Лекция по теме «Уравнения высших степеней. Методы их решения». 9-й класс

Основные цели:

1. Закрепить понятие целого рационального уравнения -й степени.
2. Сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3).
3. Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
4. Научить по виду уравнения определять наиболее эффективный способ его решения.

Формы, методы и педагогические приемы, которые используются учителем на уроке:

• Лекционно-семинарская система обучения (лекции – объяснение нового материала, семинары – решение задач).
• Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
• Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
• Использование исследовательского метода в обучении, направленного на развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого конкретного ученика.
• Печатный материал – индивидуальный краткий конспект урока (основные понятия, формулы, утверждения, материал лекций сжато в виде схем или таблиц).

План урока:

1. Организационный момент.
   Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержательные рамки урока.
2. Актуализация знаний учащихся.
   Цель этапа: актуализировать знания учащихся по изученным ранее смежным темам
3. Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3)
4. Подведение итогов.
   Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты в материале, изученном на уроке.
5. Домашнее задание.
   Цель этапа: сформулировать домашнее задание для учащихся.

Конспект урока

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: “Уравнения высших степеней. Методы их решения”.

2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос – беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Учащиеся формулируют основные определения и дают формулировки необходимых теорем. Приводят примеры, демонстрируя уровень полученных ранее знаний.

• Понятие уравнения с одной переменной.
• Понятие корня уравнения, решения уравнения.
• Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
• Понятие равносильности уравнений, уравнения-следствия (понятие посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
• Понятие целого рационального выражения с одной переменной.
• Понятие целого рационального уравнения n-й степени. Стандартный вид целого рационального уравнения. Приведенное целое рациональное уравнение.
• Переход к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
• Понятие многочлена n-й степени от x. Теорема Безу. Следствия из теоремы Безу. Теоремы о корнях (Z-корни и Q-корни) целого рационального уравнения с целыми коэффициентами (соответственно приведенного и неприведенного).
• Схема Горнера.

3. Изучение новой темы.

Будем рассматривать целое рациональное уравнение n-й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x : P_n(x) = 0 , где P_n(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a₁x + a

0 – многочлен n-й степени от x, a_n≠ 0. Если a_n = 1 то такое уравнение называют приведенным целым рациональным уравнением n-й степени. Рассмотрим такие уравнения при различных значениях n и перечислим основные методы их решения.

n = 1 – линейное уравнение.

n = 2 – квадратное уравнение. Формула дискриминанта. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выделение полного квадрата.

n = 3 – кубическое уравнение.

Метод группировки.

Пример: x³ – 4x² – x + 4 = 0 (x – 4)(x²– 1) = 0 x₁ = 4 , x₂ = 1, x₃ = -1.

Возвратное кубическое уравнение вида ax³ +

bx² + bx + a = 0. Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами.

Пример: x³ – 5x² – 5x + 1 = 0 (x + 1)(x² – 6x + 1) = 0 x₁ = -1, x₂ = 3 + 2, x₃ = 3 – 2.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный, и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z-корнях приведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: x³ – 9x² + 23x – 15 = 0. Уравнение приведенное. Выпишем делители свободного члена {

+1; +3; +5; +15}. Применим схему Горнера:

	x3	x2	x1	x0	вывод
	1	-9	23	-15
1	1	1 х 1 – 9 = -8	1 х (-8) + 23 = 15	1 х 15 – 15 = 0	1 – корень
	x2	x 1	x0

Получаем (x – 1)(x² – 8x + 15) = 0 x₁ = 1, x₂ = 3, x₃ = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. При применении этого метода необходимо сделать акцент на том, что перебор в данном случае конечный и корни мы подбираем по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q-корнях неприведенного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: 9x³ + 27x² – x – 3 = 0. Уравнение неприведенное. Выпишем делители свободного члена {+1; +3}. Выпишем делители коэффициента при старшей степени неизвестного. {

+1; +3; +9} Следовательно, корни будем искать среди значений {+1; +; +; +3}. Применим схему Горнера:

	x3	x2	x1	x0	вывод
	9	27	-1	-3
1	9	1 x 9 + 27 = 36	1 x 36 – 1 = 35	1 x 35 – 3 = 32 ≠ 0	1 – не корень
-1	9	-1 x 9 + 27 = 18	-1 x 18 – 1 = -19	-1 x (-19) – 3 = 16 ≠ 0	-1 – не корень
	9	x 9 + 27 = 30	x 30 – 1 = 9	x 9 – 3 = 0	корень
	x2	x1	x0

Получаем (x – )(9x² + 30x + 9) = 0 x₁ = , x

2 = — , x₃ = -3.

Для удобства подсчета при подборе Q-корней бывает удобно сделать замену переменной, перейти к приведенному уравнению и подбирать Z-корни.

• Если свободный член равен 1

.

• Если можно воспользоваться заменой вида y = kx

.

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений – это формула Кардано. Эту формулу связывают с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципиона дель Ферро (1465–1526). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n = 4 – уравнение четвертой степени.

Метод группировки.

Пример: x⁴ + 2x³ + 5x² + 4

x – 12 = 0 (x⁴ + 2x³) + (5x² + 10x) – (6x + 12 ) = 0 (x + 2)(x³ + 5x – 6) = 0 (x + 2)(x – 1)(x² + x + 6) = 0 x₁ = -2, x₂ = 1.

Метод замены переменной.

• Биквадратное уравнение вида ax⁴ + bx² + с = 0.

Пример: x⁴ + 5x² – 36 = 0. Замена y = x². Отсюда y₁ = 4, y₂ = -9. Поэтому x_1,2 = +2 .

• Возвратное уравнение четвертой степени вида ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0.

Решаем, объединяя члены с одинаковыми коэффициентами, путем замены вида

• Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax⁴ + bx³ + cx² – bx + a = 0.

• Обобщенное возвратное уравнение четвертой степени вида ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0.

• Замена общего вида. Некоторые стандартные замены.

Пример 1:

Пример 3. Замена общего вида (вытекает из вида конкретного уравнения).

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Формула общего вида. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эту формулу связывают с именем Людовико Феррари (1522–1565). Эта формула лежит за рамками нашего курса.

n > 5 – уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Z-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подбор Q-корней на основании теоремы. Схема Горнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Симметрические уравнения. Любое возвратное уравнение нечетной степени имеет корень x = -1 и после разложения его на множители получаем, что один сомножитель имеет вид (x + 1), а второй сомножитель – возвратное уравнение четной степени (его степень на единицу меньше, чем степень исходного уравнения). Любое возвратное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ содержит и корень вида . Используя эти утверждения, решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.

Метод замены переменной. Использование однородности.

Не существует формулы общего вида для решения целых уравнений пятой степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765–1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802–1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эварист Галуа (1811–1832)).

• Напомним еще раз, что на практике возможно использование комбинации перечисленных выше методов. Удобно переходить к совокупности уравнений более низких степеней путем разложения исходного уравнения на множители.
• За рамками нашего сегодняшнего обсуждения остались широко используемые на практике графические методы решения уравнений и методы приближенного решения уравнений высших степеней.
• Бывают ситуации, когда у уравнения нет R-корней.
Тогда решение сводится к тому, чтобы показать, что уравнение корней не имеет. Для доказательства анализируем поведение рассматриваемых функций на промежутках монотонности. Пример: уравнение x⁸ – x³ + 1 = 0 не имеет корней.
• Использование свойства монотонности функций
. Бывают ситуации, когда использование различных свойств функций позволяет упростить поставленную задачу.
Пример 1: уравнение x⁵ + 3x – 4 = 0 имеет один корень x = 1. По свойству монотонности анализируемых функций других корней нет.
Пример 2: уравнение x⁴ + (x – 1)⁴ = 97 имеет корни x₁ = -2 и x₂ = 3. Проанализировав поведение соответствующих функций на промежутках монотонности, заключаем, что других корней нет.

4. Подведение итогов.

Резюме: Теперь мы овладели основными методами решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В зависимости от вида уравнения мы должны будем научиться определять, какой способ решения в данном случае является наиболее эффективным, а также правильно применять выбранный метод.

5. Домашнее задание.

[1]: п.7, стр. 164–174, №№ 33–36, 39–44, 46,47.

[4]: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или рефератов по данной тематике:

• Формула Кардано
• Графический метод решения уравнений. Примеры решения.
• Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и интереса учащихся к теме:

Опыт показывает, что интерес учащихся в первую очередь вызывает возможность подбора Z-корней и Q-корней уравнений при помощи достаточно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также учащиеся интересуются различными стандартными типами замены переменных, которые позволяют существенно упрощать вид задачи. Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. В этом случае дополнительно можно разобрать задачи на графический метод решения уравнений; обсудить общий вид графика для многочлена 3, 4, 5 степени; проанализировать, как связано число корней уравнений 3, 4, 5 степени с видом соответствующего графика. Ниже приведен список книг, в которых можно найти дополнительную информацию по данной тематике.

Список литературы:

1. Виленкин Н.Я. и др. “Алгебра. Учебник для учащихся 9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2007 – 367 с.
2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. “За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс” – М., Просвещение, 2008 – 192 с.
3. Выгодский М.Я. “Справочник по математике” – М., АСТ, 2010 – 1055 с.
4. Галицкий М.Л. “Сборник задач по алгебре. Учебное пособие для 8-9 классов с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2008 – 301 с.
5. Звавич Л.И. и др. “Алгебра и начала анализа. 8–11 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики” – М., Дрофа, 1999 – 352 с.
6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. “Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе” – М. , Просвещение, 2007 – 112 с.
7. Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.1 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
8. Иванов А.А., Иванов А.П. “Тематические тесты для систематизации знаний по математике” ч.2 – М., Физматкнига, 2006 – 176 с.
9. Иванов А.П. “Тесты и контрольные работы по математике. Учебное пособие”. – М., Физматкнига, 2008 – 304 с.
10. Лейбсон К.Л. “Сборник практических заданий по математике. Часть 2–9 класс” – М., МЦНМО, 2009 – 184 с.
11. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. “Алгебра. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.” – М., Просвещение, 2006 – 224 с.
12. Мордкович А.Г. “Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник” – М., Мнемозина, 2006 – 296 с.
13. Савин А.П. “Энциклопедический словарь юного математика” – М. , Педагогика, 1985 – 352 с.
14. Сурвилло Г.С., Симонов А.С. “Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики” – М., Просвещение, 2006 – 95 с.
15. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 1–4” – М., Первое сентября, 2006 – 88 с.
16. Чулков П.В. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математик. Лекции 5–8” – М., Первое сентября, 2009 – 84 с.

Уравнения высших степеней

 

Методы решения уравнений высших степеней

 

1. Решение уравнений с помощью деления в столбик
2. Возвратные уравнения и к ним сводящиеся

·         Возвратные уравнения четной степени

·         Возвратные уравнения нечетной степени

3. Уравнения вида, где
4. Замена переменных по явным признакам
5. В следующих уравнениях используется “идея однородности”

·                Пример №1

·                Пример №2

·                Пример №3

6. Уравнения вида, где
7. В уравнениях вида  и в уравнениях к ним сводящимся
8. В уравнениях вида
9. Выделение полного квадрата
10. Решение уравнений с помощью формулы
11. Уравнения вида  и к ним сводящиеся
12. Решение уравнений относительно коэффициентов
13. Метод разложения на простейшие дроби

 

I)                Решение уравнений с помощью деления в столбик

 

Очевидно  — корень уравнения

Очевидно  — корень уравнения

Ответ: -5;2;3;4

 

II) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т. е. , ,

 

1)    Возвратные уравнения четной степени.

 

т.к.  — не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Введем замену.

Пусть , , получим

                    ;

Вернемся к замене.

                  или                

                                  

                                 корней нет

Ответ:

 

2) Возвратные уравнения нечетной степени

 

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного ур–ия нечетной степени один из корней всегда равен –1

Очевидно  — корень уравнения.

            или    

                                   т.к  — не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на

Введем замену.

Пусть , , , получим

            или                                           или                

                                                                        

                                                           

корней нет                                                                

Ответ: , ,

 

II)           Уравнения вида, где

 

решаются как возвратные.

 

 

IV) Замена переменных по явным признакам

 

 

V) В следующих уравнениях используется “идея однородности”

 

Пример №1

 

Введем замену.

Пусть , , тогда

1) если , тогда , тогда

 решений нет

2) Разделим обе части уравнения на , получим

Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим

;

;

Вернемся к замене.

                    или                

                                               корней нет

Ответ:

 

Пример №2

 

                               

Пусть , , тогда

Найдем

Составим систему:

Решая систему подстановкой, получим

                                  или                            

                                                          

                                                       

корней нет                                                               ;

Ответ: ;

 

Пример №3

 

 — не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на , получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

                        или                            

                                                         

;                                                            ;

Ответ: ; ; ;

VI) Уравнения вида, где

 

эффективно решать перемножением  и , а затем делать замену.

 

VII) В уравнениях вида  

и в уравнениях к ним сводящимся

 

в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

                  (1)                              

             (2)

При переходе  область определения уравнения сузилась на . Проверим, является ли  корнем уравнения. Не является.

Введем замену.

Пусть , , тогда

;

                        или                            

                                                       

                                                                       

Ответ: ;

 

VIII) В уравнениях вида

 

 обе части уравнения делятся на

 — не является корнем уравнения. Разделим на , получим

Введем замену.

Пусть ; , тогда

;

                                или                            

                                                                    

Ответ: ;

 

IX) Выделение полного квадрата

 

                            

Введем замену.

Пусть , тогда

;

Вернемся к замене.

                               или                            

                                                       

                                                          корней нет

Ответ:

 

X) Решение уравнений с помощью формулы

 

                                   или                            

                                                                    корней нет

 

XI) Уравнения вида  и к ним сводящиеся

 

решаются при помощи замены

Введем замену.

Пусть , тогда

                                    или                             корней нет

;

Вернемся к замене.

                     или                

                                             

Ответ: ;

 

XII) Решение уравнений относительно коэффициентов

 

                         

                               или                            

                                                            

                                                             

                                                                 

;                                           — посторонний корень

корней нет                                                   

                                                                                             

Ответ: ;

 

XIII) Метод разложения на простейшие дроби

 

                                                      

Ответ:

© Gussnick corp.  2009 Н.В. Гусятников [email protected]

Методы решения уравнений высших степеней

Есин Валентин Васильевич ,пенсионер

Аннотация

Предложенные в статье методы расширяют возможности использования математического аппарата и позволяют решать широкий круг народно-хозяйственных задач, в том числе, и исследования процессов, описываемых уравнениями высших степеней.

Ключевые слова: уравнение, метод, алгоритм, реализация.

Keywords:the equation, method, algorithm, realization.

Известно, что прямого  решения  алгебраических уравнений степени выше 4-й не существует [1].

Предлагаю методы решения уравнений 5-й и выше степеней. Их суть…

1.  Существует метод «касательных» для определения корня уравнения, находящегося  в некотором интервале.

Пусть f(x) – график функции, к которому проведена касательная в точке  y_{1. ;}

Как видно из рисунка 1, чем меньше Δx_i= x_i+1-x_i, тем ближе график f(x) приближается  к прямой линии.

Т. е. при малых Δx график функции f(x) можно заменить касательной к графику функции.

Тогда: Δf(x) =f(x₁+Δx₁)-f(x₁)= f¹(x₁)*Δx_1,

гдеf¹(x₁) – первая производная функцииf(x) в точке x₁

Если в данном выражении f(x₁+Δx₁) приравнять к 0, то получим:

 Δx₁ = — f(x₁) / f¹(x₁)  _. (1)

Найдя x₂= x₁₊ Δx₁₌x₁ — f(x₁) / f¹(x₁)  _,  и определив значения f(x₂) и f¹(x₂) _, можно на очередном шаге найти значение x₃ = x₂ — f(x₃) / f¹(x₃)  _,  и т. д_. с каждым шагом приближаясь к графику функции f(x).

В итоге, через определенное количество шагов, можно с требуемой точностью найти корень исходного уравнения f(x) =0

Выражение (1) можно получить, если в известной преобразованной формуле бинома Ньютона [2]:

Fⁿ(x+Δx)=fⁿ(x)+f¹(x)*Δx+ f¹¹(x)*Δx²/2!+ f¹¹¹(x)*Δx³/3!+….+ f^{( n)} (x)*Δxⁿ/n!(2)

(которая, кстати, получается путем замены в функции fⁿ(x) аргумента Х на выражение Х+Δx)  — отбросить все члены, содержащие производные второго порядка и выше, и устремить f(x+Δx) к нулю.

(Действительно, при малых Δx выражениями Δx², Δx³ ,Δxⁿ…можно пренебречь.

Однако не стоит забывать о коэффициентах при Δx², Δx³ ,Δxⁿ, а также о стационарных точках, когдаf¹(x)=0. )

 

2.  Если же в выражении (2) отбрасывать не все последующие члены, а только последний член,содержащий Δxⁿ, то можно получить другую функциюψ₁(x), график которой с большей достоверностью приближается к функции f(x), чем график прямой линии.

Тогда:

ψ₁(x₁+Δx₁)= f (x₁)+f ¹(x₁)*Δx₁+ f ¹¹(x₁)*Δx₁²/2+ f ¹¹¹(x₁)*Δx₁³/3!+….+

f ^{( n-1)} (x₁)*Δx₁^n-1 /(n1)! (3)

Устремив выражение ψ₁(x₁+Δx₁) 0, мы получаем уравнение (n-1)-степени относительно Δx₁:

Δx₁^n-1+а1*Δx₁^n-2+в1*Δx₁^n-3+…+k1=0 (4)

где: коэффициенты а1,в1…k1- получаются путем деления каждого члена ψ₁(x₁+Δx₁) на выражение f^{( n-1)} (x₁)/(n-1)!

Решив уравнение (4), получаем значение Δx_1, а следовательно,уточненное значение корня x₂  = x₁+Δx₁, при котором f(x) стремится к 0.

При необходимости, повторяя данный прием, мы находим новую функцию ψ₂ (x), следовательно, и новое уравнение

Δx₂^n-1+а2*Δx₂^n-2+в2*Δx₂^n-3+…+k2 = 0  ,  (5) 

    где: коэффициенты а2,в2…k2- получаются путем деления каждого члена ψ₂(x₂+Δx₂) на выражение f^{( n-1)} (x₂)/(n-1)!

Решая уравнение (5), находим значения Δx₂и соответственно x₃ =x₂+Δx₂ и т.д., пока не найдем корень исходного уравнения f(x)=0 :

X1 = x₁ + Δx₁ + Δx₂ + Δx₃ …+ Δx_n(6)

;Как видно из рис.2 и подтверждает практика решения уравнений  [3], здесь уже нет жесткого ограничения на стремление Δx_i  к 0, и требуется гораздо меньшее  число шагов для определения (уточнения) одного из корней уравнения.

Таким образом, от уравнения f(x) (n)-степени мы перешли к последовательному решению уравнений(n-1)-степени (пусть и относительно новой переменной Δx), т.е.фактически понизили степень уравнения.

3.Поскольку любой многочлен f(x), имеющий корниx_i , можно представить в виде произведения:(x-x₁)*(x-x₂)*…(x-x_i),

то, поделив f(x) на (x-x1), мы  получаем новый многочлен, а, следовательно, и новую функцию φ(x) (n-1)-степени, (снова понижение степени уравнения) решая которую, мы получаем все остальные корни исходного уравненияf(x)=0:X_2,X_3,X_4,X_5.

Все эти три приема используются в программной реализации метода[3]:

1- в качестве дополнительного,2 и 3- в качестве основного.

4.    Решения уравнений высших степеней можно пояснить на примере решения уравнения 5-й степени в виде блок – схемы, изображенной на рис 3.

4, x³, x², x  иx⁰ соответственно (уравнение приведенное).

Блок-4 f ¹(x) дифференцирует исходное уравнение и находит корни производной.

В анализаторе Хг определяется знак и значение функции f (x_i¹) в стационарных и близлежащих точках точках, по которым с помощью первого метода находится грубое значение одного из корней исходного уравнения  Хг .

       Это грубое значение Хг поступает в следующий блок4: ψ(Хг), где с помощью 2-го метода вычисляется значение Δx и, соответственно, более точное значение x_.

       Анализатор-X проверяет достаточность точности вычисления первого корня X_1.

       В очередном блоке 4: φ(Х) производится деление f(x) на) (x-X1), согласно 3-ьему методу, и определение оставшихсякорней исходного уравнения: X_2,X_3,X_4,X_5.

Рис з.

В случае браковки первого корня повторяется цикл его уточнения и т.д.

Как видно из блок -схемы, основным элементом решения уравнения 5-й степени является блок-4 (подпрограмма для известного решения уравнения 4-ой степени [1]).

По такому же принципу построены и остальные подпрограммы решения уравнений (до 9 –й степени включительно) программнойреализации метода, выполненного в Excel [3]. С той лишь разницей, что в качестве основного блока-«кирпичика» используется блок уже большей степени (степень «кирпичика» меньше степени уравнения на 1 ступень).

Хотелось бы остановиться на вопросе точности  (приближенном значении вычисления) корней уравнений высших степеней: Поскольку используется метод обратной связи для проверки соответствия выраженияfⁿ (x_i) =0, то точность решения уравнений определяется лишь нашими желаниями (методами реализации решений на практике) и нашими возможностями (мощности и разрядностью компьютеров).

 (Если в Excel оперировать 15-значащими разрядами, то при больших значениях корней и повышения степени уравнений погрешность вычисления значительно возрастает).

Кроме того, определенные ограничения на решения уравнений накладывает необходимость точной постановки вопросов решаемой задачи (а именно, точное определение коэффициентов уравнения, что с практической точки зрения решения народно- хозяйственных задач, требует более совершенных методов и приборов измерения).

       В заключение, предвидя возражение оппонентов по поводу неактуальности постановки такой задачи,как решение уравнений высших степеней, приведу эпиграф к одной из подпрограмм:

Нельзя не видеть дальше носа и говорить, что мир курнос…

Что он в век «нанотехнологий» до сей проблемы не дорос…

P.S.: Методырешения уравнений высших степеней разработаны в 2003-2004 г, но проверены только после их программной реализации в2006-2007г. Предложенный подход в теоретическом плане открывает перспективы решения уравнений высших степеней гораздо более высокой степени (свыше 9-й) и в практической сфере – совершенствование уже созданного варианта  решения уравнений 5-9 степени. [3]

 

Литература:

Электронные ресурсы (ресурсы Интернета):

1.Википедия.Уравнение четвертой степени.

ru.wikipedia.org/wiki/ Уравнение _четвертой _степени.

2.Википедия.Бином Ньютона.

ru.wikipedia.org/wiki/ Бином_Ньютона.

 

Дополнительные материалы:

3.Свидетельство  о государственной регистрации программы для ЭВМ №2008611944  Приложение в среде разработки Excel: «Решение уравнений высших степеней(5:9)»

от 18 апреля 2008 г,  автор  Есин В.В.

 

 

 

 

 

«Решение уравнений высших степеней с помощью формул»

«Решение уравнений высших степеней с помощью формул».

Работу выполнила: ученица ГОУ школы №481 с углубленным изучением немецкого языка 11а класса Сивак Мария

Руководитель: учитель математики школы № 481 Тихомирова Наталья Александровна

Тезисы для VIII НПК.

Уравнение третьей, четвертой степени мы пытаемся решить с помощью разложения на множители (по формуле суммы; разности кубов, преобразования в куб суммы, разности; способом группировки; используя теорему Безу и схему Горнера), но некоторые уравнения решаются затруднительно или не решаются вообще. Поэтому у меня возник вопрос, существуют ли формулы для решения уравнений высших степеней, аналогичные формуле Виета для решения квадратных уравнений. Это говорит об актуальности темы. Мне стало необходимо в этом разобраться.

Объекты исследования: уравнения высших степеней.

Предмет исследования: формулы для решения уравнений высших степеней.

Цель работы: состояла в нахождении и изучении формул для решения уравнений высших степеней.

Для достижения поставленной цели потребовалось решить следующие конкретные задачи, такие как: проанализировать научную и учебную литературу по этому вопросу, изучить историю возникновения формул, разобраться в доказательстве формул и проанализировать методы решения уравнений, провести эсперементальную проверку действия этих формул и выяснить эффективность при решении уравнений.

План:

1.Введение

Теоретическая часть

1.1Историческая справка

1.2. Формула Виета

1.3.Кубические уравнения, история решения

1.4.Вывод формулы Дж.Кардано

1.5.Уравнение четвертой степени

2.Практическая часть

2.1.Примеры решения уравнений

2.2.Выводы

Заключение

Выводы: исходя из практического применения формул для решения уравнений высших степеней, видно, что не всегда удобно использовать именно формулу, так как ее применение делает решение более громоздким. При выборе способа решения, знания формул и методов решения уравнений позволяют выбрать наиболее эффективный. В XVIII веке было доказано, что не существует формул нахождения корней пятой и более степеней.

Литература:

Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. М.: Наука, 1981.
Квант. 1976. №9.
Никифоровский В.А. В мире уравнений. М.: Наука, 1987.
Никифоровский В.А., Фрейман Л.С. Рождение новой математики. М.: Наука, 1976.
Квант. 1991. №3

Для представления работы необходимо следующее техническое оснащение: ноутбук, мультимедийный проигрыватель и экран.

Уравнения высших степеней

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х³ – 1)² + х⁵ = х⁶ – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х⁵ – 2х³ + 3 = 0 пятой степени.

Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Если α – корень Р(х), то Р_n(х) = (х – α) · Q_{n – 1}(x), где Q_{n – 1}(x) – многочлен степени (n – 1).

4. Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6. Для многочлена третьей степени

Р₃(х) = ах³ + bx² + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р₃(x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р₃(x) = а(х – α)(х² + βх + γ).

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).

10. Теорема Виета: Если х₁, х₂, …, х_n – действительные корни многочлена

Р(х) = а₀хⁿ + а₁х^{n — 1} + … + а_n, то имеют место следующие равенства:

х₁ + х₂ +  …  + х_n = -а₁/а₀,

х₁ · х₂ + х₁ · х₃ + … + х_{n – 1} · х_n = a₂/а₀,

х₁ · х₂ · х₃ + … + х_{n – 2} · х_{n – 1} · х_n = -a₃ / а₀,

…

х₁ · х₂ · х₃ · х_n = (-1)ⁿa_n / а₀.

Решение примеров

Пример 1.

Найти остаток от деления Р(х) = х³ + 2/3 x² – 1/9 на (х – 1/3).

Решение.

По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.

Ответ: R = 0.

Пример 2.

Разделить «уголком» 2х³ + 3x² – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.

Решение:

2х³ + 3x² – 2х + 3| х + 2

2х³ + 4x²               2x² – x

         -x² – 2x

         -x² – 2x

                        3      

Ответ: R = 3; частное: 2х² – х.

Основные методы решения уравнений высших степеней

1. Введение новой переменной

Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = xⁿ или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:

(t₁, t₂, …, t_n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t₁, q(x) = t₂, … , q(x) = t_n, из которых находят корни исходного уравнения.

Пример 1.

(х² + х + 1)² – 3х² – 3x – 1 = 0.

Решение:

(х² + х + 1)²  – 3(х² + x) – 1 = 0.

(х² + х + 1)²  – 3(х² + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х² + х + 1) = t.

t² – 3t + 2 = 0.

t₁ = 2, t₂ = 1. Обратная замена:

х² + х + 1 = 2 или х² + х + 1 = 1;

х² + х — 1 = 0 или х² + х = 0;

Ответ: Из первого уравнения: х_{1, 2} = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример 1.

х⁴ – 3x² + 4х – 3 = 0.

Решение.

Представим — 3x² = -2x² – x² и сгруппируем:

(х⁴ – 2x²) – (x² – 4х + 3) = 0.

(х⁴ – 2x² +1 – 1) – (x² – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х² – 1)² – 1 – (x – 2)² + 1 = 0.

(х² – 1)² – (x – 2)² = 0.

(х² – 1 – х + 2)(х² – 1 + х — 2) = 0.

(х² – х + 1)(х² + х – 3) = 0.

х² – х + 1 = 0 или х² + х – 3 = 0.

Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х_{1, 2} = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Пример 1.

х³ + 4x² + 5х + 2 = 0.

Решение.

Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х³ + 4x² + 5х + 2 = (х – а)(x² + bх + c),

х³ + 4x² + 5х + 2 = х³ +bx² + cх – ax² – abх – ac,

х³ + 4x² + 5х + 2 = х³ + (b – a)x² + (cх – ab)х – ac.

Решив систему:

{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,

получим

{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.

х³ + 4x² + 5х + 2 = (х + 1)(x² + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x² + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а₀, а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Пример 1.

6х³ + 7x² – 9х + 2 = 0.

Решение:

2 : p = ±1, ±2

6 : q = 1, 2, 3, 6.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

Ответ: -2; 1/2; 1/3.

 Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения

Тема: «Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения»

Цель исследования:

Ознакомиться со способами решения уравнений высших степеней, изучающихся в школьной программе, в частности рассмотреть  возвратные уравнения.

Гипотеза исследования:

Данная тема актуальна для учащихся старших классов школы, в частности выпускников одиннадцатого класса. Подобный вид уравнений встречает во второй части ЕГЭ в задании №13, а также некоторые задачи может сводиться к решению возвратных уравнений. Знание методов решения подобных уравнений значительно упростит нахождение корней, а также сэкономить время при решении уравнений.

Задачи исследования:

• Изучить историю развития решения уравнений высших степеней
• Рассмотреть виды уравнений высших степеней и методы их решения
• Познакомиться с определением возвратного уравнения, свойствами и методами решения
• Провести анкетирование
• Создать памятку по решению возвратных уравнений

Методы исследования:

• Теоретический анализ литературы и материалов сети Internet
• Практический – создание изображения созвездий на координатной плоскости ;
• Синтез – обобщение материалов теории и полученных результатов.

 

Историческая хронология событий:

Хронология

Более подробно изучим данную тему:

Основная часть проекта

Результаты опроса:

Интересные, курьезные и т.п. факты:

 

Выводы:

Дополнительный материал к проекту:

Памятка по решению возвратных уравнений- broshyura

Используемые источники:

Создание тизера: URL: https://www.powtoon.com/

Создание ленты времени: URL: https://www.timetoast.com/

Для проведения опроса: URL: https://docs.google.com/forms/

Оформление основной части проекта: URL: https://prezi.com/

Создание комикса: URL: http://www.toondoo.com

Оформление вывода: URL: https://www.canva.com/

Обратная связь при помощи: URL:https://www.mentimeter.com/

Для поиска информации были использованы интернет источники: URL: https://nsportal. ru/shkola/algebra/library URL:https://ru.wikipedia.org/wiki/   URL: http://www.resolventa.ru/spr/algebra/red2.htm

Для поиска информации были использованы печатные издания: 1) Решение уравнений высших степеней: Элективный курс для учащихся 10-11 классов: учебно-методическое пособие. Волгоград: Издательство ВГПУ «Перемена», 2007. Сахарчук Е.И., Сагателова Л.С.  2) Вавилов В. В., Мельников И. И., Олехник С. Н., Пасиченко П. И. Задачи по математике. Уравнения и неравенства. М.: Наука, 1987)

Методы решения алгебраических уравнений высшего порядка.

Содержание Введение…………………………………………………………………………2 Глава I. Методы решения алгебраических уравнений высшего порядка 1.1 Метод разложения многочлена на множители…………………….3 1.2 Метод введения новой переменной (метод подстановки)…………4 1.3 Возвратные или симметрические уравнения…………………….5-6 1.4 Схема Горнера……………………………………………………….7 1.5 Теорема Безу…………………………………………………………8 Глава II. Практическая часть 2.1 Задачи по методу разложения многочлена на множители……9-10 2.2 Задачи по методу введения новой переменной (метод подстановки) ………………………………………………………………..11-12 2.3 Задачи по возвратным и симметрическим уравнениям………..13-15 2.4 Задачи по схеме Горнера…………………………………………16-17 2.5 Задачи по теореме Безу…………………………………………..18-19 Глава III. Разработки уроков Анализ учебников для классов с углубленным изучением математики…………………………………………………………………..20-22 3.1 Разработка урока «Метод разложения многочлена на множители»………………………………………………………………….23-26 3.2 Разработка урока «Метод введения новой переменной (метод подстановки)»……………………………………………………………….27-31 3.3 Разработка урока «Теорема Безу. Схема Горнера и ее применение»…………………………………………………………………32-34 Заключение ……………………………………………………..…………….35 Список использованной литературы и Интернет-ресурсов …………….36 Введение 1 Уравнение в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится больше времени, чем на любую другую тему. Уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат практическим целям. Число задач о пространственных формах и количественных отношениях сводится к решению различных видов уравнений. Уравнение называется алгебраическим, если каждая из его частей есть многочлен или одночлен по отношению к неизвестным величинам. Решение уравнений n-ой степени является важной задачей. Интерес к ним достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны с поиском корней уравнений, не рассматриваемых в школьной программой по математике. Актуальность данной курсовой работы «Методы решения алгебраических уравнений высшего порядка». Цель курсовой работы: изучение известных способов решения уравнений высшего порядка и выявление наиболее доступных из них для практического применения. Задачи курсовой работы: • Изучить литературу и Интернет-ресурсы по данной теме; • Описать различные способы решения алгебраических уравнений высшего порядка; • Познакомить школьников с методами решения алгебраических уравнений высшего порядка; Объект курсовой работы: Уравнения высших степеней. Предмет курсовой работы: Методы решения алгебраических уравнений высшего порядка. Структура курсовой работы: Данная курсовая работа состоит из введения, трех глав, 14 параграфов, заключения и списка использованных источников и литературы. Глава I. Методы решения алгебраических уравнений высшего порядка Определение. Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение вида , где – многочлен степени n, т.е. . 2 Решение: Нетрудно заметить, сто данное уравнение является возвратным нечетной степени и, следовательно, имеет корень x=-1. Разделим многочлен на двучлен : — — — — — Остается решить возвратное уравнение 4-й степени. Так как х=0 не является корнем данного уравнения, то можно разделить обе части данного уравнения на х2. Получим . Сделаем замену переменных . Тогда 2 т.е. Получим уравнение (степень уравнения понизилась вдвое). Решим квадратное уравнение По теореме Виета числа у1=4 и у2=6 – являются его корнями. Далее Таким образом, исходное уравнение 5-й степени имеет 5 корней: Ответ: 5 1. 4 Схема Горнера (или правило Горнера, метод Горнера) Схема Горнера – это алгоритм вычисления значения многочлена, записанного в виде суммы одночленов, при заданном значении переменной. Метод Горнера позволяет найти корни многочлена, а также вычислить производные полинома в заданной точке. Схема Горнера также является простым алгоритмов для деления многочлена на бином вида . Метод назван в честь Уильяма Джорджа Горнера. Описание алгоритма. Определим следующую последовательность: … Искомое значение есть . В полученную форму записи подставим и будем вычислять значение, выражения начиная с внутренних скобок. Для этого будем заменять подвыражения через . … Использование схемы Горнера для деления многочлена на бином. 6 При делении многочлена получается многочлен c остатком . При этом коэффициенты результирующего многочлена удовлетворяют рекуррентным соотношениям: Таким же образом можно определить кратность корней (использовать схему Горнера для нового полинома). Так же схему можно использовать для нахождения коэффициентов при разложении полинома по степеням . 1.5 Теорема Безу Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен на двучлен . Доказательство. Поделим с остатком многочлен на двучлен . 7

Как решать полиномиальные функции более высокой степени

Как решать полиномиальные функции более высокой степени

Ключевые термины

o Синтетическое подразделение

Цели

o Поймите, что если вы знаете все нули полинома, вы можете найти соответствующее алгебраическое выражение для этой функции

o Уметь разложить многочлен на множители с помощью синтетического деления

o Уметь находить все нули полинома (при наличии достаточной информации)

Полиномы высшей степени

Факторинг также может применяться к многочленам более высокой степени, хотя процесс факторинга часто бывает немного более трудоемким. Напомним, что полином степени n имеет n нулей, некоторые из которых могут быть одинаковыми (вырожденными) или сложными. Рассмотрим простой полином f ( x ) = x ³ ; этот многочлен можно разложить на множители следующим образом.

f ( x ) = ( x ) ( x ) ( x )

Как видно из этого выражения, есть три нуля, все из которых находятся при x = 0.Теперь давайте немного изменим наш взгляд на факторинг, чтобы проиллюстрировать принцип. Допустим, у нас есть многочлен третьей степени p ( x ), определенный ниже.

p ( x ) = ( x — 1) ( x — 2) ( x — 3) = ( x ² — 3 x + 2) ( x — 3) = x ³ — 6 x ² + 11 x — 6

Обратите внимание, что мы начинаем с факторизованной формы, которая, очевидно, имеет три нуля (один при x = 1, один при x = 2 и один при x = 3), а затем используем распределимость умножения, чтобы найти полиномиальное выражение. Давайте посмотрим на график этой функции, чтобы подтвердить расположение нулей.

Как видно на графике, функция пересекает ось x в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Это подтверждает наше предположение о том, что факторная форма объясняет нули функция. В результате мы можем построить полином степени n , если мы знаем все n нулей. Другими словами, n нулей многочлена степени n полностью определяют эту функцию.Тот же принцип применим к многочленам четвертой степени и выше.

Практическая задача : Найдите полиномиальное выражение для функции с тремя нулями: x = 0, x = 3 и x = –1.

Решение : Ранее мы отмечали, что, зная все нули, можно найти многочлен. Ноль при x = c соответствует множителю ( x — c ) в полиноме. Воспользуемся этим фактом для построения многочлена p ( x ), который соответствует нулям, заданным в задаче.

p ( x ) = ( x — 0) ( x — 3) ( x — (–1)) = x ( x — 3) ( x + 1)

Теперь давайте расширим этот результат, чтобы найти полиномиальное выражение.

p ( x ) = x ( x ² — 2 x — 3) = x ³ — 2 x ² — 3 x

Мы можем подтвердить результат либо построением графика, либо проверкой каждого нуля, либо обоими способами.Давайте просто проверим каждый ноль.

p (0) = (0) ³ — 2 (0) ² — 3 (0) = 0

p (3) = (3) ³ — 2 (3) ² — 3 (3) = 27 — 2 (9) — 9 = 27 — 18 — 9 = 0

p (–1) = (–1) ³ — 2 (–1) ² — 3 (–1) = –1 — 2 + 3 = 0

Эта функция равна нулю при каждом из соответствующих значений x .

Факторинговые многочлены

Факторинг квадратичной функции может быть довольно сложным процессом в зависимости от коэффициентов функции.С многочленами более высокой степени факторизация может быть еще более сложной. Обратите внимание, однако, что если мы знаем один из нулей (скажем, при x = c ), мы можем переписать многочлен степени n как произведение ( x — c ) и многочлена степени n — 1. Мы можем повторять этот процесс (если мы знаем или можем найти другие нули), пока мы полностью не разложим многочлен на множители. Однако для этого нам нужен эффективный метод нахождения полинома более низкой степени при факторизации.Один из способов сделать это — синтетическое деление , которое представляет собой алгоритм факторизации многочленов. Давайте посмотрим на этот алгоритм в контексте вышеупомянутой практической задачи. У нас есть p ( x ) = x ³ -2 x ² -3 x , и предположим, что нам сказали, что ноль расположен в x = 3. Таким образом, мы будем множить p ( x ) следующим образом, где p ₂ ( x ) — многочлен второй степени.

p ( x ) = ( x — 3) p ₂ ( x )

Теперь рассмотрим алгоритм синтетического деления.

1. Создать дивизию. Нарисуйте скобку с перевернутым разделением, как показано ниже. За скобками напишите значение нуля; внутри скобок напишите коэффициенты многочлена, который вы разлагаете на множители, в порядке от членов более высокого порядка к членам более низкого порядка (включая также нулевые коэффициенты).

2. Перенести первый коэффициент. Коэффициент наивысшего порядка должен быть перенесен ниже скобки.

3. Умножьте значение нуля на последнее значение, указанное под скобкой, и запишите его под следующим коэффициентом внутри скобок. Затем вы добавите значения в этот столбец и запишите значение под скобкой в ​​том же столбце.

4. Повторяйте шаг 3, пока не дойдете до конца кронштейна. Последнее число, которое вы пишете под скобкой, должно быть нулевым — в противном случае либо вы допустили ошибку, либо нулевое значение вне скобок не является на самом деле нулем многочлена.

5. Запишите новый разложенный полином. Используйте нулевое значение вне скобок, чтобы записать коэффициент ( x — c ), и используйте числа в скобках в качестве коэффициентов для нового многочлена, степень которого на единицу меньше, чем у многочлена, с которого вы начали. .

p ( x ) = ( x — 3) ( x ² + x )

Поскольку пример, использованный в представлении алгоритма синтетического деления выше, теперь включает только квадратичный полином, мы можем разложить на множители без выполнения другого синтетического деления.

p ( x ) = ( x — 3) ( x ) ( x + 1)

Нули этого полинома равны 3, 0 и –1, как мы и ожидали.Таким образом, синтетическое деление может позволить нам разложить многочлены произвольной степени на множители.

Практическая задача : Найдите нули полинома p ( x ) = x ⁴ + 4 x ³ -7 x ² — 10 x если один из нулей равен x = –1.

Решение : Прежде чем делать что-либо сложное, обратите внимание на один простой факт о многочлене p ( x ): каждый член имеет множитель как минимум x .Итак, для начала давайте разложим на множители x .

p ( x ) = x ⁴ + 4 x ³ -7 x ² -10 x = ( x ) ( x ³ + 4 x ² — 7 x — 10)

Итак, мы знаем, что x = 0 — это ноль функции. Проблема также говорит нам, что существует ноль при x = –1; давайте используем это, чтобы разложить ( x + 1) из оставшегося многочлена третьей степени с помощью синтетического деления.Сначала мы настраиваем деление, используя значение нуля и коэффициенты полинома. Перенесем и первый член.

Теперь мы рассмотрим алгоритм, чтобы найти факторизованный многочлен.

Тогда (частично) факторизованный многочлен будет следующим.

p ( x ) = ( x ) ( x ³ + 4 x ² -7 x -10) = ( x ) ( x + 1 ) ( x ² + 3 x — 10)

Теперь у нас есть квадратичная величина, которую мы можем разложить на множители менее изощренными методами.

p ( x ) = ( x ) ( x + 1) ( x ² + 3 x — 10) = ( x ) ( x + 1) ( x + 5) ( x — 2)

Теперь мы можем видеть все нули полинома: x = –5, x = –1, x = 0 и x = 2. Давайте построим график функции, чтобы проверить нашу Результаты.

Обратите внимание на x -перехватывания (нули) функции, которые соответствуют тому, что мы нашли путем факторизации.

Практическая задача : Частица имеет скорость относительно времени, которая подчиняется полиномиальной функции третьей степени. Если частица находится в состоянии покоя в течение 0, 2 и 3 секунд, найдите полиномиальную функцию, которая описывает скорость этой частицы.

Решение : Это проблема со словами, которая заставляет нас синтезировать различные аспекты того, что мы уже изучили, с некоторыми другими навыками, которые у нас уже должны быть.Во-первых, обратите внимание, что задача требует, чтобы мы нашли функцию, которая описывает скорость частицы как функцию времени. Назовем эту функцию v ( t ), где t — время в секундах. Функция v ( t ) является многочленом третьей степени.

Постановка задачи также сообщает нам, что частица находится в состоянии покоя (то есть имеет нулевую скорость) при t = 0, 2 и 3 секунды. Эти значения t соответствуют нулям функции; используя эту информацию, мы можем построить v ( t ).

v ( т ) = ( т ) ( т — 2) ( т — 3)

Теперь мы можем расширить результат.

v ( т ) = т ( т ² -5 т + 6) = т ³ -5 т ² + 6 т

Мы можем проверить результат, подставив t значений, которые соответствуют нулям функции.

v (0) = (0) ³ — 5 (0) ² + 6 (0) = 0

v (2) = (2) ³ -5 (2) ² + 6 (2) = 8-5 (4) + 12 = 8-20 + 12 = 0

v (3) = (3) ³ — 5 (3) ² + 6 (3) = 27-5 (9) + 18 = 27-45 + 18 = 0

Результат подтверждается.

Решение многочленов высшей степени — видео и стенограмма урока

Теорема о рациональных корнях

Этот метод, который мы будем использовать, называется теоремой о рациональных корнях .Он говорит нам, что возможные решения многочлена могут быть найдены в списке чисел, сгенерированном путем помещения множителей последнего постоянного члена над множителями главного коэффициента.

Получаем список дробей. Иногда эти дроби можно упростить до целых чисел. Мы должны помнить, что это только список возможных ответов. Он не дает нам списка решений. На самом деле, вполне возможно, что эта теорема вообще не дает никаких решений. Но, поскольку математические задачи в учебниках и на тестах созданы, чтобы помочь вам учиться, вы, скорее всего, не встретите такой сценарий.Скорее всего, вы найдете в списке свои решения. Эта теорема дает вам рациональные решения; он не даст вам воображаемых или сложных решений. Таким образом, вы увидите, что задачи требуют от вас найти рациональные решения многочлена.

Давайте посмотрим, как мы используем эту теорему.

Возможные решения

Попробуем найти рациональные решения этого многочлена:

Сначала создадим список возможных решений.Мы перечисляем наши возможные множители последнего постоянного члена -24 по сравнению с множителями нашего ведущего коэффициента 1. Наши множители -24 равны +/- 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Да. , у нас есть положительная и отрицательная версия для каждого фактора. Это потому, что мы можем умножить либо на положительную, либо на отрицательную версию, чтобы получить 24. Например, мы можем сделать 2 * -12 или -2 * 12, чтобы получить -24.

Видите, как у нас есть как положительная, так и отрицательная версии? Наш опережающий коэффициент равен 1, поэтому наши коэффициенты здесь +/- 1.Опять же, у нас есть как положительные, так и отрицательные значения, поскольку мы можем сделать либо 1 * 1, либо -1 * -1, чтобы получить 1.

Теперь, когда у нас есть наши множители, давайте найдем наши дроби. У нас есть +/- 1/1, 2/1, 3/1, 4/1, 6/1, 8/1, 12/1, 24/1. Поскольку наш знаменатель равен 1, мы можем упростить наш список до +/- 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Теперь у нас есть полный список возможных рациональных решений.

Поиск других решений

Теперь, чтобы найти наши решения, мы можем либо систематически подставлять каждое из этих чисел в наше решение, чтобы увидеть, дает ли оно нам ответ 0, либо мы можем построить график нашей функции, чтобы дать нам представление о расположение наших решений.Итак, давайте изобразим нашу функцию. Мы получаем это для нашего графика:

Наш полином третьей степени, поэтому мы ищем всего три решения. Мы видим, что наши решения могут быть на 4, -2 и -3. Мы видим, что эти номера включены в составленный нами список. Давайте еще раз проверим, есть ли это решения.

Мы вставляем эти числа по одному в нашу функцию, чтобы проверить, равно ли они нулю. 2-14 * 4-24 = 64 + 16-56-24 = 0.2 — 14 * -3 — 24 = -27 + 9 + 42 — 24 = 0. Все проверено.

Итак, наши решения — 4, -2 и -3.

Резюме урока

Давайте рассмотрим то, что мы узнали. Мы узнали, что многочленов более высокой степени являются многочленами третьей степени или выше. Чтобы решить их, мы используем теорему о рациональных корнях , которая сообщает нам, что возможные решения многочлена могут быть найдены в списке чисел, созданном путем помещения множителей последнего постоянного члена над множителями главного коэффициента.

Мы помним, что это только список возможных решений, это не список решений. Когда у нас есть этот список, мы можем построить график нашей функции, чтобы дать нам представление о том, какие числа нужно проверить, чтобы увидеть, являются ли они решениями. Чтобы проверить число, чтобы увидеть, является ли это решением, мы вставляем его в нашу функцию, чтобы увидеть, дает ли он ответ 0.

Результаты обучения

После завершения этого урока вы должны быть в состоянии:

• Определить многочлен высшей степени
• Напомним теорему о рациональных корнях
• Вычислить решения до полинома более высокой степени, используя два метода

Решение уравнений высших степеней методами.

Уравнения высших степеней Методы решения уравнений n

Использование уравнений широко распространено в нашей жизни. Их используют во многих расчетах, строительстве зданий и даже в спорте. В древности человек использовал уравнения, и с тех пор их применение только увеличилось. В математике довольно часто встречаются уравнения высших степеней с целыми коэффициентами. Для решения такого уравнения необходимо:

Определить рациональные корни уравнения;

Разложите на множители многочлен в левой части уравнения;

Найдите корни уравнения.

Допустим, нам дано уравнение следующего вида:

Давайте найдем все его настоящие корни. Умножьте левую и правую части уравнения на \\

.

Изменить переменные \\

Таким образом, мы получили редуцированное уравнение четвертой степени, которое решается по стандартному алгоритму: проверяем делители, проводим деление и в результате выясняем, что уравнение имеет два действительных корня \\ и два сложные корни. Мы получаем следующий ответ на наше уравнение четвертой степени:

Где можно решить уравнение высших степеней с помощью онлайн-решателя?

Вы можете решить уравнение на нашем сайте https: // site.Бесплатный онлайн-решатель позволит вам решить онлайн-уравнение любой сложности за считанные секунды. Все, что вам нужно сделать, это просто ввести свои данные в решатель. Вы также можете посмотреть видеоинструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, вы можете задать их в нашей группе Вконтакте http://vk.com/pocketteacher. Присоединяйтесь к нашей группе, мы всегда рады вам помочь.

Способы решения уравнений: n n n Замена уравнения h (f (x)) = h (g (x)) уравнением f (x) = g (x) Факторинг.Представляем новую переменную. Функционально — графический метод. Подбор корней. Применение формул Виета.

Замена уравнения h (f (x)) = h (g (x)) уравнением f (x) = g (x). Метод можно использовать только в том случае, когда y = h (x) — монотонная функция, принимающая каждое из своих значений. Если функция немонотонна, то возможна потеря корней.

Решите уравнение (3 x + 2) ²³ = (5 x — 9) ²³ y = x ²³ возрастающую функцию, поэтому из уравнения (3 x + 2) ²³ = (5 x — 9) ²³ вы можно перейти к уравнению 3 x + 2 = 5 x — 9, откуда находим x = 5, 5.Ответ: 5, 5.

Факторизация. Уравнение f (x) g (x) h (x) = 0 можно заменить системой уравнений f (x) = 0; г (х) = 0; h (x) = 0. Решив уравнения этого набора, нужно взять те корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

Решаем уравнение x³ — 7 x + 6 = 0 Представляя член 7 x как x + 6 x, получаем последовательно: x³ — x — 6 x + 6 = 0 x (x² — 1) — 6 (x — 1) = 0 x (x — 1) (x + 1) — 6 (x — 1) = 0 (x — 1) (x² + x — 6) = 0 Теперь задача сводится к решению множества уравнений x — 1 = 0; х² + х — 6 = 0.Ответ: 1, 2, — 3.

Представляем новую переменную. Если уравнение y (x) = 0 можно преобразовать к виду p (g (x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g (x), решить уравнение p (u) = 0, а затем решить систему уравнений g (x) = u 1; г (х) = u 2; . ..; g (x) = un, где u 1, u 2,…, un — корни уравнения p (u) = 0.

Решите уравнение Особенностью этого уравнения является равенство коэффициентов его левой части, равноудаленной от его концов.Такие уравнения называются рекуррентными. Поскольку 0 не является корнем этого уравнения, разделив на x², мы получим

Введем новую переменную Тогда Получаем квадратное уравнение Итак, корень y 1 = — 1 можно не учитывать. Получаем Ответ: 2, 0, 5.

Решите уравнение 6 (x² — 4) ² + 5 (x² — 4) (x² — 7 x +12) + (x² — 7 x + 12) ² = 0 Это уравнение можно решить как однородное. Разделите обе части уравнения на (x² — 7 x +12) ² (ясно, что значения x такие, что x² — 7 x + 12 = 0, не являются решениями).Обозначим теперь У нас есть Отсюда Ответ:

Функционально-графический метод. Если одна из функций y = f (x), y = g (x) увеличивается, а другая убывает, то уравнение f (x) = g (x) либо не имеет корней, либо имеет один корень.

Решите уравнение Совершенно очевидно, что x = 2 является корнем уравнения. Докажем, что это единственный корень. Преобразуем уравнение к виду Обратите внимание, что функция увеличивается, а функция уменьшается.Следовательно, уравнение имеет только один корень. Ответ: 2.

Выбор корней n n n Теорема 1: Если целое число m является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m. Теорема 2: Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет дробных корней. Теорема 3: — уравнение с целыми числами Пусть коэффициенты. Если число и дробь, где p и q являются целыми числами, неприводимы, являются корнем уравнения, тогда p является делителем свободного члена an, а q является делителем коэффициента при главном члене a 0.

Теорема Безу. Остаток при делении любого многочлена на двучлен (x — a) равен значению делимого многочлена при x = a. Следствия теоремы Безу n n n n Разность равных степеней двух чисел делится без остатка на разность тех же чисел; Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как на разность этих чисел, так и на их сумму; Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел; Сумма одинаковых степеней двух нечислов делится на разность этих чисел; Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел; Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится ни на разность этих чисел, ни на их сумму; Многочлен целиком делится на двучлен (x — a) тогда и только тогда, когда число a является корнем данного многочлена; Количество различных корней ненулевого многочлена не выше его степени.

Решите уравнение x³ — 5 x² — x + 21 = 0 Полином x³ — 5 x² — x + 21 имеет целые коэффициенты. По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Проверяя, мы убеждаемся, что число 3 является корнем. По следствию теоремы Безу многочлен делится на (x — 3). Итак, x³– 5 x² — x + 21 = (x — 3) (x²– 2 x — 7). Ответ:

Решите уравнение 2 x³ — 5 x² — x + 1 = 0 По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1.Проверка показывает, что эти числа не корни. Поскольку уравнение не редуцированное, оно может иметь дробные рациональные корни. Давай их найдем. Для этого умножаем обе части уравнения на 4: 8 x³ — 20 x² — 4 x + 4 = 0 Сделав замену 2 x = t, получаем t³ — 5 t² — 2 t + 4 = 0. По теореме 2 все рациональные корни этого приведенного уравнения должны быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4. В этом случае подходит t = — 1. Следовательно, по следствию теоремы Безу многочлен 2 x³ — 5 x² — x + 1 делится на (x + 0, 5): 2 x³ — 5 x² — x + 1 = (x + 0, 5) (2 x² — 6 x + 2) Решая квадратное уравнение 2 x² — 6 x + 2 = 0, находим оставшиеся корни: Ответ:

Решите уравнение 6 x³ + x² — 11 x — 6 = 0 По теореме 3 рациональные корни этого уравнения следует искать среди чисел. Подставляя их по одному в уравнение, находим, что удовлетворяют уравнению.Они также исчерпывают все корни уравнения. Ответ:

Найдите сумму квадратов корней уравнения x³ + 3 x² — 7 x +1 = 0 По теореме Виета Обратите внимание, откуда

Укажите, какой метод можно использовать для решения каждого из этих уравнений. Решите уравнения # 1, 4, 15, 17.

Ответы и указания: 1. Введение новой переменной. 2. Функционально-графический метод. 3. Замена уравнения h (f (x)) = h (g (x)) уравнением f (x) = g (x).4. Факторизация. 5. Подбор корней. 6 Функционально-графический метод. 7. Применение формул Виета. 8. Подбор корней. 9. Замена уравнения h (f (x)) = h (g (x)) уравнением f (x) = g (x). 10. Введение новой переменной. 11. Факторизация. 12. Введение новой переменной. 13. Подбор корней. 14. Применение формул Виета. 15. Функционально-графический метод. 16. Факторизация. 17. Введение новой переменной. 18. Факторинг.

1. Индикация.Запишите уравнение как 4 (x² + 17 x + 60) (x + 16 x + 60) = 3 x², разделите обе части на x². Введите переменную Ответ: x 1 = — 8; х 2 = — 7, 5. 4. Примечание. Добавьте 6 y и — 6 y в левую часть уравнения и запишите его как (y³ — 2 y²) + (- 3 y² + 6 y) + (- 8 y + 16) = (y — 2) (y² — 3 года — 8). Ответ:

14. Индикация. По теореме Виета Поскольку являются целыми числами, корнями уравнения могут быть только числа — 1, — 2, — 3. Ответ: 15. Ответ: — 1. 17. Обозначение. Разделите обе части уравнения на x² и запишите это как Введите переменную Ответ: 1; 15; 2; 3.

Библиография. n n n Колмогоров А. Н. «Алгебра и начало анализа, 10 — 11» (М .: Просвещение, 2003). Башмаков М. И. «Алгебра и начало анализа, 10 — 11» (М .: Просвещение, 1993). Мордкович А.Г. «Алгебра и начало анализа, 10 — 11» (М .: Мнемосина, 2003). Алимов Ш. А., Колягин Ю. M. et al. «Алгебра и начало анализа, 10 — 11» (М .: Просвещение, 2000). Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. «Сборник задач по алгебре, 8–9» (М .: Просвещение, 1997).Карп А.П. «Сборник задач по алгебре и принципам анализа, 10 — 11» (М . : Просвещение, 1999). Шарыгин И.Ф. «Элективный курс математики, решение задач, 10» (М .: Просвещение. 1989). Скопец З. А. «Дополнительные главы по курсу математики, 10» (М .: Просвещение, 1974). Литинский Г. И. «Уроки математики» (М .: Аслан, 1994). Муравин Г.К. «Уравнения, неравенства и их системы» (Математика, приложение к газете «1 сентября», №2, 3, 2003 г.). Колягин Ю.М. «Многочлены и уравнения высших степеней» (Математика, приложение к газете «1 сентября», № 3, 2005 г.).

Трифанова Марина Анатольевна
учитель математики МОУ «Гимназия № 48 (многопрофильная)», Талнах

Триединая цель урока :

Образовательные:
Систематизация и обобщение знаний для решения уравнений высших степеней.
Развивающие:
Способствовать развитию логического мышления, умения работать самостоятельно, навыков взаимного контроля и самоконтроля, умения говорить и слушать.
Образовательный:
, развивающий привычку к постоянной работе, воспитывающий отзывчивость, трудолюбие и точность.

Тип урока :

урок по комплексному применению знаний, навыков и умений.

Форма урока :

проветривание, физическая подготовка, различные формы работы.

Оснащение:

основных заметок, карточки с задачами, матрица мониторинга урока.

ВО ВРЕМЯ КЛАССОВ

И.Организационный момент

1. Информирование учащихся о цели урока.
2. Домашнее задание (Приложение 1). Работа со справочными материалами (Приложение 2).

Уравнения и ответы на каждое из них записаны на доске. Учащиеся проверяют ответы и дают быстрый анализ решения каждого уравнения или отвечают на вопросы учителя (фронтальный опрос). Самоконтроль — ученики ставят себе оценки и передают тетради учителю для исправления или утверждения.На доске начальная школа написана:

.

«5+» — 6 уравнений;
«5» — 5 уравнений;
«4» — 4 уравнения;
«3» — 3 уравнения.

Домашние задания учителя:

1 уравнение

1. Какое изменение переменных производится в уравнении?
2. Какое уравнение получается после замены переменных?

2 уравнение

1. На какой многочлен разделились обе части уравнения?
2. Какая замена переменных была получена?

3 уравнение

1. Какие многочлены нужно умножить, чтобы упростить решение этого уравнения?

4 уравнение

1. Назовите функцию f (x).
2. Как были найдены остальные корни?

Уравнение 5

1. Сколько промежутков было получено для решения уравнения?

6 уравнение

1. Каким образом можно решить это уравнение?
2. Какое решение более рациональное?

II. Работа в группах — основная часть урока.

Класс разделен на 4 группы. Каждой группе выдается карточка с теоретическими и практическими вопросами (Приложение 3): «Разберите предложенный метод решения уравнения и объясните его на этом примере.«

1. Групповая работа 15 минут.
2. Примеры написаны на доске (доска разделена на 4 части).
3. Групповой отчет занимает 2–3 минуты.
4. Учитель исправляет отчеты групп и помогает в случае затруднения.

Групповая работа продолжается над карточками 5–8. Каждое уравнение отводится 5 минут на групповое обсуждение. Затем на доске есть отчет об этом уравнении — краткий анализ решения. Уравнение может быть решено не полностью — оно дорабатывается дома, но последовательность его решения на уроках обсуждается повсеместно.

III. Независимая работа. Приложение 4.

1. Каждый студент получает индивидуальное задание.
2. Время работы 20 минут.
3. За 5 минут до окончания урока учитель дает открытые ответы на каждое уравнение.
4. Студенты меняют тетради по кругу и проверяют ответы друга. Ставьте оценки.
5. Учителю переданы тетради для проверки и исправления оценок.

IV.Краткое содержание урока.

Домашнее задание.

Проверить решение незавершенных уравнений. Подготовьтесь к контрольному срезу.

Оценка.

Основные цели:

1. Для закрепления концепции целого рационального уравнения I степени.
2. Сформулируйте основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3).
3. Обучить основным методам решения уравнений высших степеней.
4. Научить по типу уравнения определять наиболее эффективный способ его решения.

Формы, методы и педагогические приемы, используемые учителем на уроке:

• Лекционно-семинарская система обучения (лекции — разъяснение нового материала, семинары — решение задач).
• Информационно-коммуникационные технологии (фронтальный опрос, устная работа с классом).
• Дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы.
• Применение в обучении исследовательского метода, направленного на развитие математического аппарата и мыслительных способностей каждого конкретного ученика.
• Печатный материал — индивидуальное краткое изложение урока (основные понятия, формулы, утверждения, лекционный материал сжат в виде схем или таблиц).

План урока:

1. Организация времени.
   Цель этапа: включить учащихся в учебную деятельность, определить содержание урока.
2. Обновление знаний студентов.
   Цель этапа: обновить знания студентов по ранее изученным смежным темам
3. Изучение новой темы (лекция). Цель этапа: сформулировать основные методы решения уравнений высших степеней (n > 3)
4. Подведение итогов.
   Цель этапа: еще раз выделить ключевые моменты изучаемого на уроке материала.
5. Домашнее задание.
   Цель этапа: сформулировать домашнее задание для студентов.

Итоги урока

1. Организационный момент.

Формулировка темы урока: «Уравнения высших степеней. Методы их решения ».

2. Актуализация знаний студентов.

Теоретический обзор — беседа. Повторение некоторых ранее изученных сведений из теории. Студенты формулируют основные определения и формулируют необходимые теоремы. Приведены примеры, демонстрирующие ранее полученный уровень знаний.

• Понятие уравнения с одной переменной.
• Понятие корня уравнения, решение уравнения.
• Понятие линейного уравнения с одной переменной, понятие квадратного уравнения с одной переменной.
• Понятие эквивалентности уравнений, уравнение-следствие (понятие посторонних корней), переход не по следствию (случай потери корней).
• Концепция целого рационального выражения с одной переменной.
• Понятие о целом рациональном уравнении n -й степени. Стандартная форма всего рационального уравнения. Сокращенное целое рациональное уравнение.
• Переход к системе уравнений более низкой степени путем факторизации исходного уравнения.
• Полиномиальная концепция n -я степень от x … Теорема Безу. Следствия теоремы Безу. Корневые теоремы ( Z -корней и Q -корней) всего рационального уравнения с целыми коэффициентами (приведенными и неприведенными, соответственно).
• Схема Хорнера.

3. Изучение новой темы.

Будем рассматривать все рациональное уравнение n -й степени стандартного вида с одной неизвестной переменной x: P n (x) = 0, где P n (x) = тревога + a n-1 x n-1 + a 1 x + a 0 — полином n -й степени от x , a n ≠ 0. Если a n = 1, то такое уравнение называется приведенным целым рациональным уравнением n -й степени.Рассмотрим такие уравнения для разных значений n и перечислим основные методы их решения.

n = 1 — линейное уравнение.

n = 2 — квадратное уравнение. Дискриминантная формула. Формула для вычисления корней. Теорема Виета. Выбор полного квадрата.

n = 3 — кубическое уравнение.

Метод группировки.

Пример: x 3 — 4x 2 — x + 4 = 0 (x — 4) (x 2 — 1 ) = 0 x 1 = 4, x 2 = 1, x 3 = -1.

Обратное кубическое уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0. Решите, комбинируя члены с одинаковыми коэффициентами.

Пример: x 3-5 x 2-5 x + 1 = 0 ( x + 1) ( x 2-6 x + 1) = 0 x 1 = -1, x 2 = 3 + 2, x 3 = 3 — 2.

Выбор Z-корней на основе теоремы. Схема Хорнера. При применении этого метода необходимо подчеркнуть, что поиск в этом случае конечен, и мы выбираем корни по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Z -корнях редуцированного целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: x 3 — 9 x 2 + 23 x — 15 = 0. Приведено уравнение. Запишем делители свободного члена ( + 1; + 3; + 5; + 15). Применим схему Горнера:

	х 3	х 2	x 1	х 0	вывод
	1	-9	23	-15
1	1	1 х 1-9 = -8	1 х (-8) + 23 = 15	1 х 15-15 = 0	1 — корень
	х 2	x 1	х 0

Получаем ( x — 1) ( x 2-8 x + 15) = 0 x 1 = 1, x 2 = 3, x 3 = 5.

Уравнение с целыми коэффициентами. Выбор Q-корней на основе теоремы. Схема Хорнера. При применении этого метода необходимо подчеркнуть, что поиск в этом случае конечен и корни выбираются по определенному алгоритму в соответствии с теоремой о Q -корнях неприводимого целого рационального уравнения с целыми коэффициентами.

Пример: 9 x 3 + 27 x 2 — x — 3 = 0. Уравнение не сводится.Запишем делители свободного члена ( + 1; + 3). Запишем делители коэффициента при наивысшей степени неизвестной. ( + 1; + 3; + 9) Поэтому будем искать корни среди значений ( + 1; + ; + ; + 3). Применим схему Горнера:

	х 3	х 2	x 1	х 0	вывод
	9	27	-1	-3
1	9	1 х 9 + 27 = 36	1 х 36-1 = 35	1 х 35-3 = 32 ≠ 0	1 — не root
-1	9	-1 х 9 + 27 = 18	-1 х 18-1 = -19	-1 х (-19) — 3 = 16 ≠ 0	-1 — не root
	9	х 9 + 27 = 30	х 30 — 1 = 9	х 9-3 = 0	корень
	х 2	x 1	х 0

Получаем ( х — ) (9 x 2 + 30 х + 9) = 0 x 1 = , х 2 = — , x 3 = -3.

Для удобства вычислений при выборе Q — корни может быть удобно произвести замену переменной, перейти к сокращенному уравнению и выбрать Z — корни .

.

• Если можно использовать замену вида у = kx

.

Формула Кардано. Существует универсальный метод решения кубических уравнений — это формула Кардано. Эта формула связана с именами итальянских математиков Джероламо Кардано (1501–1576), Николо Тарталья (1500–1557), Сципионе дель Ферро (1465–1526).Эта формула выходит за рамки нашего курса.

n = 4 — уравнение четвертой степени.

Метод группировки.

Пример: x 4 + 2 x 3 + 5 x 2 + 4 х — 12 = 0 ( x 4 + 2 x 3) + (5 x 2 + 10 x ) — (6 х + 12) = 0 ( x + 2) ( x 3 + 5 x — 6) = 0 ( x + 2) ( x — 1) ( x 2 + x + 6) = 0 x 1 = -2, x 2 = 1.

Метод замены переменной.

• Биквадратное уравнение вида ax 4 + bx 2 + s = 0 .

Пример: x 4 + 5 x 2 — 36 = 0. Замена y = x 2. Отсюда y 1 = 4, у 2 = -9. поэтому x 1,2 = + 2.

• Обратное уравнение четвертой степени формы ax 4 + bx 3 + c x 2 + bx + a = 0.

Решаем объединением членов с одинаковыми коэффициентами заменой формы

• топор 4 + bx 3 + cx 2- bx + a = 0.

• Обобщенное уравнение возврата четвертой степени в форме ax 4 + bx 3 + cx 2 + kbx + к 2 а = 0 .

• Замена общего вида.Некоторые стандартные замены.

Пример 3 . Замена общего вида (следует из вида конкретного уравнения).

n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Фитинг Q-образный n = 3.

Общая формула. Существует универсальный метод решения уравнений четвертой степени. Эта формула связана с именем Людовико Феррари (1522-1565).Эта формула выходит за рамки нашего курса.

n > 5 — уравнения пятой и более высоких степеней.

Уравнение с целыми коэффициентами. Выбор Z-корней на основе теоремы. Схема Хорнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Уравнение с целыми коэффициентами. Подгонка Q-корней на основе теоремы. Схема Хорнера. Алгоритм аналогичен рассмотренному выше для n = 3.

Симметричные уравнения. Любое уравнение возврата нечетной степени имеет корень x = -1 и после разложения его на множители мы получаем, что один множитель имеет форму ( x + 1), а второй множитель является уравнением возврата четной степени. (его степень на единицу меньше степени исходного уравнения). Любое рекуррентное уравнение четной степени вместе с корнем вида x = φ содержит корень вида. Используя эти постановки, мы решаем задачу, понижая степень исследуемого уравнения.

Метод замены переменной. Использование единообразия.

Не существует общей формулы для решения целых уравнений пятой степени (это показали итальянский математик Паоло Руффини (1765-1822) и норвежский математик Нильс Хенрик Абель (1802-1829)) и более высоких степеней (это показал французский математик Эварист Галуа (1811-1832)).

• Напомним еще раз, что на практике возможно использовать комбинаций методов, перечисленных выше.К системе уравнений младших степеней удобно перейти путем факторизации исходного уравнения .
• Широко используемый на практике остался за рамками нашего сегодняшнего обсуждения. графических методов решения уравнений и приближенных методов решения уравнений высших степеней.
• Бывают ситуации, когда уравнение не имеет R-корней.
Затем решение сводится к тому, чтобы показать, что уравнение не имеет корней.Для доказательства проанализируем поведение рассматриваемых функций на интервалах монотонности. Пример: уравнение x 8 — x 3 + 1 = 0 не имеет корней.
• Использование свойства монотонности функций
… Бывают ситуации, когда использование различных свойств функций позволяет упростить задачу.
Пример 1: уравнение x 5 + 3 x — 4 = 0 имеет один корень x = 1. По свойству монотонности анализируемых функций других корней нет.
Пример 2: уравнение x 4 + ( x — 1) 4 = 97 имеет корни x 1 = -2 и x 2 = 3. Проанализировав поведение соответствующих функций на интервалах монотонности, заключаем, что других корней нет.

4. Подведение итогов.

Реферат: Освоены основные методы решения различных уравнений высших степеней (для n > 3). Наша задача — научиться эффективно использовать перечисленные выше алгоритмы. В зависимости от типа уравнения нам придется научиться определять, какой метод решения в данном случае наиболее эффективен, а также правильно применять выбранный метод.

5. Домашнее задание.

: стр. 7, стр. 164-174, № 33-36, 39-44, 46.47.

: №№ 9.1–9.4, 9.6–9.8, 9.12, 9.14–9.16, 9.24–9.27.

Возможные темы докладов или тезисов по теме:

• Формула Кардано
• Графический метод решения уравнений. Примеры решений.
• Методы приближенного решения уравнений.

Анализ усвоения материала и заинтересованности студентов в теме:

Опыт показывает, что студентов в первую очередь интересует возможность набора Z -корней и Q -корней уравнений с помощью довольно простого алгоритма с использованием схемы Горнера. Также студентов интересуют различные стандартные типы замен переменных, которые могут значительно упростить задачу.Особый интерес обычно вызывают графические методы решения. В этом случае вы можете дополнительно разобрать задачи в графический метод решения уравнений; обсудить общий вид графа многочлена 3, 4, 5 степеней; проанализировать, как количество корней уравнений 3, 4, 5 степеней связано с типом соответствующего графа. Ниже приведен список книг, в которых вы можете найти дополнительную информацию по этой теме.

Библиография:

1. Виленкин Н.Я. et al. «Алгебра. Учебник для 9-х классов с углубленным изучением математики »- М., Просвещение, 2007 — 367 с.
2. Виленкин Н.Я., Шибасов Л.П., Шибасова З.Ф. «За страницами учебника математики. Арифметика. Алгебра. 10-11 класс »- М., Просвещение, 2008 г. — 192 с.
3. Выгодский М.Я. «Справочник по математике» — М., АСТ, 2010 г. — 1055 с.
4. Галицкий М.Л. «Сборник задач по алгебре. Учебник для 8-9 классов с углубленным изучением математики »- М., Образование, 2008 г. — 301 с.
5. Звавич Л.И. и другие. «Алгебра и начало анализа. 8-11 кл. Пособие для школ и классов с углубленным изучением математики »- М., Дрофа, 1999 г. — 352 с.
6. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. «Задания по математике для подготовки к письменному экзамену в 9 классе» — М. , Просвещение, 2007 г. — 112 с.
7. Иванов А.А., Иванов А.П. «Тематические тесты для систематизации знаний по математике» ч. 1 — М., Физматкнига, 2006 — 176 с.
8. Иванов А.А., Иванов А.П. «Тематические тесты для систематизации знаний по математике» ч. 2 — М., Физматкнига, 2006 — 176 с.
9. Иванов А.П. «Тесты по математике. Учебное пособие ». — М., Физматкнига, 2008 — 304 с.
.
10. Лейбсон К.Л. «Сборник практических заданий по математике. Часть 2-9 класс »- М., МЦНМО, 2009 г. — 184 с.
.
11. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. «Алгебра.Дополнительные главы к учебнику для 9 класса. Учебник для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. »- М., Просвещение, 2006 г. — 224 с.
12. Мордкович А.Г. «Алгебра. Углубленное изучение. 8 класс. Учебник» — М., Мнемосина, 2006 г. — 296 с.
13. А.П. Савин «Энциклопедический словарь молодого математика» — М., Педагогика, 1985 — 352 с.
14. Сурвилло Г.С., Симонов А.С. «Дидактические материалы по алгебре для 9 класса с углубленным изучением математики» — М., Образование, 2006 — 95 с.
15. Чулков П.В. «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Лекции 1–4 »- М., 1 сентября 2006 г. — 88 с.
16. Чулков П.В. «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Лекции 5–8 »- М., 1 сентября 2009 г. — 84 с.

Как правило, уравнение со степенью выше 4 не может быть решено в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена слева в уравнении высшей степени, если мы представим его как произведение многочленов степени не выше 4.Решение таких уравнений основано на разложении многочлена на множители, поэтому мы советуем вам повторить эту тему перед изучением этой статьи.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попытаться найти рациональные корни, а затем разложить полином на множители, чтобы затем преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет легко решить. В рамках этого материала мы и рассмотрим именно такие примеры.

Яндекс.РТБ R-A-339285-1

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения вида a n x n + a n — 1 x n — 1 +. … … + a 1 x + a 0 = 0, мы можем свести к уравнению такой же степени, умножив обе части на a n n — 1 и изменив переменную вида y = a n x:

a n x n + a n — 1 x n — 1 +. … … + a 1 x + a 0 = 0 ann xn + an — 1 ann — 1 xn — 1 +… + a 1 (an) n — 1 x + a 0 (an) n — 1 \ u003d 0 y = тревога ⇒ yn + bn — 1 yn — 1 +… + b 1 y + b 0 = 0

Полученные коэффициенты также будут целыми.Таким образом, нам потребуется решить приведенное уравнение n-й степени с целыми коэффициентами, которое имеет вид x n + a n x n — 1 +… + a 1 x + a 0 = 0.

Вычислить корни уравнения целиком. Если уравнение имеет целые корни, их нужно искать среди делителей свободного члена a 0. Запишем их и подставим в исходное равенство по очереди, проверяя результат. После того, как мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, мы можем записать его в виде x — x 1 · P n — 1 (x) = 0. Здесь x 1 — корень уравнения, а P n — 1 (x) — частное от деления x n + a n x n — 1 +… + a 1 x + a 0 на x — x 1.

Подставляем оставшиеся делители, выписанные в P n — 1 (x) = 0, начиная с x 1, так как корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, и уравнение можно записать как (x — x 1) (x — x 2) P n — 2 (x) = 0. Здесь P n — 2 (x ) будет частным от деления P n — 1 (x) на x — x 2.

Продолжаем перебирать делители.Найдите все корни целиком и обозначьте их количество как m. После этого исходное уравнение можно представить в виде x — x 1 x — x 2 · … · x — xm · P n — m (x) = 0. Здесь P n — m (x) — полином от степень n — m. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

Если в нашем исходном уравнении есть целые коэффициенты, мы не сможем получить дробные корни.

В результате мы получили уравнение P n — m (x) = 0, корни которого можно найти любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или сложными.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Пример 1

Условие: найти решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0.

Решение

Начнем с поиска целых корней.

У нас свободный срок равен минус трем. Он имеет делители 1, -1, 3 и -3. Давайте подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них приведут к тождествам.

При x, равном единице, мы получаем 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0, что означает, что единица будет корнем этого уравнения.

Теперь произведем деление многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на (x — 1) в столбце:

Следовательно, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3.

1 3 + 2 1 2 + 4 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 (- 1) 2 + 4 — 1 + 3 = 0

Мы получили тождество, что означает, что мы нашли другой корень уравнения, равный — 1.

Разделите многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (x + 1) в столбце:

Получаем

x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = (x — 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x — 1) (x + 1) (x 2 + х + 3)

Подставляем следующий делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0, начиная с — 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Полученные равенства будут неверными, а это значит, что уравнение больше не имеет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3.

D = 1 2 — 4 1 3 = — 11

Отсюда следует, что данный квадратный трехчлен не имеет действительных корней, но имеет комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2.

Поясним, что вместо деления в столбик можно использовать схему Хорнера. Делается это так: после определения первого корня уравнения заполняем таблицу.

В таблице коэффициентов сразу видно коэффициенты частного деления многочленов, что означает, что x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 х + 3.

Найдя следующий корень, равный — 1, мы получим следующее:

Ответ: x = — 1, x = 1, x = — 1 2 ± i 11 2.

Пример 2

Условие: Решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0.

Решение

Свободный член имеет делители 1, — 1, 2, — 2, 3, — 3, 4, — 4, 6, — 6, 12, — 12.

Проверяем по порядку:

1 4-1 3-5 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 — (- 1) 3-5 (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 2 3-5 2 2 + 12 = 0

Следовательно, x = 2 будет корнем уравнения. Разделите x 4 — x 3-5 x 2 + 12 на x — 2, используя схему Хорнера:

В результате получаем x — 2 (x 3 + x 2 — 3 x — 6) = 0.

2 3 + 2 2-3 2-6 = 0

Значит, 2 снова будет рутом. Разделим x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2:

В результате получаем (x — 2) 2 (x 2 + 3 x + 3) = 0.

Остальные делители проверять нет смысла, так как равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решать с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

х 2 + 3 х + 3 = 0 D = 3 2 — 4 1 3 = — 3

Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2.

Ответ : x = — 3 2 ± i 3 2.

Пример 3

Условие: найти действительные корни уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0.

Решение

х 4 + 1 2 х 3-5 2 х — 3 = 0 2 х 4 + х 3-5 х — 6 = 0

Произведем умножение 2 на 3 в обеих частях уравнения:

2 х 4 + х 3-5 х — 6 = 0 2 4 х 4 + 2 3 х 3-20 2 х — 48 = 0

Заменим переменные y = 2 x:

2 4 х 4 + 2 3 х 3-20 2 х — 48 = 0 у 4 + у 3-20 у — 48 = 0

В результате мы имеем стандартное уравнение 4-й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и в итоге получим, что у него 2 действительных корня y = — 2, y = 3 и два комплексных корня. Мы не будем представлять здесь полное решение. За счет замены действительные корни этого уравнения будут x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2.

Ответ: х 1 = — 1, х 2 = 3 2

Если вы заметили ошибку в тексте, выделите ее и нажмите Ctrl + Enter

Полиномиальные уравнения в факторизованной форме (Алгебра 1, Факторинг и многочлены) — Mathplanet

Все уравнения состоят из полиномов.Ранее мы только показали вам, как решать уравнения, содержащие многочлены первой степени, но, конечно, можно решать уравнения более высокой степени.

Один из способов решить полиномиальное уравнение — использовать свойство нулевого произведения. Если вы помните из предыдущих глав, свойство нуля говорит нам, что произведение любого действительного числа на ноль равно нулю. Это означает, что для любых действительных чисел x и y

$$, если \: x = 0 \: или \: y = 0, \: \: тогда \: xy = 0 $$

Свойство нулевой степени может использоваться для решения уравнения, когда одна сторона уравнения является произведением полиномиальных множителей, а другая сторона равна нулю. Решения полиномиального уравнения называются корнями.

---

Пример

$$ \ влево (x + 2 \ вправо) \ влево (3-x \ вправо) = 0 $$

Чтобы удовлетворить этому уравнению, либо

$$ \ влево (x + 2 \ вправо) = 0 $$

$$ x = -2 $$

или

$$ \ влево (3-x \ вправо) = 0 $$

$$ x = 3 $$

Это означает, что корни уравнения равны 3 и -2.

Этот метод работает только в том случае, если ваш многочлен представлен в факторизованной форме.{2} + 18x = 0 $$

Решающие многочлены

Полином выглядит так:

пример полинома

Решение

«Решить» — значит найти «корни» …

… «корень» (или «ноль») — это когда функция равна нулю :

Между корнями функция находится либо полностью вверху,
, либо полностью ниже, ось x

Пример: −2 и 2 — корни функции x

² — 4

Проверим:

• если x = −2, то x ² — 4 = (−2) ² — 4 = 4 — 4 = 0
• , если x = 2, то x ² — 4 = 2 ² — 4 = 4 — 4 = 0

Как, , мы решаем многочлены? Это зависит от градусов !

градусов

Первый шаг решения полинома — найти его степень.

Степень полинома с одной переменной …

… наибольший показатель этой переменной.

Когда мы знаем степень, мы также можем дать многочлену имя:

Степень	Имя	Пример	График выглядит как
0	Константа	7
1	линейный	4x + 3
2	Квадратичная	х 2 −3x + 2
3	Кубический	2x 3 −5x 2
4	Quartic	х 4 + 3х − 2	…
и т. Д.	…	…	…

Как решить

Итак, теперь мы знаем степень, как решить?

• Прочтите, как решить линейные многочлены (степень 1), используя простую алгебру.
• Прочтите, как решить квадратичные многочлены (степень 2), не прикладывая усилий,
• Может быть трудно решить уравнения кубической (степень 3) и четвертой (степень 4),
• И, кроме того, может оказаться невозможным, решить многочлены напрямую.

Итак, что нам делать с теми, которые мы не можем решить? Попробуйте решить их по частям!

Если мы найдем один корень, мы можем затем уменьшить многочлен на одну степень (пример ниже), и этого может быть достаточно, чтобы решить весь многочлен.

Вот несколько основных способов найти корни.

1. Основы алгебры

Мы можем решить, используя основную алгебру:

Пример:

2x + 1

2x + 1 — линейный многочлен:

График y = 2x + 1 представляет собой прямую линию

Он линейный, значит, есть один корень.

Решите по алгебре:

«Корень» — это когда y равно нулю: 2x + 1 = 0

Вычтем 1 из обеих частей: 2x = −1

Разделим обе части на 2: x = −1/2

И вот решение:

х = -1/2

(Вы также можете это увидеть на графике)

Мы также можем решать квадратичные многочлены, используя базовую алгебру (прочтите эту страницу для объяснения).

2. Опытным путем или просто догадками.

Всегда полезно посмотреть, сможем ли мы сделать простой факторинг:

Пример: x

³ + 2x ² −x

Это кубический размер … но подождите … мы можем вычесть «x»:

x ³ + 2x ² −x = x (x ² + 2x − 1)

Теперь у нас есть один корень (x = 0), а то, что осталось, является квадратичным, и мы можем точно решить его.

Или мы можем заметить знакомую закономерность:

Пример: x

³ −8

Опять же, это куб. .. но это еще и «разница двух кубиков»:

x ³ −8 = x ³ −2 ³

Итак, мы можем превратить его в это:

x ³ −8 = (x − 2) (x ² + 2x + 4)

Имеется корень в x = 2, потому что:

(2−2) (2 ² + 2 × 2 + 4) = (0) (2 ² + 2 × 2 + 4)

И затем мы можем решить квадратичную x ² + 2x + 4, и мы закончили

3.Графически.

Изобразите полином и посмотрите, где он пересекает ось x.

Мы можем ввести многочлен в Function Grapher, а затем увеличить масштаб, чтобы найти, где он пересекает ось x.

Построение графиков — хороший способ найти приблизительные ответы, и нам также может повезти и мы найдем точный ответ.

Внимание: прежде чем вы начнете строить график, вы должны действительно знать, как ведут себя полиномы, чтобы найти все возможные ответы!

Факторы

Полезно знать: Когда многочлен разложен на множители следующим образом:

f (х) = (х-а) (х-б) (х-с). ..

Тогда a, b, c и т. Д. — это корни !

Итак, линейные факторы и корни связаны, знайте один, а мы можем найти другой.

(Подробности см. В Теореме о множителях.)

Пример: f (x) = (x

³ + 2x ² ) (x − 3)

Мы видим «(x − 3)», и это означает, что 3 является корнем (или «нулем») функции.

Уверены?

Что ж, давайте поставим «3» вместо x:

f (x) = (3 ³ + 2 · 3 ² ) (3−3)

f (3) = (3 ³ + 2 · 3 ² ) (0)

Да! f (3) = 0, поэтому 3 — корень.

Как проверить

Нашли рут? Проверь!

Просто поместите корень вместо «x»: многочлен должен быть равен нулю.

Пример: 2x

³ −x ² −7x + 2

Многочлен имеет степень 3, и его может быть сложно решить. Итак, давайте сначала нарисуем это:

Кривая пересекает ось x в трех точках, и одна из них может находиться в 2 . Мы можем легко проверить, просто поставьте «2» вместо «x»:

f (2) = 2 (2) ³ — (2) ² −7 (2) +2
= 16−4−14 + 2
= 0

Да! f (2) = 0 , значит, мы нашли корень!

Как насчет того, где он пересекает около −1,8 :

f (−1,8) = 2 (−1,8) ³ — (- 1,8) ² −7 (−1,8) +2
= −11,664−3,24 + 12,6 + 2
= −0,304

Нет, не равно нулю, поэтому −1.8 не будет рутом (но может и близко!)

Но мы, , действительно, обнаружили один корень, и мы можем использовать это, чтобы упростить многочлен, например, этот

Пример (продолжение): 2x

³ −x ² −7x + 2

Итак, f (2) = 0 является корнем … это означает, что мы также знаем коэффициент:

(x − 2) должен быть множителем 2x ³ −x ² −7x + 2

Затем разделите 2x ³ −x ² −7x + 2 на (x − 2), используя полиномиальное деление в длину, чтобы найти:

2x ³ −x ² −7x + 2 = (x − 2) (2x ² + 3x − 1)

Итак, теперь мы можем решить 2x ² + 3x − 1 как квадратное уравнение, и мы будем знать все корни.

Последний пример показал, насколько полезно найти только один корень. Помните:

Если мы найдем один корень, мы сможем уменьшить многочлен на одну степень , и этого может быть достаточно, чтобы решить весь многочлен.

Насколько далеко влево или вправо

При попытке найти корни, , как далеко мы должны идти влево и вправо от нуля?

Есть способ узнать, и нужно сделать несколько вычислений, но все это простая арифметика.Прочтите Границы нулей, чтобы узнать все подробности.

У нас есть все корни?

Есть простой способ узнать , сколько существует корней . В фундаментальной теореме алгебры говорится:

Полином степени n …
… имеет n корней (нулей)
, но нам может потребоваться использовать комплексные числа

Итак: количество корней = степень полинома .

Пример: 2x

³ + 3x — 6

Степень равна 3 (поскольку наибольший показатель степени равен 3), поэтому:

Всего 3 корней.

Но некоторые корни могут быть сложными

Да, действительно, некоторые корни могут быть комплексными числами (т. Е. Иметь мнимую часть) и поэтому не будут отображаться как простое «пересечение оси x» на графике.

Но есть интересный факт:

Сложные корни всегда попадают парами !

Итак, мы получаем либо без комплексных корней , либо 2 комплексных корней, либо 4 и т. Д. … Никогда нечетное число.

Это означает, что мы узнаем это автоматически:

Степень	Корни	Возможные комбинации
1	1	1 Настоящий корень
2	2	2 настоящих корня, или 2 сложных корня
3	3	3 действительных корня, или 1 действительный и 2 комплексных корня
4	4	4 действительных корня, или 2 действительных и 2 комплексных корня, или 4 комплексных корня
и т. Д.		и т. Д.!

положительных или отрицательных корней?

Существует также специальный способ определить, сколько корней отрицательных или положительных , называемое Правилом знаков, о котором вы, возможно, захотите прочитать.

Кратность корня

Иногда фактор появляется более одного раза. Мы называем это Кратность :

Кратность — это частота, с которой определенный корень участвует в факторинге.

Пример: f (x) = (x − 5)

³ (x + 7) (x − 1) ²

Это можно было бы более подробно записать так:

f (x) = (x − 5) (x − 5) (x − 5) (x + 7) (x − 1) (x − 1)

(x − 5) используется 3 раза, поэтому кратность корня «5» равна 3 , аналогично (x + 7) появляется один раз, а (x − 1) появляется дважды.Итак:

• корень +5 имеет кратность 3
• корень −7 имеет кратность 1 («простой» корень)
• корень +1 имеет кратность 2

Q: Почему это полезно?
A: Это заставляет график вести себя особым образом!

Когда мы видим такой множитель, как (x-r) ⁿ , «n» — это кратность, а

• с четной кратностью просто касается оси в точке «r» (и в противном случае остается на одной стороне оси x)
• Нечетная кратность пересекает ось в точке «r» (изменяется от одной стороны оси x к другой)

Это видно на графике:

Пример: f (x) = (x − 2)

² (x − 4) ³

(x − 2) имеет четную кратность , поэтому он просто касается оси в точке x = 2

(x − 4) имеет нечетную кратность , поэтому он пересекает ось в точке x = 4

Как это:

Сводка

• Мы можем напрямую решать многочлены степени 1 (линейная) и 2 (квадратичная)
• Для степени 3 и выше могут быть полезны графики
• Также полезно:
  • Знайте, насколько далеко вправо или влево могут быть корни
  • Узнай, сколько корней (равно его степени)
  • Оценить, сколько может быть сложных, положительных или отрицательных
• Множественность — это то, как часто определенный корень является частью факторинга. 3> = 0 # дает вещественный квадратный корень, и эта формула работает хорошо. В противном случае вам придется иметь дело с кубическими корнями из комплексных чисел, что не так хорошо.

  страница не найдена — Williams College

  ’62 Центр театра и танца, ’62 Центр
  Касса	597-2425
  Магазин костюмов	597-3373
  Менеджер мероприятий / Помощник менеджера	597-4808	597-4815 факс
  Производство		597-4474 факс
  Магазин сцен	597-2439
  ’68 Центр карьерного роста, Мирс	597-2311	597-4078 факс
  Академические ресурсы, Парески	597-4672	597-4959 факс
  Служба поддержки инвалидов, Парески	597-4672
  Прием, Вестон-холл	597-2211	597-4052 факс
  Программа позитивных действий, Хопкинс-холл,	597-4376
  Africana Studies, Hollander	597-2242	597-4222 факс
  Американские исследования, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
  Антропология и социология, Холландер	597-2076	597-4305 факс
  Архивы и специальные коллекции, Sawyer	597-4200	597-2929 факс
  Читальный зал	597-4200
  Искусство (История, Студия), Spencer Studio Art / Lawrence	597-3578	597-3693 факс
  Архитектурная студия, Spencer Studio Art	597-3134
  Фотография Студия, Spencer Studio Art	597-2030
  Printmaking Studio, Spencer Studio Art	597-2496
  Студия скульптуры, Студия Спенсера Арт	597-3101
  Senior Studio, Spencer Studio Art	597-3224
  Видео / Фотостудия, Spencer Studio Art	597-3193
  Азиатские исследования, Hollander	597-2391	597-3028 факс
  Астрономия / Астрофизика, Thompson Physics	597-2482	597-3200 факс
  Департамент легкой атлетики, Физическое воспитание, отдых, Ласелл	597-2366	597-4272 факс
  Спортивный директор	597-3511
  Лодочный домик, Озеро Онота	443-9851
  Автобусы	597-2366
  Фитнес-центр	597-3182
  Hockey Rink Ice Line, Lansing Chapman	597-2433
  Intramurals, Атлетический центр Чандлера	597-3321
  Физическая культура	597-2141
  Pool Wet Line, Атлетический центр Чандлера	597-2419
  Sports Information, Hopkins Hall	597-4982	597-4158 факс
  Спортивная медицина	597-2493	597-3052 факс
  Площадки для игры в сквош	597-2485
  Поле для гольфа Taconic	458-3997
  Биохимия и молекулярная биология, Thompson Biology	597-2126
  Биоинформатика, геномика и протеомика, Бронфман	597-2124
  Биология, Thompson Biology	597-2126	597-3495 факс
  Охрана и безопасность кампуса, Хопкинс-холл	597-4444	597-3512 факс
  Карты доступа / системы сигнализации	597-4970 / 4033
  Служба сопровождения, Хопкинс Холл	597-4400
  Офицеры и диспетчеры	597-4444
  Секретарь, удостоверения личности	597-4343
  Коммутатор	597-3131
  Центр развития творческих сообществ, 66 Stetson Court	884-0093
  Центр экономики развития, 1065 Main St	597-2148	597-4076 факс
  Компьютерный зал	597-2522
  Вестибюль	597-4383
  Центр экологических исследований, класс 1966 г. Экологический центр	597-2346	597-3489 факс
  Лаборатория наук об окружающей среде, Морли	597-2380
  Экологические исследования	597-2346
  Лаборатория ГИС	597-3183
  Центр иностранных языков, литератур и культур, Холландер	597-2391	597-3028 факс
  Арабоведение, Холландер	597-2391	597-3028 факс
  Сравнительная литература, Холландер	597-2391
  Критические языки, Холландер	597-2391	597-3028 факс
  лингафонный кабинет	597-3260
  Россия, Холландер	597-2391
  Центр обучения в действии, Brooks House	597-4588	597-3090 факс
  Библиотека редких книг Чапина, Сойер	597-2462	597-2929 факс
  Читальный зал	597-4200
  Офис капелланов, Парески	597-2483	597-3955 факс
  Еврейский религиозный центр, Стетсон-Корт 24,	597-2483
  Мусульманская молельная комната, часовня Томпсона (нижний уровень)	597-2483
  Католическая часовня Ньюмана, часовня Томпсона (нижний уровень)	597-2483
  Химия, Thompson Chemistry	597-2323	597-4150 факс
  Классика (греческий и латинский), Hollander	597-2242	597-4222 факс
  Когнитивная наука, Бронфман	597-4594
  College Marshal, Thompson Physics	597-2008
  Отношения с колледжем	597-4057
  Программа 25-го воссоединения, Фогт	597-4208	597-4039 факс
  Программа 50-го воссоединения, Фогт	597-4284	597-4039 факс
  Advancement Operations, Мирс-Вест	597-4154	597-4333 факс
  Мероприятия для выпускников, Vogt	597-4146	597-4548 факс
  Фонд выпускников	597-4153	597-4036 факс
  Связи с выпускниками, Мирс-Уэст	597-4151	597-4178 факс
  Почтовые службы для выпускников / разработчиков, Мирс-Уэст	597-4369
  Девелопмент, Vogt	597-4256
  Отношения с донорами, Vogt	597-3234	597-4039 факс
  Офис по планированию подарков, Vogt	597-3538	597-4039 факс
  Grants Office, Мирс-Уэст	597-4025	597-4333 факс
  Программа крупных подарков, Vogt	597-4256	597-4548 факс
  Parents Fund, Vogt	597-4357	597-4036 факс
  Prospect Management & Research, Мирс	597-4119	597-4178 факс
  Начало занятий и академические мероприятия, Jesup	597-2347	597-4435 факс
  Коммуникации, Хопкинс Холл	597-4277	597-4158 факс
  Sports Information, Hopkins Hall	597-4982	597-4158 факс
  Web Team, Southworth Schoolhouse
  Williams Magazines (ранее Alumni Review), Hopkins Hall	597-4278
  Компьютерные науки, Thompson Chemistry	597-3218	597-4250 факс
  Конференции и мероприятия, Парески	597-2591	597-4748 факс
  Запросы Elm Tree House, Mt. Хоуп Фарм	597-2591
  Офис контролера, Хопкинс Холл	597-4412	597-4404 факс
  Счета к оплате и ввод данных, Хопкинс-холл	597-4453
  Bursar & Cash Receipts, Hopkins Hall	597-4396
  Financial Information Systems, Hopkins Hall	597-4023
  Purchasing Cards, Hopkins Hall	597-4413
  Студенческие ссуды, Хопкинс Холл	597-4683
  Dance, 62 Center	597-2410
  Davis Center (ранее Multicultural Center), Jenness	597-3340	597-3456 факс
  Харди Хаус	597-2129
  Jenness House	597-3344
  Райс Хаус	597-2453
  Декан колледжа, Хопкинс-холл	597-4171	597-3507 факс
  Декан факультета Хопкинс Холл	597-4351	597-3553 факс
  Обеденные услуги, капельницы	597-2121	597-4618 факс
  ’82 Гриль, Парески	597-4585
  Кондитерская, Парески	597-4511
  Общественное питание, факультет	597-2452
  Driscoll Dining Hall, Дрисколл	597-2238
  Eco Café, Научный центр	597-2383
  Grab ‘n Go, Парески	597-4398
  Lee Snack Bar, Парески	597-3487
  Обеденный зал Mission Park, Mission Park	597-2281
  Whitmans ‘, Paresky	597-2889
  Экономика, Шапиро	597-2476	597-4045 факс
  Английский, Холландер	597-2114	597-4032 факс
  Сооружения, служебное здание	597-2301
  College Car Request	597-2302
  Скорая помощь вечером / в выходные дни	597-4444
  Запросы на работу производственных помещений		597-4141 факс
  Особые мероприятия	597-4020
  Кладовая	597-2143	597-4013 факс
  Факультетский клуб, Факультетский дом / Центр выпускников	597-2451	597-4722 факс
  Бронирование	597-3089
  Fellowships Office, Hopkins Hall	597-3044	597-3507 факс
  Financial Aid, Weston Hall	597-4181	597-2999 факс
  Науки о Земле, Кларк Холл	597-2221	597-4116 факс
  Немецко-Русский, Hollander	597-2391	597-3028 факс
  Глобальные исследования, Холландер	597-2247
  Магистерская программа по истории искусств, Кларк		458-2317 факс
  Службы здравоохранения и хорошего самочувствия, Thompson Ctr Health	597-2206	597-2982 факс
  Санитарное просвещение	597-3013
  Услуги интегративного благополучия (консультирование)	597-2353
  Чрезвычайные ситуации с опасностью для жизни	Позвоните 911
  Медицинские услуги	597-2206
  История, Холландер	597-2394	597-3673 факс
  История науки, Бронфман		597-4116 факс
  Лес Хопкинса	597-4353
  Розенбург Центр	458-3080
  Отдел кадров, B&L Building	597-2681	597-3516 факс
  Услуги няни, корпус B&L	597-4587
  Льготы	597-4355
  Программа помощи сотрудникам	800-828-6025
  Занятость	597-2681
  Заработная плата	597-4162
  Ресурсы для супруга / партнера	597-4587
  Занятость студентов	597-4568
  Погодная линия (ICEY)	597-4239
  Humanities, Schapiro	597-2076
  Информационные технологии, Jesup	597-2094	597-4103 факс
  Пакеты для чтения курса, Drop Box для офисных услуг	597-4090
  Центр кредитования оборудования, приложение Додда	597-4091
  Служба поддержки преподавателей / сотрудников, [электронная почта]	597-4090
  Медиа-сервисы и справочная информация в классе	597-2112
  Служба поддержки студентов, [электронная почта]	597-3088
  Телекоммуникации / Телефоны	597-4090
  Междисциплинарные исследования, Холландер	597-2552
  Международное образование и учеба, Хопкинс-холл	597-4262	597-3507 факс
  Инвестиционный офис, Хопкинс Холл	597-4447
  Бостонский офис	617-502-2400	617-426-5784 факс
  Еврейские исследования, Мазер	597-3539
  Правосудие и закон, Холландер	597-2102
  Latina / o Studies, Hollander	597-2242	597-4222 факс
  Исследования лидерства, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
  Морские исследования, Бронфман	597-2297
  Математика и статистика, Bascom	597-2438	597-4061 факс
  Музыка, Бернхард	597-2127	597-3100 факс
  Concertline (записанная информация)	597-3146
  Неврология, Thompson Biology	597-4107	597-2085 факс
  Окли Центр, Окли	597-2177	597-4126 факс
  Управление институционального разнообразия и справедливости, Хопкинс-холл	597-4376	597-4015 факс
  Управление счетов студентов, Хопкинс-холл	597-4396	597-4404 факс
  Исследования эффективности, Центр 62	597-4366
  Философия, Шапиро	597-2074	597-4620 факс
  Физика, Thompson Physics	597-2482	597-4116 факс
  Планетарий / Обсерватория Хопкинса	597-3030
  Старый театр обсерватории Хопкинса	597-4828
  Бронирование	597-2188
  Политическая экономия, Шапиро	597-2327
  Политология, Шапиро	597-2168	597-4194 факс
  Офис президента, Хопкинс Холл	597-4233	597-4015 факс
  Дом Президента	597-2388	597-4848 факс
  Услуги печати и почты для преподавателей / сотрудников, ’37 House	597-2022
  Программа обучения, Бронфман	597-4522	597-2085 факс
  Офис Провоста, Хопкинс Холл	597-4352	597-3553 факс
  Психология, психологические кабинеты и лаборатории	597-2441	597-2085 факс
  Недвижимость, B&L Building	597-2195 / 4238	597-5031 факс
  Ипотека для преподавателей / сотрудников	597-4238
  Арендное жилье для преподавателей / сотрудников	597-2195
  Офис регистратора, Хопкинс Холл	597-4286	597-4010 факс
  Религия, Холландер	597-2076	597-4222 факс
  Romance Languages, Hollander	597-2391	597-3028 факс
  Планировщик помещений	597-2555
  Соответствие требованиям безопасности и охраны окружающей среды, класс ’37 Дом	597-3003
  Библиотека Сойера, Сойер	597-2501	597-4106 факс
  Службы доступа	597-2501
  Приобретения / Серийные номера	597-2506
  Каталогизация / Службы метаданных	597-2507
  Межбиблиотечный абонемент	597-2005	597-2478 факс
  Исследовательские и справочные службы	597-2515
  Стеллаж	597-4955	597-4948 факс
  Системы	597-2084
  Научная библиотека Шоу, Научный центр	597-4500	597-4600 факс
  Исследования в области науки и технологий, Бронфман	597-2239
  Научный центр, Бронфман		597-4116 факс
  Магазин электроники	597-2205
  Машинно-модельный цех	597-2230
  Безопасность	597-4444
  Специальные академические программы, Харди	597-3747	597-4530 факс
  Sports Information, Hopkins Hall	597-4982	597-4158 факс
  Студенческая жизнь, Парески	597-4747
  Планировщик помещений	597-2555
  Управление студенческими центрами	597-4191
  Организация студенческих мероприятий	597-2546
  Студенческий дом, Парески	597-2555
  Участие студентов	597-4749
  Программы проживания в старших классах	597-4625
  Студенческая почта, Паресский почтовый кабинет	597-2150
  Устойчивое развитие / Центр Зилха, Харпер	597-4462
  Коммутатор, Хопкинс Холл	597-3131
  Книжный магазин Уильямса	458-8071	458-0249 факс
  Театр, 62 Центр	597-2342	597-4170 факс
  Trust & Estate Administration, Sears House	597-4259
  Учебники	597-2580
  вице-президент по кампусной жизни, Хопкинс-холл	597-2044	597-3996 факс
  Вице-президент по связям с колледжем, Мирс	597-4057	597-4178 факс
  Вице-президент по финансам и администрированию, Hopkins Hall	597-4421	597-4192 факс
  Центр визуальных ресурсов, Лоуренс	597-2015	597-3498 факс
  Детский центр Williams College, Детский центр Williams	597-4008	597-4889 факс
  Музей искусств колледжа Уильямс (WCMA), Лоуренс	597-2429	597-5000 факс
  Подготовка музея	597-2426
  Служба безопасности музея	597-2376
  Магазин-музей	597-3233
  Уильямс Интернэшнл	597-2161
  Уильямс Outing Club, Парески	597-2317
  Оборудование / стол для студентов	597-4784
  Williams Project on Economics of Higher Education, Mears West	597-2192
  Уильямс Рекорд, Парески	597-2400	597-2450 факс
  Программа Уильямса-Эксетера в Оксфорде, Оксфордский университет	011-44-1865-512345
  Программа Williams-Mystic, Mystic Seaport Museum	860-572-5359	860-572-5329 факс
  Исследования женщин, гендера и сексуальности, Schapiro	597-3143	597-4620 факс
  Написание программ, Hopkins Hall	597-4615
  Центр экологических инициатив «Зилха», Харпер	597-4462

  .