Модуль равен 1: Как решать уравнения с модулем

Posted on by alexxlab

Содержание

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

      Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

      Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

      Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0).

      Комплексные числа, заданные парами (0, y), называют чисто мнимыми числами.

      Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи.

      Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число   z, заданное парой вещественных чисел   (x, y), записывается в виде

где использован символ   i , называемый мнимой единицей.

      Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Re z.

      Число y называют мнимой частью комплексного числа   z = x + i y   и обозначают   Im z.

      Комплексные числа, у которых   Im z = 0 , являются вещественными числами.

      Комплексные числа, у которых     Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами.

      Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

      Сложение и вычитание комплексных чисел   z1 = x1 + i y1 и   z2 = x2 + i y2 осуществляется по правилам сложения и вычитания двучленов (многочленов)   x1 + i y1   и   x2 + i y2 , т. е. в соответствии с формулами

z1 + z2 =
= x1 + i y1 + x2 + i y2 =
= x1 + x2 + i (y1 + y2) ,

z1 – z2 =
= x1 + i y1– (x2 + i y2) =
= x1– x2 + i (y1– y2) .

      Умножение комплексных чисел   z1 = x1 + i y1 и   z2 = x2 + i y2 , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

      По этой причине

z1z2 = (x1 + i y1) (x2 + i y2) =
= x1x2 + i x1 y2 +
+ i y1x2 + i 2y1 y2 =
= x1x2 + i x1y2 +
+ i y1x2 – y1 y2 =
= x1x2 – y1 y2 +
+ i (x1 y2 + i x2 y1) .

Комплексно сопряженные числа

      Два комплексных числа   z = x + iy   и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами.

      Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения, обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

      Модулем комплексного числа   z = x + i y   называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

      Для произвольного комплексного числа   z   справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел    z1   и   z2   справедливы неравенства:

      Замечание. Если   z   — вещественное число, то его модуль   | z | равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

      Деление комплексного числа   z1 = x1 + i y1   на отличное от нуля комплексное число   z2 = x2 + i y2   осуществляется по формуле

      Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

      Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

      Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат   Oxy   и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

      Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью, и будем представлять комплексное число   z = x + i y   радиус–вектором с координатами   (x , y).

      Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью, а ось ординат Oy – мнимой осью.

      При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

      Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа   z.

      Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором    z.

      Аргумент комплексного числа  z  считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к  радиус-вектору z  происходит против часовой стрелки, и отрицательным  — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

      Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

      Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где  k  — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента, обозначаемое   arg z   и удовлетворяющее неравенствам:

      Тогда оказывается справедливым равенство:

      Если для комплексного числа   z = x + i y   нам известны его модуль   r = | z | и его аргумент φ, то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

      Если же комплексное число   z = x + i y   задано в алгебраической форме, т. е. нам известны числа   x   и   y,   то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

      Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом  k  обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

      Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа   z = x + i y

Расположение числа   z :

Положительная вещественная полуось

Знаки x и y :

x > 0 ,   y = 0

Главное значение аргумента:

0

Аргумент:

φ = 2kπ

Примеры:

Расположение числа   z :

Первый квадрант

Знаки x и y :

x > 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Положительная мнимая полуось

Знаки x и y :

x = 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Второй квадрант

Знаки x и y :

x < 0 ,   y > 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Отрицательная вещественная полуось

Знаки x и y :

x < 0 ,   y = 0

Главное значение аргумента:

π

Аргумент:

φ = π + 2kπ

Примеры:

Расположение числа   z :

Третий квадрант

Знаки x и y :

x < 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Отрицательная мнимая полуось

Знаки x и y :

x = 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Расположение числа   z :

Четвёртый квадрант

Знаки x и y :

x < 0 ,   y < 0

Главное значение аргумента:

Аргумент:

Примеры:

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

      Из формулы (3) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число   z = x + i y   может быть записано в виде

z = r (cos φ + i sin φ) ,(5)

где   r  и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству   r > 0 .

      Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа.

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

      В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера:

cos φ + i sin φ = e iφ .(6)

      Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число   z = x + i y   может быть записано в виде

где   r   и   φ   — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству   r > 0 .

      Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа.

      Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

cos φ + i sin φ,

или, что то же самое, числа   e iφ,   при любом значении   φ   равен 1.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

      Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

      Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел  и  записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

      Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

      При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

      Возведение комплексного числа   z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

      Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

      Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

      Корнем   n — ой степени из числа  z0 , где  называют такое комплексное число   z = r e iφ , которое является решением уравнения

      Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна   2kπ ,   где   k   — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

следствием которых являются равенства

(9)

      Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет   n   различных корней

(10)

где

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов   zk   при   k = 0 , . .. , n – 1   располагаются в вершинах правильного   n — угольника, вписанного в окружность радиуса  с центром в начале координат.

      Замечание. В случае   n = 2   уравнение (8) имеет два различных корня   z1   и   z2 , отличающихся знаком:

z2 = – z1 .

      Пример 1. Найти все корни уравнения

z3 = – 8i .

      Решение. Поскольку

то по формуле (10) получаем:

      Следовательно,

      Пример 2. Решить уравнение

z2 + 2z + 2 = 0 .

      Решение. Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

      Так как

то решения уравнения имеют вид

z1 = – 1 + i ,       z2 = – 1 – i .

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Общая информация — Портал непрерывного образования

Минимальные требования к обучению зависят от предстоящей Вам процедуры допуска к профессиональной деятельности.

Сертификационный экзамен

Если Ваш допуск к профессиональной деятельности заканчивается до 1 января 2021 года, т.е. предыдущий сертификат специалиста был получен до 1 января 2016 года

В соответствии с приказом Министерства здравоохранения Российской Федерации от 29 ноября 2012 г. N 982н «Об утверждении условий и порядка выдачи сертификата специалиста медицинским и фармацевтическим работникам, формы и технических требований сертификата специалиста» для допуска к сертификационному экзамену специалист здравоохранения должен предоставить в сертификационную комиссию образовательной или научной организации документ о повышении квалификации, полученный не более 5-ти лет назад. Традиционно объем такой программы составляет не менее 144 часов.

При этом действующая нормативно-правовая база не исключает предоставление в сертификационную комиссию документов об освоении в течение последних 5-ти лет нескольких программ повышения квалификации.

Вы можете использовать настоящий Портал для поиска программ повышения квалификации, освоение которых необходимо для допуска к сертификационному экзамену .

Периодическая аккредитация

Если Ваш допуск к профессиональной деятельности заканчивается после 1 января 2021 года, т.е. предыдущий сертификат специалиста или свидетельство об аккредитации были получены после 1 января 2016 года

В соответствии с приказом Министерства здравоохранения Российской Федерации от 2 июня 2016 года №334н «Об утверждении положения об аккредитации специалистов» для допуска к периодической аккредитации специалист здравоохранения должен представить в аккредитационную комиссию отчет за последние пять лет о своей профессиональной деятельности, включающий сведения об индивидуальных профессиональных достижениях, сведения об освоении программ повышения квалификации, обеспечивающих непрерывное совершенствование профессиональных навыков и расширение квалификации (портфолио).

При этом действующая нормативно-правовая база не исключает включения в вышеуказанное портфолио образовательных элементов, относящихся к «неформальному образованию» и «самообразованию».

В качестве инструмента формирования портфолио Вы можете использовать технические средства настоящего Портала, который одновременно является единственным информационным ресурсом, располагающим полным перечнем программ повышения квалификации, интерактивных образовательных модулей и образовательных мероприятий в рамках непрерывного медицинского и фармацевтического образования.

 

 

Модуль ngx_http_upstream_hc_module

Модуль ngx_http_upstream_hc_module

Модуль ngx_http_upstream_hc_module позволяет активировать периодические проверки работоспособности серверов в группе, указанной в содержащем location.

Группа должна находиться в зоне разделяемой памяти.

Если проверка работоспособности была неуспешной, то сервер признаётся неработоспособным. Если для группы задано несколько проверок, то при любой неуспешной проверке соответствующий сервер будет считаться неработоспособным. На неработоспособные серверы и серверы в состоянии “checking” клиентские запросы передаваться не будут.

Обратите внимание, что при использовании проверок большинство переменных имеют пустые значения.
Модуль доступен как часть коммерческой подписки.
Пример конфигурации
upstream dynamic {
    zone upstream_dynamic 64k;

    server backend1.example.com      weight=5;
    server backend2.example.com:8080 fail_timeout=5s slow_start=30s;
    server 192.0.2.1                 max_fails=3;

    server backup1.example.com:8080  backup;
    server backup2.example.com:8080  backup;
}

server {
    location / {
        proxy_pass http://dynamic;
        health_check;
    }
}

Каждому серверу группы backend с интервалом в 5 секунд посылаются запросы “/”. Если происходит ошибка или таймаут при работе с сервером, или код ответа проксируемого сервера не равен 2xx или 3xx, проверка считается неуспешной и сервер признаётся неработоспособным.

Проверки работоспособности могут тестировать код ответа, наличие или отсутствие определённых полей заголовка и их значений, а также содержимое тела ответа. Тесты настраиваются отдельно при помощи директивы match и указываются в параметре match. Например:

http {
    server {
    ...
        location / {
            proxy_pass http://backend;
            health_check match=welcome;
        }
    }

    match welcome {
        status 200;
        header Content-Type = text/html;
        body ~ "Welcome to nginx!";
    }
}

В такой конфигурации успешный ответ на проверочный запрос должен иметь код 200, тип содержимого “text/html” и “Welcome to nginx!” в теле ответа.

Директивы
Синтаксис: health_check [параметры];
Умолчание: —
Контекст: location

Активирует периодические проверки работоспособности серверов в группе, указанной в содержащем location.

Могут быть заданы следующие необязательные параметры:

interval=время
задаёт интервал между двумя последовательными проверками, по умолчанию 5 секунд.
jitter=время
задаёт время, в пределах которого случайным образом задерживается каждая проверка, по умолчанию задержки нет.
fails=число
задаёт число последовательных неуспешных проверок для определённого сервера, после которых сервер будет считаться неработоспособным, по умолчанию 1.
passes=число
задаёт число последовательных успешных проверок для определённого сервера, после которых сервер будет считаться работоспособным, по умолчанию 1.
uri=uri
задаёт URI, используемый в запросах, проверяющих работоспособность, по умолчанию “/”.
mandatory
устанавливает исходное состояние “checking” для сервера до завершения первой проверки работоспособности (1.11.7). На серверы в состоянии “checking” клиентские запросы передаваться не будут. Если параметр не указан, то исходно сервер будет считаться работоспособным.
match=имя
указывает на блок match с условиями, которым должен удовлетворять ответ, чтобы результат проверки считался успешным. По умолчанию код ответа должен быть 2xx или 3xx.
port=число
задаёт порт, используемый при подключении к серверу для проверки его работоспособности (1.9.7). По умолчанию совпадает с портом сервера.
type=grpc [grpc_service=имя] [grpc_status=код]
активирует периодические проверки работоспособности gRPC-сервера или службы gRPC, указанной при помощи необязательного параметра grpc_service (1.19.5). Если сервер не поддерживает протокол проверки работоспособности gRPC, то можно использовать необязательный параметр grpc_status для указания статуса (например статус “12” / “UNIMPLEMENTED”) при получении которого сервер признаётся работоспособным:
health_check mandatory type=grpc grpc_status=12;
Параметр type=grpc должен быть указан после остальных параметров директивы, grpc_service и grpc_status должны быть указаны после type=grpc. Параметр несовместим с параметрами uri и match.
Синтаксис: match имя
 { ... }
Умолчание: —
Контекст: http

Задаёт именованный набор тестов для анализа ответов на запросы проверки работоспособности.

В ответе могут быть протестированы следующие объекты:

status 200;
код ответа равен 200
status ! 500;
код ответа не равен 500
status 200 204;
код ответа равен 200 или 204
status ! 301 302;
код ответа не равен ни 301, ни 302
status 200-399;
код ответа находится в диапазоне от 200 до 399
status ! 400-599;
код ответа находится вне диапазона от 400 до 599
status 301-303 307;
код ответа равен 301, 302, 303 или 307
header Content-Type = text/html;
заголовок содержит “Content-Type” со значением text/html
header Content-Type != text/html;
заголовок содержит “Content-Type” со значением, отличным от text/html
header Connection ~ close;
заголовок содержит “Connection” со значением, совпадающим с регулярным выражением close
header Connection !~ close;
заголовок содержит “Connection” со значением, не совпадающим с регулярным выражением close
header Host;
заголовок содержит “Host”
header ! X-Accel-Redirect;
заголовок не содержит “X-Accel-Redirect”
body ~ "Welcome to nginx!";
тело ответа совпадает с регулярным выражением “
Welcome to nginx!”
body !~ "Welcome to nginx!";
тело ответа не совпадает с регулярным выражением “Welcome to nginx!”
require $переменная . ..;
все указанные переменные непустые и не равны “0” (1.15.9).

Если задано несколько тестов, то ответ должен удовлетворять всем тестам.

Проверяются только первые 256 Кбайт тела ответа.

Примеры:

# код ответа 200, тип содержимого "text/html"
# и тело ответа содержит "Welcome to nginx!"
match welcome {
    status 200;
    header Content-Type = text/html;
    body ~ "Welcome to nginx!";
}

# код ответа не равен 301, 302, 303 и 307 и заголовок не содержит "Refresh:"
match not_redirect {
    status ! 301-303 307;
    header ! Refresh;
}

# код ответа успешный и сервер не в сервисном режиме
match server_ok {
    status 200-399;
    body !~ "maintenance mode";
}

# код ответа равен 200 или 204
map $upstream_status $good_status {
    200     1;
    204     1;
}

match server_ok {
    require $good_status;
}

1.4.3. Тригонометрическая форма записи комплексных чисел



Глава 1. Арифметика

1.4.

1.4.3.

Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается
z = a + bi = r(cos φ + i sin φ).
Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов. Пример 1

Записать число в тригонометрической форме.


Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2). Имеем:


Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.

Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ1, φ2, …, φn – аргументы чисел z1, z2, …, zn, то


В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Первая формула Муавра:

Число z называется корнем степени  из комплексного числа w, если Корень степени обозначается Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения

Если w = 0, то у уравнения существует единственное решение z = 0.

Если w ≠ 0, то положим, что нам известно тригонометрическое представление числа w = r0(cos φ0 + i sin φ0), и будем искать число z также в тригонометрической форме: z = r(cos φ + i sin φ). Из определения аргумента и геометрической интерпретации комплексных чисел следует, что два комплексных числа, записанных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули, а аргументы отличаются на угол, кратный 2π. Имеем:

откуда получается:
Итак, все решения уравнения задаются формулой
Заметим, что если в эту формулу подставлять натуральные числа k, то при k = 0, 1, …, n мы будем получать разные комплексные числа, а при k = n имеем:
Значит, и в дальнейшем значения корней будут повторяться. Следовательно, существует ровно n корней уравнения и все они задаются одной формулой.

Вторая формула Муавра:

Пример 3

Найти






Что такое модуль комплексного числа i?

Что такое модуль комплексного числа i? — Обмен математическим стеком
Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 176 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  2. 0
  3. +0
  6. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 7к раз

$ \ begingroup $ Закрыто. 2} $.2 = | w | $ и $ | z | \ ge 0 $, поэтому у вас будет уникальный модуль для квадратного корня из комплексного числа.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *