Обозначение прямой в математике: Прямая и ее части – что такое в математике, правило

Содержание

точка, прямая, отрезок, луч, ломаная линия

В геометрии основными геометрическими фигурами являются точка и прямая. Для обозначения точек принято использовать прописные латинские буквы: A, B, C, D, E, F … . Для обозначения прямых используют строчные латинские буквы: a, b, c, d, e, f … . На рисунке ниже представлена прямая а, и несколько точек A, B, C, D.

Для изображения на рисунке прямой мы пользуемся линейкой, но мы изображаем не всю прямую, а только лишь её кусок. Так как прямая в нашем представлении простирается до бесконечности в обе стороны, то прямая есть бесконечна.

На рисунке представленном выше мы видим, что точки А и С расположены на прямой а . В таких случаях говорят, что точки А и С принадлежат прямой а. Либо говорят, что прямая проходит через точки А и С. При записи принадлежность точки к прямой обозначают специальным значком. А тот факт, что точка не принадлежит прямой, отмечают таким же значком, только зачеркнутым.

В нашем случае точки B и D не принадлежат прямой а.

Как уже отмечалось выше, на рисунке точки А и С принадлежат прямой а. Часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными точками называется отрезком . Другими словами, отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками.

В нашем случае мы имеем отрезок АB . Точки А и B называются концами отрезка. Для того, чтобы обозначить отрезок указывают его концы, в нашем случае АB. Одним из основных свойств принадлежности точек и прямых является следующее свойство : через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что эти две прямые пересекаются. На рисунке прямые a и b пересекаются в точке A. Прямые а и с не пересекаются.

Любые две прямые имеют только одну общую точку либо не имеют общих точек. Если предположить обратное, что две прямые имеют две общих точки, тогда через них проходили бы две прямые. А это невозможно, так как через две точки можно провести лишь одну прямую.

Несмотря на то что геометрия относится к числу точных наук, ученые не могут однозначно дать определение термину «прямая». В самом общем виде можно дать такое определение: «Прямая — это линия, путь вдоль которой равен расстоянию между двумя точками».

Что такое прямая в математике? Определение прямой в математике: прямая не имеет концов и может продолжаться в обе стороны до бесконечности.

К основным понятиям геометрии относятся точка, прямая и плоскость, они даются без определения, но определения других геометрических фигур даются через эти понятия. Плоскость, как и прямая, — это первичное понятие, не имеющее определения. Это утверждение устанавливается следующей аксиомой: если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей.

Задача: где прямая, луч, отрезок, кривая? Вершины ломаной(похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная. Задача: какая ломанная длиннее, а у какой больше вершин? Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной. Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

На уроках математики можно услышать следующее объяснение: математический отрезок имеет длину и концы. Отрезок в математике — это совокупность всех точек, лежащих на прямой между концами отрезка.

В дальнейшем будут определения для разных фигур кроме двух — точка и прямая. Значит иногда обозначить прямую можем и двумя большими латинскими буквами, например, прямая\(AB\), так как никакая другая прямая через эти две точки не может быть проведена. Символически записываем отрезок \(AB\).

Что такое точка в математике?

Теорема:Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. С. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. С. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой. Здесь собраны основные определения, теоремы, свойства фигур на плоскости.

Вектор с координатами точки называется нормальным вектором, он перпендикулярен прямой.

При систематическом изложении геометрии прямая линия обычно принимается за одно из исходных понятий, которое лишь косвенно определяется аксиомами геометрии.

4.Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или они параллельны. Лучом называют часть прямой линии, ограниченную с одной стороны. Отрезок, как и прямая линия, обозначается или одной буквой, или двумя. В последнем случае эти буквы указывают концы отрезка.

Мы рассмотрим каждую из тем, а в конце будут даны тесты по темам.

Точка в математике

Что такое точка в математике? Математическая точка не имеет размеров и обозначается заглавными латинскими буквами: A, B, C, D, F и т.д.

На рисунке можно видеть изображение точек A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Отрезок в математике

Что такое отрезок в математике? На уроках математики можно услышать следующее объяснение: математический отрезок имеет длину и концы. Отрезок в математике — это совокупность всех точек, лежащих на прямой между концами отрезка. Концы отрезка — две граничные точки.

На рисунке мы видим следующее: отрезки ,,,, и , а также две точки B и S.

Прямая в математике

Что такое прямая в математике? Определение прямой в математике: прямая не имеет концов и может продолжаться в обе стороны до бесконечности. Прямая в математике обозначается двумя любыми точками прямой. Для объяснения понятия прямой ученику можно сказать, что прямая — это отрезок, который не имеет двух концов.

На рисунке изображены две прямые: CD и EF.

Луч в математике

Что же такое луч? Определение луча в математике: луч — часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца. В названии луча присутствуют две буквы, например, DC. Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.

На рисунке изображены лучи: DC, KC, EF, MT, MS. Лучи KC и KD — один луч, т.к. у них общее начало.

Числовая прямая в математике

Определение числовой прямой в математике: прямая, точки которой отмечают числа, называют числовой прямой.

На рисунке изображена числовая прямая, а также луч OD и ED

Страница 1 из 3

§1. Контрольные вопросы
Вопрос 1. Приведите примеры геометрических фигур.
Ответ. Примеры геометрических фигур: треугольник, квадрат, окружность.

Вопрос 2. Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
Ответ. Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая.

Вопрос 3. Как обозначаются точки и прямые?
Ответ. Точки обозначаются прописными латинскими буквами: A, B, C, D, … . Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: a, b, c, d, … .
Прямую можно обозначать двумя точками, лежащими на ней. Например, прямую a на рисунке 4 можно обозначить AC, а прямую b можно обозначить BC.

Вопрос 4.

Сформулируйте основные свойства принадлежности точек и прямых.
Ответ. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Вопрос 5. Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках.
Ответ. Отрезком называется часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными её точками. Эти точки называются концами отрезка. Отрезок обозначается указанием его концов. Когда говорят или пишут: «отрезок AB», то подразумевают отрезок с концами в точках A и B.

Вопрос 6. Сформулируйте основное свойство расположения точек на прямой.
Ответ. Из трёх точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.
Вопрос 7. Сформулируйте основные свойства измерения отрезков.
Ответ. Каждый отрезок имеет определённую длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его точкой.


Вопрос 8. Что называется расстоянием между двумя данными точками?
Ответ. Длину отрезка AB называют расстоянием между точками A и B.
Вопрос 9. Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две полуплоскости?
Ответ. Разбиение плоскости на две полуплоскости обладает следующим свойством. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую. Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекает прямую.

В этой статье мы подробно остановимся на одном из первичных понятий геометрии – на понятии прямой линии на плоскости. Сначала определимся с основными терминами и обозначениями. Далее обсудим взаимное расположение прямой и точки, а также двух прямых на плоскости, приведем необходимые аксиомы. В заключении, рассмотрим способы задания прямой на плоскости и приведем графические иллюстрации.

Навигация по странице.

Прямая на плоскости — понятие.

Прежде чем дать понятие прямой на плоскости, следует четко представлять себе что же представляет собой плоскость. Представление о плоскости позволяет получить, к примеру, ровная поверхность стола или стены дома. Следует, однако, иметь в виду, что размеры стола ограничены, а плоскость простирается и за пределы этих границ в бесконечность (как будто у нас сколь угодно большой стол).

Если взять хорошо заточенный карандаш и дотронуться его стержнем до поверхности «стола», то мы получим изображение точки. Так мы получаем представление о точке на плоскости .

Теперь можно переходить и к понятию прямой линии на плоскости .

Положим на поверхность стола (на плоскость) лист чистой бумаги. Для того чтобы изобразить прямую линию, нам необходимо взять линейку и провести карандашом линию на сколько это позволяют сделать размеры используемой линейки и листа бумаги. Следует отметить, что таким способом мы получим лишь часть прямой. Прямую линию целиком, простирающуюся в бесконечность, мы можем только вообразить.

Взаимное расположение прямой и точки.

Начать следует с аксиомы: на каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.

Точки принято обозначать большими латинскими буквами, например, точки А и F . В свою очередь прямые линии обозначают малыми латинскими буквами, к примеру, прямые a и d .

Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости : либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку), либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).

Для обозначения принадлежности точки некоторой прямой используют символ «». К примеру, если точка А лежит на прямой а , то можно записать . Если точка А не принадлежит прямой а , то записывают .

Справедливо следующее утверждение: через любые две точки проходит единственная прямая.

Это утверждение является аксиомой и его следует принять как факт. К тому же, это достаточно очевидно: отмечаем две точки на бумаге, прикладываем к ним линейку и проводим прямую линию. Прямую, проходящую через две заданные точки (например, через точки А и В ), можно обозначать двумя этими буквами (в нашем случае прямая АВ или ВА ).

Следует понимать, что на прямой, заданной на плоскости, лежит бесконечно много различных точек, причем все эти точки лежат в одной плоскости. Это утверждение устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Множество всех точек, расположенных между двумя заданными на прямой точками, вместе с этими точками называют отрезком прямой или просто отрезком . Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. Отрезок обозначают двумя буквами, соответствующими точкам концов отрезка. К примеру, пусть точки А и В являются концами отрезка, тогда этот отрезок можно обозначить АВ или ВА . Обратите внимание, что такое обозначение отрезка совпадает с обозначением прямой. Чтобы избежать путаницы, рекомендуем к обозначению добавлять слово «отрезок» или «прямая».

Для краткой записи принадлежности и не принадлежности некоторой точки некоторому отрезку используют все те же символы и . Чтобы показать, что некоторый отрезок лежит или не лежит на прямой пользуются символами и соответственно. К примеру, если отрезок АВ принадлежит прямой а , можно кратко записать .

Следует также остановиться на случае, когда три различных точки принадлежат одной прямой. В этом случае одна, и только одна точка, лежит между двумя другими. Это утверждение является очередной аксиомой. Пусть точки А , В и С лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С . Тогда можно говорить, что точки А и С находятся по разные стороны от точки В . Также можно сказать, что точки В и С лежат по одну сторону то точки А , а точки А и В лежат по одну сторону от точки С .

Для полноты картины заметим, что любая точка прямой делит эту прямую на две части – два луча . Для этого случая дается аксиома: произвольная точка О , принадлежащая прямой, делит эту прямую на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону от точки О , а две любые точки разных лучей – по разные стороны от точки О .

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Сейчас ответим на вопрос: «Как могут располагаться две прямые на плоскости относительно друг друга»?

Во-первых, две прямые на плоскости могут совпадать .

Это возможно в том случае, когда прямые имеют по крайней мере две общие точки. Действительно, в силу аксиомы, озвученной в предыдущем пункте, через две точки проходит единственная прямая. Иными словами, если через две заданные точки проходят две прямые, то они совпадают.

Во-вторых, две прямые на плоскости могут пересекаться .

В этом случае прямые имеют одну общую точку, которую называют точкой пересечения прямых. Пересечение прямых обозначают символом «», к примеру, запись означает, что прямые а и b пересекаются в точке М . Пересекающиеся прямые приводят нас к понятию угла между пересекающимися прямыми . Отдельно стоит рассмотреть расположение прямых на плоскости, когда угол между ними равен девяноста градусам. В этом случае прямые называются перпендикулярными (рекомендуем статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых). Если прямая a перпендикулярна прямой b , то можно использовать краткую запись .

В-третьих, две прямые на плоскости могут быть параллельными.

Прямую линию на плоскости с практической точки зрения удобно рассматривать вместе с векторами. Особое значение имеют ненулевые векторы, лежащие на данной прямой или на любой из параллельных прямых, их называют направляющими векторами прямой . В статье направляющий вектор прямой на плоскости даны примеры направляющих векторов и показаны варианты их использования при решении задач.

Также следует обратить внимание на ненулевые векторы, лежащие на любой из прямых, перпендикулярных данной. Такие векторы называют нормальными векторами прямой . О применении нормальных векторов прямой рассказано в статье нормальный вектор прямой на плоскости .

Когда на плоскости даны три и более прямых линии, то возникает множество различных вариантов их взаимного расположения. Все прямые могут быть параллельными, в противном случае некоторые или все из них пересекаются. При этом все прямые могут пересекаться в единственной точке (смотрите статью пучок прямых), а могут иметь различные точки пересечения.

Не будем подробно останавливаться на этом, а приведем без доказательства несколько примечательных и очень часто используемых фактов:

  • если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой;
  • если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой;
  • если на плоскости некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую.

Способы задания прямой на плоскости.

Сейчас мы перечислим основные способы, которыми можно задать конкретную прямую на плоскости. Это знание очень полезно с практической точки зрения, так как на нем основывается решение очень многих примеров и задач.

Во-первых, прямую можно задать, указав две точки на плоскости.

Действительно, из аксиомы, рассмотренной в первом пункте этой статьи, мы знаем, что через две точки проходит прямая, и притом только одна.

Если в прямоугольной системе координат на плоскости указаны координаты двух несовпадающих точек, то есть возможность записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .


Во-вторых, прямую можно задать, указав точку, через которую она проходит, и прямую, которой она параллельна. Этот способ справедлив, так как через данную точку плоскости проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Доказательство этого факта проводилось на уроках геометрии в средней школе.

Если прямую на плоскости задать таким способом относительно введенной прямоугольной декартовой системы координат, то есть возможность составить ее уравнение. Об этом написано в статье уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой .


В-третьих, прямую можно задать, если указать точку, через которую она проходит, и ее направляющий вектор.

Если прямая линия задана в прямоугольной системе координат таким способом, то легко составить ее каноническое уравнение прямой на плоскости и параметрические уравнения прямой на плоскости .


Четвертый способ задания прямой заключается в том, что следует указать точку, через которую она проходит, и прямую, которой она перпендикулярна. Действительно, через заданную точку плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная данной прямой. Оставим этот факт без доказательства.


Наконец, прямую на плоскости можно задать, указав точку, через которую она проходит, и нормальный вектор прямой.

Если известны координаты точки, лежащей на заданной прямой, и координаты нормального вектора прямой, то есть возможность записать общее уравнение прямой .


Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Урок математики в 1 классе «Прямая и ее обозначение».

Этапы урока

Ход урока

УУД

I.              Оргмомент.

Мотивация к деятельности.

Прозвенел звонок весёлый.

Все готовы?  Всё готово?

Мы, сейчас, не отдыхаем,

Мы, работать начинаем.

— Ребята, мы с вами живём в 21 веке. Вы, будущее нашей Родины-России. Это вам придётся строить дома и мосты, конструировать новые самолёты, корабли, заниматься наукой, техникой, искусством.

— Поэтому сейчас вам просто необходимо учиться, получать много нужных и полезных знаний…..

— Вы согласны?

Открывать секреты математики я для вас всегда готова.

Но на уроке будь готов сам узнать математический  секрет.

-На урок к нам пришел наш друг Незнайка вместе со своим другом  Карандашом. Почему именно эти герои, вы мне ответите в конце урока.

Коммуникативные УУ

Договариваться и приходить к общему решению в совместной деятельности.

Слушать и слышать других, быть готовым корректировать свою точку зрения.

 

II. Актуализация знаний и фиксация индивидуального затруднения в деятельности.

-Начнем урок с небольшой разминки:

Сколько носов у трех котов?…..

Сколько ушей у двух мышей?……

Какая цифра спряталась в слове “семь-я”?……

Сколько пальцев на одной руке?. …..

Какой сегодня день недели?……

Что бывает раньше: утро или вечер?….

-Сколько углов и сторон у треугольника?

-Как называется фигура,у которой все стороны равны?

(На доске изображено  2 множества фигур)

-Какое множество вы видите?(линии)

-Какие множества можно выделить из множества линий?(кривые,прямые)

-Как сравнить множества кривых и прямых линий? (прямых5,кривых-4)

-Что вы знаете о прямых линиях?

-Все ли мы знаем о них?

-А чему бы вы хотели научиться на уроке?(распознавать,называть,чертить)

 

— Откройте учебник на с.50,прочитайте тему урока.

-Чему мы будем учиться сегодня на уроке? (чертить прямые линии с помощью линейки, обозначать прямые линии)

«Я рисую

Очень ровную, простую

Всем заметную черту.

Как фигуру назову?

Не спеши, а рассуждай

И ответ скорее дай. .» (Линия)

А чтобы линия была прямая ,без чего мы не сможем обой-

тись?

Линию прямую, ну-ка,

Сам нарисовать сумей-ка!

Это сложная наука! Пригодится здесь……….линейка.

Если ты его отточишь —

Нарисуешь все, что хочешь!

Солнце, море, горы, пляж.

Что же это? (Карандаш)

Что же понадобится для работы на уроке?

Регулятивные УУД

Высказывать предположения на основе наблюдений.

Познавательные УУД Анализировать, сравнивать, делать выводы. Владеть приёмами отбора и систематизации материала.

 

III. Открытие нового знания. Построение проекта выхода из затруднения.

-Электронное пособие «Прямая и 2 точки»

-Работа в рабочей тетради:(я на доске):

-Найди точку А и проведи через нее прямую линию( линейку плотно прижимаем к тетради и придерживая ее за середину левой рукой, правой чертим)

— Сколько прямых линий можно провести через 1 точку(много). Давайте их проведем.

-Прочитайте вывод №2 в учебнике.

·                              -Отметь в тетради точки Б и О.

-Можно ли через них провести прямую?

-Сколько прямых линий можно провести через 2 точки? (1) Проведите.

-Какой вывод можно сделать? (№ 3)

-Как обозначаются в математике прямые линии ?(большими печатными буквами)

-У прямой линии есть начало и конец?

Хоть куда ее веди,

Это линия такая,

Без конца и без начала,

Называется… (прямая)

·                    Сделайте вывод:

·                    Физминутка

Познавательные УУД Анализировать, сравнивать, делать выводы. Владеть приёмами отбора и систематизации материала.

Преобразовывать информацию из одной формы в другую.

 

IV.Первичное закрепление.

 

-Работа в печатной тетради стр. 38 №  1- (я на доске)

-Вывод: прямую линию можно назвать АБ или БА. Прямую обозначаем большими буквами алфавита. Через 2 точки можно провести только 1 прямую линию.

-Электронное пособие (закрепление)

 

Познавательные УУД

Анализировать, сравнивать, делать выводы. Преобразовывать информацию из одной формы в другую.

Личностные результаты                                      

Стремиться к  самосовершенствованию.

Коммуникативные УУД  Осуществлять речевой самоконтроль в процессе речевой деятельности.

V. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

 

-Работа в печатной тетради  №2  (работа в паре)

Проверка по эталону: ЕМ,ЕК,ДК

 (на доске)

 

Вывод: через 1 точку можно провести много прямых линий.

 

-Электронное пособие (проверочная работа)

 

Регулятивные УУД

Соотносить цели и результаты своей деятельности.

Вырабатывать критерии оценки и определять степень успешности работы.

Познавательные УУД

 Задавать вопросы.

Коммуникативные УУД        

Владеть монологической речью.

Адекватно использовать речевые средства для решения коммуникативных задач.

 

VI. Включение в систему знаний .

Учебник № 4,5,6 (устно).

Раб.тетрадь № 3,5,4 (что вы узнали о цифрах 1,2.

Самооценка правильности и аккуратности задания -смайлик нарисуй.

VII. Рефлексия учебной деятельности на уроке.                      

 

-Что нового узнали на уроке? Какие секреты узнали?

— С помощью какого инструмента можно чертить прямую линию?

-Сколько прямых можно провести через 1,2 точки?

-Как обозначается прямая линия?

-Кто доволен своей работой?

-Почему героями урока были Незнайка и Карандаш?

-Чему Незнайка у нас научился?

— Чему научил нас Карандаш?

-Нарисуй в тетради на полях круг и раскрась его нужным цветом:

Зеленый-тема раскрыта,все понятно

желтый-остались вопросы

красный-не удалось разобраться в теме.

Отрезок — что это такое

Обновлено 24 июля 2021 Просмотров: 29 886 Автор: Дмитрий Петров
  1. Отрезок — это…
  2. Разница между ним, лучом и прямой
  3. Вектор
  4. Ломаная линия
  5. Отрезок времени

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru. Одним из понятий геометрии, с которым знакомятся еще в начальной школе, является отрезок. Уйма задач по математике и геометрии строится на понятиях отрезка и прямой.

Понимание, что такое отрезок, поможет решать всевозможные задачи и примеры на уроках математики как в школе, так и в высших учебных заведениях.

Отрезок — это геометрическая фигура

Согласно определению в словаре, отрезком называют часть прямой, ограниченную двумя точками, находящимися на ней. Именно по обозначениям этих точек и дается название отрезка.

На рисунке, изображенном ниже, показан отрезок AB. Точки A и B являются концами отрезка. Длиной отрезка называют расстояние между его концами.

В математике принято обозначать точки, и соответственно отрезки, большими буквами латинского алфавита. Если нужно нарисовать отрезок, чаще всего его изображают без прямой, а лишь от одного конца до другого.

Также можно сказать, что отрезок — это совокупность всех точек, которые лежат на одной прямой и находятся между двумя заданными точками, которые являются концами данного отрезка.

Если на отрезке между его концами отметить еще одну точку, она разделит данный отрезок на два. Длину отрезка АВ можно посчитать, просуммировав длины отрезков АС и СВ.

Разница между отрезком, лучом и прямой

Школьники иногда путают понятия прямой, луча и отрезка. И вправду, эти понятия очень схожи между собой, однако имеют принципиальное различие:

  1. Прямой называется линия, которая не искривляется, а также не имеет начала и конца.
  2. Луч — это часть прямой, ограниченная одной точкой. Он имеет начало и не имеет конца.
  3. Отрезок ограничивается двумя точками. Он имеет и начало, и конец.

Точка, находящаяся на прямой, делит ее на два луча. Количество же отрезков на одной прямой может быть бесконечным.

Чтобы различать эти фигуры на рисунке, в начале и конце рисуемой линии ставятся или не ставятся точки. Рисуя луч, точка ставится в одном конце, а изображая отрезок — в обоих концах. Прямая не имеет концов, поэтому точки в конце линии не ставятся.

Направленный отрезок — это вектор

Отрезки бывают двух видов:

  1. Ненаправленные.
  2. Направленные.

Для ненаправленных отрезков, АВ и ВА — одинаковые отрезки, так как направление не имеет значения.

Если же говорить о направленных отрезках, порядок перечисления его концов имеет решающее значение. В таком случае, АВ и ВА — разные отрезки, так как они противоположно направленные.

Направленные отрезки называются векторами. Векторы могут обозначаться как двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелочкой над ними, так и одной маленькой буквой со стрелочкой.

Модулем вектора называется длина направленного отрезка. Обозначается как АВ. Модули векторов АВ и ВА равны.

Векторы часто рассматривают в системе координат. Модуль вектора равен квадратному корню суммы квадратов координат концов вектора.

Коллинеарными векторами называются те, что лежат на одной или на параллельных прямых.

Ломаная линия — это множество соединенных отрезков

Ломаная линия состоит из множества отрезков, которые называются ее звеньями. Эти отрезки соединены друг с другом своими концами и не расположены под углом 180°.

Вершинами ломаной являются следующие точки:

  1. Точка, с которой началась ломаная.
  2. Точка, которой ломаная закончилась.
  3. Точки, в которых соединяются смежные звенья (отрезки ломаной).

Число вершин ломаной всегда на один больше, чем количество ее звеньев. Обозначается ломаная перечислением всех ее вершин начиная с одного конца и заканчивая другим.

Например, ломаная ABCDEF состоит из отрезков AB, BC, CD, DE и EF и вершин A, B, C, D, E и F. Звенья AB и BC являются смежными, так как имеют общий конец — точку В. Длина ломаной вычисляется как сумма длин всех ее звеньев.

Любая замкнутая ломаная является геометрической фигурой — многоугольником.

Сумма углов многоугольника кратна 180° и вычисляется по следующей формуле 180*(n-2), где n — количество углов или отрезков, составляющих данную фигуру.

Отрезок времени

Интересно, что слово отрезок применимо не только к геометрическим понятиям, но и как временной термин.

Отрезком времени называют период между двумя событиями, датами. Он может измеряться как секундами или минутами, так и годами или даже десятилетиями.

Время в целом в таком случае определяется как временная прямая.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Здравствуйте, уважаемые читатели блога сайт. Одним из понятий геометрии, с которым знакомятся еще в начальной школе, является отрезок. Уйма задач по математике и геометрии строится на понятиях отрезка и прямой.

Понимание, что такое отрезок, поможет решать всевозможные задачи и примеры на уроках математики как в школе, так и в высших учебных заведениях.

Отрезок — это геометрическая фигура

Согласно определению в словаре, отрезком называют часть прямой , ограниченную двумя точками, находящимися на ней. Именно по обозначениям этих точек и дается название отрезка.

На рисунке, изображенном ниже, показан отрезок AB. Точки A и B являются концами отрезка. Длиной отрезка называют расстояние между его концами.

В математике принято обозначать точки, и соответственно отрезки, большими буквами латинского алфавита. Если нужно нарисовать отрезок, чаще всего его изображают без прямой, а лишь от одного конца до другого.

Также можно сказать, что отрезок — это совокупность всех точек , которые лежат на одной прямой и находятся между двумя заданными точками, которые являются концами данного отрезка.

Если на отрезке между его концами отметить еще одну точку, она разделит данный отрезок на два. Длину отрезка АВ можно посчитать, просуммировав длины отрезков АС и СВ.

Разница между отрезком, лучом и прямой


Школьники иногда путают понятия прямой, луча и отрезка. И вправду, эти понятия очень схожи между собой, однако имеют принципиальное различие:

  1. Прямой называется линия, которая не искривляется, а также не имеет начала и конца.
  2. Луч — это часть прямой, ограниченная одной точкой. Он имеет начало и не имеет конца.
  3. ограничивается двумя точками. Он имеет и начало, и конец.

Точка, находящаяся на прямой, делит ее на два луча. Количество же отрезков на одной прямой может быть бесконечным.

Чтобы различать эти фигуры на рисунке, в начале и конце рисуемой линии ставятся или не ставятся точки. Рисуя луч, точка ставится в одном конце, а изображая отрезок — в обоих концах. Прямая не имеет концов, поэтому точки в конце линии не ставятся.

Направленный отрезок — это вектор

Отрезки бывают двух видов:

  1. Ненаправленные.
  2. Направленные.

Для ненаправленных отрезков, АВ и ВА — одинаковые отрезки, так как направление не имеет значения.

Если же говорить о направленных отрезках, порядок перечисления его концов имеет решающее значение. В таком случае, АВ ➜ и ВА ➜ — разные отрезки, так как они противоположно направленные.

Направленные отрезки называются векторами . Векторы могут обозначаться как двумя заглавными буквами латинского алфавита со стрелочкой над ними, так и одной маленькой буквой со стрелочкой.

Модулем вектора называется длина направленного отрезка. Обозначается как АВ ➜ . Модули векторов АВ ➜ и ВА ➜ равны.

Векторы часто рассматривают в системе координат. Модуль вектора равен квадратному корню суммы квадратов координат концов вектора.

Коллинеарными векторами называются те, что лежат на одной или на параллельных прямых.

Ломаная линия — это множество соединенных отрезков


Ломаная линия состоит из множества отрезков, которые называются ее звеньями. Эти отрезки соединены друг с другом своими концами и не расположены под углом 180°.

Вершинами ломаной являются следующие точки:

  1. Точка, с которой началась ломаная.
  2. Точка, которой ломаная закончилась.
  3. Точки, в которых соединяются смежные звенья (отрезки ломаной).

Число вершин ломаной всегда на один больше, чем количество ее звеньев. Обозначается ломаная перечислением всех ее вершин начиная с одного конца и заканчивая другим.

Например, ломаная ABCDEF состоит из отрезков AB, BC, CD, DE и EF и вершин A, B, C, D, E и F. Звенья AB и BC являются смежными, так как имеют общий конец — точку В. Длина ломаной вычисляется как сумма длин всех ее звеньев.

Любая замкнутая ломаная является геометрической фигурой — многоугольником.

Сумма углов многоугольника кратна 180° и вычисляется по следующей формуле 180*(n-2), где n — количество углов или отрезков, составляющих данную фигуру.

Отрезок времени

Интересно, что слово отрезок применимо не только к геометрическим понятиям, но и как временной термин.

Отрезком времени называют период между двумя событиями, датами. Он может измеряться как секундами или минутами, так и годами или даже десятилетиями.

Время в целом в таком случае определяется как временная прямая.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога сайт

Вам может быть интересно

Биссектриса — это луч разрезающий угол пополам, а также отрезок в треугольнике обладающий рядом свойств Радиус — это важнейший элемент окружности Медиана — это золотое сечение треугольника Трапеция – это стол, который стал геометрической фигурой Средняя линия трапеции Прямоугольник — это одна из основ геометрии Диаметр — это золотое сечение окружности Окружность — это базовая фигура геометрии Ромб – между параллелограммом и квадратом Что такое постулат — просто о сложном Что такое тангенс угла и как его найти Длина окружности

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса.

В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C
A B C
точка 1, точка 2, точка 3
1 2 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки «А» и предложить ребёнку провести линию через две точки «А». Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c
a b c

Линия может быть

  1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
  2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены
замкнутые линии
разомкнутые линии
Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.
  1. самопересекающейся
  2. без самопересечений
самопересекающиеся линии
линии без самопересечений
  1. прямой
  2. ломанной
  3. кривой
прямые линии
ломанные линии
кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a
a
прямая линия AB
B A

Прямые могут быть

  1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
    • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
  2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.
параллельные линии
пересекающиеся линии
перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a
a
луч AB
B A

Лучи совпадают, если

  1. расположены на одной и той же прямой,
  2. начинаются в одной точке,
  3. направлены в одну сторону
лучи AB и AC совпадают
лучи CB и CA совпадают
C B A

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину.

Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки
B A
прямая линия AB
B A

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB
B A

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE
вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E
звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE
звено AB и звено BC являются смежными
звено BC и звено CD являются смежными
звено CD и звено DE являются смежными
A B C D E 64 62 127 52

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: «пойти на все четыре стороны», «бежать в сторону дома», «с какой стороны стола сядешь?») — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF
многоугольник ABCDEF
вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F
вершина A и вершина B являются соседними
вершина B и вершина C являются соседними
вершина C и вершина D являются соседними
вершина D и вершина E являются соседними
вершина E и вершина F являются соседними
вершина F и вершина A являются соседними
сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF
сторона AB и сторона BC являются смежными
сторона BC и сторона CD являются смежными
сторона CD и сторона DE являются смежными
сторона DE и сторона EF являются смежными
сторона EF и сторона FA являются смежными
A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Слово отрезок мы слышим, как правило, когда речь идет о геометрии или математическом анализе. И в той, и в другой области данное слово обозначает весьма схожие понятия, а именно часть прямой, которая ограничена двумя точками.

Отрезок в быту

Конечно, слово «отрезок» нам приходится слышать не только при обсуждении математических вопросов, применяется оно и в повседневной речи. Так что такое отрезок в бытовом смысле этого слова? Как правило, произнося слово «отрезок», человек имеет в виду кусочек того или иного материала, который нужно от чего-то отрезать. Например, нам может потребоваться отрезок ткани, отрезок скотча, отрезок ленты и много чего еще.

Отрезок в математике

Как мы уже говорили выше, в математике отрезок — это часть прямой, ограниченной двумя точками, однако иногда можно встретить и такой термин — множество чисел или точек на прямой между двумя числами или точками. Он звучит гораздо более научно и сложно, однако, если подумать, и то, и другое определения подразумевают одно и то же.

Другие значения

Слово «отрезок» произносят и тогда, когда хотят обозначить прохождение определенного этапа, например, «отрезок пути» или «отрезок времени». Вам, наверняка, приходилось видеть такие фразы в книгах.

Кроме того, отрезком после отмены крепостного права в России назывались земельные участки, которые захватывали помещики у крестьян.

Вот такие определения у слова «отрезок». Узнавайте значения новых слов в разделе .

Прямая

Понятие прямой, также как и понятие точки является основными понятиями геометрии. Как известно основные понятия не определяется. Это не является и исключением для понятия прямой. Поэтому рассмотрим суть этого понятия через его построение.

Возьмем линейку и, не отрывая карандаша, проведем линию произвольной длины (рис. 1).

Полученную линию мы и будем называть прямой . Однако тут необходимо отметить, что это не вся прямая, а только её часть. Всю же прямую построить не имеется возможным, она является бесконечной на обоих своих концах.

Прямые будем обозначать маленькой латинской буквой, либо двумя её точками в круглых скобках (рис. 2).

Понятия прямой и точки связаны тремя аксиомами геометрии:

Аксиома 1: Для каждой произвольной прямой существует как минимум две точки, которые на ней лежат.

Аксиома 2: Можно найти как минимум три точки, которые не будут лежать на одной и той же прямой.

Аксиома 3: Через $2$ произвольные точки всегда проходит прямая, причем эта прямая единственна.

Для двух прямых актуально их взаимное расположение. Возможны три случая:

  1. Две прямые совпадают. В этом случае каждая точка одной будет также и точкой другой прямой.
  2. Две прямые пересекаются. В этом случае только какая-то одна точка из одной прямой будет также принадлежать и другой прямой.
  3. Две прямые параллельны. В этом случае у каждой из этих прямых свой набор различных друг от друга точек.

В этой статье мы не будем подробно останавливаться на этих понятиях.

Отрезок

Пусть нам дана произвольная прямая и две точки, принадлежащие ей. Тогда

Определение 1

Отрезком будет называться часть прямой, которая ограничена двумя ее произвольными различными точками.

Определение 2

Точки, которыми ограничен отрезок в рамках определения 1 называются концами этого отрезка.

Отрезки будем обозначать двумя её точками концов в квадратных скобках (рис. 3).

Сравнение отрезков

Рассмотрим два произвольных отрезка. Очевидно, что они могут быть либо равными, либо неравными. Чтобы разобраться в этом, нам нужна следующая аксиома геометрии.

Аксиома 4: Если оба конца двух различных отрезков совпадут при их наложении, то такие отрезки будут равными.

Итак, для сравнения выбранных нами отрезков (обозначим их отрезок 1 и отрезок 2) наложим конец отрезка 1 на конец отрезка 2, так, чтобы, отрезки оставались по одну сторону от этих концов. После такого наложения возможны два следующих случая:

Длина отрезка

Помимо сравнения одних отрезков с другими также часто необходимо измерение отрезков. Измерить отрезок означает найти его длину. Для этого необходимо выбрать какой-то «эталонный» отрезок, который мы будем принимать за единицу (к примеру отрезок, длина которого равняется 1 сантиметру). После выбора такого отрезка мы проводим с ним сравнение отрезков, длину которого нужно найти. Рассмотрим пример.

Пример 1

Найти длину следующего отрезка

если следующий отрезок равняется 1

Для его измерения возьмем за эталон отрезок $$. Будем откладывать его на отрезок $$. Получим:

Ответ: $6$ см.

Понятие длины отрезка связаны со следующими аксиомами геометрии:

Аксиома 5: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, длина любого отрезка будет положительна.

Аксиома 6: Выбрав определенную единицу измерения отрезков, мы можем для любого положительного числа найти отрезок, у которого длина равняется данному числу.

После определения длины отрезков у нас появляется второй способ для сравнения отрезков. Если при одном и том же выборе единицы длины отрезок $1$ и отрезок $2$ будут иметь одинаковую длину, то такие отрезки будут называться равными. Если же, без ограничения общности, отрезок 1 будет иметь длину по числовому значению меньше длины отрезка $2$, то отрезок $1$ будет меньше отрезка $2$.

Самым простым способом измерения длины отрезков является измерение, с помощью линейки.

Пример 2

Записать длины следующих отрезков:

Измерим их с помощью линейки:

  1. $4$ см.
  2. $10$ см.
  3. $5$ см.
  4. $8$ см.

точка, прямая, отрезок, луч, ломаная линия

Точка — это абстрактный объект, который не имеет измерительных характеристик: ни высоты, ни длины, ни радиуса. В рамках задачи важно только его местоположение

Точка обозначается цифрой или заглавной (большой) латинской буквой. Несколько точек — разными цифрами или разными буквами, чтобы их можно было различать

точка A, точка B, точка C
A B C
точка 1, точка 2, точка 3
1 2 3

Можно нарисовать на листке бумаги три точки «А» и предложить ребёнку провести линию через две точки «А». Но как понять через какие? A A A

Линия — это множество точек. У неё измеряют только длину. Ширины и толщины она не имеет

Обозначается строчными (маленькими) латинскими буквами

линия a, линия b, линия c
a b c

Линия может быть

  1. замкнутой, если её начало и конец находятся в одной точке,
  2. разомкнутой, если её начало и конец не соединены
замкнутые линии
разомкнутые линии
Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб и вернулся обратно в квартиру. Какая линия получилась? Правильно, замкнутая. Ты вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб, зашёл в подъезд и разговорился с соседом. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку. Ты вышел из квартиры, купил в магазине хлеб. Какая линия получилась? Разомкнутая. Ты не вернулся в исходную точку.
  1. самопересекающейся
  2. без самопересечений
самопересекающиеся линии
линии без самопересечений
  1. прямой
  2. ломанной
  3. кривой
прямые линии
ломанные линии
кривые линии

Прямая линия — это линия которая не искривляется, не имеет ни начала, ни конца, её можно бесконечно продолжать в обе стороны

Даже когда виден небольшой участок прямой, предполагается, что она бесконечно продолжается в обе стороны

Обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами — точками, лежащими на прямой

прямая линия a
a
прямая линия AB
B A

Прямые могут быть

  1. пересекающимися, если имеют общую точку. Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
    • перпендикулярными, если пересекаются под прямым углом (90°).
  2. параллельными, если не пересекаются, не имеют общей точки.
параллельные линии
пересекающиеся линии
перпендикулярные линии

Луч — это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца, её можно бесконечно продолжать только в одну сторону

У луча света на картинке начальной точкой является солнце

солнышко

Точка разделяет прямую на две части — два луча A A

Луч обозначается строчной (маленькой) латинской буквой. Или двумя заглавными (большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается луч, а вторая — точка, лежащая на луче

луч a
a
луч AB
B A

Лучи совпадают, если

  1. расположены на одной и той же прямой,
  2. начинаются в одной точке,
  3. направлены в одну сторону
лучи AB и AC совпадают
лучи CB и CA совпадают
C B A

Отрезок — это часть прямой, которая ограничена двумя точками, то есть она имеет и начало и конец, а значит можно измерить её длину.

Длина отрезка — это расстояние между его начальной и конечной точками

Через одну точку можно провести любое число линий, в том числе прямых

Через две точки — неограниченное количество кривых, но только одну прямую

кривые линии, проходящие через две точки
B A
прямая линия AB
B A

От прямой «отрезали» кусочек и остался отрезок. Из примера выше видно, что его длина — наикратчайшее расстояние между двумя точками. ✂ B A ✂

Отрезок обозначается двумя заглавными(большими) латинскими буквами, где первая — это точка, с которой начинается отрезок, а вторая — точка, которой заканчивается отрезок

отрезок AB
B A

Задача: где прямая , луч , отрезок , кривая ?

Ломанная линия — это линия, состоящая из последовательно соединённых отрезков не под углом 180°

Длинный отрезок «поломали» на несколько коротких

Звенья ломаной (похожи на звенья цепи) — это отрезки, из которых состоит ломанная. Смежные звенья — это звенья, у которых конец одного звена является началом другого. Смежные звенья не должны лежать на одной прямой.

Вершины ломаной (похожи на вершины гор) — это точка, с которой начинается ломанная, точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную, точка, которой заканчивается ломанная.

Обозначается ломанная перечислением всех её вершин.

ломанная линия ABCDE
вершина ломанной A, вершина ломанной B, вершина ломанной C, вершина ломанной D, вершина ломанной E
звено ломанной AB, звено ломанной BC, звено ломанной CD, звено ломанной DE
звено AB и звено BC являются смежными
звено BC и звено CD являются смежными
звено CD и звено DE являются смежными
A B C D E 64 62 127 52

Длина ломанной — это сумма длин её звеньев: ABCDE = AB + BC + CD + DE = 64 + 62 + 127 + 52 = 305

Задача: какая ломанная длиннее , а у какой больше вершин ? У первой линии все звенья одинаковой длины, а именно по 13см. У второй линии все звенья одинаковой длины, а именно по 49см. У третьей линии все звенья одинаковой длины, а именно по 41см.

Многоугольник — это замкнутая ломанная линия

Стороны многоугольника (помогут запомнить выражения: «пойти на все четыре стороны», «бежать в сторону дома», «с какой стороны стола сядешь?») — это звенья ломанной. Смежные стороны многоугольника — это смежные звенья ломанной.

Вершины многоугольника — это вершины ломанной. Соседние вершины — это точки концов одной стороны многоугольника.

Обозначается многоугольник перечислением всех его вершин.

замкнутая ломанная линия, не имеющая самопересечения, ABCDEF
многоугольник ABCDEF
вершина многоугольника A, вершина многоугольника B, вершина многоугольника C, вершина многоугольника D, вершина многоугольника E, вершина многоугольника F
вершина A и вершина B являются соседними
вершина B и вершина C являются соседними
вершина C и вершина D являются соседними
вершина D и вершина E являются соседними
вершина E и вершина F являются соседними
вершина F и вершина A являются соседними
сторона многоугольника AB, сторона многоугольника BC, сторона многоугольника CD, сторона многоугольника DE, сторона многоугольника EF
сторона AB и сторона BC являются смежными
сторона BC и сторона CD являются смежными
сторона CD и сторона DE являются смежными
сторона DE и сторона EF являются смежными
сторона EF и сторона FA являются смежными
A B C D E F 120 60 58 122 98 141

Периметр многоугольника — это длина ломанной: P = AB + BC + CD + DE + EF + FA = 120 + 60 + 58 + 122 + 98 + 141 = 599

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

В этой статье мы подробно остановимся на одном из первичных понятий геометрии – на понятии прямой линии на плоскости. Сначала определимся с основными терминами и обозначениями. Далее обсудим взаимное расположение прямой и точки, а также двух прямых на плоскости, приведем необходимые аксиомы. В заключении, рассмотрим способы задания прямой на плоскости и приведем графические иллюстрации.

Навигация по странице.

Прямая на плоскости — понятие.

Прежде чем дать понятие прямой на плоскости, следует четко представлять себе что же представляет собой плоскость. Представление о плоскости позволяет получить, к примеру, ровная поверхность стола или стены дома. Следует, однако, иметь в виду, что размеры стола ограничены, а плоскость простирается и за пределы этих границ в бесконечность (как будто у нас сколь угодно большой стол).

Если взять хорошо заточенный карандаш и дотронуться его стержнем до поверхности «стола», то мы получим изображение точки. Так мы получаем представление о точке на плоскости .

Теперь можно переходить и к понятию прямой линии на плоскости .

Положим на поверхность стола (на плоскость) лист чистой бумаги. Для того чтобы изобразить прямую линию, нам необходимо взять линейку и провести карандашом линию на сколько это позволяют сделать размеры используемой линейки и листа бумаги. Следует отметить, что таким способом мы получим лишь часть прямой. Прямую линию целиком, простирающуюся в бесконечность, мы можем только вообразить.

Взаимное расположение прямой и точки.

Начать следует с аксиомы: на каждой прямой и в каждой плоскости имеются точки.

Точки принято обозначать большими латинскими буквами, например, точки А и F . В свою очередь прямые линии обозначают малыми латинскими буквами, к примеру, прямые a и d .

Возможны два варианта взаимного расположения прямой и точки на плоскости : либо точка лежит на прямой (в этом случае также говорят, что прямая проходит через точку), либо точка не лежит на прямой (также говорят, что точка не принадлежит прямой или прямая не проходит через точку).

Для обозначения принадлежности точки некоторой прямой используют символ «». К примеру, если точка А лежит на прямой а , то можно записать . Если точка А не принадлежит прямой а , то записывают .

Справедливо следующее утверждение: через любые две точки проходит единственная прямая.

Это утверждение является аксиомой и его следует принять как факт. К тому же, это достаточно очевидно: отмечаем две точки на бумаге, прикладываем к ним линейку и проводим прямую линию. Прямую, проходящую через две заданные точки (например, через точки А и В ), можно обозначать двумя этими буквами (в нашем случае прямая АВ или ВА ).

Следует понимать, что на прямой, заданной на плоскости, лежит бесконечно много различных точек, причем все эти точки лежат в одной плоскости. Это утверждение устанавливается аксиомой: если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Множество всех точек, расположенных между двумя заданными на прямой точками, вместе с этими точками называют отрезком прямой или просто отрезком . Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка. Отрезок обозначают двумя буквами, соответствующими точкам концов отрезка. К примеру, пусть точки А и В являются концами отрезка, тогда этот отрезок можно обозначить АВ или ВА . Обратите внимание, что такое обозначение отрезка совпадает с обозначением прямой. Чтобы избежать путаницы, рекомендуем к обозначению добавлять слово «отрезок» или «прямая».

Для краткой записи принадлежности и не принадлежности некоторой точки некоторому отрезку используют все те же символы и . Чтобы показать, что некоторый отрезок лежит или не лежит на прямой пользуются символами и соответственно. К примеру, если отрезок АВ принадлежит прямой а , можно кратко записать .

Следует также остановиться на случае, когда три различных точки принадлежат одной прямой. В этом случае одна, и только одна точка, лежит между двумя другими. Это утверждение является очередной аксиомой. Пусть точки А , В и С лежат на одной прямой, причем точка В лежит между точками А и С . Тогда можно говорить, что точки А и С находятся по разные стороны от точки В . Также можно сказать, что точки В и С лежат по одну сторону то точки А , а точки А и В лежат по одну сторону от точки С .

Для полноты картины заметим, что любая точка прямой делит эту прямую на две части – два луча . Для этого случая дается аксиома: произвольная точка О , принадлежащая прямой, делит эту прямую на два луча, причем две любые точки одного луча лежат по одну сторону от точки О , а две любые точки разных лучей – по разные стороны от точки О .

Взаимное расположение прямых на плоскости.

Сейчас ответим на вопрос: «Как могут располагаться две прямые на плоскости относительно друг друга»?

Во-первых, две прямые на плоскости могут совпадать .

Это возможно в том случае, когда прямые имеют по крайней мере две общие точки. Действительно, в силу аксиомы, озвученной в предыдущем пункте, через две точки проходит единственная прямая. Иными словами, если через две заданные точки проходят две прямые, то они совпадают.

Во-вторых, две прямые на плоскости могут пересекаться .

В этом случае прямые имеют одну общую точку, которую называют точкой пересечения прямых. Пересечение прямых обозначают символом «», к примеру, запись означает, что прямые а и b пересекаются в точке М . Пересекающиеся прямые приводят нас к понятию угла между пересекающимися прямыми . Отдельно стоит рассмотреть расположение прямых на плоскости, когда угол между ними равен девяноста градусам. В этом случае прямые называются перпендикулярными (рекомендуем статью перпендикулярные прямые, перпендикулярность прямых). Если прямая a перпендикулярна прямой b , то можно использовать краткую запись .

В-третьих, две прямые на плоскости могут быть параллельными.

Прямую линию на плоскости с практической точки зрения удобно рассматривать вместе с векторами. Особое значение имеют ненулевые векторы, лежащие на данной прямой или на любой из параллельных прямых, их называют направляющими векторами прямой . В статье направляющий вектор прямой на плоскости даны примеры направляющих векторов и показаны варианты их использования при решении задач.

Также следует обратить внимание на ненулевые векторы, лежащие на любой из прямых, перпендикулярных данной. Такие векторы называют нормальными векторами прямой . О применении нормальных векторов прямой рассказано в статье нормальный вектор прямой на плоскости .

Когда на плоскости даны три и более прямых линии, то возникает множество различных вариантов их взаимного расположения. Все прямые могут быть параллельными, в противном случае некоторые или все из них пересекаются. При этом все прямые могут пересекаться в единственной точке (смотрите статью пучок прямых), а могут иметь различные точки пересечения.

Не будем подробно останавливаться на этом, а приведем без доказательства несколько примечательных и очень часто используемых фактов:

  • если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой;
  • если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны между собой;
  • если на плоскости некоторая прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую прямую.

Способы задания прямой на плоскости.

Сейчас мы перечислим основные способы, которыми можно задать конкретную прямую на плоскости. Это знание очень полезно с практической точки зрения, так как на нем основывается решение очень многих примеров и задач.

Во-первых, прямую можно задать, указав две точки на плоскости.

Действительно, из аксиомы, рассмотренной в первом пункте этой статьи, мы знаем, что через две точки проходит прямая, и притом только одна.

Если в прямоугольной системе координат на плоскости указаны координаты двух несовпадающих точек, то есть возможность записать уравнение прямой, проходящей через две заданные точки .


Во-вторых, прямую можно задать, указав точку, через которую она проходит, и прямую, которой она параллельна. Этот способ справедлив, так как через данную точку плоскости проходит единственная прямая, параллельная заданной прямой. Доказательство этого факта проводилось на уроках геометрии в средней школе.

Если прямую на плоскости задать таким способом относительно введенной прямоугольной декартовой системы координат, то есть возможность составить ее уравнение. Об этом написано в статье уравнение прямой, проходящей через заданную точку параллельно заданной прямой .


В-третьих, прямую можно задать, если указать точку, через которую она проходит, и ее направляющий вектор.

Если прямая линия задана в прямоугольной системе координат таким способом, то легко составить ее каноническое уравнение прямой на плоскости и параметрические уравнения прямой на плоскости .


Четвертый способ задания прямой заключается в том, что следует указать точку, через которую она проходит, и прямую, которой она перпендикулярна. Действительно, через заданную точку плоскости проходит единственная прямая, перпендикулярная данной прямой. Оставим этот факт без доказательства.


Наконец, прямую на плоскости можно задать, указав точку, через которую она проходит, и нормальный вектор прямой.

Если известны координаты точки, лежащей на заданной прямой, и координаты нормального вектора прямой, то есть возможность записать общее уравнение прямой .


Список литературы.

  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
  • Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
  • Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
  • Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Copyright by cleverstudents

Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.

Прямая линия — одно из фундаментальных понятий геометрии.

Наглядно прямую линию может продемонстрировать туго натянутый шнур, кромка стола, край листа бумаги, место, соединения двух стен комнаты, луч света. При начертании прямых линий на практике применяют линейку.

Прямой линии присущи такие характерные особенности :

1.У прямой линии нет ни начала ни конца, то есть она бесконечна. Существует возможность начертить только ее часть.

2.Через две произвольные точки можно провести прямую линию , и притом только одну.

3. Через произвольную точку можно провести не ограниченное количество прямых на плоскости .

4.Две несовпадающие прямые на плоскости или пересекаются в единственной точке, или они параллельны .

Для обозначения прямой линии используют или одну малую букву латинского алфавита, или две большие буквы, написанные в двух различных местах этой прямой.

Если на прямой линии указать точку , то в результате получим два луча :

Лучом называют часть прямой линии , ограниченную с одной стороны. Для обозначения луча применяют или одну малую букву латинского алфавита, или две большие буквы, из которых одна обозначается в начале луча.

Часть прямой, ограниченная с обеих сторон, именуют ее отрезком . Отрезок, как и прямая линия , обозначается или одной буквой, или двумя. В последнем случае эти буквы указывают концы отрезка.

Линию, сформированную несколькими отрезками, не лежащими на одной прямой, принято называть ломаной . Когда концы ломаной совпадают, то такая ломаная именуется замкнутой .

Мы рассмотрим каждую из тем, а в конце будут даны тесты по темам.

Точка в математике

Что такое точка в математике? Математическая точка не имеет размеров и обозначается заглавными латинскими буквами: A, B, C, D, F и т.д.

На рисунке можно видеть изображение точек A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Отрезок в математике

Что такое отрезок в математике? На уроках математики можно услышать следующее объяснение: математический отрезок имеет длину и концы. Отрезок в математике — это совокупность всех точек, лежащих на прямой между концами отрезка. Концы отрезка — две граничные точки.

На рисунке мы видим следующее: отрезки ,,,, и , а также две точки B и S.

Прямая в математике

Что такое прямая в математике? Определение прямой в математике: прямая не имеет концов и может продолжаться в обе стороны до бесконечности. Прямая в математике обозначается двумя любыми точками прямой. Для объяснения понятия прямой ученику можно сказать, что прямая — это отрезок, который не имеет двух концов.

На рисунке изображены две прямые: CD и EF.

Луч в математике

Что же такое луч? Определение луча в математике: луч — часть прямой, которая имеет начало и не имеет конца. В названии луча присутствуют две буквы, например, DC. Причем первая буква всегда обозначает точку начала луча, поэтому менять местами буквы нельзя.

На рисунке изображены лучи: DC, KC, EF, MT, MS. Лучи KC и KD — один луч, т. к. у них общее начало.

Числовая прямая в математике

Определение числовой прямой в математике: прямая, точки которой отмечают числа, называют числовой прямой.

На рисунке изображена числовая прямая, а также луч OD и ED

Урок-сказка «Луч. Отрезок. Прямая». 2-й класс

Цели урока:

  • Закрепить представления о понятиях «прямая», «луч», «отрезок»;
  • Учить детей распознавать прямые, лучи, отрезки; изображать их с помощью линейки, находить и обозначать точки их пересечения;
  • Закреплять навыки сложения и вычитания трехзначных чисел;
  • Развивать творческое мышление, интерес к математике.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

Слайд 3. Решив данные примеры и расположив ответы в порядке возрастания, вы узнаете, в чье королевство мы сегодня отправимся за новыми знаниями.

32 440 588 635 744
         

Появляется слово «Точка». «Молодцы!» (Слайд 4)

III. Работа над темой урока. Сказка про Точку.

Слово учителя: Сегодня мы отправимся в увлекательное путешествие по стране Геометрии. Встречает нас здесь королева этой страны, без которой невозможно построить ни одной фигуры, это Точка (Слайд 5).

Жила-была Точка. Она была очень любопытна и хотела все знать. Увидит незнакомую линию и непременно спросит:

— Как эта линия называется?

— Длинная она или короткая?

Подумала однажды Точка: «Как же я смогу все узнать, если всегда буду жить на одном месте? «Отправлюсь-ка я в путешествие!».

— Ребята, вы готовы совершить путешествие вместе с Точкой? (Да).

Сказано — сделано. Вышла точка на прямую и пошла по этой линии (Слайд 6). Долго шла. Устала. Остановилась и говорит: «Долго ли я еще буду идти?».

— Ребята, а скоро ли конец прямой? (У прямой нет конца).

— Тогда я наверное поверну назад, — ответила Точка. Я наверное пошла не в ту сторону.

— Ребята, сможет ли Точка найти концы прямой? (Нет)

Слайд 7.

Без конца и края
Линия прямая!
Хоть сто лет по ней идти —
Не найти конца пути!

— Опечалилась Точка. Что же, так мне и придется идти, идти и идти без конца?

— А что если я позову на помощь Ножницы?

Тут откуда не возьмись, появились Ножницы. Щелкнули перед самым Точкиным носом и разрезали прямую (Слайд 8)

— Ура! Воскликнула Точка. Получился конец, да не один, а целых два, с одной стороны и с другой! Что же стало с моей прямой? (Слайд 9) Как называется получившаяся фигура? (Отрезок). Чем отличается от прямой? (Имеет начало и конец).

— Я запомню это название — «отрезок», сказала Точка. Мне нравится на отрезке, я устрою здесь себе дом::. Но прямая мне тоже нравилась. Жаль, что её не стало. Ведь теперь вместо прямой есть мой отрезок и еще два :.этих::.ну этих::.даже не знаю как назвать. У них конец с одной стороны, а с другой нет конца. Как же они называются? (Лучи). Слайд 10

— А я знаю почему они так называются. Воскликнула Точка. Они похожи на солнечные лучики! Солнечные лучи начинаются на солнце и идут от солнца без конца:.. В Геометрии каждый луч, отрезок, прямая имеют название. Обратите внимание, что луч обозначается либо одной строчной буквой, либо двумя прописными, причем при чтении и записи на первом месте указывается начало луча, а при названии прямой или отрезка порядок не имеет значения. Точка обозначается одной буквой. Давайте правильно прочитаем название фигур (Буквы латинского алфавита). Слайд 11

— В чем отличие прямой от луча? Отрезок от прямой? Луч от отрезка?

Молодцы!!!! Слайд 12.

Слайд 13. Физминутка. Учащиеся танцуют под «Танец маленьких утят».

IV. Закрепление пройденного материала.

Работа по учебнику Л.Г.Петерсон Математика 2 класс. Тема: «Луч. Отрезок. Прямая».

№ 1. Откройте тетради. Обозначьте точку. Сколько можно провести прямых через данную точку? (Слайд 14) Какой можно сделать вывод? Вывод: через одну точку можно провести сколько угодно прямых.

№ 2. Поставьте две точки на расстоянии друг от друга (Слайд 15). Сколько можно провести прямых через эти две точки? Вывод: Через две точки можно провести только одну прямую.

V. Итоги урока.

1. А теперь повторим: о каких геометрических фигурах мы узнали, благодаря нашей гостье Королеве — Точке? (Слайд 16)

2. Что вы узнали о каждой из этих фигур? (Слайд 17)

ПРЯМАЯ — НЕ ИМЕЕТ НИ НАЧАЛА, НИ КОНЦА, МЫ МОЖЕМ НАЧЕРТИТЬ ТОЛЬКО ЧАСТЬ ПРЯМОЙ, ТАК КАК ЕЁ МОЖНО ПРОДОЛЖИТЬ, ПРЯМУЮ ПРИНЯТО ОБОЗНАЧАТЬ ОДНОЙ ИЛИ ДВУМЯ БУКВАМИ.

ЛУЧ — ИМЕЕТ НАЧАЛО, НО НЕ ИМЕЕТ КОНЦА, ЕГО МОЖНО ПРОДОЛЖИТЬ ТОЛЬКО В ОДНУ СТОРОНУ.

ОТРЕЗОК — ИМЕЕТ НАЧАЛО И КОНЕЦ, ЕГО НЕЛЬЗЯ ПРОДОЛЖИТЬ.

НУ ВОТ И ВСЕ, КОНЕЦ! А КТО СЛУШАЛ, МОЛОДЕЦ!!!

Значение a|b или трубы b

Не спешите делать вывод, что \large{a|b} эквивалентно рациональному числу \НАИБОЛЬШИЙ{a \over b}.

Правда в том, что математическое обозначение \large{a|b} НЕ совпадает с дробью \LARGE{a \over b}.

Вертикальная линия или полоса, | между {a} и {b} называется каналом .

Обозначение \color{red}{a|b} читается как «a делит b».



ПРИМЕЧАНИЕ: Предполагается, что {a} и {b} являются целыми числами, но {a} не равно нулю, a \ne 0. Обратите внимание: если мы разрешим или присвоим переменной a значение нуля, у нас будет ситуация, когда целое число b делится на 0, который не определен.


Выражение

a|b в форме уравнения

Интересно, что математическое обозначение \color{red}{a|b} может быть выражено в виде уравнения, которое поможет нам лучше понять его.

Давайте немного поговорим об этом. Если a делит b, это означает, что a может разделить b без остатка. Следовательно, когда целое число b делится на целое число a, не остается остатка, который предполагает, что остаток равен нулю, 0.

Например, мы знаем, что 2 делит 10 без остатка, где частное равно 5 с остатком ноль .

Обратите внимание, что мы можем переписать уравнение слева как 10 = 2 (5), что точно подразумевает, что делимое равно произведению делителя и частного .


Внимательно изучите две приведенные ниже схемы. Обратите особое внимание на размещение делимого, делителя и частного уравнения слева.


Затем сравните их с новыми положениями делимого, делителя и частного уравнения справа.


Наблюдение: Делимое остается в левой части уравнения, в то время как делитель и частное становятся первым и вторым множителями соответственно в правой части уравнения. Это наблюдение будет очень полезным, когда мы будем говорить о том, как преобразовать обозначение \color{red}{a|b} в форму уравнения.


От обозначения к уравнению

Ниже приведена полезная диаграмма, показывающая, как преобразовать нотацию {a|b} в уравнение.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Предположим, что a и b целые числа, но a \ne 0. Мы говорим, что a делит b в обозначении {a|b}, если существует целое число c такое, что b = a\,c .

Ниже приведены несколько примеров, демонстрирующих, как нотация a|b может быть легко записана в виде b=a(c) , где c — просто еще одно целое число.- 17} \right)

Что такое прямая линия? (Определение, видео и примеры) // Tutors.com

Что такое прямая линия? (Определение, видео и примеры)


Хорошо, давайте проясним одну вещь… то есть прямую линию. Что может быть проще в геометрии, чем изящная, редкая, прямая линия? (Честно говоря, точка на проще; совокупность точек образует прямую линию.) Прямая линия может показаться банальной, но она немного сложнее и может даже замаскироваться.

Что вы узнаете:

Проработав этот урок и видео, вы сможете:

  • Распознать и построить прямую линию
  • Определение особых видов прямых линий
  • Вспомнить свойства прямых линий
  • Вспомнить и назвать фигуры, полученные из прямых линий
  • Связь прямых линий с прямыми углами

Что такое прямая линия?

По определению, прямая — это набор всех точек между двумя точками и за их пределами. В большинстве геометрий линия представляет собой примитивный объект, который не имеет формальных свойств, кроме длины, своего единственного измерения.

Два свойства прямых линий в евклидовой геометрии заключаются в том, что они имеют только одно измерение, длину, и всегда простираются в двух направлениях.

Свойства прямых линий

  • Одномерный
  • Может быть горизонтальным, вертикальным или диагональным
  • Оба конца всегда удлиняются в двух направлениях
  • Создает угол 180 градусов при рисовании дуги угла из одной точки в другую

Что такое точка?

точка — простейшая фигура в геометрии.Это место в пространстве, без измерения. У него нет ни ширины, ни объема, ни толщины, ни длины, ни глубины. Но когда у вас есть две точки, если вы соедините каждую точку между этими двумя точками, у вас получится прямая линия.

Точки на прямой составляют коллинеарных (столб = «с», или «вместе» и линейных = «строка», или «линия» ). Для определения линии нужны всего две точки.

Именование и определение прямых линий

Прямые называются по любым двум точкам на их длине.Обычно вы называете их слева направо. Вот строка AB:

[вставить чертеж линии AB]

Чтобы обозначить линию на письме, вы пишете две точки заглавными буквами и рисуете крошечную линию с двумя головками над двумя буквами, например:

[вставьте изображение символа]

Как построить прямую линию

Прямая линия — одно из самых простых построений в геометрии. С листом чистой бумаги, карандашом и линейкой вы можете легко построить линию:

  1. Нарисуйте на бумаге две точки на некотором расстоянии друг от друга; это точки
  2. С помощью линейки соедините две точки карандашной линией и продлите линию далеко за обе точки
  3. Нарисуйте стрелки на концах нарисованной линии

Отрезки линий и лучи

Прямые линии считаются бесконечными в двух направлениях по их длине. Из-за этого вы редко используете чистые линии в повседневной геометрии. Берешь отрезки прямых:

  1. Отрезок линии — Отрезок линии представляет собой сегмент или конечную часть бесконечной прямой линии
  2. Луч — Луч представляет собой бесконечную часть прямой линии; он имеет единую точку начала, но всегда продолжается в одном направлении

Вот сегмент линии CD:

[вставить чертеж отрезка CD]

А вот и луч EF:

[вставить чертеж луча EF]

Отрезки линий используются для построения сторон всех многоугольников.Лучи используются для создания углов. Отрезки и лучи являются частями или сегментами прямых линий.

Что насчет кривых?

Кривая не является прямой линией, так же как прямая линия не является кривой. Кривая линия содержит точки, которые не являются линейными относительно двух заданных точек. Кривая движется в других направлениях от прямой линии, созданной путем соединения коллинеарных точек.

Направление прямых линий

Прямые линии могут быть горизонтальными , то есть двигаться влево и вправо от точки обзора навсегда.Прямые линии могут быть вертикальными , то есть подниматься выше и опускаться ниже точки обзора навсегда. Прямые линии могут быть по диагонали , что означает, что они имеют любой угол, кроме горизонтального или вертикального.

Прямые линии могут быть одиночными или парными. Пары прямых могут проходить параллелей друг к другу, никогда не сближаясь и не удаляясь друг от друга. Они обозначаются символом ∥.

Пары прямых также могут пересекаться друг с другом под любым углом.Когда две прямые пересекаются под углом 90°, они перпендикулярны , что обозначается символом ⊥.

Прямые уголки

Прямые линии могут казаться другой фигурой и наоборот. Прямой угол, 180°, это прямая линия. Прямой угол строится из двух лучей с общим концом. Поскольку два луча имеют общую конечную точку, и каждый луч всегда продолжается в одном направлении, единственной «подсказкой», что у вас есть прямой угол (а не прямая линия), могут быть три идентифицированные точки (вместо двух) вдоль фигуры:

[вставить чертеж прямого угла с тремя отмеченными точками слева, в центре, справа]

Краткое содержание урока

Теперь, когда вы изучили урок, вы можете узнавать и строить прямую линию, определять особые виды прямых линий (горизонтальные, вертикальные, диагональные, параллельные и перпендикулярные линии), вспоминать свойства прямых линий, а также вспоминать и Назовите фигуры, полученные из прямых линий, а именно отрезки и лучи.Вы также можете связать прямые линии с прямыми углами, образованными двумя лучами.

Следующий урок:

Уравнение прямой

Уравнение прямой обычно записывается так:

(или «y = mx + c» в Великобритании, см. ниже)

 

Что это означает?


y = как далеко вверх

x = как далеко

м = уклон или уклон (насколько крута линия)

b = значение y , когда x=0

Как найти «м» и «б»?

  • b легко: просто посмотрите, где линия пересекает ось Y.
  • м (Уклон) нуждается в подсчете:

м  = Изменение Y Изменение X

Зная это, мы можем составить уравнение прямой линии:

Пример 1

м = 2 1 = 2

b = 1 (значение y при x=0)

Подставляя это в y = mx + b , мы получаем:

у = 2х + 1

Теперь с этим уравнением мы можем . ..

… выберите любое значение для x и найдите соответствующее значение для y

Например, когда x равно 1:

у = 2× 1 + 1 = 3

Убедитесь сами, что x=1 и y=3 действительно находятся на прямой.

Или мы можем выбрать другое значение для x, например 7:

у = 2× 7 + 1 = 15

Итак, когда x=7, у вас будет y=15

Положительный или отрицательный наклон?

Двигаясь слева направо, велосипедист должен P проехать по положительному склону P Наклон:

   

Пример 2

м = −3 1 = −3

б = 0

Это дает нам:

у = -3х + 0

Ноль нам не нужен! Итак:

г = -3x

 

Пример 3: Вертикальная линия

Какое уравнение для вертикальной линии?
Наклон undefined . .. и где он пересекает ось Y?

На самом деле это частный случай , и мы используем другое уравнение, не « y =…», а вместо этого используем « x =…».

Вот так:

х = 1,5

Каждая точка на линии имеет координату x 1,5 ,
поэтому ее уравнение x = 1,5

Вставай и беги

Иногда употребляются слова «вставать» и «бежать».

  • Подъем — это насколько высоко
  • Бежать — это как далеко

Таким образом, наклон «м» равен:

м = подъем пробег

Возможно, вам будет легче это запомнить.

 

Другие формы

Мы смотрели на форму «наклон-пересечение». Уравнение прямой можно записать многими другими способами .

Другой популярной формой является уравнение точки-наклона прямой линии.

 

358 359 517 518, 1156, 1157, 3204, 3205, 3206, 3207

 

Сноска

Страна Примечание:

В разных странах учат разным «обозначениям» (присланные мне любезными читателями):

В США, Австралии, Канаде, Эритрее, Иране, Мексике, Португалии, Филиппинах и Саудовской Аравии обозначение: у = мх + б
В Великобритания, Австралия (также), Багамы, Бангладеш, Бельгия, Бруней, Болгария, Кипр, Египет, Германия, Гана, Индия, Индонезия, Ирландия, Ямайка, Кения, Кувейт, Малайзия, Малави, Мальта, Непал , Новая Зеландия, Нигерия, Оман, Пакистан, Перу, Сингапур, Соломоновы острова, ЮАР, Шри-Ланка, Турция, ОАЭ, Замбия и Зимбабве у = мх + с
В Афганистан, Албания, Алжир, Бразилия, Китай, Чехия, Дания, Эфиопия, Франция, Ливан, Нидерланды, Косово, Кыргызстан, Норвегия, Польша, Румыния, Южная Корея, Суринам, Испания, Тунис и Вьетнам Имя: у = топор + б
В Азербайджан, Китай, Финляндия, Россия и Украина : у = кх + б
В Греция : ψ = αχ + β
В Италия : у = мх + q
В Япония : у = мх + д
В Куба и Израиль : у = мх + п
В Румыния : у = гА + С
В Латвии и Швеции : у = кх + м
В Сербия и Словения : у = кх + п
   
В вашей стране: дайте нам знать!

. .. но все это означает одно и то же, только разные буквы.

Что такое прямая линия? — Определение и примеры — Видео и стенограмма урока

Другие прямые линии

Существуют и другие виды прямых линий, которые полезно изучить.

Вертикальные прямые линии идут вверх и вниз. Горизонтальные прямые линии идут слева направо или наоборот. Параллельные прямые имеют одинаковый наклон и находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, поэтому они никогда не пересекутся.Перпендикулярные прямые пересекаются друг с другом и образуют четыре идеальных прямых угла. Наклонные или косые прямые линии звучат именно так, как они звучат: это прямые линии под углом.

Измерения прямой линии

Знаете ли вы, что прямая линия образует свой уникальный угол? А знаете ли вы, что угол имеет определенное измерение в градусах, которое всегда одинаково? Если вы нарисуете дугу 90 218 под углом 90 219 из одной точки прямой линии в другую, она образует угол в 180 градусов.

Как назвать прямую линию

Вы можете назвать прямую линию двумя способами:

Вы можете взять любые две точки на этой линии и использовать их в качестве имени. Вы должны нарисовать линию над этими двумя точками со стрелками с обеих сторон, указывая, что это линия, которая простирается с обеих сторон в бесконечность.

Или вы можете использовать только одну букву. Обычно эта буква указывается в нижнем регистре. Обычно используемая буква для обозначения линий — y.Этот способ именования линии обычно используется, когда на линии нет известных точек для ссылки.

Отрезки и лучи

Иногда прямая линия обрезается конечными точками. Затем он формирует отрезки и лучи. Отрезки линии отличаются от прямых линий тем, что они имеют две определенные конечные точки. Линии, наоборот, уходят в бесконечность. Лучи представляют собой смесь прямой линии и отрезка. Он простирается до бесконечности в одном направлении и имеет конечную точку на другом конце.

Резюме урока

Для обзора, линия характеризуется как прямой, тонкий, одномерный объект нулевой ширины, который простирается с обеих сторон до бесконечности.

Хотя странно думать, что прямая линия образует угол, помните, что прямая линия образует угол 180 градусов, когда вы проводите дугу угла из одной точки прямой линии в другую точку этой прямой линии.

Назвать прямую линию несложно. Вы можете либо использовать две точки на этой линии для имени, либо использовать одну букву, которая идентифицирует линию, обычно в нижнем регистре. Помните, что лучший способ назвать линию — использовать две точки на линии, потому что это более конкретно, чем использование одной буквы.

Также важно знать разницу между прямой линией , лучом и отрезком линии . Если прямая линия обрезана конечными точками на обоих концах, это отрезок. А если он просто обрезан с одного конца и уходит в бесконечность с другого конца, то это луч.

Черты прямой линии

  • Прямые, одномерные, с нулевой шириной
  • Оба конца уходят в бесконечность
  • Создает угол 180 градусов при рисовании дуги угла из одной точки в другую
  • Может быть горизонтальным, наклонным или вертикальным

Результат обучения

Когда вы закончите, вы сможете определять свойства прямых линий и отличать их от лучей и отрезков.

Использование уравнения прямой | Математика

Уравнение прямой обычно преподается в виде:

у = м х + с

, который кратко выражает тот факт, что если мы построим y против x и переменные подчиняются соотношению этой формы, мы получим линейный график с градиентом или наклоном м и точку пересечения (где линия пересекает y- оси) c ( рис. 1

В химии буква c часто используется для обозначения концентрации, поэтому это может сбить с толку.Буква, используемая для обозначения точки пересечения, совершенно произвольна, поэтому вполне допустимо использовать — как мы будем использовать в оставшейся части этой статьи — уравнение в форме y = m x + b , поскольку b равно менее часто используемый символ. Действительно, это форма уравнения, обычно используемая в некоторых других странах, и несколько вариантов используются во всем мире.

Важно, чтобы учащиеся умело использовали это уравнение и понимали лежащие в его основе концепции, поскольку многие взаимосвязи в химии могут быть выражены в линейной форме.Эта важность даже побудила математиков говорить о «чувстве символов» — алгебраической параллели с «чувством чисел», известном как чувство чисел, — которое включает в себя необходимость того, чтобы каждый мог просмотреть таблицу данных и предположить символическую связь между ними. переменные. 1

Знакомство с уравнением

Хотя уравнение прямой линии хорошо известно, возможно, стоит потратить некоторое время на изучение его более подробно. Очень просто проверить уравнение на конкретном примере, например:

.

y = 5 х + 2

Легко составить таблицу x против y для нескольких выбранных значений x , таких как:

Нанесение этих данных ( fig 2 ) ясно показывает, что точка пересечения равна 2, а уклон м можно рассчитать как:

Конечно, это упражнение можно разнообразить, включив десятичные значения.Это также имеет то преимущество, что делает результаты менее очевидными для тех, кто уже знаком с этой концепцией.

Возможно, более удовлетворительным будет вывести уравнение, которое опять-таки относительно прямолинейно. Начиная с нашего определения градиента, как показано ( рис. 3) :

Мы можем переместить точку P так, чтобы она располагалась на оси y ( рис 4 ). Недолгое размышление покажет, что x 1 = 0 и y 1 = b.Затем мы заменим x 2 и y 2 на x и y соответственно — в конце концов, это всего лишь произвольные символы, представляющие числа, которые могут варьироваться. Градиент м теперь:

Мы можем изменить это по шагам так, чтобы:

у б = м х

и:

у = м х + б

Конечно, уравнения в химии обычно не такие простые, тем более, что переменные обычно не равны x и y .И не только ученые заменяют x и y более сложными символами и выражениями, это делают и математики, чтобы сделать задачи более реалистичными и, следовательно, интересными. 2

Обычно я переписываю определяющее уравнение следующим образом:

Y = mX + б

, где X является функцией x , а Y является функцией y . Это первый шаг к отказу от простых переменных x и y и переходу к более сложным функциям переменных, которые обычно встречаются в уравнениях, связанных с химией.Также может быть полезно разумно использовать скобки, чтобы облегчить сравнение с уравнениями, в которых градиент определяется комбинацией констант. Таким образом, дальнейшая модификация дает:

Y = ( м ) X + б

Примеры

из химии
1. Закон Бера-Ламберта

Этот закон используется в спектрометрии и утверждает, что поглощение A вида изменяется линейно как с концентрацией раствора c , так и с коэффициентом экстинкции ε, когда свет проходит расстояние, известное как длина пути и обозначаемое по л . Соотношение между этими величинами:

А = ε кл

Если мы понимаем, что ε и l будут постоянными для указанного решения в ячейке с фиксированной длиной пути, мы можем заключить эти константы в скобки и написать:

А = (ε l ) с

Если мы также понимаем, что можем добавить к этому ноль без изменения значения, мы имеем:

А = (ε l ) с + 0

Сравнение с нашим определяющим уравнением Y = mX + b теперь дает:

X = c
Y = A
m = ε l
b 0 = 3
0

Таким образом, построение графика A против c даст прямой график с градиентом ε l и точкой пересечения с нулем.Другими словами, граф будет проходить через начало координат.

2. Уравнение Нернста

Это связывает электродвижущую силу (ЭДС) E электрохимической ячейки с ее стандартной ЭДС E o и коэффициентом реакции Q :

, где R — газовая постоянная, а F — постоянная Фарадея. Q рассчитывается исходя из концентраций реагирующих частиц, а n представляет собой количество заряда, переносимого в протекающей реакции.Т — абсолютная температура.

Прежде всего перестроим уравнение так, чтобы в конце стояла единственная константа E o :

Если мы теперь узнаем, что T и n будут константами для данной реакции при определенной температуре, мы можем сгруппировать константы в первом члене в скобках, чтобы получить:

Сравнение с определяющим уравнением Y = mX + b теперь дает:

, поэтому, если мы построим E против ln Q , мы получим прямую линию и точку пересечения E o и градиент

3.Кинетика первого порядка

Kinetics дает несколько примеров прямых графиков. Действительно, выбор подходящей функции для построения графика является методом определения порядка реакции. Уравнение реакции первого порядка можно записать в нескольких эквивалентных формах, которые можно преобразовать, чтобы получить:

ln c = ln c o кт

, где c o – начальная концентрация реагента, а c – концентрация по прошествии времени t .Другой присутствующей величиной является константа скорости k .

Первое, что нужно сделать при определении переменных для построения графика, — определить константы в уравнении. Термин «константа скорости» дает здесь сильный намек, и мы также должны понимать, что начальная концентрация будет постоянной. Далее, если c o является константой, то ln c o также будет константой. Мы переместим этот член в конец уравнения, чтобы он стал:

пер. с = — кт + пер. с о

, которое можно сравнить с определяющим уравнением Y = mX + b , чтобы получить:

y = ln c 9025 c
x = t
m = — к
b = ln c o

Следовательно, если мы построим ln c против t , мы получим прямой график с градиентом – k и точку пересечения ln c o .

В качестве примера рассмотрим гидролиз 1-хлор-1-метилциклоундекана в 80% этаноле при 25 o C. значения c даны как относительные величины, не требующие единиц измерения. В таблице приведены изменения c во времени t , а также значения ln c .

Поскольку это реакция первого порядка, график зависимости ln c (рис. 5) от t действительно представляет собой прямую линию.Градиент этого графика составляет -0,13 ч -1 . Следовательно:

к = -0,13 ч -1

А:

к = 0,13 ч -1

Хотя этот график и результирующий градиент были сгенерированы с использованием программного обеспечения для работы с электронными таблицами, исследование показало, что вычислительные инструменты могут быть не такими эффективными, как можно было бы ожидать, для развития концептуального понимания в этой области. 4

Пол Йейтс — руководитель направления физических наук в Академии высшего образования.

Углы на прямой | Геометрия прямых

В этой главе вы исследовать отношения между парами углов, которые создается, когда прямые линии пересекаются (встречаются или пересекаются). Ты будешь рассмотреть пары углов, образованных перпендикулярными линиями, любыми двумя пересекающимися прямыми и третьей прямой, которая разрезает две параллельные линии. Вы придете к пониманию того, что под вертикально противоположными углами подразумеваются соответствующие углы, параллельные углы и внутренние углы.Вы сможете определить различные пары углов, а затем использовать свои знания, чтобы помочь вам определить неизвестные углы в геометрических фигурах.

Углы на прямой

На рисунках ниже каждый угол присвоена метка от 1 до 5.

  1. Используйте транспортир для Измерьте размеры всех углов каждой фигуры. Пиши свой ответы на каждую фигуру.{\ круг} \)

Сумма углов, образованная на прямой, равна 180°. (Мы можно сократить это свойство как: \(\угол\)s на прямая.)

Два угла, сумма величин которых составляет 180°, также называется дополнительными углами, например \(\шляпа{1} + \шляпа{2}\).

Углы, имеющие общую вершину и общую сторону, говорят, что рядом с .Таким образом, \(\шляпа{1} + \шляпа{2}\) также называется дополнительными смежными углами .

Когда две линии перпендикулярны, их смежные дополнительные углы равны равен 90°.

На рисунке ниже DC A и DC B смежные дополнительные углы, потому что они рядом друг с другом (смежные), и они в сумме составляют 180° (дополнительно).

Нахождение неизвестных углов на прямых

Определите размеры неизвестного углы ниже.{\circ} \\ &= \text{______} \end{align}\)


  • Рассчитать размер \(Икс\).


  • Рассчитать размер \(у\).


  • Нахождение дополнительных неизвестных углов на прямых линиях

    1. Рассчитать размер из:

      1. \(х\)
      2. \(\шляпа{ECB}\)
    2. Рассчитать размер из:

      1. \(м\)
      2. \(\шляпа{SQR}\)
    3. Рассчитать размер из:

      1. \(х\)
      2. \(\шляпа{HEF}\)
    4. Рассчитать размер из:

      1. \(к\)
      2. \(\шляпа{ТИП}\)
    5. Рассчитать размер из:

      1. \(р\)
      2. \(\шляпа{JKR}\)

    Что такое вертикально противоположные углы?

    1. Используйте транспортир для Измерьте размеры всех углов на фигуре.Пиши свой ответы на рисунке.

    2. Уведомление какие углы равны и как эти углы равны сформировался.

    Вертикально напротив углы ( верт. опп. \(\угол\) с ) это углы, противоположные друг другу, когда две прямые пересекаются.

    Вертикально противоположные углы всегда равны .

    Нахождение неизвестных углов

    Вычислить размеры неизвестного углы на следующих рисунках.{\ circ} && \\ & = \text{______} \\ \\ z &= \text{______} &&[\text{vert. opp.}\angle\text{s}] \end{align}\)


  • Вычислить \(j,~ к\) и \(1\).


  • Вычислить \(а,~ б,~ в\) и \(г\).


  • Уравнения с использованием вертикально противоположных углов

    Вертикально противоположные углы всегда равный.{\circ} \\ &= \text{______} \end{align}\)


  • Рассчитать значение \(т\).


  • Рассчитать значение \(п\).


  • Рассчитать значение \(г\).


  • Рассчитать значение \(у\).


  • Рассчитать значение \(р\).


  • Линии, пересекаемые секущей

    Пары углов, образованных секущей

    поперечная это линия, которая пересекает по крайней мере две другие линии.

    При пересечении секущей двух линии, мы можем сравнить наборы углов на двух линиях с помощью глядя на их позиции.

    Углы, лежащие по одну сторону трансверсали и находятся в совпадающих позициях, называются соответствующие углы ( корр. \(\угол\) с ). В фигуре, это соответствующие углы:

    • \(а\) и \(е\)
    • \(б\) и \(ф\)
    • \( д\) и \(ч\)
    • \(с\) и \(г\).
    1. На рисунке \(a\) и \(e\) оба левые от трансверсали и над линией.

      Запишите расположение следующих соответствующих углов.Первый сделан для тебя.

      \(b\) и \(f\): справа от поперечных и вышележащих линий


      \(г\) и \(ч\):


      \(с\) и \(г\):


    Переменные уголки ( альт. \(\угол\) s ) ложь на противоположных сторонах трансверсали, но не являются смежными или вертикально напротив. Когда противоположные углы лежат между две линии, они называются чередующимися внутренними углами .В на рисунке это альтернативные внутренние углы:

    • \(г\) и \(ф\)
    • \(с\) и \(е\)

  • \(а\) и \(г\)
  • \(б\) и \(ч\)
    1. Запишите расположение следующих альтернативных углов:

      \(г\) и \(е\):


      \(с\) и \(е\):


      \(а\) и \(г\):


      \(b\) и \(h\):


    Внутренние уголки ( со-инт. \(\угол\) с ) лежат по одну сторону от поперечной и между двумя линии. На рисунке это совнутренние углы:

    • \(с\) и \(ф\)
    • \(г\) и \(е\)
      Запишите расположение следующего соинтерьера углы:

      \(г\) и \(е\):


      \(с\) и \(е\):


    Определение типов углов

    Две прямые пересекаются поперечной, как показано ниже.

    Запишите следующие пары углы:

    1. две пары соответствующих углы:
    2. две пары чередующихся внутренние углы:
    3. две пары чередующихся внешние углы:
    4. две пары совмещенных интерьеров углы:
    5. две пары вертикально противоположные углы:

    Исследование размеров углов

    На рисунке внизу слева EF — это трансверсальной к AB и CD.На рисунке справа внизу PQ представляет собой трансверсальные параллельным прямым JK и LM.

    1. Используйте транспортир для Измерьте размеры всех углов каждой фигуры. Написать замеры на фигурах.
    2. Используйте свои измерения, чтобы заполните следующую таблицу.

      Корр.\(\угол\)s

      \( \шляпа{1} = \текст{_______};~\шляпа{5} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{4} = \текст{_______};~\шляпа{8} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{2} = \текст{_______};~\шляпа{4} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{3} = \текст{_______};~\шляпа{7} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{9} = \текст{_______};~\шляпа{13} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{12} = \текст{_______};~\шляпа{16} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{10} = \текст{_______};~\шляпа{14} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{11} = \текст{_______};~\шляпа{15} = \текст{_______}\)

      Альт. внутр.\(\угол\)с

      \( \шляпа{4} = \текст{_______};~\шляпа{6} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{3} = \текст{_______};~\шляпа{5} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{12} = \текст{_______};~\шляпа{14} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{11} = \текст{_______};~\шляпа{13} = \текст{_______}\)

      Альт.доб.\(\угол\)s

      \( \шляпа{1} = \текст{_______};~\шляпа{7} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{2} = \текст{_______};~\шляпа{8} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{9} = \текст{_______};~\шляпа{15} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{10} = \текст{_______};~\шляпа{16} = \текст{_______}\)

      Со-внутр. \(\угол\)s

      \(\шляпа{4} + \шляпа{5} = \текст{_______}\)

      \(\шляпа{3} + \шляпа{6} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{12} + \шляпа{13} = \текст{_______}\)

      \( \шляпа{11} + \шляпа{14} = \текст{_______}\)

    3. Посмотрите на свой завершенный таблица в вопросе 2.Что вы заметили в углах, образованных когда секущая пересекает параллельные прямые?

    Когда линии параллельно:

    • соответствующие углы равны
    • альтернативных внутренних угла равны
    • альтернативных внешних угла равны
    • внутренних угла в сумме дают 180°

  • Заполните соответствующий углы к заданным.

  • Заполнить альтернативный экстерьер углы.

    1. Заполнить альтернативный интерьер углы.
    2. Обведите две пары совмещенных интерьеров углы на каждой фигуре.

    1. Не измеряя, заполните все углы на следующих рисунках равны \(x\) и \(у\).
    2. Объясните причины каждого \(x\) и \(y\), которые вы заполнили своему партнеру.
  • Задайте значение \(x\) и \(у\) ниже.
  • Определение неизвестных углов

    Определите размеры неизвестного углы. Обоснуйте свои ответы.{\circ} &&[\angle\text{s на прямой}] \end{align}\)

  • Разработать размеры \(р,~q\) и \(г\).


  • Найдите размеры \(a,~b,~c\) и \(d\).


  • Найти размеры всех углов этой фигуры.


  • Найти размеры из всех углов.(Вы видите две трансверсали и два набора параллельных линий?)


  • Удлинитель

    Два угла в следующая диаграмма обозначена как \(x\) и \(y\). Заполните все углы, равные \(x\) и \(y\).

    Сумма углов четырехугольника

    На приведенной ниже диаграмме показана часть предыдущую схему.

    1. Какой четырехугольник на схеме? Обоснуйте свой ответ.{\circ}\)


      Можете ли вы придумать другой способ Используйте приведенную выше диаграмму, чтобы определить сумму углов в четырехугольник?

    Решение других геометрических задач

    Соотношение углов на параллельных линиях

    1. Вычислить размеры от \(\hat{1}\) до \(\hat{7}\).


    2. Рассчитать размеры \(х,~у\) и \(z\).


    3. Рассчитать размеры \(a, ~b, ~c\) и \(d\).


    4. Рассчитать размер \(Икс\).


    5. Рассчитать размер \(Икс\).


    6. Вычислите размер \(x\).


    7. Рассчитать размеры \(а\) и \(\шляпа{КЭП}\).


    Включая свойства треугольников и четырехугольников

    1. Вычислите размеры от \(\hat{1}\) до \(\hat{6}\).


    2. РГТУ — трапеция. Вычислить размеры \(\шляпа{T}\) и \(\шляпа{R}\).

    3. JKLM — ромб. Вычислить размеры \(\шляпа{JML}, \шляпа{M_2}\) и \(\шляпа{K_1}\).

    4. ABCD — это параллелограмм. Рассчитайте размеры \(\hat{ADB}, \hat{ABD}, \hat{C}\) и \(\hat{DBC}\)

    1. Посмотрите на рисунок ниже. Имя элементы, перечисленные рядом.

      1. пара вертикально противоположные углы
      2. пара соответствующих углы
      3. пара альтернативных внутренние углы
      4. пара совмещенных интерьеров углы
    2. На схеме AB \(\параллельно\) CD.{\circ}\).

      Вычислите значение \(x\). Объясните причины вашего ответы.


    параллельных линий (геометрия) | Блестящая математика и естественные науки вики

    Имгур

    На этом рисунке добавлена ​​поперечная (линия PQ↔\overleftrightarrow{PQ}PQ​). Пусть XXX и YYY будут точками пересечения секущей с AB↔\overleftrightarrow{AB}AB и CD↔,\overleftrightarrow{CD},CD соответственно.Теперь, учитывая, что AB↔∥CD↔,\overleftrightarrow{AB}\parallel\overleftrightarrow{CD},AB∥CD, всегда следует, что ∠PXB=∠PYD.\angle PXB=\angle PYD.∠PXB=∠PYD . Углы в таком виде отношений известны как соответствующие углы . Обратите внимание, что ∠PXB=∠AXY,\угол PXB=\угол AXY,∠PXB=∠AXY, так как они являются противоположными углами. Тогда мы имеем ∠AXY=∠XYD,\угол AXY=\угол XYD,∠AXY=∠XYD, которые называются альтернативными углами .

    Обратные свойства вышеприведенных свойств также верны.Если две прямые имеют соответствующие углы, то эти две прямые параллельны. Кроме того, если две прямые имеют альтернативные углы, то мы можем сказать, что эти две прямые параллельны.

    Имгур

    Теперь представьте, что вы рисуете поперечную (линия PQ↔\overleftrightarrow{PQ}PQ​), которая пересекается перпендикулярно двум параллельным линиям, как показано на рисунке выше. Тогда длина XY‾\overline{XY}XY будет кратчайшим расстоянием между двумя параллельными прямыми. Теперь мы проводим дополнительную секущую (прямая P′Q′↔\overleftrightarrow{P’Q’}P’Q′​), которая также перпендикулярно пересекается с двумя параллельными прямыми.Обратите внимание, что PQ↔\overleftrightarrow{PQ}PQ​ и P′Q′↔\overleftrightarrow{P’Q’}P′Q′​ параллельны (попробуйте доказать это, используя концепцию соответствующих углов и альтернативных углов!). Теперь у нас также есть длина P′Q′‾\overline{P’Q’}P′Q′​ как кратчайшее расстояние между двумя параллельными прямыми, и, следовательно, верно, что ∣PQ‾∣=∣P′Q ′‾∣.\lvert\overline{PQ}\rvert=\lvert\overline{P’Q’}\rvert.∣PQ​∣=∣P′Q′​∣. Это означает, что две параллельные линии всегда находятся на постоянном расстоянии друг от друга, что является еще одной важной характеристикой параллельных линий.

    Рассуждая более интуитивно, это должно быть правдой, так как если бы линии отдалялись друг от друга, то на противоположной стороне линии сближались бы (и, в конце концов, встречались), что противоречит определению, согласно которому две параллельные линии никогда не пересекаются. . Обратите внимание, что расстояние между двумя отдельными линиями можно определить, только если линии параллельны. Если линии не параллельны, то расстояние будет продолжать изменяться.

    Приведенное выше обсуждение, к вашему сведению, на самом деле согласуется с пятым постулатом Евклида , или параллельным постулатом .Он гласит, что если отрезок пересекает две прямые линии, образующие два внутренних угла на одной стороне, сумма которых меньше 180 градусов, то две прямые, если их продолжить на неопределенный срок, пересекутся на той стороне, на которой сумма углов меньше 180 градусов. . Другими словами, две прямые параллельны, если сумма внутренних углов на одной стороне равна ровно 180 градусам.

    Подводя итог,

    • Углы, лежащие на одних и тех же сторонах секущей и между параллелями (называемые соответственными углами), равны.Верно и обратное: если две прямые имеют равные соответствующие углы, то прямые параллельны.

    • Углы, лежащие на противоположных сторонах секущей и между параллелями (называемые параллельными углами), равны. Верно и обратное: если противоположные углы равны, прямые параллельны.

    • Две параллельные прямые находятся на постоянном расстоянии друг от друга, поэтому любая пара прямых, пересекающих их под одним и тем же углом, образует отрезки одинаковой длины.

    Если на следующей диаграмме отрезки QUQUQU и RTRTRT параллельны, что мы можем сказать об углах PVQPVQPVQ и TWSTWSTWS?


    У нас есть

    ∠PVQ=∠PWR (соответствующие углы) =∠TWS. (противоположные углы)  \begin{array} { l l l } \angle PVQ & = \angle PWR & \text{ (соответствующие углы) } \\ & = \angle TWS. & \text{ (противоположные углы) } \\ \end{массив} ∠PVQ​=∠PWR=∠TWS.​ (соответствующие углы)  (противоположные углы) ​

    Следовательно, эти углы равны. □ _\квадрат □​

    Имгур

    На приведенной выше диаграмме прямые AB↔\overleftrightarrow{AB}AB и CD↔\overleftrightarrow{CD}CD параллельны.

    Найдите xxx в градусах.

    Имгур

    Сначала проведем прямую, проходящую через угол xxx и параллельную AB↔\overleftrightarrow{AB}AB и CD↔.\circ.x=45∘+65∘=110∘. □_\квадрат□​

    Имгур

    На рисунке выше две линии XY↔\overleftrightarrow{XY}XY и AD↔\overleftrightarrow{AD}AD параллельны. Если площадь △ABY\треугольника ABY△ABY равна 5, то какова площадь △CDX?\треугольника CDX?△CDX?


    Поскольку XY↔\overleftrightarrow{XY}XY и AD↔\overleftrightarrow{AD}AD параллельны, высоты двух треугольников будут равны. Поскольку основание △CDX\треугольника CDX△CDX в три раза больше основания △ABY,\треугольника ABY,△ABY, ответ будет 3×5=15.3\х5=15,3×5=15. □_\квадрат□​

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *