Показательные уравнения

    Показательные уравнения. Как известно — в состав ЕГЭ входят простые уравнения. Некоторые мы уже рассмотрели – это логарифмические, тригонометрические, рациональные. Здесь представлены показательные уравнения.

В недавней статье мы поработали с показательными выражениями, посмотрите, будет полезно. Сами уравнения решаются просто и быстро. Требуется лишь знать свойства показателей степени и…  Об этом далее.

Перечислим свойства показателей степени:

Нулевая степень любого числа равна единице.

Далее:

Следствие из данного свойства:

Ещё немного теории.

Показательным уравнением называется уравнение содержащее переменную в показателе, то есть  это уравнение вида:

f(x)  выражение, которое содержит переменную

Методы решения показательных уравнений

1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду:

Тогда применяем свойство:

2. При получении уравнения вида  a ^f(x) = b  используется определение логарифма, получим:

3. В результате преобразований можно получить уравнение вида:

Применяется логарифмирование:

Далее применяем свойство логарифма степени:

Выражаем и находим х.

В задачах вариантов ЕГЭ достаточно будет использовать первый способ.

То есть, необходимо представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием, а далее приравниваем показатели и решаем обычное линейное уравнение.

Рассмотрим уравнения:

Найдите корень уравнения 4^1–2х = 64.

Необходимо сделать так, чтобы в левой и правой частях были показательные выражения с одним основанием. 64 мы можем представить как 4 в степени 3. Получим:

4^1–2х = 4³

Основания равны, можем приравнять показатели:

1 – 2х = 3

– 2х = 2

х =  – 1

Проверка:

4^1–2(–1) = 64

4¹⁺² = 64

4³ = 64

64 = 64

Ответ: –1

Найдите корень уравнения 3^х–18 = 1/9.

Известно, что

Значит  3^х-18 = 3^-2

Основания равны, можем приравнять показатели:

х – 18 = – 2

х = 16

Проверка:

3^16–18 = 1/9

3^–2 = 1/9

1/9 = 1/9

Ответ: 16

Найдите корень уравнения:

Представим дробь 1/64 как  одну четвёртую в третьей степени:

Теперь можем приравнять показатели:

2х – 19 = 3

2х = 22

х = 11

Проверка:

Ответ: 11

Найдите корень уравнения:

Представим 1/3 как  3^–1, а 9 как 3 в квадрате, получим:

(3^–1)^8–2х = 3²

3^{–1∙(8–2х)} = 3²

3^–8+2х = 3²

Теперь можем приравнять показатели:

 – 8+2х = 2

2х = 10

х = 5

Проверка:

Ответ: 5

26654. Найдите корень уравнения:

Решение:

Ответ: 8,75

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Посмотреть решение

Что хочется отметить обсобо!!!

Как бы  вы не были уверены в правильности решения — ОБЯЗАТЕЛЬНО делайте проверку.

Ещё теория (чуть-чуть):

Самое простейшее показательное уравнение:

При данных условиях уравнение всегда имеет решение, при том единственное.

Действительно, при а > 1 показательная функция монотонно возрастает, а при 0 < а < 1 — монотонно убывает. В любом случае, она принимает каждое своё значение ровно один раз (видно по графику):

А вот если b < 0, то уравнение не имеет решений, ведь показательная функция может принимать только положительные значения.

Действительно, в какую бы степень мы не возвели положительное число a, мы никак не можем получить число отрицательное.

Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к реше­нию одного или нескольких простейших.В данной рубрике мы ещё рассмотрим решение некоторых уравнений, не пропустите! На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Найдите корень уравнения — задание 5 из ЕГЭ

Автор Ольга Викторовна На чтение 4 мин. Просмотров 751 Опубликовано 12.11.2015

Сегодня мы будем тренировать навык решения задания 5 ЕГЭ — найдите корень уравнения. Будем искать корень уравнения. Рассмотрим примеры решения такого рода заданий. Но для начала, давайте вспомним — что значит — найти корень уравнения?

Это значит найти такое, зашифрованное под х число, которое мы подставим вместо x и наше уравнение будет верным равенством.

Например, 3x=9 — это уравнение, а 3^.3=9 — это уже верное равенство. То есть в данном случае, мы вместо x подставили число 3 — получили верное выражение или равенство, это означает, что мы решили уравнение, то есть нашли данное число x=3, которое превращает уравнение в верное равенство.

Вот этим мы и займемся  — будем находить корень уравнения.

Задание 1 — найдите корень уравнения 2

^1-4x=32

Это показательное уравнение. Оно решается следующим образом — нужно чтобы и слева, и справа от знака «равно» была степень с одинаковым основанием.

Слева у нас основание степени 2, а справа — степени нет вовсе. Но мы знаем, что 32 — это 2 в пятой степени. То есть, 32=2⁵

Таким образом, наше уравнение будет выглядеть так: 2^1-4х=2⁵

Слева и справа у нас основания степени одинаковы, значит, чтобы у нас было равенство, должны быть равны и показатели степени:

1-4х=5

Получаем обыкновенное уравнение. Решаем обычным способом — все неизвестные оставляем слева, а известные переносим вправо, получим:

-4х=5-1

-4х=4

х=-1.

Делаем проверку: 2^1-4(-1)=32

2⁵=32

32=32

Мы нашли корень уравнение. Ответ: х=-1.

Самостоятельно найдите корень уравнения в следующих заданиях:

а) 2^5-х=64

б) 2^1-3х=128

Задание 2 — найдите корень уравнения 2

^5-x = 1/16

Уравнение решаем аналогично — путем приведения левой и правой частей уравнения к одному основанию степени. В нашем случае — к основанию степени 2.

Используем следующее свойство степени:

По этому свойству мы получим для правой части нашего уравнения:

Тогда наше уравнение запишется в виде:

Если равны основания степени, значит, равны и показатели степени:

5-х=-4

-х=-4-5

х=9

Ответ: х=9.

Сделаем проверку — подставим найденное значение х в исходное уравнение — если мы получим верное равенство, значит, мы решили уравнение правильно.

2^5-9=1/16

2^-4=1/16

1/16=1/16

Мы нашли корень уравнения правильно.

Задание 3 — найдите корень уравнения

Заметим, что справа у нас стоит 1/8, а 1/8 — это

Тогда наше уравнение запишется в виде:

Если основания степени равны, значит, равны и показатели степени, получим простое уравнение:

3х-12=3

3х=15

х=5

Ответ: х=5. Проверку сделайте самостоятельно.

Задание 4 — найдите корень уравнения log

₃(15-х)=log₃2

Это уравнение решается также как и показательное. Нам нужно, чтобы основания логарифмов слева и справа от знака «равно» были одинаковыми. Сейчас они одинаковы, значит, приравниваем те выражения, которые стоят под знаком логарифмов:

15-х=2

-х=2-15

-х=-13

х=13

Ответ: х=13

Задание 5 — найдите корень уравнения log

₃(3-x)=3

Число 3 — это log₃27. Чтобы было понятно внизу нижним индексом под знаком логарифма стоит число которое возводится в степень, в нашем случае 3, под знаком логарифма стоит число, которое получилось при возведении в степень — это 27, а сам логарифм — это показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 27.

Смотрите на картинке:

Таким образом, любое число можно записать в виде логарифма. В данном случае очень удобно записать число 3 в виде логарифма с основанием 3. Получим:

log₃(3-x)=log₃27

Основания логарифмов равны, значит, равны и числа, стоящие под знаком логарифма:

3-х=27

Получим,

-х=27-3

-х=24

х=-24

Сделаем проверку:

log₃(3-(-24))=log₃27

log₃(3+24)= log₃27

log₃27=log₃27

3=3

Ответ: x=-24.

Задание 6. Найдите корень уравнения log(x+3)=log

₂(3x-15).

log₂(x+3)=log₂(3x-15)

Решение:

x+3=3x-15

x-3x=-3-15

-2x=-18

x=9

Проверка: log₂(9+3)=log₂(27-15)

log₂12=log₂12

Ответ: x=9.

Задание 7. Найдите корень уравнения log

₂(14-2x)=2log₂3

log₂(14-2x)=2log₂3

log₂(14-2x)=log₂3²

14-2x=3²

14-2x=9

-2x=9-14

-2x=-5

x=2,5

Проверка: log₂(14-5)=2log₂3

log₂9=2log₂3

log₂3²=2log₂3

2log₂3=2log₂3

Ответ: x=2,5

Подготовьтесь к ЕГЭ и к ОГЭ -посмотрите предыдущие темы Найдите значение выражения и Как решать неравенства .

Решение уравнений высших степеней

Условие: найдите решение уравнения x4+x3+2×2-x-3=0.

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1, -1, 3 и -3. Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

При x, равном единице, мы получим 14+13+2·12-1-3=0, значит, единица будет корнем данного уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x4+x3+2×2-x-3 на (х-1) в столбик:

Значит, x4+x3+2×2-x-3=x-1×3+2×2+4x+3.

Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x3+2×2+4x+3=0:

13+2·12+4·1+3=10≠0(-1)3+2·(-1)2+4·-1+3=0

У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный -1.

Делим многочлен x3+2×2+4x+3 на (х+1) в столбик:

Получаем, что 

x4+x3+2×2-x-3=(x-1)(x3+2×2+4x+3)==(x-1)(x+1)(x2+x+3)

Подставляем очередной делитель в равенство x2+x+3=0, начиная с -1:

-12+(-1)+3=3≠032+3+3=15≠0(-3)2+(-3)+3=9≠0

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x2+x+3.

D=12-4·1·3=-11<0

Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x=-12±i112.

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

xi	коэффициенты многочлена
	1	1	2	-1	-3
1	1	1+1·1=2	2+2·1=4	-1+4·1=3	-3+3·1=0

В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x4+x3+2×2-x-3=x-1×3+2×2+4x+3.

После нахождения следующего корня, равного -1, мы получаем следующее:

xi	коэффициенты многочлена
	1	2	4	3
1	1	2+1·(-1)=1	4+1·(-1)=3	3+3·(-1)=0

Далее мы приходим к разложению x-1x+1×2+x+3=0. Потом, проверив оставшиеся делители равенства x2+x+3=0, вычисляем оставшиеся корни.

Ответ: х=-1, х=1, x=-12±i112.

Решение уравнений четвертой степени

Для уравнений четвертой степени применимы все те общие схемы решения уравнений высших степеней, что мы разбирали в предыдущем материале. Однако существует ряд нюансов в решении двучленных, биквадратных и возвратных уравнений, на которых мы хотели бы остановиться подробнее.

Также в статье мы разберем искусственный метод разложения многочлена на множители, решение в радикалах и метод Феррари, который используется для того, чтобы свести решение уравнения четвертой степени к кубическому уравнению.

Решение двучленного уравнения четвертой степени

Это простейший тип уравнений четвертой степени. Запись уравнения имеет вид Ax4+B=0.

Определение 1

Для решения этого типа уравнений применяются формулы сокращенного умножения:

Ax4+B=0x4+BA=0x4+2BAx2+BA-2BAx2=0x2+BA2-2BAx2=0x2-2BA4x+BAx2+2BA4x+BA=0

Остается лишь найти корни квадратных трехчленов.

Пример 1

Решить уравнение четвертой степени 4×4+1=0.

Решение

Для начала проведем разложение многочлена 4×4+1 на множители:

4×4+1=4×4+4×2+1=(2×2+1)2-4×2=2×2-2x+1(2×2+2x+1)

Теперь найдем корни квадратных трехчленов.

Первого:

2×2-2x+1=0D=(-2)2-4·2·1=-4×1=2+D2·2=12+ix2=2-D2·2=12-i

Второго:

2×2+2x+1=0D=22-4·2·1=-4×3=-2+D2·2=-12+ix4=-2-D2·2=-12-i

Мы получили четыре комплексных корня.

Ответ: x=12±i и x=-12±i.

Решение возвратного уравнения четвертой степени

Определение 2

Возвратные уравнения четвертого порядка имеют вид Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0

х=0 не является корнем этого уравнения: A·04+B·03+C·02+B·0+A=A≠0. Поэтому на x2 можно смело разделить обе части этого уравнения:

Ax4+Bx3+Cx2+Bx+A=0Ax2+Bx+C+Bx+Ax2=0Ax2+Ax2+Bx+Bx+C=0Ax2+1×2+Bx+1x+C=0

Проведем замену переменных x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2:

Ax2+1×2+Bx+1x+C=0A(y2-2)+By+C=0Ay2+By+C-2A=0

Так мы проведи сведение возвратного уравнения четвертой степени к квадратному уравнению.

Пример 2

Найти все комплексные корни уравнения 2×4+23+2×3+4+6×2+23+2x+2=0.

Решение

Симметрия коэффициентов подсказывает нам, что мы имеем дело с возвратным уравнением четвертой степени. Проведем деление обеих частей на x2:

2×2+23+2x+4+6+23+2x+2×2=0

Проведем группировку:

2×2+2×2+23+2x+23+2x+4+6+=02×2+1×2+23+2x+1x+4+6=0

Проведем замену переменной x+1x=y⇒x+1×2=y2⇒x2+1×2=y2-2

2×2+1×2+23+2x+1x+4+6=02y2-2+23+2y+4+6=02y2+23+2y+6=0

Решим полученное квадратное уравнение:

D=23+22-4·2·6=12+46+2-86==12-46+2=23-22y1=-23-2+D2·2=-23-2+23-24=-22y2=-23-2-D2·2=-23-2-23+24=-3

Вернемся к замене: x+1x=-22, x+1x=-3.

Решим первое уравнение:

x+1x=-22⇒2×2+2x+2=0D=22-4·2·2=-14×1=-2-D2·2=-24+i·144×2=-2-D2·2=-24-i·144

Решим второе уравнение:

x+1x=-3⇒x2+3x+1=0D=32-4·1·1=-1×3=-3+D2=-32+i·12×4=-3-D2=-32-i·12

Ответ: x=-24±i·144 и x=-32±i·12.

Решение биквадратного уравнения

Биквадратные уравнения четвертой степени имеют вид Ax4+Bx2+C=0. Мы можем свести такое уравнение к квадратному Ay2+By+C=0 путем замены y=x2. Это стандартный прием.

Пример 3

Решить биквадратное уравнение 2×4+5×2-3=0.

Решение

Выполним замену переменной y=x2, что позволит нам свести исходное уравнение к квадратному:

2y2+5y-3=0D=52-4·2·(-3)=49y1=-5+D2·2=-5+74=12y2=-5-D2·2=-5-74=-3

Следовательно, x2=12 или x2=-3.

Первое равенство позволяет нам получить корень x=±12. Второе равенство не имеет действительных корней, зато имеет комплексно сопряженных корней x=±i·3.

Ответ: x=±12 и x=±i·3.

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Пример 4

Найти все комплексные корни биквадратного уравнения 16×4+145×2+9=0.

Решение

Используем метод замены y=x2 для того, чтобы свести исходное биквадратное уравнение к квадратному:

16y2+145y+9=0D=1452-4·16·9=20449y1=-145+D2·16=-145+14332=-116y2=-145-D2·16=-145-14332=-9

Поэтому, в силу замены переменной, x2=-116 или x2=-9.

Ответ: x1, 2=±14·i, x3, 4=±3·i.

Решение уравнений четвертой степени с рациональными корнями

Алгоритм нахождения рациональных корней уравнения четвертой степени приведен в материале «Решение уравнений высших степеней».

Решение уравнений четвертой степени по методу Феррари

Уравнения четвертой степени вида x4+Ax3+Bx2+Cx+D=0 в общем случае можно решить с применением метода Феррари. Для этого необходимо найти y0. Это любой из корней кубического уравнения y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0. После этого необходимо решить два квадратных уравнения x2+A2x+y02+A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0, у которых подкоренное выражение является полным квадратом.

Корни, полученные в ходе вычислений, будут корнями исходного уравнения четвертой степени.

Пример 5

Найти корни уравнения x4+3×3+3×2-x-6=0.

Решение

Имеем А=3, В=3, С=-1, D=-6. Применим метод Феррари для решения данного уравнения.

Составим и решим кубическое уравнение:
y3-By2+AC-4Dy-A2D+4BD-C2=0y3-3y2+21y-19=0

Одним из корней кубического уравнения будет y0=1, так как 13-3·12+21·1-19=0.

Запишем два квадратных уравнения:
x2+A2x+y02±A24-B+y0x2+A2y0-Cx+y024-D=0x2+32x+12±14×2+52x+254=0x2+32x+12±12x+522=0

x2+32x+12+12x+52=0 или x2+32x+12-12x-52=0

x2+2x+3=0 или x2+x-2=0

Корнями первого уравнения будут x=-1±i·2, корнями второго х=1 и х=-2.

Ответ: x1,2=-1±i2, x3=1, x4=-2.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Дети и учеба — Информационный портал

В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n — 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x:

a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n — 1 · a n n — 1 · x n — 1 + … + a 1 · (a n) n — 1 · x + a 0 · (a n) n — 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n — 1 y n — 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .

Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x — x 1 · P n — 1 (x) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n — 1 (x) представляет собой частное от деления x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 на x — x 1 .

Подставляем остальные выписанные делители в P n — 1 (x) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде (x — x 1) (x — x 2) · P n — 2 (x) = 0 .Здесь P n — 2 (x) будет частным от деления P n — 1 (x) на x — x 2 .

Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x — x 1 x — x 2 · … · x — x m · P n — m (x) = 0 . Здесь P n — m (x) является многочленом n — m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

У нас в итоге получилось уравнение P n — m (x) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Пример 1

Условие: найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0 .

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , — 1 , 3 и — 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на (х — 1) в столбик:

Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 (- 1) 3 + 2 · (- 1) 2 + 4 · — 1 + 3 = 0

У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный — 1 .

Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на (х + 1) в столбик:

Получаем, что

x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = (x — 1) (x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3) = = (x — 1) (x + 1) (x 2 + x + 3)

Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с — 1:

1 2 + (- 1) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 (- 3) 2 + (- 3) + 3 = 9 ≠ 0

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .

D = 1 2 — 4 · 1 · 3 = — 11

Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2 .

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

После нахождения следующего корня, равного — 1 , мы получаем следующее:

Ответ: х = — 1 , х = 1 , x = — 1 2 ± i 11 2 .

Пример 2

Условие: решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0 .

Решение

У свободного члена есть делители 1 , — 1 , 2 , — 2 , 3 , — 3 , 4 , — 4 , 6 , — 6 , 12 , — 12 .

Проверяем их по порядку:

1 4 — 1 3 — 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 (- 1) 4 — (- 1) 3 — 5 · (- 1) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 — 5 · 2 2 + 12 = 0

Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 на х — 2 , воспользовавшись схемой Горнера:

В итоге мы получим x — 2 (x 3 + x 2 — 3 x — 6) = 0 .

2 3 + 2 2 — 3 · 2 — 6 = 0

Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2:

В итоге получим (x — 2) 2 · (x 2 + 3 x + 3) = 0 .

Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 3 = — 3

Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2 .

Ответ : x = — 3 2 ± i 3 2 .

Пример 3

Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 действительные корни.

Решение

x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0

Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:

2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0

Заменяем переменные y = 2 x:

2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0 y 4 + y 3 — 20 y — 48 = 0

В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = — 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2 .

Ответ: x 1 = — 1 , x 2 = 3 2

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Рассмотрим решения уравнений с одной переменной степени выше второй.

Степенью уравнения Р(х) = 0 называется степень многочлена Р(х), т.е. наибольшая из степеней его членов с коэффициентом, не равным нулю.

Так, например, уравнение (х 3 – 1) 2 + х 5 = х 6 – 2 имеет пятую степень, т.к. после операций раскрытия скобок и приведения подобных получим равносильное уравнение х 5 – 2х 3 + 3 = 0 пятой степени.

Вспомним правила, которые понадобятся для решения уравнений степени выше второй.

Утверждения о корнях многочлена и его делителях:

1. Многочлен n-й степени имеет число корней не превышающее число n, причем корни кратности m встречаются ровно m раз.

2. Многочлен нечетной степени имеет хотя бы один действительный корень.

3. Если α – корень Р(х), то Р n (х) = (х – α) · Q n – 1 (x), где Q n – 1 (x) – многочлен степени (n – 1).

4.

5. Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не может иметь дробных рациональных корней.

6. Для многочлена третьей степени

Р 3 (х) = ах 3 + bx 2 + cx + d возможно одно из двух: либо он разлагается в произведение трех двучленов

Р 3 (x) = а(х – α)(х – β)(х – γ), либо разлагается в произведение двучлена и квадратного трехчлена Р 3 (x) = а(х – α)(х 2 + βх + γ).

7. Любой многочлен четвертой степени раскладывается в произведение двух квадратных трехчленов.

8. Многочлен f(x) делится на многочлен g(х) без остатка, если существует многочлен q(x), что f(x) = g(x) · q(x). Для деления многочленов применяется правило «деления уголком».

9. Для делимости многочлена P(x) на двучлен (x – c) необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем P(x) (Следствие теоремы Безу).

10. Теорема Виета: Если х 1 , х 2 , …, х n – действительные корни многочлена

Р(х) = а 0 х n + а 1 х n — 1 + … + а n , то имеют место следующие равенства:

х 1 + х 2 + … + х n = -а 1 /а 0 ,

х 1 · х 2 + х 1 · х 3 + … + х n – 1 · х n = a 2 /а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 + … + х n – 2 · х n – 1 · х n = -a 3 / а 0 ,

х 1 · х 2 · х 3 · х n = (-1) n a n / а 0 .

Решение примеров

Пример 1.

Найти остаток от деления Р(х) = х 3 + 2/3 x 2 – 1/9 на (х – 1/3).

Решение.

По следствию из теоремы Безу: «Остаток от деления многочлена на двучлен (х – с) равен значению многочлена от с». Найдем Р(1/3) = 0. Следовательно, остаток равен 0 и число 1/3 – корень многочлена.

Ответ: R = 0.

Пример 2.

Разделить «уголком» 2х 3 + 3x 2 – 2х + 3 на (х + 2). Найти остаток и неполное частное.

Решение:

2х 3 + 3x 2 – 2х + 3| х + 2

2х 3 + 4 x 2 2x 2 – x

X 2 – 2 x

Ответ: R = 3; частное: 2х 2 – х.

Основные методы решения уравнений высших степеней

1. Введение новой переменной

Метод введения новой переменной уже знаком на примере биквадратных уравнений. Он заключается в том, что для решения уравнения f(x) = 0 вводят новую переменную (подстановку) t = x n или t = g(х) и выражают f(x) через t, получая новое уравнение r(t). Решая затем уравнение r(t), находят корни:

(t 1 , t 2 , …, t n). После этого получают совокупность n уравнений q(x) = t 1 , q(x) = t 2 , … , q(x) = t n , из которых находят корни исходного уравнения.

Пример 1.

(х 2 + х + 1) 2 – 3х 2 – 3x – 1 = 0.

Решение:

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x) – 1 = 0.

(х 2 + х + 1) 2 – 3(х 2 + x + 1) + 3 – 1 = 0.

Замена (х 2 + х + 1) = t.

t 2 – 3t + 2 = 0.

t 1 = 2, t 2 = 1. Обратная замена:

х 2 + х + 1 = 2 или х 2 + х + 1 = 1;

х 2 + х — 1 = 0 или х 2 + х = 0;

Ответ: Из первого уравнения: х 1, 2 = (-1 ± √5)/2, из второго: 0 и -1.

2. Разложение на множители методом группировки и формул сокращенного умножения

Основа данного метода также не нова и заключается в группировке слагаемых таким образом, чтобы каждая группа содержала общий множитель. Для этого иногда приходится применять некоторые искусственные приемы.

Пример 1.

х 4 – 3x 2 + 4х – 3 = 0.

Решение.

Представим — 3x 2 = -2x 2 – x 2 и сгруппируем:

(х 4 – 2x 2) – (x 2 – 4х + 3) = 0.

(х 4 – 2x 2 +1 – 1) – (x 2 – 4х + 3 + 1 – 1) = 0.

(х 2 – 1) 2 – 1 – (x – 2) 2 + 1 = 0.

(х 2 – 1) 2 – (x – 2) 2 = 0.

(х 2 – 1 – х + 2)(х 2 – 1 + х — 2) = 0.

(х 2 – х + 1)(х 2 + х – 3) = 0.

х 2 – х + 1 = 0 или х 2 + х – 3 = 0.

Ответ: В первом уравнении нет корней, из второго: х 1, 2 = (-1 ± √13)/2.

3. Разложение на множитель методом неопределенных коэффициентов

Суть метода состоит в том, что исходный многочлен раскладывается на множители с неизвестными коэффициентами. Используя свойство, что многочлены равны, если равны их коэффициенты при одинаковых степенях, находят неизвестные коэффициенты разложения.

Пример 1.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = 0.

Решение.

Многочлен 3-й степени можно разложить в произведение линейного и квадратного множителей.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х – а)(x 2 + bх + c),

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 +bx 2 + cх – ax 2 – abх – ac,

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = х 3 + (b – a)x 2 + (cх – ab)х – ac.

Решив систему:

{b – a = 4,
{c – ab = 5,
{-ac = 2,

{a = -1,
{b = 3,
{c = 2, т.е.

х 3 + 4x 2 + 5х + 2 = (х + 1)(x 2 + 3х + 2).

Корни уравнения (х + 1)(x 2 + 3х + 2) = 0 находятся легко.

Ответ: -1; -2.

4. Метод подбора корня по старшему и свободному коэффициенту

Метод опирается на применение теорем:

1) Всякий целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем свободного члена.

2) Для того, чтобы несократимая дробь p/q (p – целое, q – натуральное) была корнем уравнения с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было целым делителем свободного члена а 0 , а q – натуральным делителем старшего коэффициента.

Пример 1.

6х 3 + 7x 2 – 9х + 2 = 0.

Решение:

6: q = 1, 2, 3, 6.

Следовательно, p/q = ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6.

Найдя один корень, например – 2, другие корни найдем, используя деление уголком, метод неопределенных коэффициентов или схему Горнера.

Ответ: -2; 1/2; 1/3.

Остались вопросы? Не знаете, как решать уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

На канал на youtube нашего сайта сайт, чтобы быть в курсе всех новых видео уроков.

Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.

Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n /a m = a n — m

Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.

Примеры показательных уравнений:

В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.

Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0

Теперь разберем как решаются показательные уравнения?

Возьмем простое уравнение:

2 х = 2 3

Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:

2 х = 2 3
х = 3

Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.

Теперь подведем итоги нашего решения.

Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.

Теперь прорешаем несколько примеров:

Начнем с простого.

Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.

x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2

В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.

3 3х — 9 х+8 = 0

Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:

Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n) m = a nm .

3 3х = (3 2) х+8

Получим 9 х+8 =(3 2) х+8 =3 2х+16

3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.

3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.

Смотрим следующий пример:

2 2х+4 — 10 4 х = 2 4

В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n) m = a nm .

4 х = (2 2) х = 2 2х

И еще используем одну формулу a n a m = a n + m:

2 2х+4 = 2 2х 2 4

Добавляем в уравнение:

2 2х 2 4 — 10 2 2х = 24

Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:

2 2х (2 4 — 10) = 24

Посчитаем выражение в скобках:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Все уравнение делим на 6:

Представим 4=2 2:

2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

9 х – 12*3 х +27= 0

Преобразуем:
9 х = (3 2) х = 3 2х

Получаем уравнение:
3 2х — 12 3 х +27 = 0

Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены . Число с наименьшей степенью заменяем:

Тогда 3 2х = (3 х) 2 = t 2

Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:

t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t 1 = 9
t 2 = 3

Возвращаемся к переменной x .

Берем t 1:
t 1 = 9 = 3 х

Стало быть,

3 х = 9
3 х = 3 2
х 1 = 2

Один корень нашли. Ищем второй, из t 2:
t 2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х 2 = 1
Ответ: х 1 = 2; х 2 = 1.

На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.

Вступайте в группу

Судя по началу публикации, которое мы здесь опустим, текст писал Юрий Игнатьевич. И написано хорошо, и проблематика злободневная, вот только так называть Россию, как это делает Мухин…

Как бы кто ни относился к антинародной власти, Россия выше неё и не заслуживает оскорблений. Даже от талантливого разоблачителя лжи американского агенства НАСА.

*

Обращение к тов. Мухину Ю.И.

Уважаемый Юрий Игнатьевич! Я знаю, что вы посещаете эти страницы. Поэтому обращаюсь к вам напрямую.

Мы все ценим ваш подвижнический труд на ниве разоблачения лжи Запада, лжи Америки, лжи псевдоучёных, лжи либералов. Мы с удовольствием и пользой для себя и общества задумываемся над серьёзными темами, которые вы нам время от времени подбрасываете, будь то меритократия или метафизика, любовь к отечественной истории или восстановление справедливости.

Однако ваши определения нашей общей с вами Родины вызывают недоумение и сильно огорчают.

Впрочем, посудите сами: как бы вы охарактеризовали человека, который стал оскорблять свою заболевшую и от этого временно переставшую работать мать?

А ведь Россия, как бы она ни именовалась, и какой бы хорошей или отвратительной ни была власть, — Россия это наша Родина. Родина-мать. За неё наши деды проливали кровь и клали свои жизни.

Поэтому ставить её в один ряд с властью — это опускать духовное возвышенное на уровень материального, да ещё и низкого. Т.е. вы проводите сравнение совершенно различных категорий. Вещь, недопустимая для любого вменяемого человека.

Прошу вас, уважаемый тов. Мухин, серьёзно задуматься над этим.

**

…А с уравнениями (я этого и не знал) положение таково. Как найти корни квадратного уравнения догадались ещё в древнем Египте .

Как найти корни кубического уравнения и уравнения четвёртой степени, нашли в шестнадцатом веке, а вот найти корни уравнения пятой степени до 2016 года не могли. А пытались далеко не простые люди.

В шестнадцатом веке найти корни уравнения пятой степени пытался основоположник символической алгебры Франсуа Виет, в девятнадцатом веке это пытался сделать основатель современной высшей алгебры французский математик Эварист Галуа, после него найти корни уравнений пятой степени пробовал норвежский математик Нильс Хенрик Абель, который, в конце концов, сдался и доказал невозможность решения уравнения пятой степени в общем виде.

Читаем в Википедии о заслугах Абеля: «Абель закончил блестящее исследование древней проблемы: доказал невозможность решить в общем виде (в радикалах) уравнение 5-й степени…

В алгебре Абель нашёл необходимое условие для того, чтобы корень уравнения выражался «в радикалах» через коэффициенты этого уравнения. Достаточное условие вскоре открыл Галуа, чьи достижения опирались на труды Абеля.

Абель привёл конкретные примеры уравнения 5-й степени, чьи корни нельзя выразить в радикалах, и тем самым в значительной степени закрыл древнюю проблему».

Как видите, если теорему Пуанкаре доказать пытались всё время и Перельман оказался удачливее остальных математиков, то после Абеля за уравнения пятой степени математики и не брались.

А в 2014 году математик из Томска Сергей Зайков , о котором по фото можно судить, что он уже в годах, а по данным из статьи о нём, что он выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, в ходе своей работы получил уравнения пятой степени. Тупик? Да, тупик! Но Сергей Зайков взялся его проломить.

И в 2016 году он нашёл способы решений уравнений пятой степени в общем виде! Сделал то, невозможность чего доказали математики Галуа и Абель.

Я попытался найти сведения о Сергее Зайкове в Википедии, но хрен вам! О математике Сергее Зайкове и о нахождении им решения уравнений пятой степени сведений нет!

Пикантность делу придаёт и то, что для математиков существует аналог Нобелевской премии — Абелевская премия (Нобель запретил давать премию математикам и теперь её дают за математические испражнения, называя их «физикой »).

Эта математическая премия в честь того самого Абеля, который доказал невозможность того, что сделал Зайков . Однако, самовыдвижение на эту премию не допускается. А Зайков математик-одиночка и нет никаких организаций, которые могли бы предложить его кандидатуру на соискание этой премии.

Правда у нас есть Академия наук, но ведь там академики сидят не для развития математики, а «бабло пилить». Кому там нужен этот Зайков?

Ну а для новостных агентств Зайков — это вам не Перельман! Посему открытие Зайкова для СМИ — это не сенсация.

Вот то, что Порошенко дверью ошибся — это да! Это настоящая сенсация!

Томский математик решил проблему, которую не могли решить двести лет

С появлением алгебры ее основной задачей считалось решение алгебраических уравнений. Решение уравнения второй степени было известно еще в Вавилоне и Древнем Египте. Мы проходим такие уравнения в школе. Помните уравнение x2 + ax + b = 0, и дискриминант?

Сергей Зайков с книгой

Решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степени было найдено в шестнадцатом веке. Но решить уравнение пятой степени не удалось. Причину нашел Лагранж. Он показал, что решение уравнений третьей и четвертой степени стало возможным потому, что их можно свести к уравнениям, ранее уже решенным. Уравнение третьей степени можно свести к уравнению второй степени, а уравнение четвертой — к уравнению третьей. Но уравнение пятой степени сводится к уравнению шестой, т. е. более сложному, поэтому традиционные методы решения не применимы.

Вопрос о решении уравнения пятой степени сдвинулся с места лишь двести лет назад, когда Абель доказал, что не все уравнения пятой степени можно решить в радикалах, т. е. в квадратных, кубических и иных корнях, известных нам по школе. А Галуа вскоре, т. е. двести лет назад, нашел критерий, позволяющий определить, какие уравнения пятой степени можно решить в радикалах, а какие нет. Он заключается в том, что группа Галуа, разрешимых в радикалах уравнения пятой степени, должна быть либо циклической или метациклической. Но Галуа не нашел способ решения в радикалах тех уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Теория Галуа очень известна, о ней написано много книг.

До сих пор находились лишь частные решения для разрешимых в радикалах уравнений пятой степени. И только в этом году томский математик Сергей Зайков решил задачу, которую не могли решить двести лет. Опубликовал книгу «Как решаются в радикалах алгебраические уравнения пятой степени», в которой указал способ решения для любых уравнений пятой степени, которые разрешимы в радикалах. Зайков — выпускник факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета. Нам удалось взять у него интервью.

— Сергей, почему Вы стали решать эту задачу?

— Мне нужно было решение уравнения пятой степени для решения задачи из другого раздела математики. Я начал выяснять, как его найти, и узнал, что не все из них решаются в радикалах. Тогда я попытался найти в научной литературе способ решения тех уравнений, которые разрешимы в радикалах, но нашел лишь критерий, по которому можно определить, какие разрешимы, а какие нет. Я не алгебраист, но, разумеется, как выпускник ФПМК, умею применять и алгебраические методы. Поэтому я с 2014 г. всерьез начал искать решение и нашел его сам.

Способ был найден мной два года назад, я подготовил книгу, в которой был описан не только он, но и способы решения некоторых уравнений степеней больше пятой. Но у меня не было денег для ее издания. В этом году я решил, что проще опубликовать лишь часть этой работы, и взял только ее половину, посвященную способу решения уравнения пятой степени в радикалах.

Я поставил своей целью публикацию что-то вроде руководства по решению этой задачи, понятной для математиков, которым необходимо решить конкретное уравнение. Поэтому упростил ее, убрав множество длинных формул и значительную часть теории, урезав более чем наполовину, оставив только необходимое. Поэтому у меня получилось что-то вроде книжки «для чайников», по которой математики, не знакомые с теорией Галуа, могут решить нужное им уравнение.

— За это большое спасибо Владиславу Бересневу, с которым мы знакомы много лет. Он проспонсировал издание книги.

— Возможно ли получение Вами какой-либо премии по математике за решение этой задачи? Например, Вы упоминали Абеля. А ведь есть Абелевская премия по математике, которую считают аналогом нобелевской?

— Полностью исключить такую возможность нельзя. Но и надеяться на это не стоит.

Например, заявки на кандидатов на Абелевскую премию 2019 г. подаются до 15 сентября. Причем самовыдвижение не допускается. А я математик-одиночка. Нет никаких организаций или известных математиков, которые предложат мою кандидатуру. Поэтому она не будет рассматриваться независимо от того, заслуживает ли моя работа этой премии, и насколько соответствует духу этой премии вручение ее тем, кто продолжает работы Абеля. Но даже в случае, если она будет представлена, все зависит еще и от уровня работ других кандидатов.

Книга рассчитана на тех, кто не знаком с теорией Галуа. Основы теории Галуа даются только в той части, в которой они необходимы для решения уравнения, детально описан способ решения, показаны приемы, упрощающие решение. Значительная часть книги посвящена примеру решения конкретного уравнения. Рецензентами книги являются доктор технических наук Геннадий Петрович Агибалов и доктор физ. мат. наук, профессор Петр Андреевич Крылов.

ПОДГОТОВИЛА АНАСТАСИЯ СКИРНЕВСКАЯ

Внеклассный урок — Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени. Уравнение с одной переменной.

Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Уравнения n-й степени

  

Уравнение – это равенство, содержащее переменную, обозначенную буквой.

Корень уравнения (или решение уравнения) – это такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное равенство.

 

Пример: решим уравнение (то есть найдем корень уравнения): 4x – 15 = x + 15

Итак:
4х – х = 15 + 15
3х = 30
х = 30 : 3
х = 10

Результат: уравнение имеет один корень – число 10.

Уравнение может иметь и два, три, четыре и более корней. Например, уравнение (х-4)(х-5)(х-6) = 0 имеет три корня: 4, 5 и 6.

Уравнение может вовсе не иметь корней. Например, уравнение х+2=х не имеет корней, т.к. при любом значении х равенство невозможно.

 

Равносильность уравнений.

Два уравнения являются равносильными, если они имеют одинаковые корни либо если оба уравнения не имеют корней.

Пример1:

Уравнения х + 3 = 5 и 3х – 1 = 5 равносильны, так как в обоих уравнениях х=2.

Пример 2:

Уравнения х⁴ + 2 = 1 и х² + 5 = 0 равносильны, так как оба уравнения не имеют корней.

 

Целое уравнение с одной переменной

Целое уравнение с одной переменной – это уравнение, левая и правая части которого являются целыми выражениями (о целых выражениях см.раздел «Рациональные выражения»).

Уравнение с одной переменной может быть записано в виде P(x) = 0, где P(x) – многочлен стандартного вида.

Например:
y² + 3y – 6 = 0
(здесь P(x) представлен в виде многочлена y² + 3y – 6).

В таком уравнении степень многочлена называют степенью уравнения.

В нашем примере представлено уравнение второй степени (так как в нем многочлен второй степени).

 

Уравнение первой степени.

Уравнение первой степени можно привести к виду:

ax + b = 0,

где x – переменная, a и b – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Отсюда легко вывести значение x:

           b
x = – —
          a

Это значение x является корнем уравнения.

Уравнения первой степени имеют один корень.

 

Уравнение второй степени.

Уравнение второй степени можно привести к виду:

ax² + bx + c = 0,

где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Число корней уравнения второй степени зависит от дискриминанта:

— если D > 0, то уравнение имеет два корня;

— если D = 0, то уравнение имеет один корень;

— если D < 0, то уравнение корней не имеет.

Уравнение второй степени может иметь не более двух корней.

(о том, что такое дискриминант и как находить корни уравнения, см.разделы «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант» и «Другой способ решения квадратного уравнения»).

 

Уравнение третьей степени.

Уравнение третьей степени можно привести к виду:

ax³ + bx² + cx + d = 0,

где x – переменная, a, b, c, d – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более трех корней.

 

Уравнение четвертой степени.

Уравнение четвертой степени можно привести к виду:

ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e  = 0,

где x – переменная, a, b, c, d, e – некоторые числа, причем a ≠ 0.

Уравнение третьей степени может иметь не более четырех корней.

 

Обобщение:

1) уравнение пятой, шестой и т.д. степеней можно легко вывести самостоятельно, следуя приведенной выше схеме;

2) уравнение n-й степени может иметь не более n корней.

 

Пример 1: Решим уравнение

x³ – 8x² – x + 8 = 0.

Мы видим, что это уравнение третьей степени. Значит, у него может быть от нуля до трех корней.
Найдем их и тем самым решим уравнение.
Разложим левую часть уравнения на множители:

x²(x – 8) – (x – 8) = 0.

Применим правило разложения многочлена способом группировки его членов. Для этого поставим перед вторыми скобками число 1:

x²(x – 8) – 1(x – 8) = 0.

Теперь сгруппируем многочлены x² и –1, являющиеся множителями многочлена x–8.
Получим две группы многочленов: (x² –1) и (x – 8). Следовательно, наше уравнение примет новый вид:

(x – 8)(x² – 1) = 0.

Здесь выражение x² – 1 можно представить в виде x² – 1².
А значит, можем применить формулу сокращенного умножения: x² – 1² = (x – 1)(x + 1).
Подставим в наше уравнение это выражение и получим:

(x – 8)(x – 1)(x + 1) = 0.

Дальше все просто. При x – 8 = 0 всё уравнение тоже равно нулю.
И так – в случае и с двумя остальными выражениями x – 1 и x + 1. Таким образом:

x – 8 = 0

x – 1 = 0

x + 1 = 0

Осталось найти корни нашего уравнения:

x₁ = 0 + 8 = 8

x₂ = 0 + 1 = 1

x₃ = 0 – 1 = –1.

Уравнение решено. Оно имеет три корня: 8, 1 и –1.

 

Пример 2: Решим уравнение

(x² – 5x + 4)(x² – 5x +6) = 120.

Это уравнение сложнее. Но его можно упростить оригинальным образом – методом введения новой переменной.
В нашем уравнении дважды встречается выражение x² – 5x.
Мы можем обозначить его переменной y. То есть представим, что x² – 5x = y.

Тогда наше уравнение обретает более простой вид:

(y + 4)(y + 6) = 120.

Раскроем скобки:

y² + 4y + 6y + 24 = 120

y² + 10y + 24 = 120

Приравняем уравнение к нулю:

y² + 10y + 24 – 120 = 0

y² + 10y – 96 = 0

Мы получили обычное квадратное уравнение. Найдем его корни. Нет необходимости производить расчеты: о том, как решать подобные уравнения, подробно написано в разделах «Квадратные уравнения» и «Формулы корней квадратного уравнения. Дискриминант». Здесь же мы сразу выведем результат. Квадратное уравнение y² + 10y – 96 = 0 имеет два корня:

y₁ = -16

y₂ = 6

Буквой y мы заменили выражение x² – 5x. А значит, мы уже можем подставить значения y и найти корни заданного уравнения, тем самым решив задачу:

1) Сначала применяем значение y₁ = –16:

x² – 5x = –16

Чтобы решить это уравнение, превращаем его в квадратное уравнение:

x² – 5x + 16 = 0

Решив его, мы обнаружим, что оно не имеет корней.

2) Теперь применяем значение y₂ = 6:

x² – 5x = 6

x² – 5x – 6 = 0

Решив это квадратное уравнение, мы увидим, что у него два корня:

x₁ = –1

x₂ = 6.

Уравнение решено. Оно имеет два корня: –1 и 6.

 

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, которые являются квадратными относительно x² (такие уравнения называют биквадратными).

Алгебраические уравнения и способы их решения. Уравнения третьей и четвертой степени

Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.

В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, использование симметрии и даже деление многочлена на многочлен.

Вспомним основные понятия.

Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.

Например, число 3 – корень уравнения 2x = 6.

Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.

Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.

Например, уравнения  и  равносильны. Их корни совпадают:  или 

Замена переменной – ключ к решению многих задач.

Решим уравнение:

Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.

Сделаем замену  Тогда 

С новой переменной уравнение стало проще:

Умножим обе части на 10t. Получим квадратное уравнение:

Корни этого уравнения:  или 

Вернемся к переменной 

Если , то 

Отсюда 

Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.

Если , то  Получим квадратное уравнение для :

У этого уравнения два корня:  или  Это ответ.

Решим уравнение

Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.

Посмотрим на уравнение внимательно.

На координатной прямой точки 1; 3; –5; –7 расположены симметрично относительно точки 

Сделаем замену , тогда .

Тогда:

Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:

И еще одна замена: .

Обычное квадратное уравнение. Замечательно!

Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что

;  отсюда  ,  .

Если , то нет решений.

Если , то Тогда или

Если , то .

Если , то .

Ответ: 4; –8.

Дальше – еще интереснее.

3. Решите уравнение

Сделаем замену . То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.

.

Получили квадратное уравнение:

Если , то

Если , то

Ответ:

Следующее уравнение решим с помощью группировки слагаемых.

4. Решите уравнение

Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:

Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: . Получим:

.

Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.

Записывается это так:

Ответ: -2; 1; 4.

У нас появилось новое обозначение: — знак совокупности.

Такой знак означает «или».

Запись читается как « или или ».

Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.

5. Решите уравнение

Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.

Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего x). В данном случае – среди целых делителей числа 24.

Выпишем целые делители числа 24:

1; –1; 2; –2; 3; –3; 4; –4; 6; –6; 8; –8; 12; –12; 24; –24

Подставляя их по очереди в уравнение, при получаем верное равенство:

Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:

, где .

Чтобы найти , поделим выражение на . В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.

Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!

Ответ: 2; 3; 4.

6. Решите уравнение

группируем слагаемые:

А если сделать замену ?

Тогда .

Получаем квадратное уравнение: . Удачная замена!

Если , то , нет решений.

Если , то

, .

Ответ: .

7. Решите уравнение

Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: 1, — 5, 4, — 5, 1.

Такое уравнение называется симметрическим.

Разделим обе его части на . Мы можем это сделать, поскольку не является корнем нашего уравнения.

Теперь группируем слагаемые:

Сделаем замену .

Тогда

Получили уравнение . Легко!

Ответ:

Степени и корни: экспоненциальные уравнения

В следующем видео из нашей серии о степенях и корнях обсуждаются экспоненциальные уравнения. Так что смотрите! Расшифровка стенограммы ниже для справки.

Экспоненциальные уравнения. Экспоненциальное уравнение — это уравнение, в котором переменные указаны в показателях степени. Для решения большинства экспоненциальных уравнений требуется сложная математика, и они не участвуют в тесте. Тест даст нам только уравнения, которые можно решить с использованием основных законов экспонент или корней, которые мы обсуждали в этом модуле.

Так, например, 2 перед x равняется 16, это очень простое экспоненциальное уравнение. Это намного проще, чем вы могли бы увидеть на тесте. И, конечно же, мы можем решить эту проблему, когда узнаем, что 16 — это степень двойки. Поэтому мы просто запишем 16 как 2 в четвертую. И тогда мы можем установить равные степени с обеих сторон, потому что основания равны с обеих сторон.

Если вы видите экспоненциальное уравнение на тесте, скорее всего, у них будут переменные в показателях на каждой стороне уравнения.Итак, у нас есть переменные с одной стороны и просто константа с другой. Вы, вероятно, этого не увидите. Тем не менее, понимание последней проблемы можно обобщить. Если две степени с одинаковым основанием равны, тогда степени должны быть равны.

Основная идея, используемая для решения экспоненциальных уравнений

Итак, b к x = b к y, должно быть верно, что x = y. Это основная идея, которую мы будем использовать для решения экспоненциальных уравнений.Это правило работает для всех оснований, кроме 0 или + или — 1. И тест не даст вам экспоненциального уравнения с одним из этих чисел в качестве основы.

Пример вопроса

Вот практический вопрос, поставьте видео на паузу, а потом мы поговорим об этом.

Итак, эти основания уже равны, у нас есть основание 7 с обеих сторон уравнения. Все, что нам нужно сделать, это установить равные степени и затем решить.

Прибавим x к обеим сторонам, разделим на 3, получим x = 2.Хорошо, что

_{Image by New Africa}

понимают эту проблему. Но все же это легче, чем то, что тест ожидает от вас, чтобы узнать об экспоненциальных уравнениях. Тест никогда не выдаст вам экспоненциальное уравнение, в котором два основания уже равны. Видите ли, в той последней задаче он как бы вручил нам это на серебряном блюде?

Настоящие тестовые задачи этого не сделают. Они всегда будут давать вам две разные основы по разные стороны уравнения.Конечно, мы не можем применить одно и то же правило ловкости, если две базы не совпадают. Но тест всегда дает нам две базы, чтобы мы могли изменить одну или обе базы, чтобы сделать базы одинаковыми с обеих сторон.

Так что я имею в виду? Вернемся к последней проблеме, но представим ее так, как ее может выявить тест. Они могут дать вам нечто подобное. Если от 49 до x = 7 до 6- x, то решите относительно x. Итак, обратите внимание, что две базы с каждой стороны уравнения больше не равны.У нас есть две разные базы.

Но, конечно, это не так уж и плохо. Мы просто должны, конечно, признать, что 49 можно выразить как степень 7. Итак, я начну с этого уравнения и заменю 49 на 7 в квадрате. И, конечно, я могу умножить на показатель степени, и теперь это похоже на реальную проблему, которую мы уже решили.

Другими словами, просто сделав эту одну замену, мы сможем уравнять основания. Теперь мы можем приравнять показатели и решить.

Дробные экспоненты: практическая задача первая

Вот еще одна проблема в этом роде. Поставьте видео на паузу и работайте над этим.

_{Изображение Стюарта Майлза}

Конечно, мы должны переписать этот корень как дробную экспоненту, как мы узнали на предыдущем уроке. Итак, корень 5-й степени из 3, мы должны переписать это как 3 в степень одной пятой. Теперь умножим экспоненты. Теперь у нас равные базы. Итак, мы просто установим равные показатели, умножим на 5, а затем просто решим обычную алгебру.

Иногда ни одна из основ не может быть записана как степень другой.

Вместо этого обе базы можно записать как степень некоторого другого меньшего числа. На самом деле это самый распространенный сценарий теста. Безусловно, подавляющее большинство экспоненциальных уравнений в тесте имеют именно такую ​​форму. Два основания, и ни одно из них не может быть легко записано как степень другого, но оба могут быть записаны как степени третьего числа.

Например, если бы у нас была некоторая степень 8 и некоторая степень 16, мы не можем записать 16 как степень 8, и мы не можем записать 8 как степень 16.Мы должны начать с признания того, что и 8, и 16 можно переписать как степень двойки. Таким образом, мы должны переписать каждое основание как степень общего меньшего числа. А затем, используя законы экспонент, мы можем привести все к равным основаниям и установить равные показатели.

Дробные экспоненты: практическая задача два

Вот практическая задача в этом роде. Итак, это проблема, которая может показаться на тесте. Поставьте видео на паузу, а потом мы поговорим об этом.

_{Изображение Bjoern Wylezich}

Хорошо, хорошо, 27 и 81 — мы не можем записать 27 как степень 81 или 81 как степень 27.Первый шаг — признать, что и 27, и 81 являются степенями 3, и мы можем переписать их в степени 3.

27 от 3 до 3-го, 81 от 3 до 4-го. Итак, мы просто перепишем уравнение в терминах степеней 3, умножив показатели с обеих сторон. Что ж, теперь у нас равные базы. Поскольку базы теперь равны, мы можем установить равные показатели. А теперь это просто обычная алгебра.

Мы раздадим, и мы получим 2x = 10, разделим на 2. x = 5 и вот ответ.Чтобы решить экспоненциальные уравнения, мы должны получить равные основания с обеих сторон. Это может включать выражение данных баз в виде полномочий меньших баз. Когда основания с обеих сторон равны, мы можем приравнять показатели и решить.

О Майке MᶜGarry

Майк работал экспертом по GMAT в Magoosh, помогая создавать сотни видеоуроков и практических вопросов, чтобы помочь студентам GMAT добиться успеха. Он также был отмечен как «участник месяца» более двух лет в клубе GMAT.Майк имеет степень бакалавра гуманитарных наук. по физике (выпуск с отличием ) и M.T.S. в «Религиях мира», оба из Гарварда. Помимо стандартизированного тестирования, у Майка более 20 лет опыта преподавания как в частных, так и в государственных школах, специализирующихся на математике и физике. В свободное время Майк любит разбивать футбольные мячи на орбите, и, несмотря на отсутствие очевидной черепно-мозговой недостаточности, он настаивает на том, чтобы болеть за Нью-Йорк Метс. Узнайте больше о GMAT через видеообъяснения Майка на YouTube и ресурсы, такие как «Каков хороший результат GMAT?» и диагностический тест GMAT.

Math 1010 on-line — Корни и радикалы

Math 1010 on-line — Корни и радикалы

Кафедра математики — Колледж наук — Университет Юты

Корни и радикалы

Корни и радикалы заслуживают отдельной главы и домашнего задания, потому что они часто встречаются в приложениях.

Пусть будет натуральное число, и пусть будет настоящий номер . -й корень из это число, которое удовлетворяет Номер обозначается

Например, с тех пор, и поскольку .

Символ называется радикальным символом , и выражение, включающее его, называется радикалом (выражение) .

Если тогда это квадратный корень из, и это число обычно опускается. Например,

Если, то это кубический корень из.Например, кубический корень из есть, а кубический из is.

Если четное и положительное, то есть два -го числа. корни, каждый из которых является отрицательным для другого. Например, поскольку есть два квадратных корня из. В в этом случае условно символ означает положительный -й корень, и он называется основным (-й) корнем из .

Если отрицательное и нечетное, то есть только корень 1/4, и он также отрицательный. Например,

На этом этапе нам неизвестен корень -й степени, если он даже и отрицательный.Это приводит к теме комплексные числа, которые мы рассмотрим позже в этом курсе.

Радикалы — это просто частные случаи полномочий , и вы Помните об этом факте, что может упростить ваше мышление:

Непосредственно из этого наблюдения и свойств силы, которые

Решение радикальных уравнений

Уравнение, включающее радикалы, называется радикальным уравнением (естественно). Чтобы решить эту проблему, вы просто применяете нашу общую принцип:

Чтобы решить уравнение, выясните, что вас беспокоит, и сделайте то же самое. вещь по обе стороны уравнения, чтобы избавиться от него.

Чтобы избавиться от радикала, вы приводите его к власти, которая изменит рациональный показатель до натурального числа. Это будет работать, если радикал сам по себе находится на одной стороне уравнения .

Давайте посмотрим на несколько простых примеров :

Предполагать

Действуем следующим образом:

Вот немного более сложная проблема:

Мы получаем

Наш последний пример показывает, как избавиться от более чем одного радикала:

Чтобы избавиться от квадратных корней, мы изолируем их и возведем в квадрат время:

В каждом случае мы проверяем наш ответ, подставляя его в исходный. уравнение.Например, в последнем уравнении получаем:

Позже в курсе мы рассмотрим более сложные случаи радикальные уравнения.

Числовые значения

Все радикалы в приведенных выше примерах были натуральными числами. Это связано только с разумным подбором примеров. Часто корни в приложениях встречаются иррациональные числа с десятичными разложениями, которые никогда не повторяются и не заканчиваются. В следующей таблице приведены приблизительные значения несколько специфических радикалов.

Некоторые радикалы (приблизительно)

4. Полномочия, корни и радикалы

На этой странице

Связанный раздел

Не пропустите главу «Экспоненты и радикалы», где мы более подробно рассмотрим эти темы.

На этой странице мы продолжим рассмотрение того, как работают числа, прежде чем применять процедуры к алгебре. Все работает так же, за исключением того, что в алгебре мы используем буквы для обозначения чисел.

Индексы

Индексы (или степени , или степени ) очень полезны в математике.Индексы — удобный способ записи умножения, в котором много повторяющихся членов.

Пример индекса

В примере 5 ³ мы говорим, что:

5 — это базовый и

3 — это индекс (или в степени , или в степени ). -1 = 1 / 5`

Эти легко испортить, и они могут лишить вас сна без надобности, когда вы позже будете заниматься алгеброй.-1 = 1 / а`

Умножение чисел с одинаковым основанием

Нам часто нужно умножить что-то вроде следующего:

4 ³ × 4 ⁵

Мы замечаем, что числа имеют одинаковое основание (то есть 4), и мы думаем об этом так:

4 ³ × 4 ⁵ `= \ underbrace {(4 xx 4 xx 4)} _ {3″ из них «} xx \ underbrace {(4 xx 4 xx 4 xx 4 xx 4)} _ {5 «из них»} `

Мы получаем 3 четверки из первой сетки и 5 четверок из второй, так что в сумме у нас будет 3 + 5 = 8 четверок, умноженных вместе.

4 ³ × 4 ⁵ = 4 ^{3 + 5} = 4 ⁸ (Если кому-то интересно, окончательный ответ — 65 536. 🙂

В целом можно сказать для любого числа a и индексов m и n ​​:

a ^м × a ⁿ = a ^{( m + n ​​)}

Деление чисел с одинаковым основанием

В качестве примера разделим 3 ⁶ на 3 ² :

`{3 ^ 6} / {3 ^ 2}` = {(3xx3xx3xx3xx3xx3)} / (3xx3) `= 3 × 3 × 3 × 3 = 3 ⁴ = 81

Мы вычли 2 тройки наверху и 2 тройки внизу дроби, оставив 4 тройки наверху (и цифру 1 на Нижний).(m-n) `

Повышение выражения индекса до индекса

В качестве примера возведем число 4 ² в степень 3:

(4 ² ) ³ = 4 ² × 4 ² × 4 ²

Из приведенного выше примера умножения мы видим, что это даст нам 4 ⁶ . Мы могли бы это сделать как:

(4 ² ) ³ = 4 ^{2 × 3} = 4 ⁶

В общем у нас для любой базы а и индексов м и н :

( a ^m ) ^{n ​​} = a ^mn

Повышение производительности продукта

Пример числа:

(5 × 2) ³ = 5 ³ × 2 ³

В данном случае с числами лучше сначала произвести умножение в скобках, а затем возвести наш ответ в степень 3. n, (ane0)`

ПРИМЕЧАНИЕ 1: Эти правила применяются, когда a и b являются положительными и m и n являются целыми числами .7`

, потому что это в отличие от терминов (буквенная часть возведена в другую степень). (Мы можем разложить это на множители, но не можем каким-либо образом расширить или добавить термины.)

Чтобы узнать, как все это используется в алгебре, перейдите по ссылке:

Корни и радикалы

Мы используем радикальный знак : `sqrt (\ \)`

Означает «квадратный корень». Квадратный корень на самом деле является дробным индексом и эквивалентен возведению числа в мощность 1/2.(1/2) = sqrt (25) = 5`

Так же можно

Кубический корень: `root (3) x` (что эквивалентно возведению в степень 1/3) и

Четвертый корень: `root (4) x` (степень 1/4) и так далее.

См. Больше в разделе «Дробные экспоненты».

Основные моменты, на которые следует обратить внимание:

Связанный раздел

Как упоминалось выше, если вам нужна дополнительная информация по этой теме, перейдите в: Показатели и Радикалы.

Если a ≥ 0 и b ≥ 0, имеем:

`sqrt (axxb) = sqrt (a) xxsqrt (b)`

Однако это работает только для умножения.2) = а`

Это смущает многих студентов. Но это просто означает:

1. Начните с номера
2. Square it
3. Найдите квадратный корень из результата
4. Закончите с номером, с которого вы начали

Например, начать с 3.

Квадрат, вы получите 9.

Извлеките квадратный корень и получите 3, то есть с того места, где вы начали.

Почему это важно? Часто нам нужно «отменить» квадрат при решении уравнения, поэтому мы находим квадратный корень из обоих стороны.Приятно знать, что ты делаешь.

Силы и корни чисел — Видео и стенограмма урока

Корни чисел

Давайте посмотрим на следующий телевизор на полке, у которого тоже квадратный экран. Учитывая, что этот экран имеет площадь 400 квадратных дюймов, давайте вычислим с :

Обратите внимание, что с — это число, которое мы умножим само на себя два раза, чтобы получить 400, что составляет 20, потому что 20 ⋅ 20 = 400. В математике мы называем это квадратным корнем из s .Квадратный корень из числа x , обозначаемый √ x , представляет собой число, умноженное на себя два раза, чтобы получить x .

В общем случае n -й корень из x — это число, умноженное на само себя n раз, чтобы получить x . Обозначение, которое мы используем для корня n -й степени из x , такое же, как квадратный корень, но мы пишем маленькое n в верхнем левом углу символа корня. Мы также можем записать n корень -й степени из x как x 1/ n .

Например, рассмотрим третий корень, также называемый кубическим корнем , из 125. Это число равно числу, которое мы умножили бы само на себя три раза, чтобы получить 125, или 5.

Поскольку корни чисел могут быть записаны как число в степени, они удовлетворяют всем тем же свойствам степеней. Например, предположим, что мы хотим упростить кубический корень x 5 ⋅ x 4. Мы можем использовать наши свойства для упрощения.

Кубический корень из x 5 ⋅ x 4 можно упростить до x 3.

Вот еще один пример: предположим, мы хотим упростить √8. Еще раз, мы можем использовать наши свойства для упрощения.

Получаем √8 = 2√2.

Квадратный корень отрицательных чисел

А теперь представьте, что нас попросили найти квадратный корень из -4. Логическое предположение будет 2 или -2. Однако:

• 2 ⋅ 2 = 4
• -2 ⋅ -2 = 4

Ни одно из этих уравнений не дает -4, потому что умножение двух отрицательных чисел или двух положительных чисел всегда дает положительное число.Чтобы компенсировать это, мы используем мнимое число , i , комплексное число, которое может быть выражено как действительное число, где i = √ (-1).

Мы видим, что √ (-4) = 2 i . Мнимые числа позволяют нам работать с квадратными корнями из отрицательных чисел, что в противном случае было бы невозможно.

Итоги урока

Давайте рассмотрим. Степень числа — это число, возведенное в другое число, которое принимает форму a b .Чтобы вычислить степени чисел, умножьте основание или на на себя, либо на экспоненту или степень , обозначенную как b .

Квадратный корень из числа x (обозначается √ x ) — это число, умноженное на само себя два раза, чтобы получить x , а кубический корень — это число, умноженное на само себя в три раза . n -й корень из x — это число, умноженное на само себя n раз, чтобы получить x .Мнимое число ( i ) — это комплексное число, которое может быть выражено как действительное число и позволяет нам работать с квадратными корнями из отрицательных чисел.

Существуют основные свойства степеней, которые позволяют нам работать и упрощать как степени, так и корни чисел.

Задачи, связанные со степенями и корнями чисел, часто возникают в мире вокруг нас, поэтому так полезно знать их определения и свойства!

Решение уравнений с показателями — Подготовка к оценке TSI

Решение уравнений с показателями.

Рассмотрим эти два уравнения:

Уравнение 1: x ² = 4 и Уравнение 2: x ³ = 27

Уравнение 1 имеет два решения : 2 и -2, поскольку 2 ² = 4 и (-2) ² = 4.

Уравнение 2 имеет только одно решение : x = 3.

Всякий раз, когда уравнение содержит все четные показатели, вы должны рассматривать как положительные, так и отрицательные решения. Если показатель степени является нечетной степенью, есть только одно решение.

Решение уравнений с показателями: x ^m = k

Если m четное: x = ± ^m √ k

Если m нечетное: x = ^m √ k

Для уравнений, которые включают корни, отличные от квадратного корня, вы хотите удалить корни путем (1) выделения корневого члена на одной стороне уравнения и (2) возведения обеих сторон уравнения в соответствующую степень.

Пример 1. Решить ( x ² + 6 x ) ^1/4 = 2

Решение

Напомним, что дробная экспонента на самом деле является корнем: a ^{m / n} = ( ⁿ √ a) ^m

Удалите корень 4-й степени, возведя каждую часть уравнения в 4-ю степень.

[( x ² + 6 x ) ^1/4 ] ⁴ = 2 ⁴

Упростите каждую часть уравнения.

x ² + 6 x = 16

Установите уравнение равным нулю.

x ² + 6 x — 16 = 0

Разложите на множители левую часть уравнения.

( x + 8) ( x — 2) = 0

Установите коэффициенты равными нулю и решите.

0 = x + 8 или 0 = x — 2

x = — 8 или x = 2

Наши возможные решения: x = — 8 и x = 2.Оба этих решения необходимо проверить, используя исходное уравнение.

Чек x = — 8:

[(- 8) ² + 6 (- 8)] ^1/4 = 2

[64–48] ^1/4 = 2

[16] ^1/4 = 2

4√16 = 2

2 = 2 — истинное утверждение. Следовательно, x = — 8 — это решение.

Чек x = 2:

[(2) ² + 6 (2)] ^1/4 = 2

[4 + 12] ^1/4 = 2

[16] ^1/4 = 2

4√16 = 2

2 = 2 — истинное утверждение.Следовательно, x = 2 — это решение.

Решения уравнения ( x ² + 6 x ) ^1/4 = 2, равны x = — 8 и x = 2.

Пример 2 : Решить относительно w: 5 w ^2/3 + 3 = 23

Решение.

Выделите член w в левой части уравнения. Вычтите 3 из каждой части уравнения.

5 w ^2/3 = 23 — 3

5 w ^2/3 = 20

Разделите каждую часть уравнения на 5.

w ^2/3 = 20 ÷ 5

w ^2/3 = 4

Изолируйте w , возведя обе части уравнения в степень 3/2. Поскольку числитель экспоненты четный, будет два ответа.

w = ± 4 ^3/2 = ± (√ 4) ³

w = ± 2 ³ = ± 8

Два ответа на уравнение, 5 w ^2/3 + 3 = 23, равны 8 и -8.

степеней и корней — формулы, примеры, викторины | Учебник по математике

В этом учебном пособии по математике мы вводим экспоненты / степени и корни с использованием формул, решаемых примеров и практических вопросов.

Полномочия и корни | Формулы, решенные примеры, практические задачи

Показатели, также называемые степенями, представляют собой способ выражения числа, умноженного на само себя определенное количество раз.

Когда мы пишем число как , на самом деле это ¹ , выраженное в степени 1.

а ² = а * а

a ³ = a * a * a
:
:
a ⁿ = a * a * a * a *. . . п раз.

Основные формулы в Powers and Roots

Вот несколько основных формул, используемых для решения вопросов об экспонентах:

• ( ^м ) ⁿ = ( ⁿ ) ^м = ^mn
• a ^m .a ⁿ = a ^{m + n}
• a ^-m = 1 / a ^m
• a ^m / a ⁿ = a ^m-n = 1 / a ^n-m
• (ab) ⁿ = a ⁿ b ⁿ
• (a / b) ⁿ = a ⁿ / b ⁿ
• a ⁰ = 1

2 ² = 4.2 ³ = 8. Это то, что мы узнаем в экспонентах.

√4 = 2. ³ √8 = 2. Это то, что мы узнаем в корнях.

Здесь √ называется квадратным корнем или порядка 2 ^nd .

³ √ называется кубическим корнем или порядка 3 ^{-го порядка} .

Аналогичным образом мы можем получить корень числа любого порядка.

ⁿ √a называется surd порядка n.

Обозначение ⁿ √ называется знаком корня,

n называется порядком сурда и

а называется подкоренным.

Вот несколько основных формул, используемых для решения вопросов о корнях:

• ⁿ √a = a ^{1 / n}
• ⁿ √ab = ⁿ √a * ⁿ √b
• ⁿ √ (a / b) = ⁿ √a / ⁿ √b
• ( ⁿ √a) ⁿ = a

Решенные примеры в Powers & Roots

Рассмотрим несколько примеров:

Задача 1. Упростить (7.5 * 10 ⁵ ) / (25 * 10 ^-4 )

Решение :

(7,5 * 10 ⁵ ) / (25 * 10 ^-4 )

→ (75 * 10 ⁴ ) / (25 * 10 ^-4 )

Отмена 75 с 3 умножением на 25 и применение формулы ^m / a ⁿ = a ^m-n

→ 3 * 10 ^{4 — (- 4)}

→ 3 * 10 ⁸

Задача 2. Найти x, если 3 ^2x-1 + 3 ^{2x + 1} = 270.

Решение :

Вычитая обыкновенный термин, получаем

→ 3 ^2х-1 (1 + 3 ² )

Обратите внимание, что здесь мы применили формулу a ^{m + n} = a ^m .a ⁿ в письменной форме 3 ^{2x + 1} как произведение 3 ^2x-1 и 3 ² .

→ 3 ^2x-1 (10) = 270

→ 3 ^2х-1 = 27

→ 3 ^2x-1 = 3 ³

→ 2х-1 = 3

→ х = 2.

Задача 3. Упростить [10 [(216) ^1/3 + (64) ^1/3 ] ³ ] ^3/4

Решение :

[10 [(6 ³ ) ^1/3 + (4 ³ ) ^1/3 ] ³ ] ^3/4

→ [10 [6 + 4] ³ ] ^3/4

→ [10 (10) ³ ] ^3/4

→ (10 ⁴ ) ^3/4

→ 10 ³ = 1000.

Задача 4. Упростить [4 ^0,08 * (2 ^0,22 ) ² ] ¹⁰ / [16 ^0,16 * (2 ⁴ ) ^0,74 * (4 ² ) ^0,1 ]

Решение :

[4 ^0,08 * (2 ^0,22 ) ² ] ¹⁰ / [16 ^0,16 * (2 ⁴ ) ^0,74 * (4 ² ) ^0,1 ] 9

Применяя формулу (a ^m ) ⁿ = (a ⁿ ) ^m к подчеркнутой части,

→ [4 ^0.08 * (2 ² ) ^0,22 ] ¹⁰ / [16 ^0,16 * (2 ⁴ ) ^0,74 * (4 ² ) ^0,1 ]

→ [4 ^0,08 * 4 ^0,22 ] ¹⁰ / [16 ^0,16 * (2 ⁴ ) ^0,74 * (4 ² ) ^0,1 ]

Применяя формулу a ^m .a ⁿ = a ^{m + n} к числителю,

→ [4 ^{0,08 + 0,22} ] ¹⁰ / [16 ^0.16 * (2 ⁴ ) ^0,74 * (4 ² ) ^0,1 ]

Упрощение знаменателя,

→ [4 ^0,3 ] ¹⁰ / [(4 ² ) ^0,16 * (4 ² ) ^0,74 * (4 ² ) ^0,1 ]

Применяя формулу a ^m .a ⁿ = a ^{m + n}

→ 4 ³ / [(4 ² ) ^{0,16 + 0,74 + 0,1} ]

→ 4 ³ / (4 ² ) ¹

Применяя формулу a ^m / a ⁿ = a ^m-n ,

= 4.

Задача 5. Упростить √ (5 + 3√2) + [1 / √ (5 + 3√2)]

Решение :

Упрощение такого выражения также означает, что знаменатель следует рационализировать. Рационализация выражения означает удаление всех имеющихся квадратных корней.

Термин, который рационализирует, называется сопряженным. В этом примере, чтобы рационализировать 5 + 3√2, мы используем 5-3√2. Следовательно, 5-3√2 называется сопряженным с 5 + 3√2 и наоборот.

Рассмотрим 5 + 3√2 = x.

[√x + (1 / √x)] ² = x + 1 / x + 2 * √x * 1 / √x

→ (5 + 3√2) + (1 / (5 + 3√2)) + 2

В знаменателе 5 + 3√2. Чтобы удалить квадратный корень, умножим 1 / (5 + 3√2) на (5-3√2) / (5-3√2). Умножение на это никоим образом не меняет значения термина, но помогает рационализировать знаменатель и упростить выражение.

→ (5 + 3√2) + ((5-3√2) / (5 + 3√2) (5-3√2) ) + 2

Применяя формулу (a + b) (a-b) = a ² — b ² к подчеркнутой части,

→ (5 + 3√2) + [(5-3√2) / (5 ² — (3√2) ² ] + 2

→ (5 + 3√2) + [(5-3√2) / (25 — (9 * 2)] + 2

→ (5 + 3√2) + [(5-3√2) / 7] + 2

→ [7 (5 + 3√2) + (5-3√2) + 2 (7)] / 7

→ [35 + 21√2 + 5 — 3√2 + 14] / 7

→ [54 + 18√2] / 7

Поскольку исходное выражение было возведено в квадрат для исключения корней, нам нужно применить квадратный корень к этому выражению.

→ √ ([54 + 18√2] / 7)

Примечание. Поскольку мы знали, что результат выражения будет положительным, мы смогли возвести в квадрат, а затем извлечь квадратный корень из выражения. Если есть сомнения в том, что это может быть отрицательно, мы воздержимся от этого.

Задача 6. Если a ² + b ² + c ² = ab + bc + ca, упростите [x ^a / x ^b ] ^ab * [x ^b / x ^c ] ^{до н.э.} * [x ^c / x ^a ] ^ca

Решение :

Применяя ^m / a ⁿ = a ^m-n , получаем

→ (x ^a-b ) ^a-b * (x ^b-c ) ^b-c * (x ^c-a ) ^c-a

Применяя формулу (a-b) ² = a ² + b ² -2ab в экспоненте,

→ x ^{(a 2 + b 2 — 2ab)} * x ^{(b 2 + c 2 — 2bc)} * x ^{(c 2 + a 2 — 2ca )}

Применение ^м .a ⁿ = a ^{m + n}

→ x ^{(a 2 + b 2 — 2ab + b 2 + c 2 — 2bc + c 2 + a 2 — 2ca)}

→ x ^{(2 (a 2 + b 2 + c 2 — (ab + bc + ca)))}

→ х ^{(2 (0))}

→ х ⁰ = 1.

Задача 7. Что больше: ⁴ √3 или ³ √4?

Решение :

Чтобы сравнить два сюрда, они должны быть похожими i.е., они должны быть одного порядка.

⁴ √3 — это сюрд из 4 ^{-го порядка} , а ³ √4 — это сюрд из 3 ^{-го порядка} .

⁴ √3 можно записать как 3 ^1/4 , а ³ √4 как 4 ^1/3 .

Пока еще нет возможности сравнить. Для этого нам нужно взять НОК двух заказов и выразить их как сурды одного заказа.

НОК 3 и 4 равно 12.

1/4 можно записать как (1/4) * (3/3) = 3/12 И 1/3 можно записать как (1/3) * (4/4) = 4/12.

3 ^1/4 можно записать как 3 ^3/12 4 ^1/3 можно записать как 4 ^4/12 .

3 ^3/12 = (3 ³ ) ^1/12 = ¹² √27 4 ^4/12 = (4 ⁴ ) ^1/12 = ¹² √256

Теперь сравнение между ¹² √27 и ¹² √256.

Очевидно, ¹² √256 больше, чем 256> 27.

Следовательно, ³ √4> ⁴ √3

Тест на полномочия и корни: решите следующие проблемы :

Проблема 1

Если (2 ¹⁰ ,2 ⁿ ,4 ³ ) / (8 ⁿ ,16) = 16, найдите n.

A. 3
B. 2
C. 5
D. 4

Ответ 1

Д.

Пояснение

(2 ¹⁰ .2 ⁿ . (2 ² ) ³ ) / (2 ³ ) ⁿ ,2 ⁴ = 2 ⁴

Применяя формулу a ^m / a ⁿ = a ^m-n и принимая только показатели степени,

→ 16 + п — (3n + 4) = 4

→ 12 + п — 3n — 4 = 4

Задача 2

Если x ^{a + b + c} = 3, найдите значение (x ^{2a — b} / x ^-b ). (x ^{2b — c} / x ^-c ).(x ^{2c — a} / x ^-a )

A. 3
B. 6
C. 9
D. Нет

Ответ 2

C.

Пояснение :

Применение ^m / a ⁿ = a ^m-n ,

→ х ^{2a — b + b} . х ^{2б — с + с} . х ^{2c — а + а}

Применение ^m .a ⁿ = a ^{m + n} ,

→ х ^{2a + 2b + 2c}

→ (х ^{a + b + c} ) ²

→ 3 ² = 9

Уравнений с радикалами и рациональными показателями

Результаты обучения

• Решите радикальное уравнение, найдите постороннее решение.
• Решите уравнение с рациональными показателями.

Радикальные уравнения — это уравнения, содержащие переменные в подкоренном элементе (выражение под радикальным символом), например

[латекс] \ begin {массив} {ccc} \ sqrt {3x + 18} = x & \\ \ sqrt {x + 3} = x-3 & \\ \ sqrt {x + 5} — \ sqrt {x — 3} = 2 \ end {array} [/ latex]

Радикальные уравнения могут иметь один или несколько радикальных членов и решаются путем исключения каждого радикала по одному. Мы должны быть осторожны при решении радикальных уравнений, поскольку нет ничего необычного в том, чтобы найти посторонних решений , корни, которые на самом деле не являются решениями уравнения.Эти решения возникают не из-за ошибки в методе решения, а в результате возведения обеих частей уравнения в степень. Проверка каждого ответа в исходном уравнении подтвердит истинные решения.

A Общее примечание: радикальные уравнения

Уравнение, содержащее члены с переменной в подкоренном выражении, называется радикальным уравнением .

Как: решить радикальное уравнение

1. Выделите радикальное выражение по одну сторону от знака равенства.Все оставшиеся термины перенесите на другую сторону.
2. Если радикал представляет собой квадратный корень, возведите обе части уравнения в квадрат. Если это кубический корень, возведите обе части уравнения в третью степень. Другими словами, для корневого радикала n ​​ возвести обе стороны в степень n ​​. Это устраняет радикальный символ.
3. Решите полученное уравнение.
4. Если радикальный термин все еще остается, повторите шаги 1–2.
5. Проверьте решения, подставив их в исходное уравнение.{2} + 2x — 15 & \\ 0 = \ left (x + 5 \ right) \ left (x — 3 \ right) & \\ x = -5 & \\ x = 3 \ end {array} [/ латекс]

   Предлагаемые решения: [латекс] x = -5 [/ латекс] и [латекс] x = 3 [/ латекс]. Давайте проверим каждое решение в исходном уравнении. Сначала проверьте [латекс] x = -5 [/ latex].

   [латекс] \ begin {array} {llll} \ sqrt {15 — 2x} = x & \\ \ sqrt {15 — 2 \ left (-5 \ right)} = — 5 & \\ \ sqrt {25} = -5 & \\ 5 \ ne -5 \ end {array} [/ latex]

   Это постороннее решение. Хотя при решении уравнения не было сделано никаких ошибок, мы нашли решение, которое не удовлетворяет исходному уравнению.

   Проверить [латекс] x = 3 [/ латекс].

   [латекс] \ begin {array} {llll} \ sqrt {15 — 2x} = x & \\ \ sqrt {15 — 2 \ left (3 \ right)} = 3 & \\ \ sqrt {9} = 3 & \\ 3 = 3 \ end {array} [/ latex]

   Решение [латекс] x = 3 [/ латекс].

   Попробуйте

   Решите радикальное уравнение: [латекс] \ sqrt {x + 3} = 3x — 1 [/ latex]

   Показать решение

   [латекс] х = 1 [/ латекс]; посторонний раствор [латекс] x = — \ frac {2} {9} [/ latex]

   Пример: решение радикального уравнения, содержащего два радикала

   Решите [латекс] \ sqrt {2x + 3} + \ sqrt {x — 2} = 4 [/ latex].{2} -86x + 249 = 0 \ hfill & \ hfill & \\ \ left (x — 3 \ right) \ left (x — 83 \ right) = 0 \ hfill & \ text {Разложить на множители и решить}. \ Hfill & \\ x = 3 \ hfill & \ hfill & \\ x = 83 \ hfill & \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Предлагаемые решения: [латекс] x = 3 [/ латекс] и [латекс] x = 83 [/ латекс]. Проверьте каждое решение в исходном уравнении.

   [латекс] \ begin {массив} {lllll} \ sqrt {2x + 3} + \ sqrt {x — 2} = 4 \ hfill & \\ \ sqrt {2x + 3} = 4- \ sqrt {x — 2 } \ hfill & \\ \ sqrt {2 \ left (3 \ right) +3} = 4- \ sqrt {\ left (3 \ right) -2} \ hfill & \\ \ sqrt {9} = 4- \ sqrt {1} \ hfill \\ 3 = 3 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Одно решение — [латекс] x = 3 [/ латекс].

   Проверить [латекс] x = 83 [/ латекс].

   [латекс] \ begin {массив} {lllll} \ sqrt {2x + 3} + \ sqrt {x — 2} = 4 \ hfill & \\ \ sqrt {2x + 3} = 4- \ sqrt {x — 2 } \ hfill & \\ \ sqrt {2 \ left (83 \ right) +3} = 4- \ sqrt {\ left (83-2 \ right)} \ hfill & \\ \ sqrt {169} = 4- \ sqrt {81} \ hfill & \\ 13 \ ne -5 \ hfill \ end {array} [/ latex]

   Единственное решение — [латекс] х = 3 [/ латекс]. Мы видим, что [latex] x = 83 [/ latex] — посторонний раствор.

   Попробуйте

   Решите уравнение с двумя радикалами: [латекс] \ sqrt {3x + 7} + \ sqrt {x + 2} = 1 [/ latex].{\ frac {1} {3}} [/ latex] — это еще один способ написания [latex] \ text {} \ sqrt [3] {8} [/ latex]. Умение работать с рациональными показателями — полезный навык, так как он очень применим в исчислении.

   Мы можем решить уравнения, в которых переменная возведена в рациональный показатель степени, возведя обе части уравнения до обратной степени. Причина, по которой мы возводим уравнение к обратной величине экспоненты, заключается в том, что мы хотим исключить показатель степени в переменной составляющей, а число, умноженное на обратную величину, равно 1.