Логарифмические неравенства примеры решения: Логарифмические неравенства. Как решать логарифмические неравенства?

2⁡{(x+1)}+10≤11 \lg⁡{(x+1)}\)

Содержание

Как решать логарифмические неравенства:

Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду \(\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a{⁡g(x)}\) (символ \(˅\) означает любой из знаков сравнения). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду \(f(x) ˅ g(x)\).

Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
\(-\) если основание логарифма — число и оно больше 1 — знак неравенства при переходе остается прежним,
\(-\) если основание — число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.


Примеры:

\(\log_2⁡{(8-x)}<1\)
ОДЗ: \(8-x>0\)

\(-x>-8\)
\(x<8\)

Решение:
\(\log\)\(_2\)\((8-x)<\log\)\(_2\)\({2}\)
\(8-x\)\(<\)\(2\)
\(8-2<x\)
\(x>6\)
Ответ: \((6;8)\)

\(\log\)\(_{0,5⁡}\)\((2x-4)\)≥\(\log\)\(_{0,5}\)⁡\({(x+1)}\)
ОДЗ: \(\begin{cases}2x-4>0\\x+1 > 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}2x>4\\x > -1\end{cases}\)   \(\Leftrightarrow\)   \(\begin{cases}x>2\\x > -1\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\)   \(x\in(2;\infty)\)

Решение:
\(2x-4\)\(≤\)\(x+1\)
\(2x-x≤4+1\)
\(x≤5\)
Ответ: \((2;5]\)

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{⁡f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:

\(-\) вы написали 

ОДЗ для исходного неравенства. 2-24≥-x\) невозможен.

Заметим, однако, что неравенства 3 и 4 можно легко решить, если воспользоваться свойствами логарифмов.

Пример. Решить неравенство: \(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤-1\)

Решение:

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤-1\)  

Выпишем ОДЗ.

ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\)\(>0\)

ОДЗ представляет собой дробно-рациональное неравенство. Решим его с помощью метода интервалов

. Вынесем в числителе за скобки \(3\), а в знаменателе \(2\), чтобы убрать коэффициенты перед иксами.        

\(\frac{3(x-\frac{2}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(>0\)

Теперь очевидно, что корни у нас – числа \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{3}{2}\)
Построим числовую ось и отметим на ней эти точки. {-1}\) \(=\log\) \(_\frac{1}{3}\) \(⁡3\).

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\)\(≤\log\) \(_{\frac{1}{3}}\)\(3\)

Мы привели неравенство к виду \(\log_a⁡{f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\). Теперь можно избавиться от логарифмов и оснований. Нужно только определиться, менять знак сравнения или нет. Основание \(\frac{1}{3}<1\), следовательно, знак меняем.

\(⁡\frac{3x-2}{2x-3}\)\(≥\) \(3\)

Переносим \(3\) и приводим к общему знаменателю, пользуясь свойствами дробей.

\(⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\)\(≥\) \(0\)

Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые.

\(⁡\frac{-3x+7}{2x-3}\)\(≥\) \(0\)

Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.

\(⁡\frac{3x-7}{2x-3}\)\(≤\) \(0\)

Далее выносим \(3\) из числителя и \(2\) из знаменателя.

\(⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\)\(≤\) \(0\)

Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{3}{2}\). Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль.


\(x∈(\)\( \frac{3}{2}\)\(;\)\(\frac{7}{3}]\)

Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ. 


Записываем окончательный ответ.

2-t-2>0\)

Раскладываем левую часть неравенства на множители.

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac{1+3}{2}=2\)
\(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

Решаем неравенство методом интервалов.


Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности, имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t<-1 \end{gathered} \right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>2 \\ \log_3⁡x<-1 \end{gathered} \right.\)

Преобразовываем \(2=\log_3⁡9\),    \(-1=\log_3⁡\frac{1}{3}\).

\(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x<\log_3\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\)

Делаем переход  к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.

\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x<\frac{1}{3} \end{gathered} \right.\) 

Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.


Запишем ответ.

Ответ:
\((0; \frac{1}{3})∪(9;∞)\)

Смотрите также:
Показательные неравенства

Алгебра – 11 класс. Логарифмические неравенства

Дата публикации: .

Логарифмические неравенства, знакомство


Ребята, мы знаем, как решать логарифмические уравнения, сегодня мы научимся решать логарифмические неравенства.
Они имеют вот такой вид: $\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$, где $a>0$, $a≠1$, $f(x)>0$, $g(x)>0$.

Давайте преобразуем наше неравенство и разберемся, как решать его.
$\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$.
$\log_a{f(x)}-\log_a{g(x)}>0$.
$\frac{\log_a {(f(x)}}{log_a{g(x)}}>0$.
Введем замену: $t=\frac{f(x)}{(g(x)}$.
$\log_a{t}>0$.

Нам осталось рассмотреть два случая: $а>1$ и $0<a Ребята, вспомните график функции логарифма при разных значениях основания.
Если $а>1$, то $\log_a{t}>0$, когда $t>1$, то есть $f(x)>g(x)$.

Если $0<a<1$, то $\log_a{t}>0$, когда $0<t<1$, то есть $f(x)<g(x)$.

Давайте сформулируем основное правило при решении логарифмических неравенств.
Если $f(x)>0$ и $g(x)>0$, то:

  • при $a>1$ логарифмическое неравенство $\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$ равносильно неравенству того же смысла: $f(x)>g(x)$,
  • при $0<a\log_a{g(x)}$ равносильно неравенству противоположного смысла: $f(x)<g(x)$.

Также при решении логарифмических неравенств следует помнить о том, что если выражения, стоящие под знаком логарифма, строго положительны, тогда неравенство обычно преобразует к системе неравенств.

Примеры решения логарифмических неравенств


$\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$, $a>1$ равносильно системе: $\begin{cases} f(x)>0,\\ g(x)>0,\\ f(x)>g(x).\end{cases}$
$\log_a{f(x)}>\log_a{g(x)}$, $0<a0,\\ g(x)>0,\\ f(x)<g(x).\end{cases}$

Пример.

Решить неравенства:
а) $\log_4{(5-x)}>\log_4{(3+x)}.$
б) $\log_{\frac{1}{3}}{(2+x)}>\log_{\frac{1}{3}}{(1+2x)}.$
Решение.
а) Основание логарифма равно 4, что больше 1, тогда наше неравенство равносильно системе:
$\begin{cases} 5-x>0,\\ 3+x>0,\\ 5-x>3+x.\end{cases}$
$\begin{cases} x-3,\\ x

Построим наши промежутки на рисунке и найдем их пересечение: Ответ: $xϵ(-3;1)$.

б) Основание логарифма, в нашем примере, меньше 1, переходим к неравенству противоположного смысла, тогда логарифмическое неравенство равносильно системе неравенств:
$\begin{cases} 2+x>0,\\ 1+2x>0,\\ 2+x $\begin{cases} x>-2;\\ x>-0,5;\\ -x $\begin{cases} x>-2;\\ x>-0,5;\\ x>1. 2{(x)}-lg{(x)}-56≤0$.

Решение простейших логарифмических неравенств — Сайт Александра Бабаева

Теория.

Для начала рекомендуется ознакомится со статьёй «Логарифм и его свойства«, описывающей теорию про логарифмы, и статьёй «Решение простейших логарифмических уравнений«, описывающей методы решения логарифмических уравнений.

Неравенство называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.

Методы решения логарифмических неравенств не отличаются от методов решений логарифмических уравнений, за исключением двух вещей.

Во-первых, при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций следует следить за знаком получающегося неравенства. Он подчиняется следующему правилу.

Если основание логарифмической функции больше $1$, то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций знак неравенства сохраняется, а если же меньше $1$, то меняется на противоположный. {-1}}=$

$=\log_{3}{(7-x)}.$

Таким образом, получено следующее неравенство:

$\log_{3}{(2x+1)} \geq \log_{3}{(7-x)}$.

Основание равно $3>1$, а, значит, знак неравенства не меняется. Получаем:

$2x+1 \geq 7-x,$

$3x \geq 6,$

$x \geq 2,$

$x \in [2; +\infty).$

Соединяя полученное решение с областью определения, получаем ответ.

Ответ: $x \in [2; 7).$

3.2.6. Показательные и логарифмические неравенства



Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.2.

3.2.6.

Рассмотрим неравенство и неравенство, ему равносильное: Для его решения исследуем знак разности Итак, выясним, что следует из того, что

1) Если a > 1, то  f (x) > g (x), а это значит, что (a – 1)(f (x) – g (x)) > 0.

2) Если 0 < a < 1, то  f (x) < g (x), и опять (a – 1)(f (x) – g (x)) > 0.

Верно и обратное. Если то при имеем то есть а при получаем то есть

Таким образом, мы доказали, что:

Знак разности совпадает со знаком выражения

А это как раз обозначает, что получено условие равносильности:

Модель 3.4. Решение показательных неравенств

Пример 1

Решить неравенство


Пример 2

Решите неравенство


Рассмотрим теперь неравенство и найдём соответствующие ему условия равносильности. ОДЗ этого неравенства: f (x) > 0.

Если a > 1, то тогда и только тогда, когда f (x) > 1 в ОДЗ (f (x) < 1), то есть

Если 0 < a < 1, то тогда и только тогда, когда f (x) < 1 в ОДЗ (f (x) > 1), то есть опять

Верно и обратное, если то при a > 1 имеем f (x) > 1 в ОДЗ (f (x) < 1), а при 0 < a < 1 имеем f (x) < 1 в ОДЗ (f (x) > 1). Таким образом, получаем следующие условия равносильности.


Отсюда следует, что:


Знак  совпадает со знаком выражения  в ОДЗ (f (x) > 0).

Рассмотрим теперь неравенство вида где ОДЗ этого неравенства:


Перепишем данное неравенство в виде:

loga (f (x) – g(x)) > 0.
С учетом ОДЗ можно записать соответствующую неравенству систему уравнений:

Модель 3.2. Решение логарифмических неравенств

Пример 3

Решите неравенство


Пример 4

Решите неравенство






Логарифмические неравенства примеры решения онлайн. Логарифмические неравенства

Неравенство называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.

Методы решения логарифмических неравенств не отличаются от , за исключением двух вещей.

Во-первых, при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций следует следить за знаком получающегося неравенства . Он подчиняется следующему правилу.

Если основание логарифмической функции больше $1$, то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций знак неравенства сохраняется, а если же меньше $1$, то меняется на противоположный.

Во-вторых, решение любого неравенства – промежуток, а, значит, в конце решения неравенства подлогарифмических функций необходимо составить систему из двух неравенств: первым неравенством этой системы будет неравенство подлогарифмических функций, а вторым – промежуток области определения логарифмических функций, входящих в логарифмическое неравенство.

Практика.

Решим неравенства:

1. $\log_{2}{(x+3)} \geq 3. {3},$

$x \in \)

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида \(\log_a{⁡f(x)} ˅ \log_a⁡{g(x)}\) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:

Пример . Решить неравенство: \(\log\)\(≤-1\)

Решение:

\(\log\)\(_{\frac{1}{3}}⁡{\frac{3x-2}{2x-3}}\) \(≤-1\)

Выпишем ОДЗ.

ОДЗ: \(\frac{3x-2}{2x-3}\) \(>0\)

\(⁡\frac{3x-2-3(2x-3)}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)

Раскрываем скобки, приводим .

\(⁡\frac{-3x+7}{2x-3}\) \(≥\) \(0\)

Умножаем неравенство на \(-1\), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.

\(⁡\frac{3x-7}{2x-3}\) \(≤\) \(0\)

\(⁡\frac{3(x-\frac{7}{3})}{2(x-\frac{3}{2})}\) \(≤\) \(0\)

Построим числовую ось и отметим на ней точки \(\frac{7}{3}\) и \(\frac{3}{2}\) . 2-t-2>0\)

Раскладываем левую часть неравенства на .

\(D=1+8=9\)
\(t_1= \frac{1+3}{2}=2\)
\(t_2=\frac{1-3}{2}=-1\)
\((t+1)(t-2)>0\)

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

\(\left[ \begin{gathered} t>2 \\ t2 \\ \log_3⁡x

Преобразовываем \(2=\log_3⁡9\), \(-1=\log_3⁡\frac{1}{3}\).

\(\left[ \begin{gathered} \log_3⁡x>\log_39 \\ \log_3⁡x

Делаем переход к сравнению аргументов. Основания у логарифмов больше \(1\), поэтому знак неравенств не меняется.

\(\left[ \begin{gathered} x>9 \\ x

Соединим решение неравенства и ОДЗ на одном рисунке.


Запишем ответ.

Ответ: \((0; \frac{1}{3})∪(9;∞)\)

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

  • Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т. д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

  • Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
  • Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
  • Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
  • Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

  • В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
  • В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Введение

Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет. Вначале он называл свои логарифмы «искусственными числами» и уже потом предложил эти «искусственные числа» называть одним словом «логарифм», который в переводе с греческого- «соотнесённые числа», взятые одно из арифметической прогресси, а другое из специально подобранной к ней геометрической прогресси. Первые таблицы на русском языке были изданы в1703г. при участии замечательного педагога 18в. Л. Ф Магницкого. В развитии теории логарифмов большое значение имели работы петербургского академика Леонарда Эйлера. Он первым стал рассматривать логарифмирование как действие, обратное возведению в степень, он ввёл в употребление термины «основание логарифма» и «мантисса» Бригс составил таблицы логарифмов с основанием 10. Десятичные таблицы более удобны для практического употребления, теория их проще, чем у логарифмов Непера. Поэтому десятичные логарифмы иногда называют бригсовыми. Термин «характеристика» ввёл Бригс.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «Ты правильно нашел». В этом смысле исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Однако первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Китаб аль-джебер валь-мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») – со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми послужило отправной точкой в становлении науки о решении уравнений.

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Логарифмические уравнения

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании, называется логарифмическим уравнением.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида

log a x = b . (1)

Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = a b .

Пример 1. Решить уравнения:

a) log 2 x = 3, b) log 3 x = -1, c)

Решение. Используя утверждение 1, получим a) x = 2 3 или x = 8; b) x = 3 -1 или x = 1 / 3 ; c)

или x = 1.

Приведем основные свойства логарифма.

Р1. Основное логарифмическое тождество:

где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.

Р2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:

log a N 1 ·N 2 = log a N 1 + log a N 2 (a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Замечание. Если N 1 ·N 2 > 0, тогда свойство P2 примет вид

log a N 1 ·N 2 = log a |N 1 | + log a |N 2 | (a > 0, a ≠ 1, N 1 ·N 2 > 0).

Р3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя

(a > 0, a ≠ 1, N 1 > 0, N 2 > 0).

Замечание. Если

, (что равносильно N 1 N 2 > 0) тогда свойство P3 примет вид (a > 0, a ≠ 1, N 1 N 2 > 0).

P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:

log a N k = k log a N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).

Замечание. Если k — четное число (k = 2s ), то

log a N 2s = 2s log a |N | (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).

P5. Формула перехода к другому основанию:

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),

в частности, если N = b , получим

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1). (2)

Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства

(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (3) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (4) (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0), (5)

и, если в (5) c — четное число (c = 2n ), имеет место

(b > 0, a ≠ 0, |a | ≠ 1). (6)

Перечислим и основные свойства логарифмической функции f (x ) = log a x :

1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

2. Область значений логарифмической функции — множество действительных чисел.

3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 x 1 x 2 log a x 1 a x 2), а при 0 a x 1 x 2 log a x 1 > log a x 2).

4. log a 1 = 0 и log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1).

5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x (0;1) и положительна при x (1;+∞), а если 0 a x  (0;1) и отрицательна при x (1;+∞).

6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a (0;1) — выпукла вниз.

Следующие утверждения (см., например, ) используются при решении логарифмических уравнений.

Вам кажется, что до ЕГЭ еще есть время, и вы успеете подготовиться? Быть может, это и так. Но в любом случае, чем раньше школьник начинает подготовку, тем успешнее он сдает экзамены. Сегодня мы решили посвятить статью логарифмическим неравенствам. Это одно из заданий, а значит, возможность получить дополнительный балл.

Вы уже знаете, что такое логарифм(log)? Мы очень надеемся, что да. Но даже если у вас нет ответа на этот вопрос, это не проблема. Понять, что такое логарифм очень просто.

Почему именно 4? В такую степень нужно возвести число 3, чтобы получилось 81. Когда вы поняли принцип, можно приступать и к более сложным вычислениям.

Неравенства вы проходили еще несколько лет назад. И с тех пор они постоянно встречаются вам в математике. Если у вас проблемы с решением неравенств, ознакомьтесь с соответствующим разделом.
Теперь, когда мы познакомились с понятиями по отдельности, перейдем к их рассмотрению в общем.

Самое простое логарифмическое неравенство.

Простейшие логарифмические неравенства не ограничиваются этим примером, есть еще три, только с другими знаками. Зачем это нужно? Чтобы полнее понять, как решать неравенство с логарифмами. Теперь приведем более применимый пример, все еще достаточно простой, сложные логарифмические неравенства оставим на потом.

Как это решить? Все начинается с ОДЗ. О нем стоит знать больше, если хочется всегда легко решать любое неравенство.

Что такое ОДЗ? ОДЗ для логарифмических неравенств

Аббревиатура расшифровывается как область допустимых значений. В заданиях для ЕГЭ нередко всплывает данная формулировка. ОДЗ пригодится вам не только в случае логарифмических неравенств.

Посмотрите еще раз на вышеприведенный пример. Мы будем рассматривать ОДЗ, исходя из него, чтобы вы поняли принцип, и решение логарифмических неравенств не вызывало вопросов. Из определения логарифма следует что, 2х+4 должно быть больше нуля. В нашем случае это означает следующее.

Это число по определению должно быть положительным. Решите неравенство, представленное выше. Это можно сделать даже устно, здесь явно, что X не может быть меньше 2. Решение неравенства и будет определением области допустимых значений.
Теперь перейдем к решению простейшего логарифмического неравенства.

Отбрасываем из обеих частей неравенства сами логарифмы. Что в результате у нас остается? Простое неравенство.

Решить его несложно. X должен быть больше -0,5. Теперь совмещаем два полученных значения в систему. Таким образом,

Это и будет область допустимых значений для рассматриваемого логарифмического неравенства.

Зачем вообще нужно ОДЗ? Это возможность отсеять неверные и невозможные ответы. Если ответ не входит в область допустимых значений, значит, ответ попросту не имеет смысла. Это стоит запомнить надолго, так как в ЕГЭ часто встречается необходимость поиска ОДЗ, и касается она не только логарифмических неравенств.

Алгоритм решения логарифмического неравенства

Решение состоит из нескольких этапов. Во-первых, необходимо найти область допустимых значений. В ОДЗ будет два значения, это мы рассмотрели выше. Далее нужно решить само неравенство. Методы решения бывают следующими:

  • метод замены множителей;
  • декомпозиции;
  • метод рационализации.

В зависимости от ситуации стоит применять один из вышеперечисленных методов. Перейдем непосредственно к решению. Раскроем наиболее популярный метод, который подходит для решения заданий ЕГЭ практически во всех случаях. Далее мы рассмотрим метод декомпозиции. Он может помочь, если попалось особенно «заковыристое» неравенство. Итак, алгоритм решения логарифмического неравенства.

Примеры решения :

Мы не зря взяли именно такое неравенство! Обратите внимание на основание. Запомните: если оно больше единицы, знак остается прежним при нахождении области допустимых значений; в противном случае нужно изменить знак неравенства.

В результате мы получаем неравенство:

Теперь приводим левую часть к виду уравнения, равному нулю. Вместо знака «меньше» ставим «равно», решаем уравнение. Таким образом, мы найдем ОДЗ. Надеемся, что с решением такого простого уравнения у вас не будет проблем. Ответы -4 и -2. Это еще не все. Нужно отобразить эти точки на графике, расставить «+» и «-». Что нужно для этого сделать? Подставить в выражение числа из интервалов. Где значения положительны, там ставим «+».

Ответ : х не может быть больше -4 и меньше -2.

Мы нашли область допустимых значений только для левой части, теперь нужно найти область допустимых значений правой части. Это не в пример легче. Ответ: -2. Пересекаем обе полученные области.

И только теперь начинаем решать само неравенство.

Упростим его, насколько возможно, чтобы решать было легче.

Снова применяем метод интервалов в решении. Опустим выкладки, с ним уже и так все понятно по предыдущему примеру. Ответ.

Но этот метод подходит, если логарифмическое неравенство имеет одинаковые основания.

Решение логарифмических уравнений и неравенств с разными основаниями предполагает изначальное приведение к одному основанию. Далее применяйте вышеописанный метод. Но есть и более сложный случай. Рассмотрим один из самых сложных видов логарифмических неравенств.

Логарифмические неравенства с переменным основанием

Как решать неравенства с такими характеристиками? Да, и такие могут встретиться в ЕГЭ. Решение неравенств нижеследующим способом тоже полезно скажется на вашем образовательном процессе. Разберемся в вопросе подробным образом. Отбросим теорию, перейдем сразу к практике. Чтобы решать логарифмические неравенства, достаточно однажды ознакомиться с примером.

Чтобы решить логарифмическое неравенство представленного вида, необходимо привести правую часть к логарифму с тем же основанием. Принцип напоминает равносильные переходы. В итоге неравенство будет выглядеть следующим образом.

Собственно, остается создать систему неравенств без логарифмов. Используя метод рационализации, переходим к равносильной системе неравенств. Вы поймете и само правило, когда подставите соответствующие значения и проследите их изменения. В системе будут следующие неравенства.

Воспользовавшись методом рационализации при решении неравенств нужно помнить следующее: из основания необходимо вычесть единицу, х по определению логарифма из обеих частей неравенства вычитается (правое из левого), два выражения перемножаются и выставляются под исходным знаком по отношению к нулю.

Дальнейшее решение осуществляется методом интервалов, здесь все просто. Вам важно понять отличия в методах решения, тогда все начнет легко получаться.

В логарифмических неравенствах много нюансов. Простейшие из них решать достаточно легко. Как сделать так, чтобы решать каждое из них без проблем? Все ответы вы уже получили в этой статье. Теперь впереди вас ждет длительная практика. Постоянно практикуйтесь в решении самых разных задач в рамках экзамена и сможете получить наивысший балл. Успехов вам в вашем непростом деле!

Логарифмические уравнения и неравенства — презентация онлайн

1. Логарифмические уравнения и неравенства

Алгебра 10 класс
Т.Н.Оленникова
учитель ГБОУ школы № 413
г. Санкт-Петербург

2. План урока

1. Определение.
2. Свойства и формулы логарифмирования.
3. Схема выполнения равносильных
преобразований простейших
логарифмических уравнений.
4. Примеры решения простейших
логарифмических уравнений.
5. Схема выполнения равносильных
преобразований простейших
логарифмических неравенств.
6. Примеры решения простейших
логарифмических неравенств.

3. 1. Определение.

1. Логарифмом положительного числа b (b 0)
по основанию а (a 0, a 1) называется
показатель степени, в которую надо возвести a,
чтобы получить b.
Обозначение : log a b
2. Логарифмическим уравнением (неравенством)
называется уравнение (неравенство), в котором
переменная находится под знаком логарифма.
1
Например: 1) log 4 2 log 4 x 3
x
2) log 3 ( x 2) 3

4. Примеры

log 3 9 2, так как 3 9
1
1
2. log 5 5 , так как 5 2 5
2
3. Десятичный логарифм: log 10 b lg b
1.
2
4. Натуральный логарифм:
log e b ln b, ( e 2,7182…)

5. 2. Свойства и формулы логарифмирования

a
log a b
b-
Основное логарифмическое тождество
1.
log a 1 0
3.
log a ( xy ) log a x log a y
4.
x
log a log a x log a y
y
5.
6.
2. log a a 1
log a x n log a x
1
log a k x log a x
k
n

6. 3. Схема выполнения равносильных преобразований простейших логарифмических уравнений.

1.
log a f ( x) b
a 0, a 1, то
2.
log a f ( x) log a g ( x),
f ( x) g ( x)
f ( x) 0
или
f ( x) a
b
a 0, a 1, то
f ( x) g ( x)
g ( x) 0

7. 4. Примеры решения простейших логарифмических уравнений.

1) log 2 ( x 5) 3
2) log 4 ( x 5) log 4 (2 x 1)
Решение
Решение
log 2 ( x 5) 3
log 4 x log 4 (2 x 1)
x 5 2
3
x 13
Ответ : х 13
x 2 x 1
x 1
x 0
x 0
Ответ : х 1
x 1

8. 5. Схема выполнения равносильных преобразований простейших логарифмических неравенств

log a f ( x) log a g ( x)
a 0, a 1, то
2) Если а 1
1) Если 0 а 1
f ( x) g ( x)
f ( x) g ( x)
g ( x) 0
f ( x) 0
Знак неравенства
Знак неравенства
не меняется и
меняется и
учитывается ОДЗ
учитывается ОДЗ

9.

6. Примеры решения простейших логарифмических неравенств. 1) log 5 (2 x) log 5 ( x 1)
Т .к. 5 1, то функция у log 5 t возрастающая
и, учитывая ОДЗ , получаем
2 х х 1
х 1
х 1
х 1 0
х 1
Ответ : (1; )

10. Примеры решения простейших логарифмических неравенств. (продолжение)

2) log 1 (2 x) log 1 ( x 1)
2
2
1
Т .к. 0 1, то функция у log 1 t убывающая
2
2
и, учитывая ОДЗ , получаем
2 х х 1
х 1
решений нет
2 х 0
х 0
Ответ : решений нет

Все о логарифмических неравенствах. Разбор примеров

Это равносильно данной системе:


Посмотрим еще примеры решения простейших логарифмических неравенств, приведенных на картинке ниже:



Решение примеров

Задание. Давайте попробуем решить такое вот неравенство:


Решение области допустимых значений.


Теперь попробуем умножить его правую часть на:

Смотрим, что у нас получится:



Теперь, давайте с вами перейдем к преобразованию подлогарифмических выражений. В связи с тем, что основание логарифма 0

3x — 8 > 16;
3x > 24;
х > 8.

А из этого следует, что интервал, который мы получили, целиком и полностью принадлежит ОДЗ и является решением такого неравенства.

Вот какой ответ у нас получился:


Что необходимо для решения логарифмических неравенств?

А теперь давайте попробуем проанализировать, что нам необходимо для успешного решения логарифмических неравенств?

Во-первых, сосредоточить все свое внимание и постараться не допускать ошибок при выполнении преобразований, которые даны в этом неравенстве. Также, следует запомнить, что при решении таких неравенств нужно не допускать расширений и сужений ОДЗ неравенства, которые могут привести к потере или приобретению посторонних решений.

Во-вторых, при решении логарифмических неравенств необходимо научиться мыслить логически и понимать разницу между такими понятиями, как система неравенств и совокупность неравенств, чтобы вы без проблем смогли осуществлять отбор решений неравенства, при этом руководствуясь его ОДЗ.

В-третьих, для успешного решения таких неравенств каждый из вас должен отлично знать все свойства элементарных функций и четко понимать их смысл. К таким функциям относятся не только логарифмические, но и рациональные, степенные, тригонометрические и т.д., одним словом, все те, которые вы изучали на протяжении школьного обучения алгебры.

Как видите, изучив тему о логарифмических неравенствах, в решении этих неравенств нет ничего сложного при условии, если вы будете внимательны и настойчивы в достижении поставленных целей. Чтобы в решении неравенств не возникало никаких проблем, нужно как можно больше тренироваться, решая различные задания и при этом запоминать основные способы решения таких неравенств и их систем. При неудачных решениях логарифмических неравенств, следует внимательно проанализировать свои ошибки, чтобы в будущем не возвращаться к ним снова.

Домашнее задание

Для лучшего усвоения темы и закрепления пройденного материала, решите следующие неравенства:


Неравенство называется логарифмическим, если в нём содержится логарифмическая функция.

Методы решения логарифмических неравенств не отличаются от , за исключением двух вещей.

Во-первых, при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций следует следить за знаком получающегося неравенства . Он подчиняется следующему правилу.

Если основание логарифмической функции больше $1$, то при переходе от логарифмического неравенства к неравенству подлогарифмических функций знак неравенства сохраняется, а если же меньше $1$, то меняется на противоположный.

Во-вторых, решение любого неравенства – промежуток, а, значит, в конце решения неравенства подлогарифмических функций необходимо составить систему из двух неравенств: первым неравенством этой системы будет неравенство подлогарифмических функций, а вторым – промежуток области определения логарифмических функций, входящих в логарифмическое неравенство.

Практика.

Решим неравенства:

1. $\log_{2}{(x+3)} \geq 3. {3},$

$x \in }

Рекомендуем также

логарифмических неравенств | Блестящая математика и естественные науки вики

Имейте в виду, что основание логарифма может быть меньше 1, связанное равенством

log⁡ab=-log⁡1ab,\large \log_ab = -\log_{\frac{1}{a}}b,loga​b=-loga1​b,

так что не забудьте этот случай!

Решить неравенство

log⁡x+42(log⁡22x−13+x)<0.\log_{\frac{x+4}{2}}\left(\log_{2}\frac{2x-1}{3+ x}\right)<0.log2x+4​(log2​3+x2x−1​)<0.


Во-первых, основание должно быть положительным и не равным 1, поэтому сразу x>−4x>-4x>−4 и x≠−2x \neq -2x​=−2.Точно так же аргумент log⁡22x−13+x\log_2\frac{2x-1}{3+x}log2​3+x2x−1​ должен быть положительным, поэтому 2x−1x+3>0  ⟹  x>12 или x<−3\frac{2x-1}{x+3}>0 \ подразумевает x>\frac12 \text{ или } x<-3x+32x−1​>0⟹x>21​ или x<−3 . Таким образом, единственными возможными значениями xxx являются x>12  или  −4\frac12 \, \text{ или }\, -421​ или −4

Теперь рассмотрим два случая:

Случай 1. 0

В этом случае необходимо, чтобы log⁡22x−13+x>1\log_2\frac{2x-1}{3+x}>1log2​3+x2x−1​>1 или 2x−13+x >2\frac{2x-1}{3+x}>23+x2x−1​>2, поэтому 2x−13+x−2=−73+x>0\frac{2x-1}{3+x }-2=\frac{-7}{3+x}>03+x2x−1​−2=3+x−7​>0.Следовательно, 3+x3+x3+x отрицательно, или x<−3x<-3x<−3. Таким образом, все xxx такие, что −4

Помните, что эта стратегия вычитания двух сторон, а не умножения, позволяет избежать работы с делами, связанной с умножением, поскольку больше нет необходимости учитывать последствия отрицательного значения умножаемой величины.

Случай 2. x+42>1  ⟺  x>−2\frac{x+4}{2}>1 \iff x>-22x+4​>1⟺x>−2

В этом случае необходимо, чтобы log⁡22x−13+x<1\log_2\frac{2x-1}{3+x}<1log2​3+x2x−1​<1, или 2x−13+x <2\frac{2x-1}{3+x}<23+x2x−1​<2, поэтому 2x−13+x−2=−73+x<0\frac{2x-1}{3+x }-2=\frac{-7}{3+x}<03+x2x−1​−2=3+x−7​<0. Это всегда верно, поскольку x>−2x>-2x>−2, поэтому любое значение x>−2x>-2x>−2 будет работать. Однако помните, что только x>12 или −4\frac12 \text{ или } -421​ или −412x>\frac12x>21 делают.

Таким образом, набор решений равен

.

x>12, −4\frac12,\ -421​, −4

Типичная стратегия решения проблем заключается в использовании формулы замены основания, чтобы все логарифмы имели одинаковое основание.Это значительно упрощает применение других неравенств, таких как AM-GM.

Покажите, что

log⁡n(n+1)>log⁡n+1(n+2)\log_n(n+1)>\log_{n+1}(n+2)logn​(n+1)>logn+ 1​(n+2)

для всех целых чисел n≥2n \geq 2n≥2.


Использование смены базы,

log⁡n(n+1)>log⁡n+1(n+2)  ⟺  log⁡(n+1)log⁡n>log⁡(n+2)log⁡(n+1)  ⟺  (log⁡ (n+1))2>log⁡nlog⁡(n+2).\begin{выровнено} \ log_n (n + 1)> \ log_ {n + 1} (n + 2) &\ тогда и только тогда, когда \ frac {\ log (n + 1)} {\ log n}> \ frac {\ log (n + 2) {\log (n+1)}\\ &\iff \big(\log (n+1)\big)^2>\log n\log(n+2). \end{выровнено}logn​(n+1)>logn+1​(n+2)​⟺lognlog(n+1)​>log(n+1)log(n+2)​⟺(log(n +1))2>lognlog(n+2).​

Произведения логарифмов — важный признак использования AM-GM, поскольку с суммой логарифмов очень легко иметь дело.

В частности,

log⁡n+log⁡(n+2)2≥log⁡nlog⁡(n+2)  ⟹  log⁡(n(n+2))2≥log⁡nlog⁡(n+2).\frac{\ log n + \ log (n + 2)} {2} \ geq \ sqrt {\ log n \ log (n + 2)} \ подразумевает \ frac {\ log \ big (n (n + 2) \ big)} { 2} \geq \sqrt{\log n\log(n+2)}.2logn+log(n+2)​≥lognlog(n+2)​⟹2log(n(n+2))​≥lognlog( п+2)​.2>\log n\log(n+2),(log(n+1))2>lognlog(n+2),

, доказывающее исходное неравенство. □_\квадрат□​

OpenAlgebra.com: Решение логарифмических уравнений

Используйте свойство «один к одному» для логарифмов для решения логарифмических уравнений. Плейлист по решению уравнений журнала
Если нам дано уравнение с логарифмом по одному и тому же основанию с обеих сторон, мы можем просто приравнять аргументы.

    Шаг 1 : Используйте правила возведения в степень, чтобы выделить логарифмическое выражение (с одинаковым основанием) в обеих частях уравнения.
    Шаг 2 : Установите аргументы равными друг другу.
    Шаг 3 : Решите полученное уравнение.
    Шаг 4 : Проверьте свои ответы.

Обязательно проверьте, решают ли полученные решения исходное логарифмическое уравнение. В этом учебном пособии мы поставим галочку рядом с решением после того, как определим, что оно действительно решает уравнение. Этот процесс иногда приводит к посторонним решениям, поэтому мы должны проверить наши ответы.
Решить .


Конечно, подобные уравнения очень специфичны. В большинстве задач, с которыми мы столкнемся, не будет логарифма с обеих сторон. Шаги для их решения следуют.

    Шаг 1 : Используйте свойства логарифма, чтобы изолировать журнал с одной стороны.
    Шаг 2 : Примените определение логарифма и перепишите его как показательное уравнение.
    Шаг 3 : Решите полученное уравнение.
    Шаг 4 : Проверьте свои ответы.

Если ответ на логарифмическое уравнение делает аргумент отрицательным, то он является посторонним. Это не исключает отрицательных ответов. Мы должны обязательно проверить все наши решения.

Обучающее видео : Решение логарифмических уравнений


Решить .
Совет :  Не все отрицательные решения посторонние! Посмотрите на предыдущий набор задач и убедитесь, что некоторые из них имеют отрицательные ответы.Галочка указывает, что мы действительно подключили ответы, чтобы убедиться, что они действительно решают оригинал. Пожалуйста, не пропускайте этот шаг, часто встречаются посторонние решения.

Видео YouTube :

РЕШЕНИЕ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ – Math-Yahoo!

Чтобы решить логарифмическое уравнение, перепишите уравнение в экспоненциальной форме и найдите переменную.

Пример 1. Найдите x в уравнении  Ln ( x )=8.

Решение:

Шаг 1: Пусть обе стороны являются показателями основания e. Уравнение Ln ( x )=8 можно переписать.
Шаг 2. К настоящему времени вы должны знать, что если основание показателя степени и основание логарифма совпадают, то в левой части можно записать x. Уравнение теперь можно написать.
Шаг 3. Точный ответ: .

и примерный ответ

Проверка. Вы можете проверить свой ответ двумя способами. Вы можете построить график функции Ln ( x )-8 и посмотреть, где она пересекает ось x. Если вы правы, график должен пересечь ось X в ответе, который вы получили алгебраически.
Вы также можете проверить свой ответ, подставив значение x в исходное уравнение и определить, равна ли левая часть правой части.Например, если Ln (2980,95798704)=8, вы правы. Так и есть, и вы правы.

Пример 2. Найдите x в уравнении 7 Log (3 x )=15.

Решение:

Шаг 1. Выделите логарифмический член перед преобразованием логарифмического уравнения в показательное уравнение. Разделите обе части исходного уравнения на 7:
Шаг 2. Преобразуйте логарифмическое уравнение в показательное уравнение: если основание не указано, это означает, что основание логарифма равно 10.Напомним также, что логарифмы являются показателями степени, поэтому показатель степени  . Уравнение

теперь можно записать

Шаг 3. Разделите обе части приведенного выше уравнения на 3:

 это точный ответ и  приблизительный ответ.

Проверка. Вы можете проверить свой ответ двумя способами: построить график функции

или подставив значение x в исходное уравнение.Если вы выберете графическое изображение, пересечение по оси x должно совпадать с полученным вами ответом (  ).
Если вы выберете замену, значение левой части исходного уравнения должно равняться значению правой части уравнения после того, как вы вычислите значение каждой стороны на основе вашего ответа на x.

Пример 3. Найдите x в уравнении

Решение:

Шаг 1. Обратите внимание, что первый член  Ln ( x -3) действителен только тогда, когда  x >3; термин Ln ( x -2) действителен только тогда, когда x >2; а терм Ln (2 x +24) действителен только тогда, когда x >-12. Если мы потребуем, чтобы x был любым действительным числом, большим 3, все три термина будут действительными. Если все три условия верны, то уравнение верно.
Шаг 2. Упростите левую часть приведенного выше уравнения. По свойствам логарифмов мы знаем, что
Шаг 3. Теперь можно записать уравнение
Шаг 4. Пусть каждая часть приведенного выше уравнения будет показателем степени основания e: .
Шаг 5. Упростите приведенное выше уравнение:

Другой способ взглянуть на уравнение на шаге 3 — понять, что если Ln ( a ) = Ln ( b ), то a должно равняться b.В случае этой проблемы, то

Шаг 6. Упростите левую часть приведенного выше уравнения:
Шаг 7. Вычтите 2x + 24 с каждой стороны: .
Шаг 8. Умножьте левую часть приведенного выше уравнения на множители: .
Шаг 9. Если произведение двух множителей равно нулю, хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Если . Если . x = 9 — наше единственное решение. Почему 9 единственное решение? Мы определили нашу область определения как все действительные числа больше 3.

Проверка. Вы можете проверить свой ответ, построив график функции

и определить, равен ли x-перехват также 9. Если да, то вы правильно решили задачу.
Вы также можете проверить свой ответ, подставив 9 вместо x в левой и правой частях исходного уравнения. Если после подстановки левая часть уравнения имеет то же значение, что и правая часть уравнения, вы правильно решили задачу.

 

Посмотрите, как решать логарифмические неравенства:

.

 

Ресурсы:

http://www. sosmath.com/алгебра/logs/log4/log47/log47.html

https://www.youtube.com/watch?v=7J4cIyko2uI

https://www.youtube.com/watch?v=BU5HuJjGo_o

Никогда не расстраивайтесь, просто увидев эти числа, понимание процесса решения является ключом к усвоению урока не только наизусть, но и наизусть.Спасибо, что заглянули в наши блоги, и до новых встреч! Отдыхай, если хочешь, но жизнь должна продолжаться.

-Фрезель Саймон

Нравится:

Нравится Загрузка…

Экспоненциальные и логарифмические уравнения

Экспоненциальные и логарифмические уравнения

Экспоненциальное уравнение — это уравнение, в котором переменная входит в показатель степени. Логарифмическое уравнение — это уравнение, которое включает логарифм выражения, содержащего переменную.Чтобы решить показательные уравнения, сначала посмотрите, можете ли вы записать обе части уравнения в виде степеней одного и того же числа. Если вы не можете, возьмите десятичный логарифм обеих частей уравнения, а затем примените свойство 7.

Пример 1

Решите следующие уравнения.

  1. 3 х = 5

  2. 6 х – 3 = 2

  3. 2 3 x – 1 = 3 2 x – 2

  1. Деление обеих сторон на бревно 3,

    Использование калькулятора для приближения,

  1. Деление обеих сторон на бревно 6,

    Использование калькулятора для приближения,

Использование распределительного имущества,

3 x журнал 2 – журнал 2 = 2 x журнал 3 – 2 журнал 3

Сбор всех членов, включающих переменную, в одной части уравнения,

3 x журнал 2 – 2 x журнал 3 = журнал 2 – 2 журнал 3

Факторизация x ,

x (3 лог. 2 – 2 лог. 3) = лог. 2 – 2 лог. 3

Разделение обеих сторон на 3 log 2 – 2 log 3,

Использование калькулятора для приближения,

х ≈ 12.770

Чтобы решить уравнение, содержащее логарифмы, используйте свойства логарифмов, чтобы записать уравнение в форме log b M = N , а затем преобразовать его в экспоненциальную форму, M = b N .

Пример 2

Решите следующие уравнения.

  1. log 4 (3 x – 2) = 2

  2. логарифм 3 x + логарифм 3 ( x – 6) = 3

  3. логарифм 2 (5 + 2 х ) – логарифм 2 (4 – х ) = 3

  4. журнал 5 (7 x – 9) = журнал 5 ( x 2 x – 29)

  1. log 4 (3 x – 2) = 2

Переход к экспоненциальной форме.

Проверьте ответ.

Это верное утверждение. Следовательно, решение х = 6,

.

Переход к экспоненциальной форме.

Проверьте ответы.

Поскольку логарифм отрицательного числа не определен, единственное решение: x = 9.

  1. логарифм 2 (5 + 2 х ) – логарифм 2 (4 – х ) = 3

Переход к экспоненциальной форме.

Использование свойства перекрестных произведений,

Проверьте ответ.

Это верное утверждение. Следовательно, решение х = 2,7.

Проверьте ответы.

Если х = 10,

Это верное утверждение.

Если х = –2,

Это похоже на правду, но log 5 (–23) не определен.Следовательно, единственное решение: х = 10,

.
Пример 3

Журнал поиска 3 8.

Примечание: журнал 8 = журнал 10 8 и журнал 3 = журнал 10 3.

Использование калькулятора для приближения,

Логарифмические уравнения

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ УРАВНЕНИЯ

Определение

Любой уравнение с переменной x, содержащее логарифм, называется логарифмическим уравнение.

 

Отзыв определение логарифма. Это определение будет важно для понять, чтобы иметь возможность решать логарифмические уравнения.

 
Примеры

ПРИМЕРЫ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

       
 

 

Пример 1

 

 

Пример 2

 

 

Журнал 2 х = -5

5 + пер 2х = 4

 

 

Пример 3

 

 

Пример 4

 

 

лн х + пер (х — 2) = 1

журнал 6 х + log 6 (х + 1) = 1

Решение

ШАГОВ ДО РЕШИТЬ ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Ваш цель состоит в том, чтобы иметь возможность использовать определение логарифма. Чтобы использовать это, изолируйте логарифмическое выражение с одной стороны уравнение. Все константы должны быть объединены в другую сторону. Использовать свойства логарифмов, при необходимости объединять логарифмы в один логарифмический член. Применять определение — переход к экспоненциальной форме. Упростите результат. Это Это!

Образец Проблемы

Образец Проблема 1

 


Журнал 2 х = -5

2 -5 = х

Ответ:
.    = x
32        


Это уравнение содержит одну логарифмическое выражение с одной стороны и константа с другой стороны. Просто примените определение логарифма. (т.е. перейти к экспоненциальному форма.)

Образец Проблемы

Образец Задача 2

 


5 + пер 2х = 4
-5 -5

пер. 2х = -1

и -1 = 2х

х = е -1 /2

Ответ: Икс 0.1839

  1. Изолируйте термин журнала.
  1. Применить определение логарифм.
    (перейти к экспоненциальной форме)
    Напомним, «ln» — это логарифм, основанием которого является число е.

 

 

 

 

 

  1. Ответ может быть приблизительно с помощью научного калькулятора.

Образец Проблемы

Образец Задача 3

 

лн х + пер (х — 2) = 0
пер х(х — 2) = 0

е 0 = х(х — 2)

1 = х 2 — 2х
х 2 — 2х — 1 =0

 
ОТКЛОНЯТЬ ПРИЕМЛЕМЫЙ

Ответ: 2. 41

  1. Объедините два логарифма в один логарифм. Напомним:


 

  1. Переход к экспоненциальной форме с использованием определения логарифма.
  2. Решите полученное уравнение. Здесь мы имеем квадратное уравнение. Поскольку оно неразложимо, будем решать по квадратичной формуле.

 

  1. Так как мы не можем логарифмировать ноль или отрицательные числа.Отклоняйте любые ответы, которые приведут к одному из них в оригинал.

Образец Проблемы

Образец Задача 4

 

журнал 6 х + log 6 (х + 1) = 1

журнал 6 х(х + 1) = 1

6 1 = х(х + 1)

х 2 + х = 6

х 2 + х — 6 = 0

(х + 3)(х — 2) = 0

х = -3   ИЛИ   x = 2
    ОТКЛОНИТЬ ПРИЕМЛЕМЫЙ

Ответ: Х = 2

  1. Объедините два логарифма в один логарифм. Отзыв:
  2. Переход к экспоненциальной форме с использованием определения логарифма.
  3. Решите полученное уравнение. Здесь мы имеем квадратное уравнение. Поскольку оно факторизуемо, будем решать с помощью факторинга.
  4. Так как мы не можем логарифмировать ноль или отрицательные числа. Отклоняйте любые ответы, которые приведут к одному из них в оригинал.

 

Как решать логарифмические уравнения в алгебре

Уравнения, содержащие переменные в логарифмических выражениях, называются логарифмическими уравнениями (иногда сокращенно «логарифмическими уравнениями»).Решение логарифмических уравнений может быть легким и интересным, если вы знаете основные методы и различные сценарии. Здесь мы предоставим исчерпывающее руководство по наиболее эффективным методам решения логарифмических уравнений. 1 = 10

Логарифмические уравнения типа 3

Далее мы рассмотрим, как решать логарифмические уравнения формы

.

log_b f ( x ) = log_b ч ( x )

, где f(x) и h(x) — некоторые элементарные алгебраические функции, а b — положительное число, b ≠ 1.Это логарифмическое уравнение эквивалентно алгебраическому уравнению

ж ( Икс ) знак равно час ( Икс )

Мы также должны помнить, что область определения любой логарифмической функции — это неотрицательные, действительные числа. Таким образом, среди всех решений уравнения f(x) = h(x) следует выбрать только решения, удовлетворяющие одному из следующих условий:

f ( x ) > 0 \ quad \ quad \ text { or} \ quad \ quad h ( x ) > 0

Это гарантирует правильность определения логарифмических функций.3 = 2 х

Среди всех корней этого уравнения, которое можно определить как

x_1 = 0 ,, \quad \quad x_2 = — , \sqrt{ 2 } ,, \quad \quad x_3 = \sqrt{ 2 }

Только те, которые удовлетворяют условию

\quad \quad x > 0

могут быть решениями исходного логарифмического уравнения. 2 = х + 2

Далее, помните, что обе начальные логарифмические функции определены только в области

х > 0

Таким образом, между двумя корнями квадратного уравнения

x_1 = -,1 ,,\quad \quad x_2 = 2

только x = 2 является решением исходного логарифмического уравнения.  

Логарифмические уравнения типа 4

Более сложным классом логарифмических уравнений являются уравнения вида

log_b f_1(x) + log_b f_2(x) + \ldots + log_b f_n(x) = log_b h_1(x) + log_b h_2(x) + \ldots + log_b h_m(x)

, где b — положительное число, b ≠ 1 и

f_i ( x ),, \quad i = 1, 2, \ldots , n

h_j ( x ),, \quad j = 1, 2, \ldots , m

Это некоторые алгебраические функции (некоторые из них могут быть постоянными числами).

Решение логарифмических уравнений этого типа эквивалентно решению следующей системы алгебраических уравнений:

f_1(x) f_2(x) \ldots f_n(x) = h_1(x) h_2(x) \ldots h_m(x)

f_i ( x ) > 0,, \quad i = 1, 2, \ldots , n

h_j ( x ) > 0,, \quad j = 1, 2, \ldots , m

Пример 1

Например, рассмотрим следующее логарифмическое уравнение:

пер 2 х + пер ( х — 1) = пер 4

Как мы только что обсудили, чтобы решить это логарифмическое уравнение, мы должны решить

2 х ( х — 1 ) = 4

x > 0 ,, \quad \quad x > 1

Среди двух корней квадратного уравнения

x_1 = -, 1 ,, \quad \quad x_2 = 2

только второй удовлетворяет приведенным выше неравенствам. 2 — 3 х + 2 = 0

х > \dfrac { 1 } { 3 }

Оба корня квадратного уравнения,

x_1 = 1 \quad \text{ и } \quad x_2 = 2

удовлетворяют неравенству x > 1/3.2 + х — 1 = 0

Имеет два корня:

x_1 = — ,1 ,, \quad \quad x_2 = \dfrac{ 1 }{ 2 }

Легко проверить, что первый корень, x 1 = – 1, не удовлетворяет неравенству 2 x + 1 > 0, а второй корень, x 2 = 1/2, удовлетворяет обоим неравенствам. Таким образом,

х = \dfrac{ 1 }{ 2 }

Это единственное решение рассматриваемого логарифмического уравнения.

Пример 4

Если мы столкнемся с проблемой с дробями логарифмов, скорее всего, уравнение логарифма можно преобразовать в ту же стандартную форму.2

Это легко решить:

x_1 = 0 ,, \quad \quad x_2 = \dfrac{ 3 }{ 5 }

Наконец, единственный корень, удовлетворяющий условию x > 0, это

х = \dfrac{ 3 }{ 5 }

Логарифмические уравнения типа 5

Наконец, мы научимся решать логарифмические уравнения вида

F[ ч ( х ) ] = 0

Здесь h(x) – некоторая логарифмическая функция, а F(u) – элементарная алгебраическая функция. В этом случае мы можем ввести новую переменную t = h(x) и решить:

Ф (т) = 0

Пусть

t = t_1 ,, t_2 ,, \ldots ,, t_n

— n действительных чисел, которые являются решениями алгебраического уравнения F(t) = 0.Тогда, чтобы решить исходное логарифмическое уравнение, мы должны найти решения следующей системы из n алгебраических уравнений:

ч ( х ) = t_1

ч ( х ) = t_2

\ldots

ч ( х ) = t_n

Пример 1

журнал \sqrt{x} = \sqrt{logx}

Используя тот факт, что

журнал \sqrt{ x } = \dfrac{ 1 }{ 2 }, log x

мы можем записать это логарифмическое уравнение в следующей форме:

\dfrac{ 1 }{ 2 }, журнал х = \sqrt{ журнал х }

Для вспомогательной переменной

т = лог х

получаем простое алгебраическое уравнение:

\dfrac{t} }{2} = \sqrt{t}

Имеет следующие корни:

t_1 = 0 ,, \quad \quad t_2 = 4

Таким образом, мы должны решить два логарифмических уравнения:

лог х = 0

лог х = 4

Это довольно простая задача. 3 = 1000

Пример 3

log_x 3 log_{3x} 3 = log_{9x} 3

Хотя это логарифмическое уравнение кажется совершенно отличным от тех, которые мы рассматривали до сих пор, сейчас мы покажем, как его можно решить, используя те же методы.

Во-первых, поскольку основанием логарифма может быть только положительное число, не равное единице, область действия переменной x может быть выражена как

x > 0 ,, \quad \quad x \neq 1,, \dfrac{ 1 }{ 3 },, \dfrac{ 1 }{ 9 }

Теперь мы можем использовать формулу изменения основания для логарифмов, чтобы выразить log x 3 через log 3 x:

log_x 3 = \dfrac{ log_3 3 }{ log_3 x } = \dfrac{ 1 }{ log_3 x }

Аналогично можно написать

log_{ 3 x } 3 = \dfrac{ 1 }{ log_3 3 x } = \dfrac{ 1 }{ 1 + log_3 x }

log_{ 9 x } 3 = \dfrac{ 1 }{ log_3 9 x } = \dfrac{ 1 }{ 2 + log_3 x }

Исходное логарифмическое уравнение теперь преобразуется в уравнение стандартной формы:

log_3 x ,( 1 + log_3 x ) = 2 + log_3 x

Это можно решить следующей заменой:

т = log_3 х

Уравнение относительно переменной t принимает вид:

т ,( 1 + т ) = 2 + т

Мы можем легко найти соответствующие корни:

t_1 = \sqrt{ 2 },, \quad \quad t_2 = -,\sqrt{ 2 }

Таким образом, мы имеем два логарифмических уравнения:

log_3 х = \sqrt{ 2 }

log_3 x = -,\sqrt{ 2 }

Их очень легко решить, и вы получите следующие результаты:

x_1 = 3^{ \sqrt{ 2 } } ,, \quad \quad x_2 = 3^{ — \sqrt{ 2 } } = \dfrac{ 1 }{ 3^{ \sqrt{ 2 } } }

Оба решения находятся в допустимом диапазоне для переменной x.

Надеюсь, эта обзорная статья помогла вам лучше понять, как решать логарифмические уравнения в алгебре. Если вы проработаете широкий спектр примеров, представленных здесь, вы будете готовы решать логарифмические уравнения любой сложности. Удачи!

Ищете практику по алгебре?

Начните подготовку к алгебре вместе с Альбертом. Начните подготовку к экзамену по алгебре сегодня .

2.7 Линейные неравенства и абсолютные неравенства — Алгебра колледжа

Цели обучения

В этом разделе вы:

  • Использовать интервальную запись
  • Использовать свойства неравенств.
  • Алгебраически решить неравенства с одной переменной.
  • Решение абсолютных неравенств.

Рисунок 1

Нелегко попасть в список лучших университетов. Предположим, что студенты должны были нести нагрузку по курсу не менее 12 кредитных часов и поддерживать средний балл 3,5 или выше. Как можно математически выразить эти требования к спискам почета? В этом разделе мы рассмотрим различные способы выражения различных наборов чисел, неравенств и неравенств с абсолютными значениями.

Использование записи интервалов

Указание решения неравенства, такого как x≥4x≥4, может быть достигнуто несколькими способами.

Мы можем использовать числовую линию, как показано на рисунке 2 . Синий луч начинается в точке x=4x=4 и, как показано стрелкой, продолжается до бесконечности, что показывает, что набор решений включает все действительные числа, большие или равные 4.

Рисунок 2

Мы можем использовать нотацию построителя множеств: {x|x≥4},{x|x≥4}, что переводится как «все действительные числа x , такие что x больше или равно 4.Обратите внимание, что фигурные скобки используются для обозначения множества.

Третий метод — интервальная запись, в которой наборы решений обозначаются скобками или квадратными скобками. Решения x≥4x≥4 представлены в виде [4,∞).[4,∞). Это, пожалуй, самый полезный метод, так как он применяется к понятиям, изучаемым позже в этом курсе, и к другим математическим курсам более высокого уровня.

Основная концепция, которую следует помнить, заключается в том, что круглые скобки представляют решения, большие или меньшие, чем число, а скобки представляют решения, которые больше или равны или меньше или равны числу.Используйте круглые скобки для обозначения бесконечности или отрицательной бесконечности, поскольку положительная и отрицательная бесконечность не являются числами в обычном смысле этого слова и, следовательно, не могут быть «приравнены». Несколько примеров интервала или набора чисел, в которые попадает решение: [−2,6],[−2,6) или все числа от −2−2 до 6,6, включая −2, −2, но не включая 6;6; (−1,0),(−1,0), все действительные числа между, но не включая −1−1 и 0;0; и (−∞,1],(−∞,1], все действительные числа меньше 1,1 включительно. В таблице 1 приведены возможные варианты.

Набор указан Обозначение Set-Builder Обозначение интервала
Все действительные числа между a и b , кроме a или b {х|а<х (а,б)(а,б)
Все действительные числа больше a , но не включая a {х|х>а}{х|х>а} (а,∞)(а,∞)
Все действительные числа меньше b , но не включая b {х|х (-∞,б)(-∞,б)
Все действительные числа больше и , включая и {х|х≥а}{х|х≥а} [а,∞)[а,∞)
Все действительные числа меньше b , включая b {х|х≤b}{х|х≤b} (-∞, б] (-∞, б]
Все действительные числа между a и b , включая a {х|а≤х [а,б)[а,б)
Все действительные числа между a и b , включая b {х|а<х≤b}{х|а<х≤b} (а,б](а,б]
Все действительные числа между a и b , включая a и b {x|a≤x≤b}{x|a≤x≤b} [а, б] [а, б]
Все действительные числа меньше a или больше b {x|xb}{x|xb} (-∞,а)∪(б,∞)(-∞,а)∪(б,∞)
Все действительные числа {x|xis все действительные числа}{x|xis все действительные числа} (-∞,∞)(-∞,∞)

Таблица 1

Пример 1

Использование записи интервалов для выражения всех действительных чисел, больших или равных
a

Используйте интервальную нотацию для обозначения всех действительных чисел, больших или равных −2. −2.

Решение

Используйте квадратную скобку слева от −2−2 и круглые скобки после бесконечности: [−2,∞).[−2,∞). Скобка указывает, что -2-2 включено в набор со всеми действительными числами, большими чем -2-2 до бесконечности.

Попробуйте #1

Используйте интервальную нотацию для обозначения всех действительных чисел от −3−3 до 5,5 включительно.

Пример 2

Использование записи интервалов для выражения всех действительных чисел, меньших или равных
a или больше или равных b

Запишите интервал, выражающий все действительные числа, меньшие или равные −1−1 или большие или равные 1.1.

Решение

В этом примере мы должны написать два интервала. Первый интервал должен указывать все действительные числа, меньшие или равные 1. Итак, этот интервал начинается с −∞−∞ и заканчивается −1,−1, что записывается как (−∞,−1].(−∞, −1].

Второй интервал должен отображать все действительные числа, большие или равные 1,1, что записывается как [1,∞).[1,∞). Однако мы хотим объединить эти два набора. Мы делаем это, вставляя символ объединения ∪,∪ между двумя интервалами.

(−∞,−1]∪[1,∞)(−∞,−1]∪[1,∞)

Попробуйте #2

Выразите все действительные числа, меньшие −2−2 или большие или равные 3, в интервальной записи.

Использование свойств неравенств

Когда мы работаем с неравенствами, мы обычно можем обращаться с ними так же, как и с равенствами, но не совсем так. Мы можем использовать свойство сложения и свойство умножения, чтобы решить их. Единственное исключение — когда мы умножаем или делим на отрицательное число; при этом символ неравенства переворачивается.

Свойства неравенств

AdditionPropertyIf a MultiplicationPropertyIf a0, then acbc.AdditionPropertyIf a0, то acbc.

Эти свойства также применимы к a≤b,a≤b, a>b,a>b и a≥b.a≥b.

Пример 3

Демонстрация свойства сложения

Проиллюстрируйте свойство сложения неравенств, решив каждое из следующих действий:

  1. ⓐ х-15<4х-15<4
  2. ⓑ 6≥x−16≥x−1
  3. ⓒ х+7>9х+7>9
Решение

Свойство сложения для неравенств гласит, что если неравенство существует, добавление или вычитание одного и того же числа с обеих сторон не меняет неравенства.


  1. x−15<4x−15+15<4+15Добавить по 15 с обеих сторон.x<19x−15<4x−15+15<4+15Добавить по 15 с обеих сторон.x<19

  2. 6≥x−16+1≥x−1+1Добавить 1 к обеим сторонам.7≥x6≥x−16+1≥x−1+1Добавить 1 к обеим сторонам. 7≥x

  3. x+7>9x+7−7>9−7Вычесть 7 с обеих сторон.x>2x+7>9x+7−7>9−7Вычесть 7 с обеих сторон.x>2

Попробуйте #3

Решите: 3x−2<1,3x−2<1.

Пример 4

Демонстрация свойства умножения

Проиллюстрируйте свойство умножения неравенств, решив каждое из следующих действий:

  1. ⓐ 3x<63x<6
  2. ⓑ −2x−1≥5−2x−1≥5
  3. ⓒ 5-х>105-х>10
Решение

  1. 3x<613(3x)<(6)13x<23x<613(3x)<(6)13x<2

  2. −2x−1≥5−2x≥6(−12)(−2x)≥(6)(−12) Умножить на −12.x≤−3Обратное неравенство.−2x−1≥5−2x≥6(−12)(−2x)≥(6)(−12)Умножить на −12.x≤−3Обратное неравенство.

  3. 5−x>10−x>5(−1)(−x)>(5)(−1)Умножить на −1,x<−5 Обратное неравенство.5−x>10−x>5( −1)(−x)>(5)(−1) Умножить на −1.x<−5 Обратное неравенство.

Попробуйте #4

Решите: 4x+7≥2x−3,4x+7≥2x−3.

Алгебраическое решение неравенств с одной переменной

Как показали примеры, мы можем производить одни и те же операции с обеих сторон неравенства, как и с уравнениями; мы объединяем подобные термины и выполняем операции.Чтобы решить, мы изолируем переменную.

Пример 5

Алгебраическое решение неравенства

Решите неравенство: 13−7x≥10x−4,13−7x≥10x−4.

Решение

Решение этого неравенства аналогично решению уравнения до последнего шага.

13−7x≥10x−413−17x≥−4Перенесем переменные члены в одну сторону неравенства.−17x≥−17Изолируем переменный член.x≤1Деление обеих частей на −17обратит неравенство.13−7x≥10x−413−17x ≥−4 Переместите переменные члены в одну сторону неравенства.−17x≥−17Изолировать переменный термин.x≤1Деление обеих частей на −17обратит неравенство.

Набор решений задается интервалом (−∞,1],(−∞,1] или всеми действительными числами меньше 1 включительно.

Попробуйте #5

Решите неравенство и запишите ответ, используя интервальную запись: −x+4<12x+1.−x+4<12x+1.

Пример 6

Решение неравенства с дробями

Решите следующее неравенство и запишите ответ в интервальной записи: −34x≥−58+23x.−34x≥−58+23x.

Решение

Мы начинаем решать так же, как и при решении уравнения.

−34x≥−58+23x−34x−23x≥−58Расположите переменные члены на одной стороне.−912x−812x≥−58Запиши дроби с общим знаменателем.−1712x≥−58x≤−58(−1217)Умножение на отрицательное число приводит к обратному неравенство. Умножение на отрицательное число меняет неравенство на противоположное.x≤1534

Множество решений представляет собой интервал (−∞,1534].(−∞,1534].

Попробуйте #6

Решите неравенство и запишите ответ в интервальной записи: −56x≤34+83x.−56x≤34+83x.

Понимание сложных неравенств

Составное неравенство включает два неравенства в одном выражении. Такой оператор, как 4

Пример 7

Решение составного неравенства

Решите составное неравенство: 3≤2x+2<6,3≤2x+2<6.

Решение

Первый способ заключается в написании двух отдельных неравенств: 3≤2x+23≤2x+2 и 2x+2<6,2x+2<6. Мы решаем их самостоятельно.

3≤2x+2and2x+2<61≤2x2x<412≤xx<23≤2x+2and2x+2<61≤2x2x<412≤xx<2

Тогда мы можем переписать решение в виде сложного неравенства, так же как и началась проблема.

В интервальной записи решение записывается как [12,2).[12,2).

Второй метод заключается в том, чтобы оставить составное неравенство нетронутым и выполнить процедуры решения трех частей одновременно.

3≤2x+2<61≤2x<4Выделите переменный член и вычтите 2 из всех трех частей.12≤x<2Разделите все три части на 2.3≤2x+2<61≤2x<4Выделите переменный член и вычтите 2 из всех трех частей.12≤x<2Разделим все три части на 2.

Получим то же решение: [12,2).[12,2).

Попробуйте #7

Решите составное неравенство: 4<2x−8≤10,4<2x−8≤10.

Пример 8

Решение сложного неравенства с переменной во всех трех частях

Решите составное неравенство с переменными во всех трех частях: 3+x>7x−2>5x−10,3+x>7x−2>5x−10.

Решение

Попробуем первый способ. Запишите два неравенства :

3+x>7x−2and7x−2>5x−103>6x−22x−2>−105>6x2x>−856>xx>−4x<56−47x− 2and7x−2>5x−103>6x−22x−2>−105>6x2x>−856>xx>−4x<56−4 Набор решений: −4 Мы читаем интервалы слева направо, как они появляются на числовой прямой. См. Рисунок 3 .

Рисунок 3

Попробуйте #8

Решите составное неравенство: 3y<4−5y<5+3y.3y<4−5y<5+3y.

Решение абсолютных неравенств

Как мы знаем, абсолютное значение величины есть положительное число или нуль.От начала координат точка, расположенная в точке (−x,0)(−x,0), имеет абсолютное значение x,x, поскольку она удалена на x единиц. Рассмотрим абсолютное значение как расстояние от одной точки до другой точки. Независимо от направления, положительного или отрицательного, расстояние между двумя точками представляется как положительное число или ноль.

Абсолютное неравенство представляет собой уравнение вида

|A|B, или |A|≥B,|A|B или |A|≥B,

Где A , а иногда и B представляют собой алгебраическое выражение, зависящее от переменной x. Решить неравенство означает найти множество всех xx значений, удовлетворяющих задаче. Обычно этот набор будет интервалом или объединением двух интервалов и будет включать диапазон значений.

Существует два основных подхода к решению абсолютных неравенств: графический и алгебраический. Преимущество графического подхода в том, что мы можем прочитать решение, интерпретируя графики двух уравнений. Преимущество алгебраического подхода в том, что решения являются точными, поскольку точные решения иногда трудно прочитать на графике.

Предположим, мы хотим знать все возможные доходы от инвестиций, если бы мы могли заработать некоторую сумму денег в пределах от 200 до 600 долларов. Мы можем решить алгебраически для набора из x- значений, таких что расстояние между xx и 600 меньше или равно 200. Мы представляем расстояние между xx и 600 как |x−600|,|x−600|, и, следовательно, |x−600|≤200|x−600|≤200 или

−200≤x−600≤200−200+600≤x−600+600≤200+600400≤x≤800−200≤x− 600≤200−200+600≤x−600+600≤200+600400≤x≤800

Это означает, что наша прибыль составит от 400 до 800 долларов.

Для решения абсолютных неравенств, как и в случае с абсолютными уравнениями, мы записываем два неравенства, а затем решаем их независимо друг от друга.

Неравенства абсолютного значения

Для алгебраического выражения X, и k>0,k>0 абсолютным неравенством является неравенство вида

|X|ki эквивалентно X<−kor X>k|X|ki эквивалентно X<− kor X>k

Эти утверждения также применимы к |X|≤k|X|≤k и |X|≥k.|Х|≥к.

Пример 9

Определение числа на заданном расстоянии

Опишите все значения xx на расстоянии 4 от числа 5.

Решение

Мы хотим, чтобы расстояние между xx и 5 было меньше или равно 4. Мы можем нарисовать числовую линию, например, как на рисунке 4 , , чтобы представить условие, которое должно быть удовлетворено.

Рисунок 4

Расстояние от xx до 5 может быть представлено с помощью символа абсолютного значения |x−5|.|х−5|. Запишите значения xx, удовлетворяющие условию, в виде абсолютного неравенства.

Нам нужно написать два неравенства, так как всегда есть два решения уравнения абсолютного значения.

x−5≤4andx−5≥−4x≤9x≥1x−5≤4andx−5≥−4x≤9x≥1

Если множество решений равно x≤9x≤9 и x≥1,x≥1, то решение set — это интервал, включающий все действительные числа от 1 до 9 включительно.

Итак, |x−5|≤4|x−5|≤4 эквивалентно [1,9][1,9] в записи интервалов.

Попробуйте #9

Опишите все x- значений на расстоянии 3 от числа 2.

Пример 10

Решение абсолютного неравенства

Решите |x−1|≤3|x−1|≤3 .

Решение
|x−1|≤3−3≤x−1≤3−2≤x≤4[−2,4]|x−1|≤3−3≤x−1≤3−2≤x≤4[− 2,4]

Пример 11

Использование графического подхода для решения абсолютных неравенств

По уравнению y=−12|4x−5|+3,y=−12|4x−5|+3 определите x -значений, для которых y -значений отрицательны.

Решение

Мы пытаемся определить, где y<0,y<0, то есть когда −12|4x−5|+3<0.−12|4x−5|+3<0. Начнем с выделения абсолютного значения.

−12|4x−5|<−3Умножьте обе части на –2 и измените неравенство.|4x−5|>6−12|4x−5|<−3Умножьте обе части на –2 и измените неравенство. |4x−5|>6

Далее находим равенство |4x−5|=6.|4x−5|=6.

4x−5=64x−5=−64x=11or4x=−1x=114x=−144x−5=64x−5=−64x=11or4x=−1x=114x=−14

Теперь мы можем изучить график, чтобы наблюдать где значения y- отрицательные. Мы наблюдаем, где ветви находятся ниже оси x-.Обратите внимание, что не важно, как именно выглядит график, если мы знаем, что он пересекает горизонтальную ось в точках x=-14x=-14 и x=114,x=114, и что график открывается вниз. См. Рисунок 5 .

Рисунок 5

Попробуйте #10

Решите −2|k−4|≤−6.−2|k−4|≤−6.

2.

7 Упражнения по секциям
Вербальные
1.

При решении неравенства объясните, что произошло с шага 1 по шаг 2:

Шаг 1-2x>6Шаг 2x<-3Шаг 1-2x>6Шаг 2x<-3

2.

При решении неравенства получаем:

х+2<х+32<3х+2<х+32<3

Объясните, что представляет собой наш набор решений.

3.

При записи нашего решения в интервальной записи, как мы будем представлять все действительные числа?

4.

При решении неравенства получаем:

х+2>х+32>3х+2>х+32>3

Объясните, что представляет собой наш набор решений.

5.

Опишите, как построить график y=|x−3|y=|x−3|

Алгебраический

Для следующих упражнений решите неравенство.Запишите окончательный ответ в интервальной записи.

7.

3х+2≥7х-13х+2≥7х-1

8.

−2x+3>x−5−2x+3>x−5

9.

4(х+3)≥2х-14(х+3)≥2х-1

10.

−12x≤−54+25x−12x≤−54+25x

11.

-5(х-1)+3>3х-4-4х-5(х-1)+3>3х-4-4х

12.

−3(2x+1)>−2(x+4)−3(2x+1)>−2(x+4)

13.

х+38-х+55≥310х+38-х+55≥310

14.

х-13+х+25≤35х-13+х+25≤35

Для следующих упражнений решите неравенство с абсолютной величиной.Запишите окончательный ответ в интервальной записи.

19.

|x−2|+4≥10|x−2|+4≥10

20.

|−2x+7|≤13|−2x+7|≤13

22.

|x−20|>−1|x−20|>−1

Для следующих упражнений опишите все значения x в пределах или включая расстояние от заданных значений.

24.

Расстояние 5 единиц от числа 7

25.

Расстояние 3 единицы от числа 9

26.

Дистанция 10 единиц от числа 4

27.

Расстояние 11 единиц от числа 1

Для следующих упражнений решите составное неравенство. Выразите ответ, используя знаки неравенства, а затем запишите ответ, используя интервальную запись.

28.

−4<3x+2≤18−4<3x+2≤18

29.

3х+1>2х-5>х-73х+1>2х-5>х-7

30.

3г<5-2г<7+г3г<5-2г<7+г

31.

2x−5<−11или 5x+1≥62x−5<−11или 5x+1≥6

Графический

Для следующих упражнений постройте график функции.Обратите внимание на точки пересечения и заштрихуйте ось x , представляющую набор решений неравенства. Покажите свой график и запишите окончательный ответ в интервальной записи.

Для следующих упражнений начертите обе прямые линии (левая сторона — y1, а правая — y2) на одних и тех же осях. Найдите точку пересечения и решите неравенство, наблюдая, где оно истинно, сравнивая и -значения линий.

41.

12х+1>12х-512х+1>12х-5

Цифровой

Для следующих упражнений запишите набор в виде интервалов.

46. ​​

{x|xis все действительные числа}{x|xis все действительные числа}

Для следующих упражнений запишите интервал в нотации построителя наборов.

50.

[−4,1]∪[9,∞)[−4,1]∪[9,∞)

Для следующих упражнений запишите набор чисел, представленных на числовой прямой в интервальной записи.

52.
Технология

Для следующих упражнений введите левую часть неравенства в виде графика Y1 в графическую утилиту.Введите y2 = правая часть. Ввод абсолютного значения выражения находится в меню MATH, Num, 1:abs(. Найдите точки пересечения, вызовите (2 nd CALC 5:intersection, 1 st кривая, введите, 2 nd кривая, введите, угадайте, введите). Скопируйте эскиз графика и заштрихуйте ось x для вашего решения, установленного для неравенства. Запишите окончательные ответы в интервальной нотации.

Расширения
59.

Решить |3x+1|=|2x+3||3x+1|=|2x+3|

61.

х-5х+7≤0, х-5х+7≤0, х≠-7х≠-7

62.

p=-x2+130x-3000p=-x2+130x-3000 — это формула прибыли для малого бизнеса. Найдите набор значений x , при которых эта прибыль будет оставаться положительной.

Реальные приложения
63.

В химии объем определенного газа определяется выражением V=20T, V=20T, где V измеряется в кубических сантиметрах, а T — это температура в ºC. Если температура колеблется между 80ºC и 120ºC, найдите набор объемных значений.

64.

Базовый пакет сотовой связи стоит 20 долларов в месяц. за 60 минут разговора с дополнительной оплатой в размере 0,30 доллара США за минуту после этого времени. Формула стоимости будет C = 20 + 0,30 (x−60). C = 20 + 0,30 (x−60). Если ваш счет не превышает 50 долларов, какое максимальное количество минут для звонков вы можете использовать?

.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск