Параллельность Википедия

Паралле́льные прямы́е (от греч. παράλληλος, буквально — идущий рядом) — в планиметрии прямые, которые не пересекаются, сколько бы их ни продолжали в обе стороны.

В евклидовой геометрии

На чертежах параллельные линии выделяются одинаково направленными стрелками.

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются^[1]. В другом варианте определения совпадающие прямые также считаются параллельными^[2][3].

Преимущество последнего определения состоит в том, что параллельность становится отношением эквивалентности^[4].

Параллельность прямых m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n} обычно обозначается:

m∥n{\displaystyle m\parallel n}

Свойства

• Через любую точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Последняя часть этого утверждения — знаменитый пятый постулат Евклида. Отказ от пятого постулата ведёт к геометрии Лобачевского (см. ниже).
• Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую (такая прямая называется секущей). При этом образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
  • Соответственные углы равны (Рис.1).
  • Накрест лежащие углы равны (Рис.2).
  • Внутренние односторонние углы в сумме составляют 180° (Рис.3).

• Если считать совпадающие прямые параллельными, то параллельность будет бинарным отношением эквивалентности, которое разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
• Множество точек плоскости, расположенных на некотором фиксированном расстоянии от данной прямой, по одну сторону от неё, есть прямая, параллельная данной.

Построение параллельных прямых

В стереометрии

В планиметрии две различные прямые либо пересекаются, либо параллельны. В стереометрии возможен третий вариант — прямые могут не пересекаться, так как не лежат в одной плоскости. Такие прямые называются

скрещивающимися.

В геометрии Лобачевского

Параллельные прямые в модели Пуанкаре: две зелёные прямые равнобежны (асимптотически параллельны) синей прямой, а фиолетовая ультрапараллельна к ней

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку C{\displaystyle C} вне данной прямой AB{\displaystyle AB} проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих AB{\displaystyle AB}. Прямая CE{\displaystyle CE} называется равнобежной прямой AB{\displaystyle AB} в направлении от A{\displaystyle A} к B{\displaystyle B}, если:

1. точки B{\displaystyle B} и E{\displaystyle E} лежат по одну сторону от прямой AC{\displaystyle AC};
2. прямая CE{\displaystyle CE} не пересекает прямую AB{\displaystyle AB}, но всякий луч, проходящий внутри угла ACE{\displaystyle ACE}, пересекает луч AB{\displaystyle AB}.

Аналогично определяется прямая, равнобежная AB{\displaystyle AB} в направлении от B{\displaystyle B} к A{\displaystyle A}.

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися^[5].

Свойства

Расходящиеся параллельные прямые имеют единственный общий перпендикуляр. Этот перпендикуляр соединяет ближайшую пару точек на этих прямых.

Несмотря на то, что асимптотически параллельные прямые не пересекаются, на любой паре асимптотически параллельных прямых можно выбрать произвольно близкие точки.

См. также

Примечания

Параллельность — Википедия (с комментариями)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Параллельность — отношение между прямыми.

Определяется немного по-разному в различных разделах геометрии.

В евклидовой геометрии

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и либо совпадают, либо не пересекаются. (Иногда совпадающие прямые не считаются параллельными, в данной статье такое определение не рассматривается).

Параллельность прямых <math>m</math> и <math>n</math> обычно обозначается <math>m\parallel n</math>.

Одна пара равных соответственных углов при параллельных прямых.		Одна пара равных внутренних накрест лежащих углов при параллельных прямых.	Внутренние не накрест лежащие углы являются дополнительными (в сумме дающими 180 градусов).

Свойства

1. Параллельность — бинарное отношение эквивалентности, поэтому разбивает всё множество прямых на классы параллельных между собой прямых.
2. Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это отличительное свойство евклидовой геометрии, в других геометриях число 1 заменено другими (в геометрии Лобачевского таких прямых бесконечно много, они образуют пучок прямых, ограниченный двумя крайними).
3. 2 параллельные прямые в пространстве лежат в одной плоскости.
4. При пересечении 2 параллельных прямых третьей, называемой секущей:
   1. Секущая обязательно пересекает обе прямые.
   2. При пересечении образуется 8 углов, некоторые характерные пары которых имеют особые названия и свойства:
      1. Накрест лежащие углы равны (см. рис.).
      2. Соответственные углы равны (см. рис.).
      3. Односторонние углы в сумме составляют 180° (точнее, внутренние не накрест лежащие углы^[1], см. рис.).

В геометрии Лобачевского

В геометрии Лобачевского в плоскости через точку <math>C</math> вне данной прямой <math>AB</math> проходит бесконечное множество прямых, не пересекающих <math>AB</math>. Прямая <math>CE</math> называется равнобежной прямой <math>AB</math> в направлении от <math>A</math> к <math>B</math>, если:

1. точки <math>B</math> и <math>E</math> лежат по одну сторону от прямой <math>AC</math>;
2. прямая <math>CE</math> не пересекает прямую <math>AB</math>, но всякий луч, проходящий внутри угла <math>ACE</math>, пересекает луч <math>AB</math>.

Аналогично определяется прямая, равнобежная <math>AB</math> в направлении от <math>B</math> к <math>A</math>.

Равнобежные прямые называются также асимптотически параллельными или просто параллельными. Все остальные прямые, не пересекающие данную, называются ультрапараллельными или расходящимися^[2].

См. также

Напишите отзыв о статье «Параллельность»

Примечания

1. ↑ [www.mathsisfun.com/geometry/consecutive-interior-angles.html Consecutive Interior Angles] (внутренние не накрест лежащие углы)
2. ↑ [dict.sernam.ru/index.php?id=1177 Математический справочник]

Ссылки

Отрывок, характеризующий Параллельность

Пьер испытывал во все время своего выздоровления в Орле чувство радости, свободы, жизни; но когда он, во время своего путешествия, очутился на вольном свете, увидал сотни новых лиц, чувство это еще более усилилось. Он все время путешествия испытывал радость школьника на вакации. Все лица: ямщик, смотритель, мужики на дороге или в деревне – все имели для него новый смысл. Присутствие и замечания Вилларского, постоянно жаловавшегося на бедность, отсталость от Европы, невежество России, только возвышали радость Пьера. Там, где Вилларский видел мертвенность, Пьер видел необычайную могучую силу жизненности, ту силу, которая в снегу, на этом пространстве, поддерживала жизнь этого целого, особенного и единого народа. Он не противоречил Вилларскому и, как будто соглашаясь с ним (так как притворное согласие было кратчайшее средство обойти рассуждения, из которых ничего не могло выйти), радостно улыбался, слушая его.

Так же, как трудно объяснить, для чего, куда спешат муравьи из раскиданной кочки, одни прочь из кочки, таща соринки, яйца и мертвые тела, другие назад в кочку – для чего они сталкиваются, догоняют друг друга, дерутся, – так же трудно было бы объяснить причины, заставлявшие русских людей после выхода французов толпиться в том месте, которое прежде называлось Москвою. Но так же, как, глядя на рассыпанных вокруг разоренной кочки муравьев, несмотря на полное уничтожение кочки, видно по цепкости, энергии, по бесчисленности копышущихся насекомых, что разорено все, кроме чего то неразрушимого, невещественного, составляющего всю силу кочки, – так же и Москва, в октябре месяце, несмотря на то, что не было ни начальства, ни церквей, ни святынь, ни богатств, ни домов, была та же Москва, какою она была в августе. Все было разрушено, кроме чего то невещественного, но могущественного и неразрушимого.
Побуждения людей, стремящихся со всех сторон в Москву после ее очищения от врага, были самые разнообразные, личные, и в первое время большей частью – дикие, животные. Одно только побуждение было общее всем – это стремление туда, в то место, которое прежде называлось Москвой, для приложения там своей деятельности.
Через неделю в Москве уже было пятнадцать тысяч жителей, через две было двадцать пять тысяч и т. д. Все возвышаясь и возвышаясь, число это к осени 1813 года дошло до цифры, превосходящей население 12 го года.
Первые русские люди, которые вступили в Москву, были казаки отряда Винцингероде, мужики из соседних деревень и бежавшие из Москвы и скрывавшиеся в ее окрестностях жители. Вступившие в разоренную Москву русские, застав ее разграбленною, стали тоже грабить. Они продолжали то, что делали французы. Обозы мужиков приезжали в Москву с тем, чтобы увозить по деревням все, что было брошено по разоренным московским домам и улицам. Казаки увозили, что могли, в свои ставки; хозяева домов забирали все то, что они находили и других домах, и переносили к себе под предлогом, что это была их собственность.
Но за первыми грабителями приезжали другие, третьи, и грабеж с каждым днем, по мере увеличения грабителей, становился труднее и труднее и принимал более определенные формы.

Значение слова ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ. Что такое ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ?

• ПАРАЛЛЕ́ЛЬНОСТЬ, -и, ж. Свойство по знач. прил. параллельный. Параллельность прямых в пространстве. Параллельность операций.

Источник (печатная версия): Словарь русского языка: В 4-х т. / РАН, Ин-т лингвистич. исследований; Под ред. А. П. Евгеньевой. — 4-е изд., стер. — М.: Рус. яз.; Полиграфресурсы, 1999;

(электронная версия): Фундаментальная электронная библиотека

Делаем Карту слов лучше вместе

Привет! Меня зовут Лампобот, я компьютерная программа, которая помогает делать Карту слов. Я отлично умею считать, но пока плохо понимаю, как устроен ваш мир. Помоги мне разобраться!

Спасибо! Я стал чуточку лучше понимать мир эмоций.

Вопрос: заглатывание — это что-то нейтральное, положительное или отрицательное?

Положительное

Отрицательное

параллельность — это… Что такое параллельность?



параллельность

параллельность

ПАРАЛЛЕ́ЛЬНЫЙ, -ая, -ое; -лен, -льна.

Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949-1992.

.

Синонимы:

• ПАРАЛЛЕЛЬ
• ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ

Смотреть что такое «параллельность» в других словарях:

• ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ — ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ, параллельности, мн. нет, жен. (мат. и книжн.). отвлеч. сущ. к параллельный. Параллельность линий. Параллельность работы. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

• Параллельность — отношение между прямыми. Определяется немного по разному в различных разделах геометрии. Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства …   Википедия

• параллельность — параллелизм, дублирование; симультанность, синхронность, синхронизм, единовременность, одновременность Словарь русских синонимов. параллельность см. одновременность Словарь синонимов русского языка. Практическ …   Словарь синонимов

• ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ — 1) равное отстояние: такое положение линий или плоскостей, при котором они отстоят во всех точках одинако одна от другой. 2) сходство, напр. некоторых отдельных мест в Св. Писании. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.… …   Словарь иностранных слов русского языка

• параллельность — и, ж. parallèle f. Свойство и качество параллельного. БАС 1. Лекс. Ян. 1806: параллельность; САН 1847: паралле/льность …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

• параллельность — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN parallelism …   Справочник технического переводчика

• Параллельность — ж. отвлеч. сущ. по прил. параллельный 2., 3., 4., 5. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

• параллельность — параллельность, параллельности, параллельности, параллельностей, параллельности, параллельностям, параллельность, параллельности, параллельностью, параллельностями, параллельности, параллельностях (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по… …   Формы слов

• параллельность — паралл ельность, и …   Русский орфографический словарь

• параллельность — Syn: параллелизм, дублирование …   Тезаурус русской деловой лексики

Обсуждение:Параллельные прямые — Википедия

В дополнение к предыдущему замечанию — еще несколько.

Отношение параллельности на множестве всех прямых не является отношением эквивалентности, потому, что оно не рефлексивно (т.е. именно потому, что прямая не параллельна самой себе).

Говорить о свойствах накрест лежащих, односторонних и соответственных углов, не давая их определения, желательно, сопровождаемого рисунком, — ИЗМЫВАТЕЛЬСТВО над читателем. Тем более, что отдельных статей с определениями этих терминов в «Википедии» нет.

«Через любую точку можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это отличительное свойство евклидовой геометрии, в других геометриях число 1 заменено другими (в геометрии Лобачевского таких прямых бесконечно много, они образуют пучок прямых, ограниченный двумя крайними).» Этот фрагмент статьи вызывает недоумение. Что, разве бесконечность — это число? Сколько существует этих самых «других геометрий»? На какие числа в них заменяется число 1? Есть ли геометрии, в которых число прямых, параллельных данной и проходящих через данную точку, равно 3? А -18? А корню из двух пополам? Вместо этой ахинеи надо было написать следующее: «Через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной. Это одна из аксиом евклидовой гнеометрии. В геометрии Лобачевского она заменяется на аксиому о том, что число таких параллельных прямых больше 1 (откуда вытекает, что их бесконечно много), а в геометрии Римана — на аксиому о том, что таких параллельных прямых не существует». Вносить эту правку я не стал, так как статья неулучшаема — ее надо переписать заново с нуля. Желательно, чтобы это сделал человек, разбирающийся в предмете.

5.167.196.177 07:54, 9 июня 2013 (UTC) Брук

5.167.196.177 07:14, 9 июня 2013 (UTC)Брук

Кстати, из того, что прямая не параллельна самой себе, вытекает, что отношение параллельности прямых не только не рефлексивно, но и не транзитивно: если две прямые параллельны, то первая параллельна второй и вторая параллельна первой, но первая НЕ ПАРАЛЛЕЛЬНА самой себе. Это еще одна причина, по которой отношение параллельносчти не является отношением эквивалентности. Впрочем, как говорится в известном анекдоте, первой причины достаточно.

5.167.196.177 08:30, 9 июня 2013 (UTC) Брук

«Параллельность — отношение между прямыми. Определяется немного по-разному в различных разделах геометрии.» БЕЗГРАМОТНЫЙ И НЕВЕЖЕСТВЕННЫЙ БРЕД! ВО ВСЕХ РАЗДЕЛАХ ГЕОМЕТРИИ параллельность определякется одинеаково: прямые называются параллельными, если они лежавт в одной плоскости и не имеют общих точек. Какой урод пишет эту бредовую ахинею?

5.167.196.177 09:21, 9 июня 2013 (UTC)Брук

• Если бы вы прочли статью дальше вступления, то увидели, что геометрия включает не только геометрию Евклида (на плоскости), но и геометрию Лобачевского и геометрию Римана, в которых параллельность выглядит совсем иначе. Итог, невежественные бредни — это ваши претензии. —AntiKrisT 19:33, 9 июня 2013 (UTC)

AntiKristу: я дочитал статью до конца. Невежественный бред — это утверждение, что в геометриях Евклида, Лобачевского и Римана параллельность определяется по разному. Запредельная паранойя — это писать рядом две фразы, напрямую противоречащие друг другу. А именно: «Параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. (Иногда совпадающие прямые не считаются параллельными, здесь такое определение не рассматривается).» Имейте мужество признать, что вы не имеете даже отдаленного представления о предмете, о котором имеете наглость и хамство писать.

5.167.196.177 20:30, 9 июня 2013 (UTC)Брукс

5.167.196.177 20:28, 9 июня 2013 (UTC)Брукс

Долой нерусское слово![править код]

По-русски можно сказать: сопродольность. Параллельный — сопродольный. 37.214.103.152 16:09, 4 июня 2014 (UTC)

совпадающие прямые считаются параллельными[править код]

Совпадающие прямые считаются параллельными в подавляющем числе современных учебников по геометрии. Я не против упоминания альтернативного определения — надо дать оба. —Тоша (обс.) 21:24, 27 июля 2018 (UTC)

• Уважаемый Тоша! Не могли бы вы привести хотя бы 2-3 примера таких учебников? Если такое определение используется в современных учебниках, оно конечно должно быть отражено в статье. Но мне кажется, вы не совсем правильно расставляете акценты. Всё-таки БСЭ и Математическая Энциклопедия более авторитетные издания, чем учебники, так что мне видится «альтернативным» как раз ваше определение. Землеройкин (обс.) 12:32, 28 июля 2018 (UTC)
  • Один я привёл, и это стандартное современное определение; можно найти ещё десяток но мне этим лень заниматься. —Тоша (обс.) 14:11, 28 июля 2018 (UTC)
    • Тогда ваше утверждение о «подавляющем числе современных учебников» бездоказательно. Кроме того, я не смог найти этого определения в книге «В. Г. Болтянский, Ю. В. Сидоров, М. И. Шабунин, Лекции и задачи по элементарной математике». Не подскажете страницу? Землеройкин (обс.) 15:26, 28 июля 2018 (UTC)
  • Страница 33. В любом случае оба определения должны быть отражены в статье. Вот ещё, что попалось на глаза (определение в котором прамая НЕ параллельна себе оч. архаично).
    • http://www.mathnet.ru/links/d0f6387df57d6783db026dcbc7d62647/mo362.pdf
    • Элементарная геометрия, Ж. Адамар
      • Спасибо. Я не говорил его удалять, я просил источники. Ваши ссылки ещё больше убедили меня, что наиболее распространённое определение — то, которое в БСЭ. Специально посмотрел в школьный учебник и там то же самое. У Болтянского на странице 33 какая-то задача, а в примечании написано «Мы придерживаемся определения, согласно которому совпадающие прямые не считаются параллельными». У Адамара даётся как альтернативный вариант. Поэтому я предлагаю написать так

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются[ссылки]. Иногда совпадающие прямые также считаются параллельными[ссылки].

Землеройкин(обс.) 12:24, 29 июля 2018 (UTC)

Поддерживаю предложенную версию. Можно также обсудить небольшое расширение:

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются[ссылки]. При изложении понятия параллельности как отношения между прямыми иногда удобно совпадающие прямые также считать параллельными, потому что в этом случае параллельность является отношением эквивалентности, и всё множество прямых разбивается на классы параллельности[ссылки].

LGB (обс.) 12:58, 29 июля 2018 (UTC)

• Может лучше так:

В евклидовой геометрии параллельными прямыми называются прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются[ссылки]. В другом варианте определения, совпадающие прямые также считаются параллельными[ссылки]. Приемущество последнего определения состоит в том, что параллельность является отношением эквивалентности.

так чётче написано, что есть два различных определения.—Тоша (обс.) 19:46, 29 июля 2018 (UTC)

Заменил преамбулу на консенсусный текст. LGB (обс.) 11:05, 30 июля 2018 (UTC)

• Ваша первая ссылка не очень удачная, ведь аффинная геометрия — не то же что евклидова, я правильно понимаю? Поэтому я заменил её на те ссылки, что давал Tosha. Землеройкин (обс.) 06:53, 2 августа 2018 (UTC)

параллельно — Викисловарь

Морфологические и синтаксические свойства

па-рал-ле́ль-но

Наречие, определительное, качественное; неизменяемое.

Корень: -параллель-; суффиксы: -н-о.

Произношение

• МФА: [pərɐˈlʲelʲnə] 

Семантические свойства

Значение

1. геометр. нареч. к параллельный; образуя параллель с чем-либо, идя в одном направлении с чем-либо и нигде не пересекаясь ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации).
2. перен. одновременно с чем-либо ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации).
3. перен. повторяя, дублируя что-либо ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации).
4. техн. с помощью параллельного соединения проводников, то есть с наличием двух узлов электрической цепи, объединяющих все её элементы ◆ Отсутствует пример употребления (см. рекомендации).
5. перен., жарг., в знач. сказуемого безразлично, всё равно ◆ а мне параллельно

Синонимы

Антонимы

1. перпендикулярно
2. последовательно

Гиперонимы

Гипонимы

Родственные слова

Этимология

Происходит от прил. параллельный, из др.-греч. παράλληλος «идущий вдоль другого», далее из παρά «возле, рядом» + ἀλλήλων «взаимно, друг друга» (из ἄλλος «другой, иной»). В ряде европейских языков слово заимств. через лат. parallelus. Русск. параллель — впервые у Петра I. Заимств. через франц. parallèle или нем. Раrаllеl ж. из лат. Использованы данные словаря М. Фасмера. См. Список литературы.

Фразеологизмы и устойчивые сочетания

Перевод

образуя параллель с чем-либо

повторяя, дублируя что-либо

с помощью параллельного соединения проводников

Библиография

параллельность — это… Что такое параллельность?



параллельность

параллельность

параллелизм, дублирование; симультанность, синхронность, синхронизм, единовременность, одновременность

Словарь русских синонимов.

параллельность

Словарь синонимов русского языка. Практический справочник. — М.: Русский язык. З. Е. Александрова. 2011.

параллельность

сущ., кол-во синонимов: 7

Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013.

.

Синонимы:

• параллельно
• параллельный

Смотреть что такое «параллельность» в других словарях:

• ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ — ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ, параллельности, мн. нет, жен. (мат. и книжн.). отвлеч. сущ. к параллельный. Параллельность линий. Параллельность работы. Толковый словарь Ушакова. Д.Н. Ушаков. 1935 1940 …   Толковый словарь Ушакова

• Параллельность — отношение между прямыми. Определяется немного по разному в различных разделах геометрии. Содержание 1 В евклидовой геометрии 1.1 Свойства …   Википедия

• ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ — 1) равное отстояние: такое положение линий или плоскостей, при котором они отстоят во всех точках одинако одна от другой. 2) сходство, напр. некоторых отдельных мест в Св. Писании. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.… …   Словарь иностранных слов русского языка

• параллельность — и, ж. parallèle f. Свойство и качество параллельного. БАС 1. Лекс. Ян. 1806: параллельность; САН 1847: паралле/льность …   Исторический словарь галлицизмов русского языка

• параллельность — ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ, ая, ое; лен, льна. Толковый словарь Ожегова. С.И. Ожегов, Н.Ю. Шведова. 1949 1992 …   Толковый словарь Ожегова

• параллельность — — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN parallelism …   Справочник технического переводчика

• Параллельность — ж. отвлеч. сущ. по прил. параллельный 2., 3., 4., 5. Толковый словарь Ефремовой. Т. Ф. Ефремова. 2000 …   Современный толковый словарь русского языка Ефремовой

• параллельность — параллельность, параллельности, параллельности, параллельностей, параллельности, параллельностям, параллельность, параллельности, параллельностью, параллельностями, параллельности, параллельностях (Источник: «Полная акцентуированная парадигма по… …   Формы слов

• параллельность — паралл ельность, и …   Русский орфографический словарь

• параллельность — Syn: параллелизм, дублирование …   Тезаурус русской деловой лексики