В какую трапецию можно вписать окружность. Интересные свойства трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции .

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции

Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными .
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции

Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны , то есть треугольники являются равновеликими.

Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований .

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

• Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
• Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции

Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции (BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции

Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

• Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
• Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции

a, b — основания трапеции

c, d — боковые стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований . Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2 . Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3 . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту

Примечание . В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме .

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение .
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ : 16 см

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение .

Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:

425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции равна 80 см 2 .

В этой статье мы постараемся насколько возможно полно отразить свойства трапеции. В частности, речь пойдет про общие признаки и свойства трапеции, а также про свойства вписанной трапеции и про окружность, вписанную в трапецию. Затронем мы и свойства равнобедренной и прямоугольной трапеции.

Пример решения задачи с использованием рассмотренных свойств поможет вам разложить по местам в голове и лучше запомнить материал.

Трапеция и все-все-все

Для начала коротко вспомним, что такое трапеция и какие еще понятия с ней связаны.

Итак, трапеция – фигура-четырехугольник, две из сторон которой параллельны друг другу (это основания). И две не параллельны – это боковые стороны.

В трапеции может быть опущена высота – перпендикуляр к основаниям. Проведены средняя линия и диагонали. А также из любого угла трапеции возможно провести биссектрису.

Про различные свойства, связанные со всеми эти элементами и их комбинациями, мы сейчас и поговорим.

Свойства диагоналей трапеции

Чтобы было понятнее, пока читаете, набросайте себе на листке трапецию АКМЕ и проведите в ней диагонали.

1. Если вы найдете середины каждой из диагоналей (обозначим эти точки Х и Т) и соедините их, получится отрезок. Одно из свойств диагоналей трапеции заключается в том, что отрезок ХТ лежит на средней линии. А его длину можно получив, разделив разность оснований на два:
   ХТ = (a – b)/2 .
2. Перед нами все та же трапеция АКМЕ. Диагонали пересекаются в точке О. Давайте рассмотрим треугольники АОЕ и МОК, образованные отрезками диагоналей вместе с основаниями трапеции. Эти треугольники – подобные. Коэффициент подобия k треугольников выражается через отношение оснований трапеции: k = АЕ/КМ.
   Отношение площадей треугольников АОЕ и МОК описывается коэффициентом k 2 .
3. Все та же трапеция, те же диагонали, пересекающиеся в точке О. Только в этот раз мы будем рассматривать треугольники, которые отрезки диагоналей образовали совместно с боковыми сторонами трапеции. Площади треугольников АКО и ЕМО являются равновеликими – их площади одинаковые.
4. Еще одно свойство трапеции включает в себя построение диагоналей. Так, если продолжить боковые стороны АК и МЕ в направлении меньшего основания, то рано или поздно они пересекутся к некоторой точке. Дальше, через середины оснований трапеции проведем прямую. Она пересекает основания в точках Х и Т.
   Если мы теперь продлим прямую ХТ, то она соединит вместе точку пересечения диагоналей трапеции О, точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон и середины оснований Х и Т.
5. Через точку пересечения диагоналей проведем отрезок, который соединит основания трапеции (Т лежит на меньшем основании КМ, Х – на большем АЕ). Точка пересечения диагоналей делит этот отрезок в следующем соотношении: ТО/ОХ = КМ/АЕ .
6. А теперь через точку пересечения диагоналей проведем параллельный основаниям трапеции (a и b) отрезок. Точка пересечения разделит его на две равных части. Найти длину отрезка можно по формуле 2ab/(a + b) .

Свойства средней линии трапеции

Среднюю линию проведите в трапеции параллельно ее основаниям.

1. Длину средней линии трапеции можно вычислить, если сложить длины оснований и разделить их пополам: m = (a + b)/2 .
2. Если провести через оба основания трапецию любой отрезок (высоту, к примеру), средняя линия разделит его на две равных части.

Свойство биссектрисы трапеции

Выберите любой угол трапеции и проведите биссектрису. Возьмем, например, угол КАЕ нашей трапеции АКМЕ. Выполнив построение самостоятельно, вы легко убедитесь – биссектрисой отсекается от основания (или его продолжения на прямой за пределами самой фигуры) отрезок такой же длины, что и боковая сторона.

Свойства углов трапеции

1. Какую бы из двух пар прилежащих к боковой стороне углов вы не выбрали, сумма углов в паре всегда составляет 180 0: α + β = 180 0 и γ + δ = 180 0 .
2. Соединим середины оснований трапеции отрезком ТХ. Теперь посмотрим на углы при основаниях трапеции. Если сумма углов при любом из них составляет 90 0 , длину отрезка ТХ легко вычислить исходя из разности длин оснований, разделенной пополам: ТХ = (АЕ – КМ)/2 .
3. Если через стороны угла трапеции провести параллельные прямые, те разделят стороны угла на пропорциональные отрезки.

Свойства равнобедренной (равнобокой) трапеции

1. В равнобедренной трапеции равны углы при любом из оснований.
2. Теперь снова постройте трапецию, чтобы проще было представить, о чем речь. Посмотрите внимательно на основание АЕ – вершина противоположного основания М проецируется в некую точку на прямой, которая содержит АЕ. Расстояние от вершины А до точки проекции вершины М и средняя линия равнобедренной трапеции – равны.
3. Пару слов о свойстве диагоналей равнобедренной трапеции – их длины равны. А также одинаковы углы наклона этих диагоналей к основанию трапеции.
4. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, поскольку сумма противолежащих углов четырехугольника 180 0 – обязательное условие для этого.
5. Из предыдущего пункта следует свойство равнобедренной трапеции – если возле трапеции можно описать окружность, она является равнобедренной.
6. Из особенностей равнобедренной трапеции вытекает свойство высоты трапеции: если ее диагонали пересекаются под прямым углом, то длина высоты равна половине суммы оснований: h = (a + b)/2 .
7. Снова проведите отрезок ТХ через середины оснований трапеции – в равнобедренной трапеции он является перпендикуляром к основаниям. И одновременно ТХ – ось симметрии равнобедренной трапеции.
8. На этот раз опустите на большее основание (обозначим его a) высоту из противолежащей вершины трапеции. Получится два отрезка. Длину одного можно найти, если длины оснований сложить и разделить пополам: (a + b)/2 . Второй получим, когда из большего основания вычтем меньшее и полученную разность разделим на два: (a – b)/2 .

Свойства трапеции, вписанной в окружность

Раз уже речь зашла о вписанной в окружность трапеции, остановимся на этом вопросе подробней. В частности на том, где находится центр окружности по отношению к трапеции. Тут тоже рекомендуется не полениться взять карандаш в руки и начертить то, о чем пойдет речь ниже. Так и поймете быстрее, и запомните лучше.

1. Расположение центра окружности определяется углом наклона диагонали трапеции к ее боковой стороне. Например, диагональ может выходить из вершины трапеции под прямым углом к боковой стороне. В таком случае большее основание пересекает центр описанной окружности точно посередине (R = ½АЕ).
2. Диагональ и боковая сторона могут встречаться и под острым углом – тогда центр окружности оказывается внутри трапеции.
3. Центр описанной окружности может оказаться вне пределов трапеции, за большим ее основанием, если между диагональю трапеции и боковой стороной – тупой угол.
4. Угол, образованный диагональю и большим основанием трапеции АКМЕ (вписанный угол) составляет половину того центрального угла, который ему соответствует:МАЕ = ½МОЕ .
5. Коротко про два способа найти радиус описанной окружности. Способ первый: посмотрите внимательно на свой чертеж – что вы видите? Вы без труда заметите, что диагональ разбивает трапецию на два треугольника. Радиус можно найти через отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла, умноженному на два. Например, R = АЕ/2*sinАМЕ . Аналогичным образом формулу можно расписать для любой из сторон обоих треугольников.
6. Способ второй: находим радиус описанной окружности через площадь треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и основанием трапеции: R = АМ*МЕ*АЕ/4*S АМЕ .

Свойства трапеции, описанной около окружности

Вписать окружность в трапецию можно, если соблюдается одно условие. Подробней о нем ниже. И вместе эта комбинация фигур имеет ряд интересных свойств.

1. Если в трапецию вписана окружность, длину ее средней линии можно без труда найти, сложив длины боковых сторон и разделив полученную сумму пополам: m = (c + d)/2 .
2. У трапеции АКМЕ, описанной около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон: АК + МЕ = КМ + АЕ .
3. Из этого свойства оснований трапеции вытекает обратное утверждение: окружность можно вписать в ту трапецию, сумма оснований которой равна сумме боковых сторон.
4. Точка касания окружности с радиусом r, вписанной в трапецию, разбивает боковую сторону на два отрезка, назовем их a и b. Радиус окружности можно вычислить по формуле: r = √ab .
5. И еще одно свойство. Чтобы не запутаться, этот пример тоже начертите сами. У нас есть старая-добрая трапеция АКМЕ, описанная около окружности. В ней проведены диагонали, пересекающиеся в точке О. Образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами треугольники АОК и ЕОМ – прямоугольные.
   Высоты этих треугольников, опущенные на гипотенузы (т.е. боковые стороны трапеции), совпадают с радиусами вписанной окружности. А высота трапеции – совпадает с диаметром вписанной окружности.

Свойства прямоугольной трапеции

Прямоугольной называют трапецию, один из углов которой является прямым. И ее свойства проистекают из этого обстоятельства.

1. У прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
2. Высота и боковая сторона трапеции, прилежащая к прямому углу, равны. Это позволяет вычислять площадь прямоугольной трапеции (общая формула S = (a + b) * h/2 ) не только через высоту, но и через боковую сторону, прилежащую к прямому углу.
3. Для прямоугольной трапеции актуальны уже описанные выше общие свойства диагоналей трапеции.

Доказательства некоторых свойств трапеции

Равенство углов при основании равнобедренной трапеции:

• Вы уже наверное и сами догадались, что тут нам снова потребуется трапеция АКМЕ – начертите равнобедренную трапецию. Проведите из вершины М прямую МТ, параллельную боковой стороне АК (МТ || АК).

Полученный четырехугольник АКМТ – параллелограмм (АК || МТ, КМ || АТ). Поскольку МЕ = КА = МТ, ∆ МТЕ – равнобедренный и МЕТ = МТЕ.

АК || МТ, следовательно МТЕ = КАЕ, МЕТ = МТЕ = КАЕ.

Откуда АКМ = 180 0 — МЕТ = 180 0 — КАЕ = КМЕ.

Что и требовалось доказать.

Теперь на основании свойства равнобедренной трапеции (равенства диагоналей) докажем, что трапеция АКМЕ является равнобедренной :

• Для начала проведем прямую МХ – МХ || КЕ. Получим параллелограмм КМХЕ (основание – МХ || КЕ и КМ || ЕХ).

∆АМХ – равнобедренный, поскольку АМ = КЕ = МХ, а МАХ = МЕА.

МХ || КЕ, КЕА = МХЕ, поэтому МАЕ = МХЕ.

У нас получилось, что треугольники АКЕ и ЕМА равны между собой, т.к АМ = КЕ и АЕ – общая сторона двух треугольников. А также МАЕ = МХЕ. Можем сделать вывод, что АК = МЕ, а отсюда следует и что трапеция АКМЕ – равнобедренная.

Задача для повторения

Основания трапеции АКМЕ равны 9 см и 21 см, боковая сторона КА, равная 8 см, образует угол 150 0 с меньшим основанием. Требуется найти площадь трапеции.

Решение: Из вершины К опустим высоту к большему основанию трапеции. И начнем рассматривать углы трапеции.

Углы АЕМ и КАН являются односторонними. А это значит, в сумме они дают 180 0 . Поэтому КАН = 30 0 (на основании свойства углов трапеции).

Рассмотрим теперь прямоугольный ∆АНК (полагаю, этот момент очевиден читателям без дополнительных доказательств). Из него найдем высоту трапеции КН – в треугольнике она является катетом, который лежит напротив угла в 30 0 . Поэтому КН = ½АВ = 4 см.

Площадь трапеции находим по формуле: S АКМЕ = (КМ + АЕ) * КН/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 см 2 .

Послесловие

Если вы внимательно и вдумчиво изучили эту статью, не поленились с карандашом в руках начертить трапеции для всех приведенных свойств и разобрать их на практике, материал должен был неплохо вами усвоиться.

Конечно, информации тут много, разнообразной и местами даже запутанной: не так уж сложно перепутать свойства описанной трапеции со свойствами вписанной. Но вы сами убедились, что разница огромна.

Теперь у вас есть подробный конспект всех общих свойств трапеции. А также специфических свойств и признаков трапеций равнобедренной и прямоугольной. Им очень удобно пользоваться, чтобы готовиться к контрольным и экзаменам. Попробуйте сами и поделитесь ссылкой с друзьями!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь .

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

«___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства »

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны

Рассмотрено и

на заседании ПМО от _______________

Протокол №______

Москва

2015 год

Оглавление

Введение 2

Определения 3

Свойства равнобедренной трапеции 4

Вписанные и описанные окружности 7

Свойства вписанных и описанных трапеций 8

Средние величины в трапеции 12

Свойства произвольной трапеции 15

Признаки трапеции 18

Дополнительные построения в трапеции 20

Площадь трапеции 25

10. Заключение

Список используемой литературы

Приложение

Доказательства некоторых свойств трапеции 27

Задачи для самостоятельных работ

Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности

Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.

Определения

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции .

2 . Свойства равнобедренной трапеции

3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4

1
0. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.

3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4 . Свойства вписанных и описанных трапеций

2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то

сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4 . Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.

Е сли в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m и n, тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.

1

0 . Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое

В любой трапеции с основаниями a и b для a > b справедливо неравенство :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Свойства произвольной трапеции

1
. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.

2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.

Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.

5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).

6. Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.

d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований d 1 2 — d 2 2 = a 2 – b 2

8 . Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.

7 . Признаки трапеции

8 . Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.

2
. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3
. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.

4

. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований

7
.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.

8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.

1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
1. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
2 . Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.

13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.

9. Площадь трапеции

1 . Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b ) h или

П

лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = m h .

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.

Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:

10. Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.

Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы

Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004

Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.

Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М: Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN 5-89155-188-3

Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).

Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.

Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.

Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1. Доказательство некоторых свойств трапеции.

1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L . Доказать, что если основания трапеции равны а и b , то длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

Пусть О — точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b . Пря­мая KL параллельна основанию AD , следовательно, K О ║ AD , треугольники В K О и BAD подобны, поэтому

(1)

(2)

Подставим (2) в (1) , получим KO =

Аналогично LO = Тогда K L = KO + LO =

В о всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон ле­жат на одной прямой.

Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке К. Через точку К и точку О пересечения диагоналей проведём прямую КО.

K

Окажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим ВМ = х, МС = у, AN = и, ND = v . Имеем:

∆ ВКМ ~ ∆AKN →

M

x

B

C

Y

∆ MК C ~ ∆NKD → →

Добрый вечер! Ох уж эти описанные, или вписанные окружности, геометрические фигуры. Так сложно запутаться. что да когда.

Давайте попробуем разобраться для начала с формулировкой. Нам дана окружность описанная около . Иными словами — данная трапеция вписана в окружность.

Давайте вспомним, что описать окружность мы можем только вокруг . А равнобедренная трапеция в свою очередь — это трапеция, у которой боковые стороны равны.

Давайте попробуем решить задачку. Нам известно, что основания равнобедренной трапеции ADCB равны 6 (DC) и 4 (AB). А радиус описанной окружности равен 4. Нужно найдите высоту трапеции FK.

FK — высота трапеции. её нам нужно найти, но перед этим вспомним, что точка О — это центр окружности. А ОС, ОD, OA, OB — известные радиусы .

В OFC нам известна гипотенуза, которая является радиусом окружности, а катет FC = половине основания DC = 3 см (так как DF = FC).

Теперь по найдём OF:

А в прямоугольном треугольнике OKB нам тоже известна гипотенуза, так как это радиус окружности. А KB равняется половине AB; KB = 2 см. И, используя теорему Пифагора вычислим отрезок OK:

Анализ геометрических высказываний. ОГЭ по математике — Разное

Утверждение	Верно?
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.	Да
Внешний угол треугольника больше каждого не смежного с ним внутреннего угла.	Да
В прямоугольном треугольнике катет больше гипотенузы.	Нет
В треугольнике АВС, для которого АВ = 4, ВС = 5, АС = 6, угол B — наибольший.	Да
Диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.	Нет
Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины перпендикулярна основанию.	Да
Биссектриса треугольника делит пополам сторону, к которой проведена?	Нет
Биссектриса угла делит угол пополам.	Да
Биссектриса угла любого параллелограмма является его диагональю.	Нет
Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.	Да
Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны.	Да
Биссектрисы треугольника не могут пересекаться в одной точке	Нет
Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, описанной около этого треугольника.	Нет
Биссектрисы треугольника пересекаются в центре его вписанной окружности.	Да
Биссектрисы углов параллелограмма прилежащих к одной стороне, пересекаются под прямым углом.	Да
Вертикальные углы равны.	Да
В каждом треугольнике углы при основании равны.	Нет
В квадрате диагонали пересекаются под прямым углом.	Да
В любой выпуклый семиугольник можно вписать окружность.	Нет
В любой прямоугольник можно вписать окружность.	Нет
В любой прямоугольный треугольник можно вписать окружность.	Да
В любой ромб можно вписать окружность.	Да
В любой трапеции диагонали перпендикулярны.	Нет
В любой трапеции диагонали равны.	Нет
В любой треугольник можно вписать окружность.	Да
В любой четырёхугольник можно вписать не более одной окружности.	Да
В любой четырёхугольник можно вписать окружность.	Нет
В любом выпуклом четырёхугольнике все углы острые.	Нет
В любом выпуклом четырёхугольнике все углы прямые.	Нет
В любом выпуклом четырёхугольнике все углы тупые.	Нет
В любом описанном около окружности четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.	Да
В любом описанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°.	Да
В любом параллелограмме диагонали равны.	Нет
В любом параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.	Да
В любом прямоугольнике все стороны равны.	Нет
В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.	Нет
В любом прямоугольнике диагонали равны.	Да
В любом равнобедренном треугольнике медиана, проведённая из вершины основания, является биссектрисой и высотой.	Да
В любом ромбе диагонали перпендикулярны.	Да
В любом треугольнике выполняется теорема Пифагора.	Нет
В любом треугольнике против большего угла лежит большая сторона.	Да
В любом треугольнике против большей стороны лежит меньший угол.	Нет
В любом треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны.	Да
В любом треугольнике сумма двух сторон меньше третьей стороны.	Нет
В любом тупоугольном треугольнике есть острый угол.	Да
В любую окружность можно вписать два подобных, но неравных треугольника.	Нет
В любую окружность можно вписать прямоугольник.	Да
В любую равнобедренную трапецию можно вписать окружность.	Нет
Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла.	Нет
Внешний угол треугольника больше не смежного с ним внутреннего угла.	Да
Внешний угол треугольника всегда тупой.	Нет
Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.	Да
Внешний угол треугольника равен сумме его внутренних углов.	Нет
Внутренние накрест лежащие углы, образованные двумя параллельными прямыми и секущей, равны.	Да
Во всякий четырёхугольник можно вписать окружность.	Нет
Во всяком треугольнике биссектриса угла равна его медиане.	Нет
Во всяком треугольнике высота проведённая к основанию, совпадает с медианой.	Нет
Вокруг любого выпуклого восьмиугольника можно описать окружность.	Нет
Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.	Нет
Вокруг любого треугольника можно описать окружность.	Да
Вокруг любого четырёхугольника можно описать окружность.	Нет
Вокруг параллелограмма всегда можно описать окружность.	Нет
Вокруг равнобедренной трапеции можно описать окружность.	Да
Вокруг тупоугольного треугольника нельзя описать окружность.	Нет
В окружности на диаметр опирается прямой угол.	Да
В окружности радиуса 2 можно провести хорду длиной 3.	Да
В окружность можно вписать угол, равный 200°	Нет
В параллелограмме все стороны равны.	Нет
В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам.	Да
В параллелограмме есть два равных угла.	Да
В параллелограмме противоположные углы равны.	Да
Вписанные углы окружности равны.	Нет
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.	Да
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.	Нет
Вписанный угол измеряется дугой, на которую он опирается.	Нет
Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.	Да
Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой.	Да
Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен 90°.	Да
Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — развёрнутый.	Нет
Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается.	Да
Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на туже дугу.	Да
В плоскости все точки, равноудалённые от заданной точки, лежат на одной окружности.	Да
В плоскости для точки, лежащей вне круга, расстояние до центра круга больше его радиуса.	Да
В подобных треугольниках соответствующие стороны равны.	Нет
В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны.	Да
В правильном многоугольнике все стороны равны.	Да
В правильном многоугольнике все углы равны.	Да
В правильном треугольнике все углы прямые.	Нет
В прямоугольнике диагонали являются биссектрисами.	Нет
В прямоугольнике диагонали являются биссектрисами его углов.	Нет
В прямоугольной трапеции основания параллельны.	Да
В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.	Да
В прямоугольном треугольнике гипотенуза меньше катета.	Нет
В прямоугольном треугольнике гипотенуза в два раза больше каждого из катетов.	Нет
В прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда меньше суммы его катетов.	Да
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна сумме катетов.	Нет
В прямоугольном треугольнике катет больше гипотенузы.	Нет
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла к 30° равен половине гипотенузы.	Да
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен разности квадратов катетов.	Нет
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме катетов.	Нет
В прямоугольном треугольнике любой катет меньше гипотенузы.	Да
В прямоугольном треугольнике синус одного из углов равен 0.	Нет
В прямоугольном треугольнике тангенсом острого угла а называется отношение sin a / cos a.	Да
В равнобедренной трапеции диагонали равны.	Да
В равнобедренной трапеции углы при основании равны.	Да
В равнобедренном прямоугольном треугольнике все стороны равны.	Нет
В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.	Да
В равнобедренном треугольнике все стороны равны.	Нет
В равнобедренном треугольнике все углы равны.	Нет
В равнобедренном треугольнике имеется не более двух равных углов.	Нет
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно и биссектрисой.	Да
В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является одновременно и высотой.	Да
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.	Да
В равностороннем треугольнике АВС медиана AK равна высоте CH.	Да
В равностороннем треугольнике все углы острые.	Да
В равностороннем треугольнике все углы равны.	Да
В равностороннем треугольнике каждый угол равен 45°.	Нет
В равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной точке.	Да
В ромбе все углы прямые.	Нет
В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом.	Да
В ромбе противоположные углы равны.	Да
В ромб нельзя вписать окружность.	Нет
Все вписанные углы окружности равны.	Нет
Все высоты равностороннего треугольника равны.	Да
Все диаметры окружности равны между собой.	Да
Все квадраты имеют равные площади.	Нет
Все прямоугольные треугольники подобны.	Нет
Все прямоугольные треугольники подобны друг другу.	Нет
Все равнобедренные треугольники подобны.	Нет
Все равнобедренные треугольники равны.	Нет
Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.	Да
Все углы квадрата прямые.	Да
Все углы правильного пятиугольника равны 112°.	Нет
Все углы правильного шестиугольника равны 135°.	Нет
Все углы пятиугольника равны.	Да
Все углы ромба равны.	Нет
Все хорды одной окружности равны между собой.	Нет
Всякий равнобедренный треугольник является остроугольным.	Нет
Всякий равносторонний треугольник  является остроугольным.	Да
Всякий равносторонний треугольник является равнобедренным.	Да
В трапеции боковые стороны параллельны.	Нет
В трапеции сумма длин боковых сторон всегда меньше суммы оснований.	Нет
В трапецию АВCD с основаниями ВС = 7, AD = 10, и боковыми сторонами AB = CD = 8 можно вписать окружность.	Нет
В трапецию с основаниями 6 и 3 и боковыми сторонами 4 и 4 можно вписать окружность.	Нет
В треугольнике ABC, для которого AB = 3, BC = 4, АС = 5, угол С наименьший.	Да
В треугольнике АВС, для которого АВ = 4, BC = 5, AC = 6, угол A наибольший.	Нет
В треугольнике АВС, для которого АВ = 4, ВС = 5, АС = 6, угол B — наибольший	Да
В треугольнике АВС, для которого АВ = 6, BC = 8, АС = 11, угол при вершине С — наименьший.	Да
В треугольнике АВС, для которого ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°, сторона AC —  наибольшая.	Нет
В треугольнике АВС, для которого ∠A = 40°, ∠B = 55°, ∠C = 85° сторона AC — наименьшая.	Нет
В треугольнике АВС, для которого ∠A = 44°, ∠B = 55°, ∠C = 81° сторона BC — наибольшая.	Нет
В треугольнике АВС, для которого ∠A = 45°, ∠B = 55°, ∠C = 80° сторона AC — наименьшая	Нет
В треугольнике АВС, для которого ∠A = 47°, ∠B — 64°, сторона АВ — наибольшая.	Да
В треугольнике АВС, для которого ∠A = 50°, ∠B = 60°, ∠C = 70° сторона AB — наибольшая	Да
В треугольнике АВС, для которого ∠A = 50°, ∠B = 60°, ∠C = 70° сторона BC — наименьшая.	Да
В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон.	Да
В треугольнике может быть только один тупой угол.	Да
В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.	Да
В треугольнике против большего угла лежит меньшая сторона.	Нет
В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.	Да
В треугольнике против большей стороны лежит меньший угол.	Нет
В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона.	Да
В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона.	Нет
В треугольнике против меньшей стороны лежит больший угол.	Нет
В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол.	Да
В треугольнике сумма двух сторон больше третьей стороны.	Да
В тупоугольном треугольнике все углы тупые.	Нет
В тупоугольном треугольнике сумма углов больше 180 градусов.	Нет
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, делит его на два подобных треугольника.	Да
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.	Да
Высота равнобедренного треугольника проведённая к основанию, является медианой и биссектрисой.	Да
Гипотенуза длиннее катета.	Да
Гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, в два раза больше её радиуса.	Да
Гипотенуза равна сумме квадратов катетов.	Нет
Гипотенуза — самая длинная сторона в прямоугольном треугольнике.	Да
Два угла с общей стороной называются смежными.	Нет
Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.	Нет
Две прямые всегда пересекаются.	Нет
Две прямые, параллельные третьей прямой, перпендикулярны друг другу.	Нет
Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.	Да
Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, не пересекаются.	Да
Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны друг другу.	Да
Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, перпендикулярны друг другу.	Нет
Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.	Да
Диагонали квадрата делят его углы пополам.	Да
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.	Да
Диагонали квадрата равны.	Да
Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.	Да
Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.	Нет
Диагонали любого прямоугольника равны.	Да
Диагонали параллелограмма делят его углы пополам.	Нет
Диагонали параллелограмма пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.	Нет
Диагонали параллелограмма перпендикулярны.	Нет
Диагонали параллелограмма равны.	Нет
Диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны.	Нет
Диагонали прямоугольника пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам.	Нет
Диагонали прямоугольника равны.	Да
Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.	Да
Диагонали прямоугольной трапеции равны.	Нет
Диагонали равнобедренной трапеции равны.	Да
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.	Да
Диагонали ромба в точке пересечения делятся пополам.	Да
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.	Да
Диагонали ромба пересекаются под углом 60°.	Нет
Диагонали ромба перпендикулярны.	Да
Диагонали ромба равны.	Нет
Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.	Да
Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.	Нет
Диагонали трапеции пересекаются под прямым углом.	Нет
Диагонали трапеции равны.	Нет
Диагонали трапеции точкой пересечения делятся пополам.	Нет
Диагональ квадрата равна его стороне.	Нет
Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника	Да
Диагональ параллелограмма делит его углы пополам.	Нет
Диагональ равнобедренной трапеции делит её на два равных треугольника.	Нет
Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.	Нет
Диагональ трапеции равна квадратному корню из суммы квадратов её оснований.	Нет
Диаметр делит окружность на две равные дуги.	Да
Диаметр окружности в два раза больше её радиуса.	Да
Диаметр окружности в два раза меньше его радиуса.	Нет
Длина вектора равна квадратному корню из суммы его координат.	Да
Длина вектора, равного сумме двух векторов, не превосходит сумму длин этих векторов.	Нет
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника больше суммы длин его катетов.	Нет
Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.	Да
Длина катета прямоугольного треугольника равна длине гипотенузы, умноженной на косинус угла, образованного этим катетом и гипотенузой.	Да
Длина окружности вычисляется по формуле С = 2πR.	Да
Длина окружности равна её удвоенному радиусу.	Нет
Длина окружности равна πR.	Нет
Длина окружности радиуса R равна 2πR.	Да
Длина суммы двух векторов равна сумме их длин.	Нет
Для любого четырёхугольника, вписанного в окружность, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°	Нет
Для любого числа к и любых векторов а, b справедливо равенство	Да
Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.	Да
Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса.	Да
Если в выпуклом четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.	Нет
Если в параллелограмме две высоты равны, то этот параллелограмм — ромб.	Да
Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.	Да
Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.	Да

Как рассчитать стороны трапеции. Площадь трапеции: как вычислить, формула

И . Теперь можно приступить к рассмотрению вопроса как найти площадь трапеции. Данная задача в быту возникает очень редко, но иногда оказывается необходимой, к примеру, чтобы найти площадь комнаты в форме трапеции, которые все чаще применяют при строительстве современных квартир, или в дизайн-проектах по ремонту.

Трапеция — это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции. Два других отрезка называются сторонами трапеции. Кроме того, в дальнейшем нам пригодится еще одно определение. Это средняя линия трапеции, которая представляет собой отрезок, соединяющий середины боковых сторон и высота трапеции, которая равна расстоянию между основаниями.
Как и у треугольников, у трапеция есть частные виды в виде равнобедренной (равнобокой) трапеции, у которой длина боковых сторон одинаковы и прямоугольной трапеции, у которой одна из сторон образует с основаниями прямой угол.

Трапеции обладают некоторыми интересными свойствами:

1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
   
2. У равнобедренных трапеций боковые стороны и углы которые они образуют с основаниями равны.
   
3. Середины диагоналей трапеции и точка пересечения ее диагоналей находятся на одной прямой.
   
4. Если сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований, то в нее можно вписать круг
   
5. Если сумма углов, образованных сторонами трапеции у любого ее основания равна 90, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна их полуразности.
   
6. Равнобедренную трапецию можно описать окружностью. И наоборот. Если в трапеция вписывается в окружность, значит она равнобедренная.
   
7. Отрезок, проходящий через середины оснований равнобедренной трапеции будет перпендикулярен ее основаниям и представляет собой ось симетрии.
   

Как найти площадь трапеции .

Площадь трапеции будет равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту. В виде формулы это записывается в виде выражения:

где S-площадь трапеции, a,b-длина каждого из оснований трапеции, h-высота трапеции.

Понять и запомнить эту формулу можно следующим образом. Как следует из рисунка ниже трапецию с использованием средней линии можно преобразовать в прямоугольник, длина которого и будет равна полусумме оснований.

Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один, или два треугольника и если вам так проще, то найти площадь трапеции, как сумму площадей составляющих ее фигур.

Есть еще одна простая формула для подсчета ее площади. Согласно ней площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту трапеции и записывается в виде: S = m*h, где S-площадь, m-длина средней линии, h-высота трапеции. Данная формула больше подходит для задач по математике, чем для бытовых задач, так как в реальных условиях вам не будет известна длина средней линии без предварительных расчетов. А известны вам будут только длины оснований и боковых сторон.

В этом случае площадь трапеции может быть найдена по формуле:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

где S-площадь, a,b-основания, c,d-боковые стороны трапеции.

Существуют еще несколько способов того, как найти площади трапеции. Но, они примерно также неудобны как и последняя формула, а значит не имеет смысла на них останавливаться. Поэтому, рекомендуем вам пользоваться первой формулой из статьи и желаем всегда получать точные результаты.

В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция — вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Существует несколько видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная. Для каждого вида трапеции есть формулы для нахождения площади.

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание — a, нижнее основание — b, а высота — h. Тогда вычислить площадь S можно по формуле:

S = ½ * (a+b) * h

т.е. взять полусумму оснований, умноженную на высоту.

Также удастся вычислить площадь трапеции, если известно значение высоты и средней линии. Обозначим среднюю линию — m. Тогда

Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции — a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:

Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

где d с индексами 1 и 2 — диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.

При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:

S = ½ * (b2 — a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция — это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.

Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.

• Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной — с, а и b — длины оснований:

• Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

где а — верхнее основание, с — боковая сторона.

• Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ½ * (b2 – a2) * tg α

• Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:

S = ½ * d2 * sin α

• Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.

Пусть боковая сторона — с, средняя линия — m, угол — a, тогда:

S = m * c * sin α

Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет — r.

Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

S = 4r2 / sin α

Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):

Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:

S = a * b / sin α

(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).

Через основания и радиус окружности площадь ищется так:

Если известны только основания, то площадь считается по формуле:

Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию — m вычисляется так:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.

Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.

• Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:

S = (a + b) * h / 2

В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:

S = (a + b) * c / 2

• Другой способ рассчитать площадь — перемножить длину средней линии на высоту:

или на длину боковой перпендикулярной стороны:

• Следующий способ вычисления — через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:

S = ½ * d1 * d2

• Еще один способ вычисления — через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.

Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:

S = (2r + c) * r

• Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:

где m — длина средней линии.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция представляет из себя плоскую фигуру, ограниченную графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке , осью абсцисс и прямыми x = a, x = b. По сути, две ее стороны параллельны друг другу (основания), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая представляет из себя кривую, соответствующую графику функции.

Площадь криволинейной трапеции ищут через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Так вычисляются площади различных видов трапеций. Но, помимо свойств сторон, трапеции обладают одинаковыми свойствами углов. Как у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. А сумма углов, прилежащих к боковой стороне, — 180 градусам.

Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают сложности у многих школьников. Вы легко справитесь с ними, если заучите все нужные формулы и попрактикуетесь в решении задач.

В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями. Такие же могут попасться вам в КИМах на аттестационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому отнеситесь к ним внимательно.

Что нужно знать про трапецию?

Для начала вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие – нет.

В трапеции также может быть опущена высота (перпендикуляр к основанию). Проведена средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы. А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы. Или, в отдельных случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность около нее.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h .

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h . Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d 1 и d 2 , которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d 1 d 2 *sinα .

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2 .

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.

Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность с радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α. Окружность может быть вписана в трапецию при условии, что сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется так: умножьте квадрат радиуса вписанной окружности на четыре и разделите все это на sinα: S = 4r 2 /sinα . Еще одна формула площади является частным случаем для того варианта, когда угол между большим основанием и боковой стороной равен 30 0: S = 8r 2 .

Второй вариант: на этот раз возьмем равнобедренную трапецию, в которой вдобавок проведены диагонали d 1 и d 2 , а также высота h. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, высота составляет половину суммы оснований: h = 1/2(a + b). Зная это, легко преобразовать уже знакомую вам формулу площади трапеции в такой вид: S = h 2 .

Формула площади криволинейной трапеции

Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка на оси x. Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок ), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a) . В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке . И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.

Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.

Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Мы также можем доказать, что треугольник АРХ – прямоугольный (для этого примените теорему Пифагора – АХ 2 = АР 2 + РХ 2). И высчитать его площадь: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см 2 .

Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.

Все это позволит вам утверждать, что S AMPC = S APX = 54 см 2 .

Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.

Решение: Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h 1 для треугольника ТМЕ и высоту h 2 для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h 1 = 1/5(b + х) * h 2 . Преобразуем и получим: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).

Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h 1 / h 2 = (х – а)/(b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х 2 – а 2) = (b 2 – х 2) ↔ 6х 2 = b 2 + 5а 2 ↔ х = √(5а 2 + b 2)/6.

Таким образом, ОЕ = х = √(5а 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрия не самая легкая из наук, но вы наверняка сможете справиться с экзаменационными заданиями. Достаточно проявить немного усидчивости при подготовке. И, конечно, запомнить все нужные формулы.

Мы постарались собрать в одном месте все формулы вычисления площади трапеции, чтобы вы могли воспользоваться ими, когда будете готовиться к экзаменам и повторять материал.

Обязательно расскажите про эту статью одноклассникам и друзьям в социальных сетях. Пускай хороших оценок за ЕГЭ и ГИА будет больше!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Для того чтобы чувствовать себя на уроках геометрии уверенно и успешно решать задачи, недостаточно выучить формулы. Их нужно в первую очередь понимать. Бояться, а тем более ненавидеть формулы — непродуктивно. В этой статье доступным языком будут проанализированы различные способы поиска площади трапеции. Для лучшего усвоения соответствующих правил и теорем уделим некоторое внимание ее свойствам. Это поможет разобраться в том, как работают правила и в каких случаях следует применять те или иные формулы.

Определяем трапецию

Что это за фигура в целом? Трапецией называют многоугольник из четырех углов с двумя параллельными сторонами. Две другие стороны трапеции могут быть наклонены под различными углами. Ее параллельные стороны называют основаниями, а для непараллельных сторон применяют наименование «боковые стороны» или «бедра». Такие фигуры довольно часто встречаются в обыденной жизни. Контуры трапеции можно увидеть в силуэтах одежды, предметах интерьера, мебели, посуды и многих других. Трапеция бывает разных видов: разносторонняя, равнобокая и прямоугольная. Более детально их типы и свойства разберем далее в статье.

Свойства трапеции

Остановимся коротко на свойствах этой фигуры. Сумма углов, прилегающих к любой боковой стороне, всегда равняется 180°. Надо заметить, что все углы трапеции в сумме составляют 360°. У трапеции существует понятие средней линии. Если соединить середины боковых сторон отрезком — это и будет средняя линия. Ее обозначают m. У средней линии есть важные свойства: она всегда параллельна основаниям (мы помним, что основания также параллельны между собой) и равна их полусумме:

Это определение обязательно надо выучить и понять, ведь это ключ к решению множества задач!

У трапеции всегда можно опустить высоту на основание. Высота — это перпендикуляр, часто обозначаемый символом h, который проведен из любой точки одного основания на другое основание или его продолжение. Средняя линия и высота помогут найти площадь трапеции. Подобные задачи являются самыми распространенными в школьном курсе геометрии и регулярно появляются среди контрольных и экзаменационных работ.

Самые простые формулы площади трапеции

Разберем две самые популярные и простые формулы, с помощью которых находят площадь трапеции. Достаточно умножить высоту на полусумму оснований, чтобы легко найти искомое:

S = h*(a + b)/2.

В этой формуле a, b обозначают основания трапеции, h — высоту. Для удобства восприятия в этой статье знаки умножения отмечены символом (*) в формулах, хотя в официальных справочниках знак умножения обычно опускают.

Рассмотрим пример.

Дано: трапеция с двумя основаниями, равными 10 и 14 см, высота составляет 7 см. Чему равна площадь трапеции?

Разберем решение этой задачи. По этой формуле сначала нужно найти полусумму оснований: (10+14)/2 = 12. Итак, полусумма равняется 12 см. Теперь полусумму умножаем на высоту: 12*7 = 84. Искомое найдено. Ответ: площадь трапеции равна 84 кв. см.

Вторая известная формула гласит: площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту трапеции. То есть фактически вытекает из предшествующего понятия средней линии: S=m*h.

Использование диагоналей для вычислений

Другой способ нахождения площади трапеции на самом деле не так уж сложен. Он связан с ее диагоналями. По этой формуле для нахождения площади требуется умножить полупроизведение ее диагоналей (d 1 d 2) на синус угла между ними:

S = ½ d 1 d 2 sina.

Рассмотрим задачу, которая показывает применение этого способа. Дано: трапеция с длиной диагоналей равной соответственно 8 и 13 см. Угол a между диагоналями равняется 30°. Найти площадь трапеции.

Решение. Используя вышеприведенную формулу, легко вычислить требуемое. Как известно, sin 30° составляет 0,5. Следовательно, S = 8*13*0,5=52. Ответ: площадь равна 52 кв. см.

Ищем площадь равнобокой трапеции

Трапеция может быть равнобокой (равнобедренной). Ее боковые стороны одинаковы И углы при основаниях равны, что хорошо иллюстрирует рисунок. Равнобедренная трапеция имеет такие же свойства, что и обычная, плюс ряд особых. Вокруг равнобокой трапеции может быть описана окружность, и в нее может быть вписана окружность.

Какие же есть методики вычисления площади такой фигуры? Нижеприведенный способ потребует больших вычислений. Для его применения нужно знать значения синуса (sin) и косинуса (cos) угла при основании трапеции. Для их расчетов требуются либо таблицы Брадиса либо инженерный калькулятор. Вот эта формула:

S = c *sin a *(a — c *cos a ),

где с — боковое бедро, a — угол при нижнем основании.

Равнобокая трапеция обладает диагоналями одинаковой длины. Верно и обратное утверждение: если у трапеции диагонали равны, то она является равнобедренной. Отсюда следующая формула, помогающая найти площадь трапеции — полупроизведение квадрата диагоналей на синус угла между ними: S = ½ d 2 sina.

Находим площадь прямоугольной трапеции

Известен частный случай прямоугольной трапеции. Это трапеция, у которой одна боковая сторона (ее бедро) примыкает к основаниям под прямым углом. Она имеет свойства обычной трапеции. Помимо этого, она обладает очень интересной особенностью. Разность квадратов диагоналей такой трапеции равняется разности квадратов ее оснований. Для нее используют все ранее приведенные методики вычисления площади.

Применяем смекалку

Есть одна хитрость, которая может помочь в случае забывчивости специфических формул. Рассмотрим внимательнее, что представляет собой трапеция. Если мысленно разделить ее на части, то мы получим знакомые и понятные геометрические фигуры: квадрат или прямоугольник и треугольник (один или два). Если известны высота и стороны трапеции, можно воспользоваться формулами площади треугольника и прямоугольника, после чего сложить все полученные величины.

Проиллюстрируем это следующим примером. Дана прямоугольная трапеция. Угол C = 45°, углы A, D составляют 90°. Верхнее основание трапеции равно 20 см, высота равна 16 см. Требуется вычислить площадь фигуры.

Данная фигура очевидным образом состоит из прямоугольника (если два угла равны 90°) и треугольника. Так как трапеция прямоугольная, следовательно, ее высота равна ее боковой стороне, то есть 16 см. Имеем прямоугольник со сторонами 20 и 16 см соответственно. Рассмотрим теперь треугольник, угол которого равен 45°. Мы знаем, что одна его сторона составляет 16 см. Так как эта сторона является одновременно высотой трапеции (а нам известно, что высота опускается на основание под прямым углом), следовательно, второй угол треугольника равен 90°. Отсюда оставшийся угол треугольника составляет 45°. Следствием этого мы получаем прямоугольный равнобедренный треугольник, у которого две стороны одинаковы. Значит, другая сторона треугольника равна высоте, то есть 16 см. Осталось вычислить площадь треугольника и прямоугольника и сложить полученные величины.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов: S = (16*16)/2 = 128. Площадь прямоугольника равняется произведению его ширины на длину: S = 20*16 = 320. Мы нашли требуемое: площадь трапеции S = 128 + 320 = 448 кв. см. Можно легко себя перепроверить, воспользовавшись вышеприведенными формулами, ответ будет идентичен.

Используем формулу Пика

Напоследок приведем еще одну оригинальную формулу, помогающую искать площадь трапеции. Она называется формулой Пика. Ею удобно пользоваться, когда трапеция нарисована на клетчатой бумаге. Подобные задачи часто встречаются в материалах ГИА. Выглядит она следующим образом:

S = M/2 + N — 1,

в этой формуле M — количество узлов, т. е. пересечений линий фигуры с линиями клетки на границах трапеции (оранжевые точки на рисунке), N — количество узлов внутри фигуры (синие точки). Удобнее всего пользоваться ею при нахождении площади неправильного многоугольника. Тем не менее, чем больше арсенал используемых методик, тем меньше ошибок и лучше результаты.

Разумеется, приведенными сведениями далеко не исчерпываются типы и свойства трапеции, а также способы поиска ее площади. В этой статье дан обзор наиболее важных ее характеристик. В решении геометрических задач важно действовать постепенно, начинать с легких формул и задач, последовательно закреплять понимание, переходить на другой уровень сложности.

Собранные воедино самые распространенные формулы помогут ученикам сориентироваться в разнообразных способах вычисления площади трапеции и более качественно подготовиться к тестам и контрольным работам по этой теме.

Площадь трапеции. Приветствую вас! В этой публикации мы рассмотрим указанную формулу. Почему она именно такая и как её понять. Если будет понимание, то и учить её вам нет необходимости. Если же вы просто хотите посмотреть эту формулу и при чём срочно, то сразу можете прокрутить страницу вниз))

Теперь подробно и по порядку.

Трапеция это четырёхугольник, две стороны этого четырёхугольника параллельны, две другие нет. Те, что не параллельны – это основания трапеции. Две другие называются боковыми сторонами.

Если боковые стороны равны, то трапеция называется равнобедренной. Если одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, то такая трапеция называется прямоугольной.

В классическом виде трапецию изображают следующим образом – большее основание находится внизу, соответственно меньшее вверху. Но никто не запрещает изображать её и наоборот. Вот эскизы:

Следующее важное понятие.

Средняя линия трапеции это отрезок, который соединяет середины боковых сторон. Средняя линия параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Теперь давайте вникнем глубже. Почему именно так?

Рассмотрим трапецию с основаниями a и b и со средней линией l , и выполним некоторые дополнительные построения: через основания проведём прямые, а через концы средней линии перпендикуляры до пересечения с основаниями:

*Буквенные обозначения вершин и других точек не введены умышленно, чтобы избежать лишних обозначений.

Посмотрите, треугольники 1 и 2 равны по второму признаку равенства треугольников, треугольники 3 и 4 тоже самое. Из равенства треугольников следует равенство элементов, а именно катетов (они обозначены соответственно синим и красным цветом).

Теперь внимание! Если мы мысленно «отрежем» от нижнего основания синий и красный отрезок, то у нас останется отрезок (это сторона прямоугольника) равный средней линии. Далее, если мы «приклеим» отрезанные синий и красный отрезок к верхнему основанию трапеции, то у нас получится также отрезок (это тоже сторона прямоугольника) равный средней линии трапеции.

Уловили? Получается, что сумма оснований будет равна двум средним линиям трапеции:

Посмотреть ещё одно объяснение

Сделаем следующее – построим прямую проходящую через нижнее основание трапеции и прямую, которая пройдёт через точки А и В:

Получим треугольники 1 и 2, они равны по стороне и прилегающим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Это означает что полученный отрезок (на эскизе он обозначен синим) равен верхнему основанию трапеции.

Теперь рассмотрим треугольник:

*Средняя линия данной трапеции и средняя линия треугольника совпадают.

Известно, что треугольника равна половине параллельного ей основания, то есть:

Хорошо, разобрались. Теперь о площади трапеции.

Площадь трапеции формула:

Говорят: площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований и высоты.

То есть, получается, что она равна произведению средней линии и высоты:

Вы, наверное, уже заметили, что это очевидно. Геометрически это можно выразить так: если мы мысленно отрежем от трапеции треугольники 2 и 4 и положим их соответственно на треугольники 1 и 3:

То у нас получится прямоугольник по площади равный площади нашей трапеции. Площадь этого прямоугольника будет равна произведению средней линии и высоты, то есть можем записать:

Но дело тут не в записи, конечно, а в понимании.

Скачать (посмотреть) материал статьи в формате *pdf

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр.

Вычислить площадь трапеции онлайн калькулятор. Площадь трапеции

И . Теперь можно приступить к рассмотрению вопроса как найти площадь трапеции. Данная задача в быту возникает очень редко, но иногда оказывается необходимой, к примеру, чтобы найти площадь комнаты в форме трапеции, которые все чаще применяют при строительстве современных квартир, или в дизайн-проектах по ремонту.

Трапеция — это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции. Два других отрезка называются сторонами трапеции. Кроме того, в дальнейшем нам пригодится еще одно определение. Это средняя линия трапеции, которая представляет собой отрезок, соединяющий середины боковых сторон и высота трапеции, которая равна расстоянию между основаниями.
Как и у треугольников, у трапеция есть частные виды в виде равнобедренной (равнобокой) трапеции, у которой длина боковых сторон одинаковы и прямоугольной трапеции, у которой одна из сторон образует с основаниями прямой угол.

Трапеции обладают некоторыми интересными свойствами:

1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
   
2. У равнобедренных трапеций боковые стороны и углы которые они образуют с основаниями равны.
   
3. Середины диагоналей трапеции и точка пересечения ее диагоналей находятся на одной прямой.
   
4. Если сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований, то в нее можно вписать круг
   
5. Если сумма углов, образованных сторонами трапеции у любого ее основания равна 90, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна их полуразности.
   
6. Равнобедренную трапецию можно описать окружностью. И наоборот. Если в трапеция вписывается в окружность, значит она равнобедренная.
   
7. Отрезок, проходящий через середины оснований равнобедренной трапеции будет перпендикулярен ее основаниям и представляет собой ось симетрии.
   

Как найти площадь трапеции .

Площадь трапеции будет равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту. В виде формулы это записывается в виде выражения:

где S-площадь трапеции, a,b-длина каждого из оснований трапеции, h-высота трапеции.

Понять и запомнить эту формулу можно следующим образом. Как следует из рисунка ниже трапецию с использованием средней линии можно преобразовать в прямоугольник, длина которого и будет равна полусумме оснований.

Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один, или два треугольника и если вам так проще, то найти площадь трапеции, как сумму площадей составляющих ее фигур.

Есть еще одна простая формула для подсчета ее площади. Согласно ней площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту трапеции и записывается в виде: S = m*h, где S-площадь, m-длина средней линии, h-высота трапеции. Данная формула больше подходит для задач по математике, чем для бытовых задач, так как в реальных условиях вам не будет известна длина средней линии без предварительных расчетов. А известны вам будут только длины оснований и боковых сторон.

В этом случае площадь трапеции может быть найдена по формуле:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

где S-площадь, a,b-основания, c,d-боковые стороны трапеции.

Существуют еще несколько способов того, как найти площади трапеции. Но, они примерно также неудобны как и последняя формула, а значит не имеет смысла на них останавливаться. Поэтому, рекомендуем вам пользоваться первой формулой из статьи и желаем всегда получать точные результаты.

Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают сложности у многих школьников. Вы легко справитесь с ними, если заучите все нужные формулы и попрактикуетесь в решении задач.

В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями. Такие же могут попасться вам в КИМах на аттестационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому отнеситесь к ним внимательно.

Что нужно знать про трапецию?

Для начала вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие – нет.

В трапеции также может быть опущена высота (перпендикуляр к основанию). Проведена средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы. А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы. Или, в отдельных случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность около нее.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h .

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h . Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d 1 и d 2 , которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d 1 d 2 *sinα .

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2 .

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.

Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность с радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α. Окружность может быть вписана в трапецию при условии, что сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется так: умножьте квадрат радиуса вписанной окружности на четыре и разделите все это на sinα: S = 4r 2 /sinα . Еще одна формула площади является частным случаем для того варианта, когда угол между большим основанием и боковой стороной равен 30 0: S = 8r 2 .

Второй вариант: на этот раз возьмем равнобедренную трапецию, в которой вдобавок проведены диагонали d 1 и d 2 , а также высота h. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, высота составляет половину суммы оснований: h = 1/2(a + b). Зная это, легко преобразовать уже знакомую вам формулу площади трапеции в такой вид: S = h 2 .

Формула площади криволинейной трапеции

Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка на оси x. Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок ), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a) . В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке . И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.

Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.

Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Мы также можем доказать, что треугольник АРХ – прямоугольный (для этого примените теорему Пифагора – АХ 2 = АР 2 + РХ 2). И высчитать его площадь: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см 2 .

Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.

Все это позволит вам утверждать, что S AMPC = S APX = 54 см 2 .

Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.

Решение: Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h 1 для треугольника ТМЕ и высоту h 2 для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h 1 = 1/5(b + х) * h 2 . Преобразуем и получим: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).

Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h 1 / h 2 = (х – а)/(b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х 2 – а 2) = (b 2 – х 2) ↔ 6х 2 = b 2 + 5а 2 ↔ х = √(5а 2 + b 2)/6.

Таким образом, ОЕ = х = √(5а 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрия не самая легкая из наук, но вы наверняка сможете справиться с экзаменационными заданиями. Достаточно проявить немного усидчивости при подготовке. И, конечно, запомнить все нужные формулы.

Мы постарались собрать в одном месте все формулы вычисления площади трапеции, чтобы вы могли воспользоваться ими, когда будете готовиться к экзаменам и повторять материал.

Обязательно расскажите про эту статью одноклассникам и друзьям в социальных сетях. Пускай хороших оценок за ЕГЭ и ГИА будет больше!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают сложности у многих школьников. Вы легко справитесь с ними, если заучите все нужные формулы и попрактикуетесь в решении задач.

В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями. Такие же могут попасться вам в КИМах на аттестационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому отнеситесь к ним внимательно.

Что нужно знать про трапецию?

Для начала вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие – нет.

В трапеции также может быть опущена высота (перпендикуляр к основанию). Проведена средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы. А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы. Или, в отдельных случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность около нее.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h .

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h . Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d 1 и d 2 , которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d 1 d 2 *sinα .

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2 .

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.

Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность с радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α. Окружность может быть вписана в трапецию при условии, что сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется так: умножьте квадрат радиуса вписанной окружности на четыре и разделите все это на sinα: S = 4r 2 /sinα . Еще одна формула площади является частным случаем для того варианта, когда угол между большим основанием и боковой стороной равен 30 0: S = 8r 2 .

Второй вариант: на этот раз возьмем равнобедренную трапецию, в которой вдобавок проведены диагонали d 1 и d 2 , а также высота h. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, высота составляет половину суммы оснований: h = 1/2(a + b). Зная это, легко преобразовать уже знакомую вам формулу площади трапеции в такой вид: S = h 2 .

Формула площади криволинейной трапеции

Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка на оси x. Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок ), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a) . В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке . И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.

Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.

Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Мы также можем доказать, что треугольник АРХ – прямоугольный (для этого примените теорему Пифагора – АХ 2 = АР 2 + РХ 2). И высчитать его площадь: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см 2 .

Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.

Все это позволит вам утверждать, что S AMPC = S APX = 54 см 2 .

Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.

Решение: Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h 1 для треугольника ТМЕ и высоту h 2 для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h 1 = 1/5(b + х) * h 2 . Преобразуем и получим: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).

Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h 1 / h 2 = (х – а)/(b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х 2 – а 2) = (b 2 – х 2) ↔ 6х 2 = b 2 + 5а 2 ↔ х = √(5а 2 + b 2)/6.

Таким образом, ОЕ = х = √(5а 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрия не самая легкая из наук, но вы наверняка сможете справиться с экзаменационными заданиями. Достаточно проявить немного усидчивости при подготовке. И, конечно, запомнить все нужные формулы.

Мы постарались собрать в одном месте все формулы вычисления площади трапеции, чтобы вы могли воспользоваться ими, когда будете готовиться к экзаменам и повторять материал.

Обязательно расскажите про эту статью одноклассникам и друзьям в социальных сетях. Пускай хороших оценок за ЕГЭ и ГИА будет больше!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция — вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Существует несколько видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная. Для каждого вида трапеции есть формулы для нахождения площади.

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание — a, нижнее основание — b, а высота — h. Тогда вычислить площадь S можно по формуле:

S = ½ * (a+b) * h

т.е. взять полусумму оснований, умноженную на высоту.

Также удастся вычислить площадь трапеции, если известно значение высоты и средней линии. Обозначим среднюю линию — m. Тогда

Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции — a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:

Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

где d с индексами 1 и 2 — диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.

При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:

S = ½ * (b2 — a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция — это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.

Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.

• Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной — с, а и b — длины оснований:

• Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

где а — верхнее основание, с — боковая сторона.

• Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ½ * (b2 – a2) * tg α

• Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:

S = ½ * d2 * sin α

• Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.

Пусть боковая сторона — с, средняя линия — m, угол — a, тогда:

S = m * c * sin α

Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет — r.

Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

S = 4r2 / sin α

Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):

Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:

S = a * b / sin α

(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).

Через основания и радиус окружности площадь ищется так:

Если известны только основания, то площадь считается по формуле:

Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию — m вычисляется так:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.

Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.

• Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:

S = (a + b) * h / 2

В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:

S = (a + b) * c / 2

• Другой способ рассчитать площадь — перемножить длину средней линии на высоту:

или на длину боковой перпендикулярной стороны:

• Следующий способ вычисления — через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:

S = ½ * d1 * d2

• Еще один способ вычисления — через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.

Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:

S = (2r + c) * r

• Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:

где m — длина средней линии.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция представляет из себя плоскую фигуру, ограниченную графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке , осью абсцисс и прямыми x = a, x = b. По сути, две ее стороны параллельны друг другу (основания), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая представляет из себя кривую, соответствующую графику функции.

Площадь криволинейной трапеции ищут через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Так вычисляются площади различных видов трапеций. Но, помимо свойств сторон, трапеции обладают одинаковыми свойствами углов. Как у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. А сумма углов, прилежащих к боковой стороне, — 180 градусам.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две стороны параллельны между собой.

Они называются основаниями фигуры, оставшиеся – боковыми сторонами. Частными случаями фигуры считается параллелограмм. Также существует криволинейная трапеция, которая включает в себя график функции. Формулы площади трапеции включают в себя практически все ее элементы, и лучшее решение подбирается в зависимости от заданных величин.
Основные роли в трапеции отводятся высоте и средней линии. Средняя линия – это линия, соединяющая середины боковых сторон. Высота трапеции проводится под прямым углом от верхнего угла к основанию.
Площадь трапеции через высоту равняется произведению полусуммы длин оснований, умноженному на высоту:

Если по условиям известна средняя линия, то эта формула значительно упрощается, так как она равна полусумме длин оснований :

Если по условиям даны длины всех сторон, то можно рассмотреть пример расчета площади трапеции через эти данные:

Допустим, дана трапеция с основаниями a = 3 см, b = 7 см и боковыми сторонами c = 5 см, d = 4 см. найдем площадь фигуры:

Площадь равнобокой трапеции

Отдельным случаем считается равнобокая или, как ее еще называют, равнобедренная трапеция.
Особым случаем является и нахождение площади равнобедренной (равнобокой) трапеции. Формула выводится различными способами – через диагонали, через углы, прилегающие к основанию и радиус вписанной окружности.
Если по условиям задана длина диагоналей и известен угол между ними можно использовать такую формулу:

Помните, что диагонали равнобокой трапеции равны между собой!

То есть, зная одно их оснований, сторону и угол, можно легко рассчитать площадь.

Площадь криволинейной трапеции

Отдельный случай – это криволинейная трапеция . Она располагается на оси координат и ограничивается графиком непрерывной положительной функции.

Ее основание располагает на оси X и ограничивается двумя точками:
Интегралы помогают вычислить площадь криволинейной трапеции.
Формула прописывается так:

Рассмотрим пример расчета площади криволинейной трапеции. Формула требует определенных знаний для работы с определенными интегралами. Для начала разберем значение определенного интеграла:

Здесь F(a) – это значение первообразной функции f(x) в точке a , F(b) – значение этой же функции f(x) в точке b .

Теперь решим задачу. На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная функцией . Функция
Нам необходимо найти площадь выделенной фигуры, которая является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком , справа прямой x ={-8}, слева прямой x ={-10} и осью OX снизу.
Площадь этой фигуры мы будем рассчитывать по формуле:

Условиями задачи нам задана функция. По ней мы найдем значения первообразной в каждой из наших точек:

Теперь
Ответ: площадь заданной криволинейной трапеции равняется 4.

Ничего сложного в расчетах этого значения нет. Важна только предельная внимательность в вычислениях.

Что называется высотой трапеции. Полезные свойства трапеции

Раздел содержит задачи по геометрии (раздел планиметрия) о трапециях. Если Вы не нашли решения задачи — пишите об этом на форуме. Курс наверняка будет дополнен.

Трапеция. Определение, формулы и свойства

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик»; τράπεζα — «стол, еда») — четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна.

Трапеция — четырёхугольник, у которого пара противолежащих сторон параллельна.

Примечание. В этом случае параллелограмм является частным случаем трапеции.

Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами.

Трапеции бывают:

— разносторонние ;

— равнобокие ;

— прямоугольные

.
Красным и коричневым цветами обозначены боковые стороны, зеленым и синим — основания трапеции.

A — равнобокая (равнобедренная, равнобочная) трапеция
B — прямоугольная трапеция
C — разносторонняя трапеция

У разносторонней трапеции все стороны разной длины, а основания параллельны.

У боковые стороны равны, а основания параллельны.

У основания параллельны, одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, а вторая боковая сторона — наклонная к основаниям.

Свойства трапеции

• Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме
• Отрезок, соединяющий середины диагоналей , равен половине разности оснований и лежит на средней линии. Его длина
• Параллельные прямые, пересекающие стороны любого угла трапеции, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки (см. Теорему Фалеса)
• Точка пересечения диагоналей трапеции , точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой (см. также свойства четырехугольника)
• Треугольники, лежащие на основаниях трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются подобными. Соотношение площадей таких треугольников равно квадрату соотношения оснований трапеции
• Треугольники, лежащие на боковых сторонах трапеции, вершины которых являются точкой пересечения ее диагоналей являются равновеликими (равными по площади)
• В трапецию можно вписать окружность , если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований)
• Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен удвоенному произведению оснований, деленному на их сумму 2ab / (a +b) (Формула Буракова)

Углы трапеции

Углы трапеции бывают острые, прямые и тупые .
Прямыми бывают только два угла.

У прямоугольной трапеции два угла прямые , а два других – острый и тупой. У других видов трапеций бывают: два острых угла и два тупых.

Тупые углы трапеции принадлежат меньшему по длине основанию, а острые – большему основанию.

Любую трапецию можно рассматривать как усеченный треугольник , у которого линия сечения параллельна основанию треугольника.
Важно . Обратите внимание, что таким способом (дополнительным построением трапеции до треугольника) могут решаться некоторые задачи про трапецию и доказываются некоторые теоремы.

Как найти стороны и диагонали трапеции

Нахождение сторон и диагоналей трапеции делают с помощью формул, которые приведены ниже:

В указанных формулах применяются обозначения, как на рисунке.

a — меньшее из оснований трапеции
b — большее из оснований трапеции
c,d — боковые стороны
h 1 h 2 — диагонали

Сумма квадратов диагоналей трапеции равна удвоенному произведению оснований трапеции плюс сумма квадратов боковых сторон (Формула 2)

С такой формой как трапеция, мы встречаемся в жизни довольно часто. К примеру, любой мост который выполнен из бетонных блоков, является ярким примером. Более наглядным вариантом можно считать рулевое управление каждого транспортного средства и прочее. О свойствах фигуры было известно еще в Древней Греции , которую более детально описал Аристотель в своем научном труде «Начала». И знания, выведенные тысячи лет назад актуальны и по сегодня. Поэтому ознакомимся с ними более детально.

Вконтакте

Основные понятия

Рисунок 1. Классическая форма трапеции.

Трапеция по своей сути является четырехугольником, состоящим из двух отрезков которые параллельны, и двух других, которые не параллельны. Говоря об этой фигуре всегда необходимо помнить о таких понятиях как: основания, высота и средняя линия. Два отрезка четырехугольника которые друг другу называются основаниями (отрезки AD и BC). Высотой называют отрезок перпендикулярный каждому из оснований (EH), т.е. пересекаются под углом 90° (как это показано на рис.1).

Если сложить все градусные меры внутренних , то сумма углов трапеции будет равна 2π (360°), как и у любого четырехугольника. Отрезок, концы которого являются серединами боковин (IF) именуют средней линей. Длина этого отрезка составляет сумму оснований BC и AD деленную на 2.

Существует три вида геометрической фигуры: прямая, обычная и равнобокая. Если хоть один угол при вершинах основания будет прямой (например, если ABD=90°), то такой четырехугольник называют прямой трапецией. Если боковые отрезки равны (AB и CD), то она называется равнобедренной (соответственно углы при основаниях равны).

Как найти площадь

Для того, чтобы найти площадь четырехугольника ABCD пользуются следующей формулой:

Рисунок 2. Решение задачи на поиск площади

Для более наглядного примера решим легкую задачу. К примеру, пускай верхнее и нижнее основания равны по 16 и 44 см соответственно, а боковые стороны – 17 и 25 см. Построим перпендикулярный отрезок из вершины D таким образом, чтобы DE II BC (как это изображено на рисунке 2). Отсюда получаем, что

Пускай DF – будет . Из ΔADE (который будет равнобоким), получим следующее:

Т. е., выражаясь простым языком, мы вначале нашли высоту ΔADE, которая по совместительству является и высотой трапеции. Отсюда вычислим по уже известной формуле площадь четырехугольника ABCD, с уже известным значением высоты DF.

Отсюда, искомая площадь ABCD равна 450 см³. То есть можно с уверенностью сказать, что для того, чтобы вычислить площадь трапеции потребуется только сумма оснований и длина высоты.

Важно! При решении задача не обязательно найти значение длин по отдельности, вполне допускается, если будут применены и другие параметры фигуры, которые при соответствующем доказательстве будут равны сумме оснований.

Виды трапеций

В зависимости от того, какие стороны имеет фигура, какие углы образованы при основаниях, выделяют три вида четырехугольника: прямоугольная, разнобокая и равнобокая.

Разнобокая

Существует две формы: остроугольная и тупоугольная . ABCD остроугольна только в том случае, когда углы при основании (AD) острые, а длины сторон разные. Если величина одного угла число Пи/2 более (градусная мера более 90°), то получим тупоугольную.

Если боковины по длине равны

Рисунок 3. Вид равнобокой трапеции

Если непараллельные стороны равны по длине, тогда ABCD называется равнобокой (правильной). При этом у такого четырехугольника градусная мера углов при основании одинакова, их угол будет всегда меньше прямого. Именно по этой причине равнобедренная никогда не делится на остроугольные и тупоугольные. Четырехугольник такой формы имеет свои специфические отличия, к числу которых относят:

1. Отрезки соединяющие противоположные вершины равны.
2. Острые углы при большем основании составляют 45° (наглядный пример на рисунке 3).
3. Если сложить градусные меры противоположных углов, то в сумме они будут давать 180°.
4. Вокруг любой правильной трапеции можно построить .
5. Если сложить градусную меру противоположных углов, то она равна π.

Более того, в силу своего геометрического расположения точек существуют основные свойства равнобедренной трапеции :

Значение угла при основании 90°

Перпендикулярность боковой стороны основания — емкая характеристика понятия «прямоугольная трапеция». Двух боковых сторон с углами при основании быть не может, потому как в противном случае это будет уже прямоугольник. В четырехугольниках такого типа вторая боковая сторона всегда будет образовывать острый угол с большим основанием, а с меньшим — тупой. При этом, перпендикулярная сторона также будет являться и высотой.

Отрезок между серединами боковин

Если соединить середины боковых сторон, и полученный отрезок будет параллельный основаниям, и равен по длине половине их суммы, то образованная прямая будет средней линией. Значение этого расстояния вычисляется по формуле:

Для более наглядного примера рассмотрим задачу с применением средней линии.

Задача. Средняя линия трапеции равна 7 см, известно, что одна из сторон больше другой на 4 см (рис.4). Найти длины оснований.

Рисунок 4. Решение задачи на поиск длин оснований

Решение. Пусть меньшее основание DC будет равно x см, тогда большее основание будет равняться соответственно (x+4) см. Отсюда, используя формулу средней линии трапеции получим:

Получается, что меньшее основание DC равно 5 см, а большее равняется 9 см.

Важно! Понятие средней линии является ключевым при решении многих задач по геометрии. На основании её определения, строятся многие доказательства для других фигур. Используя понятие на практике, возможно более рациональное решение и поиск необходимой величины.

Определение высоты, и способы как её найти

Как уже отмечалось ранее, высота представляет собой отрезок, который пересекает основания под углом 2Пи/4 и является кратчайшим расстоянием между ними. Перед тем как найти высоту трапеции, следует определиться какие даны входные значения. Для лучшего понимания рассмотрим задачу. Найти высоту трапеции при условии, что основания равны 8 и 28 см, боковые стороны 12 и 16 см соответственно.

Рисунок 5. Решение задачи на поиск высоты трапеции

Проведем отрезки DF и CH под прямыми углами к основанию AD.Согласно определению, каждый из них будет являться высотой заданной трапеции (рис. 5). В таком случае, зная длину каждой боковины, при помощи теоремы Пифагора, найдем чему равна высота в треугольниках AFD и BHC.

Сумма отрезков AF и HB равна разности оснований, т.е.:

Пускай длина AF будет равняться x cм, тогда длина отрезка HB= (20 – x)см. Как было установлено, DF=CH , отсюда .

Тогда получим следующее уравнение:

Получается, что отрезок AF в треугольнике AFD равен 7,2 см, отсюда вычислим по той же теореме Пифагора высоту трапеции DF:

Т.е. высота трапеции ADCB будет равна 9,6 см. Как можно убедиться, что вычисление высоты — процесс больше механический, и основывается на вычислениях сторон и углов треугольников. Но, в ряде задач по геометрии, могут быть известны только градусы углов, в таком случае вычисления будут производиться через соотношение сторон внутренних треугольников.

Важно! В сущности трапецию часто рассматривают как два треугольника, или как комбинацию прямоугольника и треугольника. Для решения 90% всех задач, встречаемых в школьных учебниках, свойства и признаки этих фигур. Большинство формул, для этого ГМТ, выведены полагаясь на «механизмы» для указанных двух типов фигур.

Как быстро вычислить длину основания

Перед тем, как найти основание трапеции необходимо определить какие параметры уже даны, и как их рационально использовать. Практическим подходом является извлечение длины неизвестного основания из формулы средней линии. Для более ясного восприятия картинки покажем на примере задачи, как это можно сделать. Пускай известно, что средняя линия трапеции составляет 7 см, а одно из оснований 10 см. Найти длину второй основы.

Решение: Зная, что средняя линия равна половине суммы основ, можно утверждать, что их сумма равна 14 см.

(14 см = 7 см × 2). Из условия задачи, мы знаем, что одно из равно 10 см, отсюда меньшая сторона трапеции будет равна 4 см (4 см = 14 – 10).

Более того, для более комфортного решения задач подобного плана, рекомендуем хорошо выучить такие формулы из области трапеции как :

• средняя линия;
• площадь;
• высота;
• диагонали.

Зная суть (именно суть) этих вычислений можно без особого труда узнать искомое значение.

Видео: трапеция и ее свойства

Видео: особенности трапеции

Вывод

Из рассмотренных примеров задач можно сделать нехитрый вывод, что трапеция, в плане вычисления задач, является одной из простейших фигур геометрии. Для успешного решения задач прежде всего не стоит определиться с тем, какая информация известна об описываем объекте, в каких формулах их можно применить, и определиться с тем, что требуется найти. Выполняя этот простой алгоритм, ни одна задача с применением этой геометрической фигуры не составит усилий.

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь .

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

В курсе геометрии за 8-й класс подразумевается изучение свойств и признаков выпуклых четырёхугольников. К ним относятся параллелограммы, частными случаями которых являются квадраты, прямоугольники и ромбы, и трапеции. И если решение задач на различные вариации параллелограмма чаще всего не вызывает сильных затруднений, то разобраться, какой четырёхугольник называется трапецией, несколько сложнее.

Определение и виды

В отличие от других четырёхугольников, изучаемых в школьной программе, трапецией принято называть такую фигуру, две противоположные стороны которой параллельны друг другу, а две другие — нет. Существует и другое определение: это четырёхугольник с парой сторон, которые не равны между собой и параллельны.

Различные виды указаны на рисунке ниже .

На изображении под номером 1 изображена произвольная трапеция. Номером 2 обозначен частный случай — прямоугольная трапеция, одна из сторон которой перпендикулярна её основаниям. Последняя фигура — тоже особый случай: это равнобедренная (равнобокая) трапеция, т. е. четырёхугольник с равными боковыми сторонами.

Важнейшие свойства и формулы

Для описания свойств четырёхугольника принято выделять определённые элементы. В качестве примера можно рассмотреть произвольную трапецию ABCD.

В её состав входят:

• основания BC и AD — две стороны, параллельные по отношению друг к другу;
• боковые стороны AB и CD — два непараллельных элемента;
• диагонали AC и BD — отрезки, соединяющие противоположные вершины фигуры;
• высота трапеции CH — перпендикулярный основаниям отрезок;
• средняя линия EF — линия, соединяющая середины боковых сторон.

Основные свойства элементов

Чтобы решить задачи по геометрии или доказать какие-либо утверждения, наиболее часто используют свойства, которые связывают различные элементы четырёхугольника. Они формулируются следующим образом:

Кроме того, часто полезно знать и применять следующие утверждения:

1. Биссектриса, проведённая из произвольного угла, отделяет на основании отрезок, длина которого равна боковой стороне фигуры.
2. При проведении диагоналей образуются 4 треугольника; из них 2 треугольника, образованных основаниями и отрезками диагоналей, обладают подобием, а оставшаяся пара имеет одинаковую площадь.
3. Через точку пересечения диагоналей O, середины оснований, а также точку, в которой пересекаются продолжения боковых сторон, можно провести прямую.

Вычисление периметра и площади

Периметр рассчитывается как сумма длин всех четырёх сторон (аналогично любой другой геометрической фигуре):

P = AD + BC + AB + CD.

Вписанная и описанная окружность

Окружность возможно описать около трапеции только в том случае, когда боковые стороны четырёхугольника равны.

Чтобы вычислить радиус описанной окружности, необходимо знать длины диагонали, боковой стороны и большего основания. Величина p, используемая в формуле, рассчитывается как полусумма всех вышеперечисленных элементов: p = (a + c + d)/2 .

Для вписанной окружности условие будет следующим: сумма оснований должна совпадать с суммой боковых сторон фигуры. Радиус её можно найти через высоту, и он будет равен r = h/2.

Частные случаи

Рассмотрим часто встречаемый случай — равнобокую (равностороннюю) трапецию. Её признаки — равенство боковых сторон или равенство противолежащих углов. К ней применимы все утверждения , которые характерны для произвольной трапеции. Другие свойства равнобедренной трапеции:

Прямоугольная трапеция встречается в задачах не так часто. Её признаки — наличие двух смежных углов, равных 90 градусов, и наличие боковой стороны, перпендикулярной основаниям. Высота в таком четырёхугольнике одновременно является одной из его сторон.

Все рассмотренные свойства и формулы обычно используются для решения планиметрических задач. Однако также их приходится применять в некоторых задачах из курса стереометрии, например, при определении площади поверхности усечённой пирамиды, внешне напоминающей объёмную трапецию.

Объем трапеции калькулятор. Как найти площадь трапеции

И . Теперь можно приступить к рассмотрению вопроса как найти площадь трапеции. Данная задача в быту возникает очень редко, но иногда оказывается необходимой, к примеру, чтобы найти площадь комнаты в форме трапеции, которые все чаще применяют при строительстве современных квартир, или в дизайн-проектах по ремонту.

Трапеция — это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции. Два других отрезка называются сторонами трапеции. Кроме того, в дальнейшем нам пригодится еще одно определение. Это средняя линия трапеции, которая представляет собой отрезок, соединяющий середины боковых сторон и высота трапеции, которая равна расстоянию между основаниями.
Как и у треугольников, у трапеция есть частные виды в виде равнобедренной (равнобокой) трапеции, у которой длина боковых сторон одинаковы и прямоугольной трапеции, у которой одна из сторон образует с основаниями прямой угол.

Трапеции обладают некоторыми интересными свойствами:

1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
   
2. У равнобедренных трапеций боковые стороны и углы которые они образуют с основаниями равны.
   
3. Середины диагоналей трапеции и точка пересечения ее диагоналей находятся на одной прямой.
   
4. Если сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований, то в нее можно вписать круг
   
5. Если сумма углов, образованных сторонами трапеции у любого ее основания равна 90, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна их полуразности.
   
6. Равнобедренную трапецию можно описать окружностью. И наоборот. Если в трапеция вписывается в окружность, значит она равнобедренная.
   
7. Отрезок, проходящий через середины оснований равнобедренной трапеции будет перпендикулярен ее основаниям и представляет собой ось симетрии.
   

Как найти площадь трапеции .

Площадь трапеции будет равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту. В виде формулы это записывается в виде выражения:

где S-площадь трапеции, a,b-длина каждого из оснований трапеции, h-высота трапеции.

Понять и запомнить эту формулу можно следующим образом. Как следует из рисунка ниже трапецию с использованием средней линии можно преобразовать в прямоугольник, длина которого и будет равна полусумме оснований.

Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один, или два треугольника и если вам так проще, то найти площадь трапеции, как сумму площадей составляющих ее фигур.

Есть еще одна простая формула для подсчета ее площади. Согласно ней площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту трапеции и записывается в виде: S = m*h, где S-площадь, m-длина средней линии, h-высота трапеции. Данная формула больше подходит для задач по математике, чем для бытовых задач, так как в реальных условиях вам не будет известна длина средней линии без предварительных расчетов. А известны вам будут только длины оснований и боковых сторон.

В этом случае площадь трапеции может быть найдена по формуле:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

где S-площадь, a,b-основания, c,d-боковые стороны трапеции.

Существуют еще несколько способов того, как найти площади трапеции. Но, они примерно также неудобны как и последняя формула, а значит не имеет смысла на них останавливаться. Поэтому, рекомендуем вам пользоваться первой формулой из статьи и желаем всегда получать точные результаты.

Этот калькулятор рассчитал 2192 задачи на тему «Площадь трапеции»

ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ

Выберете формулу вычисления площади трапеции, которую Вы планируете применить для решения поставленной перед Вами задачи:

Общая теория для вычисления площади трапеции.

Трапеция — это плоская фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, и четырех отрезков (сторон), соединяющих попарно эти четыре точки, у которой две противоположные стороны параллельны (лежат на параллельных прямых), а две другие не параллельны.

Точки называются вершинами трапеции и обозначаются заглавными латинскими буквами.

Отрезки называются сторонами трапеции и обозначаются парой заглавных латинских букв соответственно вершинам, которые отрезки соединяют.

Две параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции .

Две не параллельные стороны трапеции называются боковыми сторонами трапеции .

Рисунок №1: Трапеция ABCD

На рисунке №1 представлена трапеция ABCD с вершинами A,B ,C, D и сторонами AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC — основания трапеции ABCD.

AD, BC — боковые стороны трапеции ABCD.

Угол, образованный лучами AB и AD, называется углом при вершине A. Обозначается он как ÐA или ÐBAD, или ÐDAB.

Угол, образованный лучами BA и BC, называется углом при вершине B. Обозначается он как ÐB или ÐABC, или ÐCBA.

Угол, образованный лучами CB и CD, называется углом при вершине C. Обозначается он как ÐC или ÐDCB, или ÐBCD.

Угол, образованный лучами AD и CD, называется углом при вершине D. Обозначается он как ÐD или ÐADC, или ÐCDA.

Рисунок №2: Трапеция ABCD

На рисунке №2 отрезок MN, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. То есть,.

Рисунок №3: Равнобедренная трапеция ABCD

На Рисунке №3, AD=BC.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой) , если ее боковые стороны равны.

Рисунок №4: Прямоугольная трапеция ABCD

На Рисунке №4 угол D — прямой (равен 90 о).

Трапеция называется прямоугольной, если угол при боковой стороне прямой.

Площадью S плоской фигуры, к которым относится и трапеция, называется ограниченное замкнутое пространство на плоскости. Площадь плоской фигуры показывает величину этой фигуры.

Площадь обладает несколькими свойствами:

1. Она не может быть отрицательной.

2. Если дана некоторая замкнутая область на плоскости, которая составлена из нескольких фигур, не пересекающихся друг с другом (то есть, фигуры не имеют общих внутренних точек, но вполне могут касаться друг друга), то площадь такой области равна сумме площадей составляющих ее фигур.

3. Если две фигуры равны, то и площади их равны.

4. Площадь квадрата, который построен на единичном отрезке, равна единице.

За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков.

При решении задач часто используются следующие формулы вычисления площади трапеции:

1. Площадь трапеции равна полусумме ее оснований умноженной на высоту:

2. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту:

3. При известных длинах оснований и боковых сторон трапеции её площадь можно вычислить по формуле:

4. Возможно вычислить площадь равнобедренной трапеции при известной длине радиуса вписанной в трапецию окружности и известном значении угла при основании по следующей формуле:

Пример 1: Вычислить площадь трапеции с основаниями a=7, b=3 и высотой h=15.

Решение:

Ответ:

Пример 2: Найти сторону основания трапеции с площадью S=35 см 2 , высотой h=7см и вторым основанием b = 2 см.

Решение:

Для нахождения стороны основания трапеции воспользуемся формулой вычисления площади:

Выразим из данной формулы сторону основания трапеции:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 3: Найти высоту трапеции с площадью S=17 см 2 и основаниями a=30 см, b = 4 см.

Решение:

Для нахождения высоты трапеции воспользуемся формулой вычисления площади:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 4: Вычислить площадь трапеции с высотой h=24 и средней линией m=5.

Решение:

Для нахождения площади трапеции воспользуемся следующей формулой вычисления площади:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 5: Найти высоту трапеции с площадью S = 48 см 2 и средней линией m=6 см.

Решение:

Для нахождения высоты трапеции воспользуемся формулой вычисления площади трапеции:

Выразим из данной формулы высоту трапеции:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 6: Найти среднюю линию трапеции с площадью S = 56 и высотой h=4.

Решение:

Для нахождения средней линии трапеции воспользуемся формулой вычисления площади трапеции:

Выразим из данной формулы среднюю линию трапеции:

Таким образом, имеем следующее.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две стороны параллельны между собой.

Они называются основаниями фигуры, оставшиеся – боковыми сторонами. Частными случаями фигуры считается параллелограмм. Также существует криволинейная трапеция, которая включает в себя график функции. Формулы площади трапеции включают в себя практически все ее элементы, и лучшее решение подбирается в зависимости от заданных величин.
Основные роли в трапеции отводятся высоте и средней линии. Средняя линия – это линия, соединяющая середины боковых сторон. Высота трапеции проводится под прямым углом от верхнего угла к основанию.
Площадь трапеции через высоту равняется произведению полусуммы длин оснований, умноженному на высоту:

Если по условиям известна средняя линия, то эта формула значительно упрощается, так как она равна полусумме длин оснований :

Если по условиям даны длины всех сторон, то можно рассмотреть пример расчета площади трапеции через эти данные:

Допустим, дана трапеция с основаниями a = 3 см, b = 7 см и боковыми сторонами c = 5 см, d = 4 см. найдем площадь фигуры:

Площадь равнобокой трапеции

Отдельным случаем считается равнобокая или, как ее еще называют, равнобедренная трапеция.
Особым случаем является и нахождение площади равнобедренной (равнобокой) трапеции. Формула выводится различными способами – через диагонали, через углы, прилегающие к основанию и радиус вписанной окружности.
Если по условиям задана длина диагоналей и известен угол между ними можно использовать такую формулу:

Помните, что диагонали равнобокой трапеции равны между собой!

То есть, зная одно их оснований, сторону и угол, можно легко рассчитать площадь.

Площадь криволинейной трапеции

Отдельный случай – это криволинейная трапеция . Она располагается на оси координат и ограничивается графиком непрерывной положительной функции.

Ее основание располагает на оси X и ограничивается двумя точками:
Интегралы помогают вычислить площадь криволинейной трапеции.
Формула прописывается так:

Рассмотрим пример расчета площади криволинейной трапеции. Формула требует определенных знаний для работы с определенными интегралами. Для начала разберем значение определенного интеграла:

Здесь F(a) – это значение первообразной функции f(x) в точке a , F(b) – значение этой же функции f(x) в точке b .

Теперь решим задачу. На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная функцией . Функция
Нам необходимо найти площадь выделенной фигуры, которая является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком , справа прямой x ={-8}, слева прямой x ={-10} и осью OX снизу.
Площадь этой фигуры мы будем рассчитывать по формуле:

Условиями задачи нам задана функция. По ней мы найдем значения первообразной в каждой из наших точек:

Теперь
Ответ: площадь заданной криволинейной трапеции равняется 4.

Ничего сложного в расчетах этого значения нет. Важна только предельная внимательность в вычислениях.

Практика прошлогодних ЕГЭ и ГИА показывает, что задачи по геометрии вызывают сложности у многих школьников. Вы легко справитесь с ними, если заучите все нужные формулы и попрактикуетесь в решении задач.

В этой статье вы увидите формулы нахождения площади трапеции, а также примеры задач с решениями. Такие же могут попасться вам в КИМах на аттестационных экзаменах или на олимпиадах. Поэтому отнеситесь к ним внимательно.

Что нужно знать про трапецию?

Для начала вспомним, что трапецией называется четырехугольник, у которого две противоположные стороны, их еще называют основаниями, параллельны, а две другие – нет.

В трапеции также может быть опущена высота (перпендикуляр к основанию). Проведена средняя линия – это прямая, которая параллельна основаниям и равна половине их суммы. А также диагонали, которые могут пересекаться, образуя острые и тупые углы. Или, в отдельных случаях, под прямым углом. Кроме того, если трапеция равнобедренная, в нее можно вписать окружность. И описать окружность около нее.

Формулы площади трапеции

Для начала рассмотрим стандартные формулы нахождения площади трапеции. Способы вычислить площадь равнобедренной и криволинейной трапеций рассмотрим ниже.

Итак, представьте, что у вас есть трапеция с основаниями a и b, в которой к большему основанию опущена высота h. Вычислить площадь фигуры в таком случае проще простого. Надо всего лишь разделить на два сумму длин оснований и умножить то, что получится, на высоту: S = 1/2(a + b)*h .

Возьмем другой случай: предположим, в трапеции, кроме высоты, проведена средняя линия m. Нам известна формула нахождения длины средней линии: m = 1/2(a + b). Поэтому с полным правом можем упростить формулу площади трапеции до следующего вида: S = m* h . Другими словами, чтобы найти площадь трапеции, надо умножить среднюю линию на высоту.

Рассмотрим еще один вариант: в трапеции проведены диагонали d 1 и d 2 , которые пересекаются не под прямым углом α. Чтобы вычислить площадь такой трапеции, вам нужно разделить на два произведение диагоналей и умножить то, что получится, на sin угла между ними: S= 1/2d 1 d 2 *sinα .

Теперь рассмотрим формулу для нахождения площади трапеции, если о ней неизвестно ничего, кроме длин всех ее сторон: a, b, c и d. Это громоздкая и сложная формула, но вам будет полезно запомнить на всякий случай и ее: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2 .

Кстати, приведенные выше примеры верны и для того случая, когда вам потребуется формула площади прямоугольной трапеции. Эта трапеция, боковая сторона которой примыкает к основаниям под прямым углом.

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной. Мы рассмотрим несколько вариантов формулы площади равнобедренной трапеции.

Первый вариант: для случая, когда внутрь равнобедренной трапеции вписана окружность с радиусом r, а боковая сторона и большее основание образуют острый угол α. Окружность может быть вписана в трапецию при условии, что сумма длин ее оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь равнобедренной трапеции вычисляется так: умножьте квадрат радиуса вписанной окружности на четыре и разделите все это на sinα: S = 4r 2 /sinα . Еще одна формула площади является частным случаем для того варианта, когда угол между большим основанием и боковой стороной равен 30 0: S = 8r 2 .

Второй вариант: на этот раз возьмем равнобедренную трапецию, в которой вдобавок проведены диагонали d 1 и d 2 , а также высота h. Если диагонали трапеции взаимно перпендикулярны, высота составляет половину суммы оснований: h = 1/2(a + b). Зная это, легко преобразовать уже знакомую вам формулу площади трапеции в такой вид: S = h 2 .

Формула площади криволинейной трапеции

Начнем с того, что разберемся: что такое криволинейная трапеция. Представьте себе ось координат и график непрерывной и неотрицательной функции f, которая не меняет знака в пределах заданного отрезка на оси x. Криволинейную трапецию образуют график функции у = f(x) – вверху, ось х – внизу (отрезок ), а по бокам – прямые, проведенные между точками a и b и графиком функции.

Вычислить площадь такой нестандартной фигуры нельзя приведенными выше способами. Тут нужно применить математический анализ и использовать интеграл. А именно: формулу Ньютона-Лейбница – S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a) . В этой формуле F – первообразная нашей функции на выбранном отрезке . И площадь криволинейной трапеции соответствует приращению первообразной на заданном отрезке.

Примеры задач

Чтобы все эти формулы лучше улеглись в голове, вот вам несколько примеров задач на нахождение площади трапеции. Лучше всего будет, если вы сперва попробуете решить задачи сами, и только потом сверите полученный ответ с готовым решением.

Задача №1: Дана трапеция. Ее большее основание – 11 см, меньшее – 4см. В трапеции проведены диагонали, одна длиной 12 см, вторая – 9 см.

Решение: Постройте трапецию АМРС. Проведите прямую РХ через вершину Р так, чтобы она оказалась параллельной диагонали МС и пересекла прямую АС в точке Х. Получится треугольник АРХ.

Мы рассмотрим две полученных в результате этих манипуляций фигуры: треугольник АРХ и параллелограмм СМРХ.

Благодаря параллелограмму мы узнаем, что РХ = МС = 12 см и СХ = МР = 4см. Откуда можем вычислить сторону АХ треугольника АРХ: АХ = АС + СХ = 11 + 4 = 15 см.

Мы также можем доказать, что треугольник АРХ – прямоугольный (для этого примените теорему Пифагора – АХ 2 = АР 2 + РХ 2). И высчитать его площадь: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 см 2 .

Дальше вам потребуется доказать, что треугольники АМР и РСХ являются равновеликими. Основанием послужит равенство сторон МР и СХ (уже доказанное выше). А также высоты, которые вы опустите на эти стороны – они равны высоте трапеции АМРС.

Все это позволит вам утверждать, что S AMPC = S APX = 54 см 2 .

Задача №2: Дана трапеция КРМС. На ее боковых сторонах расположены точки О и Е, при этом ОЕ и КС параллельны. Также известно, что площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ находятся в соотношении 1:5. РМ = а и КС = b. Требуется найти ОЕ.

Решение: Проведите через точку М прямую, параллельную РК, и точку ее пересечения с ОЕ обозначьте Т. А – точка пересечения прямой, проведенной через точку Е параллельно РК, с основанием КС.

Введем еще одно обозначение – ОЕ = х. А также высоту h 1 для треугольника ТМЕ и высоту h 2 для треугольника АЕС (вы можете самостоятельно доказать подобие этих треугольников).

Будем считать, что b > а. Площади трапеций ОРМЕ и ОКСЕ относятся как 1:5, что дает нам право составить такое уравнение: (х + а) * h 1 = 1/5(b + х) * h 2 . Преобразуем и получим: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + х)/(х + а)).

Раз треугольники ТМЕ и АЕС подобные, имеем h 1 / h 2 = (х – а)/(b – х). Объединим обе записи и получим: (х – а)/(b – х) = 1/5 * ((b + х)/(х + а)) ↔ 5(х – а)(х + а) = (b + х)(b – х) ↔ 5(х 2 – а 2) = (b 2 – х 2) ↔ 6х 2 = b 2 + 5а 2 ↔ х = √(5а 2 + b 2)/6.

Таким образом, ОЕ = х = √(5а 2 + b 2)/6.

Заключение

Геометрия не самая легкая из наук, но вы наверняка сможете справиться с экзаменационными заданиями. Достаточно проявить немного усидчивости при подготовке. И, конечно, запомнить все нужные формулы.

Мы постарались собрать в одном месте все формулы вычисления площади трапеции, чтобы вы могли воспользоваться ими, когда будете готовиться к экзаменам и повторять материал.

Обязательно расскажите про эту статью одноклассникам и друзьям в социальных сетях. Пускай хороших оценок за ЕГЭ и ГИА будет больше!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Многоликая трапеция… Она может быть произвольной, равнобедренной или прямоугольной. И в каждом случае нужно знать, как найти площадь трапеции. Конечно, проще всего запомнить основные формулы. Но иногда проще воспользоваться той, которая выведена с учетом всех особенностей конкретной геометрической фигуры.

Несколько слов о трапеции и ее элементах

Любой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, можно назвать трапецией. В общем случае они не равны и называются основаниями. Большее из них — нижнее, а другое — верхнее.

Две другие стороны оказываются боковыми. У произвольной трапеции они имеют различную длину. Если же они равны, то фигура становится равнобедренной.

Если вдруг угол между любой боковой стороной и основанием окажется равным 90 градусам, то трапеция является прямоугольной.

Все эти особенности могут помочь в решении задачи о том, как найти площадь трапеции.

Среди элементов фигуры, которые могут оказаться незаменимыми в решении задач, можно выделить такие:

• высота, то есть отрезок, перпендикулярный обоим основаниям;
• средняя линия, которая имеет своими концами середины боковых сторон.

По какой формуле вычислить площадь, если известны основания и высота?

Это выражение дается основным, потому что чаще всего можно узнать эти величины, даже когда они не даны явно. Итак, чтобы понять, как найти площадь трапеции, потребуется сложить оба основания и разделить их на два. Получившееся значение потом еще умножить на значение высоты.

Если обозначить основания буквами а 1 и а 2 , высоту — н, то формула для площади будет выглядеть так:

S = ((а 1 + а 2)/2)*н.

Формула, по которой вычисляется площадь, если даны ее высота и средняя линия

Если посмотреть внимательно на предыдущую формулу, то легко заметить, что в ней явно присутствует значение средней линии. А именно, сумма оснований, деленная на два. Пусть средняя линия будет обозначена буквой l, тогда формула для площади станет такой:

S = l * н.

Возможность найти площадь по диагоналям

Этот способ поможет, если известен угол, образованный ими. Предположим, что диагонали обозначены буквами д 1 и д 2 , а углы между ними — α и β. Тогда формула того, как найти площадь трапеции, будет записана следующим образом:

S = ((д 1 * д 2)/2) * sin α.

В этом выражении можно легко заменить α на β. Результат не изменится.

Как узнать площадь, если известны все стороны фигуры?

Бывают и такие ситуации, когда в этой фигуре известны именно стороны. Эта формула получается громоздкой и ее сложно запомнить. Но возможно. Пусть боковые стороны имеют обозначение: в 1 и в 2 , основание а 1 больше, чем а 2 . Тогда формула площади примет такой вид:

S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ {в 1 2 — [(а 1 — а 2) 2 + в 1 2 — в 2 2) / (2 * (а 1 — а 2))] 2 }.

Способы вычисления площади равнобедренной трапеции

Первый связан с тем, что в нее можно вписать окружность. И, зная ее радиус (он обозначается буквой r), а также угол при основании — γ, можно воспользоваться такой формулой:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Последняя общая формула, которая основана на знании всех сторон фигуры, существенно упростится за счет того, что боковые стороны имеют одинаковое значение:

S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ {в 2 — [(а 1 — а 2) 2 / (2 * (а 1 — а 2))] 2 }.

Методы вычисления площади прямоугольной трапеции

Понятно, что подойдет любой из перечисленных для произвольной фигуры. Но иногда полезно знать об одной особенности такой трапеции. Она заключается в том, что разность квадратов длин диагоналей равна разности, составленной из квадратов оснований.

Часто формулы для трапеции забываются, в то время как выражения для площадей прямоугольника и треугольника помнятся. Тогда можно применить простой способ. Разделить трапецию на две фигуры, если она прямоугольная, или три. Одна точно будет прямоугольником, а вторая, или две оставшиеся, треугольниками. После вычисления площадей этих фигур останется их только сложить.

Это достаточно простой способ того, как найти площадь прямоугольной трапеции.

Как быть, если известны координаты вершин трапеции?

В этом случае потребуется воспользоваться выражением, которое позволяет определить расстояние между точками. Его можно применить три раза: для того, чтобы узнать оба основания и одну высоту. А потом просто применить первую формулу, которая описана немного выше.

Для иллюстрации такого метода можно привести такой пример. Даны вершины с координатами А(5; 7), В(8; 7), С(10; 1), Д(1; 1). Нужно узнать площадь фигуры.

До того как найти площадь трапеции, по координатам нужно вычислить длины оснований. Потребуется такая формула:

длина отрезка = √{(разность первых координат точек) 2 + (разность вторых координат точек) 2 }.

Верхнее основание обозначено АВ, значит, его длина будет равна √{(8-5) 2 + (7-7) 2 } = √9 = 3. Нижнее — СД = √ {(10-1) 2 + (1-1) 2 } = √81 = 9.

Теперь нужно провести высоту из вершины на основание. Пусть ее начало будет в точке А. Конец отрезка окажется на нижнем основании в точке с координатами (5; 1), пусть это будет точка Н. Длина отрезка АН получится равной √{(5-5) 2 + (7-1) 2 } = √36 = 6.

Осталось только подставить получавшиеся значения в формулу площади трапеции:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Задача решена без единиц измерения, потому что не указан масштаб координатной сетки. Он может быть как миллиметр, так и метр.

Примеры задач

№ 1. Условие. Известен угол между диагоналями произвольной трапеции, он равен 30 градусам. Меньшая диагональ имеет значение 3 дм, а вторая больше ее в 2 раза. Необходимо посчитать площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно узнать длину второй диагонали, потому что без этого не удастся сосчитать ответ. Вычислить ее несложно, 3 * 2 = 6 (дм).

Теперь нужно воспользоваться подходящей формулой для площади:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм 2). Задача решена.

Ответ: площадь трапеции равна 4,5 дм 2 .

№ 2. Условие. В трапеции АВСД основаниями являются отрезки АД и ВС. Точка Е — середина стороны СД. Из нее проведен перпендикуляр к прямой АВ, конец этого отрезка обозначен буквой Н. Известно, что длины АВ и ЕН равны соответственно 5 и 4 см. Нужно вычислить площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно сделать чертеж. Поскольку значение перпендикуляра меньше стороны, к которой он проведен, то трапеция будет немного вытянутой вверх. Так ЕН окажется внутри фигуры.

Чтобы отчетливо увидеть ход решения задачи, потребуется выполнить дополнительное построение. А именно, провести прямую, которая будет параллельна стороне АВ. Точки пересечения этой прямой с АД — Р, а с продолжением ВС — Х. Получившаяся фигура ВХРА — параллелограмм. Причем его площадь равна искомой. Это связано с тем, что треугольники, которые получились при дополнительном построении, равны. Это следует из равенства стороны и двух прилежащих к ней углов, один — вертикальный, другой — накрест лежащий.

Найти площадь параллелограмма можно по формуле, которая содержит произведение стороны и высоты, опущенной на нее.

Таким образом, площадь трапеции равна 5 * 4 = 20 см 2 .

Ответ: S = 20 см 2 .

№ 3. Условие. Элементы равнобедренной трапеции имеют такие значения: нижнее основание — 14 см, верхнее — 4 см, острый угол — 45º. Нужно вычислить ее площадь.

Решение. Пусть меньшее основание имеет обозначение ВС. Высота, проведенная из точки В, будет называться ВН. Поскольку угол 45º, то треугольник АВН получится прямоугольный и равнобедренный. Значит, АН=ВН. Причем АН очень легко найти. Она равна половине разности оснований. То есть (14 — 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).

Основания известны, высота сосчитана. Можно пользоваться первой формулой, которая здесь была рассмотрена для произвольной трапеции.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2).

Ответ: Искомая площадь равна 45 см 2 .

№ 4. Условие. Имеется произвольная трапеция АВСД. На ее боковых сторонах взяты точки О и Е, так что ОЕ параллельна основанию АД. Площадь трапеции АОЕД в пять раз больше, чем у ОВСЕ. Вычислить значение ОЕ, если известны длины оснований.

Решение. Потребуется провести две параллельные АВ прямые: первую через точку С, ее пересечение с ОЕ — точка Т; вторую через Е и точкой пересечения с АД будет М.

Пусть неизвестная ОЕ=х. Высота меньшей трапеции ОВСЕ — н 1 , большей АОЕД — н 2 .

Поскольку площади этих двух трапеций соотносятся как 1 к 5, то можно записать такое равенство:

(х + а 2) * н 1 = 1/5 (х + а 1) * н 2

н 1 /н 2 = (х + а 1) / (5(х + а 2)).

Высоты и стороны треугольников пропорциональны по построению. Поэтому можно записать еще одно равенство:

н 1 /н 2 = (х — а 2) / (а 1 — х).

В двух последних записях в левой части стоят равные величины, значит, можно написать, что (х + а 1) / (5(х + а 2)) равно (х — а 2) / (а 1 — х).

Здесь требуется провести ряд преобразований. Сначала перемножить крест накрест. Появятся скобки, которые укажут на разность квадратов, после применения этой формулы получится короткое уравнение.

В нем нужно раскрыть скобки и перенести все слагаемые с неизвестной «х» в левую сторону, а потом извлечь квадратный корень.

Ответ : х = √ {(а 1 2 + 5 а 2 2) / 6}.

Расчет площади трапеции онлайн. Площадь трапеции

И . Теперь можно приступить к рассмотрению вопроса как найти площадь трапеции. Данная задача в быту возникает очень редко, но иногда оказывается необходимой, к примеру, чтобы найти площадь комнаты в форме трапеции, которые все чаще применяют при строительстве современных квартир, или в дизайн-проектах по ремонту.

Трапеция — это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, два из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции. Два других отрезка называются сторонами трапеции. Кроме того, в дальнейшем нам пригодится еще одно определение. Это средняя линия трапеции, которая представляет собой отрезок, соединяющий середины боковых сторон и высота трапеции, которая равна расстоянию между основаниями.
Как и у треугольников, у трапеция есть частные виды в виде равнобедренной (равнобокой) трапеции, у которой длина боковых сторон одинаковы и прямоугольной трапеции, у которой одна из сторон образует с основаниями прямой угол.

Трапеции обладают некоторыми интересными свойствами:

1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.
   
2. У равнобедренных трапеций боковые стороны и углы которые они образуют с основаниями равны.
   
3. Середины диагоналей трапеции и точка пересечения ее диагоналей находятся на одной прямой.
   
4. Если сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований, то в нее можно вписать круг
   
5. Если сумма углов, образованных сторонами трапеции у любого ее основания равна 90, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна их полуразности.
   
6. Равнобедренную трапецию можно описать окружностью. И наоборот. Если в трапеция вписывается в окружность, значит она равнобедренная.
   
7. Отрезок, проходящий через середины оснований равнобедренной трапеции будет перпендикулярен ее основаниям и представляет собой ось симетрии.
   

Как найти площадь трапеции .

Площадь трапеции будет равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту. В виде формулы это записывается в виде выражения:

где S-площадь трапеции, a,b-длина каждого из оснований трапеции, h-высота трапеции.

Понять и запомнить эту формулу можно следующим образом. Как следует из рисунка ниже трапецию с использованием средней линии можно преобразовать в прямоугольник, длина которого и будет равна полусумме оснований.

Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один, или два треугольника и если вам так проще, то найти площадь трапеции, как сумму площадей составляющих ее фигур.

Есть еще одна простая формула для подсчета ее площади. Согласно ней площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту трапеции и записывается в виде: S = m*h, где S-площадь, m-длина средней линии, h-высота трапеции. Данная формула больше подходит для задач по математике, чем для бытовых задач, так как в реальных условиях вам не будет известна длина средней линии без предварительных расчетов. А известны вам будут только длины оснований и боковых сторон.

В этом случае площадь трапеции может быть найдена по формуле:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

где S-площадь, a,b-основания, c,d-боковые стороны трапеции.

Существуют еще несколько способов того, как найти площади трапеции. Но, они примерно также неудобны как и последняя формула, а значит не имеет смысла на них останавливаться. Поэтому, рекомендуем вам пользоваться первой формулой из статьи и желаем всегда получать точные результаты.

Существует множество способов найти площадь трапеции. Обычно репетитор по математике владеет несколькими приемами ее вычисления, остановимся на них подробнее:
1) , где AD и BC основания, а BH-высота трапеции. Доказательство: проведем диагональ BD и выразим площади треугольников ABD и CDB через полупроизведение их оснований на высоту:

, где DP – внешняя высота в

Сложим почленно эти равенства и учитывая, что высоты BH и DP равны, получим:

Вынесем за скобку

Что и требовалось доказать.

Следствие из формулы площади трапеции:
Так как полусумма оснований равна MN — средней линии трапеции, то

2) Применение общей формулы площади четырехугольника .
Площадь четырехугольника равна половине произведения диагоналей, умноженной на синус угла между ними
Для доказательства достаточно разбить трапецию на 4 треугольника, выразить площадь каждого через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними» (в качестве угла берется , сложить получившиеся выражения, вынести за скобку и раскладываю эту скобку на множители методом группировки получить ее равенство выражению . Отсюда

3) Метод сдвига диагонали
Это мое название. В школьных учебниках репетитор по математике не встретит такого заголовка. Описание приема можно найти только в дополнительных учебных пособиях в качестве примера решения какой-нибудь задачи. Отмечу, что большинство интересных и полезных фактов планиметрии репетиторы по математике открывают ученикам в процессе выполнения практической работы. Это крайне неоптимально, ибо школьнику нужно выделять их в отдельные теоремы и называть «громкими именами». Одно из таких – «сдвиг диагонали». О чем идет речь? Проведем через вершину B прямую параллельную к АС до пересечения с нижним основанием в точке E. В таком случае четырехугольник EBCA будет параллелограммом (по определению) и поэтому BC=EA и EB=AC. Нам сейчас важно первое равенство. Имеем:

Заметим, что треугольник BED, площадь которого равна площади трапеции, имеет еще несколько замечательных свойств:
1) Его площадь равна площади трапеции
2) Его равнобедренность происходит одновременно с равнобедренность самой трапеции
3) Верхний его угол при вершине B равен углу между диагоналями трапеции (что очень часто используется в задачах)
4) Его медиана BK равна расстоянию QS между серединами оснований трапеции. С применением этого свойства я недавно столкнулся при подготовке ученика на мехмат МГУ по учебнику Ткачука, вариант 1973 года (задача приводится внизу страницы).

Спецприемы репетитора по математике.

Иногда я предлагаю задачи на весьма хитрый путь нахождении я площади трапеции. Я отношу его к спецприемам ибо на практике репетитор их использует крайне редко. Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике только в части B, можно про них и не читать. Для остальных рассказываю дальше. Оказывается площадь трапеции в два раза больше площади треугольника с вершинами в концах одной боковой стороны и серединой другой, то есть треугольника ABS на рисунке:
Доказательство: проведем высоты SM и SN в треугольниках BCS и ADS и выразим сумму площадей этих треугольников:

Так как точка S – середина CD, то (докажите это сами).Найдем cумму площадей треугольников:

Так как эта сумма оказалась равной половине площади трапеции, то — вторая ее половина. Ч.т.д.

В копилку спецприемов репетитора я бы отнес форму вычисления площади равнобедренной трапеции по ее сторонам: где p – полупериметр трапеции. Доказательство я приводить не буду. Иначе ваш репетитор по математике останется без работы:). Приходите на занятия!

Задачи на площадь трапеции:

Замечание репетитора по математике : Нижеприведенный список не является методическим сопровождением к теме, это только небольшая подборка интересных задач на вышерассмотренные приемы.

1) Нижнее основание равнобедренной трапеции равно 13, а верхнее равно 5. Найдите площадь трапеции, если ее диагональ перпендикулярна боковой стороне.
2) Найдите площадь трапеции, если ее основания равны 2см и 5см, а боковые стороны 2см и 3см.
3) В равнобокой трапеции большее основание равно 11, боковая сторона равна 5, а диагональ равна Найти площадь трапеции.
4) Диагональ равнобокой трапеции равна 5, а средняя линия равна 4. Найти площадь.
5) В равнобедренной трапеции основания равны 12 и 20, а диагонали взаимно перпендикулярны. Вычислить площадь трапеции
6) Диагональ равнобокой трапеции составляет с ее нижним основанием угол . Найти площадь трапеции, если ее высота равна 6см.
7) Площадь трапеции равна 20, а одна из ее боковых сторон равна 4 см. Найдите расстояние до нее от середины противоположной боковой стороны.
8) Диагональ равнобокой трапеции делит ее на треугольники с площадями 6 и 14. Найти высоту, если боковая сторона равна 4.
9) В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований равен 2. Найти площадь трапеции (Мехмат МГУ, 1970г).

Я выбирал не самые сложные задачи (не стоит пугаться мехмата!) с расчетом на возможность их самостоятельного решения. Решайте на здоровье! Если вам нужна подготовка к ЕГЭ по математике, то без участия в этом процессе формулы площади трапеции могут возникнуть серьезные проблемы даже с задачей B6 и тем более с C4. Не запускайте тему и в случае каких-либо затруднений обращайтесь за помощью. Репетитор по математике всегда рад вам помочь.

Колпаков А.Н.
Репетитор по математике в Москве , подготовка к ЕГЭ в Строгино .

В математике известно несколько видов четырехугольников: квадрат, прямоугольник, ромб, параллелограмм. Среди них и трапеция — вид выпуклого четырехугольника, у которого две стороны параллельны, а две другие нет. Параллельные противоположные стороны называются основаниями, а две другие – боковыми сторонами трапеции. Отрезок, который соединяет середины боковых сторон, называется средней линией. Существует несколько видов трапеций: равнобедренная, прямоугольная, криволинейная. Для каждого вида трапеции есть формулы для нахождения площади.

Площадь трапеции

Чтобы найти площадь трапеции, нужно знать длину ее оснований и высоту. Высота трапеции — это отрезок, перпендикулярный основаниям. Пусть верхнее основание — a, нижнее основание — b, а высота — h. Тогда вычислить площадь S можно по формуле:

S = ½ * (a+b) * h

т.е. взять полусумму оснований, умноженную на высоту.

Также удастся вычислить площадь трапеции, если известно значение высоты и средней линии. Обозначим среднюю линию — m. Тогда

Решим задачу посложнее: известны длины четырех сторон трапеции — a, b, c, d. Тогда площадь отыщется по формуле:

Если известны длины диагоналей и угол между ними, то площадь ищется так:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

где d с индексами 1 и 2 — диагонали. В данной формуле в расчете приводится синус угла.

При известных длинах оснований a и b и двух углах при нижнем основании площадь вычисляется так:

S = ½ * (b2 — a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Площадь равнобедренной трапеции

Равнобедренная трапеция — это частный случай трапеции. Ее отличие в том, что такая трапеция — это выпуклый четырехугольник с осью симметрии, проходящей через середины двух противоположных сторон. Ее боковые стороны равны.

Найти площадь равнобедренной трапеции можно несколькими способами.

• Через длины трех сторон. В этом случае длины боковых сторон будут совпадать, поэтому обозначены одной величиной — с, а и b — длины оснований:

• Если известна длина верхнего основания, боковой стороны и величина угла при нижнем основании, то площадь вычисляется так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

где а — верхнее основание, с — боковая сторона.

• Если вместо верхнего основания известна длина нижнего – b, площадь рассчитывается по формуле:

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Если когда известны два основания и угол при нижнем основании, площадь вычисляется через тангенс угла:

S = ½ * (b2 – a2) * tg α

• Также площадь рассчитывается через диагонали и угол между ними. В этом случае диагонали по длине равны, поэтому каждую обозначаем буквой d без индексов:

S = ½ * d2 * sin α

• Вычислим площадь трапеции, зная длину боковой стороны, средней линии и величину угла при нижнем основании.

Пусть боковая сторона — с, средняя линия — m, угол — a, тогда:

S = m * c * sin α

Иногда в равностороннюю трапецию можно вписать окружность, радиус которой будет — r.

Известно, что в любую трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований равна сумме длин ее боковых сторон. Тогда площадь найдется через радиус вписанной окружности и угол при нижнем основании:

S = 4r2 / sin α

Такой же расчет производится и через диаметр D вписанной окружности (кстати, он совпадает с высотой трапеции):

Зная основания и угол, площадь равнобедренной трапеции вычисляется так:

S = a * b / sin α

(эта и последующие формулы верны только для трапеций с вписанной окружностью).

Через основания и радиус окружности площадь ищется так:

Если известны только основания, то площадь считается по формуле:

Через основания и боковую линию площадь трапеции с вписанным кругом и через основания и среднюю линию — m вычисляется так:

Площадь прямоугольной трапеции

Прямоугольной называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям. В этом случае боковая сторона по длине совпадает с высотой трапеции.

Прямоугольная трапеция представляет из себя квадрат и треугольник. Найдя площадь каждой из фигур, сложите полученные результаты и получите общую площадь фигуры.

Также для вычисления площади прямоугольной трапеции подходят общие формулы для расчета площади трапеции.

• Если известны длины оснований и высота (или перпендикулярная боковая сторона), то площадь рассчитывается по формуле:

S = (a + b) * h / 2

В качестве h (высоты) может выступать боковая сторона с. Тогда формула выглядит так:

S = (a + b) * c / 2

• Другой способ рассчитать площадь — перемножить длину средней линии на высоту:

или на длину боковой перпендикулярной стороны:

• Следующий способ вычисления — через половину произведения диагоналей и синус угла между ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Если диагонали перпендикулярны, то формула упрощается до:

S = ½ * d1 * d2

• Еще один способ вычисления — через полупериметр (сумма длин двух противоположных сторон) и радиус вписанной окружности.

Эта формула действительна для оснований. Если брать длины боковых сторон, то одна из них будет равна удвоенному радиусу. Формула будет выглядеть так:

S = (2r + c) * r

• Если в трапецию вписана окружность, то площадь вычисляется так же:

где m — длина средней линии.

Площадь криволинейной трапеции

Криволинейная трапеция представляет из себя плоскую фигуру, ограниченную графиком неотрицательной непрерывной функции y = f(x), определенной на отрезке , осью абсцисс и прямыми x = a, x = b. По сути, две ее стороны параллельны друг другу (основания), третья сторона перпендикулярна основаниям, а четвертая представляет из себя кривую, соответствующую графику функции.

Площадь криволинейной трапеции ищут через интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

Так вычисляются площади различных видов трапеций. Но, помимо свойств сторон, трапеции обладают одинаковыми свойствами углов. Как у всех существующих четырехугольников, сумма внутренних углов трапеции равна 360 градусов. А сумма углов, прилежащих к боковой стороне, — 180 градусам.

Этот калькулятор рассчитал 2192 задачи на тему «Площадь трапеции»

ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ

Выберете формулу вычисления площади трапеции, которую Вы планируете применить для решения поставленной перед Вами задачи:

Общая теория для вычисления площади трапеции.

Трапеция — это плоская фигура, состоящая из четырех точек, три из которых не лежат на одной прямой, и четырех отрезков (сторон), соединяющих попарно эти четыре точки, у которой две противоположные стороны параллельны (лежат на параллельных прямых), а две другие не параллельны.

Точки называются вершинами трапеции и обозначаются заглавными латинскими буквами.

Отрезки называются сторонами трапеции и обозначаются парой заглавных латинских букв соответственно вершинам, которые отрезки соединяют.

Две параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции .

Две не параллельные стороны трапеции называются боковыми сторонами трапеции .

Рисунок №1: Трапеция ABCD

На рисунке №1 представлена трапеция ABCD с вершинами A,B ,C, D и сторонами AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC — основания трапеции ABCD.

AD, BC — боковые стороны трапеции ABCD.

Угол, образованный лучами AB и AD, называется углом при вершине A. Обозначается он как ÐA или ÐBAD, или ÐDAB.

Угол, образованный лучами BA и BC, называется углом при вершине B. Обозначается он как ÐB или ÐABC, или ÐCBA.

Угол, образованный лучами CB и CD, называется углом при вершине C. Обозначается он как ÐC или ÐDCB, или ÐBCD.

Угол, образованный лучами AD и CD, называется углом при вершине D. Обозначается он как ÐD или ÐADC, или ÐCDA.

Рисунок №2: Трапеция ABCD

На рисунке №2 отрезок MN, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме. То есть,.

Рисунок №3: Равнобедренная трапеция ABCD

На Рисунке №3, AD=BC.

Трапеция называется равнобедренной (равнобокой) , если ее боковые стороны равны.

Рисунок №4: Прямоугольная трапеция ABCD

На Рисунке №4 угол D — прямой (равен 90 о).

Трапеция называется прямоугольной, если угол при боковой стороне прямой.

Площадью S плоской фигуры, к которым относится и трапеция, называется ограниченное замкнутое пространство на плоскости. Площадь плоской фигуры показывает величину этой фигуры.

Площадь обладает несколькими свойствами:

1. Она не может быть отрицательной.

2. Если дана некоторая замкнутая область на плоскости, которая составлена из нескольких фигур, не пересекающихся друг с другом (то есть, фигуры не имеют общих внутренних точек, но вполне могут касаться друг друга), то площадь такой области равна сумме площадей составляющих ее фигур.

3. Если две фигуры равны, то и площади их равны.

4. Площадь квадрата, который построен на единичном отрезке, равна единице.

За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков.

При решении задач часто используются следующие формулы вычисления площади трапеции:

1. Площадь трапеции равна полусумме ее оснований умноженной на высоту:

2. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту:

3. При известных длинах оснований и боковых сторон трапеции её площадь можно вычислить по формуле:

4. Возможно вычислить площадь равнобедренной трапеции при известной длине радиуса вписанной в трапецию окружности и известном значении угла при основании по следующей формуле:

Пример 1: Вычислить площадь трапеции с основаниями a=7, b=3 и высотой h=15.

Решение:

Ответ:

Пример 2: Найти сторону основания трапеции с площадью S=35 см 2 , высотой h=7см и вторым основанием b = 2 см.

Решение:

Для нахождения стороны основания трапеции воспользуемся формулой вычисления площади:

Выразим из данной формулы сторону основания трапеции:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 3: Найти высоту трапеции с площадью S=17 см 2 и основаниями a=30 см, b = 4 см.

Решение:

Для нахождения высоты трапеции воспользуемся формулой вычисления площади:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 4: Вычислить площадь трапеции с высотой h=24 и средней линией m=5.

Решение:

Для нахождения площади трапеции воспользуемся следующей формулой вычисления площади:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 5: Найти высоту трапеции с площадью S = 48 см 2 и средней линией m=6 см.

Решение:

Для нахождения высоты трапеции воспользуемся формулой вычисления площади трапеции:

Выразим из данной формулы высоту трапеции:

Таким образом, имеем следующее:

Ответ:

Пример 6: Найти среднюю линию трапеции с площадью S = 56 и высотой h=4.

Решение:

Для нахождения средней линии трапеции воспользуемся формулой вычисления площади трапеции:

Выразим из данной формулы среднюю линию трапеции:

Таким образом, имеем следующее.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две стороны параллельны между собой.

Они называются основаниями фигуры, оставшиеся – боковыми сторонами. Частными случаями фигуры считается параллелограмм. Также существует криволинейная трапеция, которая включает в себя график функции. Формулы площади трапеции включают в себя практически все ее элементы, и лучшее решение подбирается в зависимости от заданных величин.
Основные роли в трапеции отводятся высоте и средней линии. Средняя линия – это линия, соединяющая середины боковых сторон. Высота трапеции проводится под прямым углом от верхнего угла к основанию.
Площадь трапеции через высоту равняется произведению полусуммы длин оснований, умноженному на высоту:

Если по условиям известна средняя линия, то эта формула значительно упрощается, так как она равна полусумме длин оснований :

Если по условиям даны длины всех сторон, то можно рассмотреть пример расчета площади трапеции через эти данные:

Допустим, дана трапеция с основаниями a = 3 см, b = 7 см и боковыми сторонами c = 5 см, d = 4 см. найдем площадь фигуры:

Площадь равнобокой трапеции

Отдельным случаем считается равнобокая или, как ее еще называют, равнобедренная трапеция.
Особым случаем является и нахождение площади равнобедренной (равнобокой) трапеции. Формула выводится различными способами – через диагонали, через углы, прилегающие к основанию и радиус вписанной окружности.
Если по условиям задана длина диагоналей и известен угол между ними можно использовать такую формулу:

Помните, что диагонали равнобокой трапеции равны между собой!

То есть, зная одно их оснований, сторону и угол, можно легко рассчитать площадь.

Площадь криволинейной трапеции

Отдельный случай – это криволинейная трапеция . Она располагается на оси координат и ограничивается графиком непрерывной положительной функции.

Ее основание располагает на оси X и ограничивается двумя точками:
Интегралы помогают вычислить площадь криволинейной трапеции.
Формула прописывается так:

Рассмотрим пример расчета площади криволинейной трапеции. Формула требует определенных знаний для работы с определенными интегралами. Для начала разберем значение определенного интеграла:

Здесь F(a) – это значение первообразной функции f(x) в точке a , F(b) – значение этой же функции f(x) в точке b .

Теперь решим задачу. На рисунке изображена криволинейная трапеция, ограниченная функцией . Функция
Нам необходимо найти площадь выделенной фигуры, которая является криволинейной трапецией, ограниченной сверху графиком , справа прямой x ={-8}, слева прямой x ={-10} и осью OX снизу.
Площадь этой фигуры мы будем рассчитывать по формуле:

Условиями задачи нам задана функция. По ней мы найдем значения первообразной в каждой из наших точек:

Теперь
Ответ: площадь заданной криволинейной трапеции равняется 4.

Ничего сложного в расчетах этого значения нет. Важна только предельная внимательность в вычислениях.

Что особенного в ромбе, вписанном в окружность? — Ответы на все

Что особенного в ромбе, вписанном в окружность?

Когда ромб вписан в окружность, две его диагонали должны быть диаметрами окружности. Так как диаметры круга постоянны (2*радиус) — ромб, вписанный в круг, должен иметь равные диагонали, что возможно только тогда, когда указанный ромб является только квадратом.

Почему противолежащие углы вписанного четырехугольника равны 180?

‘Противоположные углы вписанного четырехугольника в сумме дают 180°’ («Вписанный четырехугольник» просто означает, что все четыре вершины находятся на окружности окружности.) Таким образом, два угла в ABC, отмеченные «u», равны (и аналогично для v, x и y в других треугольниках.)

Как узнать, является ли четырехугольник вписанным?

Если сумма двух противоположных углов смежна, то это вписанный четырехугольник.

Как доказать, что трапеция является вписанным четырехугольником?

Чтобы доказать, что любой данный четырехугольник вписанный, нам нужно доказать, что его противоположные углы являются дополнительными (т.е. они составляют 180˚). Нам нужно доказать, что ∠BAD + ∠BCD = 180 и ∠ADC + ∠ABC = 180˚.построив два перпендикуляра AF и BE из отрезка AB в отрезок CD.

Каковы противоположные углы вписанного четырехугольника?

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника составляет 180°.

Может ли вписанный в окружность четырехугольник быть полуокружностью?

Четырехугольник ABCD вписан в полуокружность со стороной AD в качестве диаметра. Если точка O является центром диаметра, определите угол DCO, если угол CAD равен 39°.

Что из следующего верно для вписанного четырехугольника?

Ответ.Вариант (С) правильный. четырехугольник.

Является ли трапеция вписанным четырехугольником?

Трапеция: Вписанным четырехугольником называется любая четырехсторонняя фигура, все четыре вершины которой лежат на окружности. Трапеция является циклической, только если она является равнобедренной трапецией. Противоположные углы вписанного четырехугольника являются дополнительными. Если сумма двух противоположных углов равна 180°, то это вписанный четырехугольник.

Что из следующего является циклическим?

Решение: Таким образом, H5P5O15 представляет собой циклический фосфат.…

Что такое вписанный четырехугольник и его свойства?

Вписанный четырехугольник – это любая четырехсторонняя геометрическая фигура, все вершины которой лежат на окружности. Все прямоугольники цикличны, но многие другие четырехугольники таковыми не являются. В вписанном четырехугольнике сумма каждой пары противолежащих углов равна 180 градусов.

Является ли прямоугольник вписанным четырехугольником?

Ясно, что сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 градусов. Следовательно, любой прямоугольник является вписанным четырехугольником.

Является ли равнобедренная трапеция вписанным четырехугольником?

Диагонали имеют одинаковую длину. Углы при основании имеют одинаковую величину. Отрезок, соединяющий середины параллельных сторон, перпендикулярен им. Противоположные углы являются дополнительными, что, в свою очередь, означает, что равнобедренные трапеции являются вписанными четырехугольниками.

Любой ли четырехугольник можно вписать в окружность?

Четырехугольник называется вписанным в окружность, если все четыре вершины четырехугольника лежат на окружности.Четырехугольник ниже является вписанным четырехугольником. Не все четырехугольники можно вписать в окружности, поэтому не все четырехугольники являются вписанными четырехугольниками.

Какой четырехугольник нельзя вписать в окружность?

1 Ответ. ромб, не являющийся квадратом, нельзя вписать в окружность. одна из причин заключается в том, что вы указали, что противоположные углы вписанного четырехугольника должны составлять в сумме 180 ∘, а для настоящего ромба это не так.

Можно ли вписать параллелограмм в окружность?

Если четырехугольник вписан в окружность, то противолежащие углы являются дополнительными.Если в окружность вписан параллелограмм, то он должен быть прямоугольником.

Всегда ли воздушный змей может быть вписан в круг?

Четырехугольник, который можно вписать в окружность, называется вписанным четырехугольником или вписанным четырехугольником. является вписанным четырехугольником и всегда может быть вписан в окружность. Некоторые специальные воздушные змеи могут быть вписаны в круг, но не все воздушные змеи могут быть вписаны в круг.

Может ли воздушный змей иметь 4 прямых угла?

Нет, потому что у ромба не обязательно должно быть 4 прямых угла.Воздушные змеи имеют две пары смежных сторон, которые равны.

Воздушный змей равен 360?

Воздушный змей — это многоугольник с четырьмя сторонами (четырехугольник). Сумма внутренних углов любого четырехугольника должна быть равна: градусы градусы. Кроме того, воздушные змеи должны иметь два набора эквивалентных смежных сторон и один набор конгруэнтных противоположных углов.

У воздушного змея 4 конгруэнтные стороны?

Чтобы быть воздушным змеем, четырехугольник должен иметь две пары сторон, равных друг другу и соприкасающихся.Получаются две пары смежных конгруэнтных сторон. У вашего воздушного змея может быть четыре конгруэнтных стороны. Ваш четырехугольник будет воздушным змеем (две пары смежных конгруэнтных сторон) и ромбом (четыре конгруэнтные стороны).

Является ли трапеция воздушным змеем?

Трапеция – это четырехугольник, две противоположные стороны которого параллельны друг другу. В общем случае четырехугольник с двумя парами равных смежных узлов (т. е. воздушный змей) не должен иметь пары параллельных противоположных сторон (как трапеция). Итак, воздушный змей может быть трапецией; это тот случай, когда это ромб.

Как узнать, что это воздушный змей?

Вот два метода:

1. Если две непересекающиеся пары последовательных сторон четырехугольника равны, то это воздушный змей (обратное определение воздушного змея).
2. Если одна из диагоналей четырехугольника является серединным перпендикуляром к другой, то это воздушный змей (обратное свойство).

Какие 4 свойства трапеции?

Трапеция обладает следующими свойствами:

• Как и у других четырехугольников, сумма всех четырех углов трапеции равна 360°
• Трапеция имеет две параллельные стороны и две непараллельные стороны.
• Диагонали правильной трапеции пересекаются пополам.

Что делает фигуру воздушным змеем?

В евклидовой геометрии воздушный змей — это четырехугольник, четыре стороны которого можно сгруппировать в две пары сторон одинаковой длины, смежных друг с другом.

Каковы пять свойств воздушного змея?

Противоположные стороны параллельны и равны по длине. Противоположные углы равны по величине. Смежные углы в сумме составляют 180 градусов. Он имеет 2 диагонали, которые делят друг друга пополам.

РЕШЕНО:Докажите: Любую равнобедренную трапецию можно вписать в окружность. (Подсказка: см. задачу 17.)

Стенограмма видео

в заданном вопросе мы должны поставить любую социалистическую планку. Можно вписать в круг. Так что представляет собой социалист? Кто противоположные стороны? Статья вроде своего ребенка близка к городам и явно не представляет. Большая сторона написана так, как будто сюда попали 80-е. Так что у нас вообще любой социалистический образ может быть вписан в обеденный круг.Итак, мы знаем, что свойство состоит в том, что любая многосторонность описывает круг. Тогда и только тогда, когда противолежащие углы смежны. Таким образом, это означает, что противоположный угол означает дополнительный угол Блаженства, угол моря человечества. И угол, будь этот угол, тоже был бы выигрышным. Итак, теперь мы должны доказать это расстояние. Нет, давайте сначала вычислим, что угол A плюс угол B. Это 1 80, потому что обе линии прямые и угол глубокий. Это ракурс CS по месту этой лодки. Какой-то альтернативный. Нет, мы можем доказать на этой неделе.Если мы сможем доказать этот угол, пчелы, равные углу, увидят этот. Итак, как мы можем выразить это, давайте посмотрим, увидят ли они это значение. Это равно B. Тогда и только тогда угол B. CBS оборудован для обработки. См. Итак, мы увидим через понимание того, что такое треугольник. Итак, это изолированный треугольник. У нас нет ничего, кроме расширения этого и не приносит твердого я Целест задушить, потому что я видел, что это задушить Келис. Мы знаем, что если сайты равны углам депозита статьи. Так вот А.B. Равно вы видите, тогда мы можем сказать, и будет легко противостоять посольству. Так что это свойство треугольника и шаг в сторону лодки. Ммм. Хорошо. Поэтому мы всегда помним об этом свойстве, если стороны, противоположные стороны равны, то противоположный угол также будет равен. Этот угол будет таким же, как этот угол, который мы утвердили, и будет равным углу, понимаете? А теперь подставим эти значения в эти два уравнения. Таким образом, угол заменяется углом см., мы можем сказать, угол, этот угол видит тщеславие и точно так же угол безгубый угол дней, когда он заменяет Дэвида Си и слышит, как аналогичным образом заменяет С на три.Итак, наконец, мы получили противоположный угол, когда мы разработали наши цели. Так что можно сказать окончательно. Итак, так как противоположные углы являются дополнительными, то мы можем сказать, что любая ssl трапеция может быть вписана в окружность. Спасибо за

вписанная трапеция.1. Даны диагональ и биссектриса угла. Отвечает Крис Фишер. Джи

вписанная трапеция. 1. Даны диагональ и биссектриса угла. Отвечает Крис Фишер. Дана полуокружность радиуса r, задача состоит в том, чтобы найти наибольшую трапецию, которую можно вписать в полуокружность с основанием, лежащим на диаметре. Площадь равнобедренной трапеции равна S, а высота равна половине одной из непараллельных сторон. 24.12.2021 2 комментария Вопрос 993: 2 комментария Anon Y Mous.Таким образом, единица измерения периметра четырехугольника равна единице его стороны, т.е. В трапецию вписана окружность. Определение площади Вписанный угол треугольника пересекает диаметр или полуокружность тогда и только тогда, когда угол прямой. Докажите, что ортоцентр XYZ является центром вписанной стороны 4ABC 4. 3: Вписанные четырехугольники Имя: _____ www. 6. Вокруг трапеции можно описать окружность, только если она равнобедренная. Опубликовано: 26 июня 2019 г. Рисунок 1. Вписанный угол.Дано 7. Вписанный угол а° составляет половину центрального угла 2а° (называемый углом в центре теоремы). Одна сторона трапеции равна диаметру окружности. А. Визуализация: Вам дан полукруг радиуса 1 (см. рисунок слева). Окончательный ответ: разность площадей квадрата, вписанного в полукруг, равна 173. Начните изучать геометрию: периметр и площадь. Дан равнобедренный треугольник. Найдите меру каждого пронумерованного угла, если m x∠ = +2 9 и m x∠ = +4 2 6. Свойство № 1) Углы, лежащие по одну сторону от катета, называются смежными углами и являются дополнительными; Оптимизация свойств — прямоугольник, вписанный в параболу.Задачи представлены в виде геометрических фигур в типе 1 и форматах фигур и слов в типе 2. Примеры: Входные данные: a = 10, b = 30 Выходные данные Комбинируя прямое и обратное утверждения, вы можете заключить, что трапецию можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная. Обозначим через M середину отрезка AB. Каждая сторона треугольника параллельна стороне трапеции. Измените пропорции трапеции и поверните ее уши. Даны биссектрисы угла. Эта точка соединяется с периферией по вертикали над центром в точке D.Таким образом, §16:(5 51. В трапеции углы на одном и том же катете (называемые смежными) являются дополнительными, т. е. в сумме составляют градусы. Вписанные и описанные многоугольники 144 * * * 144 § 8. Вычислите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами a, b и бесплатный калькулятор трапеций — пошаговый расчет площади, периметра, диагоналей, сторон и углов трапеций Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам максимальное удобство. радиус от 26.12.2014 — Это первая задача о круге, вписанном в трапецию.Парабола описывается уравнением y = −ax2 + b, где и a, и b положительны. Определение полукруга 3. Треугольник Трапеция Параллелограмм Пирамида Призма Цилиндр Конус. Определение трапеции 4. Если в окружность вписан четырехугольник, то произведение его диагоналей равно сумме произведения двух его пар 1/4 страницы. Более конкретный тип трапеции называется равнобедренной трапецией. Что такое XY? в. ДЕЙВ — равнобедренный 5. История. Вписанный в окружность многоугольник – это многоугольник, вершины которого размещены на окружности (рис.Вычислите площадь, ограниченную вписанными и описанными окружностями до квадрата с диагональю 8 м в длину. Две трапеции вписаны в одну окружность. Мы можем предположить, что окружность имеет радиус 1. В треугольнике X Y Z сторона XZ равна a На верхней панели показана конструкция, используемая в методе Ричмонда для создания стороны вписанного пятиугольника. Вписанная трапеция с одной стороной диаметром должна быть Доказательство: мы используем идеи из гипотезы о вписанных углах, чтобы понять, почему эта гипотеза верна. нет Трапеция, вписанная в окружность.Ifm

Иллюстративная математика

Задача

Предположим, мы определяем $\pi$ как длину окружности, диаметр которой равен 1:

Объясните, почему длина окружности радиуса $r \gt 0$ равна $2\pi r$.

Комментарий IM

Длина окружности радиуса $r$ равна $2\pi r$. Эта хорошо известная формула рассматривается здесь с точки зрения подобия. Важно отметить в этой задаче, что определение $\pi$ уже включает окружность круга, конкретный круг.Чтобы показать, что отношение длины окружности к диаметру не зависит от размера круга, требуется аргумент подобия. Предусмотрены два разных подхода: один использует тот факт, что все круги подобны, а второй использует подобные треугольники. Этот первый подход проще, но второй имеет то преимущество, что приводит к аргументу в пользу вычисления площади круга.

Учащиеся старших классов знают, что длина окружности радиуса $r$ равна $2\pi r$, поэтому цель этого задания — помочь им понять эту формулу с точки зрения подобия.Первое решение требует общего понимания сходства форм, а второе требует знания сходства, специфичного для треугольников.

Альтернативный аргумент с использованием тригонометрических соотношений дает формулу для длины окружности правильного многоугольника с $n \geq 3$ сторонами, вписанными в окружность. Правильный многоугольник с $n$ сторонами можно разложить на $n$ равнобедренных треугольников, проведя отрезки, соединяющие центр окружности с $n$ вершинами многоугольника.Пример такого треугольника (взятого из правильного шестиугольника) изображен ниже:

Как видно на рисунке, у этих равнобедренных треугольников две стороны имеют длину $r$, радиус окружности, а третья сторона $\overline{AC}$ имеет длину $b$, которая зависит от $m(\angle ABC )$. Точка $P$ на рисунке — это середина $\overline{AC}$. Таким образом, мы имеем $\frac{|AP|}{|AB|} = \sin{\angle ABP}$, и отсюда мы можем вывести, что $|AP| = r\sin{\angle ABP}$, а затем, учитывая, что $P$ является серединой $\overline{AC}$, $b = 2r\sin{\angle ABP}$.Мы знаем, что 2n углов, равных $\angle ABP$, составляют полную окружность, поэтому $m(\angle ABP) = \frac{360}{2n}$. Периметр правильного $n$-стороннего многоугольника, вписанного в окружность, равен $n$-кратной длине стороны этого многоугольника, которую мы только что вычислили: $$ n \times 2r \sin{\left(\frac{360}{2n}\right)}. $$ Тригонометрические отношения не зависят от размера треугольника, поэтому эти формулы для $P_n$ позволяют сделать вывод, как и в решении 2, что отношение длины окружности к ее диаметру не зависит от размера окружности. .Кроме того, это обеспечивает простой количественный способ оценки $\pi$ путем выбора большого значения $n$: конечно, для этого нужно знать синус угла.

Этот первый аргумент является примером MP7 «Ищите и используйте структуру». Ключом к этому аргументу является определение того, что все круги подобны, а затем применение значения сходства к окружности. Второй аргумент иллюстрирует MP8, Ищите и выражайте регулярность в повторяющихся рассуждениях. Здесь ключ в том, чтобы сравнить круг с более знакомой формой, треугольником.Особенно эффективным методом является разделение правильного многоугольника, аппроксимирующего окружность, на конгруэнтные треугольники, что делает формулу для периметра и его связь с $r$ особенно ясной.

Решения

Решение: 1 Подобие кругов

Ниже приведено изображение круга диаметром 1, обозначенным $C_1$, и диаметром $d = 2r$, обозначенным $C_2$:

В показанном случае $d$ больше, чем $1$. Все окружности подобны, и в этом случае коэффициент масштабирования от окружности диаметром $1$ до окружности диаметром $2r$ равен $2r$.Окружность круга является одномерным измерением, поэтому она масштабируется так же, как и диаметры:

\начать{выравнивать} \frac{\text{Окружность}(C_2)}{\text{Окружность}(C_1)} &= \ гидроразрыва {\ текст {диаметр} (C_2)} {\ текст {диаметр} (C_1)} \\ &= \фракция{2r}{1} \end{выравнивание}

Поскольку длина окружности $C_1$ по определению равна $\pi$, из приведенного выше уравнения следует, что длина окружности $C_2$ равна $2\pi r$.

Решение: 2 Подобие треугольников

В этом решении мы аппроксимируем длину окружности с помощью многоугольников, а затем используем подобие треугольников для объяснения формулы длины окружности.Ниже приведено изображение правильного восьмиугольника, вписанного в окружность радиуса $r$:

Окружность круга немного больше, чем периметр правильного восьмиугольника, который мы можем рассчитать, используя рисунок ниже:

Периметр восьмиугольника равен $8b$, так как он разделен на восемь конгруэнтных треугольников с основанием в $b$ каждый. Мы можем вычислить углы этих восьми треугольников, используя тот факт, что восемь внутренних углов образуют круг в 360 градусов, поэтому каждый из них имеет длину 45 градусов.\circ$ похожи. Следовательно отношение $(b:r)$ не зависит от размера правильного восьмиугольника. Это означает, что отношение $(\text{периметр(восьмиугольник)}:r)$ также не зависит от размера правильного восьмиугольника. По мере того, как мы добавляем все больше и больше сторон, это отношение приближается к отношению длины окружности к ее радиусу. Делаем вывод, что для окружности $C$ любого радиуса $r$ $$ (\text{окружность}(C):r) = \left(\pi:\frac{1}{2}\right). $$ Обратите внимание, что $\frac{1}{2}$ получается при взгляде на круг диаметром 1 и длиной окружности $\pi$: радиус этого круга равен $\frac{1}{2}$.Это эквивалентно обычной формуле, согласно которой длина окружности радиуса $r$ равна $2\pi r$.

Калькулятор периметра треугольника с вершинами. Рассмотрим треугольник с вершинами в точках (x 1, y 1), (x 2, y 2) и (x 3, y 3). Однако есть несколько случаев, когда мы можем не знать все три стороны. 2 Qs > Дополнительные вопросы JEE. s = ( m + n + l) / 2. Треугольник с вершинами A, B и C обозначается ABC. Введите длину третьей стороны треугольника: 8 Периметр треугольника: 21.נובמבר 3, 2020. Решение: поскольку две стороны равны 5 см, это означает, что этот треугольник равнобедренный. Например, если треугольник имеет стороны a, b и c, то периметр этого треугольника будет равен P = a + b + c. Мне нужна помощь с двумя задачами по математике. Два ребра совпадают на плоскости, в результате чего получается фигура, похожая на линейный сегмент между двумя вершинами. Введите 3 значения, включая хотя бы одну сторону, в следующие 6 полей и нажмите кнопку «Рассчитать». мы знаем это. Шаг 2: Расчет периметра треугольника по формуле P = a+b+c.Периметр равнобедренного треугольника равен сумме трех сторон. Сначала по теореме Пифагора вычислите гипотенузу прямоугольного треугольника. cpp отличаются от имен, используемых в файле Triangle. · Когда известны две стороны и угол (SAS) Когда известны две стороны треугольника и угол между ними, площадь треугольника может быть легко вычислена с помощью приведенного ниже уравнения. Найдите периметр треугольника с 3 сторонами, Найдите периметр треугольника всех типов, Найдите периметр треугольника с помощью функции, Используя класс Найдите периметр треугольника с вершинами D (2, 3), E (7, 6) и F ( 4, 8).Какова длина сторон? Решение: Так как в равностороннем треугольнике три стороны равны, то a = b = c. Тогда периметр равен 3. Распределение вероятностей для периметра и площади треугольника с фиксированным описанным радиусом Чтобы найти периметр треугольника, сложите длины трех сторон: P = 27 + 27 + 27. Векторы сторон треугольника задаются разностью векторов положения вершин. Например, треугольник, у которого три стороны имеют одинаковую длину, называется … Продолжить чтение → Треугольник – это особая замкнутая фигура или многоугольник, который имеет три вершины, три стороны и три угла.Требуется файл данных pvert. Поскольку сумма внутренних углов в одном треугольнике равна 180°, можно сделать вывод, что 6 треугольников, стоящих рядом, должны иметь размеры до 6×180=1080°. Треугольник имеет три вершины. Итак, площадь этого многоугольника состоит из двух частей. Алгебра. Кроме того, он позволяет указывать углы либо в градусах, либо в радианах для большей гибкости. пор. С помощью этого калькулятора разберемся с алгоритмом, как найти периметр, площадь и длину диагонали прямоугольника. Вы можете использовать теорему Пифагора, чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, если вы знаете или можете определить длины по крайней мере двух сторон из данной информации.Таким образом, периметр $\треугольника PQR$ равен $10 + \sqrt{58}$ единиц. Найдем площадь … //Программа для вычисления площади многоугольника /* Зная координаты вершин выпуклого многоугольника, вычислим его площадь и периметр. Три стороны образуют три внутренних угла. Площадь треугольника — это мера пространства, занимаемого треугольником в двумерной плоскости. Каковы уравнения каждой из трех линий: AB, BC и AC? Какова длина каждой из трех линий? Большое спасибо.Также можно рассчитать длину диагоналей вдоль длины ребра. Алгоритм: Старт; Создайте экземпляр класса Scanner. Рассчитать элементы изотрапеции; введите два основания, сторону или высоту. Эта проблема решена! См. ответ См. ответ См. ответ г. Загрузка. Посмотреть решение > Посмотреть больше. Периметр приблизительно равен 6. Шаг 1: Пользователь вводит три стороны треугольника a, b, c. Ссылаясь на приведенный выше треугольник: Если … Решение: Поскольку I — центр треугольника, отрезки, соединяющие центр вписанной стороны с вершинами, являются биссектрисами, поэтому они делят углы на две равные части.5. Чтобы вычислить… Чтобы вычислить периметр треугольника, сложите длины его сторон. Периметр равен 23. Существуют прямоугольные треугольники с более короткими целочисленными длинами сторон, например (6,8,10) и (3,4,5). Подставь числа, Периметр треугольника равен . Кроме того, треугольники могут быть описаны на основе их длины и углов их размера. Если вам нужно вычислить площадь треугольника в зависимости от ввода пользователя, можно использовать функцию input(). Виды равнобедренных треугольников. Просто используйте теорему о сумме углов треугольника, чтобы найти недостающий калькулятор многоугольника.Получите пошаговые решения от опытных наставников всего за 15–30 минут. Формул много, вот несколько интересных. Процитируйте этот калькулятор и страницу Чтобы рассчитать площадь и смоченный периметр поперечного сечения канала, начните с верхней части левого берега и пронумеруйте каждую обследованную точку, начиная с 1, переходя к правому берегу. BC = 6. Изучите концепции экзамена на Embibe. У двуугольника с N=2 две вершины и два ребра. ) Главная › Геометрия › 2 Треугольник имеет радиус малой дуги 10см в многоугольнике и это мимо! Круг радиусом 4 cricle, найдите его площадь 5 12 = 60 квадратных единиц является постоянным, что.Найдите периметр квадрата со стороной 5 дюймов. Не округляйте перед вычислением периметра. Программа для вычисления площади описанной окружности равностороннего треугольника. Для прямоугольника это означает добавление четырех сторон: Итак, если вы знаете длину стороны = a, или периметр = P, или полупериметр = s, или площадь = K, или высоту = h, вы можете вычислить другие значения. Онлайн-калькулятор описанной окружности треугольника поможет вам нарисовать описанную окружность с помощью определенного центра описанной окружности.На странице «Эллипс» мы рассмотрели определение и некоторые простые свойства эллипса, а здесь мы рассмотрим, как более точно вычислить его периметр. Радиус описанной окружности также называют радиусом описанной окружности треугольника. Это одна из основных фигур в геометрии. Таким образом, периметр треугольника = сумма сторон = 4 + 5 + 6 = 15 см. ID: 793622. Найдите периметр треугольника на диаграмме. Площадь треугольника — это область или поверхность, ограниченная формой треугольника.Более подробную информацию читайте в этих правилах. Чтобы вычислить периметр, нужно найти длину гипотенузы по теореме Пифагора. (используйте букву r для ввода квадратного корня. Найдите площадь треугольника на основе основания и высоты, на основе 3 сторон (формула Герона), периметр треугольника на основе 3 сторон, на основе выбора пользователя, используя функцию, используя класс и объект Найдите периметр треугольника с вершинами (−1,−6), (14,2) и (8,−6)). [3] 06.08.2021 15:21 30-летний уровень / Инженер / Очень / Чтобы улучшить этот «Калькулятор разнонаправленных треугольников», пожалуйста, заполните анкету.Вычислите периметр, подставив длины сторон в виде дробей или смешанных чисел в формулу P = a + b + c, где a, b, c — три стороны треугольника. Площадь треугольника Нахождение площади треугольника по формуле произведение половины основания на высоту. Формулы периметра геометрических фигур. Ниже приведены некоторые свойства параллелограмма. Таблица с ответами на площадь и периметр треугольника в формате pdf. Используя этот веб-сайт, вы соглашаетесь с нашей Политикой использования файлов cookie. Ваши первые 5 вопросов на нас! Калькулятор решает треугольник, заданный координатами трех вершин на плоскости (или в трехмерном пространстве).2-2*8*7*cos(3. Можно использовать целые ( 10 ), десятичные числа ( 10. После ввода необходимых данных нажать кнопку «Рассчитать» Формула периметра треугольника: сторона а + сторона b + стороны с, но есть много правил, по которым ее можно вычислить. следующие указанные точки на плоскости: =(,) =(,) и =(,) =>,, и являются сторонами найти длину сторон, используя формулу расстояния Решается подключаемым решателем: Расстояние между 2 точками: Формула расстояния .Это можно найти несколькими способами. Лучший способ начать работу над этим вопросом — нанести эти точки и нарисовать треугольник. награды babyface soul train 2021; протокол медикаментозного фетального цикла. 4. Этот онлайн-калькулятор вычисляет набор значений треугольника: длины сторон, углов, периметра и площади по координатам его вершин Статьи, описывающие этот калькулятор Значения треугольников по координатам вершин Значения треугольников по координатам вершин Вершина A x₁ y₁ Вершина B x₂ y₂ Вершина C x₃ y₃ Точность расчета Периметр треугольника = единицы a+b+c Например, стороны треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см, тогда периметр треугольника рассчитывается как: Периметр = 3 +4+5 см Периметр = 12 см.Вы можете использовать калькулятор слева для вычисления треугольных метрик в 2-х или 3-х мерном пространстве. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рело. Координаты вписанного центра представляют собой средневзвешенное значение координат вершин, где веса представляют собой длины соответствующих сторон. Когда учащийся знакомится с треугольниками, он начинает узнавать о различных типах треугольников, таких как равносторонний, прямоугольный, разносторонний треугольник и т. д. Этот калькулятор площади прямоугольника может решить вашу проблему в мгновение ока, нужно ли вам знать площадь ковра, пакета, экрана телевизора, прямоугольного бассейна или окна, и вы можете использовать это в повседневной жизни! Просто введите длину и ширину (или диагональ) прямоугольника, и этот калькулятор прямоугольника рассчитает значения P (периметр) и A… О калькуляторе треугольника периметра.Точка пересечения, полученная на предыдущем шаге, является центром описанной окружности треугольника. Первый шаг — найти значение s (полупериметр треугольника), сложив все три стороны i. У равнобедренного треугольника 2 равные стороны. Введите точный ответ, используя. Как ни странно, периметр эллипса вычислить очень сложно!. Ну, это три вершины треугольника! Еще хуже, чем плохо подобранные имена параметров, являются непоследовательные имена параметров! Имена, используемые в Треугольнике.Разносторонний треугольник — это треугольник, у которого три стороны имеют разную длину. 1 Вопрос > Легко Как рассчитать периметр треугольника : Периметр треугольника равен сумме всех его сторон. Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и углы между соседними сторонами также равны. 0. Это сумма каждой из сторон треугольника. Посмотреть решение > Периметр треугольника с вершинами A (0, 9), B (0, 0) и C (9, 0) Medium. Чтобы вычислить правильный многоугольник, введите длину ребра и количество вершин.Итак, 15d = 120, а d = 8 см. 01, 21 апр. Упражнение № 4. Найдите площадь ∆ABC, если у него есть вершины в точках A B C ( 1, 3 , 5, 2 и 3, 3 ) ( ) ( − − ) . Опубликовано в Fifa 19 руководство по режиму карьеры Эм 30 января 2022 г. Калькулятор площади и периметра равностороннего треугольника. Вычислив периметр, округлите ответ до десятых. Введите количество вершин в форму ниже, затем введите значения x и y для каждой вершины. В этом примере мы просим пользователя ввести базу и высоту. Используйте теорему Грина, чтобы вычислить циркуляцию F⃗ по периметру треугольника C, ориентированного против часовой стрелки, с вершинами (8,0), (0,4) и … 1.Периметр. Любой треугольник: — 3 разные стороны — 3 неравных угла — Сумма углов равна 180°. Равнобедренный равнобедренный треугольник – это треугольник, угол при вершине которого равен 60°. Пример ввода-: сторона=14. Это простейшая форма кривой постоянной ширины. Возраст До 20 лет 20-летний уровень 30-летний уровень 40-летний уровень Простейшим невырожденным n-угольником является треугольник с N=3. Расчеты на правильном двенадцатиугольнике, многоугольнике с 12 вершинами. Формула периметра треугольника приведена ниже: Периметр равнобедренного треугольника: Равнобедренный треугольник представляет собой форму треугольника с двумя равными углами и сторонами.В этой программе мы увидим, как вычислить периметр круга, прямоугольника и треугольника в Java, когда задана площадь. Вы можете вводить углы в градусах или радианах. Шаг 3: Вычисление полупериметра по формуле Рассчитайте отношение площадей треугольника, вписанного в эллипс, к площади треугольника, образованного соответствующими точками вспомогательной окружности. Ниже приведены 5 различных вариантов вычислений, которые вы можете сделать с помощью этого калькулятора равностороннего треугольника. В геометрии треугольник — это трехсторонний многоугольник, имеющий три ребра и три вершины.Калькулятор треугольника Рело. Основание Основание FE — площадь треугольника = s (s-m) (s-n) (s-l), где s обозначает полупериметр треугольника и определяется как. Программа для вычисления площади многоугольника #include Практикуйте больше вопросов . Теперь, когда мы обсудили три метода, используемые для вычисления периметра треугольника, мы можем использовать эту информацию для решения задачи. Формула площади треугольника: (1/2) × основание × высота. В зависимости от величины сторон и величины углов треугольники делятся на различные типы треугольников. Формула для вычисления периметра треугольника Периметр треугольника: длина2 + длина3 + длина4 длина2, длина3 и длина4 — это длины каждой стороны треугольника.Но это будет слишком долго и утомительно. Треугольник имеет вершины (1, 4), (1, 1) и (-3, 1). Площадь равнобедренного треугольника равна 48см2. Не забудьте также проверить забавный интерактивный периметр P = 2 ( a + b ), где P — периметр параллелограмма, a — длины первой стороны параллелограмма, b — длины второй стороны параллелограмма. Наши рабочие листы по периметру и площади разработаны в дополнение к нашим урокам по периметру и площади. {(0,0), (4, 4), (-2, 6)} Периметр треугольника = a + b + c. Приведенный выше периметр калькулятора треугольника упрощает процесс.В треугольнике сумма внутренних углов всегда равна 180°, поэтому имеем: 70 Шаг 1: Постройте вписанную окружность треугольника с помощью и. P = 81 м е т е р с. Вычисление полупериметра в основном происходит для треугольника. Если бы треугольник был прямоугольным, было бы довольно легко вычислить площадь треугольника, найдя его… Для вычисления площади и периметра равностороннего треугольника есть формула. Равнобедренный треугольник: — 2 равные стороны: AC = CB — 2 равных угла: CAB = CBA Калькулятор равностороннего треугольника поможет вам в расчетах параметров правильного треугольника.Площадь и периметр в координатной плоскости (наклонные фигуры) Автор: MrCarmack. Каждый угол прямой. Более подробную информацию читайте на этих… Периметр квадрата Квадрат представляет собой четырехугольник с четырьмя прямыми углами и четырьмя вершинами. Формула периметра равнобедренного треугольника дана по формуле. Ответ (1 из 4): Просто нарисуйте многоугольник на бумаге и добавьте длины всех сторон О калькуляторе периметра треугольника. 1 фут. Postado em fifa 19 руководство по режиму карьеры Эм 30 января 2022 г. Калькулятор треугольников — найдите сторону, заданные стороны и периметр Этот веб-сайт использует файлы cookie, чтобы обеспечить вам наилучшие впечатления.Периметр треугольника. Можно найти радиус (R) описанной окружности, если мы знаем три стороны и полупериметр треугольника. Следующими шагами будет применение полупериметра треугольника с основной формулой. $ Можно ли сделать то же самое с двумя другими ребрами? Следующий рисунок может помочь лучше понять решение: C Упражнения: вычисление периметра треугольника Последнее обновление 18 декабря 2021 г. 11:55:52 (UTC/GMT +8 часов) C Основные объявления и выражения: Упражнение-23 с решением .Этот калькулятор вычисляет площадь и объем треугольной призмы, когда введены стороны треугольника и высота призмы. Таким образом, можно считать, что треугольник — это многоугольник, у которого 3 стороны, 3 угла и 3 вершины. h> #define MAX_VERT 50 enum {x, y}; typedef struct треугольник Вычислить площадь и периметр треугольника. Ваши первые 5 вопросов на нас! Вычислите количество вершин: индексы идут от 0 до TriangleCount + 1, таким образом, TriangleCount + 2 (есть TriangleCount + 1 вершины периметра и центральная вершина).Длина одной стороны прямоугольника равна 5. 1) Введите 3 стороны треугольника, и он определит, удовлетворяют ли длины сторон свойствам неравенства треугольника и образуют ли треугольник. Этот калькулятор отображает 2 сценария. Найдите длину одной из сторон, если периметр правильного пятиугольника равен 75 дм. Периметр треугольника – это сумма всех его трех сторон (треугольник – трехсторонняя фигура). В свою очередь, вершины — это линия или точка, где сходятся ребра. Сразу видно, что это прямоугольный треугольник.Также эти диагонали проходят. Треугольник 45°-45°-90°, также называемый равнобедренным прямоугольным треугольником, так как он имеет две стороны одинаковой длины, является прямоугольным треугольником, в котором стороны, соответствующие углам, 45°-45° °-90°, соблюдайте соотношение 1:1:√ 2. Калькулятор площади и периметра прямоугольника использует длину и ширину прямоугольника и вычисляет периметр, площадь и длину диагонали прямоугольника. Вот как можно объяснить вычисление стороны c треугольника с заданными входными значениями -> 14.3 нахождение периметра треугольника SAS по закону косинусов. Активен 3 месяца назад. Калькулятор сторон треугольника. Программа Python: программа C для нахождения периметра треугольника. Треугольник имеет радиус малой дуги 10 см в этом многоугольнике и является! Круг радиусом 4 cricle, найдите его площадь 5 12 = 60 квадратных единиц является постоянным, что. Окружность треугольника также известна как описанная окружность. Исходный код площади прямоугольного треугольника и периметра. Затем нажмите рассчитать. Калькулятор также вычислит площадь треугольника, периметр, полупериметр, радиус описанной и вписанной окружности, медианы и высоты.Калькулятор использует следующие шаги решения: Из трех пар точек вычислить длины сторон треугольника, используя … ребра (a) = радиус K (R) = радиус k (r) = округлить до десятичных знаков Площадь A = периметр P = шестиугольник. Онлайн калькулятор для расчета площади и периметра треугольника по координатам его вершин. Калькулятор треугольников. Вопрос 20. Вычислите периметр треугольника, образованного следующим набором вершин. Дайте точный ответ, используя радикалы. Тупоугольный равнобедренный треугольник – это треугольник, угол при вершине которого больше 90°.1) Формула для периметра прямоугольника: периметр = 2 * (длина + ширина) 2) Мы вычисляем периметр, подставляя значения длины и ширины в связанные переменные «длина», «ширина», вычисленное значение будет … Найдите периметр треугольника, вершинами которого являются следующие заданные точки на плоскости? (0,-3), (-2,1) и (-4,6) МАТЕМАТ. Введите значения координат x / y. Если стороны b и c равны по 6 футов и угол равен 30°, то длина стороны a равна √b 2 + c 2 — 2 xbxcx cosα = √36 + 36 — 2 x 6 x 6 x cos (30°) = √72 — 72 x 0.Пошаговое объяснение: Пусть. Таким образом, периметр прямоугольника можно вычислить по такой формуле: P = 2 (l + b) Итак, периметр данного прямоугольника равен: P = 2 (28 + 17) = 90 единиц. 558 Чтобы найти периметр треугольника с вершинами (1,2), (3,−4) и (−4,5), мы должны сначала найти расстояние между каждой парой точек, что даст длину сторон. Дайте свой ответ ниже: Вопрос: Вопрос 20. Вычислите периметр треугольника, образованного следующим набором вершин. Дайте точный ответ, используя радикалы.Треугольник – это многоугольник, имеющий три вершины. Независимо от того, ищете ли вы площадь равностороннего треугольника, его высоту, периметр, радиус описанной окружности или внутренний радиус, этот отличный инструмент станет для вас беспроигрышным выбором. \{(-1,1),(3,1),(3,-2)\} компьютер для вычисления площади и периметра прямоугольника и сохранения этих значений в соответствующих переменных. Существует много понятий, связанных с треугольниками, таких как Пифагор… Онлайн-калькулятор для расчета площади и периметра треугольника по координатам его вершин.0 Выход-: Площадь равностороннего треугольника: 84. 10, 18 марта. Если A, B и C — вершины, а AB и BC — равные стороны, то периметр можно записать как 2AB+AC. 20 единиц. Если длины сторон треугольника равны 4 см, 5 см и 6 см, то чему равен периметр треугольника? Решение: Даны стороны треугольника 4 см, 5 см и 6 см. (Упростите свой ответ. Пример: классифицируйте треугольник и найдите периметр, если его стороны равны 5 см, 10 см и 5 см. Если мы можем найти высоту треугольника на графике, мы можем вычислить площадь.Периметр в единицах. где x₁, x₂, …, xₙ — длины сторон, а «Σ» — сумма (от i = 1 до n) Или используйте координаты вершин: Многоугольник Периметр = … Периметр треугольника Периметр P = a + b + c Определение треугольник Треугольник – это многоугольник, имеющий три стороны. Выходами являются площадь и периметр треугольника. В зависимости от сторон треугольники бывают трех типов. Вычислите периметр четырехугольника, изображенного на рисунке 6. Шаг 3: Из точки опустите перпендикуляр на.Также ознакомьтесь с другими подобными калькуляторами, такими как Калькулятор квадратных метров. Используя эти значения, мы вычислим периметр треугольника, полупериметр треугольника… Найдите периметр треугольника с вершинами в точках A (0,0), B (-4, -3) и C (-6,0). . 1. Периметр треугольника равен . Площадь = 0. Поделитесь этим набором Google «Площадь треугольников и трапеций» со своим классом. A (1, 2) B (4, 5) B (4, 0) Площадь = Периметр = Дополнительные ссылки Калькулятор площади треугольника и периметра.Лучший способ начать этот вопрос — построить… Периметр правильного многоугольника = (длина одной стороны) × количество сторон. (-1,-3) 7 4 ( $ 1 4 ) BA (-3, 1 ) -3 -1 C (1, -3 ) Шаг 1 : Найдите расстояние между точками A и B , B и C и , A С . Шаг 2: Расчет периметра треугольника по формуле P = a + b + c. Шаг 3: Вычисление полупериметра Решение для Вычислите периметр треугольника, образованного следующим набором вершин. Несмотря на то, что на этом канале YouTube доступно все больше бесплатных руководств, есть даже больше. Периметр равен 12.Найдите количество всех треугольников, вершины которых лежат в данных точках по разные стороны. В приведенном ниже онлайн-калькуляторе описанной окружности треугольника введите длину сторон треугольника a, стороны b и стороны c и нажмите «Рассчитать радиус описанной окружности». Мне 73, и смутно помню это как теорему о полупериметре. Найдите периметр правильного шестиугольника со стороной 10 м. Треугольник — это трехсторонняя плоская фигура, замыкающаяся в пространстве. Треугольник (3,4,5) имеет периметр 12 единиц. Преобразуйте в смешанные числа, если требуется.Предположим, что если a, b и c — стороны треугольника, то периметр будет равен a+b+c. Многоугольник с N=1 имеет одну вершину и одну сторону, соединяющую вершину саму с собой. Формула сначала требует, чтобы вы рассчитали три длины сторон… Наконец, мы вычисляем площадь как высоту, умноженную на среднюю ширину (средняя длина основания): что согласуется с вычисленной цифрой выше. Формула, Периметр = сумма всех сторон Периметр = x + y + z Программа для нахождения периметра треугольника, Пример Live Demo Окружность, проходящая через все три вершины (углы) треугольника, называется описанной окружностью.Вычислить периметр и площадь четырехугольника, образованного точками (0,0) и (5,10) и (10,15) и (5,5) Периметр треугольника | Дроби – Тип 1. Чтобы найти периметр треугольника, нужно найти расстояние вокруг трехсторонней фигуры. подставьте значения шаг 2. Напишите программу на языке C, которая считывает три значения с плавающей запятой и проверяет, возможно ли составить из них треугольник. Шаги для вычисления периметра треугольника: Запишите длины всех сторон треугольника. Сложите все три длины i.Шаг 1: Определите вершины треугольника и запишите их упорядоченными парами: Три вершины на диаграмме: {eq}A (2,4), B(1, 3), C(5) Объяснение: Чтобы найти периметр треугольника с вершинами (1,2), (3, −4) и (−4,5) мы должны сначала найти расстояние между каждой парой точек, что даст длину сторон. x в этом случае длина прямоугольника, а у-ширина прямоугольника. Наконец, как вы вычисляете периметр?, Периметр-это длина контура фигуры.{ (-3, 1), (8, 4). Видно на рисунке ниже прямоугольник с помощью этого онлайн-калькулятора между двумя соседними вершинами многоугольника задача 2 найти! В зависимости от имеющейся у вас информации вы можете рассчитать периметр одним из следующих методов с помощью нашего калькулятора периметра треугольника. Вопрос 2. 65 = 3. Пример: ) Описанную окружность треугольника можно объяснить как окружность, проходящую через 3 вершины данного треугольника. Например, если длина каждой стороны треугольника равна 5, вы просто прибавите 5 + 5 + 5 и получите 15.x y 4 2 −4 −2 −4 2 4 D(1, 3) F(−4, −3) E(4, −3) Шаг 2. Найдите длины основания и высоты. ‘ и найдите помощь с домашним заданием по другим математическим вопросам в Калькуляторе треугольников eNotes для решения треугольников SSS, SAS, SSA, ASA и AAS Этот решатель треугольника возьмет три известных измерения треугольника и решит для трех других. В геометрии треугольник — это трехсторонний многоугольник, который имеет 3 ребра и 3 вершины. Рабочие листы с площадью и периметром треугольников Этот рабочий лист с треугольниками ‎Рабочие листы по сумме углов треугольника · ‎Идентификация треугольников · ‎Теорема о внешнем угле.Quabeta помогает учащимся изучать математику с помощью видеоуроков. Это онлайн-инструмент геометрии, для которого требуются две длины сторон прямоугольника. Введите значение, которое вы знаете, и выберите, что вычислять. / 7 апреля 2014. Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны равны и параллельны. На рисунке выше диагонали AC и BD. Следовательно, периметр треугольника равен 27 дюймов. Еще из главы. Если в качестве единицы измерения угла выбран радиан, он может принимать такие значения, как пи/2, пи/4 и т. д. Вычисления на простом многоугольнике.Формулы периметра прямоугольника. Используя формулу периметра пятиугольника, вы можете относительно легко найти периметр правильного пятиугольника. Формула, используемая для нахождения периметра равнобедренного треугольника: Периметр равнобедренного треугольника (P) = 2a + b, где a = длина двух равных сторон; b = the … Программа для вычисления площади многоугольника /* Зная координаты вершин выпуклого многоугольника, вычислить его площадь и периметр. Найдите расстояние АВ. (См. Расстояние между двумя точками).Также вычислите периметр треугольника, если упомянутое Вспомните, что центр треугольника — это точка, в которой пересекаются три биссектрисы треугольника. Возраст До 20 лет 20-летний уровень 30-летний уровень 40-летний уровень Мне 73 года, и я смутно помню это как теорему о полупериметре. Метод 1: Вы знаете длины всех сторон Формула для периметра треугольника: a + b + c, если у вас есть длины трех сторон. Найдите расстояние до ВС. В таком случае мы можем вычислить площадь, отбросив В этом видео представлена ​​реализация программы Python для вычисления площади треугольника с учетом координат каждой вершины.Видно на рисунке ниже прямоугольник с помощью этого онлайн-калькулятора между двумя соседними вершинами многоугольника задача 2 найти! Независимо от формы треугольника (прямой, равносторонний или равнобедренный), этот калькулятор может помочь вам определить его площадь и периметр, если вы предоставите любые 3 из 6 полей как комбинацию между сторонами и углами. Площадь треугольника — это пространство, занимаемое треугольником в двумерной плоскости. Затем вычислите площадь, найдя площадь оранжевого прямоугольника и вычтя внешний калькулятор равностороннего треугольника.а. Отношение периметра треугольника KLM к периметру треугольника PQR равно 5/3, а LM на 4 меньше, чем удвоенный QR. Прокрутите вниз, чтобы узнать больше о полезных формулах и узнать, что такое равносторонний треугольник. Вы можете посчитать интервалы между (2,0) и (2,-3). com О Калькуляторе треугольника периметра. 6 единиц Центр описанной окружности (O) является центральной точкой, образующей начало описанной окружности (описанной окружности), в которой все три вершины треугольника лежат на окружности. Наиболее важной особенностью треугольника является то, что сумма внутренних углов треугольника равна 180 градусам.Сумма внутренних углов всегда равна 180°. Формулы, лежащие в основе этого калькулятора треугольника: Площадь треугольника, оцененная по простой способ вычислить периметр треугольника — сложить все стороны. Вы вводите координаты вершин A, B и C. Это замкнутая фигура с тремя сторонами. Периметр треугольника равен. Эта программа c используется для вычисления периметра треугольника на основе введенных пользователем значений длин сторон length2, length3 и length4. 5 — Применение матриц и определителей площади треугольника.Вычислите периметр прямоугольного треугольника с основанием 3 см и высотой 4 см. Тема: Площадь, Периметр. Калькулятор и формулы расчета углов вершин треугольника с 3 точками Онлайн калькулятор. треугольник, вычислить длину, используя вершины. Треугольник – это многоугольник, имеющий три вершины и три ребра. Вывод. Это просто, когда ребра не пересекаются, поэтому, если многоугольник не пересекается. Есть два шага, чтобы найти площадь треугольника, используя формулу Герона. Шаг 1: Прежде всего объявите 6 переменных, таких как a, b, c для сторон треугольника, периметр P, полупериметр s и площадь.Формула площади. Следовательно, если длины сторон равны L1,L2,L3, то это перебор. Площадь треугольника равна 14. Используя теорему Пифагора (2 + 2 = 2), вычислите периметр или сумму трех сторон треугольника. Пример: Найдите центр описанной окружности треугольника с вершинами (5, 4), (3, 1), (6, 1). Пример: Вычислите площадь треугольника ABC, вершины которого равны (-2,1), (2,4), (4,1). Остроугольный равнобедренный треугольник – это треугольник, угол при вершине которого меньше 90°, но не равен 60°. пользователем во время выполнения.Наиболее популярными являются уравнения: Для данного плеча a и основания b: площадь = (1/4) * b * √ (4 * a² — b²) Учитывая высоту h от вершины и основания b или высоту h3 от двух других вершин и плеча a: площадь = 0. Этот рабочий лист является отличным ресурсом для 5-го, 6-го, 7-го и 8-го классов. ) Главная › Геометрия › 2 Площадь и периметр треугольников. Рабочие листы бесплатно Найдите площадь треугольников, лист №1. Треугольник АВС прямоугольный, разносторонний. ∆ ABC – это сумма длин его сторон: P = a + b + c.Вычислите треугольники: каждый треугольник состоит из вершин 0, i + 1 и i + 2, где i находится в диапазоне от 0 до TriangleCount — 1. Определение периметра. Задать вопрос Задан 5 лет назад. Все стороны имеют одинаковую длину, что позволяет легко вычислить периметр квадрата. Вот как можно объяснить вычисление периметра треугольника с заданными входными значениями -> 19 = 8+7+4. При этом периметр треугольника определяется как общая длина границы треугольника. Формула расстояния используется для нахождения расстояний между вершинами, затем эти расстояния используются для нахождения периметра и площади треугольника.Диаметр правильных многоугольников, вписанных в окружность, равен 12. Как видите, это прямоугольник длиной 28 единиц и шириной 17 единиц. 21{\text{ }}$ единиц. 866025 = √72 — 62. 8397243543868)). 5 × a × b × sin (γ) Как рассчитать сторону c треугольника с помощью этого онлайн-калькулятора? Чтобы использовать этот онлайн-калькулятор для расчета стороны c треугольника, введите сторону B (S b), сторону A (S a) и угол C (∠C) и нажмите кнопку расчета. Калькулятор для теорем треугольника AAA, AAS, ASA, ASS (SSA), SAS и SSS.Найдите LM… Чтобы вычислить площади фигур более неправильной формы, может потребоваться окружить фигуру прямоугольником и вычесть площади за пределами графического многоугольника. Поскольку у равнобедренного треугольника две равные стороны, его периметр можно вычислить, если известны основание и равные стороны. Таким образом, это разносторонний треугольник. Треугольник можно определить как многоугольник с тремя сторонами и тремя вершинами, которые соединяются встык, образуя замкнутую фигуру. Решение: Шаг 1: Сначала из… Калькулятор параллелограмма: бесплатный удобный инструмент-калькулятор, который вычисляет площадь, углы углов, периметр, длину диагоналей 3h и длину стороны параллелограмма.Треугольник в координатной геометрии Введите вершины и выберите одну из семи характеристик треугольника для вычисления. Точно так же мы можем использовать формулу Герона для любого треугольника, три стороны которого известны. Площадь и периметр треугольника Калькулятор. Найдите расстояние АС. Более подробную информацию читайте на этих… Имеется равносторонний треугольник A, B, C, на каждой из его внутренних сторон лежит N=13 точек. Правильный? 2. Наша программа будет принимать три стороны в качестве входных данных от пользователя и распечатывать периметр в качестве выходных данных.Визуально на рисунке ниже: n = количество сторон многоугольника. Шаг 2: Нарисуйте биссектрисы любых двух углов ( и ) треугольника и соедините эти биссектрисы в одной точке. 8705 … Рассчитать точку пересечения, вычислив два уравнения биссектрисы. Этот бесплатный онлайн-калькулятор поможет вам найти площадь треугольника, образованного векторами. Периметр треугольника. Инструмент также может принимать высоту и ширину в одной единице, например в дюймах, и выводить в другой единице, например в метрах. В равнобедренном треугольнике стороны равны 5 см и 6 см.Как и в случае с треугольником 30°-60°-90°, зная длину одной стороны, можно определить длины других сторон. 6. Правильный ли это способ вычисления площади треугольника по трем точкам/вершинам треугольника? Вершины никогда не будут отрицательными значениями. Чтобы вычислить периметр в целом, просто сложите длины всех прямых сторон многоугольника, от треугольника до 100-угольника (гексогона). Не округлять. Эта функция вычисляет углы, площадь и длины сторон треугольника, заданного в системе координат.Если a, b, c — разные стороны прямоугольника, периметр = a + b + c. )) Используя этот калькулятор прямоугольного треугольника, вычислите площадь, основание или высоту треугольника. Эта программа Python позволяет пользователю вводить три стороны треугольника. Вычислить площадь треугольника с вершинами $$ A(1,-1,2), B(3,1,-1), C(-1,2,5) $$ Вопросы и ответы по MathsGee Присоединяйтесь к сообществу вопросов и ответов по MathsGee и получить поддержку для достижения успеха — MathsGee Q&A предоставляет ответы на вопросы по конкретным предметам для улучшения результатов.Таким образом, периметр данного равностороннего треугольника равен 9 см. def … Используя эти значения, мы вычислим периметр треугольника, полупериметр треугольника, а затем площадь треугольника. 2-мерные координаты (x, y) Площадь треугольника, заданная набором трех 2-мерных координат (a, b), (c, d), (e, f) … Даны боковые векторы треугольника разностью векторов положения вершин. Ответ (1 из 3): ДАННО: Квадрат ABCD вписан в окружность с центром O, а диагонали AC и BD пересекаются пополам под прямым углом.д, а+б+в; Периметр треугольника равен a+b+c. Эду Просмотреть все. Ниже описан матричный метод вычисления площади. По заданным значениям теоремы вычислите углы A, B, C, стороны a, b, c, площадь K, периметр P, полупериметр s, радиус вписанной окружности r и радиус описанной окружности R. Postado em FIFA 19 руководство по режиму карьеры Em 30 января 2022 г. 1080 разделить на 8 (количество сторон) = 135 градусов для каждого угла. Дополнительный пример (версия HTMLHelp требует наличия Internet Explorer v4 или более поздней версии.Где s — длина стороны. com Для расчета площади равнобедренного треугольника можно использовать множество различных формул. Если мы знаем вершины треугольника, то мы определенно можем использовать формулу расстояния, чтобы найти длину всех сторон, что может позволить нам использовать формулу Герона, чтобы найти площадь треугольника. Мы переместили весь контент для этой концепции в для лучшей организации. Пожалуйста, обновите свои закладки соответствующим образом. После ввода необходимых данных нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы получить площадь поперечного сечения и смоченный периметр.О Калькуляторе треугольника периметра. Найдите периметр треугольника, образованного соединением середины трех сторон треугольника АВС. Шаг 4: С центром и радиусом нарисуйте круг. 70 В этой программе площадь треугольника рассчитывается по трем сторонам по формуле Герона. Сложив их вместе, вы получите периметр. 2. СНАЧАЛА ПРОКРУТИТЕ ДО ВНИЗ ЭТОЙ СТРАНИЦЫ И УБЕДИТЕСЬ, ЧТО ВЫ ВХОДИЛИ В СВОЮ СЧЕТНУЮ ЗАПИСЬ JCPS. Решите приведенные ниже задачи, используя свои знания о понятиях периметра и площади.Треугольник Рело представляет собой площадь пересечения трех равных окружностей с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его сторонам. 27, Nov 18. Площадь можно легко вычислить с помощью прямой подстановки, однако периметр будет сложнее, так как мы Вершины могут быть соединены по-разному (в результате получаются разные треугольники), однако количество треугольников остается постоянно шестью. 10 единиц, а другая сторона равна 10. $ Можете ли вы сделать то же самое с двумя другими ребрами? Следующий рисунок может помочь лучше понять решение: Периметр треугольника.Нравится. 2) Введите 2 стороны треугольника, и это определит допустимый диапазон длины 3-й стороны треугольника, чтобы 3-я сторона. Найдите периметр треугольника EFG, зная координаты его вершин E (-2, -2 ), F (1, 2) и G (4, -2). Вот как будет выглядеть треугольник. Классификация треугольников. Что такое треугольник? Согласно Википедии «Треугольник — это многоугольник с тремя ребрами и тремя вершинами. Параллельные стороны являются основаниями. Периметр треугольника равен EF + FG + EG, длины которого можно найти по формуле расстояния: P = 5 + 5 + 6 = 16: площадь и периметр.Вычислите периметр и площадь правильных многоугольников и окружностей. Он использует формулу Герона и тригонометрические функции для вычисления площади заданного треугольника и других свойств. 5*ч3*а. Получите ответ на вопрос «Вычислите периметр треугольника ABC». Следовательно, периметр … Кроме того, каков периметр треугольника с вершинами, расположенными в (- 1 4 2 7?, 1 Ответ. Вывод: Калькулятор многоугольника. Треугольник abc имеет вершины … 01:15. [3] 2021/08 /06 15:21 30-летний уровень / Инженер / Очень / Калькулятор додекагона.Часть (а) создает треугольник, периметр которого равен 30 единицам с тремя целыми числами длин сторон. На изображении ниже показаны названия восьми 2d-фигур. Периметр определяется как Perimeter =dAB + dBC + dCD Как пользоваться калькулятором? Введите координаты x и y трех вершин A, B и C треугольника и нажмите «вычислить». ч файл! Очень запутанная и плохая практика. Задача 2: периметр равностороннего треугольника равен 81 сантиметру. Диагональ – отрезки, соединяющие противоположные вершины параллелограмма.В равнобедренном треугольнике ровно две стороны равны по длине. Затем я добавляю все три стороны. Демонстрация расчета периметра и площади простых и сложных фигур с помощью вороны и детектива Вонючки. Первый способ — провести линии между всеми тремя вершинами, а затем вычислить наклоны линий. 1 фут. Мы находим периметр, когда расставляем рождественские огни вокруг дома или … Программа C++ для нахождения площади, периметра треугольника. В этой статье вы узнаете и получите код для определения площади и периметра треугольника в программировании на C++.h> #include #include Назовите тип треугольника, образованного точками А б) Периметр: сумма длин оснований и сторон; c) Высота: перпендикулярный отрезок прямой от одного основания до другого; г) Середина: отрезок, соединяющий середины двух сторон; д) Диагональ: отрезок прямой, соединяющий противоположные вершины. подставьте значения шага 3. Для вычисления периметра прямоугольника 2L+2W= 30.Калькулятор треугольников решает треугольники, заданные тремя его свойствами. В математике треугольник определяется как двумерная фигура, имеющая три стороны, углы и вершины. Прямые линии. Чтобы найти периметр прямоугольника или квадрата, нужно сложить длины всех четырех сторон. Вы можете рассчитать центроид треугольника, используя наш калькулятор центроида треугольника. Какова площадь треугольника с вершинами d(3, 3) , … Периметр вычисляется при перетаскивании. Треугольники бывают разных конфигураций, в зависимости от вашего выбора, чтобы сосредоточиться на их сторонах или периметре эллипса.Периметр = 3 × с. Давайте взглянем на изображение ниже: Длина его сторон 4 см, 5 см и 4 см. Примечание. Данным треугольником в задаче является прямоугольный треугольник, поскольку сторона AB проходит по оси x, а сторона BC — по оси y. Шаг 1: В этой программе C пользователь введет три стороны треугольника a, b, c. Существует четыре типа равнобедренных треугольников: остроугольные, тупоугольные, равносторонние и прямоугольные. Чтобы улучшить «Калькулятор разнонаправленных треугольников», пожалуйста, заполните анкету. Учитывая, что площадь треугольника равна 12.6см2, вычисляем периметр треугольника округляя до 1 дп. Это означает, что три внутренних угла треугольника равны: 2×35°=70° 2×31°=62° 2×x=2x. Мы можем заменить a + b + c на 3a. Программа для вычисления площади и периметра вписанной окружности равностороннего треугольника. Разделите его на треугольники и вычислите площадь каждого треугольника по формуле Герона. txt, содержащий координаты каждой вершины. Таким образом, они находятся путем вычисления расстояния между конечными точками отрезков линий.Онлайн калькулятор периметра треугольника Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон. Вершина — это точка, в которой встречаются две линии или стороны. Квадрат Формула для периметра квадрата: P=a+a+a+a \rightarrow P=4 \cdot a Периметр треугольника Треугольник никто не ищет. сосновый лес средней школы NC; Стипендии по науке о данных для иностранных студентов 2021 калькулятор сторон треугольника. Площадь и периметр треугольников: периметр — это общая длина трех сторон любого треугольника.Из графика мы можем сказать, что длина высоты равна 3 единицам, а основание — 6 единицам. 1 . Я должен использовать формулу расстояния для точек на плоскости xy, чтобы найти все три стороны. Показать расшифрованный текст изображения В этой статье мы создали несколько программ на Python, чтобы найти и распечатать значение периметра треугольника на основе таких входных данных, как длина всех трех сторон, длина основания и высота и т. д. Итак, периметр равен 4+5+4=13см. Периметр треугольника с вершинами (0, 4) (0, 0) и (3, 0): средний.