Объединение множеств круги эйлера – Операции над множествами. пересечение и объединение множеств. разность множеств, дополнение множества, интерпретация операций над множествами с помощью кругов эйлера. часть 1 — Математика — 5 класс

Диаграмма Эйлера — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Пример кругов Эйлера. Буквами обозначены, например, свойства: B{\displaystyle B} — живое существо, A{\displaystyle A} — человек, C{\displaystyle C} — неживая вещь

Диагра́ммы Э́йлера (круги́ Э́йлера) — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Первое их использование приписывают Леонарду Эйлеру[⇨]. Используется в математике, логике, менеджменте и других прикладных направлениях. Не следует их путать с диаграммами Эйлера — Венна[⇨].

Диаграммы Эйлера также называют кругами Эйлера. При этом «круги» — это условный термин, вместо кругов могут быть любые фигуры.

На диаграммах Эйлера множества изображаются кругами (или другими фигурами). Причём непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами. Например, диаграмма на рисунке показывает, что множество A является подмножеством B, а B не пересекается с

C.

При решении целого ряда задач Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом ещё до Эйлера пользовался выдающийся немецкий философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Лейбниц использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями, но при этом всё же предпочитал использовать линейные схемы.[1]

Но достаточно основательно развил этот метод сам Л. Эйлер. Методом кругов Эйлера пользовался и немецкий математик Эрнст Шрёдер в книге «Алгебра логики». Особенного расцвета графические методы достигли в сочинениях английского логика Джона Венна, подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году. Венн предложил свою схему изображения отношения между множествами, которая теперь называется диаграммами Эйлера — Венна. Первоначально круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики[2].

C
Пример получения произвольных кругов Эйлера из диаграмм Венна с пустыми (чёрными) множествами C 22 (из 256) существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу)

Диаграммы Эйлера — Венна в отличие от диаграмм Эйлера изображают все 2n{\displaystyle 2^{n}} комбинаций n{\displaystyle n} свойств, то есть конечную булеву алгебру. При n=3{\displaystyle n=3} диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

На рис. ниже даны диаграммы Венна и Эйлера для 3 множеств однозначных натуральных чисел:

  • A={1,2,5}{\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}
  • B={1,6}{\displaystyle B=\{1,\,6\}}
  • C={4,7}{\displaystyle C=\{4,\,7\}}
  • {\displaystyle C=\{4,\,7\}}

    диаграмма Эйлера

  • {\displaystyle C=\{4,\,7\}}

    диаграмма Венна

Иногда, если какая-то комбинация свойств соответствует пустому множеству, то эту комбинацию закрашивают. На рисунке справа даны 22 существенно различных диаграмм Венна с 3 кругами (сверху) и соответствующие им диаграммы Эйлера (снизу). Некоторые из диаграмм Эйлера не типичны, а некоторые даже эквивалентны диаграммам Венна. Черные области указывают на то, что в них нет элементов (пустые множества).

На рисунке внизу дана Диаграмма Эйлера, иллюстрирующая тот факт, что множество существ с 4 конечностями является подмножеством животных, которое не пересекается с множеством минералов.

{\displaystyle C=\{4,\,7\}} Диаграмма Эйлера
  1. ↑ Leibniz G. W. Opuscules et fragments inédits de Leibniz. — Paris, 1903. — p. 293—321.
  2. ↑ Кузичев, 1968, с. 25.
  • Кузичев А. С. Диаграммы Венна. История и применения. — М.: Наука, 1968. — 249 с.
⛭
Формальная
Математическая
(теоретическая,
символическая)
Логические связки (операции) над высказываниями

Высказывание — построение над множеством {B,¬,∧,∨,0,1}{\displaystyle \{B,\neg ,\land ,\lor ,0,1\}}
В — непустое множество, над элементами которого определены три базовые операции: конъюнкция (∧{\displaystyle \land } или &, бинарная) • дизъюнкция (∨{\displaystyle \lor }, бинарная) • отрицание (¬{\displaystyle \neg }, унарная)

2 константы: 01
См. также

1.3.2 Объединение множеств

Вновь возьмём множества Х = {0, 1, 3, 5} и Y = {1, 2, 3, 4} и наряду с ними рассмотрим множество {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Это множество содержит все элементы множества Х и все элементы множества Y и не содержит никаких других элементов.

Множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих или множеству А или множеству В, называется объединением множеств А и

В, обозначается А U В. А U В = { х А или х В }

Итак, {0, 1, 3, 5} {1, 2, 3, 4} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.

Если изобразить множества А и В при помощи кругов Эйлера, то объединение данных множеств изобразится заштрихованной областью.

А U В

Если множества не имеют общих элементов, то их объединение выглядит так:

А U В

Е

сли одно из множеств является подмножеством другого, то их объединение будет выглядеть так:

А U В

Часто приходится рассматривать объединение и пересечение трёх и более множеств. Объединение множеств А, В и С есть множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств А, В или С; пересечение множеств А, В и С есть множество всех элементов, принадлежащих и множеству А, и множеству В, и множеству С.

А U В U С А ∩ В ∩ С

Например, объединение множеств остроугольных, тупоугольных и прямоугольных треугольников есть множество всех треугольников.

Еще операции над множествами можно показать с помощью детского анекдота: Однажды лев, царь зверей, собрал зверей на поляне и повелел им разделиться на умных и красивых. После того, как пыль улеглась, лев увидел на поляне две большие группы зверей и мартышку, прыгающую между ними. На вопрос: почему она прыгает туда, сюда, мартышка ответила: «Что мне, разорваться, что ли?». Так вот, мартышка из анекдота – это пример пересечения умных зверей и красивых. А объединением умных и красивых зверей является все множество зверей.

Объединение и пересечение множеств обладают многими свойствами, аналогичными свойствам суммы и произведения чисел:

п/п

Свойство операций над множествами

Свойство арифметических операций

Название свойства

1

a + b = b + a

Коммутативность

2

3

(а+b)+c = a+(b+c)

Ассоциативность

4

5

Дистрибутивность

Однако эта аналогия не всегда имеет место. Например, для множеств справедливы равенства:

6. (А U С)(В U С) = (A B) U С.

7. А U А = А.

8. А А = А.

Соответствующие равенства для чисел верны не всегда.

Заметим, что, если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств, и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.

1.3.3 Вычитание множеств

Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностью и определяют следующим образом.

Разностью множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В, обозначается А \ В. А \ В = {х А и х В}.

Х \ Y = {0, 1, 3, 5} \ {1, 2, 3, 4} = {0, 5}

. Если мы найдем разность множеств Y и Х, то результат будет выглядеть так: Y \ X = {2; 4}. Таким образом, разность множеств не обладает переместительным (коммутативным) свойством.

Если изобразить множестваА и В при помощи кругов Эйлера, то разность данных множеств изобразится заштрихованной областью.

А \ В

Если множества не имеют общих элементов, то их разность будет изображаться так:

В

А

А \ В

Если одно из множеств является подмножеством другого, то их разность будет изображаться так:

А

В

\ В

Пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание. Поэтому порядок выполнения действий в выражении А \ В С такой: сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А. Что касается объединения и вычитания множеств, то их считают равноправными. Например, в выражении А \ В U С надо сначала выполнить вычитание (из А вычесть В), а затем полученное множество объединить с множеством С.

Вычитание множеств обладает рядом свойств:

  1. (А \ В) \ С = (А \ С) \ В.

  2. (А U В) \ С = (А \ С) U (В \ С).

  3. (А \ В) ∩ С = (А ∩ С) \ (В ∩С).

  4. А \ (В U С) = (А \ В) ∩ (А \ С).

  5. А \ (В ∩ С) = (А \ В) U (А \ С).

Основы алгоритмики. Задачи про множества. Пересечение, объединение множеств. Круги Эйлера.

Задачи про множества. Пересечение, объединение множеств. Круги Эйлера

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Круги Эйлера — это геометрическая схема, с помощью которой можно наглядно изобразить отношения между множествами.

При решении целого ряда задач Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов. Однако этим методом еще до Эйлера пользовался Лейбниц, который использовал их для геометрической интерпретации логических связей между понятиями. Свое развитие графические методы получили в сочинениях английского логика Венна. Поэтому такие схемы иногда называют диаграммами Эйлера--Венна.

.hello_html_m38a4f02.png

Черный и белый шоколад

На схеме прямоугольник изображает всех учащихся 6 класса, круг Ч – тех, кто любит чёрный шоколад, а круг Б – тех, кто любит белый шоколад. Штриховкой выделено некоторое подмножество этих шестиклассников. 

Начало формы

Поставьте в соответствие каждому рисунку соответствующее описание выделенного множества.

Конец формы

Те, кто любит и чёрный, и белый шоколад.

Те, кто любит белый и не любит чёрный шоколад.

Те, кто любит какой-нибудь один вид шоколада: или чёрный, или белый.

Те, кто не любит ни чёрный, ни белый шоколад.

Подсказка 1 из 1

Если кто-то любит и то и другое, то это пересечение множеств.

Если кто-то не любит ничего, то это все то, что лежит за множествами.

Если кто-то любит, что-то одно, то должно быть заштриховано только это и не должно быть заштриховано пересечение множеств..

Решение задачи

Те, кто любит и чёрный, и белый шоколад.

hello_html_m5cf4958e.png

Те, кто любит белый и не любит чёрный шоколад.

hello_html_3fd70c7c.png

Те, кто любит какой-нибудь один вид шоколада: или чёрный, или белый.

hello_html_m5b95528a.png

Те, кто не любит ни чёрный,  ни белый шоколад.

hello_html_252a54d8.png

Множество кошек

Выберите несколько верных утверждений в соответствии с рисунком.

 

hello_html_1499f175.png

Множество Животные является подмножеством множества Кошки.

Множество Вислоухие является подмножеством множества Кошки.

Множество кошки является подмножеством множества Животные.

Множества школьных предметов

Из десяти опрошенных школьников семерым нравится математика, восьмерым — история. 

Скольким ребятам нравится математика и история одновременно, если двоим ребятам не нравятся ни история ни математика?

Подсказка 1 из 1

Поскольку двоим не нравится ничего, то математика или история нравятся восьмерым из опрошенных.

Решение задачи

Поскольку двоим не нравится ничего, то математика или история нравятся восьмерым из опрошенных. Заметим, что в числе тех, кому нравится математика, есть те, кому нравится и математика, и история. Также и в числе тех, кому нравится история, есть эти же люди (кому нравятся оба предмета).

Следовательно, сложив количество тех, кому нравится математика с количеством тех, кому нравится история, мы получим всех, кому нравится только математика, всех, кому нравится только история и дважды учтем тех, кому нравится и то и другое. Обозначив учтенное дважды количество за x, получим: 8+7−x=8, откуда x=7.

Круги Эйлера

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». 

Начало формы

Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?

Конец формы

Подсказка 1 из 2

Изобразим эти множества с помощью кругов Эйлера:

 

hello_html_3c5580d5.png

Подсказка 2 из 2

6 человек смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Отметим это на кругах Эйлера:

 

hello_html_m5afc86f0.png

Решение задачи

6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.

Получаем:

 

hello_html_m5afc86f0.png


15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров». 
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги». 
Получаем:

 

hello_html_20fc4326.png

 Ответ: 5 человек смотрели только «Стиляги».

Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера (презентация)

На языке мудрости ЗНАТЬ – это значит УМЕТЬ , а ПОНИМАТЬ – это значит ДЕЙСТВОВАТЬ .

На языке мудрости ЗНАТЬ – это значит УМЕТЬ , а ПОНИМАТЬ – это значит ДЕЙСТВОВАТЬ .

Тема урока: Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера.

Тема урока:

Множества.

Операции над множествами.

Круги Эйлера.

Цель урока: обобщить и систематизировать знания студентов по теме: «Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера.»

Цель урока:

  • обобщить и систематизировать знания студентов по теме: «Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера.»
МНОЖЕСТВО НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА ВИДЫ МНОЖЕСТВ НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ  МНОЖЕСТВАМИ ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА-ВЕННА ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ        ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМЕЮЩИХСЯ ЗНАНИЙ

МНОЖЕСТВО

НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ

МНОЖЕСТВАМИ

ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА-ВЕННА

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМЕЮЩИХСЯ ЗНАНИЙ

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое» основатель теории множеств Георг Кантор (1845 -1918 гг.) – немецкий математик

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»

основатель теории множеств

Георг Кантор (1845 -1918 гг.) – немецкий математик

Понятие теории множеств    Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие

Понятие теории множеств

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так:

  • Множество-совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.
Множество – совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D ,…, Z Объекты , из которых образовано множество, называются элементами множества. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c ,…, z . в z d а с е

Множество – совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D ,…, Z

Объекты , из которых образовано множество, называются элементами множества.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c ,…, z .

в

z

d

а

с

е

 множество людей на Солнце множество прямых углов  равностороннего треугольника множество точек пересечения двух параллельных прямых Пустое множество-множество, не содержащее ни одного элемента.

множество людей на Солнце

множество прямых углов

равностороннего треугольника

множество точек пересечения

двух параллельных прямых

Пустое множество-множество,

не содержащее ни одного элемента.

НАБОР КАРАНДАШЕЙ КОЛЛЕКЦИЯ МАРОК  СТАЯ ПТИЦ  СТАДО КОРОВ ЧАЙНЫЙ СЕРВИЗ БУКЕТ ЦВЕТОВ

НАБОР КАРАНДАШЕЙ

КОЛЛЕКЦИЯ МАРОК

СТАЯ ПТИЦ

СТАДО КОРОВ

ЧАЙНЫЙ СЕРВИЗ

БУКЕТ ЦВЕТОВ

множество элемент Трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник Шар, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, октаэдр  Натуральные числа 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 .. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9  Двузначные четные числа Множество четырехугольников Пространственные тела 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… Квадраты чисел Цифры десятичной системы счисления 10, 12, 14, 16 … 96, 98

множество

элемент

Трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник

Шар, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, октаэдр

Натуральные числа

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 ..

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Двузначные четные числа

Множество четырехугольников

Пространственные тела

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11…

Квадраты чисел

Цифры десятичной системы счисления

10, 12, 14, 16 … 96, 98

Обозначения числовых множеств  N – множество натуральных чисел;  Z  – множество целых чисел;  Q – множество рациональных чисел;  R  – множество действительных чисел.

Обозначения числовых множеств

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

Обозначения числовых множеств  N – множество натуральных чисел;  Z  – множество целых чисел;  Q – множество рациональных чисел;  R  – множество действительных чисел.  Стандартные обозначения

Стандартные обозначения

ВИДЫ МНОЖЕСТВ Запишите множества букв слов  КОНИ И КИНО { К, О, Н, И } { К, И, Н, О } Равные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

Запишите множества букв слов

КОНИ И КИНО

{ К, О, Н, И }

{ К, И, Н, О }

Равные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ А = {2; 3; 5; 7; 11; 13};  {х

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

А = {2; 3; 5; 7; 11; 13};

{х | 5

Конечные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ {1; 4; 9; 16; 25; …};  {10; 20; 30; 40; 50; …}; Бесконечные множества

ВИДЫ МНОЖЕСТВ

{1; 4; 9; 16; 25; …};

{10; 20; 30; 40; 50; …};

Бесконечные множества

Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества: а) множество чисел, кратных 13; б) множество делителей числа 15; в) множество деревьев в лесу; г) множество натуральных чисел; д) множество рек Ростовской области; е) множество корней уравнения х + 3 = 11; ж)  множество решений неравенства х + 1

Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества:

а) множество чисел, кратных 13;

б) множество делителей числа 15;

в) множество деревьев в лесу;

г) множество натуральных чисел;

д) множество рек Ростовской области;

е) множество корней уравнения х + 3 = 11;

ж) множество решений неравенства х + 1

Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:  а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.  Охарактеризуйте множество А: а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.

Охарактеризуйте множество А:

а) А = {1, 3, 5, 7, 9};

б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2};

в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Даны множества: М = {5, 4, 6}; Р = {4, 5, 6}; Т = {5, 6, 7}; S = {4, 6}.  Какое из утверждений неверно?   а) М = Р б) Р ≠ S в) М ≠ Т г) Р = Т  М Р T S

Даны множества:

М = {5, 4, 6};

Р = {4, 5, 6};

Т = {5, 6, 7};

S = {4, 6}.

Какое из утверждений неверно?

а) М = Р б) Р ≠ S в) М ≠ Т г) Р = Т

М

Р

T

S

Отношения между множествами

Отношения между множествами

Отношения между множествами   Отношения между множествами   Отношения между множествами   ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ   ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

Даны множества: А = {2; 3; 8}; В = {2; 3; 8; 11}; С = {5; 11}.  Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ.

Даны множества:

А = {2; 3; 8};

В = {2; 3; 8; 11};

С = {5; 11}.

Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ.

Даны множества: А = { a , b , c , d }; B = { c , d , e , f }; C = { c , e , g , k }.  Найдите: (АUВ)UС.

Даны множества:

А = { a , b , c , d };

B = { c , d , e , f };

C = { c , e , g , k }.

Найдите: (АUВ)UС.

Даны множества: А – множество всех натуральных чисел, кратных 10; В = {1; 2; 3;…, 41}.   Найдите А∩В.

Даны множества:

А – множество всех натуральных чисел, кратных 10;

В = {1; 2; 3;…, 41}.

Найдите А∩В.

 Решение задачи с помощью кругов Эйлера K Леона́рд Э́йлер  ( 1707-1783 гг.)  — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.  k

Решение задачи

с помощью кругов Эйлера

K

Леона́рд Э́йлер ( 1707-1783 гг.)  — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

k

В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно? Всего 30 6 13 11 поют 17 танцуют 19 17+19=36, всего 30 36-30= 6

В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

Всего 30

6

13

11

поют 17

танцуют 19

17+19=36, всего 30

36-30= 6

Решение Пусть А - это множество учеников, умеющих петь. Количество элементов в нём по условию равно n = 17. Пусть В - множество учеников, умеющих танцевать. Количество элементов в нём - m = 19. Множество совпадает со всем классом, т.к. каждый ученик в классе поёт или танцует. - это множество тех учеников класса, которые поют и танцуют одновременно. Пусть их количество равно k . Согласно формуле доказанной выше n + m- k = 17+ 19- k = 30 k = 6. Ответ:  6 учеников в классе поют и танцуют одновременно.

Решение

Пусть А - это множество учеников, умеющих петь. Количество элементов в нём по условию равно n = 17. Пусть В - множество учеников, умеющих танцевать. Количество элементов в нём - m = 19. Множество совпадает со всем классом, т.к. каждый ученик в классе поёт или танцует. - это множество тех учеников класса, которые поют и танцуют одновременно. Пусть их количество равно k .

Согласно формуле доказанной выше

n + m- k = 17+ 19- k = 30 k = 6.

Ответ: 6 учеников в классе поют и танцуют одновременно.

Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?   18 Немецкий 27 Английский 25 Только немецкий 27 – 18 = 9 Только английский 25 – 18 = 7 7 9 7 + 9 + 18 = 34 Ответ:  в классе 34 ученика

Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?

18

Немецкий 27

Английский 25

Только немецкий

27 – 18 = 9

Только английский

25 – 18 = 7

7

9

7 + 9 + 18 = 34

Ответ: в классе 34 ученика

Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента

Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было

по 3 элемента

Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?   Объединение  содержит 9 элементов

Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?

Объединение содержит 9 элементов

Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?   Всего: 14 + 13 + 62 =89

Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

Всего: 14 + 13 + 62 =89

На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9-го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9-го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?

Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?

В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион - 3; цирк и стадион - 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион - 3; цирк и стадион - 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

САМООЦЕНКА   10 – хорошо знаю весь фактический материал, и  участвовал в организации группы;  9 – хорошо  знаю свой вопрос, и участвовал в работе на  уроке;  8 – хорошо знаю весь фактический материал;  7 – хорошо  знаю свой вопрос;  6 – знаю свой вопрос;  5 – знаю свой вопрос, но был пассивен;  4 – плохо знаю свой вопрос, но был активен в обсуждении других вопросов;  3 – плохо знаю свой вопрос, и был пассивен; 1,2 – не знаю свой вопрос, и был пассивен.  

САМООЦЕНКА

10 – хорошо знаю весь фактический материал, и

участвовал в организации группы;

9 – хорошо  знаю свой вопрос, и участвовал в работе на

уроке;

8 – хорошо знаю весь фактический материал;

7 – хорошо  знаю свой вопрос;

6 – знаю свой вопрос;

5 – знаю свой вопрос, но был пассивен;

4 – плохо знаю свой вопрос, но был активен в обсуждении других вопросов;

3 – плохо знаю свой вопрос, и был пассивен;

1,2 – не знаю свой вопрос, и был пассивен.

 

Подведение итогов занятия   - оценка степени реализации поставленных  целей;  - оценка работы студентов;  - самооценка работы студентов в группах.

Подведение итогов занятия

- оценка степени реализации поставленных

целей; - оценка работы студентов; - самооценка работы студентов в группах.

Домашнее задание  М.С. Спирина,  «Дискретная математика»  §§1.1.-1.2, с.14-20.

Домашнее задание

М.С. Спирина,

«Дискретная математика»

§§1.1.-1.2, с.14-20.

Спасибо за работу на уроке,   урок окончен!

Спасибо за работу на уроке, урок окончен!

Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера (конспект урока)

Министерство образования Республики Мордовия

ГБПОУ РМ «Зубово-Полянский педагогический колледж»

Конспект открытого урока

Дисциплина Элементы математической логики

специальности 09.02.03 Программирование в компьютерных системах

для 351 группы

Преподаватель: Коняшкина Л.И.

Зубова Поляна, 2016 год

Дата: 2 февраля 2016 года.

Тема урока: «Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера»

Цель урока: обобщить и систематизировать знания студентов  по теме «Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера», используя мультимедиа технологии.

Задачи урока:

  • Образовательные:

    • закрепить теоретические знания: понятие множества, элемент множества, виды множеств, отношения между множествами, операции над множествами;

  • сформировать умения применять полученные теоретические знания определения множества и его элементов, умения охарактеризовать множество, выполнять действия над множествами (объединение и пересечение), изображать множества с помощью диаграмм Эйлера-Венна.

  • Развивающие:

    • развивать познавательный интерес, интеллектуальные и творческие способности учащихся;

    • формировать информационную культуру, овладение навыками контроля и самоконтроля;

    • осуществлять исследовательскую деятельность.

  • Воспитательные:

    • обучать самостоятельной деятельности по овладению знаниями;   

    • формировать осознанные мотивы учения, самосовершенствования, самовоспитания;

    • воспитывать целеустремленность и настойчивость в достижении цели;

    • воспитывать взаимопомощь.

ЗУН + опыт деятельности. Мультимедиа технологии позволяют работать в индивидуальном темпе, осуществить дифференцированный подход, способствуют закреплению полученных знаний, а также выступают как источник дополнительной информации по предмету. Использование на уроке опорных конспектов – фрагментов рабочих тетрадей для студентов позволяют совершенствовать навыки контроля и самоконтроля, как способ самоорганизации труда и самообразования.
В ходе урока, студенты:

  • систематизируют свои знания по данной теме;

  • закрепят теоретические знания: понятие множества, элемент множества, виды множеств, отношения между множествами, операции над множествами;

  • закрепят умения применять полученные теоретические знания.

Тип урока: Урок обобщения и систематизации знаний с применением

АМО и современных информационных технологий.

Форма урока: комбинированный.

Методы обучения: объяснительно-демонстрационный, практический.

Оборудование урока: Мультимедийный комплекс.

Литература: Спирина, М.С. Дискретная математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования/ М.С. Спирина, П.А Спирин. – 3-е изд., стер. - М.: Академия, 2010. – 368 с.

Игошин, В.И. Математическая логика и теория алгоритмов: учебное пособие для студ. высш. учеб. заведений/ В. И. Игошин. - 2-е изд., стер. - М.: Академия, 2008. - 448 с. Игошин, В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов/ В. И. Игошин. - 3-е изд., стер. - М.: Академия, 2008. - 304 с.

Межпредметные связи: информатика, математика, ПО, ИКТ.

Программное обеспечение: MS PowerPoint (2007). Презентация «Множества.

Операции над множествами. Круги Эйлера», опорные конспекты для студентов.

Презентация иллюстрирует основную информационную составляющую урока по теме «Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера»,  содержит задания для  самостоятельной работы, занимательные задачи.

План урока

I. Организационный момент

Приветствие студентов с использованием АМО «Здороваемся глазами». Отметка отсутствующих.

II. Объявление темы и целей урока (Слайды 1, 2, 3,4)

III. Повторение и закрепление теоретических знаний (Слайды 5, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 20, 24, 26)

IV. Практикум решения упражнений (Слайды 7, 8, 11, 12, 13, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 27- 29, 31-36)

V. Контроль знаний и умений (Слайды 37-40)

VI. Рефлексия деятельности на уроке (Слайд 41)

VII. Заключение (Слайды 42-44)

Ход урока

I. Организационный момент

Метод "Здороваемся глазами"

Цель: приветствие, создание положительного настроя на работу.
- Сейчас я с каждым из вас поздороваюсь. Но поздороваюсь не словами, а молча - глазами. При этом постарайтесь глазами показать, какое у вас сегодня настроение.

Активные методы обученияэто методы, побуждающие учащихся к активной мыслительной и практической деятельности в процессе овладения учебным материалом. Активное обучение предполагает использование такой системы методов, которая направлена на самостоятельное овладение учащимися знаниями и умениями в процессе активной мыслительной и практической деятельности.

II. Сообщение темы и целей урока

Тема урока: «Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера»

Цель урока: обобщить и систематизировать знания студентов  по теме «Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера», используя мультимедиа технологии.

- На этом уроке мы обобщим и систематизируем ваши знания по теме «Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера». В течение урока я буду сопровождать свой рассказ слайдами.

III. Повторение и закрепление теоретических знаний

В начале занятия проводится актуализация знаний, умений и навыков: студенты повторяют основные понятия теории множеств. Ответы учащихся сопровождаются показом слайдов презентации с четкими формулировками, определениями.

Историческая справка

(Две студентки: Тулаева Екатерина и Родькина Екатерина выступают с сообщениями о биографии Геогрга Канта и Леонарда Эйлера).

Георг Кантор (нем. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor) - немецкий математик. Родился 3 марта 1845 г., в Санкт-Петербурге в России. Он наиболее известен как создатель теории множеств, ставшей краеугольным камнем в математике. Кантор ввёл понятие взаимно-однозначного соответствия между элементами множеств, дал определения бесконечного и вполне-упорядоченного  множеств и доказал, что действительных чисел «больше», чем натуральных. Теорема Кантора, фактически, утверждает существование «бесконечности бесконечностей». Он определил понятия кардинальных и порядковых чисел и их арифметику. Его работа представляет большой философский интерес, о чём и сам Кантор прекрасно знал. Умер 6 января 1918 г. (72 года), в городе Галле, в Германии. (Слайд 5)

Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так:

Множество-совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое. Множество принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С,…, Z.

Объекты, из которых образовано множество, называются элементами.

Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c,…, z.

Виды множеств: Множество, не содержащее ни одного объекта, называются пустым. Множества бывают конечные и бесконечные. Приводят примеры.

Способы задания множеств: множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Отношения между множествами: Множество В является подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А. Пустое множество считают пожмножеством любого множества. Любое множество является подмножеством самого себя.

IV. Практикум решения упражнений

Понятие множества и элемента множества

Множество – совокупность объектов, __________________________________________________________________.

_____________, из которых образовано множество, называются элементами множества.

Обозначения некоторых числовых множеств:

N – множество _____________________ чисел;

Z – множество _____________________ чисел;

Q – множество ____________________ чисел;

I – множество _____________________ чисел

R – множество ____________________чисел.

Запишите на символическом языке следующее утверждение:

а) число 10 – натуральное ____________________

б) число – 7 не является натуральным________

в) число – 100 является целым______________

г) число 2,5 – не целое__________________________

Верно ли, что:

а) – 5N; б) -5Z; в) 2,45Q?

Виды множеств

Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества:

а) множество чисел, кратных 13;

б) множество делителей числа 15;

в) множество деревьев в лесу;

г) множество натуральных чисел;

д) множество рек в Ростовской области;

е) множество корней уравнения х + 3 = 11;

ж) множество решений неравенства х + 1

4. Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254; ________________________________

б) 8797; ________________________________

в) 11000; ________________________________

г) 555555________________________________

Даны множества: М = {5, 4, 6}, Р = {4, 5, 6}, Т = {5, 6, 7}, S = {4, 6}.

Какое из утверждений неверно?

а) М = Р б) Р ≠ S в) М ≠ Т г) Р = Т

Отношения между множествами

Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}. Поставьте вместо … знак включения ( или ) так, чтобы получилось верное утверждение:

а) А … D; б) А … В; в) С … А; г) С … В.

Даны три множества: А = {1, 2, 3, …, 37}, В = {2, 4, 6, 8, …}, С = {4, 8, 12, 16, …, 36}. Верно ли, что: а) А В; б) ВС; в) С А; г) С В?

Объединением произвольного конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые _____А или В.

Объединение множеств обозначается ________

Пересечением любого конечного или бесконечного множества множеств называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В _________________.

Пересечение множеств обозначается __________

Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите:

1) АUВ =_____________________

2) АUС =_____________________

3) СUВ =_____________________

Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите:

(АUВ)UС =_____________________

Даны множества: А – множество всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; …, 41}.

Найдите А∩В =______________________________

Активный метод релаксации «Земля, воздух, огонь и вода»
Цель – повысить уровень энергии в группе.
Численность – подгруппа.
Время – 5 минут
Проведение:
Преподаватель просит обучающихся по его команде изобразить одно из состояний – воздух, землю, огонь и воду.
Воздух

Студенты начинает дышать глубже, чем обычно. Они встают и делают глубокий вдох, а затем выдох. Каждый представляет, что его тело, словно большая губка, жадно впитывает кислород из воздуха. Все стараются услышать, как воздух входит в нос, почувствовать, как он наполняет грудь и плечи, руки до самых кончиков пальцев; как воздух струится в области головы, в лицо; воздух заполняет живот, область таза, бедра, колени и стремится дальше – к лодыжкам, ступням и кончикам пальцев.
Студенты делают несколько глубоких вдохов и выдохов. Можно предложить всем пару раз зевнуть. Сначала это получается скорее искусственно, но иногда после этого возникает настоящий зевок. Зевота – естественный способ компенсировать недостаток кислорода. (Зевание может использоваться и по-другому: вы можете на первой встрече предложить зевать сознательно, чтобы группа быстрее «взбодрилась»).
Земля.

Теперь студенты должны установить контакт с землей, «заземлиться» и почувствовать уверенность. Преподаватель вместе с обучающимися начинает сильно давить на пол, стоя на одном месте, можно топать ногами и даже пару раз подпрыгнуть верх. Можно потереть ногами пол, покрутиться на месте. Цель – по-новому ощутить свои ноги, которые находятся дальше всего от центра сознания, и благодаря этому телесному ощущению почувствовать большую стабильность и уверенность.
Огонь.

Студенты активно двигают руками, ногами, телом, изображая языки пламени. Преподаватель предлагает всем ощутить энергию и тепло в своем теле, когда они двигаются подобным образом.
Вода

Эта часть упражнения составляет контраст с предыдущей. Студенты просто представляют себе, что комната превращается в бассейн, и делают мягкие, свободные движения в «воде», следя за тем, чтобы двигались суставы – кисти рук, локти, плечи, бедра, колени.

Историческая справка

(Две студентки: Тулаева Екатерина и Родькина Екатерина выступают с сообщениями о биографии Геогрга Канта и Леонарда Эйлера).

Леонард Эйлер - швейцарский, немецкий и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих наук. Родился 15 апреля 1707 г., в городе Базель на северо-западе Швейцарии. Эйлер - автор более чем 850 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и другим областям. Он глубоко изучал медицину, химию, ботанику, воздухоплавание, теорию музыки, множество европейских и древних языков. Академик Петербургской, Берлинской, Туринской, Лиссабонской и Базельской академий наук, иностранный член Парижской академии наук.  Умер 18 сентября 1783 г. (76 лет), в городе Санкт-Петербурге, в России. (Слайд30)

Решите задачи:

  1. В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

  2. Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе?

  3. Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента.

  4. Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В?

  5. Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме?

  6. На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9 –го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

  7. Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?

  8. Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?

  9. В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион-3; цирк и стадион -1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

V. Контроль знаний и умений

Самый важный этап урока. Студенты на протяжении урока работают в рабочих тетрадях, выполняя предложенные задания. Частично в ходе урока производится проверка выполнения части упражнений и обсуждения способа решения, выявление пробелов и коррекция знаний. На заключительных этапах урока студентам предоставляется возможность реализовать в рамках самостоятельной работы, полученные на предыдущих этапах знания и умения, накопленный опыт. Отдельную часть заданий студентам предлагается выполнить самостоятельно, в конце урока дать оценку своей работе.

VI. Рефлексия деятельности на уроке

Оценка своего участия в работе на уроке по 10 бальной
шкале (по критериям самооценки).

САМООЦЕНКА

10 – хорошо знаю весь фактический материал, и участвовал в организации группы;
9 – хорошо  знаю свой вопрос, и участвовал в работе на уроке;
8 – хорошо знаю весь фактический материал;
7 – хорошо  знаю свой вопрос;
6 – знаю свой вопрос;
5 – знаю свой вопрос, но был пассивен;
4 – плохо знаю свой вопрос, но был активен в обсуждении других вопросов;
3 – плохо знаю свой вопрос, и был пассивен;
1,2 – не знаю свой вопрос и был пассивен.

Бланк рефлексивной оценки

Уважаемый студент! Для того, чтобы обучение приносило вам больше пользы, радости, здоровья, я прошу вас выразить свое мнение об этом занятии при помощи ответов на вопросы данной анкеты. Внимательно прочитайте  утверждения и предложенные варианты ответов, выберите наиболее подходящий и поставьте напротив него «+».  Заранее благодарю за искренние и точные ответы.

Вопросы анкеты

     

     

     

     

     

     

     

     

1. После занятия я чувствую себя

 

 

 

 

 

 

 

 

а) заряженным новой энергией

 

 

 

 

 

 

 

 

б) работоспособным, бодрым

 

 

 

 

 

 

 

 

в) самочувствие не изменилось

 

 

 

 

 

 

 

 

г) утомленным

 

 

 

 

 

 

 

 

д) подавленным

 

 

 

 

 

 

 

 

е) несколько возбужденным, взвинченным

 

 

 

 

 

 

 

 

ж) апатичным, сонливым.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. В конце занятия я испытал(а) состояние

 

 

 

 

 

 

 

 

а)  восхищения

 

 

 

 

 

 

 

 

б) благодарности

 

 

 

 

 

 

 

 

в) удовлетворения

 

 

 

 

 

 

 

 

г) впустую потраченного времени

 

 

 

 

 

 

 

 

д) скуки

 

 

 

 

 

 

 

 

е) раздражения

 

 

 

 

 

 

 

 

ж) гнева

 

 

 

 

 

 

 

 

3. После занятия мне захотелось

 

 

 

 

 

 

 

 

а) творить добро, совершать благородные поступки

 

 

 

 

 

 

 

 

б) изобретать что-то новое, сочинять

 

 

 

 

 

 

 

 

в) совершенствовать свои качества

 

 

 

 

 

 

 

 

г) самостоятельно пополнять свои знания

 

 

 

 

 

 

 

 

д) чтобы материал данной темы никогда не попал? мне на к.р., зачете, экзамене

 

 

 

 

 

 

 

 

е) никогда о нем не вспоминать

 

 

 

 

 

 

 

 

ж) поделиться с кем-нибудь о неприятных ощущениях от этого урока

 

 

 

 

 

 

 

 

Обсуждение со студентами, какой урок они считают более эффективным – обычный или электронный, на каком они достигли лучших результатов: больше узнали, больше решили.

VII. Заключение

Презентация – наиболее удачная форма подачи мультимедиа материала. Использование презентации на данном уроке позволяет провести обобщение изученного материала, демонстрировать способы решения задач с применением теории множеств, диаграмм Эйлера, показать поэтапное решение прикладных задач, преимущества использования графического способа решения.  Все, это вызывает интерес, активизирует память, обеспечивает более эффективное усвоение материала, дает возможность организовать интересную самостоятельную работу, развивает образное мышление и способствует закреплению учебного материала.
Урок проходит в быстром темпе, экономия во времени позволяет выполнить большой объем разнообразной работы: рассмотреть виды множеств, отношения между множествами (не иметь общих элементов, быть подмножеством, быть равными, иметь общие элементы), организовать работу учащихся на уровне, соответствующем уровню уже сформированных знаний.
Данный   электронный материал можно использовать и на уроках, и на внеурочных занятиях.

Подведение итогов занятия
- оценка степени реализации поставленных целей;
- оценка работы студентов;
- самооценка работы студентов в группах.

Домашнее задание.

М.С. Спирина, «Дискретная математика»

§§1.1.-1.2, с.14-20 (карточка с задачами).

Презентация по математике "Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера"

Презентация на тему: Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера

Скачать эту презентацию

Скачать эту презентацию

№ слайда 1 На языке мудрости ЗНАТЬ – это значит УМЕТЬ, а ПОНИМАТЬ – это значит ДЕЙСТВОВАТЬ. Описание слайда:

На языке мудрости ЗНАТЬ – это значит УМЕТЬ, а ПОНИМАТЬ – это значит ДЕЙСТВОВАТЬ.

№ слайда 2 Тема урока: Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера. Описание слайда:

Тема урока: Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера.

№ слайда 3 Цель урока: обобщить и систематизировать знания студентов по теме: «Множества. О Описание слайда:

Цель урока: обобщить и систематизировать знания студентов по теме: «Множества. Операции над множествами. Круги Эйлера.»

№ слайда 4 МНОЖЕСТВО ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА ВИДЫ МНОЖЕСТВ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ ОБЪЕДИНЕНИ Описание слайда:

МНОЖЕСТВО ЭЛЕМЕНТ МНОЖЕСТВА ВИДЫ МНОЖЕСТВ ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ МНОЖЕСТВАМИ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ НАХОДИТЬ ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ НАХОДИТЬ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ ИЗОБРАЖАТЬ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА-ВЕННА РЕШАТЬ ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИМЕЮЩИХСЯ ЗНАНИЙ

№ слайда 5 основатель теории множеств Георг Кантор (1845 -1918 гг.) – немецкий математик «М Описание слайда:

основатель теории множеств Георг Кантор (1845 -1918 гг.) – немецкий математик «Множество есть многое, мыслимое нами как единое»

№ слайда 6 Понятие теории множеств Понятие множества является одним из наиболее общих и наи Описание слайда:

Понятие теории множеств Понятие множества является одним из наиболее общих и наиболее важных математических понятий. Оно было введено в математику немецким ученым Георгом Кантором (1845-1918).Следуя Кантору, понятие "множество" можно определить так: Множество-совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое.

№ слайда 7 Множество – совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенн Описание слайда:

Множество – совокупность объектов, обладающих определенным свойством, объединенных в единое целое. Объекты, из которых образовано множество, называются элементами множества. Множества принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С, D,…, Z е в d а с z Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: а, b, c,…, z.

№ слайда 8 множество людей на Солнце множество прямых углов равностороннего треугольника мн Описание слайда:

множество людей на Солнце множество прямых углов равностороннего треугольника множество точек пересечения двух параллельных прямых Пустое множество-множество, не содержащее ни одного элемента.

№ слайда 9 КОЛЛЕКЦИЯ МАРОК НАБОР КАРАНДАШЕЙ СТАЯ ПТИЦ ЧАЙНЫЙ СЕРВИЗ БУКЕТ ЦВЕТОВ СТАДО КОРО Описание слайда:

КОЛЛЕКЦИЯ МАРОК НАБОР КАРАНДАШЕЙ СТАЯ ПТИЦ ЧАЙНЫЙ СЕРВИЗ БУКЕТ ЦВЕТОВ СТАДО КОРОВ

№ слайда 10 Множество четырехугольников Пространственные тела 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Описание слайда:

Множество четырехугольников Пространственные тела 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11… Квадраты чисел Цифры десятичной системы счисления 10, 12, 14, 16 … 96, 98 множество элемент Трапеция, параллелограмм, ромб, квадрат, прямоугольник Шар, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, октаэдр Натуральные числа 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 .. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Двузначные четные числа

№ слайда 11 Обозначения числовых множеств N – множество натуральных чисел; Z – множество цел Описание слайда:

Обозначения числовых множеств N – множество натуральных чисел; Z – множество целых чисел; Q – множество рациональных чисел; R – множество действительных чисел.

№ слайда 12 Обозначения числовых множеств N – множество натуральных чисел; Z – множество цел Описание слайда: № слайда 13 Стандартные обозначения Описание слайда:

Стандартные обозначения

№ слайда 14 Запишите множества букв слов КОНИ И КИНО ВИДЫ МНОЖЕСТВ Равные множества {К, О, Н Описание слайда:

Запишите множества букв слов КОНИ И КИНО ВИДЫ МНОЖЕСТВ Равные множества {К, О, Н, И} {К, И, Н, О}

№ слайда 15 А = {2; 3; 5; 7; 11; 13}; {х Описание слайда:

А = {2; 3; 5; 7; 11; 13}; {х | 5< х

№ слайда 16 {1; 4; 9; 16; 25; …}; {10; 20; 30; 40; 50; …}; ВИДЫ МНОЖЕСТВ Бесконечные множест Описание слайда:

{1; 4; 9; 16; 25; …}; {10; 20; 30; 40; 50; …}; ВИДЫ МНОЖЕСТВ Бесконечные множества

№ слайда 17 Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества: а) м Описание слайда:

Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества: а) множество чисел, кратных 13; б) множество делителей числа 15; в) множество деревьев в лесу; г) множество натуральных чисел; д) множество рек Ростовской области; е) множество корней уравнения х + 3 = 11; ж) множество решений неравенства х + 1 < 3.

№ слайда 18 Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число: а) 3254; б) 8797; Описание слайда:

Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число: а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555. Охарактеризуйте множество А: а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

№ слайда 19 Даны множества: М = {5, 4, 6}; Р = {4, 5, 6}; Т = {5, 6, 7}; S = {4, 6}. Какое и Описание слайда:

Даны множества: М = {5, 4, 6}; Р = {4, 5, 6}; Т = {5, 6, 7}; S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно? а) М = Р б) Р ≠ S в) М ≠ Т г) Р = Т

№ слайда 20 Отношения между множествами Описание слайда:

Отношения между множествами

№ слайда 21 Отношения между множествами Описание слайда: № слайда 22 Отношения между множествами Описание слайда: № слайда 23 Отношения между множествами Описание слайда: № слайда 24 ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ Описание слайда:

ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ

№ слайда 25 ОБЪЕДИНЕНИЕ МНОЖЕСТВ Описание слайда: № слайда 26 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ Описание слайда:

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ МНОЖЕСТВ

№ слайда 27 Даны множества: А = {2; 3; 8}; В = {2; 3; 8; 11}; С = {5; 11}. Найдите: 1) АUВ; Описание слайда:

Даны множества: А = {2; 3; 8}; В = {2; 3; 8; 11}; С = {5; 11}. Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ.

№ слайда 28 Даны множества: А = {a, b, c, d}; B = {c, d, e, f}; C = {c, e, g, k}. Найдите: ( Описание слайда:

Даны множества: А = {a, b, c, d}; B = {c, d, e, f}; C = {c, e, g, k}. Найдите: (АUВ)UС.

№ слайда 29 Даны множества: А – множество всех натуральных чисел, кратных 10; В = {1; 2; 3;… Описание слайда:

Даны множества: А – множество всех натуральных чисел, кратных 10; В = {1; 2; 3;…, 41}. Найдите А∩В.

№ слайда 30 k Решение задачи с помощью кругов Эйлера Леона рд Э йлер (1707-1783 гг.)  — швей Описание слайда:

k Решение задачи с помощью кругов Эйлера Леона рд Э йлер (1707-1783 гг.)  — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.

№ слайда 31 поют 17 танцуют 19 Всего 30 17+19=36, всего 30 36-30=6 6 11 13 В классе 30 челов Описание слайда:

поют 17 танцуют 19 Всего 30 17+19=36, всего 30 36-30=6 6 11 13 В классе 30 человек, каждый из которых поёт или танцует. Известно, что поют 17 человек, а танцевать умеют 19 человек. Сколько человек поёт и танцует одновременно?

№ слайда 32 Решение Пусть А - это множество учеников, умеющих петь. Количество элементов в н Описание слайда:

Решение Пусть А - это множество учеников, умеющих петь. Количество элементов в нём по условию равно n = 17. Пусть В - множество учеников, умеющих танцевать. Количество элементов в нём - m = 19. Множество совпадает со всем классом, т.к. каждый ученик в классе поёт или танцует. - это множество тех учеников класса, которые поют и танцуют одновременно. Пусть их количество равно k. Согласно формуле доказанной выше n + m- k = 17+ 19- k = 30 k = 6. Ответ: 6 учеников в классе поют и танцуют одновременно.

№ слайда 33 Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язы Описание слайда:

Каждый учащийся в классе изучает английский или французский язык. Английский язык изучают 25 учащихся, французский — 27 учащихся, а два языка — 18 учащихся. Сколько учащихся в классе? Ответ: в классе 34 ученика Английский 25 Немецкий 27 Только английский 25 – 18 = 7 Только немецкий 27 – 18 = 9 7 + 9 + 18 = 34 18 7 9

№ слайда 34 Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 эл Описание слайда:

Расположите 4 элемента в двух множествах так, чтобы в каждом из них было по 3 элемента

№ слайда 35 Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 э Описание слайда:

Множества А и В содержат соответственно 5 и 6 элементов, а множество А ∩ В – 2 элемента. Сколько элементов в множестве А U В? Объединение содержит 9 элементов

№ слайда 36 Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то Описание слайда:

Каждая семья, живущая в нашем доме, выписывает или газету, или журнал, или и то и другое вместе. 75 семей выписывают газету, а 27 семей выписывают журнал и лишь 13 семей выписывают и журнал, и газету. Сколько семей живет в нашем доме? * Всего: 14 + 13 + 62 =89

№ слайда 37 На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9-го класса выполнил норматив или Описание слайда:

На школьной спартакиаде каждый из 25 учеников 9-го класса выполнил норматив или по бегу, или по прыжкам в высоту. Оба норматива выполнили 7 человек, а 11 учеников выполнили норматив по бегу, но не выполнили норматив по прыжкам в высоту. Сколько учеников выполнили норматив: а) по бегу; б) по прыжкам в высоту; в) по прыжкам при условии, что не выполнен норматив по бегу?

№ слайда 38 Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки Описание слайда:

Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 – и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием? *

№ слайда 39 Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, по Описание слайда:

Каждый из учеников 9-го класса в зимние каникулы ровно два раза был в театре, посмотрев спектакли А, В или С. При этом спектакли А, В, С видели соответственно 25, 12 и 23 ученика. Сколько учеников в классе?

№ слайда 40 В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 Описание слайда:

В воскресенье 19 учеников нашего класса побывали в планетарии, 10 – в цирке и 6 – на стадионе. Планетарий и цирк посетили 5 учеников; планетарий и стадион - 3; цирк и стадион - 1. Сколько учеников в нашем классе, если никто не успел посетить все три места, а три ученика не посетили ни одного места?

№ слайда 41 САМООЦЕНКА 10 – хорошо знаю весь фактический материал, и участвовал в организаци Описание слайда:

САМООЦЕНКА 10 – хорошо знаю весь фактический материал, и участвовал в организации группы; 9 – хорошо  знаю свой вопрос, и участвовал в работе на уроке; 8 – хорошо знаю весь фактический материал; 7 – хорошо  знаю свой вопрос; 6 – знаю свой вопрос; 5 – знаю свой вопрос, но был пассивен; 4 – плохо знаю свой вопрос, но был активен в обсуждении других вопросов; 3 – плохо знаю свой вопрос, и был пассивен; 1,2 – не знаю свой вопрос, и был пассивен.  

№ слайда 42 Подведение итогов занятия - оценка степени реализации поставленных целей; - оцен Описание слайда:

Подведение итогов занятия - оценка степени реализации поставленных целей; - оценка работы студентов; - самооценка работы студентов в группах.

№ слайда 43 Домашнее задание М.С. Спирина, «Дискретная математика» §§1.1.-1.2, с.14-20. Описание слайда:

Домашнее задание М.С. Спирина, «Дискретная математика» §§1.1.-1.2, с.14-20.

№ слайда 44 Спасибо за работу на уроке, урок окончен! Описание слайда:

Спасибо за работу на уроке, урок окончен!

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *