График функции — Алгебра и геометрия

Для наглядного представления функции строят ее график. Определение. Графиком функции y-f(x) называется множество всех точек плоскости Oxy, для каждой из которых является значением аргумента, а y- соответствующим значением функции. Например, графиком функции является верхняя полуокружность радиусас центром в (рис. 1.2). Рис. 1.2 Способы задания функции Задать функцию – это значит указать правило, позволяющее по данному значению независимой переменной находить соответствующее значение функции. Существует три основных способа задания функции: аналитический, табличный и графический. Аналитический способ состоит в том, что зависимость между переменными величинами задается в виде формулы (аналитического выражения), указывающей, какие и в каком порядке действия надо выполнить, чтобы получить значение функции, соответствующее данному значению аргумента. 2-4x=0; y=|x| , где |x|=(x,если x≥0 или -x,если <0) Аналитический способ является наиболее совершенным, т.к. к нему могут быть применены методы математического анализа, позволяющие полностью исследовать функцию. Табличный способ предусматривает задание таблицы, в которой различным значениям аргумента поставлены соответствующие значения функции : Такие таблицы составляются, например, по данным эксперимента; для облегчения вычислений с часто встречающимися функциями (таблицы логарифмов, таблицы тригонометрических функций и т.д.). Графический способ задания функции состоит в том, что в данной системе координат задается некоторая кривая. Преимуществом графического задания является его наглядность, недостатком – его неточность. Функции.ppt Функции.ppt Updating… ć Функции.ppt (2595k) Сайганов Александр, 26 янв. 2017 г., 11:02

График функции — HiSoUR История культуры

В науке, технике, технологии, финансах и других областях графики — это инструменты, используемые во многих целях. В простейшем случае одна переменная изображается как функция другого, как правило, с использованием прямоугольных осей.

График представляет собой графический метод представления набора данных, обычно как график, показывающий взаимосвязь между двумя или более переменными. Сюжет может быть сделан вручную или механическим или электронным плоттером. Графики представляют собой визуальное представление взаимосвязи между переменными, очень полезное для людей, которые могут быстро получить понимание, которое не было бы результатом списков значений. Графы также могут использоваться для считывания значения неизвестной переменной, построенной как функция известной. Графики функций используются в математике, естественных науках, технике, технологии, финансах и других областях.

В современном фундаменте математики, известной как теория множеств, функция и ее график суть одно и то же.

В математике график функции f является совокупностью всех упорядоченных пар (x, f (x)). Если входная функция x является скаляром, график является двумерным графом, а для непрерывной функции является кривая. Если входная функция x является упорядоченной парой (x1, x2) действительных чисел, то граф представляет собой совокупность всех упорядоченных троек (x1, x2, f (x1, x2)), а для непрерывной функции — поверхность.

Неофициально, если x — действительное число, а f — действительная функция, граф может означать графическое представление этого набора в виде линейной диаграммы: кривая на картезианской плоскости вместе с декартовыми осями и т. Д. Графическое отображение на Декартовую плоскость иногда называют наброском кривой. График функции на действительных числах может отображаться непосредственно на графическое представление функции. Для общих функций графическое представление не обязательно может быть найдено, и формальное определение графика функции удовлетворяет требованиям математических утверждений, например, теоремы замкнутого графа в функциональном анализе.

Понятие графа функции обобщается на график отношения. Обратите внимание, что хотя функция всегда отождествляется с ее графиком, они не совпадают, потому что произойдет, что две функции с разными кодоменами могут иметь один и тот же граф. Например, упомянутый ниже кубический многочлен является сюръекцией, если его кодомен является вещественными числами, но это не значит, что его кодомен является комплексным полем.

Чтобы проверить, является ли график кривой функцией x, используется вертикальный тест линии. Чтобы проверить, является ли график кривой функцией y, используется горизонтальная линейная проверка. Если функция имеет обратный, график обратной можно найти, отразив график исходной функции по прямой y = x.

Поделиться ссылкой:

• Нажмите, чтобы поделиться на Twitter (Открывается в новом окне)
• Нажмите здесь, чтобы поделиться контентом на Facebook. (Открывается в новом окне)
• Нажмите, чтобы поделиться записями на Pinterest (Открывается в новом окне)
• Нажмите, чтобы поделиться записями на Tumblr (Открывается в новом окне)
• Нажмите, чтобы поделиться на LinkedIn (Открывается в новом окне)
• Нажмите, чтобы поделиться в WhatsApp (Открывается в новом окне)
• Нажмите, чтобы поделиться в Skype (Открывается в новом окне)
• Нажмите, чтобы поделиться в Telegram (Открывается в новом окне)
• Нажмите, чтобы поделиться на Reddit (Открывается в новом окне)
• Нажмите, чтобы поделиться записями на Pocket (Открывается в новом окне)

Related

Понятие функции и ее графика

у
х
Сопоставьте графики функций и задающих
их формул.
Определение
Функцией называют такую зависимость
переменной y от переменной x, при
которой каждому значению переменной x
соответствует единственное значение
переменной y.
Основные понятия
Переменную x называют независимой
переменной или аргументом.
Переменную y называют зависимой
переменной.
Переменная y является функцией от
переменной x.
Значения
зависимой
переменной
называют значениями функции.
Определение.
Все
значения независимой переменной
образуют
область
определения
функции.
Все
значения,
которые
принимает
зависимая переменная, образуют область
значений функции.
Определение
Если
зависимость переменной y от

переменной x является функцией, то
коротко это записываю так:
y = f(x).
Определение.
Пусть дано некоторое множество Х и пусть в
силу некоторого вполне определенного закона
(f) каждому числу х из множества Х ставиться в
соответствие одно вполне определенное число у,
тогда говорят, что на Х задана функция y = f(x)
Множество Х называют областью определения
функции y = f(x). Обозначают D (f).
Множество
всех
значений
зависимой
переменной у называют областью изменения
функции y = f(x). Обозначают Е (f).
Способы задания функции:
1. Словесный.
2. Табличный.
3. Графический
4. Формулой
у х
2
у=2х+3
х
-1
0
1
2
3
у
1
0
1
4
9
Графиком функции y = f (x)
называют множество всех точек
координатной плоскости хОу
вида (х; f(x)), где х – любое число
из
области
определения
функции.
Если график функции y = f(x) на некотором
промежутке есть непрерывная линия, то
функцию называют непрерывной на этом
промежутке.
** функцию называют
непрерывной на
промежутке, если она определена в каждой
точке этого промежутка и малому значению
аргумента
соответствует
малое
значение
функции
y kx (k 0)
k
y , k 0.
x
y x
2

Как определить по функции какой будет график.

Функции и графики

функция — это соответствие между элементами двух множеств, установленное по такому правилу, что каждому элементу одного множества ставится в соответствие некоторый элемент из другого множества.

график функции — это геометрическое место точек плоскости, абсциссы (x) и ординаты (y) которых связаны указанной функцией:

точка располагается (или находится) на графике функции тогда и только тогда, когда .

Таким образом, функция может быть адекватно описана своим графиком.

Табличный способ. Довольно распространенный, заключается в задании таблицы отдельных значений аргумента и соответствующих им значений функции. Такой способ задания функции применяется в том случае, когда область определения функции является дискретным конечным множеством.

При табличном способе задания функции можно приближенно вычислить не содержащиеся в таблице значения функции, соответствующие промежуточным значениям аргумента. Для этого используют способ интерполяции.

Преимущества табличного способа задания функции состоят в том, что он дает возможность определить те или другие конкретные значения сразу, без дополнительных измерений или вычислений. Однако, в некоторых случаях таблица определяет функцию не полностью, а лишь для некоторых значений аргумента и не дает наглядного изображения характера изменения функции в зависимости от изменения аргумента.

Графический способ. Графиком функции y = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данному уравнению.

Графический способ задания функции не всегда дает возможность точно определить численные значения аргумента. Однако он имеет большое преимущество перед другими способами — наглядность. В технике и физике часто пользуются графическим способом задания функции, причем график бывает единственно доступным для этого способом.

Чтобы графическое задание функции было вполне корректным с математической точки зрения, необходимо указывать точную геометрическую конструкцию графика, которая, чаще всего, задается уравнением. Это приводит к следующему способу задания функции.

Аналитический способ. Чаще всего закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул. Такой способ задания функции называется аналитическим.

Этот способ дает возможность по каждому численному значению аргумента x найти соответствующее ему численное значение функции y точно или с некоторой точностью.

Если зависимость между x и y задана формулой, разрешенной относительно y, т.е. имеет вид y = f(x), то говорят, что функция от x задана в явном виде.

Если же значения x и y связаны некоторым уравнением вида F(x,y) = 0, т.е. формула не разрешена относительно y, что говорят, что функция y = f(x) задана неявно.

Функция может быть определена разными формулами на разных участках области своего задания.

Аналитический способ является самым распространенным способом задания функций. Компактность, лаконичность, возможность вычисления значения функции при произвольном значении аргумента из области определения, возможность применения к данной функции аппарата математического анализа — основные преимущества аналитического способа задания функции. К недостаткам можно отнести отсутствие наглядности, которое компенсируется возможностью построения графика и необходимость выполнения иногда очень громоздких вычислений.

Словесный способ. Этот способ состоит в том, что функциональная зависимость выражается словами.

Пример 1: функция E(x) — целая часть числа x. Вообще через E(x) = [x] обозначают наибольшее из целых чисел, которое не превышает x. Иными словами, если x = r + q, где r — целое число (может быть и отрицательным) и qпринадлежит интервалу = r. Функция E(x) = [x] постоянна на промежутке = r.

Пример 2: функция y = {x} — дробная часть числа. Точнее y ={x} = x — [x], где [x] — целая часть числа x. Эта функция определена для всех x. Если x — произвольное число, то представив его в виде x = r + q (r = [x]), где r — целое число и q лежит в интервале .
Мы видим,что добавление n к аргументу x, не меняет значение функции.
Наименьшее отличное от нуля число из n есть , таким образом, это период sin 2x .

Значение аргумента, при котором функция равна 0, называется нулём (корнем ) функции.

Функция может иметь несколько нулей.

Например, функция y = x (x + 1)(x-3) имеет три нуля: x = 0, x = — 1, x =3 .

Геометрически нуль функции – это абсцисса точки пересечения графика функции с осью Х .

На рис.7 представлен график функции с нулями: x = a, x = b и x = c .

Если график функции неограниченно приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой .

Обратная функция

Пусть задана функция у=ƒ(х) с областью определения D и множеством значений Е. Если каждому значению уєЕ соответствует единственное значение хєD, то определена функция х=φ(у) с областью определения Е и множеством значений D (см. рис. 102).

Такая функция φ(у) называется обратной к функции ƒ(х) и записывается в следующем виде: х=j(y)=f -1 (y). Про функции у=ƒ(х) и х=φ(у) говорят, что они являются взаимно обратными. Чтобы найти функцию х=φ(у), обратную к функции у=ƒ (х), достаточно решить уравнение ƒ(х)=у относительно х (если это возможно).

1. Для функции у=2х обратной функцией является функция х=у/2;

2.Для функции у=х2 хє обратной функцией является х=√у; заметим, что для функции у=х 2 , заданной на отрезке [-1; 1], обратной не существует, т. к. одному значению у соответствует два значения х (так, если у=1/4, то х1=1/2, х2=-1/2).

Из определения обратной функции вытекает, что функция у=ƒ(х) имеет обратную тогда и только тогда, когда функция ƒ(х) задает взаимно однозначное соответствие между множествами D и Е. Отсюда следует, что любая строго монотонная функция имеет обратную. При этом если функция возрастает (убывает), то обратная функция также возрастает (убывает).

Заметим, что функция у=ƒ(х) и обратная ей х=φ(у) изображаются одной и той же кривой, т. е. графики их совпадают. Если же условиться, что, как обычно, независимую переменную (т. е. аргумент) обозначить через х, а зависимую переменную через у, то функция обратная функции у=ƒ(х) запишется в виде у=φ(х).

Это означает, что точка M 1 (x o ;y o) кривой у=ƒ(х) становится точкой М 2 (у о;х о) кривой у=φ(х). Но точки M 1 и М 2 симметричны относительно прямой у=х (см. рис. 103). Поэтому графики взаимно обратных функции у=ƒ(х) и у=φ(х) симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

Сложная функция

Пусть функция у=ƒ(u) определена на множестве D, а функция u= φ(х) на множестве D 1 , причем для  x D 1 соответствующее значение u=φ(х) є D. Тогда на множестве D 1 определена функция u=ƒ(φ(х)), которая называется сложной функцией от х (или суперпозицией заданных функций, или функцией от функции).

Переменную u=φ(х) называют промежуточным аргументом сложной функции.

Например, функция у=sin2x есть суперпозиция двух функций у=sinu и u=2х. Сложная функция может иметь несколько промежуточных аргументов.

4. Основные элементарный функции и их графики.

Основными элементарными функциями называют следующие функции.

1) Показательная функция у=a х,a>0, а ≠ 1. На рис. 104 показаны графики показательных функций, соответствующие различным основаниям степени.

2) Степенная функция у=х α , αєR. Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени, предоставлены на рисунках

3)Логарифмическая функция y=log a x, a>0,a≠1;Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям, показаны на рис. 106.

4) Тригонометрические функции у=sinx, у=cosx, у=tgх, у=ctgx; Графики тригонометрических функций имеют вид, показанный на рис. 107.

5) Обратные тригонометрические функции у=arcsinx, у=arccosх, у=arctgx, у=arcctgx. На рис. 108 показаны графики обратных тригонометрических функций.

Функция, задаваемая одной формулой, составленной из основных элементарных функций и постоянных с помощью конечного числа арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) и операций взятия функции от функции, называется элементарной функцией.

Примерами элементарных функций могут служить функции

Примерами неэлементарных функций могут служить функции

5. Понятия предела последовательности и функции. Свойства пределов.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции ) в заданной точке,предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится значение рассматриваемой функции при стремлении её аргумента к данной точке.

В математике пределом последовательности элементов метрического пространства или топологического пространства называют элемент того же пространства, который обладает свойством «притягивать» элементы заданной последовательности. Пределом последовательности элементовтопологического пространства является такая точка, каждая окрестность которой содержит все элементы последовательности, начиная с некоторого номера. В метрическом пространстве окрестности определяются через функцию расстояния, поэтому понятие предела формулируется на языке расстояний. Исторически первым было понятиепредела числовой последовательности, возникающее в математическом анализе, где оно служит основанием для системы приближений и широко используется при построении дифференциального и интегральногоисчислений.

Обозначение:

(читается: предел последовательности икс-энное при эн, стремящемся к бесконечности, равен a )

Свойство последовательности иметь предел называют сходимостью : если у последовательности есть предел, то говорят, что данная последовательность сходится ; в противном случае (если у последовательности нет предела) говорят, что последовательность расходится . В хаусдорфовом пространстве и, в частности, метрическом пространстве , каждая подпоследовательность сходящейся последовательности сходится, и её предел совпадает с пределом исходной последовательности. Другими словами, у последовательности элементов хаусдорфово пространства не может быть двух различных пределов. Может, однако, оказаться, что у последовательности нет предела, но существует подпоследовательность (данной последовательности), которая предел имеет. Если из любой последовательности точек пространства можно выделить сходящуюся подпоследовательность, то, говорят, что данное пространство обладает свойством секвенциальной компактности (или, просто, компактности, если компактность определяется исключительно в терминах последовательностей).

Понятие предела последовательности непосредственно связано с понятием предельной точки (множества): если у множества есть предельная точка, то существует последовательность элементов данного множества, сходящаяся к данной точке.

Определение

Пусть дано топологическое пространство и последовательность Тогда, если существует элемент такой, что

где — открытое множество, содержащее , то он называется пределом последовательности . Если пространство является метрическим, то предел можно определить с помощью метрики: если существует элемент такой, что

где — метрика, то называется пределом .

· Если пространство снабжено антидискретной топологией, то пределом любой последовательности будет любой элемент пространства.

6. Предел функции в точке. Односторонние пределы.

Функция одной переменной. Определение предела функции в точке по Коши. Число b называется пределом функции у = f (x ) при х , стремящемся к а (или в точке а ), если для любого положительного числа  существует такое положительное число , что при всех х ≠ а, таких, что |x – a | | f (x ) – a |

Определение предела функции в точке по Гейне. Число b называется пределом функции у = f (x ) при х , стремящемся к а (или в точке а ), если для любой последовательности {x n }, сходящейся к а (стремящейся к а , имеющей пределом число а ), причем ни при каком значении n х n ≠ а , последовательность {y n = f (x n)} сходится к b .

Данные определения предполагают, что функция у = f (x ) определена в некоторой окрестноститочки а , кроме, быть может, самой точки а .

Определения предела функции в точке по Коши и по Гейне эквивалентны: если число b служит пределом по одному из них, то это верно и по второму.

Указанный предел обозначается так:

Геометрически существование предела функции в точке по Коши означает, что для любого числа > 0 можно указать на координатной плоскости такой прямоугольник с основанием 2 > 0, высотой 2 и центром в точке (а; b ), что все точки графика данной функции на интервале (а – ; а + ), за исключением, быть может, точки М (а ; f (а )), лежат в этом прямоугольнике

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва ) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва ). Пусть на некотором числовом множестве задана числовая функция и число — предельная точка области определения . Существуют различные определения для односторонних пределов функции в точке , но все они эквивалентны.

1) Область определения функции и область значений функции .

Область определения функции — это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции — это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.

В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.

2) Нули функции .

Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.

3) Промежутки знакопостоянства функции .

Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.

4) Монотонность функции .

Возрастающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) — функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

5) Четность (нечетность) функции .

Четная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Нечетная функция — функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = — f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

6) Ограниченная и неограниченная функции .

Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция — неограниченная.

7) Периодическость функции .

Функция f(x) — периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).

19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.

Основные элементарные функции. Их свойства и графики

1. Линейная функция.

Линейной функцией называется функция вида , где х — переменная, а и b — действительные числа.

Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.

Свойства линейной функции

1. Область определения — множество всех действительных чисел: Д(y)=R

2. Множество значений — множество всех действительных чисел: Е(у)=R

3. Функция принимает нулевое значение при или.

4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.

5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .

2. Квадратичная функция.

Функция вида , где х — переменная, коэффициенты а, b, с — действительные числа, называетсяквадратичной.

Степенная функция. Это функция: y = ax n , где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность : y = ax ; при n = 2 — квадратную параболу ; при n = — 1 — обратную пропорциональность или гиперболу . Таким образом, эти функции — частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, приn = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a , т. e . её график — прямая линия, параллельная оси Х , исключая начало координат (поясните, пожалуйста, почему ? ). Все эти случаи (при a = 1 ) показаны на рис.13 (n 0 ) и рис.14 ( n x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.

При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y . При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой .

На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x 2 , её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла . Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак ± перед квадратным корнем). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.

Что означают слова «задать функцию»? Они означают: объяснить всем желающим, о какой конкретной функции идёт речь. Причём, объяснить чётко и однозначно!

Как это можно сделать? Как задать функцию?

Можно написать формулу. Можно нарисовать график. Можно составить табличку. Любой способ — это какое-то правило, по которому можно узнать значение игрека для выбранного нами значения икса. Т.е. «задать функцию» , это значит — показать закон, правило, по которому икс превращается в игрек.

Обычно, в самых различных заданиях присутствуют уже готовые функции. Они нам уже заданы. Решай себе, да решай.) Но… Чаще всего школьники (да и студенты) работают с формулами. Привыкают, понимаешь. .. Так привыкают, что любой элементарный вопрос, относящийся к другому способу задания функции, тотчас огорчает человека…)

Во избежание подобных случаев, имеет смысл разобраться с разными способами задания функций. Ну и, конечно, применить эти знания к «хитрым» вопросам. Это достаточно просто. Если знаете, что такое функция…)

Поехали?)

Аналитический способ задания функции.

Самый универсальный и могучий способ. Функция, заданная аналитически, это функция, которая задана формулами. Собственно, это и есть всё объяснение.) Знакомые всем (хочется верить!)) функции, например: y = 2x, или y = x 2 и т.д. и т.п. заданы именно аналитически.

К слову сказать, не всякая формула может задавать функцию. Не в каждой формуле соблюдается жёсткое условие из определения функции. А именно — на каждый икс может быть только один игрек. Например, в формуле у = ±х , для одного значения х=2, получается два значения у: +2 и -2. Нельзя этой формулой задать однозначную функцию. А с многозначными функциями в этом разделе математики, в матанализе, не работают, как правило.

Чем хорош аналитический способ задания функции? Тем, что если у вас есть формула — вы знаете про функцию всё! Вы можете составить табличку. Построить график. Исследовать эту функцию по полной программе. Точно предсказать, где и как будет вести себя эта функция. Весь матанализ стоит именно на таком способе задания функций. Скажем, взять производную от таблицы крайне затруднительно…)

Аналитический способ достаточно привычен и проблем не создаёт. Разве что некоторые разновидности этого способа, с которыми сталкиваются студенты. Я про параметрическое и неявное задание функций.) Но такие функции — в специальном уроке.

Переходим к менее привычным способам задания функции.

Табличный способ задания функции.

Как следует из названия, этот способ представляет собой простую табличку. В этой таблице каждому иксу соответствует (ставится в соответствие ) какое-то значение игрека. В первой строчке — значения аргумента. Во второй строчке — соответствующие им значения функции, например:

Таблица 1.

x	— 3	— 1	0	2	3	4
y	5	2	— 4	— 1	6	5

Прошу обратить внимание! В данном примере игрек зависит от икса как попало. Я специально так придумал.) Нет никакой закономерности. Ничего страшного, так бывает. Значит, именно так я задал эту конкретную функцию. Именно так я установил правило, по которому икс превращается в игрек.

Можно составить другую табличку, в которой будет закономерность. Этой табличкой будет задана другая функция, например:

Таблица 2.

x	— 3	— 1	0	2	3	4
y	— 6	— 2	0	4	6	8

Уловили закономерность? Здесь все значения игрека получаются умножением икса на двойку. Вот и первый «хитрый» вопрос: можно ли функцию, заданную с помощью Таблицы 2, считать функцией у = 2х ? Подумайте пока, ответ будет ниже, в графическом способе. Там это всё очень наглядно.)

Чем хорош табличный способ задания функции? Да тем, что считать ничего не надо. Всё уже посчитано и написано в таблице.) А более ничего хорошего нет. Мы не знаем значения функции для иксов, которых нет в таблице. В этом способе такие значения икса просто не существуют. Кстати, это подсказка к хитрому вопросу.) Мы не можем узнать, как ведёт себя функция за пределами таблицы. Ничего не можем. Да и наглядность в этом способе оставляет желать лучшего… Для наглядности хорош графический способ.

Графический способ задания функции.

В данном способе функция представлена графиком. По оси абсцисс откладывается аргумент (х), а по оси ординат — значение функции (у). По графику тоже можно выбрать любой х и найти соответствующее ему значение у . График может быть любой, но… не какой попало.) Мы работаем только с однозначными функциями. В определении такой функции чётко сказано: каждому х ставится в соответствие единственный у . Один игрек, а не два, или три… Для примера, посмотрим на график окружности:

Окружность, как окружность… Почему бы ей не быть графиком функции? А давайте найдем, какой игрек будет соответствовать значению икса, например, 6? Наводим курсор на график (или касаемся рисунка на планшете), и. .. видим, что этому иксу соответствует два значения игрека: у=2 и у=6.

Два и шесть! Стало быть, такой график не будет графическим заданием функции. На один икс приходится два игрека. Не соответствует этот график определению функции.

Но если условие однозначности выполнено, график может быть совершенно любым. Например:

Эта самая кривулина — и есть закон, по которому можно перевести икс в игрек. Однозначный. Захотелось нам узнать значение функции для х = 4, например. Надо найти четвёрку на оси иксов и посмотреть, какой игрек соответствует этому иксу. Наводим мышку на рисунок и видим, что значение функции у для х=4 равно пяти. Какой формулой задано такое превращение икса в игрек — мы не знаем. И не надо. Графиком всё задано.

Теперь можно вернуться к «хитрому» вопросу про у=2х. Построим график этой функции. Вот он:

Разумеется, при рисовании этого графика мы не брали бесконечное множество значений х. Взяли несколько значений, посчитали у, составили табличку — и всё готово! Самые грамотные вообще всего два значения икса взяли! И правильно. Для прямой больше и не надо. Зачем лишняя работа?

Но мы совершенно точно знали, что икс может быть любым. Целым, дробным, отрицательным… Любым. Это по формуле у=2х видно. Поэтому смело соединили точки на графике сплошной линией.

Если же функция будет нам задана Таблицей 2, то значения икса нам придётся брать только из таблицы. Ибо другие иксы (и игреки) нам не даны, и взять их негде. Нет их, этих значений, в данной функции. График получится из точек. Наводим мышку на рисунок и видим график функции, заданной Таблицей 2. Значения икс-игрек на осях я не писал, разберётесь, поди, по клеточкам?)

Вот и ответ на «хитрый» вопрос. Функция, заданная Таблицей 2 и функция у=2х — разные.

Графический способ хорош своей наглядностью. Сразу видно, как ведёт себя функция, где возрастает. где убывает. По графику сразу можно узнать некоторые важные характеристики функции. А уж в теме с производной, задания с графиками — сплошь и рядом!

Вообще, аналитический и графический способы задания функции идут рука об руку. Работа с формулой помогает построить график. А график частенько подсказывает решения, которые в формуле и не заметишь… Мы с графиками дружить будем.)

Почти любой ученик знает три способа задания функции, которые мы только что рассмотрели. Но на вопрос: «А четвёртый!?» — зависает основательно.)

Такой способ есть.

Словесное описание функции.

Да-да! Функцию можно вполне однозначно задать словами. Великий и могучий русский язык на многое способен!) Скажем, функцию у=2х можно задать следующим словесным описанием: каждому действительному значению аргумента х ставится в соответствие его удвоенное значение. Вот так! Правило установлено, функция задана.

Более того, словесно можно задать функцию, которую формулой задать крайне затруднительно, а то и невозможно. Например: каждому значению натурального аргумента х ставится в соответствие сумма цифр, из которых состоит значение х. Например, если х=3, то у=3. Если х=257, то у=2+5+7=14. И так далее. Формулой это записать проблематично. А вот табличку легко составить. И график построить. Кстати, график забавный получается…) Попробуйте.

Способ словесного описания — способ достаточно экзотичный. Но иногда встречается. Здесь же я его привёл, чтобы придать вам уверенности в неожиданных и нестандартных ситуациях. Нужно просто понимать смысл слов «функция задана…» Вот он, этот смысл:

Если есть закон однозначного соответствия между х и у — значит, есть функция. Какой закон, в какой форме он выражен — формулой, табличкой, графиком, словами, песнями, плясками — сути дела не меняет. Этот закон позволяет по значению икса определить соответствующее значение игрека. Всё.

Сейчас мы применим эти глубокие знания к некоторым нестандартным заданиям. ) Как и обещано в начале урока.

Задание 1:

Функция у = f(x) задана Таблицей 1:

Таблица 1.

Найти значение функции p(4), если p(х)= f(x) — g(x)

Если вы вообще не можете понять, что к чему — прочитайте предыдущий урок «Что такое функция?» Там про такие буковки и скобочки очень понятно написано.) А если вас смущает только табличная форма, то разбираемся здесь.

Из предыдущего урока ясно, что, если, p(х) = f(x) — g(x) , то p(4) = f(4) — g(4) . Буквы f и g означают правила, по которым каждому иксу ставится в соответствие свой игрек. Для каждой буквы (f и g ) — своё правило. Которое задано соответствующей таблицей.

Значение функции f(4) определяем по Таблице 1. Это будет 5. Значение функции g(4) определяем по Таблице 2. Это будет 8. Остаётся самое трудное.)

p(4) = 5 — 8 = -3

Это правильный ответ.

Решить неравенство f(x) > 2

Вот-те раз! Надо решить неравенство, которое (в привычной форме) блистательно отсутствует! Остаётся либо бросать задание, либо включить голову. Выбираем второе и рассуждаем.)

Что значит решить неравенство? Это значит, найти все значения икса, при которых выполняется данное нам условие f(x) > 2 . Т.е. все значения функции (у ) должны быть больше двойки. А у нас на графике игрек всякий есть… И больше двойки есть, и меньше… А давайте, для наглядности, по этой двойке границу проведём! Наводим курсор на рисунок и видим эту границу.

Строго говоря, эта граница есть график фукции у=2, но это не суть важно. Важно то, что сейчас на графике очень хорошо видно, где, при каких иксах, значения функции, т.е. у, больше двойки. Они больше при х> 3. При х> 3 вся наша функция проходит выше границы у=2. Вот и всё решение. Но выключать голову ещё рано!) Надо ещё ответ записать…

На графике видно, что наша функция не простирается влево и вправо на бесконечность. Об этом точки на концах графика говорят. Кончается там функция. Стало быть, в нашем неравенстве все иксы, которые уходят за пределы функции смысла не имеют. Для функции этих иксов не существует. А мы, вообще-то, неравенство для функции решаем…

Правильный ответ будет:

3 х ≤ 6

Или, в другой форме:

х ∈ (3; 6]

Теперь всё, как надо. Тройка не включается в ответ, т.к. исходное неравенство строгое. А шестёрка включается, т.к. и функция при шестёрке существует, и условие неравенства выполняется. Мы успешно решили неравенство, которого (в привычной форме) нету…

Вот так некоторые знания и элементарная логика спасают в нестандартных случаях.)

Длина отрезка на координатной оси находится по формуле:

Длина отрезка на координатной плоскости ищется по формуле:

Для нахождения длины отрезка в трёхмерной системе координат используется следующая формула:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы) вычисляются по формулам:

Функция – это соответствие вида y = f (x ) между переменными величинами, в силу которого каждому рассматриваемому значению некоторой переменной величины x (аргумента или независимой переменной) соответствует определенное значение другой переменной величины, y (зависимой переменной, иногда это значение просто называют значением функции). Обратите внимание, что функция подразумевает, что одному значению аргумента х может соответствовать только одно значение зависимой переменной у . При этом одно и то же значение у может быть получено при различных х .

Область определения функции – это все значения независимой переменной (аргумента функции, обычно это х ), при которых функция определена, т.е. ее значение существует. Обозначается область определения D (y ). По большому счету Вы уже знакомы с этим понятием. Область определения функции по другому называется областью допустимых значений, или ОДЗ, которую Вы давно умеете находить.

Область значений функции – это все возможные значения зависимой переменной данной функции. Обозначается Е (у ).

Функция возрастает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает на промежутке, на котором большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Промежутки знакопостоянства функции – это промежутки независимой переменной, на которых зависимая переменная сохраняет свой положительный или отрицательный знак.

Нули функции – это такие значения аргумента, при которых величина функции равна нулю. В этих точках график функции пересекает ось абсцисс (ось ОХ). Очень часто необходимость найти нули функции означает необходимость просто решить уравнение. Также часто необходимость найти промежутки знакопостоянства означает необходимость просто решить неравенство.

Функцию y = f (x ) называют четной х

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения четной функции равны. График чётной функции всегда симметричен относительно оси ординат ОУ.

Функцию y = f (x ) называют нечетной , если она определена на симметричном множестве и для любого х из области определения выполняется равенство:

Это означает, что для любых противоположных значений аргумента, значения нечетной функции также противоположны. График нечётной функции всегда симметричен относительно начала координат.

Сумма корней чётной и нечетной функций (точек пересечения оси абсцисс ОХ) всегда равна нулю, т.к. на каждый положительный корень х приходится отрицательный корень –х .

Важно отметить: некоторая функция не обязательно должна быть четной либо нечетной. Существует множество функций не являющихся ни четными ни нечетными. Такие функции называются функциями общего вида , и для них не выполняется ни одно из равенств или свойств приведенных выше.

Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой:

График линейной функции представляет из себя прямую и в общем случае выглядит следующим образом (приведен пример для случая когда k > 0, в этом случае функция возрастающая; для случая k

График квадратичной функции (Парабола)

График параболы задается квадратичной функцией:

Квадратичная функция, как и любая другая функция, пересекает ось ОХ в точках являющихся её корнями: (x 1 ; 0) и (x 2 ; 0). Если корней нет, значит квадратичная функция ось ОХ не пересекает, если корень один, значит в этой точке (x 0 ; 0) квадратичная функция только касается оси ОХ, но не пересекает её. Квадратичная функция всегда пересекает ось OY в точке с координатами: (0; c ). График квадратичной функции (парабола) может выглядеть следующим образом (на рисунке примеры, которые далеко не исчерпывают все возможные виды парабол):

При этом:

• если коэффициент a > 0, в функции y = ax 2 + bx + c , то ветви параболы направлены вверх;
• если же a

Координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины (p — на рисунках выше) параболы (или точка в которой квадратный трехчлен достигает своего наибольшего или наименьшего значения):

Игрек вершины (q — на рисунках выше) параболы или максимальное, если ветви параболы направлены вниз (a a > 0), значение квадратного трехчлена:

Графики других функций

Степенной функцией

Приведем несколько примеров графиков степенных функций:

Обратно пропорциональной зависимостью называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от знака числа k график обратно пропорциональной зависимости может иметь два принципиальных варианта:

Асимптота — это линия, к которой линия графика функции бесконечно близко приближается, но не пересекает. Асимптотами для графиков обратной пропорциональности приведенных на рисунке выше являются оси координат, к которым график функции бесконечно близко приближается, но не пересекает их.

Показательной функцией с основанием а называют функцию, заданную формулой:

a график показательной функции может иметь два принципиальных варианта (приведем также примеры, см. ниже):

Логарифмической функцией называют функцию, заданную формулой:

В зависимости от того больше или меньше единицы число a график логарифмической функции может иметь два принципиальных варианта:

График функции y = |x | выглядит следующим образом:

Графики периодических (тригонометрических) функций

Функция у = f (x ) называется периодической , если существует такое, неравное нулю, число Т , что f (x + Т ) = f (x ), для любого х из области определения функции f (x ). Если функция f (x ) является периодической с периодом T , то функция:

где: A , k , b – постоянные числа, причем k не равно нулю, также периодическая с периодом T 1 , который определяется формулой:

Большинство примеров периодических функций — это тригонометрические функции. Приведем графики основных тригонометрических функций. На следующем рисунке изображена часть графика функции y = sinx (весь график неограниченно продолжается влево и вправо), график функции y = sinx называют синусоидой :

График функции y = cosx называется косинусоидой . Этот график изображен на следующем рисунке. Так как и график синуса он бесконечно продолжается вдоль оси ОХ влево и вправо:

График функции y = tgx называют тангенсоидой . Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Ну и наконец, график функции y = ctgx называется котангенсоидой . Этот график изображен на следующем рисунке. Как и графики других периодических и тригонометрических функций, данный график неограниченно далеко повторяется вдоль оси ОХ влево и вправо.

Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике . На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.

Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на почту. Написать об ошибке можно также в социальной сети (). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

Методы построения графиков функций | Обучонок

В данном методическом материале по математике на тему «Методы построения графиков функций» дается определение функции, рассматриваются способы задания функций: табличный, словесный, графический и аналитический.

В методическом материале по математике (алгебре) «Методы построения графиков функций» проводится разбор методов построения графиков функций: параллельный перенос, отражение, выполняется построение графиков четной и нечетной функций.

Оглавление

Введение
Глава 1. Определение функций.
Глава 2. Способы задания функций
Глава 3. Методы построения графиков функций
3.1. Параллельный перенос.
3.2. Отражение.
3.3. Построение графиков четной и нечетной функций.
Список источников

Введение

Изучение действий функций и построение их графиков является важным разделом математики.

Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решить многие задачи и порой является единственным средством их решения.

Кроме того, умение строить графики функций представляет собой большой самостоятельный интерес.

Глава 1. Определение функций

Величины, участвующие в одном и том же явлении, могут быть взаимосвязаны, так что изменение одних из них влечёт за собой изменение других. Например, увеличение (или уменьшение) радиуса круга ведёт к обязательному увеличению (или уменьшению) его площади.

В таких случаях говорят, что между переменными величинами существует функциональная зависимость, причём одну величину называют функцией, или зависимой переменной (е часто обозначают буквой у), а другую — аргументом, или независимой переменной (её обозначают буквой х).

Функциональную зависимость между х и у принято обозначать символом y=f (x). Если значению х соответствует больше, чем одно значение у, то такая функция называется многозначной.

Переменная величина у есть функция аргумента х, то есть y=f (x), если каждому возможному значению х соответствует одно определённое значение у.

Графиком функции называется совокупность всех точек на плоскости, прямоугольные координаты которых х и у удовлетворяют уравнению y=f (x).

Горизонтальную ось Ох называют осью абсцисс, вертикальную ось Оу — осью ординат.

Графическое изображение функции имеет важное значение для её изучения. На графике функции часто непосредственно видны такие её особенности, которые можно было бы установить лишь путём длительных вычислений. Если между величинами х и у существует функциональная связь, то безразлично, какую из этих величин считать аргументом, а какую — функцией.

Глава 2. Способы задания функций

1). Табличный способ. При этом способе ряд отдельных значений аргумента х1, х2, …, хk и соответствующий ему ряд отдельных значений функции у1, у2, …, уk задаются в виде таблицы.

Несмотря на простоту, такой способ задания функции обладает существенным недостатком, так как не дает полного представления о характере функциональной зависимости между х и у и не является наглядным.

2). Словесный способ. Обычно этот способ задания иллюстрируют примером функции Дирихле у = D (х): если х — рациональное число, то значение функции D (х) равно 1, а если число х — иррациональное, то значение функции D (х) равно нулю.

Таким образом, чтобы найти значение D (x0) при заданном значении х = х0, необходимо каким — либо способом установить, рационально или иррационально число х0.

3). Графический способ. Функциональная зависимость может быть задана с помощью графика функции у = f (x).

Преимуществом такого способа задания является наглядность, позволяющая установить важные черты поведения функции. Недостаток графического способа заключается в невозможности применения математического аппарата для более детального исследования функции.

4). Аналитический способ. При аналитическом способе задания известна формула, по которой по заданному значению аргумента х можно найти соответствующее значение функции у. В математике чаще всего используется именно аналитический способ задания функций.

Преимуществами такого способа задания являются компактность, возможность подсчета значения у при любом значении х и возможность применения математического аппарата для более детального исследования поведения функции. Однако аналитическому способу задания функции присуща недостаточная наглядность и возможная трудность вычисления значений функции.

Глава 3. Методы построения графиков функций

Исследование функции дает возможность найти область определения и область изменения функции, области ее убывания или возрастания, асимптоты, интервал знакопостоянства и др.

Однако при рассмотрении графиков многих функций часто можно избежать проведения подобного исследования, используя ряд методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графика.

Изложению именно таких методов посвящается эта глава, которая может служить практическим руководством при построении многих функций.

Параллельный перенос

Перенос вдоль оси ординат.

f (x) => f (x) — b

Пусть требуется построить график функции у = f (х) — b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений x на ЅbЅ единиц меньше соответствующих ординат графика функций у = f (х) при b>0 и на ЅbЅ единиц больше — при b

Следовательно, график функции у = y (х) — b можно получить параллельным переносом вдоль оси ординат графика функции у = f (х) на ЅbЅ единиц вниз при b>0 или вверх при b

Перемещение графика связано с его перерисовыванием, что бывает затруднительно, особенно в случае сложных графиков. Перенос же графика на ЅbЅ единиц вниз или вверх вдоль оси ординат эквивалентен соответствующему противоположному переносу оси абсцисс настолько же единиц.

Именно этим способом мы будем пользоваться. Тогда представив исходную функцию в виде у + b = f (х), сформулируем следующее правило.

Для построения графика функции y + b = f (x) следует построить график функции y = f (x) и перенести ось абсцисс на ЅbЅ единиц вверх при b>0 или наЅbЅ единиц вниз при b

Полученный в новой системе координат график является графиком функции y = f (x) — b.

Перенос вдоль оси абсцисс.

f (x) => f (x + a)

Пусть требуется построить график функции у = f (x + a). Рассмотрим функцию y = f (x), которая в некоторой точке x = x1 принимает значение у1 = f (x1).

Очевидно, функция у = f (x + a) примет такое же значение в точке x2, координата которой определяется из равенства x2 + a = x1, т.е. x2 = x1 — a, причем рассматриваемое равенство справедливо для совокупности всех значений из области определения функции.

Следовательно, график функции у = f (x + a) может быть получен параллельным перемещением графика функции y = f (x) вдоль оси абсцисс влево наЅaЅ единиц при a>0 или вправо на ЅaЅ единиц при a

Для построения графика функции y = f (x + a) следует построить график функции y = f (x) и перенести ось ординат на ЅaЅ единиц вправо при a>0 или наЅaЅ единиц влево при a

Отражение

Построение графика функции вида y = f (-x). f (x) => f (-x)
Очевидно, что функции y = f (-x) и y = f (x) принимают равные значения в точках, абсциссы которых равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку.

Иначе говоря, ординаты графика функции y = f (-x) в области положительных (отрицательных) значений х будут равны ординатам графика функции y = f (x) при соответствующих по абсолютной величине отрицательных (положительных) значениях х.

Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = f (-x) следует построить график функции y = f (x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y = f (-x)

Построение графика функции вида y = — f (x).
f (x) => — f (x)

Ординаты графика функции y = — f (x) при всех значениях аргумента равны по абсолютной величине, но противоположны по знаку ординатам графика функции y = f (x) при тех же значениях аргумента.

Таким образом, получаем следующее правило.
Для построения графика функции y = — f (x) следует построить график функции y = f (x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Построение графиков четной и нечетной функций.

Как уже отмечалось, для четной функции y = f (x) во всей области изменения ее аргумента справедливо соотношение f (x) = f (-x).

Следовательно, функция такого рода принимает одинаковое значение при всех значениях аргумента, равных по абсолютной величине, но противоположных по знаку. График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Для построения графика четной функции y = f (x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (хі0). График функции y = f (x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно оси ординат и получается отражением ее относительно этой оси.

Для нечетной функции y = f (x) в области всех значений аргумента справедливо равенство f (-x) = — f (x).

Таким образом, в области отрицательных значений аргумента ординаты графика нечетной функции равны по величин, но противоположны по знаку ординатам графика той же функции при соответствующих положительных значениях х. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Для построения графика нечетной функции y = f (x) следует построить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (хі0).

График функции y = f (x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно начала координат и может быть получен отражением этой ветви относительно оси ординат с последующим отражением в области отрицательных значений относительно оси абсцисс.

Список источников

1. Алгебра и начала математического анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений / под редакцией А.Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын, Б. М. Ивлев, С. И. Шварцбурд; 23-изд.-М.: Просвещение, 2014 -384с.

Если страница Вам понравилась, поделитесь в социальных сетях:

График функции, построение графика, урок по алгебре за 10 класс, презентация

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Урок на тему: «Построение графиков функций. Алгоритм построения и примеры»

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

---

Скачать: Построение графиков функций (PDF)

---

Ребята, мы с вами построили много графиков функций, например, параболы, гиперболы, графики тригонометрических функций и другие. Давайте вспомним, как мы это делали. Мы выбирали точки на оси абсцисс, высчитывали значения ординат нашей функций и плавно соединяли наши ординаты на координатной плоскости. То есть, мы строили график по точкам. При построении многих графиков, точки нужно выбирать обдуманно. Теперь давайте обобщим наши знания и напишем общие правила построения графиков функций.

Что же такое график функции?

График функции – это множество точек, абсциссы которых являются значениями из области определения, а ординаты — значениями функции y= f(x). График любой функций строят по точкам. Но если мы точно не знаем, какой будет вид у графика, то точки надо выбирать обдуманно. Ребята, какие важные точки есть у функций?

Давайте, вспомним их:

а) Стационарные и критические точки. Такие точки мы научились находить при вычислении экстремумов функций. Это точки, в которой производная либо равна нулю, либо не существует.
б) Точки экстремума. Точки максимума и минимума функций. Точки, возле которых определяется характер монотонности.
в) Точки пересечения графика с осью абсцисс и осью ординат. Значения, в которых функция y= f(x)= 0 – точки пересечения с осью абсцисс. А если вычислить f(0) – то эта точка пересечения с осью ординат.
г) Точки разрыва функций. Эти точки ищутся для не непрерывных функций.

Правило построения графиков функций

Ребята, давайте запишем основные правила построения графиков функций:

• Если функция y= f(x) непрерывна на всей числовой прямой, то надо найти стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности, точки пересечения графика с осями координат и при необходимости выбрать еще несколько контрольных точек, в которых следует подсчитать значение нашей функции.
• Если функция y= f(x) определена не на всей числовой прямой, то начинать следует с нахождения области определения функции, с указания точек ее разрыва.
• Полезно исследовать функцию на чётность, поскольку графики четной или нечетной функций обладают симметрией (соответственно относительно оси y или относительно начала координат), и, следовательно, можно сначала построить только ветвь графика при x ≥ 0, а затем дорисовать симметричную ветвь.
• Если то прямая y= b является горизонтальной асимптотой нашего графика функции. Асимптота — это некоторой ориентир для нашей функции. Это то, к чему стремится график функции в точке, но не достигает этого значения.
• Если f(x)=$\frac{p(x)}{q(x)}$; и при x= a знаменатель обращается в нуль, а числитель отличен от нуля, то x= a — это вертикальная асимптота.

Несколько правил, упрощающих построение графиков функций:

а) График функции y= f(x) + a получается из графика функции y= f(x) (график y= f(x) заранее известен), путем параллельного переноса графика y= f(x) на а единиц вверх, если а > 0; и на а единиц вниз, если а

Для примера построим три графика: а) y= x², б) y= x² + 2, в) y= x² — 3.

Графики наших функций получается из графика функции y=x², путем его параллельного переноса: б) на две единицы вверх, в) на три единицы вниз.

Графики наших функций:

б) График функции y= f(x + a) получается из графика функции y= f(x) (график y= f(x) заранее известен). Используем параллельный перенос графика y= f(x) на а единиц влево, если а > 0, и на а единиц вправо, если а

Для примера построим три графика: а) y= (x — 2)², б) y= (x + 1)².

Графики наших функций получается из графика функции y= x², путем его параллельного переноса: б) на две единицы вправо, в) на одну единицу влево.

Графики наших функций:

в) Для построения графика функции y= f(-x), следует построить график функции y= f(x) и отразить его относительно оси ординат. Полученный график является графиком функции y= f(-x).

Для примера построим два графика: a) y= x³, б) y= (-x)³.

Графики нашей функций получается из графика функции y=x³, путем отражения относительно оси ординат.

г) Для построения графика функции y= -f(x) следует построить график функции y=f(x) и отразить его относительно оси абсцисс.

Для примера построим два графика: a) y= cos(x), б) y=-cos(x). Графики нашей функций получается из графика функции y= cos(x), путем отражения относительно оси абсцисс.

Ребята, теперь давайте построим графики функций, вид которых заранее не известен. Будем использовать правила, которые мы определили в начале.

Примеры на построение

I. Построить график функции: y= 2x² + 4x — 5.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞; +∞).
2) Найдем стационарные точки:
y’= 4x + 4,
4x + 4 = 0,
x= -1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= -1 – точка минимума. Найдем значение функции в точке x= -1
y(-1)= 2(-1)² + 4(-1) — 5= -7.
Итак, наша функция убывает на промежутке =(-∞;-1), x= -1 – точка минимума, функция возрастает на промежутке (-1; +∞).

Вычислим значения функции в паре точек:

Построим график функции:

II. Построить график функции: y= 5x³ — 3x⁵.

Решение:
1) Область определения: D(y)= (-∞;+∞).
2) Найдем стационарные точки:
y’= 15x² — 15x⁴,
y’= 15x²(1 — x²)= 15x²(1 — x)(1 + x),
15x²(1 — x)(1 + x)= 0,
x= 0; ±1.
3) Определим вид стационарной точки и характер монотонности:

Точка x= -1 – точка минимума.
Точка x= 0 – точка перегиба, функция в этой точки так же возрастает, но вогнутость меняется в другую сторону.
Точка x= 1 – точка максимума.

Найдем значение функции в точке x= -1: y(-1)= 5(-1)³ — 3(-1)⁵= -2.
Найдем значение функции в точке x= 0: y(0)= 5(0)³ — 3(0)⁵= 0.
Найдем значение функции в точке x= 1: y(1)= 5(1)³ — 3 (1)⁵= 2

5) Исследуем функцию на четность: y(-x)= 5(-x³) — 3(-x⁵)= -5x³ + 3⁵= -y(x)
По определению функция нечетная, и график симметричен относительно начало координат.

Итак, функция нечетная.
Наша функция убывает на промежутке равном (-∞;-1).
x= -1 – точка минимума. Функция возрастает на (-1;1).
x= 0 – точка перегиба.
x= 1 – точка максимума. Функция возрастает на (1;+∞).

Вычислим значения функции в паре точек:

Построим график функции:

III. 2-4}$= y(x)

По определению функция четная. Значит, график функции симметричен относительно оси ординат, можно сначала построить график функции для x ≥ 0. 3) Прямая x= 2 – вертикальная асимптота, т.к. знаменатель нашей функции в этой точке обращается в нуль.

Найдем горизонтальную асимптоту:

Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

4) Найдем стационарные и критические точки: Критических точек у нашей функции нет, т.к. производная определена всюду на области определения нашей функции.
5) Определим вид стационарной точки и характер монотонности: Точка x= 0 – точка максимума.

Итак, наша функция четная. Она возрастает на промежутке равном (-∞;0), x= 0 – точка максимума. Функция убывает на (0;+∞).
Прямая x= 2 – вертикальная асимптота. Прямая y= 1 – горизонтальная асимптота.

Вычислим значения функции в паре точек:

Т.к. функция четная построим сначала график для x ≥ 0.

Используя свойство четных функций, отразим график функции относительно оси ординат. 2+2)}$.

5.1 — Введение в функции

5.1 — Введение в функции

5.1 — Введение в функции

---

Определение: Функция является соответствием или отображением из первого набора чисел, называемого доменом функции, ко второму набору чисел, называемому диапазоном функции, так что на каждого члена домена приходится ровно один член диапазон, как показано на этом рисунке:

Концепция функциональной машины и функциональная нотация

Полезно думать о функции как о машине с числом из домена в качестве входных данных и соответствующий номер диапазона в качестве вывода.Функция получает имя вроде f . (сокращение от слова «функция»), и если номер, поступающий в машину, называется x , затем соответствующий номер возвращается или выходит из машины обозначается f  ( x ). Вот изображение:

Функциональная запись f ( x ) буквально означает «Функция x ».

Способы выражения функции

Функция может быть выражена различными способами:

---

Аргумент и значение функции

Значение домена, которое входит в функциональную машину, также называется аргумент функции и значение диапазона, которое выходит из функциональная машина также называется значением функции.Предположим, например, что f (5) = 15. Тогда мы говорим, что аргумент функции f равен 5, а значение f равно 15.

---

Идентификация домена и диапазона функции

Область определения и диапазон функции не всегда являются множеством всех действительных чисел. Если функция представлена ​​в виде списка или графика, вы можете определить домен и диапазон, просто взглянув на список или график. Но если функция выражается в виде формулы, то необходимо сделать следующее:

• Подставьте значения потенциальных доменов в формулу и убедитесь, что что они не вызывают неопределенных операций (таких как деление на ноль или квадратный корень из отрицательного числа). Если они это сделают, то они не в домене.
• Когда домен известен, вы можете найти диапазон, заменив различные значения домена в формулу.

Пример: Рассмотрим функцию . Домен должно быть, потому что в противном случае мы пытаемся извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Тогда, если мы подставим в формулу различные значения домена, мы видим, что диапазон . Вот график этой функции, который подтверждает наши выводы:

---

Тест вертикальной линии для функции

Определение функции гласит, что для каждого члена домена существует может быть только один член диапазона .Таким образом, график функции не может выглядеть так:
где есть значение x , для которого есть два или более соответствующих и значений. Если график не проходит эту так называемую вертикальную линию test , то это не график функции. Вместо этого мы говорим, что это граф отношения между x и y .

---

Функции «один к одному» и «многие к одному»

Говорят, что функция является взаимно однозначной , если каждое значение y имеет ровно одно значение x , отображенное на него, и многие-к-одному , если есть y значений, которым сопоставлено более одного значения x .На этом графике показана функция «многие к одному». Три точки обозначают три x значения, которые все отображаются на одно и то же значение y .
Одна сложность с функцией «многие к одному» заключается в том, что она не может иметь обратная функция. Если бы это было возможно, это обратное будет один ко многим, и это нарушит определение функции.

---

Подстановка выражений в функции

Часто, особенно в исчислении, мы используем формульную форму функции и пусть аргумент будет выражением вместо просто число.Единственная сложность в этом случае состоит в том, что мы обычно должны поместите аргумент в скобки, чтобы сохранить правильный порядок операций. Это потому, что формула — это всего лишь рецепт того, что сделать с вводом (аргументом), чтобы получить вывод (значение функции). Например, функциональная запись:

f  ( x ) = x ² − 2 x

означает, что значение функции получается путем возведения в квадрат аргумента и вычитание из него удвоенного аргумента.На самом деле это не имеет значения какую букву мы используем для аргумента; это как работает функция что является важным.

Таким образом, следующие замены являются допустимыми:

• f  (4) = 4 ² − 2 · 4
• f  ( t ) = t ² − 2 t
• f  ( x+ h ) = ( x+ h ) ² − 2 ( x+ h )
• f  ( a x ) = ( a x ) ² − 2 ( a x )

Предупреждение:   Пусть вас не смущают скобки. В левой части каждого примера скобки обозначают функциональное обозначение. Таким образом:

f  ( независимо от )

означает, что у нас есть функция с именем f и ее аргумент что угодно . Мы не умножаем f на , что бы ни было  ! С правой стороны мы используем скобки, чтобы сохранить порядок операций.

---

Состав функций

Точно так же, как мы можем подставить выражение в функцию, мы можем заменить функцию другой функцией.Например, в предыдущем section мы определили функцию:

f  ( x ) = x ² − 2 x

Если мы подставим другую функцию g  ( x ) в эту функцию то мы получаем:

Например, если г ( х ) = х + 3, то:

Мы также можем изменить порядок и заменить f на g , нравится:

Обратите внимание, что результат совершенно другой. Если рассматривать f и g как машины, то подстановка f в g означает, что выход f является вводом g , как показано здесь:

Состав функций важен, потому что этот метод можно использовать создавать сложные функции из простых компонентов.

---

Обратная функция

Предположим, что функция f отображает x в y и что другая функция g отображает y обратно в исходное x , как показано здесь:

Тогда функция g называется обратной функцией функции f а состав f и g не имеет общего эффекта.Обратите внимание, что функция f должна быть взаимно однозначной, чтобы иметь обратную.

Один из способов получения обратной функции g для любой функции f заключается в следующем:

• Установите f ( x ) равным y .
• Решите уравнение y = f ( x ) для x . Если есть ровно одно решение, то существует обратное; в противном случае это не так.
• В только что найденном уравнении переименуйте x в g ( y ).

Пример: Найдите обратную функцию g функции ф ( х ) = 2 х + 3.

Установите f ( x ) равным y Решите для x Переименуйте x как g ( y 9 )Это обратное.

Обратите внимание, что функция f берет свой аргумент, умножает его на 2, а затем добавляет 3. Обратная функция, г , выполняет прямо противоположные шаги в порядке, обратном . Он принимает свой аргумент, сначала вычитает 3, а затем делит на 2. Это именно то, что вы ожидаете от обратного.

Пример: Попробуйте найти обратную функцию функции ф ( х ) = х ² .

Установите f ( x ) равным y Найдите x . Есть два решения, поэтому обратного не существует.

Обратите внимание, что f сопоставляет две точки каждой точке. Например f (2) = 4 и f (−2) = 4. Таким образом, обратное должно было бы сопоставьте точку 4 обратно с точками 2 и −2. Но это нарушает определение функции, так что нет обратной.

---

Если вы нашли эту страницу в веб-поиске, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

БиоМатематика: Функции

 

Вы, вероятно, лучше всего знакомы с символическим представлением функций, таких как уравнение,

y = f ( х ).

 

Функции могут быть представлены таблицами, символами или графиками.Каждое из этих представлений имеет свои преимущества. Таблицы явно предоставляют функциональные значения конкретных входных данных. Символическое представление компактно указывает, как вычислять функциональные значения. Графики обеспечивают визуальное представление функции, показывая, как функция изменяется в диапазоне входных данных .

Столы

Таблицы обеспечивают простой способ сравнения входных и выходных данных данной функции. Полная таблица, в которой перечислены все входы и выходы, может использоваться только при наличии небольшого количества входов и выходов.Неполную таблицу можно использовать для перечисления нескольких выбранных входов и выходов. Этот тип таблицы часто указывает форму функции или шаблон для создания выходных данных из входных данных.

Полные таблицы могут сказать вам, является ли данное отношение функцией или нет. Рассмотрим следующую полную таблицу,

При осмотре мы видим, что приведенная выше таблица представляет собой функцию, поскольку каждый вход соответствует ровно одному выходу. Не пугайтесь, что выход y = −2 указан дважды. Тот факт, что два разных входа приводят к одному и тому же результату, не нарушает определения функции. Таблица ниже, с другой стороны, не представляет функцию,

В этом случае ввод x = 3 дает два разных выхода: y = 1 и y = −1. Это также верно для входа x = 1, что соответствует выходам y = 2 и y = −3..

Символическое представление

Функции обычно представляются символически, потому что эти представления компактны. Пример символьного представления:

.

ж ( х ) = у = 2 х .

В этом случае мы умножаем каждый ввод x на 2, чтобы получить соответствующий результат y .

Другим примером символического представления является

.

г ( х ) = х ² +1.

В этом случае мы берем каждый ввод x , возводим его в квадрат, а затем добавляем единицу.

Как узнать, представляет ли данное уравнение функцию?

Не все уравнения являются символическими представлениями функций. Например, рассмотрим следующее уравнение:

у ² = х .

Является ли y функцией x в приведенном выше уравнении? Чтобы определить, является ли y функцией x , удобно решить для y как

Теперь ясно, что y не является функцией x , потому что для каждого допустимого входа x (кроме x = 0) есть два выхода.Например, ввод x = 4 приводит к выводу

.

Графики

Теперь мы рассмотрим графическое представление функций. График — это способ визуализации упорядоченных пар ( x , y ) на наборе координатных осей (плоскость xy ). Начнем с графического представления функции, представленной в таблице

.

Мы можем нарисовать график этой функции, построив упорядоченные пары, перечисленные в таблице выше (т.е. (−3, 1), (−2,−2), (−1, 2), (0, 4), (1,−3), (2,−2), (3,−1)) как ,

 

Обратите внимание, что мы не соединяем точки, потому что таблица дает нам только функциональные значения отдельных точек. Мы не знаем функциональных значений между двумя точками, таких как x = -3 и x = -2. Поэтому мы должны считать, что в этих точках функция не определена. Несмотря на то, что мы не соединяем точки на графике, он по-прежнему представляет собой функцию, поскольку каждому входу соответствует ровно один выход.

Если мы нарисуем точки в таблице,

имеем следующий график,

Ясно, что этот график указывает на назначение нескольких выходов входам x = 1 и x = 3 и, следовательно, не представляет собой функцию. Этот пример иллюстрирует, что графики являются удобным способом представления отношений, потому что можно легко проверить, представляет ли конкретный график функцию.Если график представляет функцию, то он пройдет тест на вертикальную линию , который утверждает, что набор точек представляет функцию тогда и только тогда, когда ни одна вертикальная линия не пересекает график более чем в одной точке. Это имеет смысл, потому что если входу x присвоить ровно один выход, y , то вертикальная линия, соответствующая единственному значению x , будет пересекать график только в одной точке. Если, с другой стороны, вертикальная линия пересекает график f более чем в одном месте, то f не является функцией и не проходит тест вертикальной линии.Используя тест вертикальной линии, мы видим, что предыдущий график не представляет функцию,

Представление домена и диапазона функции

Теперь мы рассмотрим два способа визуализации домена и диапазона функции. Мы начнем со следующей диаграммы домена и диапазона,

Как видите, точки в наборе с левой стороны, домен, отображаются функцией на точки в наборе с правой стороны, диапазон.То есть входы в домене сопоставляются и с выходами в диапазоне.

Мы можем визуализировать область определения и диапазон функции графически следующим образом:

Красные стрелки на графике указывают на то, что график простирается до бесконечности. Зеленые стрелки показывают домен как всю вещественную линию (т. е. все действительные числа или (-∞, ∞)). Синяя стрелка показывает диапазон функции как (−2, ∞). Не все функции имеют домены, состоящие из всех действительных чисел.Многие функции определены таким образом, что некоторые входные данные не могут быть приняты. Например, x = 0 не входит в область определения функции

.

, потому что деление на ноль — неопределенная операция. Все остальные входные данные действительны, потому что деление определено для всех действительных чисел, кроме нуля, поэтому мы записываем домен как

.

Изучая различные функции по отдельности, мы узнаем об их доменах и диапазонах.

 

*****

В следующем разделе мы опишем некоторые свойства функций.

Свойства

Расчет I, примечания, раздел 2-10

Расчет I, примечания, раздел 2-10 Примечания, Урок 2.10
Что означает f ‘ Скажите о f ?

Первая производная функции — это выражение, которое говорит нам о наклоне касательной линии к кривой в любой момент.Благодаря этому определению первое производная функции многое говорит нам о самой функции. Если положительное, то должно увеличиваться. Если отрицательное, то должно уменьшаться. Если равно нулю, то должно быть относительного максимума или относительного минимума. говорит нам похожие вещи о . также дает нам ценную информацию о . В в частности, это говорит нам, когда функция вогнута вверх, вогнута вниз, или есть точка перегиба. Этот же тип информации указано о по и т. д.

увеличение	+
уменьшение	—
относительный мин. или макс.	0
вогнутый вверх	увеличение	+
вогнутый вниз	уменьшение	—
точка перегиба	относительный мин. или макс.	0
	вогнутый вверх	увеличение	+
	вогнутый вниз	уменьшение	—
	точка перегиба	относительный мин. или макс.	0
		вогнутый вверх	увеличение
		вогнутый вниз	уменьшение
		точка перегиба	относительный мин. или макс.
			вогнутый вверх
			вогнутый вниз
			точка перегиба

Использование инструментов для обогащения Исчисление CD (пришел с вашей книгой), загрузите и запустите модуль 2.10 . Этот модуль позволит вам попрактиковаться в использовании графической информации. о ф ‘ для определения наклона графика f . .

Определение:

Первообразная

Производная f является функция F такая, что F ‘ = ф .

Здесь у нас обратный процесс, который мы изучение.Начнем с производной и хотим найти функцию. Этот тип процесса открытия является общим для научных экспериментов и данных встреча.

Во-первых, мы должны признать, что различные функции могут результат в точно такая же производная. Посмотрите на пример ниже:

	Здесь мы видим семейство кривых, построенных с их общая производная. Семейство параболических функций: , где c принимает значения: -1, 0, 1, 2, 3 и 4.
Прямая линия на графике выше . Это производная функция для всех шести параболических функций.	Поскольку дериватив в первую очередь является инструментом определение формы функции положение графика не влияет на форму. Следовательно конгруэнтные кривые, имеющие одинаковую ориентацию, но разные должность имеют одну и ту же производную.

Проверить концепции

#1: положительная производная говорит, что о функции?	Выберите одну функцию положительная функция отрицательная функция увеличение Функция уменьшения
#2: Отрицательная секунда производная говорит о том, что функция?	Выберите одну функцию уменьшается Функция вогнута вниз Функция отрицательный
#3: Правда или Ложь. То производная функции также функция.	Выберите один вариант Верно Неверно
#4: Вторая производная нуля говорит о том, что оригинальная функция?	Выберите один там является точкой перегиба Существует относительный минимум или максимум Это должна быть постоянной функцией
#5: Правда или Ложь.А вторая производная функции дает некоторую ценную информацию о функции.	Выберите один вариант Верно Неверно

Введение в графы и tf.function  | Ядро TensorFlow

Обзор

Это руководство раскрывает суть TensorFlow и Keras, чтобы продемонстрировать, как работает TensorFlow.Если вместо этого вы хотите немедленно приступить к работе с Keras, ознакомьтесь с коллекцией руководств по Keras.

В этом руководстве вы узнаете, как TensorFlow позволяет вносить простые изменения в код для получения графиков, как хранятся и представляются графики, а также как вы можете использовать их для ускорения своих моделей.

Примечание: Для тех из вас, кто знаком только с TensorFlow 1.x, это руководство демонстрирует совсем другое представление графиков.

Это общий обзор того, как tf.функция позволяет переключаться с нетерпеливого выполнения на графовое выполнение. Более полную спецификацию tf.function см. в руководстве tf.function .

Что такое графики?

В предыдущих трех руководствах вы с энтузиазмом запускали TensorFlow . Это означает, что операции TensorFlow выполняются Python, операция за операцией, и возвращают результаты обратно в Python.

Хотя неотложное выполнение имеет несколько уникальных преимуществ, графовое выполнение обеспечивает переносимость за пределы Python и, как правило, обеспечивает более высокую производительность. Выполнение графа означает, что тензорные вычисления выполняются в виде графа TensorFlow , иногда называемого tf.Graph или просто «графом».

Графы представляют собой структуры данных, содержащие набор объектов tf.Operation , представляющих единицы вычислений; и объектов tf.Tensor , которые представляют единицы данных, которые передаются между операциями. Они определены в контексте tf.Graph . Поскольку эти графики являются структурами данных, их можно сохранять, запускать и восстанавливать без исходного кода Python.

Так выглядит граф TensorFlow, представляющий двухслойную нейронную сеть, при визуализации в TensorBoard.

Преимущества графиков

С графиком у вас есть большая гибкость. Вы можете использовать граф TensorFlow в средах, где нет интерпретатора Python, например в мобильных приложениях, встроенных устройствах и внутренних серверах. TensorFlow использует графики в качестве формата для сохраненных моделей при их экспорте из Python.

Графики также легко оптимизируются, что позволяет компилятору выполнять такие преобразования, как:

• Статический вывод значений тензоров путем свертывания постоянных узлов в вашем вычислении («константное свертывание») .
• Отделите независимые подчасти вычисления и разбейте их между потоками или устройствами.
• Упростите арифметические операции, исключив общие подвыражения.

Существует целая система оптимизации Grappler для выполнения этого и других ускорений.

Короче говоря, графики чрезвычайно полезны и позволяют вашему TensorFlow работать быстро , выполнять параллельно и эффективно работать на нескольких устройствах .

Однако вы по-прежнему хотите определять свои модели машинного обучения (или другие вычисления) в Python для удобства, а затем автоматически строить графики, когда они вам нужны.

Настройка

  импортировать тензорный поток как tf
импортировать время
из даты и времени импортировать дату и время
  

Использование графиков

Вы создаете и запускаете граф в TensorFlow, используя tf.function либо как прямой вызов, либо как декоратор. tf.function принимает на вход обычную функцию и возвращает функцию . Функция — это вызываемый объект Python, который строит графики TensorFlow из функции Python.Вы используете функцию так же, как ее эквивалент Python.

  # Определение функции Python.
определение a_regular_function (x, y, b):
  х = tf. matmul (х, у)
  х = х + б
  вернуть х

# `a_function_that_uses_a_graph` — это функция TensorFlow.
a_function_that_uses_a_graph = tf.function(a_regular_function)

# Сделать несколько тензоров.
x1 = tf.constant([[1.0, 2.0]])
y1 = tf.constant([[2.0], [3.0]])
b1 = tf.constant(4.0)

orig_value = a_regular_function (x1, y1, b1).numpy()
# Вызвать функцию как функцию Python.tf_function_value = a_function_that_uses_a_graph (x1, y1, b1).numpy()
утверждать (оригинальное_значение == tf_function_value)
  

Внешне функция выглядит как обычная функция, которую вы пишете с использованием операций TensorFlow. Под ним, однако, совсем другой . Функция инкапсулирует несколько tf.Graph за одним API. Вот как Функция может предоставить вам преимущества выполнения графа, такие как скорость и возможность развертывания.

tf.function применяется к функции и ко всем другим функциям, которые она вызывает :

  определение внутренней_функции (х, у, б):
  х = tf.matmul (х, у)
  х = х + б
  вернуть х

# Используйте декоратор, чтобы сделать `outer_function` функцией.
@tf.function
определение внешней_функции (х):
  y = tf.constant([[2.0], [3.0]])
  б = tf.constant (4.0)

  вернуть внутреннюю_функцию (х, у, б)

# Обратите внимание, что вызываемый объект создаст график, который
# включает `внутреннюю_функцию`, а также `внешнюю_функцию`.внешняя_функция (tf.constant ([[1.0, 2.0]])).numpy ()
  

массив([[12.]], dtype=float32)
 

Если вы использовали TensorFlow 1.x, вы заметите, что вам никогда не нужно было определять Placeholder или tf.Session .

Преобразование функций Python в графики

Любая функция, которую вы пишете с помощью TensorFlow, будет содержать смесь встроенных операций TF и ​​логики Python, например if-then предложений, циклов, break , return , continue и многое другое. В то время как операции TensorFlow легко фиксируются tf.Graph , специфичная для Python логика должна пройти дополнительный шаг, чтобы стать частью графа. tf.function использует библиотеку AutoGraph ( tf.autograph ) для преобразования кода Python в код, генерирующий графы.

  по определению simple_relu(x):
  если tf.больше (х, 0):
    вернуть х
  еще:
    вернуть 0

# `tf_simple_relu` — это `Функция` TensorFlow, которая обертывает `simple_relu`.
tf_simple_relu = tf.function(simple_relu)

print("Первая ветвь с графиком:", tf_simple_relu(tf.константа (1)).numpy())
print("Вторая ветвь, с графиком:", tf_simple_relu(tf.constant(-1)).numpy())
  

Первая ветвь с графом: 1
Вторая ветвь с графиком: 0
 

Хотя маловероятно, что вам потребуется напрямую просматривать графики, вы можете просмотреть выходные данные, чтобы проверить точные результаты. Их нелегко читать, поэтому не нужно слишком внимательно смотреть!

  # Это результат генерации графика AutoGraph.
печать (tf.autograph.to_code (simple_relu))
  

Def tf__simple_relu(x):
    с аг__.FunctionScope('simple_relu', 'fscope', ag__.ConversionOptions(recursive=True, user_requested=True, optional_features=(), internal_convert_user_code=True)) as fscope:
        do_return = Ложь
        retval_ = ag__.UndefinedReturnValue()

        определение get_state():
            возврат (do_return, retval_)

        определение set_state(vars_):
            нелокальный retval_, do_return
            (do_return, retval_) = vars_

        определение if_body():
            нелокальный retval_, do_return
            попробуйте & двоеточие;
                do_return = Истина
                ретвал_ = аг__.лд(х)
            кроме&двоеточие;
                do_return = Ложь
                поднимать

        защита else_body():
            нелокальный retval_, do_return
            попробуйте & двоеточие;
                do_return = Истина
                ретвал_ = 0
            кроме&двоеточие;
                do_return = Ложь
                поднимать
        ag__. if_stmt(ag__.converted_call(ag__.ld(tf).greater, (ag__.ld(x), 0), None, fscope), if_body, else_body, get_state, set_state, ('do_return', 'retval_') , 2)
        вернуть fscope.рет(ретвал_, сделать_возврат)
 

  # Это сам граф.
печать (tf_simple_relu.get_concrete_function (tf.constant (1)).graph.as_graph_def())
  

узел {
  имя&двоеточие; "Икс"
  оп&колон; "Заполнитель"
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "_user_specified_name"
    ценность {
      с&двоеточие; "Икс"
    }
  }
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "тип"
    ценность {
      тип&двоеточие; DT_INT32
    }
  }
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "форма"
    ценность {
      форма {
      }
    }
  }
}
узел {
  имя&двоеточие; "Больше / г"
  оп&колон; "Конст"
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "тип"
    ценность {
      тип&двоеточие; DT_INT32
    }
  }
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "ценность"
    ценность {
      тензор {
        dtype&двоеточие; DT_INT32
        тензор_форма {
        }
        int_val: 0
      }
    }
  }
}
узел {
  имя&двоеточие; "Большой"
  оп&колон; "Большой"
  ввод&двоеточие; "Икс"
  ввод&двоеточие; "Больше / г"
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "Т"
    ценность {
      тип&двоеточие; DT_INT32
    }
  }
}
узел {
  имя&двоеточие; "условный"
  оп&колон; "Без гражданства, если"
  ввод&двоеточие; "Большой"
  ввод&двоеточие; "Икс"
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "Тконд"
    ценность {
      тип&двоеточие; DT_BOOL
    }
  }
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "Банка"
    ценность {
      список {
        тип&двоеточие; DT_INT32
      }
    }
  }
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "Тут"
    ценность {
      список {
        тип&двоеточие; DT_BOOL
        тип&двоеточие; DT_INT32
      }
    }
  }
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "_lower_using_switch_merge"
    ценность {
      b&двоеточие; истинный
    }
  }
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "_read_only_resource_inputs"
    ценность {
      список {
      }
    }
  }
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "другая_ветвь"
    ценность {
      функция {
        имя&двоеточие; "cond_false_34"
      }
    }
  }
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "output_shapes"
    ценность {
      список {
        форма {
        }
        форма {
        }
      }
    }
  }
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "затем_ветка"
    ценность {
      функция {
        имя&двоеточие; "cond_true_33"
      }
    }
  }
}
узел {
  имя&двоеточие; "состояние/личность"
  оп&колон; "Личность"
  ввод&двоеточие; "условный"
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "Т"
    ценность {
      тип&двоеточие; DT_BOOL
    }
  }
}
узел {
  имя&двоеточие; "конд/Identity_1"
  оп&колон; "Личность"
  ввод&двоеточие; "условие:1"
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "Т"
    ценность {
      тип&двоеточие; DT_INT32
    }
  }
}
узел {
  имя&двоеточие; "Личность"
  оп&колон; "Личность"
  ввод&двоеточие; "конд/Identity_1"
  атрибут {
    ключ&двоеточие; "Т"
    ценность {
      тип&двоеточие; DT_INT32
    }
  }
}
библиотека {
  функция {
    подпись {
      имя&двоеточие; "cond_false_34"
      input_arg {
        имя&двоеточие; "cond_placeholder"
        тип&двоеточие; DT_INT32
      }
      output_arg {
        имя&двоеточие; "cond_identity"
        тип&двоеточие; DT_BOOL
      }
      output_arg {
        имя&двоеточие; "cond_identity_1"
        тип&двоеточие; DT_INT32
      }
    }
    node_def {
      имя&двоеточие; "конд/Констант"
      оп&колон; "Конст"
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "тип"
        ценность {
          тип&двоеточие; DT_BOOL
        }
      }
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "ценность"
        ценность {
          тензор {
            dtype&двоеточие; DT_BOOL
            тензор_форма {
            }
            bool_val: истинный
          }
        }
      }
    }
    node_def {
      имя&двоеточие; "конд/Const_1"
      оп&колон; "Конст"
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "тип"
        ценность {
          тип&двоеточие; DT_BOOL
        }
      }
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "ценность"
        ценность {
          тензор {
            dtype&двоеточие; DT_BOOL
            тензор_форма {
            }
            bool_val: истинный
          }
        }
      }
    }
    node_def {
      имя&двоеточие; "конд/Const_2"
      оп&колон; "Конст"
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "тип"
        ценность {
          тип&двоеточие; DT_INT32
        }
      }
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "ценность"
        ценность {
          тензор {
            dtype&двоеточие; DT_INT32
            тензор_форма {
            }
            int_val: 0
          }
        }
      }
    }
    node_def {
      имя&двоеточие; "конд/Const_3"
      оп&колон; "Конст"
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "тип"
        ценность {
          тип&двоеточие; DT_BOOL
        }
      }
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "ценность"
        ценность {
          тензор {
            dtype&двоеточие; DT_BOOL
            тензор_форма {
            }
            bool_val: истинный
          }
        }
      }
    }
    node_def {
      имя&двоеточие; "состояние/личность"
      оп&колон; "Личность"
      ввод&двоеточие; "cond/Const_3:выход:0"
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "Т"
        ценность {
          тип&двоеточие; DT_BOOL
        }
      }
    }
    node_def {
      имя&двоеточие; "конд/Const_4"
      оп&колон; "Конст"
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "тип"
        ценность {
          тип&двоеточие; DT_INT32
        }
      }
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "ценность"
        ценность {
          тензор {
            dtype&двоеточие; DT_INT32
            тензор_форма {
            }
            int_val: 0
          }
        }
      }
    }
    node_def {
      имя&двоеточие; "конд/Identity_1"
      оп&колон; "Личность"
      ввод&двоеточие; "cond/Const_4:выход:0"
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "Т"
        ценность {
          тип&двоеточие; DT_INT32
        }
      }
    }
    рет {
      ключ&двоеточие; "cond_identity"
      значение&двоеточие; "cond/Identity:output:0"
    }
    рет {
      ключ&двоеточие; "cond_identity_1"
      значение&двоеточие; "cond/Identity_1:выход:0"
    }
    атрибут {
      ключ&двоеточие; "_construction_context"
      ценность {
        с&двоеточие; "kEagerRuntime"
      }
    }
    arg_attr {
      ключ&двоеточие; 0
      ценность {
        атрибут {
          ключ&двоеточие; "_output_shapes"
          ценность {
            список {
              форма {
              }
            }
          }
        }
      }
    }
  }
  функция {
    подпись {
      имя&двоеточие; "cond_true_33"
      input_arg {
        имя&двоеточие; "cond_identity_1_x"
        тип&двоеточие; DT_INT32
      }
      output_arg {
        имя&двоеточие; "cond_identity"
        тип&двоеточие; DT_BOOL
      }
      output_arg {
        имя&двоеточие; "cond_identity_1"
        тип&двоеточие; DT_INT32
      }
    }
    node_def {
      имя&двоеточие; "конд/Констант"
      оп&колон; "Конст"
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "тип"
        ценность {
          тип&двоеточие; DT_BOOL
        }
      }
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "ценность"
        ценность {
          тензор {
            dtype&двоеточие; DT_BOOL
            тензор_форма {
            }
            bool_val: истинный
          }
        }
      }
    }
    node_def {
      имя&двоеточие; "состояние/личность"
      оп&колон; "Личность"
      ввод&двоеточие; "Cond/Const:выход:0"
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "Т"
        ценность {
          тип&двоеточие; DT_BOOL
        }
      }
    }
    node_def {
      имя&двоеточие; "конд/Identity_1"
      оп&колон; "Личность"
      ввод&двоеточие; "cond_identity_1_x"
      атрибут {
        ключ&двоеточие; "Т"
        ценность {
          тип&двоеточие; DT_INT32
        }
      }
    }
    рет {
      ключ&двоеточие; "cond_identity"
      значение&двоеточие; "cond/Identity:output:0"
    }
    рет {
      ключ&двоеточие; "cond_identity_1"
      значение&двоеточие; "cond/Identity_1:выход:0"
    }
    атрибут {
      ключ&двоеточие; "_construction_context"
      ценность {
        с&двоеточие; "kEagerRuntime"
      }
    }
    arg_attr {
      ключ&двоеточие; 0
      ценность {
        атрибут {
          ключ&двоеточие; "_output_shapes"
          ценность {
            список {
              форма {
              }
            }
          }
        }
      }
    }
  }
}
версии {
  производитель & двоеточие; 898
  min_consumer: 12
}
 

Большую часть времени тс. функция будет работать без особых соображений. Однако есть некоторые предостережения, и здесь может помочь руководство по tf.function, а также полный справочник AutoGraph

.

Полиморфизм: одна

функция , много графов

tf.Graph специализирован для определенного типа входных данных (например, тензоры с определенным dtype или объекты с таким же id() ).

Каждый раз, когда вы вызываете функцию с новыми dtypes и формами в аргументах, функция создает новый tf.График для новых аргументов. Типы dtypes и формы входных данных tf. Graph известны как входная подпись или просто подпись .

Функция сохраняет tf.Graph , соответствующий этой подписи, в ConcreteFunction . ConcreteFunction представляет собой оболочку вокруг tf.Graph .

  @tf.функция
защита my_relu(x):
  вернуть tf.maximum (0., х)

# `my_relu` создает новые графики по мере того, как наблюдает больше сигнатур.печать (my_relu (tf.constant (5.5)))
печать (мой_релу ([1, -1]))
print(my_relu(tf.constant([3., -3.])))
  

tf.Tensor(5.5, shape=(), dtype=float32)
tf.Tensor([1.0.], shape=(2,), dtype=float32)
tf.Tensor([3.0.], shape=(2,), dtype=float32)
 

Если Функция уже вызывалась с этой сигнатурой, Функция не создает новый tf. Graph .

  # Эти два вызова *не* создают новые графики.
print(my_relu(tf.constant(-2.5))) # Подпись соответствует `tf.constant(5.5)`.
print(my_relu(tf.constant([-1., 1.]))) # Подпись соответствует `tf.constant([3., -3.])`.
  

tf.Tensor(0.0, shape=(), dtype=float32)
tf.Tensor([0. 1.], shape=(2,), dtype=float32)
 

Поскольку функция поддерживается несколькими графами, она является полиморфной . Это позволяет ему поддерживать больше типов ввода, чем один tf.Graph , а также оптимизировать каждый tf.Graph для повышения производительности.

  # В my_relu есть три `ConcreteFunction` (по одной для каждого графа).
# `ConcreteFunction` также знает тип и форму возвращаемого значения!
печать (my_relu. pretty_printed_concrete_signatures())
  

мой_релу (х)
  Аргументы & двоеточие;
    х&двоеточие; float32 Тензор, форма=()
  Возвращает&двоеточие;
    float32 Тензор, форма=()

my_relu (х = [1, -1])
  Возвращает&двоеточие;
    float32 Тензор, форма=(2,)

мой_релу (х)
  Аргументы & двоеточие;
    х&двоеточие; float32 Тензор, форма=(2,)
  Возвращает&двоеточие;
    float32 Тензор, форма=(2,)
 

До сих пор вы узнали, как преобразовать функцию Python в график, просто используя tf.функция в качестве декоратора или обертки. Но на практике заставить tf.function работать правильно может быть сложно! В следующих разделах вы узнаете, как заставить код работать должным образом с помощью tf.function .

Выполнение графика по сравнению с нетерпеливым выполнением

Код в Функция может выполняться как в жадном, так и в графическом виде. По умолчанию Функция выполняет свой код в виде графа:

  @tf.функция
def get_MSE (y_true, y_pred):
  sq_diff = тс.pow(y_true - y_pred, 2)
  вернуть tf.reduce_mean (sq_diff)
  

  y_true = tf.random.uniform([5], maxval=10, dtype=tf.int32)
y_pred = tf.random.uniform([5], maxval=10, dtype=tf.int32)
печать (y_true)
печать (у_пред)
  

tf.Tensor([1 0 4 4 7], shape=(5,), dtype=int32)
tf.Tensor([3 6 3 0 6], shape=(5,), dtype=int32)
 

  get_MSE(y_true, y_pred)
  

Чтобы убедиться, что ваш график Function выполняет те же вычисления, что и его эквивалентная функция Python, вы можете заставить его выполняться с энтузиазмом с помощью tf. config.run_functions_eagerly(True) . Это переключатель, который отключает способность функции создавать и запускать графики вместо обычного выполнения кода.

  tf.config.run_functions_eagerly(Истина)
  

  get_MSE(y_true, y_pred)
  

  # Не забудьте установить его обратно, когда закончите.
tf.config.run_functions_eagerly(False)
  

Однако Функция может вести себя по-разному при графическом и быстром выполнении.Функция Python print — один из примеров того, чем отличаются эти два режима. Давайте проверим, что происходит, когда вы вставляете оператор print в свою функцию и многократно вызываете ее.

  @tf.функция
def get_MSE (y_true, y_pred):
  print("Расчет MSE!")
  sq_diff = tf.pow(y_true - y_pred, 2)
  вернуть tf.reduce_mean (sq_diff)
  

Посмотрите, что напечатано:

  ошибка = get_MSE(y_true, y_pred)
ошибка = get_MSE (y_true, y_pred)
ошибка = get_MSE (y_true, y_pred)
  

Расчет МСЭ!
 

Вывод неожиданный? get_MSE напечатано только один раз, несмотря на то, что он вызывался три раза .

Для пояснения, оператор print выполняется, когда Функция запускает исходный код для создания графа в процессе, известном как «трассировка». Tracing записывает операции TensorFlow в граф, а print не фиксируется в графе. Затем этот график выполняется для всех трех вызовов без повторного запуска кода Python .

В качестве проверки работоспособности отключим выполнение графа для сравнения:

  # Теперь глобально настройте все на быстрый запуск, чтобы ускорить выполнение.tf.config.run_functions_eagerly(Истина)
  

  # Обратите внимание на то, что напечатано ниже.
ошибка = get_MSE (y_true, y_pred)
ошибка = get_MSE (y_true, y_pred)
ошибка = get_MSE (y_true, y_pred)
  

Расчет МСЭ!
Расчет МСЭ!
Расчет МСЭ!
 

  tf.config.run_functions_eagerly (ложь)
  

print является побочным эффектом Python , и есть другие отличия, о которых вы должны знать при преобразовании функции в Function . Узнайте больше в разделе Ограничения руководства Повышение производительности с помощью tf.function.

Примечание: Если вы хотите распечатать значения как в режиме ожидания, так и в виде графика, используйте вместо этого tf.print .

Нестрогое исполнение

При выполнении графа выполняются только операции, необходимые для создания наблюдаемых эффектов, в том числе:

• Возвращаемое значение функции
• Задокументированы хорошо известные побочные эффекты, такие как:

Такое поведение обычно известно как «нестрогое выполнение» и отличается от нетерпеливого выполнения, которое выполняет все операции программы, необходимые или нет.

В частности, проверка ошибок во время выполнения не считается наблюдаемым эффектом. Если операция пропущена из-за того, что она не нужна, она не может вызвать никаких ошибок времени выполнения.

В следующем примере «ненужная» операция tf. gather пропускается во время выполнения графа, поэтому ошибка времени выполнения InvalidArgumentError не возникает, как это было бы при активном выполнении. Не полагайтесь на ошибку, возникающую при выполнении графа.

  по умолчанию unused_return_eager(x):
  # Получить индекс 1 не удастся, если `len(x) == 1`
  тф.collect(x, [1]) # не используется
  вернуть х

пытаться:
  print (unused_return_eager (tf.constant ([0.0])))
кроме tf.errors.InvalidArgumentError как e:
  # Все операции выполняются во время нетерпеливого выполнения, поэтому возникает ошибка.
  печать (f'{тип (e).__name__}: {e}')
  

tf.Tensor([0.], shape=(1,), dtype=float32)
 

  @tf.функция
деф неиспользуемый_return_graph (х):
  tf.gather(x, [1]) # не используется
  вернуть х

# Во время выполнения графа выполняются только необходимые операции.  Ошибка не поднимается.
печать (unused_return_graph (tf.константа ([0.0])))
  

tf.Tensor([0.], shape=(1,), dtype=float32)
 

tf.function лучшие практики

Может потребоваться некоторое время, чтобы привыкнуть к поведению функции . Чтобы быстро приступить к работе, начинающие пользователи должны поиграть с украшением игрушечных функций с помощью @tf.function , чтобы получить опыт перехода от нетерпеливого к графическому выполнению.

Designing for tf.function может быть лучшим выбором для написания совместимых с графами программ TensorFlow.Вот несколько советов:

Увидев ускорение

tf.function обычно повышает производительность вашего кода, но степень ускорения зависит от типа вычислений, которые вы выполняете. В небольших вычислениях могут преобладать накладные расходы на вызов графа. Вы можете измерить разницу в производительности следующим образом:

  x = tf.random.uniform(shape=[10, 10], minval=-1, maxval=2, dtype=tf.dtypes.int32)

степень защиты (х, у):
  результат = tf.eye(10, dtype=tf.dtypes.int32)
  для _ в диапазоне (у):
    результат = tf.matmul(x, результат)
  вернуть результат
  

  print("Нетерпеливое выполнение:", timeit.timeit(лямбда: мощность(x, 100), число=1000))
  

Нетерпеливое исполнение: 2,5637862179974036
 

  power_as_graph = tf.function(мощность)
print("Выполнение графика:", timeit.timeit(лямбда: power_as_graph(x, 100), число=1000))
  

График выполнения: 0,6832536700021592
 

tf. function обычно используется для ускорения обучающих циклов, и вы можете узнать больше об этом в разделе Написание обучающего цикла с нуля с помощью Keras.

Примечание: Вы также можете попробовать tf.function(jit_compile=True) для более значительного повышения производительности, особенно если ваш код сильно зависит от потока управления TF и ​​использует много маленьких тензоров.

Производительность и компромиссы

Графики могут ускорить ваш код, но процесс их создания сопряжен с некоторыми накладными расходами. Для некоторых функций создание графика занимает больше времени, чем выполнение графика. Эти вложения обычно быстро окупаются за счет повышения производительности последующих выполнений, но важно помнить, что первые несколько шагов обучения любой крупной модели могут выполняться медленнее из-за трассировки.

Независимо от того, насколько велика ваша модель, вам следует избегать частой трассировки. В руководстве tf.function обсуждается, как установить входные спецификации и использовать тензорные аргументы, чтобы избежать повторного отслеживания. Если вы обнаружите, что у вас необычно низкая производительность, рекомендуется проверить, не происходит ли случайное восстановление.

Когда выполняется отслеживание функции

?

Чтобы выяснить, когда ваша функция отслеживает , добавьте в ее код оператор print .Как правило, функция будет выполнять оператор print каждый раз при трассировке.

  @tf.функция
Def a_function_with_python_side_effect(x):
  print("Трассировка!") # Побочный эффект только для нетерпеливых.
  вернуть х * х + tf. constant (2)

# Это трассируется в первый раз.
печать (a_function_with_python_side_effect (tf.constant (2)))
# Во второй раз вы не увидите побочного эффекта.
печать (a_function_with_python_side_effect (tf.constant (3)))
  

Отслеживание!
тф.Тензор (6, форма = (), dtype = int32)
tf.Tensor(11, shape=(), dtype=int32)
 

  # Это происходит каждый раз, когда изменяется аргумент Python,
# в качестве аргумента Python может быть число эпох или другое
# гиперпараметр.
печать (a_function_with_python_side_effect (2))
печать (a_function_with_python_side_effect (3))
  

Отслеживание!
tf.Tensor(6, shape=(), dtype=int32)
Отслеживание!
tf.Tensor(11, shape=(), dtype=int32)
 

Новые аргументы Python всегда запускают создание нового графа, поэтому требуется дополнительная трассировка.

Следующие шаги

Вы можете узнать больше о tf. function на справочной странице API и в руководстве по повышению производительности с tf.function .

критических очков | Блестящая математика и естественные науки вики

Локальный экстремум – это максимум или минимум функции в некотором интервале xxx-значений. Точка перегиба — это точка на функции, в которой меняется вогнутость (меняется знак второй производной). Хотя любая точка, которая является локальным минимумом или максимумом, должна быть критической точкой, точка может быть точкой перегиба, а не критической точкой.

1. Критическая точка является локальным максимумом, если функция меняется с возрастающей на убывающую в этой точке, и является локальным минимумом, если функция меняется с убывающей на возрастающую в этой точке.
2. Критическая точка является точкой перегиба, если функция изменяет вогнутость в этой точке.
3. Критическая точка не может быть ни той, ни другой. Это может означать вертикальную касательную или «зазубрину» на графике функции. 3 и х > 2.2 & x > 2. \end{cases}f′(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧​−2(x+1)2−2(x−2)3(x−2)2​ x<00≤x≤112.​

   Обратите внимание, что производная имеет значение 000 в точках x=−1x = -1x=−1 и x=2x = 2x=2. При x=0x = 0x=0 производная не определена, поэтому x=0x = 0x=0 является критической точкой. При x=1x = 1x=1 производная равна 222 при подходе слева и 222 при подходе справа, поэтому, поскольку производная определена (((и равна 2≠0),2 \ne 0),2 ​=0), x=1x = 1x=1 не является критической точкой.

   Критическая точка x=−1x = -1x=−1 является локальным максимумом .
   Критическая точка x=0x = 0x=0 является локальным минимумом .
   Критическая точка x=2x = 2x=2 является точкой перегиба . □_\квадрат□​

   x=−1x = -1x=−1 — локальный максимум, а x=2x = 2x=2 — локальный минимум. x=−1x = -1x=−1 — локальный максимум, а x=2x = 2x=2 — точка перегиба. x=−1x = -1x=−1 — локальный минимум, а x=2x = 2x=2 — точка перегиба. x=−1x = -1x=−1 — локальный минимум, а x=2x = 2x=2 — локальный максимум. x=−1x = -1x=−1 — точка перегиба, а x=2x = 2x=2 — локальный максимум.3 + 16xf(x)=x4−4×3+16x.

   Что такое непрерывность в исчислении? Визуальное пояснение с примерами с цветовой кодировкой, графиками и интерактивным апплетом

   Краткий обзор

   • Определение: $$\displaystyle\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a)$$
   • Функция является непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

   Мотивирующий пример

   На каком из пяти графиков ниже показана функция, непрерывная в точке $$x = a$$?

   Только последний граф непрерывен в точке $$x = a$$. В каждом из первых четырех графиков есть некоторый аспект, делающий их разрывными в точке $$x=a$$. Понимание того, что происходит на первых четырех графиках, важно для понимания непрерывности.

   Графики 1 и 2

   Обратите внимание, что для этих двух графов $$\displaystyle\lim\limits_{x\to a} f(x)$$ существует , а не , но предел означает, что существует во всех остальных, включая непрерывный. Мы могли бы предположить (правильно), что существование предела важно для непрерывности.

   График 3

   На этом графике $$\displaystyle\lim\limits_{x\to a} f(x) = L$$, но функция не определена. С другой стороны, график 5, непрерывный граф — это , определенный при $$x = a$$.

   График 4

   Если мы сравним этот график с пятым, у них есть две общие черты. В обоих случаях существует предел и функция определена. Однако есть разница. На графике 4 значение предела отличается от значения функции. В частности, $$\displaystyle\lim\limits_{x\to a} f(x) = L$$ и $$f(a) = М$$.

   График 5

   На этом графике $$\displaystyle\lim\limits_{x\to a} f(x) = L$$ и $$f(a) = L$$. То есть предел существует, функция существует, и они имеют одно и то же значение. Кроме того, это единственный приведенный выше граф, непрерывный в точке $$x=a$$.

   ---

   Резюме

   На единственном непрерывном графике при $$x = a$$ мы видели, что (1) предел существует, (2) функция определена и (3) предельное значение совпадает со значением функции.В этом суть определения непрерывности в точке.

   Определение непрерывности в точке

   Функция $$f(x)$$ непрерывна в точке $$x=a$$, если

   $$\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$$

   Иногда это определение записывается как 3 критерия:

   Функция $$f(x)$$ непрерывна в $$x=a$$ до тех пор, пока

   1. $$f(a)$$ определено
   2. $$\displaystyle\lim\limits_{x\to a} f(x)$$ существует, и
   3. два значения равны. +} f(x) = f(a)$$

      Односторонняя непрерывность важна, когда мы хотим обсудить непрерывность на замкнутом интервале.

      Непрерывность на закрытом интервале

      Определив одностороннюю непрерывность, мы можем теперь говорить о непрерывности на замкнутом интервале. Конкретно:

      $$f(x)$$ непрерывна на отрезке $$[a,b]$$, если она непрерывна на $$(a,b)$$ и односторонне непрерывна в каждой из концов.

      Пример

      Оцените интервал, на котором функция, показанная ниже, непрерывна.

      Решение

      Единственная «дыра» в графике возникает при $$x=1$$. Функция оказывается непрерывной всюду и непрерывной слева при $$x= 3$$.

      Ответ: Функция оказывается непрерывной над $$(1,3)$$.