Неравенства с параметром как решать: Неравенства с параметром и их решение

2-1}\) \begin{gather*} \mathrm{ (a+1)x\gt(a+1)(a-1) }\\ \mathrm{ (a+1)x-(a+1)(a-1)\gt 0 }\\ (a+1)\left(x-(a-1)\right)\gt 0\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{\begin{array}{ l l} \mathrm{a+1\gt 0} & \\ \mathrm{x\gt a-1} \end{array}\right. & \\ \left\{\begin{array}{ l l } \mathrm{a+1\lt 0} & \\ \mathrm{x\lt a-1} & \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{\begin{array}{ l l} \mathrm{a\gt -1} & \\ \mathrm{x\gt a-1} \end{array}\right. & \\ \left\{\begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt -1} & \\ \mathrm{x\lt a-1} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*} Ответ:
При a > –1, x > a – 1
При a < –1, x < a – 1
При a = –1 решений нет.

Содержание

п.2. Дробно-рациональные неравенства с параметрами

Пример 5. При каких значениях a неравенство верно при всех |x| ≤ 1: $$ \mathrm{\frac{ax-a(1-a)}{x-1}\lt 0} $$ Решаем систему:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{|x|\leq 1} & \\ \mathrm{\frac{ax-a(1-a)}{x-1}\lt 0} & \end{array}\right.

\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x-1\lt 0} & \\ \mathrm{ax-a(1-a)\gt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \mathrm{ax-a(1-a)\gt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \mathrm{a(x+a-1)\gt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-1\leq x\leq 1} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{x+a-1\lt 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 0} & \\ \mathrm{x+a-1\gt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{0\leq 1-x\leq 2} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{a\lt 1-x} & \end{array}\right.
& \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 0} & \\ \mathrm{a\gt 1-x} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{0\leq 1-x\leq 2} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{a\gt 2} & \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \mathrm{a\lt 0\cup a\gt 2} \end{gather*} Ответ: \(\mathrm{a\in(-\infty;0)\cup (2;+\infty)}\).

Пример 6. При каких значениях a неравенство верно при всех 1 ≤ x ≤ 2: $$ \mathrm{\frac{x-2a-1}{x-a}\lt 0} $$ Решаем систему:
\begin{gather*} \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{1\leq x\leq 2} & \\ \mathrm{\frac{x-2a-1}{x-a}\lt 0} & \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{1\leq x\leq 2} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x-a\lt 0} & \\ \mathrm{x-2a-1\gt 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{x-a\gt 0} & \\ \mathrm{x-2a-1\lt 0} & \end{array}\right.

\end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{1\leq x\leq 2,\ \ 0\leq\frac{x-1}{2}\leq\frac12} & \\ \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt x} & \\ \mathrm{a\lt \frac{x-1}{2}} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt x} & \\ \mathrm{a\gt \frac{x-1}{2}} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \Rightarrow\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 2} & \\ \mathrm{a\lt 0} & \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 1} & \\ \mathrm{a\gt \frac12} & \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{\frac12\lt a\lt 1} \end{gather*}
Ответ:
\(\mathrm{a\in\left(\frac12; 1\right)}\).

п.3. Иррациональные неравенства с параметрами

Пример 7. Решите неравенство:
а) \(\mathrm{\sqrt{x-a}\geq 2x+1}\)
Решаем совокупность: \begin{gather*} \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{2x+1\leq 0} & \\ \mathrm{x-a\geq 0} & \end{array}\right. 2-4\cdot 4\cdot(a+1)=-16a-7} $$ Если \(\mathrm{D=0:\ a=-\frac{7}{16},\ x_0=-\frac38\gt-\frac12}\) – решение подходит
Ось симметрии параболы \(\mathrm{x_0=-\frac38}\), в зависимости от значения a, вершина параболы будет перемещаться по оси.
Если \(\mathrm{D\gt 0:\ 16a+7\lt 0\Rightarrow a\lt -\frac{7}{16}}\). \begin{gather*} \mathrm{x_1=\frac{-3-\sqrt{D}}{8}\geq-\frac12\Rightarrow -3-\sqrt{-16a-7}\geq-4\Rightarrow}\\ \Rightarrow \mathrm{\sqrt{-16a-7}\leq 1}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{-16a-7\geq 0} & \\ \mathrm{-16a-7\leq 1} & \end{array}\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\leq -\frac{7}{16}} & \\ \mathrm{a\geq-\frac12} & \end{array}\right.\Rightarrow \mathrm{-\frac12\leq a\leq -\frac{7}{16}} \end{gather*} При \(\mathrm{a\gt-\frac{7}{16}}\) все точки параболы окажутся над осью OX, неравенство с ≤ 0 не будет иметь решений.

Получаем, что для \(\mathrm{a\lt-\frac12,\ a\leq x\leq-\frac12\cup x_1\leq x\leq x_2 \Leftrightarrow a\leq x\leq x_2}\)
Для \(\mathrm{a\gt-\frac{7}{16}}\) решений нет. 3\gt 0} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\lt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\lt 0} &\\ \mathrm{x\gt-\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\gt 0} &\\ \mathrm{x\lt-\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\gt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\lt 0} & \\ \mathrm{x\lt -\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x\gt 0} & \\ \mathrm{x\gt -\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \end{gather*} \begin{gather*} \Rightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\lt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \mathrm{\varnothing} &\\ \mathrm{0\lt x\lt -\sqrt[3]{a}} & \end{array}\right.
\end{array}\right.\\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{a\gt 0} & \\ \left[\begin{array}{l} \mathrm{x\lt -\sqrt[3]{a}} & \\ \mathrm{x\gt a} & \end{array}\right. \end{array}\right. \end{array}\right.\Rightarrow \left[ \begin{array}{ l l } \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\lt 0} & \\ \mathrm{0\lt x\lt-\sqrt[3]{a}} \end{array}\right. & \\ \left\{ \begin{array}{ l l } \mathrm{a\gt 0} & \\ \mathrm{x\lt-\sqrt[3]{a}\cup x\gt 0} \end{array}\right. \end{array}\right. \end{gather*}
Ответ:

При \(\mathrm{a\lt 0,\ \ 0\lt x\lt -\sqrt[3]{a}}\)
При \(\mathrm{a=0,\ \ x\in\varnothing}\) – решений нет
При \(\mathrm{a\gt 0,\ \ x\lt-\sqrt[3]{a}\cup x\gt 0}\).

Решение уравнений и неравенств с параметрами

1. Основные определения

Неравенство

f(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x),                  (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а  x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …,  k = k0

, при некоторой функции

f(a, b, c, …, k, x)  и

j(a, b, c, …, k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

f(a, b, c, …, k, x)  и

j(a, b, c, …, k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство 

f(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

f(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x)  и        (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x)           (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

 

2. Алгоритм решения.

1.    Находим область определения данного неравенства.

2.    Сводим неравенство к уравнению.

3.    Выражаем а как функцию от х.

4.    В системе координат хОа строим графики функций а =f (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

5.    Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

6.    Исследуем влияние параметра на результат.

·      найдём абсциссы точек пересечения графиков.

·      зададим прямую а=соnst  и будем сдвигать её от -∞ до +∞

7.    Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

 

3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра  а  решить неравенство

 

Решение.

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок  .

Ответ: , .

 

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

 

Решение.

Найдем корни трехчлена левой части неравенства  –

                             (*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса  2  с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения  и  находятся из системы

а значения  и  находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

Ответ:

 

III. Решить неравенство  на  в зависимости от значений параметра а.

 

Решение.

                        Находим область допустимых значений –

                        Построим график функции в системе координат хОу.

·    при  неравенство решений не имеет.

·    при  для  решение х удовлетворяет соотношению , где

 

Ответ: Решения неравенства существуют при 

, где  , причем при  решения ; при  решения  .

IV. Решить неравенство

 

Решение.

                        Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

 

                                        

 

                        Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству :

 

 

Разложим числитель на множители.

т. к.    то

Разделим обе части равенства на  при . Но  является решением : левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .

3. Строим в ПСК хОа  графики функций

 

и нумеруем  образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

 

?

точка

неравенство:

вывод

1

2

+

3

4

+

5

6

+

7

8

+

9

 

5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от  -∞ до + ∞.

Ответ.

при                                                               

при                                                               

при                                                   

при                                                           решений нет

при                                                          

Решение квадратных неравенств с параметром.

Учебное пособие «уравнения и неравенства с параметрами»

решение неравенства в режиме онлайн решение почти любого заданного неравенства онлайн . Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических неравенства онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн , тригонометрические неравенства онлайн , трансцендентные неравенства онлайн , а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое неравенство , тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн , тригонометрических неравенств онлайн , а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами.

Приложение

Решение неравенств онлайн на Math34.biz для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Неравенство в математике — утверждение об относительной величине или порядке двух объектов (один из объектов меньше или не больше другого), или о том, что два объекта не одинаковы (отрицание равенства). В элементарной математике изучают числовые неравенства, в общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы. Для решения неравенства обязательно должны быть определены обе его части с одним из знаков неравенства между ними. Строгие неравенства подразумевают неравенство двух объектов. В отличие от строгих, нестрогие неравенства допускают равенство входящих в него объектов. Линейные неравенства представляют собой простейшие с точки зрения начала изучения выражения, и для решения таких неравенств используются самые простые методики. Главная ошибка учеников в решении неравенств онлайн в том, что они не различают особенность строгого и нестрогого неравенства, от чего зависит войдут или нет граничные значения в конечный ответ. Несколько неравенств, связанных между собой несколькими неизвестными, называют системой неравенств. Решением неравенств из системы является некая область на плоскости, либо объемная фигура в трехмерном пространстве. Наряду с этим абстрагируются n-мерными пространствами, однако при решении таких неравенств зачастую не обойтись без специальных вычислительных машин. Для каждого неравенства в отдельности нужно найти значения неизвестного на границах области решения. Множество всех решений неравенства и является его ответом. Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому. Аналогичный подход встречается и в других дисциплинах, потому что помогает привести выражения к стандартному виду. Вы оцените по достоинству все преимущества решение неравенств онлайн на нашем сайте. Неравенство — это выражение, содержащее один из знаков = >. По сути это логическое выражение. Оно может быть либо верным, либо нет — в зависимости от того, что стоит справа и слева в этом неравенстве. Разъяснение смысла неравенства и основные приемы решения неравенств изучаются на разных курсах, а также в школе. Решение любых неравенств онлайн — неравенства с модулем, алгебраические, тригонометрические, трансцендентные неравенства онлайн. Тождественное неравенство, как строгие и нестрогие неравенства, упрощают процесс достижения конечного результата, являются вспомогательным инструментом для разрешения поставленной задачи. Решение любых неравенств и систем неравенств, будь то логарифмические, показательные, тригонометрические или квадратных неравенства, обеспечивается с помощью изначально правильного подхода к этому важному процессу. Решение неравенств онлайн на сайте сайт всегда доступно всем пользователям и абсолютно бесплатно. Решениями неравенства с одной переменной называются значения переменной, которые обращают его в верное числовое выражение. Уравнения и неравенства с модулем: модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа. Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень. Неравенства – это выражения, указывающие на сравнение чисел, поэтому грамотное решение неравенств обеспечивает точность таких сравнений. Они бывают строгими (больше, меньше) и нестрогими (больше или равно, меньше или равно). Решить неравенство – значит найти все те значения переменных, которые при подстановке в исходное выражение обращают его в верное числовое представление.. Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности — вот что определяет специфику данного математического раздела. Основные свойства числовых неравенств, применимые ко всем объектам данного класса, обязательно должны быть изучены учениками на начальном этапе ознакомления с данной темой. Неравенства и промежутки числовой прямой очень тесно связаны, когда речь идет о решении неравенств онлайн. Графическое обозначение решения неравенства наглядно показывает суть такого выражения, становится понятно к чему следует стремиться при решении какой-либо поставленной задачи. В основу понятия неравенства входит сравнение двух или нескольких объектов. Неравенства, содержащие переменную, решаются как аналогично составленные уравнения, после чего делается выборка интервалов, которые будут приняты за ответ. Любое алгебраическое неравенство, тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции, вы с легкостью и мгновенно сможете решить, используя наш бесплатный сервис. Число является решением неравенства, если при подстановке этого числа вместо переменной получаем верное выражение, то есть знак неравенства показывает истинное понятие.. Решение неравенств онлайн на сайт каждый день для полноценного изучения студентами пройденного материала и закрепления своих практических навыков. Зачастую тема неравенства онлайн в математике изучается школьниками после прохождения раздела уравнений. Как и положено применяются все принципы при решении, чтобы определить интервалы решений. Найти в аналитическом виде ответ бывает сложнее, чем сделать то же самое, но в числовом виде. Однако такой подход дает более наглядное и полное представление об целостности решения неравенства. Сложность может возникнуть на этапе построения линии абсцисс и нанесения точек решения однотипного уравнения. После этого решение неравенств сводится к определению знака функции на каждом выявленном интервале с целью определения возрастания или убывания функции. Для этого необходимо поочередно подставлять к значениям, заключенных внутри каждого интервала, в исходную функцию и проверять её значение на положительность или отрицательность. В этом есть суть нахождения всех решений, в том числе интервалов решений. Когда вы сами решите неравенство и увидите все интервалы с решениями, то поймете, насколько применим такой подход для дальнейших действий. Сайт сайт предлагает вам перепроверить свои результаты вычислений с помощью мощного современного калькулятора на этой странице. Вы сможете с легкостью выявить неточности и недочеты в своих расчетах, использую уникальный решебник неравенств. Студенты часто задаются вопросом, где найти такой полезный ресурс? Благодаря инновационному подходу к возможности определения потребностей инженеров, калькулятор создан на базе мощных вычислительных серверов с использованием только новых технологий. По сути решение неравенств онлайн заключается в решении уравнения с вычислением всех возможных корней. Полученные решения отмечаются на прямой, а далее производится стандартная операция по определению значения функции на каждом промежутке. А что же делать, если корни уравнения получаются комплексные, как в этом случае решить неравенство в полной форме, которое бы удовлетворяло всем правилам написания результата? Ответ на этот и многие другие вопросы с легкость даст наш сервис сайт, для которого нет ничего невозможного в решении математических задач онлайн. В пользу вышесказанного добавим следующее: каждый, кто всерьез занимается изучением такой дисциплиной как математика, обязан изучить тему неравенств. Неравенства бывают разных типов и решить неравенство онлайн порой сделать непросто, так как необходимо знать принципы подходов к каждому из них. На этом базируется основа успеха и стабильности. Для примера можно рассмотреть такие типы, как логарифмические неравенства или трансцендентные неравенства. Это вообще особый вид таких, сложных на первый взгляд, задач для студентов, тем более для школьников. Преподаватели институтов уделяют немало времени из подготовки практикантов для достижения профессиональных навыков в работе. К таким же типам отнесем тригонометрические неравенства и обозначим общий подход при решении множества практических примеров из постановочной задачи. В ряде случаев сначала нужно привести все к уравнению, упростить его, разложить на разные множители, короче говоря, привести к вполне наглядному виду. Во все времена человечество стремилось найти оптимальный подход в любых начинаниях. Благодаря современным технологиям, человечество сделало просто огромный прорыв в будущее свое развитие. Инновации все чаще и чаще, день за днем вливаются в нашу жизнь. В основу вычислительной техники легла, разумеется, математика со своим принципами и строгим подходом к делу. сайт представляет собой общий математический ресурс, в котором имеется разработанный калькулятор неравенств и многие другие полезные сервисы. Используйте наш сайт и у вас будет уверенность в правильности решенных задач. Из теории известно, что объекты нечисловой природы также изучаются неравенствами онлайн, только этот подход представляет собой особый способ изучения данного раздела в алгебре, геометрии и других направлениях математики. Решать неравенства можно по-разному, неизменным остается конечная проверка решений и лучше всего это делать прямой подстановкой значений в само неравенство. Во многих случаях полученный ответ очевиден и его легко проверить в уме. Предположим нам задано решить дробное неравенство, в котором присутствуют искомые переменные в знаменателях дробных выражений. Тогда решение неравенств сведется к приведению всех слагаемых к общему знаменателю, предварительно переместив все в левую и правую часть неравенства. Далее нужно решить однородное уравнение, полученное в знаменателе дроби. Эти числовые корни будут точками, не включенными в интервалы общего решения неравенства, или ка их еще называют — проколотые точки, в которых функция обращается в бесконечность, то есть функция не определена, а можно только получить ее предельное значение в данной точке. Решив полученное в числителе уравнение, все точки нанесем на числовую ось. Заштрихуем те точки, в которых числитель дроби обращаемся в ноль. Соответственно все остальные точки оставляем пустыми или проколотыми. Найдем знак дроби на каждом интервале и после этого выпишем окончательный ответ. Если на границах интервала будут заштрихованные точки, то тогда включаем эти значения в решение. Если на границах интервала будут проколотые точки — эти значения в решение не включаем. После того, как решите неравенство, вам потребуется в обязательном порядке проверить полученный результат. Можно это сделать руками, каждое значение из интервалов ответа поочередно подставить в начальное выражение и выявить ошибки. Сайт сайт с легкостью выдаст вам все решения неравенства, и вы сразу сравните полученные вами и калькулятором ответы. Если все-таки ошибка будет иметь место, то на нашем ресурсе решение неравенств онлайн окажется вам очень полезным. Рекомендуем всем студентам вначале приступать не к решению напрямую неравенства, а сначала получить результат на сайт, потому что в дальнейшем будет намного проще самому сделать правильный расчет. В текстовых задачах практически всегда решение сводится к составлению системы неравенств с несколькими неизвестными. Решить неравенство онлайн в считанные секунды поможет наш ресурс. При этом решение будет произведено мощной вычислительной программой с высокой точностью и без всяких погрешностей в конечном ответе. Тем самым вы сможете сэкономить колоссальное количество времени на решении данным калькулятором примеров. В ряде случаев школьники испытывают затруднения, когда на практике или в лабораторных работах встречают логарифмические неравенства, а еще хуже, когда видят перед собой тригонометрические неравенства со сложными дробными выражениями с синусами, косинусами или вообще с обратными тригонометрическими функциями. Как ни крути, но без помощи калькулятора неравенств справиться будет очень сложно и не исключены ошибки на любом этапе решения задачи. Пользуйтесь ресурсом сайт совершенно бесплатно, он доступен каждому пользователю каждый день. Начинать действовать с нашего сервиса-помощника очень хорошая идея, поскольку аналогов существует множество, а по-настоящему качественных сервисов единицы. Мы гарантируем точность вычислений при длительности поиска ответа в несколько секунд. От вас требуется только записать неравенства онлайн, а мы в свою очередь сразу предоставим вам точный результат решения неравенства. Искать подобный ресурс может оказаться бессмысленным занятием, так как вряд ли вы встретите такой же качественный сервис как у нас. Можно обойтись без теории про решение неравенств онлайн, но без качественного и быстрого калькулятора вам не обойтись. Желаем вам успехов в учебе! По-настоящему выбрать оптимальное решение неравенства онлайн зачастую связано с логическим подходом для случайной величины. Если пренебречь малым отклонением замкнутого поля, то вектор нарастающего значения пропорционален наименьшему значению на промежутке убывания линии ординат. Инвариант пропорционален двукратному увеличению отображаемым функциям наряду с исходящим ненулевым вектором. Лучший ответ всегда содержит точность вычислений. Наше решение неравенств примет вид однородной функции последовательно сопряженных числовых подмножеств главного направления. За первый интервал возьмем как раз наихудшее по точности значение нашего представления переменной. Вычислим на максимальное отклонение предыдущее выражение. Будем пользоваться сервисом на усмотрение предложенных вариантов по мере необходимости. Будет ли найдено решение неравенств онлайн с помощью хорошего в своем классе калькулятора — это риторический вопрос, разумеется, студентам такой инструмент пойдет только на пользу и принесет огромный успех в математике. Наложим ограничение на область с множеством, которое сведем к элементам с восприятием импульсов по напряжению. Физические значения таких экстремумов математически описывают возрастание и убывание кусочно-непрерывных функций. На протяжении всего пути ученые находили доказательства существования элементов на разных уровнях изучения. Расположим все последовательно идущие подмножества одного комплексного пространства в один ряд с такими объектами, как шар, куб или цилиндр. Из нашего результата можно сделать однозначный вывод и когда решите неравенство, то на выходе, безусловно, прольется свет на высказанное математическое предположение об интеграции метода на практике. В текущем положении вещей необходимое условие будет также являться и достаточным условием. Критерии неопределенности зачастую вызывают у студентов разногласия по причине недостоверных данных. Это упущение должны взять на себя преподаватели ВУЗов, а также учителя в школах, так как на начальном этапе обучения необходимо это тоже учитывать. Из вышесказанного вывода на взгляд опытных людей можно делать выводы, что решить неравенство онлайн очень сложное задание при вхождении в неравенство неизвестных разного типа данных. Об этом сказано на научной конференции в западном округе, на которой выдвигали самые различные обоснования по поводу научных открытий в области математики и физики, а также молекулярного анализа биологически устроенных систем. В нахождении оптимального решения абсолютно все логарифмические неравенства представляют научную ценность для всего человечества. Исследуем данный подход на предмет логических заключений по ряду несовпадений на высшем уровне понятий о существующем объекте. Логика подсказывает иное, чем видно на первый взгляд неопытному студенту. По причине возникновения масштабных аналогий, будет рационально сначала приравнять отношения к разности предметов исследуемой области, а затем показать на практике наличие общего аналитического результата. Решение неравенств абсолютным образом завязано на применении теории и будет важно для каждого изучить такой необходимый для дальнейших исследований раздел математики. Однако, при решении неравенств вам нужно найти все корни составленного уравнения, а уже затем нанести все точки на ось ординат. Некоторые точки будут проколоты, а остальные войдут в интервалы с общим решением. Начнем изучать раздел математики с азов важнейшей дисциплины школьной программы. Если тригонометрические неравенства являются неотъемлемой частью текстовой задачи, то, как раз применять ресурс для вычисления ответа просто необходимо. Введите левую и правую части неравенства корректно, нажмите на кнопу и получите результат в течение нескольких секунд. Для быстрых и точных математических вычислений с числовыми или символьными коэффициентами перед неизвестными, вам как всегда понадобится универсальный калькулятор неравенств и уравнений, который сможет в считанные секунды предоставить ответ на поставленную вами задачку. Если у вас нет времени на написание целого ряда письменных упражнений, то обоснованность сервиса неоспорима даже невооруженным глазом. Для студентов такой подход является более оптимальным и оправданным с точки зрения экономии материальных ресурсов и времени. Напротив катета лежит угол, а для его измерения необходим циркуль, но вы сможете в любо момент воспользоваться подсказками и решите неравенство не применяя никаких формул приведения. Означает ли это успешное завершение начатого действия? Однозначно ответ будет положительным.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

§ 1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

¦(a, b, c, …, k, x)=j(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аÎА, bÎB, …, xÎX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

§ 2. Алгоритм решения.

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=¦(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где сÎ(-¥;+¥) с графиком функции а=¦(х).Если прямая а=с пересекает график а=¦(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=¦(х) относительно х.

Записываем ответ.

I. Решить уравнение

(1)

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а:

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È

, то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение

. , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и , получаем и . , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Если а Î (-¥;-1]È(1;+¥)È

, то ; , то , ; , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение

имеет три различных корня.

Переписав уравнение в виде

и рассмотрев пару функций , можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции , при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции .

В системе координат хОу построим график функции

). 2}{5}+2x на промежутке x\in (заштрихованная область).

По графику определяем: исходное неравенство имеет единственное решение при a=-4 и a=5 , так как в заштрихованной области будет единственная точка с ординатой a , равной -4 и равной 5.

Квадратные уравнения и неравенства с параметром

Серия «Учимся решать задачи с параметром»

IV. Квадратные уравнения и неравенства с параметром

IV.1. Основные понятия

Определение. Функцию вида  (1), где , ,  – данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения, назовём квадратичной функцией с параметром а.

В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.

Примеры.

1. .                                                          2. .
3. .                                                    4. .
5. .                                          6.       .
7. .                                       8. . 
9. .                                    10. .

Определение. Под областью определения квадратичной функции (1) с параметром а будем понимать всё множество пар значений х и а вида (х; а), при каждой из которых выражение  не теряет смысла.

Установим области определения  функций 1-10.

1.     2.     3.    4.     5.
6.     7.     8.     9.     10.

Если параметр принимает одно из числовых значений из , то функция (1) примет вид одной из функций с числовыми коэффициентами:

;                            ;                            ;
;                                            ;                                ;              ,

где k, b, c – действительные числа.

Обратим внимание на то, что при некоторых значениях параметра из  квадратичная функция с параметром принимает вид либо квадратичной функции без параметра, либо – линейной.

Так как квадратичная функция с параметром чаще всего «порождает» семейство квадратичных или линейных функций с числовыми коэффициентами, то говоря о графиках квадратичной функции с параметром, мы будем подразумевать множество графиков этого семейства.

Определение. Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида  (1) где , ,  – данные функции от параметра а, рассматриваемые на пересечении их областей определения.

В частности, некоторые из коэффициентов или свободный член могут быть числами.

Примеры.

, (1)
,         (2)
,    (3)
, (4)
.   (5)

Используя определение квадратичной функции с параметром, можно дать такое определение квадратного уравнения с параметром.

Определение.  Квадратным уравнением с параметром а называется уравнение вида , где  – квадратичная функция с параметром а.

Если , то уравнение (1) является квадратным в традиционном смысле, т.е. второй степени.
Если же , то уравнение (1) становится линейным.

При всех допустимых значениях параметра а, при которых   и , по известным формулам получаем выражения корней уравнения (1) через параметр.

Те значения а, при которых , следует рассматривать отдельно в качестве особых случаев.
Так, например, уравнение (5) при  примет вид , откуда .

IV.2. Квадратные уравнения с параметром

№1. Решите уравнение .

Решение

ООУ:

 – уравнение-следствие. Получим: , .

В системе координат (аОх) завершаем решение. (Рис. 1)

 

Ответ: 1. Если , то .

2. Если , то .

3. Если , , то , .

№2. Найдите значение параметра а, при котором уравнение  имеет единственный корень. Если таких значений несколько, в ответе запишите их сумму.

Решение

ООУ:

Данное уравнение сводится к равносильной системе:

Приведём её к виду:  и решим графически в системе координат (хОа). (Рис. 2).

Уравнение имеет единственный корень при ,  и .

0 + 1 + 4 =5.

Ответ: 5.

 

№3. Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра а, не принадлежащем промежутку (0; 2], выражение  не равно выражению . (ЕГЭ-2007).

Решение

Переформулируем задачу: «Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра  уравнение  не имеет корней».
Выразим а через х:

; .

1) Пусть . Тогда . Поэтому уравнение имеет корни. Значит,  не удовлетворяет условию.
2) Пусть . Тогда . Воспользуемся системой координат (хОа).  (Рис. 3).

Условию удовлетворяют .

Ответ: .

 

№4. Сколько корней в зависимости от параметра а имеет уравнение ?

Решение

ООУ:

Раскроем модуль:

             

В системе координат (хОу) построим график функции

 и несколько прямых пучка параллельных прямых, задаваемых уравнением . (Рис. 4).

Ответ: 1. Если , то корней нет.

                       

2. Если , то один корень.

3. Если , то два корня.

IV.3. Квадратные неравенства с параметром

№5. Решите неравенство .

Решение

1 способ.

Учтём, что . Тогда  - решение данного неравенства при любом b.  (Рис. 5).

Если , то переходим к неравенству , множество решений которого изобразим в системе координат (bOx). (Рис. 6).

Совместим рис. 5 и 6.

 

А теперь по рис. 7, рассекая его вертикальными прямыми, легко получить ответ.

Ответ: 1. Если , то .
2. Если , то .
3. Если , то

2 способ.

Решим неравенство графическим методом в системе координат (хОb):

. (Рис. 8).

Рассмотрим два случая.

1) . Тогда неравенство примет вид , откуда .
2) , тогда .

График функции  и часть плоскости, содержащая точки, координаты которых удовлетворяют неравенству , изображены на рисунке 8.

Ответ:

1. Если , то .
2.  Если , то . 3. Если , то .

3 способ.

Привёдем теперь графическое решение в системе координат (хОу). Для этого раскроем модуль:

Рассмотрим функцию .

,  — корни квадратного трёхчлена .

Сравним  и .

1) , откуда .

Получаем совокупность                .  (Рис. 9)

 

 

2) , откуда . (Рис. 10).

Тогда  т.е. .

3) , откуда . (Рис. 11).

Тогда  т.е. .

Ответ: 1. Если , то .

2. Если , то .
3. Если , то .

№6. Найдите все значения параметра а, для которых наименьшее значение функции  больше 2.

Решение

Достаточно найти все значения параметра а, для каждого из которых для любого  верно неравенство . Перепишем неравенство в виде .

Решим его графически в системе координат (хОу).

Для этого рассмотрим функции  (1),   (2).

(1)

      (Рис. 12).

Неравенство будет выполняться для всех , если график функции  будет выше графика функции .

Рассмотрим 2 случая: 1) прямая  является касательной к графику функции ; 2) прямая  является касательной к графику функции .

1. , , , ,  - уравнение касательной. Откуда , . Тогда .

2. График функции  проходит через точку с координатами (1; 1): , откуда .

Условию задачи удовлетворяют все .

Ответ: .
№7. Решите совокупность неравенств

Решение

Установим сначала область определения совокупности:

   

Будем решать совокупность графически в системе координат (хОа). (Рис. 13).

Перепишем совокупность в виде

Введем функцию . (0; 0), (6; 0) — точки пересечения с осями координат; (3; 9) — вершина параболы.

Найдём корни квадратного трёхчлена : ; .

На рис. 13 множество решений совокупности выделено цветом (темным или светлым).

Ответ:

1. Если , то решений нет.
2. Если , то .
3. Если , то .
4. Если , то .
5. Если , то .
6. Если , то .
7. Если , то .

Рис. 13

В данной статье мы рассмотрели лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений и неравенств с параметром. Более подробно с теорией и методикой решения линейных и квадратных уравнений, неравенств, их систем и совокупностей с параметром вы можете ознакомиться в учебном пособии: авторы Беляева Э.С., Титоренко С.А.,  Потапов А.С. «Графический метод решения линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметром». (Воронеж: Изд-во «Наука-ЮНИПРЕСС», 2010. — 300 с.).

Задание 17. Уравнения и неравенства с параметром

Существует ровно три генеральных метода решения задач 17:

  • Метод перебора — классический перебор вариантов. Например, когда выражение под модулем больше нуля и когда меньше;
  • Графический метод — привлечение чертежа. Во многих задачах 17 достаточно начертить графики функций — и решение становится очевидным;
  • Метод следствий — нестандартный и, как правило, самый изощренный. Если в исходном условии удастся подметить что-нибудь полезное, в дальнейшем можно значительно упростить решение всей задачи.

Конечно, одну и ту же задачу зачастую можно решить разными способами. Но далеко не все они оптимальны: выбрав неправильный «путь», можно увязнуть в вычислениях, так и не дойдя до ответа.

Поэтому в данном разделе я рассмотрю все способы, а ваша задача — практиковаться и учиться правильно выбирать.:)

Глава 1.
Графический подход
§ 1.
Вебинар по задачам 18: модуль и окружности
§ 2.
Как решать задачу 18: графический подход
§ 3.
Задача 18: две окружности и модуль
§ 4.
Задача 18: пересечение графиков окружности и модуля
§ 5.
Новая задача 18 из пробного ЕГЭ — наглядный пример того, как эффективно работает графическое решение задач с параметром.
Глава 2.
Аналитический подход
§ 1.
Задачи 18: Аналитическое решение
§ 2.
Окружность и модуль: задачи 18 с двумя параметрами
§ 3.
Аналитическое решение задачи 18 с перебором различных вариантов
Глава 3.
Нестандартные приемы
§ 1.
Задача 18: метод симметричных корней
§ 2.
Как увидеть симметрию корней в задаче 18?
§ 3.
Метод мажорант в задаче 18
§ 4.
Графическое решение сложных задач 18 с модулем
§ 5.
Задание 18: Симметрия корней в системе уравнений
§ 6.
Анализ знаков квадратного трёхчлена в сложных задачах 18
§ 7.
Применение производной для отыскания точек пересечения графиков
§ 8.
Продвинутый метод симметричных корней
§ 9.
Новая задача 18 с графическим решением

Устранение неравенств

Иногда нам нужно решить такие неравенства:

Символ

слов

Пример

>

больше

х + 3 > 2

<

менее

7x < 28

больше или равно

5 x — 1

меньше или равно

2 года + 1 7

Решение

Наша цель — иметь x (или другую переменную) отдельно слева от знака неравенства:

Примерно так: х <5
или: г ≥ 11

Мы называем это «решенным».

Пример: x + 2> 12

Вычтем 2 с обеих сторон:

х + 2 — 2> 12 — 2

Упростить:

x> 10

Решено!

Как решить

Решение неравенств очень похоже на решение уравнений … мы делаем почти то же самое …

… но мы также должны обратить внимание на направление неравенства .


Направление: куда «указывает» стрелка

Некоторые вещи могут изменить направление !

<становится>

> становится <

≤ становится ≥

≥ становится ≤

Безопасные дела

Эти вещи не влияют на направление неравенства:

  • Сложить (или вычесть) число с обеих сторон
  • Умножьте (или разделите) обе стороны на положительное число
  • Упростить сторону

Пример: 3x

<7 + 3

Мы можем упростить 7 + 3, не влияя на неравенство:

3x <10

Но эти вещи действительно меняют направление неравенства (например, «<" становится ">«):

Пример: 2y + 7

<12

Когда мы меняем местами левую и правую части, мы также должны изменить направление неравенства :

12 > 2лет + 7

Вот подробности:

Сложение или вычитание значения

Мы часто можем решить неравенства, добавляя (или вычитая) число с обеих сторон (точно так же, как во Введении в алгебру), например:

Пример: x + 3

<7

Если вычесть 3 с обеих сторон, мы получим:

х + 3 — 3 <7 — 3

х <4

И вот наше решение: x <4

Другими словами, x может быть любым значением меньше 4.

Что мы сделали?

Мы пошли от этого:

Кому:

х + 3 <7

х <4

И это хорошо работает для , прибавляя и , вычитая , потому что, если мы прибавим (или вычтем) одинаковую сумму с обеих сторон, это не повлияет на неравенство

Пример: У Алекса больше монет, чем у Билли. Если и Алекс, и Билли получат по три монеты больше, у Алекс все равно будет больше монет, чем у Билли.

Что, если я решу, но «x» справа?

Неважно, просто поменяйте местами стороны, но переверните знак , чтобы он все еще «указывал» на правильное значение!

Пример: 12

Если вычесть 5 из обеих частей, получим:

12 — 5 — 5

7 <х

Вот и решение!

Но ставить «x» слева — это нормально…

… так давайте обратим внимание (и знак неравенства!):

x> 7

Вы видите, как знак неравенства все еще «указывает» на меньшее значение (7)?

И вот наше решение: x> 7

Примечание. «X» может быть справа , но людям обычно нравится видеть его слева.

Умножение или деление на значение

Также мы умножаем или делим обе части на значение (как в алгебре — умножение).

Но нам нужно быть немного осторожнее (как вы увидите).


Положительные значения

Все нормально, если мы хотим умножить или разделить на положительное число :

Пример: 3y

<15

Если разделить обе части на 3, получим:

3 года /3 <15 /3

г <5

И вот наше решение: y <5


Отрицательные значения
Когда мы умножаем или делим на отрицательное число
, мы должны обратить неравенство.

Почему?

Ну вы посмотрите на числовую строку!

Например, от 3 до 7 — это , увеличение ,
, а от −3 до −7 — , уменьшение.

−7 <−3 7> 3

Видите, как меняет знак неравенства (с <на>)?

Давайте попробуем пример:

Пример: −2y

<−8

Разделим обе части на −2… и отменяют неравенство !

−2y <−8

−2y / −2 > −8 / −2

г> 4

И это правильное решение: y> 4

(Обратите внимание, что я перевернул неравенство в той же строке , разделенное на отрицательное число. )

Итак, запомните:

При умножении или делении на отрицательное число отменяет неравенство

Умножение или деление на переменные

Вот еще один (хитрый!) Пример:

Пример: bx

<3b

Кажется легко просто разделить обе стороны на b , что дает нам:

х <3

… но подождите … если b равно отрицательное значение , нам нужно изменить неравенство следующим образом:

x> 3

Но мы не знаем, положительное или отрицательное значение b, поэтому мы не можем ответить на этот вопрос !

Чтобы помочь вам понять, представьте, что замените b на 1 или −1 в примере bx <3b :

  • , если b равно 1 , то ответ будет x <3
  • , но если b равно −1 , то мы решаем −x <−3 , и ответим будет x> 3

Ответом может быть x <3 или x> 3 , и мы не можем выбрать, потому что не знаем b .

Так:

Не пытайтесь делить на переменную для решения неравенства (если вы не знаете, что переменная всегда положительна или всегда отрицательна).

Пример побольше

Пример:

x − 3 2 <−5

Во-первых, давайте очистим «/ 2», умножив обе части на 2.

Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не изменятся.

x − 3 2 × 2 <−5 × 2

х-3 <-10

Теперь прибавьте 3 к обеим сторонам:

х − 3 + 3 <−10 + 3

х <−7

И это наше решение: x <−7

Два неравенства сразу!

Как решить задачу одновременно с двумя неравенствами?

Пример:

−2 < 6−2x 3 <4

Во-первых, давайте очистим «/ 3», умножив каждую часть на 3.

Поскольку мы умножаем на положительное число, неравенства не меняются:

−6 <6−2x <12

Теперь вычтите 6 из каждой части:

−12 <−2x <6

Теперь разделите каждую часть на 2 (положительное число, чтобы неравенства снова не изменились):

−6 <−x <3

Теперь умножьте каждую часть на -1. Поскольку мы умножаем на отрицательное число , неравенства изменяют направление .

6> х> −3

И это решение!

Но для наглядности лучше иметь меньшее число слева, большее — справа. Так что давайте поменяем их местами (и убедимся, что неравенства указывают правильно):

−3 <х <6

Сводка

  • Многие простые неравенства могут быть решены путем сложения, вычитания, умножения или деления обеих частей, пока не останется переменная сама по себе.
  • Но это изменит направление неравенства:
    • Умножение или деление обеих сторон на отрицательное число
    • Замена левой и правой сторон
  • Не умножайте и не делите на переменную (если вы не знаете, что она всегда положительна или всегда отрицательна)

Решение линейных неравенств с одной переменной

Линейные неравенства

Линейное неравенство Линейные выражения, связанные с символами ≤, <, ≥ и>.является математическим утверждением, которое связывает линейное выражение как меньшее или большее, чем другое. Ниже приведены некоторые примеры линейных неравенств, все из которых решаются в этом разделе:

5x + 7 <22

-2 (х + 8) + 6≥20

−2 (4x − 5) <9−2 (x − 2)

Решение линейного неравенства Действительное число, которое дает истинное утверждение, когда его значение подставляется вместо переменной. является действительным числом, которое при замене переменной дает истинное утверждение. Линейные неравенства либо имеют бесконечно много решений, либо не имеют решения. Если существует бесконечно много решений, изобразите набор решений на числовой прямой и / или выразите решение, используя обозначение интервалов.

Пример 1

Являются ли x = −4 и x = 6 решениями 5x + 7 <22?

Решение:

Замените значения на x , упростите и проверьте, получаем ли мы истинное утверждение.

Чек x = −4

Чек x = 6

5 (−4) +7 <22−20 + 7 <22−13 <22 ✓

5 (6) +7 <2230 + 7 <2237 <22 ✗

Ответ: x = −4 — решение, а x = 6 — нет.

Все методы решения линейных уравнений, кроме одного, применимы к решению линейных неравенств. Вы можете прибавить или вычесть любое действительное число к обеим сторонам неравенства, а также умножить или разделить обе стороны на любое положительное действительное число , чтобы получить эквивалентные неравенства. Например:

10> −510−7> −5−7 Вычтем 7 с обеих сторон 3> −12 ✓ Верно

10> −5105> −55 Разделите обе части на 5.2> −1 ✓ИСТИННО

Вычитание 7 с каждой стороны и деление каждой стороны на положительные 5 дает истинное неравенство.

Пример 2

Решите и изобразите набор решений: 5x + 7 <22.

Решение:

5x + 7 <225x + 7−7 <22−75x <155x5 <155x <3

Полезно потратить минуту и ​​выбрать несколько значений из набора решений, подставить их в исходное неравенство, а затем проверить результаты. Как указано, вы должны ожидать, что x = 0 решит исходное неравенство, а x = 5 — нет.

Чек x = 0

Чек x = 5

5 (0) +7 <227 <22 ✓

5 (5) +7 <2225 + 7 <2232 <22 ✗

Проверка таким образом дает нам хорошее указание на то, что мы правильно решили неравенство.

Мы можем выразить это решение двумя способами: используя обозначение множества и обозначение интервала.

{x | x <3} Установить обозначение (−∞, 3) Интервальное обозначение

В этом тексте мы выберем ответы, используя интервальную нотацию.

Ответ: (−∞, 3)

При работе с линейными неравенствами применяется другое правило при умножении или делении на отрицательное число. Чтобы проиллюстрировать проблему, рассмотрим истинное утверждение 10> −5 и разделим обе части на −5.

10> −510−5> −5−5 Разделим обе части на −5. −2> 1 ✗ ​​False

Деление на −5 дает ложное утверждение. Чтобы утверждение оставалось верным, неравенство должно быть отменено.

10> −510−5 <−5−5 Обратить неравенство −2 <1 ✓Истинно

Та же проблема возникает при умножении на отрицательное число. Это приводит к следующему новому правилу: при умножении или делении на отрицательное число отменяет неравенство .Об этом легко забыть, поэтому внимательно следите за отрицательными коэффициентами. В общем, для заданных алгебраических выражений A и B , где c — положительное ненулевое действительное число, мы имеем следующие свойства неравенств Свойства, используемые для получения эквивалентных неравенств и используемые как средство их решения:

Дополнительное свойство неравенств:

Если A

Свойство вычитания неравенств:

Если A

Умножение неравенств:

Если A

Если A −cB

Свойство разделения неравенств:

Если A

Если A B − c

Мы используем эти свойства для получения эквивалентных неравенств, которые имеют один и тот же набор решений. , один с тем же набором решений, где переменная изолирована. Процесс аналогичен решению линейных уравнений.

Пример 3

Решите и изобразите набор решений: −2 (x + 8) + 6≥20.

Решение:

−2 (x + 8) + 6≥20 Распределить. −2x − 16 + 6≥20 Объединить похожие члены. −2x − 10≥20 Решить относительно x. − 2x≥30 Разделить обе части на −2. − 2x− 2≤30−2 Обратить неравенство.х≤ − 15

Ответ: Обозначение интервалов (−∞, −15]

Пример 4

Решите и изобразите набор решений: −2 (4x − 5) <9−2 (x − 2).

Решение:

−2 (4x − 5) <9−2 (x − 2) −8x + 10 <9−2x + 4−8x + 10 <13−2x − 6x <3−6x−6> 3−6 Обратить неравенство .x> −12

Ответ: Обозначение интервалов (−12, ∞)

Пример 5

Решите и изобразите набор решений: 12x − 2≥12 (74x − 9) +1.

Решение:

12x − 2≥12 (74x − 9) +1 12x − 2≥78x − 92 + 1 12x − 78x≥ − 72 + 2−38x≥ − 32 (−83) (- 38x) ≤ (−83) (- 32) Обратить неравенство. х≤4

Ответ: Обозначение интервала: (−∞, 4]

Попробуй! Решите и изобразите набор решений: 10−5 (2x + 3) ≤25.

Ответ: [−3, ∞);

Сложные неравенства

Ниже приведены некоторые примеры сложных линейных неравенств:

−13 <3x − 7 <17

4x + 5≤ − 15 или 6x − 11> 7

Эти сложные неравенства Два или более неравенства в одном утверждении, соединенные словом «и» или словом «или». ”На самом деле представляют собой два неравенства в одном утверждении, к которым присоединяются слова и или слово или . Например, −13 <3x − 7 <17 является составным неравенством, потому что его можно разложить следующим образом: −13 <3x − 7 и 3x − 7 <17

Мы можем решить каждое неравенство индивидуально; пересечение двух множеств решений решает исходное составное неравенство. Хотя этот метод работает, есть еще один метод, который обычно требует меньшего количества шагов. Примените свойства этого раздела ко всем трем частям составного неравенства с целью изолировать переменную в середине оператора, чтобы определить границы набора решений.

Пример 6

Решите и изобразите набор решений: −13 <3x − 7 <17.

Решение:

−13 <3x − 7 <17−13 +7 <3x − 7 +7 <17 + 7−6 <3x <24−63 <3x3 <243−2

Ответ: Обозначение интервала: (−2,8)

Пример 7

Решите и изобразите набор решений: 56≤13 (12x + 4) <2.

Решение:

56≤13 (12x + 4) <256≤16x + 43 <26⋅ (56) ≤6⋅ (16x + 43) <6⋅ (2) 5≤x + 8 <125−8≤x + 8−8 <12−8−3≤x <4

Ответ: Обозначение интервалов [−3,4)

Важно отметить, что при умножении или делении всех трех частей составного неравенства на отрицательное число необходимо обратить все неравенства в утверждении.Например: −10 <−2x <20−10−2> −2x − 2> 20−25> x> −10 Вышеупомянутый ответ может быть записан в эквивалентной форме, где меньшие числа лежат слева, а большие числа — справа, поскольку они появляются на числовой строке. -10 <х <5 Используя обозначение интервалов, напишите: (-10, 5).

Попробуй! Решите и изобразите набор решений: −3≤ − 3 (2x − 3) <15.

Ответ: (−1,2];

Для составных неравенств со словом « или » вы обрабатываете оба неравенства по отдельности, а затем рассматриваете объединение множеств решений. Ценности в этом союзе решают любое неравенство.

Пример 8

Решите и изобразите набор решений: 4x + 5≤ − 15 или 6x − 11> 7.

Решение:

Решите каждое неравенство и сформируйте объединение, объединив наборы решений.

4x + 5≤ − 154x≤ − 20x≤ − 5

или

6x − 11> 76x> 18x> 3

Ответ: Обозначение интервалов (−∞, −5] ∪ (3, ∞)

Попробуй! Решите и изобразите набор решений: 5 (x − 3) <- 20 или 2 (5−3x) <1.

Ответ: (−∞, −1) ∪ (32, ∞);

Приложения линейных неравенств

Некоторые ключевые слова и фразы, указывающие на неравенство, кратко изложены ниже:

Ключевые фразы

Перевод

Номер: не менее 5.

x≥5

Число 5 или более включительно .

Число не более 3.

х≤3

Число не более 3 , включая .

Число строго меньше 4.

х <4

Число меньше 4, неисключительно .

Число на больше 7.

x> 7

Число больше 7, неисключительно .

Число между 2 и 10.

2

Число не менее 5 и не более 15.

5≤x≤15

Число может находиться в диапазоне от 5 до 15.

Как и все приложения, внимательно прочтите проблему несколько раз и поищите ключевые слова и фразы.Определите неизвестные и назначьте переменные. Далее переведем формулировку в математическое неравенство. Наконец, используйте изученные свойства, чтобы решить неравенство и выразить решение графически или в интервальной нотации.

Пример 9

Семь меньше трехкратной суммы числа, а 5 не больше 11. Найдите все числа, удовлетворяющие этому условию.

Решение:

Сначала выберите переменную для неизвестного числа и определите ключевые слова и фразы.

Пусть n представляет неизвестное, обозначенное как « число ».

Решите относительно n .

3 (n + 5) −7≤113n + 15−7≤113n + 8≤113n≤3n≤1

Ответ: Любое число, меньшее или равное 1, удовлетворяет утверждению.

Пример 10

Чтобы получить четверку по курсу математики, средний балл теста должен составлять от 80% до 90%.Если учащийся набрал 92%, 96%, 79% и 83% на первых четырех тестах, какой балл он должен набрать на пятом тесте, чтобы получить четверку?

Решение:

Установите составное неравенство, при котором среднее значение теста составляет от 80% до 90%. В этом случае укажите нижнюю границу, 80.

Пусть x представляет результат пятого теста.

80≤тестовое среднее <9080≤92 + 96 + 79 + 83 + x5 <905⋅80≤5⋅350 + x5 <5⋅≤350 + x <45050≤x <100

Ответ: Она должна набрать не менее 50% и менее 100%.

В предыдущем примере верхняя граница 100% не входила в набор решений. Что бы произошло, если бы она заработала 100% на пятом тесте?

в среднем = 92 + 96 + 79 + 83 + 1005 = 4505 = 90

Как мы видим, ее средний показатель составит 90%, что принесет ей A.

Основные выводы

  • Неравенства обычно имеют бесконечное множество решений. Решения представлены графически в виде числовой линии или с использованием интервального обозначения, либо и того, и другого.
  • Все правила решения линейных неравенств, кроме одного, такие же, как и при решении линейных уравнений. Если вы разделите или умножите неравенство на отрицательное число, измените неравенство на противоположное, чтобы получить эквивалентное неравенство.
  • Составные неравенства, содержащие слово «или», требуют от нас решения каждого неравенства и формирования объединения каждого набора решений. Это значения, которые решают хотя бы одно из указанных неравенств.
  • Составные неравенства, содержащие слово «и», требуют пересечения множеств решений для каждого неравенства.Это значения, которые решают оба или все данные неравенства.
  • Общие рекомендации по решению задач со словами применимы к приложениям, включающим неравенства. Обратите внимание на новый список ключевых слов и фраз, обозначающих математическую схему, включающую неравенства.

Тематические упражнения

    Часть A: Линейные неравенства

      Определите, является ли данное значение решением.

    1. −3x + 1> −10; х = 1

    2. −6y + 1≤3; у = -1

    3. 12a + 3≤ − 2; а = −13

    4. 25a − 2≤ − 22; а = -45

    5. −10 <2x − 5 <−5; х = −12

    6. 3x + 8 <−2 или 4x − 2> 5; х = 2

      Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы.

    1. 25 + 16 (2х − 3) ≥115

    2. 3 (2x − 1) −10> 4 (3x − 2) −5x

    3. −2 (5t − 3) −4> 5 (−2t + 3)

    4. −7 (3t − 4)> 2 (3−10t) −t

    5. 12 (х + 5) −13 (2x + 3)> 76x + 32

    6. −13 (2x − 3) +14 (x − 6) ≥112x − 34

    7. 1−4 (3x + 7) <- 3 (x + 9) −9x

    8. 6−3 (2a − 1) ≤4 (3 − a) +1

    9. 12−5 (2a + 6) ≥2 (5−4a) −a

    Часть B: Сложные неравенства

      Изобразите все решения на числовой прямой и укажите соответствующие интервалы.

    1. −13≤16a + 13≤12

    2. -16 <13а + 56 <32

    3. 5x + 2 <−3 или 7x − 6> 15

    4. 4x + 15≤ − 1 или 3x − 8≥ − 11

    5. 8x − 3≤1 или 6x − 7≥8

    6. 6x + 1 <−3 или 9x − 20> −5

    7. 8x − 7 <1 или 4x + 11> 3

    8. 10x − 21 <9 или 7x + 9≥30

    9. 7 + 2y <5 или 20−3y> 5

    10. 5 − y <5 или 7−8y≤23

    11. 15 + 2x <−15 или 10−3x> 40

    12. 10−13x≤5 или 5−12x≤15

    13. 9−2x≤15 и 5x − 3≤7

    14. 5−4x> 1 и 15 + 2x≥5

    15. 7y − 18 <17 и 2y − 15 <25

    16. 13лет + 20≥7 и 8 + 15лет> 8

    17. 5−4x≤9 и 3x + 13≤1

    18. 17−5x≥7 и 4x − 7> 1

    19. 9лет + 20≤2 и 7лет + 15≥1

    20. 21−6y≤3 и −7 + 2y≤ − 1

    21. −40 <2 (x + 5) - (5 − x) ≤ − 10

    22. −60≤5 (x − 4) −2 (x + 5) ≤15

    23. -12 <130 (х-10) <13

    24. −15≤115 (х − 7) ≤13

    25. −1≤a + 2 (а − 2) 5≤0

    26. 0 <5 + 2 (а - 1) 6 <2

    Часть C: Приложения

      Найдите все числа, удовлетворяющие заданному условию.

    1. Три меньше, чем два раза больше суммы числа, и 6 не больше 13.

    2. Пять меньше трехкратной суммы числа, а четыре не более 10.

    3. Пятикратная сумма числа, и 3 равно не менее 5.

    4. Трехкратная разница между числом и 2 составляет не менее 12.

    5. Сумма троекратного числа и 8 составляет от 2 до 20.

    6. Восемь меньше двойного числа от -20 до -8.

    7. Четыре, вычтенные из троекратного некоторого числа, составляет от −4 до 14.

    8. Девять, вычтенная из 5 умноженного на некоторое число, составляет от 1 до 11.

      Задайте алгебраическое неравенство и решите.

    1. При членстве в гольф-клубе стоимостью 120 долларов в месяц каждый раунд игры в гольф стоит всего 35 долларов. Сколько раундов в гольф может сыграть участник, если он желает сохранить свои расходы не более 270 долларов в месяц?

    2. Аренда грузовика стоит 95 долларов в день плюс 0,65 доллара за милю. Сколько миль можно проехать за однодневную аренду, чтобы стоимость аренды не превысила 120 долларов?

    3. Марк получил 6, 7 и 10 баллов из 10 в первых трех тестах.Что он должен набрать в четвертой викторине, чтобы получить в среднем не менее 8 баллов?

    4. Джо набрал 78, 82, 88 и 70 баллов на первых четырех экзаменах по алгебре. Что он должен набрать на пятом экзамене, чтобы в среднем не менее 80?

    5. Гимнастка набрала 13 очков.2, 13,0, 14,3, 13,8 и 14,6 на первых пяти соревнованиях. Что он должен набрать в шестом соревновании, чтобы получить в среднем не менее 14,0?

    6. Танцор получил 7,5 и 8,2 балла от первых двух судей. Какая должна быть ее оценка от третьего судьи, как если бы она была 8,4 или выше?

    7. Если дважды угол составляет от 180 до 270 градусов, то каковы границы исходного угла?

    8. Периметр квадрата должен составлять от 120 до 460 дюймов.Найдите длины всех возможных сторон, удовлетворяющих этому условию.

    9. Компьютер выключается, если температура превышает 45 ° C. Приведите эквивалентное утверждение в градусах Фаренгейта. Подсказка: C = 59 (F − 32).

    10. Определенный антифриз эффективен в диапазоне температур от –35 ° C до 120 ° C. Найдите эквивалентный диапазон в градусах Фаренгейта.

    Часть D: Обсуждение

    1. Часто студенты меняют неравенство, решая 5x + 2 <−18? Как вы думаете, почему это частая ошибка? Объясните начинающему изучающему алгебру, почему мы этого не делаем.

    2. Выполните поиск в Интернете по запросу «решение линейных неравенств.”Поделитесь ссылкой на веб-сайт или видеоуроком, который, по вашему мнению, будет вам полезен.

    3. Напишите 5 ключевых выводов для всей этой главы. Что вы нашли в обзоре и что нового? Поделитесь своими мыслями на доске обсуждений.

ответов

  1. (−3, ∞);

  2. (1, ∞);

  3. [0, ∞);

  4. (-∞, 3];

  5. [−2, ∞);

  6. (-∞, -5);

  7. [-8, ∞);

  8. [5, ∞);

  9. (-∞, 7);

  10. (-1, ∞);

  11. (3, ∞);

  12. (-∞, -32];

  13. Ø;

  14. (-∞, 0);

  15. ℝ;

  16. [−2, ∞);

  1. (-1,4);

  2. [0,4];

  3. (-5,5];

  4. (-4,3];

  5. [-4,1];

  6. (−∞, −1) ∪ (3, ∞);

  7. (−∞, 12] ∪ [52, ∞);

  8. ℝ;

  9. (-∞, 5);

  10. (-∞, -10);

  11. [−3,2];

  12. (-∞, 5);

  13. Ø;

  14. -2;

  15. (-12,32);

  16. [-1,3);

  17. (-8, -4);

  18. (-15, -5];

  19. (-5,20);

  20. [-13, 43];

  1. Участники могут сыграть 4 раунда или меньше.

  2. Марк должен набрать не менее 9 баллов в четвертой викторине.

  3. Он должен набрать 15,1 балла в шестом соревновании.

  4. Угол между 90 и 135 градусами.

  5. Компьютер выключится, когда температура превысит 113 ° F.

Решение линейных неравенств (алгебра 1, линейные неравенства) — Mathplanet

График линейного неравенства по одной переменной представляет собой числовую прямую.Используйте открытый кружок для <и> и замкнутый кружок для ≤ и ≥.

График для x> -3

График для x ≥ 2

Неравенства, имеющие одно и то же решение, называются эквивалентными. Есть свойства неравенств, а также свойства равенства. Все перечисленные ниже свойства верны и для неравенств, содержащих ≥ и ≤.

Свойство сложения неравенства гласит, что добавление одного и того же числа к каждой стороне неравенства дает эквивалентное неравенство

$$ Если \: x> y, \: то \: x + z> y + z $$

$$ Если \: x

Свойство неравенства вычитания говорит нам, что вычитание одного и того же числа из обеих частей неравенства дает эквивалентное неравенство.

$$ Если \: x> y, \: то \: x-z> y-z $$

$$ Если \: x

Свойство неравенства умножения говорит нам, что умножение обеих сторон неравенства на положительное число дает эквивалентное неравенство.

$$ Если \: x> y \: и \: z> 0, \: то \: xz> yz $$

$$ Если \: x 0, \: то \: xz

Умножение каждой стороны неравенства на отрицательное число, с другой стороны, не дает эквивалентного неравенства, если мы также не изменим направление символа неравенства

$$ Если \: x> y \: и \: z <0, \: то \: xz

$$ Если \: x yz $$

То же самое и со свойством деления неравенства.

Разделение обеих частей неравенства на положительное число дает эквивалентное неравенство.

$$ Если \: x> y \: и \: z> 0, \: то \: \ frac {x} {z}> \ frac {y} {z} $$

$$ Если \: x 0, \: then \: \ frac {x} {z} <\ frac {y} {z} $$

И деление на обе стороны неравенства с отрицательным числом дает эквивалентное неравенство, если знак неравенства перевернут.

$$ Если \: x> y \: и \: z <0, \: then \: \ frac {x} {z} <\ frac {y} {z} $$

$$ Если \: x \ frac {y} {z} $$

Чтобы решить многоступенчатое неравенство, вы делаете то же самое, что и при решении многоступенчатого уравнения.Возьмите что-то одно, желательно начать с изоляции переменной от констант. При решении многоступенчатых неравенств важно не забывать обращать знак неравенства при умножении или делении на отрицательные числа.


Пример

Решите неравенство

$$ — 2 \ влево (x + 3 \ вправо) <10 $$

$$ — 2x-6 <10 $$

$$ — 2x-6 \, {\ color {green} {+ \, 6} <10 \,} {\ color {green} {+ \, 6}} $$

$$ — 2x <16 $$

$$ \ frac {-2x} {{\ color {green} {-2}}} \: {\ color {blue} {>}} \: \ frac {16} {{\ color {green} {- 2}}} $$

$$ x> -8 $$


Видеоурок

Решите линейное неравенство

$$ -2 \ влево (x + 2 \ вправо)> 4 — x $$