Найти корень уравнения со степенями – . .

Решение показательных уравнений

Показательные уравнения – это уравнения вида

где

x -неизвестный показатель степени,

a и b– некоторые числа.

Примеры показательного уравнения:

А уравнения:

уже не будут являться показательными.

 

Рассмотрим примеры решения показательных уравнений:

Пример 1.
Найдите корень уравнения:


Приведем степени к одинаковому основанию, чтобы воспользоваться свойством степени с действительным показателем

 

Тогда можно будет убрать основание степени и перейти к равенству показателей.

Преобразуем левую часть уравнения:


Далее используем свойство степени 



Преобразуем правую часть уравнения:

Используем свойство степени 





Ответ: 4,5.

Пример 2.
Решите неравенство:


Разделим обе части уравнения на 


Замена:




Обратная замена:


Число обращается в 1, если его показатель равен 0

Ответ: x=0.

 

Пример 3.

Решите уравнение и найдите корни на заданном промежутке:


Приводим все слагаемые к одинаковому основанию:


Замена:



Ищем корни уравнения, путём подбора кратных свободному члену:

 – подходит, т.к. равенство выполняется.
 – подходит, т.к. равенство выполняется.
– подходит, т.к. равенство выполняется.
– не подходит, т.к. равенство не выполняется.

Обратная замена:

1) 

Число обращается в 1, если его показатель равен 0


2)

Не подходит, т.к. 

3)

Логарифмируем обе части по основанию 2:


Правая часть равна 1, т.к.


Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 


Отсюда:



 

Пример 4.

Решите уравнение:




Замена: , тогда






Обратная замена:

1 уравнение:


если основания чисел равны, то их показатели будут равны, то


2 уравнение:


Логарифмируем обе части по основанию 2:


Показатель степени встаёт перед выражение, т.к. 


Левая часть равна 2x, т.к. 


Отсюда:


 

Пример 5.

Решите уравнение:

Преобразуем левую часть:


Перемножаем степени по формуле: 


Упростим:  по формуле: 


Представим  в виде :


Замена:


Переведём дробь в неправильную:


Вычисляем корень из дискриминанта:

a-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения

Обратная замена:

Приводим к общему основанию:


Если 

Ответ: x=20.

Пример 6.

Решите уравнение:


О.Д.З.


Преобразуем левую часть по формуле: 


Замена:


Вычисляем корень из дискриминанта:



a2-не подходит, т.к. а не принимает отрицательные значения


Приводим к общему основанию:


Если 


Возводим в квадрат обе части:


Ответ: x=9.

Автор статьи: Дьяков Александр Дмитриевич

Редакторы статьи: Гаврилина Анна Викторовна, Агеева Любовь Александровна

www.teslalab.ru

Показательные уравнения

    Показательные уравнения. Как известно — в состав ЕГЭ входят простые уравнения. Некоторые мы уже рассмотрели – это логарифмические, тригонометрические, рациональные. Здесь представлены показательные уравнения.

В недавней статье мы поработали с показательными выражениями, посмотрите, будет полезно. Сами уравнения решаются просто и быстро. Требуется лишь знать свойства показателей степени и…  Об этом далее.

Перечислим свойства показателей степени:

Свойства показателей степени

Нулевая степень любого числа равна единице.

Далее:

Свойства показателей степени

Следствие из данного свойства:

Свойства показателей степени

Ещё немного теории.

Показательным уравнением называется уравнение содержащее переменную в показателе, то есть  это уравнение вида:

Свойства показателей степени

f(xвыражение, которое содержит переменную

Методы решения показательных уравнений

1. В результате преобразований уравнение можно привести к виду:

Свойства показателей степени

Тогда применяем свойство:

Свойства показателей степени

2. При получении уравнения вида  f(x) = b  используется определение логарифма, получим:

Свойства показателей степени

3. В результате преобразований можно получить уравнение вида:

Свойства показателей степени

Применяется логарифмирование:

Свойства показателей степени

Далее применяем свойство логарифма степени:

Свойства показателей степени

Выражаем и находим х.

В задачах вариантов ЕГЭ достаточно будет использовать первый способ.

То есть, необходимо представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием, а далее приравниваем показатели и решаем обычное линейное уравнение.

Рассмотрим уравнения:

Свойства показателей степени

Найдите корень уравнения 41–2х = 64.

Необходимо сделать так, чтобы в левой и правой частях были показательные выражения с одним основанием. 64 мы можем представить как 4 в степени 3. Получим:

41–2х = 43

Основания равны, можем приравнять показатели:

1 – 2х = 3

– 2х = 2

х =  – 1

Проверка:

41–2(–1) = 64

41+2 = 64

43 = 64

64 = 64

Ответ: –1

Свойства показателей степени

Найдите корень уравнения 3х–18 = 1/9.

Свойства показателей степени

Известно, что

Свойства показателей степени

Значит  3х-18 = 3-2

Основания равны, можем приравнять показатели:

х – 18 = – 2

х = 16

Проверка:

316–18 = 1/9

3–2 = 1/9

1/9 = 1/9

Ответ: 16

Свойства показателей степени

Найдите корень уравнения:

Свойства показателей степени

Представим дробь 1/64 как  одну четвёртую в третьей степени:

Свойства показателей степени

Теперь можем приравнять показатели:

2х – 19 = 3

2х = 22

х = 11

Проверка:

Свойства показателей степени

Ответ: 11

Свойства показателей степени

Найдите корень уравнения:

Свойства показателей степени

Представим 1/3 как  3–1, а 9 как 3 в квадрате, получим:

(3–1)8–2х = 32

3–1∙(8–2х) = 32

3–8+2х = 32

Теперь можем приравнять показатели:

 – 8+2х = 2

2х = 10

х = 5

Проверка:

Свойства показателей степени

Ответ: 5

Свойства показателей степени

26654. Найдите корень уравнения:

Свойства показателей степени

Решение:

Свойства показателей степени

Ответ: 8,75

Свойства показателей степени

Свойства показателей степени

Посмотреть решение

Свойства показателей степени

Посмотреть решение

Свойства показателей степени

Посмотреть решение

Свойства показателей степени

Посмотреть решение

Свойства показателей степени

Посмотреть решение

Свойства показателей степени

Посмотреть решение

Что хочется отметить обсобо!!!

Как бы  вы не были уверены в правильности решения — ОБЯЗАТЕЛЬНО делайте проверку.

Ещё теория (чуть-чуть):

Самое простейшее показательное уравнение:

Свойства показателей степени

При данных условиях уравнение всегда имеет решение, при том единственное.

Действительно, при а > 1 показательная функция монотонно возрастает, а при 0 < а < 1 — монотонно убывает. В любом случае, она принимает каждое своё значение ровно один раз (видно по графику):

Свойства показателей степени

А вот если b < 0, то уравнение не имеет решений, ведь показательная функция может принимать только положительные значения.

Действительно, в какую бы степень мы не возвели положительное число a, мы никак не можем получить число отрицательное.

Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к реше­нию одного или нескольких простейших.В данной рубрике мы ещё рассмотрим решение некоторых уравнений, не пропустите! На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Методы решения уравнений высших степеней

Методы решения уравнений высших степеней.

I) Решение уравнений с помощью деления в столбик.

Очевидно — корень уравнения

Очевидно — корень уравнения

Ответ: -5;2;3;4

II) Возвратные уравнения и к ним сводящиеся.

Уравнение называется возвратным, если в нем коэффициенты равноудаленные от концов совпадают, т.е. , ,

1) Возвратные уравнения четной степени.

т.к. — не является корнем уравнения, то разделим обе части уравнения на .

Введем замену.

Пусть , , получим

;

Вернемся к замене.

или

корней нет

Ответ:

2) Возвратные уравнения нечетной степени.

Любое возвратное уравнение нечетной степени сводится к квадратному уравнению четной степени, т.к у любого возвратного ур–ия нечетной степени один из корней всегда равен –1

Очевидно — корень уравнения.

или

т.к — не является корнем уравнения, то разделим обе части

уравнения на

Введем замену.

Пусть , , , получим

или или

корней нет

Ответ: , ,

III) Уравнения вида, где решаются как возвратные.

IV) Замена переменных по явным признакам.

V) В следующих уравнениях используется “идея однородности”.

Пример №1

Введем замену.

Пусть , , тогда

1) если , тогда , тогда

решений нет

2) Разделим обе части уравнения на , получим

Решим последнее уравнение, как квадратное относительно , получим

;

;

Вернемся к замене.

или

корней нет

Ответ:

Пример №2.

Пусть , , тогда

Найдем

Составим систему:

Решая систему подстановкой, получим

или

корней нет ;

Ответ: ;

Пример №3.

— не является корнем уравнения

Разделим обе части уравнения на , получим

Введем замену.

Пусть , тогда

;

или

; ;

Ответ: ; ; ;

VI) Уравнения вида, где эффективно решать перемножением и , а затем делать замену.

VII) В уравнениях вида и в уравнениях к ним сводящимся, в знаменателях обоих дробей необходимо вынести х за скобки и сделать замену.

(1)

(2)

При переходе область определения уравнения сузилась на . Проверим, является ли корнем уравнения. Не является.

Введем замену.

Пусть , , тогда

;

или

Ответ: ;

VIII) В уравнениях вида обе части уравнения делятся на

— не является корнем уравнения. Разделим на , получим

Введем замену.

Пусть ; , тогда

;

или

Ответ: ;

IX) Выделение полного квадрата.

Введем замену.

Пусть , тогда

;

Вернемся к замене.

или

корней нет

Ответ:

X) Решение уравнений с помощью формулы

или

корней нет

XI) Уравнения вида и к ним сводящиеся решаются при помощи замены

Введем замену.

Пусть , тогда

или корней нет

;

Вернемся к замене.

или

Ответ: ;

XII) Решение уравнений относительно коэффициентов.

или

; — посторонний корень

корней нет

Ответ: ;

XIII) Метод разложения на простейшие дроби.

Ответ:

studfile.net

11.3.2. Решение простейших показательных уравнений   математика-повторение

Уравнения, содержащие переменную в показателе степени, называются показательными уравнениями.

Простейшие показательные уравнения — это уравнения вида: ax=ay. Отсюда следует равенство: х=у. В самом деле, степени с одинаковыми основаниями могут быть равными только в том случае, если равны показатели этих степеней.

Примеры.

Решить уравнение:

1) 5x=125.  Представим число 125 в виде степени числа 5:

5x=53; Степени равны, их основания равны, значит, и показатели степеней будут равны:

x=3.

2) 4x=32. Представим левую и правую части в виде степеней с основанием 2:

(22)x=25; используем формулу возведения степени в степень: (ax)y=axy  

22x=25;

2x=5  |:2

x=2,5.

 3) 32x-1=81. Число 81 представим в виде степени числа 3:

32x-1=34;  приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями:

2x-1=4;  решаем простейшее линейное уравнение:

2x=4+1;

2x=5  |:2;

x=2,5.

 

К правой части применяем формулу: (a/b)-x=(b/a)x. Получим равенство степеней с одинаковыми основаниями.

Приравниваем показатели степеней и находим х из полученного линейного уравнения.

 

 

 

 

 

Приравняем показатели степеней с одинаковыми основаниями.

Переносим степень из правой части уравнения в левую.

Вынесли общий множитель (2х-6) за скобки. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другие при этом значении не теряют смысла. Содержимое каждой из скобок приравниваем к нулю и решаем простейшие уравнения.

 

6) 7∙5x-5x+1=2∙53.

Показатели степеней складываются, если степени перемножаются ( ax∙ay=ax+y ), поэтому:

7∙5x-5x∙51=2∙53;

5x(7-5)=2∙53;  вынесли общий множитель за скобки.

5x∙2=2∙53     |:2

5x=53;  отсюда следует:

x=3.

7) 3x+2+4∙3x+1=21.  Применим формулу: ax+y=ax∙ay  (При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают):

3x∙32+4∙3x∙31=21; вынесем общий множитель за скобки:

3x(9+12)=21;

3x∙21=21  |:21

3x=1; число 1 можно представлять в виде нулевой степени с любым основанием.

3x=30;

x=0.

51+2x+52x+3=650.  Решаем аналогично.

51∙52x+52x∙53=650;

52x(5+125)=650;

52x∙130=650   |:130

52x=5; приравняем показатели равных степеней с основаниями 5.

2x=1  |:2

x=0,5.

 

Запись имеет метки: показательные уравнения

www.mathematics-repetition.com

49. Показательные уравнения, показательно-степенные уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании A (A > 0).

Типы показательных уравнений и способы их решения

Всюду далее F(X), G(X) – некоторые выражения с неизвестной величиной X.

I тип: уравнение вида

где (6.2)

Имеет решение, если > 0. Его решают логарифмированием по основанию A:

Тогда

(6.3)

Решение уравнения (6.3) производят соответственно типу этого уравнения.

II тип: Уравнение вида

где (6.4)

По свойству равенства степеней равносильно уравнению

Последнее уравнение решают в зависимости от его типа.

III тип: уравнение вида

(6.5)

Где F – некоторое выражение относительно

Производят замену переменной и решают уравнение F(Y) = 0.

Если – корни уравнения, то после возвращения к старой переменной решение уравнения (6.5) сводится к решению равносильной ему совокупности уравнений

IV тип: уравнения, решаемые графическим методом.

Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и правой частей уравнения. Определяют, для каких значений X графики имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свойства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).

Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ уравнения).

Типы показательно-степенных уравнений

И способы их решения

Всюду далее F(X), G(X), H(X) Некоторые выражения с неизвестной X, F(X) > 0.

I тип: уравнение вида

(6.6)

Решение уравнения (6.6) на ОДЗ сводится к решению совокупности

II тип: уравнение вида

(6.7)

Решение уравнения (6.7) на ОДЗ сводится к решению совокупности

Пример 1. Решить уравнение

Решение. 1-й способ. Имеем уравнение I типа (формула (6.2)). Решаем логарифмированием по основанию 3. Получаем:

т. е.

Приходим к линейному уравнению

Откуда

2-й способ. Преобразуем правую часть при помощи основного логарифмического тождества:

Получили уравнение II типа (формула (6.4)), которое решаем по свойству равенства степеней:

Пришли к ответу:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Выполним необходимые преобразования, сведем показательные выражения к одному и тому же основанию 3:

По свойству степеней:

Получаем ответ: Х = 0.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Преобразуем уравнение

Имеем квадратное уравнение относительно 2Х. Решаем при помощи замены Получаем:

Корнями последнего уравнения являются значения

Возвращаясь к неизвестной X, имеем совокупность:

Первое уравнение совокупности решений не имеет. Решаем второе уравнение:

т. е.

Получили ответ: Х = 3.

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Выполним необходимые преобразования:

Имеем однородное уравнение. Разделим обе части уравнения на 92Х (92Х ¹ 0). Получим:

Т. е. получили квадратное уравнение относительно Вводим замену Тогда

Откуда

Возвращаемся к старой переменной:

Получили ответ:

Пример 5. Решить уравнение

Решение. 1-й способ. Подбором убеждаемся, что Х = 2– корень уравнения. Функции (т. е. ) и монотонно возрастают (рис. 6.12). Они имеют единственную общую точку.

Рис. 6.12

2-й способ. Разделим обе части уравнения на 2Х. Получим:

или

Заменим Получим

При Х = 2 получим основное тригонометрическое тождество, т. е. Х = 2 является корнем исходного уравнения.

Получили ответ: Х = 2.

Пример 6. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: X = 2, 3, …, N, … .

Перепишем уравнение в виде

Разделим обе части уравнения на (так как ). Получим:

Вводим замену

Получаем квадратное уравнение откуда

Возвращаемся к старой переменной:

Но ни один из корней не подходит по ОДЗ. Следовательно, уравнение корней не имеет.

Пример 7. Решить уравнение

Решение. ОДЗ: X ¹ 2.

Решением является совокупность

Корень X = 2 не подходит по ОДЗ.

Получили ответ: X = 1, X = 3.

< Предыдущая   Следующая >

matica.org.ua

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о