Мы знаем, что каждое положительное число имеет обратное мультипликативное число (т. е. обратное ), так что, возможно, есть также сокращение  при нахождении логарифма обратной величины? И здесь снова звучит громкое да .Чтобы понять почему, предположим, что нам дано положительное число $x$, тогда по правилу продукта мы имеем это:

\begin{align*} \log \left(x \\cdot \frac{1} {x} \right) & = \log x + \log \left( \frac{1}{x} \right) \end{align*}

С другой стороны, у нас также есть это:

\begin {align*} \log \left(x \cdot \frac{1}{x} \right) & = \log 1 = 0 \end{align*}

Соединяя два уравнения вместе, мы получаем, что:

\begin{align*} \log x + \log \left( \frac{1}{x} \right) & = 0  \end{align*}

Или эквивалентно,

\begin{align*} \log \left( \frac{1}{x} \right) & = – \log x  \end{align*}

Сюрприз! Мы только что открыли Правило обратной величины , которое гласит, что для нахождения логарифма обратной величины нам просто нужно инвертировать логарифм исходного числа.

Правило 2 — Правило обратного для логарифма

Для любого положительного числа $x$ имеем:

\begin{align*} \log \left(\frac{1}{x} \right) = -\log x \end{align*}

, где предполагается, что все логарифмы относятся к одному и тому же действительному основанию $b$.

Таким образом, вместо вычисления двоичного логарифма $\displaystyle \frac{1}{512}$ с нуля, мы могли бы повернуть голову вокруг и сделать:

\begin{align*} \log_2 \left ( \frac{1}{512} \right) = -\log_2 512  = -9 \end{align*}

Частное правило

Теперь, когда оба Правило продукта и Взаимное правило в порядке, давайте посмотрим что произойдет, если мы применим их к частному из положительных чисел $x$ и $y$:

\begin{align*} \log \left( \frac{x}{y} \right) & = \log \left( x \cdot \frac{1}{y} \right) \\ & = \log x + \log \left( \frac{1}{y} \right) \\ & = \log x -\log y \end{align*}

Бинго! Мы только что показали, что логарифм частного — это в точности разность между исходными логарифмами — свойство, широко известное как правило частного .

Правило 3 — Правило частных для логарифма

Для любых двух положительных чисел $x$ и $y$ получаем:

\begin{align*} \log \left( \frac{x}{y } \right) =\log x-\log y \end{align*}

, где предполагается, что все логарифмы находятся под одним и тем же действительным основанием $b$.

Например, вместо вычисления натурального логарифма $\displaystyle \frac{2}{e}$ с нуля, мы могли бы применить правило частных и получить это:

\begin{align*} \ln \left( \frac{2}{e}\right) = \ln 2-\ln e = \ln 2-1 \end{align*}

Как и в случае  Power Rule , вместо , нарушая частное , мы также можем использовать Правило отношения справа налево , тем самым превращая разность в частное вместо этого.Например:

\begin{align*}  \log 45-\log 9 = \log \left( \frac{45}{9} \right) = \log 5 \end{align*}

В базе $10 $, Правило частного можно также перевести в следующее понимание:

Величина частного равна разности отдельных величин. n  \right] = \log x \end{align*}

Соединяя два равенства вместе, мы получаем, что:

\begin{align*} n \log (\sqrt[n]{x})  = \log x  \end{align*}

Или эквивалентно,

\begin{align*} \log (\sqrt[n]{x})  = \frac{\log x}{n} \end{align*}

Отлично! Это показывает, что для вычисления логарифма корня из $n$ ^-го -го достаточно разделить логарифм исходного числа на $n$. Это понимание приводит к еще одному свойству логарифма, известному как . Корневое правило :

Правило 5 — Корневое правило для логарифма

Для любых положительных чисел $x$ и натуральных чисел $n$ мы имеем:

\begin{align*} \log (\sqrt[n ]{x}) = \frac{\log x}{n} \end{align*}

, где предполагается, что все логарифмы находятся под одним и тем же действительным основанием $b$.

Подобно степенному правилу , корневое правило полезно не только своей способностью извлекать корень из логарифма (как в $\displaystyle \log (\sqrt[12]{6}) = \ frac{\log 6}{12}$), но и за его способность создать корень из ничего (как в $\displaystyle \frac{\ln 2}{5}=\ln (\sqrt[ 5]{2})$).

В системе счисления 10$ корневое правило можно интерпретировать следующим образом:

Когда число укореняется, результирующая величина масштабируется точно на степень корня , о котором идет речь.{\pi})\right] \\ & = 3 \log 5 + \frac{\log 15}{4} – 66 \log 10 – \pi \log e \end{align*}

Свойства, включающие основания

ОК. Итак, это было немного свойств, связанных с аргументом логарифма, но что, если вместо этого мы хотим настроить по основанию ? Что ж, мы вас прикрыли и в этом! В дальнейшем мы представим четыре свойства логарифма с учетом оснований для вашего собственного удовольствия. Это правило цепочки , правило смены базы , правило замены базы и взаимозаменяемость базового аргумента .

Цепное правило

Предположим на минуту, что вы освоили все пять свойств логарифма, используемых для сведения аргумента к его простейшим составным частям, но по той или иной причине основание вас раздражает. Что бы вы сделали?

В нашем случае нам нужно найти альтернативную формулу для вычисления того же логарифма, не прибегая непосредственно к этой базе .

На самом деле, давайте начнем с , немного сузив вопрос: при заданном положительном числе $x$ существует ли способ вычисления $\log x$ (по основанию $b$), используя новое основание $ $? Или еще лучше: что такое выражение , содержащее $a$, такое, что при возведении в него $b$ становится $x$?

Здесь, чтобы найти одно такое выражение, было бы совершенно естественно начать с $\displaystyle \log_a x$ и посмотреть, куда оно нас приведет.{\log a \cdot \log_a x} = x \end{align*}

Бинго! Показатель степени в среднем члене — это именно то, что мы искали — выражение, согласно которому $b$ нужно увеличить, чтобы оно стало $x$! Таким образом, мы можем заключить, что:

\begin{align*} \log x = \log a \cdot \log_a x \end{align*}

По-английски это выглядит так:

Логарифм числа, оценивается как логарифм нового основания , умноженный на  логарифм исходного числа по этому новому основанию.

На самом деле это свойство настолько впечатляет, что мы решили окрестить как Цепное правило (не путать с обычным цепным правилом в исчислении).

Правило 6 — Цепное правило для логарифмирования

Для любого положительного числа $x$ и действительного основания $a$ мы имеем следующее:

\begin{align*} \log x = \log a \cdot \log_a x \end{align*}

, где предполагается, что все логарифмы, основание которых не определено явно, находятся под одним и тем же действительным основанием $b$.

Здесь определенно требуется пример, иллюстрирующий его использование: предположим, что нам дали задание определить величину числа $1024$ (т. е. найти $\log_{10} 1024$), но предположим, что вместо этого было бы проще, если бы база была в $2$, тогда мы можем применить цепное правило с $2$ в качестве новой базы , что даст следующее:

\begin{align*} \log_{ 10} 1024 = \log_{10} 2 \cdot \log_2 1024 = \log_{10} 2 \cdot 10 \приблизительно 3,01 \end{align*}

, поэтому величина $1024$ составляет примерно $3. {3.01}$), что соответствует 4-значному номеру .

На самом деле, это еще не все: на самом деле не имеет значения, какую новую базу мы выберем! База могла быть $3$, $e$ или даже $\pi$, и результат был бы точно таким же!

\begin{align*} \log_{10} 1024 & = \log_{10} 3 \cdot \log_3 1024  \\ & = \log_{10} e \cdot \log_e 1024  \\ & = \log_{10 } \pi \cdot \log_{\pi} 1024  \end{align*}

Правило смены базы

Если вы все еще бродите вокруг, вы помните, что Цепное правило гласит:

\begin {align*} \log x = \log a \cdot \log_a x \end{align*}

Здесь, если мы просто найдем $\log_a x$, мы получим:

\begin{align*} \ log_a x = \frac{\log x}{\log a} \end{align*}

Боже! Еще одна альтернативная формула для логарифма! За исключением того, что на этот раз это (не)известный по-настоящему.Название? Правило смены базы !

Правило 7 — Правило замены основания для логарифма

Для любого положительного числа $x$ и действительного основания $a$ мы имеем следующее:

\begin{align*} \log_a x = \ frac{\log x}{\log a} \end{align*}

где логарифмы, основание которых не определено явно, предполагаются лежащими под одной и той же действительной базой $b$

На первый взгляд, это может показаться простой переформулировкой Цепного правила . Однако при дальнейшем рассмотрении можно увидеть, что на самом деле это не так: цепное правило превращает логарифм в произведение логарифмов с различными основаниями , в то время как правило смены основания превращает логарифм в частное логарифмов с тем же основанием . Кроме того, цепное правило незначительно облегчает вычисление логарифма по новому основанию, в то время как правило изменения основания фактически полностью устраняет зависимость от старого основания.

На практике правило смены основания в основном используется для вычисления «нестандартного» логарифма путем преобразования его в частное «стандартных логарифмов» (например, $\log_{15} 26 = \frac {\ln 26}{\ln 15} = \frac{\log_2 26}{\log_2 15}$). Однако его также можно использовать в обратном порядке, тем самым объединяя частное логарифмов в один логарифм (например, $\frac{\ln 8}{\ln 2} = \log_2 8 = 3$).

На самом деле, как Цепное правило  , так и Правило замены основания  обеспечивают унифицированную основу для логарифмов по всем допустимым основаниям, показывая, что каждая логарифмическая функция является кратным отдельно друг от друга. С появлением компьютеров и калькуляторов Правило смены основания также открывает возможность вычисления логарифма по произвольному основанию, стандартизируя по основанию $e$, или — если научный калькулятор используется — для основания $10$.

Правило замены базы

А теперь давайте повеселимся. Помните, что правило смены базы гласит: фактически предполагается, что «безосновные» логарифмы меньше допустимых оснований $b$.Из любопытства, если мы просто допустим, что это основание равно $a$, мы получим это:

\begin{align*}\log_a x = \frac{\log_a x}{\log_a a} = \log_a x \end {align*}

, что не очень интересно, так как мы в основном идем по кругу. Однако в особом случае, когда $x \ne 1$, мы можем вместо этого взять за основу $x$, получив таким образом следующее тождество:

\begin{align*}\log_a x = \frac{\log_x x}{\log_x a} = \frac{1}{\log_x a}\end{align*}

Впечатляет! Это почти как играть в LEGO® ! И поскольку никто еще не дал ему имя, давайте просто назовем его правилом замены базы .

Правило 8 — Правило замены оснований для логарифма

Для любых двух допустимых оснований  $x$ и $a$ мы имеем следующее:

\begin{align*}\log_a x = \frac{1}{ \log_x a}\end{align*}

На английском языке Правило замены основания означает следующее:

Альтернативный способ вычисления логарифма числа по основанию состоит вместо логарифма по основанию под этим числом, а затем взять обратное.

Ужасный каламбур, который мы знаем, но если вы действительно ненавидите работу под определенной базой, правило замены базы предлагает быстрый и грязный способ избавиться от нее. Например:

\begin{align*} \log_{512} 2 = \frac{1}{\log_2 512} = \frac{1}{9}\end{align*}

, что показывает, что психических LEGO может быть таким же увлекательным занятием, как и игра с несколькими десятками кусочков цветного пластика . 🙂

Взаимозаменяемость базовых аргументов

Как правило, мы не хотим возиться с базовыми аргументами и аргументами , меняя их местами. {\ln 3})\end{align*}

Забавно, правда? Отличное место, чтобы приоткрыть занавес и о свойствах логарифма! 🙂

Как вы, возможно, слышали, как люди неоднократно говорили, что логарифм — по крайней мере, для большинства практических целей — определяется только на положительных действительных чисел. Почему? Потому что число может иметь логарифм только в том случае, если оно выражается как в степени , что, в свою очередь, должно быть положительным — в силу определения действительных экспоненциальных функций .

Однако, как и следовало ожидать, это не устраивает определенную группу из борцов за математическую свободу , для которых следующий вопрос может быть более актуальным:

Можем ли мы что-нибудь сделать, чтобы расширить домен ? логарифмических функций и к другим числам?

Ответ? Да, но не без привязки. Как оказалось, форсирование  этого расширения домена неизбежно повлечет за собой болезненные  жертвы на многих фронтах, которые включают, помимо прочего, существенную потерю свойств показателя степени и логарифма . {yi}$ обозначает -единичное комплексное число с углом $y$.{\pi я} = -e$. На самом деле, можно также видеть, что по построению , любая экспонента обязательно является числом с ненулевой длиной (т. е. экспонента всегда ненулевая ).

Переопределение логарифмической функции (основания $e$)

Таким образом, естественная экспоненциальная функция отображает всю комплексную плоскость в ненулевых комплексных чисел, но, возможно, более тонким является тот факт, что любых ненулевых Комплексное число также может быть выражено как степень $e$.{\ theta i} \\ & = \text{комплексное число с длиной и углом } z \\ & = z \end{align*}

Другими словами, мы только что нашли как логарифм $ z$ — $\displaystyle \ln |z|+\theta i$ то есть! Однако обратите внимание на использование « a » вместо « the », поскольку, как упоминалось ранее, это не пройдет гладко…

Во-первых, поскольку комплексное число может иметь несколько эквивалентов углы , определяющие естественную экспоненциальную функцию на всей комплексной плоскости , могут открыть целую банку червей — То есть целую банку бесконечно много комплексных чисел, экспоненты которых почти одинаковы. {- \pi i} = \dots = -1 \end{align*}

, что показывает, что логарифм $-1$ – или любого другого числа, если уж на то пошло, – плохо определен при текущей настройке.

Естественно, один из способов исправить эту многозначность логарифмирования состоит в том, чтобы ограничить область экспоненциальной функции главной ветвью . То есть множество комплексных чисел, чья мнимая часть  лежит в интервале $\displaystyle (-\pi, \pi]$. Ограничив таким образом область определения, мы сможем доказать, что экспоненты различных чисел сами являются различными, что делает натуральную экспоненту обратимой функцией — отображением главной ветви на набор ненулевых комплексных чисел.

Главное отделение — Ограниченная область естественной экспоненциальной функции. Обратите внимание, что линия $y= -\pi$ равна , а не , включенным в график.

При такой установке обратная экспоненциальная функция — функция натурального логарифма — отображает набор из ненулевых комплексных чисел в главную ветвь. {(\ln a)z} \end{align*}

Из конечно, чтобы это определение имело смысл, основание $\displaystyle a$ должно быть ненулевым .Кроме того, база также не должна быть $\displaystyle 1$, иначе мы просто получим константную функцию . По сути, это просто означает, что концепция действительного основания также должна быть обновлена ​​— от положительного   действительного числа , которое не является $\displaystyle 1$, до ненулевого комплексного числа , которое не является $\displaystyle 1$. И это большое достижение, если подумать: набор допустимых оснований только что перешел от правой стороны действительной числовой прямой почти ко всей комплексной плоскости !

Свойства логарифма — обновление

Вроде все хорошо. Или это?  Под поверхностью свойств логарифма фактически разваливаются:

• Правило продукта не выполняется: $\displaystyle \ln (-1 \cdot -1) = \ln 1 =0$, но $\displaystyle \ln (-1) + \ln (-1) = 2 \pi i$. 2 \right] = \ln 1 = 0$, но $\displaystyle 2 \ln (-1) = 2 \pi i$ .
• Корневое правило не выполняется: Основная теорема алгебры подразумевает, что теперь число может иметь до $n$ $n$ ^-го -го комплексного корня, поэтому концепция уникального $n$ ^-го -го корня больше не применимо.

С другой стороны, логарифмических функций произвольного основания теперь могут быть определены — в терминах $\displaystyle \ln z$ — для всех ненулевых комплексных чисел, используя экземпляров то, что ранее было известно как правило смены базы :

\begin{align*} \log_a x \, \stackrel{def}{=} \, \frac{\ln x}{\ln a} \ qquad (x \ne 0, \text{ является допустимой базой}) \end{align*}

В свете этого неудивительно, что полноценное Правило смены базы действительно выполняется для комплексные логарифмы вообще:

\begin{align*} \log_a x & = \frac{\ln x}{\ln a} \\ & = \frac{\frac{\ln x}{\ln b}} {\frac{\ln a}{\ln b}} \\ & = \frac{\log_b x}{\log_b a} \qquad (x \ne 0, a \text{ и } b\text{ допустимых баз})\end{align*}

В частности, в случае, когда $x$ также является допустимой базой , мы получаем, что:

\begin{align*} \log_a x  = \frac{\ log_x х} {\log_x a} = \frac{1}{\log_x a} \end{align*}

Что еще за имя? Правило замены базы конечно!

Кроме того, если мы просто начнем с правила смены базы  и найдем $\displaystyle \log_b x$, мы получим, что цепное правило  также останется:

\begin{ align*} \log_b x = \log_b a \cdot \log_a x \qquad (x \ne 0, a \text{ и } b\text{ являются допустимыми основаниями}) \end{align*}

На самом деле, оказывается, что даже Взаимозаменяемость базового аргумента  также сохраняется, но только из-за специального экземпляра «Правила мощности «, который мы встроили в наше определение общей экспоненциальной функции:

\ begin{align*} x ^ {\ log_b y} & = e ^ {\ ln x \ cdot \ log_b y} \\ & = e ^ {\ frac {\ ln x \ cdot \ ln y} {\ ln b} } \\ & = e^{\ln y \cdot \log_b x} \\& =y^{\log_b x} \qquad (x, y \ne 0, b \text{действительное основание}) \end {align*}

Таким образом, хотя все свойства логарифма, включающие аргументов , теряются в процессе, те, которые включают оснований , все m удалось выйти из этого невредимым. z$ до ветви , мы можем определить логарифм для всех ненулевых комплексных чисел — и сделать это, используя любое  действительное основание  на свете.

Однако пять свойств логарифма, включающих аргументов (например, Правило произведения , Правило взаимного обращения , Правило частного , Степенное правило ,

5 Корневое правило ) будут потеряны в процессе .

Удивительно, но все четыре свойства логарифма, включающие оснований  (т. е. Правило смены основания , Цепное правило , Правило замены основания , Взаимозаменяемость аргумента основания06) будут сохранены 90 .

Из-за существенной потери  в свойствах логарифма, большинство свойств показателя степени также будут разваливаться.

Итак, оглядываясь назад, стоит ли прилагать усилия для расширения области логарифмических функций? Черт возьми, думаю, мы позволим вам решить это! 🙂

Ух ты! Кто бы мог подумать, что чистое знакомство с какой-то базовой теорией может завести нас так далеко! Первоначально инструмент для вычисления больших чисел  (например,например, превращение произведений или частных в суммы или разности) и для решения показательных уравнений (через свойств логарифма ), логарифм, очевидно, прошел долгий путь, найдя себя в различных областях прикладных наук и чистая математика .

Для ученых-прикладников логарифм, как правило, напоминает такие темы, как вычисление порядка величины (десятичное или двоичное), логарифмические шкалы (т.г., частота в музыкальных нотах , шкала Рихтера , pH , громкость звука ), алгоритмическая сложность и логарифмически-нормальное распределение . Для тех, кто живет в башне из слоновой кости (кто это?), логарифм часто ассоциируется с идеализированными объектами , такими как гармонический ряд , обратная функция и даже простые числа ,

когда мы обдумывали идею включения

комплексных чисел в логарифм, мы обнаружили, что можем не только расширить определение логарифма на отрицательных действительных чисел , но и на любые другие ненулевых комплексных чисел. x) = x$ Trivial Logarithmic :  $\displaystyle \log_b 1 = 0$, $\displaystyle \log_b b = 1$, $\displaystyle \log_b \frac{1}{b} = -1$

Десятичный логарифм (основание 10)

Характеристика

$ \ DisplayStyle \ log X $

Mantissa

Бинарный логарифм (База 2)

$ \ DisplayStyle \ log_2 x $

Количество битов (двоичное представление)

Двоичное дерево

Количество необходимых операций ( Алгоритм)

октавы (музыка)

Частота (музыкальные ноты)

Натуральный логарифм (база E)

$ \ DisplayStyle \ ln x $

Обратная функция

Натуральная показательная функция

Harmonic Series

$ \ DisplayStyle \ log X $ (нотационная двусмысленность)

Logarithm (произвольная база)

Допустимая база

База

Маленькая база

График (Логарифмические функции)

Терминология

Линейные масштабы VS. Logarithmic Scale

Экспоненциальный рост / сжимается

Приложения

Частота музыкальных нот (теория музыки) : Относительное примечание частоты преобразованы в Двоичный логарифм . Увеличение полутона увеличивает частоту ноты на $\displaystyle \sqrt[12]{2}$.

pH (химия) : Концентрация ионов водорода, преобразованная в отрицательных (десятичных) логарифмов. Повышение pH на $1$ снижает кислотность раствора в десятикратном размере .

Шкала Рихтера (сейсмология) : Амплитуда относительной сейсмической волны, преобразованная в десятичный логарифм . Одна единица увеличения по шкале Рихтера увеличивает силу землетрясения в раз в десять раз .

Децибел (акустика) : относительная звуковая мощность, преобразованная в десятичных логарифмов  (с единицей измерения в белах), где 1 бел увеличения увеличивает относительную звуковую мощность в десятикратном . {yi} \quad ( \text{для всех }x, y \in \mathbb{ R})$

Натуральная логарифмическая функция :  Для любого ненулевого комплексного числа $ \displaystyle z$, $\ln z \, \stackrel{def}{=} \, \ln |z| + (\arg{z}) i$, где $\displaystyle |z|$ обозначает длину $\displaystyle z$, а $\displaystyle \arg{z}$ главный угол $\ displaystyle z$ в интервале $\displaystyle (-\pi, \pi]$.{(\ln a)z} \quad (a \text{ является допустимым основанием})$

Логарифмическая функция (произвольное основание) :  $\displaystyle \log_a x \, \stackrel{def}{= } \, \frac{\ln x}{\ln a} \qquad (x \ne 0, a \text{ является допустимым основанием})$

Свойства логарифма : (т. е. Правило произведения , Правило взаимности , Правило частных , Степенное правило и Корневое правило ).{z_2}}$) осталось. Все другие свойства, которые полагаются на связанные с аргументом свойства логарифма, не работают (например, Common-Exponent Properties , Power Property ).

Хорошо. Вот завершение увлекательной темы, известной как логарифм, так что независимо от того, предпочитаете ли вы его реальный или сложный, или предпочитаете алгебраический или прикладной, по крайней мере, теперь нет больше оправданий, чтобы их избегать!

Великолепная Математика и Науки Вики

Шкала Рихтера:

Шкала Рихтера

была разработана Чарльзом Рихтером в 1935 году для сравнения силы землетрясений.Количество энергии, высвобождаемой при землетрясении, очень велико, поэтому логарифмическая шкала позволяет избежать использования больших чисел.

Для этих расчетов используется формула

.

M=log⁡10(II0),M= \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right),M=log10​(I0​I​),

, где MMM — магнитуда по шкале Рихтера, III — интенсивность измеряемого землетрясения, а I0I_0I0 — интенсивность эталонного землетрясения.

Давайте сделаем небольшой пример, чтобы прояснить, как это работает.

Землетрясение в Сан-Франциско в 1906 году имело магнитуду 8,3 балла по шкале Рихтера. В то же время в Южной Америке произошло землетрясение магнитудой 4,1, причинившее лишь незначительные разрушения. Во сколько раз сильнее было землетрясение в Сан-Франциско, чем в Южной Америке?

Поскольку магнитуда представляет собой логарифм с основанием 10, число Рихтера на самом деле представляет собой показатель степени, до которого 10 возводят для расчета интенсивности землетрясения. Таким образом, разность магнитуд землетрясений можно рассчитать следующим образом:

М=лог⁡10(108.M \ приблизительно 15848,

10M≈15848,

раза!

Обратите внимание, что вы можете просто вычесть 4,1 из 8,3 и получить тот же результат. Но если ваши учителя математики такие же, как мои, они захотят, чтобы вы использовали логарифмы, и вот как это делается. Причина, по которой вычитание величин работает, заключается в правиле экспоненты для деления экспонент с одним и тем же основанием.

Шкала децибел:

Один децибел — одна десятая бела, назван в честь Александра Грэхема Белла. Бел редко используется без префикса деци-, означающего одну десятую.Шкала децибел используется для расчета разницы в интенсивности между двумя звуками:

.

L=10log⁡10(II0),L=10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right),L=10log10​(I0​I​),

, где L LL — громкость звука, измеренная в децибелах, III — интенсивность измеряемого звука, а I0I_0I0 — интенсивность звука на пороге слышимости, равная нулю децибел.

pH\text{pH}Шкала pH:

Шкала pH\text{pH}pH была изобретена в 1910 г.Сорен Соренсон, руководитель лаборатории Carlsberg Beer Company. Буква «H» в слове pH\text{pH}pH обозначает водород, а значение «p» в слове pH\text{pH}pH, хотя и оспаривается, обычно считается означающим силу водорода. Эта шкала используется для измерения кислотности или щелочности воды или водорастворимых веществ, включая почву или дождевую воду, но не ограничиваясь ими. Шкала pH\text{pH}pH колеблется от 1 до 14, где семь — нейтральная точка. Значения ниже 7 указывают на кислотность, при этом 1 является наиболее кислой. Значения выше 7 указывают на щелочность, причем 24 является самой щелочной:

.

pH=-log⁡10[HX+],\text{pH}=-\log_{10}\ce{[H+]},pH=-log10[HX+],

, где pH\text{pH}pH — значение pH\text{pH}pH в диапазоне от 111 до 141414, а [HX+]\ce{[H+]}[HX+] — концентрация ионов водорода.

Работа с экспонентами и логарифмами

Что такое экспонента?

Показатель степени числа говорит сколько раз до использовать число в умножении. В этом примере: 2 3 = 2 × 2 × 2 = 8 (2 используется 3 раза при умножении, чтобы получить 8)

Что такое логарифм?

Логарифм идет другим путем.

Задает вопрос «какой экспонент произвел это?»:

И отвечает на него так:

В этом примере:

• Показатель степени берет 2 и 3 и дает 8 (2, используется 3 раза при умножении, дает 8)
• Логарифм берет 2 и 8 и дает 3 (2 дает 8 при умножении 3 раз)

Логарифм говорит сколько одного числа нужно умножить, чтобы получить другое число

Таким образом, логарифм фактически дает показатель степени в качестве ответа :

.

(Также посмотрите, как связаны экспоненты, корни и логарифмы.)

Совместная работа

Экспоненты и логарифмы хорошо работают вместе, потому что они «отменяют» друг друга (при условии, что основание «а» одинаково):

Это «обратные функции»

 

Выполнив одно, затем другое, вы вернетесь к тому, с чего начали:

Выполнение a ^x , затем log _a снова дает вам x : Выполнение log _a , затем a ^x снова дает вам x :

 

Жалко пишут так по другому … это делает вещи странными. Таким образом, может помочь думать о ^x как о «верхнем» и регистрировать _как (x) как «нижнем»:

.

идет вверх, затем вниз, возвращает вас снова: вниз(вверх(x)) = x

идет вниз, затем вверх, возвращает вас снова: вверх(вниз(x)) = x

 

В любом случае, важно то, что:

Логарифмическая функция «отменяется» экспоненциальной функцией.

(и наоборот)

Как в этом примере:

Пример, что такое

x в логарифме ₃ (x) = 5

Начните с: log ₃ (x) = 5

Мы хотим «отменить» журнал ₃ , чтобы мы могли получить «x =»

Используйте экспоненциальную функцию (с обеих сторон): И мы это знаем, поэтому:x = 3 ⁵

Ответ: х = 243

А также:

Пример: вычислить y в

y=log ₄ (1/4)

Начните с:y = log ₄ (1/4)

Используйте экспоненциальную функцию с обеих сторон:

Упростить:4 ^y = 1/4

Теперь простой трюк: 1/4 = 4 ⁻¹

Итак:4 ^у = 4 ⁻¹

Итак: y = −1

Свойства логарифмов

Одна из сильных сторон логарифмов заключается в том, что они могут превратить умножение в сложение .

log _a ( m × n ) = log _a m + log _a n

«логарифм умножения равен сумме логов»

Почему это так? См.

сноску.

Используя это свойство и законы экспонент, мы получаем следующие полезные свойства:

log a (m × n) = log a m + log a n	журнал умножения представляет собой сумму журналов
бревно a (м/н) = log a m − log a n	лог деления разница логов
log a (1/n) = −log a n	это просто следует из предыдущего правила «деления», потому что log a (1) = 0
log a (m r ) = r (log a m)	логарифм m с показателем r равен r, умноженному на логарифм m

Помните: основание «а» всегда одинаково!

История: Логарифмы были очень полезны до изобретения калькуляторов. .. например, вместо умножения двух больших чисел, используя логарифмы, вы могли бы превратить это в сложение (гораздо проще!)

И в помощь были книги, полные таблиц логарифмов.

Давайте повеселимся, используя свойства:

Пример: Упростить

log _a ( (x ² +1) ⁴ √x )

Начните с: log _a ( (x ² +1) ⁴ √x )

Использовать log _a (mn) = log _a m + log _a n :log _a ( (x ² +1) ^{4 : 04} ) + log 90

Использовать log _a (m ^r ) = r (log _a m) : 4 log _a (x ² +1) + log

a ( √0034)

Также √x = x ^½ :4 log _a (x ² +1) + log _a ( x ^½ )

Используйте log _a (m ^r ) = r (log _a m ) снова: 4 log _a (x ² +1) + ½ log _{a x 3} 40

Это все, что мы можем упростить. .. мы ничего не можем сделать с журналом _a (x ² +1).

 

Ответ: 4 log _a (x ² +1) + ½ log _a (x)

Примечание: правила обработки журнала _a (m+n) или журнала _a (m−n)

отсутствуют.

 

Мы также можем применить правила логарифмирования «наоборот» для комбинирования логарифмов:

Пример: Превратите это в один логарифм:

log _a (5) + log _a (x) − log _a (2)

Начните с: log _a (5) + log _a (x) − log _a (2)

Использовать log _a (mn) = log _a m + log _a n :log _a (5x) − log _a (2)

Использовать log _a (m/n) = log _a m − log _a n : log _a (5x/2)

 

Ответ: журнал _a (5x/2)

Натуральный логарифм и натуральные показательные функции

Когда основание равно e («Число Эйлера» = 2. 718281828459 …) получаем:

• Натуральный логарифм log _e (x) , который чаще пишется как ln(x)
• Естественная экспоненциальная функция e ^x

И та же идея, что одно может «отменить» другое, по-прежнему верна:

ln(e ^х ) = х

e ^{(ln x)} = x

А вот их графики:

Натуральный логарифм		Естественная экспоненциальная функция
График f(x) = ln(x)		График f(x) = e x
Проходит через (1,0) и (e,1)		Проходит через (0,1) и (1,e)

Это одна и та же кривая с перевернутыми осями x и y .

Еще одна вещь, чтобы показать вам, что они являются обратными функциями.

На калькуляторе натуральный логарифм — это кнопка «ln».

По возможности всегда старайтесь использовать натуральные логарифмы и натуральную экспоненциальную функцию.

Десятичный логарифм

Когда база равна 10 , вы получаете:

• Десятичный логарифм log ₁₀ (x) , который иногда записывается как log(x)

Инженеры любят его использовать, но в математике он используется редко.

На калькуляторе десятичный логарифм — это кнопка «журнал». Это удобно, потому что говорит вам, насколько «большим» является десятичное число (сколько раз вам нужно использовать 10 при умножении).

Пример: Расчет журнала

₁₀ 100

Хорошо, 10 × 10 = 100, поэтому, когда 10 используется 2 раз при умножении, вы получаете 100:

журнал ₁₀ 100 = 2

Аналогично log ₁₀ 1000 = 3, log ₁₀ 10000 = 4 и так далее.

Пример: Расчет журнала

₁₀ 369

ОК, лучше всего использовать кнопку «журнал» моего калькулятора:

log ₁₀ 369 = 2,567…

Замена основания

Что делать, если мы хотим изменить основание логарифма?

Легко! Просто используйте эту формулу:

«х увеличивается, а уменьшается»

Или, по-другому, log _b a похоже на «коэффициент преобразования» (та же формула, что и выше):

Итак, теперь мы можем преобразовать любую базу в любую другую базу.

Другое полезное свойство:

Видите, как «x» и «a» меняются местами?

Пример: вычислить 1 / log

₈ 2

1 / журнал ₈ 2 = журнал ₂ 8

И 2 × 2 × 2 = 8, поэтому, если 2 используется 3 раз при умножении, вы получите 8:

1 / журнал ₈ 2 = журнал ₂ 8 = 3

 

Но мы чаще пользуемся натуральным логарифмом, так что это стоит запомнить:

 

Пример: Расчет журнала

₄ 22

В моем калькуляторе нет кнопки « log 4 «. .. … но у него есть кнопка « ln «, поэтому мы можем использовать ее:

журнал ₄ 22 = пер. 22 / пер. 4

= 3,09…/1,39…

= 2,23 (до 2 знаков после запятой)

 

Что означает этот ответ? Это означает, что 4 с показателем степени 2,23 равно 22. Таким образом, мы можем проверить этот ответ:

.

Чек: 4 ^2,23 = 22,01 (достаточно близко!)

Вот еще пример:

Пример: Расчет журнала

₅ 125

журнал ₅ 125 = пер. 125 / пер. 5

= 4.83…/1,61…

=3 (точно)

 

Я случайно узнал, что 5 × 5 × 5 = 125 (5 используется 3 раз, чтобы получить 125), поэтому я ожидал ответа 3 , и это сработало!

Использование в реальном мире

Вот несколько примеров использования логарифмов в реальном мире:

Землетрясения

Магнитуда землетрясения имеет логарифмическую шкалу.

В знаменитой «шкале Рихтера» используется следующая формула:

.

М = журнал ₁₀ А + В

Где A — амплитуда (в мм), измеренная сейсмографом
, а B — поправочный коэффициент расстояния

В настоящее время есть более сложные формулы, но они все еще используют логарифмическую шкалу.

Звук

Громкость измеряется в децибелах (дБ для краткости):

Громкость в дБ = 10 log ₁₀ (p × 10 ¹² )

, где p — звуковое давление.

Кислотный или щелочной

Кислотность (или щелочность) измеряется в pH:

pH = -log ₁₀ [H ⁺ ]

, где H ⁺ — молярная концентрация растворенных ионов водорода.
Примечание: в химии [ ] означает молярную концентрацию (моль на литр).

Дополнительные примеры

Пример: решить 2 log

₈ x = log ₈ 16

Начните с: 2 log ₈ x = log ₈ 16

Внесите в журнал цифру «2»: log ₈ x ² = log ₈ 16

Удалите бревна (они одной базы): x ² = 16

Решить:x = −4 или +4

Но. .. но… но… у вас не может быть лог отрицательного числа!

Таким образом, случай −4 не определен.

Ответ: 4

Проверьте: воспользуйтесь калькулятором, чтобы узнать, правильный ли это ответ… также попробуйте вариант «−4».

Пример: Решите e

^−w = e ^2w+6

Начните с:e ^−w = e ^2w+6

Нанесите ln на обе стороны: ln(e ^−w ) = ln(e ^2w+6 )

И ln(e ^w )=w : −w = 2w+6

Упростить: −3w = 6

Решите: w = 6/−3 = −2

Ответ: w = −2

Проверить: e ⁻⁽⁻²⁾ = e ² и e ^2(−2)+6 =e ²

 

Сноска: почему

log(m × n) = log(m) + log(n) ?

Чтобы увидеть , почему , мы будем использовать и:

Сначала преобразуйте m и n в «показатели логарифмов»:
	Затем используйте один из законов экспоненты Наконец, отменить экспоненты.

Это одна из тех умных вещей, которые мы делаем в математике, которую можно описать как «мы не можем сделать это здесь, поэтому давайте пройдемся по там , затем сделаем это, затем вернемся»

 

БиоМатематика: Логарифмические функции

В этом разделе мы научимся решать уравнения, содержащие показательную или логарифмическая функция. Мы начнем с рассмотрения двух простых уравнений:

(1) 5 e ^x = 11,

(2) логарифм (2 х ) = 3.

Чтобы решить (1) и (2), нам нужно найти значение (я) x , для которых уравнения истинное утверждение. Важно понимать, что (1) и (2) НЕ верны для всех значения x . Начнем с уравнения (1).

Решение уравнения 1:

5 e ^x = 11

Как и при решении любого другого уравнения, наша цель — выделить член, включающий x . Здесь мы начинаем с деления обеих частей уравнения на 5

.

Теперь, когда член e ^x находится сам по себе на одной стороне, мы должны «отменить» экспоненциальную чтобы освободить x . Поскольку наша экспонента имеет основание e , мы берем логарифм по основанию e обе стороны (т.е. натуральный логарифм обеих сторон),

Таким образом, решение уравнения (1) равно

Решение уравнения 2:

log (2 x ) = 3

В этом уравнении член, включающий x , уже изолирован в одной части уравнения.Поэтому мы начнем с «отмены» логарифмической функции по основанию 10 путем возведения в степень обоих стороны уравнения с основанием 10,

10 ^{журнал (2 x )} = 2 x = 10 ³ = 1000.

Следовательно, мы находим решение уравнения (2) равным

Сейчас попробуем решить еще несколько сложных уравнений.

Хотя эти уравнения могут показаться более сложными, наша цель остается прежней: найдите значение (я) x , которое делает утверждения уравнений верными.

Решение экспоненциальных уравнений с основанием, которого нет в вашем калькуляторе

Решение уравнения 3 :

6 · 2 ^{9+ x} = 30

Начнем с выделения термина, включающего x ,

Чтобы найти x , мы должны отменить экспоненту. Несмотря на то, что экспонента по основанию 2, мы будем использовать десятичный логарифм, так как его будет легче получить примерный ответ на нашем калькуляторе,

Используя свойства логарифмов, мы упрощаем приведенное выше уравнение как,

(9 + х ) логарифм (2) = логарифм (5).

Решение x дает,

Вы всегда можете проверить свой ответ, подставив точный ответ, который вы нашли обратно в исходное уравнение.

Решение уравнения 4:

3 log ₆ (4 + 3 x ) − 2 = 6

Начнем с выделения термина, включающего x ,

Чтобы найти x , нам нужно освободить x из логарифма по основанию 6.Для этого возводим обе части в степень с основанием 6,

.

Решение для x у нас есть,

Решение уравнений с экспонентами с разными основаниями

Решение уравнения 5:

3 ^{7−2 x} = 4 ^{3+ x}

В этом уравнении экспоненты имеют разные основания. Мы возьмем обычный (по основанию 10) логарифм обеих сторон, чтобы отменить эти экспоненты, и использовать свойства логарифмов,

Перенос терминов размером x в одну сторону и всех остальных терминов в другую,

Факторизация выходов x ,

Теперь мы можем решить уравнение

Решение уравнений с кратными логарифмами

Решение уравнения 6:

2 log ₃ (2x) = log ₃ (4) + log ₃ (3 + 2x)

В этом уравнении следует обратить внимание на две вещи: обе части имеют логарифмы, и одна сторона имеет несколько логарифмов.При работе с несколькими логарифмами на одна сторона, проще всего объединить их в один логарифм, используя в свойства логарифмов. Однако при этом вам необходимо проверить свои решения. когда вы закончите решать проблему, потому что объединение логарифмов может привести к посторонним решениям.

Начнем с упрощения обеих сторон, используя свойства логарифмы,

Возведение в степень обеих сторон с основанием 3 дает,

Чтобы найти x , мы должны решить квадратное уравнение,

4 х ² — 8 х — 12 = 0.

Используя квадратичную формулу, решения даются как,

Таким образом, мы находим решения равными x = 3 и x = −1. Поскольку мы объединили логарифмы, мы должны проверить эти решения в исходном уравнении. Проверка
х = 3 дает,

2 log ₃ (2 · 3) = 2 log ₃ (6) ≈ 3. 26,

слева и

log ₃ (4) + log ₃ (3 + 2 · 3) = log ₃ (4) + log ₃ (9) ≈ 3,26,

с правой стороны. Эти решения проверяют.

Однако решение x = −1 не проверяет. Если мы попытаемся подставить
x = −1 в исходное уравнение, мы бы,

2 лог. ₃ (2 · −1),

с левой стороны.Конечно, логарифм отрицательного числа не определен. на вещественной прямой, и мы заключаем, что x = −1 является посторонним решением.

Следовательно, мы заключаем, что решение уравнения (6) равно x = 3,

.

 

*****

Теперь попробуйте решить некоторые практические задачи с использованием логарифмов и решением логарифмических уравнений.

Проблемы

 

Формула логарифма: объяснение, формула, примеры решений и важные часто задаваемые вопросы{3} = 1000\], затем \[3 = \log_{10}{1000}\]. Логарифмы с основанием 10 обычно известны как обычные или бриггсовские логарифмы и просто записываются как log n. В этой статье мы обсудим, что такое логарифм, формулы логарифмов, основные формулы логарифмов, правило изменения основания, правила и формулы логарифмов, для чего используется логарифм и т. д. полезны при расширении логарифмов, сокращении логарифмов и решении логарифмических уравнений.Семь правил логарифмирования обсуждаются ниже:

1. Правило произведения

\[\log_{b}{(P \times Q)} = \log_{b}{P} + \log_{b}{Q} \]

Логарифм произведения равен сумме логарифмов факторов.

2. Частное правило

\[\log_{b}{(\frac{P}{Q})} = \log_{b}{P}  —  \log_{b}{Q}\]

Логарифм отношения двух чисел – это разница между логарифмом числителя и знаменателя. {Q})} = q \times  \log_{b}{P} \]

Приведенное выше свойство правила произведения гласит, что Логарифм положительного числа p в степени q эквивалентен произведению q и log числа p.{\log_{b}{y}}\] = \[y\]

Приведенное выше правило гласит, что возведение логарифма числа в основание логарифма равно числу.

7. Правило тождества

\[\log_{y}{y} = 1 \]

Аргумент логарифма (в скобках) подобен основанию. Поскольку основание равно аргументу, y может быть больше 0, но не может быть равен 0.

 

Формулы логарифмирования

Ниже приведены некоторые из различных формул логарифмирования, которые помогают решать уравнения логарифмирования.{n})} \]

 

Сложение и вычитание

 

Изменение базовой формулы

.

\[\log_{n}{m} = \frac{\log_{d}{m}}{\log_{d}{n}}\]

 

Решенные примеры

1. Решить Далее:  \[2 \log_{4}{29} \]

Решение:

Дано,

 \[2 \log_{4}{29} \]

Используя замену базовой формулы n, мы получаем

\[\log_{b}{x} = \frac{\log_{d}{m}}{\log_{10}{4}}\]

\[2 \log_{4}{29} = \frac{\log_{10}{29}}{\log_{10}{4}}\]

\[2 \log_{4}{29} = 2 \times 2.{4}\] = 10000, поэтому \[\log_{10}{10000} = 4\].

Мы можем представить логарифм произведения как сумму логарифмов, логарифм частного как разность логарифмов и логарифм мощности как произведение, используя эти функции.

Вещественное число Логарифмы видны только в положительных действительных числах; отрицательные и комплексные числа имеют комплексные логарифмы.

 

Применение логарифмов

Логарифмы имеют широкий спектр применений как в математике, так и за ее пределами.Давайте рассмотрим несколько примеров того, как логарифмы используются в повседневной жизни:

Они используются для расчета магнитуды землетрясения.

Логарифмы используются для расчета уровня шума в децибелах, например звука колокола.

Логарифмы используются в химии для определения кислотности или уровня pH.

Они используются для расчета прироста денег при заданной процентной ставке.

Логарифмы обычно используются для расчета времени, необходимого для распада или экспоненциального развития чего-либо, например роста бактерий или радиоактивного распада.

Их также можно использовать в вычислениях, требующих преобразования умножения в сложение или наоборот.

Вместо простого вычисления мы можем использовать таблицу логарифмов, чтобы получить логарифм целого числа. Прежде чем вычислять логарифм числа, мы должны сначала понять его характеристическую и мантиссу части.

Характеристическая часть — Характеристический компонент — это целая часть числа. Любое число больше единицы имеет положительную характеристику, а если оно на единицу меньше, чем количество цифр слева от десятичной точки в данном целом числе, оно имеет отрицательную характеристику. Если число меньше единицы, характеристика отрицательна, и число на единицу больше числа нулей справа от запятой.

Часть мантиссы. Часть мантиссы представляет собой десятичную часть логарифмического числа, которая всегда должна быть положительной. Если часть мантиссы имеет отрицательное значение, превратите ее в положительное значение.

 

Как использовать таблицу журнала?

Ниже показан процесс определения значения журнала числа с помощью таблицы журнала.Во-первых, вы должны понять, как использовать таблицу журнала. Таблица журнала предоставляется как ресурс для определения значений.

Шаг 1: Поймите идею логарифма. Каждая таблица журнала может использоваться только на определенной основе. Логарифмическая база 10 — наиболее часто используемая форма таблицы логарифмов.

Шаг 2: Определите часть характеристики и мантиссы числа. Чтобы получить значение \[\log_{10}{(15.27)}\], например, сначала разделите характеристики и части мантиссы.

Часть характеристики = 15

Часть мантиссы = 27

Шаг 3: Используйте общую таблицу журнала.Теперь используйте строку 15, чтобы проверить столбец 2 и записать соответствующее значение. В результате получается 1818.

Шаг 4: Вычислите среднюю разницу, используя таблицу логарифмов. Проведите пальцем по столбцу средней разницы 7 и строке 15 и запишите соответствующее значение как 20.

Шаг 5: Объедините значения, полученные на шагах 3 и 4. Это равно 1818 + 20 = 1838. В результате значение 1838 представляет часть мантиссы.

Шаг 6. Найдите отличительный признак. Поскольку это число находится в диапазоне от 10 до 100 (от 101 до 102), отличительным признаком должен быть номер 1.

Шаг 7: Наконец, объединив часть характеристики и мантиссы, получим 1,1838.

Пример

Вот пример использования таблицы логарифмов для получения значения логарифмической функции.

Определите значение \[\log_{10}{2,872}\].

Решение:

Шаг 1. Компонент характеристики равен 2, а часть мантиссы равна 872.

Шаг 2. Изучите строки 28 и 7 таблицы. В итоге получается значение 4579.

Шаг 3: Изучите значение средней разницы для строки 28 и среднюю разницу в столбце 2. Значение, связанное со строкой и столбцом, равно 3.

Шаг 4: Сложив числа из шагов 2 и 3, мы получим 4582. Это раздел мантиссы.

Шаг 5: Поскольку количество цифр слева от десятичной части равно единице, характеристическая часть меньше единицы. В результате характеристическая часть будет равна 0

. Шаг 6: Наконец, соедините характеристическую часть и часть мантиссы.В результате получается 0,4582.

В результате log 2,872 = 0,4582

 

Время викторины

1. Какое из следующих утверждений неверно?

1. \[\log_{7}{7}\] = 1

2. \[\log ( 4 + 3) = \log {( 4 \times 3)} \]

3. \[ \log_{10}{1} = 0 \]

4. \[\log ( 4 + 5 + 6) = \log{4} + \log{5} + \log{6} \]

2. Каково значение \[\frac{\log{\sqrt{8}}}{\log{8}}\]?

1. \[\frac{1}{\sqrt{8}}\]

2. \[\frac{1}{4}\]

3. \[\frac{1}{2 }\]

4. \[\frac{1}{8}\]

Упрощение логарифмов — Математика средней школы

Если вы считаете, что контент, доступный с помощью Веб-сайта (как это определено в наших Условиях обслуживания), нарушает одно или более ваших авторских прав, пожалуйста, сообщите нам, предоставив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному агенту, указанному ниже.Если университетские наставники примут меры в ответ на ан Уведомление о нарушении, он предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, предоставившей такой контент средства самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении может быть направлено стороне, предоставившей контент, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатов), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или деятельность нарушают ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что содержимое находится на Веб-сайте или на который ссылается Веб-сайт, нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к адвокату.

Чтобы подать уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись владельца авторских прав или лица, уполномоченного действовать от его имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробно, чтобы преподаватели университета могли найти и точно идентифицировать этот контент; например, мы требуем а ссылку на конкретный вопрос (а не только название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Заявление от вас: (а) что вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, как вы утверждаете, нарушает ваши авторские права не разрешены законом или владельцем авторских прав или его агентом; б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство вы либо владельцем авторских прав, либо лицом, уполномоченным действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему назначенному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
Сент-Луис, Миссури 63105

Или заполните форму ниже:

 

.