Уравнения и неравенства с двумя переменными. Видеоурок. Алгебра 11 Класс

Тема: Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

Урок: Уравнения и неравенства с двумя переменными

Рассмотрим в общем виде уравнение и неравенство с двумя переменными.

 – уравнение с двумя переменными;

 – неравенство с двумя переменными, знак неравенства может быть любым;

Здесь х и у – переменные, р – выражение, от них зависящее

Пара чисел () называется частным решением такого уравнения или неравенства, если при подстановке этой пары в выражение получаем верное уравнение или неравенство соответственно.

Задача состоит в том, чтобы найти или изобразить на плоскости множество всех решений. Можно перефразировать данную задачу – найти геометрическое место точек (ГМТ), построить график уравнения или неравенства.

Пример 1 – решить уравнение и неравенство:

Иначе говоря, задача подразумевает найти ГМТ.

Рассмотрим решение уравнения. В данном случае значение переменной х может быть любым, в связи с этим имеем:

Очевидно, что решением уравнения является множество точек, образующих прямую

Рис. 1. График уравнения, пример 1

Решениями заданного уравнения являются, в частности, точки (-1;0), (0; 1), (х₀, х₀+1)

Решением заданного неравенства является полуплоскость, расположенная над прямой , включая саму прямую (см. рисунок 1). Действительно, если взять любую точку х₀ на прямой, то имеем равенство . Если же взять точку в полуплоскости над прямой, имеем

. Если мы возьмем точку в полуплоскости под прямой, то она не удовлетворит нашему неравенству: .

Теперь рассмотрим задачу с окружностью и кругом.

Пример 2 – решить уравнение и неравенство:

Мы знаем, что заданное уравнение – это уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом 1.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру 2

В произвольной точке х₀ уравнение имеет два решения: (х₀; у₀

) и (х₀; -у₀).

Решением заданного неравенства является множество точек, расположенных внутри окружности, не учитывая саму окружность (см. рисунок 2).

Рассмотрим уравнение с модулями.

Пример 3 – решить уравнение:

В данном случае можно было бы раскрывать модули, но мы рассмотрим специфику уравнения. Несложно заметить, что график данного уравнения симметричен относительно обеих осей. Тогда если точка (х₀; у₀) является решением, то и точка (х₀; -у₀) – также решение, точки (-х₀; у₀) и (-х₀; -у₀) также являются решением.

Таким образом, достаточно найти решение там, где обе переменные неотрицательны, и взять симметрию относительно осей:

Рис. 3. Иллюстрация к примеру 3

Итак, как мы видим, решением уравнения является квадрат.

Рассмотрим так называемый метод областей на конкретном примере.

Пример 4 – изобразить множество решений неравенства:

Согласно методу областей, первым делом рассматриваем функцию, стоящую в левой части, если справа ноль. Это функция от двух переменных:

Аналогично методу интервалов, временно отходим от неравенства и изучаем особенности и свойства составленной функции.

ОДЗ: , значит, ось х выкалывается.

Теперь укажем, что функция равна нулю, когда числитель дроби равен нулю, имеем:

Строим график функции.                                 

Рис. 4. График функции

, учитывая ОДЗ

Теперь рассмотрим области знакопостоянства функции, они образованы прямой  и ломаной . внутри ломаной находится область D₁. Между отрезком ломаной  и прямой  – область D₂, ниже прямой

 – область D₃, между отрезком ломаной  и прямой  – область D₄

В каждой из выбранных областей функция сохраняет знак, значит достаточно в каждой области проверить произвольную пробную точку.

В области  возьмем точку (0;1). Имеем:

Так, вся область

 положительна и удовлетворяет заданному неравенству.

В области  возьмем точку (10;1). Имеем:

Так, вся область  отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.

В области  возьмем точку (0;-5). Имеем:

Так, вся область  положительна и удовлетворяет заданному неравенству.

В области  возьмем точку (-3;1). Имеем:

Так, вся область  отрицательна и не удовлетворяет заданному неравенству.

Изобразим множество решений неравенства, как требовалось в задаче:

Рис. 5. Решение примера 4

Итак, мы рассмотрели решение различных уравнений и неравенств с двумя переменными, на следующем уроке одну из переменных назовем параметром.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

  

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Tutoronline.ru (Источник).

2. Tutoronline.ru (Источник).

3. Nado5.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Решить уравнение:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

2. Решить неравенство:

а)  б) ; в) ; г) ;

 

interneturok.ru

Решение систем неравенств с двумя переменными

Вопросы занятия:

·  повторить алгоритм решения неравенств с двумя переменными;

·  повторить алгоритм решения систем неравенств с двумя переменными.

Материал урока

Рассмотрим неравенство:

При х = -3 и у = 0 это неравенство обращается в верное числовое неравенство 19 > 8.

А при x = 2 и y = 10, это неравенство обращается в числовое неравенство -41 > 8. Очевидно, что это неверное числовое неравенство.

То есть мы можем сказать, что пара чисел (-3; 0) является решением данного неравенства, а пара чисел (2; 10) не является решением этого неравенства.

Повторим определение.

Определение.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.

Возвращаясь к нашему примеру, мы можем сказать, что пара чисел (-3; 0) является решением данного неравенства.

Очевидно, что это не единственное решение.

Теперь давайте вспомним алгоритм решения неравенств с двумя переменными:

1. Заменить знак неравенства на знак равенства.

2. Выразить переменную у через х.

3. Построить график полученного уравнения.

4. Выделить часть плоскости, соответствующую знаку неравенства.

Пример.

Пример.

Пример.

Пример.

Прежде чем перейти к решению систем неравенств с двумя переменными, давайте вспомним определения.

Определение.

Говорят, что задана система двух неравенств с двумя переменными, если требуется найти все значения переменных, при которых оба неравенства системы обращаются в верные числовые неравенства.

Определение.

Решением системы неравенств называют такое значение переменной, при котором неравенства системы преобразуются в верные числовые неравенства.

Определение.

Решить систему неравенств это значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Алгоритм решения систем неравенств с двумя переменными практически такой же, как и алгоритм решения системы неравенств с одной переменной:

1. Решить каждое из неравенств системы отдельно.

2. Изобразить полученные решения в координатной плоскости.

3. Найти пересечение этих решений.

4. Общая часть этих решений и является решением данной системы неравенств.

Пример.

Рассмотрим ещё один пример.

Пример.

Решим ещё одну систему неравенств.

Пример.

Итоги урока

Сегодня на уроке мы повторили алгоритмы решения неравенств и систем неравенств с двумя переменными. Решили несколько задач.

videouroki.net

Неравенства с двумя переменными

Рассмотрим неравенство:

Определение:

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.

Тогда пара значений (2; -1) является решением данного неравенства, но это не единственное решение.

Пример.

Проверить, является ли пара чисел (-2; 3) решением неравенств.

Подставим пару этих значений в каждое неравенство и проверим, обратятся ли они в верные числовые неравенства:

Получили, что в первом и во втором случаях — верное неравенство, а в третьем — пара чисел (-2; 3) не является решением данного неравенства.

Пример.

Найти два каких-нибудь решения неравенства:

Очевидно, что х может быть любым числом.

Например:

Среди множества решений данного неравенства будут пары чисел: (5; 17) и (-3; 8).

Так как неравенство с двумя переменными имеет множество решений, то их сложно перечислить. Увидеть множество решений неравенства с двумя переменными позволяет график.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, заданных неравенством:

Построим график уравнения:

Графиком является прямая и для её построения достаточно двух точек:

Возьмём на прямой некоторую точку М с координатами (). Если мы возьмём точку К выше прямой, видно, что её абсцисса = , а вот ордината > . Тогда получаем, что координаты точки К не удовлетворяют неравенству. Если же взять точку, расположенную ниже прямой, с абсциссой = , то видно, что её ордината будем < . Тогда координаты этой точки будут удовлетворять неравенству:

Получили множество точек находящихся ниже.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, заданных неравенством:

Изобразим график уравнения:

Возьмём на графике некоторую точку М с координатами ().  Если мы возьмём точку К выше графика, то видно, что её абсцисса = , а вот ордината > . Тогда получаем, что координаты точки удовлетворяют неравенству. Если же взять точку N, расположенную ниже графика, с абсциссой = , то видно, что её ордината будем < . Тогда координаты этой точки будут не удовлетворять неравенство:

Выберем нужное нам множество. Получаем:

Изобразим на координатной плоскости множество точек, заданных неравенством:

Изобразим график:

Взяв любую точку внутри окружности, можно увидеть, что её координаты удовлетворяют неравенству. Координаты точек, находящихся вне окружности не удовлетворяют неравенству.

Вернёмся к неравенству, решением будет являться множество точек находящихся внутри окружности и принадлежащих ей:

Изобразим на координатной плоскости множество точек, заданных неравенством:

Это уравнение обратной пропорциональности, графиком является гипербола. Составим таблицу значений:

 Отметим полученные точки на координатной плоскости и изобразим график:

Линии графика разделили координатную плоскость на три области. Координаты точек из области А будут удовлетворять неравенству. Координаты точек из области B не удовлетворяют неравенству. И если точка принадлежит области С, то точки этой области будут удовлетворять неравенству.

Множеством решений неравенства будут — А и С, включая линии графика.

videouroki.net

Урок 42. линейные уравнения и неравенства с двумя переменными — Алгебра и начала математического анализа — 11 класс

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №42. Линейные уравнения и неравенства с двумя переменными

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• Решение уравнений, неравенств, систем уравнений и систем неравенств с двумя переменными;
• Изображение в координатной плоскости множества решений уравнений, неравенств, систем уравнений, систем неравенств;
• Нахождение площади получившейся фигуры.

Глоссарий по теме

Уравнение вида     ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными, где   a, b и c   —   некоторые числа (a ≠ 0 ,   b ≠0), а, х и у   —   переменные. 

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. Учебник: Алгебра 9 кл с углубленным изучением математики Мнемозина, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Историческая справка

Уравнения, а также системы уравнений имеют давнюю историю. Нам известно, что уже в Древнем Вавилоне и Индии повседневные задачи, связанные с земляными работами или планированием военных расходов, а также астрономическими наблюдениями решались с помощью уравнений и их систем.

В то время еще не существовало привычного нам формального языка математики. Вавилоняне, также, как и индусы не использовали в своих трактатах привычные нам «икс» и «игрек». Не обозначали степень надстрочными индексами. И т.д. Их уравнения записаны в виде текстовых задач. Также, как и решения, не похожи на современные, а скорее напоминают цепочку логических рассуждений.

Вместе с тем, если перевести в привычный нам вид те уравнения, которые умели решать в Древнем Вавилоне, то мы увидим: . И в древнем индийском манускрипте «Ариабхаттиам», датируемом 499 годом нашей эры, также встречаются задачи, решаемые с помощью квадратных уравнений. Индийские мудрецы (слово ученый тоже еще не существовало) уже не ограничивались решением конкретных житейских задач, но и работали над решением квадратного уравнения в общем виде.

Привычный нам вид уравнения обретают только в конце шестнадцатого века, благодаря трудам Франсу Виета (1540 – 1603 гг.). Именно он, помимо прочих своих научных достижений обладает и неофициальным титулом «создатель алгебры». Поскольку разработал и активно внедрял символический язык алгебры – те самые, привычные нам «иксы и игреки».

Актуализация знаний

1.Найдите уравнения, которые являются линейными.

4х + 5у = 10; ; у = 7х +4

Ответ: 4х + 5у = 10; у = 7х +4

Сегодня на уроке мы вспомним что такое линейные уравнения и неравенства с двумя переменными; системы линейный уравнений и неравенств, а также научимся изображать множество на плоскости, задаваемое линейным уравнением и неравенством.

1. Линейные уравнения с двумя переменными.

Уравнение вида ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется линейным уравнением с двумя переменными х и у.

Решением уравнения ах + by +с =0, где а,b,с – некоторые числа, называется пара значений обращающая уравнение в верное числовое равенство.

Если одновременно а и b, то уравнение ах + by +с =0 является уравнением некоторой прямой. Для построения прямой достаточно найти две точки этой прямой.

Пример

Построить график уравнения 2х+у =1

у = -2х + 1

Если х=0, то у=1;

Если х=2, то у=-3.

На координатной плоскости отметим точки с координатами (0;1) и (2;-3). Через две точки на плоскости проведем прямую. Полученная прямая является геометрической моделью уравнения 2х+у =1.

1. Линейные неравенства с двумя переменными.

Линейным неравенством с двумя переменными называется неравенство вида ах + bу + с < 0 или ах + bу + с > 0, где х и у – переменные, а, b, c – некоторые числа.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая его в верное равенство.

Является ли пара (2;1) решением неравенства 5х + 2у > 4 . Является, тк при подстановке в него вместо х числа 2, а вместо у числа 1 получается верное равенство 10 + 2 > 4.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой.

Пример

Найти множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0.

1. Уравнение 3х – 2у +6 = 0 является уравнением прямой, проходящей через точки(- 2; 0) и (0; 3).
2. Пусть точка М₁(х_1,у₁) лежит в заштрихованной полуплоскости (ниже прямой 3х – 2у +6 = 0, а_{М2(х1,у2)лежит на прямой 3х – 2у +6 = 0. Тогда 2у2 – 3х1 – 6 = 0, а 2у1 – 3х1 – 6 < 0, т.к. у1< у2}

Изобразим множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенству 3х – 2у +6 > 0 штриховкой (рис. 1)

Рисунок 1 – решение неравенства 3х – 2у +6 > 0

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение ах + by +с =0, графиком которого является прямая при условии, что и . Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Одна из них является графиком неравенства ах + bу + с < 0, а другая – графиком неравенства ах + bу + с > 0

Чтобы решить неравенство ах + bу + c < 0 или aх + bу + c > 0, достаточно взять какую-нибудь точку М₁(х₁; у₁), не лежащую на прямой aх + bу + c = 0, и определить знак числа aх₁ + bу₁ + c.

Пример

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 2х + 3у < 6

Начертим график уравнения 2х + 3у = 6.

Пара (0;0) является решением неравенства 2х + 3у < 6, и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства 2х + 3у < 6 является нижняя полуплоскость (рис. 2).

Рисунок 2 – решение неравенства 2х + 3у < 6

1. Система линейных уравнений с двумя переменными.

Система вида , где а,b,с,d,e,f – некоторые числа, называется линейной системой с двумя переменными х и у.

Пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы уравнений с двумя переменными в верное равенство называют решением системы.

Решить систему – значит найти множество ее решений.

Пример

Решите систему:

Каждое решение уравнения с двумя переменными представляет координаты некоторой его точки его графика. Каждое решение системы есть координаты общих точек графиков уравнений системы. Построим графики этих уравнений и найдем координаты точки пересечения (рис.3). 

Рисунок 3 – решение системы

Система имеет единственное решение: x = 4 ,   y = 4 .

1. Система линейных неравенств с двумя переменными.

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.
Рассмотрим систему линейных неравенств с двумя переменными на примере:

1. Построим прямые х – у = 2 и х + 3у = 6
2. Пара (4;1) является решением как первого, так и второго неравенства, те является общим решением неравенств системы. Такую пару чисел называют решением системы неравенств с двумя переменными. Множество общих решений неравенств есть множество решений системы (пересечение множеств решений неравенств, составляющих систему).

Множество решение системы изображается двойной штриховкой. (плоской угол) (рис. 4).

Рисунок 4 – решение системы

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1

Изобразите в координатной плоскости множества решений неравенства 3х – 2у + 6 0.

1. Начертим график уравнения 3х – 2у + 6 = 0
2. Отметим в какой-нибудь полуплоскости, например, точку (1;2).

Пара (1;2) не является решением неравенства и принадлежит нижней полуплоскости, значит графиком неравенства является верхняя полуплоскость вместе с прямой 3х – 2у + 6 = 0. 9 (рис. 5)

Рисунок 5 – решение неравенства

Пример 2

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы

Построим прямые х + у = 3 и 4х – 5у = 20.

Множество решений первого неравенства показано горизонтальной штриховкой, а множество решений второго неравенства – вертикальной штриховкой. Двойная штриховка – множество решений системы. Система задает плоский угол (рис. 6)

Рисунок 6 – решение системы

Если к системе добавить еще одно неравенство

, то получится система трех неравенств с двумя переменными

Этой системой задается треугольник (рис. 7)

Рисунок 7 – решение системы

Точка О принадлежит , левая часть неравенства положительна, и поэтому множество его решений – объединение множеств .

resh.edu.ru

Системы неравенств с двумя переменными, способы решения

Одним из частных случаев систем неравенств с двумя переменными являются системы линейных неравенств с двумя переменными. Рассмотрим их.

Системы линейных неравенств с двумя переменными

Введем сначала все необходимые понятия.

Определение 1

Неравенства вида $ax+by\le ()c$, где $x\ и\ y$ — неизвестные переменные, а $a,\ b\ и\ c$ — некоторые числа, причем $a\ и\ b$ отличны от нуля называются линейными неравенствами с двумя переменными.

Определение 2

Пара чисел называется решением линейного неравенства с двумя переменными, если при их подстановке в уравнение получается верное равенство.

Определение 3

Графиком линейного неравенства с двумя переменными является множество всех точек, которые является решением данного линейного неравенства.

Определение 4

Системой линейных неравенств с двумя переменными называется такая система неравенств, которая в своем составе имеет два и более линейных неравенств с двумя переменными.

Определение 5

Решением системы линейных неравенств называется такая пара чисел, которая является решением всех неравенств, входящих в данную систему.

Рассмотрим решение систем линейных неравенств с двумя переменными на примере.

Пример 1

Решить систему неравенств

\[\left\{ \begin{array}{c} {yРешение.

Решим для начала оба неравенства отдельно.

1. $y

   Изобразим график линейного неравенства (рис. 1).

   

2. $y

   Изобразим график линейного неравенства (рис. 2).

   

   Рисунок 2. Решение неравенства $y

3. Изобразим теперь общее решение системы линейных неравенств:

   

   Рисунок 3.

Примеры других неравенств с двумя переменными

Рассмотрим другие примеры систем неравенств с двумя переменными.

Пример 2

Решить систему неравенств

\[\left\{ \begin{array}{c} {x^2+y^2\ge 4,} \ {x^2+y^2\le 9} \end{array} \right.\]

Решение.

Решим для начала два этих неравенства по отдельности

1. $x^2+y^2\ge 4$

   $x^2+y^2=4$ — окружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $2$. Изобразим график неравенства

   

   Рисунок 4.

2. $x^2+y^2\le 9$

   $x^2+y^2=9$ — окружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом 3. Изобразим график неравенства

   

   Рисунок 5.

3. Изобразим теперь общее решение:

   

   Рисунок 6.

spravochnick.ru

Системы неравенств с двумя переменными

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающие данное неравенство в верное числовое неравенство.

Определение:

Решением системы неравенств называются пара значений переменных, обращающая каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

Проверим, являются ли решениями системы пары чисел. Система состоит из двух неравенств, подставим значения в систему:

Получаем, что пара чисел системы а) и г) являются решениями, а пара чисел системы б) и в) — не являются решениями.

Понятно, что если каждое неравенство может иметь множество решений, то и общих решений может найтись большое количество.

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Найдём множество решений первого неравенства:

Изобразим график:

Решением будет множество точек расположенных ниже прямой.

Найдём множество решений второго неравенства:

Изобразим график уравнения:

Решением будет множество точек расположенных ниже прямой.

Изобразим множества решений неравенств в одной координатной плоскости:

Видим их общие решения, которые являются решением системы неравенств.

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Изобразим множество решений первого неравенства:

Изобразим график уравнения:

Решением неравенства будет множество точек находящихся ниже прямой.

Перейдём ко второму неравенству системы:

Изобразим график:

Решением неравенства будет множество внутренних точек круга.

Пересечение полученных множеств и является решением данной системы неравенств.

 

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Решением первого неравенства будет множество внутренних точек круга:

Решением второго неравенства будет множество, состоящее из точек, находящихся вне круга.

Пересечение полученных множеств и является решением данной системы:

Изобразим на координатной плоскости множество решений системы неравенств:

Изобразим множество решений ещё одной системы неравенств.

Решением первого неравенства будет множество точек находящихся между ветвями гиперболы. Решением второго неравенства будет множество внутренних точек круга.

Фигура, полученная в результате пересечения двух решений, представляет собой множество решений данной системы.

videouroki.net

Методическая разработка по алгебре (9 класс) на тему: Урок.»Неравенства с двумя переменными.»

Тема: Неравенства с двумя переменными.

9 класс.

Учебная задача. Формирование системы фактов «неравенства с двумя переменными», «линейные неравенства».

Цели: 

дидактическая: ввести понятие неравенства с двумя переменными и его решения; формировать умение решать линейные неравенства с двумя переменными..

психологическая: формирование видов учебно-познавательной деятельности;

воспитательная: проверка грамотной устной и письменной математической речи учащихся.

Ход урока.

I.Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

Девиз нашего урока:

 «Знание собирается по капле »

II. этап. Устно- письменный опрос учащихся с целью установления содержательных связей между ведущими линиями школьного курса математики.

Устная работа.

1. Какие из следующих чисел: –2; –1; 0; 2; 3 – являются решением неравенства х3 – 2х ≥ 1?

2. Подберите два каких-нибудь числа разных знаков, чтобы их сумма была больше 5.

Контроль усвоения  материала(самостоятельная работа).

Вариант 1.

1.Сумма двух чисел равна 30, а их произведение равно 216. Найдите эти числа.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а его периметр равен 48 см. Найдите катеты треугольника.

Вариант 2.

1.Сумма двух чисел равна 40, а их произведение равно 364. Найдите эти числа.

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см, а его периметр равен 60 см. Найдите катеты треугольника.

III. Объяснение нового материала.

1. Понятие неравенства с двумя переменными и его решения.

2. Линейное неравенство с двумя переменными.

Рассмотрим неравенства: 0,5х2 -2у+l 20 -неравенство с двумя переменными.

Рассмотрим неравенство 0,5х2 -2у+l

При х=1,  у=2. Получим верное неравенство 0,5 • 1 — 2 • 2 + 1

Пару чисел (1; 2), в которой на первом месте — значение х, а на втором — значение у, называют решением неравенства 0,5х2 -2у+l

Определение. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой. Говорят, что эта фигура задается или описывается неравенством.

Рассмотрим  линейные неравенства с двумя переменными.

Определение. Линейным неравенством с двумя  переменными называется неравенство вида ах + by с, где х и у — переменные, а, b и с — некоторые числа.

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение. Графиком линейного уравнения ах + by = с, в котором а или b не равно нулю, является прямая линия. Она разбивает множество не принадлежащих ей точек координатной плоскости на две области, представляющие открытые полуплоскости.

На примерах рассмотрим, как изображается множество решений неравенства с двумя переменными на координатной плоскости.

Пример 1. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства 2у+3х≤6.

Решение.

Строим прямую 2у+3х=6, у=3-1,5х

Прямая разбивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные ниже ее, и точки, расположенные выше ее. Возьмем из каждой области по контрольной точке: А(1;1), В(1;3).

Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·1+3·1≤6, 5≤6

Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·3+3·1≤6.

Данное неравенство может изменить знак на прямой 2у+3х=6, то неравенству удовлетворяет множество точек той области, где расположена точка А.  Заштрихуем эту область. Мы изобразили множество решений неравенства 2у+3х≤6.

Пример 2. Покажем штриховкой на координатной плоскости график неравенства 2х + Зу

Начертим график уравнения 2х + Зу = 6 . Пара (0; 0) является решением неравенства 2х + Зу

Пример 3. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства 2х — Зу ≤-6.

Начертим график уравнения 2х-Зу = -6 . Отметим в какой-нибудь полуплоскости точку, например, точку (1; 1). Пара (1; 1) не является решением неравенства 2х — Зу ≤-6. Точка с координатами (1; 1) лежит в нижней полуплоскости. Значит, графиком неравенства является верхняя полуплоскость вместе с прямой 2х — Зу = -6.

 

Для изображения множества решений неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:

1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.

2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.

Вывод: — решением неравенства f(x,y)˃0, [f(x,y)

-графиком неравенства с двумя переменными х и у называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (х, у), где каждая пара (х,у) является решением данного неравенства.

Графики некоторых неравенств.

IV. Формирование умений и навыков.

1.№ 482, № 483 (а, в).

2.№ 484 (а, г), № 485.

3. Изобразите на координатной плоскости множество точек, задаваемое неравенством:

а) х

б) у ≥ –3;                        г) –2

4. № 492 (а).

Р е ш е н и е

ху ≥ 0.

Произведение двух чисел является неотрицательным в том случае, если эти числа имеют одинаковые знаки. Значит, когда

Первой системе соответствует первая координатная четверть, а другой системе – третья координатная четверть. Множеством решений неравенства-объединение первой и третьей координатных четвертей, включая оси координат.

Сильным в учебе учащимся можно предложить дополнительно выполнить № 556.

Р е ш е н и е

| х | + | у | ≤ 1;

| у | ≤ 1 – | х |.

Построим график уравнения | у | = 1 – | х |. Для этого нужно раскрыть знаки модуля.

Получим четыре случая:

1) х ≥ 0, у ≥ 0; у = 1 – х.

2) х ≥ 0, у

3) х

4) x

Объединяя все эти случаи, получим фигуру:

Данному неравенству удовлетворяет множество точек внутренней области этой фигуры.

V. 4 этап. Оценочно -рефлексивный.

Подведение итогов урока, комментарии по домашнему заданию. Обратить внимание учащихся на теоретические факты, которые вспомнили на уроке, о необходимости их выучить.

Вопросы:

– Что называется решением неравенства с двумя переменными?

– Сколько решений может иметь неравенство с двумя переменными?

– Как найти множество решений линейного неравенства с двумя переменными?

Домашнее задание: № 483 (б, г), № 484 (б, в), № 486.

Д о п о л н и т е л ь н о: № 492 (б).

Самостоятельная работа.

«Решение задач с помощью систем уравнений второй степени.»

Вариант 1. 1.Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 7, а произведение 12. 2.Площадь прямоугольного участка равна 120см2, а периметр равен 46см. Найдите ширину и длину участка. 3.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна65, а разность катетов треугольника равна 23. Найдите площадь треугольника.

Вариант 2. 1.Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 9, а произведение 18. 2.Площадь прямоугольного участка равна 90см2, а периметр равен 46см. Найдите ширину и длину участка. 3.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 73, а разность катетов треугольника равна 7. Найдите площадь треугольника.

Вариант 3. 1.Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 9, а произведение 14. 2.Площадь прямоугольного участка равна 80см2, а периметр равен 42см. Найдите ширину и длину участка. 3.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 106, а разность катетов треугольника равна 34. Найдите площадь треугольника.

Вариант 4. 1.Найдите два натуральных числа, сумма которых равна 11, а произведение 30. 2.Площадь прямоугольного участка равна 98см2, а периметр равен 42см. найдите ширину и длину участка. 3.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 89, а разность катетов треугольника равна 41. Найдите площадь треугольника.

Ответы.

	1	2	3
Вариант 1 .	3 и 4	8 и 15	924
Вариант 2 .	3 и 6	5 и 18	1320
Вариант 3 .	2 и 7	5 и 16	2520
Вариант 4 .	5 и 6	7 и 14	1560

nsportal.ru