Почему минус на минус дает плюс?

«Враг моего врага — мой друг».

Проще всего ответить: «Потому что таковы правила действий над отрицательными числами». Правила, которые мы учим в школе и применяем всю жизнь. Однако учебники не объясняют, почему правила именно такие. Мы сначала постараемся понять это, исходя из истории развития арифметики, а потом ответим на этот вопрос с точки зрения современной математики.

Давным-давно людям были известны только натуральные числа: 1, 2, 3, … Их использовали для подсчета утвари, добычи, врагов и т. д. Но числа сами по себе довольно бесполезны — нужно уметь с ними обращаться. Сложение наглядно и понятно, к тому же сумма двух натуральных чисел — тоже натуральное число (математик сказал бы, что множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения). Умножение — это, по сути, то же сложение, если мы говорим о натуральных числах. В жизни мы часто совершаем действия, связанные с этими двумя операциями (например, делая покупки, мы складываем и умножаем), и странно думать, что наши предки сталкивались с ними реже — сложение и умножение были освоены человечеством очень давно. Часто приходится и делить одни величины на другие, но здесь результат не всегда выражается натуральным числом — так появились дробные числа.

Без вычитания, конечно, тоже не обойтись. Но на практике мы, как правило, вычитаем из большего числа меньшее, и нет нужды использовать отрицательные числа. (Если у меня есть 5 конфет и я отдам сестре 3, то у меня останется 5 – 3 = 2 конфеты, а вот отдать ей 7 конфет я при всем желании не могу.) Этим можно объяснить, почему люди долго не пользовались отрицательными числами.

В индийских документах отрицательные числа фигурируют с VII века н.э.; китайцы, видимо, начали употреблять их немного раньше. Их применяли для учета долгов или в промежуточных вычислениях для упрощения решения уравнений — это был лишь инструмент для получения положительного ответа. Тот факт, что отрицательные числа, в отличие от положительных, не выражают наличие какой-либо сущности, вызывал сильное недоверие. Люди в прямом смысле слова избегали отрицательных чисел: если у задачи получался отрицательный ответ, считали, что ответа нет вовсе. Это недоверие сохранялось очень долго, и даже Декарт — один из «основателей» современной математики — называл их «ложными» (в XVII веке!).

Рассмотрим для примера уравнение 7x – 17 = 2x – 2. Его можно решать так: перенести члены с неизвестным в левую часть, а остальные — в правую, получится 7x – 2x = 17 – 2, 5x = 15, x = 3. При таком решении нам даже не встретились отрицательные числа.

Но можно было случайно сделать и по-другому: перенести слагаемые с неизвестным в правую часть и получить 2 – 17 = 2x – 7x, (–15) = (–5)x. Чтобы найти неизвестное, нужно разделить одно отрицательное число на другое: x = (–15)/(–5). Но правильный ответ известен, и остается заключить, что (–15)/(–5) = 3.

Что демонстрирует этот нехитрый пример? Во-первых, становится понятна логика, которой определялись правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путем, без отрицательных чисел. Во-вторых, допуская использование отрицательных чисел, мы избавляемся от утомительного (если уравнение окажется посложнее, с большим числом слагаемых) поиска того пути решения, при котором все действия производятся только над натуральными числами. Более того, мы можем больше не думать каждый раз об осмысленности преобразуемых величин — а это уже шаг в направлении превращения математики в абстрактную науку.

Правила действий над отрицательными числами сформировались не сразу, а стали обобщением многочисленных примеров, возникавших при решении прикладных задач. Вообще, развитие математики можно условно разбить на этапы: каждый следующий этап отличается от предыдущего новым уровнем абстракции при изучении объектов. Так, в XIX веке математики поняли, что у целых чисел и многочленов, при всей их внешней непохожести, есть много общего: и те, и другие можно складывать, вычитать и перемножать. Эти операции подчиняются одним и тем же законам — как в случае с числами, так и в случае с многочленами. А вот деление целых чисел друг на друга, чтобы в результате снова получались целые числа, возможно не всегда. То же самое и с многочленами.

Потом обнаружились другие совокупности математических объектов, над которыми можно производить такие операции: формальные степенные ряды, непрерывные функции… Наконец, пришло понимание, что если изучить свойства самих операций, то потом результаты можно будет применять ко всем этим совокупностям объектов (такой подход характерен для всей современной математики).

В итоге появилось новое понятие: кольцо. Это всего-навсего множество элементов плюс действия, которые можно над ними производить. Основополагающими здесь являются как раз правила (их называют

аксиомами), которым подчиняются действия, а не природа элементов множества (вот он, новый уровень абстракции!). Желая подчеркнуть, что важна именно структура, которая возникает после введения аксиом, математики говорят: кольцо целых чисел, кольцо многочленов и т. д. Отталкиваясь от аксиом, можно выводить другие свойства колец.

Мы сформулируем аксиомы кольца (которые, естественно, похожи на правила действий с целыми числами), а затем докажем, что в любом кольце при умножении минуса на минус получается плюс.

Кольцом называется множество с двумя бинарными операциями (т. е. в каждой операции задействованы два элемента кольца), которые по традиции называют сложением и умножением, и следующими аксиомами:

• сложение элементов кольца подчиняется переместительному (A + B = B + A для любых элементов A и B) и сочетательному (A + (B + C) = (A + B) + C) законам; в кольце есть специальный элемент 0 (нейтральный элемент по сложению) такой, что
  A + 0 = A, и для любого элемента A есть противоположный элемент (обозначаемый (–A)), что A + (–A) = 0;
• умножение подчиняется сочетательному закону: A·(B·C) = (A·B)·C;
• сложение и умножение связаны такими правилами раскрытия скобок: (A + B)·C = A·C + B·C и A·(B + C) = A·B + A·C.

Заметим, что кольца, в самой общей конструкции, не требуют ни перестановочности умножения, ни его обратимости (т. е. делить можно не всегда), ни существования единицы — нейтрального элемента по умножению. Если вводить эти аксиомы, то получаются другие алгебраические структуры, но в них будут верны все теоремы, доказанные для колец.

Теперь докажем, что для любых элементов A и B произвольного кольца верно, во-первых, (–A)·B = –(A·B), а во-вторых (–(–A)) = A. Из этого легко следуют утверждения про единицы: (–1)·1 = –(1·1) = –1 и (–1)·(–1) = –((–1)·1) = –(–1) = 1.

Для этого нам потребуется установить некоторые факты. Сперва докажем, что у каждого элемента может быть только один противоположный. В самом деле, пусть у элемента A есть два противоположных: B и С. То есть A + B = 0 = A + C. Рассмотрим сумму A + B + C. Пользуясь сочетательным и переместительным законами и свойством нуля, получим, что, с одной стороны, сумма равна B: B = B + 0 = B + (A + C) = A + B + C, а с другой стороны, она равна C: A + B + C = (A + B) + C = 0 + C = C. Значит, B = C.

Заметим теперь, что и A, и (–(–A)) являются противоположными к одному и тому же элементу (–A), поэтому они должны быть равны.

Первый факт получается так: 0 = 0·B = (A + (–A))·B = A·B + (–A)·B, то есть (–A)·B противоположно A·B, значит, оно равно –(A·B).

Чтобы быть математически строгими, объясним еще, почему 0·B = 0 для любого элемента B. В самом деле,

0·B = (0 + 0) B = 0·B + 0·B. То есть прибавление 0·B не меняет сумму. Значит, это произведение равно нулю.

А то, что в кольце ровно один ноль (ведь в аксиомах сказано, что такой элемент существует, но ничего не сказано про его единственность!), мы оставим читателю в качестве несложного упражнения.

Ответил: Евгений Епифанов

Как правильно умножать отрицательные числа?

Основные определения

Вспомним, как отличить положительное число от отрицательного, что такое умножение и какие у него свойства.

Начнем с того, что проведем прямую и отметим на ней начало отсчета — точку нуль (0). А теперь укажем направление движения по прямой вправо от начала координат. В этом нам поможет красивая стрелка:

Два главных определения:

Положительные числа — это точки координатной прямой, которые лежат правее начала отсчета (нуля). Иногда рядом с ними ставят знак плюс — «+», но чаще всего положительные числа никак не обозначают. То есть «+1» и «1» — это одно и тоже число.

Запоминаем!

Положительные числа — это те, что больше нуля, а отрицательные — меньшие.

Отрицательные числа — это точки координатной прямой, которые лежат левее начала отсчета (нуля). Их всегда обозначают знаком минус — «-».

Нуль (0) — ни положительное, ни отрицательное число. Вот это ему повезло!

Числовую ось можно расположить как горизонтально (стрелка вверх), так и вертикально (стрелка вправо).

Если стрелка направлена вверх, то в верхней части от начала отсчета всегда расположены положительные числа, а в нижней — отрицательные. Смотрите:

Прямая, на которой отмечена начальная точка, положительное направление и единичный отрезок, называется координатной или числовой осью.

Умножение — арифметическое действие в котором участвуют два аргумента. Один множимый, второй множитель. Результат их умножения называется произведением.

Свойства умножения От перестановки множителей местами произведение не меняется. a * b = b * a Результат произведения трёх и более множителей не изменится, если любую группу заменить произведением. a * b * c = (a * b) * c = a * (b * c)

Вычислять можно в уме, при помощи таблицы умножения или в столбик. Продвинутые школьники могут использовать онлайн-калькулятор. 

Правило умножения отрицательных чисел: чтобы умножить два отрицательных числа, нужно перемножить их модули. Это значит, что для любых отрицательных чисел -a, -b верно равенство:

А вот как умножить два числа с разными знаками:

• перемножить модули этих чисел
• перед полученным числом поставить знак минус

А теперь упростим правила. Сформулируем их в легкой форме с минимумом слов, чтобы проще запомнить:

• «—» — при умножении минус на минус ответ будет положительным
  или минус на минус дает плюс
• «-+» — при умножении минуса на плюс ответ будет отрицательным
  или минус на плюс дает минус
• «+-» — при умножении плюса на минус ответ будет отрицательным
  или плюс на минус дает минус
• «++» — при умножении плюса на плюс ответ будет положительным
  или плюс на плюс дает плюс.

Примеры умножения отрицательных чисел

Пример 1. Вычислить: (-2)∗(-2) и (-3)∗(-7)

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на отрицательное — получается ответ со знаком плюс. Считаем:

 

1. (-2)∗(-2) = 4


2. (-3)∗(-7) = 21

Ответ: 4; 21.

Пример 2. Вычислить: (-11)∗11 и (-20)∗2

Как решаем:

Вспомним правило: отрицательное число умножить на положительное — получается ответ со знаком минус. Считаем:

 

1. -11 * 11 = -121


2. (-20) * 2 = -40

 Ответ: -121; -40.

Пример 3. Вычислить произведение: 5∗(-5) и 12∗(-8)

Как решаем:

Вспомним правило: умножение положительного на отрицательное число дает отрицательный результат. Считаем:

 

1. 5 ∗ (-5)= -25


2. 12 ∗ (-8)= -96

Ответ: -25; -96.

Пример 4. Вычислить произведение: (-0,125 ) * (-6)

Как решаем:

 

1. Используем правило умножения отрицательных чисел:
   (-0,125 ) * (-6) = 0,125 * 6.


2. Выполним умножение десятичной дроби на натуральное число столбиком:
   

Ответ: 0,75.

Плюс минус

Плюс минус

      Плюс и минус — это признаки положительных и отрицательных чисел в математике. Какой результат получается при умножении и делении положительных и отрицательных чисел? Эта простая таблица наглядно показывает результаты умножения и деления двух чисел с разными знаками.

      Приведенные в таблице результаты применимы как при умножении и делении целых чисел, так и при умножении и делении дробей. Для определения числовых значений результата умножения или деления воспользуйтесь таблицами умножения и деления, которые можно скачать бесплатно.

      При умножении или делении двух положительных чисел в результате получается положительное число. Плюс умноженный на плюс дает плюс, плюс деленный на плюс будет плюс. Это правило математики. Произведение двух положительных чисел — число положительное, частное двух положительных чисел — положительное число.

      В математике умножение или деление положительного числа на отрицательное дает в результате отрицательное число. Плюс умноженный на минус дает минус. Плюс деленный на минус будет минус. Если положительную дробь умножить или разделить на отрицательную дробь получится отрицательное число. Это число может быть целым или дробным. Произведение положительного числа на отрицательное — число отрицательное, частное положительного числа на отрицательное число — отрицательное число. Если числитель дроби положительный, а знаменатель отрицательный — дробь (или целое число) будет отрицательной.

      При делении или умножении отрицательного числа на положительное в результате получается отрицательное число. Минус умноженный на плюс будет минус. Минус деленный на плюс в математике будет минус. Когда числитель дроби отрицательный, а знаменатель положительный — дробь (или целое число) будет отрицательной. Если отрицательную дробь умножить или разделить на положительную дробь получится отрицательное число. Это число может быть целым или дробным, что определяется другими правилами математики. Произведение отрицательного числа на положительное — число отрицательное, частное отрицательного числа на положительное число — отрицательное число.

      Когда умножаются или делятся два отрицательных числа, результатом будет положительное число. Минус умноженный на минус дает плюс, минус деленный на минус будет плюс. Произведение двух отрицательного чисел — положительное число, частное двух отрицательного чисел — число положительное. При делении или умножении двух отрицательных чисел получается положительное число. Правила знаков в математике распространяются как на целые, так и на дробные числа. При делении двух отрицательных дробей результат будет положительным. При умножении двух отрицательных дробей результат так же будет положительным, то есть со знаком плюс.

ВОПРОС — ОТВЕТ

«Кто ввел знаки сложения и вычитания в математику?» — первое употребление слов plus (больше) и minus (меньше) как обозначения действия сложения было найдено историком математики Энестремом в итальянской алгебре четырнадцатого века. Вначале действия сложения и вычитания обозначали перввыми буквами слов «p» и «m». Современные знаки плюс «+» и минус «-» появились в Германии в последнее десятилетие пятнадцатого века в книге Видмана, которая была руководством по счету для купцов (“Behende und ubsche Rechenung auf allen Kaufmannschaft”, 1498). Существует предположение, что знаки плюс «+» и минус «-» появились из торговой практики: проданные меры вина отмечались на бочке черточкой «-«, а при восстановлении запаса их перечеркивали, откуда получился знак «+». Здесь я хочу особо подчеркнуть, что знаком «минус» отмечалась не мера (бочка) с «отрицательным» вином, а пустая мера (бочка), что гораздо больше соответствует понятию «ноль». Когда вам математики будут рассказывать об отрицательных числах, всегда помните о пустой бочке, которая по воле математиков превратилась в бочку со знаком «минус».

«Минус 6 делить на минус 3 как быть?» — сперва отбрасываем знаки минус и делим просто 6 (шесть) на 3 (три) при помощи таблицы деления и получаем в результате 2 (два). Потом по табличке вверху странички делим минус на минус и получаем плюс. Теперь прилепливаем полученный плюс к ранее полученной двойке

(-6) : (-3) = +2

Впрочем, знак «+» перед числами писать не принято, поэтому красивее и правильнее будет так:

(-6) : (-3) = 2

«Если число со знаком минус спереди умножаем на такое же число?» — решение смотри выше.

      13 ноября 2009 года — 22 сентября 2019 года.

© 2006 — 2021 Николай Хижняк. Все права защищены.

Правила знаков

Минус и плюс – это признаки отрицательных и положительных чисел в математике. Они по-разному взаимодействую с собой, поэтому при выполнении каких-либо действий с числами, например, деление, умножение, вычитание, сложение и т.д., необходимо учитывать правила знаков. Без этих правил вы никогда не сможете решить даже самую простую алгебраическую или геометрическую задачу. Без знания этих правил, вы не сможете изучить не только математику, но и физику, химию, биологию, и даже географию.

Рассмотрим подробней основные правила знаков.

Деление.

Если мы делим «плюс» на «минус», то получаем всегда «минус». Если мы делим «минус» на «плюс», то получаем всегда также «минус». Если мы делим «плюс» на «плюс», то получаем «плюс». Если же мы делим «минус» на «минус», то получим, как ни странно, также «плюс».

Умножение.

Если мы умножаем «минус» на «плюс», то получаем всегда «минус». Если мы умножаем «плюс» на «минус», то получаем всегда также «минус». Если мы умножаем «плюс» на «плюс», то получаем положительно число, то есть «плюс». Тоже самое касается и двух отрицательных чисел. Если мы умножаем «минус» на «минус», то получим «плюс».

Вычитание и сложение.

Они базируются уже на других принципах. Если отрицательное число будет больше по модулю, чем наше положительное, то результат, конечно же, будет отрицательный. Наверняка, вам интересно, что же такое модуль и зачем он тут вообще. Все очень просто. Модуль – это значение числа, но без знака. Например -7 и 3. По модулю -7 будет просто 7 , а 3 так и останется 3. В итоге мы видим, что 7 больше, то есть выходит, что наше отрицательное число больше. Вот и выйдет -7+3 = -4. Можно сделать еще проще. Просто на первое место ставить положительное число, и выйдет 3-7 = -4, возможно кому-то так более понятно. Вычитание действуют полностью по такому же принципу.

Правила при умножении (делении) чисел

Множители (делимое и делитель) Результат + + + + — — — + — — — +

Умножение и деление чисел в Excel

Умножение и деление в Excel не представляют никаких сложностей: достаточно создать простую формулу. Не забывайте, что все формулы в Excel начинаются со знака равенства (=), а для их создания можно использовать строку формул.

Умножение чисел

Предположим, требуется определить количество бутылок воды, необходимое для конференции заказчиков (общее число участников × 4 дня × 3 бутылки в день) или сумму возмещения транспортных расходов по командировке (общее расстояние × 0,46). Существует несколько способов умножения чисел.

Умножение чисел в ячейке

Для выполнения этой задачи используйте арифметический оператор * (звездочка).

Например, при вводе в ячейку формулы =5*10 в ячейке будет отображен результат 50.

Умножение столбца чисел на константу

Предположим, необходимо умножить число в каждой из семи ячеек в столбце на число, которое содержится в другой ячейке. В данном примере множитель — число 3, расположенное в ячейке C2.

1. Введите =A2*$B$2 в новом столбце таблицы (в примере выше используется столбец D). Не забудьте ввести символ $ в формуле перед символами B и 2, а затем нажмите ввод.

   Примечание: Использование символов $ указывает Excel, что ссылка на ячейку B2 является абсолютной, то есть при копировании формулы в другую ячейку ссылка всегда будет на ячейку B2. Если вы не использовали символы $ в формуле и перетащили формулу вниз на ячейку B3, Excel изменит формулу на =A3*C3, которая не будет работать, так как в ячейке B3 нет значения.

2. Перетащите формулу вниз в другие ячейки столбца.

   Примечание: В Excel 2016 для Windows ячейки заполняются автоматически.

Перемножение чисел в разных ячейках с использованием формулы

Функцию PRODUCT можно использовать для умножения чисел, ячеек и диапазонов.

Функция ПРОИЗВЕД может содержать до 255 чисел или ссылок на ячейки в любых сочетаниях. Например, формула =ПРОИЗВЕДЕНИЕ(A2;A4:A15;12;E3:E5;150;G4;h5:J6) перемножает две отдельные ячейки (A2 и G4), два числа (12 и 150) и три диапазона (A4:A15, E3:E5 и h5:J6).

Деление чисел

Предположим, что вы хотите узнать, сколько человеко-часов потребовалось для завершения проекта (общее время проекта ÷ всего людей в проекте) или фактический километр на лилон для вашего последнего меж страны(общее количество километров ÷ лилонов). Деление чисел можно разделить несколькими способами.

Деление чисел в ячейке

Для этого воспользуйтесь арифметическим оператором / (косая черта).

Например, если ввести =10/5 в ячейке, в ячейке отобразится 2.

Важно: Не забудьте ввести в ячейку знак равно(=)перед цифрами и оператором /. в противном случае Excel интерпретирует то, что вы введите, как дату. Например, если ввести 30.07.2010, Excel может отобразить в ячейке 30-июл. Если ввести 36.12.36, Excel сначала преобразует это значение в 01.12.1936 и отобразит в ячейке значение «1-дек».

Примечание: В Excel нет функции DIVIDE.

Деление чисел с помощью ссылок на ячейки

Вместо того чтобы вводить числа непосредственно в формулу, можно использовать ссылки на ячейки, такие как A2 и A3, для обозначения чисел, на которые нужно разделить или разделить числа.

Пример:

Чтобы этот пример проще было понять, скопируйте его на пустой лист.

Копирование примера

1. Создайте пустую книгу или лист.

2. Выделите пример в разделе справки.

   Примечание: Не выделяйте заголовки строк или столбцов.

   Выделение примера в справке

3. Нажмите клавиши CTRL+C.

4. Выделите на листе ячейку A1 и нажмите клавиши CTRL+V.

5. Чтобы переключиться между просмотром результатов и просмотром формул, которые возвращают эти результаты, нажмите клавиши CTRL+’ (ударение) или на вкладке «Формулы» нажмите кнопку «Показать формулы».

	A	B	C
1	Данные	Формула	Описание (результат)
2	15000	=A2/A3	Деление 15000 на 12 (1250).
3	12

Деление столбца чисел на константу

Предположим, вам нужно разделить каждую ячейку в столбце из семи чисел на число, которое содержится в другой ячейке. В этом примере число, на которые нужно разделить, составляет 3, содержалось в ячейке C2.

	A	B	C
1	Данные	Формула	Константа
2	15000	=A2/$C$2	3
3	12	=A3/$C$2
4	48	=A4/$C$2
5	729	=A5/$C$2
6	1534	=A6/$C$2
7	288	=A7/$C$2
8	4306	=A8/$C$2

1. В ячейке B2 введите =A2/$C$2. Не забудьте в формуле включить символ $ перед символами C и 2.

2. Перетащите формулу в ячейке B2 вниз в другие ячейки в столбце B.

Примечание: Символ $ указывает Excel, что ссылка на ячейку C2 является абсолютной, то есть при копировании формулы в другую ячейку ссылка всегда будет на ячейку C2. Если вы не использовали в формуле символы $ и перетащили формулу вниз на ячейку B3, Excel изменит формулу на =A3/C3, которая не будет работать, так как в ячейке C3 нет значения.

Дополнительные сведения

Вы всегда можете задать вопрос специалисту Excel Tech Community или попросить помощи в сообществе Answers community.

См. также

Умножение столбца чисел на одно и то же число

Умножение на процентное значение

Создание таблицы умножения

Операторы вычислений и порядок операций

Возведение в степень разных чисел (отрицательных, дробей, нуля,…)

Если возводим в степень отрицательное число, то действует обычное правило умножения (минус на минус дает плюс):

(-3)² = 9 

Т.к. (-3)*(-3) — минусы дали плюс.

Также и

(-3)⁴ = 81

И при таком варианте:

(-3)³ = -27

или то же самое:

(-3)*(-3)*(-3) = 9*(-3)

У нас остается лишний минус, которому нет пары.

Можно сразу понять будет ли число все ещё отрицательным, после возведения в степень:

если показатель степени нечетный (1, 3, 5, 7, 9,…), то результат обязательно будет отрицательным,

если показатель степени четный (2, 4, 6, 8,..), то получившееся число всегда будет положительным.

Если мы возводим в степень дробь, то перемножаем верхнюю часть саму на себя и нижнюю.

Еще одно интересное свойство степеней: если мы перемножаем  степени с одинаковыми основаниями, то мы можем просто сложить показатели  этих степеней.

Смотрите, как это выглядит в буквах:

b^x * b^y = b^x+y

Вместо  букв мы можем подставить любые числа, например,

2³ * 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128

Проверяем:

2³ = 8

2⁴ = 16

8*16 = 128

или

2⁷ = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 128

Такие фокусы можно проделывать и с большим количеством перемножаемых степеней, а не только с двумя.

Соответственно, если мы делим степени с одинаковыми основаниями,  то можем просто отнимать показатели степени.

b^x : b^y = b^x-y

Снова подставляем числа:

Считаем:

3⁵ : 3³ = 3^5-3 = 3² = 9

Проверяем:

3⁵ = 243

3³ = 27

243:27 = 9 = 3*3

Всё получилось верно.

А вот если мы имеем разные основания и одинаковый показатель степени для каждого из них, то мы можем сначала перемножить основания, а затем возвести их в степень:

m^x * n^x = (mn)^x

Числовая проверка:

2³ * 5³ = (2*5)³

2*2*2 = 8

5*5*5 = 125

8*125 = 1000

Или

2*5 = 10

10*10*10 = 1000

Магия цифр снова подтвердилась.

При делении, мы сначала разделим основания:

m^x : n^x = (m : n)^x

Так можно сделать, только если n ≠ 0 (n не равно нулю), поскольку на 0 делить нельзя.

Посмотрим формулу в числах.

8² : 4² = (8 : 4)²

8² = 64

4² = 16

64 : 16 = 4

Или

8 : 4 = 2

2² = 4

Всё верно.

И еще пара моментов:

Если возводим в любую степень ноль, то всегда получаем ноль

0ⁿ = 0

0*0*0*0*0*0*0,… всегда ноль.

Если возводим в любую степень единицу, то всегда получаем единицу

1ⁿ = 1 (n, как во всех выражениях с буквами, это любое число)

1*1*1*1*1,… всегда единица.

Редактировать этот урок и/или добавить задание Добавить свой урок и/или задание

Добавить интересную новость

правила и примеры (7 класс)

Основная функция скобок – менять порядок действий при вычислениях значений числовых выражений. Например, в числовом выражении \(5·3+7\) сначала будет вычисляться умножение, а потом сложение: \(5·3+7 =15+7=22\). А вот в выражении \(5·(3+7)\) сначала будет вычислено сложение в скобке, и лишь потом умножение: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Однако если мы имеем дело с алгебраическим выражением, содержащим переменную — например таким: \(2(x-3)\) – то вычислить значение в скобке не получается, мешает переменная. Поэтому в таком случае скобки «раскрывают», используя для этого соответствующие правила.

Правила раскрытия скобок

Если перед скобкой стоит знак плюс, то скобка просто снимается, выражение в ней при этом остается неизменным. Иначе говоря: 

\((a-b)=a-b\)

Здесь нужно пояснить, что в математике для сокращения записей принято не писать знак плюс, если он стоит в выражении первым. Например, если мы складываем два положительных числа, к примеру, семь и три, то пишем не \(+7+3\), а просто \(7+3\), несмотря на то, что семерка тоже положительное число. Аналогично если вы видите, например, выражение \((5+x)\) – знайте, что перед скобкой стоит плюс, который не пишут.

Пример. Раскройте скобку \((1+y-7x)\).
Решение: \((1+y-7x)=1+y-7x\).

Пример. Упростите выражение: \(3+(5-2x)\).
Решение: Раскрываем скобку согласно правилу, а затем приводим подобные слагаемые:

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые: \((x-11)+(2+3x)\).
Решение: \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Если перед скобкой стоит знак минус, то при снятии скобки каждый член выражения внутри нее меняет знак на противоположный:

\(-(a-b)=-a+b\)

Здесь нужно пояснить, что у \(a\), пока оно стояло в скобке, был знак плюс (просто его не писали), и после снятия скобки этот плюс поменялся на минус.

Пример: Упростите выражение \(2x-(-7+x)\).
Решение: внутри скобки два слагаемых: \(-7\) и \(x\), а перед скобкой минус. Значит, знаки поменяются – и семерка теперь будет с плюсом, а икс – с минусом. Раскрываем скобку и приводим подобные слагаемые.

Пример. Раскройте скобку: \(-(4m+3)\).
Решение: \(-(4m+3)=-4m-3\).

Пример. Раскройте скобку и приведите подобные слагаемые \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Решение: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Если перед скобкой стоит множитель, то каждый член скобки умножается на него, то есть: 

\(c(a-b)=ca-cb\)

Пример. Раскройте скобки \(5(3-x)\).
Решение: В скобке у нас стоят \(3\) и \(-x\), а перед скобкой — пятерка. Значит, каждый член скобки умножается на \(5\) — напоминаю, что знак умножения между числом и скобкой в математике не пишут для сокращения размеров записей.

Пример. Раскройте скобки \(-2(-3x+5)\).
Решение: Как и в предыдущем примере, стоящие в скобке \(-3x\) и \(5\) умножаются на \(-2\).

Пример. Упростить выражение: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Решение: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Осталось рассмотреть последнюю ситуацию.

При умножении скобки на скобку, каждый член первой скобки перемножается с каждым членом второй:

\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)

Пример. Раскройте скобки \((2-x)(3x-1)\).
Решение: У нас произведение скобок и его можно раскрыть сразу по формуле выше. Но чтобы не путаться, давайте сделаем всё по шагам.
Шаг 1. Убираем первую скобку — каждый ее член умножаем на скобку вторую:

Шаг 2. Раскрываем произведения скобки на множитель как описано выше:
— сначала первое…

— потом второе.

Шаг 3. Теперь перемножаем и приводим подобные слагаемые:

Так подробно расписывать все преобразования совсем необязательно, можно сразу перемножать. Но если вы только учитесь раскрывать скобок – пишите подробно, меньше будет шанс ошибиться.

Примечание ко всему разделу. На самом деле, вам нет необходимости запоминать все четыре правила, достаточно помнить только одно, вот это: \(c(a-b)=ca-cb\). Почему? Потому что если в него вместо c подставить единицу, получиться правило \((a-b)=a-b\). А если подставить минус единицу, получим правило \(-(a-b)=-a+b\). Ну, а если вместо c подставить другую скобку – можно получить последнее правило.

Скобка в скобке

Иногда в практике встречаются задачи со скобками, вложенными внутрь других скобок. Вот пример такого задания: упростить выражение \(7x+2(5-(3x+y))\).

Чтобы успешно решать подобные задания, нужно:
— внимательно разобраться во вложенности скобок – какая в какой находиться;
— раскрывать скобки последовательно, начиная, например, с самой внутренней.

При этом важно при раскрытии одной из скобок не трогать все остальное выражение, просто переписывая его как есть. 
Давайте для примера разберем написанное выше задание.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(7x+2(5-(3x+y))\).
Решение:

\(7x+2(5\)\(-(3x+y)\)\()=\)		Выполнять задание начнем с раскрытия внутренней скобки (той, что внутри). Раскрывая ее, имеем дело только с тем, что к ней непосредственно относиться – это сама скобка и минус перед ней (выделено зеленым). Всё остальное (не выделенное) переписываем также как было.
\(=7x+2(5\)\(-3x-y\)\()=\)		Теперь раскрываем вторую скобку, внешнюю.
\(=7x+2·5-2·3x-2·y=\)		Упрощаем получившееся выражение…
\(=7x+10-6x-2y=\)		…и приводим подобные.
\(=x+10-2y\)		Готово.

Пример. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Решение:

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\)\())\)		Здесь тройная вложенность скобок. Начинаем с самой внутренней (выделено зеленым). Перед скобкой плюс, так что она просто снимается.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\)\())\)		Теперь нужно раскрыть вторую скобку, промежуточную. Но мы перед этим упростим выражение привидением подобный слагаемых в этой второй скобке.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\)\()=\)		Вот сейчас раскрываем вторую скобку (выделено голубым). Перед скобкой множитель – так что каждый член в скобке умножается на него.
\(=-(x\)\(+9x-18\)\()=\)		Вновь приводим подобные.
\(=-(10x-18)=\)		И раскрываем последнюю скобку. Перед скобкой минус – поэтому все знаки меняются на противоположные.
\(=-10x+18\)		Готово.

Раскрытие скобок — это базовое умение в математике. Без этого умения невозможно иметь оценку выше тройки в 8 и 9 классе. Поэтому рекомендую хорошо разобраться в этой теме.

Смотрите также:
Вынесение общего множителя за скобки

Скачать статью

Умножение и деление отрицательных чисел

Purplemath

Если перейти от сложения и вычитания, как вы производите умножение и деление с отрицательными числами? Собственно, сложную часть мы уже рассмотрели: вы уже знаете правила «знака»:

плюс раз плюс плюс
(добавление большого количества горячих кубиков повышает температуру)

минус раз плюс минус
(удаление большого количества горячих кубиков снижает температуру)

плюс умножить на минус равно минус
(добавление большого количества холодных кубиков снижает температуру)

минус умножить на минус равно плюс
(удаление большого количества холодных кубиков повышает температуру)

MathHelp.com

Правила знаков действуют одинаково для деления; просто замените «раз» на «деленное на». Вот пример правил в разделе:

(Помните, что дроби — это просто еще одна форма деления! «Дроби — это деление»!)

---

Некоторым людям нравится думать об отрицательных числах в терминах долгов.Так, например, если вы должны 10 долларов шести людям, ваш общий долг составит 6 × 10 долларов = 60 долларов. В этом контексте имеет смысл получить отрицательный ответ. Но в каком контексте может иметь смысл деление отрицательного на отрицательное (и получение положительного)?

Подумайте о том, чтобы перекусить в кафе. Когда вы идете платить, у ребенка возникают проблемы с использованием вашей дебетовой карты. Он проводит по ней шесть раз, прежде чем, наконец, вернуть карту вам. Вернувшись домой, вы проверяете свой банковский счет в Интернете. По сумме можно сказать, что да, он действительно взимал с вас или более одного раза.Некоторая часть этого общего дебета (отрицательная на вашем счете) неверна.

Прежде чем звонить в банк для исправления ситуации, вы хотите подтвердить количество превышенных комиссий. Как в этом разобраться? Вы можете разделить всю сумму (скажем, 76,02 доллара США) на сумму, указанную в квитанции (скажем, 12,67 доллара США), которая является суммой одного платежа. Каждое списание является минусом на вашем счету, поэтому математика составляет:

.

(- 76,02 доллара) ÷ (- 12 долларов.67) = 6

Итак, всего действительно было шесть зарядов. Количество зарядов, 6, при подсчете количества событий, должно быть положительным. В этом реальном контексте деление минуса на минус и получение плюса имеет смысл. И теперь вы знаете, что нужно указать службе поддержки клиентов отменить ровно пять сборов.

---

Вы можете заметить, что люди отменяют знак минус.Они пользуются тем, что «минус, умноженный на минус, равен плюсу». Например, предположим, что у вас есть (–2) (- 3) (- 4). Любые два отрицательных результата при умножении становятся одним положительным. Так что выберите любые два из перемноженных (или разделенных) отрицаний и «отмените» их знаки:

• Упростить (–2) (- 3) (- 4).

Начну с того, что уберу одну пару знаков «минус».Потом размножу как обычно.

(–2) (- 3) (- 4)

= (–2) (- 3) (–4)

= (+6) (–4)

= –24

Если вам дано длинное умножение с отрицательными числами, просто уберите знаки «минус» в парах:

• Упростить (–1) (- 2) (- 1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1).

Первое, что я сделаю, это подсчитаю знаки «минус». Один два три четыре пять шесть семь. Итак, есть три пары, которые я могу отменить, оставив одну. В результате мой окончательный ответ должен быть отрицательным. Если я получу положительный результат, я буду знать, что сделал что-то не так.

(–1) (- 2) (- 1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1)

= (–1) (- 2) (–1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1)

= (+1) (+ 2) (–1) (- 3) (- 4) (- 2) (- 1)

= (1) (2) (–1) (- 3) (–4) (- 2) (- 1)

= (1) (2) (+1) (+ 3) (–4) (- 2) (- 1)

= (1) (2) (1) (3) (–4) (- 2) (–1)

= (1) (2) (1) (3) (+4) (+ 2) (–1)

= (1) (2) (1) (3) (4) (2) (- 1)

= (2) (3) (4) (2) (- 1)

= 48 (–1)

= –48

Я получил отрицательный ответ и знаю, что мой знак правильный.

Вот еще один пример, показывающий тот же процесс отмены в контексте разделения:

---

Отрицательные скобки

Основная трудность, с которой люди сталкиваются с негативом, заключается в том, чтобы обращаться со скобками; в частности, в переносе отрицания через круглые скобки. Обычная ситуация примерно такая:

Если бы у вас было «3 ( x + 4)», вы бы знали, что нужно «распределить» 3 «над» круглыми скобками:

3 ( x + 4) = 3 ( x ) + 3 (4) = 3 x + 12

Те же правила применяются, когда вы имеете дело с негативом.Если у вас проблемы с отслеживанием, используйте маленькие стрелки:

← проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

---

Мне нужно взять 3 в скобки:

3 ( x — 5) = 3 ( x ) + 3 (–5) = 3 x — 15

Здесь я возьму «минус» в скобках; Я буду распределять –2 на x и минус 3.

–2 ( x — 3) = –2 ( x ) — 2 (–3) = –2 x + 2 (+3) = –2 x + 6

Обратите внимание, как я внимательно следил за знаками в круглых скобках. «Минус» был сохранен рядом с цифрой 3 за счет использования еще одного набора круглых скобок. Не стесняйтесь использовать символы группировки, чтобы обозначить предполагаемый смысл как для оценщика, так и для вас самих.

---

Другая проблема, связанная с предыдущей, связана с вычитанием скобок. Вы можете отслеживать знак вычитания, преобразовав вычитание в умножение на отрицательное:

Начну с маленькой цифры «1» перед круглыми скобками. Затем я нарисую стрелки от этой единицы к терминам в круглых скобках, чтобы напомнить себе о том, что мне нужно сделать.

← проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

Не бойтесь написать эту маленькую цифру «1» и нарисовать эти маленькие стрелки.Вы должны делать все, что вам нужно, чтобы ваша работа была прямой и постоянно получала правильный ответ.

• Упростить 6 — (3

  x — 4 [1 — x ]).

Я буду работать изнутри, упрощая сначала символы внутренней группировки в соответствии с Порядком операций. Итак, первое, что я сделаю, это возьму –4 через скобки.Тогда я упрощу; Я продолжу, поставив 1 перед круглыми скобками и, чтобы помочь мне отслеживать тот -1, который я буду распространять, я нарисую маленькие стрелки.

← проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

---

Филиал

---

• Упростить

  ¹ / ₃ — ^{( x -2)} / ₃ .

Это непросто. Они заставляют меня вычесть дробь. Мне нужно объединить дроби, что означает объединение числителей. Чтобы не упустить из виду, что именно означает этот «минус» (а именно, что я вычитаю весь числитель второй дроби, а не только x ), я конвертирую минус с плюсом –1:

← проведите по экрану , чтобы просмотреть изображение полностью →

Обратите внимание, что я преобразовал вычитание дроби в добавление отрицательного числа, умноженного на единицу дроби.Очень легко «потерять» минус, когда вы добавляете такие беспорядочные полиномиальные дроби. Самая частая ошибка — ставить минус на x и забывать отнести его к –2. Будьте особенно осторожны с дробями!

Для дополнительной практики со скобками попробуйте здесь.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/negative3.htm

Как складывать, вычитать, умножать и делить положительные и отрицательные числа

Давайте посмотрим на следующую числовую строку и заметим, что каждая точка (точка) на числовой прямой соответствует одному числу:

В числовой строке выше мы видим три типа чисел или целых чисел: отрицательные числа, ноль и положительные числа.Отрицательные числа находятся слева от нуля, поэтому они меньше нуля. Положительные числа справа от нуля, поэтому они больше нуля. Ноль, разделительная точка, не является ни положительным, ни отрицательным.

Для числовой строки выше «1» соответствует или относится к красной точке, «2» относится к зеленой точке, «3» относится к синей точке и так далее. Когда мы перемещаемся вправо по числовой строке, мы увеличиваем числа. Мы определили это как дополнение. Когда мы движемся влево, мы уменьшаемся.И мы определили это как вычитание. Обычно так работает числовая линия.

Когда мы складываем два положительных числа или умножаем два положительных числа, мы получаем положительное число. Однако мы можем вычесть положительное число из положительного, и вдруг мы не получим положительное число!

Например, если мы вычтем 7 из 4, мы начнем с 4 в числовой строке и переместимся влево на 7 позиций. Это подводит нас к -3. Поскольку -3 находится слева от 0, оно меньше нуля.

Глядя на обратную операцию, мы можем сказать, что если 4-7 = -3, то -3 + 7 = 4. И это правильно. Если мы начнем с -3 и переместим на 7 делений вправо, мы получим 4.

Положительные числа — это не только целые числа справа от нуля, но и все типы чисел, такие как дроби, десятичные дроби и радикалы. Отрицательные числа также включают различные формы и различные типы чисел, которые появляются слева от нуля.

У нас не всегда есть числовая строка, с которой можно работать, поэтому нам нужно выучить несколько правил работы с отрицательными числами.Во-первых, нам нужно определить абсолютное значение. Абсолютное значение числа — это количество единиц, отсчитываемых от нуля. Он всегда выражается положительно, но без знака «плюс».

Абсолютное значение 3 равно 3. Абсолютное значение -3 также равно 3. И 3, и -3 — три единицы от нуля. Абсолютное значение обозначается путем написания числа между двумя вертикальными полосами.

| 3 | = 3 и | -3 | = 3

Добавление отрицательных чисел

Если перед числом вы не видите отрицательный или положительный знак, это положительный знак.

При сложении чисел одного знака (положительного или отрицательного) сложите их абсолютные значения и дайте результату тот же знак.

6 + 5 = 11 (6 и 5 положительны; 6 + 5 равно 11, что положительно)

-7 + -8 = -15

(-7 и -8 оба отрицательны; сложите | 7 | + | 8 |, что равно 7 + 8, чтобы получить 15; ответ -15)

Если все числа в добавляемой группе отрицательны: -2 + -3 + -4 = -9, снова сложите абсолютные значения 2 + 3 + 4, чтобы получить 9 и поставить отрицательный знак.

Добавление положительных и отрицательных чисел

При сложении чисел противоположного знака возьмите их абсолютные значения, вычтите меньшее из большего и присвойте результату знак числа с большим абсолютным значением.

7 + -3 = | 7 | — | 3 | = 4

-8 + 6 = | 8 | что равно 8 и | 6 | что составляет 6. Вычтите меньшее из большего:

8 — 6, что дает результат 2 и дает ему знак большего числа, равного 8.

Ответ — -2.

Вычитание положительных и отрицательных чисел

При вычитании положительного числа из отрицательного используйте то же правило, что и для сложения двух отрицательных чисел: сложите абсолютные значения и присвойте разнице отрицательный знак.

-5 — 4 = | 5 | + | 4 | = | 9 | = -9 (это как -5 + -4 = -9)

-2 — 12 = | 2 | + | 12 | = | 14 | = -14

При вычитании отрицательного числа из положительного, двойной отрицательный результат вычитания отрицательного становится положительным, поэтому используйте то же правило, что и для сложения двух положительных чисел: сложите абсолютные значения и присвойте разнице положительный знак.

5 — -4 = | 5 | + | 4 | = 5 + 4 = 9

Если бы вы использовали числовую строку, вы бы пошли влево для вычитания, а затем перевернули (вправо) для отрицательного числа, так что окончательный ответ будет справа от исходного числа.

16 — -10 = | 16 | + | 10 | = 16 + 10 = 26

Аддитивное обратное число — это число с противоположным знаком, так что при сложении двух результат равен нулю.

а + (-а) = 0

Как видите, это положительные и отрицательные числа одного и того же абсолютного значения.

10 + -10 = 0

-24 + 24 = 0

Умножение положительных и отрицательных чисел

При умножении положительного числа и отрицательного числа (или отрицательного числа на положительное число) умножьте абсолютные значения и дайте ответ отрицательный знак.

8 х -5 = | 8 | х | 5 | = 8 x 5 = 40, но дайте ему отрицательный знак, сделав -40

-13 x 3 = -39

9 х -3 = -27

Чтобы умножить несколько чисел, посчитайте количество отрицательных знаков в числах, которые нужно умножить.Если это четное число, произведение будет положительным, а если нечетное, произведение будет отрицательным.

6 х -2 х -3 х 5 = | 6 | х | 2 | х | 3 | х | 5 |

6 x 2 = 12, 12 x 3 = 36 и 36 x 5 = 180

Есть два отрицательных знака (четное число), поэтому ответ положительный.

Если бы было -6 x -2 x -3 x 5, ответ был бы -180

Умножение двух отрицательных чисел

При умножении двух отрицательных чисел два отрицательных числа компенсируют друг друга, поэтому умножьте абсолютные значения и дайте ответ положительный знак.

-21 х -3 = | 21 | х | 3 | = 63 (остается положительным)

-7 х -8 = | 7 | х | 8 | = 56

Деление отрицательного числа на отрицательное

Чтобы разделить два числа с одинаковым знаком (два положительных или два отрицательных), используйте абсолютные значения, и результат будет положительным.

16 ¸ 4 = | 16 | ¸ | 4 | = 4

-20 ¸ -10 = | 20 | ¸ | 10 | = 2

Деление положительного числа на отрицательное или отрицательного числа на положительное

Чтобы разделить пару чисел с разными знаками (отрицательное на положительное или положительное на отрицательное), используйте абсолютные значения двух чисел и присвойте результату отрицательный знак.

-12 ¸ 3 = | 12 | ¸ | 3 | = 4, но это -4

18 ¸ -3 = | 18 | ¸ | 3 | = 6, но это -6

Использование отрицательных чисел

Отрицательные числа используются для обозначения низких температур. Цифры ниже 0 ° C отрицательны и ниже точки замерзания. (Помните, что значения ниже 32 ° F ниже точки замерзания, но температура часто опускается ниже 0 ° F.)

Отрицательные числа используются для отображения измерений ниже уровня моря.Уровень моря равен 0.

Отрицательные числа используются с деньгами, чтобы показать задолженность или денежную задолженность. Если человек или семья тратят больше денег, чем зарабатывают, мы говорим, что они «отрицательные на определенную сумму», или называем это «красным», потому что бухгалтеры используют красные чернила для отображения отрицательных чисел.

Больше и меньше и наборы чисел

Набор чисел — это группа чисел, которая соответствует заданному описанию.Например, набор целых чисел меньше 0 будет выражен как n <0. В этом предложении набор чисел, удовлетворяющий условиям, будет состоять из отрицательных целых чисел.

Все целые числа больше 0 будут выражены как n> 0. Набор чисел, удовлетворяющий этим условиям, будет набором всех положительных целых чисел. Каждое из этих целых чисел будет называться членом или элементом этого набора.

Какие целые числа от 3 до 8? Это будет 4, 5, 6 и 7.Другой способ выразить это — набор чисел больше 3, но меньше 8, которые можно представить в виде математического предложения, которое выглядит так:

3

Прочтите это: n такое, что n больше 3 и меньше 8

Поскольку 3

И n <8 или n меньше 8 или 8 больше n

п = 4, 5, 6, 7

Мы могли бы сказать 3 n <8, и в этом случае в ответ было бы включено 3, поэтому n = 3, 4, 5, 6, 7.Знак означает «меньше или равно», а знак означает «больше или равно».

Часто эти ответы «больше» и «меньше» необходимо выражать с помощью числовой строки, потому что было бы невозможно перечислить все числа для ответа.

Мы делаем пустой кружок на числе, если оно «больше чем» (>) или «меньше чем» (<), и мы делаем закрашенный кружок на числе, если оно «больше или равно» () или 'меньше или равно' ().Затемняем линию от начального круга до конечного круга или точки на линии.

Почему отрицательное время всегда отрицательно положительно? — Рефлексивный педагог

Существуют разные ответы на этот вопрос, в зависимости от требуемого стандарта доказательства и базовых знаний, которые вы привносите в вопрос.

Математическая последовательность и закономерности

Попробуйте решить каждую из этих проблем, обращая при этом внимание на предыдущий набор проблем.Ищите шаблоны, облегчающие решение проблем.

3 × 3 =?
3 × 2 =?
3 × 1 =?
3 × 0 =?
3 × -1 =?
3 × -2 =?
3 × -3 =?
2 × -3 =?
1 × -3 =?
0 × -3 =?
-1 × -3 =?
-2 × -3 =?
-3 × -3 =?

Ответы на эти проблемы приведены ниже, но я действительно рекомендую сначала найти время, чтобы решить вышеперечисленные задачи самостоятельно, чтобы вы получили представление о том, как учащиеся могут обдумывать этот набор задач.

3 × 3 = 9
3 × 2 = 6
3 × 1 = 3
3 × 0 = 0

На этом этапе многие люди заметят, что ответы каждый раз становятся на 3 меньше, а число, умноженное на 3, каждый раз становится на единицу меньше, поэтому они продолжают этот шаблон, чтобы ответить на следующие вопросы.

3 × -1 = -3
3 × -2 = -6
3 × -3 = -9

Теперь мы уменьшаем первое число в шаблоне на 3, и нужно сделать некоторые выводы о том, каким должен быть ответ.

2 × -3 = -6
1 × -3 = -3
0 × -3 = 0

Теперь можно заметить, что ответы увеличиваются на 3 каждый раз, когда мы увеличиваем первое число, и поэтому разумно продолжить этот шаблон.

-1 × -3 = 3
-2 × -3 = 6
-3 × -3 = 9

Хотя некоторым этот образец может показаться очевидным, когда кто-то все еще находится в середине изучения этой концепции, у него меньше когнитивных способностей, доступных для выполнения поставленной задачи (умножения чисел) и выполнения дополнительной задачи поиска закономерностей в своем ответы, так что именно здесь кто-то другой побуждает их остановиться и поискать закономерности в своей работе до сих пор, будет очень полезно.

Предварительные знания : Необходимо знать, что означают эти символы, что подразумевается под нахождением одного числа, умноженного на другое, и как работают отрицательные числа с точки зрения обратного отсчета и вычитания.

Математическая непротиворечивость и математические свойства

Давайте посмотрим на проблему, которую мы можем решить более чем одним способом, позаимствованным из Академии Хана.

5 × (3 + -3) =?

Если мы сначала сложим числа внутри скобок, то получится 5 умножить на 0, что равно 0, поскольку 3 + -3 = 0.

5 × (3 + -3) = 0

Но что, если мы сначала распределим 5 через оба термина?

5 × 3 + 5 × -3 =?

Поскольку распределение 5 по сложению не меняет значения выражения, мы знаем, что оно по-прежнему равно 0.

5 × 3 + 5 × -3 = 0

Но это означает, что 5 × 3 и 5 × -3 — противоположные знаки, поэтому, поскольку 5 × 3 = 15, то 5 × -3 равно -15. Давайте посмотрим на другой пример.

-5 × (3 + -3) =?

Мы знаем, что это то же самое, что -5 умножить на 0, поэтому это значение равно 0.

-5 × (3 + -3) = 0

Как и раньше, мы распределяем -5 через оба термина.

-5 × 3 + -5 × -3 =?

Опять же, распределение членов не меняет значения выражения в левой части уравнения, поэтому результат по-прежнему равен 0.

-5 × 3 + -5 × -3 = 0

Мы уже знали, что -5 × 3 равно -15, поэтому мы можем заменить это значение на -5 × 3 в левой части уравнения.

-15 + -5 × -3 = 0

Следовательно, -15 и -5 × -3 являются противоположностями, так как они складываются в 0, поэтому -5 × -3 должно быть положительным.

Ничто в том, что мы сделали для двух приведенных выше примеров, не является специфическим для значения 5 × 3, поэтому мы можем повторить этот аргумент для каждого другого факта умножения, который мы хотим вывести, чтобы эти две идеи можно было обобщить.

Предварительные знания : Необходимо знать, что означают эти символы, что подразумевается под нахождением одного числа, умноженного на другое, как работает свойство распределения и как отрицательные числа могут быть определены как противоположности положительных чисел.

Представление на числовой строке

Представьте, что мы представляем умножение в виде прыжков на числовой прямой.

3 умножить на 3 на числовой прямой

Для 3 × 3 мы рисуем 3 группы по 3, двигаясь вправо. И количество групп, и направление каждой группы справа.

А как насчет 3 × -3? Теперь у нас осталось 3 группы чисел, но число отрицательное.

3 умножить на -3 в числовой строке

Если мы найдем -3 × 3, размер и направление умножаемого числа будут такими же, но теперь мы находим -3 группы этого числа. Один из способов подумать об этом — подумать о том, чтобы убрать 3 группы числа.Другой — представить, что -3 умноженное на число является отражением 3-кратного того же числа.

-3 умножить на 3 на числовой прямой

Таким образом, -3 × -3 является отражением 3 × -3 поперек числовой прямой.

-3 умножить на -3 в числовой строке

Однако в каком-то смысле этот визуальный аргумент представляет собой просто математическую согласованность, представленную в числовой строке. Если умножение на отрицательное — это отражение относительно 0 на числовой прямой, и мы думаем, что отрицательные числа являются отражениями через 0 числовой прямой, то умножение отрицательного числа на отрицательное число является двойным отражением.

Контекст

У Карен Лью есть эта аналогия.

Умножение на минус — это повторное вычитание. Когда мы умножаем отрицательное число на отрицательное число, мы получаем меньше отрицательного.

Эта аналогия между умножением и сложением и вычитанием помогает студентам хорошо связать эти два понятия.

Джозеф Рурк поделился этим контекстом.

Игрок теряет 10 долларов в день.Насколько больше у них было денег 5 дней назад?

Здесь убыток за день — одно отрицательное значение, а движение назад во времени — другое.

@M_Teacher_w_T поделился этой аналогией:

«Враг моего врага — мой друг».

Это нацелено не на алгебраические или арифметические свойства чисел, а больше на противоположность отрицательных чисел.

Предварительные знания: Все контексты, которые создают новое понимание, требуют от учащихся достаточно хорошего понимания частей контекста, поэтому особенно важно выяснить, как учащиеся понимают идею, когда она представлена ​​в контексте.

Алгебраическое доказательство из первых принципов

От доктора Алекса Юстиса у нас есть алгебраическое доказательство того, что отрицательное умножение на отрицательное является положительным.

Во-первых, он формулирует набор аксиом, применимых к любому кольцу с единицей. Кольцо — это, по сути, система счисления с двумя операциями. Каждая операция закрывается, что означает, что использование этих операций (таких как сложение и умножение действительных чисел) приводит к другому числу в системе счисления.У каждой операции также есть элемент идентичности или элемент, который не изменяет другой элемент в системе при применении к нему. Например, при добавлении 0 — это аддитивный идентификатор. При умножении 1 — это мультипликативное тождество. Полный набор необходимых аксиом приведен ниже.

9 0250

Аксиома 1 : a + b = b + a	(Аддитивная коммуникативность)
Аксиома 2 : ( a + b ) + c = a + ( b + c )	(Аддитивная ассоциативность)
Аксиома 3 : 0 + a = a	(Аддитивная идентичность)
Аксиома 4 : существует — a , удовлетворяющее a + (- a ) = 0	(аддитивная инверсия)
Аксиома 5 : 1 × a = a × 1 = a	(Мультипликативная идентичность)
Аксиома 6 : ( a × b ) × c = a × ( b × c )	(Мультипликативная ассоциативность )
Аксиома 7 : a × ( b + c ) = a × b + a × c	(Левое мультипликативное распределение)
Аксиома 8 : ( b + c ) × a = b × a + c × a	(Распределение правого умножения)

Из этих аксиом мы можем доказать, что отрицательный, умноженный на отрицательный, является положительным.Ниже я воспроизведу доказательство доктора Юстиса и сделаю ссылку на используемые аксиомы. Сначала докажем, что a = — (- a ).

Corrolary 1
style = «text-align: right»>

a = a + 0	(Аксиома 3 и Аксиома 1)
a = a + (- a + — (- a ))	(Аксиома 4 применяется к — a )
a = ( a + (- a )) + (- (- a ))	(Аксиома 2 — ассоциативное свойство)
a = 0 + (- (- a ))	(Аксиома 4)
a = — (- a )	(Аксиома 3)

Итак, теперь мы знаем, что если мы введем отрицательные числа , будет равно — (- 𝑎).

Corrolary 2

0 = a + (- a )	(Аксиома 4)
0 = (0 + 1) × a + (- a )	(Аксиома 3 и Аксиома 5)
0 = 0 × a + 1 × a + (- a )	(Аксиома 8)
0 = 0 × a + ( a + (- a ))	(Аксиома 5 и Аксиома 2)
0 = 0 × a + 0	(Аксиома 4)
0 = 0 × a	(Аксиома 3 и Аксиома 1)

Доказательство того, что 0 = 0 × a — это своего рода до боли очевидная идея, которая вряд ли требует доказательства, но устанавливает связь между умножением и аддитивной идентичностью в действительных числах, которая еще не включен в аксиомы выше.

Затем мы докажем, что (−1) × a = — a .

Corrollary 3

— a = — a + 0 × a	(Следствие 2 и Аксиома 3)
— a = — a + (1 + (−1)) × a	(Аксиома 4)
— a = — a + 1 × a + (−1) × a	(Аксиома 8)
— a = (- a + a ) + (−1) × a	(Аксиома 5 и Аксиома 2)
— a = 0 + (−1) × a	(Аксиома 4)
— a = 0 + (−1) × a	(Аксиома 3)

Теперь, наконец, мы можем доказать, что (- a ) × ( — b ) = ab .

(- a ) × (- b ) = ( a × (−1)) × (- b )	(Corrolary 3)
(- a ) × (- b ) = a × ((−1) × (- b ))	(Аксиома 6)
(- a ) × (- b ) = a × (- (- b ))	(Corrolary 3)
(- a ) × (- b ) = a × b	(Corrolary 1)

Это последнее «доказательство» вряд ли сможет оправдать то, что отрицательный результат, умноженный на отрицательный, является положительным для любого учащегося.Это то, что является необходимым уровнем обоснования для математика, заинтересованного в строгом доказательстве, который, вероятно, посчитал бы другие обоснования «шаблонными» и недостаточными.

Критическая идея доказательства состоит в том, что предполагаемая аудитория доказательства остается убежденной в истинности идеи, и поэтому я утверждаю, что представленное здесь алгебраическое «доказательство» не является доказательством почти для всех.

Предварительные знания : Пока я просматривал и добавлял обоснование для каждого шага пропущенного доказательства, мне нужно было немного свободно владеть исходным набором аксиом.Мне также нужно было не упускать из виду общую цель и уметь распознавать структуру каждой части аргумента и согласовывать эту структуру с аксиомами.

Более простое алгебраическое доказательство

Это алгебраическое доказательство Бенджамина Дикмана намного проще, чем возвращение к доказательству, основанному на аксиомах арифметики.

a + (- a ) = 0
a × b + (- a ) × b = 0 × b
ab + (- ab ) = 0

Из этого мы можем показать, что ab и — ab имеют противоположные знаки, и поэтому положительное значение, умноженное на отрицательное, является отрицательным.Используя факт, что умножение коммутативно, отрицательное умножение на положительное также отрицательно.

Точно так же мы можем доказать, что отрицательное, умноженное на отрицательное, является положительным.

a + (- a ) = 0
a × (- b ) + (- a ) × (- b ) = 0 × (- b )
— ab + (- a ) × (- b ) = 0

Поскольку мы знаем, что — ab отрицательно, а сумма этих двух членов равна 0, поэтому (- a ) × (- b ) положительно.

Предварительные знания : Предварительные знания для этого доказательства намного меньше, чем для другого, но оно предполагает изрядную беглость в манипуляциях с алгебраическими структурами.

Заключение:

Учитывая, что цель аргумента о том, что что-то истинно, состоит в том, чтобы убедить другого человека в истинности аргумента, всякий раз, когда кто-либо использует какое-либо оправдание, представление или доказательство, необходимо проверить, что аудитория остается убежденной.

Как умножать отрицательные числа

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

🎯 Почему отрицательное, умноженное на отрицательное, является положительным? — 🥇 Скалярный научный калькулятор, графики и скрипты

Наверняка все знают, что результат умножения двух отрицательных чисел положительный.Формула «минус умножить на минус — это плюс» или «отрицательное, умноженное на отрицательное — положительное» пришла нам в голову в первые школьные годы. Однако учителя забыли объяснить, почему это так, и передать мотивацию математиков, которые определили арифметику отрицательных чисел.

⭐️ Умножение как краткое обозначение повторного сложения

Говорят, что умножение — это краткое обозначение повторяющегося сложения, что абсолютно верно и, с ограничением целыми числами, является довольно очевидным фактом.

4 × 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12

⭐️ Коммутативность умножения и дистрибутивность умножения по сложению

Эти два основных свойства умножения можно записать следующим образом:

Коммутативность

: a × b = b × a

пример: 3 × 4 = 4 × 3

распределительное свойство: a × (b + c) = a × b + a × c

пример: 3 × 4 = 3 × (1 + 3) = 3 × 1 +3 × 3 = 3 + 9 = 12

⭐️ Умножение отрицательных чисел с математической точки зрения

Математики, определяя арифметику отрицательных чисел, хотели соответствовать уже разработанной арифметике положительных чисел и нуля.Основываясь на интерпретации краткой записи повторного сложения, мы легко можем обосновать следующее:

−3 × 4 = (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −12

«Добавляя долг к долгу», мы получаем больше долга — интуитивно понятно. Теперь, используя коммутативное свойство умножения
, получаем:

4 × (−3) = −3 × 4 = −12

На этом этапе интуиция немного сложнее, но последовательность сохранилась. Пора перейти к главному — попробуем ответить на вопрос:

−3 × (−4) =?

Чтобы решить указанную выше проблему, мы воспользуемся уловкой, основанной на распределительном свойстве умножения над сложением.

−3 × 0 = 0

−3 × 0 = −3 × (−4 + 4) = 0

−3 × (−4 + 4) = −3 × (−4) + (−3) × 4 = 0

−3 × (−4) + (−12) = 0

−3 × (−4) = 12

Вышесказанное не имеет ничего общего с интуицией, но оно согласовано, то есть на основе арифметики положительных чисел и нуля, коммутативности умножения, распределительного свойства умножения над сложением, мы можем обосновать, почему умножение отрицательных чисел должно быть положительным числом.

⭐️ Умножение отрицательных чисел как уменьшение потерь

Предположим, мы умножаем два числа, где интерпретация первого значения — это значение прибыли или убытков, а значение второго — это умножение (увеличение / уменьшение) первого значения. В этой ситуации умножение двух отрицательных чисел означает уменьшение потерь, то есть общего положительного эффекта действия.

прибыль × прирост = положительный эффект

прибыль × уменьшение = негативный эффект

убыток × увеличение = отрицательный эффект

убыток × уменьшение = положительный эффект

✅ Приведенное выше объяснение можно охарактеризовать как интуитивное 🙂

Наконец, видео от Mathologer, объясняющее вышеуказанную проблему (это было основой для вышеупомянутого сообщения).

💠 Умножить отрицательное на отрицательное в Скалярном калькуляторе? 🙂

Давайте проведем тест на умножение отрицательных чисел с помощью скалярного калькулятора.

Тест полностью успешен 🙂 Спасибо за внимание! Всего наилучшего

р.

🥇 Скаляр в действии

🥇 Scalar Lite (бесплатно)

🥇 Скаляр Pro

Ресурсоголик: умножение отрицаний

«Отрицательный умноженный на отрицательный — положительный».Это сложно объяснить. Мы все выучили это в школе и практиковали до беглости, но только когда нас спросят , почему это работает, мы остановимся и задумаемся над этим.

Числовые линии и визуализация очень полезны при обучении сложению и вычитанию отрицательных чисел. Но с умножением и делением все не так однозначно.

Давайте рассмотрим несколько подходов и ресурсов.

1. Поиск по образцу
Нарисуйте стандартную таблицу умножения и расширьте ее назад, чтобы включить отрицательные числа.Это простой шаблон, который все ученики должны уметь распознать и продолжить. Попросите студентов сделать это, используя упражнение Колина Фостера на странице 5 его главы «Отрицательные числа».

2. Сетки умножения
Возьмите два двузначных числа и умножьте их вместе, используя умножение сетки. Для простоты возьмем 12 x 11:
.

Здесь мы написали 12 как 10 + 2 и 11 как 10 + 1. Но это сработало бы так же хорошо, если бы мы выразили эти числа по-другому. Вместо этого давайте запишем 12 как 15-3 и 11 как 15-4.У нас должен получиться такой же ответ:

Это работает, только если -3 x -4 = 12.

Обратите внимание, что это объяснение требует от учащихся сначала понять, что положительный x отрицательный = отрицательный. Это относительно просто объяснить в терминах повторного сложения.

3. Доказательство
Вот доказательство, понятное и доступное нам, опытным математикам. Я не уверен, насколько он доступен для учеников 7-го класса, но попробовать стоит.

a и b положительны

а + (-а) = 0

[a + (- a)] • b = 0 • b

a • b + (-a) • b = 0

a • b положительный. Следовательно (-a) • b отрицательно

b + (-b) = 0

(-a) • [b + (-b)] = (-a) • 0

(-a) • b + (-a) • (-b) = 0

Поскольку (-a) • b отрицательно, мы заключаем, что (-a) • (-b) положительно.

Возможно, начнем с числового примера вместо формального доказательства.

3 + (-3) = 0

Умножить все на -4

3 (-4) + (-3) (- 4) = 0 (-4)

-12 + (-3) (- 4) = 0

(-3) (- 4) должно быть равно 12, чтобы это утверждение было верным.

Дополнительная литература
Хорошая идея — прочитать о теме, прежде чем преподавать ее, даже относительно простые темы, которые вы уже много раз преподавали ранее. Вот несколько полезных ссылок:

Мне нравится этот клип из Stand and Deliver:

Формулировка здесь важна. «Отрицательный результат, умноженный на отрицательный, равен положительному», явно предпочтительнее, чем «два минуса составляют плюс». Последнее сбивает с толку и может привести к неправильным представлениям. Пример распространенной ошибки показан ниже (взят из mathmistakes.org через Nix the Tricks).

Задачи и ресурсы
Вот несколько рекомендаций по использованию ресурсов по этой теме:

Колин Фостер предлагает вам попросить учащихся составить десять умножений и десять делений, каждое из которых даст ответ –8 (например, –2 × –2 × –2 или –1 × 8 и т. Д.).

Возведение в квадрат и куб (и т. Д.) Негативов заслуживает обсуждения — учащиеся должны определить, что четная степень дает положительное значение (например, каково значение (-1) ¹⁰⁰ ?).

Возможно, стоит также изучить поведение калькулятора (т. Е. Некоторые калькуляторы требуют скобок при возведении в квадрат отрицательного значения).Важно, чтобы учащиеся знали, как правильно пользоваться калькулятором. Для этого есть отличный ресурс от MathsPad — Using a Calculator: Odd One Out.

К этой теме мы вернемся позже, когда студенты будут практиковать замещение. Например, если a = 3, b = -2 и c = -5, найдите значения: abc; bc ² ; (bc) ² ; a ² b ³ и т. д. Эта головоломка с заменой от mathsteaching.wordpress.com становится довольно сложной.

Сообщите мне, если вы используете интересный метод или ресурс для обучения умножению отрицательных чисел.

«Минус, умноженный на минус, дает плюс,
Причину этого не нужно обсуждать»
— Огден Нэш

Как сложить, вычесть, умножить или разделить несколько ячеек в Excel

Для выполнения основных математических операций не нужно разбирать калькулятор и вручную складывать ячейки, столбцы или строки. В Excel есть полезная функция, называемая формулами, которая позволяет выполнять как базовую математику, такую ​​как сложение и вычитание, так и более сложные элементы, такие как поиск средних значений, или даже создавать собственные формулы с использованием сверхсовременных алгоритмов.

Сегодня мы рассмотрим различные варианты практического использования простых формул в Excel. В этом сценарии мы собираемся подсчитать счета, вычесть причитающуюся сумму, умножить счета в течение года и разделить их между тремя соседями по комнате каждый месяц.

1. Откройте книгу Excel. В этом примере мы воспользуемся простым подсчетом расходов и сложим их. Но на основе формулы, которую вы выбираете на шаге TKTK, вы можете так же легко вычесть, умножить или разделить ячейки для получения среднего значения.

2. Выберите ячейку, которую вы хотите использовать для отображения решения вашей простой формулы.

3. Для добавления решение простое. Нам просто нужно сообщить Excel, что мы добавляем, а затем определить, какие ячейки мы хотим добавить. Используйте эту формулу: = СУММ (D2: D7)

4. Вычесть не так просто, поскольку мы не можем вычесть несколько ячеек с помощью формулы одного и того же типа. Вместо этого мы должны вводить каждую ячейку вручную.Так, если бы мы хотели вычесть счет за сотовый телефон, например, из арендной платы, мы бы использовали эту формулу: = D5-D6

5. Для умножения формула в основном такая же, как вычитание. Чтобы умножить счет за телефон на 12, например, используйте эту формулу: = D6 * 12 (или вы можете умножить две ячейки в книге почти так же, как вы их вычитали, только звездочку вместо знака минус) .

6. А для деления можно использовать следующую формулу: = D9 / 3 <разделить.png> В этом примере мы в основном распределяем ежемесячные расходы между тремя соседями по комнате.