Решение показательных уравнений
Показательные уравнения – это уравнения вида
где
x -неизвестный показатель степени,
a и b– некоторые числа.
Примеры показательного уравнения:
А уравнения:
уже не будут являться показательными.
Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:
Пример 1.
Найдите корень уравнения:
Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем
Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.
Преобразуем левую часть уравнения:
Далее используем свойство степени
Преобразуем правую часть уравнения:
Используем свойство степени
Ответ: 4,5.
Пример 2.
Решите неравенство:
Разделим обе части уравнения на
Замена:
Обратная замена:
Число обращается в 1, если его показатель равен 0
Ответ: x=0.
Пример 3.
Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:
Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:
Замена:
Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– не подходит, т.к. равенство не выполняется.
Обратная замена:
1)
Число обращается в 1, если его показатель равен 0
2)
Не подходит, т.к.
3)
Логарифмируем обе части по основанию 2:
Правая часть равна 1, т.к.
Показатель степени встаёт перед выражение, т.к.
Отсюда:
Пример 4.
Решите уравнение:
Замена: , тогда
Обратная замена:
1 уравнение:
если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то
2 уравнение:
Логарифмируем обе части по основанию 2:
Показатель степени встаёт перед выражение, т.к.
Левая часть равна 2x, т.к.
Отсюда:
Пример 5.
Решите уравнение:
Преобразуем левую часть:
Перемножаем степени по формуле:
Упростим: по формуле:
Представим в виде :
Замена:
Переведём дробь в неправильную:
Вычисляем корень из дискриминанта:
a2 -не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения
Обратная замена:
Приводим к общему основанию:
Если
Ответ: x=20.
Пример 6.
Решите уравнение:
О.Д.З.
Преобразуем левую часть по формуле:
Замена:
Вычисляем корень из дискриминанта:
a2-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения
Приводим к общему основанию:
Если
Возводим в квадрат обе части:
Ответ: x=9.
Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич
Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна
www.teslalab.ru
Показательные уравнения
Показательные уравнения. Как известно — в состав ЕГЭ входят простые уравнения. Некоторые мы уже рассмотрели – это логарифмические, тригонометрические, рациональные. Здесь представлены показательные уравнения.
В недавней статье мы поработали с показательными выражениями, посмотрите, будет полезно. Сами уравнения решаются просто и быстро. Требуется лишь знать свойства показателей степени и… Об этом далее.
Перечислим свойства показателей степени:
Нулевая степень любого числа равна единице.
Далее:
Следствие из данного свойства:
Ещё немного теории.
Показательным уравнением называется уравнение содержащее переменную в показателе, то есть это уравнение вида:
f(x) выражение, которое содержит переменную
Методы решения показательных уравнений
1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду:
Тогда применяем свойство:
2. При получении уравнения вида a f(x) = b используется определение логарифма, получим:
3. В результате преобразований можно получить уравнение вида:
Применяется логарифмирование:
Далее применяем свойство логарифма степени:
Выражаем и находим х.
В задачах вариантов ЕГЭ достаточно будет использовать первый способ.
То есть, необходимо представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием, а далее приравниваем показатели и решаем обычное линейное уравнение.
Рассмотрим уравнения:
Найдите корень уравнения 41–2х = 64.
Необходимо сделать так, чтобы в левой и правой частях были показательные выражения с одним основанием. 64 мы можем представить как 4 в степени 3. Получим:
41–2х = 43
Основания равны, можем приравнять показатели:
1 – 2х = 3
– 2х = 2
х = – 1
Проверка:
41–2(–1) = 64
41+2 = 64
43 = 64
64 = 64
Ответ: –1
Найдите корень уравнения 3х–18 = 1/9.
Известно, что
Значит 3х-18 = 3-2
Основания равны, можем приравнять показатели:
х – 18 = – 2
х = 16
Проверка:
316–18 = 1/9
3–2 = 1/9
1/9 = 1/9
Ответ: 16
Найдите корень уравнения:
Представим дробь 1/64 как одну четвёртую в третьей степени:
Теперь можем приравнять показатели:
2х – 19 = 3
2х = 22
х = 11
Проверка:
Ответ: 11
Найдите корень уравнения:
Представим 1/3 как 3–1, а 9 как 3 в квадрате, получим:
(3–1)8–2х = 32
3–1∙(8–2х) = 32
3–8+2х = 32
Теперь можем приравнять показатели:
– 8+2х = 2
2х = 10
х = 5
Проверка:
Ответ: 5
26654. Найдите корень уравнения:
Решение:
Ответ: 8,75
Посмотреть решение
Посмотреть решение
Посмотреть решение
Посмотреть решение
Посмотреть решение
Посмотреть решение
Что хочется отметить обсобо!!!
Как бы вы не были уверены в правильности решения — ОБЯЗАТЕЛЬНО делайте проверку.
Ещё теория (чуть-чуть):
Самое простейшее показательное уравнение:
При данных условиях уравнение всегда имеет решение, при том единственное.
Действительно, при а > 1 показательная функция монотонно возрастает, а при 0 < а < 1 — монотонно убывает. В любом случае, она принимает каждое своё значение ровно один раз (видно по графику):
А вот если b < 0, то уравнение не имеет решений, ведь показательная функция может принимать только положительные значения.
Действительно, в какую бы степень мы не возвели положительное число a, мы никак не можем получить число отрицательное.
Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к решению одного или нескольких простейших.В данной рубрике мы ещё рассмотрим решение некоторых уравнений, не пропустите! На этом всё. Успеха вам!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
matematikalegko.ru
Методы решения уравнений высших степеней
Методы решения уравнений высших степеней.I) Решение уравнений с помощью деления в столбик.
Очевидно — корень уравнения
Очевидно — корень уравнения
Ответ: -5;2;3;4
II) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.
Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,
1) Возвратные уравнения четной степени.
т.к. — не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на
.
Введем замену.
Пусть , , получим
;
Вернемся к замене.
корней нет
Ответ:
2) Возвратные уравнения нечетной степени.
Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного ур–ия нечетной степени один из корней всегда равен –1
Очевидно — корень уравнения.
или
т.к — не является корнем уравнения, то разделим обе части
уравнения на
Введем замену.
Пусть , , , получим
или или
корней нет
Ответ: , ,
III) Уравнения вида, где решаются как возвратные.
IV) Замена переменных по явным признакам.
V) В следующих уравнениях используется “идея однородности”.
Пример №1
Введем замену.
Пусть , , тогда
1) если , тогда , тогда
решений нет
2) Разделим обе части уравнения на , получим
Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим
;
;
Вернемся к замене.
или
корней нет
Ответ:
Пример №2.
Пусть , , тогда
Найдем
Составим систему:
Решая систему подстановкой, получим
или
корней нет ;
Ответ: ;
Пример №3.
— не является корнем уравнения
Разделим обе части уравнения на , получим
Введем замену.
Пусть , тогда
;
или
; ;
Ответ: ; ; ;
VI) Уравнения вида, где эффективно решать перемножением и , а затем делать замену.
VII) В уравнениях вида и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.
(1)
(2)
При переходе область определения уравнения сузилась на . Проверим, является ли корнем уравнения. Не является.
Введем замену.
Пусть , , тогда
;
или
Ответ: ;
VIII) В уравнениях вида обе части уравнения делятся на
— не является корнем уравнения. Разделим на , получим
Введем замену.
Пусть ; , тогда
;
или
Ответ: ;
IX) Выделение полного квадрата.
Введем замену.
Пусть , тогда
;
Вернемся к замене.
или
корней нет
Ответ:
X) Решение уравнений с помощью формулы
или
корней нет
XI) Уравнения вида и к ним сводящиеся решаются при помощи замены
Введем замену.
Пусть , тогда
или корней нет
;
Вернемся к замене.
или
Ответ: ;
XII) Решение уравнений относительно коэффициентов.
или
; — посторонний корень
корней нет
Ответ: ;
XIII) Метод разложения на простейшие дроби.
Ответ:
studfile.net
11.3.2. Решение простейших показательных уравнений математика-повторение
Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными уравнениями.
Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида: ax=ay. Отсюда следует равенство: х=у. В самом деле, степени с одинаковыми основаниями могут быть равными только в том случае, если равны показатели этих степеней.
Примеры.
Решить уравнение:
1) 5x=125. Представим число 125 в виде степени числа 5:
5x=53; Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:
x=3.
2) 4x=32. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 2:
(22)x=25; используем формулу возведения степени в степень: (ax)y=axy
22x=25;
2x=5 |:2
x=2,5.
3) 32x-1=81. Число 81 представим в виде степени числа 3:
32x-1=34; приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями:
2x-1=4; решаем простейшее линейное уравнение:
2x=4+1;
2x=5 |:2;
x=2,5.
К правой части применяем формулу: (a/b)-x=(b/a)x. Получим равенство степеней с одинаковыми основаниями.
Приравниваем показатели степеней и находим х из полученного линейного уравнения.
Приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями.
Переносим степень из правой части уравнения в левую.
Вынесли общий множитель (2х-6) за скобки. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом значении не теряют смысла. Содержимое каждой из скобок приравниваем к нулю и решаем простейшие уравнения.
6) 7∙5x-5x+1=2∙53.
Показатели степеней складываются, если степени перемножаются ( ax∙ay=ax+y ), поэтому:
7∙5x-5x∙51=2∙53;
5x(7-5)=2∙53; вынесли общий множитель за скобки.
5x∙2=2∙53 |:2
5x=53; отсюда следует:
x=3.
7) 3x+2+4∙3x+1=21. Применим формулу: ax+y=ax∙ay (При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают):
3x∙32+4∙3x∙31=21; вынесем общий множитель за скобки:
3x(9+12)=21;
3x∙21=21 |:21
3x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени с любым основанием.
3x=30;
x=0.
51+2x+52x+3=650. Решаем аналогично.
51∙52x+52x∙53=650;
52x(5+125)=650;
52x∙130=650 |:130
52x=5; приравняем показатели равных степеней с основаниями 5.
2x=1 |:2
x=0,5.
Запись имеет метки: показательные уравнения
www.mathematics-repetition.com
49. Показательные уравнения, показательно-степенные уравнения
Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании A (A > 0).
Типы показательных уравнений и способы их решения
Всюду далее F(X), G(X) – некоторые выражения с неизвестной величиной X.
I тип: уравнение вида
где (6.2)
Имеет решение, если B > 0. Его решают логарифмированием по основанию A:
Тогда
(6.3)
Решение уравнения (6.3) производят соответственно типу этого уравнения.
II тип: Уравнение вида
где (6.4)
По свойству равенства степеней равносильно уравнению
Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.
III тип: уравнение вида
(6.5)
Где F – некоторое выражение относительно
Производят замену переменной и решают уравнение F(Y) = 0.
Если – корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (6.5) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений
IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.
Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений X графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).
Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).
Типы показательно-степенных уравнений
И способы их решения
Всюду далее F(X), G(X), H(X) – Некоторые выражения с неизвестной X, F(X) > 0.
I тип: уравнение вида
(6.6)
Решение уравнения (6.6) на ОДЗ сводится к решению совокупности
II тип: уравнение вида
(6.7)
Решение уравнения (6.7) на ОДЗ сводится к решению совокупности
Пример 1. Решить уравнение
Решение. 1-й способ. Имеем уравнение I типа (формула (6.2)). Решаем логарифмированием по основанию 3. Получаем:
т. е.
Приходим к линейному уравнению
Откуда
2-й способ. Преобразуем правую часть при помощи основного логарифмического тождества:
Получили уравнение II типа (формула (6.4)), которое решаем по свойству равенства степеней:
Пришли к ответу:
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Выполним необходимые преобразования, сведем показательные выражения к одному и тому же основанию 3:
По свойству степеней:
Получаем ответ: Х = 0.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Преобразуем уравнение
Имеем квадратное уравнение относительно 2Х. Решаем при помощи замены Получаем:
Корнями последнего уравнения являются значения
Возвращаясь к неизвестной X, имеем совокупность:
Первое уравнение совокупности решений не имеет. Решаем второе уравнение:
т. е.
Получили ответ: Х = 3.
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Выполним необходимые преобразования:
Имеем однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 92Х (92Х ¹ 0). Получим:
Т. е. получили квадратное уравнение относительно Вводим замену Тогда
Откуда
Возвращаемся к старой переменной:
Получили ответ:
Пример 5. Решить уравнение
Решение. 1-й способ. Подбором убеждаемся, что Х = 2– корень уравнения. Функции (т. е. ) и монотонно возрастают (рис. 6.12). Они имеют единственную общую точку.
Рис. 6.12
2-й способ. Разделим обе части уравнения на 2Х. Получим:
или
Заменим Получим
При Х = 2 получим основное тригонометрическое тождество, т. е. Х = 2 является корнем исходного уравнения.
Получили ответ: Х = 2.
Пример 6. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: X = 2, 3, …, N, … .
Перепишем уравнение в виде
Разделим обе части уравнения на (так как ). Получим:
Вводим замену
Получаем квадратное уравнение откуда
Возвращаемся к старой переменной:
Но ни один из корней не подходит по ОДЗ. Следовательно, уравнение корней не имеет.
Пример 7. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: X ¹ 2.
Решением является совокупность
Корень X = 2 не подходит по ОДЗ.
Получили ответ: X = 1, X = 3.
< Предыдущая | Следующая > |
---|
matica.org.ua