1. Арифметическая и геометрическая прогрессии

Для \(14\) задания необходимо знать теорию арифметической и геометрической прогрессий.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, к которому прибавляется одно и то же число.

an+1=an+d, где an+1  — последующий член, an — предыдущий член и d — разность арифметической прогрессии.

 

Формула для нахождения разности: d=an+1−an.

 

Для арифметической прогрессии, где известен первый член a1 и разность d, её \(n\)-й член может быть найден по формуле:

 

an=a1+n −1⋅d.

 

Свойство арифметической прогрессии: каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

 

an=an−1+an+12.

 

Сумма первых членов арифметической прогрессии равна произведению полусуммы крайних слагаемых на число слагаемых:

 

Sn=a1+an2⋅n.

 

И вторая формула для вычисления суммы: Sn=2a1+d⋅n−12⋅n.

 

Более подробно можно познакомиться с темой здесь.

Геометрическая прогрессия

Геометрическая прогрессия — это последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

bn+1=bn⋅q, где bn+1 — последующий член, bn — предыдущий член и q — знаменатель геометрической прогрессии.

 

Формула для нахождения знаменателя: q=bn+1bn.

 

Для геометрической прогрессии, где дан первый член b1 и знаменатель q, её \(n\)-й член может быть найден по формуле:

 

bn=b1⋅qn−1.

 

Свойство геометрической прогрессии: каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому предшествующего и последующего членов.

 

bn2=bn−1⋅bn+1.

 

Сумму первых членов геометрической прогрессии со знаменателем, не равным нулю, можно найти по формуле:

 

Sn=b1⋅qn−1q−1, где q≠1.

 

Также можно найти сумму по формуле: Sn=bnq−b1q−1.

 

Более подробно можно познакомиться с темой здесь.

Прогрессии

Прогрессии – это определенные последовательности числе, которые получаются по определенному правилу. Сам термин «прогрессия» на сегодняшний день несколько устарел, поэтому встречается, в основном, в словосочетании «геометрическая прогрессия» и «арифметическая прогрессия». Рассмотрим подробнее каждую из них.

Арифметическая прогрессия является последовательностью чисел, где каждый следующий член образовывается в результате прибавления к нему одного и того же числа. Это числа называется равностью арифметической прогрессии. Равность арифметической прогрессии может быть, как положительной, так и отрицательной.

Геометрическая прогрессия является последовательностью чисел, где каждый следующий член умножается на определенное постоянное число. это число называется знаменателем данной прогрессии.

Однако, помимо арифметической и геометрической, существуют еще и другие виды прогрессий. Если величины, обратные числам прогрессии, образовывают арифметическую прогрессию, то она называется гармонической прогрессией.

Как правило, в арифметической прогрессии разности между членами постоянны. Если же данные разности не постоянны, а постоянство наблюдается у разности разностей, то такую прогрессию называют арифметической прогрессией второго порядка.

Прогрессии

Арифметическая прогрессия

Формула n-го члена

Сумма n первых членов

S     n   = a   1 + a   n   n = 2a   1 + d(n — 1)   n 2 2

Свойства

a   1 + a   n = a   2 + a   n — 1 = . .. = a   k + 1 + a   n — k

a     n   = a   n — 1 + a   n + 1 2

Если d > 0, то прогрессия возрастающая

Если d

Геометрическая прогрессия

Формула n-го члена

Сумма n первых членов

S     n   = b   n q — b   1   = b     1 1 — q n   q — 1 1 — q

Свойства

b   1 * b   n = b   2 * b   n — 1 = . .. = b   k + 1 * b   n — k

|b   n | = √ b   n — 1 b   n + 1

Если q > 1, то прогрессия возрастающая

Если 0

Если q

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (0

Задачи на арифметические прогрессии — задачи с решениями

Задача 1

Какая разность арифметической прогрессии 10, 5, 0, -5?

Задача 2

Образуют ли числа 2, 6, 10, 12, 16 … арифметическую прогрессию?
Ответьте да или нет.

Задача 3

Найдите сумму первых 10 натуральных чисел.

Задача 4 передается от Таз

Сумма 5 последовательных чисел равна 100.

Найдите первое число.

Задача 5

Пусть [tex]{a_n}[/tex] есть арифметической прогрессией . Если [tex]a_1=4[/tex] и [tex]a_2=7[/tex], найдите [tex]a_{11}[/tex]

Задача 6

Пусть [tex]{a_n}[/tex] есть арифметической прогрессией, для которой [tex]d=12[/tex] и [tex]a_3=43[/tex]. Найдите [tex]a_1[/tex]

Задача 7

Пусть [tex]a_n[/tex] есть арифметической прогрессией. Если [tex]a_1=15[/tex] и [tex]a_2=8[/tex], определите [tex]a_{19}[/tex].

Задача 8

Пусть [tex]{a_n}[/tex] есть арифметической прогрессией, для которой [tex]a_1=1[/tex] и [tex]d=1[/tex]. Найдите [tex]a_{1083}[/tex]

Задача 9

Пусть [tex]{a_n}[/tex] есть арифметическая прогрессия, для которой [tex]a_2=5[/tex] и [tex]a_1=-11[/tex]. Найдите разность прогрессии [tex]d[/tex].

Задача 10

Найдите разность арифметической прогрессии [tex]{a_n}[/tex], если [tex]a_5=18[/tex] и [tex]a_2=9[/tex]

Задача 11

Пусть [tex]{a_n}[/tex] будет арифметической прогрессией, для которой [tex]a_3=13[/tex] и [tex]a_{11}=25[/tex]. Найдите [tex]a_7[/tex]

Задача 12

Пусть [tex]{a_n}[/tex] будет арифметической прогрессией, для которой [tex]a_1=15[/tex] и [tex]d=3[/tex]. Найдите сумму первых десяти членов.

Задача 13

Какой знаменатель геометрической прогрессии 3, -6, 12, -24, 48…?

Задача 14

Пусть [tex]{a_n}[/tex] есть арифметической прогрессией. Если [tex]a_1=7[/tex] и [tex]d=4[/tex], определите сумму первых 6 элементов с чётными индексами.

Аналитика. «Газпром нефть» и СПбГУ объявили лауреатов премии «Математическая прогрессия»

15.12.21 11:55

«Газпром нефть» и Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ) объявили лауреатов премии программы поддержки математически одаренной молодежи «Математическая прогрессия». Почетной наградой отмечены достижения 94 студентов и аспирантов.

Среди лауреатов этого года — победители Международной математической олимпиады, финалисты и призеры Google Hash Code, VK Cup и других авторитетных соревнований по программированию. Лауреатов программы ежегодно определяют ученые СПбГУ и Российской академии наук. Председателем экспертной комиссии является глава математической лаборатории имени П.Л. Чебышёва, научный руководитель факультета математики и компьютерных наук СПбГУ, обладатель медали Филдса Станислав Смирнов.

 

С момента основания «Математической прогрессии» было выделено 700 стипендий, более 30 аспирантов и постдоков получили целевое финансирование исследований, почти сто молодых ученых прошли международные стажировки. В 2021 году лауреат программы магистрант Никита Карогодин занял второе место в студенческой номинации престижного математического конкурса Августа Мёбиуса. Также в числе лауреатов — команда победителей Международной студенческой математической олимпиады.

 

«Математическая прогрессия» — часть программы социальных инвестиций «Родные города», которую «Газпром нефть» развивает в Санкт-Петербурге с 2013 года. Компания инвестирует в развитие математической науки и образования, не только поддерживая фундаментальную математику, но и решая прикладные технологические задачи.

 

«Математическая прогрессия» стала нашим самым успешным проектом в области поддержки науки и образования. С одной стороны, мы даем возможность старшеклассникам со всей России продолжить математическое образование. Лучшим студентам предоставляем именные стипендии, молодым ученым — гранты на поездки, а научным коллективам — ресурсы для исследований. С другой стороны, математики университета вместе с инженерами ’’Газпром нефти’’ работают над созданием цифровых моделей и использованием искусственного интеллекта в аналитике. Мы применяем математические модели при автоматизации производства, для управления морской арктической логистикой, а также при анализе данных геологоразведки», — прокомментировал Александр Дыбаль член правления «Газпром нефти».

 

«Мы очень благодарны компании ’’Газпром нефть’’ и ’’Родным городам’’ за поддержку. Она помогла нам вывести математическое образование в СПбГУ на новый уровень и привлечь много хороших студентов со всей страны. Символично, что мы собрались в конце 2021 года, который был объявлен в России Годом науки и технологий, и в канун объявленного ООН всемирного Года фундаментальной науки, в который в Петербурге пройдёт Международный конгресс математиков — один из старейших и важнейших научных конгрессов. Наука, и особенно математика, сейчас значимы как никогда», — сообщил Станислав Смирнов научный руководитель лаборатории им. П.Л. Чебышёва и факультета математики и компьютерных наук СПбГУ, профессор университета Женевы, посол программы «Родные города».

 

Читайте также:

Студенты и молодые ученые получили поддержку «Газпром нефти» за достижения в математике

«Газпром нефть» и Санкт-Петербургский государственный университет (СПбГУ) объявили лауреатов премии программы поддержки математически одаренной молодежи «Математическая прогрессия». Почетной наградой отмечены достижения 94 студентов и аспирантов.

Среди лауреатов этого года — победители Международной математической олимпиады, финалисты и призеры Google Hash Code, VK Cup и других авторитетных соревнований по программированию. Лауреатов программы ежегодно определяют ученые СПбГУ и Российской академии наук. Председателем экспертной комиссии является глава математической лаборатории имени П.Л. Чебышёва, научный руководитель факультета математики и компьютерных наук СПбГУ, обладатель медали Филдса Станислав Смирнов.

С момента основания «Математической прогрессии» было выделено 700 стипендий, более 30 аспирантов и постдоков получили целевое финансирование исследований, почти сто молодых ученых прошли международные стажировки. В 2021 году лауреат программы магистрант Никита Карогодин занял второе место в студенческой номинации престижного математического конкурса Августа Мёбиуса. Также в числе лауреатов — команда победителей Международной студенческой математической олимпиады.

«Математическая прогрессия» — часть программы социальных инвестиций «Родные города», которую «Газпром нефть» развивает в Санкт-Петербурге с 2013 года. Компания инвестирует в развитие математической науки и образования, не только поддерживая фундаментальную математику, но и решая прикладные технологические задачи.

«Математическая прогрессия» стала нашим самым успешным проектом в области поддержки науки и образования. С одной стороны, мы даем возможность старшеклассникам со всей России продолжить математическое образование. Лучшим студентам предоставляем именные стипендии, молодым ученым — гранты на поездки, а научным коллективам — ресурсы для исследований. С другой стороны, математики университета вместе с инженерами ’’Газпром нефти’’ работают над созданием цифровых моделей и использованием искусственного интеллекта в аналитике. Мы применяем математические модели при автоматизации производства, для управления морской арктической логистикой, а также при анализе данных геологоразведки».

Александр Дыбаль член правления «Газпром нефти»

«Мы очень благодарны компании ’’Газпром нефть’’ и ’’Родным городам’’ за поддержку. Она помогла нам вывести математическое образование в СПбГУ на новый уровень и привлечь много хороших студентов со всей страны. Символично, что мы собрались в конце 2021 года, который был объявлен в России Годом науки и технологий, и в канун объявленного ООН всемирного Года фундаментальной науки, в который в Петербурге пройдёт Международный конгресс математиков — один из старейших и важнейших научных конгрессов. Наука, и особенно математика, сейчас значимы как никогда».

Станислав Смирнов научный руководитель лаборатории им. П.Л. Чебышёва и факультета математики и компьютерных наук СПбГУ, профессор университета Женевы, посол программы «Родные города»

Справка

«Родные города» — программа социальных инвестиций «Газпром нефти», реализуемая с 2012 года. Направлена на повышение качества жизни в регионах деятельности компании в России и за рубежом через поддержку инициатив местных сообществ и собственные проекты в области культуры, образования, спорта и развития креативных индустрий. Программа ведет ряд долгосрочных экологических проектов.

Лаборатория им. П.Л. Чебышёва СПбГУ создана в 2010 году в рамках программы Правительства РФ с целью развития фундаментальных математических исследований и поддержки молодых ученых. За 11 лет командой лаборатории проведено более 2500 научных курсов, лекций, семинаров и конференций, организованы научные визиты более 270 ученых мирового уровня. В 2019 году на базе лаборатории при поддержке «Газпром нефти» был создан факультет математики и компьютерных наук СПбГУ. Направления обучения — бакалавриат и магистратура по направлению «Современная математика», в 2021 года открыта аспирантура.

Премия Филдса — самая престижная международная математическая награда, «нобелевская премия» в математике. Премия и медаль вручаются раз в четыре года на Международном математическом конгрессе молодым ученым не старше 40 лет.

Открытая Математика. Функции и Графики.

Геометрическая прогрессия

Числовую последовательность {b_n}, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число q ≠ 0, называют геометрической прогрессией:

b_{n + 1} = b_n · q.

Важно отметить, что число q, которое называется знаменателем прогрессии, отлично от нуля. Так как bn-1=bnq,   то bn+1bn-1=bn2.  Верна и обратная теорема.

Последовательность {b_n} является геометрической тогда и только тогда, когда для любого n > 1 выполняется соотношение bn2=bn+1 bn-1, где bn≠0 при всех n. Тем не менее, важно понимать, что формула bn=bn+1bn-1 справедлива только для геометрической прогрессии с положительными членами, а предыдущее соотношение верно для произвольной геометрической прогрессии.

Каждый член геометрической прогрессии {b_n} определяется формулой b_n = b₁ · q^{n – 1}.

Докажем это пользуясь методом математической индукции. Легко убедиться, что при n = 1 данная формула верна. Пусть эта формула верна для n = k. Докажем ее справедливость для n = k + 1. Имеем b_{k + 1} = b_k · q = b₁ · q^{k – 1} · q = b₁ · q^k. Теорема доказана.

Банковский счет

Сумма n первых членов геометрической прогрессии {b_n} равна Sn=b1qn-1q-1 при q ≠ 1 и S_n = n · b₁ при q = 1.

Эти формулы также доказываются методом математической индукции. Докажите их самостоятельно.

При |q| < 1 limn→∞bn=0, поэтому в этом случае геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число S=limn→∞Sn, где S_n – сумма n первых членов геометрической прогрессии.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (|q| < 1) равна S=b11-q.

Для доказательства достаточно заметить, что S=limn→∞Sn=limn→∞b1qn-1q-1=b1q-1limn→∞qn-1=b11-q. В предпоследнем переходе использовались свойства пределов последовательностей.

Ахиллес и черепаха

ПРОГРЕССИИ – Репетитор по математике

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2014-02-13

13 Фев 2014

ПРОГРЕССИИТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Геометрическая прогрессия. Часть 2

Мы дали определение геометрической прогрессии, вывели основные формулы и решили несколько базовых задач здесь. В этой статье мы рассмотрим более сложные задачи на геометрическую прогрессию. Далее

Инна | Отзывов нет

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2014-02-12

12 Фев 2014

ПРОГРЕССИИТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Геометрическая прогрессия. Часть 1

Геометрическая прогрессия — это еще один частный случай числовых последовательностей.

Геометрической  прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.  Далее

Инна | Отзывов (2)

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2014-02-09

09 Фев 2014

ПРОГРЕССИИТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Арифметическая прогрессия. Часть 2

Мы дали определение арифметической прогрессии,  вывели основные формулы и решили несколько базовых задач здесь. В этой статье мы рассмотрим основные типы задач на арифметическую прогрессию. Далее

Инна | Отзывов (11)

Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим. 2014-02-08

08 Фев 2014

ПРОГРЕССИИТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ

Арифметическая прогрессия. Часть 1

Прежде чем мы начнем решать задачи на арифметическую прогрессию, рассмотрим, что такое числовая последовательность, поскольку арифметическая прогрессия — это частный случай числовой последовательности.

Числовая последовательность — это числовое множество, каждый элемент которого имеет свой порядковый номер. Элементы этого множества называются членами последовательности.  Порядковый номер элемента последовательности обозначается индексом: Далее

Инна | Отзывов (20)

Университет Аризоны — Институт математики и образования

Финансируется Фондом Брукхилла

Стандартные государственные стандарты по математике были основаны на прогрессии: повествовательные документы, описывающие развитие темы на разных уровнях обучения на основе исследований детских когнитивное развитие и логическая структура математики. Эти документы были соединены вместе, а затем нарезаны на стандарты уровня обучения.С этого момента работа была сосредоточена на уточнении и пересмотре оценки. стандарты уровня. Ранние проекты прогрессивных документов больше не соответствуют текущему состоянию стандартов.

Важно производить актуальные версии прогрессий. документы. Они могут объяснить, почему стандарты построены так, как они есть, указать на когнитивные трудности и педагогические решения, а также дать больше подробно об особо сложных областях математики.Это было бы полезно в подготовка и повышение квалификации учителей, организация учебных программ, и написание учебников. Документы о прогрессе также обеспечивают передачу механизм между исследованиями и стандартами математического образования. Изучение прогресса обучения дает знания, которые можно передается через прогрессивный документ в редакцию стандартов процесс; вопросы и требования по написанию стандартов могут быть переданы обратно в исследовательские вопросы.

Этот проект занимается организацией написания финальных версий прогрессий. документы по Единым основным государственным стандартам K – 12. Работа будут выполняться членами первоначальной рабочей группы по прогрессу и также математиками и педагогами, не имеющими отношения к первоначальное письмо.

• Ричард Аски (рецензент)
• Сибилла Бекманн (писатель)
• Дуглас Клементс (писатель)
• Фил Даро (сопредседатель)
• Skip Fennell (рецензент)
• Брэд Финделл (писатель)
• Карен Фусон (писатель)
• Роджер Хоу (писатель)
• Кэти Кессель (редактор)
• Уильям МакКаллум (председатель)
• Берни Мэдисон (писатель)
• Дик Шеффер (писатель)
• Дениз Спэнглер (рецензент)
• Hung-Hsi Wu (писатель)
• Джейсон Зимба (сопредседатель)

Арифметические прогрессии | Блестящая вики по математике и науке

Важная терминология

• Начальный член: В арифметической прогрессии первое число в ряду называется «начальным членом». «
• Общее различие: Значение, на которое увеличиваются или уменьшаются следующие друг за другом члены, называется «общей разницей».

Рекурсивная формула

Мы можем описать арифметическую последовательность с помощью рекурсивной формулы, которая определяет, как каждый член соотносится с предыдущим. Поскольку в арифметической последовательности каждый член задается предыдущим термином с добавленной общей разницей, мы можем написать рекурсивное описание следующим образом:

Срок = Предыдущий срок + Общая разница.\ text {Срок} = \ text {Предыдущий термин} + \ text {Общая разница.} Срок = Предыдущий термин + Общая разница.

Короче, с общей разницей ddd, имеем:

an = an − 1 + d.a_n = a_ {n-1} + d.an = an − 1 + d.

Явная формула

Хотя приведенная выше рекурсивная формула позволяет нам описать отношения между членами последовательности, часто бывает полезно иметь возможность написать явное описание терминов в последовательности, которое позволило бы нам найти любой термин.

Если мы знаем начальный термин, следующие термины связаны с ним путем повторного добавления общей разницы. Таким образом, явная формула

Срок = Начальный срок + Общая разница × Количество шагов от начального срока. \ text {Срок} = \ text {Начальный термин} + \ text {Общая разница} \ times \ text {Число шагов от начального срока}. Срок = Начальный срок + Общая разница × Количество шагов от начального срока.

Мы можем записать это с общей разницей ddd как:

an = a1 + d (n — 1).a_n = a_1 + d (n-1) .an = a1 + d (n-1).

Какая последовательность описывается выражением an = 2 + 4 (n − 1) a_n = 2 + 4 (n-1) an = 2 + 4 (n − 1)?

Показать ответ

Последовательность: 2,6,10,14,… 2, 6, 10, 14, \ dots2,6,10,14,….

Из явной формулы видно, что начальный член равен 2, а общая разница равна 4.

Какова явная формула арифметической прогрессии 3,6,9,12,… 3, 6, 9, 12, \ dots3,6,9,12,…?

Показать ответ

Используя приведенную выше форму, у нас есть начальный член, a1 = 3a_1 = 3a1 = 3, и общая разница, ddd, равная 3. Таким образом, an = 3 + 3 (n − 1) a_n = 3 + 3 (n-1) an = 3 + 3 (n − 1).

Обратите внимание, что мы можем упростить это выражение до an = 3 + 3n − 3 = 3na_n = 3 + 3n-3 = 3nan = 3 + 3n − 3 = 3n.

Отправьте свой ответ

Какой седьмой член арифметической прогрессии 2,7,12,17,… 2, 7, 12, 17, \ dots2,7,12,17,…?

5-й5 ^ \ text {th} 5-й 6-й6 ^ \ text {th} 6-й Он никогда не получал нулевых оценок Ни один из вышеперечисленных

Ариан получил −10-10−10 баллов на своем первом экзамене и 151515 баллов на 15-м 25 ^ {\ text {th}} 15-м экзамене.

Если все его оценки соответствуют арифметической прогрессии с положительной общей разницей, на каком экзамене он получил нулевые оценки?

Арифметическая прогрессия — обзор

3.2 Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность, которая начинается с числа a и затем увеличивается с фиксированным шагом d : a , a + d , a + 2 d ,….Пусть s _n обозначает сумму первых n членов, так что

sn = a + a + d + a + 2d +… + a + n − 1d.

Мы хотим найти простое выражение для s _n .

Мы можем сделать это, записав s _n в его естественном порядке, а затем с членами в обратном порядке.

sn = a + a + d + (a + 2d) +… + (a + (n − 1) d), sn = (a + n − 1d) + (a + (n − 2) d) + (a + ( п — 3) г) +… + а.

Затем, складывая соответствующие члены,

2sn = 2a + n − 1d) + 2a + n − 1d +… + (2a + n − 1d⏟nterms = n (2a + n − 1d).∴sn = na + 12nn − 1d.

Мы доказали следующий небольшой результат. (Вежливое название небольшого результата, обычно шаг к чему-то более интересному, — это лемма.)

Лемма 3.1 Сумма первых n членов арифметической прогрессии a , a + d , a + 2 d ,… равно na + 12nn − 1d. ℕ

Только что доказанный результат и другие ему подобные часто становятся намного яснее, если мы используем обозначение Σ для суммирования.Общий член приведенной выше арифметической прогрессии: a + ( k — 1) d , это k -й член, так что a + ( a + d ) +… + ( a + ( n — 1) d ) является суммой членов, когда k = 1, k = 2,… и k = n , все сложенные вместе, и запишем это как

∑k = 1na + k − 1d.

В более общем смысле, если f — некоторая формула, включающая k , ∑ ⁿ _{k = 1} f ( k ) обозначает f (1) + f (2 ) +…. + f ( k ), сумма значений, полученных при последовательной замене k на 1, 2,…, n или любые другие значения, обозначенные знаком Σ. Таким образом, ∑ ⁵ _{k = 3} f ( k ) = f (3) + f (4) + f (5). Обратите внимание, что k здесь является «фиктивной» переменной и что ∑ ⁿ _{k = 1} f ( k ) не зависит от k ; мы могли бы заменить k любым другим символом, который нам подходит, кроме символа, который уже имеет другое значение в этом выражении.∑ ⁿ _{n = 1} n не подойдет, так как символ n имеет два значения.

Другой распространенный простой тип последовательности — это геометрическая прогрессия , которая представляет собой последовательность вида a , ar , ar ² , ar ³ ,… r будучи называется обычным соотношением . Опять же, есть формула для суммы первых n членов.Пусть s _n = a + ar +… + ar ^{n −1} , сумма первых n членов. Тогда

sn = a + ar +… + arn − 1rsn = ar +… + arn − 1 + arnso1 − rsn = a − arn = a (1 − rn).

Следовательно, при условии r ≠ 1 (чтобы избежать деления на ноль)

sn = a1 − rn1 − r.

(Обратите внимание на форму этого: первый член прогрессии умножает все выражение, а степень на в числителе — это количество членов.Если r > 1, обычно лучше записать sn = arn − 1r − 1, чтобы знаменатель был положительным. В случае, когда r = 1, формула не имеет смысла, но в этом случае все суммированные члены равны, поэтому ответ прост.) Мы доказали:

Лемма 3.2 Если r ≠ 1 и n — натуральное число

a + ar +… + arn − 1 = ∑k = 1nark − 1 = a1 − rn1 − r.ℕ

Этот результат имеет чрезвычайно полезное следствие (которое мы называем следствием). Предположим, мы хотим разложить на множители x ⁿ — y ⁿ .Тогда (при условии, что x ≠ 0) xn − yn = xn1 − ynxn = xn1 − yxn. Здесь мы должны заметить, что мы можем использовать формулу из леммы 3.2 с r = y / x и a = 1. Тогда

1 + yx +… + yn − 1xn − 1 = 1 − yxn1 − yxprovidedyx ≠ 1.

Итак, 1 − yxn = 1 − yx1 + yx +… + yn − 1xn − 1 и умножение на x ⁿ дает

(*) xn − yn = x − yxn − 1 + xn − 2y +… + xyn − 2 + yn − 1.

Мы доказали это для всех действительных чисел, удовлетворяющих двум условиям x ≠ 0 и x ≠ y . В двух исключенных случаях, x = 0 и x = y , результат тривиален для проверки, поэтому мы независимо замечаем, что результат верен для них, и ограничение можно снять. Основное достоинство (*) состоит в том, что x ⁿ — y ⁿ имеет множитель x — y , хотя выражение для второго множителя также полезно.

Эти два примера, арифметическая и геометрическая прогрессии полезны, но они создают немного вводящее в заблуждение впечатление, поскольку легко доказать формулы напрямую, как только вы заметите уловку.Более широко применяемый способ доказательства истинности формулы для всех натуральных чисел — использование математической индукции. Обратите внимание, что мы хотим доказать, что результат верен для всех натуральных чисел, поэтому мы не можем сделать это, проверяя каждое значение по очереди.

Прогресс | Математические размышления

Кэти Кессель упорно работала над включением отзывов из этого блога и других источников в окончательные версии прогрессий. Вот близкая к окончательной версия прогрессии через Соотношения и Пропорциональные отношения.Основные правки включают расширенное предисловие, всестороннее введение и некоторые важные дополнения к порядку дробей.

Последняя оставшаяся прогрессия, количественная прогрессия, здесь. Комментарии в форумах приветствуются!

Давно придумывали, но вот проект прогрессии по геометрии для классов от 7 до старшей школы. Как обычно, оставляйте комментарии и исправления на соответствующем форуме.

Вот почти окончательный вариант Прогрессии по числам и операциям в базе десять, K – 5.Он включает в себя множество изменений в ответ на комментарии здесь, в этом блоге, и в других местах.

Помимо множества мелких правок и исправлений, а также некоторых перерисованных цифр, вот некоторые из наиболее значительных изменений:

• Боковое примечание с записью в глоссарии для алгоритма было перемещено в первый экземпляр «алгоритма» вместе с некоторым текстом обозначений для стандартного алгоритма (этот фрагмент представляет собой исправление абзаца, который был в основной части предыдущей версии).
• Раздел о стратегиях и алгоритмах: 2 старых абзаца были удалены и 3 новых абзаца были вставлены.Причина: в новых параграфах дается обзор организации стандартов NBT для стратегий и алгоритмов, объясняется, что учащиеся видят эффективные, точные и обобщаемые методы с самого начала своей работы с расчетами и что существует прогрессия от стратегий к алгоритмам: для сложение и вычитание (с целыми числами в K до 4-го класса; и обобщение до десятичных знаков в 4-6 классах), для умножения (с 3 по 5 классы) и деления (с 3 по 6 классы) с целыми числами, затем десятичными.
• Баланс акцента на «специальной стратегии» и «общем методе» в более ранней прогрессии был смещен в этом проекте в сторону общих методов.
• Раздел «Математические практики» был пересмотрен, чтобы больше сосредоточиться на центральной роли SMP, иллюстрируя переход от стратегии к алгоритму и следуя структуре разделов, посвященных вычислениям, стратегии и алгоритму.

Как обычно, оставляйте комментарии в ветке NBT на форумах.

Для дополнительного веселья ребята из Edutron создали всплывающую версию графа чудовищ Джейсона Зимбы стандартов, так что когда вы наводите курсор мыши на стандарт, появляется всплывающий текст стандарта (эффект наведения указателя мыши не работает в Предварительный просмотр на Mac, вы должны щелкнуть по стандарту).

Вот последние достижения в горячем состоянии. Он включает в себя домен системы счисления для 6–8 классов и числовую часть категории номера и количества средней школы (скоро появится количественная часть). Как обычно, оставляйте комментарии на форуме, здесь.

После разговора с некоторыми учителями в PCMI во вторник и разговора с моим коллегой по стандартам Джейсоном Зимбой я решил быстро исправить прогресс в моделировании. Предыдущая версия отважилась на территорию, которая обсуждалась в этом блоге: различные возможные значения слова «модель».«Я решил, что это может сбивать с толку, поэтому отредактировал его так, чтобы теперь оно соответствовало значению слова, используемому в стандартах. Новая версия здесь.

Пару вещей сегодня. Во-первых, черновик основного материала для Progressions, включая введение, объясняющее источники доказательств, организацию и терминологию для стандартов. В нем также перечислены члены рабочей группы, создавшей Прогрессии, которых, к сожалению, до сих пор не признали. В частности, я хотел бы привлечь внимание к работе нашего редактора Кэти Кессель, которая также время от времени вносит вклад в этот блог.

Во-вторых, благодаря работе Аль Куоко, мы обновили версии Алгебры и Прогрессий функций.

Разве лето не чудесно? Некоторое время он лежал на моем столе в ожидании набора. Этим летом некоторым учителям в PCMI он понадобился для своих проектов c-TaP, так что я, наконец, добрался до него. Как всегда, это пока только черновик. Пожалуйста, оставляйте комментарии в соответствующем форуме.

[Отредактировано 4 июля 2013 года. Последний черновик доступен здесь]

Я рад, что могу дать вам наброски прогрессии по алгебре и функциям. Эти прогрессии несколько отличаются от прогрессий K – 8. Поскольку стандарты средней школы не разделены на курсы, прогрессия больше похожа на описание, чем на прогрессию; они не находятся в каком-либо определенном учебном порядке. Кроме того, поскольку каждый из них охватывает тему, которая занимает большую часть учебной программы средней школы, в нем меньше деталей о том, как можно было бы реализовать каждый стандарт или как разные стандарты могут быть включены в различные реализации учебной программы.

Комментарии, как всегда, приветствуются на соответствующих форумах: Алгебра или Функции.

Об арифметических прогрессиях в модельных наборах

1.

Аргабрайт, Л., Жиль де Ламадрид, Дж .: Анализ Фурье неограниченных мер на локально компактных абелевых группах. Мемуары Американского математического общества, т. 145. AMS, Providence (1974)

2.

Baake, M., Grimm, U .: Aperiodic Order: Volume 1, A Mathematical Invitation. Энциклопедия математики и ее приложений, т. 149. Cambridge University Press, Cambridge (2013)

3.

Бааке, М., Гримм, У. (ред.): Апериодический порядок: Том 2, Кристаллография и почти периодичность. Энциклопедия математики и ее приложений, т. 166. Cambridge University Press, Cambridge (2017)

4.

Бааке, М., Хак, Ч., Струнгару, Н .: О слабых модельных наборах экстремальной плотности. Indag. Математика. (N.S.) 28 (1), 3–31 (2017)

5.

Бааке, М., Ленц, Д .: Динамические системы на трансляционных ограниченных мерах: чисто точечные динамические и дифракционные спектры.Эргод. Теория Дин. Syst. 24 (6), 1867–1893 (2004)

MathSciNet Статья Google Scholar

6.

Бааке, М., Ленц, Д., Муди, Р.В .: Характеризация модельных множеств динамическими системами. Эргод. Теория Дин. Syst. 27 (2), 341–382 (2007)

MathSciNet Статья Google Scholar

7.

Бааке М., Муди Р.В .: Взвешенные гребенки Дирака с чисто точечной дифракцией.J. Reine Angew. Математика. 573 , 61–94 (2004)

MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

8.

Берг Ч., Форст Г .: Теория потенциала на локально компактных абелевых группах. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, vol. 87. Springer, New York (1975)

9.

Erdös, P., Turán, P .: О некоторых последовательностях целых чисел. J. Lond. Математика. Soc. 11 (4), 261–264 (1936)

MathSciNet Статья Google Scholar

10.

Гуере, Ж.-Б .: Квазикристаллы и почти периодичность. Commun. Математика. Phys. 255 (3), 655–681 (2005)

MathSciNet Статья Google Scholar

11.

Грин, Б., Тао, Т .: Простые числа содержат произвольно длинные арифметические прогрессии. Аня. Математика. 167 (2), 481–547 (2008)

MathSciNet Статья Google Scholar

12.

Хоф, А.: Равномерное распределение и метод проекции. В: Квазикристаллы и дискретная геометрия (Торонто, 1995). Монографии Института Филдса, т. 10. С. 201–206. AMS, Providence (1998)

13.

Келлер Г., Ричард К .: Динамика на графике параметризации тора. Эргод. Теория Дин. Syst. 38 (3), 1048–1085 (2018)

MathSciNet Статья Google Scholar

14.

Лагариас, Дж. К.: Концепция Мейера квазикристаллических и квазирегулярных множеств.Commun. Математика. Phys. 179 (2), 365–376 (1996)

MathSciNet Статья Google Scholar

15.

Лагариас Дж. К. Математические квазикристаллы и проблема дифракции. В кн .: Направления математических квазикристаллов. CRM Monogr. Сер., Т. 13. С. 61–93. AMS, Providence (2000)

16.

Ленц, Д., Ричард, Ч .: Чистая точечная дифракция и разрезы и проектные схемы для мер: гладкий случай.Математика. Z. 256 (2), 347–378 (2007)

MathSciNet Статья Google Scholar

17.

Ленц, Д., Спинделер, Т., Струнгару, Н .: Чистая точечная дифракция и среднее значение, Почти периодичность Безиковича и Вейля (2020). arxiv: 2006.10821

18.

Ленц Д., Струнгару Н .: О слабо почти периодических мерах. Пер. Являюсь. Математика. Soc. 371 (10), 6843–6881 (2019)

MathSciNet Статья Google Scholar

19.

де ла Ллав, Р., Виндзор, А .: Применение топологического множественного повторения к мозаике. Дискретный продолж. Дин. Syst. Сер. S 2 (2), 315–324 (2009)

MathSciNet МАТЕМАТИКА Google Scholar

20.

Мейер, Ю.: Алгебраические числа и гармонический анализ. Математическая библиотека Северной Голландии, т. 2. Северная Голландия, Амстердам (1972)

21.

Муди Р.В .: Множества Мейера и их двойники. В: Математика дальнего апериодического порядка (Ватерлоо, 1995).НАТО Adv. Sci. Inst. Сер. C Math. Phys. Sci., Т. 489. С. 403–441. Kluwer, Dordrecht (1997)

22.

Moody, R.V .: Наборы моделей: обзор. В: От квазикристаллов к более сложным системам (Les Houches, 1998). Centre de Physique des Houches, т. 13. С. 145–166. Springer, Berlin (2000)

23.

Муди Р.В .: Равномерное распределение в модельных наборах. Может. Математика. Бык. 45 (1), 123–130 (2002)

MathSciNet Статья Google Scholar

24.

Муди Р.В., Струнгару Н .: Точечные множества и динамические системы в автокорреляционной топологии. Может. Математика. Бык. 47 (1), 82–99 (2004)

MathSciNet Статья Google Scholar

25.

Муди Р.В., Струнгару Н .: Почти периодические меры и их преобразования Фурье. В: Апериодический порядок: Том 2, Кристаллография и почти периодичность. Энциклопедия математики и ее приложений, т. 166. С. 173–270.Издательство Кембриджского университета, Кембридж (2017)

26.

Нагаи Й .: Конечные и бесконечные последовательности в мозаиках. Семинар Бостонского университета / Университета Кейо по динамическим системам (Бостон, 2014 г.). http://math.bu.edu/keio2014/talks/Nagai.pdf

27.

Ричард, Ч .: Плотные гребни Дирака в евклидовом пространстве с чисто точечной дифракцией. J. Math. Phys. 44 (10), 4436–4449 (2003)

MathSciNet Статья Google Scholar

28.

Ричард, Ч., Струнгару, Н .: Дифракция в чистых точках и суммирование Пуассона. Аня. Анри Пуанкаре 18 (12), 3903–3931 (2017)

MathSciNet Статья Google Scholar

29.

Шлоттманн, М .: Обобщенные модельные множества и динамические системы. В кн .: Направления математических квазикристаллов. Серия монографий CRM, т. 13. С. 143–159. AMS, Providence (2000)

30.

Shechtman, D., Blech, I., Gratias, D., Кан, Дж. У .: Металлическая фаза с дальним ориентационным порядком и без трансляционной симметрии. Phys. Rev. Lett. 53 , 183–185 (1984)

Статья Google Scholar

31.

Спинделер Т., Струнгару Н .: Заметка о мерах, исчезающих на бесконечности. Rev. Math. Phys. 31 (2), # 1950007 (2019)

32.

Струнгару, Н .: Практически периодические меры и дальний порядок в множествах Мейера. Дискретное вычисление.Геом. 33 (3), 483–505 (2005)

MathSciNet Статья Google Scholar

33.

Струнгару, Н .: О спектрах брэгговской дифракции множества Мейера. Может. J. Math. 65 (3), 675–701 (2013)

MathSciNet Статья Google Scholar

34.

Струнгару, Н .: На утяжеленных гребнях Дирака, поддерживаемых внутри модельных наборов. J. Phys. А 47 (33), №335202 (2014)

35.

Струнгару Н .: Почти периодические чисто точечные меры. В: Апериодический порядок: Том 2, Кристаллография и почти периодичность. Энциклопедия математики и ее приложений, т. 166. С. 271–342. Cambridge University Press, Кембридж (2017)

36.

Струнгару, Н .: Об анализе Фурье мер с поддержкой множества Мейера. J. Funct. Анальный. 278 (6), # 108404 (2020)

37.

Семереди Э .: О наборах целых чисел, не содержащих элементов \ (k \) в арифметической прогрессии.Acta Arith. 27 , 199–245 (1975)

MathSciNet Статья Google Scholar

38.

van der Waerden, B.L .: Beweis einer Baudetschen Vermutung. Nieuw Archief voor Wiskunde 15 , 212–216 (1927)

MATH Google Scholar

Арифметические прогрессии — теоретический взгляд на оператора

[1]	В. Бергельсон и А. Лейбман, Полиномиальные расширения теорем Ван дер Вардена и Семереди , J. Amer. Математика. Soc., 9 (1996), 725-753. Google Scholar
[2]	В. Бергельсон, А. Лейбман и Э. Лесин, Полиномы пересечения и полиномиальная теорема Семереди , Adv. Math., 219 (2008), 369-388. Google Scholar
[3]	М.Эйнзидлер и Т. Уорд, «Эргодическая теория: взгляд на теорию чисел», Springer-Verlag London, Ltd., Лондон, 2011. DOI: 10.1007 / 978-0-85729-021-2. Google Scholar
[4]	Т. Эйснер, «Устойчивость операторов и полугруппы операторов», Birkhäuser Verlag, Базель, 2010. Google Scholar
[5]	т.Эйснер, Б. Фаркаш, М. Хаасе и Р. Нагель, «Теоретико-операторные аспекты эргодической теории», Тексты для выпускников по математике, Springer, 2013. Google Scholar
[6]	Т. Эйснер, Б. Фаркаш, Р. Нагель, А. Серени, Слабо и почти слабо стабильные $ C_0 $ -полугруппы , Int. J. Dyn. Syst. Отличаются. Equ., 1 (2007), 44-57. DOI: 10.1504 / IJDSDE.2007.013744. Google Scholar
[7]	Х. Фюрстенберг, «Повторяемость в эргодической теории и комбинаторной теории чисел», Princeton University Press, Принстон, Нью-Джерси, 1981. Google Scholar
[8]	H. Furstenberg, Эргодическое поведение диагональных мер и теорема Семереди об арифметических прогрессиях , J.Analyze Math., 31 (1977), 204-256. Google Scholar
[9]	Х. Фюрстенберг, Я. Кацнельсон и Д. Орнштейн, Эргодическое теоретическое доказательство теоремы Семереди , Bull. Амер. Математика. Soc., 7 (1982), 527-552. DOI: 10.1090 / S0273-0979-1982-15052-2. Google Scholar
[10]	H. 2} x) $ , Сходимость в эргодической теории и вероятности, под ред .: Бергельсон, Марч, Розенблатт, Вальтер де Грюйтер и Ко, Берлин, Нью-Йорк, (1996), 193-227. Google Scholar
[11]	Б. Грин, «Лекции по эргодической теории, часть III», , (). Google Scholar
[12]	Б.Green and T. Tao, Простые числа содержат произвольно длинные арифметические прогрессии , Annals Math., 167 (2008), 481-547. DOI: 10.4007 / анналы.2008.167.481. Google Scholar
[13]	Б. Хост и Б. Кра, Нетрадиционные эргодические средние и нильмногообразия , Annals Math., 161 (2005), 397-488.DOI: 10.4007 / annals.2005.161.397. Google Scholar
[14]	Б. Кра, Теорема Грина – Тао об арифметических прогрессиях в простых числах: эргодическая точка зрения , Bull. Амер. Математика. Soc., 43 (2006), 3-23. DOI: 10.1090 / S0273-0979-05-01086-4. Google Scholar
[15]	Б.Kra, Эргодические методы в аддитивной комбинаторике , Аддитивная комбинаторика, 103-143, CRM Proc. Конспект лекций, 43 , амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд (2007). Google Scholar
[16]	К. Петерсен, «Эргодическая теория», издательство Кембриджского университета, 1983. Google Scholar
[17]	H.Х. Шефер, «Банаховы решетки и положительные операторы», Springer-Verlag, 1974. Google Scholar
[18]	T. Tao, Дихотомия между структурой и случайностью, арифметическими прогрессиями и простыми числами , Международный конгресс математиков, I 581-608, Eur. Математика. Soc., Цюрих (2007). DOI: 10.4171 / 022-1 / 22. Google Scholar
[19]	Т. Тао, «Темы эргодической теории», 2008 , (). Google Scholar
[20]	Т. Тао, «Уловка Ван дер Корпута и равное распределение на нильмногообразиях», в Topics in Ergodic Theory, 2008, http://terrytao.wordpress.com/2008/06/14/the-van-der-corputs- трюк и равнораспределение на нильмногообразиях. Google Scholar

Прогресс в прайм-прогрессии | Наука

Два математика совершили потрясающий прорыв в теории простых чисел — по крайней мере, такова предварительная оценка экспертов, которые смотрят на их сложное 50-страничное доказательство.

Два года назад Бен Грин и Теренс Тао начали работать над проблемой арифметических прогрессий простых чисел: последовательностей простых чисел (чисел, которые делятся только на себя и на единицу), которые различаются на постоянную величину. Одна из таких последовательностей — 13, 43, 73 и 103. В 1939 году голландский математик доказал, что существует бесконечно много арифметических прогрессий простых чисел с тремя членами, например 3, 5, 7 или 31, 37, 43. Грин и Дао надеялся доказать тот же результат для четырехчленных прогрессий. Однако полученная ими теорема доказала результат для простых прогрессий любой длины.

Грин, который в настоящее время работает в Тихоокеанском институте математических наук в Ванкувере, Британская Колумбия, и Тао в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе, начал с теоремы 1975 года Эндре Семереди из Венгерской академии наук. Семереди доказал, что арифметические прогрессии любой длины возникают в любой «положительной части» целых чисел — в основном, в любом подмножестве целых чисел, отношение которых ко всему набору не уменьшается до нуля по мере того, как числа становятся все больше и больше.Простые числа нарушают это условие. Итак, Грин и Тао решили показать, что теорема Семереди все еще верна, когда целые числа заменены меньшим набором чисел со специальными свойствами, а затем доказать, что простые числа составляют положительную часть этого набора.

Для построения своего набора они применили раздел математики, известный как эргодическая теория (грубо говоря, теория смешивания или усреднения), к математическим объектам, называемым псевдослучайными числами. Псевдослучайные числа не являются на самом деле случайными, потому что они генерируются по правилам, но они ведут себя как случайные числа для определенных математических целей.Используя эти инструменты, Грин и Тао построили псевдослучайный набор простых и «почти простых» чисел с относительно небольшим количеством простых множителей по сравнению с их размером.

Последний шаг, установление простых чисел как положительной части их псевдослучайного множества, оказался труднодостижимым. Затем Эндрю Гранвиль, теоретик чисел из Монреальского университета, указал Грина на некоторую работу о размере промежутков между простыми числами, некоторые из которых оказались специально созданы для исследований Грина и Тао.

Статья, которая была представлена ​​в Annals of Mathematics , находится через много месяцев после принятия.«Проблема с быстрой оценкой этого заключается в том, что он охватывает две области», — говорит Гранвиль. Тем не менее, говорит бывший советник Грина Тимоти Гауэрс из Кембриджского университета, получивший в 1998 году медаль Филдса, математический эквивалент Нобелевской премии, за работу над смежными проблемами, «это очень, очень впечатляющее достижение».