Основные фигуры стереометрии – «Основные понятия Стереометрия, или геометрия в пространстве, – это раздел геометрии, изучающий положение, форму, размеры и свойства различных пространственных.». Скачать бесплатно и без регистрации.

Содержание

Формулы стереометрии

Александр | 2012-10-26

Формулы стереометрии. В этой статье общий обзор формул для решения задач по стереометрии. Нужно сказать, что задачи по стереометрии довольно разнообразны, но они несложны. Это задания на нахождение геометрических величин: длин, углов, площадей, объёмов.

Рассматриваются: куб, прямоугольный параллелепипед, призма, пирамида, составной многогранник, цилиндр, конус, шар. Печалит тот факт, что некоторые выпускники на самом экзамене за такие задачи даже не берутся., хотя более  80% таких задач решаются элементарно, практически устно.

Остальные требуют небольших усилий, наличия знаний и специальных приёмов. В будущих статьях мы с вами будем рассматривать все эти задачи, не пропустите!

Для решения необходимо знать формулы площадей поверхности и объёмов параллелепипеда, пирамиды, призмы, цилиндра, конуса и шара. Ещё раз подчеркну, что сложных задач нет, все они решаются в 2-3 действия (максимум). Важно «увидеть» какую формулу необходимо применить, только и всего.

Все необходимые формулы представлены ниже:

 Формулы стереометрии
Формулы стереометрииФормулы стереометрииФормулы стереометрииФормулы стереометрииКонечно, кроме указанных формул необходимо знать теорему Пифагора, определения тригонометрических функций, понятие средней линии треугольника и ещё немного теоретических фактов, о которых  мы поговорим в следующей статье.

С уважением, Александр. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

 


Категория: Формулы Теория | ЕГЭ-№8Формулы

Подготовка к ОГЭ по математике. Полный курс!

Полный Видеокурс по РУССКОМУ ЯЗЫКУ!

ПРЕМИУМ-КУРС по математике на 100 баллов!

Замучили боль и скованность в мышцах спины?

*Нажимая на кнопку, я даю согласие на рассылку, обработку персональных данных и принимаю политику конфиденциальности.

Стереометрия. Страница 7

         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Стереометрия. Страница 7  
   
 
 
 
1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед.
3.Объем пирамиды.
4.Объем призмы.
5.Равновеликие тела.
6.Объемы подобных тел.
7.Примеры.

 

   
1 2 3 4 5 6 7 8
         
         

1. Объем

    Объем - это величина, показывающая какое количество пространства занимает тело. Например, объем куба, ребро которого равно единице, равен единице. Объем измеряется в кубических единицах. В каких единицах измерения исчисляются три измерения тела (длина, ширина, высота), в таких единицах измеряется и объем. Например, если ребро куба равно 1 м, то его объем будет равен одному кубическому метру, т.е. 1 м3.

Объем прямоугольного параллелепипеда

   Пусть даны два прямоугольных параллелепипеда ABCDA'B'C'D' и ABCDEE'E"E"' с общим основанием ABCD и высотами АЕ и АA' (Рис.1). Обозначим объем параллелепипеда ABCDA'B'C'D' - V, а объем параллелепипеда ABCDEE'E"E"' - V

1.

   Разобьем сторону AA' на большое число n равных частей. Т.е. каждая часть параллелепипеда имеет высоту, равную АA'/ n. Пусть m - число частей, которые укладываются на ребре АЕ.

   Возьмем куб объемом одна единица и три прямоугольных параллелепипеда с измерениями: a:1:1, a:b:1, a:b:c (Рис.1.1). Обозначим их объемы как V1, V2, V. Тогда можно составить следующие соотношения:

   Перемножив эти три равенства почленно, получим, что объем прямоугольного параллелепипеда равен: V = abc.

 

Рис. 1 Объем прямоугольного параллелепипеда.

Рис. 1.1 Объем прямоугольного параллелепипеда V = abc.

 
         
   
 
   
         

2.Наклонный параллелепипед

 
 

    Пусть дан наклонный параллелепипед ABCDA'B'C'D' (Рис.2). Проведем плоскость через ребро D'C', перпендикулярную основанию ABCD и построим треугольную призму, у которой грань DD'C'С будет являтся общей с гранью параллелепипеда DD'C'С.

   Отсечем точно такую же призму с другой стороны параллелепипеда AA'EBB'F. Отсюда следует, что объем параллелепипеда EFHOA'B'C'D' равен объему исходного параллелепипеда ABCDA'B'C'D'. Так как мы добавили и отсекли треугольную призму одного и того же размера.

   Объем параллелепипеда EFHOA'B'C'D' равен произведению площади основания EFHO на высоту EA'.

   Следует отметить, что если у параллелепипеда две соседние боковые грани находятся под некоторым углом к основанию, т.е. ≠ 90°, то такое преобразование необходимо проделать два раза.

   Таким образом, в конечном итоге, можно получить прямоугольный параллелепипед, у которого все боковые грани находятся под прямым углом к основанию. Такое преобразование сохраняет объем параллелепипеда, площадь основания и высоту.

   Следовательно, объем любого параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту.

 

 

Рис.2 Наклонный параллелепипед

 
         

3.Объем призмы

 
 

   Пусть дана треугольная призма ABCA'B'C' (Рис.3). Достроим данную призму до параллелепипеда. Тогда точка пересечения диагоналей (точка О) параллелограмма BB'C'C будет являться точкой симметрии. Следовательно объем призмы будет равен половине объема параллелепипеда.

   Так как объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту, то объем призмы будет равен также произведению площади основания на высоту.

   Допустим, что основание призмы есть многоугольник. Тогда его можно разбить на несколько треугольников. Следовательно вся призма будет представлять собой несколько треугольных призм. А общий объем будет равен сумме объемов этих призм.

   Таким образом: объем любой призмы равен произведению площади ее основания на высоту.

 

Рис. 3 Объем призмы.

 
         
         
 
 
     
 
   
 

4. Объем пирамиды

 
 

   Пусть дана треугольная пирамида ABCS c вершиной S и основанием ABC (Рис.4). Достроим эту пирамиду до треугольной призмы с той же высотой и тем же основанием ABC. Таким образом, треугольная призма будет состоять из трех одинаковых пирамид.
Пирамида ABCS с вершиной S.
Пирамида AECS с вершиной S.
Пирамида CEFS с вершиной S.

   Пирамиды AECS и CEFS имеют равные основания AEC и CEF и общую вершину S и соответственно высоту. Следовательно, они имеют равные объемы.

   Пирамиды ABCS и CEFS имеют также равные основания ABC и SFE и равные высоты, т.к. основания лежат в параллельных плоскостях.

   Отсюда можно сделать вывод, что все три пирамиды имеют один и тот же объем. Таким образом, объем одной пирамиды равен одной трети объема призмы.

   Если основание пирамиды представляет собой многоугольник, то его можно разбить на треугольники и объем такой пирамиды можно рассчитать как сумму объемов всех составляющих пирамид, т.к. они все имеют одну и ту же высоту.

   Отсюда можно сделать вывод, что объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

Объем усеченной пирамиды

   Пусть дана усеченная пирамида ABCA'B'C' (Рис.4.1). Достроим нашу пирамиду до полной с вершиной O. Тогда объем усеченной пирамиды будет равен разности двух пирамид.

Пусть х - высота полной пирамиды,
h - высота усеченной пирамиды.
S1 - площадь основания полной пирамиды
S2 - площадь основания малой пирамиды

 

Рис. 4 Объем пирамиды.

Рис. 4.1 Объем усеченной пирамиды.

 
         
         
         

5. Равновеликие тела

 
 

   Два геометрических тела называются равновеликими, если они имеют равные объемы.

    Пусть даны две треугольные пирамиды, у которых равные площади оснований и высоты. Разделим высоту каждой пирамиды на n равных частей. Через каждую точку деления проведем плоскость, параллельную основанию. Для каждого слоя пирамиды построим призму, как показано на рисунке 5 а и b. Призма в k - м слое первой пирамиды (а) равна призме в k - 1 слое второй пирамиды (b). Так как у них площади оснований подобны с коэффициентом подобия k/n и высоты равны H/n. Отсюда следует, что они имеют равные объемы.

    Пусть:
Va - объем пирамиды а
Vb - объем пирамиды b
Ga - сумма объемов призм пирамиды а
Gb - сумма объемов призм пирамиды b

Тогда суммы объемов Ga и Gb можно рассчитать по формулам:

    Если n будет стремиться к бесконечности, то дробь SH/n будет стремиться к нулю. Следовательно:

    Vb - Va ≤ 0 или Vb ≤ Va

   Если поменять местами пирамиды, то можно получить противоположное неравенство, т.е. Vb ≥ Va . Следовательно, объемы двух пирамид а и b равны, т.е. Vb = Va

   Отсюда можно сделать вывод, что две треугольные пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами равновелики.

 

Рис. 5 Равновеликие тела.

 
         
         

6. Объемы подобных тел

   Пусть даны два подобных куба Q1 и Q2 (Рис.6), которые имеют измерения Q1:a,b,c и Q2:ka,kb,kc c коэффициентом подобия k соответственно.

   Тогда объем куба Q1 равен V1 = abc,
а объем куба Q2 равен V2 = ka kb kc = k3 abc = k3 V1.

Т.е. V2 = k3 V1

Следовательно, отношение объемов двух кубов равно k3

   Если тело представляет собой многогранник, в основании которого лежит многоугольник, то его можно разбить на определенное колическтво призм. И общий объем будет равен сумме обемов всех призм. Так как отношение площадей равно k2, а отношение высот этих фигур равно k, то объемы двух подобных фигур будут равны:

V 1 = S1h + S2h + S3h + ... + Snh

Объем подобной фигуры:

V 2 = k2S1kh + k2S2kh + k2S3kh + ... + k2Snkh

Следовательно:

V 2 = k2k (S1h + S2h + S3h + ... + Snh)

или
V 2 = k3 V1

   Точно так же можно разбить тело на несколько пирамид. Тогда объем всего тела будет равен сумме всех составляющих его пирамид.

   Отсюда можно сделать следующий вывод, что отношение объемов двух подобных тел равно кубу их коэффициента подобия.

 

 

Рис. 6 Объемы подобных тел.

 
         
         
         
         

7. Пример 1

 

   Три латунных куба 6 м, 8 м и 10 м переплавлены в один куб. Чему равно ребро этого куба.

 
         
 

   Решение:

   Пусть даны три латунных куба со сторонами 6 м, 8 м и 10 м (Рис.7). Найдем объем каждого куба:

   V6 = 63 = 216 м3

   V8 = 83 = 512 м3

   V10 = 103 = 1000 м3

   Отсюда следует, что общий объем должен быть равен:

   Vобщ = V6 + V8 + V10 = 216 + 512 + 1000 = 1728 м3

   Следовательно, сторону куба можно найти из формулы:

   V = a3

    а = 3 = 3 = 12 м.

 

Рис.7 Задача. Три латунных куба 6 м, 8 м и 10 м...

 
         
         
 

Пример 2

 

   Измерения прямоугольного бруска 3 м, 4 м и 5 м. Если увеличить каждое ребро на х метров, то поверхность увеличится на 54 м2. Как увеличится его объем?

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 3 м, 4 м и 5 м (Рис.8). Найдем его площадь поверхности и объем.

   S1 = 2 * ((5 * 4) + (5 * 3) + (4 * 3)) = 94 м2

   V1 = 5 * 4 * 3 = 60 м3

   Так как площадь поверхности увеличилась на 54 м 2, то можно составить следующее соотношение:

   S2 = 2 * ((5 + х) * (4 + х) + (5 + х) * (3 + х) + (4 + х) * (3 + х)) = 94 + 54 = 148

   3 x2 + 24 x - 27 = 0

   x2 + 8 x - 9 = 0

   Корни уравнения: x1 = - 9, x2 = 1

   Отсюда следует, что измерения увеличенного бруска составляют 4 м, 5 м и 6 м.

   Отсюда, V2 = 6 * 5 * 4 = 120 м3

   Т.е. объем увеличится вдвое.

 

Рис.8 Задача. Измерения прямоугольного бруска...

 
         
         
 

Пример 3

 

   Основание прямого параллелепипеда - ромб, площадь которого 1 м2. Площадь диагональных сечений 3 м2 и 6 м2. Найдите объем параллелепипеда.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дан прямой параллелепипед, в основании которого лежит ромб (Рис.9). Обозначим несколько переменных. h = AA', a = AO, b = OD. Тогда составим следующие соотношения:

   SABCD = 2 a b = 1 - площадь ромба;

   SBB'D'D = 2 b h = 3 - площадь сечения BB'D'D;

   SAA'C'C = 2 a h = 6 - площадь сечения AA'C'C;

   Третье уравнение решим относительно h и подставим во второе, затем второе уравнение подставим в первое:

   2 ab = 1

   2b = a

   h = 3 / a

   Отсюда, а = 1 м, b = 1 / 2 м, h = 3 м.

   Следовательно, объем параллелепипеда равен:

   V = 2 ab h = 2 * 1 * 1/2 * 3 = 3 м3.

 

Рис.9 Задача. Основание прямого параллелепипеда - ромб...

 
         
         
 

Пример 4

 

   Боковые ребра наклонной треугольной призмы равны 15 м, а расстояние между содержащими их параллельными прямыми 26 м, 25 м и 17 м. Найдите объем призмы.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дана наклонная треугольная призма (Рис.10). Боковое ребро AA' = 15 м, PC = 25 м, PE = 17 м, EC = 26 м. Сечение РЕС перпендикулярно боковым ребрам. Найдем площадь треугольника РЕС по формуле Герона:

   PPEC = (17 + 25 + 26) / 2 = 34 - полупериметр треугольника РЕС.

   SPEC2 = P(P - PE)(P - PC)(P - EC) = 34(34 - 17)(34 - 25)(34 - 26) = 41616

   SPEC = 204 м2

   Так как треугольник РЕС лежит в плоскости, которая перпендикулярна ребрам призмы, то его следует рассматривать как проекцию треугольника АВС на плоскость сечения. Проведем прямую а, перпендикулярную стороне АВ. Опустим перпендикуляры ОC и TС к прямой а. Следовательно, угол ТСО = α и будет угол между плоскостями. Таким образом площадь треугольника АВС можно найти из формулы:

   SPEC = SABC cos α или SАВС = SРЕС / cos α

 

Рис.10 Задача. Боковые ребра наклонной треугольной призмы...

 
         
 

   Опустим перпендикуляр DS. Треугольники KSC и TDK подобны по двум углам. Следовательно, ∠ОDS = α. А отсюда следует, что DS = OD cos α (где OD = AA' = 15 м - боковое ребро призмы)

   Таким образом, объем призмы можно найти по формуле:

   V = DS * SABC = OD cos α * SРЕС / cos α = 15 * 204 = 3060 м3.

 
         
 

Пример 5

 

   Основание пирамиды - равнобедренный треугольник со сторонами 6 м, 6 м и 8 м. Все боковые ребра равны 9 м. Найдите объем пирамиды.

 
         
 

   Решение:

   Пусть дана треугольная пирамида (Рис.11). AC = ВС = 6 м, АB = 8 м, SA = SB = SC = 9 м. Найдем площадь основания АВС по формуле Герона:

   PАВC = (6 + 6 + 8) / 2 = 10 - полупериметр треугольника ABС.

   SABC2 = P(P - АВ)(P - ВC)(P - АC) = 10(10 - 6)2(10 - 8) = 320

   SABC = 8 м2

   Найдем радиус описанной окружности:

    R = ОС = AB * BC * AC / 4S = 62 * 8 / 4 * 8 = 9 / м

   По теореме Пифагора найдем SO:

   SO2 = SC2 - CO2 = 92 - (9 / )2 = 324 / 5

   SO = 18 / м

   Теперь объем пирамиды найдем по формуле:

   V = SABC * SO / 3 = 8 * 18 / / 3 = 48 м 3.

 

Рис.11 Задача. Основание пирамиды - равнобедренный треугольник...

 
         
 
   
 
         
1 2 3 4 5 6 7 8
         
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 5  
  1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии.
3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
4.Пересечение прямой с плоскостью.
5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки.
  1.Двухгранный, трехгранный углы.
2.Призма и построение ее сечений.
3.Параллелепипед.
4.Прямоугольный параллелепипед.
5.Пирамида.
6.Усеченная пирамида.
7.Правильные многогранники.
 
         
  Страница 2   Страница 6  
  1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых.
3.Признак параллельности плоскостей.
4.Свойства параллельных плоскостей.
  1.Цилиндр.
2.Конус.
3.Вписанная и описанная призма.
4.Вписанная и описанная пирамида.
5.Шар.
6.Симметрия шара.
 
         
  Страница 3   Страница 7  
  1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
3.Теорема о трех перпендикулярах.
4.Признак перпендикулярности плоскостей.
5.Расстояние между скрещивающимися прямыми.
  1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед.
3.Объем пирамиды.
4.Объем призмы.
5.Равновеликие тела.
6.Объемы подобных тел.
 
         
  Страница 4   Страница 8  
  1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками.
3.Преобразование симметрии в пространстве.
4.Движение в пространстве.
5.Угол между прямой и плоскостью.
6.Угол между плоскостями.
7.Векторы в пространстве.
8.Площадь ортогональной проекции многоугольника.
  1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
2.Объем цилиндра.
3.Площадь боковой поверхности конуса.
4.Объем конуса.
5.Объем тел вращения.
6.Объем шара.
7.Объем шарового сегмента и сектора.
8.Площадь сферы.
 
 
     
 

Стереометрия. Страница 4

         
  Главная > Учебные материалы > Математика:  Стереометрия. Страница 4  
   
 
 
 
1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками.
3.Преобразование симметрии в пространстве.
4.Движение в пространстве.
5.Угол между прямой и плоскостью.
6.Угол между плоскостями.
7.Векторы в пространстве.
8.Площадь ортогональной проекции многоугольника.
9.Примеры.

 

   
1 2 3 4 5 6 7 8
         
         

1. Декартовы координаты в пространстве

    Пусть заданы три взаимно перпендикулярные прямы x,y,z (Рис.1). Если провести через каждую пару прямых плоскость, то получим три взаимно перпендикулярные плоскости xy,xz,yz. Тогда прямые x,y,z будут называться осями координат, а точка пересечения О началом координат. Каждую ось точка О разбивает на две полуоси: положительную и отрицательную.

   Возьмем теперь произвольную точку, например точку А. Тогда для того, чтобы определить координаты точки А, необходимо провести три плоскости, проходящие через точку А и параллельные плоскостям XY, XZ, YZ. Точки пересечения этих плоскостей с осями координат Аx, Ay, Az и будут являться координатами точки А, которые записываются так: А (Ax, Ay, Az).

 

Рис. 1 Декартовы координаты в пространстве.

 
         

2.Расстояние между двумя точками

 
 

   Пусть задана декартова система координат с осями X, Y, Z (Рис.2). Необходимо найти расстояние между двумя точками А (x1;y1;z1) и В (x2;y2;z2).

    Проведем два перпендикуляра от точек А и В на плоскость XY. Они пересекут плоскость XY в точках A' и B'. Теперь проведем плоскость через точку А и параллельную плоскости XY. Тогда расстояние между точками по теореме Пифагора будет равно:

AB2 = AC2 + BC2

АС = A'B'

A'B'2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2

BC = (z2 - z1) Следовательно:

AB2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2

Таким образом, расстояние между двумя точками вычисляется по следующей формуле:

 

 

Рис.2 Расстояние между двумя точками

 
         

3. Преобразование симметрии в пространстве

 
 

   Преобразование фигур в пространстве определяется таким же образом, как и преобразование фигур на плоскости (Рис.3). Помимо преобразования относительно точки и преобразования относительно прямой, в пространстве рассматривают преобразование относительно плоскости.

   Пусть в пространстве задана плоскость α. В не этой плоскости задан квадрат со сторонами АВСD. Каждую точку нашей фигуры проецируем на плоскость α. А затем откладываем такое же расстояние по другую стороны плоскости и получаем преобразованную фигуру A"B"C"D". Таким образом, точки A"B"C"D" симметричны точкам ABCD относительно плоскости так же, как и все точки квадрата ABCD. Такое преобразование называется преобразованием относительно плоскости. А плоскость называется плоскостью симметрии. Если точка принадлежит плоскости α, то она переходит в саму себя.

 

Рис. 3 Преобразование симметрии в пространстве.

 
         
         

4. Движение в пространстве

 
 

   Движение в пространстве определяется таким же образом, как и на плоскости. При движении в пространстве сохраняются расстояния между точками. И так же, как и на плоскости, прямые переходят в прямые, отрезки в отрезки, углы между полупрямыми сохраняются. Новым свойством, которым обладает движение в пространстве, являются то, что при движении плоскость переходит в плоскость.

   Пусть задана плоскость α. Отметим на ней точки А,В,С не лежащие на одной прямой и построим на них треугольник (Рис.4). При движении эти точки передут в точки A', B', C' также не лежащие на одной прямой. Проведем на плоскости α прямую, перескающую треугольник в точках X и Y и отметим на ней точку Z. При движении точки X и Y передут в точки X' и Y', прямая а передет в прямую a'. Следовательно она будет принадлежать плоскости α'. Таким образом, плоскость α переходит в плоскость α'. При движении фигур в пространстве, две фигуры называются равными, если они переходят сами в себя, т.е. совмещаются.

 

 

Рис. 4 Движение в пространстве.

 
 

Параллельный перенос

   Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование фигуры, при котором все ее точки с координатами (z; y; z) переходят в точки с координатами (x+a; y+b; z+c), где a, b, c - постоянные числа.

   Парралельный перенос в пространстве задается формулами:

x' = x + a
y' = y + b
z' = z + c

Подобие пространственных фигур

   Преобразование подобия фигур в пространстве (гомотетия) определяется таким же образом, как и на плоскости. (Рис. 4.1)

   При преобразования подобия расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз. Прямые переходят в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки. Углы между полупрямыми сохраняются. При преобразовании подобия плоскость, не проходящая через центр гомотетии, переходит в параллельную плоскость. Так же, как и на плоскости преобразование подобия с коэффициентом гомотетии k переводит точки A и B в точки A' и B', отрезок АВ в отрезок A'B' = k AB.

 

 

Рис. 4.1 Подобие пространственных фигур.

 
         
 
   
 

5. Угол между прямой и плоскостью

 
 

   Пусть задана плоскость α. Прямая с пересекает плоскость α в точке А (Рис.5). Точка А лежит на прямой c'. Прямая c' называется проекцией прямой с на плоскость α. Таким образом, углом между прямой и плоскостью является угол между прямой и ее проекцией на данную плоскость. Т.е. угол между прямой с и c'.

   Если прямая будет перпендикулярна плоскости, то угол между прямой и плоскостью будет составлять 90°. Если параллельна - то 0°.

 

Рис. 5 Угол между прямой и плоскостью.

 
         

6. Угол между плоскостями

 
 

   Пусть заданы две пересекающиеся плоскости α и β (Рис.6). Проведем плоскость γ, которая перпендикулярна их прямой пересечения с. Плоскость γ пересекает данные плоскости по прямым а и b. Угол между прямыми а и b и есть угол между данными плоскостями α и β.

   Возьмем другую секущую плоскость γ', которая параллельна γ и перпендикулярна прямой с. Она пересечет плоскости α и β по прямым a' и b'. Если мы выполним параллельный перенос плоскости γ вдоль прямой с, то т.к. прямые а и a' находятся в одной плоскости α и перпендикулярны прямой с, следовательно они совпадут. Таким образом, угол между плоскостями не зависит от секущей плоскости.

 

Рис. 6 Угол между плоскостями.

 

7. Векторы в пространстве

 
 

   Так же, как и на плоскости, в пространстве вектор - это направленный отрезок. Любой вектор имеет абсолютную величину и направление. Каждый вектор имеет три координаты а (x; y; z) (Рис.7).

   Если вектор имеет начальную и конечную точки А и В, то его координатами будут числа: АВ (x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1). Вектора с равными координатами равны.

Действия над векторами

   Действия над векторами в пространстве определяются так же, как и на плоскости.

 

Рис. 7 Векторы в пространстве.

 
         

8. Площадь ортогональной проекции многоугольника

 
 

   Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью его проекции.

   Пусть задана плоскость α. Треугольник АВС имеет сторону АВ в плоскости α и расположен под некоторым углом к этой плоскости. BF - высота треугольника АВС. По теореме о трех перпендикулярах B'F - высота треугольника AB'C. Угол ϕ между треугольником АВС и его проекцией равен углу между плоскостями, в которых они находятся, т.е. углу BFB'. Таким образом:

   Если геометрическая фигура представляет собой многоугольник, то площадь ортогональной проекции можно найти, разбив его на простые треугольники, в которых хотя бы одна сторона будет параллельна плоскости проекции.

 

Рис. 8 Площадь ортогональной проекции многоугольника.

 
         
         
         

9. Пример 1

 

   Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость.

 
         
 

   Доказательство:

   Пусть дана плоскость α. Проведем в плоскости α две пересекающиеся прямые a и b. Они пересекаются в точке О (Рис.9). Доказать, что при движении плоскость α переходит в плоскость α'.

   Подвергнем две прямые а и b движению.Тогда они перейдут в прямые a' и b' с точкой пересечения O'. Угол ϕ между ними сохранится. Проведем через прямые a' и b' плоскость α'.

   Если в плоскости α провести прямую с, то она пересечет прямые а и b в точках А и В. При движении прямая с перейдет в прямую с'. А точки А и В перейдут в точки A' и B'.

   Таким образом, две точки A' и B' принадлежат плоскости α', так как прямая с' пересекает прямые а' и b' в этих точках. А следовательно и вся прямая c', т.е. все ее точки, принадлежат плоскости α'. Отсюда следует, что плоскость α переходит в плоскость α'.

 

Рис.9 Задача. Докажите, что движение в пространстве переводит плоскость в плоскость.

 
         
         
 

Пример 2

 

   В плоскости xy найдите точку D (x; y; 0), равноудаленную от трех данных точек: А (1; 1; 1), В (1; 2; 2), С (2; 0; 1).

 
         
 

   Решение:

   Так как расстояние от точки D до точек А, В и С одинаковое, то можно составить следующие соотношения:

    AD2 = (x - 1)2 + (y - 1)2 + (0 - 1)2

    BD2 = (x - 1)2 + (y - 2)2 + (0 - 2)2

    CD2 = (x - 2)2 + (y - 0)2 + (0 - 1)2

   Приравняем первое и второе уравнения:

    y2 - 2y + 2 = y2 - 4y + 8

    2y = 6 и y = 3

   Теперь приравняем второе и третье уравнения:

    x2 - 4x + 4 + y2 + 1 = x2 - 2x + 1 + y2 - 4y + 4 + 4

    4y - 2x = 4

    Подставляя y = 3, получим х = 4 и D (4;3;0).

 

Рис.10 Задача. В плоскости xy найдите точку D (x; y; 0)...

 
         
         
 

Пример 3

 

   Докажите, что четырехугольник АВСD является параллелограммом, если: А (0; 2; 1), В (1; 1; 1), С (2; 2; 3), D (1; 3; 3).

 
         
 

   Решение:

   По свойству параллелограмма, его диагонали пересекаются в точке, которая делит их пополам. Следовательно, можно найти середины отрезков АС и BD:

    xAC = (2 + 0) / 2 = 1; yAC = (2 + 2) / 2 = 2; zAC = (1 + 3) / 2 = 2

    xBD = (1 + 1) / 2 = 1; yBD = (1 + 3) / 2 = 2; zBD = (3 + 1) / 2 = 2

    Так как координаты середин отрезков АС и BD совпадают, то АВСD является параллелограммом (Рис. 11).

 

Рис.11 Задача. Докажите, что четырехугольник АВСD является параллелограммом...

 
         
         
 

Пример 4

 

   Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 4 м, проведены две наклонные, которые пересекают плоскость в точках А и В. Они образуют с плоскостью углы 45° и 30°, а между собой прямой угол. Найдите расстояние АВ между точками пересечения наклонных с плоскостью.

 
         
 

   Решение:

   Из прямоугольного треугольника СОВ (Рис.12) найдем СВ:

   СВ = СО / sin 30° = 4 / 1 / 2 = 8 м.

   Из прямоугольного треугольника СОА найдем СА:

   АС = СО / sin 45° = 4 / 1 / = 4 м.

   Теперь из прямоугольного треугольника АВС найдем АВ:

   АВ2 = CВ2 + АС2

   АВ2 = 82 + (4)2

   АВ2 = 96

   АВ = 4 м.

 

Рис.12 Задача. Из точки, отстоящей от плоскости на расстоянии 4 м...

 
         
         
 

Пример 5

 

   Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника проведена плоскость под углом 45° ко второму катету. Найдите угол между гипотенузой и плоскостью.

 
         
 

   Решение:

   Из прямоугольного треугольника АВО найдем ВО (Рис.13):

   ВО = АВ sin 45° = АВ /

   Из прямоугольного треугольника АВС найдем ВС:

   ВС2 = AB2 + AC2 = 2 AB2 (т.к. АВ = АС по условию задачи)

   ВС = AB

   Теперь из прямоугольного треугольника ВОС найдем синус угла ВСО:

    sin ∠BCO = BO / BC = АВ / / AB = 1/2

   Отсюда следует, что ∠ ВСО = 30°.

 

Рис.13 Задача. Через катет равнобедренного прямоугольного треугольника...

 
         
 
   
 
         
1 2 3 4 5 6 7 8
         
         
 

Содержание

     
         
  Страница 1   Страница 5  
  1.Основные фигуры стереометрии.
2.Группа дополнительных аксиом стереометрии.
3.Плоскость, проходящая через данную прямую и точку.
4.Пересечение прямой с плоскостью.
5.Существование плоскости, проходящей через три данные точки.
  1.Двухгранный, трехгранный углы.
2.Призма и построение ее сечений.
3.Параллелепипед.
4.Прямоугольный параллелепипед.
5.Пирамида.
6.Усеченная пирамида.
7.Правильные многогранники.
 
         
  Страница 2   Страница 6  
  1.Параллельность прямых в пространстве.
2.Признак параллельности прямых.
3.Признак параллельности плоскостей.
4.Свойства параллельных плоскостей.
  1.Цилиндр.
2.Конус.
3.Вписанная и описанная призма.
4.Вписанная и описанная пирамида.
5.Шар.
6.Симметрия шара.
 
         
  Страница 3   Страница 7  
  1.Перпендикулярность прямых в пространстве.
2.Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
3.Теорема о трех перпендикулярах.
4.Признак перпендикулярности плоскостей.
5.Расстояние между скрещивающимися прямыми.
  1.Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Наклонный параллелепипед.
3.Объем пирамиды.
4.Объем призмы.
5.Равновеликие тела.
6.Объемы подобных тел.
 
         
  Страница 4   Страница 8  
  1.Декартовы координаты в пространстве.
2.Расстояние между двумя точками.
3.Преобразование симметрии в пространстве.
4.Движение в пространстве.
5.Угол между прямой и плоскостью.
6.Угол между плоскостями.
7.Векторы в пространстве.
8.Площадь ортогональной проекции многоугольника.
  1.Площадь боковой поверхности цилиндра.
2.Объем цилиндра.
3.Площадь боковой поверхности конуса.
4.Объем конуса.
5.Объем тел вращения.
6.Объем шара.
7.Объем шарового сегмента и сектора.
8.Площадь сферы.
 
 
     
 

Начальные сведения из стереометрии

Предмет стереометрии

Определение 1

Стереометрия - один из разделов геометрии, в котором изучаются пространственные фигуры и их свойства. Слово стереометрия образовано из двух греческих слов $\sigma $$\tau $$\varepsilon $$\rho $$\varepsilon $$o$$\varsigma $ -- «объемный» и $\mu $$\varepsilon $$\tau $$\rho $$\varepsilon$$\omega $ -- «измерять».

Основными объектами изучения в стереометрии являются геометрические тела и поверхности.

Определение 2

Геометрическое тело -- это фигура в пространстве, которая является ограниченной, связной и содержит все свои граничные точки.

Определение 3

Граница геометрического тела называется поверхностью этого геометрического тела.

Основными объектами изучения являются многогранники и поверхности вращения.

Определение 4

Многогранником называется геометрическое тело в пространстве, которое ограниченно несколькими многоугольниками.

Примерами многогранников могут быть тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и другие (рис. 1).

Примеры многогранников

Рисунок 1. Примеры многогранников

Определение 5

Поверхность, которая образуется путем вращения какой-либо произвольной линии вокруг прямой, называется поверхностью вращения.

При этом, прямая, вокруг которой вращается поверхность, называется осью вращения и является осью симметрии для полученной поверхности.

Примерами поверхностей вращения могут быть цилиндр, конус, шар и другие (рис. 2).

Примеры поверхностей вращения

Рисунок 2. Примеры поверхностей вращения

Аксиомы стереометрии

Основными и неопределяемыми объектами в стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Приведем теперь аксиомы стереометрии. Они делятся на

Первая группа аксиом -- аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве.

  1. Каждая прямая и плоскость содержит в себе какие-либо точки.

  2. Можно найти как минимум три точки, которые не принадлежат одной прямой и как минимум четыре точки, которые не принадлежат одной плоскости.

  3. Через любые две точки можно построить единственную прямую.

  4. Через любые три точки можно построить единственную плоскость.

  5. Если плоскости принадлежат две точки какой-либо прямой, то вся эта прямая лежит в данной плоскости.

  6. Если точка принадлежит двум различным плоскостям, то эти плоскости имею общую прямую, которой принадлежат все их общие точки.

  7. Для любых двух точек прямой, существует третья точка прямой, лежащая между первыми двумя.

  8. Любую прямую можно разделить на два луча точкой $A$, лежащей на этой прямой. При этом точки, лежащие на одном луче, находятся с одной стороны от точки $A$, а точки, лежащие на разных лучах -- по разные стороны от точки $A$.

  9. Любую плоскость можно разделить на две полуплоскости прямой $a$, лежащей в этой плоскости. При этом, точки, лежащие в одной полуплоскости находятся с одной стороны от прямой $a$, а точки, лежащие в разных полуплоскостях -- по разные стороны от прямой $a$.

  10. Любое пространство можно разделить на два полупространства плоскостью $\alpha $, принадлежащей в этому пространству. При этом, точки, лежащие в одном полупространстве находятся с одной стороны от плоскости $\alpha $, а точки, лежащие в разных полупространствах -- по разные стороны от плоскости $\alpha $.

Вторая группа аксиом связана с равенством фигур.

  1. Если при наложении концы одного отрезка отображаются на концы другого отрезка, то эти отрезки совпадут.

  2. От начала любого луча можно отложить единственный равный какому-либо отрезку отрезок.

  3. В полуплоскость всегда можно отложить единственный неразвернутый угол, равный какому-либо неразвернутому углу, от любого луча этой плоскости.

  4. Любая фигура при наложении совпадает сама с собой.

  5. Равенство фигур обладает свойством симметричности.

  6. Равенство фигур обладает свойство транзитивности.

Третья группа аксиом связана с измерением отрезков.

  1. Длина любого отрезка -- положительное действительное число.

  2. Для любого действительного положительного числа существует отрезок, имеющий такую длину.

Последняя аксиома - аксиома параллельности.

  1. Через точку, не лежащую на прямой, можно провести единственную параллельную данной прямой прямую в любой плоскости пространства.

Примеры задач

Рассмотрим две задачи на использование аксиом стереометрии, которые считаются следствиями из этих аксиом.

Пример 1

Докажите, что через прямую и точку, не принадлежащую ей можно провести единственную плоскость.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 3.

Примеры поверхностей вращения

Рисунок 3.

Возьмем две произвольные точки $A\ и\ B$ на данной прямой. Так как точки $A,B$ и $C$ не лежат на одной прямой, то по аксиоме 4 через них можно провести единственную плоскость $\alpha $. Так как точки $A\ и\ B$ принадлежат и прямой, и плоскости $\alpha $, то данная прямая содержится в плоскости $\alpha .$

ч. т. д.

Пример 2

Докажите, что через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость.

Доказательство.

Рассмотрим рисунок 4.

Примеры поверхностей вращения

Рисунок 4.

Пусть прямые пересекаются в точке $C$. Построим точку $A$ на прямой $a$, отличную от $C$. Используя задачу 1, мы можем провести единственную плоскость $\alpha $ через прямую $b$ и точку $A$. Так как плоскость $\alpha $ содержит в себе две точки прямой $a$, то по аксиоме 5 она содержит всю эту прямую.

ч. т. д.

Стереометрия - это... Что такое Стереометрия?

Стереометрия (от др.-греч. στερεός, «стереос» — «твёрдый, пространственный» и μετρέω — «измеряю») — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. В стереометрии появляется новый вид взаимного расположения прямых: скрещивающиеся прямые. Это одно из немногих существенных отличий стереометрии от планиметрии, так как во многих случаях задачи по стереометрии решаются путем рассмотрения различных плоскостей, в которых выполняются планиметрические законы.

Не стоит путать этот раздел с планиметрией, поскольку в планиметрии изучаются свойства фигур на плоскости (свойства плоских фигур), а в стереометрии — свойства фигур в пространстве (свойства пространственных фигур).

Аксиомы стереометрии

  • На каждой прямой и в каждой плоскости имеются по крайней мере две точки.
  • В пространстве существуют плоскости. В каждой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
  • Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
  • Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
  • Если две точки прямой лежат на одной плоскости, то все точки данной прямой лежат в этой плоскости.
  • Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
  • Любая плоскость α разбивает множество не принадлежащих ей точек пространства на два непустых множества так, что:
    1. любые две точки, принадлежащие разным множествам, разделены плоскостью α;
    2. любые две точки, принадлежащие одному и тому же множеству, не разделены плоскостью α.
  • Расстояние между любыми двумя точками пространства одно и то же на любой плоскости, содержащей эти точки.

Многогранник

Многогранник представляет собой тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников. Эти многоугольники называются гранями многогранника, а стороны и вершины многоугольников называются соответственно ребрами и вершинами многогранника. Многогранники могут быть выпуклыми и невыпуклыми . Выпуклый многогранник расположен по одну сторону относительно плоскости, проходящей через любую его грань .

Литература

  • В. В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин. Задачи по стереометрии. — М.: Наука, 1989.
  • И.Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии (стереометрия). М.: Наука, 1984. — 160 с. (Библиотечка "Квант", Вып.31).

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *