Линейные уравнения с модулем – Как решать уравнения с модулем

Линейные уравнения с модулем

Просмотр содержимого документа
«Линейные уравнения с модулем»

Уравнения с модулем

Определение модуля числа: Модуль числа есть всегда неотрицательное число. Модуль положительного числа есть само число, а отрицательного – противоположное. Модуль нуля – ноль.

Рассмотрим простейшие уравнения с модулем

1.Решить уравнение |x|= 3. Из определения модуля корнем уравнения может быть либо само число 3 или противоположное ему -3. Вот и все.

Ответ: x1= 3, x2= 3.

1.Решить уравнение |x|= -3. Уравнение решения не имеет, модуль любого числа неотрицателен, а правая часть уравнения отрицательна.

3. Решить уравнение |x – 5|= 3. Снова решаем на основании определения, может быть снова два варианта 1) x – 5 = 3, 2) x – 5 = - 3. Получаем x1 = 8, x

2 = 2.

Ответ: x1= 8, x2= 2. Числа 8 и 2 находятся на расстоянии 3 от числа 5 на координатной прямой.

Метод интервалов при решении уравнений с модулем

4. Решить уравнение |x – 5|+|x – 1|= 10.

Рассмотрим промежутки на числовой оси между точками, где модули равны нулю.

Первый промежуток . На этом числовом промежутке |x – 5|=-(x – 5) = -x + 5;

|x – 1|= -(x – 1) = - x + 1. Упростим уравнение -x + 5 - x + 1 = 10  -2x + 6 = 10  x = - 2. . Значит – 2 корень этого уравнения. Второй промежуток Упрощаем из определения модуля |x – 5|=-(x – 5) = -x + 5; |x – 1|= x – 1. Упрощаем -x + 5 + x - 1 = 10  4 = 10 не верно, значит на этом промежутке корней нет. Третий промежуток по аналогии x – 5 + x – 1 = 10  2x= 16  x = 8.

Ответ: x1 = -2; x2 = 8.

5. Решить уравнение|x+1| - |x -2| + |x -3| = 6.

Аналогично решаем уравнение методом интервалов, здесь интервалов уже 4.

1) x x – 1 + x - 2 – x + 3 = 6  x = - 6, корень уравнения -6

2) -1 ≤ x x + 1 + x – 2 – x + 3 = 6  x = 4, решения нет - 1 ≤ 4

3) 2 ≤ x x + 1 –x + 2 – x + 3 = 6  x = 0, решения нет 2 ≤ 0

4) x ≥ 3, x + 1 – x + 2 + x – 3 = 6  x = 6, корень уравнения 6 ≥ 3 верное,

Ответ: x1 = - 6, x2 = 6.

При решении методом интервалов важно, чтобы полученное значение на решение было из своего интервала.

6. Решить уравнение |x – 5|=|x – 1|. Из определения модуля следует

Ответ: x = 3.

Можно решить и другим способом:

Примеры для самостоятельного решения уравнений с модулем.

|x + 1|+ |x+5| = 6;

|x - 2|+|x - 3| = 8;

|x - 4|- |x - 3| = 7;

multiurok.ru

Уравнение с модулем. наглядное пособие по алгебре ( 7 класс)

Уравнение, содержащие переменную под знаком модуля.

Модулем неотрицательного действительного числа a называют само это число:

|а| = а

Модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число:

|hello_html_m72dec919.gifа| = - а

Короче это записывают так:
hello_html_m34658c0.png

hello_html_22879f05.png

Модуль числа не может быть отрицательным. Для положительного числа и нуля он равен самому числу, а для отрицательного – противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули:

|-а| = |а|

Модуль числа 0 равен 0, так как точка с координатой 0 совпадает с началом отсчета 0, т.е. удалена от нее на 0 единичных отрезков:

|0| = 0

hello_html_m38c89894.gif

hello_html_683eb6aa.gif

hello_html_54360b27.gifhello_html_3ee7e0df.gif

На доске записали решение линейного уравнения, но часть уравнения вытерли. Восстановите их.

hello_html_500c2084.gifhello_html_m446e86d4.gif

infourok.ru

Решение линейных уравнений с модулем

Уравнение — это равенство, содержащее букву, значение которой надо найти.

Корень уравнения — это значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство.

Рассмотрим уравнение вида |kx + b| = c, где x — неизвестная величина, k ≠ 0.

Если c<0, то уравнение не имеет решений, так как модуль числа не может принимать отрицательные значения.

Если c = 0, то уравнение принимает вид kx + b = 0. Оно имеет единственный корень x = −b/k.

Если же c>0, то выражение под знаком модуля может принимать значения c и −c. Значит, возможны два случая:

kx + b = c, то есть x = (c−b) / k.

kx + b = −c, то есть  x=( −c−b) / k

Рассмотрим теперь уравнение вида |ax+b| = |cx+d|, где a, b, c, d – некоторые числа.

ПРИМЕР 1.

Решите уравнение: |2x−5| = |3x+6|.

РЕШЕНИЕ

Согласно определению модуля, указанное равенство возможно в следующих случаях:

2x−5 = 3x+6, то есть x=−11;

2x−5 = −(3x+6), то есть x=−0,2.

Ответ. {−11;−0,2}. 

Алгоритм решения уравнений с модулями:

1. Найти в уравнении все выражения, содержащиеся под знаком модуля.

2. Найти, при каких значениях переменной они обращаются в нуль.

3. Разбить найденными значениями числовую прямую на непересекающиеся промежутки.

4. Определить для каждого числового промежутка, чему равно значение каждого модуля: самому выражению, содержащемуся под знаком модуля, или противоположному ему.

5. Для каждого числового промежутка записать и решить исходное уравнение без знаков модуля.

6. Оставить только те решения, которые соответствуют числовому промежутку, и записать их в ответе.

ПРИМЕР 2

Решите уравнение: |x−3| − |2x+4| = 5.

Точки −2 и 3 разбивают ось на три непересекающихся промежутка: (−∞;−2) (−∞;−2), [−2;3) [−2;3), [3;∞)[3;∞). Решим уравнение на каждом из них:

Первый Промежуток x∈(−∞;−2)

Решение уравнения

−(x−3) + (2x+4) = 5

x+7=5

x =−2

Учет промежутка

x∈∅

Второй Промежуток x∈[−2;3)

Решение уравнения

−(x−3) − (2x+4) = 5

−3x−1 = 5

x = −2

Учет промежутка

x = −2

Третий Промежуток x∈[3;∞)

Решение уравнения

(x−3) − (2x+4) = 5

−x−7 = 5

x = −12

Учет промежутка

x∈∅

Ответ: x = −2

ПРИМЕР 3

Решите уравнение |x−1| = 3. 

Решение задачи

Если |x−1| = 3, то x−1 = ±3. То есть либо x = 3+1 = 4, либо x = −3+1 = −2. 

ПРИМЕР 4

Найдите количество целых решений уравнения 5x+|5x| = 0 на отрезке [−2015;2015].

Решение задачи

Заметим, то так как модуль — величина неотрицательная, а из уравнения получаем, что 5x ≤ 0 или x ≤ 0. Поэтому |5x| =−5x и уравнение примет вид 5x−5x = 0. Следовательно, x≤0 — это множество решений уравнения. Тогда количество целых решений на отрезке [−2015;2015] равно 2016. 

ПРИМЕР 5

Решите уравнение |||x|−2|−2|=2. В ответе укажите произведение всех решений.

Решение задачи

Будем последовательно раскрывать каждый из модулей и разбирать каждый случай отдельно.

По условию |||x|−2|−2|=2, поэтому ||x|−2|−2=−2 или ||x|−2|−2=2.

Случай 1:

||x|−2|−2=−2.

Из первого равенства: ||x|−2|=0, тогда |x|−2=0 или |x|=2. Следовательно, x=−2 или x=2.

Случай 2:

||x|−2|−2=2.

Из второго равенства: ||x|−2|=4. Значит, случай разбивается на два: |x|−2=4 или |x|−2=−4.

Случай 2(а):

|x|−2=4.

Из первого равенства: |x|=6. Следовательно, x=−6 или x=6.

Случай 2(б):

|x|−2=−4.

Из второго равенства: |x|=−2. Но модуль есть величина неотрицательная, поэтому в этом случае решений нет.

В итоге мы получили 4 различных решения — −2,2,−6,6. Их произведение равно 144. 

spishy-u-antoshki.ru

Решение линейных уравнений с модулем.

Тест, вариант 1

«Решение линейных уравнений с модулем»

Решите уравнения:

  1. |x| = 5

a) x=5; b) x= -5; c) решений нет;

d) х – любое число; е) х=hello_html_139679a2.gif5

  1. |x-2| = 1

a) x=3; b) x=1; c) x=3 и x=1

d) х – любое число; е) решений нет

  1. |x+4| = - 3

a) x= -7; b) x=1; c) x=-7 и x=1

d) х – любое число; е) решений нет

  1. |у| + 4 = 14

a) у=10; b) у = -10; c) у =18 и у =-18

d) у=10 и у =18; е) у=10 и у =-10

  1. 7 + |у| = 7

a) у=14; b) у =14 и у =-14

c) решений нет; d) у=0; е) у- любое число

  1. |x-5|·5 = 35

a) x=12; b) x= -2; c) x=7; d) х =12 и x=-2

е) х =12 и x=7

15|x| + 3 = 8|x| - 39

a) x=6; b) x= - 6; c) x=6 и x=-6

d) х – любое число; е) решений нет

  1. 5|x| -13 = - 2|x| + 1

a) x=7; b) x=2; c) x– любое число

d) х =7 и x=-7; е) x=2 и x=-2

  1. -5,4|x| - 3,6 = - 1,2 - 6|x|

Ответ: ______________

  1. 4,5|2x-13| - 35,7 = - 13,2

Ответ: ______________

Ответ: ______________

  1. |7x+3| = 24

Ответ: ______________

Тест, вариант 2

«Решение линейных уравнений с модулем»

Решите уравнения:

  1. |x| = 13

a) x=13; b) x= -13; c) решений нет;

d) х – любое число; е) х=hello_html_139679a2.gif

13

  1. |x-5| = 3

a) x=8; b) x=2; c) x=8 и x=2

d) х – любое число; е) решений нет

  1. |x+4| = - 4

a) x= - 8; b) x=0; c) x=-8 и x=0

d) х – любое число; е) решений нет

  1. |у| + 4 = 14

a) у=10; b) у = -10; c) у =18 и у =-18

d) у=10 и у =18; е) у=10 и у =-10

  1. 2 + |у| = 2

a) у= 4; b) у = 4 и у = - 4

c) решений нет; d) у=0; е) у- любое число

  1. |x-6|·3 = 30

a) x=16; b) x= - 4; c) x=10;

d) х =16 и x= - 4; е) х =10 и x = 4

15|x | - 3 = 9|x| - 39

a) x=6; b) x= - 6; c) x=6 и x=-6

d) х – любое число; е) решений нет

  1. 5|x| -13 = - 5|x| + 7

a) x=2; b) x=20; c) x– любое число

d) х =2 и x= - 2; е) x=0 и x= -2

  1. - 2,2|x| – 10,3 = - 3,7|x|+ 12.2

Ответ: ______________

  1. 4,5|2x-13| - 35,7 = - 13,2

Ответ: ______________

Ответ: ______________

  1. |4x+3| = 3

Ответ: ______________

infourok.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о