Нахождение определенного интеграла: Как решать сложные определенные интегралы. Решение определенного интеграла онлайн. Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

{\prime}(t) \cdot d t$

Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int \frac{d x}{3-5 x}$

Решение. Заменим знаменатель на переменную $t$ и приведем исходный интеграл к табличному.

$$\int \frac{d x}{3-5 x}\left\|\begin{array}{l} 3-5 x=t \\ -5 d x=d t \\ d x=-\frac{d t}{5} \end{array}\right\|=\int \frac{-\frac{d t}{5}}{t}=-\frac{1}{5} \int \frac{d t}{t}=$$

$=-\frac{1}{5} \ln |t|+C=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$

Ответ. $\int \frac{d x}{3-5 x}=-\frac{1}{5} \ln |3-5 x|+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

Содержание

4. Интегрирование по частям

Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

$\int u d v=u v-\int v d u$

При нахождении функции $v$ по ее дифференциалу $d v$ можно брать любое значение постоянной интегрирования $C$, так как она в конечный результат не входит.

Поэтому для удобства будем брать $C=0$ .

Использование формулы интегрирования по частям целесообразно в тех случаях, когда дифференцирование упрощает один из сомножителей, в то время как интегрирование не усложняет другой.

Пример

Задание. Найти интеграл $\int x \cos x d x$

Решение. В исходном интеграле выделим функции $u$ и $v$, затем выполним интегрирование по частям.

$$\int x \cos x d x\left\|\begin{array}{ll} u=x & v=\sin x \\ d u=d x & d v=\cos x d x \end{array}\right\|=x \sin x-\int \sin x d x=$$

$=x \sin x+\cos x+C$

Ответ. $\int x \cos x d x=x \sin x+\cos x+C$

Подробнее о данном методе решении интегралов по ссылке →

Читать дальше: метод непосредственного интегрирования.

3. Вычисление определенного интеграла. Использование численных методов при решении инженерных задач

Похожие главы из других работ:

Алгоритм интегрирования методом Монте-Карло для определенного интеграла

3.
2 Алгоритм интегрирования методом Монте-Карло для определенного интеграла

Предположим, требуется вычислить определённый интеграл Рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на отрезке интегрирования . Тогда также будет случайной величиной, причём её математическое ожидание выражается как…

Изучение функциональных возможностей математического редактора MathCAD и офисного приложения MS Excel

1.4 Вычисление значения интеграла

Задание 4.1. Вычислить неопределенный интеграл Рис. 12 — Вычисление неопределенного интеграла. Задание 4.2. Вычислить значение определенного интеграла Рис. 13 — Вычисление определенного интеграла…

Использование численных методов при решении инженерных задач

3. Вычисление определенного интеграла

Ставится задача вычислить интеграл вида: — площадь фигуры, где a и b — нижний и верхний пределы интегрирования; f(x) — непрерывная функция на отрезке [а, b]…

Исследование методов вычисления определенных интегралов

Программное вычисление

По блок-схеме была создана программа для вычисления интеграла методами Симпсона и трапеций: // Вводим переменные: var Form2: TForm2; a,b,E,h,S,S1,x: real; n, i: integer; implementation { TForm2 } uses unit1,unit3,unit4. ..

Приложение, позволяющее производить расчет заданной электрической схемы с различными параметрами

3.1 МЕТОД РАСЧЕТА ИНТЕГРАЛА ДЮАМЕЛЯ

Расчет переходных процессов с помощью интеграла Дюамеля При использовании интеграла Дюамеля переменную, по которой производится интегрирование, обозначают , а момент времени, в который надо найти ток в цепи, обозначают через t…

Применение технологии «Nvidia CUDA» для неграфических вычислений

3.1 Вычисление интеграла

Для оценки скорости вычисления на CPU и GPU, вычислим интеграл методом прямоугольников на отрезке от 0 до 1 с числом шагов = 10000000, по формуле: Для расчёта на CPUиспользован язык C, исходный код программы см. Приложение А…

Проектирование сложных систем

3. Создание программы, которая будет подсчитывать время выполнения определенного цикла

В программе будем использовать последовательность с тремя кадрами. Будут обеспечены следующие функции: * первичная инициализация системного времени; * фрагмент программы. ..

Разработка приложений на С, Pascal, Delphi

Глава 1. Нахождение значения интеграла с заданной точностью

Разработка приложений на С, Pascal, Delphi

1.1 Способы нахождения значения определённого интеграла

Численные методы основаны на замене интеграла I= конечной суммой = где — числовые коэффициенты, — точки отрезка [a; b], k=0, 1, …, n. Приближённое равенство ?, «называется квадратурной формулой, коэффициенты — коэффициентами квадратурной формулы…

Разработка приложений на С, Pascal, Delphi

1.4 Алгоритм программы вычисления определённого интеграла

Блок-схема 1 Функция lpf1 Блок-схема 2 Функция lpf2 Блок-схема 4 Функция lpintegra1 Блок-схема 5 Функция lpintegralf2 Блок-схема 6…

Расчет балки и поршня в Ansys

2.2.8 Вычисление

2.2.9 Вывод результатов вычисления Литература Приложение 1 Приложение 2 Введение ANSYS — это программа для проектирования и анализа Эта программа предлагает непрерывно растущий перечень расчетных средств. ..

Расчет балки и поршня в Ansys

1.2.8 Вычисление

Main Menu> Solution> Solve> Current LS> OK. Сохранение лог файла: Utility Menu> File> Write DB log file> выбираем место где сохранить лог файл и задаем имя лог файла> ОК. Лог файл расчета балки представлен в приложении А. 1.2…

Численное интегрирование функции двух переменных

2.1 Понятие двойного интеграла

Двойной интеграл — это обобщение определенного интеграла на двумерный случай. Т.е. для определения понятия двойного интеграла используется функция, зависящая уже от двух переменных: f (x,y). Эта функция должна быть определена на некоторой…

Численное интегрирование функции двух переменных

2.2 Геометрический смысл двойного интеграла

Для того, чтобы понять, что же представляет из себя двойной интеграл с геометрической точки зрения, давайте посмотрим на рисунок ниже. Рисунок 1 — Геометрический смысл двойного интеграла Итак. ..

Численные методы решения инженерных задач на электронных вычислительных машинах

Вычисление определенного интеграла на заданном отрезке с использованием метода правых прямоугольников

В случае если функция положительна на некотором отрезке , то значение определенного интеграла этой функции на данном отрезке численно равно площади фигуры, ограниченной сверху графиком функции, а снизу — осью координат…

Презентация «Нахождение неопределенного и определенного интегралов. Геометрическое приложение определенного интеграла»

библиотека

материалов

Содержание слайдов

Номер слайда 1

Нахождение неопределенного и определенного интегралов. Геометрическое приложение определенного интеграла

Номер слайда 2

«Недостаточно только получить знания, надо их систематизировать и найти им достойное приложение». Гёте И. (Немецкий поэт и мыслитель18 века.) «Не в количестве знаний заключается образование, но в полном понимании и искусном применении всего того, что знаешь.» Дистервег А. (Немецкий педагог и политик 19 века.) «Повторение – мать учения». (Русская народная пословица.)

Номер слайда 3

Цель занятия : Повторение, систематизация и применение  знаний по теме «Неопределённый и определённый интегралы».

Номер слайда 4

Номер слайда 5

1) Что называется неопределённым интегралом? 2) Как обозначается, читается  неопределённый интеграл? 3) Дописать на доске продолжение формулы 4) Дописать на доске продолжение формулы  5) Дописать на доске продолжение формулы    6) Дописать на доске продолжение формулы   7) Как обозначается (читается) определённый интеграл   8) Дописать на доске формулу Ньютона – Лейбница 

Номер слайда 6

Написать для каждой фигуры Формулу, для вычисления ее площади, с помощью определенного интеграла. S=S1+S2 S = S1 — S2

Номер слайда 7

Найдём абсциссы точек пересечения графиков.  Для этого решим уравнение — х2 +4х=х   Задача 7: Вычислить площадь земельного участка ограниченного участком параболы у = — х2+4х и отрезком прямой у = х. Решение:   Построим графики указанных функций в одной системе координат.  -х2 +4х -х=0    — х2 +3х=0     х(3-х)=0     х=0 или х=3. Площадь искомой фигуры равна разности площадей двух криволинейных трапеций, а значит разности двух определённых интегралов на промежутке [0;3].    S= |  = (-9+27/2) -0 =9/2 = 4,5 (кв.ед).

Номер слайда 8

Домашнее задание Задача № 1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами У= — х2+8х -5,  у =  х2 -2х +3. Задача №2 Вычислить площадь фигуры, ограниченной  линиями:

Номер слайда 9

Неопределённые и определённые интегралы.

Методы интегрирования. Алгебра, 11 класс: уроки, тесты, задания.
1. Табличные интегралы

Сложность: лёгкое

1
2. Определённый интеграл степенной функции

Сложность: лёгкое

2
3. Основной интеграл тригонометрической функции

Сложность: лёгкое

3
4. Неопределённый интеграл от дробной функции

Сложность: среднее

4
5. Неопределённый интеграл от дробной тригонометрической функции

Сложность: среднее

3
6. Неопределённый интеграл от показательной функции

Сложность: среднее

4
7. Неопределённый интеграл, метод замены переменной, натуральный логарифм

Сложность: среднее

4
8. Неопределённый интеграл, метод замены переменной, тригонометрические функции

Сложность: среднее

4
9. Определённый интеграл, функция, содержащая квадратный корень

Сложность: среднее

4
10. Определённый интеграл, тригонометрическая функция

Сложность: среднее

4
11. Определённый интеграл, геометрический смысл

Сложность: сложное

4
12. Вычисление силы сжатия пружины

Сложность: сложное

4
13. Физический смысл определённого интеграла

Сложность: сложное

5

Численное вычисление интегралов



Численное вычисление интегралов  5.3. Численное вычисление определенных интегралов

 Технология приближенного вычисления

Для численного вычисления определенного интеграла существует несколько методов. Наиболее простым является метод трапеций. Для вычисления определенного интеграла по методу трапеций используется формула:

Технология вычисления определенного интеграла в электронной таблице основана на построении табличных значений подинтегрального выражения для каждого шага интегрирования. Используя его можно получить лишь приближенное значение интеграла. Технологию численного вычисления определенного интеграла в Excel с использованием формулы трапеций рассмотрим на примере.

Пример 19. Требуется вычислить определенный интеграл      Величина интеграла, вычисленная аналитически, равна 9.

Решение:

1. Табулируйте подинтегральную функцию в диапазоне изменения значений аргумента 0 – 3 с шагом 0,2 (рис. 30)

 Рисунок 30

2. В ячейку С2 введите формулу = (A3-A2)*B2+(A3-A2)*(B3-B2)/2, которая реализует часть приведенной выше формулы, размещенной правее знака суммы, т.е вычисляет величину элементарной площадки (трапеции).

3. Скопируйте буксировкой формулу, записанную в ячейке С2 до значения ар-гумента х = 2,8.

4. В ячейке С17 просуммируйте с помощью автосуммирования полученные ре-зультаты. Вычисленное значение в ячейке С17 и будет величиной интеграла — 9.

Технология точного вычисления

Технология точного вычисления основана на использовании аппарата циклических ссылок и итераций. Применение этой технологии позволяет задавать достаточно малый шаг интегрирования, что увеличивает точность вычислений. Для точного вычисления нужно выполнить следующие операции:

1.   Определить на сколько интервалов нужно разбить диапазон интегрирования, чтобы получить требуемую точность, и задать их количество в виде количества итераций. Положим для решения нашей задачи достаточно 10000 интервалов.

2.  Выполним команду меню Сервис ð Параметры, откроем закладку Вычисления в диалоговом окне Параметры и в поле Предельное число итераций введем число 10000. Если установлен флажок Итерации, то выключим его. Закроем диалоговое окно Параметры.

3.  В ячейки рабочего листа введем исходные данные и формулы для вычислений (рис. 31).

Рис. 31

В ячейке В6 формула =(B4-B2)/B5 вычисляет шаг интегрирования. В ячейке С3 формула = 0+C3+B6 – вычисляет текущее значение аргумента х. Значение 0 в формуле устанавливает нижний предел интегрирования. В формуле есть циклическая ссылка на эту же ячейку  — С3 +В6, она реализует накопление величины х относительно нижнего предела.

В ячейке D3 записана формула, реализующая метод трапеций и накопление суммы площадей элементарных трапеций.

4.  После ввода исходных данных и формул вновь выполним команду меню Сервис ð Параметры, откроем закладку Вычисления в диалоговом окне Параметры и установим флажок Итерации. Щелкнем на кнопке ОК. Потребуется некоторое время для того, чтобы табличный процессор выполнил заданное количество циклов итераций и вычислил результат (рис. 44).

5.  После завершения вычислений вновь вызовем диалоговое окно Параметры и выключим флажок Предельное число итераций.

  К предыдущей    К следующей    Открыть содержание темы

Определенные интегралы и площади — Концепция

Определенные интегралы можно использовать для нахождения площади под кривыми, над ними или между ними. Если функция строго положительна, площадь между ней и осью абсцисс представляет собой просто определенный интеграл. Если он просто отрицательный, площадь в -1 раз больше определенного интеграла. При нахождении площади между двумя положительными функциями площадь представляет собой определенный интеграл от высшей функции за вычетом низшей функции или определенный интеграл от (f (x) -g (x)).

Я хочу поговорить о том, как можно использовать определенные интегралы для нахождения площади. Во-первых, есть 2 основных вида проблем с площадями. Сначала область между y=f кривой x и осью x от x=a до x=b. Эта ситуация выглядит так.
Итак, если это ваш график y=f от x. Если ваш график, если ваша функция совсем не отрицательна на этом интервале, то есть выше оси абсцисс, то определенный интеграл точно даст вам площадь.Однако, если ваша функция y=f от x находится здесь внизу, если она ниже оси x, если она неположительна, определенный интеграл не дает вам площадь, он дает вам противоположную площадь. Поэтому, если вы ищете эту площадь, вы можете использовать определенный интеграл, но вам просто нужно не забыть перевернуть знак. Вы собираетесь получить отрицательное число, вы должны сделать его положительным. Так что просто имейте это в виду. Когда функция отрицательна, вы получите противоположную площадь, когда она положительна, вы получите площадь.
И вторая проблема это площадь между 2-мя кривыми. Итак, скажем, наши 2 кривые: y=f от x и y=g от x. И нас интересует область между x=a и x=b, и вот ситуация. y=f x является более высокой из двух кривых, y=g x является более низкой. Так вот что я сказал здесь. Когда f от x больше или равно g от x на интервале, площадь, вот эта площадь, эта полоса будет равна площади при y=f от x. Это вся площадь под этой кривой и над осью x за вычетом площади под y=g x.Вот эта область здесь. Так что возьмите всю площадь, вычтите это. И каждая из этих областей может быть представлена ​​интегралами. Итак, это площадь под f x. Это площадь под g от x и мы ее вычитаем, потому что получается, что эту разность интегралов можно записать как интеграл от разности функций. Таким образом, вы можете объединить в один интеграл всю площадь между двумя кривыми. Это интеграл от a до b, от левой конечной точки до правой конечной точки верхней функции минус нижняя функция.Теперь мы будем использовать это в следующих задачах.

Определенные интегралы

Определенные интегралы

Определенные интегралы

Предположим, вам нужно рассчитать скорость теплового потока через окно. Поток зависит от многих факторов. Оконная зона – одна из них. Как вы нашли этот район?

Для прямоугольного окна вы просто умножаете ширину окна на высота окна.
Напишем это в немного неуклюжей форме.
Пусть ось x будет горизонтальной осью, а ось y — вертикальной осью.
Пусть левый угол окна будет равен x 1 , а правый угол — x 2 .
Ширина окна ∆x = x 2 — x 1 .
Пусть высота окна равна y = f(x) = h.
Тогда площадь окна равна A = f(x)∆x = h(x 2 — x 1 ).

Теперь предположим, что окно не прямоугольное, а имеет параболическую форму. Основание окна по-прежнему простирается от x 1 до x 2 . Но для высоты y имеем

y = f(x) = (4h/∆x 2 )[-x 2 + (2x 1 + ∆x)x — x 1 (x 1 + ∆x)].

Это уравнение параболы, которая пересекает ось x в точке x 1 и x 1 + ∆x и имеет высоту h.

Как найти площадь этого окна?
Найдем приблизительную площадь, разделив область между x 1 и x 2 на N равных интервалов ∆x i , i = 1 до N.
Если N достаточно велико и, следовательно, ∆x i достаточно мало, площадь окно над j-м интервалом ∆x j очень близко к области прямоугольник f(x j )∆x j .
Затем мы можем найти площадь вдовы, просуммировав площади всех маленьких прямоугольников.

А = ∑ 1 N f(x i )∆x i .

Сумма указана по всем i от 1 до N.

Мы можем сделать это, например, с помощью электронной таблицы.Чем меньше мы делаем ∆x i , тем ближе наша расчетная площадь приближается к истинная площадь окна. Положив ∆x i —> 0, мы преобразуем сумму в определенный интеграл .
Обозначение lim ∆xi—>0 x1 x2 f(x i )∆x i = ∫ x1 x2 f(x)dx. Здесь dx обозначает бесконечно малый интервал.

Определенный интеграл представляет собой площадь под кривой f(x) из некоторой начальной позиции x i в некоторую конечную позицию x f .

Области выше оси x положительны, а области ниже оси x отрицательны.

Электронная таблица (или другие компьютерные программы) может использоваться для оценки определенного интеграл численно путем преобразования его в сумму по большому числу очень небольшие интервалы. Вычисление определенного интеграла аналитически (если возможно) является более быстрым способом нахождение площади под кривой.


Для многих общих функций f(x) вы можете найти формулу ∫f(x)dx в таблице интегралы или онлайн.
Например, если f(x) = c*x n , где c — константа, а n — любое число, не равно -1, тогда

∫f(x)dx = ∫c*x n dx = F(x) = c*x n+1 /(n+1).

Определенный интеграл ∫ x1 x2 f(x)dx находится по формуле вычисление F(x) в пределах интегрирования.
x1 x2 f(x)dx = F(x)| x1 x2 = F(x 2 ) — F(x 1 ).
Например, ∫ x1 x2 c*x n dx = c*x 2 n+1 /(n+1) —  c*x 1 n+1 /(n+1).


Нахождение площади нашего окна с помощью

f(x) = (4h/∆x 2 )[-x 2 + (2x 1 + ∆x)x — x 1 (x 1 + ∆x)],

интегрируем f(x) от x 1 до x 2 = x 1 + ∆x.

∫f(x)dx = (4h/∆x 2 )[-∫x 2 dx + (2x 1 + ∆x)∫x 1 dx — х 1 1 + ∆x) ∫x 0 dx]
=-(4h/∆x 2 )[-x 2 /3 + (2x 1 + ∆x)x 2 /2 — х 1 1 + ∆x) х 1 /1]  = F(x)
x1 x2 f(x)dx = F(x 2 ) — F(x 1 ).

Обратите внимание, что константы можно вынести за скобки, чтобы упростить запись.

Упростим и выберем x 1 = 0, x 2 = 1 и h = 1. ∆x = 1,
Тогда f(x) = 4[-x 2 + x],  ∫f(x)dx = 4[-∫x 2 dx + ∫xdx] = 4[-x 3 /3 + х 2 /2] = F(х)
F(x 2 ) — F(x 1 ) = 4[-1/3 + 1/2] = 2/3.
Сравните это с результатом численного интегрирования с помощью электронная таблица.


В этом семестре мы встретим лишь несколько интегралов.
Один раз вы можете столкнуться с

  • ∫x n dx = x n+1 /(n+1) n ≠ -1,
  • ∫x -1 dx = ln(x),
  • ∫e -ax dx = e -ax /a,
  • ∫sin(x)dx = -cos(x),
  • ∫cos(x)dx = sin(x).

Ресурсы:
Калькулятор интегралов
Онлайн-калькулятор интегралов Wolfram

Wolfram|Alpha Примеры: Интегралы


Неопределенные интегралы

Найдите первообразные математических выражений.

Вычислите неопределенный интеграл:

Вычислите неопределенный интеграл, который не может быть выражен в элементарных терминах:

Сгенерируйте таблицу интегралов, содержащих заданную функцию:

Еще примеры


Определенные интегралы

Найдите интегралы с нижним и верхним пределами, также известные как интегралы Римана.

Вычислить определенный интеграл:

Вычислите неправильный интеграл:

Сгенерируйте таблицу определенных интегральных формул:

Еще примеры


Несколько интегралов

Вычислить определенные вложенные интегралы от нескольких переменных.

Вычислите кратный интеграл:

Вычислите интеграл по неограниченной области:

Еще примеры


Другие примеры

Численная интеграция

Интегрируйте выражения, используя числовую аппроксимацию.

Численно интегрируйте функции, которые не могут быть интегрированы символически:

Аппроксимируйте интеграл, используя указанный численный метод:

Еще примеры


Интегральные представления

Исследуйте интегральные представления различных математических функций.

Найдите интегральное представление для функции:

Еще примеры


Интегралы, относящиеся к специальным функциям

Найдите определенные или неопределенные интегралы, включающие определенную специальную функцию.

Исследуйте интересные неопределенные интегралы, содержащие специальные функции:

Исследуйте интересные определенные интегралы, содержащие специальные функции:

Еще примеры

Модуль 16.

Основная теорема

В этом уроке представлена ​​новая формулировка основной теоремы исчисления вместе со следствием, которое используется для аналитического нахождения значения определенного интеграла.


Переформулировка основной теоремы

Вы открыли Фундаментальную теорему в контексте нахождения площадей под кривой, но более общая версия этой теоремы может быть доказана без обращения к площади. Ниже приводится переформулировка основной теоремы.

Если f непрерывна на [ a , b ], то функция

имеет производную в каждой точке в [ a , b ], и производная

То есть производная определенного интеграла от f , верхний предел которой — переменная x , а нижний предел — константа a , равна функции f , вычисленной как x .Это верно независимо от значения нижнего предела и . Функция с именем F аналогична ранее изученной функции площади.

Использование переформулированной основной теоремы

  • Установите режим угла на радиан
  • Выполните NewProb из меню очистки

16.3.1 Используйте переформулировку Фундаментальной теоремы для оценки следующих производных, затем проверьте свои предсказания с помощью TI-89.

Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

16.3.2 Предскажите следующую производную. Сверьте свой ответ с TI-89. Подсказка: вам придется использовать цепное правило.

Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

16.3.3 Оцените следующую производную и сверьтесь со своим TI-89.

Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

16.3.4 Найдите более общую версию Фундаментальной теоремы, предсказав следующую производную. Проверьте свою работу с TI-89.

Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Использование следствия основной теоремы

Следующее следствие основной теоремы дает способ вычисления определенного интеграла.

Следствие

Если f непрерывно на [ a , b ], то

, где .

Функция F называется первообразной функции f .

16.3.5 Используйте следствие, чтобы предсказать значение , то проверьте свою работу с TI-89.

Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

16.3.6 Используйте следствие из основной теоремы для оценки затем проверьте свою работу с помощью калькулятора.

Щелкните здесь, чтобы получить ответ.

Найдите численный ответ на определенный интеграл

Быстрый! Мне нужна помощь с: Выберите элемент справки по математике …Исчисление, Вычисление производных, Вычисление интеграции, Частное правило, Монеты, Подсчет комбинаций, Поиск всех комплексных чисел, Сложение комплексных чисел, Расчет с комплексными числами, Умножение комплексных чисел, Полномочия комплексных чисел, Вычитание, преобразование площади, преобразование длины, преобразование массы, преобразование мощности, преобразование скорости, преобразование температуры, анализ объемных данных, поиск Анализ средних данных, Нахождение стандартного отклонения Анализ данных, ГистограммыДесятичные числа, Преобразование в дробьЭлектричество, Стоимость факторинга, Целочисленные коэффициенты, Наибольшие общие коэффициенты, Наименьшие общие дроби, Сложение дробей, Сравнение дробей, Преобразование дробей, Преобразование в десятичные дроби, Деление дробей, Умножение дробей, Сокращение дробей, Вычитание дробей, Что такое геометрия , BoxesGeometry, CirclesGeometry, CylindersGeometry, RectanglesGeometry, Right TrianglesGeometry, SpheresGeometry, SquaresGraphing, LinesGraphing, Any functionGraphing, CirclesGraphing, EllipsesGraphing, HyperbolasGraphing, InequalitiesGraphing, Polar PlotGraphing, (x,y) pointInequalities, GraphingInequalities, SolvingInterest, CompoundInterest, SimpleLines, Уравнение из точки и наклонных линий, Уравнение из наклона и y-intLines, Уравнение из двух точек. Практика полиномовМатематика, практика основыметрической системы, преобразование чисел, сложение чисел, расчет с числами, вычисление с переменными числами, деление чисел, умножение чисел, сравнение чисел в строке, числовые числа в строке, размещение значений чисел, произношение чисел, округление чисел, вычитание парабол, построение графиков полиномов, сложение/вычитание многочленов , Разложение на множители Разность квадратовПолиномы, Разложение на множители трехчленовПолиномы, Разложение на множители с GCFПолиномы, Умножение многочленов, Возведение в степеньПрактика, Математические задачиПропорции, Что это такоеКвадратные уравнения, Квадратная формулаКвадратное уравнение ns, Решить с помощью факторингаРадикалы, Другие корниРадикалы, Соотношения квадратных корней, Что они представляют собойВыход на пенсию, Сбережение для продажной цены, Расчет научной записи, Преобразование научной записи, Разделение научной записи, Умножение фигур, Прямоугольники, Упрощение, Все, что угодно, Упрощение экспоненты, Как термины, Упрощение, Продукты, Время, Размышление о совете, Вычисление тригонометрии, Выражения Прямоугольные треугольникиWindchill, фигура

Неопределенный интеграл и основные правила интегрирования

Первообразные и неопределенный интеграл

Пусть функция \(f\left( x \right)\) определена на некотором интервале \(I. \prime\left( x \right) = f\left( x \right).\]

В этом определении \(\int {} \) называется интегральным символом, \(f\left( x \right)\) называется подынтегральным выражением, \(x\) называется переменной интегрирования, \ (dx\) называется дифференциалом переменной \(x,\), а \(C\) называется константой интегрирования.

Неопределенный интеграл некоторых общих функций

Интегрирование – процесс, обратный дифференцированию, поэтому таблица основных интегралов следует из таблицы производных.

Здесь предполагается, что \(a,\) \(p\left( {p \ne 1} \right),\) \(C\) — вещественные константы, \(b\) — основание экспоненты функция \(\left( {b \ne 1, b \gt 0} \right).\)

Свойства неопределенного интеграла

  1. Если \(а\) некоторая константа, то

    \[\int {af\left( x \right)dx} = a\int {f\left( x \right)dx},\]

    т. е. постоянный коэффициент можно вынести за знак интеграла.
  2. Для функций \(f\left( x \right)\) и \(g\left( x \right),\)

    \[\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} \pm \int {г\влево( х \вправо)dx} ,\]

    я. 3}} }}{3} + 2\sqrt x + C.3}х + С.\]

    Дополнительные проблемы см. на стр. 2.

    Вычисление определенного интеграла полинома — Блог Magoosh

    Мы хотим сосредоточиться на определенном интеграле полиномиальной функции. Они очень часто возникают в исчислении, поэтому здесь приведены подробные решения двух задач, одной с множественным выбором и одной со свободным ответом, включающих определенный интеграл полинома.

     

    Определенные интегралы со свободным откликом:

    Обычно вас не будут просить вычислять общие определенные интегралы по свободному ответу, а скорее вам будет предложено найти площадь или вычислить объем, что потребует вычисления общего определенного интеграла.Предположим, мы хотим вычислить объем твердого тела, полученного путем вращения функции

    вокруг оси x:

    Поперечные сечения при разрезании перпендикулярно оси x представляют собой окружности с радиусом, заданным функцией 

    . Определенный интеграл, который необходимо вычислить, равен , так как это площадь круга, умноженная на длину интервала от -6 до 6. Мы вычисляем:

    Следовательно, чтобы вычислить интеграл, мы вычисляем сумму интегралов отдельных членов, поскольку многочлены являются суммами непрерывных функций:

    Вспомним основную теорему исчисления (FTC):

    ТЕОРЕМА: Если v(x) является непрерывной функцией с первообразной V(x), тогда , где ,  находятся в области значений v(x).

    FTC говорит, что мы можем выбрать любую старую первообразную V(x) для v(x) , поэтому нам нужно вычислить строку первообразных для подынтегральных выражений членов в сумме. В предыдущем посте мы обсуждали, но не указали:

    Степенное правило: Производная

    ‘=

    Мы использовали это, чтобы найти, что интеграл

    , и поскольку нам нужна только одна первообразная для вычисления определенных интегралов, мы можем взять  для использования в этом случае.

    Следовательно, мы можем оценить (используя тот факт, что

    , ,  и FTC):

    Вы можете использовать свой калькулятор, чтобы получить 723,823 единицы в кубе.

     

    Определенные интегралы с множественным выбором:

    Вот пример типичного вопроса с несколькими вариантами ответов, в котором вам предлагается сформулировать определенный интеграл на основе той же концепции, что обсуждалась выше.

    Вопрос: Твердое тело создается путем вращения области, ограниченной функцией

    , и линий x=2, x=3, y=1 вокруг оси x.Какой из следующих определенных интегралов дает объем твердого тела? (Подсказка: нарисуй картинку)

    Идея этой задачи состоит в том, чтобы признать, что это тело является разностью интегралов. Предположим, что у нас есть объем функции

    при ограничении линиями x = 2, x = 3 и вращении вокруг оси x — тогда у нас будет объем следующего твердого тела:

    Учитывая этот объем, нам нужно только вычесть объем следующей фигуры, полученной путем поворота y=1, ограниченного x=2, x=3, вокруг оси x:

    Из верхнего объема, с радиусом

    :

    Следовательно, нам нужно вычесть два интеграла, однако, используя интегральные законы, мы можем выразить это в форме

    , за которой мы следуем заменой наших имен на ,:

    Значит, ответ А.
    Чтобы вычислить значение интеграла, мы видим, что

    Имеет значение

    .

     

    Гарантированно улучшите свой результат SAT или ACT. Начните свою 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh SAT Prep или 1-недельную бесплатную пробную версию Magoosh ACT Prep сегодня!

    • Помимо ведения блога об AP Calculus, житель Окленда Крис Уирик играл на гобое в Пекине и Берлине, изучал математику и когнитивные науки (другое CS) в Калифорнийском университете в Беркли и не может перестать заниматься садоводством, готовить и есть новые продукты.

      Просмотреть все сообщения

    Кстати, Magoosh может помочь вам подготовиться к экзаменам SAT и ACT.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.