линейные функционалы, в частности из приведённых в качестве примеров выше, представить в виде интегральных функционалов, например:

Φ(f)=f(1)−f(0)=∫−∞+∞δ(x−1)f(x)dx−∫−∞+∞δ(x−0)f(x)dx=∫−∞+∞(δ(x−1)−δ(x))f(x)dx{\displaystyle \Phi (f)=f(1)-f(0)=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-1)f(x)dx-\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-0)f(x)dx=\int _{-\infty }^{+\infty }(\delta (x-1)-\delta (x))f(x)dx}.

В обычном абстрактном определении обобщённой функции она и определяется просто как непрерывный линейный функционал (в традиционном понимании и записи функционал порождается подразумеваемым интегрированием с обобщённой функцией).

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
• Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа, — М.: Наука, 1965.
• Канторович Л. В., Акилов Г. П., Функциональный анализ, I изд., М., 1977.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.

1. ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, § 3.7. — М.: Физматлит, 2009.
2. ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, стр. 131. — М.: Физматлит, 2009.
3. ↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — гл. III, стр. 132. — М.: Физматлит, 2009.
4. ↑ Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.

Линейная функция — WiKi

Примеры линейных функций.

Линейная функция — функция вида

y=kx+b{\displaystyle y=kx+b} (для функций одной переменной).

Основное свойство линейных функций: приращение функции пропорционально приращению аргумента. То есть функция является обобщением прямой пропорциональности.

Графиком линейной функции является прямая, с чем и связано её название. Это касается вещественной функции одной вещественной переменной.

• Частный случай b=0{\displaystyle b=0} линейной функции называется однородными линейными функциями (это в сущности синоним прямой пропорциональности), в отличие от b≠0{\displaystyle b\neq 0} — неоднородных линейных функций.

Свойства

Угол между двумя прямыми, задаваемыми уравнениями y=k1x+b1,{\displaystyle y=k_{1}x+b_{1},}  и y=k2x+b2,{\displaystyle y=k_{2}x+b_{2},}  определяется равенством: tgα=|k1−k21+k1k2|,{\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha =\left|{\frac {k_{1}-k_{2}}{1+k_{1}k_{2}}}\right|,}  где k1k2≠−1,{\displaystyle k_{1}k_{2}\neq -1,}  то есть прямые не являются взаимно перпендикулярными; при k1=k2, α=0{\displaystyle k_{1}=k_{2},~\alpha =0}  и прямые параллельны.

• b{\displaystyle b}  является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью ординат.
• При b=0{\displaystyle b=0} , прямая проходит через начало координат.

Линейная функция нескольких переменных

Линейная функция n{\displaystyle n}  переменных x=(x1,x2,…,xn){\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}  — функция вида

f(x)=a0+a1x1+a2x2+⋯+anxn{\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}} 

где a0,a1,a2,…,an{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}  — некоторые фиксированные числа. Областью определения линейной функции является всё n{\displaystyle n} -мерное пространство переменных x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}  вещественных или комплексных. При a0=0{\displaystyle a_{0}=0}  линейная функция называется однородной, или линейной формой.

Если все переменные x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}  и коэффициенты a0,a1,a2,…,an{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}  — вещественные числа, то графиком линейной функции в (n+1){\displaystyle (n+1)} -мерном пространстве переменных x1,x2,…,xn,y{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n},y}  является n{\displaystyle n} -мерная гиперплоскость

y=a0+a1x1+a2x2+⋯+anxn{\displaystyle y=a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\dots +a_{n}x_{n}} 

в частности при n=1{\displaystyle n=1}  — прямая линия на плоскости.

Абстрактная алгебра

Термин «линейная функция», или, точнее, «линейная однородная функция», часто применяется для линейного отображения векторного пространства X{\displaystyle X}  над некоторым полем k{\displaystyle k}  в это поле, то есть для такого отображения f:X→k{\displaystyle f:X\to k} , что для любых элементов x,y∈X{\displaystyle x,y\in X}  и любых α,β∈k{\displaystyle \alpha ,\beta \in k}  справедливо равенство

f(αx+βy)=αf(x)+βf(y){\displaystyle f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)} 

причём в этом случае вместо термина «линейная функция» используются также термины линейный функционал и линейная форма — также означающие линейную однородную функцию определённого класса.

Алгебра логики

Булева функция f(x1,x2,…,xn){\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})}  называется линейной, если существуют такие a0,a1,a2,…,an{\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}} , где ai∈{0,1},∀i=1,n¯{\displaystyle a_{i}\in \{0,1\},\forall i={\overline {1,n}}} , что для любых x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}  имеет место равенство:

f(x1,x2,…,xn)=a0⊕a1⋅x1⊕a2⋅x2⊕⋯⊕an⋅xn{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=a_{0}\oplus a_{1}\cdot x_{1}\oplus a_{2}\cdot x_{2}\oplus \dots \oplus a_{n}\cdot x_{n}} .

Нелинейные функции

Для функций, не являющихся линейными, употребляют термин нелинейные функции. То же относится и к употреблению слова нелинейные в отношении других объектов, не обладающих свойством линейности, например — нелинейные дифференциальные уравнения. Обычно термин используется, когда функциональную зависимость вначале приближают линейной, а потом переходят к изучению более общего случая, часто начиная с младших степеней, например рассматривая квадратичные поправки.

Нелинейные уравнения достаточно произвольны. К примеру, нелинейной является функция y=x2{\displaystyle y=x^{2}} .

В ряде случаев этот термин может применяться и к зависимостям f=kx+b{\displaystyle f=kx+b} , где b≠0{\displaystyle b\neq 0} , то есть к неоднородным линейным функциям, поскольку они не обладают свойством линейности, а именно в этом случае f(x1+x2)≠f(x1)+f(x2){\displaystyle f(x_{1}+x_{2})\neq f(x_{1})+f(x_{2})}  и f(cx)≠cf(x){\displaystyle f(cx)\neq cf(x)} . Например, нелинейной зависимостью считают σ(τ){\displaystyle \sigma (\tau )}  для материала с упрочнением (см. теория пластичности).

См. также

Ссылки

• Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А.- М.: Наука, 1981.- 720с., ил.