Можно ли вписать в окружность трапецию: Трапеция вписана в окружность

Содержание

Трапеция вписана в окружность

Рассмотрим несколько направлений решения задач, в которых трапеция вписана в окружность.

Когда трапецию можно вписать в окружность? Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна 180º. Отсюда следует, что вписать в окружность можно только равнобокую трапецию.

Радиус окружности, описанной около трапеции, можно найти как радиус окружности, описанной около из одного из двух треугольников, на которые трапецию делит ее диагональ.

Где находится центр окружности, описанной около трапеции? Это зависит от угла между диагональю трапеции и ее боковой стороной.

Если диагональ трапеции перпендикулярна ее боковой стороне, то центр окружности, описанной около трапеции, лежит на середине ее большего основания. Радиус описанной около трапеции окружности в этом случае равен половине ее большего основания:

   

 

 

 

 

 

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной острый угол, центр окружности, описанной около трапеции лежит внутри трапеции.

 

 

 

 

 

 

Если диагональ трапеции образует с боковой стороной тупой угол, центр описанной около трапеции окружности лежит вне трапеции, за большим основанием.

 

 

 

Радиус описанной около трапеции окружности можно найти по следствию из теоремы синусов. Из треугольника ACD

   

Из треугольника ABC

   

Другой вариант найти радиус описанной окружности —

   

   

 

Синусы угла D и угла CAD можно найти, например, из прямоугольных треугольников CFD и ACF:

   

   

 

 

 

 

 

При решении задач на трапецию, вписанную в окружность, можно также использовать то, что вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла. Например,

   

 

 

 

 

 

Кстати, использовать углы COD и CAD можно и для нахождения площади трапеции. По формуле нахождения площади четырехугольника через его диагонали

   

   

В равнобедренном треугольнике AMD углы при основании равны. Внешний угол CMD равен сумме внутренних углов, не смежных с ним:

   

Отсюда

   

Трапеция. Свойства, признаки трапеции | Подготовка к ЕГЭ по математике

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

 

Свойства трапеции

 

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

 

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

 

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

 

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная  окружность

 

Если в трапецию вписана окружность с радиусом   и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —  и ,  то

 

Площадь

 

или где   – средняя линия

Смотрите хорошую подборку  задач с трапецией

(входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Смотрите также площадь трапеции.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

      Определение 1. Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником.

Рис.1

      Замечание. В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

      Теорема 1. Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

      Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Рис.2

      В силу теоремы об отрезках касательных, проведённых к окружности из одной точки, справедливы равенства

AH = AE,       BF = BE,       CF = CG,       DH = DG,

      Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AE + BE + CG + DG,

      Поскольку

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,      
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

AD + BC = AB + CD,

что и требовалось доказать.

      Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

      Доказательство. Рассмотрим четырёхугольник ABCD, длины сторон которого удовлетворяют равенству

AD +BC = AB + CD,

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA. Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O, и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Рис.3

      Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAD, то справедливо равенство

OH = OE,

      Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ADC, то справедливо равенство

OH = OG,

      Следовательно, справедливы равенства

OH = OE = OG,

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH, касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

  1. Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

    Рис.4

          В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

  2. Окружность не касается стороны BC.

    В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B, пересекает прямую DC в точке K, и возможны два случая:

    1. Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
    2. Рис.5

    3. Точка C лежит между точками K и D (рис.6)
    4. Рис.6

      Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

      Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольниканеравенству треугольниканеравенству треугольника. Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

      Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

      Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

      Теорема доказана.

      Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

      Теорема 3. Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

      В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

      Примеры описанных четырёхугольников

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

2. Свойства равнобедренной трапации


ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

«___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства»

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны


Рассмотрено и

рекомендовано к использованию

на заседании ПМО от _______________

Протокол №______


Москва

2015 год


Оглавление

Введение 2



  1. Определения 3

  2. Свойства равнобедренной трапеции 4

  3. Вписанные и описанные окружности 7

  4. Свойства вписанных и описанных трапеций 8

  5. Средние величины в трапеции 12

  6. Свойства произвольной трапеции 15

  7. Признаки трапеции 18

  8. Дополнительные построения в трапеции 20

  9. Площадь трапеции 25

. 10. Заключение

. Список используемой литературы


Приложение

  1. Доказательства некоторых свойств трапеции 27

  2. Задачи для самостоятельных работ

  3. Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности

  4. Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.


  1. Определения

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны.


Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной.

Трапеция,  у которой есть  прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.

2. Свойства равнобедренной трапеции


  1. Углы при основании равнобедренной трапеции равны.


  1. Сумма углов трапеции, прилежащих к ее боковой стороне, а также противоположных углов равнобедренной трапеции равна 180°.

3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.



  1. Отрезки, последовательно соединяющие середины смежных сторон равнобедренной трапеции, образуют ромб.

  2. В равнобедренной трапеции прямая, проходящая через середины оснований, перпендикулярна им и является осью симметрии трапеции.
  3. Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то высота трапеции равна средней линии.



  1. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

  2. С
    В равнобедренной трапеции квадрат диагонали равен квадрату его боковой стороны плюс произведение оснований: d2 = c2 + a• b


10. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.


3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4. Свойства вписанных и описанных трапеций

  1. Если в равнобокую трапецию можно вписать окружность, то средняя линия трапеции равна боковой стороне.


2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то

сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4. Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.



  1. Если в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m и n, тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.



  1. Е
    сли в равнобокую трапецию вписана окружность, то высота трапеции есть среднее геометрическое ее оснований.


  1. Если в трапецию можно вписать окружность и около трапеции можно описать окружность, то проекция диагонали на большее основание, равна боковой стороне и равна средней линии трапеции.
  2. Если в трапецию вписана окружность, то вершина трапеции, центр вписанной в нее окружности и основание перпендикуляра, опущенного из другой вершины на основание, лежат на одной прямой.

  3. Если диагонали вписанной в окружность трапеции (четырехугольника) взаимно перпендикулярны, то сумма квадратов его противоположных сторон равна квадрату диаметра описанной окружности или удвоенному квадрату боковой стороны: a2 + b2 = 4R2 = 2c2


1
0. Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.


5. Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое


  1. Р
    адиус окружности, вписанной в трапецию, есть среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны трапеции, на которые она разбивается точкой касания.


  2. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то высота трапеции есть среднее геометрическое произведения оснований трапеции


  1. В
    любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен
    среднему арифметическому оснований, если он соединяет середины боковых сторон (т.е. является средней линией трапеции). MN=(a+b)/2.

  2. В
    любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен
    среднему гармоническому оснований, если он проходит через точку пересечения диагоналей KL =2 ab/(a+b)

  1. В любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен среднему геометрическому оснований, если он делит трапецию на две трапеции, подобные между собой.

  2. В
    любой трапеции с основаниями a и b отрезок, параллельный основаниям, концы которого лежат на боковых сторонах, равен
    среднему квадратичному оснований, если он делит трапецию на две трапеции равной площади (равновеликие).


  1. В любой трапеции с основаниями a и b для a > b справедливо неравенство:


b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a
6.Свойства произвольной трапеции

1. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.


2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.


3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.


  1. Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.

5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).

6.Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.


d12 + d22 = c2 + d2 + 2ab

7
. В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований d12 d22 = a2 b2

8. Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.

9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.

7. Признаки трапеции


  1. Ч
    етырехугольник является трапецией тогда и только тогда, когда при его диагональном разбиении ровно два противолежащих треугольника равновелики. При этом квадрат площади каждого из них равен произведению площадей смежных с ним треугольников



  1. Если средняя линия четырехугольника равна полусумме противолежащих ей сторон, то четырехугольник является трапецией (или параллелограммом). Если m= (a+b)/2, то ABCD – трапеция (или параллелограмм)

  2. Т
    рапеция является равнобедренной, если углы при одном из оснований равны.


  3. Если около трапеции можно описать окружность, то трапеция является равнобедренной

8. Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.
2. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.
4
. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований

7.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.


8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.


1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

11. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

12. Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.
13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.

9. Площадь трапеции

1. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b)•h или

П
лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = mh.

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.


  1. П
    лощадь равнобедренной трапеции, диагонали которой перпендикулярны.
    Если диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны, то площадь трапеции равна квадрату средней линии трапеции или квадрату высоты трапеции. S =h2

  2. Площадь произвольной трапеции со сторонами a, b, c, d:

  1. Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:

10. Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.
Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы


  1. Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

  2. Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004

  3. Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.

  4. Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М : Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN5-89155-188-3

  5. Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).

  6. Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.

  7. Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.

  8. Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1.Доказательство некоторых свойств трапеции.

1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L. Доказать, что если основания трапеции равны а и b, то длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

Пусть О — точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b. Пря­мая KL параллельна основанию AD, следовательно, KОAD, треугольники ВKО и BAD подобны, поэтому


( 1 )


  1. AD BC, ∆AOD ~ ∆COB по двум углам. тогда: т.е.

  2. BD = DO + OD, следовательно

( 2 )

Подставим ( 2 ) в ( 1 ), получим KO =

Аналогично LO = Тогда K L= KO + LO =


  1. Во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон ле­жат на одной прямой.

  • Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке К. Через точку К и точку О пересечения диагоналей проведём прямую КО.

Д
K
окажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим ВМ

= х, МС = у, AN = и, ND = v. Имеем:

ВКМ ~ ∆AKN


M

x


B

C

Y
C ~ ∆NKD → →

O

v

u


A

N

D
BMO ∆DNO

CMO ANO поэтому .

Перемножая полученные равенства, получим , откуда следует

x=y, но тогда и u = v.


  1. дачи для самостоятельных работ и их решения

3. Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности.

Садовничий Ю.В. «Математика. Подготовка к ЕГЭ», Москва, ИЛЕКСА, 2011, стр. 252.

1 . В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий сере­дины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции.

Ответ: S = 6.

2. Периметр равнобочной трапеции, описанной около круга, равен р. Найти радиус этого круга, если известно, что острый угол при основании трапеции равен ɑ.

psina
3. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в тра­пецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит ее на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины основа­ний трапеции.

Ответ: 1и 7.


  1. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна b. Найти площадь трапеции.

Ответ: S= 3ab

В трапеции PQRS длина основания QR равна 10, длина диагона­ли QS равна 19, а величина угла QSP равна 30°. Выяснить, что больше, длина основания QR или длина стороны RS.

Ответ: RS > QR.



  1. В трапеции ABCD сторона АВ параллельна CD. Диагонали BD и АС трапеции пересекаются в точке О, причем треугольник ВОС явля­ется равносторонним. Найти длину стороны ВС, если АВ = 5 и CD-3.

  2. В трапеции ABCD основание AD равно 16, сумма диагоналей АС и BD равна 36, угол CAD равен 60°. Отношение площадей тре­угольников AOD и ВОС, где О — точка пересечения диагоналей, рав­но 4. Найти площадь трапеции.

Ответ: S=90√3.

Иванов А.А., Иванов А.П., Математика: Пособие для подготовки к ЕГЭ и поступлению в вузы. – М.: Издательство МФТИ, 2003, стр. 238..

12. Площадь прямоугольной трапеции равна S, острый угол равен а. Найти высоту трапеции, если ее меньшая диагональ равна большему оснозанию. [√2Sctg а]


  1. Около круга радиуса R описана равнобедренная трапеция с острым утлом а при основании. Найти периметр этой трапеции. [8.R: sin а]

  2. В равнобедренной трапеции, описанной около круга, отношение боковой стороны к меньшему основанию равно к. Найти углы трапеции и допустимые значения к.

[arccos(l — 1/к), π — arccos(l — 1/к), к > 1]

  1. На меньшем основании равнобедренной трапеции построен правильный треугольник. Его высота равна высоте трапеции, а площадь в 5 раз меньше площади трапеции. Найти угол при большем основании трапе­ции. [30°]

  2. Основания равнобедренной трапеции равны а и 6 (а > 6), угол при боольшем основании равен а. Найти радиус окружности, описанной около грапеции. [(√/а22+2аbcos2а):(2sin2а)].

  3. Площадь равнобедренной трапеции равна S, угол между ее диагонапями, противолежащий боковой стороне, равен ɑ. Найти высоту трапе­ции…

[√Stg(½ ɑ)]

  1. Равнобедренная трапеция описана около окружности. Ее диагональ равна d, а острый угол при основании равен а. Найти радиус окружности.

  2. В равнобедренной трапеции с основаниями 2 и 6 и углом arccos(—⅔)- найти радиус окружности, касающейся боковой стороны, диагонали и боль­шего основания трапеции.

  3. Отношение радиуса круга, описанного около трапеции, к радиусу круга, вписанного в нее, равно к (к > √2). Найти углы трапеции.


4. Проверочный тест по теме «Трапеция»

В трапеции, имеющей прямой угол, основания равны 5 и 11, а большая диагональ √185. Площадь трапеции составляет


В трапеции боковые стороны и меньшее основание равны Ь, а острый угол вдвое меньше тупого. Площадь трапеции равна

151 в равнобедренной трапеции, описанной около окружности ради­уса 5 м и имеющей основание 20 м, другое основание равно

Меньшее основание трапеции, вписанной в окружность, втрое меньше большего, которое является диаметром окружности.25j В трапеции с диагональю 20, высотой 12 и площадью 150 вторая

диагональ равна

29j Равнобедренная трапеция с острым углом а описана около окруж- ности. Отношение ее большего основания к меньшему равно

Зо| В описанной около круга равнобочной трапеции расстояние от центра круга до дальней вершины трапеции втрое больше, чем до ближ­ней. Тангенс острого угла трапецииравен

Достарыңызбен бөлісу:

Около трапеции можно описать окружность если. Трапеция

Описанная окружность и трапеция. Здравствуйте! Для вас ещё одна публикация, в которой рассмотрим задачи с трапециями. Задания входят в состав экзамена по математике. Здесь они объединены в группу, дана не просто одна трапеция, а комбинация тел – трапеция и окружность. Большинство из таких задачек решаются устно. Но есть и такие на которые нужно обратить особое внимание, например, задача 27926.

Какую теорию необходимо помнить? Это:

Задачи с трапециями, которые имеются на блоге можно посмотреть здесь .

27924. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Отметим, что описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Нам дана средняя линия, значит можем определить сумму оснований, то есть:

Значит сумма боковых сторон будет равна 22–10=12 (периметр минус основания). Так как боковые стороны равнобедренной трапеции равны, то одна сторона будет равна шести.

27925. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60 0 , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Если вы решали задачи с окружностью и вписанным в неё шестиугольником, то сразу озвучите ответ – радиус равен 6. Почему?

Посмотрите: равнобедренная трапеция с углом при основании равным 60 0 и равными сторонами AD, DC и CB, представляет собой половину правильного шестиугольника:

В таком шестиугольнике отрезок соединяющий противоположные вершины проходит через центр окружности. *Центр шестиугольника и центр окружности совпадают, подробнее

То есть большее основание этой трапеции совпадает с диаметром описанной окружности. Таким образом радиус равен шести.

*Конечно, можно рассмотреть равенство треугольников ADO, DOС и OCB. Доказать что они равносторонние. Далее сделать вывод о том, что угол AOB равен 180 0 и точка О равноудалена от вершин A, D, C и B, а и значит АО=ОВ=12/2=6.

27926. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Найдите высоту трапеции.

Отметим, что центр описанной окружности лежит на оси симметрии, при чём если построить высоту трапеции проходящую через этот центр, то она при пересечении с основаниями разделит их пополам. Покажем это на эскизе, также соединим центр с вершинами:

Отрезок EF является высотой трапеции, его нам нужно найти.

В прямоугольном треугольнике OFC нам известна гипотенуза (это радиус окружности), FC=3 (так как DF=FC). По теореме Пифагора можем вычислить OF:

В прямоугольном треугольнике OEB нам известна гипотенуза (это радиус окружности), EB=4 (так как AE=EB). По теореме Пифагора можем вычислить OE:

Таким образом EF=FO+OE=4+3=7.

Теперь важный нюанс!

В этой задаче на рисунке чётко показано, что основания лежат по разные стороны от центра окружности, поэтому задача решается именно так.

А если бы в условии не было дано эскиза?

Тогда у задачи было бы два ответа. Почему? Посмотрите внимательно – в любую окружность можно вписать две трапеции с заданными основаниями:

*То есть при данных основаниях трапеции и радиусе окружности существует две трапеции.

И решение будет «второго варианта» будет следующим.

По теореме Пифагора вычисляем OF:

Также вычислим OE:

Таким образом EF=FO–OE=4–3=1.

Конечно, в задаче с кратким ответом на ЕГЭ двух ответов быть не может, и подобная задача без эскиза дана не будет. Поэтому обратите особое внимание на эскиз! А именно: как расположены основания трапеции. А вот в заданиях с развёрнутым ответом такая в прошлые годы присутствовала (немного с усложнённым условием). Тот, кто рассматривал только один вариант расположения трапеции теряли балл на этом задании.

27937. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40. Найдите ее среднюю линию.

Здесь сразу следует вспомнить свойство четырёхугольника описанного около окружности:

Суммы противоположных сторон любого четырёхугольника описанного около окружности равны.

  1. Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен половине разности оснований
  2. Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей до точки их пересечения — подобны
  3. Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции, стороны которых лежат на боковых сторонах трапеции — равновеликие (имеют одинаковую площадь)
  4. Если продлить боковые стороны трапеции в сторону меньшего основания, то они пересекутся в одной точке с прямой, соединяющей середины оснований
  5. Отрезок, соединяющий основания трапеции, и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, делится этой точкой в пропорции, равной соотношению длин оснований трапеции
  6. Отрезок, параллельный основаниям трапеции, и проведенный через точку пересечения диагоналей, делится этой точкой пополам, а его длина равна 2ab/(a + b), где a и b — основания трапеции

Свойства отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции

Соединим середины диагоналей трапеции ABCD, в результате чего у нас появится отрезок LM.
Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, лежит на средней линии трапеции .

Данный отрезок параллелен основаниям трапеции .

Длина отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции, равна полуразности ее оснований.

LM = (AD — BC)/2
или
LM = (a-b)/2

Свойства треугольников, образованных диагоналями трапеции


Треугольники, которые образованы основаниями трапеции и точкой пересечения диагоналей трапеции — являются подобными .
Треугольники BOC и AOD являются подобными. Поскольку углы BOC и AOD являются вертикальными — они равны.
Углы OCB и OAD являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых AD и BC (основания трапеции параллельны между собой) и секущей прямой AC, следовательно, они равны.
Углы OBC и ODA равны по той же самой причине (внутренние накрест лежащие).

Так как все три угла одного треугольника равны соответствующим углам другого треугольника, то данные треугольники подобны.

Что из этого следует?

Для решения задач по геометрии подобие треугольников используется следующим образом. Если нам известны значения длин двух соответствующих элементов подобных треугольников, то мы находим коэффициент подобия (делим одно на другое). Откуда длины всех остальных элементов соотносятся между собой точно таким же значением.

Свойства треугольников, лежащих на боковой стороне и диагоналях трапеции


Рассмотрим два треугольника, лежащих на боковых сторонах трапеции AB и CD. Это — треугольники AOB и COD. Несмотря на то, что размеры отдельных сторон у данных треугольников могут быть совершенно различны, но площади треугольников, образованных боковыми сторонами и точкой пересечения диагоналей трапеции равны , то есть треугольники являются равновеликими.


Если продлить стороны трапеции в сторону меньшего основания, то точка пересечения сторон будет совпадать с прямой линией, которая проходит через середины оснований .

Таким образом, любая трапеция может быть достроена до треугольника. При этом:

  • Треугольники, образованные основаниями трапеции с общей вершиной в точке пересечения продленных боковых сторон являются подобными
  • Прямая, соединяющая середины оснований трапеции, является, одновременно, медианой построенного треугольника

Свойства отрезка, соединяющего основания трапеции


Если провести отрезок, концы которого лежат на основаниях трапеции, который лежит на точке пересечения диагоналей трапеции (KN), то соотношенее составляющих его отрезков от стороны основания до точки пересечения диагоналей (KO/ON) будет равно соотношению оснований трапеции (BC/AD).

KO / ON = BC / AD

Данное свойство следует из подобия соответствующих треугольников (см. выше).

Свойства отрезка, параллельного основаниям трапеции


Если провести отрезок, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, то он будет обладать следующими свойствами:

  • Заданный отрезок (KM) делится точкой пересечения диагоналей трапеции пополам
  • Длина отрезка , проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции и параллельного основаниям, равна KM = 2ab/(a + b)

Формулы для нахождения диагоналей трапеции


a, b — основания трапеции

c, d — боковые стороны трапеции

d1 d2 — диагонали трапеции

α β — углы при большем основании трапеции

Формулы нахождения диагоналей трапеции через основания, боковые стороны и углы при основании

Первая группа формул (1-3) отражает одно из основных свойств диагоналей трапеции:

1. Сумма квадратов диагоналей трапеции равна сумме квадратов боковых сторон плюс удвоенное произведение ее оснований . Данное свойство диагоналей трапеции может быть доказано как отдельная теорема

2 . Данная формула получена путем преобразования предыдущей формулы. Квадрат второй диагонали переброшен через знак равенства, после чего из левой и правой части выражения извлечен квадратный корень.

3 . Эта формула нахождения длины диагонали трапеции аналогична предыдущей, с той разницей, что в левой части выражения оставлена другая диагональ

Следующая группа формул (4-5) аналогична по смыслу и выражает аналогичное соотношение.

Группа формул (6-7) позволяет найти диагональ трапеции, если известны большее основание трапеции, одна боковая сторона и угол при основании.

Формулы нахождения диагоналей трапеции через высоту


Примечание . В данном уроке приведено решение задач по геометрии о трапециях. Если Вы не нашли решение задачи по геометрии, интересующего Вас типа — задайте вопрос на форуме .

Задача .
Диагонали трапеции ABCD (AD | | ВС) пересекаются в точке О. Найдите длину основания ВС трапеции, если основание АD = 24 см, длина АО = 9см, длина ОС = 6 см.

Решение .
Решение данной задачи по идеологии абсолютно идентично предыдущим задачам.

Треугольники AOD и BOC являются подобными по трем углам — AOD и BOC являются вертикальными, а остальные углы попарно равны, поскольку образованы пересечением одной прямой и двух параллельных прямых.

Поскольку треугольники подобны, то все их геометрические размеры относятся между собой, как геометрически размеры известных нам по условию задачи отрезков AO и OC. То есть

AO / OC = AD / BC
9 / 6 = 24 / BC
BC = 24 * 6 / 9 = 16

Ответ : 16 см

Задача .
В трапеции ABCD известно, что AD=24, ВС=8, АС=13, BD=5√17. Найдите площадь трапеции.

Решение .
Для нахождения высоты трапеции из вершин меньшего основания B и C опустим на большее основание две высоты. Поскольку трапеция неравнобокая — то обозначим длину AM = a, длину KD = b (не путать с обозначениями в формуле нахождения площади трапеции). Поскольку основания трапеции параллельны, а мы опускали две высоты, перпендикулярных большему основанию, то MBCK — прямоугольник.

Значит
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 — b

Треугольники DBM и ACK — прямоугольные, так их прямые углы образованы высотами трапеции. Обозначим высоту трапеции через h. Тогда по теореме Пифагора

H 2 + (24 — a) 2 = (5√17) 2
и
h 2 + (24 — b) 2 = 13 2

Учтем, что a = 16 — b , тогда в первом уравнении
h 2 + (24 — 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 — (8 + b) 2

Подставим значение квадрата высоты во второе уравнение, полученное по Теореме Пифагора. Получим:
425 — (8 + b) 2 + (24 — b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 — b) 2 = -256
-64 — 16b — b 2 + 576 — 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12

Таким образом, KD = 12
Откуда
h 2 = 425 — (8 + b) 2 = 425 — (8 + 12) 2 = 25
h = 5

Найдем площадь трапеции через ее высоту и полусумму оснований
, где a b — основания трапеции, h — высота трапеции
S = (24 + 8) * 5 / 2 = 80 см 2

Ответ : площадь трапеции равна 80 см 2 .

ФГКОУ «МКК «Пансион воспитанниц МО РФ»

«УТВЕРЖДАЮ»

Руководитель отдельной дисциплины

(математика, информатика и ИКТ)

Ю. В. Крылова _____________

«___» _____________ 2015 г.

«Трапеция и ее свойства »

Методическая разработка

преподавателя математики

Шаталиной Елены Дмитриевны

Рассмотрено и

на заседании ПМО от _______________

Протокол №______

Москва

2015 год

Оглавление

Введение 2

    Определения 3

    Свойства равнобедренной трапеции 4

    Вписанные и описанные окружности 7

    Свойства вписанных и описанных трапеций 8

    Средние величины в трапеции 12

    Свойства произвольной трапеции 15

    Признаки трапеции 18

    Дополнительные построения в трапеции 20

    Площадь трапеции 25

10. Заключение

Список используемой литературы

Приложение

    Доказательства некоторых свойств трапеции 27

    Задачи для самостоятельных работ

    Задачи по теме «Трапеция» повышенной сложности

    Проверочный тест по теме «Трапеция»

Введение

Данная работа посвящена геометрической фигуре, которая называется трапеция. «Обычная фигура»,- скажете вы, но это не так. Она таит в себе много тайн и загадок, если приглядеться и углубиться в ее изучение, то вы откроете для себя много нового в мире геометрии, задачи, которые раньше не решались, покажутся вам легкими.

Трапеция — греч.слово trapezion – «столик». Заимств. в 18 в. из лат. яз., где trapezion – греч. Это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Трапеция встречается впервые у древнегреческого ученого Посидония (2 век до н.э.). В нашей жизни много разных фигур. В 7 классе мы близко познакомились с треугольником, в 8 классе по школьной программе мы начали изучать трапецию. Эта фигура заинтересовала нас, а в учебнике непозволимо мало про нее написано. Поэтому мы решили взять это дело в руки и найти информацию про трапецию. ее свойства.

В работе рассматриваются свойства знакомые воспитанницам по пройденному материалу в учебнике, но в большей степени неизвестные свойства, которые необходимы для решения сложных задач. Чем больше количество решаемых задач, тем больше вопросов возникает при решении их. Ответом на эти вопросы иногда кажется тайной, узнавая, новые свойства трапеции, необычные приемы решения задач, а также технику дополнительных построений, мы постепенно открываем тайны трапеции. В интернете, если забить в поисковике, о методах решения задач по теме «трапеция» очень мало литературы. В процессе работы над проектом найден большой объем информации, которая поможет воспитанницам в глубоком изучении геометрии.

Трапеция.

    Определения

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Расстояние между основаниями называется высотой трапеции .

2 . Свойства равнобедренной трапеции



3. Диагонали равнобедренной трапеции равны.

4



1
0. Проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на большее основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали равна помусумме оснований.



3. Вписанная и описанная окружность

Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность.

Е
сли трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

4 . Свойства вписанных и описанных трапеций


2.Если в равнобедренную трапецию можно вписать окружность, то


сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Следовательно, длина боковой стороны равна длине средней линии трапеции.

4 . Если в трапецию вписана окружность, то боковые стороны из ее центра видны под углом 90°.



    Е сли в трапецию вписана окружность, которая касается одной из боковых сторон, разбивает ее на отрезки m и n, тогда радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрезков.


1

0 . Если окружность построена на меньшем основании трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей и касается нижнего основания, то углы трапеции 30°, 30°, 150°, 150°.






5. Средние величины в трапеции

Среднее геометрическое






    В любой трапеции с основаниями a и b для a > b справедливо неравенство :



b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Свойства произвольной трапеции

1
. Середины диагоналей трапеции и середины боковых сторон лежат на одной прямой.



2. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.



3. Отрезки прямой, параллельной основаниям трапеции, пересекающей боковые стороны и диагонали трапеции, заключенные между боковой стороной диагональю, равны.

    Точка пересечения продолжения боковых сторон произвольной трапеции, точка пересечения ее диагоналей и середин оснований лежат на одной прямой.



5. При пересечении диагоналей произвольной трапеции образуются четыре треугольника с общей вершиной, причем треугольники, прилежащие к основаниям, подобны, а треугольники, прилежащие к боковым сторонам, равновелики(т.е. имеют равные площади).

6. Сумма квадратов диагоналей произвольной трапеции равна сумме квадратов боковых сторон, сложенной с удвоенным произведением оснований.


d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. В прямоугольной трапеции разность квадратов диагоналей равна разности квадратов оснований d 1 2 d 2 2 = a 2 b 2

8 . Прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.


9. Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам.

7 . Признаки трапеции


8 . Дополнительные построения в трапеции

1. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон — средняя линия трапеции.

2
. Отрезок, параллельный одной из боковых сторон трапеции, один конец которого совпадает с серединой другой боковой стороны, другой принадлежит прямой, содержащей основание.

3
. Если даны все стороны трапеции, через вершину меньшего основания проводится прямая, параллельная боковой стороне. Получается треугольник со сторонами, равными боковым сторонам трапеции и разности оснований. По формуле Герона находят площадь треугольника, потом высоту треугольника, которая равна высоте трапеции.

4

. Высота равнобедренной трапеции, проведенная из вершины меньшего основания, разбивает большее основание на отрезки, один из которых равен полуразности оснований, а другой полусумме оснований трапеции, т. е. средней линии трапеции.

5. Высоты трапеции, опущенные из вершин одного основания, высекают на прямой, содержащей другое основание, отрезок, равный первому основанию.

6
. Отрезок, параллельный одной из диагоналей трапеции проводится через вершину – точку, являющуюся концом другой диагонали. В результате получается треугольник с двумя сторонами, равными диагоналям трапеции, и третьей – равной сумме оснований


7
.Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований трапеции.

8. Биссектрисы углов, прилежащих к одной из боковых сторон трапеции, они перпендикулярны и пересекаются в точке, лежащей на средней линии трапеции, т.е., при их пересечении образуется прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной боковой стороне.

9. Биссектриса угла трапеции отсекает равнобедренный треугольник.


1
0. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
1. Диагонали произвольной трапеции при пересечении образуют два подобных треугольника с коэффициентом подобия, равным отношению оснований, и два равновеликих треугольника, прилежащих к боковым сторонам.

1
2 . Продолжение боковых сторон трапеции до пересечения дает возможность рассматривать подобные треугольники.

13. Если в равнобедренную трапецию вписана окружность, то проводят высоту трапеции — среднее геометрическое произведения оснований трапеции или удвоенное среднее геометрическое произведения отрезков боковой стороны, на которые она делится точкой касания.


9. Площадь трапеции

1 . Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту S = ½(a + b ) h или

П

лощадь трапеции равна произведению средней линии трапеции на высоту S = m h .

2. Площадь трапеции равна произведению боковой стороны и перпендикуляра, проведенного из середины другой боковой стороны к прямой, содержащей первую боковую сторону.


    Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности равным r и углом при основании α:

10. Заключение

ГДЕ, КАК И ДЛЯ ЧЕГО ИСПОЛЬЗЕУТСЯ ТРАПЕЦИЯ?

Трапеция в спорте: Трапеция — безусловно прогрессивное изобретение человечества. Она предназначена для того, чтобы разгрузить наши руки, сделать хождение на виндсерфере комфортным и легким отдыхом. Хождение на короткой доске вообще не имеет смысла без трапеции, так как без нее невозможно правильно распределить тягу между степсом и ногами и эффективно разогнаться.

Трапеция в моде: Трапеция в одежде была популярна ещё в средние века, в романскую эпоху IX-XI вв. В тот период основу женской одежды составляли туники в пол, к низу туника сильно расширялась, что и создавало эффект трапеции. Возрождение силуэта произошло в 1961-ом году и стало гимном молодости, независимости и утонченности. Огромную роль в популяризации трапеции сыграла хрупкая модель Лесли Хорнби, известная, как Твигги. Невысокая девочка с анорексичным телосложением и огромными глазами стала символом эпохи, а её излюбленными нарядами были короткие платья трапеции.

Трапеция в природе: трапеция встречается и в природе. У человека есть трапециевидная мышца, у некоторых людей лицо имеет форму трапеции. Лепестки цветов, созвездия, и конечно же вулкан Килиманджаро тоже имеют форму трапеции.

Трапеция в быту: Трапеция используется и в быту, т.к ее форма практична. Она встречается в таких предметах как: ковш экскаватора, стол, винт, машина.

Трапеция — символ архитектуры инков. Доминирующая стилистическая форма в архитектуре инков проста, но изящна — это трапеция. Она имеет не только функциональное значение, но и строго ограниченное художественное оформление. Трапециевидные дверные проемы, окна, и стенные ниши найдены в постройках всех типов, и в храмах и в менее значительных зданиях более грубых, если можно так выразиться, постройках. Трапеция встречается и в современной архитектуре. Эта форма зданий является необычной, поэтому такие постройки всегда притягивают взгляды прохожих.

Трапеция в технике: Трапеция используется при конструировании деталей в космических технологиях и в авиации. Например, некоторые солнечные батареи космических станций имеют форму трапеции так как имеют большую площадь, значит накапливают больше солнечной эн

В 21 первом веке люди уже практически не задумываются о значении геометрических фигур в их жизни. Их совершенно не волнует какой формы у них стол, очки или телефон. Они просто выбирают ту форму, которая практична. Но именно от формы той или иной вещи может зависеть использование предмета, его предназначение, результат работы. Сегодня мы познакомили вас с одной из величайших достижений человечества- с трапецией. Мы приоткрыли вам дверь в удивительный мир фигур, поведали вам тайны трапеции и показали, что геометрия вокруг нас.

Список используемой литературы

    Болотов А.А., Прохоренко В.И., Сафонов В.Ф., Математика Теория и Задачи. Книга 1 Учебное пособие для абитуриентов М.1998 Издательство МЭИ.

    Быков А.А, Малышев Г.Ю., ГУВШ факультет довузовской подготовки. Математика. Учебно-методическое пособие 4 часть М2004

    Гордин Р.К. Планиметрия. Задачник.

    Иванов А.А.,. Иванов А.П, Математика: Пособие для подготовки к ЕГЕ и поступлению в вузы-М: Издательство МФТИ,2003-288с. ISBN 5-89155-188-3

    Пиголкина Т.С, Министерство образования и науки РФ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «ЗФТШ Московского физико-технического института (государственного университета)». Математика. Планиметрия. Задания №2 для 10-ых классов (2012-2013 учебный год).

    Пиголкина Т.С., Планиметрия (часть1).Матиматическая Энциклопедия Абитуриента. М., издательство российского открытого университета 1992.

    Шарыгин И.Ф.Избранные задачи по геометрии конкурсных экзаменов в ВУЗЫ (1987-1990) Львов Журнал «Квантор» 1991.

    Энциклопедия «Аванта плюс», Математика М., Мир энциклопедий Аванта 2009.

Приложение

1.Доказательство некоторых свойств трапеции.

1. Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках K и L . Доказать, что если основания трапеции равны а и b , то длина отрезка KL равна среднему геометрическому оснований трапеции. Доказательство

Пусть О — точка пересечения диагоналей, AD = а, ВС = b . Пря­мая KL параллельна основанию AD , следовательно, K О AD , треугольники В K О и BAD подобны, поэтому


(1)

(2)

Подставим (2) в (1) , получим KO =

Аналогично LO = Тогда K L = KO + LO =

    В о всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжения боковых сторон ле­жат на одной прямой.

    Доказательство: Пусть продолжения боковых сторон пересекаются в точке К. Через точку К и точку О пересечения диагоналей проведём прямую КО.

K

Окажем, что эта прямая делит основания пополам.

Обозначим ВМ = х, МС = у, AN = и, ND = v . Имеем:

ВКМ ~ ∆AKN

M

x

B

C

Y

C ~ ∆NKD → →

— (греч. trapezion). 1) в геометрии четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две нет. 2) фигура, приспособленная для гимнастических упражнений. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТРАПЕЦИЯ… … Словарь иностранных слов русского языка

Трапеция — Трапеция. ТРАПЕЦИЯ (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту. … Иллюстрированный энциклопедический словарь

Четырехугольник, снаряд, перекладина Словарь русских синонимов. трапеция сущ., кол во синонимов: 3 перекладина (21) … Словарь синонимов

— (от греческого trapezion, буквально столик), выпуклый четырехугольник, в котором две стороны параллельны (основания трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований (средней линии) на высоту … Современная энциклопедия

— (от греч. trapezion букв. столик), четырехугольник, в котором две противоположные стороны, называемые основаниями трапеции, параллельны (на рисунке АD и ВС), а другие две непараллельны. Расстояние между основаниями называют высотой трапеции (на… … Большой Энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, четырехугольная плоская фигура, в которой две противоположные стороны параллельны. Площадь трапеции равна полусумме параллельных сторон, умноженной на длину перпендикуляра между ними … Научно-технический энциклопедический словарь

ТРАПЕЦИЯ, трапеции, жен. (от греч. trapeza стол). 1. Четырехугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами (мат.). 2. Гимнастический снаряд, состоящий из перекладины, подвешенной на двух веревках (спорт.). Акробатические… … Толковый словарь Ушакова

ТРАПЕЦИЯ, и, жен. 1. Четырёхугольник с двумя параллельными и двумя непараллельными сторонами. Основания трапеции (её параллельные стороны). 2. Цирковой или гимнастический снаряд перекладина, подвешенная на двух тросах. Толковый словарь Ожегова. С … Толковый словарь Ожегова

Жен., геом. четвероугольник с неравными сторонами, из коих две опостенны (паралельны). Трапецоид, подобный четвероугольник, у которого все стороны идут врознь. Трапецоэдр, тело, ограненное трапециями. Толковый словарь Даля. В.И. Даль. 1863 1866 … Толковый словарь Даля

— (Trapeze), США, 1956, 105 мин. Мелодрама. Начинающий акробат Тино Орсини поступает в цирковую труппу, где работает Майк Риббл, известный в прошлом воздушный гимнаст. Когда то Майк выступал вместе с отцом Тино. Молодой Орсини хочет, чтобы Майк… … Энциклопедия кино

Четырехугольник, две стороны которого параллельны, а дведругие стороны не параллельны. Расстояние между параллельными сторонаминаз. высотою Т. Если параллельные стороны и высота содержат а, b и hметров, то площадь Т. содержит квадратных метров … Энциклопедия Брокгауза и Ефрона

Проектная работа « Интересные свойства трапеции » Выполнили: ученицы 10 класса Кудзаева Эллина Баззаева Диана МКОУ СОШ с. Н.Батако Руководитель: Гагиева А.О. 20.11.2015 года

Цель работы: Рассмотреть свойства трапеции, которые в школьном курсе геометрии не изучаются, но при решении геометрических задач ЕГЭ из развернутой части С 4 бывает необходимо знать и уметь применять именно эти свойства.

Свойства трапеции: Если трапеция разделена прямой, параллельной ее основаниям, равным a и в, на две равновеликие трапеции. Тогда отрезок к этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, равен a В к

Свойство отрезка, проходящего через точку пересечения диагоналей трапеции. Отрезок, параллельный основаниям, проходящий через точку пересечения диагоналей равен: а в с

Свойства трапеции: Отрезок прямой, параллельной основаниям трапеции, заключенный внутри трапеции, разбивается ее диагоналями на три части. Тогда отрезки, прилегающие к боковым сторонам, равны между собой. МР=ОК Р М О К

Свойства равнобедренной трапеции: Если в трапецию можно вписать окружность, то радиус окружности есть среднее пропорциональное отрезков, на которые точка касания делит боковую сторону. О С В А Д. Е О

Свойства равнобедренной трапеции: Если центр описанной окружности лежит на основании трапеции, то её диагональ перпендикулярна боковой стороне О А В С Д

Свойства равнобедренной трапеции: В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна её средней линии. С В А Д h

1)Если в условии задачи сказано, что в прямоугольную трапецию вписана окружность, можно использовать следующие свойства: 1. Сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон. 2. Расстояния от вершины трапеции до точек касания вписанной окружности равны. 3. Высота прямоугольной трапеции равна ее меньшей боковой стороне и равна диаметру вписанной окружности. 4. Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов трапеции. 5. Если точка касания делит боковую сторону на отрезки m и n , то радиус вписанной окружности равен

Свойства прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: 1) Четырехугольник, образованный центром вписанной окружности, точками касания и вершиной трапеции — квадрат, сторона которого равна радиусу. (AMOE и BKOM — квадраты со стороной r). 2) Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, то площадь трапеции равна произведению ее оснований: S=AD*BC

Доказательство: Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту: Обозначим CF=m , FD=n . Поскольку расстояния от вершин до точек касания равны, высота трапеции равна двум радиусам вписанной окружности, а

I. Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под углом 90º . 1)∠ABC+∠BAD=180º(как внутренние односторонние при AD∥BC и секущей AB). 2) ∠ABK+∠KAB=(∠ABC+∠BAD):2=90º(так как биссектрисы делят углы пополам). 3) Так как сумма углов треугольника равна 180º, в треугольнике ABK имеем: ∠ABK+∠KAB+∠AKB=180º, отсюда ∠AKB=180-90=90º. Вывод: Биссектрисы углов при боковой стороне трапеции пересекаются под прямым углом. Это утверждение применяется при решении задач на трапецию, в которую вписана окружность.

I I .Точка пересечения биссектрис трапеции, прилежащих к боковой стороне, лежит на средней линии трапеции. Пусть биссектриса угла ABC пересекает сторону AD в точке S. Тогда треугольник ABS — равнобедренный с основанием BS Значит, его биссектриса AK является также медианой, то есть точка K — середина BS. Если M и N — середины боковых сторон трапеции, то MN — средняя линия трапеции и MN∥AD. Так как M и K — середины AB и BS, то MK — средняя линия треугольника ABS и MK∥AS. Поскольку через точку M можно провести лишь одну прямую, параллельную данной, точка K лежит на средней линии трапеции.

III. Точка пересечения биссектрис острых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABK и DCK — равнобедренные с основаниями AK и DK соответственно. Таким образом, BC=BK+KC=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы острых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей меньшему основанию, то меньшее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае меньшее основание в два раза больше боковой стороны.

I V. Точка пересечения биссектрис тупых углов при основании трапеции принадлежит другому основанию. В этом случае треугольники ABF и DCF — равнобедренные с основаниями BF и CF соответственно. Отсюда AD=AF+FD=AB+CD. Вывод: Если биссектрисы тупых углов трапеции пересекаются в точке, принадлежащей большему основанию, то большее основание равно сумме боковых сторон трапеции. У равнобедренной трапеции в этом случае большее основание в два раза больше боковой стороны.

Если равнобедеренную трапецию со сторонами а,в,с, d можно вписать и около неё можно описать окружности, то площадь трапеции равна

Задачи по физике и математике с решениями и ответами

Задача по математике — 4111

Окружность, вписанная в трапецию $ABCD$, касается боковой стороны $AB$ в точке $F$. Найдите площадь трапеции, если $AF=m$, $FB=n$, а меньшее основание трапеции $BC$ равно $b$. Подробнее

Задача по математике — 4112

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 8, а площадь 2, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания. Подробнее

Задача по математике — 4113

Около окружности радиуса $\frac{2}{\sqrt{3}}$ описана равнобедренная трапеция. Угол между диагоналями трапеции, опирающийся на основание, равен $2~arctg\frac{2}{\sqrt{3}}$. Найдите отрезок, соединяющий точки касания окружности с большим основанием трапеции и одной из её боковых сторон. Подробнее

Задача по математике — 4114

В равнобедренную трапецию вписана окружность. Расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей трапеции относится к радиусу как $3:5$. Найдите отношение периметра трапеции к длине вписанной окружности. Подробнее

Задача по математике — 4115

В треугольник вписана окружность радиуса 3. Найдите стороны треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки, равные 4 и 3. Подробнее

Задача по математике — 4117

Стороны треугольника относятся как $5:4:3$. Найдите отношения отрезков сторон, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью. Подробнее

Задача по математике — 4120

Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна $S$. Найдите среднюю линию трапеции, если острый угол при её основании равен $\alpha$. Подробнее

Задача по математике — 4121

В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса $R$. Верхнее основание трапеции в два раза меньше её высоты. Найдите площадь трапеции. Подробнее

Задача по математике — 4122

Периметр равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равен $p$. Найдите радиус этой окружности, если известно, что острый угол при основании трапеции равен $\alpha$. Подробнее

Задача по математике — 4124

Около окружности описана равнобедренная трапеция $ABCD$. Боковые стороны $AB$ и $CD$ касаются окружности в точках $M$ и $N$, $K$ — середина $AD$. В каком отношении прямая $BK$ делит отрезок $MN$? Подробнее

вписанная в многоугольник или угол

Определения

Окружность \(S\) вписана в угол \(\alpha\), если \(S\) касается сторон угла \(\alpha\).

 

Окружность \(S\) вписана в многоугольник \(P\), если \(S\) касается всех сторон \(P\).

В этом случае многоугольник \(P\) называется описанным около окружности.

 

Теорема

Центр вписанной в угол окружности лежит на его биссектрисе.

 

Доказательство


 

Пусть \(O\) – центр некоторой окружности, вписанной в угол \(BAC\). Пусть \(B’\) – точка касания окружности и \(AB\), а \(C’\) – точка касания окружности и \(AC\), тогда \(OB’\) и \(OC’\) – радиусы, проведённые в точки касания, следовательно, \(OC’\perp AC\), \(OB’\perp AB\), \(OC’ = OB’\).

 

Значит, треугольники \(AC’O\) и \(AB’O\) – прямоугольные треугольники, у которых равны катеты и общая гипотенуза, следовательно, они равны, откуда \(\angle CAO = \angle BAO\), что и требовалось доказать.

 

Теорема

В любой треугольник можно вписать единственную окружность, причём центр этой вписанной окружности есть точка пересечения биссектрис треугольника.

 

Доказательство

Проведем биссектрисы углов \(\angle A\) и \(\angle B\). Пусть они пересеклись в точке \(O\).


 

Т.к. \(O\) лежит на биссектрисе \(\angle A\), то расстояния от точки \(O\) до сторон угла равны: \(ON=OP\).

 

Т.к. \(O\) также лежит на биссектрисе \(\angle B\), то \(ON=OK\). Таким образом, \(OP=OK\), следовательно, точка \(O\) равноудалена от сторон угла \(\angle C\), следовательно, лежит на его биссектрисе, т.е. \(CO\) – биссектриса \(\angle C\).

 

Таким образом, точки \(N, K, P\) равноудалены от точки \(O\), то есть лежат на одной окружности. По определению это и есть вписанная в треугольник окружность.

 

Данная окружность единственна, т.к. если предположить, что существует другая вписанная в \(\triangle ABC\) окружность, то она будет иметь тот же центр и тот же радиус, то есть будет совпадать с первой окружностью.

 

Таким образом, попутно была доказана следующая теорема:

 

Следствие

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

 

Теорема о площади описанного треугольника

Если \(a,b,c\) – стороны треугольника, а \(r\) – радиус вписанной в него окружности, то площадь треугольника \[S_{\triangle}=p\cdot r\] где \(p=\dfrac{a+b+c}2\) – полупериметр треугольника.

 

Доказательство


 

\(S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}=\frac12OP\cdot AC+\frac12 ON\cdot AB+\frac12 OK\cdot BC\).

 

Но \(ON=OK=OP=r\) – радиусы вписанной окружности, следовательно,

\[S_{\triangle ABC}=\frac12 r (AC+AB+BC)=p\cdot r\]

Следствие

Если в многоугольник вписана окружность и \(r\) – ее радиус, то площадь многоугольника равна произведению полупериметра многоугольника на \(r\): \[S_{\text{опис.мног-к}}=p\cdot r\]

Теорема

В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

 

Доказательство

Необходимость. Докажем, что если в \(ABCD\) вписана окружность, то \(AB+CD=BC+AD\).


 

Пусть \(M,N,K,P\) – точки касания окружности и сторон четырехугольника. Тогда \(AM, AP\) – отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, следовательно, \(AM=AP=a\). Аналогично, \(BM=BN=b, \ CN=CK=c, \ DK=DP=d\).

 

Тогда: \(AB+CD=a+b+c+d=BC+AD\).

 

Достаточность. Докажем, что если суммы противоположных сторон четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

 

Проведем биссектрисы углов \(\angle A\) и \(\angle B\), пусть они пересекутся в точке \(O\). Тогда точка \(O\) равноудалена от сторон этих углов, то есть от \(AB, BC, AD\). Впишем окружность в \(\angle A\) и \(\angle B\) с центром в точке \(O\). Докажем, что эта окружность будет касаться и стороны \(CD\).


 

Предположим, что это не так. Тогда \(CD\) либо является секущей, либо не имеет общих точек с окружностью. Рассмотрим второй случай (первый будет доказываться аналогично).

 

Проведем касательную прямую \(C’D’ \parallel CD\) (как показано на рисунке). Тогда \(ABC’D’\) – описанный четырехугольник, следовательно, \(AB+C’D’=BC’+AD’\).

 

Т.к. \(BC’=BC-CC’, \ AD’=AD-DD’\), то:

\[AB+C’D’=BC-CC’+AD-DD’ \Rightarrow C’D’+CC’+DD’=BC+AD-AB=CD\]

Получили, что в четырехугольнике \(C’CDD’\) сумма трех сторон равна четвертой, что невозможно*. Следовательно, предположение ошибочно, значит, \(CD\) касается окружности.

 

Замечание*. Докажем, что в выпуклом четырехугольнике не может сторона равняться сумме трех других.


 

Т.к. в любом треугольнике сумма двух сторон всегда больше третьей, то \(a+x>d\) и \(b+c>x\). Складывая данные неравенства, получим: \(a+x+b+c>d+x \Rightarrow a+b+c>d\). Следовательно, сумма любых трех сторон всегда больше четвертой стороны.

 

Теоремы

1. Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 1).

 

2. Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 2).


 

Верны и обратные утверждения: в любой ромб и квадрат можно вписать окружность, и притом только одну.

 

Доказательство

1) Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), в который вписана окружность. Тогда \(AB+CD=BC+AD\). Но в параллелограмме противоположные стороны равны, т.е. \(AB=CD, \ BC=AD\). Следовательно, \(2AB=2BC\), а значит, \(AB=BC=CD=AD\), т.е. это ромб.

 

Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей ромба.

 

2) Рассмотрим прямоугольник \(QWER\). Т.к. прямоугольник является параллелограммом, то согласно первому пункту \(QW=WE=ER=RQ\), т.е. это ромб. Но т.к. все углы у него прямые, то это квадрат.

 

Обратное утверждение очевидно, причем центр этой окружности лежит на пересечении диагоналей квадрата.

Урок Равнобедренную трапецию можно вписать в круг

Равнобедренную трапецию можно вписать в круг


Задача 1

Если трапеция равнобедренная, ее можно вписать в круг. Доказывать.

Доказательство


Пусть ABCD будет равнобедренной трапецией с основаниями AB и CD и
боковых сторон AD и BC ( Рисунок 1a ).

Нам нужно доказать, что существует круг, который проходит через все вершины
трапеции A , B , C и D .

Нарисуем диагонали трапеции AC и BD ( Рисунок 1b ) и
рассмотрим треугольники ABC и ABD .

Эти треугольники имеют общую сторону AB и совпадающие стороны BC и
AD (последнее из-за того, что трапеция ABCD равнобедренная).



Рисунок 1а . К проблеме 1


Рисунок 1b . К решению
Задачи 1

Углы L BAD и L ABC , заключенные между этими конгруэнтными сторонами, совпадают как базовые углы равнобедренной трапеции (см. Урок
Трапеции и их базовые углы в теме Многоугольники раздела Геометрия на этом сайте).

Следовательно, треугольники ABC и ABD конгруэнтны в соответствии с тестом SAS на конгруэнтность треугольников.

Это означает, что углы L ACB и L ADB совпадают как соответствующие углы конгруэнтных треугольников.

Таким образом, углы L ACB и L ADB совпадают и опираются на один и тот же сегмент AB .Значит, эти углы вписываются в круг в соответствии с уроком.
Обратная теорема о вписанных углах в теме Окружности и их свойства раздела Геометрия на этом сайте.

Доказательство завершено.

Обратное утверждение доказано в уроке Две параллельные секущие окружности, отсекающие конгруэнтные дуги в теме Окружности и их свойства раздела Геометрия на этом сайте: если трапеция вписана в окружность, то трапеция равнобедренная.

Комбинируя прямое и обратное утверждения, вы можете заключить, что трапеция может быть вписана в круг тогда и только тогда, когда трапеция равнобедренная .

Другие мои уроки по кругам на этом сайте в логическом порядке
— Окружность, ее хорды, касательные и секущие линии — основные определения,
— Чем длиннее хорда, тем больше ее центральный угол,
— Хорды ​​окружности и радиусы, перпендикулярные хордам,
— Касательная линия к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания,
— Вписанный угол в круг,
— Две параллельные секущие окружности, отсекающие конгруэнтные дуги,
— Угол между двумя хордами, пересекающимися внутри круга,
— Угол между двумя секущими, пересекающимися вне круга,
— Угол между хордой и касательной к окружности,
— Касательные сегменты к окружности от точки за пределами круга,
— Обратная теорема о вписанных углах,
— Части хорд, пересекающиеся внутри круга,
— Метрические соотношения для секущих, пересекающихся вне круга и
— Метрические соотношения для касательной и секущей линий, выпущенных из точки за пределами круга
в разделе Круги и их свойства раздела Геометрия , и
— КАК РАЗБИВАТЬ дугу в окружности с помощью циркуля и линейки,
— КАК найти центр круга, заданного двумя аккордами,
— Решенные задачи по радиусу и касательной к окружности,
— Решенные задачи по вписанным углам,
— Свойство углов четырехугольника, вписанного в круг,
— КАК построить касательную линию к окружности в заданной точке окружности,
— КАК построить касательную линию к окружности через заданную точку вне окружности,
— КАК построить общую внешнюю касательную к двум окружностям,
— КАК построить общую внутреннюю касательную к двум окружностям,
— Решенные задачи на хордах, которые пересекаются внутри круга,
— Решенные задачи на секущих, которые пересекаются вне круга,
— Решенные задачи касательной и секущей линии, выпущенной из точки за пределами круга
— Радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник.
— Решенные проблемы касательных линий, выпущенных из точки за пределами круга.
под текущую тему.

Обзор уроков по Свойствам Кругов находится в этом файле СВОЙСТВА КРУГОВ, ИХ ХОРДЫ, СЕКАНТЫ И ТАНГЕНТЫ.
Вы можете использовать файл обзора или список ссылок выше для навигации по этим урокам.

Для навигации по всем темам / урокам Онлайн-учебника по геометрии используйте этот файл / ссылку ГЕОМЕТРИЯ — ВАШ ОНЛАЙН-УЧЕБНИК.

Четырехугольники по кругу — объяснения и примеры

Мы изучили, что четырехугольник — это четырехугольник с четырьмя углами и четырьмя вершинами.Подробнее читайте в статье «Четырёхугольники» в разделе «Многоугольник».

На экзамене по геометрии экзаменаторы усложняют вопросы, вписывая фигуру внутри другой фигуры и прося вас найти недостающий угол, длину или площадь. Один пример из предыдущей статьи показывает, как вписанный треугольник внутри круга образует две хорды, и следует определенным теоремам.

В этой статье мы обсудим, что такое четырехугольник, вписанный в круг, и теорема о вписанном четырехугольнике.

Что такое четырехугольник, вписанный в круг?

В геометрии четырехугольник, вписанный в круг, также известный как циклический четырехугольник или хордовый четырехугольник, представляет собой четырехугольник с четырьмя вершинами на окружности круга. В четырехугольной вписанной окружности четыре стороны четырехугольника являются хордами окружности.

На приведенном выше рисунке четыре вершины четырехугольника ABCD лежат на окружности окружности.В этом случае диаграмма выше называется вписанным в окружность четырехугольником.

Теорема о вписанном четырехугольнике

Есть две теоремы о вписанном четырехугольнике. Давайте взглянем.

Теорема 1

Первая теорема о круговом четырехугольнике утверждает, что:

Противоположные углы в круговом четырехугольнике являются дополнительными. т.е. сумма противоположных углов равна 180˚.

Рассмотрим схему ниже.

Если a, b, c и d — внутренние углы вписанного четырехугольника, то

a + b = 180˚ и c + d = 180˚.

Давайте это докажем;

Соедините вершины четырехугольника с центром круга.

Вспомните теорему о вписанном угле (центральный угол = 2 x вписанный угол).

COD = 2∠ CBD

COD = 2b

Аналогично, по теореме о перехваченной дуге

COD = 2 CAD

CAD

COD + reflex ∠ COD = 360 o

2a + 2b = 360 o

2 (a + b) = 360 o

Разделив обе стороны на 2, получим

a + b = 180 o .

Значит доказано!

Теорема 2

Вторая теорема о круговых четырехугольниках утверждает, что:

Произведение диагоналей четырехугольника, вписанного в круг, равно сумме произведения двух пар его противоположных сторон.

Рассмотрим следующую схему, где a, b, c и d — стороны вписанного четырехугольника, а D 1 и D 2 — диагонали четырехугольника.

На приведенном выше рисунке

(a * c) + (b * d) = (D 1 * D 2 )

Свойства четырехугольника, вписанного в круг

Существуют несколько интересных свойств вписанного четырехугольника.

  • Все четыре вершины четырехугольника, вписанного в круг, лежат на окружности круга.
  • Сумма двух противоположных углов в циклическом четырехугольнике равна 180 градусам (дополнительные углы)
  • Мера внешнего угла равна размеру противоположного внутреннего угла.
  • Произведение диагоналей четырехугольника, вписанного в круг, равно сумме произведений двух его пар противоположных сторон.
  • Серединные перпендикуляры четырех сторон вписанного четырехугольника пересекаются в центре O.
  • Площадь четырехугольника, вписанного в круг, определяется формулой Брета Шнайдера как:

Площадь = √ [s (sa) (sb) (s — c) (s — c)]

где a , b, c и d — длины сторон четырехугольника.

s = Полупериметр четырехугольника = 0,5 (a + b + c + d)

Давайте рассмотрим теорему, решив несколько примеров задач.

Пример 1

Найдите величину недостающих углов x и y на диаграмме ниже.

Решение

x = 80 o (внешний угол = противоположный внутренний угол).

y + 70 o = 180 o (противоположные углы являются дополнительными).

Вычтем 70 или с обеих сторон.

y = 110 o

Следовательно, размеры углов x и y равны 80 o и 110 o, соответственно.

Пример 2

Найдите угол ∠Q PS в круговом четырехугольнике, показанном ниже.

Решение

QPS — это угол, противоположный ∠ SRQ .

Согласно теореме о вписанном четырехугольнике,

QPS + ∠ SRQ = 180 o (Дополнительные углы)

QPS + 60 o = 180 o

o с обеих сторон.

QPS = 120 o

Итак, величина угла ∠Q PS составляет 120 o .

Пример 3

Найдите размер всех углов следующего вписанного четырехугольника.

Решение

Сумма противоположных углов = 180 o

(y + 2) o + (y — 2) o = 180 o

Упростите.

y + 2 + y — 2 = 180 o

2y = 180 o

Разделим на 2 с обеих сторон, чтобы получить,

y = 90 o

При замене

(y + 2) o ⇒ 92 o

(y — 2) o ⇒ 88 o

Аналогично,

(3x — 2) o = (7x + 2) o

3x — 2 + 7x + 2 = 180 o

10x = 180 o

Разделить на 10 с обеих сторон,

x = 18 o

Заменить.

(3x — 2) o ⇒ 52 o

(7x + 2) o ⇒ 128 o

Практические вопросы

1. Все многоугольники можно вписать в круг. .

A. Да

B. Нет

2. Вписанные четырехугольники также называются _____

A. Захваченные четырехугольники

B. Циклические четырехугольники

C. Тангенциальные четырехугольники

D. Ни один из них.

3.Четырехугольник вписан в круг тогда и только тогда, когда противоположные углы равны ______

A. Соседний

B. Альтернативный

C. Дополнительный

D. Ни один из них.

Ответы

  1. Нет
  2. B
  3. C
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок



Дан полукруг радиуса r. Какой максимум площадь любой трапеции, вписанной в полукруг?

Щелкните здесь, чтобы вызвать анимацию GSP чтобы увидеть, как изменяется площадь вписанной трапеции.

Предполагается, что трапеция максимальной площади будет имеют самое длинное основание по диаметру полукруга. Какие про трапеции ориентированы как на следующей картинке? Какие Можно ли привести аргумент, чтобы показать, что они никогда не достигают максимальной площади?

Нажмите ЗДЕСЬ , чтобы вызвать анимацию GSP Чтобы увидеть площадь вписанной трапеции, варьируйте .


Рассмотрение случая полукруг с единичным радиусом.Максимальная площадь любой трапеции вписанные в полукруг радиуса r будут раз максимальная площадь трапеции, вписанной в полукруг единицы радиус. (ПОЧЕМУ?)


1. Используйте таблицу для оценки максимальная площадь. Один из подходов заключается в следующем. Самая длинная база имеет длину 2r (на диаметре полукруга) и мы можем позволить столбцу A содержать меры высоты h от 0 до р. Тогда размер другой базы будет
.

, и эти значения можно занести в столбец B.Столбец C может накапливаться расчетная площадь трапеций. кликните сюда чтобы увидеть таблицу Excel для r = 10, где высота увеличивается с шагом 0,25. График серии 2 представляет области трапеций.

На какой высоте максимальная площадь? Какая длина чем короче база в этом месте?


2. Напишите функцию для площади и используйте графическую программу. показать кривую и оценить максимальную площадь.Используйте график калькулятор или компьютерная программа для построения графиков.

Подсказка (при необходимости).


3. Используйте неравенство среднего арифметического и среднего геометрического, чтобы найти точную площадь и доказать, что это максимум.

Совет : Пусть x будет длиной более короткого основания.

Справка , если необходимо.


4. Чтобы не думать об этом, используйте исчисление. Настроить функцию для области и установите первую производную на ноль, чтобы найти относительный максимум.


5. Используйте геометрию. Рассмотрим отражение полукруга и вписанная трапеция в диаметр полукруга. Трапеция и его отражение объединяются в шестиугольник, вписанный в круг . . .

Известно ли, что из всех шестиугольников, вписанных в круг, максимальная площадь будет, когда шестиугольник правильный? Если да, то это Проблема решена. Если нет, то как это доказать?


Рассмотрите периметр трапеции, где более короткое основание колеблется от 2г до 0.Есть ли максимальный периметр? Если так, что это? Какая длина самой короткой базы при периметре есть максимум?

Пусть x будет длиной кратчайшего основания. См. ниже. Подобные треугольники ACB и AKC дадут легко вычисляемую длину. для наклонной стороны s через r и x.

Помощь по периметру , если в розыске.


Вернуться к EMAT 4400/6600 Страница

Две параллельные хорды окружности длиной 8 и 10 служат основаниями трапеции, вписанной в окружность.Если длина радиуса круга равна 12, какова наибольшая возможная площадь такой описанной вписанной трапеции?

Рассмотрим рис. 1 и 2

Схематично мы могли бы вставить параллелограмм ABCD в окружность, и при условии, что стороны AB и CD являются хордами окружностей, как показано на фигуре 1 или фигуре 2.

Условие, что стороны AB и CD должны быть хордами окружности, подразумевает, что вписанная трапеция должна быть равнобедренной, потому что

  • диагонали трапеции (# AC # и # CD #) равны, потому что
  • #A hat BD = B hat AC = B hatD C = A hat CD #
    и прямая, перпендикулярная # AB # и # CD #, проходящая через центр E, делит эти хорды пополам (это означает, что # AF = BF # и # CG = DG # и треугольники, образованные пересечением диагоналей с основаниями в # AB # и # CD #, равнобедренные).

Но поскольку площадь трапеции равна
# S = (b_1 + b_2) / 2 * h #, где # b_1 # обозначает основание-1, # b_2 # обозначает основание-2 и # h # обозначает высоту, и # b_1 # параллельно # b_2 #

И поскольку коэффициент # (b_1 + b_2) / 2 # равен в гипотезах на рисунках 1 и 2, важно то, в какой гипотезе трапеция имеет большую высоту (# h #). В данном случае, когда хорды меньше радиуса круга, нет сомнений в том, что в гипотезе фигуры 2 трапеция имеет большую высоту и, следовательно, большую площадь.

Согласно рисунку 2, с # AB = 8 #, # CD = 10 # и # r = 12 #
#triangle_ (BEF) -> cos alpha = ((AB) / 2) / r = (8/2) / 12 = 4/3 = 1/3 #
# -> sin alpha = sqrt (1-1 / 9) = sqrt (8) / 3 = 2sqrt (2) / 3 #
# -> tan alpha = (sin alpha) / cos alpha = (2sqrt (2) / cancel (3)) / (1 / cancel (3)) = 2sqrt (2) #
#tan alpha = x / ((AB) / 2) # => # x = 8 / отмена (2) * отмена (2) sqrt (2) # => # x = 8sqrt (2) #

# треугольник_ (ЭКГ) -> cos beta = ((CD) / 2) / r = (10/2) / 12 = 5/12 #
# -> sin beta = sqrt (1-25 / 144) = sqrt (119) / 12 #
# -> tan beta = (sin beta) / cos beta = (sqrt (119)) / cancel (12)) / (5 / cancel (12)) = sqrt (119) / 5 #
#tan beta = y / ((CD) / 2) # => # y = 10/2 * sqrt (119) / 5 # => # y = sqrt (119) #

Тогда
# h = x + y #
# h = 8sqrt (2) + sqrt (119) #

# S = (b_1 + b_2) / 2 * h = (8 + 10) / 2 (8sqrt (2) + sqrt (119)) = 72sqrt (2) + 9sqrt (119) ~ = 200.002 #

РЕШЕНО: Трапеция вписана в полукруг o…

Расшифровка стенограммы

правильно, давай ответим на этот вопрос. Итак, есть круг с радиусом два, и внутри вписана трапеция, так что основание этой трапеции будет повреждением круга. Хорошо, подсказка говорит, что вы используете угол Fada в качестве индикатора положения других точек на окружности круга. Так что давайте продолжим и воспользуемся этим.Итак, как вы можете видеть, когда фета представляет собой угол прямо здесь, мы можем вычислить, что высота этой трапеции будет соответствовать данным о горизонтальном расстоянии, которое вы видите прямо здесь. Будет со знаком театра. Итак, из-за этого мы знаем, что верхнее основание его трапеции будет иметь длину с синус-тета в четыре кавычки просто из-за симметрии. Так что давайте прямо здесь исправим выражение в терминах вне театра. Площадь за пределами трапеции равна половине некоторой части основы, поэтому она будет в четыре плюс четыре тета-косинуса, умноженных на высоту этой вещи, которая будет знаком Фада.Давайте немного упростим это. Четыре подписанных данных умножить на один плюс данные береговой линии. Теперь то, что мы собираемся сделать, — это найти область за этой штукой, где она будет максимизирована. Итак, мы возьмем производную от A и начнем. Оттуда. Мы позволим ему равняться нулю и будем продавать за данные, которые увеличивают его. Итак, продукт будет для знака производной от знака Sinus co. Таким образом, вы получите Co Cynthia один плюс лаваш береговой линии другой термин. Это будет производная от школы с плюсом.Я сказал, что будет отрицательно. Подпишите, раз подпишите, так что он будет подписан. Квадрат один Приятная вещь, которую вы видите здесь, это то, что синус в квадрате равен квадрату крутой науки минус один. Или он один? На самом деле это крутая наука с одним минусом. Где мой папа. Да, или другими словами, один плюс данные со знаком умножить на один минус данные со знаком. Так что, когда это равно нулю, четверка не имеет значения. Вы можете переписать его как тета-косинус, умноженный на единицу, плюс данные косинуса минус один минус данные береговой линии, умноженные на единицу, плюс данные береговой линии. Таким образом, вы можете вынести за скобки один плюс данные береговой линии, а знак co минус отрицательный co знак будет слишком близок в бета-версии минус один.А если вы продали по косинусу тета, оно будет либо отрицательным, либо половиной. Итак, возвращаясь к единичному кругу, давайте вспомним, что это значит. Cool sine theta — координата X. Итак, если координата X является отрицательной, мы знаем, что угол равен 180 градусам. Итак, с точки зрения трапеции, здесь произойдет то, что трапеция будет полностью плоской. Таким образом, это выражение фактически минимизирует площадь. Если это половина, да, это даст вам максимальную ценность. Итак, давайте на самом деле разберемся, какой будет эта область сейчас.Если косинус равен половине, координата X равна половине. Мы предполагаем, что угол будет в первом квадранте, поэтому мы просто воспользуемся этим. И это очень знакомый треугольник. Мы знаем, что соотношение будет 12 рут три. Это треугольник 30 60 90. Таким образом, когда косинус тета является половинным знаком данных, это третий маршрут, поэтому, если правильно использовать этот факт, площадь максимизируется, когда косинус равен половине. Итак, если вы рассчитываете, это будет четыре раза через три, умноженное на один плюс половина, и это упрощается до трех Маршрут три, и это будет нашим ответом.И вот как вы решаете подобные проблемы?

% PDF-1.4 % 987 0 объект > эндобдж xref 987 128 0000000016 00000 н. 0000003880 00000 н. 0000003965 00000 н. 0000004211 00000 н. 0000005077 00000 н. 0000005132 00000 н. 0000005182 00000 н. 0000005260 00000 п. 0000005336 00000 п. 0000005413 00000 н. 0000005488 00000 н. 0000005566 00000 н. 0000005822 00000 н. 0000009241 00000 н. 0000009615 00000 н. 0000010018 00000 п. 0000010365 00000 п. 0000010635 00000 п. 0000011000 00000 п. 0000011371 00000 п. 0000017973 00000 п. 0000018474 00000 п. 0000018886 00000 п. 0000019119 00000 п. 0000023885 00000 п. 0000024246 00000 п. 0000024648 00000 п. 0000024923 00000 п. 0000025579 00000 п. 0000026016 00000 п. 0000026255 00000 п. 0000026705 00000 п. 0000027451 00000 п. 0000028221 00000 п. 0000028643 00000 п. 0000028694 00000 п. 0000028745 00000 п. 0000028784 00000 п. 0000028835 00000 п. 0000028886 00000 п. 0000030537 00000 п. 0000030827 00000 н. 0000031112 00000 п. 0000031317 00000 п. 0000031697 00000 п. 0000031755 00000 п. 0000032105 00000 п. 0000032412 00000 п. 0000033363 00000 п. 0000033536 00000 п. 0000033907 00000 п. 0000034322 00000 п. 0000034491 00000 п. 0000035370 00000 п. 0000035870 00000 п. 0000037347 00000 п. 0000037493 00000 п. 0000039952 00000 н. 0000040250 00000 п. 0000040598 00000 п. 0000041142 00000 п. 0000041657 00000 п. 0000041718 00000 п. 0000041781 00000 п. 0000043288 00000 п. 0000044499 00000 н. 0000044695 00000 п. 0000045815 00000 п. 0000045869 00000 п. 0000047007 00000 п. 0000047386 00000 п. 0000047650 00000 п. 0000048547 00000 п. 0000049099 00000 н. 0000059599 00000 н. 0000071328 00000 п. 0000074146 00000 п. 0000077438 00000 п. 0000078722 00000 п. 0000084809 00000 п. 0000087502 00000 п. 0000093451 00000 п. 0000099307 00000 п. 0000100263 00000 н. 0000103669 00000 н. 0000104237 00000 п. 0000104820 00000 н. 0000105372 00000 п. 0000105967 00000 н. 0000106547 00000 н. 0000106659 00000 н. 0000108106 00000 п. 0000108348 00000 п. 0000108691 00000 п. 0000108754 00000 н. 0000109651 00000 п. 0000109871 00000 п. 0000110162 00000 п. 0000110393 00000 н. 0000110550 00000 н. 0000114240 00000 н. 0000115835 00000 н. 0000117391 00000 н. 0000117561 00000 н. 0000117707 00000 н. 0000117868 00000 н. 0000118042 00000 н. 0000118215 00000 н. 0000118385 00000 н. 0000118555 00000 н. 0000118701 00000 н. 0000121269 00000 н. 0000121438 00000 н. 0000121584 00000 н. 0000121730 00000 н. 0000121900 00000 н. 0000122046 00000 н. 0000124006 00000 н. 0000124178 00000 н. 0000125255 00000 н. 0000126383 00000 п. 0000143982 00000 н. 0000145717 00000 н. 0000146923 00000 н. 0000164522 00000 н. 0000166287 00000 н. 0000167823 00000 н. 0000002856 00000 н. трейлер ] / Предыдущее 2012440 >> startxref 0 %% EOF 1114 0 объект > поток h ެ ole qci = (; BYi) AтYqi-Ņ \ i — nN Չ * F / h% 5 ً؋ X | i.OIrs

Вся элементарная математика — Учебное пособие — Геометрия

Вписанный многоугольник. Описанный многоугольник. По кругу
о многоугольнике. Ввести в многоугольник. Радиус вписанной окружности
в треугольник. Радиус описанной окружности около треугольника.
Правильный многоугольник. Центр правильного многоугольника. Apothem.
Соотношение сторон и радиусов правильного многоугольника.

Вписанный в окружность многоугольник представляет собой многоугольник, вершины которого расположены на окружности (рис.54) . Многоугольник, описанный вокруг Окружность представляет собой многоугольник, стороны которого касаются окружности (рис.55).

Соответственно, окружность, проходящая через вершины многоугольника (рис. 54), называется окружностью , описанной вокруг многоугольника ; окружность, для стороны многоугольника являются касательными (рис.55), называется окружностью , вписанной в многоугольник. Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него круг и описать вокруг него круг. Для треугольника всегда можно . Радиус r вписанной окружности выражается сторонами a, b, c a. треугольник как:

Радиус R описанной окружности выражается формулой:

Можно вписать круг в четырехугольник , если суммы его противоположных сторон одинаковы. В случае параллелограммов это справедливо только для ромб (квадрат). Центр вписанной окружности находится в точке пересечения диагоналей.Можно описать круг вокруг четырехугольник , если сумма его противоположных углов равна 180 град. В случае параллелограммов это действительно только для прямоугольника (квадрата). Центр описанной окружности помещается в точку пересечения диагоналей. Можно описать круг вокруг трапеции, только если это равнобедренный.

Правильный многоугольник — это многоугольник с равными сторонами и углами

На рис.56 показан правильный шестиугольник, на рис. 57 — правильный восьмиугольник. Правильный четырехугольник — это квадрат; правильный треугольник — это равносторонний треугольник. Каждый угол правильного многоугольника равен 180 ( n 2) / n градусов, , где n — количество углов. Внутри правильного многоугольника есть точка O (рис. 56), одинаково удаленная. от всех его вершин (OA = OB = OC = = OF), который называется центром правильного многоугольника. Центр также удален одинаково со всех сторон правильный многоугольник (OP = OQ = OR =).Сегменты OP, OQ, OR называются апофемами ; отрезки OA, OB, OC, радиуса правильного многоугольника. это можно вписать окружность в правильный многоугольник и описать вокруг него окружность. Центры вписанной и описанной окружностей совпадают с центром правильный многоугольник.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск