Открытый шар — это… Что такое Открытый шар?

ШАР — множество Vn точек хевклидова пространства Е n, удаленных от нек рой точки х 0 (центр Ш.) на расстояние, меньшее (открытый шар или не превышающее (замкнутый шар величину R (радиус Ш.), т. е. Ш. V1 это отрезок, V2 это круг, Vn при n>3 иногда наз.… …   Математическая энциклопедия

Шар (метрическая геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Шар. Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии. Содержание 1 Определения 1.1 Замечания …   Википедия

Открытый (остров) — Открытый Координаты: Координаты …   Википедия

Шар — Запрос «Шар» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Шар Шар геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется …   Википедия

Шар (остров)

— У этого термина существуют и другие значения, см. Шар (значения). Шар Координаты: Координаты …   Википедия

Воздушный шар — В дополнение к помещенным уже ранее статьям Аэронавтика и Аэростат здесь приводятся сведения, касающиеся приготовления и наполнения В. шаров и некоторых случаев их применения. В воздухоплавательной практике применяют следующие газы: водород,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

РАСПРЕДЕЛЕНИИ СХОДИМОСТЬ — в основном слабая сходимость и сходимость по вариации, определяемые следующим образом. Последовательность распределений (вероятностных мер) { Р п}. на борелевских множествах метрич. пространства Sназ. с л а б о с х о д я щ е й с я к р а с п р е д …   Математическая энциклопедия

Ε-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Определения Пусть суть метрическое пространство …   Википедия

Δ-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Определения Пусть суть метрическое пространство, и …   Википедия

Эпсилон-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Определения Пусть суть метрическое пространство, и …   Википедия

dic.academic.ru

открытый шар — ПриМат

ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА

Определение. Множество всех точек пространства , таких, что , называется открытым шаром с центром в точке  и радиусом . Этот шар также называется -окрестностью

 точки и обозначается .

Определение. Зададим подмножество  пространства . Точка множества  называется внутренней точкой множества, если существует , содержащийся в . Иными словами,  является внутренней точкой множества , если она входит в  вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество  называется открытым, если любая его точка будет внутренней в . Условимся также считать пустое множество  открытым.

СВОЙСТВА ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ

Обозначим через множество индексов, и каждому элементу  поставим в соответствие множество . Тогда  называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве  обладают такими свойствами:

1. Пустое множество и всё пространство  открыты;
2. Пересечение всякого конечного числа открытых
   множеств также открыто;
3. Объединение всякого семейства  открытых множеств также открыто

Доказательство.

1. Пустое множество  является открытым по определению, а пространство , очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в .
2. Пусть  – открытые множества,. Предположи, что . Тогда  для любого . Но все множества являются открытыми, так что для любого  найдется открытый шар . Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом , где . Тогда  при каждом , а значит, , и тем самым доказано, что множество  открыто.
3. Пусть , где все множества  открыты. Докажем, что множество  также открыто. Предположим, что . Тогда  принадлежит хотя бы одному из множеств . Так как это множество  открыто, то найдется окрестность . Таким образом,  – открытое множество.

Замечание.

Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть  – открытый шар с центром в нуле и радиусом . Тогда . Но множество , состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.

Литература:

Открытые множества и их свойства

Лимит времени: 0

Информация

Тест по теме «Открытые множества и их свойства»

Вы уже проходили тест ранее. Вы не можете запустить его снова.

Тест загружается…

Вы должны войти или зарегистрироваться для того, чтобы начать тест.

Вы должны закончить следующие тесты, чтобы начать этот:

1. С ответом
2. С отметкой о просмотре

Таблица лучших: Открытые множества и их свойства

максимум из 20 баллов

Место	Имя	Записано	Баллы	Результат
Таблица загружается
Нет данных

Поделиться ссылкой:

ib.mazurok.com

Открытый шар Википедия

Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Связанные определения

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы

Площадь поверхности S{\displaystyle S} и объём V{\displaystyle V} шара радиуса r{\displaystyle r} (и диаметром d=2r{\displaystyle d=2r}) определяются формулами:

• S= 4πr2{\displaystyle S=\ 4\pi r^{2}}

• S= πd2{\displaystyle S=\ \pi d^{2}}

• V=43πr3{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}

Доказательство

• V=πd36{\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}}

Доказательство

d=2r,V=43πr3=43π(d2)3=43πd38=πd36{\displaystyle d=2r,V={4 \over 3}\pi r^{3}={4 \over 3}\pi \left({d \over 2}\right)^{3}={4 \over 3}\pi {\frac {d^{3}}{8}}={\frac {\pi d^{3}}{6}}} Ч. т. д.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство (X,ρ){\displaystyle (X,\rho )}. Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке x0∈X{\displaystyle x_{0}\in X} и радиусом r>0{\displaystyle r>0} называется множество

Br(x0)={x∈X∣ρ(x,x0)<r}.{\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.}

• Замкнутым шаром с центром в x0{\displaystyle x_{0}} и радиусом r{\displaystyle r} называется множество

Dr(x0)={x∈X∣ρ(x,x0)⩽r}.{\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.}

Замечания

Шар радиуса r{\displaystyle r} с центром x0{\displaystyle x_{0}} также называют r{\displaystyle r}-окрестностью точки x0{\displaystyle x_{0}}.

Свойства

B1(x)={x},B1(x)¯={x},D1(x)=X.{\displaystyle B_{1}(x)=\{x\},\;{\overline {B_{1}(x)}}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.}

Примеры

• если d=1{\displaystyle d=1} (пространство — прямая), то

Br(x0)={x∈R∣|x−x0|<r}=(x0−r,x0+r),{\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right),}

Dr(x0)={x∈R∣|x−x0|≤r}=[x0−r,x0+r].{\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right].}

 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.

• если d=2{\displaystyle d=2} (пространство — плоскость), то

  Br((x0,y0))={(x,y)∈R2∣(x−x0)2+(y−y0)2<r},{\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\right\},}

  Dr((x0,y0))={(x,y)∈R2∣(x−x0)2+(y−y0)2≤r}{\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}}

 — открытый и замкнутый диск соответственно.

• если d=3{\displaystyle d=3}, то

  Br((x0,y0,z0))={(x,y,z)∈R3∣(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2<r},{\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\right\},}

  Dr((x0,y0,z0))={(x,y,z)∈R3∣(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2≤r}{\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}}

 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве Rd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} метрику следующим образом:

  ρ(x,y)=∑i=1d‖xi−yi‖,x=(x1,…,xd)⊤,y=(y1,…,yd)⊤∈Rd.{\displaystyle \rho (x,y)=\sum \limits _{i=1}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{\top },y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{\top }\in \mathbb {R} ^{d}.}

Тогда

См. также

Литература

Ссылки на онлайн калькуляторы

wikiredia.ru

Открытый шар Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Шар (значения). Шар Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Содержание

• 1 Связанные определения
• 2 Основные геометрические формулы
• 3 Определения
  • 3.1 Замечания
• 4 Свойства
• 5 Примеры
• 6 См. также
• 7 Литература
• 8 Ссылки на онлайн калькуляторы

Связанные определения[ | ]

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы[ | ]

Площадь поверхности S{\displaystyle S} и объём V{\displaystyle V} шара радиуса r{\displaystyle r} (и диаметром d=2r{\displaystyle d=2r}) определяются формулами:

• S= 4πr2{\displaystyle S=\ 4\pi r^{2}}

• S= πd2{\displaystyle S=\ \pi d^{2}}

• V=43πr3{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}

Доказат

ru-wiki.ru

открытый шар — это… Что такое открытый шар?

Открытый шар — Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии. Содержание 1 Определения 1.1 Замечания 2 Свойства 3 Примеры …   Википедия

ШАР — множество Vn точек хевклидова пространства Е n, удаленных от нек рой точки х 0 (центр Ш.) на расстояние, меньшее (открытый шар или не превышающее (замкнутый шар величину R (радиус Ш.), т. е. Ш. V1 это отрезок, V2 это круг, Vn при n>3 иногда наз.… …   Математическая энциклопедия

Шар (метрическая геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Шар. Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии. Содержание 1 Определения 1.1 Замечания …   Википедия

Открытый (остров) — Открытый Координаты: Координаты …   Википедия

Шар — Запрос «Шар» перенаправляется сюда; см. также другие значения. Шар Шар геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется …   Википедия

Шар (остров) — У этого термина существуют и другие значения, см. Шар (значения). Шар Координаты: Координаты …   Википедия

Воздушный шар — В дополнение к помещенным уже ранее статьям Аэронавтика и Аэростат здесь приводятся сведения, касающиеся приготовления и наполнения В. шаров и некоторых случаев их применения. В воздухоплавательной практике применяют следующие газы: водород,… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

РАСПРЕДЕЛЕНИИ СХОДИМОСТЬ — в основном слабая сходимость и сходимость по вариации, определяемые следующим образом. Последовательность распределений (вероятностных мер) { Р п}. на борелевских множествах метрич. пространства Sназ. с л а б о с х о д я щ е й с я к р а с п р е д …   Математическая энциклопедия

Ε-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Определения Пусть суть метрическое пространство …   Википедия

Δ-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Определения Пусть суть метрическое пространство, и …   Википедия

Эпсилон-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Определения Пусть суть метрическое пространство, и …   Википедия

dic.academic.ru

Шар (метрическая геометрия) — это… Что такое Шар (метрическая геометрия)?



Шар (метрическая геометрия)

Шар (метрическая геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Шар.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения

Пусть дано метрическое пространство (X,ρ). Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке и радиусом r > 0 называется множество

• Замкнутым шаром с центром в x₀ и радиусом r называется множество

Замечания

Шар радиуса r с центром x₀ также называют r-окрестностью точки x₀.

Свойства

• Шар является открытым множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.
• Замкнутый шар — замкнутым множеством в топологии, порождённой метрикой ρ.
• По определению такой топологии открытые шары с центрами в любой точке X являют собой её базу.
• Очевидно, . Однако, вообще говоря, замыкание открытого шара может не совпадать с замкнутым шаром:

Примеры

• если d = 1 (пространство — прямая), то

— открытый и замкнутый отрезок соответственно.

— открытый и замкнутый диск соответственно.

• если d = 3, то

— открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве метрику следующим образом:

Тогда

• если d = 2, то U_r(x₀) — это открытый квадрат с центром в точке x₀ и сторонами длины , расположенными по диагонали к координатным осям.
• если d = 3, то U_r(x₀) — это открытый трёхмерный октаэдр.

См. также

• Диск (топология)

Wikimedia Foundation. 2010.

• Периметр
• Маркиз

Смотреть что такое «Шар (метрическая геометрия)» в других словарях:

• Шар (значения) — Шар: В Викисловаре есть статья «шар» Шар (стереометрия)  геометрическое тело. Шар (метрическая геометрия) окрестность точки в n мерном множестве. Шар (спортивный инвентарь)  вид спортивного инвентаря. Шар (остров)  малый остров… …   Википедия

• ε-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Содержание 1 Определения 2 Замечания …   Википедия

• Сфера — У этого термина существуют и другие значения, см. Сфера (значения). сфера (каркасная проекция) …   Википедия

• Ε-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Определения Пусть суть метрическое пространство …   Википедия

• Δ-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Определения Пусть суть метрическое пространство, и …   Википедия

• Эпсилон-окрестность — окрестность множества в функциональном анализе и смежных дисциплинах это такое множество, каждая точка которого удалена от данного множества менее, чем на . Определения Пусть суть метрическое пространство, и …   Википедия

• Расстояние Чебышева — Определение Расстоянием Чебышева между n мерными числовыми векторами называется максимум модуля разности компонент этих векторов. Расстояние Чебышева задает метрику на . Это расстояние нередко обозначается через , поскольку является частным… …   Википедия

• Метрика Хаусдорфа — есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, метрика Хаусдорфа превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в… …   Википедия

• Турция — I Турецкая империя или Т. монархия (тур. Memâlik i Osmanije, Devlet i Alije, Osmanh vilajeti, франц. Turquie, нем. Türkei, Osmanisches Reich, англ. Turkey) так называется совокупность земель, считающихся подвластными турецкому султану или… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

dic.academic.ru

Открытый шар Вики

Поверхность шара — сфера
r — радиус шара

Шар — геометрическое тело; совокупность всех точек пространства, находящихся от центра на расстоянии, не больше заданного. Это расстояние называется радиусом шара. Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра. Этот диаметр называется осью шара, а оба конца указанного диаметра — полюсами шара. Поверхность шара называется сферой: замкнутый шар включает эту сферу, открытый шар — исключает.

Связанные определения[ | код]

Если секущая плоскость проходит через центр шара, то сечение шара называется большим кругом. Другие плоские сечения шара называются

малыми кругами. Площадь этих сечений вычисляется по формуле πR².

Основные геометрические формулы[ | код]

Площадь поверхности S{\displaystyle S} и объём V{\displaystyle V} шара радиуса r{\displaystyle r} (и диаметром d=2r{\displaystyle d=2r}) определяются формулами:

• S= 4πr2{\displaystyle S=\ 4\pi r^{2}}

• S= πd2{\displaystyle S=\ \pi d^{2}}

• V=43πr3{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}

Доказательство

• V=πd36{\displaystyle V={\frac {\pi d^{3}}{6}}}

Доказательство

d=2r,V=43πr3=43π(d2)3=43πd38=πd36{\displaystyle d=2r,V={4 \over 3}\pi r^{3}={4 \over 3}\pi \left({d \over 2}\right)^{3}={4 \over 3}\pi {\frac {d^{3}}{8}}={\frac {\pi d^{3}}{6}}} Ч. т. д.

Понятие шара в метрическом пространстве естественно обобщает понятие шара в евклидовой геометрии.

Определения[ | код]

Пусть дано метрическое пространство (X,ρ){\displaystyle (X,\rho )}. Тогда

• Шаром (или открытым шаром) с центром в точке x0∈X{\displaystyle x_{0}\in X} и радиусом r>0{\displaystyle r>0} называется множество

Br(x0)={x∈X∣ρ(x,x0)<r}.{\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})<r\}.}

• Замкнутым шаром с центром в x0{\displaystyle x_{0}} и радиусом r{\displaystyle r} называется множество

Dr(x0)={x∈X∣ρ(x,x0)⩽r}.{\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in X\mid \rho (x,x_{0})\leqslant r\}.}

Замечания[ | код]

Шар радиуса r{\displaystyle r} с центром x0{\displaystyle x_{0}} также называют r{\displaystyle r}-окрестностью точки x0{\displaystyle x_{0}}.

Свойства[ | код]

B1(x)={x},B1(x)¯={x},D1(x)=X.{\displaystyle B_{1}(x)=\{x\},\;{\overline {B_{1}(x)}}=\{x\},\;D_{1}(x)=X.}

Примеры[ | код]

• если d=1{\displaystyle d=1} (пространство — прямая), то

Br(x0)={x∈R∣|x−x0|<r}=(x0−r,x0+r),{\displaystyle B_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|<r\}=\left(x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right),}

Dr(x0)={x∈R∣|x−x0|≤r}=[x0−r,x0+r].{\displaystyle D_{r}(x_{0})=\{x\in \mathbb {R} \mid |x-x_{0}|\leq r\}=\left[x_{0}-{r},x_{0}+{r}\right].}

 — открытый и замкнутый отрезок соответственно.

• если d=2{\displaystyle d=2} (пространство — плоскость), то

  Br((x0,y0))={(x,y)∈R2∣(x−x0)2+(y−y0)2<r},{\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}<r\right\},}

  Dr((x0,y0))={(x,y)∈R2∣(x−x0)2+(y−y0)2≤r}{\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0}))=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}}}\leq r\right\}}

 — открытый и замкнутый диск соответственно.

• если d=3{\displaystyle d=3}, то

  Br((x0,y0,z0))={(x,y,z)∈R3∣(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2<r},{\displaystyle B_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}<r\right\},}

  Dr((x0,y0,z0))={(x,y,z)∈R3∣(x−x0)2+(y−y0)2+(z−z0)2≤r}{\displaystyle D_{r}((x_{0},y_{0},z_{0}))=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid {\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}}}\leq r\right\}}

 — открытый и замкнутый стереометрический шар соответственно.

• В иных метриках шар может иметь иную геометрическую форму. Например, определим в евклидовом пространстве Rd{\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} метрику следующим образом:

  ρ(x,y)=∑i=1d‖xi−yi‖,x=(x1,…,xd)⊤,y=(y1,…,yd)⊤∈Rd.{\displaystyle \rho (x,y)=\sum \limits _{i=1}^{d}\|x_{i}-y_{i}\|,\quad x=(x_{1},\ldots ,x_{d})^{\top },y=(y_{1},\ldots ,y_{d})^{\top }\in \mathbb {R} ^{d}.}

Тогда

См. также[ | код]

Литература[ | код]

Ссылки на онлайн калькуляторы[ | код]

ru.wikibedia.ru