Линейные уравнения с одной переменной 7 класс примеры для тренировки: Линейное уравнение с одной переменной. Алгоритм решения. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

Содержание

Линейное уравнение с одной переменной. Алгоритм решения. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1. Корень линейного уравнения

Сложность: лёгкое

1
2. Решение линейного уравнения

Сложность: лёгкое

1
3. Линейное уравнение, схема решения

Сложность: лёгкое

1
4. Линейное уравнение (коэффициент при x дробный)

Сложность: лёгкое

1
5. Составление и решение линейного уравнения

Сложность: лёгкое

2
6. Линейное уравнение вида x + a = b

Сложность: лёгкое

1
7. Линейное уравнение вида x + a = 0

Сложность: лёгкое

1
8. Линейное уравнение вида ax + b = 0

Сложность: лёгкое

1
9. Линейное уравнение (с дробями)

Сложность: среднее

2
10. Линейное уравнение вида a — kx = c

Сложность: среднее

3
11. Линейное уравнение вида a — b + kx = c + d — mx

Сложность: среднее

4
12. Задача на движение

Сложность: среднее

3
13. Задача на движение, скорость по течению и против течения

Сложность: среднее

4
14. Задача на движение, две лодки

Сложность: среднее

4
15. Задача на движение в одном направлении

Сложность: среднее

4
16. Задача на движение, скорость течения реки

Сложность: сложное

5
17. Решение уравнения, записанного в виде пропорции

Сложность: сложное

3
18. Определение количества пассажиров в вагоне

Сложность: сложное

6

Линейное уравнение с одной переменной, урок по алгебре в 7 классе, примеры решения

Дата публикации: .

Определение линейного уравнения с одной переменной


Ребята, в 5 классе вы проходили тему: Решение уравнений на сложение и вычитание. Мы говорили о линейных уравнениях. Уравнениях, в которых только одна переменная.
Например: 4x = 18;   2z — 5 = 0.

Решить уравнение – значит найти те значения переменных, при котором уравнение превращается в верное равенство. Каждое такое решение называется корнем уравнения.

Например, уравнение 3x = 12 имеет корень, равный 4. При х = 4 выражение является верным равенством. Действительно, 3 * 4 = 12. И больше никакое значение х не удовлетворяет данному равенству.

Общий вид линейного уравнения с одной переменной х можно представить: ах + b = 0, где где а и b – любые числа, которые называются коэффициентами линейного уравнения.

Рассмотрим виды линейных уравнений.

1. a = 0 и b = 0.
Корнем уравнения может быть любое число. В этом случае говорят, что уравнение не имеет корней.

2. a ≠ 0 и b ≠ 0.
Уравнение превращается в уравнение вида ax = -b (коэффициент b перенесли на право со сменой знака).
Значит, х = (-b) : a или x = -(b : a).

Алгоритм решения линейного уравнения вида ax + b = 0, где a ≠ 0


1) Переписать уравнение так, чтобы оно приняло вид ax = -b.
2) Найти корень уравнения x = (-b) : a или x = -(b : a).

Если линейное уравнение имеет более сложном виде, например, 4х + 3 = 18 — х.

Тогда необходимо упростить уравнение через приведение подобных слагаемых.
(4x + 3) — (18 — х) = 0
4x + 3 — 18 + х = 0
5x — 15 = 0
5x = 15
x = 3.

Обобщим полученные знания в общий алгоритм.

Алгоритм решения линейного уравнения вида ax + b = сx + d, где a ≠ c


1) Перенесем все члены уравнения налево и не забудем поменять знак при переносе.
2) Раскроим скобки после переноса и приведем подобные слагаемые. В результате получим уравнение вида ax + b = 0, где a ≠ 0.
3) Найдем корень уравнения вида x = (-b) : a или x = -(b : a).

Примеры решения линейных уравнений с одной переменной


1. Решите уравнение: 7x + 21 = 0.
7х = -21
х = $\frac{(-21)}{7} = — 3$.

2. Решите уравнение: 2x -1 = 5(х + 4).
2x — 1 — 5(х + 4) = 0
2x — 1 — 5х — 20 = 0
-3х — 21 = 0
-3х = 21
x = $\frac{21}{(-3)}= -7$.

Линейное уравнение с одной переменной. 7-й класс

Урок № 1.

Тип урока: закрепление пройденного материала.

Цели урока:

Образовательные:

  • формирование навыка решения уравнения с одним неизвестным сведением его к линейному уравнению с помощью свойств равносильности.

Развивающие:

  • формирование ясности и точности мысли, логического мышления, элементов алгоритмической культуры;
  • развитие математической речи;
  • развитие внимания, памяти;
  • формирование навыков само и взаимопроверки.

Воспитательные:

  • формирование волевые качества;
  • формирование коммуникабельность;
  • выработка объективной оценки своих достижений;
  • формирование ответственности.

Оборудование: интерактивная доска, доска для фломастеров, карточки с заданиями для самостоятельной работы, карточки для коррекции знаний для слабоуспевающих учащихся, учебник, рабочая тетрадь, тетрадь для домашних работ, тетрадь для самостоятельных работ.

Ход урока

1. Организационный момент – 1мин.

Поприветствовать учащихся, проверить их готовность к уроку, объявить тему урока и цель урока.

2. Проверка домашнего задания – 4 мин.

Учащиеся проверяют домашнюю работу, решение которой выведено с обратной стороны доски одним из учащихся.

3. Устная работа– 6 мин.

(1) Пока идет устный счет, слабоуспевающие учащиеся получают карточку для коррекции знаний и выполняют 1), 2), 4) и 6) задания по образцу. (См. Приложение 1.)

Карточка для коррекции знаний.

(2) Для остальных учащихся задания проецируются на интерактивную доску: (См. Презентацию: Слайд 2)

  1. Вместо звездочки поставь знак “+” или “–”, а вместо точек – числа:
    а) (*5)+(*7) = 2;
    б) (*8) – (*8) = (*4)–12;
    в) (*9) + (*4) = –5;
    г) (–15) – (*…) = 0;
    д) (*8) + (*…) = –12;
    е) (*10) – (*…) = 12.
  2. Составь уравнения, равносильные уравнению:
    а) х – 7 = 5;
    б) 2х – 4 = 0;
    в) х –11 = х – 7;
    г) 2(х –12) = 2х – 24.

3. Логическая задача: Вика, Наташа и Лена в магазине купили капусту, яблоки и морковь. Все купили разные продукты. Вика купила овощ, Наташа – яблоки или морковь, Лена купила не овощ. Кто что купил? (Один из учащихся, выполнивший задание выходит к доске и заполняет таблицу.) (Слайд 3)

Вика Наташа Лена
К
Я
М

  Заполнить таблицу

Вика Наташа Лена
К +
Я +
М +

 Ответ

(Учащиеся используют пластиковые листы и фломастеры. )

4. Обобщение умения решать уравнения сведением их к линейному уравнению –9 мин.

Коллективная работа с классом. (Слайд 4)

Решим уравнение

12 – (4х – 18) = (36 + 5х) + (28 – 6х). (1)

для этого выполним следующие преобразования:

1. Раскроем скобки. Если перед скобками стоит знак “плюс”, то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Если перед скобками стоит знак “минус”, то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки:

12 – 4х + 18 = 36 + 5х + 28 – 6х. (2)

Уравнения (2) и (1) равносильны:

2. Перенесем с противоположными знаками неизвестные члены так, чтобы они были только в одной части уравнения (или в левой, или в правой). Одновременно перенесем известные члены с противоположными знаками так, чтобы они были только в другой части уравнения.

Например, перенесем с противоположными знаками неизвестные члены в левую, а известные – в правую часть уравнения, тогда получим уравнение

– 4х – 5х + 6х = 36 + 28 – 18 — 12, (3)

равносильное уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).

3. Приведем подобные слагаемые:

–3х = 34. (4)

Уравнение (4) равносильно уравнению (3), а следовательно, и уравнению (1).

4. Разделим обе части уравнения (4) на коэффициент при неизвестном.

Полученное уравнение х = будет равносильно уравнению (4), а следовательно, и уравнениям (3), (2), (1)

Поэтому корнем уравнения (1) будет число

По этой схеме (алгоритму) решаем уравнения на сегодняшнем уроке:

  1. Раскрыть скобки.
  2. Собрать члены, содержащие неизвестные, в одной части уравнения, а остальные члены в другой.
  3. Привести подобные члены.
  4. Разделить обе части уравнения на коэффициент при неизвестном.

Примечание: следует отметить, что приведенная схема не является обязательной, так как часто встречаются уравнения, для решения которых некоторые из указанных этапов оказываются ненужными. При решении же других уравнений бывает проще отступить от этой схемы, как, например, в уравнении:

7(х – 2) = 42.

5. Тренировочные упражнения – 8 мин.

№ № 132(а, г), 135(а, г), 138(б, г) – с комментарием и записью на доске.

6. Самостоятельная работа – 14 мин. (выполняется в тетрадях для самостоятельных работ с последующей взаимопроверкой проверкой; ответы будут отображены на интерактивной доске)

Перед самостоятельной работой учащимся будет предложено задание на сообразительность – 2 мин.

Не отрывая карандаша от бумаги и не проходя дважды по одному и тому же участку линии, начертите распечатанное письмо. (Слайд 5)

(Учащиеся используют пластиковые листы и фломастеры.)

1. Решить уравнения (на карточках) (См. Приложение 2)

Дополнительное задание № 135 (б, в).

7. Подведение итогов урока – 1 мин.

Алгоритм сведения уравнения к линейному уравнению.

8. Сообщение домашнего задания – 2 мин.

п.6, № № 136 (а-г), 240 (а), 243(а, б), 224 (Разъяснить содержание домашнего задания).

Урок № 2.

Цели урока:

Образовательные:

  • повторение правил, систематизация, углубление и расширение ЗУНов учащихся по решению линейных уравнений;
  • формирование умения применять полученные знания при решении уравнений различными способами.

Развивающие:

  • развитие интеллектуальных умений: анализа алгоритма решения уравнения, логического мышления при построении алгоритма решения уравнения, вариативности выбора способа решения, систематизации уравнений по способам решения;
  • развитие математической речи;
  • развитие зрительной памяти.

Воспитательные:

  • воспитание познавательной активности;
  • формирование навыков самоконтроля, взаимоконтроля и самооценки;
  • воспитание чувства ответственности, взаимопомощи;
  • привитие аккуратности, математической грамотности;
  • воспитание чувства товарищества, вежливости, дисциплинированности, ответственности;
  • Здоровьесбережение.

а) образовательная: повторение правил, систематизация, углубление и расширение ЗУНов учащихся по решению линейных уравнений;

б) развивающая: развитие гибкости мышления, памяти, внимания и сообразительности;

в) воспитательная: привитие интереса к предмету и к истории родного края.

Оборудование: интерактивная доска, сигнальные карточки (зеленая и красная), листы с тестовой работой, учебник, рабочая тетрадь, тетрадь для домашних работ, тетрадь для самостоятельных работ.

Форма работы: индивидуальная, коллективная.

Ход урока

1. Организационный момент – 1мин.

Поприветствовать учащихся, проверить их готовность к уроку, объявить тему урока и цель урока.

2. Устная работа – 10 мин.

(Задания для устного счета выводятся на интерактивную доску.) (Слайд 6)

1) Решите задачи:

а) Мама старше дочери на 22 года. Сколько лет маме, если им вместе 46 лет
б) В семье трое братьев и каждый следующий младше предыдущего в два раза. Вместе всем братьям 21 год. Сколько лет каждому?

2) Решите уравнения: (Пояснить)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Какие из данных уравнений являются линейными?

(Во время устного счета учащиеся используют сигнальные карточки: зеленую и красную)

3) Проверьте, правильно ли решено уравнение, если нет, то найди ошибки. (Слайд 7)

4 · (х – 5) = 12 – х
4х – 5 = 12 – х
4х + х = 12 – 5
5х = 7 /:5
х = 1,4
Желающий выходит к интерактивной доске
 исправить ошибки

 

4) Пояснить задания из домашней работы, вызвавшие затруднение.

3. Выполнение упражнений – 10 мин. (Слайд 8)

(1) Какому неравенству удовлетворяет корень уравнения:

4 – 5х = 5

а) x > 1;
б) x < 0;
в) x > 0;
г) x < –1.

(2) При каком значении выражении у значение выражения 2у – 4 в 5 раз меньше значения выражения 5у – 10?

(3) При каком значении k уравнение kx – 9 = 0 имеет корень равный – 2?

Посмотри и запомни (7 секунд). (Слайд 9)

Через 30 секунд учащиеся воспроизводят рисунок на пластиковых листах.

4. Физкультминутка – 1,5 мин.

Упражнение для глаз и для рук

(Учащиеся смотрят и повторяют упражнения, которые проецируются на интерактивную доску.)

5. Самостоятельная тестовая работа – 15 мин.

(Учащиеся выполняют тестовую работу в тетрадях для самостоятельных работ, дублируя ответы в рабочих тетрадях. Сдав тесты, учащиеся сверяют ответы с ответами, отображенными на доске)

Учащиеся, справившиеся с работой раньше всех, помогают слабоуспевающим учащимся.

(См. Приложение 3)

6. Подведение итогов урока – 2 мин.

– Какое уравнение с одной переменной называется линейным?

– Что называется корнем уравнения?

– Что значит “решить уравнение”?

– Сколько корней может иметь уравнение?

7. Сообщение домашнего задания. – 1 мин.

п. 6, № № 294(а, б),244, 241(а, в), 240(г) – Уровень А, В

п.6, № № 244, 241(б, в), 243(в),239, 237– Уровень С

(Разъяснить содержание домашнего задания.)

8. Рефлексия – 0,5 мин.

– Вы довольны своей работой на уроке?

– Какой вид деятельности вам понравился больше всего на уроке.

Литература:

  1. Алгебра 7. / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Пешков, С.В. Суворова. Под редакцией С.А. Теляковского. / М.: Просвещение, 1989 – 2006.
  2. Сборник тестовых заданий для тематического и итогового контроля. Алгебра 7 класс/ Гусева И.Л., Пушкин С.А., Рыбакова Н.В.. Общая ред.: Татур А.О. – М.: “Интеллект-Центр” 2009 – 160 с.
  3. Поурочное планирование по алгебре. / Т.Н.Ерина. Пособие для учителей /М: Изд. “Экзамен”, 2008. – 302,[2] с.
  4. Карточки для коррекции знаний по математике для 7 класса./ Левитас Г.Г. /М. : Илекса, 2000. – 56 с.

Решение линейных уравнений с одной переменной

Линейные уравнения с одной переменной — это уравнения, в которых переменная имеет показатель степени 1, который обычно не отображается (это понятно). Примером может быть что-то вроде \ (12x = x — 5 \). Для решения линейных уравнений есть одна основная цель: изолировать переменную . В этом уроке мы рассмотрим, как это делается, на нескольких примерах.

Содержание

  1. Примеры решения одношаговых уравнений
  2. Примеры решения двухшаговых уравнений
  3. Примеры уравнений, в которых сначала необходимо упростить
  4. Бесконечно много или нет решений
  5. Сводка

объявление

Примеры решения одношаговых линейных уравнений

После всей вашей тяжелой работы над решением уравнения вы знаете, что хотите получить окончательный ответ, например \ (x = 5 \) или \ (y = 1 \). В обоих этих случаях переменная изолирована или сама по себе.

Итак, нам нужно выяснить, как изолировать переменную. Как мы это сделаем, зависит от самого уравнения! Если его на что-то умножили, то поделим. Если к нему что-то добавили, мы вычтем. Поступая так, мы постепенно будем получать переменную сама по себе.

Давайте рассмотрим пример, чтобы увидеть, как это работает.

Пример

Решите уравнение: \ (4x = 8 \)

Решение

В этом примере 4 — это умножение на \ (x \).Следовательно, чтобы изолировать \ (x \), вы должны разделить эту сторону на 4. Делая это, вы должны помнить одно важное правило: что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы должны делать с другой стороной. Итак, мы разделим обе стороны на 4.

\ (\ begin {align} 4x & = 8 \\ \ dfrac {4x} {\ color {red} {4}} & = \ dfrac {8} {\ color {red} {4}} \ end {align} \)

Упрощение:

\ (х = \ в коробке {2} \)

Вот и все, один шаг и готово. (Вот почему подобные уравнения часто называют «одношаговыми» уравнениями)

Чек

Каждый раз, когда вы решаете линейные уравнения, вы всегда можете проверить свой ответ, подставив его обратно в уравнение.Если вы получите верное утверждение, значит, ответ правильный. Это не обязательно на 100% для каждой задачи, но это хорошая привычка, поэтому мы сделаем это для наших уравнений.

В этом примере наше исходное уравнение было \ (4x = 8 \). Чтобы проверить это, убедитесь, что верно следующее:

\ (\ begin {align} 4x & = 8 \\ 4 (2) & = 8 \\ 8 & = 8 \ end {align} \)

Это верное утверждение, поэтому наш ответ правильный.

Для любого уравнения любая операция, которую вы выполняете с одной стороной, должна выполняться и с другой стороной.

Давайте попробуем еще пару примеров, прежде чем переходить к более сложным уравнениям.

Пример

Решить: \ (3x = 12 \)

Решение

Поскольку \ (x \) умножается на 3, план состоит в том, чтобы разделить на 3 с обеих сторон:

\ (\ begin {align} 3x & = 12 \\ \ dfrac {3x} {\ color {red} {3}} & = \ dfrac {12} {\ color {red} {3}} \\ x & = \ в штучной упаковке {4} \ end {align} \)

Чек

Чтобы проверить наш ответ, мы позволим \ (x = 4 \) и подставим его обратно в уравнение:

\ (\ begin {align} 3x & = 12 \\ 3 (4) & = 12 \\ 12 & = 12 \ end {align} \)

Как и раньше, поскольку это верное утверждение, мы знаем, что наш ответ правильный.

В следующем примере вместо умножения переменной на значение из переменной вычитается значение. Чтобы «отменить» это, мы добавим это значение обеим сторонам.

Пример

Решить: \ (y-9 = 21 \)

Решение

На этот раз из y вычитается 9. Итак, мы отменим это, добавив 9 к обеим сторонам.

\ (\ begin {align} y-9 & = 21 \\ y-9 \ color {red} {+ 9} & = 21 \ color {red} {+ 9} \\ y & = 30 \ end {align} \)

Далее мы рассмотрим то, что обычно называют «двухэтапными» уравнениями.В этих уравнениях нам нужно будет отменить две операции, чтобы изолировать переменную.

Примеры двухшаговых уравнений

В каждом из приведенных выше примеров нужно было выполнить один шаг, прежде чем мы получили ответ. В следующих примерах вы увидите, как работать с уравнениями, которые состоят из двух шагов. Если выполняется более одной операции, важно помнить порядок операций PEMDAS. Поскольку вы отменяете операции с \ (x \), вы будете работать «извне внутрь». Это легче понять, если вы увидите это на примере.

Пример

Решить: \ (2x-7 = 13 \)

Решение

Обратите внимание на две операции, происходящие с \ (x \): он умножается на 2, а затем вычитается 7. Нам нужно будет их отменить. Но только \ (x \) умножается на 2, поэтому первым шагом будет прибавление 7 к обеим сторонам. Тогда мы можем разделить обе части на 2.

Добавляем 7 к обеим сторонам:

\ (\ begin {align} 2x-7 & = 13 \\ 2x-7 \ color {red} {+ 7} & = 13 \ color {red} {+ 7} \\ 2x & = 20 \ end {align} \ )

Теперь разделите обе стороны на 2:

.

\ (\ begin {align} 2x & = 20 \\ \ dfrac {2x} {\ color {red} {2}} & = \ dfrac {20} {\ color {red} {2}} \\ x & = \ в штучной упаковке {10} \ end {align} \)

Чек

Как и в случае с более простыми задачами, вы можете проверить свой ответ, подставив свое значение \ (x \) обратно в исходное уравнение.

\ (\ begin {align} 2x-7 & = 13 \\ 2 (10) — 7 & = 13 \\ 13 & = 13 \ end {align} \)

Это правда, значит, у нас есть правильный ответ.

Давайте рассмотрим еще один пример с двумя шагами, прежде чем мы снова будем преодолевать трудности. Убедитесь, что вы понимаете каждый показанный шаг и также работаете над проблемой.

Пример

Решить: \ (5w + 2 = 9 \)

Решение

Как и выше, есть две операции: \ (w \) умножается на 5, а затем к нему прибавляется 2.Мы отменим их, сначала вычтя 2 с обеих сторон, а затем разделив на 5.

\ (\ begin {align} 5w + 2 & = 9 \\ 5w + 2 \ color {red} {- 2} & = 9 \ color {red} {- 2} \\ 5w & = 7 \\ \ dfrac { 5w} {\ color {red} {5}} & = \ dfrac {7} {\ color {red} {5}} \\ w = \ boxed {\ dfrac {7} {5}} \ end {align} \)

Дробь справа не может быть упрощена, так что это наш окончательный ответ.

Чек

Пусть \ (w = \ dfrac {7} {5} \). Тогда:

\ (\ begin {align} 5w + 2 & = 9 \\ 5 \ left (\ dfrac {7} {5} \ right) + 2 & = 9 \\ 7 + 2 & = 9 \\ 9 & = 9 \ конец {align} \)

Итак, мы снова получили правильный ответ!

Упрощение перед решением

В следующих примерах содержится больше переменных терминов и, возможно, необходимо некоторое упрощение. В каждом случае шаги будут заключаться в том, чтобы сначала упростить обе стороны, а затем использовать то, что мы делали, чтобы изолировать переменную. Сначала мы подробно рассмотрим пример, чтобы увидеть, как все это работает.

Чтобы понять этот раздел, вам должно быть удобно комбинировать похожие термины.

Пример

Решить: \ (3x + 2 = 4x-1 \)

Решение

Поскольку обе части упрощены (нет скобок, которые нам нужно вычислять, и нет одинаковых членов для объединения), следующим шагом будет получение всех x на одной стороне уравнения и всех чисел на другой стороне.Применяется то же правило — что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, вы должны делать и с другой стороной!

Можно перемещать \ (3x \) или \ (4x \). Предположим, вы переместили \ (4x \). Поскольку он положительный, вы должны вычесть его с обеих сторон:

\ (\ begin {align} 3x + 2 & = 4x-1 \\ 3x + 2 \ color {red} {- 4x} & = 4x-1 \ color {red} {- 4x} \\ -x + 2 & = -1 \ end {align} \)

Теперь уравнение похоже на те, которые работали раньше. Следующим шагом будет вычитание 2 с обеих сторон:

\ (\ begin {align} -x + 2 \ color {red} {- 2} & = -1 \ color {red} {- 2} \\ — x = -3 \ end {align} \)

Наконец, поскольку \ (- x = -1x \) (это всегда верно), разделите обе стороны на \ (- 1 \):

\ (\ begin {align} \ dfrac {-x} {\ color {red} {- 1}} & = \ dfrac {-3} {\ color {red} {- 1}} \\ x & = 3 \ end {выровнять}\)

Чек

Вам следует воспользоваться моментом и убедиться, что следующее утверждение является верным:

\ (3 (3) + 2 = 4 (3) — 1 \)

В следующем примере нам нужно будет использовать свойство распределения перед решением.Здесь легко ошибиться, поэтому убедитесь, что вы распределили число перед круглыми скобками для всех терминов внутри.

Пример

Решить: \ (3 (x + 2) -1 = x-3 (x + 1) \)

Решение

Сначала разложите 3 и –3 и соберите одинаковые термины.

\ (\ begin {align} 3 (x + 2) -1 & = x-3 (x + 1) \\ 3x + 6-1 & = x-3x-3 \\ 3x + 5 & = — 2x-3 \ end {выровнять}\)

Теперь мы можем прибавить 2x к обеим сторонам. (Помните, что вы получите тот же ответ, если вместо этого вычтете 3x с обеих сторон)

\ (\ begin {align} 3x + 5 \ color {red} {+ 2x} & = — 2x-3 \ color {red} {+ 2x} \\ 5x + 5 & = -3 \ end {align} \)

Отсюда мы можем решить, как и с другими двухшаговыми уравнениями.

\ (\ begin {align} 5x + 5 \ color {red} {- 5} & = — 3 \ color {red} {- 5} \\ 5x & = — 8 \\ \ dfrac {5x} {\ color { красный} {5}} & = \ dfrac {-8} {\ color {red} {5}} \\ x & = \ dfrac {-8} {5} \\ & = \ boxed {- \ dfrac {8 } {5}} \ end {align} \)

Чек

Это был сложный вопрос, поэтому не забудьте проверить свой ответ и убедиться, что не было допущено никаких ошибок. Для этого вы убедитесь, что следующее утверждение является верным:

\ (3 \ left (- \ dfrac {8} {5} +2 \ right) -1 = \ left (- \ dfrac {8} {5} \ right) -3 \ left (- \ dfrac {8} { 5} +1 \ вправо) \)

(Примечание: это работает, но вы должны быть очень осторожны с скобками!)

Бесконечно много решений и никаких решений

Бывают случаи, когда вы выполняете все эти шаги, и возникает действительно странное решение. Например, при решении уравнения \ (x + 2 = x + 2 \) с использованием описанных выше шагов в итоге получается \ (0 = 0 \). Это, конечно, правда, но что хорошего в этом?

Если вы получите подобное утверждение, это означает, что уравнение имеет бесконечно много решений. Любой \ (x \), о котором вы можете подумать, удовлетворял бы уравнению \ (x + 2 = x + 2 \). Подходящий ответ в этом случае — «бесконечно много решений».

Другая ситуация возникает, когда вы упрощаете уравнение до утверждения, которое никогда не является истинным, например \ (3 = 4 \) или \ (0 = 1 \).Это происходит с уравнением \ (x + 5 = x-7 \), которое приводит к \ (5 = -7 \), что, конечно, никогда не бывает истинным. Это означает, что никакое \ (x \) не удовлетворяет этому уравнению. Другими словами «решения нет». Итого:

  • Если вы получите утверждение, которое всегда истинно, например \ (5 = 5 \) или \ (0 = 0 \), то существует бесконечно много решений.
  • Если вы получаете утверждение, которое всегда ложно, например \ (10 ​​= 11 \) или \ (1 = 5 \), то решений нет.

объявление

Сводка

Решение линейных уравнений сводится к выделению переменной.В зависимости от уравнения это может занять всего один шаг или намного больше. Всегда проверяйте, нужно ли вам сначала упростить одну или обе части уравнения, и всегда проверяйте свой ответ.

Подпишитесь на нашу рассылку!

Мы всегда публикуем новые бесплатные уроки и добавляем новые учебные пособия, руководства по калькуляторам и пакеты задач.

Подпишитесь, чтобы получать электронные письма (раз в пару или три недели) с информацией о новинках!

Связанные

Бесплатные рабочие листы по линейным уравнениям (6-9 классы, предварительная алгебра, алгебра 1)

Вы здесь: На главную → Рабочие листы → Линейные уравнения

Здесь вы найдете неограниченное количество распечатываемых рабочих листов для решения линейных уравнений, доступных как в формате PDF, так и в формате html.Вы можете настроить рабочие листы, включив в них одношаговые, двухэтапные или многоступенчатые уравнения, переменные с обеих сторон, круглые скобки и многое другое. Рабочие листы подходят для курсов предварительной алгебры, и алгебры 1, (6-9 классы).

Вы можете выбрать из СЕМЬ основных типов уравнений, от простых до сложных, описанных ниже (например, одношаговые уравнения, переменные с обеих сторон или необходимость использования свойства распределения). Настройте рабочие листы, используя генератор ниже.


Основные инструкции к рабочим листам

Каждый рабочий лист генерируется случайным образом и поэтому уникален.Ключ ответа создается автоматически и помещается на вторую страницу файла.

Вы можете создавать рабочие листы либо в формате html, либо в формате PDF — и то, и другое легко распечатать. Чтобы получить рабочий лист PDF, просто нажмите кнопку с названием « Создать PDF » или « Создать рабочий лист PDF ». Чтобы получить рабочий лист в формате html, нажмите кнопку « Просмотреть в браузере » или « Сделать рабочий лист html ». Это имеет то преимущество, что вы можете сохранить рабочий лист прямо из браузера (выберите «Файл» → «Сохранить»), а затем отредактировать его в Word или другом текстовом редакторе.

Иногда созданный рабочий лист не совсем то, что вам нужно. Просто попробуйте еще раз! Чтобы получить другой рабочий лист с теми же параметрами:

  • Формат PDF: вернитесь на эту страницу и нажмите кнопку еще раз.
  • Формат Html: просто обновите страницу рабочего листа в окне браузера.

Рабочие листы готовые


См. Также

Рабочие листы для упрощения выражений

Рабочие листы для вычисления выражений с переменными

Рабочие листы для написания выражений с переменными из словесных выражений

Рабочие листы для линейных неравенств


Ключ к учебным пособиям по алгебре

Key to Algebra предлагает уникальный проверенный способ познакомить студентов с алгеброй. Новые концепции объясняются простым языком, а примеры легко следовать. Задачи со словами связывают алгебру с знакомыми ситуациями, помогая учащимся понять абстрактные концепции. Учащиеся развивают понимание, интуитивно решая уравнения и неравенства, прежде чем будут представлены формальные решения. Студенты начинают изучение алгебры с книг 1–4, используя только целые числа. Книги 5-7 вводят рациональные числа и выражения. Книги 8-10 охватывают реальную систему счисления.

=> Узнать больше

Решите линейные уравнения с одной переменной.Приведите примеры линейных уравнений с одной переменной с одним решением, бесконечным числом решений или без решений. Покажите, какая из этих возможностей верна, путем последовательного преобразования данного уравнения в более простые формы, пока не получится эквивалентное уравнение вида x = a, a = a или a = b (где a и b — разные числа). уравнения с рациональными числовыми коэффициентами, включая уравнения, решения которых требуют расширения выражений с использованием свойства распределения и сбора подобных членов.

Многоступенчатые уравнения: часть 5 Сколько решений ?:

Узнайте, как уравнения могут иметь одно решение, без решения или бесконечно много решений в этом интерактивном руководстве.

Это пятая из пяти серии статей, посвященных решению многоступенчатых уравнений.

  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 1: Объединение одинаковых терминов
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 2: Распределительное свойство
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 3: Переменные на обеих сторонах
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 4: Собираем все вместе
  • [ТЕКУЩИЙ РУКОВОДСТВО] Часть 5: Сколько решений?

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Многоступенчатые уравнения: часть 4 Собираем все вместе:

Изучите альтернативные методы решения многоступенчатых уравнений в этом интерактивном руководстве.

Это пятая из пяти серии статей, посвященных решению многоступенчатых уравнений.

  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 1: Объединение одинаковых терминов
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 2: Распределительное свойство
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 3: Переменные на обеих сторонах
  • [ТЕКУЩЕЕ РУКОВОДСТВО] Часть 4: Собираем все вместе
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 5: Сколько решений?

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Многоступенчатые уравнения: Часть 3 Переменные с обеих сторон:

Узнайте, как решать многоступенчатые уравнения, которые содержат переменные с обеих сторон уравнения, в этом интерактивном руководстве.

Это пятая из пяти серии статей, посвященных решению многоступенчатых уравнений.

  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 1: Объединение одинаковых терминов
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 2: Распределительное свойство
  • [ТЕКУЩЕЕ РУКОВОДСТВО] Часть 3: Переменные на обеих сторонах
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 4: Собираем все вместе
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 5: Сколько решений?

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Многоступенчатые уравнения: Часть 2 Распределительное свойство:

Узнайте, как решать многоступенчатые уравнения с помощью свойства распределения в этом интерактивном руководстве.

Это вторая из пяти статей серии о решении многоступенчатых уравнений.

  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 1: Объединение одинаковых терминов
  • [ТЕКУЩЕЕ РУКОВОДСТВО] Часть 2: Распределительная собственность
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 3: Переменные на обеих сторонах
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 4: Собираем все вместе
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 5: Сколько решений?

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Многоступенчатые уравнения: Часть 1 Объединение одинаковых терминов:

Узнайте, как решать многоступенчатые уравнения, содержащие похожие термины, в этом интерактивном руководстве.

Это первая часть из пяти в серии, посвященной решению многоступенчатых уравнений.

  • [ТЕКУЩЕЕ РУКОВОДСТВО] Часть 1. Объединение терминов «Нравится»
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 2: Распределительное свойство
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 3: Переменные на обеих сторонах
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 4: Собираем все вместе
  • Щелкните ЗДЕСЬ , чтобы открыть Часть 5: Сколько решений?

Тип: Оригинальное учебное пособие для учащихся

Решение уравнений: одна и та же переменная, обе стороны, одно решение:

В этой сложной игре вы будете решать уравнения с переменными с обеих сторон. У каждого уравнения есть реальное решение. Используйте кнопку «Научи меня», чтобы просмотреть материалы перед испытанием. После задания при необходимости просмотрите проблемы. Попробуйте еще раз, чтобы правильно ответить на все вопросы! Наборы вопросов различаются в зависимости от игры, поэтому не стесняйтесь играть в игру несколько раз по мере необходимости! Удачи!

Тип: Обучающая игра

Викторина по алгебре на время:

В этом задании на время учащиеся решают линейные уравнения (одно- и двухшаговые) или квадратные уравнения различной сложности в зависимости от выбранных начальных условий.Это задание позволяет учащимся попрактиковаться в решении уравнений, в то время как упражнение записывает их баллы, чтобы они могли отслеживать свой прогресс. Это упражнение включает в себя дополнительные материалы, в том числе справочную информацию по затронутым темам, описание того, как использовать приложение, и вопросы исследования для использования с java-апплетом.

Тип: Обучающая игра

Алгебра четыре:

В этом упражнении два ученика играют в имитационную игру «Соединение четырех», но для того, чтобы поставить фишку на доску, они должны правильно решить алгебраическое уравнение.Это задание позволяет студентам попрактиковаться в решении уравнений различной сложности: одношаговых, двухэтапных или квадратных уравнений и при желании использовать свойство распределения. Это упражнение включает в себя дополнительные материалы, в том числе справочную информацию по затронутым темам, описание того, как использовать приложение, и вопросы исследования для использования с апплетом Java.

Тип: Обучающая игра

Купон или скидка:

В этом задании ученикам предлагается реальная проблема, связанная с ценой продаваемого товара.Чтобы ответить на вопрос, учащиеся должны представить проблему, указав переменную и связанные с ней величины, а затем написать и решить уравнение.

Тип: Задача по решению проблем

Решение уравнений:

В этом упражнении студенту предлагается решить множество уравнений (одно решение, бесконечное число решений, нет решения) традиционным алгебраическим способом и использовать изображения балансировочных весов, чтобы показать процесс решения.

Тип: Задача по решению проблем

Знак решений:

Можно много сказать о решении уравнения, не решая его, просто глядя на структуру и операции, составляющие уравнение.Это упражнение переключает внимание с знакомой проблемы «поиска решения» на размышления о том, что на самом деле означает, что число является решением уравнения.

Тип: Задача по решению проблем

Проблема слова линейного уравнения:

Узнайте, как решить проблему со словами, написав уравнение для моделирования ситуации. В этом видео мы используем линейное уравнение 210 (t-5) = 41790.

Тип: Учебное пособие

Решение уравнений: проблема со словом:

В этом уроке показана задача со словами, в которой учащиеся найдут размеры сада, учитывая только его периметр.Учащиеся создадут уравнение для решения.

Тип: Учебное пособие

Двухступенчатые уравнения:

Студенты будут практиковать двухшаговые уравнения, некоторые из которых требуют объединения одинаковых терминов и использования свойства распределения.

Тип: Учебное пособие

Решение двухэтапных уравнений:

В этом видео показано, как решить двухшаговое уравнение. Он начинается с концепции равенства: то, что делается с одной стороной уравнения, должно быть сделано с другой стороной уравнения.

Тип: Учебное пособие

Решение многоступенчатых уравнений:

В этом коротком видеоролике объясняется, как решать многоступенчатые уравнения с переменными с обеих сторон и почему необходимо выполнять одни и те же шаги с обеих сторон уравнения.

Тип: Учебное пособие

Линейные уравнения с одной переменной:

Этот урок знакомит учащихся с линейными уравнениями с одной переменной, показывает, как их решать, используя свойства равенств сложения, вычитания, умножения и деления, и позволяет учащимся определить, является ли значение решением, существует ли бесконечно много решений или вообще нет решения.Сайт содержит объяснение уравнений и линейных уравнений, как решать уравнения в целом, а также стратегию решения линейных уравнений. Урок также объясняет противоречие (уравнение без решения) и тождество (уравнение с бесконечными решениями). В конце есть пять практических задач для студентов, чтобы проверить свои знания со ссылками на ответы и объяснениями, как эти ответы были найдены. Также указаны дополнительные ресурсы.

Тип: Учебное пособие

Уравнения в форме px + q = r и p (x + q) = r

Решение

px + q = r для x

Уравнения, такие как px + q = r , называются линейными уравнениями , потому что при построении графика они дадут вам прямую линию.Переменная x не имеет показателя степени, потому что линейные уравнения никогда не имеют показателя степени для своих переменных.

На этом уроке вы узнаете, как легко решить уравнения этой формы, а также уравнения вида p (x + q) = r . В обоих уравнениях p , q и r представляют собой рациональные числа, целые или дробные.

Уравнение действительно легко решить: px + q = r . Помните, что вы хотите изолировать свою переменную x и переместить все на другую сторону.Вот твои шаги.

  1. Вычтите q с обеих сторон, если положительное, или прибавьте q к обеим сторонам, если отрицательное. Это дает вам пикселей + q — q = r — q , что упрощается до пикселей = r — q .
  2. Разделить на p с обеих сторон. Это дает вам пикселей / p = (r — q) / p , что упрощается до x = (r — q) / p .

Давайте посмотрим на реальный пример такой проблемы.

Пример: Допуск на ярмарку графства

Если вы когда-либо были на ярмарке графства или штата, то, возможно, вы знакомы с допусками, которые имеют базовую цену, а затем цену за поездку.Допустим, в вашей местной окружной ярмарке базовая цена входного билета составляет 5 долларов на человека. Это цена, которую вы платите только за то, чтобы попасть на ярмарку.

Как только вы войдете, вам придется заплатить дополнительно 2 доллара за поездку. Сколько поездок вы сможете совершить, если у вас всего 15 долларов?

Записав уравнение, вы получите 2 x + 5 = 15.

  • q здесь представляет ваши базовые допуски, 5.
  • p — цена за поездку, 2.
  • x — количество поездок, которые вы хотите совершить.
  • р — это общий входной билет, включая базовую цену и аттракционы, 15.

Теперь, чтобы узнать, сколько поездок вы можете получить за 15 долларов, выполните следующие действия.

1. Вычтите q с обеих сторон.

  • 2 x + 5-5 = 15-5
  • 2 x = 10

2. Разделить на р по с обеих сторон.

Это говорит о том, что вы можете проехать 5 поездок, если у вас есть 15 долларов.

Решение

p (x + q) = r для x

Теперь давайте посмотрим на решение задач, которые выглядят следующим образом:

Это немного отличается от предыдущей формы. Обратите внимание на круглые скобки. Это уравнение дает вам формулу для площади прямоугольника, когда вы знаете длину одной стороны и часть длины другой стороны. Шаги для решения для x также немного отличаются.

  1. Разделите обе части на p . Это дает вам p (x + q) / p = r / p , что упрощается до x + q = r / p .
  2. Вычтите q с обеих сторон, если положительное, или прибавьте q к обеим сторонам, если отрицательное.Это дает вам x + q — q = r / p — q , что упрощается до x = r / p — q .

Пример: ценообразование

Например, вы хотите построить сарай площадью 600 квадратных футов вокруг. Короткие стороны сарая будут иметь длину 20 футов, а длинные — 4 фута плюс некоторое количество. Сколько еще футов с каждой стороны нужно построить, чтобы закончить сарай?

Для этой задачи ваш r равен 600, ваш q равен 4, а ваш p равен 20.

Чтобы решить эту проблему, следуйте инструкциям.

1. Сначала делите на свои p . В этой задаче ваш p равен 20.

  • 20 ( x + 4) / 20 = 600/20
  • х + 4 = 30

2. Вычтите ваши q с обеих сторон. В этой задаче ваш q равен 4. Если ваш q отрицательный, вы добавите его с обеих сторон.

  • x + 4-4 = 30-4
  • х = 26

Значит, вам все равно нужно по 26 футов для каждой стороны, составляющей длину сарая.

Итоги урока

Давайте рассмотрим.

Линейные уравнения — это уравнения, которые на графике дают прямую линию. Кроме того, переменные в линейных уравнениях никогда не имеют показателей.

Чтобы решить уравнение px + q = r , выполните следующие действия.

1. Вычтите q с обеих сторон (или прибавьте, если отрицательное).

  • пикселей + q — q = r — q
  • пикселей = r — q

2. Разделить на р по с обеих сторон.

  • пикселей / p = (r — q) / p
  • x = (r — q) / p

Чтобы решить уравнение p (x + q) = r , выполните следующие действия.

1. Разделите обе части на p .

  • p (x + q) / p = r / p
  • х + д = р / п

2. Вычтите q с обеих сторон (или прибавьте, если отрицательное).

  • x + q — q = r / p — q
  • x = r / p — q

Как обучать линейным уравнениям

Эта статья охватывает все, что вам нужно знать о том, как преподавать линейные уравнения.

Представьте себе это. Вы открываете руководство для учителя и просматриваете следующий блок: « Linear Equations ».

Ах да! Построение линий, определение наклона, изменение формы! На вашем лице появляется легкая улыбка, когда вы с восхищением вспоминаете, как научились составлять графики этих уравнений, которые кажутся вам такими простыми. По мере того, как вы просматриваете немного дальше, вы задаетесь вопросом, встретят ли ваши ученики ту же радость обучения. Вам это кажется достаточно простым, но будет ли им достаточно просто? Есть ли способ сделать этот опыт приятным даже для студентов, которым не хватает уверенности?

Вы задаетесь вопросом: «С чего мне начать?»

Чудеса больше нет.Читайте дальше, пока мы обсуждаем не только с чего начать свой блок линейных уравнений, но и необходимые навыки, определение линейного уравнения, примеры линейных уравнений, приложения линейных уравнений, математические стандарты для линейных уравнений, советы о наклоне, распространенные заблуждения и идеи для вас!

С чего начать блок линейных уравнений?

Начать с конца в уме

Когда мы рассматриваем начало юнита, мы должны начинать с конца. В конце концов, как мы узнаем, с чего начать, если мы не определились с нашими целями?

Во-первых, давайте начнем со стандартов, которые нам нужно охватить. Имейте в виду, что эти стандарты могут отличаться в зависимости от вашего уровня обучения или государственных стандартов. После того, как вы определили основные стандарты, которые нужно охватить, вы можете ставить цели обучения. Продолжайте читать, и мы далее предоставим список некоторых важных общих основных стандартов линейных уравнений.

Давайте начнем с этого важного общего базового стандарта для восьмых классов:

.

CCSS.MATH.CONTENT.8.EE.B.5

«Изобразите пропорциональные зависимости, интерпретируя удельную ставку как наклон графика.Сравните два разных пропорциональных отношения, представленных по-разному. Например, сравните график расстояние-время с уравнением расстояние-время, чтобы определить, какой из двух движущихся объектов имеет большую скорость ».

Цели обучения

Мы можем сосредоточиться на интерпретации наклона. Мы можем создать учебную цель, используя понятный студентам язык. Вот пример учебной цели, основанной на этом стандарте:

«Учащиеся смогут сравнивать наклоны на графиках с наклонами в уравнениях и объяснять свои ответы в контексте.

Чтобы узнать больше о сравнении уклонов, посмотрите этот пост о параллельных и перпендикулярных линиях.

Теперь, когда мы выбрали одну из целей для нашего подразделения, мы знаем, что нам нужно будет спланировать конкретные уроки, включающие задачи со словами и письменные ответы. Мы знаем, что учащиеся должны уметь не только определять уклоны в уравнениях и графиках, но и объяснять уклон в контексте. Создание целей в начале раздела дает нам возможность использовать время в классе, чтобы эффективно подготовить учащихся к достижению целей обучения. Цели обучения становятся мишенью .

Яблочко не только для вас, но и для ваших учеников. Представление учащимся целей обучения в начале раздела дает учащимся возможность сосредоточиться и дать им возможность саморефлексировать. Перед экзаменом студенты могут спросить себя: «Знаю ли я, как объяснить наклон?» или «Я знаю, как объяснить наклон в контексте ?» Вы можете предоставить учащимся возможность поразмышлять над своими новыми навыками в классе на протяжении всего модуля и высказаться, если им понадобится помощь в достижении конкретных целей.

У сильного подразделения должно быть всего около от трех до пяти учебных целей . Создание слишком большого количества учебных целей дает нам слишком много, чтобы выполнить за время, обычно отводимое на единицу. Их слишком мало, что затрудняет соблюдение всех стандартов. Помните, что одна цель обучения может касаться основных компонентов более чем одного стандарта. Помните об академическом календаре и о том, сколько времени отведено для этого раздела. Лучше успешно выполнить три цели, чем быстро пробить пять целей.

После того, как цели обучения будут определены, мы можем сосредоточиться на планировании урока. Какие навыки необходимы учащимся для выполнения задач, которые мы им предлагаем?

Вернуться к содержанию

Необходимые навыки для решения линейных уравнений

Есть несколько предварительных навыков, которые укрепят уверенность студентов, когда они начнут путешествие по линейному уравнению. Мы обсудим три важных предпосылки для обучения линейным уравнениям: свойство распределения, решение уравнений для переменной и построение графиков.

1. Распределительная собственность

Студенты должны будут использовать свойство распределения при изменении формы точечного уклона на форму уклона-пересечения.

Обязательно найдите время, чтобы оценить, насколько хорошо учащиеся могут распределять материал, прежде чем вы начнете работать с модулем или, по крайней мере, в начале модуля. Вы можете быть приятно удивлены их способностями или шокированы пробелами в их знаниях. В любом случае, использование оценивания в классе важно для целевого обучения навыкам, в которых учащиеся больше всего нуждаются в помощи.Хотя у вас может быть время на обзорный день, возможно, лучше будет каждый день включать в себя небольшое количество практики по распределению собственности. Рассмотрите возможность использования времени класса «Разминка» / «Сделай сейчас» или включения нескольких задач по распределению в свои уроки и домашнее задание.

2. Решение уравнений для переменной

Студенты должны решить для y при изменении стандартной формы на форму с пересечением наклона (иногда называемую «буквальными уравнениями»). Например, когда дано 6x + 19y = 2 и просят преобразовать его в форму пересечения наклона, учащиеся должны определить, как изолировать переменную y.

В начале раздела предоставьте учащимся широкие возможности для решения переменной в простых уравнениях, таких как решение относительно b в уравнении A = bh. Разминка и формирующее оценивание — отличные места, где можно поставить такой тип практических задач.

Мы обсудим эту тему дальше, когда будем разбираться с заблуждениями.

3. Основы построения графиков

Имеется широкий спектр графических возможностей. Некоторые студенты легко увлекаются построением графиков и любят выражать уравнения в графической форме.Другие студенты увязли в понимании новых обозначений и того, как работает координатная плоскость.

При построении уравнения обязательно сформулируйте важные элементы обозначений. Например, при построении уравнения в форме точки-наклона, такой как y-7 = \ frac {1} {2} (x + 4), обязательно запишите точку как (-4, 7) и объясните учащимся что координата x всегда записывается первой, а координата y всегда записывается второй. Объясните, как вы знаете, где поставить точку на основе оси x и оси y.

При обучении у нас редко бывает достаточно времени, чтобы провести весь обзор, который мы хотели бы сделать. При построении графиков вместо того, чтобы тратить день на обзор, постарайтесь выделить ключевые графические обозначения и обзор, когда вы преподаете новые концепции. Подчеркните, что такое точка пересечения оси Y и как подъем и бег соотносятся с осью x и осью y. Даже отличные ученики в области графики получат выгоду от многократного повторения формулировки процесса.

Чтобы помочь увидеть все основные навыки построения графиков, которые необходимо знать студентам, вот статья о построении графиков линейных уравнений.

Вернуться к содержанию

Линейное уравнение: определение

« Линейные уравнения » — это особый тип уравнения, описывающего прямую линию.

Помните, что линейное уравнение не может описывать просто любой случайный график. Наклон графика должен оставаться постоянным, поскольку линейные уравнения описывают только прямые линии (а не кривые).

Вернуться к содержанию

3 примера линейных уравнений

Чтобы научиться обучать линейным уравнениям, давайте начнем с нескольких примеров.

Линейные уравнения могут быть записаны в трех формах: форма угла наклона, форма точки наклона и стандартная форма.

Форма пересечения наклона: y = mx + b

Пример: y = 7x + \ frac {13} {2}

Форма точки-уклона: y-y_1 = m (x-x_1)

Пример: y-7 = \ frac {1} {2} (x + 4)

Стандартный От: ax + by = c

Пример: 2x + 6y = 7

Дополнительные обзоры и примеры всех трех форм линейных уравнений можно найти в этой статье, в которой показаны различия и преобразования между всеми формами.

Вернуться к содержанию

3 реальных применения линейных уравнений

Пример 1: Использование бензина

Расход бензина — это то, с чем студенты знакомы. Чувствовали ли студенты запах бензина от большого желтого автобуса или ждали в машине, пока их родители заправляли бензин, в некоторых случаях студенты испытали бензин.

Мы можем просто найти автомобиль. В этом примере мы будем использовать Chrysler Pacifica.Chrysler Pacifica имеет топливную эффективность 22 \ text {миль на галлон} при сочетании эффективности использования топлива в городе и на шоссе (источник). Бензобак Chrysler Pacifica вмещает 19 \ text {галлонов} бензина (источник).

Теперь мы можем создать уравнение, чтобы связать количество бензина с количеством миль, пройденных после заправки.

Пусть x представляет собой количество пройденных миль, а y представляет количество бензина, оставшегося в транспортном средстве. Мы знаем, что точка пересечения по оси Y равна 19, потому что это количество газа в автомобиле до того, как он уедет от заправочной станции.

Определение наклона требует немного больше работы. На нашем графике показано количество миль, которое вы можете преодолеть на каждый галлон бензина. Однако топливная эффективность описывает количество бензина, сожженного за определенное количество миль. Мы можем обсудить взаимное. Обратное значение для \ frac {22 \ text {миль}} {1 \ text {галлон}} равно \ frac {1 \ text {gallon}} {22 \ text {мили}}. Автомобиль будет сжигать один галлон бензина на каждые 22 мили пройденного пути. Поскольку мы описываем количество газа, оставшегося в транспортном средстве, наш наклон отрицательный.Когда газ сгорает, его больше нет в бензобаке. Наклон нашего уравнения равен \ frac {-1} {22}.

Как только мы получим уравнение:

y = \ frac {-1} {22} x + 19

… мы можем ответить на любые вопросы!

  • Попросите учащихся определить, сколько миль может проехать автомобиль или сколько бензина будет израсходовано для определенной поездки.
  • Учащиеся могут построить график и объяснить пересечения по осям x и y в контексте.
  • Попросите учащихся исследовать другое транспортное средство и составить другое уравнение. Затем следует задать множество вопросов для сравнения!

Вернуться к содержанию

Пример 2: Счет за сотовый телефон

Многие студенты могут наслаждаться роскошью мобильного телефона без бремени счетов. Если ученики рассчитывают счет за мобильный телефон, это может стать откровением!

Давайте посмотрим на поставщика услуг, такого как T-Mobile. Их план Essentials составляет \ $ 30 \ text {в месяц}. Это отличное место, чтобы обсудить связь с «преувеличением».Однако мы не можем платить \ $ 30 \ text {в месяц}, пока у нас не будет телефона. Существует множество типов телефонов, но мы можем использовать Galaxy A11, который стоит 180 долларов. Это будет наша начальная стоимость.

Теперь мы можем создать уравнение:

г = 30x + 180

… для обозначения суммы денег, потраченной на телефон и его использование. С этого момента мы можем задать множество вопросов, например: «Как скоро мы заплатим более тысячи долларов за использование телефона?» Мы также могли бы попросить студентов создать график или сравнить эту стоимость со стоимостью другой комбинации тарифного плана и телефона.

Вернуться к содержанию

Пример 3: Линия наиболее подходящего соединения

Замечательный создатель математических построек поделился проектом, в котором ученики выращивают собственную траву. Учащиеся ежедневно измеряют рост, чтобы построить график. Созданная линия не является линейным уравнением. Однако учащиеся могут составлять линейные уравнения, используя две точки на графике. Эти линейные уравнения могут позволить учащимся предсказать будущий рост травы.

Этот проект может привести к содержательным обсуждениям реальных данных.

При обучении математике мы иногда избегаем примеров, нарушающих закономерности. Хотя иногда это уместно, для учащихся также полезно увидеть данные, которые не соответствуют и шаблону, которому мы учим. Учащиеся могут увидеть, как приобретаемые ими навыки могут помочь им понять и интерпретировать данные, даже если они не совсем соответствуют примерам текущего модуля.

Вернуться к содержанию

Математические стандарты линейных уравнений

Ранее мы обсуждали важность стандартов при обучении линейным уравнениям. Ниже приведен исчерпывающий список стандартов, относящихся к линейным уравнениям.

Наш список начинается с трех стандартов для восьмых классов, а также включает два стандарта по математике для средних школ. Гиперссылки направляют вас на веб-сайт Common Core State Standards Initiative, где некоторые стандарты не соответствуют стандартам. Обратите внимание, что конкретные стандарты для вашего устройства могут отличаться в зависимости от уровня обучения и государственных стандартов.

  1. 8.EE.B.5

График пропорциональных соотношений, интерпретируя единичную ставку как наклон графика.Сравните два разных пропорциональных отношения, представленных по-разному. Например, сравните график расстояние-время с уравнением расстояние-время, чтобы определить, какой из двух движущихся объектов имеет большую скорость.

  1. 8.EE.C.7

Решите линейные уравнения с одной переменной.

  1. 8.EE.C.8

Анализируйте и решайте пары одновременных линейных уравнений.

  1. REI.B.3

Решите линейные уравнения и неравенства для одной переменной, включая уравнения с коэффициентами, представленными буквами.

  1. REI.C.6

Точное и приближенное решение систем линейных уравнений (например, с помощью графиков), сосредотачиваясь на парах линейных уравнений с двумя переменными.

Вернуться к содержанию

Советы, помогающие учащимся понять наклон

Slope — это концепция, которая будет возникать снова и снова в математическом будущем наших студентов.Однако это не должно давать вам повода приукрашивать уклон. Наклон — это фундаментальный элемент понимания, который учащимся необходимо использовать. Понимание наклона поможет учащимся усвоить более сложные функции с изменяющимся наклоном, понять такие концепции, как ускорение, и понять, как определить производную функции.

Чтобы построить прочную основу для понимания наклона, мы должны использовать визуальные методы, устные методы и кинестетические методы. Помните, что все учащиеся извлекают выгоду из всех методов.Это образовательный миф, что учитель должен изменить свой стиль преподавания, чтобы достичь определенного типа обучения. Вместо этого учитель должен всегда использовать все три метода, особенно при закладке основы для такого важного понятия, как уклон.

Вернуться к содержанию

Визуальные методы

Первое: визуальные методы. Ясно покажите учащимся, как «выглядит» склон. Что такое подъем по пробегу? Где на графике «подъем»? Где на графике находится «бег»? Как выглядит уравнение с наклоном \ frac {1} {3}? Как выглядит уравнение с угловым коэффициентом 17?

Прочтите эту обзорную статью , чтобы узнать о прекрасном взаимодействии контента и визуальных элементов графиков.

Чтобы пойти еще дальше, покажите им, что моделирует уравнение. Если вы создаете уравнение, моделирующее скорость объекта, покажите им объект, движущийся с этой скоростью. Сделайте визуальные связи с тем, что моделируется на графике, чтобы помочь учащимся понять, что означает наклон. Продолжайте читать, чтобы просмотреть упражнение Turtle Time Trials , которое очень хорошо с этим справляется.

Вернуться к содержанию

Устные методы

Для устных методов не забывайте использовать как можно больше словарного запаса каждый раз, когда вы объясняете построение графиков или вычисление наклона.

Состояние при подсчете подъемов, при подсчете пробежек, при создании новой точки, при построении линии с нулевым наклоном и т. Д. не достаточно , чтобы показать учащимся график и изображение. Вы должны явно указать все связи с уравнениями.

Кроме того, включите моменты, когда вы говорите, определяя уклон, как с визуализацией, так и без нее. Позвольте учащимся рассказать, как определить уклон и как рассчитать уклон.Студенты могут извлечь пользу, слушая друг друга, а студенты — поделиться своими процессами решения. Действие выражения того, как найти наклон, заставляет ученика более полно осмыслить свой метод и увеличивает его способность удерживать и вспоминать информацию.

Вернуться к содержанию

Кинестетические методы

Помните, что для кинестетических методов нельзя «переучивать». Дайте учащимся как можно больше разнообразных задач о склонах.

Попросите их написать свою работу. Кинестетическое обучение не должно быть сложным. Студенты могут идти шаг за шагом с партнером, чередуя, кто какой шаг пишет. Вы можете попросить одного ученика говорить шаги, в то время как другой ученик записывает то, что говорит его партнер, а затем поменяться ролями. Студенты могут использовать свои руки, чтобы наглядно показать, как выглядят разные склоны. Студенты могут использовать магниты для создания больших графиков на классной доске. Есть столько разных способов!

Некоторые учителя любят сумасшествие и энергию и заставляют своих учеников двигаться и общаться, в то время как другие хотят мира и спокойствия.Оба учителя могут эффективно использовать кинестетическое обучение. Где бы вы ни попадали в этот спектр, необходимо предоставить вашим ученикам возможность самостоятельно попрактиковаться в склоне и заставить их написать это или физически продемонстрировать свое понимание.

Вернуться к содержанию

Распространенные заблуждения студентов о линейных уравнениях

Горизонтальные и вертикальные линии

После небольшой практики студенты обычно становятся достаточно уверенными, используя:

у = mx + b

Студенты сияют от гордости, поскольку они легко определяют наклон 5 и точку пересечения оси y, равную 2, в уравнении y = 5x + 2.

Затем следует уравнение, которое показывает, что не совсем соответствует шаблону . Студенты поднимают руки, и вы знаете, что они смотрят на такое уравнение, как:

х = 6

Хотя горизонтальные и вертикальные линии могут показаться проще, чем построение линии в виде точки с наклоном, эти линии не соответствуют шаблону, который мы внушили нашим ученикам. Мы должны найти время, чтобы объяснить, почему эти уравнения различны. Как указано выше, крайне важно обеспечить визуальные связи с уравнениями и указать, как вы знаете, как должен выглядеть график.

Это тема, которую студенты могут быстро освоить. Затем вы можете быть разочарованы, когда они плохо справятся с этой темой в итоговой оценке. Помните, что если студенты не будут часто повторять информацию, они забудут. Требуется время, прежде чем информация попадет в долговременное хранилище памяти, и еще больше практики, чтобы упростить получение этой информации. Не забудьте включить несколько практических вопросов с горизонтальными и вертикальными линиями во время практики в классе и во время выполнения домашних заданий с высокой частотой.

Для получения дополнительной информации у нас есть целый пост, посвященный горизонтальным и вертикальным линиям.

Вернуться к содержанию

Решение переменной

Иногда, как учителя математики, мы забываем о психических трудностях, которые испытывают ученики при изучении новых навыков. Для нас решение для одной переменной кажется достаточно простым независимо от того, есть ли какие-либо дополнительные переменные.

Для многих молодых студентов-математиков решение переменной означает «получение ответа».Им нужен номер, и когда вы красиво закончите заменять стандартную форму на форму с пересечением наклона, и вы напишете:

y = \ frac {-6} {19} + \ frac {2} {19}

… и гордо воскликнуть: «Я решил уравнение относительно y», некоторые студенты могут показаться озадаченными. Для этих студентов вы не смогли бы решить за y, потому что у вас нет «ответа».

Это очень простое умственное препятствие, которое можно преодолеть с помощью объяснения, примеров и практики. Скажите своим ученикам, что решением является не число , а уравнение.Объясните, что их ответы будут отличаться от того, к чему они привыкли. Как указывалось выше, определение решения для переменной в качестве необходимого навыка может помочь вам легче перейти к решению для y. Предоставьте учащимся широкие возможности для решения переменной в простых уравнениях.

Конечно, у ваших учеников могут быть разные заблуждения. Существует множество других причин, по которым у ваших учеников может быть определенная дыра в своих знаниях. Вот почему так важны формирующие оценки.Найдите время, чтобы получить отзывы от ваших учеников. Задайте им вопросы и попросите учащихся ответить на доске в Kahoot с помощью случайных звонков.

Когда учащиеся не могут правильно ответить на вопросы, выясните, какие ошибки они делают. Исправьте ошибку и предоставьте частые возможности попрактиковаться в правильном использовании новых математических навыков!

Вернуться к содержанию

Бесплатные идеи для работы с линейными уравнениями

1.

Альберт Практика

На Albert.io вы найдете отличную информацию и тысячи практических вопросов. Эти практические вопросы — отличный способ гарантировать, что все студенты получат значимую обратную связь. Albert.io не только объясняет все ответы на их вопросы, но и включает объяснения, почему нельзя было выбирать неправильные ответы. Эти объяснения могут помочь учащимся выявить свои ошибки и извлечь из них уроки.

2. Игра с линейными уравнениями от TeachEngineering

Если вы любите совмещать науку и образование в области STEM, это занятие отлично!

Это создает уникальный опыт, когда учащимся ставят задачу направлять космические шаттлы через препятствия.Единственное предостережение заключается в том, что вам действительно нужен MATLAB, но вы можете бесплатно загрузить MATLAB в качестве 30-дневной пробной версии. Это упражнение обеспечивает содержательную практику определения местоположения точек, определения наклона и использования наклона для решения точки пересечения оси Y в форме точки пересечения наклона.

3. Испытания на время «Черепаха» (Десмос)

Этот интерактивный опыт под названием «Черепашьи испытания на время» наверняка понравится студентам. Десмос проводит учащихся через процесс создания уравнения для представления скорости гоночной черепахи.Мало того, что черепахи чудесно очаровательны, но и математические навыки помогают учащимся соединить навыки линейных уравнений с моделированием реальных ситуаций.

Desmore имеет дополнительные действия для использования в модуле линейных уравнений.

4. Проект «Путешествие» Карла Оливера

Хотя этот проект поездки может быть длительным, навыки применения и объяснения имеют большое значение. Студентам предоставляется возможность совершить поездку за 10 000 долларов, но они должны принять важные решения о попутчиках, транспорте и многом другом.

На протяжении всего проекта студенты систематизируют данные и анализируют информацию для принятия решений!

Вернуться к содержанию

Решите системы уравнений подстановкой — Элементарная алгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

  • Решите систему уравнений заменой
  • Решите приложения систем уравнений подстановкой

Решение систем линейных уравнений с помощью графиков — хороший способ визуализировать типы решений, которые могут возникнуть. Однако во многих случаях решение системы с помощью построения графиков неудобно или неточно. Если графики выходят за пределы небольшой сетки с x и y оба между -10 и 10, построение линий может быть громоздким. И если решения системы не являются целыми числами, может быть трудно точно прочитать их значения с графика.

В этом разделе мы будем решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Решите систему уравнений подстановкой

Мы будем использовать ту же систему, которую мы использовали вначале для построения графиков.

Сначала мы решим одно из уравнений для x или y . Мы можем выбрать любое уравнение и решить любую переменную, но мы постараемся сделать выбор, который упростит работу.

Затем мы подставляем это выражение в другое уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной — и мы знаем, как его решать!

После того, как мы найдем значение одной переменной, мы подставим это значение в одно из исходных уравнений и решим для другой переменной. Наконец, мы проверяем наше решение и убеждаемся, что оно соответствует обоим уравнениям.

Теперь мы заполним все эти шаги (рисунок).

Как решить систему уравнений подстановкой

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Решите систему уравнений путем подстановки.

  1. Решите одно из уравнений для любой переменной.
  2. Подставьте выражение из шага 1 в другое уравнение.
  3. Решите полученное уравнение.
  4. Подставьте решение шага 3 в одно из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную.
  5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
  6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.

Если одно из уравнений системы задано в форме углового пересечения, шаг 1 уже выполнен! Мы увидим это на (Рисунок).

Решите систему заменой.

Решение

Второе уравнение уже решено для y . Мы заменим выражение на в первом уравнении.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Если уравнения представлены в стандартной форме, нам нужно будет начать с решения для одной из переменных.В следующем примере мы решим первое уравнение относительно y .

Решите систему заменой.

Решение

Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Затем мы подставим это выражение в другое уравнение.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

В (рисунок) проще всего было решить и в первом уравнении, потому что оно имело коэффициент 1.На (Рисунок) будет проще найти x .

Решите систему заменой.

Решение

Решим первое уравнение для, а затем подставим выражение во второе уравнение.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Когда оба уравнения уже решены для одной и той же переменной, их легко заменить!

Решите систему заменой.

Решение

Поскольку оба уравнения решаются относительно y , мы можем подставить одно в другое.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Будьте очень осторожны со знаками в следующем примере.

Решите систему заменой.

Решение

Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Решим первое уравнение относительно y .

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

На (Рисунок) потребуется немного больше работы, чтобы решить одно уравнение для x или y .

Решите систему заменой.

Решение

Нам нужно решить одно уравнение для одной переменной. Решим первое уравнение относительно x .

Поскольку 0 = 0 — истинное утверждение, система непротиворечива.Уравнения зависимы. Графики этих двух уравнений дадут одну и ту же линию. У системы бесконечно много решений.

Решите систему заменой.

бесконечно много решений

Решите систему заменой.

бесконечно много решений

Вернитесь к уравнениям на (Рисунок). Есть ли способ узнать, что это одна линия?

Давайте посмотрим, что происходит в следующем примере.

Решите систему заменой.

Решение

Второе уравнение уже решено относительно y , поэтому мы можем заменить y в первом уравнении.

Поскольку 0 = −10 — ложное утверждение, уравнения несовместимы. Графики двух уравнений будут параллельными линиями. В системе нет решений.

Решите систему заменой.

Решите систему заменой.

Решите приложения систем уравнений подстановкой

Мы скопируем сюда стратегию решения проблем, которую мы использовали в разделе «Решение систем уравнений с помощью графического представления» для решения систем уравнений.Теперь, когда мы знаем, как решать системы с помощью подстановки, это то, что мы сделаем на шаге 5.

Как использовать стратегию решения задач для систем линейных уравнений.

  1. Прочтите проблему. Убедитесь, что все слова и идеи понятны.
  2. Определите , что мы ищем.
  3. Имя то, что мы ищем. Выберите переменные для представления этих величин.
  4. Переведите в систему уравнений.
  5. Решите систему уравнений, используя хорошие методы алгебры.
  6. Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
  7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Некоторым людям проще создать текстовые задачи с двумя переменными, чем с одной переменной. Выбирать имена переменных проще, когда все, что вам нужно сделать, это написать две буквы. Подумайте об этом в следующем примере — как бы вы сделали это с помощью всего одной переменной?

Сумма двух чисел равна нулю.Одно число на девять меньше другого. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна 10. Одно число на 4 меньше другого. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна −6. Одно число на 10 меньше другого. Найдите числа.

Цифры 2 и −8.

В (Рисунок) мы будем использовать формулу для периметра прямоугольника: P = 2 L + 2 W .

Периметр прямоугольника 88. Длина в пять раз больше ширины. Найдите длину и ширину.

Периметр прямоугольника равен 40. Длина на 4 раза больше ширины. Найдите длину и ширину прямоугольника.

Длина 12, ширина 8.

Периметр прямоугольника равен 58. Длина в 5 раз больше ширины более чем в три раза. Найдите длину и ширину прямоугольника.

Длина 23, ширина 6.

Для (Рисунок) нам нужно помнить, что сумма углов треугольника равна 180 градусам, а у прямоугольного треугольника один угол 90 градусов.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в десять раз больше, чем размер другого малого угла. Найдите размеры обоих углов.

Решение

Нарисуем и обозначим фигуру.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в 2 раза больше, чем в 3 раза больше другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Углы 22 и 68 градусов.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника на 18 меньше, чем удвоение размера другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Углы 36 и 54 градуса.

Хизер предложили два варианта заработной платы в качестве тренера в спортзале. Вариант А платит ей 25 000 фунтов стерлингов плюс 15 фунтов стерлингов за каждую тренировку. Вариант Б платит ей 10 000 + 40 фунтов за каждую тренировку. Сколько тренировок уравняло бы варианты заработной платы?

Джеральдин предложили вакансии в двух страховых компаниях.Первая компания платит заработную плату в размере 12 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 100 фунтов стерлингов за каждый проданный полис. Второй платит зарплату в размере 20 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 50 фунтов стерлингов за каждый проданный полис. Сколько полисов нужно продать, чтобы общая сумма выплат была такой же?

Чтобы общая заработная плата была такой же, необходимо продать 160 полисов.

Кеннет в настоящее время продает костюмы для компании А с зарплатой 22 000 фунтов стерлингов плюс комиссионные в размере 10 фунтов стерлингов за каждый проданный костюм. Компания B предлагает ему должность с окладом в размере 28 000 фунтов стерлингов плюс комиссионные в размере 4 фунтов стерлингов за каждый проданный костюм.Сколько костюмов нужно продать Кеннету, чтобы варианты были равны?

Кеннету нужно будет продать 1000 костюмов.

Ключевые понятия

  • Решите систему уравнений заменой
    1. Решите одно из уравнений для любой переменной.
    2. Подставьте выражение из шага 1 в другое уравнение.
    3. Решите полученное уравнение.
    4. Подставьте решение шага 3 в одно из исходных уравнений, чтобы найти другую переменную.
    5. Запишите решение в виде упорядоченной пары.
    6. Убедитесь, что упорядоченная пара является решением обоих исходных уравнений.
Практика ведет к совершенству

Решите систему уравнений подстановкой

В следующих упражнениях решите системы уравнений путем подстановки.

Бесконечно много решений

Бесконечно много решений

Решите приложения систем уравнений подстановкой

В следующих упражнениях переведите в систему уравнений и решите.

Сумма двух чисел равна 15. Одно число на 3 меньше другого. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна 30. Одно число на 4 меньше другого. Найдите числа.

Сумма двух чисел равна −26. Одно число на 12 меньше другого. Найдите числа.

Цифры -7 и -19.

Периметр прямоугольника равен 50. Длина на 5 больше ширины. Найдите длину и ширину.

Периметр прямоугольника равен 60.Длина на 10 больше ширины. Найдите длину и ширину.

Длина 20, ширина 10.

Периметр прямоугольника равен 58. Длина в 5 раз больше ширины более чем в три раза. Найдите длину и ширину.

Периметр прямоугольника равен 84. Длина в 10 раз больше ширины более чем в три раза. Найдите длину и ширину.

Длина 34, ширина 8.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в 14 раз больше, чем в 3 раза больше другого малого угла.Найдите размер обоих углов.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника в 26 раз больше, чем в 3 раза больше другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Размеры: 16 ° и 74 °.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника на 15 меньше, чем удвоение размера другого малого угла. Найдите размер обоих углов.

Размер одного из малых углов прямоугольного треугольника на 45 меньше, чем удвоение размера другого малого угла.Найдите размер обоих углов.

Размеры 45 ° и 45 °.

Максиму предложили вакансии два автосалона. Первая компания платит зарплату в размере 10 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 1000 фунтов стерлингов за каждую проданную машину. Второй платит зарплату в размере 20 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 500 фунтов стерлингов за каждую проданную машину. Сколько автомобилей нужно продать, чтобы общая сумма была такой же?

Джеки предложили должности две кабельные компании. Первая компания платит зарплату в размере? 14 000 плюс комиссия в размере 100 евро за каждый проданный пакет кабеля.Второй платит зарплату в размере 20 000 фунтов стерлингов плюс комиссию в размере 25 фунтов стерлингов за каждый проданный пакет кабеля. Сколько пакетов кабеля нужно продать, чтобы общая сумма была такой же?

Необходимо продать 80 пакетов кабеля.

Амара в настоящее время продает телевизоры для компании А с зарплатой 17 000 фунтов стерлингов плюс комиссионные в размере 100 фунтов стерлингов за каждый проданный телевизор. Компания B предлагает ей должность с окладом 29 000 фунтов стерлингов плюс 20 фунтов стерлингов за каждый проданный телевизор. Какие телевизоры нужно будет продавать Amara, чтобы возможности были равными?

В настоящее время Митчелл продает печи компании А с зарплатой 12 000 фунтов стерлингов плюс 150 фунтов стерлингов за каждую проданную печь.Компания B предлагает ему должность с окладом в размере 24 000 фунтов стерлингов плюс комиссионные в размере 50 фунтов стерлингов за каждую проданную печь. Сколько печей нужно продать Митчеллу, чтобы варианты были равны?

Митчеллу потребуется продать 120 печей.

Повседневная математика

Когда Глория провела 15 минут на эллиптическом тренажере, а затем 30 минут выполняла круговые тренировки, ее фитнес-приложение показало, что она сожгла 435 калорий. Когда она потратила 30 минут на эллиптический тренажер и 40 минут на круговые тренировки, она сожгла 690 калорий.Решите систему, количество калорий, которые она сжигает за каждую минуту на эллиптическом тренажере, и количество калорий, которые она сжигает за каждую минуту круговой тренировки.

Письменные упражнения

Решите систему уравнений

ⓐ по графику.
ⓑ по замене.
ⓒ Какой метод вы предпочитаете? Почему?

Решите систему уравнений
путем подстановки и объясните все свои действия словами.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что вы сделаете, изучив этот контрольный список, чтобы стать уверенным в достижении всех целей?

Применение линейных уравнений

Существует ряд приложений линейных уравнений в математике и в реальной жизни. Алгебраическое выражение состоит из переменных, которые приравниваются друг к другу знаком «=», оно называется уравнением. Уравнение со степенью один называется линейным уравнением. Математические знания обычно применяются с помощью текстовых задач, а приложения линейных уравнений широко используются для решения таких текстовых задач.Вот подробное обсуждение приложений линейных уравнений и того, как они впишутся в реальный мир.

Линейное уравнение

Линейное уравнение — это алгебраическое выражение, состоящее из переменной и знака равенства (=). Линейные уравнения классифицируются по количеству переменных.

Линейное уравнение с одной переменной

Уравнение с одной степенью и одной переменной называется линейным уравнением с одной переменной.

Например: 5x +30 = 0, 3x + 12 = 48

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение с одной и двумя переменными называется линейным уравнением с двумя переменными.

Например: 2x + 3y = 12, 3x + 7y = 42

Представление линейных уравнений

Графическое представление линейного уравнения — ax + by + c = 0. Где a и b — коэффициенты, x и y — переменные, а c — постоянный член.

Приложения линейных уравнений

Применение линейных уравнений обширно и применимо во многих реальных жизненных ситуациях. Чтобы справиться с реальными жизненными ситуациями с помощью алгебры, мы преобразуем данную ситуацию в математические утверждения.Таким образом, он ясно показывает взаимосвязь между неизвестными переменными и известной информацией. Ниже приведены шаги, необходимые для повторения ситуации в математическом утверждении:

  • Преобразование реальной проблемы в математическое утверждение и оформление его в форме алгебраического выражения, которое четко определяет проблемную ситуацию.

  • Определите неизвестные в ситуации и назначьте переменные этих неизвестных величин.

  • Внимательно прочтите ситуацию несколько раз и процитируйте данные, фразы и ключевые слова.Последовательно систематизируйте полученную информацию.

  • Напишите уравнение, используя алгебраическое выражение и предоставленные данные в утверждении, и решите его, используя методы решения систематических уравнений.

  • Переформулируйте решение в формулировку задачи и проанализируйте, соответствует ли оно в точности задаче.

Используя эти шаги, приложения текстовых задач могут быть легко решены.

Применение линейных уравнений в реальной жизни

Ниже приведены некоторые примеры, в которых приложения линейных уравнений используются в реальной жизни.

  • Может использоваться для решения возрастных проблем.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск