Идеального математического круга не существует / Habr

В точном компьютерном и физическом моделировании нуждается любой инженер, особенно если компания хочет создать самый износостойкий и прочный подшипник, его свойства окружность и параметры должны быть известны, чуть ли не до уровня атома.

Представьте, вы даёте задачу программисту найти точный процент и модель соприкосновения подшипника, и оказывается что это невозможно, так как и невозможно смоделировать точную окружность. Как и невозможно смоделировать точную площадь соприкосновения.

Понятие круга является одним из универсальных математических понятий, дословно обобщаемым на случай произвольных метрических пространств. Но в разделе информатики, эта тема очень редко поднимается потому что до невозможности сложна.

Так что такое круг? И почему его точная математическая модель невозможна.

В научном понимании круг это правильный 65537 угольник (шестьдеся̀тпятьты̀сячпятисо̀ттридцатисемиуго́льник) — правильный многоугольник с 65 537 углами и 65 537 сторонами.

Значит для программиста круг это многоугольник с 65 537 углами — и эти углы будут соприкасаться с плоской поверхностью или такой же окружностью, и меняя равновесие всего это математического круга с 65 537 углами. Согласитесь что модель уже устарела?

Гауссом в 1796 году было доказано, что правильный n-угольник можно построить циркулем и линейкой, если нечётные простые делители n являются различными числами Ферма. В 1836 году П. Ванцель доказал, что других правильных многоугольников, которые можно построить циркулем и линейкой, не существует. Ныне это утверждение известно как теорема Гаусса — Ванцеля.

Могу даже открыть секрет настолько узкий в отрасли подшипников, что большинство автомобильных, железнодорожных и авиа катастроф происходит именно по причине некачественных подшипников так как проверить качество и окружность порой невозможно так как наука работает в основном не с числами а «диапазонами» то и процент брака в подшипниковой индустрии из-за проблемы создания идеально ровного подшипника самый высокий.

Такую проблему мы наблюдаем и в играх

Точность

И эта точность очень низкая.

А 65 тысяч углов у круга это меньше миллиона.

Но даже и это не предел. Идеальный круг вообще бесконечен (имеет бесконечное количество углов). Как тогда его выразить в программировании, если любое число будет его неточной моделью? Или уже такая высокая точность будет ненужна? Ведь в любом массовом моделировании иза мельчайшей детали образуются каскадные лавинообразные эффекты которые дают разные результаты.

Спасибо за внимание.

Урок 33. круг. окружность (центр, радиус, диаметр) — Математика — 3 класс

Математика, 3 класс

Урок №33. Круг. Окружность (центр, радиус, диаметр)

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— что такое окружность и круг?

— какие элементы имеет окружность?

— чем отличается круг от окружности?

Глоссарий по теме:

Окружность — это замкнутая кривая, все точки которой одинаково удалены от центра.

Круг – это геометрическая фигура, которая ограничена окружностью.

Радиус- это отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

Диаметр – отрезок, который соединяет две точки окружности, проходящий через центр.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

1. Моро М. И., Бантова М. А. и др. Математика 3 класс. Учебник для общеобразовательных организаций М.; Просвещение, 2017. с. 94-96.

2. Рудницкая В. Н. Тесты по тматематике:3 класс. М.:Издательство «Экзамен», 2016 с. 48-51.

3. Рудницкая В.Н. Контрольные работы по математике:3 класс. М.: Издательство»Экзамен», 2017, с. 49-54.

4. Рудницкая В. Н. КИМ ВПР. Математика .3 класс. М.: Издательство «Экзамен», 2018, с. 77-79.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

С незапамятных времен люди используют в своей жизни круг.

1. Около 3300 года до нашей эры стали применять гончарный круг, делать круглую посуду – тарелки, вазы, кастрюли, горшки, сковородки. У посуды есть окружность (верхний край) и круг (дно).

2. Мы не можем представить свою жизнь без машин: автобус, велосипед, швейная, машинки, самолет, луноход, различные станки, подъемный кран…Они не похожи друг на друга, но присмотримся к ним повнимательнее. Есть у них у всех похожие части – детали, и одна из них – колесо. Сначала колеса были круглые и гладкие, чтобы по земле легко катились, а потом человек придумал много разных колес.

3. Круг и окружность широко применяются в архитектуре и искусстве: круглые арки, своды, купола. Круг – это форма кочевых шатров и поселений. Еще древние греки обнаружили, что с помощью циркуля и линейки можно построить множество фигур, включая шестиугольники, квадраты и другие правильные многоугольники, и создавать волшебные узоры.

4. Необозрима сфера применения круга в математике: тригонометрический круг, круги Эйлера, задачи на построение, круговые диаграммы и т.д. Многие приборы имеют круглую шкалу, в математике таким прибором является транспортир .

5. Картинки с волшебными кругами люди используют в медицинских целях, когда на них смотришь, кажется, что они двигаются. Если смотреть на них несколько минут, то проходит головная боль. 

6. Также человек использует круг, как универсальный символ, означающий целостность, непрерывность, первоначальное совершенство. Три концентрических круга символизируют прошлое, настоящее и будущее; три сферы земли: землю, воздух и воду.

Круг в жизни человека имеет очень важную роль, и без использования круглых предметов обойтись невозможно.

Окружность и круг – удивительно гармоничные, совершенные, простые фигуры. Окружность – единственная замкнутая кривая, которая может “скользить сама по себе”, вращаясь вокруг центра, поэтому колеса делают круглыми, а не квадратными или треугольными.

Круг – это колесо. Колесо – это прогресс – движение вперед. Если остановится колесо, то остановится колесо Истории. Остановятся все виды транспорта, остановятся все часы и механизмы, фабрики и заводы.

Круг – символ цикличности, повторяемости. Все движется по кругу.

Круг дает ощущение взаимосвязи с Космосом.

Сама природа выбирает эту удобную и компактную форму как шар и круг.

Сравним две фигуры.

На 1 рисунке видим замкнутую кривую линию, на которой находятся точки К и С на одинаковых расстояниях от точки О.Такая замкнутая кривая называется окружностью. Точка О — центр окружности. Все точки, поставленные на окружности, находятся на одинаковом расстоянии от центра!

Есть специальный инструмент, который позволяет чертить окружности – это циркуль.

На рисунке 2 видим геометрическую фигуру, которая ограничена окружностью. Эта фигура называется круг.

Вывод: окружность — граница круга; круг — часть внутри окружности. В таблице указаны отличительные признаки круга и окружности:

Если соединить любую точку окружности с ее центром, то получится отрезок, который называется радиусом.

Если соединить 2 точки окружности, проходящих через центр, получится отрезок, который называется диаметром.

Диаметр делит круг на две равные части и все диаметры у окружности равной длины.

Задания тренировочного модуля:

1. Длина радиуса составляет 6 см. Чему равен диаметр окружности?

6см; 12 см; 3см.

Правильный ответ: 12см.

2. Заполните таблицу

радиус	4 см	3 см	7 дм	5 дм
диаметр

Правильный ответ:

радиус	4 см	3 см	7 дм	5 дм
диаметр	8 см	6 см	14 дм	10 дм

Урок математики -«Окружность и круг»

Урок математики в 6 классе.

Тема: Окружность, круг.

Цели урока:

• Ввести понятия окружности, круга и их элементов, изучить формулу длины окружности, применять ее при решении задач, получать значение числа в ходе выполнения практической работы;
• развивать познавательный интерес учащихся, познакомить их с историческим материалом;
• прививать учащимся навык самостоятельности в работе, учить трудолюбию, аккуратности.

 

Оборудование: циркуль, карандаши, таблицы, индикаторы настроения, картинки, картонные кружки разных размеров, нитка.

 

Ход урока.

1.Организационный момент.

 

Ребята, послушайте, какая тишина!

Это в школе начались уроки.

Мы не будем тратить время зря,

И приступим все к работе.

 

2. Мотивация урока.

 

Ребята, какие геометрические фигуры мы изучили? (Прямоугольник, треугольник, квадрат…)

В канун нового года принято украшать елку и мы с вами будем этим сегодня заниматься. Но елка наша будет непростая, а математическая.

 

Какие фигуры мы с вами не изучали еще? Попробуйте отгадать загадку.

 

Нет углов у меня,

И похож на блюдце я,

На тарелку и на крышку,

На кольцо, на колесо.

Кто же я такой, друзья? (Круг)

 

У круга есть одна подруга,

Знакома всем ее наружность!

Она идет по краю круга

И называется -…(окружность)

 

Да, именно эти фигуры нам понадобятся сегодня для нашей математической елки.

Итак, тема нашего урока: «Окружность и круг».

 

3. Изучение нового материала.  

 

Выходит девочка с моделью окружности (с ней в паре работает мальчик, который с места задает вопросы):

— А я – окружность. Внутри меня есть точка непростая.

 Зовется центром, от точек всех моих он равноудален.

— В каких же отношеньях ты с прямой? — Смотря с какой.

  Внутри меня, ее отрезок  хордою зовут.

  Чем ближе к центру, тем она длинней.

— Что будет, если хорда через центр пройдет?

— О!!! Ее диаметром геометр назовет.

— А сколько у тебя диаметров? — Ох, много…

  Их бесконечность, выражаясь строго.

  При том, заметьте, что из них любой

  Всегда есть радиус двойной. — А радиус?

— То всякая прямая, что к центру тянется, его соединяя

  С любой из точек, мне принадлежащих,

Точнее, на окружности лежащих.

 

 Из истории.

Недаром древние греки считали окружность совершеннейшей и  «самой круглой» фигурой. И в наши дни в некоторых ситуациях, когда хотят дать особую оценку, используют слово «круглый», которое считается синонимом слова «полнейший»: круглый отличник, круглый сирота и т.п.

Также считают и колесо – одно из самых замечательных изобретений человека.

Наверное, весь секрет кроется в свойствах удивительной линии – окружности.

 

 

Давайте сделаем вывод и «соберем» разбежавшиеся правила.

 

Начало:

Окружность – замкнутая линия без самопересечений…

Круг – это часть плоскости,…

Радиус – это отрезок, соединяющий…

Диаметр – это отрезок, соединяющий…

Хорда — это отрезок, соединяющий…

Диаметр – это хорда,…

 

Конец:

…все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра.

…ограниченная окружностью.

…две точки окружности.

…проходящая через центр.

…соединяющий центр окружности с любой точкой на окружности.

…две точки окружности и проходящий через центр.

 

Назвать радиус, центр, диаметр, хорду окружности, изображенные на рисунке.

 

 

— Что изображено красным цветом? (Окружность)

— Что можно вырезать из бумаги? (Круг)

— А какая связь между ними?

 

 

Историческая справка.

 

Окружность – самая простая кривая линия. Радиус – происходит от латинского слова «радиус» — «спица колеса». Хорда – греческое слово и переводится – «струна». Диаметр – «диаметрос» — тоже греческое слово, переводится – «поперечник».

 

Скажите, а с помощью какого инструмента мы можем построить окружность?

 

Загадка

Танцевальное движенье

Совершеннейшей ноги

И круги, круги, круги

Вызывают восхищенье.

Балерина создавала

Точный круг в один момент,

Подивился ей немало

Достославный геометр.

О прекрасной балерине

Вспоминал частенько он

Не по этой ли причине

… был изобретён.

 

(Циркуль)

 

Из истории возникновения циркуля.

 

Циркуль от латинского слова “circulus” — круг, окружность (“circa” — вокруг, кругом, то есть цирк – это круг)

Сейчас уже нельзя сказать, кто именно изобрел этот инструмент — история не сохранила для нас его имя, но легенды Древней Греции приписывают авторство Талосу, племяннику знаменитого Дедала, первого «воздухоплавателя» древности.  История циркуля насчитывает уже несколько тысяч лет — судя по сохранившимся начерченным кругам, инструмент был знаком еще вавилонянам и ассирийцам (II — I века до нашей эры). На территории Франции, в галльском кургане был найден железный циркуль (I век нашей эры), во время раскопок в Помпеях было найдено много древнеримских бронзовых циркулей.

 

Давайте вместе построим несколько шариков для нашей математической елочки, радиусы которых равны 2см, 4см и 5см 5мм. Разукрасьте их.

 

Постройте на каждом из них радиус и диаметр. Измерьте, чему равен диаметр каждого шарика. Какой можно сделать вывод?

правильно, длина диаметра в 2 раза больше радиуса. Если обозначить r – радиус, а d – диаметр, тогда: d=2 r.

 

Я тоже для вас приготовила елочные шарики (картонные кружочки разных радиусов разных цветов, по 3 на одну парту).

Давайте измерим длину каждой окружности. В чем трудность? Да, к сожалению, специального прибора для измерения длины окружности нет. Но и это не останавливало человека. Предложите свой способ измерения длины окружности (обсуждение в группах).

Еще древние греки умели находить длину окружности по формуле

С = π d  или С = 2πr  , где d — диаметр окружности, а  — радиус окружности.

А что это за число π?

 

4. Первичное закрепление нового материала.

Рассмотрим на практической работе один из способов нахождения числа .

Если «опоясать» окружность ниткой, а затем ее «распрямить», то длина нитки будет приблизительно равна длине окружности. У вас имеются 3 круга различных диаметров. Измерьте длину окружности  и диаметр каждого и найдите отношение длины  к  диаметру окружности. Результаты измерений заносятся в таблицу:

 

№ опыта	Длина окружности (С)	Диаметр (d)	Значение π =С: d
1
2
3

 

Если измерения выполнены достаточно точно, то у всех должно получиться значение π  приблизительно равное 3,1-3,2.

Из истории.

Еще в древности людям были известны многие геомет­рические фигуры, в том числе окружность и круг. Об этом свидетельствуют археологические раскопки. Еще тогда приходилось решать задачи на вычисление длины окруж­ности. Сейчас известно, что значением числа  π в разные времена считали различные числа. Так, в Древнем Егип­те (ок. 3500 лет назад) считали π = 3,16; древние римляне полагали, что π= 3,12. Все эти значения были определе­ны опытным путем. Великий ученый Древней Греции Архимед определил, что значение π находится в следующих пределах   3<π<3. Легенда гласит, что когда древнегреческий город Сиракузы, где жил в своё время Архимед, захватили римляне, учёный, занимаясь научными исследованиями, чертил окружности на песке. Солдату, который пришёл убить его, он воскликнул: “Убей меня, но не тронь моих кругов”.

С помощью современных электронно – вычислительных машин число «пи» было вычислено точностью до миллиона знаков после запятой. Для обозначения частного от деления длины окружности на диаметр впервые букву π использовал английский мате­матик Джонс в 1706 г., но общепринятым это обозначе­ние стало благодаря работам великого математика Эйле­ра. Он вычислил для числа я 153 десятичных знака.

 

Для закрепления в памяти рационального выражения π – числа Архимеда (π =22/7) — может оказаться полезной шутка из учебника Магницкого:

Двадцать две совы скучали

На больших сухих суках.

Двадцать две совы мечтали

 О семи больших мышах,

 О мышах довольно юрких

В аккуратных серых шкурках.

Слюнки капали с усов

У огромных серых сов.

Его значение 3, 14159265358…

 

Желающим запомнить поможет мнемоника — придумывание стихотворных, легко запоминающихся фраз, число букв, в каждом слове которых указывает соответствующую цифру.

 

Мнемонические правила

 

Чтобы нам не ошибаться,

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

 

Надо только постараться

И запомнить всё как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

 

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, два, шесть, пять, три, пять.

Чтоб наукой заниматься,

Это каждый должен знать.

 

Можно просто постараться

И почаще повторять:

«Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, двадцать шесть и пять».

 

5.Самостоятельная работа.

К нам на нашу математическую елочку пришли Колобок, Снеговик. Давайте их нарисуем и вычислим с помощью формулы С = 2πr  длину окружности.

 

1) Рисуем колобка, окружность радиусом 4 см и разукрашиваем цветными карандашами.

 

 

2)Рисуем снеговика, радиусы окружностей которого 3 см, 4,5 см и 6 см. Затем разукрашиваем.

 

 

 

Из истории.

Неофициальный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π.

Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа Пи» (англ. Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π.

 

 

Памятник числу «пи» на ступенях перед зданием Музея искусств в Сиэтле.

 

 

6. Итоги урока.

Д/з.

1. Вычислите длину окружности, если r =5см.

2. Вычислите длину окружности, если d = 100 м.

3. Ученики организовали соревнования по фигурному катанию на велосипедах. В этих соревнованиях нужно было проехать четыре круга по окружности радиусом 3 м. Какое расстояние проехали велосипедисты в этом виде фигурного катания?

 Творческое задание: по возможности придумать стихотворную фразу для запоминания числа π.

 

 

 

Рефлексия.

 1. С какой геометрической фигурой мы познакомились?

2. Что надо знать, чтобы построить окружность?

3.  С помощью какого инструмента мы ее строим?

4. Чему равно число π?

5. Что нового, интересного узнали?

6. Что понравилось?

 

Наша математическая елка украшена, гости в сборе. Осталось только поздравить вас с наступающим Новым Годом.

 

Пусть Новый год вам принесет

Со снегом — смех,

С морозом — бодрость,

В делах успех,

А в духе — твердость.

Пусть все заветное свершится

И, пересилив даль дорог,

Надежда в дверь к вам постучится

И тихо ступит на порог.

 

Удачи вам!

Спасибо за урок!

 

 

Квадратура круга — Википедия

Круг и квадрат одинаковой площади

Квадрату́ра кру́га — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью циркуля и линейки (без шкалы с делениями) квадрата, равновеликого по площади данному кругу. Наряду с трисекцией угла и удвоением куба, является одной из самых известных неразрешимых задач на построение с помощью циркуля и линейки.

Если обозначить R{\displaystyle R} радиус заданного круга, x{\displaystyle x} — длину стороны искомого квадрата, то, в современном понимании, задача сводится к решению уравнения: x2=πR2,{\displaystyle x^{2}=\pi R^{2},} откуда получаем: x=πR≈1,77245R.{\displaystyle x={\sqrt {\pi }}R\approx 1{,}77245R.} Доказано, что с помощью циркуля и линейки точно построить такую величину невозможно.

Из формулировки проблемы видно, что она тесно связана с практически важной задачей нахождения площади круга. В древнем Египте уже знали, что эта площадь (S{\displaystyle S}) пропорциональна квадрату диаметра круга d.{\displaystyle d.} В папирусе Ринда для вычислений используется формула^[1]:

S=(89d)2{\displaystyle S=\left({\frac {8}{9}}d\right)^{2}}

Из этой формулы видно, что площадь круга диаметра d{\displaystyle d} считалась равной площади квадрата со стороной 89d.{\displaystyle {\frac {8}{9}}d.} В современной терминологии это значит, что египтяне принимали значение π{\displaystyle \pi } равным (169)2≈3,16.{\displaystyle \left({\frac {16}{9}}\right)^{2}\approx 3{,}16.}

Древнегреческие математики своей задачей считали не вычисление, а точное построение искомого квадрата («квадратуру»), причём, в соответствии с тогдашними принципами, только с помощью циркуля и линейки. Проблемой занимались крупнейшие античные учёные — Анаксагор, Антифон, Брисон Гераклейский, Архимед, Спор и другие.

Гиппократ Хиосский в IV веке до н. э. первым обнаружил, что некоторые криволинейные фигуры (гиппократовы луночки) допускают точную квадратуру. Расширить класс таких фигур античным математикам не удалось. По другому пути пошёл его современник Динострат, показавший, что квадратуру круга можно строго выполнить с помощью особой кривой — квадратрисы^[2].

В «Началах» Евклида (III век до н. э.) вопрос о площади круга не затрагивается. Важным этапом в исследовании проблемы стало сочинение Архимеда «Измерение круга», в котором впервые строго доказана теорема: площадь круга равна площади прямоугольного треугольника, у которого один катет равен радиусу круга, а другой — длине окружности. Это означало, что если удастся осуществить «спрямление окружности», то есть построить отрезок такой же длины, то проблема будет полностью решена. Архимед также дал оценку^[3] числа π{\displaystyle \pi }:

22371<π<227;{\displaystyle {\frac {223}{71}}<\pi <{\frac {22}{7}};\quad } в десятичной записи: 3,1408<π<3,1429{\displaystyle 3{,}1408<\pi <3{,}1429}

Дальнейшие исследования индийских, исламских и европейских математиков по этой теме долгое время касались в основном уточнения значения числа π{\displaystyle \pi } и подбора приближённых формул для квадратуры круга. В средневековой Европе задачей занимались Фибоначчи, Николай Кузанский и Леонардо да Винчи. Позднее обширные исследования опубликовали Кеплер и Гюйгенс. Постепенно укреплялась уверенность в том, что число π{\displaystyle \pi } не может быть точно выражено с помощью конечного числа арифметических операций (включая извлечение корня), отсюда вытекала бы невозможность квадратуры круга^[4]. В 1775 году Парижская академия наук (за которой последовал ряд других академий мира) постановила не принимать к рассмотрению попытки квадратуры круга и прочих неразрешимых задач.

Иррациональность числа π{\displaystyle \pi } была доказана Ламбертом в 1766 году в работе «Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга». Труд Ламберта содержал пробелы, вскоре исправленные Лежандром (1794 год). Окончательное доказательство неразрешимости квадратуры круга дал в 1882 году Линдеман (см. следующий раздел)^[5]. Математики также предложили множество практически полезных способов приближённой квадратуры круга с хорошей точностью^[6].

Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: x2=π{\displaystyle x^{2}=\pi }, откуда: x=π{\displaystyle x={\sqrt {\pi }}}. С помощью циркуля и линейки можно выполнить все 4 арифметических действия и извлечение квадратного корня; отсюда следует, что квадратура круга возможна в том и только в том случае, если с помощью конечного числа таких действий можно построить отрезок длины π{\displaystyle \pi }. Таким образом, неразрешимость этой задачи следует из неалгебраичности (трансцендентности) числа π{\displaystyle \pi }, которая была доказана в 1882 году Линдеманом.

Однако эту неразрешимость следует понимать, как неразрешимость при использовании только циркуля и линейки. Задача о квадратуре круга становится разрешимой, если, кроме циркуля и линейки, использовать другие средства (например, квадратрису). Простейший механический способ предложил Леонардо да Винчи^[7]. Изготовим круговой цилиндр с радиусом основания R{\displaystyle R} и высотой R2{\displaystyle {\frac {R}{2}}}, намажем чернилами боковую поверхность этого цилиндра и прокатим его по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью πR2{\displaystyle \pi R^{2}}. Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат.

Из теоремы Линдемана также следует, что осуществить квадратуру круга нельзя не только циркулем и линейкой, то есть с помощью прямых и окружностей, но и с помощью любых других алгебраических кривых и поверхностей (например, эллипсов, гипербол, кубических парабол и т. п.)^[8].

Пусть a{\displaystyle a} — сторона квадрата, D{\displaystyle D} — диагональ квадрата, r{\displaystyle r} — радиус круга. Равенство площадей квадрата и круга: πr2=a2{\displaystyle \pi r^{2}=a^{2}}. По теореме Пифагора D2=a2+a2{\displaystyle D^{2}=a^{2}+a^{2}}, откуда D=a2{\displaystyle D=a{\sqrt {2}}}, a=D2{\displaystyle a={\frac {D}{\sqrt {2}}}}. Подставив a{\displaystyle a} в равенство, получим πr2=(D2)2{\displaystyle \pi r^{2}=\left({\frac {D}{\sqrt {2}}}\right)^{2}}. Выразив D{\displaystyle D}, получим D=r2π≈2.506628275⋅r{\displaystyle D=r{\sqrt {2\pi }}\approx 2.506628275\cdot r}. Диагональ искомого квадрата приближённо равна 2,5 радиусам круга. Построив квадрат со стороной указанной длины и взяв половину его диагонали, получим сторону искомого приближённого квадрата^[9]. При данном построении погрешность составит 0.016592653 . При исходном радиусе в 1 метр вы получите «недостачу по площади» в размере чуть более 10 спичечных коробков.

Математическое доказательство невозможности квадратуры круга не мешало многим энтузиастам тратить годы на решение этой проблемы. Тщетность исследований по решению задачи квадратуры круга перенесла этот оборот во многие другие области, где он попросту обозначает безнадёжное, бессмысленное или тщетное предприятие. См. также вечный двигатель.

1. ↑ Пять знаменитых задач древности, 1975, с. 10—11..
2. ↑ Пять знаменитых задач древности, 1975, с. 24—27..
3. ↑ Пять знаменитых задач древности, 1975, с. 30—34..
4. ↑ Пять знаменитых задач древности, 1975, с. 97—98..
5. ↑ Пять знаменитых задач древности, 1975, с. 144—168..
6. ↑ Пять знаменитых задач древности, 1975, с. 188—191..
7. ↑ Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб: ЛКИ, 2008. — С. 71. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.
8. ↑ Рудио Ф., 1936, с. 87.
9. ↑ Можно ли построить квадратуру круга?

• Белозеров С. Е. Пять знаменитых задач древности. История и современная теория. — Ростов: изд-во Ростовского университета, 1975. — 320 с.
• Манин Ю. И. О разрешимости задач на построение с помощью циркуля и линейки. Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая (геометрия), М., Физматгиз, 1963. — 568 с.
• Перельман Я. И. Квадратура круга. Л.: Дом занимательной науки, 1941.
• Прасолов В. В.. Три классические задачи на построение. Удвоение куба, трисекция угла, квадратура круга. М.: Наука, 1992. 80 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 62.
• Рудио Ф. О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). — Изд. 3-е. — М.—Л.: ОГИЗ, 1936. — 237 с. — (Классики естествознания).
• Хал Хеллман. Великие противостояния в науке. Десять самых захватывающих диспутов. Глава 2. Валлис против Гоббса: Квадратура круга = Great Feuds in Science: Ten of the Liveliest Disputes Ever. — М.: «Диалектика», 2007. — 320 с. — ISBN 0-471-35066-4.
• Чистяков В. Д. Три знаменитые задачи древности. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963. — 96 с..
• Щетников А. И. Как были найдены некоторые решения трёх классических задач древности? // Математическое образование. — 2008. — № 4 (48). — С. 3—15.

Материал по математике «Круг и его элементы»

Круг и его элементы

1.

Най­ди­те (в см²) пло­щадь S за­кра­шен­ной фи­гу­ры, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). В от­ве­те за­пи­ши­те .

2. Най­ди­те пло­щадь круга, длина окруж­но­сти ко­то­ро­го равна .

3. Пло­щадь круга равна . Най­ди­те длину его окруж­но­сти.

4. Най­ди­те пло­щадь сек­то­ра круга ра­ди­у­са , цен­траль­ный угол ко­то­ро­го равен 90°.

5. Най­ди­те пло­щадь сек­то­ра круга ра­ди­у­са 1, длина дуги ко­то­ро­го равна 2.

6. Най­ди­те пло­щадь коль­ца, огра­ни­чен­но­го кон­цен­три­че­ски­ми окруж­но­стя­ми, ра­ди­у­сы ко­то­рых равны и .

7. Най­ди­те цен­траль­ный угол сек­то­ра круга ра­ди­у­са , пло­щадь ко­то­ро­го равна . Ответ дайте в гра­ду­сах.

8. Пло­щадь сек­то­ра круга ра­ди­у­са 3 равна 6. Най­ди­те длину его дуги.

9. Най­ди­те пло­щадь круга, счи­тая сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток рав­ны­ми 1. В от­ве­те ука­жи­те .

10.Най­ди­те хорду, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся угол 30°, впи­сан­ный в окруж­ность ра­ди­у­са 3.

11. Ка­са­тель­ные CA и CB к окруж­но­сти об­ра­зу­ют угол ACB, рав­ный 122°. Най­ди­те ве­ли­чи­ну мень­шей дуги AB, стя­ги­ва­е­мой точ­ка­ми ка­са­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах.

12. Вы­со­та пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна 3. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около этого тре­уголь­ни­ка.

13. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка, равен 3. Най­ди­те вы­со­ту этого тре­уголь­ни­ка.

14. Ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 12. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

15. Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, равен 4. Най­ди­те ги­по­те­ну­зу этого тре­уголь­ни­ка.

16. Чему равна сто­ро­на пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка, впи­сан­но­го в окруж­ность, ра­ди­ус ко­то­рой равен 6?

17. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пра­виль­ный тре­уголь­ник, вы­со­та ко­то­ро­го равна 6.

18. Около тра­пе­ции опи­са­на окруж­ность. Пе­ри­метр тра­пе­ции равен 22, сред­няя линия равна 5. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции.

19. Най­ди­те (в см²) пло­щадь коль­ца, изоб­ра­жен­ного на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). В от­ве­те за­пи­ши­те .

 

 

20.

На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­ны два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 51. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

21. На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­но два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 1. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

22.На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­но два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 9. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

23. На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ван круг пло­ща­дью 48. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­но­го сек­то­ра.

24. На клет­ча­той бу­ма­ге изоб­ражён круг. Ка­ко­ва пло­щадь круга, если пло­щадь за­штри­хо­ван­но­го сек­то­ра равна 32?

25. Пло­щадь за­кра­шен­но­го сек­то­ра, изоб­ражённого на клет­ча­той бу­ма­ге (см. рис.), равна 6. Най­ди­те пло­щадь круга.

26. Из круга с ра­ди­у­сом 7 вы­ре­зан сек­тор, пло­щадь ко­то­ро­го равна 35. Най­ди­те длину дуги сек­то­ра.

Геометрические понятия: окружность и круг. Математика, 5 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Длина радиуса окружности Сложность: лёгкое	1
2.	Длина диаметра окружности Сложность: среднее	2
3.	Точки окружности и круга Сложность: среднее	2
4.	Принадлежность точки окружности или кругу Сложность: среднее	1
5.	Диаметры и радиусы Сложность: среднее	2
6.	Общие точки окружностей и кругов Сложность: среднее	2
7.	Сравнение диаметров и радиусов Сложность: сложное	3

Методическая разработка (средняя, старшая, подготовительная группа) на тему: Математика для дошкольников. Математические игры с кругами Луллия.

Дидактические игры с кругами Луллия.

Математика для дошкольников.

Математика для дошкольников довольно непростая наука, которая может вызвать трудности во время школьного обучения. Ведь далеко не все дети имеют математический склад ума, и не у всех есть природная тяга к точным наукам. Максимального эффекта при формировании элементарных математических представлений можно добиться, используя занимательные упражнения, дидактические игры, задачи, интересные и яркие пособия. 

В XIII веке французский философ Раймунд Луллий создал бумажную машину виде бумажных кругов, построенных по троичной логике – кольца Луллия. Впоследствии авторы технологии ТРИЗ признали их очень эффективным. 

Простота конструкции позволяет изготовить их своими руками и использовать в детском саду, как в организованной, так и самостоятельной образовательной деятельности детей. 

С помощью Колец Луллия можно такие решать задачи по формированию элементарных математических представлений у дошкольников: 

— учить детей на наглядной основе составлять и решать простые арифметические задачи на сложение и на вычитание; 
— закрепить состав числа из двух меньших чисел; 
— учить называть последующее и предыдущее число к названному или обозначенному цифрой, определять пропущенное число; 
— учить распознавать геометрические фигуры независимо от их пространственного положения; 
— развивать у детей геометрическую зоркость: умение анализировать и сравнивать предметы по форме, находить предметы одинаковой и разной формы.

К данному пособию разработаны дидактические игры: 

1. «Сочиняем задачи», 
2. «Кто соседи?», 
3. «Продолжи цепочку», 
4. «Подбери цифру», 
6. «Найди фигуры»; 
7. «Из чего состоит число» и др. 

Дидактическая игра «Сочиняем задачи» 

Цель: закрепить умение составлять и решать арифметические задачи. 

Ход игры: На нижнее кольцо разложить предметные картинки, на среднее – цифры 1 или 2 со знаком на сложение или на вычитание, на верхнее – цифры от 1 до 9. Кольца раскрутить и с помощью стрелки определить, какую задачу будут составлять. Например, стрелка показала: шарики, +1, 6. Дети составляют задачу на сложение о шариках. «У Маши было 6 шариков. Папа купил ещё один. Сколько шариков стало у Маши?» 

Дидактическая игра «Найди фигуры» 

Цель: развивать у детей геометрическую зоркость, закрепить умение определять из каких фигур состоит предмет. 

Ход игры: На нижнее кольцо разложим изображения, состоящие их геометрических фигур, на среднее и верхнее – отдельные геометрические фигуры. С помощью стрелки выбираем изображение, затем совмещаем с ним геометрические фигуры на среднем и верхнем кольце, из которых оно состоит. 

Дидактическая игра «Подбери цифру» 

Цель: закрепить умения соотносить цифру и количество предметов. 

Ход игры: На среднее и верхнее кольцо раскладываем предметные картинки, на нижнее – цифры. С помощью стрелки выбираем цифру. Предлагаю детям рассмотреть цифру, правильно назвать её, затем подобрать картинку на среднем и верхнем круге, количество предметов на которой соответствует этой цифре. 

Дидактическая игра «На что похоже» 

Цель: учить детей соотносить форму предметов с известными геометрическими фигурами. 

Ход игры: На нижний круг раскладываем предметные картинки, на средний и верхний  — геометрические фигуры. С помощью стрелочки определяем геометрическую фигуру, затем находим картинки с похожими предметами по форме. 

В активный словарь дошкольников вносятся понятия – бесформенный, многоугольный, трапециевидный, ромбовидный, треугольный, квадратный, круглый.

Например:

прямоугольный стол

овальный огурец

квадратные часы

круглый мяч

треугольная пирамидка

трапециевидная юбка

ромбовидный воздушный змей

Дидактическая игра «Продолжи цепочку» 

Цель: развивать логическое мышление. 

Ход игры: На нижнее кольцо разложить карточки с цепочкой из геометрических фигур, на среднее и верхнее – отдельные геометрические фигуры. С помощью стрелки выбрать карточку и продолжаем цепочку, поворачивая средний и верхний круг. 
 

Дидактическая игра «Из чего состоит число» 

Цель: закрепить состав числа из двух меньших чисел. 

Ход игры: На все три круга разложить цифры. Стрелкой выбрать число на нижнем круге и с помощью цифр на среднем и верхнем круге найти состав числа. 
 

Дидактическая игра «Кто соседи» 

Цель: учить называть последующее и предыдущее число. 
 

Ход  игры: На все три круга разложить цифры. Стрелкой выбрать число на среднем круге. На нижнем круге выбрать предыдущее число, на верхнем круге последующее. 

Математика для дошкольников.

Дидактические игры

с кругами Луллия.

Авторы:

Воспитатели старшей «Б» группы

Адаменко Лариса Алексеевна,

Огурцова Марина Александровна